Formación Didáctica en Ciencias BásicasCurso-Taller Didáctica de las Matemáticas en el Contexto

del Modelo Educativo para el Siglo XXI

HOJA DE TRABAJO

Transformaciones Lineales

I. Objetivo

Comprender las transformaciones lineales y los elementos que intervienen en

ellas, a partir de las transformaciones en el plano y el espacio.

Conceptos Previos

Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que

cumplen ciertas condiciones. En nuestro caso, y para una mejor comprensión del

concepto, nos centraremos en aquéllas que se llevan a cabo de ℝ² a ℝ² o de ℝ³ a ℝ³.

Tomando esta consideración definamos lo que es una transformación lineal.

Una transformación lineal es una función T que a cada vector v = (x,y) le asocia

el vector T(v) = (x′, y′) donde x′ = ax + by y y′ = cx + dy, donde a, b, c, d son números

reales. Si

Entonces T(v) puede escribirse como

T(v) = Av

De manera similar se puede definir las transformaciones lineales en ℝ³, incluso

para ℝⁿ aunque para n≥4 no se tiene una representación geométrica (más aún, como ya

se mencionó, la definición formal corresponde al área de espacios vectoriales, los cuales

pueden ser conjuntos de polinomios, matrices, funciones, etc.)

Un vector propio de una matriz A de n×n es un vector x diferente de cero tal que

Ax = λx para algún escalar λ. El escalar λ se llama valor propio de A si existe una

solución no trivial x de Ax = λx, x es el vector propio correspondiente de λ.

Para encontrar la ecuación característica, es decir la ecuación que nos permite

encontrar los valores propios λ, debemos encontrar todos los valores λ para los cuales la

ecuación matricial (A-λI)x = 0 con I la matriz identidad tiene una solución no trivial.

Este problema es equivalente a encontrar todas las λ tales que la matriz A-λI no sea

invertible, esta matriz no es invertible precisamente cuando det(A-λI) =0. Así que los

valores propios son las soluciones de λ² + λd + (cb-ad)=0

1 de 2

Formación Didáctica en Ciencias BásicasCurso-Taller Didáctica de las Matemáticas en el Contexto

del Modelo Educativo para el Siglo XXI

2 de 2