m´aster en ingeniería de las estructuras, cimentaciones y materiales

MASTER EN INGENIERIA DE LASESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y

MATERIALESETSICCP UPM - CURSO 2012 2013

TRABAJO FIN DE MASTER

Estudio de la presion exterior crıtica de pandeo enblindajes de acero confinados

AUTOR: D. Lucas Rodrıguez VelascoTUTOR: D. Pablo de la Fuente Martın

Madrid - 16 de septiembre de 2013

ESTUDIO DE LA PRESION

EXTERIOR CRITICA DE PANDEO EN

BLINDAJES DE ACERO CONFINADOS

Lucas Rodrıguez Velasco

Septiembre, 2013

Indice de capıtulos

1. Introduccion 1

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Objeto y alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Estado del conocimiento 5

2.1. Introduccion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Expresiones analıticas de la presion crıtica de pandeo . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Aproximacion experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Aplicacion del MEFen la deduccion de la Presion Crıtica de Pandeo . . . . . 17

3. Hipotesis sobre comportamiento de los elementos 21

3.1. Blindaje de acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Interfase blindaje/hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Anillo de hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4. Macizo envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Modelizacion numerica del estudio 29

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Fase de Preproceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Fase de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4. Fase de Postproceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I

INDICE DE CAPITULOS II

5. Resultados obtenidos 48

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6. Conclusiones 62

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2. Futuras lıneas de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A. Propuesta de realizacion de Trabajo Fin de Master 65

B. Codigo APDL de ANSYS 67

B.1. Fichero 00 main.inp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.2. Fichero 01 para.inp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C. Codigo GNUPLOT para representacion de resultados 71

C.1. Obtencion de la curva P - u con GNUPLOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C.2. Obtencion de la curva P - t/D con GNUPLOT . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Indice de figuras

2.1. Fotografıas de pandeo segun un unico lobulo [12] . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Arco comprimido de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Definicion geometrica del pandeo de blindaje segun Jacobsen . . . . . . . . . 14

2.4. Esquema de blindaje de acero tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Esquema geometrico de blindaje tipo confinado propuesto por Vasilikis y

Karamanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1. Ley de tension - deformacion tıpica de metales . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1. Formacion de varios lobulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Areas que componen el modelo solido del estudio . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3. Elementos BEAM3 que modelan el blindaje de acero . . . . . . . . . . . . . 36

4.4. Elementos PLANE42 que modelan el anillo de hormigon . . . . . . . . . . . 37

4.5. Elementos PLANE42 que modelan el medio rocoso o inalterado . . . . . . . 38

4.6. Elementos TARGE169 y CONTA171 que modelan la interfase blindaje -

hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7. Condiciones de contorno aplicadas sobre el modelo de elementos finitos . . . 41

4.8. Presion constante mas gradiente de presion actuando sobre el blindaje . . . . 42

4.9. Presion constante mas gradiente de presion sobre el blindaje. Representacion

‘convencional‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.10. Parametros que intervienen en el patron de desplazamientos . . . . . . . . . 45

5.1. Curvas presion - desplazamiento bajo las condiciones de ‘calibracion‘ . . . . 51

III

INDICE DE FIGURAS IV

5.2. Abaco de Borot recogido por Toral (en [21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3. Curvas presion - desplazamiento de la referencia [24] . . . . . . . . . . . . . 53

5.4. Comparacion de resultados frente a modelos analıticos (‘calibracion‘) . . . . 54

5.5. Posicion deformada en clave de la tuberıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6. Modelo de irregularidad en clave y formacion del lobulo de pandeo . . . . . . 56

5.7. Presion externa frente a irregularidad normalizada en clave . . . . . . . . . . 57

5.8. Ratio Presion crıtica / Presion crıtica cilindro frente a irregularidad normal-

izada en clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.9. Curvas Presion - Desplazamiento para distintos confinamientos . . . . . . . . 60

Indice de tablas

3.1. Caracterısticas mecanicas del acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Caracterısticas geometricas de los blindajes estudiados . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Condicion de pandeo elastico para los blindajes estudiados . . . . . . . . . . 25

3.4. Caracterısticas del modelo elastico para el hormigon . . . . . . . . . . . . . 27

3.5. Caracterısticas del modelo elastico para el macizo envolvente . . . . . . . . . 28

V

Capıtulo 1

Introduccion

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

1.1. Motivacion

El Espacio Europeo de Educacion Superior (EEES) es un ambito de organizacion educati-

vo iniciado en 1999 con la Declaracion de Bolonia que quiere armonizar los distintos sistemas

educativos de la Union Europea y proporcionar una forma eficaz de intercambio entre todos

los estudiantes, ası como dotar de una dimension y de una agilidad sin precedentes al proceso

de cambio emprendido por las universidades europeas.

Uno de los pilares en los que se asienta esta reforma educativa es la implantacion de la

estructura grado/posgrado, es decir, la educacion superior se divide en dos ciclos, un grado de

orientacion generalista y un postgrado de orientacion especialista.

La Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (ETSICCP)

de la Universidad Politecnica de Madrid (UPM) comenzo en el curso 2010-2011 a impartir

titulaciones adaptadas al mencionado EEES, en concreto el programa de postgrado correspon-

diente al tıtulo de Master en Ingenierıa de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales. El

programa puede ser cursado desde una doble vertiente; la tecnologica dirigida principalmente

a alumnos que vayan a desarrollar las competencias adquiridas en el ambito de la empresa

privada; y la investigadora dirigida fundamentalmente a alumnos que deseen completar su

formacion de postgrado con unos estudios de doctorado.

En cualquiera de las lıneas ofertadas, el programa consta de 60 creditos ECTS, distribuidos

en 48 creditos de asignaturas afines al area de la ingenierıa estructural, y en 12 creditos mas

correspondientes al trabajo de fin de master, un trabajo de caracter personal y tutelado por uno

de los profesores del master.

Tras cubrir las primera etapa del programa, esto es, los 48 creditos ECTS correspondientes

a las asignaturas obligatorias y optativas, el autor aspira a obtener el tıtulo de master, y para

ello ha desarrollado el trabajo aquı presentado en colaboracion con el tutor del mismo D.

Pablo de la Fuente Martın.

El trabajo lleva por tıtulo ESTUDIO DE LA PRESION EXTERIOR CRITICA DE PANDEO

EN BLINDAJES DE ACERO CONFINADOS. La eleccion del tema ha sido consensuada entre

autor y tutor, y responde a un interes academico y profesional de ambos en este area.


1.2. Objeto y alcance

El trabajo desarrollado y aquı presentado trata de estudiar la carga crıtica exterior que

produce la abolladura de tuberıas de acero confinadas en hormigon, como consecuencia de una

presion externa provocada por la entrada de agua entre tuberıa y anillo exterior de hormigon,

por una presion no controlada en la inyeccion de junta entre tuberıa y hormigon, o por otra

causa.

Para ello se abordara un estudio parametrico en el cual intervendran el espesor de la tu-

berıa, el diametro de la misma, el lımite elastico del acero, el espesor del confinamiento de

hormigon, la posibilidad de que no haya un contacto directo entre acero y hormigon por una

irregularidad o defecto en la superficie del tubo, ası como cualquier otro parametro que du-

rante el desarrollo del trabajo se determine que influye en el fenomeno estudiado.

Con el estudio desarrollado se comprobaran y contrastaran los resultados que se derivan

de las expresiones analıticas y experimentales con las que se proyectan las conducciones y

que se encuentran en la bibliografıa especializada.

En el desarrollo del trabajo se comprobara que el fenomeno fısico que se pretende mode-

lar es extraordinariamente ‘no lineal’ y que son muchas las fuentes de ‘no linealidad’ que in-

fluyen. Se discernira cuales de estas pueden omitirse para facilitar el trabajo. Ademas, y aten-

diendo a la carga lectiva del TFM se pretende limitar el trabajo a un estudio 2D del fenomeno,

planteando una posible lınea de estudio la extension a 3D y la influencia de rigidizadores

longitudinales en este caso.

1.3. Metodologıa

Para realizar el trabajo propuesto se seguira la metodologıa resumida en los siguientes

puntos:

1. Revision bibliografica del fenomeno estudiado, con especial atencion a revistas cientıfi-

cas y especializadas.

2. Elaboracion de los modelos de elementos finitos.


3. Ajuste y ordenacion de la informacion generada en la etapa anterior. Se pretende calibrar

el modelo elaborado con las expresiones recogidas en la bibliografıa para poder ser

considerado punto de partida del trabajo. Se compararan los resultados con el abaco

de Borot, la expresion analıtica de Glock y los resultados de los modelos de elementos

finitos de Vasilikis y El-Sawy.

4. Estudio parametrico propiamente dicho, modificando las variables que se consideren y

comparando los resultados con las expresiones y resultados oportunos.

Como codigo de elementos finitos se empleara ANSYSv.11. Igualmente se hara uso de otras

herramientas de marcado caracter academico que mejoran mucho la calidad de la presentacion

de resultados, como son, hojas de calculo, software de calculo numerico Octave y GNUPLOT

para la elaboracion de graficas.

Capıtulo 2

Estado del conocimiento

5

CAPITULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 6

2.1. Introduccion historica

Tradicionalmente el termino blindaje se ha reservado a las tuberıas de acero que mate-

rializan las galerıas forzadas o galerıas de presion en obras de presas, en tuberıas de toma

y desague de fondo tambien en presas, o en otros elementos de conduccion. Son pues tıpi-

cas de presas o de otras obras hidraulicas y como caracterıstica comun poseen un importante

diametro, entre 4 y 5m y discurren enterradas, confinadas por tanto, con una importante mon-

tera, en el caso de las galerıas forzadas, o columna de agua en el caso de las tuberıas de fondo.

Como es sabido, en fase de servicio las conducciones transportan el fluido interior a una

presion determinada, esta presion interior da origen a tensiones circunferenciales de traccion

en el espesor de las tuberıas, tensiones que determinan el espesor de las mismas. Esta sim-

plificada hipotesis de diseno contrasta con otra que puede producir la inversion de esfuerzos

en el espesor de la tuberıa. La actuacion de una presion exterior sobre la superficie del tubo

provocarıa que la seccion de este debiera ser dimensionada para resistir tensiones circunfer-

enciales de compresion. Cuando aparecen tensiones de compresion sobre una seccion esbelta

como la de los blindajes de acero el resultado puede ser el pandeo o abolladura de la seccion.

Tanto para una galerıa forzada como para una tuberıa de toma y desague la presion exterior

a la que pueden estar sometidas es muy importante. Pensemos que para el caso de tuberıas de

fondo de una presa la presion exterior puede considerarse igual a la ley de subpresiones con las

que se dimensiona la presa, esto es, la capacidad maxima de embalse en el paramento mojado

de la presa. En el caso de galerıas forzadas deberıa considerarse la presion exterior debida

a la capa freatica de la montana, que conservadoramente puede admitirse como la maxima

cobertura rocosa o montera sobre la tuberıa. En ambos casos, la actuacion de una presion

externa debida a la presencia de agua proviene de la fractura del hormigon. El hormigon, o

morteros de recubrimiento, no son materiales impermeables de por sı. Estos materiales son de

naturaleza porosa ademas de su tendencia a fisurarse, lo que asegura vıas de filtracion para el

agua que circunda el medio donde se enclavan las tuberıas.

La presencia de agua y la presion exterior a la que esta somete al blindaje puede verse mul-

tiplicada por una succion o presion negativa interior en la propia tuberıa como consecuencia

de una descarga rapida de la misma.


Pero no unicamente el agua puede ser el agente generador de presiones externas sobre

tuberıas enterradas. En fase de construccion pueden advertirse tambien situaciones de presion

exterior importantes como puede ser la proveniente de la inyeccion de las juntas entre el maci-

zo envolvente y el blindaje de acero. En estos casos, puede producirse el pandeo o abolladura

de la tuberıa provocado por la presion exterior de las inyecciones.

Un tercer origen de tensiones circunferenciales de compresion en las paredes de la tuberıa

son las cargas de origen termico, cuyo signo obligarıan al blindaje a contraerse. El pandeo

que puede tener su origen en estos efectos termicos se conocen en la literatura especializada

como shrink buckling. Aunque produzca los mismos efectos, este tipo de pandeo es estudiado

de manera muy diferente ya que por ejemplo, en el momento en el que se produce el pandeo

de la estrucutura, las tensiones que lo originan son liberadas inmediatamente, en cambio, en el

pandeo cuyo origen se encuentra en la presion hidrostatica, hydrostatic buckling no se produce

esta liberacion y la presion externa sigue actuando en la etapa post pandeo. Unicamente la

abolladura del tipo hydrostatic buckling sera estudiada y modelizada en el presente trabajo.

Ademas de las conducciones ligadas a los proyectos de presas, otras ramas de la inge-

nierıa civil han contribuido al estudio del fenonemo de abolladura que nos interesa, como

la reahabilitacion de conducciones existentes mediante tecnicas sin excavacion (Trenchless

Technology), tuberıas degradadas (host pipe) no impermeables por tanto y que albergaran en

su interior otra tuberıa tan esbelta como sea posible para perder la menor capacidad hidraulica

posible y que restituya las condiciones de servicio perdidas.

La presion externa a la que se produce la abolladura del blindaje confinado se conoce

como Presion Crıtica (PCr). El valor de la misma depende de muchos factores relacionados

tanto con el blindaje, el medio circundante, las condiciones de instalacion o la propia manera

de pandear. De entre todos podemos citar los siguientes, referidos sistematicamente en las

referencias bibliograficas aportadas al final del documento:

Las caracterısticas geometricas del blindaje, diametro y espesor de la pared, que deter-

minan la esbeltez del elemento.

La presencia o no de rigidizadores transversales, que cambia sustancialmente el modo

de pandeo del blindaje. Vease [12] para un detallado analisis de pandeo local y pandeo

global de la tuberıa, influenciados por la presencia de rigidizadores transversales.


El lımite elastico del acero.

La presencia de un juego, holgura o gap en el contacto entre tuberıa y hormigon.

Las posibles imperfecciones de la superficie del tubo (out-of-roundness).

La deformabilidad del medio que rodea al blindaje, anillo de hormigon o de mortero

generalmente.

Modo fundamental de pandeo. Dos tipos distintos de modo de pandeo son reporta-

dos frecuentemente en la bibliografıa: formando un unico lobulo (single-lobe buckling

mode) o dos lobulos (two-lobe bucklingmode). El primero de ellos ha sido documentado

pues se ha producido en obras reales (vease la Figura 2.1). El segundo se reproduce en

modelos numericos, como los liderados por Boot (ver referencia en [10]). Parece logico

contar con el modo de unico lobulo como modo de pandeo pues esta documentado y se

produce a una presion crıtica menor [10].


Figura 2.1: Fotografıas de pandeo segun un unico lobulo [12]

La obtencion de una expresion que relacione la presion crıtica de pandeo con todas las

variables que intervienen en el fenomeno ha sido el objetivo de muchos investigadores, desde

los trabajos de Levy alla por 1884 hasta las publicaciones mas actuales. La mayor dificultad

que todos ellos han encontrado es que este tipo de abolladura es un fenomeno altamente No

Lineal. La naturaleza de las no linealidades involucradas en el mismo son las siguientes:

No linealidad geometrica, al producirse deformaciones que no son infinitesimales y

ser necesario el planteamiento del equilibrio en la configuracion deformada y no en la

original.

No linealidad del material, proveniente de unas ecuaciones constitutivas del material de

naturaleza no lineal (elastica o no).

No linealidad del contacto, entendida como estado del contacto entre dos superficies


(las superficies pueden no mantenerse unidas). La modelizacion del contacto mediante

un material friccional aportarıa una nueva fuente de no linealidad (termino friccional).

No linealidad proveniente de la actuacion de cargas seguidoras. La presion externa ejer-

cida por el agua se mantendra actuando normal a la superficie deformada del blindaje y

por tanto debe actualizarse en cada incremento de carga o en cada paso del analisis, de

acuerdo al cambio producido en la configuracion de la estructura.

Mediante simplificaciones y asunciones practicas, los distintos autores han podido de-

sarrollar expresiones que estiman la carga crıtica de pandeo aun a pesar de las dificultades

comentadas. En la bibliografıa encontramos distintas maneras de estudiar el fenomeno de

abolladura:

Mediante tecnicas experimentales. En un primer momento a partir de ensayos de labo-

ratorio se intentaba deducir una expresion para la carga crıtica de pandeo. Por otra parte

estos ensayos han servido para calibrar modelos deducidos mediante tecnicas analıticas

o numericas.

Mediante metodos analıticos, asumiendo simplificaciones que hiciera abordable la

tarea.

Mediante metodos numericos. Desarrollados durante las ultimas decadas, principal-

mente mediante aplicacion del metodo de los elementos finitos, muy potenciados por el

desarrollo y expansion de las tecnicas informaticas y los ordenadores de uso personal.

En los siguientes apartados se pasara revista a las expresiones analıticas mas citadas en

la bibliografıa, ası como a los modelos numericos desarrollados para contrastar estas expre-

siones.

2.2. Expresiones analıticas de la presion crıtica de pandeo

Las primeras expresiones que se encuentran en la bibliografıa son como es logico las que

intentan explicar el fenomeno de abolladura de un tubo delgado circular sin confinar sometido


a una presion uniforme exterior. En las referencia bibliograficas se atribuye este primer modelo

a distintos autores, a saber: Bresse (1866) o Bryan (1888) citados en [18], Levy (1884) citado

en [8],[9], [24] y otras, aunque parece haber coincidencia en atribuir a Timoshenko (figura 2.2

la divulgacion de la citada expresion de la presion crıtica como:

Pun =EIR3 (2.1)

donde Pun = carga crıtica de pandeo del tubo sin confinar; E = modulo de elasticidad del

acero; I = momento de inercia de la seccion transversal del tubo; y R = radio del tubo. Si se

admiten condiciones de deformacion plana (presion externa constante a lo largo de la longi-

tud de la tuberıa y deformacion longitudinal despreciable), la expresion 2.1 puede escribirse

como:

Pun =2E

1−ν2

( tD

)3(2.2)

siendo ahora ν = coeficiente de Poisson; t = espesor del tubo; y D = diametro del mismo.

Figura 2.2: Arco comprimido de Timoshenko

El valor de la expresion crıtica de pandeo hallado de esta manera constituye un lımite

inferior o conservador de esta presion pues como cualquier experimento demuestra, la presion

crıtica en el caso de confinamiento de la tuberıa es varias veces superior al valor del tubo

sin confinar. Este factor se encuentra repetidamente citado en la bibliografıa como factor de

mejora o enhancement factor (K) y ha sido ampliamente empleado en los codigos de diseno

de conducciones a presion, como por ejemplo UK Sewerage Rehabilitation Manual WRc/WAA

(2000), German Design Code ATV-M 127-2 (2000) o ASTM F1216 (2007) todas ellas citadas

en [10]. Un valor clasico es K = 7, como se sugiere en [18].


Todos los planteamientos sucesivos pueden caracterizarse por la manera en la que respon-

den a las siguientes cuestiones:

¿como se incorpora la hipotesis de confinamiento?

¿plantea la abolladura como un fenomeno de pandeo elastico o inelastico?

¿como sera el modo de pandeo de la estructura?

¿se consideran los efectos de la holgura entre acero y confinamiento?¿se consideran las

posibles imperfecciones de la superficie del material?

De entre todas las propuestas vamos a citar aquellas que se repiten con mas insistencia

en las referencias bibliograficas, fundamentalmente en [8], [9], [10], [12],[18],[23] y [24]. Lo

haremos de una manera listada para mantener cierto orden en la explicacion. En todos los

casos se considera que el blindaje no cuenta con rigidizadores externos; el medio que rodea

al blindaje es rıgido (no deformable); y la friccion entre acero y hormigon no es tenida en

cuenta.

1. Montel (1960). Montel desarrolla una expresion semi-analıtica para determinar la pre-

sion que hace abollar una tuberıa. Parte de la solucion de Timoshenko y de resultados

experimentales para ajustar una ecuacion en la que considera que la abolladura es in-

elastica, produciendose cuando en la fibra mas externa se alcanza el lımite elastico del

acero. El pandeo se admite que se produceira en forma de un unico lobulo.

PMo =1,4σy(D

t

)1,5(

1+ 1,2(δ0+2g)t

) (2.3)

donde D es el diametro del tubo; t su espesor; σy es el lımite elastico del acero; δo es la

amplitud de las imperfecciones y g el gap. Los lımites de aplicacion de esta expresion

son proporcionados por Montel: 60 < Dt < 340; 36ksi ≤ σy ≤ 72ksi; t

10 < σ0 < t2 ;

∆

t < 0,25; ∆

D < 0,00125.

2. Amstutz (1970) y Jacobsen (1972). Aunque se trata de dos investigaciones indedepen-

dientes las agrupamos bajo un mismo epıgrafe por su similitud. Jacobsen parte de los


trabajos de Amstutz y realizando menos asunciones de las que empleo Amstutz repor-

ta unas expresiones mas generales. Estas expresiones incluye un termino de gap entre

acero y anillo, dota al acero de una ley constitutiva elastico-plastica pues considera que

el blindaje pandea cuando se alcanza el lımite elastico del mismo en la fibra mas externa

(mas tensionada) del mismo.

El modo de pandeo asumido es en forma de un unico lobulo con una deformada que

responde a una funcion cosenoidal. El efecto del confinamiento es incorporado mediante

el cumplimiento de una serie de condiciones mecanicas y de contorno: el axil en la

seccion transversal del blindaje es constante, pero de distinto valor en la parte del anillo

que pandea (despegada del hormigon) y de aquella que se mantiene en contacto con el

medio; el perımetro del anillo sera igual al inicial menos las debidas a las deformaciones

de membrana y la pendiente de la geometrıa deformada es igual en los puntos comunes

entre la parte despegada y aquella no despegada.

Como se ha indicando, la unica diferencia entre ambos autores es que Jacobsen asume

menos terminos constantes en su desarrollo. La expresion 2.4 con tres ecuaciones que

se resuelven iterativamente, resume todo lo anterior.

Rt

=

√√√√√√√(

9π2

4α2 −1)[

π−β+α

(sin(β)sin(α)

)2]

12(

sin(β)sin(α)

)3 [β− πd

2R −α

(sin(β)sin(α)

)(1+ tan2(β−α)

4

)]PJa

E ′=

(9π2

4α2 −1)

12(R

t

)3(

sin(β)sin(α)

)3

σy

E ′=

t2R

(1− sin(β)

sin(α)

)+

PJaRsin(β)E ′tsin(α)

[1+

4αRsin(β)tan(β−α)πtsin(α)

](2.4)

donde R es el radio del blindaje t es el espesor del blindaje; d es el gap entre el blindaje y

el medio; PJa es la presion hidrostatica exterior; σy es el lımite elastico del acero; E ′ es el

modulo de Young del acero corregido para tener en cuenta la asuncion de deformacion

plana; y α y β son dos parametros geometricos definidos en la figura 2.3.


Figura 2.3: Definicion geometrica del pandeo de blindaje segun Jacobsen

3. Cheney (1972). Cheney desarrolla su expresion para blindajes delgados. Este matiz nos

pone sobre la pista de un pandeo en regimen elastico. A partir de la teorıa elastica

y lineal de pequenas deformaciones, Cheney divide la tuberıa en dos zonas, una que

puede pandear y se deforma hacia de cualquier manera compatible con las ecuaciones

diferenciales de la teorıa aplicada y las condiciones de contorno apropiadas (hacia el

interior de la cavidad); y una segunda parte que permanece en contacto con la cavidad

y que experimenta unicamente deformacion circunferencial (de membrana).

A partir de esto Cheney propone:

PCh =2,55E1−ν2

( tD

)2,2(2.5)

Las variables que intervienen tienen el mismo significado que el expuesto en las ecua-

ciones precedentes. Cheney recomienda su uso para relaciones Dt > 30. Observamos

que Cheney no ha tenido en cuenta el posible gap entre los materiales ni otro tipo de

imperfeccion del blindaje (ovalidad).

4. Glock (1974). Glock presenta una expresion que deduce desde un planteamiento en-

ergetico del problema. Asume que el axil es constante en toda la seccion transversal del


blindaje y que el pandeo se producira en forma de un unico lobulo y en el rango elastico.

Un desarrollo completo de esta ecuacion se puede seguir en [18].

Pcr =E

1−ν2

( tD

)2,2(2.6)

Esta expresion se ha demostrado que se ajusta muy bien al fenomeno que modela para

blindajes perfectamente encajados o en contacto con el hormigon. Al igual que en la

expresion 2.5 ningun tipo de imperfeccion o juego es considerado.

5. Boot (1998). El planteamiento de Boot es parecido al que realiza Glock, pero amplian-

do los trabajos de este. Boot trabaja sobre el planteamiento energetico del problema y

admitiendo el pandeo en regimen elastico. Considera el caso de formacion de un unico

lobulo o dos, que se ajustan a una expresion cosenoidal. Se apoya en resultados ex-

perimentales y amplıa el rango de aplicacion a aquellos blindajes que presentan un gap

entre acero y hormigon. Al igual que Glock considera una distribucion de axil constante

en la seccion transversal de acero.

2

√[16−6

(dR

)γ3− 20

9

( tR

)2γ5

]+

13

[16−6

(dR

)γ

3− 209

( tR

)2γ

5]

=112

[18(

dR

)γ

3− 1009

( tR

)2γ

5]

PBo

E ′=

γ2

12

( tR

)3[

1+16

√[16−6

(dR

)γ3− 20

9

( tR

)2γ5

]](2.7)

Finalmente citaremos, por su vinculacion con nuestro colectivo, los artıculos in-

cluidos en la Revista de Obras Publicas del Colegio de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos entre los anos 1948 y 1965 de los ingenieros de caminos Federico

Goded Echevarrıa (http://ropdigital.ciccp.es/detalle_articulo.php?registro=

16531&anio=1948&numero_revista=2804) y Jose Ramon Toral Santander, [21] y [22], en

los que pasan revista a los metodos de calculo y estimacion de la presion exterior crıtica de

pandeo de blindajes de acero que en esa fecha eran empleados por los ingenieros proyectistas.

La figura 2.4 reproduce una de las figuras de estos artıculos.

En esta recopilacion Toral proporciona un abaco al que se accede con la esbeltez geometri-

ca de la tuberıa y el juego (gap) entre blindaje y hormigon y proporciona la presion crıtica de

http://ropdigital.ciccp.es/detalle_articulo.php?registro=16531&anio=1948&numero_revista=2804

http://ropdigital.ciccp.es/detalle_articulo.php?registro=16531&anio=1948&numero_revista=2804


pandeo. Este abaco es atribuido a Borot y en el apartado 5.2.1 del presente trabajo veremos

que constituye un interesante acercamiento a la presion crıtica de pandeo.

Figura 2.4: Esquema de blindaje de acero tipo

Un interesante recorrido sobre algunas de estas formulaciones y su presencia en codigos,

normativas o guıas de diseno puede seguirse en la tesis doctoral de Daniel Galvez [15]. Por

ejemplo la publicacion del CEDEX ”Guıa Tecnica sobre tuberıas para el transporte de agua

a presion”(2003) recomienda emplear la formulacion de Levy 2.2 para establecer un lımite

inferior en los espesores calculados, todo ello a pesar de tratarse de una expresion apta para

tuberıas no confinadas [15].

2.3. Aproximacion experimental

La aplicacion de cualquier modelo analıtico a la practica profesional suele requerir de un

campana de ensayos que avalen dicho modelo y ayuden a calibrar sus parametros. En otros

casos, los metodos experimentales son los que proporcionan mediante tecnicas estadısticas de

regresion, lineal o no, expresiones utiles de diseno para los ingenieros de proyecto.

En el area de los blindajes o tuberıas enterradas a presion no se cuenta con una amplia

base de datos de experimentacion ya que la mayorıa de ellos han sido llevados a cabo por

organizaciones privadas que fabrican e instalan estas estructuras [18].

De aquellos datos que si estan disponibles mediante su publicacion destacan los llevados

a cabo por Aggarwal y Cooper (1984) en la Universidad Politecnica de Coventry, ası como


los de Guice y otros colaboradores (1994) desarrollados en la Universidad Politecnica de

Louisiana.

La referencia [18] contiene mas informacion sobre estos ensayos ası como las citas exactas

para su busqueda.

2.4. Aplicacion del MEFen la deduccion de la Presion

Crıtica de Pandeo

Como hemos comentado en un apartado anterior, el desarrollo de la informatica y del uso

de los ordenadores personales ha permitido a su vez la aplicacion de las tecnicas de calculo

numerico para resolver los complejos sistemas de ecuaciones que se modelan los problemas

habituales de la ingenierıa civil. Una de estas tecnicas es el metodo de los elementos finitos

MEF. Existen miles de documentos disponibles que describen y forman en el uso del MEF.

En el caso particular de la estimacion de la presion crıtica de pandeo para tuberıas en-

terradas han sido muchos los investigadores que se han dedicado a comprobar los rangos de

validez de las expresiones analıticas descritas en el apartado 2.2 ası como tambien de proponer

expresiones, ajustadas mediante tecnicas estadısticas, mas generalistas pues una de las venta-

jas del MEF es que pueden modelarse todos los escenarios de no linealidad que se deseen con

el unico inconveniente del coste computacional que ello pueda requerir.

En las expresiones propuestas cobra sentido nuevamente hablar del factor de mejora o

enhancement factor como relacion entre la presion crıtica en condiciones de confinamiento y

la presion crıtica en condiciones de no confinamiento. Destacaremos el valor de este factor en

los trabajos que incluimos a continuacion.

Como caracterıstica comun a todos los trabajos citaremos que son modelos bidimension-

ales y sin presencia de rigidizadores. No son comunes los trabajos que superan estas asun-

ciones.

1. Madryas y Szot (2003). Los autores proponen la siguiente expresion:

PMa =E

1−ν2

(1

1+0,84176( d

D

)0,89415 (2tD

)−1,16189

)( tD

)2,2(2.8)


El factor de mejora K se deduce como:

KMa =PMa

Pun=

12

( tD

)−0,8(

1

1+0,84176( d

D

)0,89415 (2tD

)−1,16189

)( tD

)2,2(2.9)

donde E es el modulo de elasticidad del acero; ν es el coeficiente de Poisson; D es el

diametro del blindaje; t su espesor y d es el juego o gap. Por tanto la expresion tiene en

cuenta esta posibilidad. Es de mencionar que en el caso de blindajes en ıntimo contacto

con la superficie exterior de hormigon, d = 0, la expresion 2.8 se ajusta a la propuesta

por Glock 5.1. En los modelos de los autores no se considera la componente friccional

entre acero y hormigon.

De la expresion tambien se deduce que su aplicacion es apta para tubos delgados que

pandean en el rango elastico.

2. Vasilikis y Karamanos (2008, 2009). Los autores emplean el MEF para modelar un

amplio abanico de escenarios: blindajes de varios diametros y espesores; existencia o

no de un gap y de imperfecciones superficiales; friccion entre los materiales; aceros de

distinto lımite elastico; pandeo en el rango elastico e inelastico; e incluso la posibilidad

de que el relleno que circunda al blindaje sea elastico, esto es deformable en lugar de

rıgido.

A partir de los resultados obtenidos proveen una serie de graficos muy utiles en los que

relacionan las variables citadas anteriormente con la presion crıtica. A diferencia del

resto de investigaciones presentadas los autores no proponen una formulacion original

y recomiendan el uso de la expresion de Montel 2.3, la cual encuentran muy ajustada y

ligeramente conservadora para modelar el fenomeno de abolladura.

Las referencias [23] y [24] proporcionan toda la informacion aquı resumida.


Figura 2.5: Esquema geometrico de blindaje tipo confinado propuesto por Vasilikis y Kara-

manos

3. El-Sawy (2001, 2002, 2010). Sin duda el autor mas prolıfico en el estudio del fenomeno

de abolladura en tuberıas enterradas mediante el empleo del MEF. En sus publicaciones

el autor aborda distintas condiciones de trabajo del blindaje, fundamentalmente la exis-

tencia o no de un juego inicial entre el blindaje y el hormigon. En todas las publicaciones

el autor emplea tecnicas estadısticas de regresion lineal o no lineal para producir unas

expresiones ajustadas a los resultados que obtiene de sus simulaciones.

Destacaremos la ultima de ellas aparecida en [10]. El resto de expresiones puede con-

sultarse en [8] y [9].

PEs = E ′( t

R

)3[

5+70(t/R)+63(d/R)0,12+52(t/R)+280(t/R)2 +116(d/R)

](2.10)

o lo que es igual

PEs =8E

1−ν2

( tD

)3[

5+70(t/R)+63(d/R)0,12+52(t/R)+280(t/R)2 +116(d/R)

](2.11)

y el factor de mejora K se deduce como:

KEs = 4[

5+70(t/R)+63(d/R)0,12+52(t/R)+280(t/R)2 +116(d/R)

](2.12)

En todas estas expresiones E es el modulo de elasticidad del acero; ν es el coeficiente de

Poisson; d es el juego; R es el radio del blindaje y t su espesor.

Otro interesante resultado de la produccion investigadora de El-Sawy es la ecuacion 2.13,

que el autor deduce en [8] para blindajes confinados sin juego, en la que presenta una esti-

macion de cuando el pandeo se producira en el rango elastico o inelastico. Ello lo realiza a


partir de las expresiones que propone para estimar el axil y el momento flector que actuan

sobre la seccion transversal de la tuberıa. Estas solicitaciones estimadas mediante regresion

lineal, de forma parecida a 2.10, las combina para obtener la tension normal segun Navier y

deducir por tanto el lımite elastico del acero por encima del cual el pandeo es elastico (dada

una geometrıa).

σy0 =E

1−ν2

[1,45

tD

+3,93( t

D

)2]

(2.13)

con el mismo significado de los parametros que el anteriormente comentado. σy0 es el

lımite elastico del acero que separarıa el pandeo elastico (en el caso de ser superior) del pandeo

inelastico (en el caso de ser inferior) de la tuberıa.

Capıtulo 3

Hipotesis sobre comportamiento de los

elementos

21

CAPITULO 3. HIPOTESIS SOBRE COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS 22

A continuacion se listan todos los elementos que intervendran en el estudio y tenidos en

consideracion en los modelos desarrollados:

Blindaje de acero.

Interfase entre blindaje y anillo de hormigon.

Anillo de hormigon que envuelve al blindaje.

Interfase entre hormigon y terreno.

Macizo envolvente.

En los siguientes apartados se describe de forma somera el comportamiento y simplifi-

caciones sobre este que se consideraran en el estudio y que serviran de base para realizar la

modelizacion numerica del problema.

3.1. Blindaje de acero

El comportamiento estructural de una tuberıa depende en gran medida del material del que

este constituida. En el caso de tratarse de acero como material constituyente resulta admisible

aceptar una ley elastoplastica para representar la relacion entre tension y deformacion que

experimentara el material en un proceso de carga.

Frente a cargas que no hagan superar el lımite elastico, la respuesta del acero sera elastica.

En esta rama las tensiones y las deformaciones no dependen del tiempo de aplicacion de la

carga. La descarga del acero se producirıa segun la misma rama de carga y concluida esta no

quedarıan deformaciones residuales en el material.

Sobrepasado el lımite elastico entrarıamos en la rama plastica. En esta region las defor-

maciones ya no son proporcionales a las cargas aplicadas. Ademas, un proceso de descarga

desde la region plastica no se producira segun la rama elastica sino por una paralela a ella cuya

interseccion con el eje de abcisas (deformaciones) nos indicara la deformacion remanente que

quedara en el material.

La figura 3.1 muestra una ley tıpica de comportamiento de materiales metalicos.


Propiedad Unidad Valor

Modulo de elasticidad MPa 210000

Coeficiente de Poisson - 0,3

Peso especıfico kNm3 78,5

Lımite elastico (Fy) MPa 275,0

Tension de rotura MPa 410,0

Tabla 3.1: Caracterısticas mecanicas del acero

Figura 3.1: Ley de tension - deformacion tıpica de metales

Otras dos caracterısticas del acero seran muy tenidas en cuenta en las hipotesis de

modelizacion que se realicen: isotropıa y homogeneidad. Por tanto, dotaremos al acero de

un comportamiento elastico definido por su modulo elastico y el coeficiente de Poisson. En la

tabla 3.1 se resumen las principales caracterısticas del material acero con el que modelizare-

mos el blindaje.

En la tabla 3.1 se ha incluido el lımite elastico y el lımite ultimo (tension de rotura) del

acero. Dado que el objetivo del presente estudio es el de la inestabilidad o pandeo elastico de

blindajes no sera un parametro que deba ser tenido en cuenta en los modelos a realizar, dado

que la abolladura se producira siempre en la rama elastica de la ley de comportamiento.


Id. Blindaje Diametro [cm] Espesor [cm] Esbeltez [D/t]

B1 300,0 1,0 300,0

B2 300,0 2,0 150,0

B3 300,0 3,0 100,0

B4 400,0 1,0 400,0

B5 400,0 2,0 200,0

B6 400,0 3,0 133,3

B7 500,0 2,0 250,0

B8 500,0 3,0 166,7

Tabla 3.2: Caracterısticas geometricas de los blindajes estudiados

En la tabla 3.2 se detalla la relacion entre el diametro y el espesor de las tuberıas que seran

modelizadas.

El pandeo elastico es tıpico de tubos esbeltos, esto es con alta relacion Dt y/o Fy

E , como

son los que encontramos en blindajes de tuberıas forzadas. En la bibliografıa, vease [8], se

encuentran expresiones que permiten delimitar la frontera entre este y el pandeo inelastico lo

que nos permitira verificar a priori el pandeo esperado y por tanto podremos ahorrarnos la no

linealidad atribuida al material. La expresion propuesta en [8] es la indicada en la ecuacion

3.1Fy0

E ′= 1,45× t

D+3,93×

( tD

)2(3.1)

siendo E ′ = E1−ν2 y Fy0 el lımite elastico ‘frontera‘ del acero.

Si el blindaje es relativamente delgado o esbelto tal y como se ha definido en lıneas ante-

riores, el material no plastificara y por tanto no se altera la capacidad de tomar mas carga. En

tanto esta aumenta se ira produciendo una mayor deformacion y perdida de rigidez del mate-

rial en el proceso de carga hasta alcanzar un valor de rigidez ‘pico‘ proximo a cero, momento

en el que podemos determinar el valor de la presion crıtica de pandeo elastico.

En el caso que el acero plastificara antes de producirse el pandeo elastico (al alcanzar la

tension en el material el valor del lımite elastico) se produciran en el blindaje redistribuciones

plasticas, ya no toma mas carga exterior pero como la presion que actua permanece sobre el

blindaje se debe producir un importante descenso de la rigidez del sistema con la consecuente


Id. Blindaje Diametro [cm] Espesor [cm] Esbeltez [D/t] Fy0E ′ Fy0[MPa]

B1 300,0 1,0 300,0 0,004872 1124,3

B2 300,0 2,0 150,0 0,009831 2268,7

B3 300,0 3,0 100,0 0,01539 3551,5

B4 400,0 1,0 400,0 0,003649 842,1

B5 400,0 2,0 200,0 0,00734 1693,8

B6 400,0 3,0 133,3 0,0111 2561,5

B7 500,0 2,0 250,0 0,00586 1352,3

B8 500,0 3,0 166,7 0,008811 2033,3

Tabla 3.3: Condicion de pandeo elastico para los blindajes estudiados

deformacion para producir las necesarias redistribuciones que ‘impliquen‘ a mas material y

equilibrar de esta forma la carga que actua.

Anadiremos una columna adicional a la tabla 3.2 mostrando el valor de Fy0 como lımite

elastico de referencia para separar el pandeo elastico e inelastico para una determinada es-

beltez del blindaje. De esta ultima columna comprobamos que para los aceros estructurales

‘convencionales‘ cuyo lımite elastico oscila entre 230 y 400MPa (como orden de magnitud)

no se producira la abolladura de tipo inelastico para las esbelteces referidas en el estudio.

3.2. Interfase blindaje/hormigon

El modelo de contacto que mejor se adapta a la interfase entre tuberıa y terreno es un

modelo de contacto no lineal entre superficies con rozamiento que permite la transmision de

esfuerzos normales y tangenciales en el contacto (vease la referencia [15]):

Esfuerzos normales: para la transmision de esfuerzos normales se empleara un modelo

de contacto rıgido en el cual, cuando las superficies entran en contacto se podra transmi-

tir cualquier nivel de presion. En caso de separarse las superficies la presion transmitida

sera cero (modelo no lineal).

Esfuerzos tangenciales: segun el modelo de Coulomb, dos superficies podran transmitir


esfuerzo tangencial en el contacto entre ambas hasta un cierto nivel. Para este ambas

superficies podran deslizar una respecto de la otra. El nivel o fraccion de tension tan-

gencial que son capaces de transmitir viene dado por una fraccion de la presion normal

entre ambas. Esta fraccion se corresponde con el coeficiente de rozamiento o friccion,

µ, entre el hormigon y el acero.

Para el caso de un confinamiento rıgido, como podrıa catalogarse el de nuestro estudio, la

consideracion del rozamiento resulta despreciable (vease referencia [24]). Por tanto, podemos

resumir el apartado diciendo que el comportamiento de la interfase entre blindaje y hormigon

sera no lineal de tipo rıgido entre superficies y sin consideracion del rozamiento y por tanto

de transmision de tensiones tangenciales entre las superficies en contacto.

3.3. Anillo de hormigon

Los blindajes estudiados se supondran rodeados por un anillo de hormigon, como por otra

parte es habitual cuando pensamos en tuberıas forzadas proyectadas en pozos de carga, en

galerıas o embebidas en presas (vease referencia [21]).

Establecer con detalle una ley constitutiva que describa el comportamiento del hormigon

excede los objetivos del presente trabajo. Baste con recordar que el diagrama tension - de-

formacion del hormigon depende de muchas variables como pueden ser: edad del hormigon,

momento de puesta en carga y duracion de la misma, forma y tipo de la seccion, naturaleza

del arido, estado de humedad de la pieza, etc. . .

Estas curvas presentan como caracterıstica, entre otras, un tramo recto inicial, esto es,

para bajos niveles de carga delatan un comportamiento elastico del hormigon o al menos muy

aproximado a este comportamiento. Como es bien sabido por otra parte, el hormigon es un

magnıfico material cuando se ve sometido a esfuerzos normales de compresion.

Las presiones interiores (exterior para el blindaje, interior para el hormigon) que sopor-

tara el anillo de hormigon seran resistidas por el este mediante tensiones circunferenciales,

fundamentalmente, y de valor moderado dado el espesor que puede adquir. Bajo estas circun-

stancias resulta adecuado establecer una hipotesis de comportamiento elastico, homogeneo y

lineal para el hormigon.


Parametro Unidades Valor

Modulo de elasticidad MPa 21,0

Coef. Poisson − 0,2

fck MPa 25,0

Tabla 3.4: Caracterısticas del modelo elastico para el hormigon

Los parametros que caracterizaran este comportamiento seran el modulo de deformacion

lineal y el coeficiente de Poisson. En la tabla 3.4 se resumen los valores de estos parametros

que entraran a formar parte de los modelos numericos.

La resistencia caracterıstica que se ha supuesto en la tabla 3.4 es orientativa y cercana a

aquella que debe tener un hormigon cuyo modulo de elasticidad lineal se situa aproximada-

mente en 21,0MPa.

En la referencia [24] se realizan distintos modelos parecidos al presentado en este estudio.

En esta referencia se afirma, tras corroborarlo con distintos modelos, que cualquier variacion

en el modulo de elasticidad lineal del hormigon no tiene una incidencia significativa sobre el

resultado final. Entendemos que una variacion en la resistencia caracterıstica del hormigon

entre 20 o 25MPa implicarıa esas ligeras modificaciones comentadas en el modulo de elasti-

cidad y por tanto sin importancia practica.

3.4. Macizo envolvente

Una amplia discusion sobre la teorıa elastica, elasto-plastica y plastica como modelos de

referencia para el comportamiento de suelos puede encontrarse en la referencia [15]. Como se

comento para el caso del hormigon, introducir y desgranar todos los matices que envuelven el

modelado del suelo escapa al objeto del presente trabajo.

Los metodos clasicos de calculo del comportamiento del terreno sometido a cargas exter-

nas se basan en la teorıa de la elasticidad. Cuando el nivel de tensiones transmitidas al terreno

es bajo resulta perfectamente adecuada la hipotesis de comportamiento elastico.

El foco del trabajo se situa sobre el pandeo de blindajes, esto significa que no estamos

interesados en conocer en profundidad si el terreno que circunda al anillo de hormigon se


Parametro Unidades Valor

Modulo de elasticidad 1 MPa 21,0



Coef. Poisson − 0,2

Tabla 3.5: Caracterısticas del modelo elastico para el macizo envolvente

encuentra plastificado o no, admitiendo por tanto como valida la hipotesis de comportamiento

elastico definido por un modulo de deformacion lineal y un coeficiente de Poisson. Ademas

de la citada razon podrıamos esgrimir que la informacion del macizo rocoso o medio envol-

vente estara tomada de referencias bibliograficas, por tanto se trata de informacion sometida

a un alto grado de incertidumbre no siendo una adecuada ‘materia prima‘ para modelar un

comportamiento no lineal del terreno.

Elegiremos varios valores del modulo de deformacion lineal, asimilandolos a distintos

tipos de roca, constituyendose por tanto en uno de los parametros del modelo que se detallaran

en el capıtulo 4 (vease la tabla 3.5).

No obstante la simplificacion anterior, consideramos muy interesante la posibilidad de

contar con informacion fidedigna referida a un caso real de blindaje y poder emplear toda la

potencia del metodo de elementos finitos en el modelado de la no linealidad de este material,

si bien, cuanto mas rıgido es el confinamiento de la tuberıa menos solicitado se encontrara val-

idando ası la simplificacion adoptada.

Capıtulo 4

Modelizacion numerica del estudio

29

CAPITULO 4. MODELIZACION NUMERICA DEL ESTUDIO 30

4.1. Introduccion

En este capıtulo se explicara como se pretende simular el problema del pandeo lineal de

un blindaje coaccionado por un anillo de hormigon en un macizo rocoso o suelo inalterado.

La herramienta con la que se ha realizado el estudio es ANSYS, R.11 de ANSYS, Inc. (vease

www.ansys.com).

La principal motivacion a la hora de elegir ANSYS como software de trabajo ha sido la ex-

periencia adquirida durante los ultimos anos en su manejo, ademas, se trata de una herramienta

de primer nivel dentro del campo de la simulacion por el metodo de los elementos finitos.

ANSYS es un codigo de caracter multidisciplinar y proposito general que se encuentra solida-

mente implantado y aceptado en el ambito academico y de la empresa privada.

Se trata de una herramienta integral (todas las etapas de la simulacion pueden ser

desarrolladas con el mismo software), consta de una importante librerıa de elementos progra-

mados, un lenguaje propio llamado APDL que permite el desarrollo de macros que mecanizan

tareas rutinarias y facilitan la realizacion de modelos parametrizables, ası como de un amplio

abanico de funcionalidades implementadas para el postproceso.

La organizacion del modelo numerico es identica para cualquier problema que se pretenda

abordar mediante un codigo de elementos finitos. Esta organizacion descansa sobre las tres

etapas siguientes:

Etapa de Preproceso: a rasgos generales podemos pensar que en esta fase creamos el

modelo solido del problema fısico estudiado, elegimos el tipo de elemento con el que

modelizaremos, se creara la malla de elementos finitos y se aplicaran las condiciones de

contorno al modelo, esto es, los desplazamientos impuestos y las cargas que procedan.

Etapa de Solucion: en esta etapa seleccionaremos aquellas opciones relacionadas con

el calculo no lineal como algoritmo de resolucion (Newton Raphson ‘convencional‘ o

reducido, arco-longitud, etc. . . ), tecnicas de aceleracion de la convergencia (como line-

search), numero de sub-steps de carga, etc. . .

Etapa de Postproceso: finalmente emplearemos las funcionalidades disponibles o aquel-

las macros que programemos en APDL para recuperar y mostrar la informacion deseada.

www.ansys.com


En modelos compuestos por un gran numero de lıneas de codigo es habitual organizar

este codigo mediante ficheros independientes que se correspondan con alguna de las tareas

descritas anteriormente. En el apendice B se ha incluido el fichero ‘distribuidor’ y el fichero

que contiene los parametros del estudio del pandeo de blindajes. Los ficheros que comienzan

por un numero comprendido entre 01 y 09 corresponden a la fase de preproceso; aquellos que

comienzan por 10 a 19 pertenecen a la fase de solucion; aquellos que comienzan por 20 a

35 corresponden a la fase de postproceso. El fichero 00 main.inp se configura para invocar a

todos los anteriores segun la conveniencia del estudio.

Todos los detalles relacionados con el codigo numerico se relacionan en los proximos

apartados. El orden elegido para realizar esta presentacion es el que corresponde a cada una

de las fases comentadas en lıneas precedentes.

4.2. Fase de Preproceso

Basicamente a esta fase corresponde la creacion del modelo solido, la eleccion de los

elementos adecuados y finalmente el mallado para obtener el modelo de elementos finitos1.

La creacion del modelo solido se hara teniendo en cuenta las dimensiones de los elementos

(blindaje, anillo de hormigon y macizo envolvente) que han sido parametrizadas. En este

sentido estas magnitudes variaran de acuerdo al estudio concreto que estemos realizando.

Las dimensiones del macizo o medio exterior al blindaje se han parametrizado de acuerdo al

diametro de este. Algunos autores (vease [24]) han encontrado como apropiadas una altura

y longitud total del medio en el que se encuentra el blindaje de 3×D, siendo D el diametro

del blindaje. En nuestro estudio se ha tomado una dimension exterior del medio, tanto en

altura como en longitud, de 3× (D + ec), siendo ec el espesor del anillo de hormigon. Con

estas dimensiones eliminamos la posible influencia del borde del modelo en los resultados

obtenidos.

En este momento se deben introducir dos importantes simplificaciones respecto de la

geometrıa del problema que tienen su base en aspectos ya comentados en el capıtulo 3:

1Las definicion de las condiciones de contorno, desplazamientos y cargas exteriores, pueden ser consideradas

dentro de la etapa de preproceso o de solucion. En este caso hemos optado por incluirlas en la segunda etapa.


Deformacion plana: dado que es admisible considerar la longitud de tuberıa como in-

finita en relacion a las dimensiones transversales de la misma, y que consideraremos

que no existe una variacion significativa de las condiciones de carga del blindaje a lo

largo del eje longitudinal del mismo, es aceptable formular la hipotesis de deformacion

plana (deformacion nula segun la direccion axial), y por tanto la posibilidad de estudiar

el problema como plano.

Simetrıa: en el capıtulo 3 se ha aceptado que el blindaje se deformara originando un

lobulo en postpandeo. Este mecanismo se ha presentado como el mas desfavorable

frente a la formacion de dos o mas lobulos (ver figura ??) ya que se produce a un valor

menor de presion exterior segun se documenta en la bibliografıa relacionada (vease [9] y

[24]). Este lobulo puede considerarse simetrico respecto del plano vertical que contiene

el eje longitudinal del cilindro (θ = 0). Dado que la carga externa que actua sobre el

blindaje (presion externa constante y posible actuacion de un gradiente de presion entre

clave y solera del tubo) es tambien simetrica, podremos modelar unicamente la mitad del

problema aplicando las condiciones de contorno adecuadas y descritas en en el apartado

4.3. La dimension vertical del modelo sera de 3× (D + ec) frente a 1,5× (D + ec) de

anchura.


Figura 4.1: Formacion de varios lobulos

Las simplificaciones adoptadas, modelo plano y simetrıa, presentan la ventaja de rebajar el

coste computacional del estudio. Esta ventaja es deseable en cualquier caso pero si cabe

sera mas apreciada en un modelo no lineal en el que se resolveran muchos substeps de carga

con muchas iteraciones en cada uno de ellos. A esto cabe anadir que la licencia de ANSYS

empleda tiene limitada el numero maximo de nodos del modelo.


Figura 4.2: Areas que componen el modelo solido del estudio

Una vez introducida la geometrıa del problema (vease la figura 4.2) es el momento de

decidir los tipos de elementos, materiales y constantes reales a asociar a cada tipo de elemento.

De manera resumida podemos indicar:

1. Blindaje. Se emplearan elementos tipo BEAM3. Las razones para elegir este tipo de

elemento son las siguientes

Se esta realizando un modelo plano y ANSYS no cuenta con elementos SHELL en

2D salvo axisimetricos.

Como se dedujo en el capıtulo 3, nos encontramos en la region de pandeo elastico

y por tanto no son necesarios para el modelo elementos que soporten leyes de com-

portamiento plasticas. El elemento BEAM3 presenta un comportamtiento elastico


lineal.

El elemento viga materializa perfectamente el comportamiento de un anillo

flexible en dos dimensiones (vease [15]). Dado que los blindajes analizados se

encuentran por debajo del lımite tR < 0,1 o bien D

t > 20 (vease la tabla 3.2) acep-

tado como frontera que separa a los llamados tubos delgados de los tubos gruesos

(vease [17]). La tension por tanto en el espesor del elemento puede considerarse

constante y reproducible por un elemento lineal.

Ası pues emplearemos elementos viga, lineal con comportamiento elastico lineal y com-

puestos por dos nodos, cada uno de los cuales posee tres grados de libertad, dos trasla-

ciones y una rotacion.

En la figura 4.3 se muestra el resultado del mallado. Empleando entre 140 y 160 elemen-

tos tipo viga para modelar la mitad del blindaje se han obtenido resultados adecuados,

un numero de elementos que esta de acuerdo a la bibliografıa disponible (vease [9] y

[24]).


Figura 4.3: Elementos BEAM3 que modelan el blindaje de acero

2. Anillo de hormigon y macizo envolvente. Se modelizan mediante elementos PLANE42.

Estos elementos son cuadrilateros de cuatro nodos en deformacion plana, con dos gra-

dos de libertad en cada nodo correspondientes a las traslaciones. Si bien podrıa elegirse

un elemento PLANE42 con integracion reducida para representar el terreno (mediante

la adecuada KEYOPT del elemento) se ha preferido emplear las mismas condiciones en

ambos casos.

En la figura 4.4 se muestra el resultado del mallado y generacion de los elementos

correspondientes al anillo de hormigon.


Figura 4.4: Elementos PLANE42 que modelan el anillo de hormigon

Por otra parte, en la figura 4.5 se muestra el resultado de la malla creada para modelar

el medio inalterado.


Figura 4.5: Elementos PLANE42 que modelan el medio rocoso o inalterado

3. Elementos de interfase. Para modelizar el contacto segun el comportamiento descrito

en el apartado 3.2 se han empleado elementos CONTA171 y TARGE169. Se trata de

elementos no lineales, en dos dimensiones, empleando una discretizacion de tipo ‘su-

perficie a superficie‘, donde una superficie es definida como ‘esclava‘ y la otra como

‘maestra‘.

Las condiciones de contacto son impuestas sobre la superficie esclava, en sentido medio

mas que en puntos dicretos. Por consiguiente, se puede observar alguna penetracion en

nodos individuales; sin embargo en esta discretizacion no se producen penetraciones de

los nodos de la superficie ‘maestra‘ dentro de la superficies ‘esclava‘ (vease [3] y [15]).

En la discretizacion ‘superficie a superficie‘ las penetraciones se resisten sobre regiones


finitas de la superficie ‘esclava‘ lo que tiene un efecto de suavizacion de tensiones frente

a la discretizacion ‘punto a superficie‘.

En la figura 4.6 se muestran los elementos de contacto generados apreciandose la ‘nor-

mal‘ a las superficies.

Figura 4.6: Elementos TARGE169 y CONTA171 que modelan la interfase blindaje - hormigon

4. Elementos de superficie. Se emplea el elemento SURF153 para aplicar presiones sobre

el blindaje y sobre el anillo de hormigon (estas ultimas son optativas y tendran como fi-

nalidad estudiar la presion que soporta el hormigon o la lechada que recubre el blindaje).

Estos elementos actuan como una ‘piel‘ de los elementos que recubren y se emplearan

por las siguientes caracterısticas

Facilidad para aplicar cargas de presion sobre los elementos a los que recubren,


Posibilidad de aplicar presiones normales y tangenciales sobre los elementos.

Posibilidad de aplicar un gradiente de presiones sobre los elementos. Esta pecu-

liaridad se empleara durante el estudio realizado.

La presion aplicada puede ser computada sobre el area original o deformada.

La aplicacion directa de presion permitira validar los modelos frente a soluciones conoci-

das. El objeto ultimo de los modelos es que sean cargados mediante un patron de desplaza-

mientos impuestos que sera comentado en la seccion siguiente (ver 4.3).

Con caracter general, para cada elemento se deberan fijar sus KEYOPT de manera apropi-

ada siguiendo las recomendaciones del manual del programa (vease [3] y [4]). Los aspectos

mas destacados en relacion a este punto se encuentra en seleccionar el valor conveniente de las

KEYOPT que determinan la naturaleza ‘plana‘ del estudio realizado, ademas de las que con-

trolan el comportamiento no lineal de la interfase blindaje y anillo de hormigon. El parametro

FKN, o rigidez normal del contacto , es el mas destacado. Se trata de un factor que oscila entre

0,1 y 10 y que debera ser ajustado en el estudio, ya que interviene en los algoritmos de detec-

cion del contacto, tanto en el metodo de penalizacion como en el Augmented-Lagrangian. Un

valor de FKN proximo a 1 se ha encontrado adecuado en todos los estudios desarrollados.

Por lo general para cada elemento se definira una Real Constant, con caracterısticas de

area, inercia y canto para el blindaje; y factor de rigidez y tolerancia a la penetracion como

valores mas destacados de los contactos.

Los materiales se definiran tal y como se ha indicado en el capıtulo 3 por sus parametros

elasticos.

4.3. Fase de Solucion

En la fase de solucion aplicaremos las condiciones de contorno y especificaremos algu-

nas caracterısticas de resolucion del modelo de elementos finitos planteado. En cuanto a las

condiciones de contorno distinguimos

1. Condiciones de contorno. Los elementos tipo PLANE42 poseen dos grados de libertad

por nodo, los correspondientes a las traslaciones. A lo largo del eje de abcisas, Y = 0


coaccionaremos ambas traslaciones para los nodos que se encuentran en dicho eje. Para

los nodos que pertenecen al eje vertical Y = 1,5× (D + ec) la restriccion bastara con

aplicarla al grado de libertad correspondiente a la traslacion en abcisas ux.

Al inicio del capıtulo, apartado 4.2, se avanzaron las ventajas que supone considerar la

simetrıa vertical del lobulo obtenido en el pandeo. Por tanto sobre el eje vertical X = 0

aplicaremos las condiciones ux = 0 para todos los nodos y rotz = 0 adicionalmente

para los del blindaje. En la figura 4.7 podemos apreciar como han sido aplicadas las

condiciones de contorno descritas.

Figura 4.7: Condiciones de contorno aplicadas sobre el modelo de elementos finitos

2. Presion exterior. La presion sera aplicada sobre los elementos de superficie SURF153,

con valor constante y sentido radial negativo. Para cada ratio de esbeltez tR de los blin-


dajes estudiados se estudiara la presion exterior que provoca el pandeo elastico de la

tuberia. Dado que estudiaremos blindajes de acero de un diametro apreciable, algunos

de ellos de entre 4 y 5m, se incluye un gradiente de presion debido a la diferencia de

cota entre la clave de la tuberıa y la solera. Que este gradiente de presion existira so-

bre los blindajes modelados puede ser comprobado en la figura 4.8 concretamente en el

contorno izquierdo que indica el gradiente de presion que actua sobre la tuberıa.

Figura 4.8: Presion constante mas gradiente de presion actuando sobre el blindaje

En la figura 4.9 se muestra la manera ‘convencional‘ de representar las presiones (me-

diante flechas). Los colores guardan relacion con el gradiente descrito en la figura 4.8.


Figura 4.9: Presion constante mas gradiente de presion sobre el blindaje. Representacion ‘con-

vencional‘

Como se ha comentado con anterioridad, la aplicacion directa de una presion se realiza

para comprobar la validez del modelo.

3. Desplazamientos impuestos. Una de las mas importantes decisiones a tomar para en-

contrar la solucion del problema no lineal modelado (curva o path presion - desplaza-

miento) mediante elementos finitos supone decidir si se realizara un control en fuerzas

o en desplazamientos para el problema, esto es, si se aplicaran cargas o se impondran

desplazamientos al modelo. La segunda de las opciones serıa la ‘preferida‘ dado que la

solucion del metodo de elementos finitos se da en desplazamientos.

El control en desplazamientos sera obligado cuando la curva presion - desplazamiento


presente un valor pico o crıtico para a continuacion dibujar una rama descendente, con

o sin punto de retroceso (snap-back). Para capturar adecuadamente el comportamien-

to postpandeo sera necesario emplear algoritmos especıficos de resolucion como es el

ARCLEN o arco-longitud (vease una explicacion en castellano del algoritmo en las ref-

erencias [6] y [7]).

La forma del lobulo sigue siendo un argumento del problema de estudio de abolladura

de un tubo, es decir, se ha de partir de un patron de desplazamientos a imponer sobre

los nodos de la estructura. Obviamente, cuanto mas se acerquen estos desplazamientos

impuestos a la realidad del problema mejor podremos estimar la presion de abolladura

del blindaje.

Seguiremos la deformada que aplica Glock (descrita en [24]) en la deduccion de su

expresion (ecuacion 5.1). El patron de desplazamientos que se impone sobre la parte

que abolla del tubo es como sigue

w(θ) = δcos2(

πθ

2φ

)(4.1)

El angulo φ es el que define el semiborde de la parte abollada del blindaje. Este angulo

varıa entre los 22◦ y los 24◦, en este punto se apoya el tubo contra el anillo de hormigon

cuando empieza a producirse el lobulo. Los modelos que se han preparado muestran una

apreciable sensibilidad a la posicion de esta rotula plastica. El parametro δ corresponde

a la amplitud del lobulo o maximo desplazamiento vertical del blindaje. En la figura

4.10 se muestran estos dos parametros geometricos.

Hay que hacer notar que estos desplazamientos se imponen en sentido vertical y no

radial.


Figura 4.10: Parametros que intervienen en el patron de desplazamientos

Independientemente del algoritmo elegido para resolver el problema deberemos tener en

cuenta algunos de los comandos que ANSYS necesita para linealizar las ecuaciones de equilib-

rio y resolverlas por iteraciones sucesivas mediante la tecnica de Newtin-Raphson. La descrip-

cion del metodo puede seguirse en alguna de las referencias que se aportan como por ejemplo

[6], [7], [25] y [3].

Algunos de los comandos APDL que es necesario manejar para operar este algoritmo se

listan a continuacion:

NLGEOM: indicamos la necesidad de tomar en consideracion la no linealidad geometri-

ca sobre el problema.

NSUBST: numero de pasos en los que dividimos la aplicacion de la carga. Cuanto

mas pequeno mejor sera la convergencia y mayor el coste computacional (en terminos

generales).

NROPT, UNSYMM: terminos no simetricos en la matriz de rigidez, por ejemplo la

matriz de rigidez del sistema sera no simetrica si se toman en consideracion y modelan

los fenomenos de friccion, no linealidad de cargas seguidoras, etc. . .

LNSRCH: algoritmos de aceleracion de la convergencia.

ARCLEN: algoritmo de continuacion para trazar la curva presion-desplazamiento en

postbuckling.


4.4. Fase de Postproceso

En la fase de postproceso leeremos la solucion al problema encontrada por ANSYS en

terminos de desplazamientos, esfuerzos y tensiones. Para ello se emplearan comandos APDL

de la herramienta.

En el presente estudio se han desarrollado varias macros para capturar los desplazamientos

del nodo de clave en cada iteracion del problema, de manera que pueda ser representada frente

a la presion que en ese momento es capaz de tomar el blindaje. A partir de esta informacion

se generaran ficheros de texto que seran leıdos desde una aplicacion externa a ANSYS como

es GNUPLOT (vease el apendice C).

En virtud de la hipotesis de tubos delgados que se formulo en otro apartado del trabajo,

podremos emplear como primer orden de magnitud la formula de los tubos delgados para in-

ferir la presion exterior aplicada sobre el blindaje. En la citada formula se relaciona la tension

circunferencial de la tuberıa con la presion exterior actua sobre ella

Pcr =σcr× t

R(4.2)

EL valor de σcr lo podemos obtener de las salidas (outputs) que ANSYS proporciona para

cada elemento.

Sin embargo, la formulacion anterior no proporciona una estimacion correcta de la presion

de abolladura pues el ambito de validez de la expresion es cuando los esfuerzos de membrana

son dominantes. En la parte abollada esto no ocurrira, en detrimento de los esfuerzos de flexion

que aparecen con la formacion del lobulo. Ademas de ello cuando se imponen desplazamien-

tos sobre la estructura en lugar de cargas externas, la reaccion circunferencial en los nodos

extremos, solera y clave, seran cero pues no hay carga se aplica de manera indirecta.

Por todo esto el postproceso se realiza mediante un enfoque energetico. Se ha programado

en APDL una macro que recorre cada paso de carga y realiza la evaluacion de los terminos

de trabajo realizado por las fuerzas exteriores y de energıa de deformacion acumulada en la

estructura (vease el capıtulo 3 de [13]).

Podemos tomar de esta referencia la expresion de cada termino. En el caso del trabajo que

desarrollan las fuerzas exteriores, la presion hidrostatica aplicada sobre el blindaje, escribimos

su expresion en terminos generales como


W =Z

Σ

[Z q

0P(θ)δq(θ)

]dΣ (4.3)

y la energıa de deformacion extendida a toda la estructura

U =Z

V

[Zε

0σ(ε)dε

]dV (4.4)

Es de hacer notar que la presion no ha sido modelada como carga seguidora. Las fuerzas

seguidoras son fuerzas no conservativas, es decir, el trabajo que realizan no depende unica-

mente del punto inicial y final y por tanto no podrıamos plantear la ecuacion energetica

anterior en estos terminos tan sencillos. Tampoco se ha contado con el termino de friccion

existente entre el blindaje y el anillo de hormigon, consiguientemente el balance energetico

tampoco se ve influido por esta accion.

El valor de la presion se recupera como el termino de presion del estado anterior mas un

incremento de presion que es debido al nuevo balance energetico que se establece en el paso

de carga analizado.

Capıtulo 5

Resultados obtenidos

48

CAPITULO 5. RESULTADOS OBTENIDOS 49

5.1. Introduccion

Antes de comenzar a mostrar los resultados obtenidos en los distintos casos que se han lle-

vado a cabo se va a realizar en este apartado una recapitulacion de las condiciones y variables

que se tendran en cuenta en cada uno de ellos.

Por un lado podemos citar como fuentes de no linealidad del problema las siguientes

No linealidad geometrica.

No linealidad debida al contacto entre elementos.

y como aquellas que no son modeladas por razones ya esgrimidas

No linealidad del material.

No linealidad debida a la actuacion de cargas seguidoras.

En las referencias bibliograficas que se citan al final del trabajo se han estudiado muchas

de las variables que intervienen en el pandeo elastico e inelastico de las tuberıas de acero. En

el presente estudio se han modelado blindajes esbeltos desde el punto de vista geometrico y

de entre todas las variables que inciden en la respuesta de la tuberıa ante la presion externa

que la solicita prestaremos atencion a:

Irregularidades superficiales o defectos, llamadas out-of-roundness, que condicionaran

la forma de pandeo y la presion externa que provocara la abolladura. Se propondra es-

tudiar como influye una irregularidad normalizada con el radio del blindaje δ0R para

algunos valores representativos de esbeltez Dt .

Cuanto mayor sea el grosor del anillo de hormigon o inyeccion que recubre el blindaje

es de suponer que menor sera la incidencia del medio inalterado o del macizo envol-

vente sobre la presion crıtica de pandeo. Se propondra estudiar la presion crıtica del

blindaje cuando se disponga de un recubrimiento delgado de mortero. En estas condi-

ciones se propone variar el modulo de elasticidad del material circundante, admitido el

comportamiento lineal de este, para simular distintos estados del mismo.


Dado que el estudio se ha particularizado para blindajes esbeltos y de un diametro im-

portante (tıpico de obras hidraulicas ligadas a presas por ejemplo) la diferencia de altura

entre clave y solera de la tuberıa representa una desviacion respecto a la situacion de

carga con presion exterior constante que se propone modelar.

Antes de comenzar a ‘tocar‘ todas las variables arriba mencionadas hemos de partir de

un modelo de elementos finitos calibrado, por decirlo de alguna manera. Para ello se parte

de unas condiciones como las encontradas en las referencias bibliograficas (veanse [8], [9] o

[24]): presion externa constante, geometrıa perfectamente cilındrica, ningun gap, relacion de

modulos de elasticidad del blindaje y hormigon determinados, etc. . . . Este modelo inicial se

describira en el siguiente apartado como ‘calibracion del modelo‘.

5.2. Resultados obtenidos

5.2.1. Calibracion del modelo

Deseamos partir de un modelo que sea capaz de reproducir los resultados de las referencias

bibliograficas, para a partir de este modelar las distintas condiciones que nos hemos propuesto

estudiar. Las condiciones bajo las que probaremos el modelo son las siguientes:

Un solo material para el anillo y el medio que envuelve al blindaje. El comportamiento

de este material es elastico y lineal y el modulo de deformacion lineal es una decima

parte el modulo de elasticidad del acero (aproximadamente 21GPa).

Condiciones de presion externa constante sobre el blindaje.

No se modela ninguna irregularidad del blindaje ni gap entre el blindaje y el anillo que

lo circunda.

Bajo estas premisas se obtienen las curvas de presion y desplazamiento, del nodo de clave

o solera, para distintas esbelteces geometricas del blindaje. El resultado se muestra en la figura

5.1. Esta curva recoge la rama de postbuckling. Se remite a las referencias [8], [9] y [24] para

comprobar la bondad de los resultados obtenidos en el modelo de elementos finitos planteado

respecto de aquellos elaborados por los autores.


0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5

0 0

.01

0.0

2 0

.03

0.0

4 0

.05

0.0

6 0

.07

0.0

8 0

.09

0.1

Presion [MPa]

Rat

io D

espl

azam

ient

o / R

adio

del

blin

daje

Des

plaz

amie

nto

noda

l vs.

Pre

sion

ext

erna

- E

lem

ento

s B

EA

M E’/E

= 1

0-1

g/R

= 0

D/t

= 1

33

D/t

= 1

50

D/t

= 2

00

D/t

= 2

50

D/t

= 3

00

Figura 5.1: Curvas presion - desplazamiento bajo las condiciones de ‘calibracion‘


Recordamos en este momento el abaco que mencionamos en el apartado recogido por

Toral (vease [21]). Para el caso de Dt = 200 o lo que es igual t

R = 0,01 y jR = 0 la presion

crıtica de pandeo es cercana a 1,85MPa segun el modelo de elementos finitos planteado. En

la figura 5.2 se resalta el valor que predice el abaco.

Figura 5.2: Abaco de Borot recogido por Toral (en [21])

Para comprobar la adecuacion de los resultados obtenidos respecto de las expresiones

analıticas que se proponen en las referencias bibliograficas por un lado incluimos la figura

5.3 extractada de la referencia [24] y por otro lado se elabora la grafica 5.4. En esta figura

directamente podemos apreciar que los resultados obtenidos se adecuan razonablemente bien

a los resultados esperables. Las mınimas diferencias pueden ser atribuibles a la aproximacion


plana que realizamos y a los elementos planos empleados frente a aquellos tridimensionales

de las referencias.

Figura 5.3: Curvas presion - desplazamiento de la referencia [24]

La expresion de Glock, ecuacion 5.1, se corresponde a un desarrollo analıtico en terminos

de minimizacion de la energıa potencial del blindaje partiendo de una deformada cosenoidal

en el pandeo y es considerada como el resultado ‘exacto‘ (close form) para inestabilidad elasti-

ca (ver referencia [8]). La expresion de El-Sawy es obtenida a partir de modelos de elementos

finitos (veanse las referencias [8] y [9]).

PGl =E

1−ν2

( tD

)2,2(5.1)

La expresion correspondiente al blindaje sin confinamiento se corresponde con la predic-

cion de la presion exterior que provoca el pandeo de un anillo elastico sin confinar (ecuacion

5.2). Tal y como predicen las referencias (vease [24]) la presion que provoca el pandeo elasti-

co en el caso del cilindro confinado es 25− 48 veces superior a aquella otra causante de la

inestabilidad en caso de estar libre la tuberıa.

PGl =2E

1−ν2

( tD

)3(5.2)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7

5 1

00 1

25 1

50 1

75 2

00 2

25 2

50 2

75 3

00 3

25 3

50 3

75 4

00

Presion [MPa]

Rat

io D

iam

etro

/esp

esor

del

blin

daje

Res

ulta

dos

num

eric

os v

s. m

odel

os a

nalit

icos

- E

lem

ento

s B

EA

M

E’/E

= 1

0-1

g/R

= 0

Mod

elo

EF

cal

ibra

cion

Glo

ck (

1977

)E

l-Saw

y an

d M

oore

(19

98)

Blin

daje

sin

con

finam

ient

o

Figura 5.4: Comparacion de resultados frente a modelos analıticos (‘calibracion‘)


5.2.2. Irregularidades superficiales

Una vez tenemos calibrado el modelo es el momento de estudiar la influencia sobre el

pandeo de distintos factores. El primero de ellos es la presencia de una irregularidad superfi-

cial sobre la tuberıa. Para modelar este hecho se modifica la posicion del nodo de clave una

cantidad adimensionalizada por el radio del blindaje. En la figura 5.5 se muestra la posicion

del blindaje en la zona de clave en relacion al hormigon que lo rodea. En cierta manera, este

fenomeno puede compararse a la presencia de un gap entre blindaje y hormigon.

Figura 5.5: Posicion deformada en clave de la tuberıa

Se han modelado varias esbelteces de la tabla 3.2 para la tuberıa. A cada una de ellas se les

ha aplicado un desplazamiento normalizado, por el radio del tubo, en clave y se han ensayado

a una presion exterior constante hasta producirse el pandeo. Uno de estos modelos se muestra

en la figura 5.6


Figura 5.6: Modelo de irregularidad en clave y formacion del lobulo de pandeo

En la figura 5.7 se muestra la presion exterior que provoca el pandeo para cada esbeltez

modelada e irregularidad aplicada en clave. Se aprecia la decisiva influencia sobre la presion a

la que se produce el pandeo de la variable estudiada. Conforme aumenta la deformacion inicial

de la clave mas importancia cobran los efectos de la flexion local frente a los de membrana y

mas cerca se esta del punto crıtico.

En la figura 5.8 se muestra una grafica que relaciona el ratio entre presion crıtica de pandeo

de la tuberıa predeformada y presion crıtica de pandeo del blindaje perfectamente cilındrico

(modelo de calibracion) y la irregularidad introducida por otra parte. Se aprecia la rapida

caıda que sufre la presion de pandeo mas acusada en el caso de ser menos esbelta la tuberıa.

Logicamente, aquellas menos esbeltas (Dt = 100 presentan una mayor rigidez a flexion y los

esfuerzos de membrana se sobreponen a la flexion que se va induciendo por la deformacion

en clave de la tuberıa. En las curvas tambien apreciamos como la caıda de presion crıtica de

los blindajes menos esbeltos tiende a relajarse frente a las tuberıas menos esbeltas en las que

el fenomeno es mas continuado.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0

.01

0.0

2 0

.03

0.0

4 0

.05

0.0

6 0

.07

0.0

8 0

.09

0.1

Presion [MPa]

Rat

io Ir

regu

larid

ad in

icia

l / R

adio

del

blin

daje

Irre

gula

ridad

en

clav

e vs

. Pre

sion

ext

erna

E’/E

= 0

.1

g/R

= 0

D/t

= 1

00

D/t

= 1

50

D/t

= 2

00

D/t

= 3

00

Figura 5.7: Presion externa frente a irregularidad normalizada en clave


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

0 0

.01

0.0

2 0

.03

0.0

4 0

.05

0.0

6 0

.07

0.0

8 0

.09

0.1

Pex / Pcr

Rat

io D

espl

azam

ient

o in

icia

l / R

adio

del

blin

daje

Irre

gula

ridad

en

clav

e vs

. Pre

sion

crit

ica

defo

rmad

o/P

resi

on c

ritic

a no

def

orm

ado

E’/E

= 0

.1

g/R

= 0

D/t

= 1

00

D/t

= 1

50

D/t

= 2

00

D/t

= 3

00

Figura 5.8: Ratio Presion crıtica / Presion crıtica cilindro frente a irregularidad normalizada

en clave


5.2.3. Rigidez del macizo envolvente

Nos proponemos ahora comprobar la posible importancia que adquiere la rigidez del ma-

cizo envolvente frente al pandeo elastico de la tuberıa. Para ello se han tomado unos espesores

reducidos del anillo de mortero u hormigon que envuelve al blindaje (2cm y 10cm) y se ha

modificado el modulo de elasticidad del material con el que se modela el macizo simulando

distintas calidades de esta roca: 1MPa corresponderıa a una roca ‘blanda‘; 5MPa correspon-

derıa a una roca de dureza ‘media‘ y finalmente 20MPa que se tratarıa de una roca ‘dura‘.

Estos ensayos se llevan a cabo sobre una tuberıa de esbeltez Dt = 200.

Como referencia se mantendra el blindaje modelado en el apartado 5.2.1, con un anil-

lo de hormigon de espesor 0,5m y un modulo de elasticidad lineal de 20MPa para la roca

envolvente.

Con todas las consideraciones anteriores y los resultados obtenidos de las simulaciones se

elabora la grafica 5.9.

La primera conclusion al observar dicha grafica es que el espesor del anillo de hormigon

que envuelve el blindaje no tiene apenas incidencia sobre el pandeo de la tuberıa. Un espesor

de 2cm constituye ya un confinamiento suficientemente rıgido como para no condicionar el

pandeo del blindaje. Sin embargo, la rigidez del macizo envolvente si que puede tener cierta

incidencia.

Se comprueba que para la roca denominada ‘blanda‘, esto es, con modulo de elasticidad

lineal de 1MPa, permite que el anillo de hormigon sea mas ‘deformable‘ frente a la presion

que le transfiere el acero en su contacto, es decir, el conjunto hormigon-roca pierde rigidez, el

confinamiento pues es menos rıgido y el pandeo se produce a una presion exterior menor. Ya

se mostro en la grafica 5.4 que el pandeo de un anillo o tubo de acero sin confinar se producıa

a una presion del orden de 25− 48 veces inferior a aquella en condiciones de confinamiento

rıgido.

No obstante lo anterior, en un medio ‘blando‘ como el indicado, el descenso de presion

crıtica puede cifrarse en un 10 o 12% respecto a la condiciones de referencia que se es-

tablecieron y esto para un espesor muy reducido de hormigon como son 2cm.


0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

0 0

.01

0.0

2 0

.03

0.0

4 0

.05

Presion [MPa]

Rat

io D

espl

azam

ient

o en

cla

ve /

Rad

io d

el b

linda

je

Influ

enci

a de

l rec

ubrim

ient

o de

hor

mig

on y

rig

idez

del

mac

izo

envo

lven

te

Esb

elte

z D

/t =

200

e =

50

cm E

= 2

0 M

Pa

e =

2 c

m E

= 1

MP

ae

= 2

cm

E=

5 M

Pa

e =

2 c

m E

= 2

0 M

Pa

e =

10

cm E

= 1

MP

ae

= 1

0 cm

E=

5 M

Pa

e =

10

cm E

= 2

0 M

Pa

Figura 5.9: Curvas Presion - Desplazamiento para distintos confinamientos


5.2.4. Diferente altura piezometrica

En tuberıas de moderado diametro la diferencia de altura entre la clave y solera del tubo y

por consiguiente el incremento de altura piezometrica (el termino de cota) serıa despreciable

frente a la presion crıtica a la que se produce el pandeo. En grandes blindajes de acero ligados a

obras hidraulicas, de hasta 4 o 5m de diametro estarıamos interesados en modelar el gradiente

de presion externa que supone el diametro y comprobar si la presion crıtica de pandeo se

modifica.

Para modelar el gradiente de presion se empleara el comando SFGRAD de ANSYS con un

sistema de coordenadas cilındrico con origen en el centro del blindaje.

Una vez introducido el gradiente de presion, fijadas las condiciones de confinamiento y de

esbeltez (Dt = 200), se corren varios modelos y no se aprecia en los resultados apenas ninguna

incidencia respecto a los que se obtuvieron en la situacion de ‘calibracion‘ (apartado 5.2.1) a

tal punto que no merece la pena graficar los resultados pues no encontramos diferencias con

la curva de referencia tomada.

A pesar de ser una variable que se pretendıa estudiar eran predecibles estos resultados.

Desde el momento que quedo establecido el umbral de presion crıtica a la que se produce

el pandeo para una esbeltez tipo Dt = 200, aproximadamente 1,85MPa, los 4m entre clave y

solera suponen un incremento de presion en solera de 0,04MPa y por tanto no es significativo

en la presion crıtica a la que se produce el pandeo.

En el caso de no confinamiento si que podrıa tener importancia como ha quedado estable-

cido en parrafos anteriores.

Capıtulo 6

Conclusiones

62

CAPITULO 6. CONCLUSIONES 63

6.1. Conclusiones

A lo largo del trabajo se ha puesto de manifiesto que el estudio de la presion crıtica de

pandeo de una tuberıa de acero es un fenomeno altamente ‘no lineal‘ y por tanto difıcil de

estudiar de manera analıtica en condiciones distintas bajo las que se desarrollan las diferentes

expresiones que han servido para comprobar el pandeo en proyectos de blindajes de acero

(expresiones de Jacobsen, Amstutz, Glock, etc. . . ).

El metodo de los elementos finitos es pues una herramienta mas que interesante para

obtener aproximaciones numericas del fenomeno fısico comentado, y concretamente los codi-

gos comerciales de elementos finitos han puesto a disposicion de los usuarios una amplia

coleccion de elementos que modelan muchos comportamientos no lineales ası como potentes

algoritmos de ‘linealizacion‘ de los sistemas de ecuaciones no lineales que modelan estos

fenomenos.

Ası ha quedado establecido en las referencias bibliograficas que se citan y en este mismo

trabajo, que ha demostrado una buena convergencia con los resultados allı mostrados. De

las referencias mostradas destacarıamos [8] y [9] que son capaces de establecer una frontera

entre el pandeo elastico e inelastico de los blindajes y [24] cuyos modelos numericos vienen a

corroborar que la expresion de la presion crıtica dada por Glock predice con mucha exactitud

este valor crıtico.

En el trabajo se han empleado varias funcionalidades de ANSYS para modelar un com-

portamiento no lineal. Estas tecnicas nos han permitido validar algunas de las expresiones

analıticas comentadas y estudiar la influencia de algunas variables que afectan al compor-

tamiento ‘prepandeo‘ y que pueden tener interes desde el punto ingenieril: un defecto o out-

of-roundness, espesor del anillo de hormigon o mortero que envuelve el blindaje, rigidez del

macizo rocoso y finalmente la diferencia de presion entre clave y solera del blindaje.

De entre todas estas variables, la presion crıtica de pandeo se muestra muy sensible a

las irregularidades superficiales y ello se desprende de la abrupta caıda de la presion crıtica

cuando el defecto cobra importancia. Solo en el caso de modelar un macizo rocoso ‘blan-

do‘, modulos de elasticidad lineal igual o inferiores a 1MPa, tambien se ha detectado cierto

descenso de la presion crıtica de pandeo por la perdida de rigidez del confinamiento del blin-

CAPITULO 6. CONCLUSIONES 64

daje.

Por otro lado, la influencia del espesor del anillo de hormigon o la sobrepresion en solera

por la diferencia de altura, no parecen condicionar el valor de presion crıtica de pandeo.

6.2. Futuras lıneas de investigacion

Se proponen a continuacion diferentes puntos sobre los que podrıa seguir trabajandose

para afinar el modelo realizado en el trabajo, desde el punto de vista de la fısica del problema

y de la modelizacion numerica con ANSYS

Se propone ampliar el estudio a esbelteces, geometricas y mecanicas, tales que pueda

producirse el pandeo inelastico e incluir y valorar la importancia de la no linealidad del

material en estos casos.

Se propone aplicar cargas seguidoras mediante elementos FOLLW201 como otra fuente

de no linealidad.

Se propone incluir en el modelo la posibilidad de estudiar la carga de pandeo contando

con un gap entre blindaje y anillo de hormigon, es decir, cuando la tuberıa no se encuen-

tra perfectamente confinada. Este parametro debe revelar la sensibilidad de la presion

de pandeo a esta circunstancia de manera similar a los defectos incluidos en el estudio.

Se propone realizar el modelo en 3D para modelar el blindaje mediante elementos

SHELL. Si se opta por un modelo de mayor tamano tridimensional puede estudiarse

el pandeo en presencia de rigidizadores disenados para atenuar este fenomeno.

Apendice A

Propuesta de realizacion de Trabajo Fin

de Master

65

Apendice B

Codigo APDL de ANSYS

B.1. Fichero 00 main.inp

! -----------------------------------------------------------------------------------------------------

! Fichero: 00_main.inp

! Autor: Lucas Rodrıguez

! Objeto: Fichero ejecutable

! Proyecto: Trabajo Fin de Master ETSICCP

! Version: v.1

! -----------------------------------------------------------------------------------------------------

!/CLEAR

/FILENAME,TFM

/TITLE,Blindaje de acero embebido en hormigon

/UNITS,SI

/PLOPTS,LOGO,OFF

/CONFIG,NRES,2000

/PREP7

/INPUT,01_para,inp

67

APENDICE B. CODIGO APDL DE ANSYS 68

/INPUT,02_geom2,inp

/INPUT,03_emrc,inp

/INPUT,04_mesh2,inp

SAVE

/INPUT,10_boun,inp

!/eof

!/INPUT,12_load,inp

meter

/SOLU

ALLSEL,ALL,ALL

/INPUT,13_solv,inp

SOLVE

/POST1

/INPUT,20_pos1,inp

/INPUT,24_pos1_ener,inp

!/POST26

!/INPUT,22_pos26,inp

!/INPUT,23_pos26_ener,inp

B.2. Fichero 01 para.inp

! -----------------------------------------------------------------------------------------------------

! Fichero: 01_para.inp

! Autor: Lucas Rodrıguez

! Objeto: Definir todos los parametros y variables que afectan al modelo


! Proyecto: Trabajo Fin de Master ETSICCP

! Version: v.1

! -----------------------------------------------------------------------------------------------------

! Funciones internas de ANSYS

!-----------------------------------------------------------------------------------------------------

PI = ACOS(-1) ! Numero PI

*AFUN,DEG ! Los angulos los introducimos en grados sexagesimales

! Parametros del estudio

! -----------------------------------------------------------------------------------------------------

! Geometrıa del blindaje

D_t = 133 ! Ratio Diametro/espesor, entre 100 y 300

tb = 2e-02 ! Espesor(thickness), [m]

Db=D_t*tb

Rb=0.5*Db

Lmodelo = 1.5*Db ! Longitud y altura del modelo. Valores recomendados por Vasilikis & Karamanos

Hmodelo = 3*Db

r_oor = 1.0005 ! Ratio Out-of-roundness, planeidad del blindaje para forzar el pandeo mediante un lobulo

! Planeidad en clave y asiento del blindaje

gapb = 0.0 ! Gap del blindaje con el hormigon, [m]

! Contacto entre blindaje y anillo exterior

friccB = 0 ! Coeficiente de friccion del blindaje con el anillo

friccH = 0 ! Coeficiente de friccion del hormigon y terreno

! Geometrıa del Anillo exterior de hormigon


ec = 0.2 ! Espesor del relleno 1 [m]

! Material del blindaje

Eb = 200e+09 ! Modulo de elasticidad del material del blindaje [Pa]

nub = 0.3 ! Coeficiente de Poisson del material de blindaje [-]

sigma_s = 235e+06 ! Lımite elastico del acero del blindaje [Pa]

gamma_s = 7850 ! Peso especıfico del acero del blindaje [kg/m3]

! Material del Anillo exterior de hormigon

Em1 = 21e+09 ! Coeficiente de elasticidad del material de relleno 1(en contacto) [Pa]

nu1 = 0.2 ! Coeficiente de Poisson del material de relleno 1 (en contacto) [-]

gamma_1 = 2300 ! Peso especıfico del material de relleno 1 [kg/m3]

! Material del medio exterior al anillo

Em2 = 20e+09 ! Coeficiente de elasticidad del material de relleno 2 (mas alejado) [Pa]

nu2 = 0.2 ! Coeficiente de Poisson del material de relleno 2 (mas alejado) [-]

gamma_2 = 2300 ! Peso especıfico del material de relleno 2 [kg/m3]

! Parametros para mallar

nb = 80 ! Numero de elementos del blindaje

! Cargas y condiciones a imponer al modelo

Pb = 1900000 ! Presion del agua sobre el blindaje [Pa] en 198 converge!!

Pgrad = 0*(10000*Db/180) ! Gradiente de presion por grado sexagesimal (calculado)

Apendice C

Codigo GNUPLOT para representacion

de resultados

C.1. Obtencion de la curva P - u con GNUPLOT

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% TFM UNED MEF 2011

% Lucas Rodrıguez Velasco

% Curvas de Presion - Desplazamiento a partir de los ficheros

% generados en ANSYS

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

set grid;

set title ’Desplazamiento nodal vs. Presion externa - Elementos BEAM’;

set ylabel ’Presion [MPa]’;

set xlabel ’Ratio Desplazamiento / Radio del blindaje’;

set autoscale xy;

set xrange[0:0.1]

set xtics 0.01

71

APENDICE C. CODIGO GNUPLOT PARA REPRESENTACION DE RESULTADOS 72

set label "E’/E = 10ˆ{-1}" at 0.08, 4

set label "g/R = 0" at 0.08,3.5

plot ’Pres_desp_D_t_100_t_3.E-02.out’ using ($3):($5) title ’D/t = 100 ’ w l,

’Pres_desp_D_t_133_t_3.007518797E.out’ using ($3):($5) title ’D/t = 133’ w l,

’Pres_desp_D_t_150_t_2.E-02.out’ using ($3):($5) title ’D/t = 150’ w l,

’Pres_desp_D_t_167_t_2.994011976E.out’ using ($3):($5) title ’D/t = 167’ w l,

’Pres_desp_D_t_200_t_2.E-02.out’using ($3):($5) title ’D/t = 200’ w l,



’Pres_desp_D_t_400_t_1.E-02.out’using($3):($5) title ’D/t = 400’ w l;

set terminal postscript enhanced monochrome

set output ’Curva P d Calibracion BN.eps’

replot

unset output

set terminal windows

set terminal postscript enhanced color

set output ’Curva P d Calibracion Color.eps’

replot

unset output


C.2. Obtencion de la curva P - t/D con GNUPLOT

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% TFM UNED MEF 2011

% Lucas Rodrıguez Velasco


% Curvas de Presion - Esbeltez a partir de los ficheros generados

% en ANSYS

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

set xtics 25

set autoscale xy

set xrange [75:415]

set title ’Resultados numericos vs. modelos analiticos - Elementos BEAM’

set ylabel ’Presion [MPa]’;

set xlabel ’Ratio Diametro/espesor del blindaje’

unset label

set label "E’/E = 10ˆ{-1}" at 325, 7

set label "g/R = 0" at 325,6.6

plot ’P_Dt.out’ using ($1):($2) title ’Modelo EF calibracion’ w lp,

’P_Dt.out’ using ($1):((210000/(1-0.3**2))*$1**(-2.2)) title ’Glock (1977)’ w lp,

’P_Dt.out’ using ($1):((2*210000/(1-0.3**2))*$1**(-3)*(25+700*$1**-1)/

(0.15+130*$1**-1+1400*$1**-2)) title ’El-Sawy and Moore (1998)’ w lp,

’P_Dt.out’ using ($1):((2*210000/(1-0.3**2))*$1**(-3)) title ’Blindaje sin

confinamiento’ w lp

set terminal postscript enhanced monochrome

set output ’Curva P Dt Calibracion BN.eps’

replot

unset output


set terminal postscript enhanced color

set output ’Curva P Dt Calibracion Color.eps’


replot

unset output


Bibliografıa

[1] A., T., AND R., G. Verification of the validity of conventional design rules for steel-

lined pressure tunnels under external pressure. In International Seminar on Hydropower

Plants (2006), pp. 1–15.

[2] ALVAREZ CABAL, R., AND BENITO MUNOZ, J. Calculo Avanzado de Estructuras

Metalicas. Universidad Nacional de Educacion a Distancia (UNED), 2008.

[3] ANSYS, INC. ANSYS Release 11.0 Documentation, release 11.0 ed., 2007.

[4] ARIZA MORENO, P., AND SAEZ PEREZ, A. Introduccion a Ansys. Secretariado de

Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 2004.

[5] BISCHOFF, M., AND RAMM, E. Computational modeling of shell structures. Seminario

impartido en la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos de Madrid, 2011.

[6] DE ESTRUCTURAS Y MATERIALES, L. C. El metodo de los elementos finitos en el

analisis estructural: Teorıa y aplicaciones practicas. modulo iii: Metodos semianalıticos

y calculo no lineal. Tech. rep., CEDEX, Centro de Estudios y Experimentacion de Obras

Publicas, 1993.

[7] DE ESTRUCTURAS Y MATERIALES, L. C. Curso sobre aplicaciones del metodo de los

elementos finitos en ingenierıa civil. Tech. rep., CEDEX, Centro de Estudios y Experi-

mentacion de Obras Publicas, 2000.

[8] EL-SAWY, K. Inelastic stability of tightly fitted cylindrical liners subjected to external

uniform pressure. Thin-Walled Structures, 39 (2001), 731–744.

75

BIBLIOGRAFIA 76

[9] EL-SAWY, K. Inelastic stability of loosely fitted cylindrical liners. Journal of Structural

Engineering 7, 128 (2002), 934–941.

[10] EL-SAWY, K., AND SWEEDAN, A. M. Elastic stability analysis of loosely fitted thin

liners - a proposed simplified procedure and evaluation of existing solutions. Tunnelling

and Underground Space Technology, 25 (2010), 689–701.

[11] FARSHAD, M. Design and Analysis of Shell Structures. Kluwer Academic Publishers,

1992.

[12] FORUM, T. Buckling of steel tunnel liner under external pressure. Journal of Energy

Engineering, 124 (1998), 55–89.

[13] GONZALEZ DE CANGAS, J., AND SAMARTIN QUIROGA, A. Calculo de estructuras.

Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, 1999.

[14] GUICE, L., AND LI, J. Buckling models and influencing factors for pipe rehabilitation

design. In Proceedings of the North American NO-DIG (1994).

[15] GALVEZ CRUZ, D. Calculo Estructural de Tuberıas Enterradas por el Metodo de los

Elementos Finitos, con base en el Informe Tecnico CEN/TER 1295-3. PhD thesis, Uni-

versidad Politecnica de Madrid, Marzo 2010.

[16] HERNANDEZ IBANEZ, S. Diseno de Estructuras de Acero. E.T.S. Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de La Coruna, 2004.

[17] NASH, W. A. Theory and Problems of Strength of Materials, fourth ed. Schaum’s

Outline, 1998, ch. 3, pp. 63–78.

[18] OMARA, A., AND GUICE, L. Buckling models of thin circular pipes encased in rigid

cavity. Journal of Engineering Mechanics, 123 (1997), 1294–1301.

[19] THE STEEL CONSTRUCTION INSTITUTE. Steel Designers Manual, fith edition ed.,

2000.

BIBLIOGRAFIA 77

[20] THIBEAULT, N. Graphical application of buckling equations for a cylindrical steel tun-

nerl liner with and without stiffeners. Practice Periodical on Structural Design and

Construction 2, 13 (2008), 78–84.

[21] TORAL SANTANDER, J. Pandeo de blindajes de galerıas forzadas y tuberıas embebidas

en presas de hormigon. Revista de Obras Publicas tomo I (3002), 313 (1965), 515–524.

[22] TORAL SANTANDER, J. Pandeo de blindajes de galerıas forzadas y tuberıas embebidas

en presas de hormigon. Revista de Obras Publicas tomo I (3003), 313 (1965), 595–605.

[23] VASILIKIS, D., AND KARAMANOS, S. Buckling of unconfined and confined thin-

walled steel cylinders under external pressure. In Pipelines ASCE Congress (2008).

[24] VASILIKIS, D., AND KARAMANOS, S. Stability of confined thin-walled steel cylinders

under external pressure. International Journal of Mechanical Sciences, 51 (2009), 21–

32.

[25] ZIENKIEWICZ, C., AND TAYLOR, R. The Finite Element Method, fifth ed., vol. 2, Solid

Mechanics. Butterworth - Heinemann, 2000, ch. 11, pp. 365–392.

m´aster en ingeniería de las estructuras, cimentaciones y materiales

Documents