KELOMPOK: INAYATUL AINI 0607258

JAUHARI 0607096

MILKI M. FAISAL 0607212

PIPIN FITRIADI 0607173

RAIFA MUKTI 0607564

TEORI GRAF

MATCHING

Definisi: Subset M dalam E disebut Matching di G jika elemen-elemennya adalah sisi

yang bukan loop dan setiap dua sisinya tidak saling ajasen di G. Ujung-ujung

sisi di M dikatakan Matched di bawah M.

Sebuah Matching M Saturates terhadap titik v, dan v disebut M-saturated, jika

ada sisi dalam M insiden dengan v. Jika tidak ada, v disebut M-unsaturated.

Jika setiap titik dalam G M-saturated, maka Matching M Sempurna.

M adalah Maximum Matching jika G tidak memiliki Matching M’ dengan |M’|

>|M|, sehingga setiap Matching Sempurna adalah Maximum Matching.

Misal M Matching di G, sebuah lintasan M-alternating di G adalah lintasan

yang sisi-sisinya bergantian di E \ M dan M.

Contoh: Lintasan v5v8v1v7v6 di gambar (Maximum Matching) adalah sebuah lintasan

M-alternating.

Lintasan M-augmenting adalah lintasan M-alternating yang pangkal dan

ujungnya M-unsaturated.

Teorema 5.1 ( Berge, 1957)

Matching M di G adalah Maximum Matching jika hanya jika G tidak memuat lintasan

M-augmenting.

Bukti

(→) Misalkan M Matching di G, dan misalkan bahwa G memuat lintasan M-

augmenting v0v1 . . . v2m+1. Definisikan M’ ⊆ E dengan

M’=(M\{ v1v2, v3v4, . . ., v2m-1v2m}) ∪ { v0v1, v2v3, . . ., v2mv2m+1}

Maka M’ adalah Matching di G, dan |M’|=|M|+1. Sehingga M bukan Maximum

Matching.

(←) Misalkan M bukan Maximum Matching, dan misalkan M’ Maximum Matching di

G, maka |M’|>|M|.

H=G[M ∆ M’] dimana M ∆ M’ menotasikan perbedaan simetris M dan M’.

Setiap titik dalam H memiliki derajat 1 atau 2 di H, karena setiap titik hanya bisa

berinsiden dengan paling banyak 1 sisi dalam M, dan 1 sisi dalam M’.

Jadi setiap komponen dalam H adalah siklus genap dengan sisi-sisi yang bergantian

di M dan M’, atau lintasan dengan sisi-sisi yang bergantian di M dan M’.

H memuat lebih banyak sisi dalam M’ daripada M, dan terdapat komponen lintasan

P dalam H yang sisi awal dan akhirnya dalam M’. Dikarenakan pangkal dan ujung

lintasan P merupakan M’-saturated di H, maka pangkal dan ujung tersebut M-

unsaturated di G. sehingga P adalah lintasan M-augmenting di G.