mat2 kol3 main 2011

A MATEMATIKA 2(21.05.2011., treci kolokvij)

1. Zadana je z =px3y + 1cos 2y .

(a) Izracunajte nagib plohe u pozitivnom smjeru y-osi.(b) Izracunajte nagib pod a) u tocki T (1; 1).(c) Izracunajte zxx u T (1; 1).

(15 bodova)

2. Zadana je z = x3 ln x2y.

(a) Izracunajte diferencijal od z za x = 0:4 i y = 0:3.(b) Izracunajte usmjerenu derivaciju u smjeru ~s = (0:4;0; 3).(c) Koliko se priblino promijeni vrijednost funkcije z ako se iz tocke T0(1; 1) na plohi pomaknemo u

T1(1:8; 0:4)?

(20 bodova)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x3 y3 3xy + 6 .(20 bodova)

4. (a) [10b] IzracunajteZ =20

Z x0

cos x dy!dx.

(b) [5b] Skicirajte podrucje integracije.(15 bodova)

5. Za integralZZ

(P)f (x; y) dP napiite granice integracije u oba poretka, ako je podrucje P zadano Slikom 1

dolje lijevo.(10 bodova)

x

y

10

-2

y=2x+

2

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

x

y

10 2

P

3

xy =

xyx 222

=+

322

=+ yx

3

Slika 1 Slika 2

6. (a) [15b] Odredite granice integracije integralaZZ

(P)

1px2 + y2

dP po podrucju P na Slici 2 gore desno u

polarnom sustavu.(b) [5b] Izracunajte taj integral.

(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(Zavrni zadaci)

1. Zadan je red potencija

1 x2+

x2

2 22 x3

3 23 +x4

4 24 x5

5 25 + : : :(a) napiite opci clan reda;(b) izracunajte radijus konvergencije reda.

(25 bodova)

2. Izracunajte volumen tijela nastao rotacijom osjencanog lika na slici

y = 1 x

y = 1 x2

1

1

(25 bodova)

3. Nadite partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe yy0 + x = 0 koje prolazi tockom (1;2).

( 25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadba drugog reda y00 2 y0 + y = 4 ex + x .(a) [5b] rijeite pridruenu homogenu diferencijalnu jednadbu;(b) [10b] napiite oblik partikularnog rjeenja;(c) [10b] odredite opce rjeenje.

(25 bodova)

Formule

Volumen tijela poznatog presjeka P(x)

V =Z ba

P(x) dx

Teziste ploce homogene gustoce

x =

R ba x dPR ba dP

=

R ba x y(x) dxR ba y(x) dx

y =

R dc y dPR dc dP

=

R dc y x(y) dyR dc x(y) dy

Homogena jednadzba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y00 + b y0 + c y = 0Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadzbe, onda je oblik opceg rjesenja:yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,

yH = ekx (C1 +C2x), kada karakteristicna jednadba ima jedan dvostruki korijen k,

yH = ex (C1 cos x +C2 sin x), kada su k1 i k2 konjugirano kompleksni k1;2 = i .

B MATEMATIKA 2(21.05.2011., treci kolokvij)

1. Zadana je z = py +px3

cos 2y .

(a) Izracunajte nagib plohe u pozitivnom smjeru y-osi.(b) Izracunajte nagib pod a) u tocki T (1; 1).(c) Izracunajte zxx u T (1; 1).

(15 bodova)

2. Zadana je z = y2 ln y3x.

(a) Izracunajte diferencijal od z za x = 0:4 i y = 0:3.(b) Izracunajte usmjerenu derivaciju u smjeru ~s = (0:4;0; 3).(c) Koliko se priblino promijeni vrijednost funkcije z ako se iz tocke T0(1; 1) na plohi pomaknemo u

T1(1:8; 0:4)?

(20 bodova)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x3 + y3 3xy + 2 .(20 bodova)

4. (a) [10b] IzracunajteZ 10

0BBBB@Z py1=2

(2x + y) dx1CCCCA dy.


5. Za integralZZ



x

y

-1 0

2

y=2x-

2

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa




































x

y

0 2

P

3

xy =

yyx 422

=+

422

=+ yx

4

2

Slika 1 Slika 2


(P)

1px2 + y2

dP po podrucju P na Slici 2 gore desno u

polarnom sustavu.(b) [5b] Izracunajte taj integral.

(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(Zavrni zadaci)

1. Zadan je red potencija1Xn=1

n2

2n 1 xn

(a) napiite prva tri clana reda;(b) izracunajte radijus konvergencije reda.

(25 bodova)

2. Izracunajte povrinu osjencanog lika na slici

y = 1 + x2

y = ex

1

1

1

1

(25 bodova)

3. Nadite partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe yy0 x = 0 koje prolazi tockom (2;1).

( 25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadba drugog reda 9 y00 6 y0 + y = 1 + 2 sin x3.

(a) [5b] rijeite pridruenu homogenu diferencijalnu jednadbu;(b) [10b] napiite oblik partikularnog rjeenja;(c) [10b] odredite opce rjeenje.

(25 bodova)

Formule


V =Z ba

P(x) dx


x =

R ba x dPR ba dP

=


y =

R dc y dPR dc dP

=





C MATEMATIKA 2(21.05.2011., treci kolokvij)

1. Zadana je z = yx3 cos 2y.

(a) Kojom se brzinom mijenja z u smjeru y-osi?

(b) Koliko iznosi brzina iz a) u tocki T (1; 0)?

(c) Izracunajte zxy u T (1; 0).

(15 bodova)

2. Koristeci se prvim diferencijalom odgovarajuce funkcije dvije varijable priblino izracunajtep1:1 + ln 0:99.

(20 bodova)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x3 y3 + 3xy 5 .(20 bodova)


0BBBBB@Zpx

1=2(x + 4y) dy

1CCCCCA dx.(b) [5b] Skicirajte podrucje integracije.

(15 bodova)

5. Za integralZZ



x

y

1

0 2y= x/2-1

-

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa














x

y

1

02 4

P

3

xy =

xy =

xyx 222

=+

xyx 422

=+

Slika 1 Slika 2


(P)

1xdP po podrucju P na Slici 2 gore desno u polarnom

sustavu.(b) [5b] Izracunajte taj integral.

(20 bodova)

C MATEMATIKA 2(Zavrni zadaci)

1. Zadan je red potencija1Xn=1

n2n2 1 x

n

(a) napiite prva tri clana reda;(b) izracunajte radijus konvergencije reda.

(25 bodova)

2. Izracunajte povrinu osjencanog lika na slici

2 3

y = ln x

y = ex

(25 bodova)

3. Nadite partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe xy0 + y = 0 koje prolazi tockom (1; 2).

( 25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadba drugog reda y00 + y = x 5 e2x .(a) [5b] rijeite pridruenu homogenu diferencijalnu jednadbu;(b) [10b] napiite oblik partikularnog rjeenja;(c) [10b] odredite opce rjeenje.

(25 bodova)

Formule


V =Z ba

P(x) dx


x =

R ba x dPR ba dP

=


y =

R dc y dPR dc dP

=





D MATEMATIKA 2(21.05.2011., treci kolokvij)

1. Zadana je z = xpy sin 2x.

(a) Kojom se brzinom mijenja z u smjeru x-osi?

(b) Koliko iznosi brzina iz a) u tocki T (0; 1)?

(c) Izracunajte zxy u T (0; 1).

(15 bodova)

2. Koristeci se prvim diferencijalom odgovarajuce funkcije dvije varijable priblino izracunajte ln (0:01 + p1:1).

(20 bodova)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x3 + y3 + 3xy 6 .(20 bodova)


Z y1=y

(2xy + 1) dx!dy.


5. Za integralZZ



x

y

-1

0-2

y= x/2+1-

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaa

x

y

1

0

2

4

xy =

xy 3=

yyx 422

=+

yyx 222

=+

P

Slika 1 Slika 2


(P)

1ydP po podrucju P na Slici 2 gore desno u polarnom

sustavu.(b) [5b] Izracunajte taj integral.

(20 bodova)

D MATEMATIKA 2(Zavrni zadaci)

1. Zadan je red potencija

1 x5+

x2

2 52 x3

3 53 +x4

4 54 x5

5 55 + : : :(a) napiite opci clan reda;(b) izracunajte radijus konvergencije reda.

(25 bodova)

2. Izracunajte teite osjencanog lika na slici

1

1

y = x2

(25 bodova)

3. Nadite partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe xy0 y = 0 koje prolazi tockom (2; 1).( 25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadba drugog reda y00 + 9 y = 9 x2 + 11 .

(a) [5b] rijeite pridruenu homogenu diferencijalnu jednadbu;(b) [10b] napiite oblik partikularnog rjeenja;(c) [10b] odredite opce rjeenje.

(25 bodova)

Formule


V =Z ba

P(x) dx


x =

R ba x dPR ba dP

=


y =

R dc y dPR dc dP

=


Homogena jednadzba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y00 + b y0 + c y = 0

Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadzbe, onda je oblik opceg rjesenja:yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,



mat2 kol3 main 2011

Documents