máquinas eléctricas -...

Máquinas Eléctricas

Armengol Blanco BenitoFacultad Nacional de Ingeniería

Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica

16 de diciembre de 2015

ii

PrefacioEl presente texto guía, es una compilación y actualización de los apuntes utilizado en

la asignatura Máquinas Eléctricas del Programa de Ingeniería Electrónica de la FacultadNacional de Ingeniería sobre la teoría de máquinas eléctricas. Se consultaron varios textosclásicos y modernos.

Se presenta la deducción de las potencias activa y reactiva del generador síncrono de po-los salientes y se enfatiza en la modelación matemática del motor de inducción doblementealimentado y la máquina síncrona de imán permanente con vistas al control del mismo.

En el texto, se incluyen ejemplos y problemas resueltos para claricar y aplicar los con-ceptos expuestos.

La edición del texto, se preparó en el ambiente LATEX2ε mediante el editor WinEditr v.6,0, las simulaciones y los cálculos se realizaron en Matlab c© 9a.

Armengol Blanco

Índice general

1. Generador de Corriente Continua 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3.1. Generador Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2. Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.3. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4. Entrehierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.5. Componentes Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Fuerza Electromotriz Inducida, FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Modelo del Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Tipos de Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Generador en Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.2. Ecuaciones del Generador en Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.3. Generador Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.4. Ecuaciones del Generador Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.5. Generador Compuesto Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.5.1. Ecuaciones del Generador Compuesto Corto . . . . . . . . . 131.6.5.2. Ecuaciones del Generador Compuesto Largo . . . . . . . . . 13

1.6.6. Generador Compound Sustractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Reacción de Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. Pérdidas en el Generador de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9. Interpolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Características de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Motor de Corriente Continua 212.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Fuerza Contraelectromotriz Inducida, FCEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6. Circuito Equivalente del Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

iii

iv ÍNDICE GENERAL

2.7. Par Desarrollado por un Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8. Potencia Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9. Tipos de Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9.1. Motor en Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9.2. Motor Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.9.3. Motor Compound Acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9.4. Motor Compound Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10. Características del Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11. Pérdidas en el Motor de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12. Control de Motor de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Generador Síncrono 313.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5. Ciclo de Histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1. Corrientes de Eddy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6. Ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8. Clasicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9. Ventilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.10. Materiales Aislantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. FEM y FMM en Devanados de CA 394.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Características Fundamentales de la FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Paso Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Ley de Faraday-Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.1. FEM en un Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Completo . . . . . . . 424.6. FEM de una Espira de Devanado Distribuido y Paso Completo . . . . . . . . 424.7. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Paso Fraccionario . . . . . 43

4.7.1. Factor de Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.8. Expresión General de la FEM inducida en Máquinas de CA . . . . . . . . . 45

4.8.1. Armónico de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9. Ecuaciones de las Ondas Pulsantes y Progresivas . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9.1. Onda Progresiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9.2. Onda Móvil Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9.3. Onda Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9.4. Campo Giratorio Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.10. FMM en Devanados de CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ÍNDICE GENERAL v

4.10.1. FMM de un Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.10.2. Componente Fundamental de la FMM de Armadura . . . . . . . . . . 48

5. Regulación y Funcionamiento de los Generadores Síncronos 515.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1. Inductancia de la Bobina de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.2. Inductancia de la Reacción de Armadura del Inducido . . . . . . . . . 525.2.3. Inductancia de Dispersión del Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3. Diagrama Fasorial de un Generador de Rotor Liso . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. Diagrama Fasorial de un Generador de Polos Salientes . . . . . . . . . . . . 55

6. Operación en Paralelo de Generadores Síncronos 616.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Operación en Paralelo de Generadores Síncronos . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2.1. Ventajas de la Operación en Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.2. Desventajas de la Operación en Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3. Condiciones para la puesta en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4. Métodos de Sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4.1. Método de las Lámparas Apagadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4.2. Método de las Lámparas Encendidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4.3. Método de las Lámparas Giratorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.4. Método del Sincronoscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5. Reparto de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5.1. Diagrama Fasorial de Generadores idénticos conectados en Paralelo . 69

6.6. Características Frecuencia vs Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.7. Características Tensión vs Potencia Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.8. Características en Vacío y Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.8.1. Ensayo en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.8.2. Ensayo en Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.8.3. Determinación de la Reactancia Síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . 756.8.4. Medición de la Resistencia del Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.9. Características P-Q de un Generador de Rotor Liso . . . . . . . . . . . . . . 766.9.1. Potencia Activa y Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.10. Características P-Q de un Generador de Polos Salientes . . . . . . . . . . . . 786.10.1. Restricciones en la Operación de Máquinas Síncronas . . . . . . . . . 786.10.2. Potencia Activa y Reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Motor Síncrono 837.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.3. Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

vi ÍNDICE GENERAL

7.3.1. Diagrama Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4. Característica Par-Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.5. Curvas en V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.6. Métodos de Arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.7. Corrección del Factor de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8. Transformadores 918.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2. Denición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.3. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4. Tipos de Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.5. Transformador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.6. Transformador Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.6.1. Circuito Eléctrico Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.7. Diagrama Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.8. Pérdidas y Rendimiento del Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.8.1. Pérdidas Óhmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.8.2. Pérdidas en el Núcleo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.8.2.1. Pérdidas Debidas a las Corrientes Parásitas . . . . . . . . . 998.8.2.2. Pérdidas por Histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.8.3. Rendimiento de un Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.9. Ensayos en Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.9.1. Ensayo en Circuito Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.9.2. Ensayo en Corto Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.10. Transformadores Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.11. Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.12. Comparación de un Transformador y Autotransformador . . . . . . . . . . . 103

9. Motor de Inducción Trifásico 1059.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.2. Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.3. Características Constructivas de una Máquina de Inducción Rotatoria . . . . 106

9.3.1. Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3.2. Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9.3.2.1. Rotor Jaula de Ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3.2.2. Rotor Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.5. Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.6. Fuerza Magnetomotriz Giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.7. Frecuencia en el Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.8. Circuito Eléctrico Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.8.1. Circuito Equivalente del Motor Asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . 113

ÍNDICE GENERAL vii

9.8.2. Balance de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.8.3. Par de Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.8.4. Par Motor y Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.8.5. Característica Par - Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.8.6. Par - Velocidad de un Motor de Rotor Devanado . . . . . . . . . . . 121

9.9. Pérdidas en el Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.10. Ensayos en Motores de Inducción [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.10.1. Ensayo en Vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.10.2. Rotor Bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.11. Métodos Arranque de los Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.12. Control del Motor de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.12.1. Coordinación de Protecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10.Motor de Inducción Monofásico 12910.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2. Características Constructivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.3. Campo Magnético Giratorio Elipsoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.4. Motor de Fase Partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.5. Motor con Arranque por Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.6. Motor Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.Generador de Inducción 13511.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.2. Antecedentes Históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.3. Características Constructivas del Generador de Inducción . . . . . . . . . . . 13511.4. Principio de Funcionamiento de un Generador de Inducción . . . . . . . . . . 13611.5. Generador de Inducción de Rotor Devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.6. Generador de Inducción de Rotor Jaula de Ardilla . . . . . . . . . . . . . . . 137

A. Modelo del Motor de Inducción 139A.1. Modelo de un Motor Trifásico Tipo Jaula de Ardilla . . . . . . . . . . . . . . 139A.2. Transformación de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.2.1. Transformación de Park Preservando Amplitudes . . . . . . . . . . . 142A.2.2. Transformación de Park Preservando Energía . . . . . . . . . . . . . 143A.2.3. Modelos Bifásicos de los Motores de Inducción . . . . . . . . . . . . . 144

A.2.3.1. Ecuaciones Eléctricas en Coordenadas dq . . . . . . . . . . 145A.2.3.2. Ecuaciones de Flujos en Coordenadas dq . . . . . . . . . . . 146A.2.3.3. Ecuaciones Mecánicas en Coordenadas dq . . . . . . . . . . 147A.2.3.4. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas

General dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.2.3.5. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas

Fijas αβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

viii ÍNDICE GENERAL

A.2.3.6. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Referencia Ori-entado d− q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.3. Modelo del Motor de Inducción Doblemente Alimentado . . . . . . . . . . . 149A.4. Modelo de la Máquina Síncrona de Imán Permanente . . . . . . . . . . . . . 150

A.4.1. Modelado de la Máquina Síncrona de Imán Permanente en Coorde-nadas abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A.4.2. Modelo del PMSM en el Marco de Referencia Giratorio dq . . . . . . 151

Índice de cuadros

1.1. Característica de funcionamiento en vacío. . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Característica de funcionamiento en carga. . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Tabla de valores para el problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9.1. Ensayos del motor asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

ix

x ÍNDICE DE CUADROS

Índice de guras

1.1. Estructura de una máquina de CC [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Generador elemental de corriente continua [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Estructura del estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Laminas del rotor [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Estructura del colector [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Generador elemental de corriente continua [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7. Modelo del generador de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8. Generador elemental de corriente continua [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9. Generador derivación [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10. Característica en vacío del generador de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11. Generador serie [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.12. Generador compuesto aditivo [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.13. Generador compuesto aditivo [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.14. Generador compuesto sustractivo [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.15. Reacción de armadura. [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.16. Pérdidas en un Generador de CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.17. Devanados de conmutación y compensación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.18. Características de carga de generadores de CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Circuito equivalente del motor de CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Par - motor de un motor de CC [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Características Par-Velocidad de un motor de CC [9] . . . . . . . . . . . . . 272.4. Características Par-Corriente de armadura de un motor de CC [6] . . . . . . 272.5. Pérdidas en un motor de CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. Control de un motor de CC [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1. Un tubo de ujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Curva de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Tipos de ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Tipos de Rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5. Generador de rotor liso y polos salientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1. Líneas de inducción y supercies equipotenciales [9] . . . . . . . . . . . . . . 40

xi

xii ÍNDICE DE FIGURAS

4.2. Inducción magnética y forma del entrehierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Devanado distribuido y paso completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4. Devanado concentrado y paso fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5. Fuerza Magnetomotriz de una bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1. Diagrama fasorial del Generador de Rotor Liso . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Efecto de la reacción de armadura en el interpolo . . . . . . . . . . . . . . . 565.3. Relaciones angulares de corrientes, ujo y tensión inducida . . . . . . . . . . 575.4. Diagrama fasorial del generador de polos salientes . . . . . . . . . . . . . . . 575.5. Diagrama fasorial para determinar δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Curva de carga diaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Generadores en paralelo [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3. Sistema y Generador en paralelo [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4. Esquema de conexiones de lámparas apagadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . . . . . . . 656.6. Esquema de conexiones de lámparas encendidas . . . . . . . . . . . . . . . . 666.7. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . . . . . . . 676.8. Esquema de conexiones de lámparas giratorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.9. Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor . . . . . . . . . . . . . . . 686.10. Característica frecuencia vs potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.11. Diagrama casa para los generadores del ejemplo (6.2) . . . . . . . . . . . . . 716.12. Característica frecuencia vs potencia para generadores en paralelo . . . . . . 726.13. Característica tensión vs potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.14. Esquema para el ensayo en vació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.15. Esquema para el ensayo en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.16. Características en vacío y cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17. Esquema para la medición de resistencia del inducido . . . . . . . . . . . . . 766.18. Curva de capacidad del generador de rotor liso . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.19. Curva de capacidad del generador de polos salientes . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1. Estructura del devanado amortiguador [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2. Estructura del motor síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3. Circuito equivalente del motor síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4. Diagramas fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.5. Torque del motor síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.6. Curva en V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.7. Inversor de frecuencia en el arranque del motor síncrono . . . . . . . . . . . 877.8. Conexión del motor síncrono para corregir el factor de potencia . . . . . . . 887.9. Triángulos de potencias en la corrección del factor de potencia . . . . . . . . 89

8.1. Transformador acorazado monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2. Transformador de columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

ÍNDICE DE FIGURAS xiii

8.3. Sección del núcleo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.4. Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.5. Esquema del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.6. Circuito equivalente del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.7. Circuito equivalente del transformador en alta frecuencia . . . . . . . . . . . 978.8. Circuito equivalente del transformador referido al primario . . . . . . . . . . 978.9. Diagrama fasorial del secundario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.10. Diagrama fasorial del primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.11. Curva de histéresis del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.12. Esquema para el ensayo en vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.13. Esquema para el ensayo en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.14. Corte de un transformador trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.15. Esquema de un transformador trifásico ∆− Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.16. Transformador y Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.1. Partes de un motor de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.2. Tipos de ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3. Jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.4. Motor con rotor jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.5. Rotor devanado con reóstato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.6. Motor con rotor devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.7. Interacción de campo magnéticos en el motor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.8. Campo magnético giratorio en el entrehierro del motor . . . . . . . . . . . . 1109.9. Circuito equivalente monofásico del motor de inducción [12] . . . . . . . . . 1139.10. Desarrollo del circuito equivalente del motor asíncrono [12] . . . . . . . . . . 1149.11. Circuito equivalente reducido al estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.12. Circuitos equivalentes: a) exacto, b) aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.13. Curvas par-velocidad de una máquina asíncrona. Zonas de funcionamiento . 1199.14. Características de un motor de inducción [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.15. Torque inducido vs velocidad mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.16. Par motor vs velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.17. Par motor vs velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.18. Pérdidas en el motor de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.19. Esquema para el ensayo en vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.20. Pérdidas en vacío en función de la tensión [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.21. Esquema del ensayo del ensayo de rotor bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . 1249.22. Circuito equivalente en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.23. Diagrama multilar del arranque directo [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.24. Control de un motor de inducción [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.25. Coordinación fusible y relé de sobrecorriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10.1. Estructura del motor de inducción monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

xiv ÍNDICE DE FIGURAS

10.2. Devanados del motor monofásico [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.3. Conexiones del motor de fase partida [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.4. Torque del motor con arranque por condensador [17] . . . . . . . . . . . . . 13110.5. Torque del motor con arranque por condensador [9] . . . . . . . . . . . . . . 13210.6. Circuito equivalente del motor universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.7. Torque del motor universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.1. Generador de Inducción [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.2. Generador de Inducción con Rotor Devanado [16] . . . . . . . . . . . . . . . 13711.3. Generador de Inducción con Rotor Devanado [15] . . . . . . . . . . . . . . . 13711.4. Generador de Inducción con Jaula de Ardilla Aislado [15] . . . . . . . . . . . 13811.5. Generador de Inducción con Jaula de Ardilla conectado a red [15] . . . . . . 138

A.1. Sistema trifásico [iabc] y el sistema bifásico equivalente [idq]. Ambos sistemascrean la misma FMM [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.2. Ángulos entre los marcos de referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.3. Marco de coordenadas abc y qd, estacionario y giratorio, marcos en el PMSM 151

Capítulo 1

Generador de Corriente Continua

1.1. Introducción

En este capítulo, se describe las características constructivas y operativas de las máquinasde corriente continua (CC).

1.2. Denición

El generador transforma la energía mecánica en energía eléctrica. Tiene un movimientode rotación. El generador de corriente continua transforma la energía mecánica en energíade eléctrica de CC.

El generador está accionado por un motor primario que puede ser un motor diesel o unaturbina térmica.

1.3. Características Constructivas

El generador de corriente continua, denominada históricamente como la dínamo, es unamáquina rotativa que se compone de dos partes: Un estator donde se tiene el inductor queson los polos magnéticos con sus devanados de campo; un rotor que es un cuerpo cilíndricogiratorio, donde se tiene los conductores del devanado del inducido, denominado tambiéncomo armadura. El estator y el rotor está separado por el entrehierro que es un espaciodonde están presentes los campos electromagnéticos. En la Fig. (1.1), se muestra las partesde un generador de corriente continua.

1.3.1. Generador Elemental

En la Fig. (1.2), se muestra un modelo simple del generador de corriente continua. Es ungenerador de dos polos y se representa el rotor por una bobina de dos espiras, el colector

1

2 CAPÍTULO 1. GENERADOR DE CORRIENTE CONTINUA

Figura 1.1: Estructura de una máquina de CC [9]

tiene dos segmentos y dos escobillas. Se requiere de un par mecánico con una velocidad derotación ω.

Figura 1.2: Generador elemental de corriente continua [9]

1.3.2. Estator

El estator del generador de CC tiene al exterior la carcasa que es de hierro fundido y alinterior está el yugo que es de material ferromagnético, los polos principales, el devanado deexcitación, los interpolos, el devanado de interpolo y el devanado de compensación.

En la Fig. (1.3), se muestra el estator de un generador de CC con sus diferentes elementosque constituyen el estator.

1.3. CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS 3

Figura 1.3: Estructura del estator

1.3.3. Rotor

El rotor del generador de CC está construido por láminas circulares ferromagnéticasranuradas de 0.35 mm de espesor, tiene en la parte periférica el devanado de armaduraconstituido por espiras incrustadas en las ranuras y a un extremo del rotor se dispone delcolector (denominado también como conmutador), el cual tiene una serie de delgas y entredelga y delga hay una lámina de mica que es un aislamiento eléctrico. El devanado de laarmadura se conecta a las delgas del conmutador.

En la Fig. (1.4), se muestra un sector de la lámina que conforman el rotor. Y en la Fig.(1.5), se muestra la estructura del colector.

1.3.4. Entrehierro

El entrehierro del generador de CC, es un espacio de separación entre el estator y el rotorde aproximadamente de 3 mm de espesor. En este entrehierro, se produce la mayor parte dela conversión de energía y potencia electromagnética, aproximadamente del 90% [11].

1.3.5. Componentes Auxiliares

Los otros componente auxiliares, son: Las zapatas de sujeción de la máquina, la caja deborneras para las conexiones al exterior, las portaescobillas y sus escobillas, las aspas delventilador, los rodamientos de las tapas en la que descansa el eje.


Figura 1.4: Laminas del rotor [9]

Figura 1.5: Estructura del colector [9]

1.4. Fuerza Electromotriz Inducida, FEM

La Fuerza Electromotriz Inducida (FEM), E, está dado por la ecuación:

E =φnZ

60

P

a

E =ZP

2πaφωm = kaφωm

donde:

1.4. FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA, FEM 5


Z = Número de conductores activos en la armaduraP = Número de campos polaresφ = Flujo magnético por polo en Webern = Velocidad de rotación de la armadura en rpmωm = Velocidad angular del rotor en rad/seg.a = Número de trayectorias paralelas de corriente en la armaduram = Números de devanados completos independientes (1, 2, 3, etc.)

El número de conductores Z del inducido está dado por:

Z = 2CNc

donde:C = Número de bobinas de la armaduraNc = Número de espiras de una bobinaEl número de ramas en paralelo a en el inducido, según la naturaleza del devanado, está

dado por:a = mP Para el devanado imbricadoa = 2m Para el devanado onduladom = Números de devanados completos independientes (1, 2, 3, etc.)

Ejemplo 1.1 Un inducido con devanado imbricado dúplex se utiliza en una máquina de 6polos con seis grupos de escobillas, cada una de las cuales abarca dos segmentos de con-mutación. En el inducido de cada una de ellas hay 72 bobinas de 12 espiras. EL ujo porpolo en la máquina es 0.043 Wb, y la máquina rota a 450 rpm. Cuál es su tensión inducidoE.


Solución 1.1

a = mP = 2 · 6 = 12 Trayectorias de corrienteZ = 2CNc = 2 · 72 · 12 = 1728 Número de Conductores

ka =ZP

60a=

1728 · 660 · 12

= 14,4

E = kaφn = 14,4 · 0,043 · 450 = 278,64V

1.5. Modelo del Generador

Como toda bobina que está conformada por un cierto número de espiras y una ciertalongitud de conductor de cobre, al circular una corriente por la bobina existe una caída detensión, por tanto, la bobina tiene una inductancia y resistencia.

Las espiras del inducido constituyen una bobina, por tanto, se representa por una induc-tancia y resistencia, La y Ra respectivamente.

Las espiras del campo polar ( denominado también inductor) constituyen una bobina,por tanto, se representa por una inductancia y resistencia, Lf y Rf respectivamente.

En la Fig. (1.7), se muestra el circuito equivalente de un generador de CC modelado enbase a las ecuaciones de la FEM.

Figura 1.7: Modelo del generador de CC

1.6. TIPOS DE GENERADOR 7

1.6. Tipos de Generador

De acuerdo a la forma de excitación los generadores de CC, se clasican como:

1. Imán Permanente

2. Autoexcitada

3. Excitación independiente

4. Derivación

5. Serie

6. Compuesta

7. Compuesta diferencial

8. Compuesta acumulativa

9. Compuesta derivación larga

10. Compuesta derivación corta

En la Fig. (1.8), se muestra el esquema de la clasicación de los generadores de CC tomandoen cuenta la forma de creación del campo magnético.


Los generadores de CC utilizadas en las industrias, en gran parte son autoexcitadas.


1.6.1. Generador en Derivación

En el generador en derivación, también denominada generador shunt, la energía para laalimentación del campo polar se toma de la FEM generada por el mismo generador mediantela conexión en paralelo del devanado de campo con la armadura.

En la Fig. (1.9), se muestra el esquema de conexión del generador.

Figura 1.9: Generador derivación [9]

1.6.2. Ecuaciones del Generador en Derivación

Id =V

Rd

Corriente del campo derivación

Ia = IL + Id Corriente de armadura

V = E − IaRa Tensión en terminales

PE = EIa Potencia desarrollada en la armadura

PL = V IL = Potencia entregada a la carga

Ejemplo 1.2 Un generador en derivación de 50 kW, 250 V, tiene una resistencia del cir-cuito de campo igual a 62.5 Ω, una caída de tensión en escobillas de 3 V y una resistencia delcircuito de armadura igual a 0.025 Ω. Cuando se suministra la corriente nominal a la veloci-dad y a la tensión nominal. Calcular: a) Las corrientes de carga, de campo y de armadura,b) La tensión generada en la armadura y c) La potencia desarrollada en la armadura.


Solución 1.2 a) Las corrientes de carga, campo y de armadura

PL = V IL

IL =P

V=

50000W

250V= 200A

Id =V

Rd

=250V

62,5Ω= 4A

Ia = IL + Id = 200 + 4 = 204A

b) La tensión generada en la armadura

E = V + IaRa + CE = 250 + 204 · 0,025 + 3 = 258,1V

c) La potencia desarrollada en la armadura

PE = EIa = 258,1 · 204 = 52652,4W

Ejemplo 1.3 Un generador shunt de 450 V, 45 kW, cuya resistencia de armadura incluyen-do escobillas es Ra = 0,30Ω y la resistencia del devanando de excitación es Rf = 300Ω, tienelas siguientes características a la velocidad nominal:

Cuadro 1.1: Característica de funcionamiento en vacío.

E 147 278 374 425 476 485 512 523 VIf 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,5 A

Cuadro 1.2: Característica de funcionamiento en carga.

V 450 440 433 426 416 393 379 346 VIL 0 20 30 40 50 70 80 100 A

a) En que valor está el reóstato variable, Rx, que está en serie con el devanado de ex-citación, b) Determinar la caída de tensión debido a la reacción de armadura (Suponer quela reacción de armadura es independiente de la corriente de campo If) y c) Regulando lacorriente de excitación, se desea mantener en 450V la tensión en bornes del generador paratodas las cargas comprendidas entre 0 y 100A. Determinar los límites entre los que debe servariado el reóstato variable Rx para tal n. [23]

Solución 1.3 a) En vacío

Va = Vf = (Rx +Rf )If


De la característica en vacío para Va = 450V , se tiene: If0 = 0,95A.

Por tanto, se tiene: Rx+Rf =450

0,95= 473Ω, de donde: Rx = 473−Rf = 473−300 = 173Ω.

En la Fig(1.10), se muestra la gráca de la características en vacío del generador.

Figura 1.10: Característica en vacío del generador de CC

b) Bajo CargaCuando el generador trabaja en vacío, se tiene: V0 = Ea0 Cuando el generador trabaja encarga, se tiene: Ea = V +RaIL

∆E0 = Ea0 − Ea = E0 − V −RaIL

Cuadro 1.3: Tabla de valores para el problema.

V0 450 440 434 426 416 393 379 346 VIL 0 20 30 40 50 70 80 100 A

If = V0/473 0,95 0,93 0,915 0,90 0,875 0,83 0,80 0,73 AVa0 450 447 445 443 437 431 425 410 VILRa 0 6 9 12 15 21 24 30 V∆E0 0 1 3 5 8 17 22 34 V

La ultima la se tiene la caída de tensión debido a la reacción de armadura.

c) En vacío: Rx = 173Ω, IL = 0; bajo carga cuando I = 100A.

Ea0 = ∆Ea + Va +RaILEa0 = 34 + 450 + 30 = 514V


Con el valor, 514V , en la curva de la característica en vacío: IF = 1,45A.

Por lo tanto, se tiene: R′x +Rf =

Vf

If0

=450

1,45= 310

Entonces: R′x = 10Ω, el reóstato varia entre (10− 173)Ω.

1.6.3. Generador Serie

En el generador serie, la energía para la alimentación del campo polar se toma de laFEM generada por el generador mediante la conexión en serie del devanado de campo conla armadura.

En la Fig. (1.9), se muestra el esquema de conexión del generador.

Figura 1.11: Generador serie [9]

1.6.4. Ecuaciones del Generador Serie

Ia = Is = IL Corriente de armadura

V = E − Ia(Ra +Rs) Tensión en terminales


PL = V Ia = [E − Ia(Ra +Rs)]Ia = EIa − I2a(Ra +Rs) Potencia entregada a la carga

Ejemplo 1.4 Un generador de CC serie de 10kW , 125V tiene una caída de tensión enescobillas igual a 2V , una resistencia del circuito de armadura igual a 0,1Ω y una resistenciade campo en serie de 0,05Ω. Cuando suministra la corriente nominal a la velocidad nominal.Calcular: a) La corriente de armadura, b)La tensión generada en la armadura.


Solución 1.4

a) La corriente de armadura

Ia = Is = IL = PV = 10000W

125V = 80A

b) La tensión generada en la armadura

E = V + Ia(Ra +Rs) + CE = 125 · (0,1 + 0,05) + 2 = 138V

1.6.5. Generador Compuesto Aditivo

En el generador compuesto aditivo, la energía para la alimentación del campo polar setoma de la FEM generada por el generador mediante la conexión en paralelo del devanadode campo derivación y la conexión en serie del devanado de campo serie.

Los devanados de campo serie y campo derivación están devanados sobre el mismo núcleodel campo magnético. El devanado serie tiene un conductor de cobre de mayor sección comopara soportar la corriente nominal del generador, mientras que el devanado derivación es unconductor de menor sección para ser alimentado por la tensión nominal.

En la Fig. (1.12), se muestra el esquema de los devanados serie y derivación.

Figura 1.12: Generador compuesto aditivo [9]

En la Fig. (1.13), se muestra el esquema de conexión del generador compuesto aditivo.


Figura 1.13: Generador compuesto aditivo [9]

1.6.5.1. Ecuaciones del Generador Compuesto Corto

Is = IL Corriente del campo serie

Id =V + IsRs

Rd


Ia = IL + Id Corriente de armadura

V = E − IaRa − IsRs Tensión en terminales



1.6.5.2. Ecuaciones del Generador Compuesto Largo

Id =V

Rd


Is = Ia = IL + Id Corriente de armadura

V = E − Ia(Ra +Rs) Tensión en terminales




Ejemplo 1.5 Un generador compuesto en derivación corta de 10kW , 240V , tiene una caídade tensión en escobillas igual a 5V , resistencia del campo en serie de 0,02Ω, una resistenciadel circuito del campo en derivación igual a 200Ω y una resistencia del circuito de armaduraigual a 0,04Ω. Cuando suministra la corriente nominal a la velocidad nominal de 1200rpm,calcular a) La corriente de armadura, b) Las corrientes de campo serie y en derivación.

Solución 1.5

a) La corriente de armadura

IL =Psal

Va

=10000

240= 41,66666666A

RfIf = Va +RsIL

If =Va +RsIL

Rf

=240 + 0,02 · 41,66666666

200= 1,204166666A

Ia = IL + If = 41,66666666 + 1,204166666 = 42,87083333A

b) Las corrientes de campo serie y en derivación

If = 1,204166666AIs = IL = 41,66666666A

1.6.6. Generador Compound Sustractivo

Figura 1.14: Generador compuesto sustractivo [9]

1.7. Reacción de Armadura

Cuando no circula corriente en los conductores en la armadura, el neutro magnético de laarmadura (MNA) coinciden con el neutro geométrico de la armadura (GNA). Sin embargo,

1.8. PÉRDIDAS EN EL GENERADOR DE CC 15

cuando uye corriente en los conductores de la armadura se crea un ujo magnético dearmadura, la acción combinada del ujo magnético principal y el ujo magnético de armaduradesplaza el MNA desde el GNA en dirección de rotación del generador.

En la Fig. (1.15), se muestra los efectos de la reacción de armadura, en a) se tiene eldiagrama esquemático de generador de CC en coordenadas cartesianas, en b) se tiene el ujomagnético principal cuando la corriente de armadura es nula, en c) se muestra la forma deonda del ujo magnético debido a la corriente de armadura y en d) se muestra la forma deonda de la acción combinada del ujo magnético principal y el ujo magnético de armaduray se ve que el neutro magnético desplazada en dirección del movimiento de la armadura.

Figura 1.15: Reacción de armadura. [9]

1.8. Pérdidas en el Generador de CC

Las pérdidas que se presentan en un generador de CC, se clasican en:


1. Pérdidas mecánicas

a) Fricción en los cojinetesb) Fricción en el airec) Fricción en las escobillas

2. Pérdidas magnéticas

3. Pérdidas en el devanado

4. Pérdidas eléctricas en las escobillas

5. Pérdidas por dispersión por la cargaEn la Fig. (1.16), se muestra el diagrama esquemático de la distribución de pérdidas en

un generador.

Figura 1.16: Pérdidas en un Generador de CC.

Ejemplo 1.6 Un generador compuesto largo de 870rpm, 120V y 100kW tiene una resisten-cia de armadura, Ra = 0,008Ω , resistencia de campo serie de Rs = 0,01Ω, caída de tensiónen las escobillas de 1.2 voltios y la resistencia del circuito shunt de campo, Rd = 30Ω. Laspérdidas rotacionales a la velocidad nominal son 4,5kW . Se pide: a) La eciencia y cada unade las pérdidas como una función de la corriente de carga, b) Calcular la eciencia a mediay plena carga y c) La eciencia máxima y la corriente de armadura a estas condiciones. [23]

1.8. PÉRDIDAS EN EL GENERADOR DE CC 17

Solución 1.6

a) Se tiene que: η =Psalida

Pentrada

=Psal

Pent + ∆Pperd

Ignorando las pérdidas magnéticas y las adicionales, se tiene:

∆Pperd = ∆Prot + ∆Pmag + ∆Pelect + ∆Padic

∆Pperd = ∆Prot + ∆Pcus + ∆Pcua + ∆Pcuf+ ∆Pesc

∆Padic =

10 % Psal Sin devanados de compensación0,5 % Psal Sin devanados de compensación

Por otra parte:IL =

Psal

Va

=100000

120= 833,3333333A

If =Vf

Rd

=120

30= 4A

Además: Ia = IL + If = 833,3333333 + 4 = 837,3333333

∆Pcus = RaI2L = 0,008(833,3333333)2 = 5555,555555W

∆Pcua = RsI2a = 0,01(837,3333333)2 = 7011,271111W

∆Pcuf= RdI

2f = 30 · 42 = 480W

∆Pesc = ∆VescIa = 1,2 · 837,3333333 = 1004,8W

El rendimiento, es:

η =Psal

Pent + ∆Prot + ∆Pcus + ∆Pcua + ∆Pcuf+ ∆Pesc

η =100000

100000 + 4500 + 5555,555555 + 7011,271111 + 480 + 1004,8= 0,8435143642 = 84,35 %

b) A media carga: IL =Psal

2Va

=100000

2 · 120= 416,6666666A

Además: Ia = IL + If = 416,6666666 + 4 = 420,6666666A

∆Pcus = RaI2L = 0,008(416,6666666)2 = 1388,888888W

∆Pcua = RsI2a = 0,01(420,6666666)2 = 1769,604444W

∆Pcuf= RdI

2f = 30 · 42 = 480W

∆Pesc = ∆VescIa = 1,2 · 420,6666666 = 504,8W

El rendimiento, es:

η =50000

50000 + 4500 + 1388,888888 + 1769,604444 + 480 + 504,8= 0,8526124158 = 85,26 %


c) La eciencia máxima: ηmx

Considerando que IL If , entonces Ia ≈ IL. La eciencia de generador está dado por:

η =VaIL

VaIL + 4500 + (Ra +Rs)I2L + ∆VescIL +RfI2

f

Para obtener el máximo de la función η, es necesario que dη

dIL= 0, por tanto:

dη

dIL=Va[VaIL + 4500 + (Ra +Rs)I

2L + ∆Vesc +RfI

2f ]− VaIL[Va + 2(Ra +Rs)IL + ∆Vesc]

[VaIL + 4500 + (Ra +Rs)I2L + ∆VescIL +RfI2

f ]2= 0

de donde: 4500 +RfI2f = (Ra +Rs)I

2L, por tanto, para la máxima conclusión se llega a la

conclusión:

∆Prot + ∆Pcuf= ∆Pcua + ∆Pcus

Por tanto: IL =

√4500 +RfI

2f

Ra +Rs

=

√4500 + 30 · 42

0,008 + 0,01= 525,9911279A

η =120 · 525,9911279

120 · 525,9911279 + 4500 + 0,008 · (525,9911279)2 + 1,2 · 525,9911279 + 30 · 42

η = 0,8897076220 = 88,97 %

1.9. Interpolos

En la Fig. (1.17), se muestra el esquema de conexión de los devanados de conmutación yconmutación.

1.10. Características de carga

Para la elección de un generador a emplear en una determinada aplicación en la industria,se requiere el análisis de sus características de carga, es decir, por ejemplo el comportamientode la tensión en terminales en función de la carga.

En la Fig. (1.18), se muestran las características de los distintos tipos de generadores.

1.10. CARACTERÍSTICAS DE CARGA 19

Figura 1.17: Devanados de conmutación y compensación.

Figura 1.18: Características de carga de generadores de CC.

Capítulo 2

Motor de Corriente Continua

2.1. Introducción

En este capítulo, se describe el principio de funcionamiento del motor eléctrico de CC,la fuerza contraelectromotriz (FCEM), el circuito equivalente, la potencia y par mecánico,la característica del torque y el control del motor.

2.2. Denición

El motor eléctrico transforma la energía eléctrica en energía mecánica. Tiene un movimien-to de rotación. El motor de CC transforma la energía eléctrica de CC en energía mecánica.


En general toda máquina eléctrica es reversible. Las características constructivas delmotor de CC es la misma del generador de CC, por tanto el generador de CC puede trabajarcomo motor de CC o viceversa.

En el caso del motor de CC, es necesario alimentar con energía eléctrica de CC y en sueje se tiene energía mecánica.

2.4. Principio de Funcionamiento

Un motor de CC convierte la potencia eléctrica de CC en potencia mecánica. Esta opera-ción esta basada sobre el principio que cuando circula una corriente por un conductor dentrode un campo magnético, el conductor experimenta una fuerza. La dirección de esta fuerzaestá dado por la regla de la mano derecha de Fleming y la magnitud está dado por:

F = BIl Newton

21

22 CAPÍTULO 2. MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA

2.5. Fuerza Contraelectromotriz Inducida, FCEM

Las ecuaciones que determinan la FCEM, en un motor de CC, están dados por:

Vt = E + IaRa

n =Vt − IaRa

k1φ=Vt − IaRa

kIf

φ = kfIf

k1 =ZP

60a

k = k1kf

2.6. Circuito Equivalente del Motor

En la Fig. (2.1), se muestra el circuito equivalente para el motor de CC. Este modelopermite hallar la función de transferencia para realizar el control del motor de CC.

Figura 2.1: Circuito equivalente del motor de CC

2.7. PAR DESARROLLADO POR UN MOTOR 23

Figura 2.2: Par - motor de un motor de CC [9]

2.7. Par Desarrollado por un Motor

EIa = Teωm

ωm =2πn

60

Te =ZP

2πaφIa = kaφIa

ka =ZP

2πa

2.8. Potencia Mecánica

La potencia desarrollada por el motor de CC esta dado por las siguientes expresiones:

Pa = I2aRa

Pm = V Ia − Pa = V Ia − I2aRa = (V − IaRa)Ia = EIa

2.9. Tipos de Motor

2.9.1. Motor en Derivación

En un motor de CC en derivación, el torque es proporcional a la corriente de armadura:

T = kIa


La velocidad está dada por:n = k

V − IaRa

φ

Ejemplo 2.1 Un motor de CC de 120 V en derivación tiene una resistencia de armaduraRa = 0,2Ω y una caída de tensión en escobillas de 2V . La corriente nominal de armadura aplena carga es 75A. Calcular: a) la corriente en el instante del arranque y b) el porcentajerespecto a la corriente nominal.

Solución 2.1 a)

V = E + IaRa + CE

Ia =V − (E + CE)

Raen el arranque E = 0

Ia = V − CERa

= 120− 20,2 = 590A

b)590

75100 % = 786 %

2.9.2. Motor Serie

En un motor de CC serie, el torque es proporcional a la corriente de armadura en formacuadrática:

T = k1I2a

La velocidad está dada por:n = k1

V − Ia(Ra +Rs)

φ

Ejemplo 2.2 Un motor de CC tipo serie de 20Hp, 240V y 600rpm, su resistencia de ar-madura es de 0,16 Ωy la de campo es de 0,04Ω. Con la máquina trabajando como generadorde excitación independiente en vacío se ha registrado los siguientes valores (a 600rpm):

If 12 17 25 34 50 70 80 AE 70 100 130 160 200 227 235 V

Las pérdidas rotacionales son 800W que son aproximadamente constantes en el rango de600 rpm ±10 %. a) Calcular la corriente absorbida en condiciones nominales y la ecien-cia, b) Respecto a las condiciones anteriores se reduce la carga mecánica y se observa unacorriente de 55A. Calcular la velocidad y el toque mecánico de la carga. [23]

Solución 2.2 a)EIL = V IL − (Ra +Rs)I

2L = ∆Prot + Peje

240IL − (0,16 + 0,04)I2L = 800 + 20 · 746

2.9. TIPOS DE MOTOR 25

0,2I2L − 240IL + 15720

Es una ecuación de 2o grado, las dos soluciones, son:

IL1 = 69,52851160AIL2 = 1130,471488A

Un cálculo aproximado de la corriente absorbida, es: IL ≈ Hp · 746

V=

20 · 746

240=

62,16666666, entonces se tiene que IL = 69,52851160A

b) I ′L = 55A, entonces T =? y ωm =?

Se sabe que E = kφωm = V − (Ra +Rs)IL de donde:

kφ =V − (Ra +Rs)IL

ωm

kφ =240− (0,16 + 0,04)69,52851160

2π

60· 600

= 3,598402508

Como : V = E ′ + (Ra +Rs)I′L

240 = 0,2 · 55 + E ′

Se tiene: E ′ = 229 Voltios.E ′ = kφω′

de donde:ω′ =

E ′

kφ=

229

3,598402508= 63,63935093 rad/seg

n′ = ω60

2π= 63,63935093

60

2π= 607,7110365 rpm

Por otra parte:

P′

eje = E ′I′

L −∆Prot = 229 · 55− 800 = 11795 W

Pero: P ′eje = Tω′, entonces:

T =P

′eje

ω′ =11795

63,63935093= 185,3412994N ·m


2.9.3. Motor Compound Acumulado

En un motor de CC compound acumulado, el torque está dado por:T = k(φd + φs)Ia

La velocidad está dado por:n = k1

V − Ia(Ra +Rs)

φd + φs

Ejemplo 2.3 Un motor compuesto acumulado de 230V , 10hp y 1250rpm, tiene una re-sistencia de armadura Ra = 0,25Ω y una caída de tensión en escobillas de 5V , una resisten-cia combinada de compensación y de interpolos de 0,25Ω, la resistencia de la resistenciaserie de Rs = 0,25Ω y la del campo en derivación es de Rd = 230Ω. Cuando el motor seconecta en derivación, la corriente nominal de la línea a plena carga es 55A y la corriente dela línea sin carga es 4A. La velocidad sin carga es 1810rpm. Sin tomar en cuenta la reacciónde armadura a la tensión nominal, calcular a) la velocidad a la carga nominal b) la potenciainterna que se desarrolla, en vatios y en caballos.Solución 2.3 a)

IL = Ia + Id

If = = Id = VRd

= 230V230Ω = 1A

Ia = IL − Id = 4− 1 = 3AE = V − (IaRa + CE) sin cargaE = 230− (3 · 0,50 + 5) = 223,5 a 1810 rpmE = V − (IaRa + CE) a plena cargaIL = IN = Ia + IdIa = IN − Id = 55− 1 = 54AE = V − (IaRa + CE) = 230− (54 · 0,5 + 5) = 198V

E1EN

= kn1kn

n = EE1n1 = 198

223,51810 = 1603rpm

b)P = EIa = 198 · 54 = 10700W

hp = 10700W746W/Hp

= 14,3Hp

2.9.4. Motor Compound Diferencial

En un motor de CC compound diferencial, el torque está dado por:T = k(φd − φs)Ia

La velocidad está dado por:

n = k1V − Ia(Ra +Rs)

φd − φs

2.10. CARACTERÍSTICAS DEL TORQUE 27

2.10. Características del Torque

La característica del torque versus la velocidad, el motor serie tiene un torque elevadoen baja velocidad. En la Fig. (2.3), se muestra las características del motor serie, motor enderivación y motor compuesto acumulado.

Figura 2.3: Características Par-Velocidad de un motor de CC [9]

En la Fig. (2.4), se muestra las características del del par versus la corriente de armadu-ra del motor serie, motor en derivación, motor compuesto acumulado y motor compuestodiferencial.

Figura 2.4: Características Par-Corriente de armadura de un motor de CC [6]


2.11. Pérdidas en el Motor de CC

Las pérdidas en el motor de CC, son similares a las del generador de CC ya mencionadas.En la Fig. (2.5), se muestra las diversas pérdidas que se presentan en la operación de lamáquina de CC como motor.

Figura 2.5: Pérdidas en un motor de CC.

Ejemplo 2.4 Se dispone de un motor shunt de CC de 120 V, 1800 rpm, cuya reacción dearmadura es despreciable. La resistencia de armadura es de 0,28Ω , si es alimentado a tensiónnominal, Vn) con If = 1,8 A y sin carga es el eje, consume una corriente de 53 A (de lafuente) y gira a 1800 rpm, Puede asumirse que las perdidas rotacionales son proporcionalesa la velocidad. a) Calcular las pérdidas rotacionales en vacío, b) Sin variar el circuito decampo, el motor es cargado hasta que la corriente de armadura es 250A. Calcular: a) lavelocidad y la potencia mecánica en el eje y b) La velocidad y la potencia mecánica en el eje,si el motor es cargado hasta que la corriente de armadura es 25 A, sin variar el circuito decampo. [23]

Solución 2.4 a) Considerando que: ∆Prot ∝ velocidad.En el funcionamiento en vacío: Peje = 0.El balance de potencia, es:

V IL = V (Ia + If ) = V If +RaI2a + EIa

Reemplazando valores, se tiene:

120(53 + 1,8) = 120 · 1,8 + 0,28 · 532 + 53E

2.12. CONTROL DE MOTOR DE CC 29

de donde, se tiene: E = 105,16

Por otra parte: E = kφω = 105,16 de donde, se tiene:

kφ =E

ω2π

60

=105,16

18002π

60

= 0,5578911271

como: Peje = 0, ∆Prot = Dω = EIa = 105,16 · 53 = 5573,48W

b) Como: Ia = 25A

E ′ = V −RaIa = 120− 0,28 · 25 = 113 VoltiosE ′Ia = 113 · 25 = 2825W

como E ′ = kφω′, entonces:

ω′ =E ′

kφ= kφ =

113

0,5578911271= 202,5484803rad/s

n′ == 1934,195511rpm

Por lo tanto, se tiene:

∆P′

rot =n′

n∆Prot =

1934,195511

18005573,48 = 5989W

2.12. Control de Motor de CC

Considerando el circuito equivalente del motor de CC que se muestra en la Fig. (2.1), laforma de conexión para obtener la excitación del campo y las ecuaciones para la velocidaddel rotor, el motor podrá ser controlado por corriente de campo y por corriente de armadura.En la Fig. (2.6), se muestra un esquema general del control de un motor de CC.


Figura 2.6: Control de un motor de CC [18]

Capítulo 3

Generador Síncrono

3.1. Introducción

En este capítulo, se presenta la descripción del generador síncrono y su principio defuncionamiento.


El generador síncrono, es una máquina eléctrica rotativa convertidora de energía, es decir,convierte energía mecánica en energía eléctrica de corriente alterna (CA). El nombre históricodel generador síncrono es alternador.

La máquina síncrona consiste en un cilindro giratorio, llamado rotor que va a transmitirla acción mecánica a través del eje, apoyado en cojinetes. El rotor gira en el hueco deotro cuerpo jo, llamado estator. La separación casi intersticial entro los dos cuerpos sedenomina entrehierro, debido a que el rotor y estator están hechos de hierro en razón a sualta permeabilidad magnética. La transformación de energía mecánica en energía eléctrica, serealiza en el entrehierro como energía electromagnética en forma de campo electromagnético[11]. En la Fig.(3.1), se dibujan dos recorridos de dos líneas de fuerza, si se considera un tubode ujo, la densidad B varía poco en todo el recorrido. Si δ es la longitud del entrehierro,el tubo tiene un recorrido 2δ en el aire. Si el núcleo de hierro es homogéneo, el tubo recorreuna longitud aproximada 2h.

Siendo B conocido, se tienen las intensidades del campo magnético:

Hδ =B

µ0

Hh =B

µ0µr

La Fuerza Magnetomotriz (FMM) en cada el tubo, será:

Fδ =B

µ0

2δ

31

32 CAPÍTULO 3. GENERADOR SÍNCRONO

Figura 3.1: Un tubo de ujo magnético

Fh =B

µ0µr

2h

Considerando la densidad de energía en el campo, se tiene:En el aire: Wδ =

1

2B

B

µ0

En el hierro: Wh =1

2B

B

µ0µrEn una máquina síncrona, normalmente, se tiene: h ' 100δLos tipos de acero y fundición empleados, se tiene: µr ' 1500

Aplicando esos valores, se tiene: Fδ

Fh

' 15

Fδ + Fh = 100 %

15Fh + Fh = 100 %

De donde: Fh =100 %

16= 6,25 % y Fδ = 100 %− Fh % = 93,75

Se concluye que básicamente los fenómenos de conversión de energía se realizan en elentrehierro en forma de campo electromagnético.


La denominación de máquina síncrona se debe al hecho de que la velocidad de rotacióndel rotor es igual a la velocidad del campo magnético giratorio existente en el entrehierro yestá dado por la expresión siguiente:

ns =120f

p

3.4. ESTATOR 33

donde:f Frecuencia en [Hz] de la tensión generada o de alimentaciónp Número de polos del inductorns Velocidad síncrona [rpm]

3.4. Estator

El estator de una máquina síncrona está compuesta de chapas de acero al silicio (5 %),básicamente es un núcleo magnético que conduce ujos de CA, se ensamblan con láminasde 0,35 mm de espesor, en donde sus supercies están revestidas con un óxido o un barnizaislante para reducir las corrientes de Foucault, debido al ujo variante en el tiempo.

3.5. Ciclo de Histéresis

En un material no magnético, el efecto magnético del momento angular de los electronesde lo átomos o giro del electrón en una dirección, es compensado completamente por unmomento angular igual de otro electrón en sentido opuesto.

En los materiales ferromagnéticos la compensación del momento angular del electrónno es completa y por tanto, existen en los cristales de tales materiales, pequeñas regionescomplemente magnetizadas llamadas dominios. La aplicación de bajos valores de intensidadesde campo magnético hacen que los dominios sufran un desplazamiento de fronteras, unincremento de la intensidad de campo magnético produce una rápida orientación de losdominios hacia la dirección del campo magnético aplicado. Una aumento posterior tienecomo resultado la más lenta orientación de los dominios, el material se satura, puntos 2 y 3.Si se reduce la intensidad del campo magnético, se reduce la inducción magnética y sigue latrayectoria 4 debido a la histéresis del material magnético. En la Fig. (3.2)

Figura 3.2: Curva de magnetización


3.5.1. Corrientes de Eddy

El núcleo magnético que se emplean en máquinas eléctricas de CA se construyen conchapas magnéticas de 0,35 mm, por ella circula un ujo magnético alterno. Si fuera unnúcleo macizo, por la ley de Lenz, se induce una Fuerza Electromotriz (FEM) en la seccióntransversal del núcleo y se establece una corriente de cortocircuito (denomina corriente deEddy) por lo que existe una pérdida de potencia que se transforma en calor por efecto Joule,para anular esa corriente, se corta el camino al laminar el núcleo magnético.

3.6. Ranuras

Dependiendo de la forma constructiva el estator tiene distintas formas de ranuras. Lasmáquinas síncronas de inducido jo, se utilizan dos tipos de ranuras, las cuales, son:1. Ranura abierta.- Es la que más se emplea debido a que las espiras se pueden formar

y aislar antes de colocarlas en las ranuras, con lo que el devanado sea más barato yefectivo.

2. Ranura semicerrada.- La mayor supercie de la cabeza del diente reduce la reluc-tancia del entrehierro y también las dispersión del ujo que tiene a perturbar la formade onda de la FEM.

Figura 3.3: Tipos de ranuras

En la Fig. (3.3a), se muestran la ranura abierta y en la Fig. (3.3b), se muestra la ranurasemicerrada.

3.7. Rotor

Considerando la disposición constructiva de inductor móvil, existen básicamente dos tiposde rotor, los cuales, son:

3.8. CLASIFICACIÓN 35

1. De polos salientes.- Para reducir las pérdidas en las caras polares y al mismo tiempofacilitar sus construcción y montaje, los núcleos de los polos salientes, se hacen dechapas magnéticas.

2. De rotor liso.- Los conductores que se hallan cerca de la boca de la ranura tienenmenos autoinducción que los que se hallan cerca del fondo. Por consiguiente la corrientetiende a circular por las posiciones más superciales del conductor, para anular eseefecto, se utilizan conductores constituidos por cables multilares, aislándose los hiloscon esmalte.

Figura 3.4: Tipos de Rotores

En la Fig. (3.4a), se muestran un rotor de polos salientes y en la Fig. (3.4b), se muestra unrotor liso.

3.8. Clasicación

La máquina síncrona de clasica, según:

i) Su funcionamiento

a) Generador o alternador síncrono1) De polos salientes2) De rotor lisoEn la Fig.(3.5), se muestra un corte esquemático de un generador de rotor liso ypolos salientes.

b) Motor síncrono


Figura 3.5: Generador de rotor liso y polos salientes

1) De polos salientes2) De rotor lisoLa máquina síncrona es reversible, puede trabajar como generador ó motor.

c) Convertidor síncrono1) De CC a CA2) De CA a CC

d) Condensador síncrono

ii) La disposición constructiva

a) De inductor jo (inducido móvil). Los alternadores del laboratorio de máquinas.b) De inductor móvil (inducido jo). Es la disposición constructiva más común.

La inducción de una FEM en un conductor del inducido depende solamente delmovimiento relativo entre el conductor y el ujo de manera que es indistinto que semueva el inducido o el inductor

iii) La velocidad síncrona

a) Bajas velocidades (Turbinas hidráulicas - polos salientes)b) Altas velocidades (Turboalternadores - rotor liso)

iv) La excitatriz

a) Mecánicamente independiente del alternadorb) Mecánicamente dependiente del alternador

v) El número de fases

a) Monofásicob) Trifásico

3.9. VENTILACIÓN 37

3.9. Ventilación

La evacuación adecuado del calor producido por las pérdidas en las máquinas eléctricastiene una importancia fundamental desde el punto de vista de la duración de los aislantes,reducción de las dilataciones excesivas. Los alternadores de polos salientes no tienen proble-mas de ventilación debido al espacio existente entre polos y el movimiento del aire producidopot los polos salientes asegura la circulación del mismo. Mientras que los alternadores derotor liso accionados por turbinas de alta velocidad, la ventilación es difícil, por lo cual, esnecesario emplear método de enfriamiento. Según el método de enfriamiento, existen:

1. Máquinas con enfriamiento natural

2. Máquinas con autoventilación interior

3. Máquinas con autoventilación exterior

4. Máquinas con refrigeración ajena (Hidrógeno cerrado herméticamente)

3.10. Materiales Aislantes

Para la aislación eléctrica de las chapas magnéticas y los conductores eléctricos, se utilizanlas sustancias aislantes debidos a la diferencia de potenciales eléctricos entre distintos puntos.Los materiales aislantes se clasican, según su procedencia:

1. Los aislantes minerales, tales como la mica, micalex (mezcla de mica y borato de plomo,pulverizados y comprimidos), porcelana, vidrio, silicio y amianto.

2. Los aislantes orgánicos que son resinos (resina, baquelita, isolemil) o brosos (madera,algodón, telas, papeles y cartones diversos).

3. Los aislantes orgánico-silícicos, tales como las siliconas (compuestos orgánicos massilicatos inorgánicos.

Capítulo 4

FEM y FMM en Devanados de CA

4.1. Introducción

En este capítulo, se analizan la Fuerza Electromotriz inducida y la Fuerza Magnetomotrizen devanados de CA.

4.2. Características Fundamentales de la FEM

Las características fundamentales de la Fuerza Electromotriz (FEM), son:

a) La magnitud

b) La frecuencia

c) La forma de onda

La forma de onda sinusoidal de la fem, es dicultoso de obtener. (Para el funcionamientosatisfactorio de los componentes eléctricos de un sistema eléctrico, es necesario una FEMsinusoidal).

Al no estar muy saturado el hierro magnético utilizado en las máquinas eléctricas, lapermeabilidad del mismo es muy grande con relación a la del aire (unas 200 veces más). Portanto, las líneas de inducción magnética B en el aire son sensiblemente perpendiculares alhierro, es decir, las líneas de inducción son radiales en el entrehierro. En la Fig. (4.1), semuestra la aplicación de este principio.

En las máquinas de CA la distribución del ujo magnético a lo largo del entrehierro esaproximadamente sinusoidal.

La fem inducida es proporcional a B, por tanto, la forma de onda de la inducción B enel entrehierro afecta a la forma de onda de la fem inducida en cada espira. La forma de ondade la fem del conductor corresponde exactamente a la curva de distribución de la inducciónmagnética B en el entrehierro. En la práctica, la forma de onda de la inducción magnética Bes una función sinusoidal achatada. Para aproximar a una sinusoide la inducción magnética,

39

40 CAPÍTULO 4. FEM Y FMM EN DEVANADOS DE CA

Figura 4.1: Líneas de inducción y supercies equipotenciales [9]

se debe disminuir las armónicas superiores debido a la rotación. Toda función periódica, sepuede expresar como una serie de Fourier:

B = B1 sen(ωt) +B3 sen(3ωt) +B5 sen(5ωt) + . . .+Bn sen(nωt)

donde: n es la armónica n− esimo. Por ser una función impar, solo contiene armónicasimpares.

Por eso en las máquinas síncronas de polos salientes, se construyen con un entrehierroirregular. En la Fig.(4.2), se muestra la forma de onda de la inducción magnética B y laconguración de la expansión polar y el entrehierro. Son articios que se utilizan en laconstrucción para atenuar el cambio brusco del campo magnético así como el alargamientodel entrehierro en los extremos de las expansiones polares. Se tiene un entrehierro mínimo δy máximo δ′ = 1,5− 2δ.

4.3. Paso Polar

El paso polar, τ , es la distancia entre polos magnéticos consecutivos, expresado en gradoseléctricos se tiene que: τ = 180o. En los alternadores de rotor liso, la parte devanada delrotor, se toma un 75 % del paso polar.

4.4. Ley de Faraday-Henry

La ley de Faraday-Henry, la inducción electromagnética, es el principio en que se basanlos generadores, transformadores y se expresa como:

e = −dφB

dtFEM

4.4. LEY DE FARADAY-HENRY 41

Figura 4.2: Inducción magnética y forma del entrehierro

y maniesta: en un campo magnético variable se induce una FEM en cualquier circuitocerrado, la cual es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del ujo magnético através del circuito.

Una interpretación física está dada por la Ley de Lenz: Una corriente inducida surgiráen una espira con un sentido tal que ella se opondrá a la variación que la produce.

Por otra parte, el campo eléctrico es igual a la fuerza por unidad de carga, la integralcurvilínea del campo eléctrico:∫

Lεdl es igual al trabajo hecho al mover una unidad de carga a lo largo de la Trayectoria

L.Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico,

tal que la circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivadacon respecto al tiempo del ujo magnético a través de una supercie limitada por el camino.

Si se considera un circuito rectangular giratorio inmerso de un campo magnético esta-cionario.

4.4.1. FEM en un Conductor

Sea una inducción magnética sinusoidal denida por:

B = Bmax sen(ωt)

La fem instantánea en un conductor dentro de un campo magnético está dado por:

e = Blv


Sea τ el paso polar y f la frecuencia en periodos por segundo, la velocidad está dado por:

v =τ1

2f

= 2fτ

El ujo cortado, es:

φ = B′lτ =2

πBlτ

B =πφ

2lτ

El valor ecaz de la fem inducida, está dado por:

Ec =e√2

=1√2· πφ2lτ

· l · 2fτ

Ec = 2,22φf

4.5. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Pa-

so Completo

Si existen Nc conductores o 2Ne = Nc espiras, la fem del devanado, está dado por:

E = 2,22NcφfE = 4,44Neφf

4.6. FEM de una Espira de Devanado Distribuido y Paso

Completo

La construcción de un inducido con un devanado concentrado en una sola ranura (q = 1),es imposible ya que resultaría una ranura ancha y muy profunda. El devanado de muchasespiras se divide entre varias bobinas conectadas en serie y estas se colocan en ranurasespaciadas en la supercie del estator (q > 1). El espaciamiento en grados eléctricos omecánicos θe =

p

2θm entre ranuras adyacentes se denomina paso de ranura γ del estator o

ángulo entre ranuras adyacentes. Los devanados de los generadores síncronos son devanadosde doble capa. El factor de distribución, para una armónica ν está dado por:

kd =sen

νqγ

2

q senνγ

2

donde:

4.7. FEMDE UNA ESPIRA DE DEVANADOCONCENTRADOY PASO FRACCIONARIO43

γ =π

mqÁngulo entre ranuras adyacentes

q =Z

mpRanuras por polo y fase

m = Número de fasesp = Número de polosZ = Número de ranurasν = Armónica

Figura 4.3: Devanado distribuido y paso completo

4.7. FEM de una Espira de Devanado Concentrado y Pa-

so Fraccionario

Considerando un devanado concentrado en una ranura y ancho de la bobina menor alpaso polar, τ y q = 1. La razón para utilizar devanados de paso fraccionario es debido ala distribución de la densidad de ujo no sinusoidal en el entrehierro. Si se elige de maneraadecuada el paso de devanado, se puede eliminar alguna armónica de la FEM inducida. Elfactor de paso del devanado para la armónica ν está dado por:

kpν = sen(νβπ

2) = sen(

νρ

2)

donde:

y = Paso de la bobinaβ =

y

τPaso relativo

τ = Paso polarν = Armónicaρ = βπ Ángulo eléctrico cubierto por la bobina

En la Fig. (4.4), se muestra el diagrama de una espira de paso fraccionario.


Figura 4.4: Devanado concentrado y paso fraccionario

4.7.1. Factor de Devanado

Al considerar un devanando de paso fraccionario y devanado distribuido, la fem E in-ducida está dado por la expresión:

E =4,44Ne/fφfkB

a

donde:Ne/f = Número de espiras por faseφ = Flujof = FrecuenciakB = kdkp Factor de devanadokd = Factor de distribuciónkp = Factor de pasoa = Número de circuitos en paralelo

4.8. EXPRESIÓN GENERAL DE LA FEM INDUCIDA EN MÁQUINAS DE CA 45

4.8. Expresión General de la FEM inducida en Máquinas

de CA

4.8.1. Armónico de Inducción

φ1 = τ lBmed1 =2

πτlBm1

φ3 =τ

3lBmed3 =

2

π

τ

3lBm3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

φν =τ

νlBmedν =

2

π

τ

νlBmν

Las fems inducidas por cada armónico, si: f3 = 3f1, f5 = 3f1, . . ., fν = νf1, están dadaspor:

Econ1 =π√2φ1f1 =

√2πlBm1f1

Econ3 =π√2φ3f3 =

√2π

3lBm33f1 =

√2πlBm3f1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Econν =π√2φνfν =

√2π

νlBmννf1 =

√2πlBmνf1

El valor ecaz de la FEM en un conductor, está dado por:

Econ =√E2

con1 + E2con3 + E2

con5 + . . .+ E2conν + . . .

Econ = Econ1

√1 +

(Econ3

Econ1

)2

+(Econ5

Econ1

)2

+ . . .+(Econν

Econ1

)2

+ . . .

Econ = Econ1

√1 +

(Bm3

Bm1

)2

+(Bm5

Bm1

)2

+ . . .+(Bmν

Bm1

)2

+ . . .

Econ =π√2φ1f1

√1 + k2

B3 + k2B5 + . . .+ k2

Bν + . . .

donde: kB3 =Bm3

Bm1

, kB5 =Bm5

Bm1

, . . . , kBν =Bmν

Bm1

.

4.9. Ecuaciones de las Ondas Pulsantes y Progresivas

Cuando un campo ξ, en función del tiempo, se propaga en el espacio como una onda sindistorsión y con una velocidad denida v, según las direcciones +X ó −X debe satisfacer la


ecuación del movimiento ondulatorio:∂2ξ

∂t2= v2 ∂

2ξ

∂x2

La solución general de la ecuación del movimiento ondulatorio para una onda móvil, estádado por:

ξ(x, t) = ξ(x± vt)

4.9.1. Onda Progresiva

Una onda progresiva, es una onda que se mueve en el espacio en el sentido positivo, porejemplo, las ondas circulares en la supercie de un líquido y la onda longitudinal en unabarra metálica. La expresión matemática de dicha onda, está dado por:

F (x, t) = Fm sen(ωt− 2π

Tes

x)

4.9.2. Onda Móvil Inversa

Una onda estacionaria, es una onda que se mueve en el espacio en el sentido negativo.Laexpresión matemática de dicha onda, está dado por:

F (x, t) = Fm sen(ωt+2π

Tes

x)

4.9.3. Onda Estacionaria

Una onda estacionaria, es una onda pulsatoria connada en el espacio, por ejemplo, lavibración de las cuerdas de una guitarra. La expresión matemática de dicha onda, está dadopor:

F (x, t) = Fm sen(ωt) cos(2π

Tes

x)

Empleando la identidad trigonométrica:

sen(α) cos(β) =1

2sen(α− β) +

1

2sen(α+ β)

Manipulando la ecuación de la onda pulsatoria, se tiene:


Tes

x) =1

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x) +1

2Fm sen(ωt+

2π

Tes

x)

De donde se concluye que un campo estacionario, se puede descomponer en campos quegiran en sentidos opuestos con amplitudes igual a la mitad de la amplitud máxima. Estoscampos giran en sentidos contrarios con velocidades: v = +

ω2πTes

y v = − ω2πTes

4.9. ECUACIONES DE LAS ONDAS PULSANTES Y PROGRESIVAS 47

4.9.4. Campo Giratorio Sinusoidal

Tomando un devanado monofásico y alimentandolo con una tensión de CA, se estableceuna intensidad de corriente de CA, se crea un campo magnético monofásico estacionariodado por:


Tes

x) =1

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x) +1

2Fm sen(ωt+

2π

Tes

x)

Si se tiene tres devanados desplazados en el espacio y se alimenta con un sistema detensiones trifásico, cada fase crea un campo magnético desplazada en el tiempo y en espacioen 2

3π. Las ecuaciones de campos para cada fase, se tiene:

F1 = Fm sen(ωt) cos(2π

Tes

x)

=1

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x) +1

2Fm sen(ωt+

2π

Tes

x)

F2 = Fm sen(ωt− 2

3π) cos(

2π

Tes

x− 2

3π)

=1

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x) +1

2Fm sen(ωt+

2π

Tes

x− 4

3π)

F3 = Fm sen(ωt− 2 · 2

3π) cos(

2π

Tes

x− 2 · 2

3π)

=1

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x) +1

2Fm sen(ωt+

2π

Tes

x− 8

3π)

El campo resultante, esta dado por:

F = F1 + F2 + F3

=3

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x)

+3

2Fm[sen(ωt+

2π

Tes

x) + sen(ωt+2π

Tes

x− 4

3π) + sen(ωt+

2π

Tes

x− 8

3π)]

Como [sen(ωt+2π

Tes

x) + sen(ωt+2π

Tes

x− 4

3π) + sen(ωt+

2π

Tes

x− 8

3π)] = 0

Entonces la resultante, esta dado por la expresión:

F =3

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x)

Similarmente para un sistema polifásico de m fases, se tiene:

F = F1 + F2 + F3 + . . . =m

2Fm sen(ωt− 2π

Tes

x)

El ángulo entre fases, es: 2π

m


4.10. FMM en Devanados de CA

4.10.1. FMM de un Devanado

Considerando un devanado concentrado del inducido de paso completo que tiene N es-piras por polo y una intensidad de corriente I, produce una onda rectangular de la FuerzaMagnetomotriz (FMM), de amplitud NI

2amperios-vuelta por polo. En la Fig. (4.5), se

muestra la fmm creada por una bobina de paso completo y concentrado.

Figura 4.5: Fuerza Magnetomotriz de una bobina

Los amperios-vuelta creado, está dado por: NI =∮H dl

Despreciando el ujo magnético en el hierro, se tiene:

NI =

∮H dl = 2δH

De donde, La intensidad del campo magnético creado por la bobina, esta dada por:H =

1

δ

NI

2

La fmm de la bobina, está dada por: FMM =NI

2

4.10.2. Componente Fundamental de la FMM de Armadura

Si se elige como referencia el eje de la bobina, entonces, se tiene:

FMM(t) =

NI

2x ≤ π

−NI2

π < x < π

4.10. FMM EN DEVANADOS DE CA 49

Es una función impar, desarrollando en una serie de Fourier, solo tiene armónicas impares:1, 3, 5, 7, 9, . . .

FMM(x) =NI

2

4

π[sen(

2π

Tes

x) +1

3sen(3

2π

Tes

x) +1

5sen(

2π

Tes

x) + . . .+1

nsen(n

2π

Tes

x)]

Si la tensión inducida en la fase A por el ujo de campo se expresa por:

eA =√

2E sen(ωt)

y si se considera una intensidad de corriente retrasada con respecto a la tensión en unángulo eléctrico θi, se tiene:

iA =√

2I sen(ωt− θi)

La amplitud de la FMM que varia senoidalmente con el tiempo está dado por:

FMMA1 =√

2NI

2

4

πsen(ωt− θi) = 0,9NI sen(ωt− θi)

y el valor instantáneo en el ángulo del espacio 2π

Tes

x es:

FMMA1 = 0,9NI sen(2π

Tes

x) sen(ωt− θi)

Básicamente es una onda estacionaria. Para un sistema polifásico, se tiene:

FMM = 0,45mNI cos(2π

Tes

x− ωt+ θi)

FMM = A cos(2π

Tes

x− ωt+ θi)

A = 0,45mNI m-fásicoA = 1,35NI trifásico

Considerando un devanado distribuido de paso fraccionario, se tiene una FMM condistribución prácticamente triangular (Trapezoidal). El efecto del paso fraccionario y la dis-tribución del devanado del inducido elimina las armónicas en la onda de la FMM .

A =0,9mkBNBpI

pa

kB = Factor de bobinadoNBp = Número de bobinas por faseI = Corrientea = Número de ramas en paralelop = Número de polosm = Número de fases

Capítulo 5

Regulación y Funcionamiento de losGeneradores Síncronos

5.1. Introducción

En este capítulo, se analiza la regulación y funcionamiento de los generadores síncronos.

5.2. Inductancias

La tensión E es la tensión generada internamente, producido en una fase del generadory la tensión en bornes del generador es V , no son iguales debido a los siguientes factores:

1. La distorsión del campo magnético del entrehierro causada por la corriente del estatorllamado reacción de armadura.

2. La autoinductancia de las bobinas de la armadura.

3. La dispersión del ujo magnético.

4. La resistencia de las bobinas del inducido.

5. El efecto de la conguración del rotor de polos salientes.

5.2.1. Inductancia de la Bobina de Campo

La inductancia de la bobina de campo está dada por la siguiente expresión: [10]

Lf =8µ0Dδl

πδe

(kbfNf

P

)2

[Henrios]

51

52CAPÍTULO 5. REGULACIÓN Y FUNCIONAMIENTODE LOS GENERADORES SÍNCRONOS

donde:Dδ = Diámetro medio del entrehierroδe = Longitud efectiva del entrehierrol = Longitud axial del rotorµ0 = Permeabilidad del aireNf = Número de espiras serie de la bobina de campokbf = Factor de bobinado del rotorP = Número de polos

5.2.2. Inductancia de la Reacción de Armadura del Inducido

La componente del ujo radial φ debido a la Fuerza Magnetomotriz, A, del inducido estádado por: [10]

φA =2µ0ADδl

P δe

B = µ0H =µ0A

δe

τ l =πDδl

P

φA =2

πBτl =

2

π

µ0A

δe

πDδ

Pl =

2µ0ADδl

P δe

A =0,9mkbNe/fI

Pa

φA =1,8µ0mDδlkbNe/fI

P 2aδe

EA =4,44fφAkbNe/f

a

EA =4,44f1,8µ0mDδlkb

2(Ne/f )2I

P 2a2δe

EA =8fµ0mDδl

δe

(kbNe/f

Pa

)2

I = xadI

donde:φA = Flujo radial debido a la reacción de armaduraB = Iducción magnéticaH = Campo magnéticoA = Reacción de armaduraEA = Fuerza electromotriz inducidaI = Intensidad de la corriente de armadurakb = Factor de bobinado del inducidoNe/f = Número de espiras por faseP = Número de polosa = Circuitos en paralelo

5.3. DIAGRAMA FASORIAL DE UN GENERADOR DE ROTOR LISO 53

La reactancia de reacción de armadura, está dado por expresión:

xad =8fµ0mDδl

δe

(kbNe/f

Pa

)2

5.2.3. Inductancia de Dispersión del Inducido

φ = Liφdisp = Ldispi

Entonces la reactancia debido al ujo de dispersión, es:

xl = 0,12− 0,2xad

5.3. Diagrama Fasorial de un Generador de Rotor Liso

Para obtener el modelo del generador de rotor liso, se toma en cuenta un alternadorsin considerar el efecto de las distancias interpolares. La reacción de armadura produce unacaída de tensión Eest

Eest = −jXrIa

Además del efecto de la reacción de armadura, las bobinas del inducido presentan tambiénautoinductancia y resistencia. Xs = Xr +Xl

E = V +RaIa + jXsIa

Figura 5.1: Diagrama fasorial del Generador de Rotor Liso

En la Fig. (5.1), se muestra el diagrama fasorial del generador de rotor liso.


Ejemplo 5.1 Un generador síncrono de 50Hz, de rotor liso, dos polos, conectado en estrella,de 2300 V, 1000 kVA, factor de potencia 0,8 atrasado, Ra = 0,15Ω y Xs = 1,1Ω. A 50Hzlas pérdidas por fricción y ventilación, son 24kW y las pérdidas en el núcleo, son 18kW . Elcircuito de campo tiene una tensión Vf = 200V y la máxima If = 10A:

a) ¾Cuál es la tensión generada por la máquina en condiciones normales?

b) ¾Qué potencia y par mecánico deberá suministrar la máquina motriz del generador?

c) ¾Cuál es el rendimiento?

d) ¾Cuál es el par de oposición desarrollado por el generador?

a)

Ia =S√3VL

=1000kV A√3 · 2,3kV

= 251,0219A

θ = arccos(0,8) = 36,8699

Ia = Ia∠θ = 251,0219∠−36,8699

Ea = Vf + (Ra + jXs)Ia

V =V√3

=2300√

3= 1327,9056V ∠0

Ea = 251,0219∠36,8699 + (0,15 + j1,1) · 251,0219∠−36,8699

= 1523,7027 + j198,3073 = 1536,5532∠7,4153

EL =√

3Ea = 2661,3881V

b)

Pmec = Pentrada = Pparsitas + Pfv + Ph + Pcu + Psalida

S = 3VfI∗f = 1000∠36,8699kV A = 800kW + j600kV AR

Psalida = 3VfIa cos(θ) = 800kWQsalida = 3VfIa sen(θ) = 600kV ARPcu = 3RaI

2a = 3 · 0,15 · 251,02192 = 28,3554kW

Ph = 18kWPfv = 24kWPparsitas = 0Pmec = 0 + 24 + 18 + 28,3554 + 800 = 870,3554kW

5.4. DIAGRAMA FASORIAL DE UN GENERADOR DE POLOS SALIENTES 55

τ =Pmec

ωmec

ωmec = = n · 1min

60seg· 2πrad

1rpm

n =120f

p=

120 · 50

2= 3000rpm

ωmec = = 3000rpm · 1min

60seg· 2πrad

1rpm= 314,1593rpm

τ =870,3554kW

314,1593rad/seg= 2,770427283

kW · segrad

= 2770,4273N ·m

c)η =

Psalida

Pentrada

∗ 100 % =800kW

870,3554kW· 100 % = 91,9165 %

d)

τinducido =Pconv

ωmec

=800kW + 28,3554kW

314,1593rpm= 2,6367

kW · segrad

= 2636,7368N ·m

5.4. Diagrama Fasorial de un Generador de Polos Salientes

En los generadores de rotor liso, el entrehierro es prácticamente constante, mientras enlos generadores de polos salientes, el entrehierro es mucho mayor en el eje en cuadratura q(es decir en la region media entre polos) que en el eje directo d o en el centro del polo. UnaFMM de la armadura a lo largo del eje directo produce un valor máximo del ujo, debido ala longitud mínima del entrehierro. La misma FMM de la armadura dirigida a lo largo del ejeen cuadratura produce un valor mínimo del ujo debido a la mayor longitud del entrehierro.Este efecto se debe a la reacción de armadura. La reactancia síncrona asociada con el ejedirecto d, es por tanto un máximo, Xd, y se denomina reactancia síncrona del eje directo.La reactancia síncrona asociada con el eje en cuadratura q, es por tanto un mínimo, Xq, yse denomina reactancia síncrona del eje en cuadratura. Debido a la longitud no uniformedel entrehierro del generador de polos salientes y considerando una FMM sinusoidal con suamplitud en el eje directo produce una onda de la densidad de ujo distorsionada. Mientrasque la misma onda FMM produce una onda de densidad de ujo diferente cuando la amplitudestá en el eje en cuadratura. En la Fig. (5.2), se muestra el efecto de la reacción de armaduraen la región del interpolo Considerando que la FMM producida por una bobina es constante,y como el entrehierro es variable, se puede considerar que varia la reluctancia del entrehierro.Entonces, se puede deducir la magnitud de la reactancia de eje directo Xd y la reactancia deeje en cuadratura Xq.

FMM = φ<

< =δ

µAδ


Figura 5.2: Efecto de la reacción de armadura en el interpolo

δmax → <max → φmin → xq

Como conclusión, se tiene:δmin → <min → φmax → xd

xq < xd Máquinas de polos salientesxq = xd Máquinas de rotor liso

En la Fig. (5.3), se muestra la descomposición de la corriente de armadura (estator) sobrelos ejes d y q, y las relaciones angulares de las corrientes, el ujo y la tensión inducida. Deacuerdo a la ley de Lenz, en una bobina de N espiras inmerso en una campo magnético, seestablece un ujo magnético, φ, se induce un FEM, e, esta dado por:

e = −N dφ

dt

Considerando que el ujo magnético sinusoidal, φ = Bm cos(ωt), la FEM, e es tambiénsinusoidal e = ωBm sen(ωt). Las funciones seno y coseno están desfasadas entre si en 90.Especícamente la función seno está retrasado en 90 respecto a la función coseno, esteaspecto se muestra en la gráca de la Fig. (5.3), donde el fasor Eaf está retrasado en 90

respecto a fasor del ujo φ. Se considera que los fasores giran en el sentido antihorario. LaFEM generada por una máquina de polos salientes está dado por la ecuación:

Ef = Vf + (Ra + jXq)Iq + (Ra + jXd)Id

Ef = Vf +RaIa + jXqIq + jXdId

En la Fig. (5.4), se muestra el diagrama fasorial del generador de polos salientes. Con elobjeto de descomponer la corriente Ia en los ejes q y d, es necesario conocer el ángulo δ, porlo tanto:

Iq = Ia cos(θ + δ)Id = Ia sen(θ + δ)Iq = Ia cos(θ + δ)∠δId = Ia sen(θ + δ)∠δ − π/2


Figura 5.3: Relaciones angulares de corrientes, ujo y tensión inducida

Figura 5.4: Diagrama fasorial del generador de polos salientes

Existen dos formas de determinar el ángulo δ.

a) Considerando que Xd = Xq, se puede calcular E”f y se obtiene el valor de δ. En la Fig.(5.5), se tiene el diagrama fasorial que permite determinar el ángulo δ.

E”f = Vf + (Ra + jXq)Ia = E”f∠δ

b) Descomponiendo en parte real e imaginaria la FEM inducida E”f , se deduce que:

tan δ =XqIa cos θ −RaIa sen θ

V +RaIa cos θ +XqIa sen θ


Figura 5.5: Diagrama fasorial para determinar δ

Ejemplo 5.2 Un alternador de 14 polos, trifásico, conectado en Y, impulsado por unaturbina hidráulica, tiene valores nominales de 120 MVA, 13.2 kV, factor de potencia de0.8 en retraso y 50 Hz. Su resistencia de armadura es de 0.08 Ω, su reactancia de eje directoes de 0.62 Ω y su reactancia de eje en cuadratura es 0.4 Ω . Calcular:

a) La tensión generada considerando como máquina de rotor liso.

b) La tensión generada que necesita para operar en condiciones normales.

c) La potencia de salida en función del ángulo del par motor, δ.

a)

E”f = Vp +RaIa + jxqIa

Vf = 13200V√3

= 7621V

Vf = 7621∠0

Ia = 120000kV A√3 · 13,2kV

= 5248,6A

θ = −36,87

Ia = 5248,6∠−36,87

E”f = 7621∠0 + (0,08 + j0,4) · 5248,6∠−36,87 = 9327∠8,807

δ = 8,807


b)

Iq = Ia cos(θ + δ) = 5248,6 cos(36,87 + 8,807) = 3667,2AIq = Ia sen(θ + δ) = 5248,6 sen(36,87 + 8,807) = 3754,9AIq = 3667,2∠8,807

Id = 3754,9∠−81,193

Ef = Vf +RaIa + jXdId + jXqIq

Ef = 7621∠0 + 0,08 · 5248,6∠−36,87 + j0,62 · 3754,9∠−81,193 + j0,4 · 3667,2∠8,807

Ef = 10153∠8,805

E =√

3Ef =√

3 · 10153 = 17586V

c)

Pd = 3 ·Real(Vf · I∗d) = 3 ·Real(7621∠0 · 3754,9∠+81,193) = 13,14MWPq = 3 · Imag(Vf · I∗q) = 3 · Imag(7621∠0 · 3667,2∠−8,807) = 82,85MWPsalida = Pd + Pq = 13,14MW + 82,85MW = 96MWPsalida = S cos(θ) = 120 · cos(−36,87) = 95,99987137MW = 96MW

Capítulo 6

Operación en Paralelo de GeneradoresSíncronos

6.1. Introducción

En este capítulo se analizan las necesidades de la operación de generadores en paralelo,las condiciones de la puesta en paralelo, los métodos de sincronización y el reparto de cargade alternadores síncronos.

6.2. Operación en Paralelo de Generadores Síncronos

El consumo de electricidad está ligada a la actividad laboral, los hábitos de vida de laspersonas, las estaciones del año, etc. La carga varía a lo largo del día, por tanto, las plantasde generación de electricidad deben adecuarse a dicha variación de carga. En las plantas degeneración, se tienen varios generadores para satisfacer la demanda, debido principalmentea factores de carácter económico y conabilidad del sistema.

Figura 6.1: Curva de carga diaria

En la Fig.(6.1), se muestra la curva de carga diaria típica, es una curva de la demanda

61

62 CAPÍTULO 6. OPERACIÓN EN PARALELO DE GENERADORES SÍNCRONOS

de potencia en esta parte del país.

6.2.1. Ventajas de la Operación en Paralelo

Son varias las ventajas de la operación de generadores eléctricos en paralelo, las cualesson:1. El tener varios generadores aumenta la conabilidad del sistema eléctricos de potencia,

puesto que la falla de uno de ellos no provoca la pérdida total de la generación.

2. Se puede parar uno o varios generadores para efectos de mantenimiento (Programaciónde la Generación).

3. Como las máquinas funcionan cerca a su plena carga actúan más ecientemente.

4. Ante el crecimiento de la demanda se puede instalar nuevas unidades de generación.

6.2.2. Desventajas de la Operación en Paralelo

Entre las desventajas, se pueden citar, las siguientes:1. Se requieren mayor espacio en la sala de máquinas.

2. Los esquemas de protección son más sosticados.

3. La operación es complicada.

6.3. Condiciones para la puesta en paralelo

En la conexión en paralelo de generadores, existen dos casos:

a) En operación de un generador que alimenta a una carga, se conecta un generador denom-inador entrante, como se ilustra en la Fig.(6.2).

b) Acoplamiento de un nuevo generador a las barras de la central eléctrica. En la Fig.(6.3),se ilustra este caso.

En ambos casos, se puede decir los generadores síncronos acoplados deben tener la mismafrecuencia, dicho de otro modo, deben girar sincrónicamente. Como los motores primarios(motor mecánico, turbina térmica o turbina hidráulica) son de diferentes tamaños, tienemomentos de inercia diferentes por lo que no tienen la misma capacidad de mantener el sin-cronismo, produciendo oscilaciones o balanceos correspondientes al desplazamiento angulardel rotor. [8]

Con el objeto de explicar las condiciones necesarias para la puesta en paralelo de genera-dores se ilustra el caso de dos generadores del mismo porte, entonces para cerrar el disyuntorS de la Fig.(6.2), se debe cumplir los siguientes requisitos:

6.4. MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN 63

Figura 6.2: Generadores en paralelo [2]

Figura 6.3: Sistema y Generador en paralelo [12]

1. Los generadores (ó sistema - generador) deben tener las misma secuencia de fases.

2. Los valores ecaces de las tensiones de línea de los generadores (ó sistema - generador)deben ser iguales

3. Las ángulos de fases homólogas deben ser iguales.

4. La frecuencia del nuevo generador, llamado generador entrante debe ser ligeramentemayor que la frecuencia del sistema.

6.4. Métodos de Sincronización

Para la sincronización del generador entrante con el sistema (ó el otro generador) se debeseguir los siguientes pasos:


1. Mediante la regulación de la corriente de campo se logra que la tensión en barras seaigual al del sistema (condición 2)

2. Vericar la secuencia de fases (condición 1).

3. Vericar la coincidencia que los ángulos de fases homólogas (condición 3). Ésta condi-ción determina el método de sincronización.

6.4.1. Método de las Lámparas Apagadas

Para comprender mejor la puesta en paralelo de generadores, se explica la conexión enparalelo de dos alternador monofásicos. Antes de cerrar los disyuntores, consideremos que lastensiones sean: EA = EB = E y frecuencias ligeramente diferentes. La diferencia de potencialen los terminales del disyuntor, es:

∆E = E senωAt− E senωBt = 2E cos ωA + ωB2 t sen ωA − ωB

2 t

ω ∼= ωA + ωB2 = 2πf

∆E = 2E cosωt sen ωA − ωB2 t

Te =∣∣∣ 2πωA − ωB

∣∣∣Con la nalidad de comprender el proceso de la puesta en paralelo de generadores sín-

cronos, se realiza simulaciones realizadas en MATLAB. Los datos utilizados, son:

E = 220Vf1 = 50Hzf2 = 50,1Hzω1 = 2πf1 = 100πω2 = 2πf2 = 100,2π

T =∣∣∣ 1

∆f

∣∣∣ =∣∣∣ 1

f1 − f2

∣∣∣ = 10s

En la Fig. (6.4), se muestra el esquema de conexiones del método de sincronizacióndenominada lámparas apagadas.

El instante en que se puede cerrar el disyuntor, es cuando ∆E se anula. En la Fig. (6.5),se muestran los instantes en que la onda de tensión en bornes del disyuntor se hace cerocada periodo T = 10s, es decir, en los instantes: 10s, 20s, 30s, 40s, etc. La desventaja delmétodo es que se necesita dos lámparas en serie para evitar que se queme. La diferencial depotencial nula, no permite la iluminación de las lámparas.

6.4.2. Método de las Lámparas Encendidas

En la Fig. (6.6), se muestra el esquema de conexiones de las lámparas encendidas. Elmétodo de las lámparas encendidas, es similar al método de las lámparas apagadas, en estecaso, el disyuntor se cierra en los instantes en que la diferencia de potencial es

√3∆E.


Figura 6.4: Esquema de conexiones de lámparas apagadas

Figura 6.5: Forma de onda de tensión en bornes del disyuntor

Para analizar el método de lámparas encendidas, se realizan las simulaciones medianteMATLAB, con ese objeto, se consideran dos sistemas trifásicos denominados tensiones delsistema y generador entrante.

Las tensiones del sistema, son:

va1 =√

2E cos(ω1t)

vb1 =√

2E cos(ω1t−2π

3)

vc1 =√

2E cos(ω1t+2π

3)


Las tensiones del generador entrante, son:

va2 =√

2E cos(ω2t)

vb2 =√

2E cos(ω2t−2π

3)

vc2 =√

2E cos(ω2t+2π

3)

Las lámparas encendidas, están sometidas a las diferencias de potencial, siguientes:

∆va1−a2 =√

2E(cosω1t− cosω2t)

∆va1−b2 =√

2E(cosω1t− cos(ω2t+ 1200))

∆vb1−c2 =√

2E(cos(ω1t+ 1200)− cos(ω2t− 1200))

∆vc1−a2 =√

2E(cos(ω1t− 1200)− cosω2t)

Figura 6.6: Esquema de conexiones de lámparas encendidas

En la Fig. (6.7), se tienen los instantes: 15s, 25s, 35s, 45s, etc. donde se puede cerrar eldisyuntor D.

6.4.3. Método de las Lámparas Giratorias

En la Fig. (6.8), se muestra el esquema de conexiones de las lámparas que dan un sensaciónde lámparas giratorias, dos encendidas y una apagada y dos apagadas y una encendida yasí sucesivamente. El disyuntor se cierra cuando las lámparas 2 y 3 están encendidas conel mismo brillo y la lámpara 1 está apagada, existe una desventaja: El operador que debecerrar el disyuntor no tiene manera de saber en qué instante exacto, durante las sucesivasoscilaciones de la lámpara, la diferencia de tensión es realmente cero, esta situación se resuelvecon la ayuda de un voltímetro de cero como se muestra en la Fig. (6.8).

Las lámparas giratorias, están sometidas a las diferencias de potencial, siguientes:



∆va1−a2 =√

2E(cosω1t− cosω2t) Lámpara 1∆vb1−c2 =

√2E(cos(ω1t+ 1200)− cos(ω2t− 1200)) Lámpara 2

∆vc1−b2 =√

2E(cos(ω1t− 1200)− cos(ω2t+ +1200)) Lámpara 3

En la Fig. (6.9), se tienen los oscilogramas de las lámparas 1, 2 y 3. Los instantes en que sepuede cerrar el disyuntor, son: 10s, 20s, 30s, 40s, etc.

6.4.4. Método del Sincronoscopio

El sincronoscopio es un instrumento que mide la diferencia del ángulo de fase de los dossistemas (generador y sistema).


Figura 6.8: Esquema de conexiones de lámparas giratorias


6.5. REPARTO DE CARGA 69

6.5. Reparto de Carga

Cuando los generadores están conectados en paralelo, se produce el reparto de carga entrelos generadores.

6.5.1. Diagrama Fasorial de Generadores idénticos conectados enParalelo

a) Igual División de Carga

b) Aumento de Excitación del Generador Entrante

c) Corriente Interna de Circulación

d) Variación de la Potencia de Entrada

Ejemplo 6.1 Dos generadores síncronos idénticos funcionan en paralelo entregando poten-cia a una carga a una carga de 40 MW a 0.866 de factor de potencia atrasado a tensiónnominal. Las máquinas están conectados en estrella y cada una es de 30 MVA, 13.2 kV y4.5 Ω. Están ajustadas de tal manera que cada una funciona al mismo factor de potencia.Determine para cada máquina a) KVA, b) KW, c) KVARS, d) La FEM inducida por fase,e) el ángulo δ y f) el ángulo ϕ, despreciando RA.

Solución 6.1 La corriente de carga, es:

IL = 4000√3 · 13,2 · 0,866

= 2020,3A

IL = 2020,3∠−300

I1 = I2

IL = I1 + I2

I1 = IL2 = 1010,15∠−300

V = V1 = V2

E1 = V + Z1I1 = 7621∠00 + j4,5 · 1010,15∠− 300 = 10649∠21,70

E2 = E1

SG1 = 3E1I∗1 = 3 · 10649∠21,70 · 1010,15∠300 = 32,27∠51,70 = 20 + j25,32MVA

SG2 = 32,27∠51,70 = 20 + j25,32MVASL = 40− j23,09MVASG1 + SG2 = 40 + j50,64MVASxd

= −j2 · 3I21xd = −2 · 3 · 1010,152 · 4,5 = −j27,55MVAR

a) 32,27 MVA

b) 20 MW

c) 25,32 MVAR


d) 10649 V

e) δ = 21,70

f) ϕ = 300 en retrazo

6.6. Características Frecuencia vs Potencia

Cuando los generadores entregan potencia a la carga, disminuyen su velocidad de giro.Ésta reducción, se puede expresar como caída de velocidad que está denida por:

SD =nsc − npc

npc

∗ 100 % = 2− 5 %

La potencia de salida del generador en función de la frecuencia, está dado por:

P = Sp(fsc − fsis)

Donde:P = Potencia de salidad del generadorfsc = Frecuencia del generador en vacíofsis = Frecuencia de operación del sistemaSp = Pendiente de la curva en kW/Hz

Figura 6.10: Característica frecuencia vs potencia

La característica velocidad - carga de un generador debe ser una curva inclinada, comose muestra en la Fig.(6.10). En a), se expresa en rpm y en b), se expresa en Hz.

Ejemplo 6.2 La velocidad en vació del primo motor de un generador trifásico de 480 V,100 kW, dos polos, 50 Hz es de 3033 rpm y 2960 rpm a plena carga. Este generador funcionaen paralelo con otro de 480 V, 75 kW, 4 polos, 50 Hz, cuya máquina motriz da 1500 rpmen vació y 1485 rpm a plena carga. Los dos generadores alimentan una carga de 100 kW,

6.6. CARACTERÍSTICAS FRECUENCIA VS POTENCIA 71

fp = 0,85(−). Calcular a) las caídas de velocidad de los generadores 1 y 2, b) La frecuenciade operación del sistema, c) La potencia suministrada por cada generador, d) Si VT es 460V ¾Qué acción deben ejecutar los operadores para corregir esta baja tensión? y e) Si lacarga aumenta en 30 kW, cuál es la frecuencia del sistema y las potencias entregara por losgeneradores.

Figura 6.11: Diagrama casa para los generadores del ejemplo (6.2)

En la Fig. (6.12), se muestra el diagrama casa del ejemplo (6.2), donde se representa losvalores de las velocidades y valores de frecuencias.

Solución 6.2 a)

Sp1 =100kW

50,55Hz − 49,33Hz= 81,97

kW

Hz

Sp2 =75kW

50Hz − 49,5Hz= 150

kW

HzPL = Sp1(fsc1 − fsis) + Sp2(fsc2 − fsis)

100kW = 81,97kW

Hz(50,55− fsis) + 150

kW

Hz(50− fsis)

100kW = 11643,58− 231,97fsis

fsis = 49,76Hz∆f1 = 50,55− 49,76 = 0,79Hz∆f2 = 50,00− 49,76 = 0,24Hz

b)fsis = 49,76Hz


c)PG1 = 81,97(50,55− 49,76) = 64,7kWPG2 = 150(50− 49,76) = 36kW

d) Aumentar las corrientes de campo de los generadores.

e)130kW = 81,97(50,55− fsis) + 150(50− fsis)

fsis =11524,793

232,19176= 49,779024Hz

PG1 = 81,97(50,55− 49,779024) = 54,779024kWPG2 = 150(50− 49,779024) = 75,221362kWPL = PG1 + PG2 = 130kW

Figura 6.12: Característica frecuencia vs potencia para generadores en paralelo

6.7. Características Tensión vs Potencia Reactiva

La dependencia entre la tensión en bornes del generador y la potencia reactiva, se puedeexpresar de igual forma a la relación frecuencia y potencia activa. El regulador de tensiónentrega una salida lineal con los cambios de la potencia reactiva. En la Fig. (6.13), se muestrala característica de tensión en bornes (VT ) contra la potencia reactiva (Q) para un generadorsíncrono.

6.8. CARACTERÍSTICAS EN VACÍO Y CORTOCIRCUITO 73

Figura 6.13: Característica tensión vs potencia reactiva

6.8. Características en Vacío y Cortocircuito

Para estudiar el comportamiento del generador de rotor liso, es necesario determinarlos parámetros: E0 y Zs. Las características en vacío y en cortocircuito del generador, seobtienen mediante los ensayos en vació y en cortocircuito.

6.8.1. Ensayo en Vacío

Considerando el modelo del generador síncrono de rotor liso expresado por la ecuación:Ea = Vt + IaZs. Es el modelo para una fase, las otras fases están desfasadas en 1200 entresí.

Como la FEM inducida, está dado por:

E =4,44φNe/ffkb

a

y como el ujo está en función de la corriente de campo (denominada también corriente deexcitación) considerando los otros parámetros constante, entonces E está en función de lacorriente de campo.

En el ensayo en vacío: Ia = 0, entonces E0 = Ea = Vt, signica que la FEM , E0 esla tensión en los terminales del generador cuando es nula la corriente del inducido, Ia = 0.En la Fig. (6.14), se tiene el esquema para el ensayo en vacío y en la Fig. (6.14), se tiene lacaracterística en vacío del generador.

6.8.2. Ensayo en Cortocircuito

Considerando el modelo por fase del generador síncrono de rotor liso expresado por laecuación: Ea = Vt + IaZs


Figura 6.14: Esquema para el ensayo en vació

En el ensayo en cortocircuito: Vt = 0, entonces E0 = (Ra + jXs)Icorto = ZsIcorto, dedonde el módulo de la impedancia síncrona, es:

Zs =E0

Icorto

como la FEM, E0 está en función de la corriente de campo, entonces la impedancia síncronaestá en función de la corriente de campo, con mayor precisión la reactancia síncrona ya quela resistencia del inducido es constante.

En la Fig.(6.15), se muestra el esquema para el ensayo de cortocircuito y en la Fig. (6.14),se tiene la característica en cortocircuito del generador.

Figura 6.15: Esquema para el ensayo en cortocircuito

6.8. CARACTERÍSTICAS EN VACÍO Y CORTOCIRCUITO 75

6.8.3. Determinación de la Reactancia Síncrona

La reactancia síncrona, Xs, de un generador de rotor liso se obtiene mediante los ensayosen vacío y cortocircuito del generador. En la Fig. (6.16), se presentan las características envacío y en cortocircuito.

Con las grácas obtenidas de los dos ensayos, se determina mediante cálculo la impedanciasíncrona del alternador. Para una corriente de campo dada, 0C, se traza una recta verticalque intersecta con las características en vacío y en cortocircuito, en A y en B respectivamente.La reactancia síncrona, está dado por el cociente:

Xs =AC

BC

La reactancia síncrona disminuye a medida que aumenta la corriente de campo, esto seexplica por la reacción de inducido, a medida que aumenta la corriente de campo aumentala corriente de cortocircuito, por tanto, crece la reacción de inducido que se maniesta comouna reducción del ujo magnético en el entrehierro.

Figura 6.16: Características en vacío y cortocircuito

6.8.4. Medición de la Resistencia del Inducido

Con el esquema mostrado en la Fig. (6.17), se mide la resistencia del inducido en corrientecontinua. La resistencia del inducido en corriente alterna se corrige utilizando un factor quevaría entre 1,2 a 1,8, este factor depende de la frecuencia, calidad del aislamiento, el tamaño ypotencia. El factor 1,5 es adecuado. La resistencia de armadura medida en corriente continua,es:


Rcc =1

2

V

A=

V

2A

Y la resistencia de armadura en corriente alterna, está dado por:

Ra = Rca = 1,5Rcc

Figura 6.17: Esquema para la medición de resistencia del inducido

6.9. Características P-Q de un Generador de Rotor Liso

Las pérdidas de potencia tanto en el cobre, como en el hierro y por fricción, se maniestancomo calor por efecto Joule. El calentamiento del generador afecta al aislamiento eléctrico,reduce la vida útil del generador, por tanto, es necesario mantenerlo a los límites permitidos.Los valores nominales del generador, son los valores de diseño que debe soportar sin sufrirun deterioro perceptible.

En la Fig. (6.18), se muestra la curva de capacidad del generador de rotor liso.

6.9. CARACTERÍSTICAS P-Q DE UN GENERADOR DE ROTOR LISO 77

Figura 6.18: Curva de capacidad del generador de rotor liso

6.9.1. Potencia Activa y Reactiva

E = V + (Ra + jXs)Ia

V = V ∠0

Z =√R2

a +X2s ∠α

Ia = I∠θ

Ia =E−V

(Ra + jXs)=

E−V

Z=Eejδ − V ej0

Zejθ

S = VIa∗ = P + jQ

I∗a =E∗ −V∗

(Ra − jXs)=

E∗ −V∗

Z∗

S = VIa∗ = V

E∗ −V∗

Z∗ = V ej0Ee−jδ − V ej0

Ze−jθ=EV ej(θ−δ) − V 2ejθ

Z

S =EV

Z(cos(θ − δ) + j sen(θ − δ)− V 2

Z(cos θ + j sen θ)

De donde:P =

EV

Z(cos(θ − δ)− V 2

Zcos θ

Q =EV

Z(sen(θ − δ)− V 2

Zsen θ

En generadores de gran tamaño, Ra ≈ 0, por lo tanto:

Z = Zejθ = jXs = Xsej90


De donde: θ = 90

Las potencias activa y reactiva, son:

P =EV

Xs

sen δ

Q =EV

Xs

cos δ − V 2

Xs

6.10. Características P-Q de un Generador de Polos Salientes

La característica P − Q de la máquina síncrona muestra en el plano P − Q los límitespermisibles de la potencia activa y reactiva que puede suministrar a la red cuando operacomo generador. [20]

Los límites quedan determinados por la capacidad térmica de los devanados de campoe inducido, el calentamiento de las laminaciones del extremo del núcleo del estator, por lapotencia de la turbina y por su límite de estabilidad permanente.

6.10.1. Restricciones en la Operación de Máquinas Síncronas

Las restricciones para que el generador no sufra deterioros por efecto del calentamiento,son:

1. La corriente del inducido no sobrepase su valor nominal.

2. La corriente de campo no exceda el límite permitido.

3. Se mantenga la estabilidad del generador.

4. No exceder la potencia de la turbina.

El lugar geométrico del límite térmico del devanado de campo se denomina Limacón dePascal.

En la Fig. (6.19), se muestra la curva de capacidad del generador de rotor de polossalientes.

6.10.2. Potencia Activa y Reactiva

Del diagrama fasorial de la Fig. (5.4), se deduce que la FEM generada está dada por laecuación siguiente:

E = V + (Ra + jXs)Ia + jXqIq + jXdId

La potencia compleja suministrada por el generador, está dado por:

S = P + jQ = VI∗a = V(I∗d + I∗q)

6.10. CARACTERÍSTICAS P-Q DE UN GENERADOR DE POLOS SALIENTES 79

Figura 6.19: Curva de capacidad del generador de polos salientes

donde: Ia = Id + Iq

Descomponiendo la corriente Ia en los ejes d y q, se tiene:

Id = Ia sen(θ + δ)Iq = Ia cos(θ + δ)

La corriente en función de componentes en los ejes d y q, está dado por:

I =Id

sen(θ + δ)

I =Iq

cos(θ + δ)

Expresando como fasor, se tiene:

Id = Idej(δ−π/2)

Iq = Iqejδ

Del diagrama fasorial de la Fig. (5.4), se puede deducir geométricamente que:

E = V cos δ +RIa cos(θ + δ) + xdId

V sen δ = xqIq −RIa sen(θ + δ)

Reemplazando la corriente Ia por sus equivalentes:


E = V cos δ +RId

sen(θ + δ)cos(θ + δ) + xdId

V sen δ = xqIq −RIq

cos(θ + δ)sen(θ + δ)

E = V cos δ + (xd +R cot(θ + δ))Id

V sen δ = (xq −R tan(θ + δ))Iq

Las componentes de la corriente Ia, son:

Id =E − V cos δ

xd +R cot(θ + δ)

Iq =V sen δ

xq −R tan(θ + δ)

La conjugada de las componentes del fasor de la corriente bfIa, son:

I∗d = Idej(π/2−δ)

I∗q = Iqe−jδ

La potencia compleja, está dado por:

S = P + jQ = VI∗a = V(I∗d + I∗q) = V[ E − V cos δ

xd +R cot(θ + δ)ej(π/2−δ) +

V sen δ

xq −R tan(θ + δ)e−jδ

]como:

ej(π/2−δ) = cos(π/2− δ) + j sen(π/2− δ) = sen δ + j cos δ

S = V[ E − V cos δ

xd +R cot(θ + δ)(sen δ + j cos δ) +

V sen δ

xq −R tan(θ + δ)(cos δ − j sen δ)

]

S =[ V E − V 2 cos δ

xd +R cot(θ + δ)(sen δ + j cos δ) +

V 2 sen δ

xq −R tan(θ + δ)(cos δ − j sen δ)

]

S =[ V E − V 2 cos δ

xd +R cot(θ + δ)sen δ + j

V E − V 2 cos δ

xd +R cot(θ + δ)cos δ

+V 2 sen δ

xq −R tan(θ + δ)cos δ − j

V 2 sen δ

xq −R tan(θ + δ)sen δ

]Separando parte real e imaginaria, se tiene:

6.10. CARACTERÍSTICAS P-Q DE UN GENERADOR DE POLOS SALIENTES 81

P =V E − V 2 cos δ

xd +R cot(θ + δ)sen δ +

V 2 sen δ

xq −R tan(θ + δ)cos δ

Q =V E − V 2 cos δ

xd +R cot(θ + δ)cos δ − V 2 sen δ

xq −R tan(θ + δ)sen δ

Finalmente, se tiene:

P =V E

xd +R cot(θ + δ)sen δ +

V 2

2

( 1

xq −R tan(θ + δ)− 1

xd +R cot(θ + δ)

)sen 2δ

Q =V E

xd +R cot(θ + δ)cos δ − V 2

( sen2 δ

xq −R tan(θ + δ)+

cos2 δ

xd +R cot(θ + δ)

)Si se desprecia la resistencia de armadura, se tiene:

P =V E

xd

sen δ +V 2

2

( 1

xq

− 1

xd

)sen 2δ

Q =V E

xd

cos δ − V 2(sen2 δ

xq

+cos2 δ

xd

)Y se emplea las identidades trigonométricas:

cos2 δ =cos 2δ + 1

2

cos2 δ =1− cos 2δ

2

Las potencias activa y reactiva, están dadas por las expresiones:

P =V E

xd

sen δ +V 2

2

( 1

xq

− 1

xd

)sen 2δ

Q =V E

xd

cos δ +V 2

2

( 1

xq

− 1

xd

)cos 2δ − V 2

2

( 1

xq

+1

xd

)Son las ecuaciones clásicas que aparecen en la literatura.

Capítulo 7

Motor Síncrono

7.1. Introducción

En este capítulo, se presenta el motor síncrono, la característica constructiva y el principiode funcionamiento.


El generador síncrono es reversible, por tanto, sin cambios radicales, se tiene un motorsíncrono.

El estator y su devanado, es idéntico al del generador síncrono con excitación externa.Mientras que el rotor tiene una variante, el devanado de campo del polo saliente que genera elcampo magnético giratorio del entrehierro, tiene un devanando amortiguador constituidospor barras circulares, las cuales están incrustadas en ranuras de las caras polares y estáncortocircuitadas por una barra plana circular. El devanado amortiguador tiene dos funciones:la primera es disminuir las oscilaciones del rotor, particularmente cuando las cargas estánsometidas a variaciones bruscas y la segunda es generar un torque de partida para el arranquedel motor síncrono.

En la Fig. (7.1), se muestra un polo magnético de un rotor de polos salientes.La velocidad del motor está dada por la ecuación siguiente:

n =120f

P

Como la frecuencia de alimentación es constante y el número de polos es jo, entonces elmotor tiene una velocidad constante que es igual a la velocidad síncrona, por eso, se denominamotor síncrono.

En la Fig. (7.2), se muestra la estructura del motor síncrono.

83

84 CAPÍTULO 7. MOTOR SÍNCRONO

Figura 7.1: Estructura del devanado amortiguador [12]

Figura 7.2: Estructura del motor síncrono

7.3. Circuito Equivalente

Cuando los devanados del estator del motor síncrono, están alimentados por una tensióntrifásica, se crea un ujo magnético giratorio en el entrehierro, el cual, interactua con el ujode excitación del devanado de campo del rotor, por lo cual, se establece un campo magnéticogiratorio resultante en el entrehierro, lo cual se representa por medio de la ecuación:

V a = Ea + Ia(Ra + jXs)

donde:

7.4. CARACTERÍSTICA PAR-VELOCIDAD 85

V a = Tensión de alimentación por faseEa = Fuerza Contraelectromotíz inducida por faseIa = Corriente de armadura por faseRa = Resistencia de la armaduraXs = Reactancia síncrona de la armadura

En la Fig.(7.3), se muestra el circuito equivalente del motor síncrono.

Figura 7.3: Circuito equivalente del motor síncrono

7.3.1. Diagrama Fasorial

En la Fig.(7.4), se muestran los diagramas fasoriales del motor síncrono para cargas condiferentes factores de potencia: en a) Factor de potencia inductivo, en b) Factor de potenciaunitario y en c) Factor de potencia capacitivo.

7.4. Característica Par-Velocidad

En la Fig.(7.5), se muestra la característica del torque τ del motor síncrono versus lavelocidad del motor. El torque varía desde un torque mínimo, τmin, hasta un torque máximo,τmax. Y la velocidad constante, nsinc.

De la Fig. (7.5), se aprecia que el motor síncrono no posee torque de partida, por lo cual,requiere métodos de arranque que permitan la partida hasta llevarlo a la velocidad síncronanominal.

7.5. Curvas en V

En la Fig.(7.6), se muestra la característica curvas en V del motor síncrono versus lacorriente de campo.


Figura 7.4: Diagramas fasoriales

Figura 7.5: Torque del motor síncrono

7.6. Métodos de Arranque

El rotor del motor síncrono debe llevarse a un velocidad cercana a la velocidad síncrona,a n de quedar en sincronismo con el campo giratorio del entrehierro.

7.6. MÉTODOS DE ARRANQUE 87

Figura 7.6: Curva en V

Los métodos con los cuales se llega a la velocidad síncrona, son:

1. Barras amortiguadoras. Se aprovecha del principio del motor de inducción paragenerar un torque de partida.

2. Motor auxiliar de CC. Se requiere un motor de CC acoplado al motor síncrono.

3. Motor auxiliar de CA. Se requiere un motor de inducción pequeño, con un par depolos menos que el motor síncrono.

4. Empleo de la Excitatriz. Se usa la excitatriz del motor síncrono como motor de CC.

5. Arranque asíncrono. Es la utilización de los devanados amortiguadores como motorde inducción de jaula de ardilla.

6. Arranque por frecuencia. Se requiere un convertidor de frecuencia

En la Fig.(7.7), se muestra el esquema del arranque del motor síncrono utilizando un inversorde frecuencia.

Figura 7.7: Inversor de frecuencia en el arranque del motor síncrono


7.7. Corrección del Factor de Potencia

Las industrias emplean cargas en mayor porcentaje inductivas, los cuales desmejoran elfactor de potencia. Por lo tanto, es necesario corregir el factor de potencia de la red eléctricade la industria mediante motores síncronos.

Los motores síncronos se emplean en la industria con dos objetivos:

1. Corrección del factor de potencia.

2. Aprovechamiento de la potencia mecánica del motor para acciona una carga.

En la Fig.(7.8), se muestra el esquema para la corrección del factor potencia empleando unmotor síncrono. En la Fig.(7.9), se muestra los triángulos de potencia: a) de la carga, b) del

Figura 7.8: Conexión del motor síncrono para corregir el factor de potencia

motor síncrono y c) después de la corrección del factor de potencia.

Ejemplo 7.1 Una carga de 450kV A funciona con un factor de potencia de 0,66 inductivo.Se desea corregir el factor de potencia conectar al sistema un motor síncrono de 150hp con unrendimiento de 85 % y que el conjunto tenga un factor potencia de 0,85 inductivo. Calcular:a) La potencia aparente y el factor de potencia del sistema con el motor incluido, b) Lapotencia aparente y el factor de potencia del motor síncrono.

Solución 7.1 a)

7.7. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA 89

Figura 7.9: Triángulos de potencias en la corrección del factor de potencia

PL = S cos(θ) = 450 · 0,66 = 297 kWθL = arc cos(0,66) = 24,35o

sen(θ) = sen(24,35o) = 0,7513QL = S sen(θ) = 450 · 0,7513 = −338,0850 kVArPM =

150 · 0,746

0,85= 131,6471 kW

Pt = PL + PM = 297 + 131,6471 = 429,6471 kWθt = arc cos(0,85) = 31,7883o

tan(θt) = 0,6197Qt = Pt tan(θt) = 429,6471 · 0,6197 = −265,6326 kVAr

b)

Qt = QL +QM

QM = Qt −QL = −265,6326− (−338,0850) = 72,4524 kVArQM = PM tan(θM)

θM = arctan(QM

PM

) = 28,8263o

FPM = cos(θM) = cos(28,8263o) = 0,8762 capacitivoSM = =

PM

FPM

= 150,2508 kVA

Capítulo 8

Transformadores

8.1. Introducción

En este capítulo, presentan las partes constructivas y el principio de funcionamiento deun transformador monofásico, trifásico. Éste capítulo está basado en las referencias [2] y [6].

8.2. Denición

El transformador fue inventado en 1886 por William Stanley. El transformador es unamáquina eléctrica estática, que tiene dos o más devanados, se utiliza para transferir la po-tencia eléctrica de corriente alterna por medio de la inducción electromagnética, desde uncircuito a otros, con la misma frecuencia, pero con diferentes niveles de tensión y corriente.El transformador transforma la energía eléctrica en energía eléctrica.

El transformador puede cambiar la magnitud de tensión o corriente alterna de un valora otro. Esta propiedad útil del transformador, es principalmente responsable para el usoextendido de la corriente alterna en lugar de la corriente continua, es decir, la potenciaeléctrica se genera, se transmite y se distribuye en corriente alterna.

El transformador es probablemente es uno de los dispositivos eléctricos más útiles inven-tados en el campo de la ingeniería eléctrica.


El transformador es una máquina eléctrica estática, en general tiene dos devanados so-bre un núcleo magnético conformado de chapas magnéticas de 0.35 mm que se denominanprimario y secundario. El primario se conecta a una fuente de energía de tensión V1 y elsecundario se conecta a la carga, bajo la tensión V2. Las bobinas están aisladas entre sí ycon respecto al núcleo.

91

92 CAPÍTULO 8. TRANSFORMADORES

8.4. Tipos de Transformador

La clasicación de los transformadores, se lo puede realizar según: [9]

i) La aplicación general

a) Transformadores de potencia. Son transformadores empleados en los sistemasde transmisión y distribución de potencia, tienen una potencia mayor a 500 kVAs.

b) Transformadores de distribución. Son transformadores empleados en los sis-temas eléctricos de distribución, tienen una potencia comprendida entre 3 kVA hasta500 kVAs

c) Transformadores de electrónico. Son transformadores de mucho tipos y aplica-ciones diferentes usados en circuitos electrónicos, con capacidades de hasta 3 kVA.

d) Transformadores de mando. Son transformadores empleados para alimentar cir-cuitos de mando.

e) Transformadores de instrumentos. Son transformadores utilizados para enviarseñales de corriente y tensión para medición y protección.1) Transformadores de medición. Se tiene los transformadores de corriente y

de potencial. Clase 12) Transformadores de protección. Se tiene los transformadores de corriente y

de potencial. Clase 5f) Transformadores especiales

a) Transformadores de tomas variables (taps). Son transformadores que se puedenajustar su relación de transformación.

b) Transformadores de tensión constante. Son transformadores que tienen taps ajusta-bles en forma automática para mantener constante la tensión de salida.

ii) La gama de frecuencia

a) Potencia. Son transformadores de frecuencia constante que operan a las frecuen-cias de 50, 60 y 400 Hz.

b) Audio. Son transformadores usados en una frecuencia de hasta 25 kHz.c) Frecuencia ultra-alta (UHF). Son transformadores de electrónica diseñados

para la gama de frecuencia UHF.d) Banda ancha. Son transformadores de electrónica diseñados para una gama de

frecuencia especíca.e) Banda angosta. Son transformadores de electrónica diseñados para una gama de

frecuencia especíca.f ) Impulso. Son transformadores diseñados para usarse con excitación de impulsos.

8.5. TRANSFORMADOR IDEAL 93

iii) El numero de devanados. Son transformadores de dos devanados (convencional) ydevanados multiples.

iv) El grupo de conexión. Son transformadores de potencia y se reere al método deconectar los devanados individuales en aplicaciones polifásicas. Las conexiones en lossistemas trifásicos, son: delta, estrella y zig-zag.

v) La característica constructiva

a) Transformador acorazado . Son transformadores construidos con núcleos E eI en forma alternada. La sección transversal del núcleo magnético es rectangular.

b) Transformador de columnas. Son transformadores construidos con núcleos Ce I en forma alternada, generalmente, la sección transversal del núcleo magnéticoes circular escalonado.

vi) La disposición de los devanados

a) Devanado concéntrico. Son transformadores donde el devanado primario y eldevanado secundario son concéntricas.

b) Devanado alternado. Son transformadores donde los devanados están dispuestosen forma alternada.

En la Fig.(8.1), se muestra un transformador monofásico con núcleo acorazado.

Figura 8.1: Transformador acorazado monofásico

En la Fig.(8.2), se muestra un transformador monofásico con núcleo de columnas. Enla Fig.(8.3), se muestra la sección transversal del transformador que está construidos porpaquetes de láminas de diferentes ancho y altura.

8.5. Transformador Ideal

El transformador ideal, es aquel que no presenta pérdidas, tiene un devanado primarioy otro denominado secundario. La Fuerza magnetomotriz y las relaciones de transformación


Figura 8.2: Transformador de columnas

Figura 8.3: Sección del núcleo magnético

en función de las tensiones y corrientes del primario y secundario y están dados por:

FMM1 = FMM2

N1I1 = N2I2

a =V1

V2

=N1

N2

1

a=

I1I2

=N2

N1

En la Fig.(8.4), se muestra el esquema de un transformador ideal.

8.5. TRANSFORMADOR IDEAL 95

Figura 8.4: Transformador ideal

En la Fig.(8.4) los componentes básicos del transformador son el núcleo magnético, eldevanando primario con N1 espiras, y el devanado secundario con N2 espiras. Si φ es el ujomutuo variable en el tiempo que enlaza N1 y N2, entonces y de acuerdo con la ley de Lenz,las fuerzas electromotrices e1 y e2 son inducidas en N1 y N2, están dados por:

e1 = −N1dφ

dt

e2 = −N2dφ

dt

De donde, se tiene:e1e2

=N1

N2

En términos de valores ecaces, se tiene:

E1

E2

=N1

N2

= a

Si el ujo φ varia en forma senoidal:

φ = φm senωt

De donde, se tiene: e = −N dφ

dt= −Nωφm cosωt

El valor ecaz de la tensión inducida, está dado por:

E =Nωφm√

2= 4,44fNφm

es la ecuación de la fem de un transformador, donde: f =ω

2πen Hz. El núcleo magnético de

un transformador ideal tiene una permeabilidad muy grande, entonces:

FMM1 = FMM2

de donde: a =I2I1

=N1

N2Las impedancias, son:


Z1 =V1

I1=E1

I1=aE2

I2a

= a2E2

I1

= a2V2

I1= a2Z2

8.6. Transformador Real

El transformador real diere de un transformador ideal en que presentan pérdidas óhmicasy en núcleo magnético. En la Fig.(8.5), se tiene el ujo mutuo φ que enlaza los devanadosdel primario y secundario, y los ujos de dispersión del primario y secundario φl1 y φl2

respectivamente.

Figura 8.5: Esquema del transformador

De la Fig.(8.5), se tiene las siguientes ecuaciones:

E2 = V2 +R2I2 + jX2I2

V1 = E1 +R1I1 + jX1I1

a =E1

E2

=N1

N2

I1 = I0 +I2a

8.6.1. Circuito Eléctrico Equivalente

En el circuito equivalente de un transformador real, R1 y R2 son las resistencias delos devanados del primario y secundario respectivamente, los ujos de dispersión φl1 y φl2

dan lugar a las reactancias de dispersión, X1 y X2, respectivamente. EL ujo mutuo φ serepresenta por la reactancia de magnetización Xm y las pérdidas en el núcleo magnético porun resistencia Rc en paralelo con Xm. En la Fig.(8.6), se muestra el circuito equivalente deltransformador a frecuencia industrial.

8.6. TRANSFORMADOR REAL 97

Figura 8.6: Circuito equivalente del transformador

En alta frecuencia, las espiras del transformador constituyen un condensador, por tanto,se debe tomar en cuenta en el circuito equivalente del transformador. En la Fig.(8.7), semuestra el circuito equivalente del transformador en alta frecuencia.

Figura 8.7: Circuito equivalente del transformador en alta frecuencia

El circuito equivalente del devanado primario se puede referir al lado secundario y vicev-ersa. En la Fig.(8.8), se muestra el circuito equivalente del transformador referido al primario.

Figura 8.8: Circuito equivalente del transformador referido al primario


8.7. Diagrama Fasorial

La ecuación que representa el secundario del transformador, está dado por:

E2 = V2 +R2I2 + jX2I2

Figura 8.9: Diagrama fasorial del secundario

En la Fig.(8.9), se muestra el diagrama fasorial del transformador en su lado secundario.La ecuación que representa el primario del transformador, está dado por:

V1 = E1 +R1I1 + jX1I1

y tomando en cuenta las otras ecuaciones del transformador:

a =E1

E2

=N1

N2

I1 = I0 +I2a

En la Fig.(8.10), se muestra el diagrama fasorial del transformador en su lado primario.

8.8. Pérdidas y Rendimiento del Transformador

Las pérdidas en el transformador, son: Las pérdidas en el cobre de los devanados y laspérdidas en el núcleo magnético.

8.8. PÉRDIDAS Y RENDIMIENTO DEL TRANSFORMADOR 99

Figura 8.10: Diagrama fasorial del primario

8.8.1. Pérdidas Óhmicas

Las pérdidas en el cobre, son debidas a las pérdidas óhmicas en los devanados del primarioy secundario del transformador:

Pcu = 3R1I21 + 3R2I

22

8.8.2. Pérdidas en el Núcleo Magnético

Las pérdidas en el hierro, son de dos tipos: Debidas a las corrientes parásitas y la histéresisdel material magnético. Las cuales se representan por: Pn = Pe + Ph.

8.8.2.1. Pérdidas Debidas a las Corrientes Parásitas

Las corrientes parásitas denominadas corrientes de Foucault, conocidas también comocorrientes de Eddy. Al circular el ujo inductor φ en el núcleo magnético se establecenlas corrientes de Foucault en planos perpendiculares al ujo inductor y cuyo sentido decirculación es tal, que el ujo producido por estas corrientes se opone (debido a la ley deLenz) al ujo inductor [12]. Las Corrientes de Eddy originan pérdidas de potencia, parareducir estas pérdidas es necesario cortar el camino de las corrientes al laminar el núcleomagnético. Estas pérdidas, se denotan por: Pe

8.8.2.2. Pérdidas por Histéresis

Los átomos de materiales magnéticos, tales como el hierro, tienden a tener sus campomagnéticos fuertemente alineados entre sí, las que se dominan dominios que actúa como


un pequeño imán. Al aplicar un campo magnético externo, estos dominios se reorientanen dirección del campo magnético, cuando se modica el campo magnético aplicado unporcentaje de los dominios se adecúan y se reorientan, para lograr la orientación de la granparte de los dominios se requiere energía externa adicional lo que representa las pérdidas enel material magnético. En la Fig. (8.11), se muestra el ciclo de histéresis. Estas pérdidas sonproporcionales al área del ciclo de Histéresis, se denotan por: Ph

Figura 8.11: Curva de histéresis del transformador

8.8.3. Rendimiento de un Transformador

El rendimiento del transformador, esta dado por la ecuación:

η =P2

P2 + PO + c2PCC

=cV2I2Ncosθ2

cV2I2Ncosθ2 + PO + c2PCC

donde: c =I2I2N

es el índice de carga.Se obtiene el máximo rendimiento del transformador, cuando:

PO = c2optPCC

copt =

√PO

PCC

8.9. ENSAYOS EN TRANSFORMADORES 101

8.9. Ensayos en Transformadores

Los parámetros requeridos de un transformador son: relación de transformación a, impedan-cia Ze, pérdidas en el cobre Pcu, pérdidas en el núcleo magnético Pn, los cuales se determinancon los ensayos cortocircuito y en vacío.

8.9.1. Ensayo en Circuito Abierto

Este ensayo también, se denomina ensayo en vacío. Mediante este ensayo se puede de-terminar de los parámetros g, b, las pérdidas en el núcleo magnético Pn y la relación detransformación a.

Figura 8.12: Esquema para el ensayo en vacío

En la Fig. (8.12), se muestra el esquema para el ensayo en vacío.

8.9.2. Ensayo en Corto Circuito

Mediante este ensayo, se determinan: La impedancia equivalente y las pérdidas del cobre,es decir, Re, Xe, Ze y Pcu.

Figura 8.13: Esquema para el ensayo en cortocircuito

En la Fig. (8.13), se muestra el esquema para el ensayo en cortocircuito.


8.10. Transformadores Trifásico

Un transformador trifásico, es la conjunción de tres transformadores monofásicos y constade un núcleo magnético para cada fase, consta de tres conjuntos de devanados enrolladossobre un núcleo común, de este modo es más liviano, más pequeño, más barato y un pocomás eciente.

El sistema eléctrico trifásico tiene mejores características que un sistema monofásico, porello, en la industria se utiliza transformadores trifásicos.

En la Fig. (8.14), se muestra el corte de un transformador trifásico de núcleo común.

Figura 8.14: Corte de un transformador trifásico

Los primarios y secundarios de todo transformador trifásico pueden conectarse indepen-dientemente en estrella (Y ) o en triángulo ∆, lo que permite las siguientes posibilidad deconexión:

1. ∆ - ∆

2. ∆ - Y

3. Y - Y

4. Y - ∆

En la Fig.(8.15), se muestra la conexión ∆− Y , el primario está conectado en triángulo y elsecundario está conectado en estrella.

8.11. AUTOTRANSFORMADORES 103

Figura 8.15: Esquema de un transformador trifásico ∆− Y

8.11. Autotransformadores

Un autotransformador tiene una estructura magnética igual que en un transformadorcorriente, dieren en su parte eléctrica. El autotransformador, es un caso particular de untransformador, las dos bobinas del transformador están conectadas eléctricamente. Por tanto,existe una transferencia de energía por dos formas: Uno por la inducción magnético y otrapor la conexión galvánica.

Conexión aditiva, elevador Conexión sustractiva, reductor

8.12. Comparación de un Transformador y Autotransfor-

mador

Para realizar la comparación de un autotransformador con un transformador, se con-sideran los esquemas de la Fig. (8.16), en a) se tiene un transformador con dos devanadosy en b) se tiene un autotransformador, ambos tienen las mismas tensiones del primario ysecundario. Se suponen que son máquinas ideales, es decir, no tiene caídas de tensión, lascorrientes de vació son nulas, etc. Asimismo, se supone que son iguales los ujos en el núcleomagnético y la densidad de corrientes en los devanados.


Figura 8.16: Transformador y Autotransformador

Capítulo 9

Motor de Inducción Trifásico

9.1. Introducción

En este capítulo, se estudia el comportamiento de un motor de inducción trifásico. Sepresenta el circuito equivalente monofásico, lo que sugiere su similitud con el modelo de untransformador eléctrico. [4]

9.2. Motor de Inducción

El motor de inducción trifásico es el caballo de trabajo de la industria moderna, es ampli-amente utilizado en la industria, sus ventajas son: buena capacidad de arranque, estructurasimple y fuerte, bajo costo y conabilidad, y su desventaja principal es su velocidad prác-ticamente constante. La máquina de inducción, se denomina también máquina asíncrona,debido a que la velocidad de rotación del rotor no es igual a la velocidad síncrona.

El motor de inducción fue inventado independientemente por Galileo Ferraris en 1885 ypor Nikola tesla en 1987. Mikhail Dolivo-Dobrovolsky en 1890 inventó el motor de induccióncon rotor jaula de ardilla.

El motor de inducción es básicamente una máquina eléctrica conectada a un sistema detensiones en el estator o rotor. En ambos casos, se produce un campo magnético giratorioen el entrehierro de la máquina.[15] El campo magnético creado puede inducir tensiones enlos conductores en la parte de la máquina -secundario- que no están conectados a la red. Silos devanados del secundario están cerrados, se tiene corrientes en el rotor -secundario-.

La interacción entre el campo magnético del primario y las corrientes del secundarioproducen un torque desde velocidad cero hasta la nominal.

Las máquinas de inducción, pueden clasicarse de muchas maneras. Máquina de induccióncon:

1. Movimiento rotatorio o lineal

2. Alimentación trifásica o monofásica

105

106 CAPÍTULO 9. MOTOR DE INDUCCIÓN TRIFÁSICO

3. Rotor devanado o jaula de ardilla

9.3. Características Constructivas de una Máquina de In-

ducción Rotatoria

El motor de inducción consta de un devanado del estator y un devanado del rotor separadopor un entrehierro de 0.2 a 3 mm y otras componentes adicionales.

Figura 9.1: Partes de un motor de inducción

En la Fig. (9.1), se muestra la estructura simple de un motor de inducción.Las partes principales de un motor de inducción, son:

1. Núcleo magnético del estator ranurado

2. Devanado del estator

3. Núcleo magnético del rotor ranurado

4. Devanado del rotor

5. El eje del rotor

6. Carcasa del estator

7. Sistema de enfriamiento

8. Caja de terminales

9.3.1. Estator

El estator consta de un devanado estático, la cual puede ser del tipo: imbricado o con-centrado.

La estructura del estator de un motor de inducción, es la misma que del inducido de unamáquina síncrona.

9.3. CARACTERÍSTICAS CONSTRUCTIVAS DE UNAMÁQUINA DE INDUCCIÓN ROTATORIA107

9.3.2. Rotor

El rotor consta de un devanado giratorio, la que puede ser del tipo: Jaula ardilla ó rotordevanado. El devanado se alimenta por un sistema de tensiones trifásico. Las ranuras delrotor son: Doble jaula y ranura profunda.

Figura 9.2: Tipos de ranuras

En la Fig. (9.2), se muestra los tipos de ranuras de un rotor del motor de inducción.

9.3.2.1. Rotor Jaula de Ardilla

El rotor jaula de ardilla, es similar a una jaula de ardilla, los conductores de seccióngruesa están cortocircuitados por anillos.

Figura 9.3: Jaula de ardilla

En la Fig. (9.3), se muestra la estructura del rotor jaula de ardilla.En la Fig. (9.4), se muestra la estructura del motor con rotor jaula de ardilla.


Figura 9.4: Motor con rotor jaula de ardilla

9.3.2.2. Rotor Devanado

El rotor tiene un devanado cuyos terminales se conectan a los anillos rozantes las cualesse conectan a un reóstato trifásico.

Figura 9.5: Rotor devanado con reóstato

En la Fig. (9.5), se muestra la estructura del rotor devanado y el reóstato de control.En la Fig. (9.6), se muestra la estructura del motor con rotor devanado.


Al alimentarse el motor con un sistema trifásico de tensiones, se crea un campo giratorioen el entrehierro. Este campo magnético, induce un sistema trifásico de tensiones en losconductores del rotor, lo cual establece un sistema de corrientes trifásicas, las cuales creanotro campo giratorio con frecuencia f2 = sf1. La interacción de los campos magnéticosproduce el arrastre del rotor del motor de inducción. En la Fig. (9.7), se muestra la interacciónde los campos magnéticos del estator y del rotor, dando como resultado la rotación del rotor.

9.5. DESLIZAMIENTO 109

Figura 9.6: Motor con rotor devanado

Figura 9.7: Interacción de campo magnéticos en el motor

9.5. Deslizamiento

La velocidad mecánica de motor, n, es más conveniente expresar como fracción de lavelocidad síncrona, que se denomina deslizamiento, s, denido como:

s =ns − n

n

n = (1− s)ns

El deslizamiento, también se expresa como porcentaje:

s =ns − n

n· 100 %

donde ns =120f

P


9.6. Fuerza Magnetomotriz Giratorio

Cuando el motor de inducción se alimenta con un sistema de tensiones trifásicas, secrean corrientes trifásicas, las cuales crean un campo magnético giratorio en el entrehierro,la componente fundamental, está dado por:

FMM1(x, t) = 0,45mNI cos(2π

Tes

x− ωt+ θi)

Si se considera un sistema de coordenadas cartesianas, la ecuación corresponde a unaonda senoidal que se propaga en el espacio (entrehierro) y el tiempo. Donde m = 3 paraun sistema trifásico, N número de espiras por fase y I corriente ecaz que circula por eldevanado. En la Fig. (9.8), se muestra el campo magnético giratorio en el entrehierro, es una

Figura 9.8: Campo magnético giratorio en el entrehierro del motor

onda circular. Es la representación en coordenadas polares de la onda que se propaga en elentrehierro.

9.7. Frecuencia en el Rotor

En reposo, rotor detenido, el campo magnético giratorio producido por el estator tienela misma velocidad relativa con respecto a los devanados del rotor y con respecto a losdel estator, se verica fr = f . Si la velocidad del rotor es igual a la velocidad del campomagnético, su velocidad relativa es cero, deslizamiento cero, la frecuencia de las corrientesdel rotor es cero, fr = 0. En otra velocidad, la frecuencia del rotor es proporcional aldeslizamiento:

fr = sf

9.8. CIRCUITO ELÉCTRICO EQUIVALENTE 111

Donde fr es la frecuencia de las corrientes del rotor y f es la frecuencia de las corrientes(o tensiones) de alimentación del estator.

Ejemplo 9.1 Un motor de inducción de cuatro polos, trifásico, de 50 Hz gira con un desliza-miento de 5% a una cierta carga. Determinar: a) La velocidad sincrónica, b) La velocidaddel rotor, c) La frecuencia de las corrientes del rotor, d) la velocidad del campo giratorio delrotor con respecto al estator y e) La velocidad del campo giratorio del rotor con respecto alcampo giratorio del estator.

Solución 9.1 a) ns =120f

P=

120 · 50

4= 1500rpm

b) n = (1− s)ns = (1− 0,05) · 1500 = 1425rpm

c) fr = sf = 0,05 · 50 = 2,5Hz

d) nr =120fr

P=

120f

Ps = sns

La velocidad del rotor con respecto al estator es: n = (1 − s)ns. La velocidad del campomagnético giratorio del rotor con respecto al estator, es:

n′

s = nr + n = sns + (1− s)ns = ns = 1425rpm

e) La velocidad del campo magnético giratorio del rotor con respecto al campo del estator,es:

n′

s − ns = ns − ns = 0

9.8. Circuito Eléctrico Equivalente

El principio del motor asíncrono está basado en la inducción electromagnético, de igualmanera que en el transformador eléctrico. El circuito equivalente del motor de inducción,es similar al del transformador. El motor de inducción puede verse como un transformadorcon un entrehierro que tiene una resistencia variable en el secundario. El primario de untransformador es similar al estator del motor de inducción, su rotor corresponde al secundariodel transformador. De ésa comparación, se puede deducir que tanto el estator como el rotortienen sus respectivas resistencias y reactancias de dispersión R1+jX1 y R2+jX2, además elestator y el rotor están magnéticamente acoplados lo cual se representa por una reactanciamagnetizante jXm y las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas del motor deinducción se representa por una resistencia en paralelo RFe. Pero, existe una diferenciagrande entre el motor de inducción y el transformador a causa de la rotación del motor, lafrecuencia de las corrientes del rotor es diferente a la frecuencia del estator.


El motor gira a una velocidad inferior a la de sincronismo n < n1, su velocidad de régimenes asíncrona, tiene un deslizamiento:

s =n1 − n

n1

n1 =120f1

pVelocidad de sincronismo

f1 =n1p

120Frecuencia de la red eléctrica

donde p es el número de polos.El deslizamiento de los motores industriales, s = 3− 8 % a plena carga.La frecuencia de las corrientes del rotor es:

f2 = sf1

Cuando el rotor está frenado (parado), se cumple que n = 0 y se tiene que s = 1, entonces:

f2 = f1

El valor ecaz de la FEM inducida por fase del rotor, está dado por:

E2 = 4,44k2f1N2Φm

El valor ecaz de la FEM por fase inducida del estator, está dado por::

E1 = 4,44k1f1N1Φm

donde:Φm Flujo máximo que atraviesa el devanado;k1 y k2 Factores de bobinado;N1 y N2 Número de espiras por fase.Empleando la notación utilizada en el transformador. El índice 1, se reere al estator del

motor de inducción y el índice 2, se reere al rotor del motor de inducción.Cuando el rotor gira a la velocidad n en el sentido del campo giratorio, hay un desliza-

miento s. La FEM inducida es:

E2s = 4,44k2f2N2Φm

y se tiene que:E2s = 4,44k2sf1N2Φm = s(4,44k2f1N2Φm)E2s = sE2


La velocidad y frecuencia del rotor, son:

n2 =120f2

p

f2 =n2p

120

Si las bobinas del rotor tienen igual número de polos que el estator, se tiene:

f2 = sf1 =n1 − n

n1

n1p

120=

(n1 − n)p

120=n2p

120n2 = n1 − n

Figura 9.9: Circuito equivalente monofásico del motor de inducción [12]

Los arrollamientos del estator y rotor tienen sus resistencias R1 y R2 Ω/fase y ademásexisten ujos de dispersión en los devanados del estator y rotor que dan lugar a las autoin-ductancias Ld1 y Ld2. Las reactancias de los devanados en reposo, cuando la pulsación de lared es ω1 = 2πf1, son: X1 = ω1Ld1 = 2πf1Ld1; X2 = ω2Ld2 = 2πf1Ld2

Cuando el rotor gira la frecuencia secundaria cambia al valor f2 da lugar a la reactancia:

X2s = ω2Ld2 = 2πf2Ld2 = sX2

.Las ecuaciones eléctricas del motor de inducción, se obtienen aplicando las leyes de Kirch-

ho, resultando:

V1 = E1 +R1I1 + jX1I1

E2s = R2I2 + jX2sI2

9.8.1. Circuito Equivalente del Motor Asíncrono

La corriente que circula por el rotor, es:

I2 =E2s

R2 + jX2s


I2 =sE2

R2 + jsX2

=E2

R2

s+ jX2

=E2

R2 + jX2 +R2

(1

s− 1

)donde Rc = R2

(1

s− 1

)resistencia de carga, representa el efecto equivalente de la carga

mecánica.En la Fig. (9.10), se muestra los esquemas del desarrollo del circuito equivalente del

motor. En a), se tiene un rotor seudoestacionario, en b) se tiene el rotor estacionariocticio, y en c) se tiene la representación de la resistencia de carga Rc.

Figura 9.10: Desarrollo del circuito equivalente del motor asíncrono [12]

En la Fig. (9.11), se muestra el circuito equivalente referido al estator.

Estator:

m1, k1, N1

E1, V1, I1, R1, X1

Rotor:

m2, k2, N2

E2, V2, I2, R2, X2

m1 = número de fases del estatorm2 =

B

p= número de fases del rotor; B número de barras del rotor jaula de ardilla, p

número de polos del rotor.En la Fig. (9.11b), se muestra un circuito equivalente, en la que se mantiene intacto el

primario pero en el que las magnitudes del secundario son:

Rotor Equivalente:

m′2, k

′2, N

′2

E′2, V

′2 , I

′2, R

′2, X

′2


Figura 9.11: Circuito equivalente reducido al estator

Este nuevo rotor se quiere reducir (referir) al estator, para conseguir una simplicaciónposterior, se tendrán que adaptar sus parámetros a los del primario, lo que signica procedera las igualdades siguientes: m′

2 = m1; k′2 = k1; N

′2 = N1.

Con esos antecedentes, los nuevos parámetros del rotor, son:

a) Fuerza electromotriz, E ′2

E′

2 = 4,44k′

2f1N′

2Φm = 4,44k1f1N1Φm = E1

El nuevo rotor tiene una FEM E′2 igual a E1, lo que permitirá unir el primario con el

secundario. Por otra parte, se tiene: E1

E2

=k1N1

k2N2

= mν

Que se denomina relación de transformación de tensiones: E ′2 = mνE2 = E1

Que determina la nueva FEM del rotor E ′2 frente a la real E2

b) Corriente I ′2

Si los secundarios de la Fig. (9.11) son equivalentes, deberán suministrar la misma po-tencia rotórica:

m2E2I2 = m′

2E′

2I′

2 = m1E′

2I′

2

Por otra parte:I

′

2 =m2

m1

1

mν

I2 =m2k2N2

m1k1N1

I2 =I2mi

mi =I

′2

I2

donde: mi =m1k1N1

m2k2N2

=m1

m2

mν se denomina relación de transformación de corrientes.


c) Impedancias R′2, X

′2, R

′c

Para la regla de transformación de impedancias debe aplicarse el principio de igualdadenergética. Las pérdidas en el cobre:

m2R2I22 = m

′

2R′

2I′

22 = m1R′

2I′22

R′

2 =m2R2I

22

m1I′22

=m2

m1

I22

I′22

R2 =m2

m1

(I ′2

I2

)2

R2

R′

2 = mvmiR2

Similarmente: X ′2 = mvmiX2 ; R

′c = mvmiRc

Donde el producto mvmi se denomina relación de transformación de impedancias

I1 = I0 + I′2 = I0 +I2mi

V1 = E0 +R1I1 + jX1I1

E′

2 = R′

2I′

2 +R′

cI′

2 + jX′

2I′

2

En la Fig. (9.12), se muestran los circuitos equivalentes: exacto y aproximado.

9.8.2. Balance de Potencias

En un motor asíncrono la energía mecánica se transforma en energía mecánica que setransmite desde el estator al rotor, a través del entrehierro, en el proceso de transformaciónexisten pérdidas en los componentes de motor.

P1 = m1V1I1cosϕ1

Pa = P1 − Pp1 = P1 − Pcu1 − PFe1

Pcu1 = m1R1I21

Pp1 = Pcu1 + PFe1

PFe = PFe1 = m1E1IFe ≈ m1V1IFe


Figura 9.12: Circuitos equivalentes: a) exacto, b) aproximado

Pcu2 = m2R2I22 = m1R

′

2I′22

Las pérdidas en el hierro del rotor son despreciables debido al pequeño valor de f2. Lapotencia que llegará al árbol de la máquina, denominada potencia mecánica interna, Pmi,será:

Pmi = Pa − Pcu2

Teniendo en cuenta el signicado de la resistencia de carga R′c del circuito equivalente,

se tiene:

Pmi = m1R′

2

(1

s− 1

)I

′22

La potencia útil en el eje será algo menor, debido a las pérdidas mecánicas por rozamientoy ventilación; denominando Pm a estas pérdidas y Pu a la potencia útil, resulta:

Pu = Pmi − Pm

El rendimiento del motor vendrá expresado por el cociente

η =Pu

P1

=Pu

Pu + Pm + Pcu2 + PFe + Pcu1

Pcu2

Pmi

=s

1− s


Pa = Pmi + Pcu2 = m1R

′2

sI

′22 =

Pcu2

s=

Pmi

1− s

9.8.3. Par de Rotación

La potencia útil, es: T =Pu

2πn

60

en N.m

Te =Pe

2πn/60

s =n1 − n

n1

n = n1(1− s)

T =Pmi

2πn1

60(1− s)

T =Pa

2πn1

60

T =m1

R′2

sI

′22

2πn1

60

De acuerdo al circuito equivalente de la Fig. (9.12b), el módulo de la corriente I ′2 vale:

I′

2 =V1√(

R1 +R

′2

s

)2

+ (X1 +X′

2)2

T =m1

R′2

sV 2

1

2πn1

60

[(R1 +

R′2

s

)2

+ (X1 +X′

2)2]

Expresa el valor del par electromagnético producido por la máquina en función de losparámetros del motor.

El par se hace cero cuando s = 0 y s = ∞, por otra parte, T (s) presenta un máximo yun mínimo:

dT

ds= 0


sm = ± R′2√

R21 + (X1 +X

′2)

2

El signo negativo signica un funcionamiento como generador, ya que entonces la ve-locidad de rotación es superior a la del campo magnético giratorio. El par máximo de lamáquina, es:

T = ± m1V21

2πn1

60· 2

[±R1 +

√R2

1 + (X1 +X′2)

2]

El + expresa el valor del par máximo como motor y el signo − indica la magnitud del parmáximo como generador. El par máximo no varia cuando cambia la resistencia del rotor; sinembargo, y el deslizamiento al cual se obtiene el par máximo es proporcional a la resistenciadel rotor.

Figura 9.13: Curvas par-velocidad de una máquina asíncrona. Zonas de funcionamiento

En la Fig. (9.13), se muestra el torque motor de una máquina asíncrona. Se indica laszonas de funcionamiento para s negativo, es decir, para una velocidad n mayor a la sincro-nismo, se tiene un generador de inducción y para s positivo se tiene el funcionamiento comomotor.

9.8.4. Par Motor y Potencia

El par motor, está dado por:Teωm = Pd

ωm = (1− s)ωs

Te =Pg

ωs

Par electromagnético


Figura 9.14: Características de un motor de inducción [9]

En la Fig. (9.14), se muestran las características del motor de inducción: Corriente deentrada, factor de potencia, eciencia y par motor en función de la velocidad.

En general una máquina de inducción puede funcionar como: Motor, generador y freno,su torque inducido depende de la velocidad mecánica del rotor.

Figura 9.15: Torque inducido vs velocidad mecánica

En la Fig. (9.15), se muestra el par inducido versus la velocidad del rotor de una máquinade inducción. En el caso del motor su velocidad corresponde a 0 ≤ nm ≤ ns, en el casode generador su velocidad corresponde a ns ≤ nm y en el caso de frenado su velocidadcorresponde a nm < 0.


9.8.5. Característica Par - Velocidad

Figura 9.16: Par motor vs velocidad

En la Fig. (9.16a), se muestra el par motor versus la velocidad del motor de inducción.Los diferentes rotores, tales como: jaula de ardilla simple, rotor de jaula doble y de

ranuras profundas (jaula resistente), tienen diferentes características de par motor. En laFig. (9.16b), se muestra el par motor versus la velocidad del motor para diferentes tipos derotor.

9.8.6. Par - Velocidad de un Motor de Rotor Devanado

Figura 9.17: Par motor vs velocidad


En la Fig. (9.17), se muestra el par motor versus la velocidad del motor de inducción paraun motor de rotor devanado. Se introduce resistencia en el circuito de un rotor devanadodebido a que los terminales del motor se sacan a las borneras a través de anillos rozantes. Senota en la gura que cuando aumenta la resistencia del rotor, decrece la velocidad corres-pondiente al par máximo, pero éste permanece constante. Se aprovecha ésta característicade los motores de inducción de rotor devanado para arrancar cargas pesadas [2].

9.9. Pérdidas en el Motor de Inducción

Figura 9.18: Pérdidas en el motor de inducción

En la Fig. (9.18), se muestra las pérdidas en el motor de inducción.

9.10. Ensayos en Motores de Inducción [12]

Para determinar los diferentes parámetros del motor de inducción, es necesario realizardiferentes ensayos.

9.10.1. Ensayo en Vacío

En este ensayo el motor funciona sin carga mecánica en el eje. En la Fig.(9.19), se muestrael esquema del ensayo.

Sea P0 la pérdida en vacío. Pcu1, las pérdidas en el cobre del estator en este ensayo, PFe,las pérdidas en el hierro y Pm las pérdidas mecánicas:

P0 = PFe + Pm + Pcu1

9.10. ENSAYOS EN MOTORES DE INDUCCIÓN [?] 123

Para calcular cada una de las pérdidas, es necesario completar el ensayo de vacío conmediciones adicionales. Las pérdidas en el cobre Pcu1 se calcula si se mide previamente laresistencia del estator, R1. Para hallar PFe y Pm se alimenta el motor por una tensionvariable.

PFe + Pm = P0 − Pcu1 = P0 − a1R1I20

Se representa PFe + Pm en función del cuadrado de la tension V1 tal como se muestraen la Fig.(9.20), es una recta cuya ordenada en el origen representa la pérdida mecánica delmotor Pm.

Figura 9.19: Esquema para el ensayo en vacío

Figura 9.20: Pérdidas en vacío en función de la tensión [12]

9.10.2. Rotor Bloqueado

Este ensayo se realiza bloqueando el rotor impidiendo su giro, es decir n = 0, entoncesse tiene: s = 1, R′

c = 0, signica que el motor se comporta como un transformador con elsecundario en cortocircuito. Mediante este ensayo, se obtiene las características de cortocir-cuito del motor de inducción. En la Fig.(9.21), se muestra el esquema del ensayo de rotorbloqueado.


Figura 9.21: Esquema del ensayo del ensayo de rotor bloqueado

Al estator se aplica una tensión creciente, partiendo de cero, hasta que la corriente seaigual a la corriente nominal: I1cc = I1n por fase, obteniéndose V1cc por fase y la potenciaabsorbida total Pcc. La corriente de vacío I0 es despreciable frente a I1n. En la Fig.(9.22), semuestra el circuito equivalente.

El factor de potencia en cortocircuito, está dado:

cosϕcc =Pcc

a1V1ccI1n

de donde, resultan los siguientes valores:

Rcc = R1 +R′2 =

V1cc

I1n

cosϕcc

Xcc = X1 +X′2 =

V1cc

I1n

senϕcc

Figura 9.22: Circuito equivalente en cortocircuito

Ejemplo 9.2 Las pruebas de un motor asíncrono 3φ de jaula de ardilla de 3,5HP , 220V ,50Hz, 8polos, conexión Y , arrojaron los siguientes datos:

Cuadro 9.1: Ensayos del motor asíncronoEn vacío 220 V 4.5 A 500 W 50 HzRotor bloqueado 90 V 30 A 3300 W 50 Hz

9.11. MÉTODOS ARRANQUE DE LOS MOTORES 125

Además entre 2 de sus terminales se midió una resistencia de 0,40Ω. Hallar los parámet-ros de los circuitos equivalentes.

Solución 9.2 De la medición de resistencia del estator: R1 =0,40

2= 0,20Ω

Del ensayo en vacío: Pvaco = PFe +Pcu =500

3= I2

o (r1 + rm) de donde: r1 + rm =

500

34,52

=

8,230452674Ω, resultando: rm = 8,230452674− 0,2 = 8,030452674Ω

Por otro lado: Zm =

220√3

4,5= 28,22601316Ω de donde: Xm = x1+xm =

√Z2

m − (r1 + rm)2 =√28,226013162 − 8,2304526742 = 26,99939754Ω

Del ensayo de rotor bloqueado:Zcc =Vcc

Icc=

90√3

30= 1,732050807Ω

Rcc =Pcc

I2cc

=

3300√3

302= 1,222222222Ω

Se conoce: r1 + r′2 = 1,222222222Ω, entonces: r′2 = 1,022222222ΩPor otra parte: x1+x

′2 =

√Z2

cc −R2cc =

√1,7320508072 − 1,2222222222 = 1,227262335Ω,

se supone que: x1 = x′2, entonces:x1 = 0,6136311674Ω y xm = 26,99939754−0,6136311674 =26,38576637Ω

c1 = 1 +x1

xm

= 1 +0,6136311674

26,38576637= 1,023256143

Los parámetros del circuito equivalente "L", son:

R1 = c1r1 = 1,023256143 · 0,2 = 0,2046512285ΩR′

2 = c21r′2 = (1,023256143)2 · 1,022222222 = 1,070320981Ω

X1 = c1x1 = 1,023256143 · 0,6136311674 = 0,6279018615ΩX ′

2 = c21r′2 = (1,023256143)2 · 0,6136311674 = 0,6425044370Ω

Rm = c1rm = 1,023256143 · 8,030452674 = 8,217210029ΩXm = c1xm = 1,023256143 · 26,38576637 = 26,99939752Ω

9.11. Métodos Arranque de los Motores

Los métodos de arranque de los motores de inducción dependen del tamaño y aplicación.

1. Arranque directo

2. Arranque estrella-triángulo

3. Arranque con autotransformador

4. Método del cambio del número de polos


Figura 9.23: Diagrama multilar del arranque directo [17]

5. Método de frecuencia variable

6. Método de deslizamiento variable

7. Método de tensión variable del estator

8. Método de resistencia variable del rotor

9. Control por conmutación con estado sólido

9.12. Control del Motor de Inducción

De acuerdo al tipo de control del motor de inducción requerido, se podrá obtener elmodelo equivalente del motor. En la Fig.(9.24), se muestra el esquema general del controlempleado para el análisis del control de un motor de inducción.

Figura 9.24: Control de un motor de inducción [19]

9.12. CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN 127

El crecimiento de electrónica de potencia y la tendencia del uso de microprocesadorespara el mando de motores como elementos de accionamiento requiere el desarrollo de modelosmatemáticos para el control de la velocidad. Los métodos de control empleados en los motoresde inducción, son:

1. Control escalar. En control escalar normalmente se usan en accionamientos de bajocosto económico y bajo rendimiento. Se controla la magnitud y frecuencia de la tensióno corriente.

2. Control vectorial. La estrategia del control vectorial es el control de la orientaciónespacial del ujo del entrehierro y la fuerza magnetomotriz.

9.12.1. Coordinación de Protecciones

Para proteger un motor de inducción, se emplea un relé de sobrecorriente y fusible. Enla Fig. (9.25), se muestra la coordinación de las características tiempo-corriente del relé desobrecorriente y fusible. Es necesario tomar en cuenta la corriente inrush que alcanza el

Figura 9.25: Coordinación fusible y relé de sobrecorriente

orden de 10 a 20 veces la corriente nominal. Por tanto, puede lugar a una actuación falsa delrelé.

Capítulo 10

Motor de Inducción Monofásico

10.1. Introducción

En este capítulo, se analiza el motor de inducción monofásico.


En la Fig. (10.1), se muestra la estructura de un motor de inducción monofásico.

Figura 10.1: Estructura del motor de inducción monofásico

El motor magnético en el estator tiene dos devanados denominados: Devanado de trabajoy devanado de arranque que está en serie con un interruptor centrífugo que se desconectacuando el rotor alcanza un 70 % de su velocidad nominal y el rotor es una jaula de ardilla.

129

130 CAPÍTULO 10. MOTOR DE INDUCCIÓN MONOFÁSICO

Figura 10.2: Devanados del motor monofásico [17]

En la Fig. (10.2), se muestra el estator del motor de inducción con sus dos devanados.

10.3. Campo Magnético Giratorio Elipsoidal

El motor monofásico, está alimentado por una tensión monofásica, en ese caso se tiene uncampo magnético estacionario en el entrehierro, en realidad existen dos campos magnéticosgiratorios de sentidos opuestos, por tanto, el rotor no gira. Es necesario un torque inicialpara mover el rotor con lo cual es suciente para que el rotor se enganche con un de loscampos giratorios, el sentido del torque inicial determina el sentido del giro.

El motor monofásico tiene dos devanados: El uno se denomina bobina de trabajo y el otrodenominado bobina de arranque, estas bobinas están desfasadas en 900. Los dos devanadoscrean un campo magnético giratorio elipsoidal en el entrehierro.

10.4. Motor de Fase Partida

El motor de fase partida tiene dos devanados desplazadas en el espacio en 900. El devanadoprincipal tiene una resistencia baja y una reactancia elevada y el devanado de arranquetiene una resistencia elevada y una reactancia baja conectada en serie con un interruptorcentrífugo. El ángulo de fase entre α entre las corrientes Im y Is está entre 300 y 450 y el parde arranque Ts está dado por:

Ts = kImIs senα

En la Fig. (10.3), se muestra el esquema del motor de fase partida.

10.5. MOTOR CON ARRANQUE POR CONDENSADOR 131

Figura 10.3: Conexiones del motor de fase partida [9]

Figura 10.4: Torque del motor con arranque por condensador [17]

10.5. Motor con Arranque por Condensador

Al conectar un condensador en serie con el devanado de arranque como se muestra en laFig. (10.5), el ángulo α en la ecuación (10.4) puede incrementarse. En este caso, el motordesarrolla un par de arranque más elevado.


Figura 10.5: Torque del motor con arranque por condensador [9]

10.6. Motor Universal

El motor universal, es un motor serie de CC alimentada por CA. La diferencia está enla construcción del núcleo de las masas polares que están hechas por chapas laminadas conla nalidad de reducir las pérdidas debido a las corrientes de Foucault. En la Fig. (10.6),se muestra el circuito equivalente del motor universal. En la Fig. (10.7), se muestra las

Figura 10.6: Circuito equivalente del motor universal

características par-motor del motor de inducción monofásico universal y motor serie. Laaplicación del motor universal es en las máquinas herramientas como el taladro, analizandola gráca, se deduce que el torque del motor es muy alta en baja velocidad.

10.6. MOTOR UNIVERSAL 133

Figura 10.7: Torque del motor universal

Capítulo 11

Generador de Inducción

11.1. Introducción

En este capítulo, se estudia el comportamiento de un generador de inducción trifásico.Se presenta el circuito equivalente monofásico. [15]

11.2. Antecedentes Históricos

El principio del generador de inducción, fue descubierta en forma accidental. Muchosaños atrás en una fábrica, se tenía un motor de inducción grande que accionaba una máquinacuando se cortó la energía. Debido a la inercia la máquina siguió girando y un operador tocólos cables y recibió una descarga eléctrica. Los técnicos de la fábrica, se preguntaron cómo,si estaba desconectado, podía entregar corriente y se dieron cuenta de que estaba generandoenergía eléctrica. A partir de ese momento se comenzó a estudiar el fenómeno y descubrieronque un motor de inducción común al cual se conecta un condensador en paralelo para corregirel factor de potencia, puede convertirse en un generador eléctrico.

El generador de inducción puede trabajar en forma aislada y/o conectada a una redeléctrica. Los generadores de inducción se emplean principalmente en turbinas eólicas.

11.3. Características Constructivas del Generador de In-

ducción

El motor de inducción es una máquina de inducción, es una máquina eléctrica y esreversible. Por tanto, el generador de inducción tiene las mismas características constructivasque un motor de inducción.

135

136 CAPÍTULO 11. GENERADOR DE INDUCCIÓN

11.4. Principio de Funcionamiento de un Generador de

Inducción

Rememorando que el deslizamiento está dado por la ecuación:

s =ns − n

ns

En el caso del motor el deslizamiento s está comprendida entre cero y uno: 0 < s < 1, yla energía eléctrica se convierte en energía mecánica. El motor de rotor jaula de ardilla en elmodo generador, el deslizamiento s es negativo (s < 0), es decir, la velocidad del rotor, n, esmayor que la velocidad de sincronismo, ns, esto implica que la máquina de inducción operacomo generador.

Para que la máquina de inducción funcione como generador necesita ser accionado porun motor primario para impulsarlo con una velocidad mayor a la velocidad síncrona y laprovisión de potencia reactiva para mantener el campo magnético giratorio en el entrehierro.La potencia reactiva es provisto por condensadores en conexión delta conectado en bornesdel motor. En la Fig.(11.1), se muestra el esquema de un motor de inducción que funcionacomo generador de inducción.

Figura 11.1: Generador de Inducción [15]

11.5. Generador de Inducción de Rotor Devanado

El generador de inducción de rotor devanado, (GIRD) está provisto de un devanandotrifásico tanto en el estator como en rotor. Puede ser alimentado tanto por el estator como porel rotor, por esta razón se denomina también generador de inducción de doble alimentación,(GIDA) o generador de inducción de doble salida (GIDS). Son factibles para operar tantocomo motor o generador, está provisto de un convertidor electrónico que alimenta los circuitosdel rotor por medio de anillos rozantes y escobillas, es capaz de controlar la potencia en ambasdirecciones.

11.6. GENERADOR DE INDUCCIÓN DE ROTOR JAULA DE ARDILLA 137

El generador de inducción entregan una tensión Vs y frecuencia f1 constantes en el estator,mientras que el rotor es alimentado a través de convertidor estático de potencia con unatensión Vr y frecuencia f2 variables.

En la Fig.(11.2), se muestra el diagrama esquemático de un generador de inducción conrotor devanado, y en la Fig.(11.3), se muestra una variante del diagrama esquemático.

Figura 11.2: Generador de Inducción con Rotor Devanado [16]

Figura 11.3: Generador de Inducción con Rotor Devanado [15]

11.6. Generador de Inducción de Rotor Jaula de Ardilla

En la Fig.(11.4), se muestra el diagrama esquemático de un generador de inducción conrotor jaula de ardilla que funciona alimentando una carga aislada del sistema eléctrico. Enla Fig.(11.2), se muestra el diagrama esquemático de un generador de inducción con rotorjaula de ardilla conectada a un sistema eléctrico.

138 CAPÍTULO 11. GENERADOR DE INDUCCIÓN

Figura 11.4: Generador de Inducción con Jaula de Ardilla Aislado [15]

Figura 11.5: Generador de Inducción con Jaula de Ardilla conectado a red [15]

Apéndice A

Modelo del Motor de Inducción

A.1. Modelo de un Motor Trifásico Tipo Jaula de Ardilla

El proceso de modelar un motor de inducción consiste en aplicar las leyes de electromag-netismo a los diferentes devanados (estator y rotor) y ecuaciones del movimiento del rotorque acciona la carga y resulta un modelo matemático con seis ecuaciones de tensión y seisecuaciones de ujo [21].

Ecuaciones de tensiones:

[vsabc] = [Rs][isabc] +d

dt[φsabc]

[vrabc] = [Rr][irabc] +d

dt[φrabc]

Ecuaciones de ujo:

[φsabc] = [Los][isabc] + [Mosr][irabc][φrabc] = [Lor][irabc] + [Mosr][isabc]

Se utiliza la siguiente notación:

[vsabc] =

vsa

vsb

vsc

; [isabc] =

isaisbisc

; [φsabc] =

φsa

φsb

φsc

[vrabc] =

vra

vrb

vrc

; [irabc] =

ira

irb

irc

; [φrabc] =

φra

φrb

φrc

Las cantidades trifásicas [vsabc], [srabc], [φsabc], [vrabc], [irabc] y [φrabc] denotan las tensiones,

corrientes y ujos del estator y del rotor. Los subíndices s y r se reeren al estator y rotorrespectivamente. Asimismo los indices a, b y c se reeren a las tres fases.

La secuencia positiva de una máquina simétrica es que todas las matrices de resistenciase inductancias, son simétricas, entonces:

139

140 APÉNDICE A. MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

[Rs] =

Rs 0 00 Rs 00 0 Rs

; [Rr] =

Rr 0 00 Rr 00 0 Rr

[Los] =

los Mos Mos

Mos los Mos

Mos Mos los

; [Lor] =

lor Mor Mor

Mor lor Mor

Mor Mor lor

Donde Rs y Rr son las resistencias del estator y del rotor, los y lor las autoinductancias,

Mos es la inductancia mutua entre dos fases del estator y Mor es la inductancia mutuaentre dos fases del rotor. Las diferentes inductancias mutuas entre el rotor y el estator sonfunciones sinusoidales de la posición θ del rotor.

[Mosr] = Mo

cos(pθ) cos(pθ +2π

3) cos(pθ +

4π

3)

cos(pθ +2π

3) cos(pθ) cos(pθ +

2π

3)

cos(pθ +4π

3) cos(pθ +

4π

3) cos(pθ)

donde p es el número de pares de polos y Mo es la inductancia mutua máxima entre la

fase del estator y la fase del rotor.Ecuaciones mecánicas:El movimiento del rotor está determinado por la ecuación diferencial siguiente:

Jdωm

dt= −Fωm + Tem − TL − Td

donde ω, TL, Tem y Td son, la velocidad del rotor, el torque de la carga, el torque motorelectromagnético, y el torque neto, respectivamente. J es la inercia del conjunto rotor ycarga, y F es el coeciente de fricción viscosa.

Tem, se obtiene del balance de energía:Tem =

∂Wmag

∂θcon Wmag =

1

2([isabc]

T [φsabc] + [irabc]T [φrabc])

donde Wmag es la energía magnética. El modelo del motor de inducción considerando lasecuaciones anteriores tiene dos dicultades. El primero, el orden del sistema es relativamentegrande y el segundo, la matriz [Mosr] es una función de la posición del rotor θ, lo cual esvariable. Para salvar esas dicultades, existen transformaciones de coordenadas adecuadaspara reducir el orden del sistema y elimina la dependencia de θ.

A.2. Transformación de Park

La idea importante es que la FMM creada por un sistema físico trifásico, puede crearsepor un sistema bifásico cticio equivalentemente que involucra dos bobinados ortogonales,como se muestra en la Fig.(A.1).

El sistema trifásico (ia, ib, ic) a través de n1 espiras crea la FMM en el entrehierro conlas siguientes componentes:

A.2. TRANSFORMACIÓN DE PARK 141

Figura A.1: Sistema trifásico [iabc] y el sistema bifásico equivalente [idq]. Ambos sistemascrean la misma FMM [21].

εa = n1ia, εb = n1ib, εc = n1ic

Similarmente, las componentes de la FMM debidos a (id, iq) a través de n2 espiras, sonlas siguientes:

εd = n2id, εq = n2iq

La FMM creada por (ia, ib, ic), está representada por el fasor −→ε , la cual es la suma delos tres fasores (−→ε a,−→ε b,−→ε c). La FEM creada por (id, iq) es la misma EMM representadapor el fasor −→ε , la cual es la suma de los dos fasores (−→ε d,−→ε q). Por tanto, se tiene que:

−→ε = (−→ε a,−→ε b,−→ε c) = (−→ε d,−→ε q)

La Fig.(A.1) muestra la proyección del fasor −→ε sobre dos ejes ortogonales referidos al ejedirecto d y eje en cuadratura q. Los componentes −→εd y −→εq , están dados por la ecuaciónsiguiente:

[εd

εq

]=

cos(ψ) cos(ψ − 2π

3) cos(ψ − 4π

3)

− sen(ψ) − sen(ψ − 2π

3) − sen(ψ − 4π

3)

εa

εb

εc

Este sistema es rectangular, por tanto no es invertible. Es necesario añadir una tercera

ecuación asociada con una FMM cticia denotada por ε0, está asociada a una corrientecticia i0, la corriente de secuencia cero. La nueva variable es proporcional a la componentehomopolar del sistema trifásico (εa, εb, εc):


ε0 = K0(εa + εb + εc) = n2i0

K0, es una constante de proporcionalidad.El nuevo sistema de ecuaciones, en base a las corrientes, son:

idiqi0

=n1

n2


3) cos(ψ

4π

3)


3) − sen(ψ

4π

3)

K0 K0 K0

iaibic

Como la corriente cticia io no está involucrado físicamente en la creación de la FMM , su

orientación puede elegirse arbitrariamente. Por conveniencia, se supone que el eje homopolarsea perpendicular al plano dq. Para completar la transformación, resta asignar valores a n1

n2y Ko. Existen dos opciones que son discutidas en las siguientes subsecciones.

A.2.1. Transformación de Park Preservando Amplitudes

La transformación original de Park, permite la elección libre de parámetros: n1

n2

y Ko queserán elegidos por los siguientes requerimientos:

1. La corriente homopolar io con el valor promedio de las corrientes (ia, ib, ic).

2. Las componentes de la corrientes de fase (id, iq) tienen la misma amplitud como los dela corriente trifásica (ia, ib, ic), esto es, que la amplitud de corriente es preservada porla transformación de Park.

El primer requerimiento conduce a:

1

3(ia + ib + ic) =

n1

n2

Ko(ia + ib + ic)

que conduce a lo siguiente:n1

n2

Ko =1

3

La conservación de la amplitud requiere vincular las siguientes expresiones:ia(t) = Im cos(ωt), ib(t) = Im cos (ωt−2π

3), ic(t) = Im cos (ωt−4π

3), id(t) = Im cos(ωt−ψ),

id(t) = Im sen(ωt− ψ).Por otra parte: id(t) =

n1

n2

3

2Im cos(ωt− ψ), id(t) =

n1

n2

3

2Im sen(ωt− ψ).

De donde, se tiene que: n1

n2

=2

3y Ko =

1

2


La transformación de Park, basado en la conservación de la amplitud: [idq0] = [P (ψ)][iabc]está caracterizado por la matriz siguiente:

[P (ψ)] =2

3


3) cos(ψ − 4π

3)


3) − sen(ψ − 4π

3)

1

2

1

2

1

2

La transformación inversa, esto es: [iabc] = [P (ψ)]−1[idq0], está representado por la matrizinversa de Park:

[P (ψ)]−1 =

cos(ψ) − sen(ψ) 1

cos(ψ − 2π

3) − sen(ψ − 2π

3) 1

cos(ψ − 4π

3) − sen(ψ − 4π

3) 1

Cuando ψ = 0, se tiene denominadas las matrices de Clarke:

[C] =2

3

1 −1

2−1

2

0

√3

2−√

3

2

1

2

1

2

1

2

, [C]−1 =

2

3

1 01

2

−1

2

√3

2

1

2

−1

2−√

3

2

1

2

A.2.2. Transformación de Park Preservando Energía

Considerando que los parámetros libres: n1

n2

y Ko, son elegidos para asegurar la conser-vación de la energía cuando se pasa del sistema trifásico al sistema de dos fases. Analítica-mente, signica que debe cumplirse la ecuación:

vaia + vbib + vcic = vdid + vqiq + voio

La ecuación puede escribirse en forma matricial: [vabc]T [iabc] = [vdq0]

T [idq0]Como: [vdq0] = [P (ψ)][vabc] y [idq0] = [P (ψ)][iabc]. Entonces, se tiene:

[vdq0]T [idq0] = [[P (ψ)][vabc]]

T [P (ψ)][iabc] = [vabc]T [P (ψ)]T [P (ψ)][iabc]

De donde: [P (ψ)]T = [P (ψ)]−1, entonces n1

n2

=

√2

3y Ko =

1√2


La matriz directa de Park basado en la conservación de potencia, está dado por:

[P (ψ)] =

√2

3


3) cos(ψ − 4π

3)


3) − sen(ψ − 4π

3)

1√2

1√2

1√2

Y su inversa, es:

[P (ψ)]−1 =

√2

3

cos(ψ) − sen(ψ)1√2

cos(ψ − 2π

3) − sen(ψ − 2π

3)

1√2

cos(ψ − 4π

3) − sen(ψ − 4π

3)

1√2

Cuando ψ = 0 se tiene las matrices de Park, denominadas comúnmente matrices de

Concordia:

[C] =

√2

3

1 −1

2−1

2

0

√3

2−√

3

2

1√2

1√2

1√2

, [C]−1 =

√2

3

1 01√2

−1

2

√3

2

1√2

−1

2−√

3

2

1√2

A.2.3. Modelos Bifásicos de los Motores de Inducción

Aproximadamente, todas las ecuaciones matemáticas se expresaron inicialmente en elmarco de referencia trifásico (a, b, c) y las ecuaciones se reeren al marco de referencia (d, q, o).Por la simetría del sistema trifásico, las corrientes homopolares en el rotor son nulas, portanto, el nuevo marco de referencia (d, q). El ángulo ψ es un parámetro libre que puedeasumir diferentes valores, esto trae consigo varias variantes del marco de referencias dedos coordenadas (d, q). En la literatura se tiene dos elecciones comunes, los cuales, sonlas siguientes:

1. El marco de referencia jo (α, β), conectado al estator.

2. El marco de referencia rotatorio (d, q), enlazado al ujo de rotor ó corriente del estator.


El cambio del marco trifásico (a, b, c) al marco jo (α, β) está dado por la elección delángulo de transformación ψ como sigue:

1. ψ = 0 para la transformación de las variables del estator.

2. ψ = θ para la transformación de las variables del rotor.

El cambio del marco trifásico (a, b, c) al marco rotarorio (d, q) está dado por la eleccióndel ángulo de transformación ψ como sigue:

1. ψ = θs para la transformación de las variables del estator.

2. ψ = θr = θs − θ para la transformación de las variables del rotor.

En la Fig.(A.2), se muestra los ángulos entre los marcos de referencias elegidos.

Figura A.2: Ángulos entre los marcos de referencias

A.2.3.1. Ecuaciones Eléctricas en Coordenadas dq

Para pasar del marco trifásico (a, b, c) al marco (d, q), se necesita las siguientes ecuaciones:[vsd

vsq

]= [P (θs)][vsabc],

[isdisq

]= [P (θs)][isabc],

[φsd

φsq

]= [P (θs)][φsabc]

[vrd

vrq

]= [P (θr)][vrabc],

[ird

irq

]= [P (θr)][irabc],

[φrd

φrq

]= [P (θr)][φrabc]


Las ecuaciones de la máquina de inducción referido a las ecuaciones del campo (d, q),son:

vsd = Rsisd +dφsd

dt− ωsφsq

vsq = Rsisq +dφsq

dt+ ωsφsd

vrd = Rrird +dφrd

dt− (ωs − pωm)φrq

vrq = Rrirq +dφrq

dt+ (ωs − pωm)φrd

donde:ωs =

dθs

dt, ωm =

dθ

dt

A.2.3.2. Ecuaciones de Flujos en Coordenadas dq

Similarmente, para pasar del marco trifásico (a, b, c) al (d, q), se necesitan las siguientestransformaciones de ujos:

[φsdq] = [P (θs)][φsabc]

[φrdq] = [P (θr)][φrabc]

Las ecuaciones del ujo en el estator, son:

[φsdq] = [P (θs)][Ls][isabc] + [P (θs)][Msr]][irabc]

[φsdq] = [P (θs)][Ls][P (θs)]−1[isdq] + [P (θs)][Msr]][P (θr)]

−1[irdq]

Las ecuaciones del ujo en el rotor, son:

[φrdq] = [P (θr)][Lr][irabc] + [P (θr)][Msr]][isabc]

[φrdq] = [P (θr)][Lr][P (θr)]−1[irdq] + [P (θr)][Msr]][P (θr)]

−1[isdq]

En forma compacta, las ecuaciones en el marco (d, q), son:

[φsdq] = Ls[isdq] +Msr[irdq], [φrdq] = Lr[irdq] +Msr[isdq]

con:

Ls = lso −Mos Inductancia cíclica del estatorLr = lro −Mor Inductancia cíclica del rotorMsr =

3

2Mo Inductancia mútua entre los devanados del estator y del rotor


A.2.3.3. Ecuaciones Mecánicas en Coordenadas dq

La ecuación mecánica del motor de inducción describe el movimiento de rotor que entregaa la carga. La ecuación de la dinámica del motor, es:

dωm

dt= −F

Jωm +

Tem

J− TL

J− Td

J

El torque electromagnético está dado por la expresión:

Tem = ppm

ωs

Donde pm es pa potencia mecánica desarrollada por el motor. La potencia eléctrica absorbidapor el motor es dada dado por la ecuación:

pa = vsaisa + vsbisb + vscisc + vraira + vrbirb + vrcirc

pa = vsdisd + vsqisq + vrdird + vrqirq

donde la segunda ecuación es la consecuencia directa de la transformación de Park conser-vando la potencia cuando se pasa del marco de tres a dos coordenadas. la Potencia pa puedeser descompuesta en tares partes:1. La potencia disipada por efecto Joule, es:

Rs(i2sd + i2sq) +Rr(i

2rd + i2rq)

2. La potencia relacionado al intercambio electromagnético con la fuente, es:

isddφsd

dt+ isq

dφsq

dt+ ird

dφrd

dt+ irq

dφrq

dt

3. La potencia mecánica pm, que produce el torque electromagnético, es:

pm = (φsdisq − φsqisd)dθs

dt+ (φrdirq − φrqird)

dθr

dt

Tomando en cuenta la ecuación del ujo y reemplazando las componentes de la corriente delrotor (d, q), se tiene la siguiente expresión:

pm =Msr

Lr

(φrdisq − φrqisd)d(θs − θr)

dt

Entonces, la ecuación del torque queda reescrito como:

Tem = pMsr

Lr

(φrdisq − φrqisd)

El torque electromagnético puede ser escrito en sus dos formas:

Tem = p(φsdisq − φsqisd), Tem = pMsr

Ls

(φsdirq − φsqird) (A.1)

A.1


A.2.3.4. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas General dq

El modelo de la máquina de inducción expresado en marco rotatorio (d, q), esta dadopor:

dωm

dt= p

Msr

JLr

(φrdisq − φrqisd)−TL

J− Td

J− F

Jωm (A.2)

disddt

= −γisd + ωsisq +MsrRr

σLsL2r

φrd + pωmMsr

σLsLr

φrq +1

σLs

υsd (A.3)

disqdt

= −γisq − ωsisd +MsrRr

σLsL2r

φrq − pωmMsr

σLsLr

φrd +1

σLs

υsq (A.4)

dφrd

dt= −Rr

Lr

φrd − (ωs − pωm)φrq +RrMsr

Lr

isd (A.5)

dφrq

dt= −Rr

Lr

φrq − (ωs − pωm)φrd +RrMsr

Lr

isq (A.6)

con:(L2

rRs +M2srRr)

σLsL2r

, σ = 1− M2sr

LsLr

donde se usaron las siguientes relaciones:

ird =φrd −Msrisd

Lr

, irq =φrq −Msrisq

Lr

φsd = σLsisd +Msr

Lr

φsd, φsq = σLsisq +Msr

Lr

φsq

A.2.3.5. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Coordenadas Fijas αβ

El modelo del motor de inducción en la marco de referencia jo (α, β) se obtiene alreemplazar ωs = 0 en el modelo general y se tienen las siguientes ecuaciones:

dωm

dt= p

Msr

JLr

(φrαisβ − φrβisα)− TL

J− Td

J− F

Jωm (A.7)

disαdt

= −γisα +MsrRr

σLsL2r

φrα + pωmMsr

σLsLr

φrβ +1

σLs

υsα (A.8)

disβdt

= −γisβ +MsrRr

σLsL2r

φrβ − pωmMsr

σLsLr

φrα +1

σLs

υsβ (A.9)

dφrα

dt= −Rr

Lr

φrα + pωmφrβ +RrMsr

Lr

isα (A.10)

dφrβ

dt= −Rr

Lr

φrβ − pωmφrα +RrMsr

Lr

isβ (A.11)

A.3. MODELO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN DOBLEMENTE ALIMENTADO 149

A.2.3.6. Modelo del Motor Inducción en el Marco de Referencia Orientado d−q

El modelo de rotor de ujo orientado, se obtiene considerando el marco de referenciarotatorio que el eje d coincida con el ujo del rotor, Φr. Analíticamente se logra haciendoque φrd = Φr y φrq = ˙φrq = 0. la velocidad angular está dado por la expresión siguiente:

ωs = pωm −MsrRr

Lr

isqΦr

y las ecuaciones del modelo de ujo orientado del rotor, son:

dωm

dt= p

Msr

JLr

Φrisq −TL

J− Td

J− F

Jωm (A.12)

disddt

= −γisd + ωsisq +MsrRr

σLsL2r

Φr +1

σLs

υsd (A.13)

disqdt

= −γisq − ωsisd − pωmMsr

σLsLr

Φr +1

σLs

υsq (A.14)

dΦr

dt= −Rr

Lr

Φr +RrMsr

Lr

isd (A.15)

A.3. Modelo del Motor de Inducción Doblemente Ali-

mentado

En el motor de inducción doblemente alimentado (DFIM), las bobinas del rotor no estáncortocircuitadas, por lo tanto, las tensiones vrd y vrq no son nulas. [21]

Considerando los componentes de ujos, φsd y φsq, y las componentes de corrientes ird

y irq como variables de estado y asumiendo que el circuito magnético es lineal, el modelobifásico del DFIM, representado en un marco de referencia rotatorio (d,q), es como sigue:

dωm

dt= p

Msr

JLs

(φsqird − φsdirq)−F

Jωm −

TL

J− Td

Jdφsd

dt= − 1

τsφsd + ωsφsq +

Msr

τsird + vsd

dφsq

dt= − 1

τsφsq − ωsφsd +

Msr

τsirq + vsq

dird

dt= −γ1ird + (ωs − pωm)irq +

γ2

τsφsd − pωmγ2φsq − γ2vsd + γ3vrd

dirq

dt= −γ1irq − (ωs − pωm)ird +

γ2

τsφsq + pωmγ2φsd − γ2vsq + γ3vrq

Los parámetros γ1, γ2, γ3, ρ y τ , están denidas como sigue:γ1 =

RrL2s +RsM

2sr

ρLsL2r

, γ2 =Msr

ρLsLr

, γ3 =1

ρLr

, ρ = 1− M2sr

LsLr

y τ =Ls

Rs


Por la elección un marco de referencia enlazado con la tensión del estator, las corrientesde la red y estator están relacionados con las potencias activa y reactiva. Entonces, el in-tercambio de potencia entre el motor y la red puede ser controlado por el control de lascorrientes. Orientando el eje d del marco a lo largo de la tensión del estator suponiendovsd = Vs y vsq = 0. Entonces, el modelo de las ecuaciones anteriores reescritas como sigue(en la tensión del estator enlazado en el marco dq):

dωm

dt= p

Msr

JLs

(φsqird − φsdirq)−F

Jωm −

Td

J− TL

Jdφsd

dt= − 1

τsφsd + ωsφsq +

Msr

τsird + Vs

dφsq

dt= − 1

τsφsq − ωsφsd +

Msr

τsirq

dird

dt= −γ1ird + (ωs − pωm)irq +

γ2

τsφsd − pωmγ2φsq − γ2Vs + γ3vrd

dirq

dt= −γ1irq − (ωs − pωm)ird +

γ2

τsφsq + pωmγ2φsd + γ3vrq

A.4. Modelo de la Máquina Síncrona de Imán Perma-

nente

Con la nalidad de simplicar el modelado de la máquina síncrona, son necesarios lassiguientes suposiciones:

1. La fuerza electromotriz inducida es senoidal.

2. La permeabilidad del hierro es innita.

3. La corriente de Foucault y pérdidas por histéresis son despreciables.

A.4.1. Modelado de la Máquina Síncrona de Imán Permanente enCoordenadas abc

Las tensiones de las tres fases están dados por la siguiente expresión: [21]

[vsabc = [Rs][isabc] +d[φsabc]

dt

En el rotor, el ujo constante es creado por los magnetos. La distribución del campo deexcitación en el entrehierro y la FMM es senoidal. Consecuentemente, las expresiones delujo mutuo en las fases del inductor están dados por la expresiones siguientes:

A.4. MODELO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA DE IMÁN PERMANENTE 151

Figura A.3: Marco de coordenadas abc y qd, estacionario y giratorio, marcos en el PMSM

φra = φrcos(pθ)

φrb = φrcos(pθ −2π

3)

φrc = φrcos(pθ +2π

3)

donde φr es la amplitud del ujo producido por los imanes permanentes.El ujo en cada devanado del estator es:

[φsabc] = [Lss][isabc] + [φrabc]

La expresión de las tensiones del estator, es:

[vsabc] = [Rs][isabc] +d

dt[Lss][isabc]+ ω

d

dθ[φrabc]

El torque queda expresado como:

Tem =1

2[isabc]

Td[Lss]

dθ

[isabc] + [isabc]

T d[φrabc]

dθ

Por conveniencia, la ecuación usual de movimiento, queda como:

Tem = TL + Fω + Jdω

dt

A.4.2. Modelo del PMSM en el Marco de Referencia Giratorio dq

Ecuaciones EléctricasLas ecuaciones eléctricas, están dadas por:

[vsdq] = Rs[isdq] + [Ldq]d[isdq]

dt+ pωQ′[Ldq][isdq] + pωQ′[φrdq]


donde:

[Ldq] =

[Ld 00 Lq

]Ld =

3

2(Ls0 + Lsv)

Lq =3

2(Ls0 − Lsv)

Lcs =3

2Ls0

Q′ =

[0 −11 0

]Ls0, Lsv inductancias de la máquina

p par de polos de lamáquinaEcuaciones Mecánicas

Tem = TL + Fω + Jdω

dt= p(Ld − Lq)isdisq + p

√3

2isqφr

Las ecuaciones de diferenciales de primer orden, son:

dθ

dt= ω

dω

dt= −F

Jω + p

Ld − Lq

Jisdisq + p

√3

2

φr

Jisq −

1

JTL

disqdt

= −Rs

Lq

isq − pLd

Lq

isdω + p

√3

2

φr

Lq

ω +1

Lq

vsq

disddt

= −Rs

Ld

isd + pLq

Ld

isqω +1

Ld

vsd

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Índice alfabético

Autotransformador, 103

Campo giratorio sinusoidal, 47Características en vacío y cortocircuito, 73Características frecuencia vs potencia, 70Características fundamentales de la FEM,

39Características P-Q

Generador de polos salientes, 78Generador de rotor liso, 76Operación de máquinas síncronas, 78

Características tensión-potencia reactiva, 72Comparación entre transformador y auto-

transformador, 103Control de motor de CC, 29

Diagrama FasorialGenerador de polos salientes, 55Generador de rotor liso, 53

Diagrama fasorial de generadores, 69

Ecuaciones de onda, 45Ensayo en cortocircuito, 73Ensayo en vacío, 73

FEMConductor, 41Espira de devanado concentrado y paso

completo, 42Espira de devanado concentrado y paso

fraccionario, 43Espira de devanado distribuido y paso

completo, 42Expresión general, 45Factor de devanado, 44

FMM

Componente fundamental, 48Devanado, 48Devanados de CA, 48

Fuerza electromotriz inducida, 4Fuerza electromotriz y fuerza mangetomotriz,

39

GeneradorInducción, 135Antecedentes históricos, 135Características constructivas, 135Principio de funcionamiento, 136Rotor devanado, 136Rotor jaula de ardilla, 137

Generador de CCCaracterísticas constructivas, 1Características de carga, 18Componentes auxiliares, 3Elemental, 1Entrehierro, 3Estator, 2Generador compuesto aditivo, 12Generador compuesto aditivo corto, 13Generador compuesto largo, 13Generador compuesto sustractivo, 14Generador en derivación, 8Ecuaciones, 8

Generador serie, 11Ecuaciones, 11

Interpolos, 18Modelo del generador, 6Pérdidas, 15Reacción de armadura, 14Rotor, 3Tipos de generador, 7

155

156 ÍNDICE ALFABÉTICO

Generador de corriente continua, 1Generador síncrono, 31

Características constructivas, 31Ciclo de histéresis, 33Clasicación, 35Corrientes de Eddy, 34Estator, 33Materiales aislantes, 37Principio de funcionamiento, 32Ranuras, 34Rotor, 34Ventilación, 37

Generadores síncronosInductancias, 51Bobina de Campo, 51Dispersión del inducido, 53Reacción de armadura del inducido,52

Métodos de sincronizaciónLámparas apagadas, 64Lámparas encendidas, 64Lámparas giratorias, 66Sincronoscopio, 67

Operación en paralelo, 61Condiciones, 62Desventajas, 62Métodos de sincronización, 63Ventajas, 62

Regulación y funcionamiento, 51Reparto de carga, 69

Ley de Faraday-Henry, 40

Motor de CC, 21Características constructivas, 21Características del torque, 27Circuito equivalente, 22Fuerza contraelectromotriz, 22Par desarrollado, 23Potencia mecánica, 23Principio de funcionamiento, 21Pérdidas, 28Tipos de motor, 23

Compound acumulado, 26Compound diferencial, 26Motor en derivación, 23Motor serie, 24

Motor de inducción, 105, 129MonofásicoCampo giratorio elipsoidal, 130Caraterísticas constructivas, 129Fase partida, 130Motor Universal, 132

Motor UniversalCircuito equivalente, 132Torque, 132

Trifásico, 105, 126Características constructivas, 106Características par-velocidad, 121Circuito equivalente, 111Coordinación de protecciones, 127Dslizamiento, 109Ensayos, 122Estator, 106Frecuencia en el rotor, 110Fuerza magnetomotriz giratorio, 110Modelo, 139Métodos de arranque, 125Par motor y potencia, 119Principio de funcionamiento, 108Rotor, 107

Motor síncrono, 83Característica Par-Velocidad, 85Características constructivas, 83Circuito equivalente, 84Corrección del factor de potencia, 88Métodos de arranque, 86

Onda estacionaria, 46Onda móvil inversa, 46Onda progresiva, 46

Paso polar, 40

Reactancia síncronaDeterminación, 75

ÍNDICE ALFABÉTICO 157

Resistencia del inducidoMedición, 75

TransformadorCaracterísticas constructivas, 91Circuito eléctrico equivalente, 96Denición, 91Diagrama fasorial, 98Ensayos, 101Circuito abierto, 101Corto circuito, 101

Ideal, 93Pérdidas debidas a las corrientes parási-

tas, 99Pérdidas en el núcleo magnético, 99Pérdidas por histéresis, 99Pérdidas y rendimiento, 98Pérdidas óhmicas, 99Real, 96Rendimiento, 100Tipos, 92Trifásico, 102

máquinas eléctricas -...

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