maquina sincrona steadystate
TRANSCRIPT
Sistema por unidade
ππ = ππππππππ [ππ΄]
ππ = ππβ²ππππ [π]
πΌπ = πΌππππ [π΄]
ππ = πππΓ©π‘ππππ = 2 β π β 60 [πππ π β ]
ππ =ππ
ππ [πππππ]
Portanto, as equaçáes para potΓͺncia e torque podem ser derivadas:
ππππ π =3
2ππππ ππΌπππ π
ππππ π =3
2
ππππ ππΌπππ π
ππππ π (π2)β
=3
2
π
2ππππ ππΌπππ π
π
ππππ π=
32 (π£ππ πππ + π£ππ πππ + 2 β π£0π π0π )
32
ππππ ππΌπππ π
= (οΏ½Μ οΏ½ππ ποΏ½Μ οΏ½π + οΏ½Μ οΏ½ππ ποΏ½Μ οΏ½π + 2 β οΏ½Μ οΏ½0π π0Μ π )
ππ
ππππ π=
32
π2 (πππ πππ β πππ πππ )
32
π2
ππππ ππΌπππ π
= (οΏ½Μ οΏ½ππ ποΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½ππ ποΏ½Μ οΏ½π )
A equação dinÒmica de normalizada pode ser escrita:
1
ππππ π
πππ
ππ‘=
ππ
ππππ π= οΏ½Μ οΏ½π
π½1
π2β
πππππ‘
ππππ π=
π½1
π2β
πππππ‘
(ππππ ππ2)
ππππ πβ
=ππππ β ππ
ππππ π
Definindo a constante de inΓ©rcia π»
π» =
12 π½ (
ππππ ππ
2β)
2
ππππ π
2π»ποΏ½Μ οΏ½π
ππ‘= οΏ½Μ οΏ½πππ β οΏ½Μ οΏ½π
Como em condição normal de operação os Òngulos entre o campo do estator e o rotor são
diferentes, conhecido como Òngulo de carga, pode-se definir a equação dinÒmica a partir
deste Γ’ngulo:
πΏ = πππ‘ β πππ‘ + πΏ0
ππΏ
ππ‘= ππ β ππ = ππ β 2πππ
π2πΏ
ππ‘2=
πππ
ππ‘
2π»
ππππ π
π2πΏ
ππ‘2= οΏ½Μ οΏ½πππ β οΏ½Μ οΏ½π
MΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio
Em condição estacionΓ‘ria, a velocidade do rotor serΓ‘ constante e igual a ππ
πππ0π = βππ πππ0π + ππππππ
πβ²πππ = πππβ²πππ
πππ = βπΏππ πππ + πππ
πππ = βπΏππ πππ + πππ
πππ1 = πΏπππ1πππ1 + πππ
πππ2 = πΏπππ2πππ2 + πππ
πππ = πΏππππππ + πππ
πππ = πΏππππππ + πππ
Ou, em explicitando as correntes:
πππ = βππ πΌππ β πππΏππΌππ + πππΏπππΌππ
πππ = βππ πΌππ + πππΏππΌππ
πππ = ππππΌππ
onde:
πΏπ = πΏππ + πΏππ
πΏπ = πΏππ + πΏππ
ou, utilizando a reatΓ’ncia ao invΓ©s das indutΓ’ncias:
πππ = βππ πΌππ βππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ
πππ = βππ πΌππ +ππ
πππππΌππ
πππ = ππππΌππ
Onde ππ Γ© a velocidade angular elΓ©trica base utilizada para calcular as reatΓ’ncias.
A transformação de um conjunto balanceado de grandezas com mesma amplitude e defasados
de 120Β° pode ser realizada, para a referΓͺncia de Krause:
πππ = β2ππ cos (πππ)
πππ = β2ππ cos (πππ β2π
3)
πππ = β2ππ cos (πππ +2π
3)
por tanto:
πππ = β2ππ cos (πππ β ππ)
πππ = ββ2ππ sen (πππ β ππ)
π0π = 0
De acordo com a referΓͺncia de Rocha:
πππ = β2ππ cos (πππ β ππ)
πππ = β2ππ sen (πππ β ππ)
π0π = 0
Expressando estes vetores em função do Γ’ngulo de carga, πΏ = ππ β πππ£, como ππ = ππ em
condição estacionΓ‘ria, ππ = πΏ + πππ£
πππ = β2ππ cos (πππ(0) β πππ£(0) β πΏ)
πππ = ββ2ππ sen (πππ(0) β πππ£(0) β πΏ)
π0π = 0
ou:
πππ = π π (β2πΉπ ej (πππ(0)βπππ£(0))
eβjπΏ)
πππ = π π (πβ2πΉπ ej (πππ(0)βπππ£(0))
eβjπΏ)
Assim, transformando o vetor para e referencial do rotor pode ser simplificado para:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = πΉππ β ππΉππ
Γ importante notar que οΏ½ΜοΏ½ππ e πππ sΓ£o termos que fazem referΓͺncia Γ s variΓ‘veis de forma geral,
portanto:
οΏ½ΜοΏ½ππ = πΉπ ej(πππ(0)βπππ£(0))
representa as variΓ‘veis do eixo ππ referenciadas no instante zero de πππ£ que serΓ‘ selecionado
tal que π£ππ seja mΓ‘ximo para π‘ = 0. οΏ½ΜοΏ½ππ Γ© o vetor girante referenciado para um sistema
coordenado, referΓͺncia no vetor sΓncrono e, que tambΓ©m gira Γ velocidade sΓncrona onde no
instante zero estΓ‘ localizado no eixo real:
πππ β ππππ = ππ β π0
PORQUE O FASOR DE KRAUSE E DO ONG UTILIZA O VALOR RMS DA VARIΓVEL.
onde o sobrescrito r que indica o referencial no rotor foi removido por simplicidade. Vale
salientar agora a diferenΓ§a entre as notaçáes escolhidas por Krause e SelΓͺnio, para Rocha o
vetor Γ© dado por:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = πΉππ + ππΉππ
PorΓ©m em ambos os casos, o eixo d Γ© referente ao caminho de menor relutΓ’ncia do circuito
magnético formado pelo rotor e estator, no caso a cabeça da sapata polar. Continuando a
formulação de acordo com Krause:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = πππ β ππππ
πππ = βππ πΌππ βππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ
πππ = βππ πΌππ +ππ
πππππΌππ
πππ = ππππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ πΌππ β
ππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ β π (βππ πΌππ +
ππ
πππππΌππ )
Adcionando e subtratindo ππ
πππππΌππ no lado direito da equação:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ πΌππ β
ππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ + πππ πΌππ β π
ππ
πππππΌππ +
ππ
πππππΌππ β
ππ
πππππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ (πΌππ β ππΌππ ) β π
ππ
ππππ(πΌππ β ππΌππ ) β
ππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ +
ππ
πππππΌππ
lembrando:
ERRATA β a equação 5.9-16 do Krause estΓ‘ invertida no livro pdf: πβ2πΌππ eβjπΏ = πΌππ + ππΌππ
β2πΌππ eβjπΏ = πΌππ β ππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ (β2πΌππ e
βjπΏ) β πππ
ππππ(β2πΌππ e
βjπΏ) βππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ +
ππ
πππππΌππ
οΏ½ΜοΏ½ππ = β(ππ + πππ
ππππ) πΌππ +
1
β2[ππ
ππππππΌππ β
ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ ] ejπΏ
Definindo o ultimo termo com οΏ½ΜοΏ½π:
οΏ½ΜοΏ½ππ = β(ππ + πππ
ππππ) πΌππ + οΏ½ΜοΏ½π
οΏ½ΜοΏ½π =1
β2[οΏ½ΜοΏ½ππ β
ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ ] ejπΏ
As equaçáes da mÑquina foram obtidas a partir dos fasores tensão e corrente da fase a, onde
para tal, deve ser garantido que no instante zero (0) o vetor corrente estΓ‘ passando pelo eixo
real. O diagrama fasorial da mΓ‘quina pode ser desenhado:
A corrente Γ© positiva quando saindo da mΓ‘quina, caracterizando a ação geradora. E razΓ£o ππ
ππ Γ©
para maior generalidade da mesma, podendo representar a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio
para freqΓΌΓͺncias diferentes da nominal. Definindo a corrente positiva entrando na mΓ‘quina:
οΏ½ΜοΏ½ππ = (ππ + πππ
ππππ) πΌππ +
1
β2[ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ +
ππ
ππππππΌππ] ejπΏ
Pela notação adotada por SelΓͺnio:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = πππ + ππππ
πππ = βππ πΌππ +ππ
πππππΌππ
πππ = βππ πΌππ βππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ πΌππ +
ππ
πππππΌππ β πππ πΌππ β π
ππ
πππππΌππ + π
ππ
ππππππΌππ
Adcionando e subtratindo πππ
πππππΌππ no lado direito da equação:
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ πΌππ +
ππ
πππππΌππ + π
ππ
πππππΌππ β π
ππ
πππππΌππ β πππ πΌππ β π
ππ
πππππΌππ
+ πππ
ππππππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ (πΌππ + ππΌππ ) β π
ππ
ππππ(πΌππ +ππΌππ ) + π
ππ
πππππΌππ β π
ππ
πππππΌππ + π
ππ
ππππππΌππ
β2πΌππ eβjπΏ = πΌππ + ππΌππ
β2οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = βππ (β2πΌππ e
βjπΏ) β πππ
ππππ(β2πΌππ e
βjπΏ) + πππ
πππππΌππ β π
ππ
πππππΌππ + π
ππ
ππππππΌππ
οΏ½ΜοΏ½ππ = β(ππ + πππ
ππππ) πΌππ + π
1
β2[ππ
πποΏ½ΜοΏ½ππ β
ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ ] ejπΏ
Relacionando o vetor espacial e o fasor temporal, discussΓ£o obtida na pg. 276 do ONG. A
corrente do estator na forma vetorial Γ©:
πππ = πΌπ
π β ππππ =
2
3(ππ + πππ + π2ππ)
O sobrescrito denota as variΓ‘veis no referencial estacionΓ‘rio, transformada de Clarke (π½πΌ0). O
lado direito da igualdade pode ser simplificado para:
πππ = πΌπ
π β ππππ = πΌπππππππππ‘
O fasor RMS da corrente da fase a pode ser definido como:
οΏ½ΜοΏ½ππ =πΌπ
β2πππ ππ’
πΌπ
β2 /Ο
πππ = πΌπ
π β ππππ = β2οΏ½ΜοΏ½ππ π
ππππ‘
Esta mesma notação é utilizada por Krause.
Torque em estado estacionΓ‘rio
πππ = βππ πΌππ βππ
πππππΌππ +
ππ
ππππππΌππ
πππ = βππ πΌππ +ππ
πππππΌππ
Reescrevendo em termos de quantidades RMS, tal como definido por ONG (pg. 277), na
referΓͺncia da mΓ‘quina como gerador.
οΏ½βββοΏ½ππ = βππ οΏ½βοΏ½ππ β ππ οΏ½βοΏ½ππ + οΏ½βββοΏ½ππ
οΏ½βββοΏ½ππ = βππ οΏ½βοΏ½ππ + πποΏ½βοΏ½ππ
A potΓͺncia total nas trΓͺs fases pode ser obtida por:
πΊ = 3 β πππ0π β πΌππ0π β = 3(οΏ½βββοΏ½ππ β ποΏ½βββοΏ½ππ )(οΏ½βοΏ½ππ + ποΏ½βοΏ½ππ )
πΊ = 3(βππ οΏ½βοΏ½ππ β ππ οΏ½βοΏ½ππ + οΏ½βββοΏ½ππ + πππ οΏ½βοΏ½ππ β ππποΏ½βοΏ½ππ )(οΏ½βοΏ½ππ + ποΏ½βοΏ½ππ )
Subtraindo os termos relativos Γ s perdas por Joule, a expressΓ£o para a potΓͺncia
eletromagnΓ©tica Γ© dada por:
πππ = β[3(βππ οΏ½βοΏ½ππ + οΏ½βββοΏ½ππ β ππποΏ½βοΏ½ππ )(οΏ½βοΏ½ππ + ποΏ½βοΏ½ππ )]
πππ = 3(βππ οΏ½βοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ + οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ + πποΏ½βοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ ) = 3{οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ + (ππ β ππ)οΏ½βοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ }
ππ = β[3(βππ οΏ½βοΏ½ππ + οΏ½βββοΏ½ππ β ππποΏ½βοΏ½ππ )(οΏ½βοΏ½ππ + ποΏ½βοΏ½ππ )]
ππ = 3(βππ οΏ½βοΏ½ππ 2 + οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ β πποΏ½βοΏ½ππ
2 )
A expressΓ£o para o torque Γ© obtida, entΓ£o:
πππ =πππ
ππ =
πππ
(ππ
π2
β )
= 3(π
2 β ππ) {οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ + (ππ β ππ)οΏ½βοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ }
DUVIDA β A equação 7.67 (pg. 277) do livro do ONG faz a seguinte igualdade:
πππ =πππ
ππ π= (
2
π β ππ)πππ
ou seja:
ππ π =π
2ππ? ? ? ? ? ? ?
A expressΓ£o pode ser reescrita em termos da tensΓ£o terminal, onde:
οΏ½ΜοΏ½ππ eβjπΏ = πππ cos(πΏ) β ππππ sen(πΏ) = οΏ½βββοΏ½ππ β ποΏ½βββοΏ½ππ
E substituindo a equação para
πππ = 3{οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ + (ππ β ππ)οΏ½βοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ }
[οΏ½βοΏ½ππ
οΏ½βοΏ½ππ
] =
[ β
ππ
ππ 2 + ππππ
ππ
ππ 2 + ππππ
βππ
ππ 2 + ππππ
βππ
ππ 2 + ππππ]
[οΏ½βββοΏ½ππ β οΏ½βββοΏ½ππ
οΏ½βββοΏ½ππ
]
Desprezando a queda de tensΓ£o na resistΓͺncia:
[π°ππ
π°ππ ] =
[ 0
1
ππ
β1
ππ0
]
[π½ππ β π¬ππ
π½ππ ]
πππ = 3{π¬ππ
π½ππ
ππβ (ππ β ππ)
π½ππ β π¬ππ
ππ
π½ππ
ππ} = 3 {π¬ππ
π½ππ
ππβ (
1
ππβ
1
ππ) (π½ππ β π¬ππ)π½ππ }
πππ = 3{π¬ππ
π½ππ
ππβ (
1
ππβ
1
ππ)π½ππ π½ππ + (
1
ππβ
1
ππ)π¬πππ½ππ }
πππ = 3{π¬ππ
π½ππ
ππβ (
1
ππβ
1
ππ)π½ππ π½ππ }
πππ = 3{π¬πππ½ππ
ππsen(πΏ) +
π½ππ 2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
πππ = 3(π
2 β ππ) {
π¬πππ½ππ
ππsen(πΏ) +
π½ππ 2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
ππ = 3(βππ οΏ½βοΏ½ππ 2 + οΏ½βββοΏ½ππ οΏ½βοΏ½ππ β πποΏ½βοΏ½ππ
2 )
ππ = 3 [βππ (π½ππ β π¬ππ
ππ)2
+ οΏ½βββοΏ½ππ
π½ππ β π¬ππ
ππβ ππ (
π½ππ
ππ)
2
]
ππ = 3 [βπ½ππ
2 β 2π½ππ π¬ππ + π¬ππ2
ππ+
π½ππ π¬ππ β π¬ππ2
ππβ
π½ππ 2
ππ]
ππ = 3 [βπππ½ππ
2 cos2(πΏ) β πππ½ππ π¬πππππ (πΏ) + πππ½ππ 2 sen2(πΏ)
ππππ]
ππ = 3 [π¬πππ½ππ
ππcos(πΏ) β
πππ½ππ 2 sen2(πΏ) + πππ½ππ
2 cos2(πΏ)
ππππ]
ππ = 3π¬πππ½ππ
ππcos(πΏ) +
3
2π½ππ
2 (1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ) β
3
2π½ππ
2 (1
ππ+
1
ππ)
ππ = 3π¬πππ½ππ
ππcos(πΏ) +
3
2π½ππ
2 (ππ β ππ
ππππ) (cos2(πΏ) β sen2(πΏ))
β3
2π½ππ
2 (ππ + ππ
ππππ) (cos2(πΏ) + sen2(πΏ))
(ππ β ππ)(cos2(πΏ) β sen2(πΏ)) β (ππ + ππ)(cos2(πΏ) + sen2(πΏ))
2ππππ
(ππcos2(πΏ) β ππsen2(πΏ) β ππcos2(πΏ) + ππsen2(πΏ)) β (ππcos2(πΏ) + ππsen2(πΏ) + ππcos2(πΏ) + ππsen
2(πΏ))
2ππππ
ππcos2(πΏ) β ππcos2(πΏ) β ππsen2(πΏ) β ππsen2(πΏ) β ππcos2(πΏ) β ππcos2(πΏ) + ππsen2(πΏ) β ππsen
2(πΏ)
2ππππ
Que Γ© igual a:
βππsen2(πΏ) + ππcos
2(πΏ)
ππππ
Por tanto, a equação para a potΓͺncia reativa requerida, ou desenvolvida, pela mΓ‘quina Γ© dada
por:
ππ = 3π¬πππ½ππ
ππcos(πΏ) +
3
2(π½ππ )
π (1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ) β
3
2(π½ππ )
π (1
ππ+
1
ππ)
πππ = 3{π¬πππ½ππ
ππsen(πΏ) +
(π½ππ )π
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
Os valores de tensΓ£o estΓ£o em valores de pico. Em termos de valores RMS.
ππ =3
2{πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ) β
(β2πππ )2
2(
1
ππ+
1
ππ)}
πππ =3
2{πΈππβ2πππ
ππsen(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
Dada a convenção geradora, o torque e potΓͺncia serΓ£o positivos para a mΓ‘quina trabalhando
como gerador, e negativos para esta operando como motor.
A equação acima estÑ expressa em termos RMS, para valores de pico, tal como utilizado por
Krause, aparece um termo 3
2 na frente:
πππ =3
2
π
2
1
ππ{πΈππβ2ππ
ππsen(πΏ) +
(β2ππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
DUVIDA β tem um termo na equação 5.9-32 do Krause (pg. 213) que estΓ‘ estranho. (ππ
ππ)β2
parece estar com um quadrado errado pois:
(1
ππππ
ππ
β1
ππππ
ππ
) = (
ππππ
ππ βππππ
ππ
(ππππ
)2ππππ
) = (
ππππ
(ππ β ππ)
(ππππ
)2ππππ
) =1ππππ
(1
ππβ
1
ππ)
= (ππ
ππ)β1
(1
ππβ
1
ππ)
Reescrevendo as equaçáes da mÑquina, na notação para gerador (torque positivo para
mΓ‘quina operando como gerador, πΏ positivo):
οΏ½ΜοΏ½ππ = (ππ + πππ)πΌππ + οΏ½ΜοΏ½π
β2οΏ½ΜοΏ½πeβjπΏ = οΏ½ΜοΏ½ππ β (ππ β ππ)πΌππ
πππ =3
2
π
2
1
ππ{πΈππβ2ππ
ππsen(πΏ) +
(β2ππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
Este conjunto de equação pode ser utilizado para saber como a mÑquina opera em estado
estacionΓ‘rio. PorΓ©m, como o sistema Γ© nΓ£o linear, serΓ‘ utilizado o mΓ©todo de Newton (fsolve
do Matlab). A equação do torque quando as perdas da mÑquina não são desprezadas é
πππ =3
2
π
2
1
ππ{ππ ππππΌβ²ππ
ππ 2 + ππππ
(πππ π β ππππΌβ²ππ β
ππ
ππ πππ
π )
+ππ β ππ
(ππ 2 + ππππ)
2 [ππ ππ(πππ π β ππππΌβ²ππ)
2+ πππ
π (ππ 2 β ππππ)(πππ
π β ππππΌβ²ππ)
β ππ ππ(πππ π )2]}
Utilizando os parΓ’metros de entrada οΏ½ΜοΏ½ππ , οΏ½ΜοΏ½ππ e ππππβ. E formulando para o mΓ©todo resolver a
equação na forma: πΉ(π₯) = 0, onde:
π₯ = [
πΌππ
|οΏ½ΜοΏ½π|
πΏ
]
A diferença entre as duas equaçáes para o torque pode ser observada abaixo, esta foi
calculada para πππ variando de 5 a 25 com o ππππβ = 100 ππ.
Desta forma, pode-se determinar a tensão de excitação para a mÑquina operar com o fator de
potΓͺncia desejado para um determinado torque de carga.
Simulação do motor exemplo do simulink.
ππ = 111,9 [πππ΄]
ππ ππππ
= β3 β 440 [ππ] (π‘πππ Γ£π πππ πππ π β πππ π)
ππ = 0,26 [Ξ©] πΏβ²πππ = 2,1 Γ 10β3 [H]
πΏππ = 1,14 Γ 10β3 [H] πβ²ππ = 0,0224 [Ξ©]
πΏππ = 13,7 Γ 10β3 [H] πΏβ²πππ = 1,4 Γ 10β3 [H]
πΏππ = 11,0 Γ 10β3 [H] πβ²ππ1 = 0,02 [Ξ©]
πβ²ππ = 0,13 [Ξ©] πΏβ²πππ1 = 1,0 Γ 10β3 [H]
πππ = β3
2
π
2
1
ππ{πΈππβ2ππ
ππsen(πΏ) +
(β2ππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
οΏ½ΜοΏ½ππ = (ππ + πππ)πΌππ + οΏ½ΜοΏ½π
β2πΈπeβjπΏ = πΈππ β (ππ β ππ)πΌππ
Capacidade de Despacho de Geradores
Os limites de capacidade de gerador sΓ£o geralmente dados na forma de grΓ‘ficos de potΓͺncia
ativa por reativa. Para a determinação de tais grÑficos são observados os seguintes pontos:
Limite tΓ©rmico do estator (mΓ‘xima corrente terminal);
Limite térmico do rotor (mÑxima corrente de excitação);
Limite tΓ©rmico da turbina;
Limite de estabilidade;
MΓnima corrente de excitação;
O limite tΓ©rmico do estator Γ© obtido, para uma dada tensΓ£o terminal, pela mΓ‘xima potΓͺncia
aparente:
(ππ΄)2 = (οΏ½ΜοΏ½ππ πΌππ )2
= π2 + π2
O limite térmico do rotor é obtido pelos pontos de operação com corrente de excitação
constante. A mesma rotina do fsolve utilizada para calcular a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio
pode ser utilizada para calcular o limite tΓ©rmico do gerador. PorΓ©m, esta deve ser modificada
devido ao limite de estabilidade da mΓ‘quina, onde um aumento no Γ’ngulo de carga nΓ£o
acarreta em um aumento do torque produzido.
Utilizando os parΓ’metros de entrada οΏ½ΜοΏ½ππ , οΏ½ΜοΏ½ππ e nΓ£o mais o ππππβ. E formulando para o mΓ©todo
resolver a equação na forma: πΉ(π₯) = 0, onde:
π₯ = [πΌππ
|οΏ½ΜοΏ½π|
πΏ
] = [πΌππ
|οΏ½ΜοΏ½π|]
Onde novamente na para a referΓͺncia no modo gerador:
οΏ½ΜοΏ½ππ = (ππ + πππ)πΌππ + οΏ½ΜοΏ½π
β2οΏ½ΜοΏ½πeβjπΏ = οΏ½ΜοΏ½ππ β (ππ β ππ)πΌππ
Esta formulação pode ser utilizada para encontrar a potΓͺncia desenvolvida pelo gerador, ou
absorvida no caso do motor, para diversos valores de Γ’ngulo de carga. A figura abaixo mostra
trΓͺs curvas, potΓͺncia aparente constante, excitação nula e constante em πππ = 30 [π].
O cΓrculo de excitação mΓnima possui raio igual a 3
2
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) esta centrado no ponto
3
2
(β2πππ )2
2(
1
ππ+
1
ππ). O circulo ilustrado mostra o valor obtido numericamente e pelo valor
teΓ³rico. Estes pontos sΓ£o obtidos dos valores de potΓͺncia ativa e reativa para excitação nula.
O limite teórico de estabilidade pode ser obtido para cada valor de excitação constante no
ponto onde a potΓͺncia ativa Γ© mΓ‘xima, ou mΓnima, em relação ao delta:
ππππ
ππΏ= 0
ππππ
ππΏ=
3
2{πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) + (β2πππ )
2(
1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ)} = 0
πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) = β(β2πππ )
2(
1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ)
πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) = (β2πππ )
2(ππ β ππ
ππππ) (cos2(πΏ) β sen2(πΏ))
(cos2(πΏ) β sen2(πΏ))
cos(πΏ)= cos(πΏ) β π‘ππ(πΏ) =
πΈππ
β2πππ
(ππ
ππ β ππ)
Utilizando a expansΓ£o dos termos trigonomΓ©tricos:
cos(πΏ) = 1 βπΏ2
2!+
πΏ4
4!β
πΏ6
6!+ β―+ (β1)π
πΏ2π
2π!= β
(β1)π
(2π)!
β
π=0
πΏ2π
tan(πΏ) = πΏ βπΏ3
3+
2πΏ5
15+ β― = β
π΅2π(β4)π(1 β 4π)
(2π)!
β
π=1
πΏ2πβ1
onde:
π΅2π = (β1)π+1(2π)!
(2π)2π [1 +1
22π+
1
32π+
1
42π+ β―]
NΓ£o deu muito certo, o Γ’ngulo para a mΓ‘xima potΓͺncia ativa serΓ‘ obtido de modo iterativo. Do
mesmo modo, o limite de estabilidade prΓ‘tico pode ser obtido para uma potΓͺncia igual a 0,9
da mÑxima, para um mesmo valor de excitação. A figura a seguir foi obtida a partir da mÑquina
dada como exemplo do simulink, 119kW.
Para a mΓ‘quina a pΓ³lo liso:
A potΓͺncia que a mΓ‘quina desenvolve, por fase, Γ© dada por:
π β ππ = οΏ½ΜοΏ½ππ πΌππ = πππ πΌππ ejπ
πΈπejπΏ = πππ + ππππΌππ ejπ
πΈπ =1
β2[πΈππ + β2(ππ β ππ)πΌππ π ππ(π β πΏ)]
πΈππ + β2(ππ β ππ)πΌππ π ππ(π β πΏ)
= β2πππ [πππ (πΏ) β ππ ππ(πΏ)] + β2πππΌππ [βπ ππ(π β πΏ) + ππππ (π β πΏ)]
Separando os termos reais e imaginΓ‘rios.
πΈππ + β2πππΌππ π ππ(π β πΏ) = β2πππ πππ (πΏ)
β2πππ π ππ(πΏ) = β2πππΌππ πππ (π β πΏ)
πΌππ ejπ = j
πππ
ππβ π
1
β2ππ
[πΈππ β (ππ β ππ)πΌππ ]ejπΏ
Substituindo:
π β ππ = οΏ½ΜοΏ½ππ πΌππ = jπππ
2
ππβ π
πππ
β2ππ
[πΈππ β (ππ β ππ)πΌππ ]ejπΏ
π β π (π +πππ
2
ππ) = βπ
πππ
β2ππ
[πΈππ β (ππ β ππ)πΌππ ]ejπΏ
Por tanto:
π2 + (π +πππ
2
ππ)
2
= (πππ
β2ππ
[πΈππ β (ππ β ππ)πΌππ ])
2
Para a mΓ‘quina a pΓ³lo liso:
A potΓͺncia que a mΓ‘quina desenvolve, por fase, Γ© dada por:
π + ππ = οΏ½ΜοΏ½ππ πΌππ = πππ πΌππ ejπ
πΈπejπΏ = πππ + πππ πΌππ ejπ
Substituindo πΌππ ejπ na primeira equação por:
πΌππ eβjπ =
πΈπejπΏ
πππ β
πππ
πππ
π β ππ =πππ πΈπejπΏ
πππ β
(πππ )2
πππ = π
(πππ )2
ππ β π
πππ πΈπejπΏ
ππ
π β π (π +(πππ )
2
ππ ) = βπ
πππ πΈπejπΏ
ππ
Ou, em termos do mΓ³dulo ao quadrado:
π2 + (π +πππ
2
ππ )
2
= (πππ πΈπ
ππ )2
O que equivale a um cΓrculo com centro em π = βπππ 2 ππ β e determina o limite de
aquecimento para o circuito de campo de mΓ‘quina.
Estas curvas de capacidade de despacho podem ser geradas tanto de modo numΓ©rico quanto
de modo direto, a partir das equaçáes:
ππ =3
2{πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ) β
(β2πππ )2
2(
1
ππ+
1
ππ)}
πππ =3
2{πΈππβ2πππ
ππsen(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
PorΓ©m, estas foram obtidas a partir do desprezo da resistΓͺncia de armadura, o que incorre em
erros dependendo do valor desta. A figura abaixo mostra este efeito.
Em vermelho esta a curva para excitação constante obtida a partir das equaçáes diretas. A
curva em azul, obtida numericamente por Newton, tende Γ vermelha Γ medida que a
resistΓͺncia tende a zero.
O primeiro modelo estudado serΓ‘ o gerador a vapor cujos parΓ’metros estΓ£o expostos na
pg. 220 de Krause.
Gerador a vapor trifΓ‘sico com 2 polos, 835 MVA, 26 kVrms de linha com fator de potΓͺncia
0,85. Para a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio tΓͺm-se:
|π| = 3|οΏ½ΜοΏ½ππ ||πΌππ |
Assim:
|πΌππ | =|π|
3|οΏ½ΜοΏ½ππ |=
835 Γ 106
3 β (26 Γ 103 β3β )= 18,542 ππ΄
A mΓ‘quina em regime nominal opera com fator de potΓͺncia de 0,85 (31,8Β°). Como a
corrente Γ© considerada positiva saindo dos terminais da mΓ‘quina, potΓͺncia reativa Γ©
entregue ao sistema quando a corrente estΓ‘ atrasada da tensΓ£o. Portanto:
πΌππ = 18,542 /-31,8Β° kA
Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:
οΏ½ΜοΏ½π = οΏ½ΜοΏ½ππ + (ππ + πππ
ππππ) πΌππ
=26 Γ 103
β3/0π + (0,00243 + π
2π60
2π601,457)18,542/β31,8π
= 37,198/38,07π ππ
Portanto, πΏ = 38,07π.
O valor de πΈβ²π₯ππ pode ser obtido a partir de πΌππ π :
πΌππ π = ββ2πΌπ π ππ[πππ(0) β πππ£(0) β πΏ]
= ββ2|πΌππ |π ππ[β31,8π β 0 β 38,07π]
= ββ2(18,542)π ππ(β69,87π)
= 24,62 ππ΄
Pode-se entΓ£o calcular:
πΈβ²π₯ππ =ππ
ππ[β2|οΏ½ΜοΏ½π| +
ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ
π ]
= β2(37,198) +ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ
π
= 52,605 ππ
O torque em estado estacionΓ‘rio serΓ‘:
ππ =3
2
π
2
1
ππ(πΈβ²π₯ππβ2|οΏ½ΜοΏ½ππ |
(ππ ππβ )πππ ππ(πΏ))
ππ =3
2
1
2π β 60(52,605 Γ 103β2(26 Γ 103 β3β )
1,4570,6166)
ππ = 1,8804 Γ 106 ππ
ParΓ’metros da mΓ‘quina
As equaçáes obtidas de ONG para determinação dos parÒmetros da maquinal, porém de
acordo com a terminologia do Krause, para manter consistΓͺncia:
πππ = π0
πππ = ππ β πππ
πππ = ππ β πππ
πβ²πππ =πππ(πβ²π β πππ )
πππ β (πβ²π β πππ )
πβ²πππ =ππππβ²πππ(πβ²β²π β πππ )
ππππβ²πππ β (πβ²β²π β πππ )(πππ + πβ²πππ)
πβ²πππ =πππ(πβ²β²π β πππ )
πππ β (πβ²β²π β πππ )
As resistΓͺncias sΓ£o obtidas a partir das constantes de tempo de circuito aberto:
πβ²ππ =1
πππβ²π0(πβ²πππ + πππ)
πβ²ππ =1
πππβ²β²π0
(πβ²πππ + πβ²π β πππ ) =1
πππβ²β²π0(πβ²πππ +
ππππβ²πππ
πππ + πβ²πππ)
πβ²ππ =1
πππβ²β²π0(πβ²πππ + πππ)
Ou, por Krause:
πβ²ππ1 =1
πππβ²π0(πβ²πππ1 + πππ)
πβ²ππ2 =1
πππβ²β²π0(πβ²πππ2 +
ππππβ²πππ1
πππ + πβ²πππ1)
Alternativamente, estes parΓ’metros podem ser obtidos a partir das constantes de tempo de
curto circuito:
πβ²ππ =1
πππβ²π(πβ²πππ +
ππππππ
πππ + πππ )
πβ²ππ =1
πππβ²β²π(πβ²πππ +
ππππππ πβ²πππ
ππππππ + ππππβ²πππ + πππ πβ²πππ)
πβ²ππ =1
πππβ²β²π(πβ²πππ2 +
ππππππ
πππ + πππ )
Ou, por Krause:
πβ²ππ1 =1
πππβ²π(πβ²πππ1 +
ππππππ
πππ + πππ )
πβ²ππ2 =1
πππβ²β²π(πβ²πππ2 +
ππππππ πβ²πππ1
ππππππ + ππππβ²πππ1 + πππ πβ²πππ1)
πΈππβ2πππ
ππcos(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) cos(2πΏ) =
(β2πππ )2
2(
1
ππ+
1
ππ)
ππππ π =3
2{πΈππβ2πππ
ππsen(πΏ) +
(β2πππ )2
2(
1
ππβ
1
ππ) sen(2πΏ)}
Motor C-231301
Um motor serΓ‘ analisado de acordo com a metodologia abordada atΓ© o momento para ver a
adequação do modelo com um equipamento real. Os dados do motor são:
ππ = 5800 [πππ΄]
ππ ππππ
= 13200 [π] (π‘πππ Γ£π πππ πππ π β πππ π)
π = 20 [πΒΊ ππ πππππ ]
ππππ π =ππππ π
ππππ π2 = 0,0333 [Ξ©]
Os parΓ’metros fornecidos foram:
ππ = β [pu]
ππ = 0,93 [pu] = 0,031 [Ξ©] ππ = 0,72 [pu] = 0,024 [Ξ©]
πβ²π = β [pu] πβ²π = 0,37 [pu] = 0,0123 [Ξ©]
πβ²β²π = 0,325 [pu] = 0,0108 [Ξ©] πβ²β²π = 0,31 [pu] = 0,0103 [Ξ©]
π0 = 0,08 [pu] = 0,0027 [Ξ©] π2 = 0,32 [pu] = 0,0107 [Ξ©]
De acordo com as fΓ³rmulas dadas pela literatura, a partir destes dados podem-se obter os
parÒmetros utilizados nas simulaçáes e anÑlises estÑticas.
πππ = π0
πππ = ππ β πππ = 0,0283 [Ξ©]
πππ = ππ β πππ = 0,0213 [Ξ©]
πβ²πππ =πππ(πβ²π β πππ )
πππ β (πβ²π β πππ )= 0,0175 [Ξ©]
πβ²πππ =ππππβ²πππ(πβ²β²π β πππ )
ππππβ²πππ β (πβ²β²π β πππ )(πππ + πβ²πππ)= 0,0365 [Ξ©]
πβ²πππ =πππ(πβ²β²π β πππ )
πππ β (πβ²β²π β πππ )= 0,0113 [Ξ©]
Tentando estimar o valor das perdas, refletidas em ππ :
ππππ = ππ + 3ππ (πΌππ )2
ππππ = 3πππ πΌππ
Pela eficiΓͺncia na condição nominal:
π =ππ
ππππ= 0,975
ππ = π(ππ + 3ππ πΌππ 2 )
(1 β π)ππ = 3 β π β ππ (ππ
2
π2
1
32πππ 2)
ππ =3(1 β π)ππππ
2
ππ= 0.7322586 [Ξ©]
Para a mΓ‘quina operando com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio, o Γ’ngulo de carga pode ser
calculado por:
πΏ = ππ‘ππ (πππΌππΌπ
)
Desta forma, a excitação que mantΓ©m a mΓ‘quina com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio pode ser
calculada por:
πΈππ =β2πππ
2cos(πΏ)(ππ + ππ
ππ) β
β2πππ
2cos(πΏ)(ππ β ππ
ππ) cos(2πΏ)
Porém, esta tensão é mais bem encontrada a partir da simulação numérica, tal como a
utilizada para obter as curvas em V. Uma forma de facilitar a simulação é restringir o range
da variΓ‘vel para valores em torno do estimado.
Para a mΓ‘quina operando em regime nominal com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio:
πΈππ = 14.582 [π]
De acordo com a folha de dados, a tensão de excitação nesta condição é:
πππ =πππ
ππππΈππ = 88 [π]
Verificar pos Efd estΓ‘ rebatido para o estator e Vfd foi obtido da folha de dados, por tanto
referido ao rotor.
Por tanto:
πππ = 0,1540824 Ξ©
O que implica em:
πβ²π =1
πππβ²ππ(πβ²πππ +
ππππππ
πππ + πππ ) = 0,2654633 π ππ.
Traçando as curvas em V e comparando com os valores obtidos da folha de dados.
Motor sΓncrono com 20 polos, 5,8 MVA, 13,2 kVrms de linha com fator de potΓͺncia 1. Para a
mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio tΓͺm-se:
|π| = 3|οΏ½ΜοΏ½ππ ||πΌππ |
Assim:
|πΌππ | =|π|
3|οΏ½ΜοΏ½ππ |=
5,8 Γ 106
3 β (13,2 Γ 103 β3β )= 253,6842 π΄
Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:
οΏ½ΜοΏ½π = οΏ½ΜοΏ½ππ β (ππ + πππ
ππππ) πΌππ
=13,2 Γ 103
β3/0π β (π0,031)253,68/0π
= 7,621 Γ 103/β0,0591π ππ
Portanto, πΏ = β0,0591π.
O valor de πΈβ²π₯ππ pode ser obtido a partir de πΌππ π :
πΌππ π = ββ2πΌπ π ππ[πππ(0) β πππ£(0) β πΏ]
= ββ2|πΌππ |π ππ[0 β 0+0,0591π]
= ββ2(253,68)π ππ(0,0591π)
= β0,3702 π΄
Pode-se entΓ£o calcular:
πΈβ²π₯ππ =ππ
ππ[β2|οΏ½ΜοΏ½π| +
ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ
π ]
= β2(37,198) +ππ
ππ(ππ β ππ)πΌππ
π
= 52,605 ππ