UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE QUERÉTARO.Voluntad. Conocimiento. Servicio

Programa Educativo:

Técnico Superior Universitario

TRIGONOMETRÍAManual de Asignatura 2012

Autores:Gutiérrez López Rolando

Fecha de publicación: 16/04/12

Contenido

Introducción

La trigonometría es la rama de las Matemáticas que permite al estudiante utilizar

distintos procedimientos geométricos para representar relaciones entre

magnitudes constantes y variables, es decir, para resolver problemas, por ejemplo:

cálculo de distancias inaccesibles, ampliaciones o reducciones de objetos o

imágenes, diseños de figuras basadas en patrones y regularidades geométricas,

cálculo de velocidades y distancias en el movimiento rectilíneo y circular uniforme,

problemas prácticos de triangulación para obtener medidas de lados o ángulos

que impliquen triángulos no rectángulos, analiza conjuntos de datos provenientes

de diversos contextos (industriales, económicos, demográficos, medicina,

agricultura, etc.) para determinar su comportamiento y/o resolución de situaciones

o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual

y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes, en el

estudiante.

En la primera unidad se da a conocer los fundamentos de la trigonometría, así

como la clasificación de los ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras que es la

base de las funciones trigonométricas. Además, se explicará al alumno como se

aplica la Trigonometría en el ámbito social e industrial, posteriormente realizará

una serie de ejercicios que trabajará de manera individual y grupal.

En la segunda unidad, Identificará e interpretará las funciones trigonométricas en

el plano cartesiano, con el objetivo de entender y comprender su comportamiento,

que más adelante permitirá realizar una deducción cualitativa. Por otra parte, se

dará a conocer las identidades trigonométricas, que son parte fundamental en el

proceso de la enseñanza del Cálculo diferencia e integral. En este proceso, el

alumno resolverá ejercicios y casos prácticos que lo induzcan a la comprensión de

los temas.

Para la tercera unidad, recordar las propiedades logarítmicas y exponenciales

ayudará al alumno a resolver problemas Matemáticos que implican un despeje de

una variable, teniendo como incógnita el exponente, además de comprender su

comportamiento gráfico. La interpretación de una función permite entender un

proceso de manufactura, una situación económica, una administración de calidad,

entre otras.

Durante el desarrollo de la temática, se llevará a cabo una exposición de los

temas vistos en clases con el objetivo de reforzar el conocimiento que el alumno

adquirirá, la cual será presentada en el edificio de división industrial. Se realizará

una visita al Centro de Desarrollo ( CIDESI ) , donde el alumno podrá ver la

aplicación de la trigonometría en el ámbito laboral. Finalmente elaborará una

antología que contenga: conceptos, fundamentos, ejemplos y ejercicios, que en un

futuro le permitan resolver problemas matemáticos en otras asignaturas de la

carrera.

UNIDAD II. LA TRIGONOMETRÍA

Objetivo: El alumno empleará los conceptos y las propiedades de la trigonometría para resolver problemas que se presentan en el entorno industrial.

Resultado de aprendizaje: Resolverá un conjunto de ejercicios prácticos que incluya: grados y radianes, el teorema de Pitágoras, ángulos y la clasificación de los triángulos.

Tema 1: Introducción a la trigonometría.

La trigonometría se puede estudiar de dos formas: mediante un desarrollo moderno en donde interviene “una circunferencia unitaria”, o a partir de los métodos clásicos de triángulos rectángulos que utilizaron los griegos en la antigüedad. Por lo tanto, podemos definir a la trigonometría como la rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

A partir de esta definición, estudiaremos las razones trigonométricas (también llamas funciones trigonométricas) así como las conversión de un grado a radian y viceversa.

Saber: Identificar las propiedades trigonométricas

El docente explicará las propiedades trigonométricas y su aplicación, posteriormente realizará ejemplos que le permitan al alumno resolver una serie de ejercicios que le ayudarán a la compresión del tema.

Grados. Unidad de medida angular equivalente a cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Su símbolo es “ º ” y su relación es: 1º = 1/360 partes de la circunferencia.

Radian. Medida angular que equivale al arco de una circunferencia cuya longitud es igual a la de su radio 1 rad = 57º 17´ 44´´.

Tema 2: Descripción de las relaciones trigonométricas.

Saber: Describir las relaciones de una función trigonométrica.

Si consideramos un triángulo rectángulo ABC y utilizamos el ángulo A de referencia, según la figura, a es el cateto opuesto, b es el cateto adyacente y c la hipotenusa.

Entonces:

Seno A = sen A = ; Coseno A = cos A = ; Tangente A = tan A =

Cotangente A = cot A = ; Secante A = sec A = ; Cosecante A = csc A =

B

A

ca

C

b

En el mismo triángulo, el otro ángulo es B, y su cateto opuesto es b, a es el cateto adyacente y c sigue siendo la hipotenusa.

Cada vez que se obtenga las relaciones trigonométricas se ha de mencionar el ángulo de referencia, entonces:

Seno B = sen B = ; Coseno B = cos B = ; Tangente B = tan B =

Cotangente B = cot B = ; Secante B = sec B = ; Cosecante B = csc B =

Teorema de Pitágoras. Podemos utilizar las relaciones de la medida geométrica para demostrar el teorema de Pitágoras.

“El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”

Es decir, de acuerdo a la figura:

Tema 3: Ángulos.

B

A

c a

C

b

c2 = a2 + b2

a2 = c2 - b2

b2 = c2 - a2

Saber: Identificar los diferentes ángulos para resolver problemas matemáticos.

Un ángulo es una figura formada por dos semi-rectas que parten desde un mismo

punto. A las líneas, se les llama lados del ángulo y a su punto de intersección

vértice.

Como un ángulo se forma con la rotación de una semi-recta que gira sobre un

plano, da origen a un lado inicial y un lado final.

Una unidad de medida para los ángulos es el grado. El ángulo en posición estándar obtenido por una revolución completa es sentido contrario al de las manecillas de reloj mide 360 grados, que se escribe 360º; por lo tanto, un ángulo de un grado (1º) se obtiene por 1/360 de toda una revolución en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Clasificación de los ángulos.

Ángulo recto. Es una abertura formada por dos semirectas perpendiculares y que

por lo tanto formas un ángulo con un valor de 90º.

Ángulo agudo. Es un ángulo cuya abertura es menor a la de un ángulo recto, o

sea, menos de 90º.

LADOS DEL ÁNGULO

ÁNGULO

VÉRTICE

Ángulo recto

90º

Ángulo obtuso. Es un ángulo mayor de 90º, pero menor de 180º, también se le

conoce como ángulo convexo.

Ángulo llano. Es un ángulo que mide 180º, entonces, representa a dos ángulos

rectos también se le conoce como ángulo de lados colineales o extendido.

Ángulo cóncavo. Es un ángulo mayor de 180º, pero menor de 360º, también se le

conoce como ángulo entrante.

Ángulo complementario. Son ángulos que sumados forman un ángulo de 90º. A

cada uno de los ángulos se les llama complemento del otro.

Ángulo agudo

Menos de 90º

Ángulo obtuso

Más de 90º, pero menos de 180º

Ángulo llano180º

Ángulo cóncavoMás de 180º, pero menos de 360º

Ángulo recto

A = 30º

B = 60º

Entonces, SumadosA + B =90º

Ángulo suplementario. Son dos o más ángulos que sumados dan 180º. Cada uno

se le llama suplemento del otro u otro.

Tema 4: Triángulos.

Saber: Identificar los tipos de triángulos que existen y sus características.

Es una figura plana limitada por tres segmentos de recta que forma los tres lados

del triángulo, tres vértices y tres ángulos. Para referirse a un triángulo se emplea

el símbolo, utilizando las letras que aparecen en los vértices, por ejemplo:

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS;

Con relación a sus lados.

Equilátero. Tiene sus tres lados iguales y por consecuencia sus ángulos también.

Isósceles. Dos de sus lados son iguales, su lado desigual es la base y los ángulos contiguos a ésta se llaman ángulos de la base, al ángulo opuesto, es ángulo del vértice. Los lados iguales se denominan piernas o brazos, porque isósceles, en griego significa “de piernas iguales”.

Escaleno. Tiene sus tres lados desiguales.

A = 30º

B = 45ºC = 45º

D = 60º

A + B + C + D =180º

B

A C

1. La figura representa al ∆ ABC.

2. Sus vértices son: A, B y C.

3. Sus ángulos son A; B y C.

4. Sus lados son AB, BC y AC.

EQUILATERO ISÓSCELES ESCALENO

Con relación a sus ángulos.

Rectángulo. Se caracteriza éste triángulo por tener un ángulo recto. En este

triángulo los lados reciben nombres especiales, lados perpendiculares, los que

forman el ángulo de 90º, se les llaman Cateto; y el lado opuesto al ángulo recto,

hipotenusa.

Acutángulo. Es un triángulo que tiene tres ángulos agudos.

Obtusángulo. Es el tipo de triángulo con un ángulo obtuso.

Tema 5: Aplicación de la trigonometría en el ámbito social y laboral

Saber: Utilizar las propiedades y características para resolver ejercicios

trigonométricos.

Con objeto de incrementar el interés de los estudiantes y ayudarlos a relacionar

los ejercicios con situaciones de la vida real, los ejercicios que se aplicaran en

esta unidad serán de gran utilidad para el razonamiento matemático. Nuevas

aplicaciones se relacionan con diversos temas como el grado de congelamiento en

RECTÁNGULO ACUTÁNGULOOBTUSÁNGULO

HIPOTENUSACATETO

las nubes, la desviación del polo magnético, la intensidad de la señal de

transmisión , el diseño de un colector solar, el caudal de agua superficial, el

estudio de una epidemia, los gastos gubernamentales, la cardiopatías, entre otras.

Un paciente recibe un tratamiento con radioterapia para combatir un tumor

localizado detrás de un órgano vital. Para no dañar el órgano, radiólogo debe

dirigir los rayos en cierto ángulo hacia el tumor. Si éste se halla 6.5 centímetros

(cm) debajo de la piel y los rayos penetran en el cuerpo 9.5 cm a la derecha del

tumor, ¿Cuál es el ángulo en que éstos deben entrar en el cuerpo?

ACTIVIDADES UNIDAD 1.

Actividad 1. Se explicará el procedimiento para la solución de problemas que implican una conversión de grados a radianes y radianes a grados. Posteriormente se seleccionaran cinco alumnos al azar para resolver ejercicios en el pizarrón. Los ejercicios son propuestos por el profesor.

Saber hacer: Desarrollará las propiedades trigonométricas para resolver problemas matemáticos.

Ejemplo: Realizar las conversiones de grados a radianes y viceversa.

1. 60º

2. 354º

3.

4.

Considerar que: 1 radian = 57.3º = 57º 17´ 44.8´´ → 1º = 0.017453 rad.

Solución:

1. 60º ( ) radianes = (60 /180), rad = π /3 rad.

2. 354º( ) radianes =

3. ( )( ) =

4. ( )( ) =

Ejercicios. Convertir de grados a radianes y viceversa.

1. 2.43 rad. 2. 3. 75º

4. 15.615º 5.0.518º 6. 30º

7. 270º 8. 105º 9. 72º

10. 124º 11. 65º 12. 112º

13. 236º 14. 306º 15. -36º

16. 17. 18.

19. 20. 21. 2 rad.

22. 1.75 rad. 23. 5.04 rad. 24. 2.665 rad.

25. 3.5 rad.

Nota: Es usual no escribir la palabra radián, quedando sobreentendido en el uso

de este sistema de medidas angulares cuando no se utilicen las unidades de

medida sexagesimales, en las que sí es obligado poner el símbolo de grados.

Actividad 2. El alumno realizará una serie de ejercicios y casos prácticos que resolverá utilizando las relaciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

Saber hacer: Aplicar las diferentes relaciones trigonométricas para resolver problemas y el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Al siguiente triángulo rectángulo, calcularle las relaciones trigonométricas a los dos ángulos agudos.

Sen A = ; Cos A = ; Tan A = ; Cot A = ; Sec A = ; Csc A =

Sen B = ; Cos B = ; Tan B = ; Cot B = ; Sec B = ; Csc B =

Ejercicios

1. A los siguientes triángulos rectángulos, calcularle las relaciones trigonométricas a los dos ángulos agudos.

B

A

2012

C

16

B

A

2√3

C

1

B

A

√21

C

1

Ejemplo:

1.Calcular el valor de la hipotenusa del siguientes triángulo rectángulo.

Solución:

a = ¿b = 9c = 2

a2 = b2 + c2 →

Así la hipotenusa vale 9.486.

2. Calcular la longitud del cateto faltante en el siguiente triángulo.

B

A

54

C

3

B

A

135

C

12

b= 9a = ?

c = 3

c2 = a2 + b2

a2 = c2 - b2

b2 = c2 - a2

Realizar los siguientes ejercicios.

1. Encontrar el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo.

2. Encontrar el valor del cateto faltante, del triángulo que se muestra a continuación.

3. Resuelve las siguientes situaciones de triángulos rectángulos, aplicando el

Teorema de Pitágoras.

En este caso la hipotenusa es b, lado opuesto al ángulo recto, entonces: b2= a2 + c2;

c2 = b2 - a2

Así el cateto vale 7.746.

a = 2

b = 8 c = ?

42.7 km. ?

28.4 km.

h = ?. 20 cm

10 cm

a) Dos aviones salen del aeropuerto de “Querétaro” uno en dirección al norte

a una velocidad de 220km/h. el otro con dirección al oeste a una velocidad de

180km/h. ¿A qué distancia se encuentran los dos aviones después de una

hora?

a) 126.49km b) 125km c) 284.25km d) 400km

b). x

18 24

a) 15.87 b) 25.87 c) 30 d)35

4. A cierta hora del día, una persona de 1.5 m de altura proyecta con el sol una sombra de 2m de longitud. A esa misma hora, un árbol proyecta una sombra de 6m. ¿Cuál es la altura del árbol?

a) 3 m b) 4 m c) 4.5 m d) 5.5 m

5. Un árbol de 20 metros (m) de altura proyecta una sombra de 28 m de largo. Halla la distancia de que existe de la altura hasta donde termina la sombra. Realiza el diagrama.

6. Un árbol de 18 metros (m) de altura proyecta una sombra de 10 m de largo. Halla la distancia de que existe de la altura hasta donde termina la sombra. Realiza el diagrama.

7. Halla la longitud del lado AB del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente.

8. Determine la longitud del lado AB del triángulo de la figura siguiente.

Actividad 3. El alumno realizará una serie de ejercicios utilizando la clasificación de los ángulos (utilizará ángulos complementarios y suplementarios).

Saber hacer: Emplear la clasificación de los ángulos para resolver ejercicios de trigonometría.

Ejemplo:

1. Encontrar el valor del ángulo.

a = 14.6 m

b = 20 m.

c = ?

B

AC

B

A C

25.6 cm

15.4 cm

Seleccionar la respuesta correcta

a. 23.65 cm.

b. 27.28 cm.

c. 20.50 cm.

d. 21.0 cm.

X+10º

x

Entonces, SumadosA + B =90º

Solución: (x + 10º) + x = 90º

X + 10º + x = 90º2x + 10º = 90º2x = 90º - 10º2x = 80ºX = 80º/2 = 40º

Entonces: x = 40º , por lo tanto:

X = 40º y x = 40º + 10º; así tenemos que los ángulos son:

X1 = 40º y X2 = 50º

2. Encontrar el valor de los ángulos.

Ejercicios.

1. Realizar un mapa conceptual utilizando la clasificación de los ángulos, escribe sus características.

2. Obtener el valor de cada ángulo.

a. b. c.

50º

40º

A + B + C + D =180º

5x + 6x + 2x = 180º

13x = 180º

X = 180º/13 = 13.85º

5(13.85º) = 69.3º

6(13.85º) = 83º

2(13.85º) = 27.7º

Así tenemos que los ángulos son:

69.3º; 83º; 27.7º

27.7º

83º

69.3º

2x

6x

5x

6x

4x

x/5

x/8

15º

4x

3x

3. Obtener el valor del ángulo en cada caso.

a.

b.

c.

Actividad 4. Relaciona los conceptos y sus definiciones. Tiempo aproximado: 10 minutos. Posteriormente realizará una serie de ejercicios.

A

45º

15º

45º

B

3x

x

2x

5x

x

Saber hacer: Usar las características de los triángulos para resolver las operaciones trigonométricas.

1. Instrucciones: Relaciona ambas columnas

a. Triangulo que tiene un ángulo de 90º ( ) Complementarios

b. Ángulo que mide menos de 180º y más de 90º

( ) Acutángulo

c. Es aquel par de ángulos que sumados dan 180º

( ) Obtusángulo

d. Triángulo que tiene todos sus lados de magnitudes diferentes.

( ) Suplementarios

e. Tipo de ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor de 90º

( ) Perígonal o de una Vuelta

f. Tipo de ángulo que completa el giro de 2π rad

( ) Rectángulo

g. Triángulo cuyos tres ángulos son agudos ( ) Agudo

h. Par de ángulos cuya suma da como resultado 90º

( ) Escaleno

i. Triángulo que tiene todos sus lados de magnitudes iguales.

( ) Equilátero

j. Triángulo que tiene un ángulo obtuso ( ) Obtuso

2. Utilizando cartulina de cualquier color, se dibujara los distintos triángulos que existen, pos su medida y ángulo, posteriormente se cortarán. Tiempo estimado 20 min.

Actividad 5. Relaciona los conceptos y sus definiciones. Tiempo aproximado: 10 minutos. Posteriormente realizará una serie de ejercicios.

Saber hacer: Emplear la función trigonométrica, por su característica, forma, ángulos, para resolver problemas matemáticos que se presentan en la vida cotidiana.

Realizar los siguientes ejercicios.

1. Encontrar la altura de un poste que proyecta una sombra de 12 m; si al mismo tiempo otro poste junto a él de 8 m. arroja sombra de 3m.

2. Calcula la altura de la palmera y resuelve el triángulo rectángulo que se forma.

8.0

h

12 mSombra

3 m.

3. Utiliza el teorema de Pitágoras y calcula el lado que falta del siguiente triángulo

rectángulo. Así como también las funciones trigonométricas; seno, coseno y

tangente del ángulo alfa.

4. VIII.- Francisco se encuentra a 30 metros de un edificio, y al observar la parte

superior; la vista y el suelo forman un ángulo de 230, encuentra la altura del edificio

y los otros dos ángulos que faltan.

5. IX.- Dos borregos se encuentran a 47m de distancia, si una casa de Betty está a

43 m de un borrego. ¿A qué distancia está el otro borrego de la casa de Betty?

5cm

4cm.

α

6. Dada la función cot= ¾ en el tercer cuadrante. Encuentra las demás funciones trigonométricas.

7. Calcula de una escalera, sabiendo que está apoyada en una pared a una

distancia de 1.8 m. y alcanza una altura de 7m. ( Pitágoras)

8. Las manecillas del minuteros miden 5cm y las de la hora miden 3.5cm calcula la

distancia de las dos manecillas si la hora es 9:00 am. (Pitágoras)

9. La longitud de una cuerda que sujeta un papalote es de 50m y el ángulo de

elevación es de 600. Calcula su altura suponiendo que la cuerda se mantiene

recta.( Funciones trigonométricas)