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Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre 2009
Hoja de Trabajo “Continuidad"
Indique si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican.
1. f (x) =
x2 + x si x ≤ 1
2x si x > 1;para x0 = 1
2. g(x) =
2x − 4 si x < 1
1 si x ≥ 1;para x0 = 1
3. g(x) =
x2 − 16
x − 4si x = 4
8 si x = 4;para x0 = 4
Analice la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Señale si es discontinuareparable y cuál es su reparación.
4. f (x) =x2
− 4x − 2 para x0 = 2
5. g(x) =x2 − 3x
x − 3para x0 = 3
6. f (x) =x2 − 25
x2 − 7x + 10para x0 = 5
7. f (x) =x2 + x − 6
x2 − 6x + 9para x0 = 2
8. La función y está definida de la siguiente manera:
y = 0 si x < 0;
y = x si 0 ≤ x < 1;y = −x2 + 4x − 2 si 1 ≤ x < 3;y = 4 − x si x ≥ 3.
¿Es esta función continua?
9. Sea f (x) =
x + 1 si x ≤ 1
3 − ax2 si x > 1;¿Para que valores de a la función f (x) es continua?
10. Sea f (x) =
− sen(x) si x ≤ −π
2;
A sen(x + B) si −π
2≤ x ≤ −π
2;
cos(x) si x ≥ π
2.
Determine los números A y B de modo que la
función f (x) sea continua. Grafíquela.
11. Determine los puntos en donde las funciones y =1
x − 2e y =
1
(x + 2)2son discontinuas. Grafique
ambas funciones. Determine las diferencia en el comportamiento de las funciones cerca de los puntosde discontinuidad.
12. La funciónx2 − 1
x3 − 1no está definida para x = 1. ¿Cuál debe ser el valor de f (1) de modo que la función
se extienda continuamente a x = 1?
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13. ¿Qué clase de discontinuidad tienen las funciones y =sen(x)
xe y =
cos(x)
xcuando x = 0? Indique las
características de los gráficos de estas funciones en una vecindad de el punto x = 0.
14. Estudie la continuidad de la función y =|x|x
, en los siguientes casos: para x = 0, para x = 0. Esboce
el gráfico de esta función.
15. Sea
f (x) =
x x ∈ R−Q
1 − x x ∈ Q
Demuestre que f es continua en x =1
2y discontinua en todos los demas puntos.
16. Sea
f (x) =
x sen
1
x
x = 0
0 x = 0
Probar que f es continua en 0.
17. Sea h(x) = sen
1
x
, x = 0. Demuestre que no importa como se intente definir h en 0, siempre sera
discontinua en 0.
18. Sea
f (x) =
2x + 1
3x − 1si x < b
1
(x − 1)2si x ≥ b
Determine el (los) valor(es) de b en R, tal que f sea continua en b.
19. Determine condiciones sobre a y b en R para que
f (x) =
a(x3 − x)
3(x − 1)si x < 1
2ax + b si 1 ≤ x ≤ 4
x2 − 16
x − 4si 4 < x
sea continua en R
20. Sea f (x) =x3/2 +
√x − x − 1
√x − 1¿Que tipo de discontinuidad hay en x = 1?
21. Sea
f (x) =1 − sen2
x
2
π − x
¿Se puede definir f (π) de modo que f sea continua en todo R.
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22. Considerar la función
f (x) =
8 − x3
x2 − 2xx < 2
2x x > 2
Clasificar las discontinuidades de f .
23. Determinar A y B tal que
f (x) =
A cos(3πx) − Bx x ≤ 1
3
x − 1
33x − 1
1
3< x ≤ 6
3Ax2 + 6Bx − 5 x > 6
sea continua en todo R
24. Para cada función que sigue, el dominio es R salvo un número fínito de puntos. Examinar en cada unode los puntos en que la función no esta definida y determinar si es posible definir la función en esospuntos, de modo que sea continua en él.
(a) f (x) =x
x − 2(b) g(x) =
x2 − 1
x3 − 1
(c) h(x) =sen2x
x − x2d) f (x) =
3√
1 + x − 1
x
25. Sea f : I → R continua, I es un intervalo en R. Probar que f (I ) es un intervalo.
26. Suponer que f y g son continuas en x0 y que f (x0) < g (x0) entonces existe un intervalo I , con centroen x0 tal que ∀x ∈ I ; f (x) ≤ g(x).
27. Sea g : R −→ R tal que g(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. Probar que si g es continua en x = 0, entoncesg es continua en todo punto. Además si g(a) = 0, para algún a ∈ R, entonces g(x) = 0, ∀x ∈ R.
28. Una función f : R −→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R, se cumple que f (x + y) = f (x) + f (y).
a ) Probar que una función aditiva que es continua en x = 0, es continua en todo R
b) Probar que una función aditiva monotona es continua en todo R
29. Sean f y g continuas en un punto a ∈ R. Sean h(x) = sup{f (x), g(x)} y k(x) = ınf {f (x), g(x)}.Demostrar que h y k son continuas en a.
(Sugerencia: sup{b, c} = 12(b + c + |b − c|) e ınf {b, c} = 1
2(b + c − |b − c|)).
30. Probar que no existe una función continua f : R
→R tal que f −1(y) tenga exactamente dos elementos,
∀y ∈ R.
31. Probar que toda función racional (cuociente de dos funciones polinomiales) es continua en todo sudominio.
32. Sean f y g funciones continuas en R. Probar que:
f (x) = g(x) ∀x ∈ Q ⇐⇒ f (x) = g(x) ∀x ∈ R
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33. Encontrar una función que sea continua en un número finito de puntos dados y en todos los demás seadiscontinua.
34. Analice la continuidad de las siguientes funciones y grafiquelas
a ) f (x) = [x] +
x − [x]
b) f (x) = sen(x)| sen(x)|c ) f (x) = (−1)[1/x]
d ) f (x) = lımn→∞
1
1 + xncon x ∈ R
35. Estudie la continuidad de la siguiente función
f (x) =
8x , x ≤ 0x3 , 0 < x ≤ 1−2x + 4 , 1 < x ≤ 3x2 − 11 , 3 < x
36. Sea
f (x) =
mx + 2(1 − x) , x ≥ 2
ax2 − b , x < 2
¿Que condiciones tienen que satisfacer los parámetros m,a,b para que la función sea continua?
37. Calcule a y b para que la función
f (x) =
x2
√1 + x2 − 1
, x < 0
ax + b , 0 ≤ x ≤ 2
x − √x + 2√4x + 1 − 3
, 2 < x
sea continua.
38. Sea f : R → R definida por
f (x) =
x , x ∈ Q
−x , x ∈ R−QPruebe que f es continua solo en x = 0.
39. Sean f, g : [0, 1] → R funciones continuas. Si f (1) = g(0) pruebe que la función h : [0, 1] → R definidapor
h(x) =
f (2x) , 0 ≤ x ≤
12
g(2x − 1) , 12
≤ x ≤ 1
es continua.
40. Sea f : R → R una función que satisface |f (x)| ≤ |x| para cada x ∈ R. Demuestre que f es continuaen 0.
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41. Sea g una función continua en 0 con g(0) = 0 y |f (x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ R. Pruebe que f es continua en0.
42. Dé un ejemplo de una función f discontinua en todo su dominio, pero que |f | sea continua.
43. Demuestre que si f : [a, b] → R es una función continua, entonces existe una función g : R → R
continua tal que g(x) = f (x) ,
∀x
∈[a, b]. Dé un ejemplo que muestre que la afirmación es falsa si
reemplazamos [a, b] por (a, b).
44. Sea p : R → R un polinomio de grado par, cuyo coeficiente líder es positivo. Pruebe que el polinomiotiene un mínimo x0 ∈ R. Si p(x0) < 0, muestre que p tiene por lo menos 2 raices reales.
45. Si f y g son funciones continuas con f (3) = 5 y lımx→3
(2f (x) − g(x)) = 4. Calcule g(3).
46. Pruebe que existe x ∈ [0, π] tal quesen(x) = x − 1
47. Iniciando a las 4 am, un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña llegando almediodía. Al día siguiente, él regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 am, y llegando alpie de la montaña a las 11 am. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba
lña misma hora en ambos días.
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