mataplecon_tema_7_note_curs.pdf
TRANSCRIPT
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 1/8
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE
Obiective:
Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite
Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor diferenţiale Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite
Aplicaţii economice ale ecuaţiilor diferenţiale
Conținut:
7.1 Proprietăţile integralelor nedefinite 62
7.2 Ecuaţii diferenţiale 65
7.3 Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite 667.3.1 Costul total şi profitul total 667.3.2 Consumul şi venitul naţional 667.3.3 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale 67
7.4 Concepte cheie 67
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 2/8
62 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
7.1 Proprietățile integralelor nedefinite
În multe situaţii practice, dispunem de informaţii asupra ratei de schimbare a uneifuncţii – pe care a denumit-o funcţia marginală – şi ne interesează să determinăm funcţiainiţială. Acest tip de probleme aplicative ne conduce din punct de vedere matematic ladeterminarea unei funcţii atunci când se cunoaşte derivata acelei funcţii.
Definiţia 7.1: Func ţ ia ( ) x F se nume şte primitiva (func ţ ia primitivă sau antiderivata)
func ţ iei ( ) x f pe intervalul ( )ba, dacă în orice punct ( )ba x ,∈ func ţ ia ( ) x F este derivabil ă şi
( ) ( ) x f x F =′ .
Dacă ( ) x F este primitiva funcţiei ( ) x f pe intervalul ( )ba, , atunci, în mod evident,
funcţia ( ) K x F + (unde K este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei ( ) x f pe
intervalul ( )ba , . În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii difer ă între ele printr-oconstantă.
Definiţia 7.2: Mul ţ imea tuturor primitivelor unei func ţ ii ( ) x f pe intervalul ( )ba , se
nume şte integrala nedefinit ă a func ţ iei ( ) x f şi se notează:
dx x f ∫ )( . (7.1)
În aceast ă nota ţ ie, semnul ∫ se nume şte semnul de integral ă , iar expresia ( )dx x f se
nume şte elementul de integrare.
Dacă ( ) x F este una din primitivele funcţiei ( ) x f pe intervalul ( )ba , , atunci
( ) ( ) K x F dx x f +=∫ . (7.2)
unde K este o constantă arbitrar ă, respectiv o nedeterminată ce poate să parcurgă toatenumerele reale.
Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei ( ) x f se
numeşte integrarea func ţ iei ( ) x f .Vom discuta în continuare propriet ăţ ile de baz ă ale integralei nedefinite. Aceste
proprietăţi ale operaţiilor cu integrale sunt:
(1) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) K dx x g dx x f dx x g x f +±=± ∫∫∫ ; (7.3)
(2) ( )[ ] ( ) K dx x f dx x f +⋅=⋅ ∫∫ α α , =α constant. (7.4)
Vom enumera în cele ce urmează primitivele principalelor func ţ ii ce apar în modeleleeconomice, care formează tabloul integralelor nedefinite de bază:
K dx =⋅∫0 ; (7.5)
K xdx +=⋅∫1 ; (7.6)
K xdx x ++
=+
∫ 1
1
α
α
α , ( 1−≠α ); (7.7)
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 3/8
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 63
K xdx x
+=∫ ln1
, ( 0≠ x ); (7.8)
K a
a
dxa
x x
+=∫ ln , ( 10 ≠< a ); (7.9)
K edxe x x +=∫ ; (7.10)
K a
x
aa
dx+=
+∫ arctan1
22, 0≠a ; (7.11)
K a x
a x
aa x
dx+
+
−=
−∫ ln2
122
, 0≠a , a x ≠ ; (7.12)
K a
x
a x
dx+=
−∫arcsin
22
, 0≠a , ( )aa x ,−∈ ; (7.13)
( ) K a x xa x
dx+++=
+∫
22
22ln . (7.14)
Să analizăm şi două proprietăţi care sunt consecinţe imediate ale definiţiei date pentru
integrala nedefinită, care implică faptul că simbolurile d (de diferenţiere) şi ∫ (de integrare)
se anulează reciproc. Au loc proprietăţile:
(a) ( ) ( )dx x f dx x f d =∫ ;
(b) ( ) ( )∫ += K x F xdF .
Să investigăm acum principalele metode de integrare. Prima metodă este metoda
direct ă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil, a proprietăţilor operaţiilor cuintegrale (7.3) şi (7.4), precum şi formulele de integrare (7.5) ÷ (7.14).
Una din cele mai uzuale metode de integrare este integrarea prin schimbare de variabil ă
(sau prin substitu ţ ie). Metoda se bazează pe proprietatea că dacă ( ) xt ϕ = , iar ( )t f are
primitiva ( )t F , adică:
( ) ( )∫ += K t F dt t f , (7.15)
atunci există primitiva funcţiei ( )[ ] ( ) x x f ϕ ′⋅ , adică:
( )[ ] ( ) ( )[ ] K x F dx x x f +=′⋅∫ ϕ ϕ ϕ . (7.16)
Integrarea prin păr ţ i este una din cele mai eficace metode de integrare şi se bazează pe proprietatea următoare. Să presupunem că funcţiile ( ) xu şi ( ) xv sunt derivabile. Atunci areloc relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx xu xv xv xudx xv xu ′⋅−⋅=′⋅ ∫∫ . (7.17)
Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia (7.17) se mai poate scrie:
duvvudvu ⋅−⋅=⋅ ∫∫ . (7.18)
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 4/8
64 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
Să detaliem acum metodele de integrare a funcţiilor raţionale, de forma:( )( )∫ xQ
x P , unde
( ) x P şi ( ) xQ sunt polinoame. Să analizăm mai întâi integralele de tipul:
∫ ++
+dx
cbxax
nmx2
.
Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea trinomului degradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate:
( ) q p xacbxax ++⋅=++22 ,
unde p şi q sunt constante. În plus, dacă 0=m , metoda conduce la una din formulele deintegrare (7.11) sau (7.12).
Dacă 0≠m , dăm factor comun la număr ător derivata bax +2 a trinomului de gradul al
doilea şi avem:
( )
∫∫ =++
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++⋅
=++
+= dx
cbxaxa
mbnbax
a
m
dxcbxax
nmx I
22
22
2
( )∫∫ ++⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
++
+⋅= dx
cbxaxa
mbndx
cbxax
bax
a
m22
1
2
2
2.
În prima integrală facem schimbarea de variabilă t cbxax =++2 , de unde( ) dt dxbax =+2 , iar a doua integrală este de tipul discutat mai sus. Obţinem:
∫ ++⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −+++⋅= dxcbxaxambncbxaxam I 2
2 12ln2 .
În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma
ireductibilă ( )( ) xQ
x P , unde ( ) ( ) x gradQ x gradP < . Mai întâi descompunem polinomul ( ) xQ sub
forma:
( ) ( ) ( )λ α l xa x xQ −⋅⋅−= K ,
unde l a ,,K sunt r ădăcinile reale diferite ale polinomului ( ) xQ , cu ordinele de multiplicitaterespectiv λ α ,,K .
Metoda constă în descompunerea în „ frac ţ ii simple”, scriind:
( )( ) ( ) ( )
KK +−
++−
+−
=α
α
a x
A
a x
A
a x
A
xQ
x P 2
21
( ) ( )λ λ
a x
L
l x
L
l x
L
−++
−+
− K
221 .
Pentru determinarea coeficienţilor λ α L L L A A A ,,,,,,,, 2121 KKK procedăm fie prin
identificarea cu ( ) x P , fie prin atribuirea de valori convenabile.
Pentru integrarea expresiilor iraţionale de forma: ∫++
+dx
cbxax
nmx2
, procedăm la
descompunerea în sumă sau diferenţă de pătrate a trinomului de la numitor şi apoi aplicăm o
metodă analogă metodei analizate pentru expresiile raţionale, aplicând formulele de calcul(7.13) sau (7.14)
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 5/8
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 65
Pentru integralele iraţionale de tipul:( )∫
+++ cbxaxnmx
dx2
, facem schimbarea de
variabilă t nmx =
+
1 şi explicitându-l pe x în funcţie de t şi diferenţiind se obţine o integrală
de tipul celei de mai sus.
7.2 Ecuații diferențiale
Să ne reamintim că am introdus noţiunea de derivată ca fiind rata de schimbareinstantanee a unei funcţii ( )t f y = şi am notat această rată de schimbare în timp cu dt dy . Înfoarte multe procese de creştere, din domeniul economic, dar şi alte domenii cum sunt fizica,
biologia sau ştiinţele sociale, rata de schimbare în timp a cantităţii unui element este propor ţională cu cantitatea actuală a acelui element.Această proprietate se poate scrie sub forma:
kydt
dy= , ( constant=k ). (7.19)
O ecuaţie de tipul de mai sus se numeşte o ecua ţ ie diferen ţ ial ă, deoarece ea conţinediferenţiale sau derivate. Alte exemple de ecuaţii diferenţiale sunt:
(a) ( )1
1
+=′
x x f , (b) t
dt
dy2= , (c) ( )dx y xdy 1+= .
Soluţia unei ecuaţii diferenţiale este o funcţie ce satisface ecuaţia diferenţială iniţială.De exemplu, o funcţie care satisface ecuaţia (a) este o primitivă a lui ( ) x f ′ . De asemenea, se
observă că o soluţie a ecuaţiei (b) este funcţia 2t y = , pentru care avem t dt
dy2= . Dar şi
funcţiile de forma 12 += t y sau 22 −= t y sunt şi ele soluţii ale lui (b).Atunci solu ţ ia general ă a ecuaţiei diferenţiale (b) se obţine integrând în ambii membri:
K t ydt t dt dt
dy+=⇒= ∫∫
22 .
Astfel, K t y += 2 este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (b). Dacă determinăm oanumită valoare specifică a lui K , atunci soluţia rezultată se numeşte solu ţ ie particular ă aecuaţiei diferenţiale.
O ecuaţie diferenţială ce conţine diferenţiale sau derivate de ordinul întâi se numeşteecua ţ ie diferen ţ ial ă de ordinul întâi .
Dar nu toate ecuaţiile diferenţiale se rezolvă direct, prin integrare în ambii membri. Deexemplu, ecuaţia (7.19) de mai sus nu poate fi rezolvată direct prin integrarea ambilor membriai ecuaţiei în raport cu variabila t . Totuşi, putem să rescriem ecuaţia, astfel încât termenii careîl conţin pe y să fie într-un membru, iar termenii care îl conţin pe t să fie în celălalt membru.
În cazul nostru rezultă:
dt k y
dy
⋅= . (7.20)
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 6/8
66 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
În general, atunci când o ecuaţie diferenţială poate fi rescrisă sub forma:
( ) ( )dt t Bdy y A = sau ( ) ( )dx x f dy y g = ,
spunem că ecuaţia este separabil ă. Soluţia unei ecuaţii diferenţiale separabile se obţineintegrând ambii membri ai ecuaţiei în raport cu variabilele care au fost separate. Astfel, pentrua rezolva ecuaţia (7.19), care a fost scrisă după separarea variabilelor y şi t sub forma (7.20),integr ăm în ambii membri şi obţinem:
21ln K kt K ydt k y
dy+=+⇒⋅= ∫∫ .
Notând 123 K K K −= , rezultă 3ln K kt y += .
Presupunând 0> y şi scriind ecuaţia sub formă exponenţială, obţinem succesiv:
K eeee y kt K kt K kt ⋅=⋅== + 33 ,
unde 3 K e K = .Soluţia K e y kt ⋅= este soluţia generală a ecuaţiei (7.19).
7.3 Aplicații economice ale integralelor nedefinite
7.3.1 Costul total şi profitul total
Revenim cu analiza noastr ă asupra modelelor economice de şi aplicaţiilor care implică
funcţiile de cost, de venit şi de consum. După cum s-a observat, am reluat aceste concepte încontexte şi cu abordări diferite, deoarece ale sunt fundamentale în studiul modeleloreconomice.
Vom utiliza în continuare metodele de integrare pentru a obţine funcţiile de cost total şi profit total, pe baza funcţiilor marginale corespunzătoare. Unul din motivele utilizăriifuncţiilor marginale este acela că în practică pot fi observate schimbările marginale dinactivitatea curentă, pe baza cărora pot fi dezvoltate metodele privind costul total. Să remarcămcă, în mod natural, în aplicaţiile în care am utilizat derivatele, abordarea a fost de la costultotal către costul marginal. Prin metodele de integrare, parcurgem calea inversă, care esteuneori mai aproape de situaţiile practice.
Să presupunem că funcţia de cost marginal pentru un anumit produs este
( ) ( ) xC xCM ′= , unde ( ) xC este funcţia de cost total. Ştiind expresia funcţiei de cost marginal,atunci vom determina prin integrare funcţia de cost total, adică:
( ) ( )∫= dx xCM xC . (7.21)
7.3.2 Consumul şi venitul național
Am analizat anterior funcţia de consum naţional ( ) ( ) x f xC N = , unde x este venitul
naţional disponibil. Tendin ţ a marginal ă na ţ ional ă de consum este derivata funcţiei deconsum, respectiv:
( ) x f dx
dC N ′= . (7.22)
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 7/8
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 67
Invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum, prin integrare obţinem funcţia de consumnaţional:
( ) ( ) K x f dx x f C N +=′= ∫ . (7.23)
De o manier ă similar ă, dacă ( ) xV N reprezintă funcţia venitului net naţional, atunci
N N V C x += sau N N C xV −= . Atunci tendin ţ a marginal ă a venitului net na ţ ional este:
dx
dC
dx
dV N N −=1 . (7.24)
Procedând invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum marginală ( ) x f dx
dC N ′= , prin
integrare obţinem func ţ ia de venit na ţ ional net :
( ) ( ) x f xdx x f xV N −=′
−= ∫ . (7.25)
7.3.3 Aplicații ale ecuațiilor diferențiale
Dacă p este preţul unui anumit produs la momentul t , putem să consider ăm preţul ca ofuncţie de timp. Similar, numărul de unităţi de produs cerut de consumatori C q şi numărul de
unităţi oferite de producători Oq , în orice moment de timp, pot fi considerate, de asemenea,
funcţii de timp.Atât cantitatea cerută, cât şi cantitatea oferită depind însă nu numai de preţul la un
moment dat, dar şi de direcţia şi de rata de schimbare cu care consumatorii şi producătorii
estimează că va evolua preţul.De exemplu, cu toate că preţul este ridicat, dacă consumatorii estimează că preţul va
creşte, cererea ar putea să crească. Analog, dacă preţurile sunt scăzute, dar producătoriiestimează că preţurile vor mai scădea, atunci oferta ar putea să crească.
Dacă presupunem că preţurile sunt stabilite pe o piaţă cu competiţie de cerere şi ofertă,atunci vom căuta să determinăm echilibrul de piaţă. Egalând oferta cu cererea, obţinem oecuaţie diferenţială de ordinul întâi.
7.4 Concepte cheie
Funcţie primitivă
Integrală nedefinită
Integrare directă
Integrare prin schimbare devariabilă
Integrare prin păr ţi
Ecuaţie diferenţială
Ecuaţie diferenţială de ordinulîntâi
Ecuaţie diferenţială separabilă
Tendinţă marginală de consum
Tendinţă marginală a venituluinet
7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 8/8
68 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL