mat021-apunte derivada ayud mauricio godoy

8/2/2019 Mat021-Apunte Derivada Ayud Mauricio Godoy

http://slidepdf.com/reader/full/mat021-apunte-derivada-ayud-mauricio-godoy 1/13

Derivadas ...ehhh ...¡¡QUE!!

Mauricio Godoy Molina

Resumen

El ob jetivo fundamental de este apunte es comprender que es la derivada desde un punto devista mas constructivo que geometrico, es decir, no como una extension de ideas de la f ısica (talescomo la busqueda del vector velocidad o la rapidez instantanea de cambio) o de la geometrıa(busqueda de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado), sino como unobjeto matematico abstracto con aplicaciones inmediatas a la ingenierıa.

1. Algunas Definiciones Basicas

Tal como se establece en el resumen, la motivacion de este apunte es enfocar y construir la derivadadesde una perspectiva ingenieril, esto es, tratando de responder una pregunta bastante usual entrelos “ingenieros buenos”(es decir, aquellos que se dedican a resolver problemas que nadie ha resueltoy no a reemplazar numeritos en las formulas de otros):

Dada una funcion f : Domf ⊆ R → R, ¿cual sera la mejor aproximacion

de ella en un punto x0 ∈ int(Domf ) que sea suficientemente sencilla?

¿existe? ¿que forma puede tener? ¿sera unica?

Importante es destacar que en la pregunta se hace uso del siguiente concepto no definido anteriormente

Definicion 1.1 (Interior de un conjunto) Diremos que dado un conjunto A ⊂ R, A = ∅, su interior (denotado por int(A)) corresponde a todos aquellos puntos x ∈ A (llamados puntos interiores)tales que si consideramos el conjunto B0(x, δ) = {y ∈ A : |y−x| < δ} (o sea, el intervalo ]x−δ, x+δ[,llamado bola abierta de centro x y radio δ) se tiene que:

(∃δ > 0)(B0(x, δ) ⊆ A)

Ejemplos.-

1. El interior del conjunto [0, 1] es el intervalo ]0, 1[, pues si consideramos cualquier punto x0 ∈]0, 1[,por densidad siempre existe un valor δ > 0 tal que x0 + δ < 1 y x0 − δ < 0, por ejemplo, bastatomar δ < mın{x0, x0 + 1}. Observemos que el punto x0 = 0 no puede ser un punto interior,pues dado cualquier intervalo centrado en 0 y con un radio δ > 0, siempre van a quedar puntosque no pertenecen al conjunto [0, 1]. Si A = ∅, los puntos de A \ ∂A son conocidos como puntos frontera (la frontera de un conjunto A suele denotarse por ∂A), en este caso, ∂ [0, 1] = {0, 1}.

2. Siguiendo el mismo razonamiento del ejemplo anterior, se tiene que el interior del conjunto]−3, −1[∪[0, 3]∪ [4, 5[ es el conjunto ]−3, −1[∪]0, 3[∪]4, 5[. Claramente se tiene que int(R) = R,pues cualquier punto x ∈ R es centro de algun intervalo real (este hecho se desprende de laclausura de los numeros reales, es decir, que la suma y la resta de numeros reales es de nuevo un

numero real). Claramente la frontera del conjunto ] − 3, −1[∪[0, 3] ∪ [4, 5[ es {−3, −1, 0, 3, 4, 5},verifıquelo. Asimismo, se tiene que ∂ R = ∅.

1



3. Un ejemplo de interior en mas dimensiones es que si tomamos la bola cerrada de centro en(x1, y1, z1) y con radio δ

B((x1, y1, z1), δ) = {(x2, y2, z2) ∈ R3 : (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 ≤ δ2}

es decir, el conjunto de todos los puntos situados a una distancia de a lo mas δ del punto(x1, y1, z1), su interior es el conjunto

B0((x1, y1), δ) = {(x2, y2, z2) ∈ R3 : (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 < δ2}

esto es, como el espacio que ocupan las celdillas en una naranja esferica con una piel delgadısima(mas aun, el espesor de la piel tiende a cero). Mas aun, se tiene que

∂ B((x1, y1, z1), δ) = ∂B0((x1, y1, z1), δ) =

={

(x2, y

2, z

2)∈R3 : (x

1 −x2)2 + (y

1 −y2)2 + (z

1 −z2)2 = δ2

}= S ((x

1, y

1, z

1), δ)

es decir, exactamente la cascara de espesor infinitesimal de la naranja. Este conjunto es conocidocomo esfera de radio δ y centro (x1, y1, z1).

Volviendo al tema, creo que a muchos debe parecerles evidente que las funciones m as sencillasque se pueden considerar son las rectas (puedo estar equivocado, pero si no son las mas simples, almenos son extremadamente simples). Es por esto que surge la siguiente pregunta en forma natural

¿Sera posible encontrar una recta que aproxime a

f : Domf ⊆ R → R en x0 ∈ int(Domf )?

Observacion: Esta idea se puede extender a otros tipos de curvas, no necesariamente rectas. Porejemplo, es de suma importancia en la ingenierıa el concepto de radio de curvatura, idea que surgeal aproximar una funcion en torno a un punto por medio de un arco de circunferencia (a modo decomentario, en el diseno de carreteras el peralte en una curva, o inclinaci on del plano del camino,depende inversamente del radio de curvatura que esta posee).

Supongamos que dicha recta existe, entonces deberıa ser bastante claro que se debe tener lasiguiente ecuacion:

y = f (x0) + m(x − x0)

donde debemos determinar m ∈ R. Claramente ocurre que

lımx→x0

|f (x) − (f (x0) + m(x − x0))| = 0

pues la idea es que la recta pase por el punto (x0, f (x0)), pero esto no significa en lo absoluto quedicha recta aproxime (es decir, tenga un comortamiento similar) a f en x0. Para mejorar este hecho,tenemos la siguiente

Definicion 1.2 Dos funciones f, g : A ⊂ R → R (donde x0 ∈ int(A)) continuas en x0 se dicen tangentes si y s´ olo si

lımx→x0

f (x) − g(x)

x − x0

2



Observaciones:

1. La definicion anterior coincide con la idea intuitiva de tangencia, esto es, dos funciones quecoinciden en un punto y que se comportan de manera similar en un entorno de el. En seguidase daran algunos ejemplos de este hecho.

2. La relacion anterior (dada en la definicion) es una relacion de equivalencia, es decir:

a ) f es tangente a sı misma en x0.

b) Si f es tangente a g en x0, g es tangente a f en x0.

c) Si f es tangente a g en x0 y g es tangente a h en x0, entonces f es tangente a h en x0.

Demostracion.-

a ) Trivial.

b) Trivial.

c) Basta sumar cero apropiadamente en la definicion de tangencia entre f y h en x0, es decir:

lımx→x0

f (x) − h(x)

x − x0

= lımx→x0

f (x) − g(x) + g(x) − h(x)

x − x0

= lımx→x0

f (x) − g(x)

x − x0

+ lımx→x0

g(x) − h(x)

x − x0

= 0

3. Para que el lımite de la definicion exista es necesario (pero no suficiente) que f (x0) = g(x0)dada la continuidad de ambas funciones en el punto x0 ∈ A.

Ejemplos.- En esta tanda de ejemplos, es altamente recomendable que grafiquen para mejorarel sentido intuitivo de las ideas que se han tratado

1. La definicion de tangencia evita ciertos casos patologicos a traves del requerimiento de con-tinuidad, a modo de ejemplo de estos casos, una funci on puede tener una tangente en un puntoque es discontinua en ese punto, este es el caso de las funciones

f (x) = x2 + 1 y g(x) =

1 si x = 00 si x = 0

2. La funcion f (x) = x2 es tangente a la funcion g(x) = 10x − 25 en el punto x = 5, a saber:

lımx→5

x2 − 10x + 25

x − 5= lım

x→5

(x − 5)2

x − 5= lım

x→5(x − 5) = 0

3. Las funciones

ϕ(x) =√

25 − x2 y ψ(x) = x3 − 6x2 +33

4x +

25

4son tangentes en x = 3. Verificar.

Ya comprendido el interesante fenomeno de la tangencia, podemos replantearnos la pregunta inicial(o la segunda reescritura) y tratar de encontrar una recta tangente a la funci on f en el punto x0

(desde ahora en adelante, y salvo que se necesite, ya no se dira que x0 ∈ int(Domf )), es decir,encontrar la pendiente m de la recta y = f (x0) + m(x−x0) de tal suerte que cumpla el requerimientoinicial, esto es:

lımx→x0

f (x) − f (x0) − m(x − x0)x − x0

= 0 ⇐⇒ m = lımx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

3



Definicion 1.3 (Derivada) Diremos que la derivada de una funci´ on f en el punto x0 (denotada por f (x0)) es el valor del lımite

lımx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

cuando este existe. Si la funci´ on f tiene derivada f (x0) en x0, diremos que f es diferenciable en x0.La recta y = f (x0) + f (x0)(x − x0) se conoce como la recta tangente a la funci´ on f en el punto x0.

Teorema 1.1 (Unicidad) Si la derivada de f en x0 existe, entonces esta es ´ unica.

Demostracion 1.1 Supongamos que f (x0) y f (x0) son derivadas de f en x0, entonces se tiene que

y = f (x0) + f (x0)(x − x0) y y = f (x0) + f (x0)(x − x0) son tangentes a la funcion f en x0, pero porser relacion de equivalencia se tiene que ambas rectas deben ser tangentes entre sı, es decir

0 = lımx→x0

f (x0) +

f (x0)(x − x0) − (f (x0) +

f (x0)(x − x0))

x − x0

= lımx→x0

f (x0)(x − x0) −f (x0)(x − x0)

x − x0

=⇒ f (x0) − f (x0) = 0 ⇐⇒ f (x0) = f (x0)

2. Teoremas Importantes y Calculos Idiotas: Formulas detipo Schaum

Hagamos esto por tramos, es decir, partamos con la primera parte del tıtulo y luego nos vamosa la segunda.

2.1. Teoremas Importantes

Teorema 2.1 (Linealidad de la Derivada) Sean f y g dos funciones diferenciables en x0. Con-sideremos, adem´ as constantes α, β ∈ R, entonces la funci´ on (αf + βg)(x) es diferenciable y se tieneque

(αf + βg)(x0) = αf (x0) + βg (x0)

Demostracion 2.1 Solo basta considerar la definicion de derivada, a saber

(αf +βg)(x0) = lımx→x0

αf (x) + βg(x) − αf (x0) − βg(x0)

x − x0

= lımx→x0

α(f (x) − f (x0))

x − x0

+β (g(x) − g(x0))

x − x0

=

= α lımx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0+ β lım

x→x0

g(x) − g(x0)

x − x0= αf (x0) + βg (x0)

Teorema 2.2 (Derivadas del Producto y del Cuociente) Sean f y g dos funciones diferencia-bles en x0 ( g = 0, para todo x suficientemente cerca de x0), entonces se tiene que el producto (f g)(x)

y el cuocientef g

(x) son funciones diferenciables y, m´ as a´ un

(f g)(x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g(x0) y

f

g

(x0) =f (x0)g(x0) − f (x0)g(x0)

[g(x0)]2

4



Demostracion 2.2 Usando la definicion de derivada se tiene que

(f g)(x0) = lımx→x0

f (x)g(x) − f (x0)g(x0)

x − x0= lım

x→x0

f (x)g(x) − f (x0)g(x) + f (x0)g(x) − f (x0)g(x0)

x − x0=

= lımx→x0

g(x)f (x) − f (x0)x − x0

+ lımx→x0

f (x0)g(x) − g(x0)x − x0

= f (x0)g(x0) + f (x0)g(x0)

Para el caso del cuociente, es claro que solo se necesita la derivada de la funcion 1g(x)

, esto es:

lımx→x0

1g(x)

− 1g(x0)

x − x0= lım

x→x0

−1

g(x)g(x0)

g(x) − g(x0)

x − x0= − g(x0)

(g(x0))2

Teorema 2.3 (Regla de la Cadena) Si g es diferenciable en x0 y f es diferenciable en y0 = g(x0),entonces la funci´ on (f ◦ g)(x) es diferenciable en x0 y, m´ as a´ un

(f ◦ g)(x0) = f (g(x0))g(x0)

Demostracion 2.3 Si bien hay otras demostraciones bastante mas elegantes de la regla de la cadena,la que se desarrolla es suficiente

lımx→x0

f (g(x)) − f (g(x0))

x − x0

= lımx→x0

f (g(x)) − f (g(x0))

g(x) − g(x0)

g(x) − g(x0)

x − x0

= f (g(x0))g(x0)

Una demostracion mucho mas acabada que esta aparece en el libro clasico Calculus, Volumen 1,de Tom M. Apostol.

Teorema 2.4 Supongamos f diferenciable e invertible en una vecindad de x0, entonces se tiene que

(f −1)(x0) =1

f (f −1(x0))

Demostracion 2.4 Cae de cajon a partir de la Regla de la Cadena, pues si f −1 es la inversa de f en un dominio, entonces

(f (f −1))(x0) = 1 = f (f −1(x0))(f −1)(x0) =⇒ (f −1)(x0) =1

f (f −1(x0))

Teorema 2.5 (del Extremo Relativo) Supongamos f diferenciable en x0. Si f tiene un extremo

en x0 se tiene, necesariamente, que f (x0) = 0.

Demostracion 2.5 Analicemos el caso para un mınimo relativo, el caso para un maximo es analogo.Por efectos de continuidad de la derivada se tiene que las derivadas laterales en x0 existen y son igualesa la derivada en x0, es decir, si x esta en una vencidad suficientemente pequena de x0:

si x < x0 se tienef (x) − f (x0)

x − x0

≤ 0 ⇒ f (x−0 ) = lımx→x−

0

f (x) − f (x0)

x − x0

≤ 0

si x > x0 se tienef (x) − f (x0)

x

−x0

≥ 0 ⇒ f (x+0 ) = lım

x

→x+0

f (x) − f (x0)

x

−x0

≥ 0

Y dado que f (x0) = f (x−0 ) = f (x+0 ) necesariamente debe cumplirse que f (x0) = 0.

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Teorema 2.6 (de Rolle) Sea f una funci´ on f : I ⊂ R → R, donde I = [a, b], a < b es un intervalo cerrado y acotado, f es continua en I y diferenciable en ]a, b[. Si f (a) = f (b), entoncesexiste al menos un punto ξ ∈]a, b[ tal que f (ξ) = 0.

Demostracion 2.6 Consideremos como hipotesis el hecho de que la funcion f alcanza su maximoy su mınimo absolutos en I (resultado conocido como Teorema de Weierstrass).Si la funcion alcanza sus extremos en a o en b, necesariamente f es la funcion constante, por lo

tanto, para todo valor ξ ∈]a, b[ se cumple f (ξ) = 0.Si la funcion alcanza al menos uno de sus extremos en ]a, b[, digamos ξ, podemos aplicar el teorema

anterior y afirmar que f (ξ) = 0.

Teorema 2.7 (del Valor Medio de Lagrange) Sea f una funci´ on f : I ⊂ R → R, donde I =[a, b], a < b, es un intervalo cerrado y acotado, f es continua en I y diferenciable en ]a, b[; entoncesexiste un punto ξ ∈]a, b[ tal que

f (b)

−f (a) = f (ξ)(b

−a)

Demostracion 2.7 Consideremos la funcion ϕ : I → R, ϕ(x) = f (x)+mx donde elegiremos m ∈ Rde tal forma que ϕ(a) = ϕ(b),es decir, considerando

f (a) + ma = f (b) + mb ⇒ m = −f (b) − f (a)

b − a

Ahora, es claro que ϕ cumple las hipotesis del Teorema de Rolle, por lo tanto, existe un valor ξ ∈]a, b[tal que:

f (ξ) + m = 0 es decir f (ξ) =f (b) − f (a)

b

−a

que es, evidentemente equivalente a la proposicion del teorema.

Teorema 2.8 (Caracterizacion de las Funciones Constantes) Una funci´ on f : I ⊆ R → R,con I abierto, es constante en I si y s´ olo si es derivable y su derivada es nula para todo x ∈ I .

Demostracion 2.8 Apliquemos la definicion de derivada a la funcion f (x) = k ∈ R en un puntoarbitrario x0 ∈ I :

f (x0) = lımx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lım

x→x0

k − k

x − x0= 0

Analogamente, suponiendo que f (x) = 0 para todo x ∈ I , y dado que la funcion f esta bajo las

hipotesis del Teorema del Valor Medio de Lagrange en cualquier intervalo de la forma [x1, x2] ⊂ I ,se tiene que:

f (x2) − f (x1) = f (ξ)(x2 − x1) = 0(x2 − x1) = 0

es decir, f (x1) = f (x2) para todo par de puntos en I , es decir, f es constante.

2.2. Formulitas tipo Schaum

1. (xn) = nxn−1 donde n ∈ N. Este hecho se deduce de inmediato a partir de la suma geometrica(1◦ certamen, ¿se acuerdan?), esto es:

lımx→x0

xn

− xn

0x − x0

= lımx→x0

(x − x0)(xn−1

+ xn−2

x0 + · · · + xxn−2

0 + xn−1

0 )x − x0

= nxn−10

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2. (x1/n) = 1n

x1/n−1 donde n ∈ N. Nuevamente debemos ocupar la suma geometrica para tratarde cancelar los exponentes fraccionarios, esto es:

lımx→x0

x1/n − x1/n0

x − x0

= lımx→x0

x − x0

(x − x0)(x1−1/n + x1−2/nx1/n0 + · · · + x1/nx

1−2/n

0 + x1−1/n

0 )

=

lımx→x0

1

x1−1/n + x1−2/nx1/n0 + · · · + x1/nx

1−2/n0 + x

1−1/n0

=1

nx1/n−1

3. Usando los dos resultados anteriores, y por argumentos de densidad, se tiene que (xm) = mxm−1

para todo m ∈ R.

4. (sin x) = cos x, (sec x) = sec x tan x, (tan x) = sec2 x, formulas equivalentes se obtienenrepitiendo los argumentos:

sin x0 = lımx→x0

sin x − sin x0x − x0

= lımx→x0

2sin x−x02

cos x+x0

2x − x0

= lımx→x0

sin x−x02x−x0

2cos x + x0

2 = cos x0

(sec x) =

1

cos(x)

=

sin x

cos2 x= sec x tan x

(tan x) =

sin x

cos x

=

cos2 x + sin2 x

cos2 x= sec2 x

5. (ln x) = 1x

, este bello resultado se deduce de la definicion de derivada y de la definicion delnumero e:

(ln x) = lımh→0

ln(x + h) − ln h

h= lım

h→0

1

x

x

hln

1 +h

x

=

1

xlımh→0

ln

1 +h

x

x/h

=1

xln e =

1

x

6. A partir del resultado anterior y usando la derivacion para funciones inversas se tiene que(ex) = ex.

7. (arc sen x) = 1√1−x2 , (arctan x) = 1

x2+1, formulas similares se deducen repitiendo los argumen-

tos:

(arc sen x) =1

cos(arc sen x)=

1

1 − sin2(arc sen x)

=1√

1 − x2

(arctan x) = 1sec2(arctan x)

= 1tan2(arctan x) + 1

= 1x2 + 1

8. Usando la regla de la cadena se tiene de inmediato que (ax) = ax ln a y (loga x) = 1x

loga e.

9. Haciendo uso de la derivada de la exponencial se tiene que (sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x,(tanh x) = sech2x.

10. Recordando que cosh2 x − sinh2 x = 1, se tiene por analogıa con las funciones trigonometricasque (sinh−1 x) = 1√

1+x2, (cosh−1 x) = 1√

x2−1 (recuerdese que el recorrido de cosh x es [1, ∞],por lo tanto, la definicion anterior no tiene ningun inconveniente algebraico; de mas esta decir

que la derivada del cosh x tiene sentido en una de las ramas de la funci on, pues esta no esinyectiva).

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3. Implıcitas, Parametricas . . . What the Heck!

Veamos algunos de los temas que mas suelen complicar a los alumnos de MAT-021, debido a quenunca comprenden bien los conceptos que encierran

3.1. Derivacion Implıcita

Definicion 3.1 Diremos que una ecuaci on de la forma f (x, y) = 0 (con f diferenciable) sobredominios apropiados para las variables x e y define implıcitamente a y como funci´ on de x en el punto (x0, y0) si es posible despejar la derivada dy

dxaplicando la regla de la cadena en la ecuaci´ on

original.

Observacion: Para tener una definicion un poco mas formal de este hecho (ası como ciertaspropiedades asociadas a las funciones implıcitas) tendran que esperar hasta MAT-023.

En lo que se basa este metodo de derivacion es en el hecho que muchas veces podemos pensar unaexpresion de la forma y2 o cos y como una composicion de las funciones cuadratica o coseno con unafuncion desconocida y(x), de la cual necesitamos saber su derivada respecto de x. Para hecer esto seusa la Regla de la Cadena, obteniendo, por ejemplo, en el primer caso ((y(x))2) = 2(y(x))y(x) = 2yy

y en el segundo caso (cos(y(x))) = − sin(y(x))y = −y sin y.

Ejemplo: Hallar el lugar geometrico de todos los puntos pertenecientes a la curva

R = {(x, y) ∈ R2 : x2y − xy2 + 3x − 2y = 0}

tales que la recta tangente en esos puntos sea paralela a la recta y = x+1/2. Derivando implıcitamente

se tiene que

2xy + x2y − y2 − 2xyy + 3 − 2y = 0 =⇒ y =y2 − 2xy − 3

x2 − 2xy − 2

Dado el planteamiento del problema, lo que debemos hallar es el lugar geometrico de todos lospuntos en los cuales la derivada vale 1 y, evidentemente, en los cuales la derivada pueda existir, estoes x2 − 2xy − 2 = 0, por lo tanto, se tiene que la solucion es

y2 − 2xy − 3

x2 − 2xy − 2= 1 =⇒ y2 − 2xy − 3 = x2 − 2xy − 2 =⇒ y2 − x2 = 1

∴

S = {(x, y) ∈R2

: x

2

− 2xy − 2 = 0 y y

2

− x

2

= 1}3.2. Derivacion de Parametricas

Es un problema bastante usual de las matematicas que a veces las ecuaciones que determinanuna curva (puede ser o no funcion) son en extremo complicadas, o bien, no lo son tanto, pero esmas facil expresarlas utilizando una variable auxiliar t que determina a cada coordenada de la curvacomo una funcion del parametro t.

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Ejemplo: Es bastante conocido el hecho que la circunferencia unitaria (es decir, la curva dadapor la ecuacion x2 + y2 = 1) tiene dos parametrizaciones diferentes, ellas son

x(t) = cos ty(t) = sin t

x(t) =

1 − t2

1 + t2

y(t) =2t

1 + t2

La gracia de este enfoque es que para derivar ciertas curvas (que no son funciones) se puedehacer uso de una adecuada representacion con ecuaciones parametricas, pues se tienen las siguientese importantes identidades, dado que x = x(t) y y = y(t):

dy

dx

=dy/dt

dx/dt

yd2y

dx2

=

d

dt

dy

dx

dxdt

Ejemplo: Usando derivacion parametrica, podemos obtener con relativa simpleza que si x2 +y2 = 1, entonces se tiene que y = −x

y. Verifiquemos este hecho haciendo uso de las dos parametriza-

ciones dadas de esta curva:x(t) = cos ty(t) = sin t

=⇒ dy

dx=

dy/dt

dx/dt=

cos t

− sin t= −x

y

x(t) =

1 − t2

1 + t2

y(t) =2t

1 + t2

=⇒ dydx

=

2(1 + t2)

−2t(2t)

(1 + t2)2

−2t(1 + t2) − 2t(1 − t2)

(1 + t2)2

= −1 − t2

2t= −x

y

4. Y . . . ¿esto sirve?

Pero obvio que sirve . . . las preguntas estupidas que se hacen algunas personas (probablementeestan mal enfocados; sugerencia: estudie filosofıa o psicologıa, ahı le ensenaran a ser cuerdo y reflexi-vo). Aca van tres aplicaciones clasicas al calculo diferencial de 1 variable. En todo caso, aplicacionesmas cuidadosas, acabadas e ingenieriles se veran en MAT-023 (aunque igualmente de manera bas-tante sencilla) en el topico de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y en MAT-270 en el an alisis deerrores y aproximaciones.

4.1. Maximos y Mınimos

Usando el Teorema 2.5 se deduce que lo unico que debemos hacer es plantear bien el problemadado, para despues derivar e igualar a cero, finalmente verificando si el valor obtenido correspondeefectivamente al extremo buscado.

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Ejemplo: Hallar dos numeros tales que su suma sea 120 y que el producto de uno de lossumandos con el cuadrado del otro sea maximo. Claramente la ecuacion que tenemos es x + y = 120y queremos minimizar la funcion f (x, y) = xy2, entonces debemos minimizar f (x) = x(120 − x)2.Derivando e igualando a cero se tiene que

f (x) = 3(−120 + x)(−40 + x) =⇒ [f (x) = 0 ⇐⇒ x = 120 ∨ x = 40]

Por la regla de signos nos damos cuenta que en x = 120 se tiene un mınimo de f y en x = 40 se tieneun maximo, por lo tanto la descomposicion buscada es 102 = 40 + 80.

4.2. Razon de Cambio

De lo unico que se trata este punto es de tener bien clara la pelıcula acerca de la derivacionimplıcita. En esencia son ejercicios de FIS-100, pero ahora resueltos con mucha mas simpleza yrapidez.

Ejemplo: Dos partıculas A y B, A sobre el eje y y B sobre el eje x, se encuetran unidas poruna barra recta rıgida de longitud L ubicada en el primer cuadrante (esto es, tanto A como B seencuentran en los semiejes positivos). Supongamos que A se acerca al origen a velocidad constante,¿B se mueve con velocidad constante? Obviamente la respuesta es NO, pues de lo contrario no lo

preguntarıan. Deduzcamoslo: sean V A =dy

dty V B =

dx

dtlas velocidades de las partıculas A y B.

Entonces, por el Teorema de Pitagoras se tiene que

x2 + y2 = L2 =⇒ 2xV B + 2yV A = 0 =⇒ V B = −y

xV A

Por lo tanto la velocidad de la partıcula B no es constante pues depende de los valores que toman xe y.

4.3. Grafica de Curvas

En estes apartado debemos tener presente 7 puntos esenciales para tener totalmente determinadala grafica de una curva:

1. Dominio y Recorrido (de ser posible).

2. Intersecciones con los ejes x e y.

3. Intervalos de monotonıa: Crecimiento y Decrecimiento.

4. Maximos y mınimos relativos (o locales).

5. Intervalos de concavidad y convexidad.

6. Puntos de Inflexion.

7. Determinacion de las asıntotas.

Para esto hay que tener presente que:

a) Una funcion es monotona creciente en un intervalo dado si y solo si su derivada es positiva enel intervalo. Evidentemente si la derivada en un intevalo es negativa, la funcion es decreciente.

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b) Los candidatos a maximos o mınimos son aquellos puntos donde la primera derivada se anu-la. Claramente no todos estos puntos son extremos relativos, pero de haberlos est an en esteconjunto.

c) Una funcion es convexa (concava hacia arriba) en un intervalo dado cuando su segunda derivadaes positiva en ese intervalo. Analogamente se tiene la concavidad de la funcion. Este hecho sedesprende de analizar el crecimiento o decrecimiento de la derivada.

d) Los candidatos a puntos de inflexion son aquellos puntos donde la segunda derivada se anula(por el teorema del valor intermedio). Claramente no todos estos puntos son de inflexion, perode haberlos estan en este conjunto.

Ejercicio: Verifique que la funcion dada por

f (x) = 1√2πσ e−

1

2 x − µ

σ 2

tiene un maximo absoluto en x = µ y dos puntos de inflexion en puntos equidistantes al maximo enσ (σ ∈ R+).

5. Ejercicios Varios: Varios Propuestos y Pocos Resueltos

1. Encuentre la derivada de la funcion

f (x) = arctan x−

c

1 + cxy deduzca, a partir de esto, que f (x) = arctan x − arctan c (para un valor de c apropiado).

Solucion.-

Ya vimos que la funcion arctan es diferenciable en todo el eje real y, dado que podemos excluirla posible indefinicion en x = −1/c, solo se debe derivar:

f (x) = arctanx + c

1 − cx

=1

1 + x+c1−cx2 ·

(1 − cx) + c(x + c)

(1 − cx)2=

=1 + c2

(1 − cx)2 + (x + c)2=

1 + c2

1 − 2cx + c2 + x2 + 2cx + c2=

=(1 + c2)

(1 + c2) + x2(1 + c2)=

1

1 + x2= (arctan(x)).

Luego, podemos deducir que f (x) = arctan(x) + C (C ∈ R). Evaluando en x = 0 se tiene quef (0) = arctan(c), por lo que se deduce que C = arctan(c) que es, precisamente, lo que se querıademostrar.

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2. Probar que para la circunferencia x2 + y2 = r2, r > 0, se tiene que

y

[1 + (y)2]3/2

=1

r

Solucion.-

Usando derivacion implıcita una vez se tiene que 2x + 2yy = 0 de lo cual se tiene la conocidaformula y = −x

y. Derivando implıcitamente por segunda vez se llega a 2 + 2(y)2 + 2yy = 0

con lo que se obtiene que y

[1 + (y)2]3/2

=

−r2y3

r2

y2

3/2 =

1

r

3. Haciendo x = sin t reescriba la ecuacion diferencial (1

−x2)y(x)

−xy+n2y(x) = 0 con y = y(t)

4. Demuestre usando induccion que si f (x) = e−1/x, entonces

f (n)(x) =e−1/x.

x2np(x)

donde p(x) ∈ Rn−1[x] y p(0) = 1

5. Hallar la altura del cilindro recto de volumen V maximo que puede ser inscrito en una esferade radio R.

6. Demuestre que la tangente del angulo de interseccion θ entre dos curvas en un punto comun

de ellas esta dado por

tan θ =m1 − m2

1 + m1m2o bien tan θ =

m2 − m1

1 + m1m2

Donde m1 es la pendiente de la primera de las curvas en el punto de intersecci on y m2 es lapendiente de la segunda curva en el punto de interseccion.

7. Localice los puntos en los cuales la recta tangente a la curvax(t) = t2 − 1y(t) = t3

−t

es horizontal y en donde es vertical. Ademas pruebe que en el punto donde la curva se corta ası misma las dos tangentes son perpendiculares entre sı.

Solucion.-

Sencillo, pues basta calcular la derivada de la curvita, a saber:

dy

dx=

3t2 − 1

2t

Entonces la tangente a la curva es horizontal cuando la derivada valga cero, es decir, en t = ±√33

y es vertical cuando se indefine, esto es en t = 0. La curva se intersecta a sı misma en t = 1

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y t = −1, entonces basta evaluar que pasa con la derivada en cada uno de esos valores delparametro, se tiene que

dy

dx

t=1

= 1 ydy

dx

t=−1

= −1

Por lo tanto, claramente la autointerseccion es en angulo recto.

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mat021-apunte derivada ayud mauricio godoy

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