manual básico de geogebra

GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geo-metría, álgebra y cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo in-ternacional de desarrolladores, para la enseñanza de matemática escolar.

C O N C E P T O D E G E O G E B R A

G R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R A

PÁGINA OFICIALPÁGINA OFICIALPÁGINA OFICIALPÁGINA OFICIAL: : : : http://www.geogebra.org

C O N T E N I D O :

C O N C E P T O D E -

G E O G E B R A 1

V I S T A S M U L T I -

P L E S D E L O S O B -

J E T O S M A T E M A -

1

H E R R A M I E N T A S

G E N E R A L E S 2


D E P U N T O S 5


D E V E C T O R E S 6


D E S E G M E N T O 7

S E M I R E C T A 8

G E O G E B R A

V I S T A S M U L T I P L E S D E O B J E T O S M A T E M A T I C O S

GeoGebra ofrece la Barra de Herramientas puedes construirse figuras sobre la Zona Gráfica cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen en la Ventana Algebraica. En el Campo de Entradas o Campo de Texto pueden anotarse directamente coordena-das, ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la Zona Gráfi-ca al ingresarse pulsando Enter (Intro en algunos teclados).

P O L Í G O N O S 8

L A R E C T A Y S U S

H E R R A M I E N T A S 9

S E C C I O N E S

C Ó N I C A S 1 1

A R C O S Y S E C T O -

R E S 1 4

N Ú M E R O S Y

Á N G U L O S 1 6

C O N T R O L B O O -

L E A N O — L U G A R Y

T R A N F O R M A C I O -

N E S G E O M É T R I -

C A S

1 8

T E X T O 2 0

I M A G E N E S 2 2

E N T R A D A A L G E -

B R A I C A 2 2

E N T R A D A D I R E -

C T A 2 3

C O M A N D O S 2 9

Copia Estilo

Esta herramienta permite copiar las propiedades visuales (como color, di-mensión, estilo lineal, etc.), desde un objeto a los de destino. En primer lu-gar, debe seleccionarse el objeto cuyas propiedades desean copiarse. Luego, se pasa a hacer clic sobre todos los otros objetos que deben adoptar dichas pro-piedades.

Borra Objeto

Cuando está activa esta herramienta, basta

con un clic sobre cada uno de los objetos

que se desee borrar (quedan eliminados,

consecuentemente, todos los que derivan y

dependen del que fue borrado).

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Se puede recurrir al botón

para recuperar un objeto

borrado por equivocación.

Elige y Mueve

Este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos libres con el ratón o mouse. Bas-ta seleccionar un objeto con un clic, estando

activo Elige y Mueve para poder:

• eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete)

• desplazarlo apelando a las teclas‐flecha

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Pulsar la tecla Esc también activa,

y rápidamente, la herramienta Elige y MueveMueveMueveMueve....

Página 2 H E R R A M I E N T A S G E N E R A L E S

H E R R A M I E N T A S G E N E R A L E S

Desplaza Área Gráfica

Con esta herramienta, se puede arrastrar y sol-tar la Vista Gráfica para cambiar la zona visible de esa área. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn::::

• También se puede desplazar el área gráfica, estando cualquier herramienta activa, pul-sando la tecla Shift (eeeennnn MS Windows, tam-bién la tecla Ctrtrtrtrl)l)l)l) y arrastrándola con el ratón o mouse

• Con la misma maniobra, pulsando la tecla Shift (eeeennnn PC, tambbbbiéniéniénién Ctrllll),),),), y mismas condi-ciones (estando cualquier herramienta accccti-ti-ti-ti-

vavavava),),),), también puede escalarse uno u otro eje, simplemente arrastrándolo con el mou-

se o ratón.

VistaVistaVistaVista de Hojjjjaaaa de Cálculllloooo Esta herra-

mienta trabaja con números, puntos y vectores. Esta herramienta permite que se registre, en la Vista de Hoja de Cállllculculculculoooo,,,, la secuencia de valores que, a medida que se desplaza, toma un objeto (número, punto o vector).

Registra en Hoja de Cálculo

Relación

Herramienta que permite se-

leccionar don objetos para ob-

tener, desplegada en una ven-

tana emergente, información

sobre la relación que pudiera

vincularlos.

Rota en torno a un Punto

Después de seleccionar el punto que hará las veces de centro, pueden rotarse a su alrededor, los objetos libres que se elijan, simple-

mente arrastrándolos con el ratón o mouse.

Expone / Oculta Rótulo

Al hacer clic sobre un objeto, su rótulo se expone u oculta alterna-tivamente.

Expone / Oculta Objeto

Tras activar esta herramienta, basta seleccio-nar el objeto que se desee exponer o ocular y al pasar a otra herramienta, se aplicarán los cambios en su estado de visibilidad.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Cuando se activa esta herramien-

ta, todos los objetos que debieran estar ocultos aparecen resaltados en la Vista Gráfica. De este modo, fácilmente se vuel-ven a exponer los objetos ocultos, simple-mente deseleccionándolos, antes de pasar a otra herramienta.


Zoom de Acercamiento

Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta pro-duce un "zoom"zoom"zoom"zoom" de acercamiento.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La posición del clic deter-mina el centro del zoom.

Zoom de Alejamiento

Con un clic sobre cualquier punto del área gráfica, esta herramienta produ-ce un "zoom"zoom"zoom"zoom" de alejamiento respec-to de la construcción.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La posición del clic determi-na el centro del zoom.

Intersección de Dos Objetos

H E R R A M I E N T A S D E P U N T O S

Los puntos de intersección de los dos objetos pueden producirse de dos ma-neras a saber: ·seleccionando dos objetos, se crean to-dos los puntos de intersección (si los hubiese / fuesen posibles). ·con un clic directo sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este úni-co punto de intersección.


Punto Medio o Centro

Un clic sobre:

•dos puntos o un segmento, permite obtener su punto medio.

•una circunferencia o sección cónica (circunferencia o elipse) su punto centro.

Nuevo Punto

Con un clic sobre la Vista Gráfica se crea un nuevo punto. Sus coordenadas quedan establecidas al soltar el botón de ratón o mouse nuevamente. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn::::

• Con un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica, función o curva, se crea un punto sobre el obje-to en cuestión.

• Con un clic sobre la intersección de dos objetos, se crea este punto de intersección.

Vector entre Dos Puntos

Basta con seleccionar el pun-to de inicio y el de aplicación del vector.

H E R R A M I E N T A S D E V E C T O R E S

Página 6 H E R R A M I E N T A S D E P U N T O S

Vector desde un Punto

Al seleccionar un punto A y un vector v, se crea un nuevo punto B = A + v así como el vector de A a B .

Segmento entre Dos Puntos

Al seleccionar dos puntos A y B, se establece un segmento entre A y B .

Segmento dados Punto Extremo y Longitud

Basta con un clic sobre un punto A para fijarlo como uno de los extremos del segmento y ano-tar la longitud a deseada en la ventana que se despliega a continuación, para que quede traza-do. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Esta herramienta crea un segmento con la longitud a determinada entre el punto A y el B que será su otro extremo. El extremo B

puede rotarse con la herramienta EligeEligeEligeElige y

MueveMueveMueveMueve en torno al extremo inicial A.

H E R R A M I E N T A S D E S E G M E N T O S

Página 7 H E R R A M I E N T A S D E V E C T O R E S

Semirrecta que pasa por Dos Puntos

Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B.

Polígono

Para trazar un polígono y que su área quede expuesta en la Ventana de Al-gebra, basta con marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y, con un clic reiterado sobre el primero de ellos, cerrarlo.

Polígono Regular

Al marcar dos puntos, A y B y anotar un número n en el cam-po de texto la caja de diálogo emergente, se traza un polígo-no regular con n vértices, inclu-yendo A y B.

P O L Í G O N O S

Página 8 S E M I R E C T A

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo, puede definirse de dos maneras

• Al marcar los tres puntos A,,,, B,,,, C se produ-ce la bisectriz del ángulo determinado por A, B y C, con B como vértice.

•Al marcar dos rectas se producen las bisec-trices de sendos ángulos.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1. La dirección de la bisectriz es la del vector perpendicular del segmento s o AB.

Ajuste Lineal

Esta herramienta traza la recta que mejor se ajusta

a un conjunto de puntos, establecido de uno de estos modos:

• Trazar la Selección Rectangular que en-marca a todos los puntos.

• Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea.

Recta que pasa por Dos Puntos

Al marcar dos puntos A y B se traza la re-cta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de la recta s (BBBB - A).).).). Atenciónnnn:::: La dirección del vector de la recta es (B ‐ A).

Página 9 L A R E C T A Y S U S H E R R A M I E N T A S

Recta Paralela

Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. Atención:Atención:Atención:Atención: La dirección del vector de esta recta es la de g.

Mediatriz

La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o sus dos puntos A

y B extremos.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicu-lar al segmentos o AB.

Recta Perpendicular

Al seleccionar una recta g y un punto A, queda definida la re-cta que pasa por A y es per-pendicular a g. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La di-rección de esta recta es equiva-

lente a la del vector perpendicu-lar a g.


Recta Polar o Diametral

Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una sección cónica de dos posibles maneras; seleccionando:

•un punto y una sección cónica.

•una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro.

Tangentes

Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras:

• Al seleccionar un punto A y una cónica c se pro-ducen todas las tangentes a c que pasan por A.

• Al seleccionar una recta g y una cónica c se produ-cen todas las tangentes a c que son paralelas a g.

• Al seleccionar un punto A y la función f, se traza la recta tangente a f por x=x(A).

Atenciónnnn:::: x(A) representa la coordenada x del punto A. Si el punto A perteneciera al gráfico de una fun-ción, la tangente pasará a través de A. se produ-cen todas las tangentes a f que son paralelas a g.

Circunferencia dados su Centro y Radio

Tras seleccionar un punto M como centro, se despliega la ventana para ingresar el valor del radio.

S E C C I O N E S C Ó N I C A S


Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos

Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M que pasa por P.

Atenciónnnn:::: El radio del círculo es la distancia MP.

Circunferencia dados Tres de sus Puntos

Al seleccionar tres puntos A, B y C queda definida una circunferencia que los cruza.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Si los tres puntos estu-vieran alineados, la circunferencia quedaría reducida a una recta.

Compás

Al seleccionar un segmento o dos puntos, queda espe-cificado el radio y un clic posterior sobre un punto, lo marca como centro de la circunferencia a trazar.

Página 12 S E C C I O N E S C O N I C A S

Cónica dados Cinco de sus Puntos

Al seleccionar cinco puntos, queda definida una sección cónica que pasa por ellos. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La sección cónica no queda efectivamente definida, si cuatro de estos cinco puntos estu-vieran alineados.

Hipérbola

La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego, uno de sus puntos.

La elipse se trazará al selec-cionar sus dos focos en pri-

mer lugar y luego, uno de sus puntos.

Elipse


Parábola

La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz.

Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos

Extremos

Deben seleccionarse tres puntos: en primer lugar M, que será su centro; luego A, su extremo inicial y finalmente B que determinará la longitud del arco.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Mientras el punto A perte-nece al arco dado que es su extre-

mo, B no necesariamente pertenece al arco.

Sector Circular dados su Centro y

Dos Puntos

Deben marcarse tres puntos: primero M, que será su centro; luego A, extre-mo inicial de su arco y finalmente B que determinará la longitud del ar-

co del sector. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Mientras el punto A perte-nece al arco del sector, dado que es su extremo, B no necesariamente per-tenece a su arco.

A R C O S Y S E C T O R E S


Al marcar tres puntos, A, B, y C, se traza un arco de circunferencia cuyo extremo inicial es A; el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C.

Al marcar tres puntos, A, B, y C, se produce un sector circular en cuyo arco el extremo inicial

es A; el final es C y B pertene-ce al arco tendido entre A y C.

Semicircunferencia dados Dos Puntos

Al seleccionar dos puntos A y B, se traza una semicircunferencia por en-cima del segmento AB.

Sector Circular

dados Tres

Puntos de su

Arco

Arco de Circunferencia dados Tres de sus

Puntos

Página 15 A R C O S Y S E C Y O R E S

Angulo

Esta herramienta crea:

• el ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de ellos

• el ángulo entre dos segmentos

• el ángulo entre dos rectas

• el ángulo entre dos vectores

Angulo dada su Amplitud

Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del ángulo en el campo de texto de la ventana emergente. Esta herra-

mienta produce un punto C y un ángulo α correspondiente a ABC. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Esta herramienta crea un punto C y un ángulo α correspon-diente a ABC.

Área

Esta herramienta esta-blece el área de un polí-gono, círculo o elipse co-

mo número que se expo-ne como texto dinámico.

Página 16 N U M E R O S Y A N G U L O S

Al marcar tres puntos, A, B, y C, se traza un arco de circunferencia cuyo extremo inicial es A;

el final es C y B pertenece al arco tendido entre A y C.

Un clic en el deslizador para ajustar el valor de un número o un ángulo.. La ventana de diá-logo emergente permite espe-cificar el Nombre, Intervalo [mín, máx], e Incremento del valor correspondiente así co-mo la alineación con que que-

dará Fijado (Horizontal o Verti-cal) y Ancho del deslizador (longitud expresada en pixels).

Pendiente

Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinámicamente, ilus-trada en un triángulo rectán-

gulo.

Deslizador

Distancia o Longitud

Página 17 N U M E R O S Y A N G U L O S

Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos

Al dar clic en una casilla a tildar para exponer y ocultar uno o más objetos. En la ventana emergente, se puede especificar qué obje-tos quedarían afectados por el estado de tal casilla. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Estos objetos pueden se-leccionarse desde la lista que ofre-ce la ventana de dialogo o directa-mente, con el mouse o ratón en cualquier vista.

Locus o Lugar Geométrico

Lo primero que debe seleccionarse es el punto B que depende de otro punto A cuyo lugar geométrico va a trazarse y sobre el cual debe hacer-

se clic a posteriori de B. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Debe advertirse que B de-

be ser un punto de un objeto (por ejemplo: una recta, un segmento, una circunferencia).

Homotecia desde un Punto por un Factor

de Escala

Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado. Luego, basta un clic sobre el punto que obrará como centro de la homotecia para que aparez-ca una ventana en donde anotar el fac-

tor deseado.

L U G A R G E O M É T R I C O

T R A N S F O R M A C I O N E S G E O M É T R I C A S

Página 18 C O N T R O L B O O L E A N O

Lo primero que debe seleccionar-

se es el objeto a ser reflejado. Luego, basta un clic sobre la recta (semirrecta o segmento) para que quede establecido el eje de si-metría a través del que se operará la reflexión.

Lo primero que debe seleccio-narse es el objeto a ser refleja-

do. Luego, basta un clic sobre el punto a través del cual se operará la reflexión.

Refleja Punto en Circunferencia

Esta herramienta permite refle-jar un punto por una circunfe-rencia, seleccionando el punto a invertir y luego la circunferencia para la reflexión.

Refleja Objeto por Punto

Refleja Objeto en Recta

Página 19 T R A N S F O R M A C I O N E S G E O M E T R I C A S

Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado

Lo primero que debe seleccionar-se es el objeto a ser rotado. Lue-go, basta un clic sobre el punto que obrará como centro de rota-ción para que aparezca una ven-tana donde puede especificarse la amplitud del ángulo de rota-ción.

Traslada Objeto por un Vector

Lo primero que debe selec-

cionarse es el objeto a ser trasladado. Luego, un clic so-

bre un vector, bastará para que se produzca la translación.

Inserta Texto

Con esta herramienta, pueden crearse fórmulas de LaTeX o textos, estáticos o dinámicos. En primer lugar, es necesa-rio especificar el texto, hacer clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya ubicación se vincula y asocia a dicho punto. A continuación, aparece una caja de diá-logo en la que se puede anotar el texto.

T E X T O

Página 20 T R A N S F O R M A C I O N E S G E O M E T R I C A S

* Texto* Texto* Texto* Texto Estático no depende de ningún objeto matemático y no suele afectarlo ningún cambio de la

construcción.

* Texto* Texto* Texto* Texto Dinámico

Es el que contiene valores de objetos y se modifica y adapta automáticamente frente a sus cambios.

* Texto* Texto* Texto* Texto Mixto es una combinación de texto estático y dinámico. Para crear un texto mixto, debe

anotarse el sector estático usando el teclado (por ejemplo: Punto A =) y añadir la sección diná-

mica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer (el punto A, en el caso de este ejem-

plo).

FórmulasFórmulasFórmulasFórmulas LaaaaTeXTeXTeXTeX

En GeoGebra también se pueden escribir

fórmulas. Para hacerlo, hay que tildar la ca-

silla correspondiente, Fórmula LaTeX, que

aparece en la ventana de diálogo de la

herramienta

InsertaInsertaInsertaInserta Texto y anotar la fórmula según la

sintaxis de LaTeX.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Para crear un texto que conten-

ga una formula LaTeX así como texto

estático, se ingresa la parte estática del

texto y luego se añade la fórmula LaTeX

entre un juego de símbolos de pesos ($).

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria ("Punto A = "

+ A) para crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el signo más

(+) para conectar las diferentes partes del texto.

Si ya existiera un objeto denominado xx y se deseara crear un texto estático usando ese

nombre, sería preciso anotarlo entre comillas, así; "xx" . De lo contrario, en lugar de mostrar ese

nombre, GeoGebra automáticamente crearía un texto dinámico, el del valor del objeto xx. Por el

contrario, puede anotarse cualquier texto que no coincida con el nombre de un objeto existente, sin

hacer la distinción implicada en las comillas.

LaTeX Entrada Resultado a \cdot b a ⋅ b

\frac{a}{b}

a

b

\sqrt{x} x

\sqrt[n]{x} n x

\vec{v} v

\overline{AB} AB

x^{2} x 2

a_{1} a1

\sin\alpha + \cos\beta sin α + cos β \int_{a}^{b} x dx

b

∫a xdx

\sum_{i=1}^{n} i^2 ∑n i 2 i =1

Página 21 T E X T O

Inserta imagen

En primer lugar, se debe especifi-car el lugar donde ubicarla, de una de las siguiente manera: Un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior izquierda.

Luego, en la caja de diálogo que se abre, se puede seleccionar una ima-gen de entre los archivos de forma-to gráfico que aparecen listados, almacenados en los directorios o carpetas que se examinan a tal efec-to.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Después de seleccionar la

herramienta Inserta Imagen,magen,magen,magen, pue-den usarse las teclas de atajo Alt‐clic para pegar una imagen directamente desde el portapapeles.

Puntos:Puntos:Puntos:Puntos: En GeoGebra los nombres de los puntos, se distinguen por ser siempre letras mayúsculas. Basta, entonces, con anotar el nombre (por ejemplo: A, P) y un signo igual antes de las coordenadas. EjemploEjemploEjemploEjemplossss: C = (2, 4), P = (1; 180°), Complejo = 2 + i

Se le puede asignar un nombre a un objeto cuando se lo ha creado usando la Barra de Entrada:

Nombrando Objetos

E N T R A D A A L G E B R A I C A

VectoreVectoreVectoreVectoressss:::: Para distinguirlos de los puntos, GeoGebra reserva la letra minúscula para los vectores. Nuevamente, se debe anotar el nombre (sea., v, u) y un signo igual frente a las coordenadas del vector. EjemploEjemploEjemploEjemplossss:::: v = (1, 3), u = (3; 90°), complejo = 1 – 2i

Rectas,Rectas,Rectas,Rectas, circunferencias, secciones cónicassss:::: Estos objetos pueden definirse por su nombre seguido de dos puntos antecediendo a su ecuación o comando EjemploEjemploEjemploEjemplossss:::: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y – 2)^2 = 4, hyp: x^2 – y^2 = 2

Página 22 I M A G E N E S

FuncioneFuncioneFuncioneFuncionessss:::: Se pueden ingresar con un nombre que las caracterice como tales, por ejemplo, f(x) = o g(x)= previo a la ecuación de tal función o de los comandos correspondientes en juego.

EjemploEjemploEjemploEjemplossss:::: h(x) = 2 x + 4, q (x) = x^2, trig(x) = sin(x)

E N T R A D A D I R E C T A

Números Se pueden crear números usando la Barra de Entrada. Si se anota un número (por ejemplo; 3), GeoGebra le asigna como nombre una letra minúscula. Si se prefiere otro nombre, es preciso anotarlo seguido del signo igual que antecederá al valor numérico (por ejemplo., para crear un decimal r se anota r = 5.32 ).

Ángulos Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). La constante π es útil para los va-lores en radianes y puede también anotarse como pi AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Se puede ingresar el símbolo de grados ° o el de pi, π usando las siguientes teclas

de atajo:

• Alt‐O (MacOS: Ctrl‐O) para el símbolo de grados ° • Alt‐P (MacOS: Ctrl‐P) para el símbolo π

Puntos y Vectores Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenada cartesianas o Polares.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas, vectores. Ejem-

plossss::::

• Para ingresar un punto P o un vector v en coordenadas cartesianas se anota P =

(1, 0) o v = (0, 5) .

• Para usar coordenadas polares se anota P = (1; 0°) o v = (5; 90°) .

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: El punto y coma separa las coordenadas. Si no se anota el símbolo de grados, GeoGe-

bra asumirá que el valor del ángulo está expresado en radianes.

Página 23 E N T R A D A A L G E B R A I C A

Secciones Cónicas

Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y.

Se pueden emplear en la ecuación, variables previamente definidas (números, puntos, vec-

tores).

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: El nombre de la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada, seguido de los dos puntos.

eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 9 x^2 – 16 y^2 = 144 y^2 = 4 x k1: x^2 + y^2 = 25 k2: (x – 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

• Elipse eli: • Hipérbola hip: hip:

• Parábola par: par:

• Circunferencia k1: • Circunferencia k2:

Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Si se definen dos parámetros a = 4 y b = 3 , a partir de ellos se puede ingresar una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 .

Función de x

Para ingresar una función podemos emplear variables previamente defini-

das (números, puntos, vectores) y otras funciones. EjemploEjemploEjemploEjemplossss::::

• Función f: f(x) =

• Función g: g(x) =

3 x^3 – x^2 tan(f(x))

• Función sin nombre: sin(3 x) + tan(x)

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Todas las funciones internas (como seno, coseno, tangente - sin, cos, tan - etc. y otras trigonométricas) se describen en la sección dedicada a Fun-ciones Pre-Definidas y Operaciones).

En GeoGebra, también existen comandos para obtener, por ejemplo, la Integral y Derivada de una función.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: También se pueden emplear los comandos f’(x) o f’’(x) ,… para las derivadas de una función f(x) previamente definida:

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Tras definir la función f como f(x) = 3 x^3 – x^2 se puede ingresar en g(x) = cos(f’(x + 2)) para obtener la función g.

Página 24 E N T R A D A D I R E C T A

Funciones Pre‐‐‐‐Definidas y Operaciones

Para ingresar números, coordenadas o ecuaciones se pueden emplear las siguientes fun-

ciones pre-definidas y operaciones. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las funciones pre-definidas deben ingresarse usando paréntesis y sin dejar espa-cio alguno entre el nombre de la función y el paréntesis. Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra:

OperaciónOperaciónOperaciónOperación / Función EntradaEntradaEntradaEntrada

suma +

resta -

producto * o tecla Espaciadora

producto escalar * o tecla Espaciadora

división /

exponenciación ^ o 2

factorial !


función Gamma gamma( )

paréntesis ( )

coordenada‐x x( )

coordenada‐y y( )

valor absoluto abs( )

signo sgn( )

raíz cuadrada sqrt( )

raíz cúbica cbrt( )

número aleatorio entre 0 y 1 random( )

función exponencial exp( ) o ℯx

logaritmo (natural, de e) ln( ) o log( )

logaritmo de2 ld( )

logaritmo de10 lg( )

coseno cos( )

seno sin( )

tangente tan( )

arco coseno acos( )

arco seno asin( )

arco tangente atan( )

coseno hiperbólico cosh( )

seno hiperbólico sinh( )

tangente hiperbólica tanh( )

coseno antihiperbólico acosh( )

seno antihiperbólico asinh( )

tangente antihiperbólica atanh( )


Operaciones Booleanas


mayor entero menor o igual que

floor( )

menor entero mayor o igual que

ceil( )

redondeo round( )

Se pueden usar en GeoGebra, las siguientes operaciones con variables y condiciones booleanas sea seleccionándolas de la lista desplegable próxima a la Barra de Entrada, sea ingresándolas usando el teclado.

ListaListaListaLista TecladoTecladoTecladoTeclado EjemploEjemploEjemploEjemplo TiposTiposTiposTipos

Igual

≟

==

a ≟ b o a == b

números, puntos, rectas, cónicas a, b

desigual

≠

!=

a ≠ b o a != b

números, puntos, rectas, cónicas a, b

menor que <

<

a < b números a, b

mayor que >

>

a > b números a, b

menor o igual a ≤ <=

a ≤ b o a <= b números a, b

mayor o igual a ≥ >=

a ≥ b o a >= b números a, b

.Y. ∧ &&

a ∧ b o a && b Booleanas a, b

.O. ∨ ||

a ∨ b o a || b Booleanas a, b

No ¬ ! ¬a o !a Booleanas a

paralela ∥ a ∥ b rectas a, b

perpendicular ⊥ a ⊥ b rectas a, b

Lista de Objetos y de Operaciones

Usando llaves pueden crearse listas de varios objetos (como puntos, segmentos, circunferencias).

EjemploEjemploEjemploEjemplossss::::

• L = {A, B, C} establece una lista de tres puntos definidos previamente A, B, y C. • L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} produce una lista de los puntos ingresa-

dos, en tanto puntos sin nominar.


Pueden compararse dos listas de objetos empleando la siguiente sintaxis:

• lista1 == lista2 : Controla si las dos listas son iguales y brinda como resultado de salida verdadero (true) o falso (false).

• lista1 != lista2 : Controla si las dos listas son desiguales y brinda como resultado de salida verdadero (true) o falso (false).

Comparar Listas de Objetos

Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Cada vez que se aplican operaciones y funciones pre-definidas a listas, se obtiene como resultado, una nueva lista.

SumasSumasSumasSumas y Resssstastastastas - Ejemplllloooossss:::: • Lista1 + Lista2 : Suma uno a uno, cada par de elementos correspon-

dientes de una y otra lista. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las dos listas deben tener la misma longitud.

• Lista + Número : Suma el número a cada uno de los elementos de la lista. • Lista1 – Lista2 : Resta los elementos de la segunda lista a cada

uno de os correspondientes de la primera. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las listas deben tener la misma longitud.

MultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicación y División - Ejemplossss:::: • Lista1 * Lista2 : Multiplica uno a uno, cada par de ele-

mentos correspondientes de una y otra lista. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las listas deben tener la misma longitud. Si las dos listas son matrices compatibles, se emplea la multiplicación de matrices.

• Lista * Número : Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista. • Lista1 / Lista2 : Divide uno a uno, cada uno de los elementos de la

primera lista por los correspondientes de la segunda. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Las listas deben tener la misma longitud.

• Lista / Número : Divide cada elemento de la lista, por el número.

• Número / Lista : Divide el número por cada elemento de la lista.

EjemplosEjemplosEjemplosEjemplos usando funciones:

• Lista^2 : Eleva al cuadrado cada elemento de la lista.

• sin(Lista) : Aplica la función seno a cada elemento


Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices

GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que con-

tiene las filas de la matriz.

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: En GeoGebra, {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz

Operaciones con Matrices

SumasSumasSumasSumas y Resssstastastastas - Ejemplllloooossss:::: : · Matriz1 + Matriz2: Suma uno a uno, cada par de elementos correspondientes

de una y otra matriz. · Matriz1 – Matriz2: Resta uno a uno, cada par de elementos correspondientes

de una y otra matriz, entre dos compatibles entre sí.

MultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicaciónMultiplicación - Ejemplossss:::: : · Matrix * Número: Multiplica por el número, cada uno de los elementos de la lista.

matriz. · Matriz1 * Matriz2: Usa la multiplicación de matrices para calcular la matriz resultan-

te. Atención: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elementos. Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} dan por resultado la matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}.

· 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. Ejemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) da por resultado el punto A = (11, 25).

• 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. Ejemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) Da por resultado el punto A = (8, 20). Atención: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas homogéneas se usan (x, y, 1) para un punto y (x, y, 0) por un vector. Este ejemplo, es por lo tanto, equivalente a: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}}

Otros ejemplos:

· Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada. · Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada · Traspuesta[Matriz]: Traspone la matriz dada


Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas

GeoGebra no trata directamente con números complejos, pero se pueden emplear puntos para simular operaciones con números com-

plejos. Si la variable i no hubiera sido definida, será reconocida como el par ordenado i = (0, 1) o el número complejo 0 + 1i. Esto implica que la variable i también puede usarse para anotar números com-plejos en la Barra de Entrada (como q = 3 + 4i ).

SumasSumasSumasSumas y Resssstastastastas - Ejemplllloooossss::::

• (2 + 1i) + (1 – 2i) da por resultado el número complejo 3 – 1i. • (2 + 1i) - (1 – 2i) da por resultado el número complejo 1 + 3i.

Multiplicación y División - Ejemplossss::::

• (2 + 1i) * (1 – 2i) da por resultado el número complejo 4 – 3i.

• (2 + 1i) / (1 – 2i) da por resultado el número complejo 0 + 1i.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: La multiplicación habitual (2, 1)*(1, -2) da por resultado el producto escalar de los dos vectores.

OtrosOtrosOtrosOtros ejemplos: GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos.

• 3 + (4 + 5i) da por resultado el número complejo 7 + 5i.

• 3 - (4 + 5i) da por resultado el número complejo -1 - 5i.

• 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 -3i.

• 3 * (1 + 2i) da por resultado el número complejo 3+-6i.

C O M A N D O S

Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los existentes. Atenciónnnn:::: El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo sucedido por “=”. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se llamará S.

Comandos Generales

PasoConstrucciónPasoConstrucciónPasoConstrucciónPasoConstrucción

PasoConstrucción[] : Da por resultado el número del paso de construcción actual del Protocolo de Construcción PasoConstrucción[Objeto] : Da por resultado el número del paso de construc-ción del Protocolo de Construcción para el objeto en cuestión

BorraBorraBorraBorra

Borra[Objeto] : Borra tanto el objeto como los que de él derivan y/o dependen. Atenciónnnn:::: Ver también la herramienta Borra Objeto


RelacRelacRelacRelaciiiiónónónón

Relación[Objeto a, Objeto b] : Expone un cuadro de mensaje que informa la relación entre el objeto a y el b.

AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Ver también la herramienta Relación AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Este comando nos permite averiguar si dos objetos son iguales, si un

Comando Booleano

Si

Si[condición, Objeto a]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resul-ta cierta, y un objeto indefinido si se la evalúa falsa.. Si[condición, Objeto a, Objeto b]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta cierta, y una del objeto b si se la evalúa falsa.

Si[Condición, Entonces] Si[ Condición, Entonces, Si no ]

Definido Definido[Objeto]: Da por resultado cierto o falso, según el objeto estuviera defi-nido o no.

EsEntero EsEntero[Número(o valor numérico)] Establece cierto o falso, según el número resultante fuera o no entero.

Números

RazónSimple RazónSimple[ Origen (punto), Final (punto), Punto Alineado]

RazónSimple[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado la razón simple λ entre tres puntos alineados A, B, y C, donde C = A + λ * AB

Area Area[Punto A, Punto B, Punto C, ...]: Calcula el área del polígono definido por los puntos vértices A, B, C… Area[Cónica c]: Área de la sección cónica c (circunferencia o elipse) Atención: Para calcular el área entre dos funciones gráficas, se precisa el co-mando Integral. Ver también la herramienta Area

Area[Vértice Inicial (punto), ..., Vértice Final (punto)] Area[Cónica] PasoEje

PasoEjeX[]Da por resultado el ancho de la graduación actual del eje-x PasoEjeY[]Da por resultado el largo de la graduación actual del eje-y

Página 30 C O M A N D O S

NúmeroCombinatorio NúmeroCombinatorio[Número n, Número r]: Da por resultado el coeficiente binomial: cantidad de combinaciones de ‘n elementos tomados de r en r’

PerímetroCónica PerímetroCónica[cónica]: Da por resultado el perímetro de la sección cónica. Atención: Sólo tiene sentido aplicado a una circunferencia o elipse.

RazónDoble RazónDoble[punto A, punto B, punto C, punto D]: Da por resultado la razón doble λ de cuatro puntos alineados A, B, C y D, donde λ = RazónSimple[B, C, D] / RazónSimple[A, C, D]

RazónDoble[Origen 1 (punto), Origen 2 (punto), Final (punto), Punto Alineado]

Curvatura Curvatura[Punto, Función]: Da por resultado la curvatura de la función en el punto. Curvatura[Punto, Curva]: Da por resultado la curvatura de la curva en el punto.

Distancia

Distancia[Punto A, Punto B]: Determina la distancia entre dos puntos A y B Dis-tancia[Punto, Recta]: Da por resultado la distancia entre el punto y la recta Dis-tancia[Recta g, Recta h]: Calcula la distancia entre las rectas g y h. Atención: La distancia entre rectas secantes (que se intersecan) es 0. Este co-mando sólo es relevante para rectas paralelas.

Distancia[Punto, Punto] Distancia[Punto, Recta, Semirrecta o Segmento]

MCD MCD[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo común divisor de los números a y b MCD[Lista de números]: Da por resultado el máximo común divisor de la lis-ta de números.

MCD[Número (o valor numérico) , Número (o valor numérico)] MCD

[Lista de Números] Cociente Entero

Cociente[Número a, Número b]:Calcula el cociente entero resultante de la divi-sión de un número a por un número b

Cociente[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numé-rico)]

Integral Integral[Función f, Número a, Número b]: Da por resultado la Integral defi-nida de una función f(x) en el intervalo [a , b]. Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función f y el eje x. Integral[Función f, Función g, Número a, Número b]: Da por resultado la inte-gral definida de la diferencia f(x) ‐ g(x) en el intervalo [a, b].


Iteración Iteración[Función, Número x0, Número n]: Itera la función n veces usando el valor inicial dado x0. Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f, 3, 2] brinda el resultado (32)2 = 27

Iteración[Función, Valor Inicial, Número de Iteraciones]

MCM

MCM[Número a, Número b]:Calcula el mínimo común múltiplo de dos números a y b MCM[Lista de Números]:Calcula el mínimo común múltiplo de los elementos de la lista.

Longitud

Longitud[Vector]: Da por resultado la longitud del vector. Longitud[Punto A]: Da por resultado la longitud del módulo del vector posición del punto dado.

Longitud[Función f, Número x1, Número x2]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función f en el intervalo [x1, x2]

Longitud[Función, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función entre dos puntos A y B

Atención: Si los puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función, se tomarán sus correspondientes –coordenadas x para determina el intervalo. Longitud[Curva, Número t1, Número t2]: Da por resultado la longitud de la curva entre los valores paramétricos t1 y t2

Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Da por resultado la longitud de la curva c entre dos puntos A y B de tal curva Longitud[lista]: Da por resultado la longitud de la lista que no es sino el número de elementos que contiene.

Atención: Ver también la herramienta Distancia o Longitud SemiFocal

SemiFocal[Cónica]: Da por resultado la distancia semifocal de la sección cónica, semi- distancia entre ambos focos o distancia entre uno de sus focos y el centro Atención: Recordemos que la excentricidad lineal es la razón entre la semi-focal y la longitud del semi-eje mayor (o principal).

SumaInferior SumaInferior[Función, Número a, Número b, Número n]: Establece la suma infe-rior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos. Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma inferior. Mínimo y Máximo

Mín[número a, número b]: Da por resultado el mínimo de los números a y b dados Max[Número a, Número b]: Da por resultado el máximo de los números a y b.


Función Módulo o Resto Resto[número a, número b]: Determina el resto correspondiente cuando la par-te entera de un número a se divide por la parte entera de un número b

Resto[Dividendo (número o valor numérico), Divisor (número o valor numérico)] Parámetro Parámetro[Parábola]: Da por resultado el parámetro de la parábola (distancia entre directriz y foco) Perímetro

Perímetro[Polígono]: Da por resultado el perímetro del polígono Radio

Radio[Circunferencia]: Da por resultado el radio de la circunferencia.

Comandos Aleatorios

AleatorioEntre[Mínimo(número o valor numérico), Máximo (número o valor numérico)] Genera un entero aleatorio entre Mínimo y Máximo (inclusive).

AleatorioBinomial[Número de Intentos n, Probabilidad p] Genera un número aleatorio desde una distribución binomial con n intentos y probabilidad p.

AleatorioNormal[Media,Desviación Estándar] Genera un número aleatorio des-de una distribución normal con la media y distribución estándar dadas. Aleatorio Poisson[Media]: Genera un número aleatorio desde una distribución Poisson con la media dada. LongitudSemiejePrincipal LongitudSemiejePrincipal[Cónica] Da por resultado la longitud del semi-eje principal de la sección cónica. LongitudSemiejeSecundario

LongitudSemiejeSecundario[Cónica] Calcula la longitud del semi-eje secundario de la sección cónica. Pendiente Pendiente[Recta, semirrecta o segmento] Determina la pendiente de la recta involucrada. SumaTrapezoidal SumaTrapezoidal[Función, Número a, Número b, Número n de trapezoides]: Calcula la suma trapezoidal de la función en el intervalo [a, b] con n trapezoides. SumaSuperior SumaSuperior[Función, Número a, Número b, Número n]: Calcula la suma supe-rior de la función en el intervalo [a, b] con n rectángulos.


Ángulo

Ángulo

Ángulo[Vector v1, Vector v2]: Da por resultado el ángulo entre dos vectores v1 y v2 (entre 0 y 360°)

Ángulo[Recta g, Recta h]: Da por resultado el ángulo entre los vectores director de dos rectas g y h (entre 0 y 360°) Ángulo[Punto A, Punto B, Punto C]: Da por resultado el ángulo tendido entre BA y BC (entre 0 y 360°). El punto B es el vértice. Ángulo[Punto A, Punto B, Ángulo alpha]: Da por resultado el ángulo de amplitud α trazado desde A con vértice en B. Ángulo[Cónica]: Da por resultado el ángulo de revolución del eje principal de una sección cónica c Ángulo[Vector]: Da por resultado el ángulo entre eje‐x y vector dado. Ángulo[Punto]: Da por resultado el ángulo entre el eje-x y el vector de posición del punto A

Ángulo[Número]: Convierte el número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi) Ángulo[Polígono]: Crea todos los ángulos interiores de un polígono con orientación matemáticamente positiva (sentido anti-horario).

Puntos

Centro

Centro[Cónica]: Marca el centro de una sección cónica. Centroide

Centroide[Polígono]: Marca el centroide del polígono Esquina

Esquina[Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina (n = 1, 2, 3, 4) que nunca se hará visible en pantalla.

Esquina[Imagen, Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina enésima de la imagen (número n = 1, 2, 3, 4 dado que son 4 los vértices) Esquina[Texto, Número de Esquina]: Crea un punto en la esquina del texto (n = 1, 2, 3, 4) Extremo Extremo[Polinomio]: Determina todos los extremos locales de la función polinó-mica como puntos sobre el gráfico de la función.

Foco

Foco[Cónica]: Establece (todos) los focos de la sección cónica c PuntoInflexión PuntoInflexión[Polinomio]:Establece todo punto de inflexión del polinomio como puntos de la función gráfica.


Interseca

Interseca[Recta g, Recta h]: Establece el punto de intersección de las rectas g y h

Interseca[Recta, Cónica]: Establece todos los puntos de Intersección de la recta y la sección cónica (como máximo, 2) Interseca[Recta, Cónica, Número n]: Establece el punto número n de in-tersección de la recta y la sección cónica. Interseca[Cónica c1, Cónica c2]: Establece todos los puntos de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 (como máximo, 4) Interseca[Cónica c1, Cónica c2, Número n]: Establece el punto número n de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2]: Establece todos los puntos de inter-sección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f1, Polinomio f2, Número n]: Establece el punto número n de intersección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f, Recta]: Establece todos los puntos de intersección del poli-nomio f y la recta. Interseca[Polinomio, Recta, Número n]: Marca el punto número n de inter-sección del polinomio y la recta Interseca[Función f, Función g, Punto A]: Calcula el punto de intersección de las funciones f y g usando el método de Newton., estableciendo como pun-to inicial a A. Interseca[Función, Recta, Punto A]: Calcula el punto de intersección de la fun-ción y la recta usando el método de Newton., estableciendo como punto inicial a

A. Atención: Ver también la herramienta Intersección de Dos Objetos PuntoMedio

PuntoMedio[Punto A, Punto B]: Marca el punto medio entre los puntos A y B PuntoMedio[Segmento]: Marca el punto medio del segmento.

Atención: Ver también la herramienta PuntoMedio o Centro Punto

Punto[Recta]: Marca un punto en la recta

Punto[Cónica]: Marca un punto en la sección cónica Pun-to[Función]: Marca un punto en la función

Punto[Polígono]: Marca un punto en el polígono. Punto[Vector]: Marca un punto en el vector Punto[Punto, Vector]: Crea un nuevo punto originado al operar sumando al dado, el vector. Atención: Ver también la herramienta Punto Raíz Raíz[Polinomio]:Establece todas las raíces del polinomio como puntos de la fun-ción gráfica. Raíz[Función, Número a]: Establece una raíz de la función usando el método de Newton, tomando a como valor inicial Raíz[Función, Número a, Número b]: Establece una raíz de la función en el in-tervalo [a, b]


Vectores

Vector Curvatura

VectorCurvatura[Punto, Función]:Establece el vector curvatura de la función en el punto dado. VectorCurvatura[Punto, Curva]: Establece el vector curvatura de la curva en el punto dado Dirección

Dirección[Recta]: Establece el vector director de la recta. Atención: Una recta cuya ecuación es ax + by = c tiene vector director (b, ‐ a). VectorPerpendicular

VectorPerpendicular[Recta]: Establece el vector perpendicular de una recta Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a, b). VectorPerpendicular[Vector]: Vector perpendicular del vector dado. Atención: El vector de coordenadas (a, b) tiene uno perpendicular de (‐ b, a). VectorUnitarioPerpendicular VectorUnitarioPerpendicular[Recta]: Establece el vector unitario perpendi-cular a la recta dada VectorUnitarioPerpendicular[Vector]: Establece el vector unitario perpendi-cular a vector dado VectorUnitario VectorUnitario[Recta]: Establece el vector director de longitud unitaria de la recta dada. VectorUnitario[Vector]: Establece el vector director de longitud unitaria con la misma dirección y orientación del dado.

Vector

Vector[Punto A, Punto B]: Crea el vector desde el punto A al punto B Vector[Punto]: Establece el vector posición del punto

Atención: Ver también la herramienta Vector entre Dos Puntos

VérticeVérticeVérticeVértice

Vértice[Cónica] : Da por resultado (todos) los vértices de la sección cónica

Segmentos

SegSegSegSegmmmmentoentoentoento

Segmento[Punto A, Punto B] : Crea el segmento entre dos puntos A y B

Segmento[Punto A, Número a] : Crea el segmento de longitud a y punto inicial A. AtencióAtencióAtencióAtenciónnnn:::: Ver también las herramientas Segmento entre Dos Puntos y Segmento dados


Semirrecta Semirrecta[Punto A, Punto B]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto A y pasa por el punto B Semirrecta[Punto, Vector v]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto dado y tiene la dirección del vector v

Atención: Ver también la herramienta Semirrecta que pasa por Dos Puntos

Semirrectas

Polígonos

Polígono Polígono[Punto A, Punto B, Punto C,...]: Establece un polígono definido por los puntos A, B, C,… dados Polígono[Punto A, Punto B, Número n]: Establece un polígono regular con n vértices (incluyendo los puntos A y B)

Atención: Ver también las herramientas Polígono y Polígono Regular

Secciones

Circunferencia Circunferencia[Punto M, Número r]: Establece la circunferencia con centro M y radio r

Circunferencia[Punto M, Segmento]: Establece la circunferencia con centro M y radio de longitud dada por el segmento Circunferencia[Punto M, Punto A]: Establece la circunferencia con centro M y que pasa por el punto A Circunferencia[Punto A, Punto B, Punto C]: Establece la circunferencia que pasa por los puntos dados A, B y C

Atención: Ver también las herramientas Compás, Circunferencia dados su

Centro y uno de sus Puntos, Circunferencia dados su Centro y Radio y Cir‐

cunferencia dados

Tres de sus Puntos

Cónica Cónica[Punto A, Punto B, Punto C, Punto D, Punto E]: Produce la sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A, B, C, D y C.

Atención: Si cuatro de estos puntos estuvieran alineados, la sección cónica resulta indefinida.

Atención: Ver también la herramienta Cónica dados Cinco de sus Puntos


Elipse Elipse[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Atención: Condición: 2a > Distancia[F, G] Elipse[Punto F, Punto G, Segmento]: Crea la elipse con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado. Elipse[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A y B que pasa a través del punto C Atención: Ver también la herramienta Elipse Hipérbola

Hipérbola[Punto F, Punto G, Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F, G] Hipérbola[Punto F, Punto G, Segmento s]: Crea la hipérbola con puntos fo-cales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s]) Hipérbola[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A y B que pasa por el punto C Atención: Ver también la herramienta Hipérbola CírculoOsculador

CírculoOsculador[Punto, Función]: Establece el círculo osculador de la función en el punto dado CírculoOsculador[Punto, Curva]: Establece el círculo osculador de la curva en el punto dado Parábola

Parábola[Punto F, Recta g]: Establece la parábola con punto focal F y directriz g Atención: Ver también la herramienta Parábola


G R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R AG R A C C E L I Z G U T A R R A G U E V A R A C 6C 6C 6C 6 ———— I N F O R M Á T I C A I N F O R M Á T I C A I N F O R M Á T I C A I N F O R M Á T I C A ---- P R O M O 2 0 0 7P R O M O 2 0 0 7P R O M O 2 0 0 7P R O M O 2 0 0 7

manual básico de geogebra

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