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Mannigfaltigkeiten und Integration I
Martin Jochum
16. Dezember 2008
Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 1 / 28
Gliederung
MannigfaltigkeitenDefinitionFolgerungenTangentialvektorenDifferentialformen
Euklidische SimplizesDefinitionMotivationRanderKetten
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Mannigfaltigkeiten
Mannigfaltigkeiten
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MannigfaltigkeitenDefinition
Mannigfaltigkeit
Eine n-dimensionale (differenzierbare) Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum M zusammenmit einer Menge von offenen Teilmengen Ui ⊆M, i = 1 . . . m, sodass gilt:
1. Die Teilmengen Ui, i = 1 . . .m stellen eine Uberdeckung vonM dar, d. h. es gilt
M =m⋃
i=1
Ui.
2. Auf jeder Teilmenge Ui, i = 1 . . .m existiert ein Homoomorphismus (Diffeomorphismus)
φi : Ui → φi(Ui) ⊆ Rn.
3. Fur jede Kombination i, j, sodass Ui ∩ Uj 6= ∅ gilt, ist die Komposition
φj ◦ φ−1
i : φi(Ui ∩ Uj) ⊆ Rn → φj(Ui ∩ Uj) ⊆ R
n
ein Homomorphismus (Diffeomorphismus) zwischen φi(Ui ∩ Uj) und φj(Ui ∩ Uj) .
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MannigfaltigkeitenDefinition
Bezeichnungen
I Die Teilmengen Ui, i = 1 . . .m werden Kartengebiete genannt.
I Die Abbildungen φi : Ui → φi(Ui) ⊆ Rn werden als Karten bezeichnet.
I Die Menge A = {(Ui, φi), i = 1 . . .m} heißt Atlas vonM.
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MannigfaltigkeitenDefinition
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
Koordinatenwechsel
I Betrachte Kartengebiete UI mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn und UJ mit lokalenKoordinaten y1, . . . , yn, sodass UI ∩ UJ 6= ∅.
I yi bzw. xj auf Uberlappung UI ∩ UJ als glatte Funktionen der xi bzw. yj darstellbar
yj = yj(x1, . . . , xn) j = 1, . . . , n
xi = xi(y1, . . . , yn) i = 1, . . . , n
⇒ yj = yj(x(y1, . . . , yn))
I Ableitung nach den y ergibt
δjk
=n
∑
i=1
∂yj
∂xi
∂xi
∂yk⇔
∥
∥
∥
∥
∂yj
∂xi
∥
∥
∥
∥
·
∥
∥
∥
∥
∂xi
∂yk
∥
∥
∥
∥
= I.
I Fur die Jacobi-Determinanten gilt
∂(y1, . . . , yn)
∂(x1, . . . , xn)
∂(x1, . . . , xn)
∂(y1, . . . , yn)= 1 ⇒
∂(y1, . . . , yn)
∂(x1, . . . , xn)6= 0 auf ganzUI ∩ UJ
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
Orientierbarkeit
Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist orientierbar, falls die lokalen Koordinaten
xi, i = 1 . . . n auf UI bzw. yj auf UJ , j = 1 . . . n auf jeder Uberlappung UI ∩ UJ so gewahlt
werden konnen, dass fur die Jacobi-Determinante
∂(y1, . . . , yn)
∂(x1, . . . , xn)> 0
gilt.
FallsM orientierbar ist, sind zwei verschiedene Orientierungen moglich:
I Die Erste folgt, bis auf eine gerade Permutation, aus der Wahl der lokalen Koordinaten.
I Die Zweite folgt aus einer ungeraden Permutation der lokalen Koordinaten.
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MannigfaltigkeitenBeispiele
Orientierbare Mannigfaltigkeiten
• Oberflache einer Kugel • Oberflache eines Torus
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MannigfaltigkeitenBeispiele
Nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten
• Mobiusband • Kleinsche Flasche
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
Reellwertige glatte Funktion
SeiM eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und f eine reellwertige Funktion auf M
f :M→ R.
Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P ∈ M, falls es ein Kartengebiet U ⊆M mit P ∈ U und
eine Karte φ : U → Rn mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn gibt, sodass
f(P ) = f(φ−1(x1, . . . , xn))
glatt bzgl. der lokalen Koordinaten x1, . . . , xn ist. Eine Funktion ist glatt auf ganzM, wenn sie
in jedem Punkt vonM glatt ist.
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
Glatte Funktion
Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n und f eine Funktion
f :M→ N .
Die Funktion f ist glatt in einem Punkt P ∈M, falls es ein Kartengebiet U ⊆M mit P ∈ Ubzw. V ⊆ N mit f(P ) ∈ V und eine Karte φ : U → Rm mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xm
bzw. ψ : V → Rn mit lokalen Koordinaten y1, . . . , yn gibt, sodass die Komposition
ψ ◦ f ◦ φ−1
glatt bzgl. der lokalen Koordinaten ist.
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
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MannigfaltigkeitenFolgerungen
Untermannigfaltigkeit
Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n. Man nennt M eine
Untermannigfaltigkeit von N , falls eine Abbildung
i :M→N
so existiert, dass in lokalen Koordinaten der Rang der Jacobi-Matrix∥
∥
∥
∂yj
∂xi
∥
∥
∥der Abbildung i stets
gleich m ist.
Die Abbildung i wird als Einbettung bezeichnet. Grundsatzlich kann jede m-dimensionaleMannigfaltigkeit in einen RN mit N = 2m+ 1 eingebettet werden.
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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren
I Eine Definition der Tangentialvektoren in einem Punkt P ∈ M unabhangig von gerichtetenPfeilen wird benotigt.
I Eine Moglichkeit hierzu ist die Interpretation eines Tangentialvektors als Richtungsableitung
I Beispiel: Sei P ∈ E3 und v = (a, b, c) ein Vektor im Punkt P . Dann wird der Vektor v mit
dem Operator
(
a∂
∂x+ b
∂
∂y+ c
∂
∂z
)∣
∣
∣
∣
P
.
identifiziert.
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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren
Tangentialvektor
SeiM eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, P ∈ M ein Punkt vonM und F0(M) der Raum
der reellwertigen glatten Funktionen aufM. Ein Tangentialvektor v in einem Punkt P ∈ M ist
ein Operator
v : F0(M)→ R
der den Bedingungen
v(af + bg) = av(f) + bv(g) Linearitat
v(fg) = g(P )v(f) + f(P )v(g) Produktregel
fur beliebige f, g ∈ F0(M) und konstante a, b ∈ R genugt.
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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren
I Ist U eine Umgebung von P mit lokalen Koordinaten x1, . . . , xn, so ist jeder der Operatoren
vi =∂
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
ein Tangentialvektor im Punkt P .
I Die Gesamtheit aller Tangentialvektoren im Punkt P bildet den Tangentialraum TPM anMim Punkt P .
I Die zuvor eingefuhrten Tangentialvektoren vi, i = 1 . . . n bilden eine Basis desTangentialraumes.
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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren
Beweis:In lokalen Koordinaten habe der Punkt P ∈M die Form c = (c1, . . . , cn), v sei einTangentialvektor im Punkt P und es gelte
v(xi) = v(xi − ci) = ai.
Daruber hinaus sei f eine beliebige glatte Funktion auf M. Eine nach dem linearen Termabgebrochene Taylorreihen-Entwicklung dieser Funktion ergibt
f(x) = f(c) +n
∑
i=1
(xi − ci)∂f
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
Anwendung des Tangentialvektors v hierauf liefert
v (f) = v (f(c)) +n
∑
i=1
v(xi − ci)∂f
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
+n
∑
i=1
(ci − ci)v
(
∂f
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
)
=n
∑
i=1
ai ∂f
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
.
Hieraus folgt v in der Form
v =n
∑
i=1
ai ∂
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
,
d. h. ein beliebiger Tangentialvektor lasst sich als Linearkombination der vi = ∂∂xi
∣
∣
∣
Pdarstellen.
Somit sind die vi eine Basis des Tangentialraumes.
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MannigfaltigkeitenTangentialvektoren
I Die ai, i = 1 . . . n sind die Komponenten von v bzgl. des lokalen Koordinatensystemsx1, . . . , xn
I Ist ein zweites Koordinatensystem y1, . . . , yn mit
v =n
∑
i=1
bi∂
∂yi
∣
∣
∣
∣
P
gegeben, so gilt
bj =n
∑
i=1
ai ∂yj
∂xi
∣
∣
∣
∣
P
.
Dies entspricht der Transformationregel fur die kontravarianten Komponenten eines Vektors.
I Ein Tangentialvektorfeld ist eine glatte Zuordnung eines Tangentenvektors zu jedem PunktP ∈ M, d. h. in lokalen Koordinaten ergibt sich fur das Vektorfeld v die Darstellung
v =n
∑
i=1
ai(x)∂
∂xi,
wobei die ai(x), i = 1 . . . n als glatt angenommen werden.
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MannigfaltigkeitenDifferentialformen
I Die glatten Funktionen aufM werden wiederum als 0-Formen bezeichnet und bilden denRaum F0(M)
I Eine 1-Form ω in einem Punkt P ∈ M hat bzgl. lokaler Koodinaten (x1, . . . , xn) die Form
ω =n
∑
i=1
aidxi
I Ist im Punkt P ein zweites lokales Koordinatensystem (y1, . . . , yn) mit
ω =n
∑
j=1
bjdyj
gegeben, so genugen die Koeffizienten ai, bj der Beziehung
bj =n
∑
i=1
ai∂xi
∂yj
∣
∣
∣
∣
P
.
Dies entspricht der Transformationsregel fur die kovarianten Komponenten eines Vektors.
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MannigfaltigkeitenDifferentialformen
I Die p-Formen in einem Punkt P ergeben sich dann durch Bildung von Summen von außerenProdukten von 1-Formen
I Allgemein folgen die p-Formen aufM indem jedem Punkt vonM eine p-Form
ω =∑
aH(x)dxH
zugeordnet wird, wobei die aH(x) bzgl. der lokalen Koordinaten glatte Funktionen seinsollen.
I Das Verhalten bei Koordinatenwechseln von (x1, . . . , xn) nach (y1, . . . , yn) ergibt sich aus
dyj =n
∑
i=1
∂yj
∂xidxi.
Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 21 / 28
MannigfaltigkeitenDifferentialformen
I Alle lokalen Eigenschaften ubertragen sich entsprechend auf Mannigfaltigkeiten
I Ist eine Abbildung
φ :M→N
zwischen den m- bzw. n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten M und N gegeben, so wirdhierdurch eine Abbildung
φ∗ : Fp(N )→ F
p(M)
induziert.I Vollkommen analog zur lokalen Theorie ergibt sich
1. φ∗(ω + η) = φ∗ω + φ∗η,2. φ∗(ω ∧ η) = (φ∗ω) ∧ (φ∗η),3. d(φ∗ω) = φ∗(dω).
Fp(M)
φ∗
←− Fp(N )
d ↓ ↓dF
p+1(M)φ∗
←− Fp+1(N )
Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 22 / 28
Euklidische Simplizes
Euklidische Simplizes
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Euklidische SimplizesDefinition
I n-dimensionale Euklidische Simplizes stellen die Integrationsgebiete dar, auf denen spater dieIntegration von n-Formen durchgefuhrt wird.
I Beispiele:1. Ein 0-Simplex ist ein einzelner Punkt (P0).2. Ein 1-Simplex ist ein gerichtetes Geradenstuck, festgelegt durch seinen Anfangs- und Endpunkt
(P0, P1).3. Ein 2-Simplex ist ein geschlossenes Dreieck, festgelegt durch seine drei Eckpunkte (P0, P1, P2).4. Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder, festgelegt durch die vier Eckpunkte (P0, P1, P2, P3).5. . . .
I Allgemein ist ein n-Simplex sn die konvexe Hulle der n+ 1 Punkte (P0, . . . , Pn):
sn = (P0, . . . , Pn) =
{
P |P = t0P0 + · · ·+ tnPn, 0 ≤ ti, i = 1, . . . , n,n
∑
i=1
ti = 1
}
I Als standard n-Simplex wird der Simplex sn = (R0, . . . , Rn) mit
R0 = (0, 0, 0, . . . , 0, 0)
R1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)
R2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)
...
Rn = (0, 0, 0, . . . , 0, 1)
bezeichnet.
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Euklidische SimplizesMotivation
Motivation
I Komplexe Geometrien konnen aus Simplizes zusammengesetzt werden.
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Euklidische SimplizesRander
I Der Rand ∂s eines Simplex s ist eine formale Summe von Simplizes deren Dimension um einsgeringer ist als jene von s
∂(P0, . . . , Pn) =n
∑
i=0
(−1)i(P0, . . . , Pi−1, Pi+1, . . . , Pn)
I Beispiele:
1. 1-Simplex:∂(P0, P1) = (P1) − (P0)
2. 2-Simplex:∂(P0, P1, P2) =(P1, P2) − (P0, P2) + (P0, P1)
3. 3-Simplex:∂(P0, P1, P2, P3) = (P1, P2, P3) −(P0, P2, P3)+ (P0, P1, P3)− (P0, P1, P2)
(P0, P1, P2)
(P0, P1)
(P1, P2)
−(P0, P2)
Mannigfaltigkeiten und Integration I 16. Dezember 2008 26 / 28
Euklidische SimplizesKetten
I Eine n-Kette ist eine formale Summe der Form
c =N
∑
i=1
aisi,
wobei die ai Konstanten und die si n-Simplizes sind.
I Der Rand einer n-Kette ist definiert als
∂c =N
∑
i=1
ai∂(si),
wobei gilt, dass der Rand einer Kette selbst keinen Rand besitzt, d. h.
∂(∂c) = 0.
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Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
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