manufactura cnc de su perficies ópticas correctoras

Man

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Estr

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TESIS

Manufactura CNCde superficies

pticascorrectoras

Juan Camilo Valencia Estrada

Centro de Investigaciones en Optica, A.C.

TESIS DOCTORAL

Asesor

Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez

Asesores internos y externos

Dr. Daniel Malacara Doblado Dr. Ricardo Benjamn Flores Hernndez Prof. Dr. Jorge Luis Garca Mrquez

Mesa de sinodales para el examen predoctoral

Dr. Ricardo Benjamn Flores Hernndez Dr. Daniel Malacara Doblado Dr. Zacaras Malacara Hernndez

Mesa de sinodales para el examen doctoral

Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez (Asesor de tesis Presidente)

Prof. Dr. Jos M. Sasin College of Optical Sciences (The University of Arizona) (Sinodal Externo Secretario)

Dr. Rafael Espinosa Luna (Sinodal Interno Vocal)

Tesis doctoral, Centro de Investigaciones en Optica, A.C. Manufactura CNC de superficies pticas correctoras

2015 Juan Camilo Valencia Estrada El diseo de de la portada fue realizado por Moxaika, con la intervencin de la Familia Chaparro-Romo. Las pinturas y las figuras fueron realizadas por el autor.

Captulo 11

MANUFACTURA CNC DE SUPERFICIES

PTICAS CORRECTORAS

Estudiante: MM. Juan Camilo Valencia Estrada

Asesor: Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez

DOCTORADO EN CIENCIAS (PTICA)

Noviembre de 2015

Len, Guanajuato, Mxico

Versin definitiva. Incluye cambios sugeridos por revisores

Captulo 12

Resumen: Sistema experto de alta resolucin para la manufactura controlada numricamente por computador (CNC) para el maquinado de superficies pticas correctoras con o sin simetra de rotacin. Algunas de las superficies pticas correctoras halladas corresponden a la solucin analtica (solucin eikonal) que permite corregir todos los rdenes de aberracin esfrica introducida por otra superficie ptica. Esta es la solucin a un antiguo problema planteado en la ptica geomtrica, conocido como el Problema de Wasserman-Wolf para sistemas pticos rotacionalmente simtricos que se componen de una nica lente (patente mexicana). Tambin se presentan las superficies pticas parastigmticas, que permiten corregir algunas formas de astigmatismo irregular con meridianos principales no-ortogonales, (patente mexicana), las cuales permiten mejorar la calidad de la visin humana. De forma novedosa se presentan las soluciones analticas para la curvatura en el vrtice c, la constante cnica K, y los coeficientes de deformacin C2j, de las mejores aproximaciones a la frmula de Schwarzschild:

22

22 2 21 1 (1 )

mj

b jj

crz = t C r

K c r =+ +

+ +

,

para los valos cartesianos y las superficies correctoras de la aberracin esfrica introducida por las superficies esfricas o planas que completan una lente sencilla. Se presentan todos los detalles tcnicos y tecnolgicos (mecnicos y electrnicos) requeridos para disear y construir mquinas CNC basadas en computadores personales, para mecanizado de lentes segn ISO 10110-12 (2007) con un proceso de interpolacin fina de una etapa, con un nico segmento con su offset, que permite lograr alta calidad superficial.

Captulo 13

Dedicatoria

A mi abuela Soledad, quien fue la primera persona en mi vida en ensearme para que sirve una lente:

... para que todos veamos mejor!

Captulo 14

Captulo 15

PRLOGO

Una de las personas que mas me han enseado en mi vida fue mi pariente Hernn

Trujillo Meja (2012 ), quien tal vez es la persona con ms conocimiento que he

conocido y que mejor me ha asesorado en toda mi vida. Hernn fue un lector

incansable. Hernn fue una caja de msica y de sorpresas, dominaba infinitas

disciplinas de fsica, matemticas e ingeniera con alto nivel, y a pesar de que fue

miembro de muchas salas de direccin general de algunas de las empresas ms

grandes de Colombia, sus decisiones siempre fueron tomadas con sentido humano y

responsabilidad social. Hernn fue la primera persona en intentar construir en

Colombia (1967) una mquina computarizada y fue quien me dio las pautas para

hacer mi primera mquina CNC cuando tena 19 aos. Ah comenz mi historia

diseando mquinas. Hernn escribi poesas y cortos ensayos como el siguiente:

EL CALEIDOSCOPIO

Yo no se si todo aquel que lea este ttulo sabr lo qu significa sta hermosa palabra. Y, de

pronto, tampoco s si conoce ese maravilloso instrumento que nos descrest en la niez y

que hoy parece olvidado. La palabra caleidoscopio viene del griego kals que significa

bello; eidos que significa imagen; y skopein que es observar y, apenas en el siglo XIX fue

introducida al idioma como: instrumento ptico de recreo.

Este instrumento ptico de recreo estaba fabricado con un tubo que en su extremo contena

algunos cristales diminutos de diversos colores suspendidos entre dos vidrios circulares que

los mantenan sometidos al extremo del cilindro. Dentro del cilindro estaban inscritos tres

espejos (en algunos casos cuatro o cinco) en donde se proyectaban simultneamente las

imgenes de los cristales produciendo espectaculares vivencias de simetra que cambiaban

Captulo 16

con el simple movimiento de girar el cilindro que estaba en nuestras manos. All,

comprobbamos que la simetra del universo llevaba en s misma toda la belleza. Era una

geometra intuitiva que se iba grabando en nuestra mente y que nos iba preparando para

admirar todos sus paisajes en forma comparativa! Pero nunca llegu a sospechar que en s

misma tuviera tanta sabidura!

Hoy miro la vida como si fuera un caleidoscopio, aunque nunca me ensearon a hacerlo.

Quisiera girarla para, de pronto, obtener muchas figuras de ella y aprender que, con solo

moverla en nuestras manos, aunque sea un solo grado, ya se nos presente con otra faceta tan

hermosa como las anteriores (o an mejor) y que nunca nos habamos imaginado que

encerrara tanta maravilla.

Cuando se miran los acontecimientos de la vida desde esta perspectiva, uno puede elegir el

que ms le gusta para construir su destino con estas hermosas simetras. Y se puede

asegurar, al pensar de esta manera, que la vida de cada persona tiene simetras maravillosas

diferentes a las de los otros, con lo cual se pueden entender las discrepancias que pudieran

llegar a tenerse con los dems. Cada cual tiene su manera de mirar la vida! Y cada cual la

configura de acuerdo a como mueve su propio caleidoscopio!

Que hermoso sera que todos los hombres mirramos nuestras relaciones de tal manera que

respetramos las otras perspectivas mostradas por cada personal simetra? En ese instante,

el hombre tratara de buscar en su propio caleidoscopio, es decir, en su propio entorno, esas

acciones que tanto lo motivan y tratara de compararlas y compartirlas con las personas ms

allegadas con el fin de formar universos llenos de hermosura que gratifiquen su existencia.

Cuanta enseanza se lograra si viviramos nuestra propia vida en concordancia y paz con

todo el entorno que nos fue dado? Definitivamente, la sabidura del vivir se encuentra

siempre en el enfoque que le demos a nuestra existencia.

Hernn Trujillo Meja, 2011

Captulo 17

Tabla de contenidos

Captulo 1 Introduccin 13

1.1 La tecnologa es un arte 15

1.2 La automatizacin en la industria ptica 24

Referencias 28

Captulo 2 Antecedentes 31

El viaje de mis genes 33

Referencias 41

Captulo 3 Fundamentos matemticos y procesamiento geomtrico 43

3.1 Representaciones matemticas de las superficies pticas 45

3.2 Continuidad y suavidad de las superficies pticas 47

3.3 Superficies pticas rotacionalmente simtricas

regulares e irregulares 48

3.4 Superficies pticas cncavas, convexas e inflexas 50

3.5 Representaciones de las superficies pticas

rotacionalmente simtricas 53

3.5.1 Representaciones explcitas 53

3.5.2 Representaciones implcitas 60

3.5.3 Representaciones paramtricas 63


no-rotacionalmente simtricas 65

3.6.1 Representaciones explcitas 65

3.6.2 Representaciones paramtricas 74

3.7 Mapeos 82

3.8 Superficies paralelas (offset) 91

3.8.1 Offset de una superficie rotacionalmente simtrica 91

3.8.2 Offset de una superficie no-rotacionalmente simtrica 97

Referencias 102

Captulo 18

Captulo 4 Catlogo de algunas superficies pticas especiales 107

4.1 Superficies pticas refractivas rotacionalmente simtricas

que presentan imagen sin aberracin esfrica: 109

Superficie 1: Esfricas refractivas para los puntos aplanticos 110

Superficie 2: Cnicas refractivas no-degeneradas I 111

Superficie 3: Cnicas refractivas no-degeneradas II 113

Superficie 4: valos cartesianos de revolucin 115

Superficie 5: Asfrica correctora de la aberracin esfrica

generada por una 1ra. superficie plana 118


generada por una 2da. superficie plana 121

Superficie 7: Asfrica focal correctora de la aberracin

esfrica generada por una 2da. superficie plana 124

Superficie 8: Asfrica focal correctora de la aberracin

esfrica generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 127

Superficie 9: Asfrica afocal correctora de la aberracin

esfrica generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 130


generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 133


generada por una 1ra. superficie esfrica convexa para

un objeto localizado a distancia finita e imagen en el infinito 138

4.2 Superficies pticas refractivas no-rotacionalmente simtricas 145

Superficie 12: Parastigmtica 146

Captulo 5 Fundamentos mecnicos 149

5.1 Criterios de diseo mecnico 151

5.1.1 Eleccin del sistema de coordenadas 151

5.1.2 Orientacin del sistema de coordenadas 152

5.1.3 Diseo de la sujecin y el accionamiento del material 153

5.1.4 Diseo de la sujecin y el accionamiento de la herramienta 155

5.1.5 Diseo de las partes estructurales 160

5.2 Aislamiento de las vibraciones 163

Captulo 19

5.3 Recomendaciones generales 165

Referencias 167

Captulo 6 Fundamentos electrnicos y elctricos 169

6.1 Criterios de diseo electrnico 171

6.2 Diseo arquitectnico 172

6.3 Diseo de los sistemas de medicin 177

6.4 Diseo de los sistemas de accionamiento 186

6.4.1 Motores de paso (stepping motors) 187

6.4.2 Servo-motores 202

6.4.3 Servomotores lineales 208

Referencias 213

Captulo 7 Fundamentos del software 217

7.1 Software requerido 219

7.2 Programacin manual y semi-automtica 224

7.3 Programacin automtica: GLADIS 224

Referencias 228

Captulo 8 Conclusiones 231

Apndice A (Publicacin realizada) 241

Publicacin: Representaciones explcitas de todas las interfaces pticas refractivas

que no introducen aberracin esfrica 243

1. Introduccin 244

2. Imagen perfecta 245

3. Soluciones analticas explcitas 251

4. Conclusiones 274

Referencias 275

Apndice B (Monografa y patente mexicana) 277

Monografa: Mtodo para disear y producir lentes sin aberracin esfrica 279

1. Marco de trabajo 285

2. Antecedentes 285

Captulo 110

3. Resumen del mtodo 349

4. Descripcin detallada del mtodo 351

5. Conclusin 510

Referencias 512

Apndice C (Publicacin realizada) 515

Publicacin: Lentes sencillas libres de todos los rdenes de aberracin esfrica 517

1. Introduccin 518

2. Modelo fsico-matemtico 520

3. Un ejemplo 529

4. Frmulas axiales para el fabricante de lentes gruesas 543

5. Soluciones con la frmula de Schwarzschild 546

6. Conclusin 558

Referencias 562

Apndice D (Publicacin realizada y patente mexicana) 567

Publicacin: Superficies y lentes parastigmticas 569

1. Introduccin 570

2. Nuestro propsito 577

3. Fundamentos matemticos 579

4. Superficies parastigmticas 591

5. Ejemplos 599

6. Conclusiones 610

Referencias 613

Apndice E (Publicacin en curso) 615

Monografa: Anlisis funcional de la aberracin de asfericidad longitudinal 617

Introduccin 618

Modelacin 618

1. Modelo fsico-matemtico 618

2. Apertura mxima para la radiacin incidente 619

3. Refraccin con n > 1 622

4. Trazado de rayos con n > 1 628

5. Trazado de rayos con n < 1 657

Captulo 111

Conclusin 699

Referencias 701

Apndice F (Dos publicaciones en curso) 703

Monografa: Lentes catadiptricas y monolticas, y mtodos para producirlas 705

1. Antecedentes 706

2. Introduccin 707

3. Anlisis preliminar 730

4. Descripcin detallada 734

5. Mtodos 781

6. Resumen 790

Referencias 792

Apndice G (Publicacin en curso) 795

Monografa: Frmula de Schwarzschild para los valos cartesianos 797

1. Introduccin 798

2. Representacin en series de potencias 799

3. Representacin de acuerdo con la frmula de Schwarzschild 809

4. Combinando representaciones 812

5. Resultados y conclusiones 814

Referencias 819

Anexos 821

a. Programa para disear una lente correctora

b. Verificacin usando OSLO

c. Programa para la generacin de cdigos G

d. Lista de publicaciones cientficas realizadas

e. Lista de publicaciones cientficas en proceso

f. Lista de patentes

g. Memorias en USB

Agradecimientos

Captulo 112

Captulo 113

Introduccin

1 Introduccin

"Older people sit down and ask, What is it?

but the boy asks, What can I do with it?"

Steve Jobs Octubre 9, 1984

New York

Captulo 114

Captulo 115

Colibr leo sobre lienzo

80 210 cm

1.1 La tecnologa es un arte

Una de las diferencias entre los seres humanos y los dems animales es su intensa

capacidad de crear, hacer y usar artefactos [1] para mejorar su existencia. Existen

muchas clases de artefactos (en latn: Artificium o arte de hecho, que resulta de la

fusin de art y factum) como las herramientas, los aparatos, las mquinas y los

instrumentos. Las mquinas constituyen la nica clase de artefactos que permite crear

nuevos artefactos y partes para otros artefactos, y los instrumentos constituyen la

nica clase de artefactos que permite medir la calidad de otros artefactos. Estas

caractersticas fundamentales de las mquinas y los instrumentos han permitido

aumentar el bienestar econmico de nuestra civilizacin, mediante la automatizacin

de la manufactura.

Captulo 116

Histricamente, la produccin de bienes de los seres humanos ha evolucionado desde

el trabajo manual al trabajo automtico, alcanzando altos niveles de produccin de

productos complejos con alta calidad. La Fig. 1 ilustra parte de esta evolucin [2].

Figura 1. Evolucin de la automatizacin en el proceso de torneado: (a) y (b) manual, (c) semiautomtica, (d) automtica con medicin externa, (e) automtica con medicin integrada.

El nivel ms alto de automatizacin de una mquina se obtiene cuando el control de

calidad del producto esta integrado en la misma mquina, permitiendo regular y

controlar el proceso mediante la retroalimentacin automtica de informacin.

Captulo 117

Cuando se usan mltiples mquinas para obtener un producto terminado, es posible

coordinar las funciones del grupo de mquinas, constituyendo una celda de

manufactura, que puede ser programada flexiblemente con rdenes de control en

clave.

Para automatizar una mquina se requiere siempre de un programa que puede ser fijo

o variable (flexible) [2]:

Cuando las caractersticas del producto a fabricar nunca o casi nunca cambian, es

conveniente automatizar una mquina con un programa fijo (programacin en

hardware) que puede ser una combinacin de diversas tecnologas:

Mecnicas (mediante mecanismos y sistemas de levas).

Elctricas (mediante el cableado de relevadores y contactores) o electrnicas

(circuitos impresos analgicos y/o digitales).

Usando autmatas o controladores lgicos programables (Programable Logic

Controller PLC).

Fludicas (mediante la conexin de vlvulas neumticas u oleohidrulicas).

Cuando las caractersticas del producto a fabricar cambian peridicamente, es

conveniente automatizar una mquina usando un programa flexible (programacin en

software) mediante rdenes de control en clave, grabadas en un medio de registro

como los tableros con clavijas, las cintas o tarjetas perforadas, cintas o discos

magnticos, discos pticos, o las memorias de estado slido; con instrucciones o

pasos escritos de acuerdo con un protocolo de comunicacin, en conformidad con

alguna norma o estndar privado o pblico.

Captulo 118

Actualmente, los fabricantes de maquinaria disean y programan flexiblemente sus

mquinas, para que operen con algn protocolo de comunicacin, con programas

escritos con caracteres o nmeros de control en clave (control numrico o Numerical

Control NC), usando caracteres o cdigos numricos de 4 u 8 bits (Fig. 2), mediante el

uso de una o ms computadoras especializadas o personales para su ejecucin y

control (control numrico computarizado o Computerized Numerical Control CNC),

que pueden ser ejecutados mediante procesos de compilacin o interpretacin en lnea

(on-line) con un computador personal, o fuera de lnea (off-line) con un computador

de procesos usando procesadores, microcontroladores y procesadores de seales

digitales (Digital Signal Processors DSP) con o sin coprocesadores matemticos y de

interpolacin [3, 4]) respectivamente.

(a) (b)

Nibble BCD Hex. Gray BCD

Gray 4 bits

0000 0 0 0 0 0001 1 1 0010 2 2 9 9 0011 3 3 E 0100 4 4 1 1 0101 5 5 2 2 0110 6 6 8 8 0111 7 7 3 3 1000 8 8 B 1001 9 9 C 1010 A A 1011 B D 1100 C 6 6 1101 D 5 5 1110 E 7 7 1111 F 4 4

Para completar los 8 bits se agrega un bit 0 al comienzo de cada caracter.

Figura 2. Cdigos de 4 bits (a), y de 7 u 8 bits ASCII para el intercambio de informacin (b).

000 001 010 011 100 101 110 111 Nibble Hex.

0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0 NULL DLE 0 @ P ` p 0001 1 SOH DC1 1 A Q a q 0010 2 STX DC2 " 2 B R b r 0011 3 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 5 ENQ NAK ! 5 E U e u 0110 6 ACK SYN & 6 F V f v 0111 7 BELL ETB 7 G W g w 1000 8 BS CAN ( 8 H X h x 1001 9 HT EM ) 9 I Y i y 1010 A LF SUB * : J Z j z 1011 B VT ESC + ; K [ k { 1100 C FF FS , < L \ l | 1101 D CR GS - = M ] m } 1110 E SO RS . > N ^ n ~ 1111 F SI US / ? O _ o DEL

Captulo 119

Desde un punto de vista constructivo, existen dos posibles arquitecturas para las

mquinas CNC: Cerrada o abierta. La arquitectura es cerrada cuando el estndar

utilizado para la programacin de una mquina est reservado solamente para el uso

del fabricante y su conocimiento no es de dominio pblico (cuando no hay

transferencia tecnolgica). La arquitectura es abierta cuando el lenguaje utilizado para

la programacin de una mquina esta de acuerdo o no, con una norma nacional (por

ejemplo, DIN 66025 [5], JIS, etc.) o internacional (por ejemplo, RS274D, ISO 6983-

1:2009 [6]) y es de dominio pblico (cuando hay transferencia tecnolgica).

Tambin, existen tres formas de programacin para las mquinas CNC: Manual,

automtica o semi-automtica. La programacin es manual cuando el programador

escribe el programa CNC instruccin por instruccin, es decir, cada segmento de la

trayectoria de la herramienta relativa a la pieza. La programacin es automtica

cuando un programa realizado por un sistema experto genera automticamente otro

programa CNC, con las rdenes de control en clave, que son de dos clases:

De movimiento (cdigos G que se muestran como ejemplo en la Tabla 1),

Tcnicas (cdigos M que se muestran como ejemplo en la Tabla 2),

de acuerdo con ciertos parmetros y variables de entrada que caracterizan al producto

que debe ser obtenido. Existen tambin mquinas con programacin semi-automtica

realizada por sistemas semi-expertos (CAM) donde a partir de un dibujo de la pieza

(CAD) y algunos parmetros tecnolgicos del proceso establecido por otro experto, se

genera el programa CNC.

Captulo 120

Tabla 1. Cdigos G para procesos de torneado en conformidad con la norma ISO 6893 o DIN 66025. Tomado del manual para torneado ISO (compatible) con CNC Sinumerik 840D 06/09 6FC5398-5BP10-1EA0. Esta tabla se parte en tres pginas consecutivas. Los grupos internos sirven para clasificar las rdenes de movimiento G (go en lengua inglesa):

...

Captulo 121

...

Captulo 122

Captulo 123

Tabla 2. Cdigos M para procesos de torneado en conformidad con la norma RS274D. Tomado del manual para torneado ISO (compatible) con CNC Haas 968700 AP:2012:

Captulo 124

1.2 La automatizacin en la industria ptica

La mayora de las mquinas CNC existentes en el mercado para la manufactura de

componentes pticas como lentes, prismas, rejillas de difraccin, etc., son

semiautomticas; sin embargo, existen muchas mquinas automticas, con control

fuera de lnea (off-line) o en lnea (in-line), con ejecucin interpretada o compilada,

con y sin medicin integrada, con arquitecturas abiertas o cerradas, y con

programacin manual, semi-automtica o automtica; pero la gran mayora tienen

control fuera de lnea, ejecucin interpretada, medicin externa, arquitectura cerrada,

y programacin automtica.

Como la mayora de la produccin ptica corresponde al rea oftlmica, la mayora de

los sistemas expertos comerciales estn desarrollados para procesos de torneado CNC,

usando herramientas de diamante natural o policristalino (Polycrystalline Diamond

PCD), de lentes plsticas para anteojos, lentes de contacto, lentes intraoculares (Intra-

Ocular Lenses IOL), esfricas y asfricas, rotacionalmente simtricas, no-

rotacionalmente simtricas y de forma libre (free-form [7] ) usando a veces un motor

piezoelctrico como eje Z redundante (Fast Tool Servo FTS [8] eje W como eje

paralelo al eje Z como se muestra en la Fig. 3). Tambin existen sistemas expertos para

uso interno de las plantas de produccin de muchos fabricantes de lentes, en especial

para la fabricacin de moldes de tefln (PolyTetraFluorEtileno PTFE) y metlicos

(acero inoxidable martensntico AISI 420 o aleaciones de nquel-fsforo), para

procesos de moldeo con o sin centrifugacin (spin casting).

Captulo 125

Figura 3. Sistemas de coordenadas para las mquinas CNC. En conformidad con la norma ISO los ejes lineales cartesianos de una mquina CNC corresponden a los ejes X, Y, y Z y se asigna el eje Z al eje con la direccin con ms potencia elctrica, que generalmente corresponde al eje de giro del cabezal (husillo). El plano X-Y generalmente est en plano horizontal, pero hay mquinas con bancada inclinada (slant bed) o vertical. Las mquinas generadoras y pulidoras de lentes (a) generalmente tienen el plano X-Y en posicin horizontal para favorecer la retencin del refrigerante o los lquidos abrasivos (abrasive slurring). Los tornos CNC (b) para el mecanizado de lentes plsticas tambin tienen usualmente el plano X-Z en posicin horizontal para maximizar la rigidez. Algunos buenos tornos CNC como los de la compaa mexicana AUGEN pticos de Ensenada BC, tiene bancada principal de aluminio (plano X-Z) en configuracin invertida con el eje Y hacia abajo, para facilitar la evacuacin de viruta con su cada por gravedad, sacrificando su rigidez. Para el mecanizado de superficies pticas no-rotacionalmente simtricas se usa usualmente un eje W (FTS) que coincide con el eje del husillo y est contenido en el mismo o en la boquilla (collets), y tiene baja inercia para poder acelerar y desacelerar rpidamente y posicionarse como funcin de la posicin angular del husillo (eje C), en un sistema de coordenadas cilndrico equivalente (x, z, )=(X/2, W, C). Tambin existen mquinas pulidoras y generadoras con ejes angulares paralelos (D, E y H), no mostrados en la figura, para facilitar la localizacin de los bonnets tratando de que su eje de giro est siempre normal a la superficie. Tambin existen sistemas expertos para procesos de generado CNC convencional o

ultrasnico. Para estos se usan copas y discos de diamante, para el maquinado de

lentes de vidrio o plsticas, substratos para espejos. Tambin se manufacturan insertos

de carburo de tungsteno y nquel-fsforo para los moldes de inyeccin-compresin de

Captulo 126

componentes pticas de vidrio o plstico. Para el torneado CNC de espejos metlicos

esfricos y asfricos, se usan buriles de carburo de tungsteno, cermica, cermet

(cermica-metal) y diamante, que se describen casi siempre con la norma ISO

10110.12:2007.

Tambin existen sistemas expertos para procesos de micro y nano-mecanizado [9]

(Fig. 4), para el pulimento CNC de superficies pticas, usando herramientas

especializadas (bonnets, cintas abrasivas, etc.), especialmente para el pulido de lentes

de vidrio y espejos metlicos, que se regulan y controlan usando tcnicas de medicin

directas y/o indirectas.

Con el desarrollo de los procesadores de alta velocidad de cmputo y el desarrollo de

los programas matemticos que usan lgebra simblica (Mathematica, Maple,

Derive, Matlab, etc.), han surgido nuevos diseos de lentes correctoras, algunos

presentados en esta tesis, con nuevas superficies correctoras de alto grado, que para

ser fabricadas con alta calidad, requieren de mquinas con alta rigidez dimensional,

controles numricos computarizados basados en PC o integrados, con altas

frecuencias de interpolacin lineal, permitiendo alcanzar altas velocidades de

posicionamiento rpido de hasta 100 metros/min, con mejores tcnicas de

procesamiento geomtrico (segmentacin e interpolacin) usando funciones de orden

superior como los splines [3], que permiten reducir el tamao de los programas y

obtener buena calidad superficial, permitiendo maquinar superficies pticas con

pequeos errores de forma y mnima rugosidad media (RMS), alcanzando valores

inferiores a 20 nm [9], siempre con alta eficiencia energtica, para lograr a veces un

corte espejo con la mejor calidad posible, minimizando el pulimento posterior, que

generalmente es mas difcil de controlar.

Captulo 127

Figura 4. Clasificacin de los procesos de micro y nano-maquinado (Micro Nano Machining NMN) y micro y nano acabado (Micro Nano Finishing NNF):

USM: Ultra-Sonic Machining. EBM: Electron Beam Machining.

AJM: Abrasive Jet Machining. LBM: Laser Beam Machining.

AWJM: Abrasive Water Jet Machining. EDM: Electro Discharge Machining.

CMP: Chemo-Mechanical Polishing. IBM: Ion Beam Machining.

MAF: Magnetic Abrasive Finishing. PBM: Photon Beam Machining.

MRAFF: Magneto-Rheological Abrasive Flow Finishing

PCMM: Photo Chemical Micro-Machining.

MRF: Magneto-Rheological Finishing. ECMM: Electro Chemical Micro-Machining.

MFP: Magnetic Float Polishing. ECSMM: Electro Chemical Spark Micro-Machining.

EEM: Elastic Emission Machining. EDG: Electro Discharge Grinding.

WJM: Water-Jet Machining. ELID: ELectrolytic In-process Dressing.

Captulo 128

Referencias

1. Rodrguez-Garca A. 2003 Artefactos: diseo conceptual. Fondo Editorial Universidad Eafit. (ISBN: 958-8173-31-0)

2. Weck M, Brecher C. 2006 Werkzeugmaschinen 4Automatisierung von Maschinen und

Anlagen. (ISBN 978-3-540-45366-6)

3. Bedi S, Ali I, Quan N. 1993 Advanced interpolation techniques for NC machines. Journal of Manufacturing Science and Eng. 115-3, 329-336. (doi:10.1115/1.2901668)

4. Suk-Hwan S, et al. 2008 Theory and design of CNC systems. Springer. (ISBN 978-1-84800-

336-1)

5. Norm DIN 66025-2 Industrielle Automation; Programmaufbau fr numerisch gesteuerte Arbeitsmaschinen; Wegbedingungen und Zusatzfunktionen Ausgabedatum: 1988-09.

6. Standard ISO 6983-1: 2009 Automation systems and integration - Numerical control of

machines - Program format and definitions of address words Part 1: data format for positioning, line motion and contouring control systems.

7. Hu Y, et al. 2014 An accurate interpolator for FTS diamond turning of optical free-form

surface. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 1-4. (doi:10.1007/s00170-014-5856-x)

8. Dow TA, Miller MH.; Falter PJ. 1991 Application of a fast tool servo for diamond turning of

nonrotationally symmetric surfaces. Precision Engineering. 13-4, 243-250. (doi: 10.1016/ 0141- 6359(91)90001-Y)

9. Jain VK. 2009 Magnetic field assisted abrasive based micro-/nano-finishing. Journal of

Materials Processing Technology. 209-20, 6022-6038. (doi:10.1016/j.jmatprotec.2009. 08.015)

Captulo 129

Captulo 130

Captulo 231

Antecedentes

2 Antecedentes "My grandfather once told me that there were two kinds of people,

those who do the work, and those who take the credit.

He told me to try to be in the first group, since not only do things get balanced,

but there is much less competition."

Indira Gandhi

Febrero 8, 1959

The Times of India

Captulo 232

Captulo 233

Sol mexicano leo sobre lienzo

Seccin 90 40 cm

El viaje de mis genes

Los seres humanos no elegimos ni el lugar ni el tiempo en que nacimos, ni tampoco

elegimos a nuestros ancestros (aunque la religin hinduista predica lo contrario), y a

veces a nuestros profesores, y en algunas ocasiones contamos con la buena fortuna de

amar lo que ellos hacen o hicieron. Para mi caso particular mis ancestros han sido tres

generaciones de profesores, ingenieros pticos, optmetras y mdicos oftalmlogos,

colombianos, alemanes y mexicanos. De ellos he aprendido muchas cosas, pero de

algunos la ms importante ha sido su extraordinaria capacidad de trabajar.

Adicionalmente, como ingeniero de produccin de la Universidad EAFIT (1987),

experto en manufactura y educado para aprender, he tenido la oportunidad de adquirir

Captulo 234

conocimientos, a veces ajenos a mi formacin acadmica y profesional, de otras

disciplinas de ingeniera, fsica y medicina, como: Materiales, mecnica, electrnica,

elctrica, mecatrnica, biomdica, informtica, sistemas, matemticas, optometra,

oftalmologa y biologa computacional.

Con el conocimiento adquirido en mi formacin de licenciatura y mi entorno

familiar, dise y constru totalmente un torno CNC en coordenadas polares

( C, r, , ) = ( C, R, B, Z ) para el torneado de curvas base cncavas de lentes de

contacto [10 ], para obtener mi grado de ingeniero.

Para el torno CNC se usaron dos motores de paso de 200 pasos/revolucin manejados

con dos transladores (translators) con resolucin de medio paso (half step) de

Superior Electric Corporation, accionando un carro radial con eje de desplazamiento

R y con deslizamiento hidrodinmico sobre una gua prismtica en acero AISI D2,

mediante un sistema de transmisin para convertir el movimiento rotacional del motor

a lineal, usando poleas y bandas sincrnicas (Gates-Uniroyal ) de la serie MXL y un

tornillo rectificado inoxidable de acero AISI 420 de rosca ACME de 20 NC, con

doble tuerca precargada de Turcite. El eje angular B fue accionado usando una

reduccin de 1:127, usando bandas y poleas sincrnicas de la serie XL y MXL. El

brazo angular construido en fundicin gris G25 fue pivotado usando rodamientos de

bolas de contacto angular y de agujas debidamente precargados. Todo el sistema polar

( R, B ) fue anclado sobre un carro con deslizamiento hidrodinmico que permita

desplazar, en la direccin del eje Z, el centro polar sobre el eje del husillo, con un

posicionamiento manual usando un comparador de cartula Mitutoyo con resolucin

de 0.001 mm. El husillo rectificado y balanceado fue diseado con un dimetro

exterior estndar de 44 mm y estaba soportado por una estructura hueca de fundicin

Captulo 235

gris anclada sobre una bancada plana de acero AISI 1045. Para el deslizamiento

rotacional por rodadura del rotor hueco del husillo se usaron dos rodamientos de

contacto angular FAG con disposicin en O debidamente precargados, usando

lubricacin de por vida con grasa blanca de litio SKF. El paralelismo de 0.001 mm

del eje del husillo con el plano de la bancada se logr en el proceso de mecanizado

(alineacin por construccin). Se mecanizaron botones (buttons) comerciales de

copolmeros de Poly-Metil-Metacrilato: PMMA modificado con ndice de refraccin

1.4875, Fluro-Carbn-Acrilato ( Itafocon A Boston II ) con ndice de refraccin

1.4710, y 2-Hidroxi-Etil-MetAcrilato (HEMA) para lentes blandas con ndice de

refraccin 1.4505 en estado seco, usualmente de 1/2 de dimetro por 3/16 o 1/4 de

espesor. Para la sujecin y rotacin (eje C ) de los botones se utiliz un sistema

automtico de carga y descarga con cargador y boquilla (en acero aleado al

manganeso AISI 8620, cementado, templado y revenido con llama), con el husillo

accionado por un motor monofsico que inclusive no se necesitaba apagar y encender

entre ciclos (carga y descarga al vuelo), alcanzando velocidades de hasta 3850 rpm,

mediante una transmisin usando una banda de seccin circular de Polycord de la

compaa sueca Habasit de 6 mm de dimetro. El porta-herramientas dispuesto

sobre el carro radial permita montar un buril en V de diamante natural o

policristalino (Poly-Crystalline Diamond PCD) o de acero rpido HSS (High Speed

Steel) aleado con cobalto, con ajuste fino de la altura y sin ngulo de ataque,

logrndose un corte continuo con un acabado superficial de una rugosidad media de

0.0027 mm.

Para el control numrico de la mquina se us como interfaz con el operador un

computador personal (Personal Computer PC) modelo III de Radio Shack construido

con un procesador Z80 de la compaa alemana Zilog, con 64K de memoria y dos

Captulo 236

unidades de discos floppy de 5 . Se desarrollaron programas interpretados de alto

nivel (BASIC) y bajo nivel (Z80 Assembler de Avocet Systems ). Para la ejecucin

del control numrico de la mquina se dise y construy un computador de procesos

con un bus especializado, sobre el cual se conectaron seis tarjetas. Las tarjetas tenan

las siguientes especificaciones individuales:

1. Procesador Z80 a 4 MHz con buffers para amplificacin de potencia de los buses

de datos y direcciones.

2. 8K de memoria ROM y 56K de memoria RAM.

3. Puerto paralelo usando buffers 74ls244 y 74ls245 para los pulsadores, lmites de

carrera y puntos de referencia de cada eje automtico.

4. Puerto serial para la comunicacin con el computador personal con el estndar

RS232C con comunicacin asincrnica de 9600 baudios de 8 bits, 1 stop bit y sin

paridad, usando un USART 8251 de Intel.

5. Tres timers programables 8254 de Intel con resolucin de 16 bits, conectados en

cascada de 2 en 2, para la generacin y el conteo de pulsos.

6. Quemador de memorias EPROM y E2PROM.

Se verificaron los datos recibidos y enviados para el monitoreo de la mquina, con

estndar RS232C, usando el computador personal como terminal del computador de

procesos. El programa de control numrico en el PC generaba una tabla de datos o

nmeros de control en clave para cada diseo, que era almacenada en memoria,

diferenciando las rdenes de movimiento de las rdenes tcnicas (encendido del

husillo, activacin del aire refrigerante, etc.). La tabla tena informacin de los

desplazamientos relativos de cada eje: el nmero de pulsos de cada segmento para el

conteo de pulsos (usando interrupciones en el computador de procesos), el sentido de

Captulo 237

giro (Clock-Wise/Counter-Clock-Wise CW/CCW) y el divisor de frecuencia (con 2

bytes msb:lsb para comandar la velocidad angular de los motores de paso usando los

transladores). Cuando era requerido, la tabla era enviada serialmente al computador de

procesos para ser ejecutada y monitoreada por el computador personal.

Todo el software de bajo nivel para el computador de procesos fue desarrollado,

incluyendo su sistema operacional como debug para recibir, ejecutar y depurar el

programa en RAM antes de quemar el programa final en ROM, usando el teclado y la

pantalla del PC como terminal del computador de procesos.

Para el proceso de control se desarroll un modelo matemtico totalmente a mano sin

la ayuda de programas de algebra simblica, que permita especificar la zona ptica

de la curva base con diferentes geometras: Esfrica, parablica, elptica, hiperblica y

oval; con una zona perifrica toroidal y acoplamiento tambin toroidal con la zona

ptica (blend), tanto para lentes duras como para lentes blandas. En las lentes blandas

se tena en cuenta la expansin anistropa del material en el post-proceso debida a la

absorcin de solucin salina isotnica estril al 0.9% de cloruro de sodio. Con la

informacin geomtrica, el programa de alto nivel segmentaba linealmente la

trayectoria de la herramienta relativa al botn (interpolacin espiral en el plano

meridional R-B), en una sola etapa para maximizar la calidad del acabado superficial.

Todo el proceso de generacin de la tabla de nmeros de control en clave requera de

aproximadamente 45 segundos y se transmita serialmente al computador de procesos

aproximadamente en dos minutos. Una vez que el computador de procesos reciba la

informacin, no era necesario mantener la comunicacin con el PC (off-line CNC).

Captulo 238

Para el pulimento de estas superficies asfero-lenticulares se usaron bonnets elsticos,

construidos con globos inflables de ltex, inflados con agua, y recubiertos con un

parche circular de tela de algodn con tejido plano, con un lacrado (pitch) y

resquebrajado del mismo para formar casquetes de pitch en la celdas del tejido, de

forma semejante a los casquetes de un baln de futbol. El pulido se lograba

rpidamente sin mucha distorsin entre uno y tres minutos, usando una solucin

abrasiva (abrasive slurring) con una mezcla de varios polvos abrasivos comerciales,

generalmente de xidos de circonio ZrO2 y almina Al2O3, de las compaas

Universal y Silvo, disueltos en agua filtrada. La calidad de la superficie se

verificaba usando un radioscopio Neitz y un queratmetro B&L (con un ndice

queratomtrico estndar de n = 1.4875) usando un sistema de proyeccin de una

franja de luz blanca delgada que provena una rendija iluminada con una lmpara

fluorescente comercial y un soporte especial colocado en el punto de anclaje de la

mentonera del queratmetro (Lenticn ) para sujetar los botones mecanizados sin

esfuerzos (stress).

Posteriormente trabaj en la empresa Microln como director tcnico (1990-1997),

pero en 1991 debido a la crisis de la industria de lentes de contacto generada por la

guerra de mercados de las grandes multinacionales (B&L, Jhonson&Jhonson, Ciba

Vision, etc.) que producan y regalaban muestras de lentes de contacto desechables,

fabricadas con tcnicas masivas de produccin sin arranque de viruta usando procesos

de spin casting [11] y moldeo por inyeccin-compresin [12], redirig mi trabajo al

diseo y construccin de mquinas CNC para otros procesos de manufactura,

especialmente para procesos de doblado de alambre, y al diseo y la fabricacin de

mas de 200 moldes para la inyeccin de plsticos y metales, algunos con inyeccin en

colada caliente usando torpedos (DME ), refrigeracin forzada con tubos de calor e

Captulo 239

insertos machos con incrustaciones de cobre-berilio para maximizar la transferencia

de calor.

En el ao 1997 la economa colombiana entr en una severa crisis como consecuencia

de la guerra contra el estado instituida por el narcotrfico. El 75% de las empresas

colombianas cerraron o quebraron. A partir de esa fecha la empresa Microln fue

anexada a la compaa productora de envases farmacuticos C.I. Farmaplast para la

exportacin a los EEUU, la cual subsiste actualmente, y trabaj dirigiendo proyectos

de reconversin industrial de mucha maquinaria usada en la Universidad EAFIT.

Tambin me dediqu al trabajo acadmico en varias universidades colombianas como

profesor de ctedra en diversos programas de ingeniera, impartiendo clases de

diversas asignaturas: Diseo conceptual, diseo metdico, diseo mecatrnico,

circuitos elctricos, matemticas, etc.

En el ao 2005 me vincul como profesor de tiempo completo en la Escuela de

Ingeniera de Antioquia para promover y desarrollar el primer programa de

ingeniera mecatrnica en el departamento de Antioquia. All tuve la oportunidad de

dirigir el proceso de diseo y construccin de los nuevos laboratorios requeridos para

los cursos de las asignaturas propuestas. Los directivos de la universidad, como

premio a mi trabajo, me otorgaron una beca para estudiar una maestra en cualquier

universidad colombiana. En el ao 2007 me matricul en el programa de maestra en

matemticas aplicadas de la Universidad EAFIT, mi alma Mater, obteniendo el

grado en el ao 2009 desarrollando un modelo matemtico de regresin y correlacin

de superficies pticas con aplicacin a la informacin grfica suministrada por los

topgrafos cornales [13]; y paralelamente, en compaa del Dr. en Ingeniera de

Materiales en la Universidad Autnoma de Nuevo Len (UANL ) y maestro en

Captulo 240

matemticas aplicadas lvaro Bedoya Calle, desarrollamos la modelacin matemtica

para describir analticamente el offset de las curvas cnicas [14] y la modelacin de

todas la lentes posibles de fabricar con superficies que no introducen aberracin

esfrica, describiendo todas las superficies ovales cartesianas de revolucin con

funciones explcitas en un sistema de coordenadas cilndrico, trabajo que actualmente

se encuentra en anlisis de fondo en la solicitud de patente ante el Instituto Mexicano

de la Propiedad Industrial (IMPI ) en Mxico [15].

Figura 5. Topografa sagital (meridional) corneal simulada de un astigmatismo irregular con meridianos principales no ortogonales con parastigmatismo .

En el ao 2010, tuve la oportunidad de presentarle mi trabajo en ptica desarrollado

en Colombia a mi actual asesor Prof. Dr. Daniel Malacara-Hernndez, para poder

ingresar al programa de Doctorado en Ciencias (ptica) en el Centro de

Investigaciones en Optica A.C., al cual fu aceptado como becario del Consejo

Nacional de Ciencia y Tecnologa (Conacyt) de Mxico, donde he tenido la fortuna

Captulo 241

de aprender a disear sistemas pticos ms complejos y a desarrollar varios trabajos

como el que se muestra en la Fig. 5 que actualmente se encuentran patentados [16-18]

y que son parte vital de este trabajo de grado.

Referencias

10. Valencia-Estrada JC. 1987 Torno CNC en coordenadas polares para la fabricacin de lentes de contacto. Tesis para obtener el grado en Ingeniera de Produccin. Universidad EAFIT.

11. Wichterle O. 1968 Method for centrifugal casting a contact lens. U.S. Patent No 3,408,429,

29 Oct.

12. Asami H, Nishimoto T, Saito K. 1999 Injection compression molding method of a spectacle lens and a spectacle lens produced by using the same. U.S. Patent No 5,972,252, 26 Oct. 1.

13. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2013 Regresin y correlacin de superficies pticas

de revolucin en forma cannica conocidos los radios de curvatura. Revista EIA 6-12, 91-111. ( ISSN 1794-1237)

14. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2008 Curvas paralelas explcitas de las curvas

cnicas no degeneradas para el torneado CNC de lentes y espejos asfrico-cnicos. Revista EIA 10, 31-43. ( ISSN 1794-1237)

15. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2012 Lentes asfricas ovales. Patente mexicana

pendiente, MX 2012/010025, Agosto 30.

16. Valencia-Estrada JC, Malacara-Doblado D. 2011 Mtodo para producir superfcies y lentes parastigmticas, Patente mexicana. Pub. WO/2013/089548, Solicitud Internacional: PCT/MX2012/000127. Prioridad: PCT/MX/a/2011/013929, Diciembre 16.

17. Valencia-Estrada JC, Flores-Hernndez RB. 2012 Lentes correctoras y mtodo para

producirlas con cero aberracin esfrica. Patente mexicana. Pub. WO/2014/077669 A1. Solicitud internacional: PCT/MX2013/000141 Prioridad: PCT/MX/a/2012/013376, Noviembre 16.

18. http://patentscope.wipo.int/

Captulo 242

Captulo 343

Fundamentos matemticos y

Procesamiento geomtrico Funadamentos matemticos

Do what you can, with what you have, where you are,

and you will be what you had always wanted to be

3 Squire Bill Widener of Wideners Valley, Virginia

Theodore Roosevelt: An Autobiography Chapter IX

Captulo 344

Captulo 345

Girasoles con chile leo sobre lienzo

90 210 cm

3.1 Representaciones matemticas

de las superficies pticas

En la ptica, las superficies en 3 se pueden describir matemticamente usando

diferentes sistemas de coordenadas, pero el ms usado es un sistema de coordenadas

cilndrico (r,, z). Si las superficies son geometras de revolucin (rotacionalmente

simtricas), la descripcin se puede simplificar con una representacin en un sistema

de coordenadas en 2 con (r, z), ya que siempre se desaparece en el proceso de

simplificacin. La descripcin en 2 corresponde a la generatriz de la superficie de

Captulo 346

revolucin en cualquier plano meridional, con el eje del cilindro correspondiente al

eje z (eje ptico). En este trabajo, de ahora en adelante, una superficie usada como

interfaz ptica ser denominada simplemente como superficie ptica.

En este documento se usa, por convencin, la variable x para la abscisa cilndrica, en

lugar de las variables S, r o r comnmente usadas en la literatura cientfica, y la

variable z para la correspondiente ordenada, aceptando la norma internacional ISO

R841 o DIN66217 para la nomenclatura de los ejes de una mquina CNC. Es muy

comn encontrar en la literatura cientfica notaciones diferentes usando los mismos

sistemas de coordenadas, por ejemplo (r, z), (r, z), (S, z) y (y, z), en lugar de (x, z),

especialmente cuando se describen las aberraciones. Algunos apndices y anexos de

esta tesis, que corresponden a documentos publicados (artculos y patentes) mantienen

la nomenclatura constante, en conformidad con el estndar recomendado por la

American Mathematical Society (AMS), usando un sistema de coordenadas (r, z), el

cual no esta en conformidad con la norma ISO R841, que usa (x, z).

Las superficies pticas rotacionalmente simtricas tambin se pueden describir usando

tres representaciones diferentes:

Implcita: 0F(x,z) = , (3.1)

Explcita: z f (x)

x = g(z)

=, (3.2)

Paramtrica o vectorial: z f (t)

x g(t)

= =

, con parmetro t. (3.3)

Captulo 347

Dependiendo del tipo de superficie ptica y su uso en ingeniera ptica se debe elegir

la representacin apropiada, considerando que no siempre es posible obtener una

representacin explcita, la cual puede facilitar el clculo de los espesores de los

espejos o las lentes. Si se usa una representacin paramtrica dependiente del tiempo

t, el clculo de la velocidad es inmediato con vx=dx / dt y vz=dz / dt, representacin

particularmente til para la fabricacin, usando mquinas CNC, donde por ejemplo

(en el plano x-z), el avance (feed) x zF es fcilmente calculado con

2 2

x z

dx dzF

dt dt = +

. (3.4)

3.2 Continuidad y suavidad de las superficies pticas

No siempre las superficies pticas rotacionalmente simtricas son continuas y suaves.

Algunos ejemplos de estas son los axicons o axiconos, las superficies lenticulares con

o sin acoplamiento continuo en los sectores de transicin, usadas en casi todas las

lentes de contacto blandas o duras de alto poder refractivo, y las superficies de forma

libre usando splines que pueden ser continuas pero no siempre suaves.

La definicin matemtica de continuidad establece que una funcin :f x z es

continua en el punto x0 si:

0f (x )est definida, de modo que x0 est en el dominio de f.

0

limx x

f (x)

existe para x en el dominio de f.

Si 0

0limx x

f (x)= f (x )

y 0

0limx x

f (x)= f (x )+

, entonces 0

0limx xf (x)= f (x )

.

Captulo 348

Es importante mencionar que una funcin tambin puede ser suave, si esta tiene todas

sus derivadas continuas sobre algn dominio, en el intervalo abierto (a, b) o cerrado

[a, b], hasta un orden deseado, dependiendo del problema particular.

3.3 Superficies pticas rotacionalmente simtricas

regulares e irregulares

Usando algunos conceptos que se usan para el anlisis de funciones, un parche de una

superficie ptica rotacionalmente simtrica es analtico o regular si este tiene todas

sus derivadas de todos los rdenes, permitiendo expandir la funcin explcita usando

series de Taylor en la vecindad de cualquier punto, perteneciente al parche, con

abscisa meridional a, mediante

[ ]

(3)2 3

0

1

0

0

( )+ ( ) ( ) ,2! 3!

( ) ,!

1 / ( ) ( ) ,

( ) ,

(j)j

j

j

j

jj

j

f (a) f (a)z = f (x) f (a)+ f (a) x a x a x a

f (a)x a

j

f ( a ) x a

C x a

=

=

=

= + +

=

=

=

z (3.5)

donde Z-1 corresponde a la transformada Z inversa de la funcin evaluada en 1/(za).

Y en la vecindad del origen (vrtice central) corresponde a una serie de Maclaurin par

cuando a = 0, mediante

Captulo 349

[ ]

(4)2 4

22

0

1 2

0

22

0

0 00 + ,

2! 4!

0,

(2 )!

1 / ,

,

( j)j

j

j

j

jj

j

f ( ) f ( )z = f (x) f ( ) x x

f ( )x

j

f ( ) x

C x

=

=

=

= + +

=

=

=

z

(3.6)

donde Z-1 corresponde a la transformada Z inversa de la funcin evaluada en 1/z.

Un parche de una superficie ptica es irregular o meromorfo (del Griego

mxroz (meros), significando "parte" + morjh (morphe) significando "forma") si su

representacin explcita es una funcin analtica con un subconjunto discreto de sus

puntos de su dominio D que no lo son, y en estas singularidades (agujeros) su

evaluacin tiende a infinito. Intuitivamente, una funcin meromorfa es un cociente de

dos funciones holomorfas (del Griego oloz (holos) significando "toda" + zorjh

(morphe), significando "forma"). Una funcin holomorfa tambin es sinnimo de

funcin regular o funcin diferenciable o conjunto sin agujeros en un dominio D, que

cuando es un sector de una superficie es conocido con el nombre de parche regular.

Por ejemplo, las funciones de curvatura meridionales1 (sagitales) de muchas

superficies pticas son funciones irregulares o meromorfas en el vrtice, dependiendo

del sistema de coordenadas utilizado y del dominio considerado.

Resumiendo, en un sistema de coordenadas, si todos los parches de una superficie

ptica son regulares u holomorfos, entonces la superficie es regular u holomorfa. Por

1 Corresponde a una curvatura principal, si la superficie es un parche de una superficie rotacionalmente simtrica.

Captulo 350

lo contrario, si al menos un parche de una superficie ptica es meromorfo, entonces la

superficie ptica es meromorfa.

Existen muchas superficies pticas regulares e irregulares. Dependiendo de estas

propiedades es posible realizar algunos clculos especiales y tomar algunas

precauciones, para que el sistema de control de la mquina CNC no caiga en estos

agujeros negros cuando se disea y ejecuta el software.

3.4 Superficies pticas cncavas, convexas e inflexas

Desde un punto de vista topolgico, las superficies pticas pueden ser clasificadas en

uno de los siguientes tipos:

Cncava: Una superficie ptica es cncava cuando dados dos puntos cualesquiera

de la superficie, el segmento o cuerda que los une siempre queda por fuera con

relacin al observador. Las superficies pticas cncavas requieren estrategias de

maquinado especiales y generalmente 2 son las primeras superficies mecanizadas de

una lente, ya que estn autoprotegidas de los rayados accidentales y la

contaminacin. Hacen parte de muchas superficies pticas de las lentes para

anteojo (superficie posterior) y de algunas lentes de contacto (curva base o

posterior). En los instrumentos pticos las superficies cncavas hacen parte de

todas las lentes negativas (con poder o potencia negativa) correspondientes a

distancias focales efectivas negativas. Tambin hacen parte de muchas lentes

2 En las lentes oftlmicas para anteojos generalmente es la segunda superficie mecanizada segn prescripcin ya que la base generalmente es la superficie anterior convexa mecanizada de fbrica.

Captulo 351

menisco (cncava-convexas o convexo-cncavas) que pueden ser refractivamente

positivas o negativas. Con nuestro sistema de coordenadas cilndrico y nuestras

convenciones, la generatriz, con vrtice en el origen, siempre tiene representacin

en el primer semiplano (cuadrantes I y II de la mquina CNC), es decir, siempre

z(x) 0. Las superficies cncavas rotacionalmente simtricas se caracterizan

porque su primera derivada tiene un nico punto mnimo, es decir dz / dx = 0 tiene

una nica solucin analtica para x = 0, donde la segunda derivada satisface

d2z / dx2 |x= 0 > 0.

Convexa: Una superficie ptica es convexa cuando dados dos puntos cualesquiera

de la superficie, el segmento o cuerda que los une siempre queda por dentro con

relacin al observador. Las superficies pticas convexas tambin requieren

estrategias de maquinado especiales y generalmente no son las primeras superficies

mecanizadas de una lente, ya que se pueden rayar fcilmente. Hacen parte de las

superficies pticas de muchas lentes para anteojo (superficie anterior o base), de

las lentes de contacto sencillas (curva anterior) y de las lentes intraoculares no

difractivas (ambas superficies). En los instrumentos pticos las superficies

convexas hacen parte de todas las lentes positivas (con poder o potencia positiva)

correspondientes a distancias focales efectivas positivas. Tambin hacen parte de

muchas lentes menisco (cncava-convexas o convexo-cncavas) que pueden ser

refractivamente positivas o negativas. Con nuestro sistema de coordenadas

cilndrico y nuestras convenciones para una mquina CNC, la generatriz de una

superficie anterior de una lente, con vrtice en el origen, siempre tiene

representacin en el segundo semiplano (cuadrantes III y IV de la mquina CNC),

es decir, siempre z(x) 0. Las superficies convexas rotacionalmente simtricas se

caracterizan porque su primera derivada tiene un nico punto mnimo, es decir,

Captulo 352

dz / dx=0 tiene una nica solucin analtica para x = 0, donde la segunda derivada es

d2z / dx2 |x= 0 < 0.

Inflexa: Una superficie ptica es inflexa cuando dados dos puntos cualesquiera de

la superficie, el segmento o cuerda que los une puede quedar con tramos por fuera

y por dentro con relacin al observador. Las superficies pticas inflexas tambin

requieren estrategias de maquinado especiales. Hacen parte de las superficies

pticas de muchas lentes asfricas (no-esfricas) y/o lenticulares (con

representaciones por tramos o parches), especialmente en algunas interfaces

rotacionalmente simtricas con una seccin meridional que corresponde a dos tipos

de valos cartesianos cuando los planos conjugados son real|virtual o virtual|real, y

en las superficies correctoras de aberraciones especficas. Tambin en los

telescopios se utilizan en algunas placas correctoras que son inflexas, por ejemplo

las placas correctoras de Schmidt. Con nuestro sistema de coordenadas cilndrico y

nuestras convenciones para una mquina CNC, la generatriz, con vrtice en el

origen, puede tener representacin en todo el plano (cuadrantes I, II, III y IV de la

mquina CNC), pero algunas veces se comportan como si fuesen cncavas con

z(x) 0 y otras veces como si fuesen convexas con z(x) 0. Las superficies

rotacionalmente simtricas e inflexas se caracterizan porque su primera derivada de

la representacin meridional tiene puntos de inflexin, es decir, dz / dx = 0 tiene

solucin analtica para x = 0 y en un nmero par de puntos crticos xc 0 de la

generatriz puesto que es una funcin par, donde la segunda derivada se hace

tambin nula d 2z / dx2 |x= 0 = 0.

Es importante resaltar, que cuando la superficie es rotacionalmente simtrica e

inflexa, esta puede tambin contener lneas anulares concntricas con el eje ptico

Captulo 353

y pendiente nula en el plano meridional, correspondientes a un punto crtico

mximo o mnimo local de la generatriz, segn el criterio de la segunda derivada.

Tambin las superficies lenticulares pueden ser inflexas, las cuales siempre existen

en las dos superficies de la mayora de las lentes de contacto y siempre en las

lentes blandas, en las lentes de Fresnel y en las lentes difractivas, y en ellas pueden

incluir (y generalmente siempre incluyen) puntos irregulares donde la superficie

pierde su continuidad.


rotacionalmente simtricas

En el captulo 4 se presentar un catalogo de todas las superficies pticas correctoras

rotacionalmente simtricas que resultaron de esta tesis y algunas conocidas, que

pueden ser maquinadas con control numrico computarizado CNC, clasificadas y

especificadas segn su representacin matemtica, estableciendo siempre el vrtice en

el origen de coordenadas. Para facilitar su comprensin se muestran a continuacin

sus principales caractersticas:

3.5.1 Representaciones explcitas

Segn la norma ISO 10110 parte 12 del ao 2007 (ISO 10110-12:2007), las

superficies pticas rotacionalmente simtricas, se prescriben usando una superficie

cnica de referencia, representada explcitamente, con curvatura en el vrtice c = 1/ R

donde R es el radio de curvatura apical (vrtice), y una constante cnica K, en adicin

Captulo 354

a unos coeficientes de deformacin o asfericidad opcionales A2j que pueden ser

especificados hasta el grado donde el usuario determine segn m:

22

22 2 21 1 (1 )

mj

jj

c xz = f(x) A x

K c x == +

+ + , (3.7)

donde la constante cnica K es cero para las esferas, -1 para las parbolas, menor que

-1 para las hiprbolas, entre -1 y 0 para las elipses oblatas, y mayor que 0 para las

elipses prolatas.

Racionalizando la cnica de referencia en la ecuacin (Ec.) (3.7), derivando y

simplificando se obtiene la pendiente en cualquier punto de Ec. (3.7) con

2 12

2 2 2

21 (1 )

mj

jj

dz c x= f (x) j A x

dx K c x

=

= + +

. (3.8)

La segunda derivada de Ec. (3.7) simplificada corresponde a

( )

22 2

22 32 2 2

2 (2 1)1 (1 )

mj

jj

d z c= f (x) j j A x

dx K c x

=

= + +

. (3.9)

Se puede calcular un radio de curvatura principal y meridional de toda la superficie en

cualquier punto, con

Captulo 355

32

2

2

1dz

dx(x)=

d zdx

+ , (3.10)

evaluando Ec. (3.10) con Ecs. (3.8)- (3.9), y simplificando, se obtiene

( )

32

2 12

2 2 2

2 22

3 22 2

1 21 (1 )

2 (2 1)

1 (1 )

mj

jj

mj

jj

c xj A x

K c x(x)=

cj j A x

K c x

=

=

+ + +

+ +

, (3.11)

que al ser evaluada3 en el origen cuando r = 0, corresponde a R = 1/c.

Una superficie asfrica segn ISO 10110-12 (2007) con coeficientes de deformacin

A2j nulos nunca presenta puntos de inflexin, por lo tanto siempre ser cncava o

convexa, dependiendo del signo de c o R: Si c o R son positivos, se define cncava en

3 Es evidente que si hubiese coeficientes de deformacin de segundo grado no nulos (si j=1 en la cota inferior del subndice de la suma en Ec. (3.7)), el radio de curvatura en el vrtice de la superficie no correspondera al radio de curvatura apical de la cnica de referencia. Este error es muy comn encontrarlo en muchos documentos cientficos y trabajos de diseo ptico, donde realmente el radio de curvatura en el vrtice es

( )

32

2 12

2 2 1

2 2 22

3 12 2

0

1 21 (1 ) 1

22 (2 1)

1 (1 )

mj

jj

mj

jj

x

c xj A x

K c x(0)=

c c Aj j A x

K c x

=

=

=

+ + + =

++ +

.

Captulo 356

el sentido del maquinado CNC (no con un sentido ptico siguiendo la regla de signos

de Descartes), y si c o R son negativos, ser convexa en el sentido del maquinado

CNC. Si la superficie presenta coeficientes de deformacin, la superficie puede ser

inflexa con puntos crticos xc en las soluciones para xc de

2 12

2 2 2

2 01 (1 )

mjc

j cj

c

c xj A x

K c x

=

+ = +

, (3.12)

que tiene solucin analtica para xc = 0 y para los dems puntos crticos, solo cuando

m=2:

242 2

4 01 (1 )

c c

c

cx A x

K c x

+ = + , (3.13)

con la solucin de la sxtica

2 2 4 2 2416 (1 (1 ) )c cc A x K c x= + . (3.14)

Teniendo en cuenta que si c = 0, y si existen dos, cuatro o seis soluciones reales

complementarias en Ec. (3.14), las dos mas cercanas al origen determinan un punto de

inflexin, ya que el vrtice es un mximo o un mnimo local. Este principio de

alternancia de la clasificacin de los valores crticos segn Ec. (3.14) corresponde a

que en un dominio con varios puntos crticos, no puede haber dos puntos crticos

vecinos con la misma clasificacin extrema (mximo o mnimo).

Captulo 357

Otra representacin puede ser obtenida racionalizando el primer sumando en Ec. (3.7)

2 22

22

1 1 (1 )

(1 )j

jj

K c xz(x)= A x

K c

=

++

+ , (3.15)

la cual no permite la representacin de superficies asfricas con curvatura nula en el

vrtice, ni superficies asfricas con una seccin meridional parablica con K = 1.

La superficie Ec. (3.15) puede tambin ser representada usando series de MacLaurin;

es decir, expandiendo Ec. (3.12) en series de Taylor alrededor del vrtice, con la

frmula fundamental:

2 22 2

1 2

k jk j

k j

z(x) Q x A x

= =

= + . (3.16)

Para determinar los coeficientes Q2k, se usa el procedimiento descrito en Ec. (3.6), con

la transformada Z inversa o Z-1 de la funcin z(x) a ser expandida, evaluada en

x = 1 / z, recordando que z (en negrilla) es una variable transitoria (dummy) y es

diferente de la abscisa z:

[ ]1/ , int 0,1,2, ,kQ z( ), ,k k= = -1 z zZ . (3.17)

Substituyendo la base cnica de la representacin Ec. (3.6) en Ec. (3.17), la

transformada Z inversa no tiene solucin analtica; pero sustituyendo la base cnica

Captulo 358

racionalizada con la representacin Ec. (3.15) en Ec. (3.17), Z-1 existe con la

representacin Ec. (3.18):

( ) /22

2

1(1 ) Binomial , (1 UnitStep[

1 1 (1 ), int 0,1,2,

]) UnitStep[ Mo

, ;

d[ ,2]]2 2 ,

(1

)

)

(1k

kc K k k

c K

cK

Q , ,k kc K

k +

+ = = +

=

+

-1 z zZ

(3.18)

con coeficientes pares no nulos para todo entero k siempre par, puesto que la base

cnica es rotacionalmente simtrica, es decir, es una funcin par, lo cual significa que

la Ec. (3.18) puede ser simplificada con la sustitucin de k = 2j, para cualquier entero

positivo j, removiendo todos los coeficientes para todos los valores de k impares, a

( )22

1(1 ) Binomial ,

2 , int 1,2,3,...,(1 )

j

j

c K jj

c KQ

+ =+

= . (3.19)

Sustituyendo Ec. (3.16) en Ec. (3.13), se obtiene:

Captulo 359

( )22 2

21 2

1(1 ) Binomial ,

2(1 )

.

j

j jj

j j

c Kz(x) A

Kx x

j

c

= =

+ +

= +

(3.20)

1 1 2 22 2

2 2

2 1( 1) (1 ) Binomia ,2 2

l2

j j jj j

j j

j jc c K jc

z(x)= A x C x

= =

+ + + +

=

. (3.21)

La Ec. (3.21), que es vlida para cualquier superficie ptica rotacionalmente simtrica

que pasa por el origen de coordenadas, nos permite calcular las ecuaciones para los

coeficientes de deformacin A2j que mejor representan una superficie correctora segn

la norma ISO 10110-12:2007,

34 4

5 26 6

7 38 8

9 410 10

11 512 12

13 61

2

4 14

1 12 2

1(1 ),

81

(1 ) ,165

(1 ) ,128

7(1 ) ,

25621

(1 )

1( 1) (1

,

) Binomial ,

102433

(1 ) ,2048

.2

jj

jj

j

A C c K

A C c K

A C c K

A C c K

A C c K

A C c K

A C c K j

= +

+

= + = +

= +

= + = +

=

(3.22)

Captulo 360

3.5.2 Representaciones implcitas

Las representaciones implcitas eran bastante utilizadas en el siglo XIX por los

matemticos y fsicos ingleses e irlandeses. Actualmente se usan para evitar

descripciones muy extensas con otras representaciones. No existen normas

internacionales para representar superficies pticas implcitas rotacionalmente

simtricas. Los valos cartesianos generalmente se representan implcitamente de

acuerdo con el Principio de Fermat, puesto que las soluciones explcitas z(x) son

bastante extensas.

Los valos cartesianos de revolucin son superficies refractivas que pueden formar

imagen perfecta de un punto objeto situado sobre el eje ptico; es decir, presentan

refraccin sin generar aberracin esfrica. Los valos cartesianos fueron descritos por

primera vez por Descartes [19], y han sido estudiados por numerosos autores [20-27]

con una representacin matemtica implcita. Ellos han sido bien descritos por:

Hsueh y otros [28] usando representaciones matemticas explcitas.

Valencia y otros [29] (Apndice A), con funciones recursivas de 4to. grado que

son soluciones obtenidas del Principio de Fermat usando tambin

representaciones matemticas explcitas en coordenadas cilndricas (r, z), pero

con funciones recurrentes tambin de 4to. grado que son soluciones tambin del

Principio de Fermat; y tambin con series de potencias finitas hasta la octava

potencia, resolviendo una ecuacin diferencial no-lineal de primer orden que

resulta de la Ley de Snell.

Y por Gutirrez y otros [30], usando representaciones meridionales con

coordenadas polares explcitas para los casos convexos.

Captulo 361

Considerando frentes de onda esfricos y usando el Principio de Fermat entre medios

istropos y pticamente homogneos, en toda interfaz ptica libre de aberracin

esfrica, el camino ptico de cualquier rayo no central (Fig. 6), debe ser igual al

camino ptico de su rayo axial, que viaja a lo largo del eje ptico, por lo cual

Figura 6. Refraccin en una interfaz oval cartesiana de revolucin con objeto real O e imagen real I. El camino ptico OI del rayo central que viaja por el eje ptico desde el punto objeto O situado a una distancia vrtice-objeto ta (con la regla de signos de Descartes), al punto imagen I situado a una distancia vrtice-imagen tb, es igual al camino ptico del rayo que viaja por el camino OPI.

2 2 2 2sign ( ) sign ( ) 0a a b b a b( t ) x z t n ( t ) x z t t nt + + + + = (3.15)

o

2 2 2 2 2 2( ( ) ) ( ( ) )0a a b b a b

a b

t x z t t x z tn t nt

t t

+ + + + = , (3.16)

donde todas las funciones sign (var) son dicotmicas con valores 1 sin el valor cero

cannico, es decir,

Captulo 362

1 si 0,

sign indefinido si 0,

1 si 0,

x

(x) x

x

(3.17)

recordando que la funcin sgn (var) cannica es diferente y corresponde a

1 si 0,

sgn 0 si 0,

1 si 0.

x

(x) x

x

. (3.18)

La anterior regla de evaluacin para la funcin sign(var) es equivalente a establecer

que ni la distancia objeto ta, ni la distancia imagen tb, pueden ser nulas usando

Ec. (3.16).

Si se consideran frentes de onda incidentes planos cuando el objeto esta en el infinito,

las Ecs. (3.15)-(3.16) se reducen a elipses implcitas, en el lmite cuando

ta , a

2 2sign ( ) 0b b bz n ( t ) x z t nt+ + = (3.19)

o

2 2 2( ( ) )0b b b

b

t x z tz n nt

t

+ + = . (3.20)

Captulo 363

Si se consideran frentes de onda emergentes planos cuando la imagen esta en el

infinito, las Ecs. (3.15)-(3.16) se reducen a hiprbolas implcitas, en el lmite cuando

tb , a

2 2sign ( ) 0a a an z ( t ) x z t t+ + = (3.21)

o

2 2 2( ( ) )0a b a

a

t x z tn z t

t

+ + = . (3.22)

Es un buen ejercicio para los estudiantes de un curso introductorio de ptica

geomtrica deducir las Ecs. (3.15)-(3.16) que esta bien detallado (Apndice B).

3.5.3 Representaciones paramtricas

Las representaciones paramtricas se usan generalmente cuando no es posible obtener

una solucin explcita para la variable z de una funcin implcita conocida, o cuando

se desean separar las representaciones explcitas como funciones paramtricas del

tiempo.

Tampoco existe una norma internacional para especificar las superficies pticas

paramtricas.

Captulo 364

Como parte del trabajo realizado en la investigacin en el CIO, se desarroll un

mtodo que permite disear la geometra de la segunda superficie de una lente para

corregir todos los rdenes de aberracin esfrica generados por la primera superficie,

ya sea esfrica o plana. En la documentacin [31] (Apndice B) que result de este

trabajo, se describe el proceso fundamental de esta tcnica, pero respetando el estilo

convencional usando la variable r en lugar de x para la abscisa, en no-conformidad

con la norma ISO. Tambin se anexa un resumen del mtodo (Apndice C), con un

anlisis extendido para encontrar la mejor aproximacin explcita, tambin en no-

conformidad con la norma ISO, que corresponde a la versin adaptada de la

publicacin en la revista Proceedings A de la Royal Society [32].

Por el carcter novedoso de este trabajo, se registr la aplicacin al proceso de

patentamiento en el Instituto Mexicano de la Propiedad Industrial IMPI, asignando

la propiedad industrial al Centro de Investigaciones en Optica A.C. el da 16 de

noviembre de 2012, donde el registro se anexa (Anexos), con su respectiva

versin para su solicitud internacional PCT/MX2013/000141 (Anexos). Tambin se

incluye el registro de publicacin internacional WO/2014/077669 A1 (Anexos) con la

evaluacin internacional realizada por la WIPO (World Intellectual Property

Organization ), a travs de la Oficina Espaola de Patentes.

Captulo 365


no-rotacionalmente simtricas

En el captulo 4 se presentar en el catlogo la superficie ptica no-rotacionalmente

simtrica que result de este trabajo de grado, que puede ser maquinada con control

numrico computarizado CNC, clasificada y especificada segn su representacin

matemtica, estableciendo siempre el vrtice en el origen de coordenadas. Para

facilitar su comprensin se muestran a continuacin sus principales caractersticas:

3.6.1 Representaciones explcitas

Las superficies pticas no-rotacionalmente simtricas, se pueden representar

explcitamente, con

,z f ( x y )= . (3.23)

en un sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z(x, y)); pero es ms comn encontrar

representaciones explcitas con la forma

,z f ( r )= . (3.24)

en un sistema de coordenadas cilndrico (r, , z(r, )), donde es el ngulo azimutal.

Captulo 366

cos ,

sen .

x r

y r

= =

(3.25)

Como la mayora de lentes no-rotacionalmente simtricas se mecanizan usando tornos

y generadoras CNC con cuarto eje (eje C de acuerdo con la norma ISO 6983, que

corresponde al eje rotacional que describe la posicin angular alrededor del eje

principal de la mquina Z), la representacin Ec. (3.16) es ms apropiada y

corresponde a la representacin de mquina con un sistema de coordenadas de

mquina (X, C, Z)

2 o ,

,

, o , ,

r r

z( r ) z( r )

= = = =

X

C

Z W

(3.25)

recordando que la coordenadas en X pueden ser diametrales (2r) o radiales (r) a

criterio del fabricante o el programador (es ms comn encontrar programas con

coordenadas diametrales). Cuando las mquinas tienen FTS (Fast Tool Servo)

generalmente se programa el eje W (paralelo al Z) que es bastante comn en los tornos

CNC para el mecanizado de lentes oftlmicas.

Tambin, con el desarrollo tecnolgico ha surgido la posibilidad de fabricar

superficies asfero-cilndricas, que se pueden representar de manera aproximada por

( )2 2

2 22 2

2 22 2

2 2

, ( )

1 11 1

x y j jj j

j

x x y y

c x c yz( x y ) A x B y

c x K c y K

x y

=

+= + +

+ + ++

+

(3.26)

Captulo 367

donde cx y cy son las curvaturas principales en el vrtice, y Kx y Ky son las constantes

cnicas de las respectivas curvas primitivas principales, de acuerdo con el modelo

estndar, siguiendo Ec. (3.7).

La expresin anterior permite representar cualquier superficie no-rotacionalmente

simtrica que puede ser descrita con dos curvas primitivas diferentes meridionales y

ortogonales en el vrtice.

De forma novedosa (patente mexicana MX2012/000127 [33]), se incluyen en esta tesis

las superficies parastigmticas (Apndice D), que son superficies no-rotacionalmente

simtricas con dos curvas primitivas meridionales ortogonales o no-ortogonales (una

en el plano X-Z y la otra en el plano Y-Z con un ngulo entre ellos ), que tienen una

representacin en coordenadas cilndricas (r, , z(r, )):

( )

2

22

( ( ) ),

1 1 1 1(1 )

Y X Y ( )

X X ( ) Y Y ( )

r c c c wz( r )

r c K w c K w

+

=+ + + +

. (3.27)

(Se detallan los subndices de las curvaturas en los vrtices en maysculas, indicando

las curvaturas principales en los meridianos principales no-ortogonales (Fig. 7)), con

la variable recursiva w(a ) segn

( )( )( )( )

22

2

2 1 cos 2( ) sen

2 1 cos 2( ) sen

e ( ) ( )w( )

e ( )

+ + = + + + +

, (3.28)

con ngulo de rotacin prescrito, y ngulo fijo calculado con

Captulo 368

2 2 2

2 4 2 4 31

2

6 7 4(1 2 )cos 2 (2 )cos 4

8 2 1 ( 1 )cos 2 sencos Re

4 (5 3cos 2 )

e e ( ) e ( )

e e e e ( )( )

e ( )

+ + + + + + =

. (3.29)

Cuando tiende a / 2 radianes y e tiende a cero, la Ec. (3.29) puede converger

errneamente en un nmero complejo con una insignificante parte imaginaria, como

subproducto de los errores de mquina en los clculos numricos con mantisa y punto

flotante. Por dicha razn se le adiciona la funcin Re como un seguro matemtico,

para indicar la parte real. La ecuacin (3.29) tiene un discriminante que garantiza una

solucin vlida y real si

25 2cos 2 3cos 2 1 cos 21

2sen

( ) ( ) ( )e

+ < < . (3.30)

con la condicin Ec. (3.30), para un ngulo entre ejes y una excentricidad e

predeterminados. La excentricidad determina la tasa de cambio de las curvaturas entre

los meridianos principales.

Cuando / 2 la cota inferior de Ec. (3.30) tiende a cero, y cuando / 2 y

e 0 el lmite de Ec. (3.29) se reduce a / 2; para reducir el lmite de

Ec. (3.28) a 2cosw( ) ( ) , para finalmente reducir Ec. (3.27) a

( )2 2 2

22 2 2

( cos sen ),

1 1 1 cos 1 sen

X Y

X X Y Y

r c ( )+ c ( )z( r )

r c K ( ) c K ( )

=+ + + +

. (3.27)

Captulo 369

Figura 7. Topografa simulada de curvaturas sagitales (meridionales), de una superficie base de una lente de contacto, con parastigmatismo coseno-pararmnico, con parmetros cX = 41/337.5 mm

-1, cY = 44/337.5 mm-1, KX = 0.06, KY = 0.1, 8, f = 10, e = 0.7 y b = 70. Se muestran los meridianos parastigmticos con color azul. El ngulo de rotacin f no acotado en la figura, corresponde al ngulo entre los ejes x y X.

que corresponde a la representacin en coordenadas cilndricas de una superficie

cnico-cilndrica con meridianos principales ortogonales que corresponde a la

superficie cnica-cilndrica de referencia de Ec. (3.26) (primer sumado con x = X

e y = Y ), que cuando Kx = Ky = 0 degenera en la frmula cannica de las clsicas

superficies esfero-cilndricas, bastante utilizadas en ptica oftlmica para corregir el

astigmatismo regular,

Captulo 370

( )

2 2

22 2

2 2

,

1 1

x y

x y

c x c yz( x y )

c x c y

x y

+=

++

+

, (3.26)

bien descritas en el Apndice D.

Con el desarrollo de la aberrometra, para medir experimentalmente las necesidades

de correccin refractiva en la visin humana, los aberrmetros, refractmetros, y auto

refracto-queratmetros computarizados vienen equipados con software que permite

describir casi siempre las superficies cornales y/o los frentes de onda utilizando los

monomios o polinomios de deformacin4 de Zernike originalmente descritos en

coordenadas cartesianas Zj (x,y) [34], los cuales son equivalentes a un conjunto finito

de l funciones polares pares (con cosenos de kernels pares de y polinomios o

monomios de potencias pares de r) e impares (con senos de kernels impares de y

polinomios o monomios de potencias impares de r) ortogonales y separables

Zj (r, )= fj (r) gj ( ) de orden j=1, 2 , ..., l que resultan de la expansin de un frente

de onda para un sistema ptico con una pupila circular. Las funciones pares

corresponden a las aberraciones simtricas y las funciones impares a las aberraciones

antisimtricas. Estas funciones estn definidas sobre un crculo unitario y permiten

representar una superficie en coordenadas cilndricas con la suma de todos los l

monomios o polinomios con coeficientes de peso Cj:

1 1

, ,l l

j j j j jj j

z( l,r ) C Z ( r ) C f ( r )g ( ) = =

= = , (3.27)

4 Tomando como referencia una superficie plana que pasa por el origen de coordenadas.

Captulo 371

donde las funciones separables fj (r) y gj ( ) se definen de diferentes maneras segn el

autor, pero la denominacin ms simple despus de una simplificacin es descrita por

Hernndez y otros [35], presentando los monomios (trminos) ms simples con el

orden en que aparecen en la Tabla 3 y son visualizados los primeros quince de ellos en

la Figura 8. Los polinomios de Zernike [34] se presentan de muchas maneras similares

por diferentes autores como Born & Wolf [36], Bhatia & Wolf [37], Mahajan [38], y

recientemente por Sasin [39], Hernndez y otros [35], Kambiz y otros [40], y muchos

ms [41-45], describindolos con diferentes rdenes de clasificacin (con un orden j o

con dos rdenes m y n), algunos conservando la ortogonalidad o la ortonormalidad

polinomial [34,36-40] y otros sin conservarla [35]. Cuando los polinomios estn

ordenados de manera que se garantiza la ortogonalidad entre funciones (trminos), los

clculos de los coeficientes Cl se simplifica en procesos de ingeniera inversa.

Con el desarrollo de las lentes progresivas, de la topografa corneal computarizada y

de la aberrometra computarizada, la representacin de superficies pticas con una

combinacin lineal de los anteriores monomios es conveniente y prctica, puesto que

posibilita la fabricacin de superficies correctoras personalizadas. Los algoritmos

requeridos para hacer este proceso se encuentran bien documentados en muchas

patentes y en algunos libros para cirugas refractivas. Para la fabricacin de lentes

progresivas tambin existen mquinas [46] que usan tecnologa NURBS (B-splines

racionales no uniformes) para representar sus superficies usando facetas bi-cbicas

que no estn como propsito de este trabajo de tesis y son bien conocidas, puesto que

las representaciones de este tipo son extensas y generalmente son para su uso en

procesos de torneado y fresado CNC de insertos metlicos para moldes o de

superficies ptica

manufactura cnc de su perficies ópticas correctoras

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