IX PREDAVANJE

DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Osnovni pojmovi

Definicija. Jednacina koja povezuje neku funkciju, njene nezavisno promenljive injene izvode zove se diferencijalna jednacina.

Ako se radi o jednacini jedne nezavisno promenljive tada se jednacina zoveobicna diferencijalna jednacina:

F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0

Red diferencijalne jednacine je red najviseg izvoda koji se pojavljuje u datojdiferencijalnoj jednacini.

PRIMER: Jednacina x2y+xy+x2y = 0 je drugog reda a jednacina y(4)+y =sinx je cetvrtog reda.

Opsti oblik diferencijalne jednacine prvog reda je

F (x, y, y) = 0

Resiti (ili integraliti) diferencijalnu jednacinu znaci odrediti sve funkcije y =f(x) koje zadovoljavaju tu jednacinu.

PRIMER: Resiti diferencijalnu jednacinu y = 1.

Resenje: Iz y = 1 sledi da jedy

dx= 1 dy = dx. Odatle je

dy =

dx, tj.

y = x + C, sto predstavlja skup pravih sa koeficijentom pravca 1 i odseckom C nayosi .

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

Skup pravih y = x + C, za C = 5,4, . . . , 5

PRIMER: Resiti diferencijalnu jednacinu y = 2x.

Resenje: Iz y = 2x sledi y =

2xdx = x2 +C, sto je skup parabola simetricnihu odnosu na yosu.

1

2-4 -2 2 4-5

5

10

15

20

25

30

Skup parabola y = x2 + C, za C = 5,4, . . . , 5

Integralna kriva diferencijalne jednacine je kriva koja predstavlja grafickoresenje date jednacine.

Opste resenje d.j. reda n je familija krivih u ravni definisana jednacinom

y = (x,C1, C2, . . . , Cn),

koja identicki zadovoljava datu d.j. dok su Ci proizvoljne brojne konstante.Opste resenje d.j. ima onoliko proizvoljnih brojnih konstanti kog je reda jednacina.

To ukazuje na broj integracija potrebnih da se dodje do resenja.

Definicija. Pocetni problem ili Kosijev problem je diferencijalna jednacina

y(n) = f(x, y, y, . . . , y(n1))

zajedno sa pocetnim uslovima

y(x0) = y0, y(x0) = y1, . . . , y

(n1)(x0) = yn1

PROBLEM: Resiti Kosijev problem:a) y = 1, y(0) = 0; b) y = 1, y(0) = 1.

Pomocu pocetnog uslova odredjuju se konstante u opstem resenju tako da sedobija partikularno resenje.

Sledeca teorema daje uslove za postojanje i jedinstvenost resenja Kosijevog prob-lema.

Peanova teorema. Neka je dat Kosijev problem

y = f(x, y), y(x0) = y0. (1)

Ako je funkcija f neprekidna na pravougaoniku

P = {(x, y)| x0 a x x0 + a, y0 b y y0 + b},

tada postoji bar jedno resenje problema (1) na intervalu (x0 , x0 + ), gde je

= min{a,b

M}, M = max

(x,y)P|f(x, y)|.

3Funkcija f na P zadovoljava Lipsicov uslov po promenljivoj y ako postoji brojL tako da za svake dve tacke (x, y1), (x, y2) P vazi

|f(x, y2) f(x, y1)| L|y2 y1|

Ako je funkcija f neprekidna na pravougaoniku P i ako f zadovoljava Lipsicovuslov na P po promenljivoj y, tada postoji jedinstveno resenje Kosijevog problema(1) na intervalu (x0 , x0 + ), gde je

= min{a,b

M}, M = max

(x,y)P|f(x, y)|.

FORMIRANJE DIFERENCIJALNIH JEDNACINA

Neka je data familija krivih u ravni definisana jednacinom

f(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0,

koja zavisi od n proizvoljnih parametara C1, C2, . . . , Cn. Diferenciranjem ove jednacinen puta dobija se sistem od n jednacina

f

x+

f

yy = 0

2f

x2+ 2

2f

xyy +

2f

y2y

2+

f

xy = 0

...

f

x+

f

yy = 0

Iz ovog sistema je moguce izvrsiti eliminaciju svih parametara Ci, nakon cega sedobija diferencijalna jednacina oblika

F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0.

PRIMER: Formirati diferencijalnu jednacinu cije je resenje familija krugova uravni

(x p)2 + (y q)2 = r2 (p, q, r R).

Trazenu jednacinu dobicemo ako izvrsimo eliminaciju parametara p, q, r. Ako triputa uzastopce diferenciramo gornju jednacinu, dobijamo

x p + (y q)y = 0, 1 + (y)2 + (y q)y = 0, 3yy + (y q)y = 0.

Iz druge jednacine je

y q = 1 + (y)2

y

4pa iz poslednje jednakosti sledi

3yy 1 + (y)2

yy = 0 y(1 + (y)2) 3y(y)2 = 0

DIFERENCIJALNE JEDNACINE PRVOG REDA

Opsta teorija za resavanje d.j. ne postoji vec se razmatraju odredjeni tipovi d.j.prema kojima se formiraju odgovarajuci metodi za resavanje. U nastavku ce bitirazmotreni neki tipovi diferencijalnih jednacina i metodi za njihovo resavanje.

JEDNACINA KOJA RAZDVAJA PROMENLJIVE

Diferencijalna jednacina prvog reda koja razdvaja promenljive ima oblik

y = f(x) g(y)

gde su f i g neprekidne funkcije po x, tj. y, na intervalima [a, b] i [c, d]. Pod uslovomda je g(y) 6= 0, mozemo pisati

dy

g(y)= f(x)dx,

a odatle je dy

g(y)=

f(x)dx.

Ako je za neko y0 [c, d] zadovoljeno g(y0) = 0, tada se moze pokazati da pravay = y0 takodje predstavlja resenje date d.j.

PRIMER: Resiti d.j.

y =y2

x3, x 6= 0.

PRIMER: Resiti d.j. y = ln(xxy), x > 0.

PRIMER: Odrediti partikularno resenje d.j.

y = 2y

x, x 6= 0,

koje zadovoljava pocetni uslov y(1) = e.