makteo 2.yiliçi sinav soru ve yanitlari

27.4.2004 MAKİNA TEORİSİ

2. Yıliçi Sınavı

SORU 2 Şekilde bir jet motoru ve ona ait rotor gösterilmiştir. Berkil cisim kabul edilebilen rotorun kompresör düzlemlerinin üçünde ve türbin düzlemlerinin birinde mi, ri dengesizlikleri mevcuttur.

m1=30 g, m2=25 g, m3=20 g, m4=15 g, r1=44 cm, r2=40 cm, r3=34.3 cm, r4=45 cm verildiğine göre;

a) Bu rotoru dengelemek üzere şekilde gösterilen R ve L dengeleme düzlemlerine yerleştirilmesi gereken dengeleme büyüklüklerini ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız.

b) Dengelemenin R ve L düzlemlerinde rL=37 cm ve rR=44 cm yarıçaplı çemberler üzerine β=5o lik eşit açısal aralıklarla dizili civataların gramajı farklı civatalarla değiştirilmesi yoluyla yapılması düşünüldüğüne göre hangi civatalarda ne kadar değişiklik yapılmalıdır?

Difüzör Kompresör Türbin Nozul

1 2 3 4 R L

30 20 35 150 cm 25

Yanma Odası

m1

m2

m3m4

r2

r1

r3 r4

60°

45°

y

x

z

y

r

y

x β

k

m1 m2

ℓ

β.ℓ

O

SORU 3 Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, bir ucundan mafsallı ince, düzgün kesitli, homojen ve berkil m1,ℓ çubuğu öbür ucunda m2 noktasal kütlesini taşımaktadır. Sistemin küçük genlikli titreşimlerinin doğal frekansını;

a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) m1=2400 g, m2=1200 g, k=7200 N/m, β=1/3

verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.

q s er m2

m1 Mç

SORU 1 Şekilde e merkez kaçıklığına sahip bir eksantermekanizması yardımıyla çalıştırılan bir giyotin tezgahı gösterilmiştir. Makina, m1 kütleli, r yarıçaplı homojen bir dairesel levhadan ibaret olan eksantere etkiyen Mç çalıştırma momentinin, giyotin bıçağını taşıyan m2 kütleli bloğun sabit uzva göre hareketine karşı koyan c katsayısına sahip viskoz sürtünme kuvvetinin ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna göre giyotinin kesme işlemi yapmadığı boşta çalışma hareketine ait Eksergian hareket denklemini elde ediniz.

29/04/2005 MAKİNA TEORİSİ

2.Yıliçi Sınavı

SORU 2 Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=18 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız.

ϕ[°] θ3[°] θ4[°] 3g′ 80 350.761 92.794 -0.634

m1=0,03 kg, m2=0,02 kg, m3=0,015 kg, m4=0,025 kg r1=25 cm, r2=10 cm, r3=35 cm, r4=15 cm

1

32

L R

z

20 20 20 40 cm

4

30

SORU 3 Şekildeki sistemde, O noktasına yataklanmış kılavuzun kütlesi m1 ve m2 kütleleri yanında ihmal edilmektedir. Sistemin doğal frekansını; a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) m1=7 kg, m2=8 kg, k1=10 kN/m, k2=400 N/m, a=20 cm, b=30 cm verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.

SORU 1 Şekilde r1=4 m, r2=7 m, r3=2.5 m, r4=6.5 m, l =2.5 mboyutlarına sahip bir üç çubuk mekanizması gösterilmiştir.

a) Mekanizma ϕ=80o ile tanımlanan konumundayken C noktasından asılı P=5000 N luk yükü dengede tutabilmek için 2 numaralı uzva uygulanması gereken Md denge momentini uzuv ağırlıklarını göz ardı ederek hesaplayınız.

b) (a) şıkkındaki koşullar altında A ve B mafsallarıyla Boyatağına etkiyecek mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması problemini formüle ediniz.

Bazı kinematik çözümleme sonuçları:

y

300

400

700

x

3

1

4

2

500 r1 r4

r3

r2

ϕ r1

r2

r3

r4

l

θ4

θ3

x

y

A0 B0

A B (=S3)

C

P

Md

S4

B0S4= BS4

x2

b

x1

k1

k2

m2

m1

aKılavuz

O

k2 k2


2. Yıliçi Sınavı SORU 1

SORU 2 SORU 3

Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin

dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.

b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz.

y

x

ω

4 3

2

1

Uzuv kütleleri m2, m3 ve m4 olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu r boyunda ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan şekildeki makina F3=F ve F4=4F sabit kuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini ve ℑ(q) genelleştirilmiş

eylemsizliğini elde ediniz, b) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu

belirleyiniz, c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz, d) 2 no.lu uzvu sabit ωq =& açısal hızıyla çevirebilmek için

uygulanması gereken M2(q) momentini belirleyiniz.

s4 2

1 3 4

F3=F

F4=4F

M2(q)

s3

q

Şekilde bir iş makinasının kepçesi ve ona ait mekanizma gösterilmiştir. Kepçeyi taşıyan 1 no.lu uzuv sabit olduğuna göre, kepçenin θ2=800 ile verilen konumunda C noktasına etkiyen F kuvvetini dengeleyebilmek için DA hidrolik silindirinin uygulaması gereken kuvveti hesaplayınız. A0A=50 cm AB=46 cm B0B=32 cm A0B0=36 cm A0E=200 cm DE=20 cm B0C=100 cm γ=1200 F=12500 N Kinematik Analiz Sonucu ( 2θ& =10 rad/s için) θ 2=80o θ 3= - θ 4=64.25o

2θ& =10 rad/s 3θ& = - 4θ& =15 rad/s

A

B2B

0 A

01

3

4

γ θ4

θ2

x

y

C

D

E

F

z

y

x a

a

a

0

1 2

3 4


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p)

Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız; a) İdeal kısıt ve ideal sistem neye denir? (6p) b) Holonomik sistemlerde hareketin Lagrange denklemleri nasıl ifade edilir? Terimlerin anlamlarını

açıklayarak yazınız. (8p) c) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.

Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz. (10p)

d) Makina millerinde hız dalgalanmalarını gidermek üzere baş vurulabilecek yöntemler nelerdir? Makina hareket denklemi ışığında tartışarak belirtiniz. (10p)

e) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. (6p) SORU 2 (30 p) SORU 3 (30 p)

Üç uzvunun kütleleri mA, mB ve mC olarak verilmiş olan ve P yüküyle F kuvvetinin etkisinde bulunan, şekildeki “X” tipi kaldırma platformunda, X şeklinde bağlı 4 özdeş taşıyıcı çubuğun kütlelerini ve bütün ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek;

a) Makinanın )(ϕℑ genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz, (16p)

b) Makina hareket denklemini elde ediniz, (8p) c) P yükünü dengede tutmak için uygulanması gereken F

kuvvetinin ϕ’ye bağlı ifadesini veriniz. (6p)

Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin

dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz. (22p)

b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz. (8p)

z

y

x a

a

a

0

1 2

3

4

y

x

ω

3 1

2

4

F

C

O ϕ

P y

x

a/2

a/2

A

a/2

a/2

mA

mC

B

mB

137

YANIT 2 a)

2

2C

2

2B

2B

2

2A y

Cyx

Bx

A mmm)(ϕϕ

+

ϕ++=ϕℑ

&

&

&

&&

&

&

ve

ϕϕ

−−=ϕ&

&

&

& CA yxPF)(Q

yazılıp burada ϕϕ−== &&& sinaxx BA , ϕϕ== &&& cosa2yy CB hesaplanıp yerlerine konulursa

22C

22B

2A a]cosm4)cos4(sinmsinm[)( ⋅ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕℑ (1)

ve a)cosP2sinF()(Q ⋅ϕ−ϕ=ϕ (2) elde edilir. b)

)(Q)( 2d

)(d21 ϕ=ϕ⋅+ϕ⋅ϕℑ

ϕϕℑ

&&&

şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (1) ve (2) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa

ϕ⋅⋅ϕ+ϕ+ϕ+ϕ &&22C

22B

2A a]cosm4)cos4(sinmsinm[

a)cosP2sinF(cossina)m4m3m( 22CBA ⋅ϕ−ϕ=ϕ⋅ϕϕ−−+ &

ya da sadeleştirip düzenleyerek,

[ ]ϕϕ−−−++ &&)2cos)m4m3m()m4m5m( CBACBA

0sincos2sin)m4m3m( aF2

aP42

CBA =ϕ−ϕ+ϕ⋅ϕ−−+ &

elde edilir. c) (2) ifadesi sıfıra eşit yazılarak

ϕ=ϕ

tanP2)(F

hesaplanır.

138

YANIT 3 a) Tablo düzenleyerek hesap yapılırsa:

No ψi [o] ψi [rad] cosψi sinψi cos2ψi sin2ψi ai aicosψi aisinψi aicos2ψi aisin2ψi1 0 0,00 1,000 0,000 1,000 0,000 0 0,000 0,000 0,000 0,0002 90 1,57 0,000 1,000 -1,000 0,000 1 0,000 1,000 -1,000 0,0003 180 3,14 -1,000 0,000 1,000 0,000 2 -2,000 0,000 2,000 0,0004 270 4,71 0,000 -1,000 -1,000 0,000 3 0,000 -3,000 -3,000 0,000

0 0 0 0 -2 -2 -2 0

Bu sütunlardaki değerler a ile çarpılacak!

SIRA MOTOR DENGESİ

1. Mertebeden 2. MertebedenMoment Moment

Toplam1. Mertebeden

Kuvvet2. Mertebeden

Kuvvet 1 ve 2. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş; buna karşılık hem 1 hem 2. mertebeden sarsma momentleri dengelenmemiştir. Dengelenmemiş sarsma momentinin ifadesi,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ⋅λ+

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕω= ∑ ∑∑∑

= ===

n

1i

n

1iiiiii

n

1ii

n

1iii

2öte

Sy 2sina2sin2cosa2cossinasincosacosrmM

ifadesinde tablodan alınan değerler ve λ=r/l yerlerine konularak { }ϕ⋅−ϕ−ϕω= 2coscossinarm2M r2

öteSy l

şeklinde belirlenir. Burada möte piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; l, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, 2 zamanlı motor halinde düzgün bir güç dağılımına, buna karşılık 4 zamanlı motor halinde düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.

1 3 2 4 E B G S S E

B GG S

E B B G

S E E B

1 4 3 2 G S E B

B G S E

E B G S

S E B G

0o

180o

360o

540o

720o

0o

90o

180o

270o

360o

2 Zamanlı Motor Hali 4 Zamanlı Motor Hali



a) Holonomik sistemler için hareketin Lagrange denklemlerinin ifadesini yazınız. Bu ifadeyi, bir basit kütle-yay sisteminin hareket denklemini elde etmekte kullanarak örnekleyiniz.

b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz. Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.

c) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. d)

SORU 2 (30 p) SORU 3 (30 p) Şekilde 4 zamanlı bir içten yanmalı motorun n=3000 d/dak hızıyla çalışması haline ilişkin döndürme ve iş momenti diyagramlarının bir peryodluk kısmı gösterilmiştir. a) Mile indirgenmiş eylemsizlik momentinin sabit kısmı 0.129I = kg.m2 olarak bilinen bu motorun çalışması sırasında hız dalgalanma katsayısının δ=0.01 değerinde kalabilmesi için krank miline bağlanması gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız. b) Bu durumda milin en yüksek ve en düşük hızları ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar? Belirtiniz.

Şekilde, F kuvvetiyle P yükünün etkisinde bulunan bir el presi gösterilmiştir. 2 ve 3 no.lu uzuvlar 3a ve a boyunda, ince, düzgün kesitli birer homojen çubuk kabul edildiğine, uzuv kütleleri m2, m3 ve m4 olarak verildiğine ve ağırlık kuvvetlerinin hesaba katılmaması istendiğine göre;

a) Presin )(ϕℑ genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

b) (Bu makina için anlamlı olmasa da) Eksergian hareket denklemini elde ediniz,

c) Mekanik kazancın a ve ϕ’ye bağlı ifadesini veriniz.

a a

3a

O

A B

C

F

Pϕ

OA=AB=a

2

4

3 x

y

Şekilde gösterilen presin ϕ=0.3π rad konumu için gerçekleştirilen bir hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, pres bu konumdayken 6 no.lu uzva etkiyen P kuvvetini karşılamak için 2 no.lu uzva uygulanması gereken M momentini hesaplayınız. ϕ[rad] ϕ& [rad/s] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s] 5s& [rad/s] 6s& [m/s]

0.3π 2π -0.046 -0.505 2.607 -0.185

x

y

1

2

3

4

5

6MP

s6

s3

s5 s4

ϕ


2. YILİÇİ SINAVI YANITLAR

SORU 1 (40 p)

a) 10p b) 12p c) (8p)

Statik Denge: Rotorun kütle merkezinin dönme ekseni üzerinde bulunması. Dinamik Denge: Dönme ekseninin rotorun bir asal eylemsizlik ekseni olması.

d) 10p

SORU 2 (30 p) a) Şekle göre, 2 no.lu uzvun sabit O noktası çevresinde daimi dönme, 4 no.lu uzvun doğrusal öteleme, 3 no.lu uzvun ise genel düzlemsel hareket yaptığına (König Teoremi uygulanacak); ayrıca geometriden, AOB açısının ABO açısına, dolayısıyla 2 no.lu uzvun açısal hızının 3 no.lununkine hep eşit kalacağına dikkat edilerek;

2

2

2

2

32

23

2

2

2 42

332

2)(ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ&&

&

&&

& Bs Vs

v

O mimmim +++=ℑ

2

2

32

23

23

2 42

332

2ϕϕ &

&

&

&&Bss x

s

xx

O mimmim +++=+

(i)

2 no. lu uzva dik etkiyen F kuvvetinin, -3aF momenti şeklinde hesaba katılabileceğini değerlendirerek de

ϕϕ

ϕϕ&&

& BVPaFQ ⋅−⋅−= 3)( (ii)

a a

3a

O

AB

C

F

Pϕ

OA=AB=a

2

4

3x

y

ϕ[rad] ϕ& [rad/s] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s] 5s& [rad/s] 6s& [m/s]

0.3π 2π -0.046 -0.505 2.607 -0.185

0sPM 6 =⋅+ϕ⋅ && , 0185.0P2M =⋅−π⋅ → M=0.0294P x

y

1

2

3

4

5

6MP

s6

s3

s5 s4

ϕ

yazılır. Burada, ince, düzgün kesitli, homojen çubuklar için 2121

lmIs = olduğuna göre

22s a

121i

3= (iii)

ayrıca Huygens-Steiner Teoremi de kullanılarak

22

22

2O a3

2a3)a3(

121i =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= (iv)

hesaplanır. Gereken hızlar da

ϕcos2

33

axs = → ϕϕ && sin2

33

axs −= , (v)

ϕsin23ays = → ϕϕ && cos

23ays = , (vi)

ϕcos2axB = → ϕϕ && sin2axB −= (vii) şeklinde belirlendikten sonra (iii-vii) → (i) ile

ϕϕϕϕ 224

23

2223

22 sin4

121)sin9(cos

413)( amamamam ++++=ℑ

ϕϕ 224

23

223

22 sin4

121)sin81(

413 amamamam ++++=

ϕ224332

2 sin)2(2)9(31 ammmma +++= (viii)

ve (vii) → (ii) ile

ϕ+−=ϕ

⋅−ϕϕ

⋅−=ϕ sinPa2Fa3V

Pa3F)(Q B&&

& (ix)

bulunur. b)

)t,,(Q)(C)( 2 ϕϕ=ϕ⋅ϕ+ϕ⋅ϕℑ &&&& den

ϕ+==ϕ ϕϕℑ 2sina)m2m()(C 2

43d)(d

21

ile Eksergian hareket denklemi

ϕ+−=ϕϕ++ϕ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ+++ sinPa2Fa32sina)m2m(sina)m2m(2)mm9(a31 22

4322

43322 &&&

şeklinde elde edilir. c) (ix) denkleminden,

→=ϕ 0)(Qϕ

=sin2

F3P → ϕ

==ϕηsin23

FP)(

hesaplanır.

SORU 3 (30 p) YANIT 3

a) Verilenlerden, birikimli iş fazlalıklarının alan karşılıkları:

A12= 0.67 cm2 A16= 1.77 cm2 (A1M) A13= 0.02 cm2 A17= 0.02 cm2 A14= 1.77 cm2 (A1M) A18= 0.67 cm2

A15= 1.56 cm2 A19= 0.0 cm2 (A1m) Buradan enerji/alan ölçeğinin kea=128 J/cm2 olduğuna dikkat edilerek

( )

( ) IIII 230

n

m1M1ea2

m1M12

AAkWWWv −=−=−=

⋅π⋅δ

−

ϖ⋅δ

−

ϖ⋅δ∆

1.0129.0I 2

30300001.0

]0.077.1[128v ≅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅π⋅

−⋅ kg.m2

bulunur. b)

n2

nn minmaks =+

→ n2nn minmaks =+ (1)

δ=−n

nn minmaks → nnn minmaks δ=− (2)

(1)+(2) → 3015)2

1(nn maks =δ

+= d/dak (4 ve 6 noktalarında),

2985)2

1(nn min =δ

−= d/dak (1=9 noktasında).


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p) SORU 2 (30p) Şekilde 4 zamanlı bir içten yanmalı motorun n=3000 d/dak hızıyla çalışması haline ilişkin döndürme ve iş momenti diyagramlarının bir peryodluk kısmı gösterilmiştir. Mile indirgenmiş eylemsizlik momentinin sabit kısmı

0.75I = kg.m2 olarak bilinen bu motorun çalışması sırasında hız dalgalanma katsayısının δ=0.004 değerinde kalmasını sağlamak üzere krank miline r=20 cm yarıçaplı homojen bir dairesel levhadan ibaret bir eylemsizlik çarkı bağlanacaktır. a) Çarkın m kütlesi ne olmalıdır? b) Bu durumda milin en yüksek ve en düşük hızları ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar? SORU 3 (30p)

y

x

ω

1,2 3,4

z

y

x a

a

a

1

2

3

4

0

Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 4 silindirli bir sıra motor ve ona ait krank yıldızı gösterilmiştir. a) Bu motoru sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi

halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz. b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu krank yıldızı tasarımının, güç dağılımının düzgünlüğü

bakımından, kaç zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olduğunu belirleyiniz.

ϕ [rad]

M [N.m]

2.42 cm2

2.47 cm2

2.27 cm2

2.22 cm2

Md Mw

1 2 3 4 5

π 2π 3π 4π 0 300 200 100

0 100 200 300 400

1 cm2=200 N.m

r m

Şekilde AoA=AB=AC=r olacak şekilde çok özel boyutlara sahip bir mekanizma gösterilmiştir. Mekanizmada 2 ve 3 no.lu uzuvlar ince, düzgün kesitli ve homojen birer çubuktan ibarettir. m2=m, m3=2m, m4=m5=3mverildiğine göre;

a) Mekanizma kütlesini dinamik eşdeğer olarak S2, A, B ve C noktalarına yerleştirilecek maddesel noktalara indirgeyiniz,

b) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini belirleyiniz, c) 2 no.lu uzuv M(t) momentinin, 4 no.lu uzuv F(t) kuvvetinin etkisi

altında bulunduğuna ve bunlar dışındaki tüm kuvvetler göz ardı edildiğine göre mekanizmanın hareket denklemini elde ediniz.

C

B

A

x

y

2

S2

3

ϕ 4

5

M(t) F(t)

Ao

137

MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI (2008-2009)

YANITLAR YANIT 1 a) 15p 2 No.lu uzuv için (Hareketsiz Ao noktasına gelen kütle bir yana bırakılarak) :

6m

r

r)2(A )m(m

2r

2121

=⋅=⋅

3m2r)2(

S )m(1m2r

2r

2121

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅

3 No.lu uzuv için:

( )( ) 3

mr2rr2)3(

C)3(

B )m2(mm2

121

=⋅==⋅

( )

3m4

r.rr2)3(

A )m2(1m2

121

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Sonuç olarak tüm mekanizma için:

2m3

3m4

6m)3(

A)2(

AA mmm =+=+=

3m10

3m

5)3(

BB m3mmm =+=+=

3m10

3m

4)3(

CC m3mmm =+=+=

3m2)2(

SS mm2

==

bulunur. b) 16p

2

2C

2

2B

2

2A

2

22S

2

xC

yB

vA

vS mmmm)(

ϕϕϕϕ+++=ϕℑ

&

&

&

&

&&

yazılıp burada (a)’da hesaplanan kütleler ile ϕ= &2

r2Sv , ϕ= &rvA ,

ϕ= sinr2yB → ϕϕ= && cosr2yB , ϕ= cosr2xC → ϕϕ−= && sinr2xC dikkate alınırsa

2223m1022

3m102

2m3

4r

3m2 mr15sinr4cosr4r)(

2=ϕ+ϕ++=ϕℑ (Sabit)

bulunur.

138

c) 9p

)t(Fsinr2)t(M)t(F)t(M)(Q Cx⋅ϕ−=+=ϕ

ϕ&&

hesaplandıktan sonra (b)’de bulunan )(ϕℑ ile

)(Q)( 2d


ϕϕℑ

&&&

şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılırsa

)t(Fsinr2)t(Mmr15 2 ⋅ϕ−=ϕ⋅ &&

ya da

)t(Msin)t(rF2mr15 2 =ϕ+ϕ⋅ && elde edilir. YANIT 2 a) 22p İş fazlalıklarının alan karşılıkları şekilden alınıp birikimli iş fazlalıkları hesaplansın:

42.2A12 += cm2 42.2A12 += cm2 → M1A −

47.2A23 −= cm2 05.0AAA 231213 −=+= cm2 → m1A −

27.2A34 += cm2 22.2AAA 341314 +=+= cm2

22.2A45 −= cm2 0AAA 451415 =+= Buna göre

( ) ( )

5.075.0III 23030002

30n

m1M1a/e2

004.0

)05.042.2(200)AA(kWv ≅−=−=−=

⋅π⋅π

−−

⋅

+

⋅δ

−

ϖ⋅δ∆ kg.m2

hesaplanır. Buradan da

221

v mrI = → 25m 22v

2.05.02

r

I2=== ⋅ kg

bulunur. b) 8p

En yüksek hız 30063000)1(n)1(n 2004.0

2maks =+=+= δ d/dak olup 2 noktasında

En düşük hız 29943000)1(n)1(n 2004.0

2min =−=−= δ d/dak olup 3 noktasında ortaya çıkar.

139

YANIT 3 a) 22p Tablo düzenleyerek hesap yapılırsa:

1. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş; buna karşılık 2. mertebeden sarsma kuvvetleri ile hem 1 hem 2. mertebeden sarsma momentleri dengelenmemiştir. Dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadesi, tablodan alınan değerler yardımıyla ve λ=r/l ilgili formülde yerine konularak ϕ⋅ω= 2cosm4F 2r

öteSx

2

l

{ }ϕ⋅+ϕ−ω= 2cos6cos4armM r2

öteSy l

şeklinde belirlenir. Burada möte piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; ℓ, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) 8p Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, bu krank yıldızı tasarımının 4 zamanlı motor halinde düzgün bir güç dağılımına, buna karşılık 2 zamanlı motor halinde düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.

1 3 2 4 G S E B

B G S E

E B G S

S E B G

1 2 3 4 G G E E

B B S S

E E G G

S S B B

0o

180o

360o

540o

720o

4 Zamanlı Motor Hali

Ateşleme sırası →

0o

90o

180o

270o

360o

Ateşleme sırası →

2 Zamanlı Motor Hali



a) Bir içten yanmalı motorda krank yıldızı neye denir ve tasarımı hangi hususlar dikkate alınarak yapılır? b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.

Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.

c) SORU 3 (25 p) Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=24 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. SORU 4 (20 p) Şekildeki sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin doğal frekansını

a) Sistem parametreleri cinsinden elde ediniz, b) k=3900 N/m, m=4 kg verileri ile sayısal olarak hesaplayınız.

Şekilde bir kaldırma makinasının taşıyıcı eline ait mekanizma, boyutlarıyla birlikte gösterilmiştir. Mekanizma x eksenine göre tam bakışımlı (simetrik) olduğuna ve q=0.44 m konumu için gerçekleştirilen bir konum ve hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, 1 uzvu sabit tutulup, askısından P kuvveti uygulandığında, mekanizmanın bu konumdayken, tuttuğu cisme uygulayacağı F sıkma kuvvetini P cinsinden hesaplayınız.

q[m] q& [m/s] 3s [rad] 4s [rad] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s]

0.44 10 0.545 2.619 16.487 8.876

y

A

B

C

D

P

O

α

s3

s4

q

AB=60 cm BC=110 cm OC=86 cm CD=66 cm α=60o

2

4

3 1

F F

m1=3 kg, m2=5 kg, m3=2 kg, r1=0.25 cm, r2=0.10 cm, r3=0.35 cm

21

L R

z

20 20 40 cm

3

30y

300700

x

2

3

1

r3

r2 r1

SORU 2 (25 p) Uzuv kütleleri m2=2m, m3=4m ve m4=8m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=2r/3 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=2F ve F4=5Fkuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz, b) 2 no.lu uzvu sabit ωq =& açısal hızıyla çevirebilmek için

uygulanması gereken M2(q) momentini belirleyiniz. c) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu belirleyiniz,

m

4m

k

3k

a

3a

x1

x2

1

2

3

4

s3

s4

M2

F3=2F

F4=5Fe

O

A q



a) Bir içten yanmalı motorda krank yıldızı neye denir ve tasarımı hangi hususlar dikkate alınarak yapılır? b) Tipik bir asenkron elektrik motoru karakteristiği çizip önemli noktalarını ad belirterek işaretleyiniz.

Böyle bir motorun sıfır hızda vereceği moment niçin önemlidir ve hangi makinalarda özellikle yüksek olması istenir, belirtiniz.

c) YANIT 1-c Elin uygulayacağı kuvvet yerine ele etkiyen ve onun ters işaretlisi olan şekildeki F kuvveti dikkate alınarak ve simetriden, bir F ile hesap yapılıp 2 ile çarpılarak statik denge koşulu yazılırsa

0F2P qy

qx DA =+

&&

&&

→ PFD

Ay2

x&

&−= (i)

elde edilir. Şekilden ve verilerden, qx A && = , (ii)

)ssin(CDOCy 4D α++= →

( ) 070.5876.8619.2cos66.0s)scos(CDy 344D −=⋅+=⋅α+= π&& m/s (iii)

belirlenip (i)’de yerine konulursa

P986.0PF )070.5(210 ⋅=−=

−⋅

bulunur.

Şekilde bir kaldırma makinasının taşıyıcı eline ait mekanizma, boyutlarıyla birlikte gösterilmiştir. Mekanizma x eksenine göre tam bakışımlı (simetrik) olduğuna ve q=0.44 m konumu için gerçekleştirilen bir konum ve hız çözümlemesinden aşağıdaki tabloda verilen sonuçlar elde edildiğine göre, 1 uzvu sabit tutulup, askısından P kuvveti uygulandığında, mekanizmanın bu konumdayken tutacağı bir cisme uygulayacağı F sıkma kuvvetini P cinsinden hesaplayınız.

q[m] q& [m/s] 3s [rad] 4s [rad] 3s& [rad/s] 4s& [rad/s]

0.44 10 0.545 2.619 16.487 8.876

y

A

B

C

D

P

O

α

s3

s4

q

AB=60 cm BC=110 cm OC=86 cm CD=66 cm α=60o

2

4

3 1

F F

SORU 2 (25 p) Uzuv kütleleri m2=2m, m3=4m ve m4=8m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=2r/3 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=2F ve F4=5Fkuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz, b) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu belirleyiniz,

1

2

3

4

s3

s4

M2

F3=2F

F4=5Fe

O

A q

YANIT 2 a) Önce makinanın gnl. eylemsizliği belirlensin:

2

24

2

24

23

q

s4q

ss3

O2 mmI)q(

&

&

&

&&++=ℑ

+ (i)

( ) ( ) 2183422

32

212

22

221O

2 mrrm2emrmI =⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +== (ii)

qsines3 = → qqcoses3 && =

qcoses4 = → qqsines4 && −= (iii)

(ii),(iii)→(i):

( ) ( )( ) qsinm8)m4(mr)q( 223r22

3r22

1834 ++=ℑ

ya da

qsinmrmr)q( 229

3223

11 +=ℑ . (iv)

Şimdi de gnl. kuvvet belirlensin:

qs

4qs

3243 FF)q(M)q(Q&

&

&

&−−= (v)

(ii)→(v):

( ) ( ) qsin)F5(qcos)F2()q(M)q(Q 3r2

3r2

2 +−=

ya da

qsinFrqcosFr)q(M)q(Q 310

34

2 +−= . (vi)

buna gore

)q(Qqq)q( 2dq

)q(d21 =⋅+⋅ℑ ℑ

&&&

şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (iv) ve (vi) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa

( ) )q(MqsinqcosFrqqcosqsinqmr)qsin( 2310

342

93222

932

311 =−+⋅+⋅+ &&& (vii)

elde edilir. b) (vi)’dan M2(q)=0 ile kolayca

o1041 8.21tanq == −

hesaplanır.

SORU 3 (25 p) Şekilde, üzerinde dört dengesizlik taşıyan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=24 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. YANIT 3 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.

Buradan okunan sonuçlara göre; 232.0

xL =∆ kg.cm

058.2yL −=∆ kg.cm

071.2L =∆ kg.cm → g3.86kg0863.0m 24071.2

rLL ====

∆

oL 558.83−=α

409.0xR −=∆ kg.cm

804.1yR =∆ kg.cm

849.1R =∆ kg.cm → g0.77kg0770.0m 24849.1

rLL ====

∆

oL 774.102=α

belirlenir.


21

L R

z

20 20 40 cm

3

30y

300700

x

2

3

1

r3

r2r1


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p)

a) İdeal sistem nedir? İdeal sistem-ideal olmayan sistem ayrımı niçin önemlidir? Kısaca belirtiniz.

b) Şekilde görülen m kütleli axa kare levhayı dinamik eşdeğer olarak A, B ve S noktalarına yerleştirilecek noktasal kütlelere indirgeyiniz. c) Bir makinada eylemsizlik çarkı hangi amaçlarla kullanılabilir?

Kısaca belirtiniz. d) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. e) Bir makinada kuvvet çözümlemesi problemi denildiğinde ne anlaşılır? Zorunlu hareketli düzlemsel

makinalar için bu problemin denklem sayısı-bilinmeyen sayısı muhasebesini gerçekleştiriniz. SORU 2 (30p) SORU 3 (30p)

Şekildeki makinada her bir uzvun mi kütlesi, 2 no.lu uzvun O noktasına göre iO2 eylemsizlik yarıçapı ve diğer uzuvların Si kütle merkezlerine göre iSi eylemsizlik yarıçapları bilinmektedir (m2, m3, m4, m5, m6; iO2, iS3, iS5). Makinanın 2 no.lu uzvu M momentinin, 4 ve 6 no.lu uzuvları ise, sırasıyla, F4 ve F6 kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna, bir ucu A diğer ucu B mafsalına bağlı olan kyayı ϕ=0 iken gerilmesiz olduğuna ve bütün ağırlık kuvvetleri göz ardı edildiğine göre, bu makinanın;

a) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ)genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

b) Hareket denklemini elde ediniz. c) M=0 ve F4=F6=F olması halinde makinayı ϕ=45o

konumunda dengede tutmak için F ne olmalıdır? F=F(k,a,b) şeklinde hesaplayınız.

b

a

ϕ x

y

A=S3

B=S5

O

M 1

23

4

5

6

F4

k

F6

Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 3silindirli bir sıra motor ve ona ait 3x120o lik krank yıldızı tasarımı gösterilmiştir. a) Bu tasarımı, sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi

bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.

b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu tasarımın, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, 2 ya da 4 zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olup olmadığınıirdeleyiniz.

c) Sorudaki “dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş” ifadesi ne anlama gelmektedir ve burada niçin kullanılmıştır? Belirtiniz.

z

y

x a

a

1

2 3

0

ω

1

3

23x120o

A B S

m

a

a


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40p)

a) İdeal sistem nedir? İdeal sistem-ideal olmayan sistem ayrımı niçin önemlidir? Kısaca belirtiniz.

b) Şekilde görülen m kütleli axa kare levhayı dinamik eşdeğer olarak A, B ve S noktalarına yerleştirilecek noktasal kütlelere indirgeyiniz. c) Bir makinada eylemsizlik çarkı hangi amaçlarla kullanılabilir?

Kısaca belirtiniz. d) Bir rijid rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır? Kavramsal olarak belirtiniz. e) Bir makinada kuvvet çözümlemesi problemi denildiğinde ne anlaşılır? Zorunlu hareketli

düzlemsel makinalar için bu problemin denklem sayısı-bilinmeyen sayısı muhasebesini gerçekleştiriniz.

YANIT 1

b) Tablo 2.1, Dikdörtgenler Prizması satırından,

2S

26122

121S mima)aa(mI z ==+= → 6

a2S

2i = , (i)

Geometriden,

a2AB == l , 2

aBABSAS ==== ll , (ii)

bulunduktan sonra ilgili formüllerden,

6m

a2

iA mmm

2a

62a

A

2S ===ll

, (iii)

6m

a2

iB mmm

2a

62a

B

2S ===ll

, (iv)

3m2

6m

BAS 2m)mm(mm =−=+−= (v)

hesaplanır.

SORU 2 (30p)

Şekildeki makinada her bir uzvun mi kütlesi, 2 no.lu uzvun O noktasına göre iO2 eylemsizlik yarıçapı ve diğer uzuvların Si kütle merkezlerine göre iSi eylemsizlik yarıçapları bilinmektedir (m2, m3, m4, m5, m6; iO2, iS3, iS5). Makinanın 2 no.lu uzvu M momentinin, 4 ve 6 no.lu uzuvları ise, sırasıyla, F4 ve F6 kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna, bir ucu A diğer ucu B mafsalına bağlı olan kyayı ϕ=0 iken gerilmesiz olduğuna ve bütün ağırlık kuvvetleri göz ardı edildiğine göre, bu makinanın;

a) ℑ(ϕ) genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(ϕ)genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

b) Hareket denklemini elde ediniz. c) M=0 ve F4=F6=F olması halinde makinayı ϕ=45o

konumunda dengede tutmak için F ne olmalıdır? F=F(k,a,b) şeklinde hesaplayınız.

A BS

m

a

a

b

a

ϕ x

y

A=S3

B=S5

O

M 1

23

4

5

6

F4

k

F6

YANIT 2 a) Genelleştirilmiş eylemsizlik: 2 no.lu uzvun ϕ dönmesi, 4 ve 6 no.lu uzuvların, yA ve yB ötelemesi, 3 ve 5 no.lu uzuvların ise hem ϕ dönmesi hem yA ve yB ötelemesi yaptığına dikkat edilerek;

2

2B

2

2A

2

2

532

y65

y43

2S5

2S3

2O2 )mm()mm()imimim()(

ϕϕϕ

ϕ ++++++=ϕℑ&

&

&

&

&

& (i)

yazılır. Burada ϕ⋅= tanayA → ϕ=

ϕ&& 2cos

aAy ,

ϕ⋅= tanbyB → ϕ=ϕ&& 2cos

bBy (ii)

yerine konularak da

ϕ

++++++=ϕℑ 4

265

243

532 cos

b)mm(a)mm(2S5

2S3

2O2 imimim)( (iii)

elde edilir. Genelleştirilmiş Kuvvet: Yay kuvveti PE aracılığıyla dikkate alınarak

ϕϕ

ϕϕϕϕ −−+=ϕ d

)(dVy6

y4

BA FFM)(Q&

&

&

&

&

&

yazılır. Burada (ii) denklemleri ve

( )2

cos1

21 1abk)(V ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=ϕ

ϕ→ ( )

ϕ

ϕϕϕ

ϕ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 2cos

sincos

12d

)(dV 1abk (iv)

dikkate alınarak

( )ϕ

ϕϕϕ

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−+=ϕ 22

64

cos

sincos

12cos

bFaF 1abkM)(Q

ya da

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−+=ϕ

ϕϕsin1abkbFaFM)(Q cos

1264cos

12 (v)

elde edilir.

b) )(Q)( 2d


ϕϕℑ

&&& (vi)

şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılmak istensin. Denk. (iii)’den

[ ]ϕ

ϕϕϕℑ +++==ϕ 5cos

sin265

243d

)(d21 b)mm(a)mm(2)(C (vii)

hesaplandıktan sonra (iii), (v), (vii) → (vi) ile

ϕ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

ϕ

+++&&

4

265

243

532 cos

b)mm(a)mm(2S5

2S3

2O2 imimim

[ ] 2cossin2

652

43 5b)mm(a)mm(2 ϕ⋅++++ϕ

ϕ&

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−+=

ϕϕsin1abkbFaFM cos

1264cos

12

elde edilir.

c) Denk. (v)’ten M=0 ve F4=F6=F, ϕ=45o yerlerine konularak denge için

( ) 01abk)ba(F2)45(Q2

12o =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−=

yazılır. Buradan da

( ) ( ) ( )kba2929.0kab2929.0kab1)b,a,k(FF2

1 −=−−=−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −==

bulunur. (Bu sonuca göre, denge için, F4 ve F6 kuvvetlerinin yönleri değiştirilmelidir.) SORU 3 (30p) YANIT 3 a) Tablo doldurularak hesap yapılırsa

elde edilir. 1. ve 2. mertebeden sarsma kuvvetleri dengelenmiş, 1. ve 2. mertebeden sarsma momentleri ise dengelenmemiştir. Dengelenmemiş momentin ifadesi

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ⋅λ+

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕω= ∑ ∑∑∑

= ===

n

1i

n

1iiiiii

n

1ii

n

1iii

2öte

Sy 2sina2sin2cosa2cossinasincosacosrmM

ifadesinde tablodan alınan değerler ve λ=r/l yerlerine konularak { })2sin866.02cos5.1(sin866.0cos5.1armM r2

öteSy ϕ−ϕ−⋅+ϕ+ϕ−ω=

l

ya da

{ })2sin2cos3(sincos3armM r2öte2

3Sy ϕ+ϕ⋅−ϕ+ϕ−ω=

l

Şekilde, dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş 3silindirli bir sıra motor ve ona ait 3x120o lik krank yıldızı tasarımı gösterilmiştir. a) Bu tasarımı, sarsma kuvvet ve momentlerinin dengesi

bakımından inceleyiniz. Varsa, ω sabit hızıyla dönmesi halinde krank miline etkiyecek dengelenmemiş kuvvet ve momentin ifadelerini veriniz.

b) Gerekli strok diyagramlarını oluşturarak bu tasarımın, güç dağılımının düzgünlüğü bakımından, 2 ya da 4 zamanlı motorlarda kullanılmaya elverişli olup olmadığınıirdeleyiniz.

c) Sorudaki “dönen kütleleri karşı kütlelerle dengelenmiş” ifadesi ne anlama gelmektedir ve burada niçin kullanılmıştır? Belirtiniz.

z

y

x a

a

1

2 3

0

ω

1

3

23x120o

şeklinde belirlenir. Burada möte, piston kütlesiyle biyel kütle indirgemesinde piston bağlantı noktasına isabet eden kütlenin toplamı; r, krank yarıçapı; l, biyel boyu; ω, krank açısal hızı; ϕ ise 1. silindir krank açısıdır. b) Strok diyagramları aşağıdaki gibi çizilirse, bu tasarımın hem 4 zamanlı hem 2 zamanlı motorlarda düzgün olmayan bir güç dağılımına yol açacağı anlaşılır.

c) Kranka, mdön, biyel kütle indirgemesinde krank bağlantı noktasına isabet eden kütle ile bu noktaya taşınmış krank kütlesinin toplamı olmak üzere rmrm döndd = olacak biçimde dengeleme kütleleri yerleştirilmiş olduğunu gösterir. Bu bilgi, (a)’daki hesap bu dengelemenin yapılıp sarsma kuvvetlerinin y bileşeninin tamamen yok edilmiş olduğu varsayımına dayalı olduğu için verilmiştir.

1 3 2 E B G S

E B

G S

E B

G S E B

1 2 3 E B G S

E B G

S E

B G

S E B

1 3 2 E B G S

E

G S

B

G S E B

4 Zamanlı

180o

360o

540o

720o

0o 0o

90o

180o

270o

360o

120o

240o

240o

480o

2 Zamanlı

Atş. Sr. Atş. Sr.

28.04.2010

MAKİNA TEORİSİ 2. YILİÇİ SINAVI

SORU 1

SORU 2

SORU 3

Şekildeki makinanın 2 no.lu uzvu r boyunda, ince,

düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibarettir. Makina, 4

no.lu uzvuna etkiyen F kuvvetinin, 2 no.lu uzvuna uygulanan

M(q) momentinin ve tüm uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin

etkisi altında bulunduğuna ve uzuv kütleleri

m2=6m, m3=2m, m4=16m

şeklinde verildiğine göre;

a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.

b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek

için uygulanması gereken M(q) momentini

belirleyiniz.

c) Makinayı q=25o konumunda dengede tutabilmek

için 2 no.lu uzva uygulanması gereken momenti

m=125 g, r=35 cm, F=50 N

verileri ile hesaplayınız.

Şekilde, türbini 3, kompresörü 6 kademeli bir

gaz türbininin rotoru gösterilmiştir. Rijid kabul edilen

rotorun 1 numaralı türbin düzlemi ile 5 ve 8 numaralı

kompresör düzlemlerinde Di=miri dengesizlikleri

bulunduğu anlaşılmıştır. Bu rotoru dengelemek üzere

şekilde gösterilen L ve R dengeleme düzlemlerine,

dönme ekseninden rL=45 cm ve rR=30 cm uzaklıklara

yerleştirilmesi gereken kütleleri ve bu kütlelerin hangi

açısal konumlara yerleştirilmeleri gerektiğini bulup,

bulduğunuz konumları çizeceğiniz bir eksen takımı

üzerinde gösteriniz.

D1=0.12 kg.cm, D5=0.16 kg.cm, D8=0.22 kg.cm

m

k

ℓ

ℓ

O

A

x

y

A

OA = r

O M(q)

1

2

3 4

q

F

y

35o

75o

x

D1

D8

D5

4 5 6 7 8 9 1 2 3

rR rL

z

130 cm 7x30 cm

Tü

rbin

Kompresör

L R

Şekilde statik denge konumunda gösterilmiş olan

sistemde, kütlesi ihmal edilen “L” şekilli rijid kol, m noktasal

kütlesini taşımaktadır. Sistemin bu konum civarındaki küçük

salınımlarının;

a) Diferansiyel denklemini elde ediniz,

b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden ifade

edip

k=0.2 kN/m, m=500 g, =0.6

için hesaplayınız,

c) (b)’deki verilerle, konumundan

rad/s ilk hızıyla başlayan hareketin (t)

ifadesini elde ediniz.


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 YANIT 1

a) Korunumlu kuvvetler bir V(q) PE fonksiyonu yardımıyla dikkate alınarak, makinanın,

)q(Qqq)q( dq)q(dV2

dq)q(d

21 ′=+⋅+⋅ℑ ℑ

&&& (i)

şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılmak istensin. Bu amaçla;

2

2A

2

2A

2

2

q

y4q

v3q

q223

1 mmrm)q(&

&

&&

&++=ℑ (ii)

den qrvA &= ,

qsinryA = → qqcosryA && = (iii) ile

)qcos41(mr4)m16()m2(r)m6()q( 22q

)qqcosr(

q

)qr(

q

q231

2

2

2

2

2

2+=++=ℑ

&

&

&

&

&

&, (iv)

buradan da

qcosqsinmr32 2dq

)q(d −=ℑ, (v)

Şekildeki makinanın 2 no.lu uzvu r boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibarettir. Makina, 4 no.lu uzvuna etkiyen F kuvvetinin, 2 no.lu uzvuna uygulananM(q) momentinin ve tüm uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altında bulunduğuna ve uzuv kütleleri

m2=6m, m3=2m, m4=16m

şeklinde verildiğine göre;

a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz. b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için

uygulanması gereken M(q) momentini belirleyiniz. c) Makinayı q=25o konumunda dengede tutabilmek

için 2 no.lu uzva uygulanması gereken momenti

m=125 g, r=35 cm, F=50 N

verileri ile hesaplayınız.

x

y

A

OA = r

O M(q)

1

2

3 4

q

F

ayrıca,

qsinmgr21gy)mm(gm)q(V A432y

2A ⋅=++= , (vi)

qcosmgr21dq)q(dV ⋅= (vii)

ve

qcosFr)q(MF)q(M)q(Q qy

qq A −=−=′

&

&

&

& (viii)

belirlenip Denk. (iv), (v), (vii), (viii) ile Denk. (i)’ye dönülürse, hareket denklemi

)q(Mqcosr)Fmg21(qqcosqsinmr16q)qcos41(mr4 2222 =⋅+⋅+−+ &&& (ix) şeklinde elde edilir.

b) Basitçe, Denk. (ix)’dan ω=q& , 0q =&& ile

22 qcosqsinmr16qcosr)Fmg21()q(M ω−⋅+⋅= (x) bulunur.

c) Yine Denk. (ix)’dan bu kez de 0q =& , 0q =&& ile

qcosr)Fmg21()q(M ⋅+⋅= , buradan da sayısal verilerle

2425cos35,0)5081,9125,021()25(M oo ≅⋅⋅+⋅⋅= N.m bulunur. SORU 2

Şekilde, türbini 3, kompresörü 6 kademeli bir

gaz türbininin rotoru gösterilmiştir. Rijid kabul edilen rotorun 1 numaralı türbin düzlemi ile 5 ve 8 numaralı kompresör düzlemlerinde Di=miri dengesizlikleri bulunduğu anlaşılmıştır. Bu rotoru dengelemek üzere şekilde gösterilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden rL=45 cm ve rR=30 cm uzaklıklara yerleştirilmesi gereken kütleleri ve bu kütlelerin hangi açısal konumlara yerleştirilmeleri gerektiğini bulup, bulduğunuz konumları çizeceğiniz bir eksen takımı üzerinde gösteriniz.

D1=0.12 kg.cm, D5=0.16 kg.cm, D8=0.22 kg.cm

y

35o

75o

x

D1

D8

D5

4 5 6 7 8 91 2 3

rR rL

z

130 cm 7x30 cm

Türb

in

Kompresör

L R

YANIT 2 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.


xL −=∆ kg.cm

033.0yL =∆ kg.cm

117.0L =∆ kg.cm → g6.2kg106.2m 345117.0

rLL

L =⋅=== −∆

oL 7.163≅α

141.0xR =∆ kg.cm

114.0yR −=∆ kg.cm

182.0R =∆ kg.cm → g0.6kg100.6m 330182.0

rRR =⋅=== −∆

ooR 3210.39 =−=α

belirlenir. Sonuç şekilde verildiği gibidir.

x

y

mL

mR

rL

rR

αL=163.7o

αR=321o

16.12.2010


SORU 2

Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle merkezlerinin konumları gösterilmiştir.

Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden

r=37cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları

hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu, çizeceğiniz bir eskiz üzerinde gösteriniz.

SORU 3 Şekildeki sistemde, 2m kütleli, r yarıçaplı bir dairesel silindirden

ibaret olan makara ile üzerine sarılı gergin ip arasında kayma yoktur.

Sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin; a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden belirleyiniz, c) m kütleli cismin, denge konumundan ilk hızıyla

fırlatılmasıyla başlayan titreşimlerinin genliğini ve x(t) ifadesini

elde ediniz.


SORU 1

Uzuv kütleleri m2=4m, m3=3m, m4=2m olarak bilinen ve 2 no.lu

uzvu e=3r/4 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten

ibaret olan şekildeki makina, F3=3F ve F4=2F kuvvetleriyle M2(q)

momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek;

a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz,

b) 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için uygulanması

gereken M2(q) momentinin ifadesini elde ediniz,

c) M2(q) 0 özel halinde makinanın denge konumunu

belirleyiniz.

2 1

L R

z

50 20 50 cm

3

40 y

300 40

0

x

2

3

1

r3

r2 r1

1

2 3

4

s4

s3

M2(q) (q)

F3=3F

F4=2F

e O

S

q

r


2. YILİÇİ SINAVI YANITLAR

YANIT 1 a) Önce makinanın gnl. eylemsizliği belirlensin: 2 no.lu uzvun O çevresinde dönme (q), 3 ve 4 no.lu uzuvların öteleme (s3 ve s4) hareketleri yaptığına dikkat edilerek bu yapılırsa,

2

24

2

23

q

s4q

s3

O2 mmI)q(

&

&

&

&++=ℑ (i)

( ) ( ) 24

172243

212

22

221O

2 mrrm4emrmI =⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+= (ii)

qcosers3 += → qqsinrqqsines 43

3 &&& −=−=

qsiners4 += → qqcosrqqcoses 43

4 &&& == (iii)

(ii),(iii)→(i):

( ) ( )( )qsinmrmr)(qcosmrqsinmrmr

qcosm2qsin)m3(mr)q(

221692

1618

41722

161822

16272

417

224r322

4r32

417

++=++=

++=ℑ

ya da

qsinmrmr)q( 221692

843 +=ℑ . (iv)

Şimdi de gnl. kuvvet belirlensin:

qs

4qs

3243 FF)q(M)q(Q&

&

&

&−−= (v)

(iii)→(v):

SORU 1 Uzuv kütleleri m2=4m, m3=3m, m4=2m olarak bilinen ve 2 no.lu uzvu e=3r/4 eksantrikliğine sahip r yarıçaplı bir dairesel diskten ibaret olan şekildeki makina, F3=3F ve F4=2F kuvvetleriyle M2(q) momentinin etkisi altındadır. Ağırlık kuvvetlerini göz ardı ederek; a) Makinanın hareket denklemini elde ediniz, b) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için uygulanması

gereken M2(q) momentinin ifadesini elde ediniz, c) M2(q) ≡ 0 özel halinde makinanın denge konumunu

belirleyiniz.

( ) ( ) qcos)F2(qsin)F3()q(M)q(Q 4r3

4r3

2 −+=

ya da

)qcos2qsin3()q(M)q(Q 4Fr3

2 −+= . (vi)

buna gore

)q(Qqq)q( 2dq

)q(d21 =⋅+⋅ℑ ℑ

&&&

şeklindeki Eksergian hareket denklemi anımsanıp, burada (iv) ve (vi) denklemlerindeki ifadeler yerine konulur ve gereken hesaplar yapılırsa

)qcos2qsin3()q(Mqqcosqsinmrqmr)qsin( 4Fr3

222

16922

169

843 −+=⋅+⋅+ &&& (vii)

elde edilir. b) (vii)’den ,0q =&& ,q ω=& ile,

)qcos2qsin3(qcosqsinmr)q(M 4Fr322

169

2 −−ω⋅=

hesaplanır. c) (vi)’dan Q(q)=0, M2(q)=0 ile kolayca

o321 69.33tanq == −

hesaplanır. SORU 2 Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru tam olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden r=37cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu, çizeceğiniz bir eskiz üzerinde gösteriniz.


21

L R

z

50 20 50 cm

3

40 y

300 400

x

2

3

1

r3

r2 r1

YANIT 2 Aşağıda, problemin bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.


xL =∆ kg.cm

243.1yL −=∆ kg.cm

480.1L =∆ kg.cm → g40kg040.0m 37480.1

rLL ====

∆

ooL 885.302115.57 =−=α

576.0xR −=∆ kg.cm

161.1yR =∆ kg.cm

296.1R =∆ kg.cm → g35kg035.0m 37296.1

rLR ====

∆

oR 373.116=α

belirlenir. Bulunan sonuçlar şekilde gösterildiği gibidir.

No a [cm] zi [cm] mi [kg] ri [cm] α i [o] α i [rad] ∆Lx i ∆Ly i ∆Rx i ∆Ry i1 70 -40 3 0,25 140 2,443 0,903 -0,758 -0,328 0,2752 70 50 2 0,2 30 0,524 -0,099 -0,057 -0,247 -0,1433 70 120 4 0,15 270 4,712 0,000 -0,429 0,000 1,029

0,804 -1,243 -0,576 1,161∆Lx ∆Ly ∆Rx ∆Ry

∆L [kg.cm] ∆R [kg.cm]αL [o] αR [o]

ROTOR DENGELEME

1,480525-57,114740

1,296090116,373017


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p) SORU 2 (30 p) Şekilde, üzerinde üç dengesizlik bulunan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotorun dinamik dengesini sağlamak üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 0,04 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları belirleyiniz, belirlediğiniz konumları bir eskiz üzerinde gösteriniz.

Şekildeki, özel boyutlandırılmış makina, her biri 2r boy ve m kütlesine sahip, ince, düzgün kesitli, homojen üç adet çubuk (Is=1/12 mçubℓ2

çub) ile her biri m/3 kütlesine sahip dört adet pistondan oluşmaktadır.

a) Makina kütlesini A,B,C,D,E ve F noktalarına konulacak noktasal kütlelere indirgeyiniz,

b) 2 no.lu uzuv M(ϕ) momentinin, 6 ve 7 no.lu uzuvlar ise F6=3F ve F7=2F kuvvetlerinin etkisinde bulunduğuna göre, sürtünme kuvvetlerini ihmal edip ağırlık kuvvetlerini göz önüne alarak, makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz,

c) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için bu uzva uygulanması gereken M(ϕ) momentini belirleyiniz.

SORU 3 (30 p)

Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, O noktasından mafsallanmış, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun bu konum civarındaki küçük ϕ(t) salınımlarının;

a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını hesaplayınız.

m

ℓ

ϕ(t)

F6=3F

C

O ϕ

y

x

A

1

B

OA=OB= AC=AE= BD=BF= r

D

F

E

F7=2F 2

3

4

5

6

7

8

M(ϕ)

20 kg

L R

20

50 cm

15

0,015 cm

10

400

100

30 kg

15 kg

0,020 cm 0,025 cm


2. YILİÇİ SINAVI SORU 1 (40 p) YANIT 1 a) Önce, 2 no.lu çubuğun kütlesi A, O ve B noktalarına indirgensin

2312

121

S mr)r2(mI == → 2312

S ri = (i)

ile

6m

r2rr)2(

B)2(

A mmm2

31

=⋅==⋅

3m2

rrr)2(

O m1m2

31

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅ (O hareketsiz olduğu için bu hesap gereksiz)

3 ve 4 no.lu çubuklar için benzer hesap ile;

6m)4(

F)4(

D)3(

E)3(

C mmmm ====

3m2)4(

B)3(

A mm == .

Sonuç olarak tüm mekanizma için:

6m5

3m2

6m)3(

A)2(

AA mmm =+=+=

6m5

AB mm ==

2m

3m

6m

5)3(

CC mmm =+=+= (ii)

2m

CFED mmmm ====

bulunur.

Şekildeki, özel boyutlandırılmış makina, her biri 2r boy ve m kütlesine sahip, ince, düzgün kesitli, homojen üç adet çubuk (Is=1/12 mçubℓ2

çub) ile her biri m/3 kütlesine sahip dört adet pistondan oluşmaktadır.

a) Makina kütlesini A,B,C,D,E ve F noktalarına konulacak noktasal kütlelere indirgeyiniz,

b) 2 no.lu uzuv M(ϕ) momentinin, 6 ve 7 no.lu uzuvlar ise F6=3F ve F7=2F kuvvetlerinin etkisinde bulunduğuna göre, sürtünme kuvvetlerini ihmal edip ağırlık kuvvetlerini göz önüne alarak, makinanın Eksergian hareket denklemini elde ediniz,

c) 2 no.lu uzvu sabit ω hızıyla döndürebilmek için bu uzva uygulanması gereken M(ϕ) momentini belirleyiniz.

F6=3F

C

O ϕ

y

x

A

1

B

OA=OB= AC=AE= BD=BF= r

D

F

E

F7=2F 2

3

4

5

6

7

8

M(ϕ)

b) Yukarıdaki indirgemeden yaralanılarak genelleştirilmiş eylemsizlik,

2

2F

2

2E

2

2D

2

2C

2

2B

2

2A v

Fv

Ev

Dv

Cv

Bv

A mmmmmm)(ϕϕϕϕϕϕ

+++++=ϕℑ&&&&&&

(iii)

şeklinde hesaplanabilir. Burada ϕ== &rvv BA ,

ϕ=−= cosr2xx DC → ϕϕ−=−= &&& sinr2xx DC → 2222D

2C sinr4vv ϕϕ== & (iv)

ϕ=−= sinr2yy FE → ϕϕ=−= &&& cosr2yy FE → 2222F

2E cosr4vv ϕϕ== &

ve Denk. (ii) dikkate alınırsa

23

17222235

22FE

22DC

2BA

mr)cos(sinmr4mr

cosr4)mm(sinr4)mm(r)mm()(

=ϕ+ϕ+=

ϕ++ϕ+++=ϕℑ (v)

bulunur. Makinanın gnl. eylemsizliği sabittir. Şimdi de genelleştirilmiş kuvvet hesaplanırsa, A ile B’ye etkiyecek ağırlık kuvvetleriyle E ile F’ye etkiyecek olanların birbirini götüreceğine dikkat edilip bu kuvvetler hiç hesaba katılmadan,

)cos3sin2(Fr2)(M

)cosr2(F3)sinr2(F2)(MF3F2)(M)(Q ED yx

ϕ−ϕ+ϕ=

ϕ−ϕ⋅+ϕ=−+ϕ=ϕϕϕ &

&

&

&

(vi)

bulunur. Buna göre,

)(Q)( 2d


ϕϕℑ

&&&

şeklindeki hareket denklemi yazılırsa,

)cos3sin2(Fr2)(Mmr23

17 ϕ−ϕ+ϕ=ϕ⋅ && (vii)

elde edilir. c) Dönme hızının sabit olması istendiğine göre, Denk. (vii)’de 0=ϕ&& konularak )sin2cos3(Fr2)(M ϕ−ϕ=ϕ bulunur.

SORU 2 (30 p) Şekilde, üzerinde üç dengesizlik bulunan bir rotor gösterilmiştir. Bu rotorun dinamik dengesini sağlamak üzere, şekilde verilen L ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 0,04 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir. Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları belirleyiniz, belirlediğiniz konumları bir eskiz üzerinde gösteriniz. YANIT 2 Önce sisteme, şekildeki rotora bağlı eksen takımı yerleştirilsin. Buna dayanılarak yapılan tespitlerle, aşağıda, problemin bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.

Buradan okunan sonuçlara göre; -0,0620

xL =∆ kg.cm

0,0487yL =∆ kg.cm

0,0788L =∆ kg.cm → kg970,1m 04,00,0788

rLL

L ===∆

oL 141,8=α

Ve

ROTOR DENGELEME

No a [cm]

zi [cm]

mi [kg]

ri [cm]

αi [o] ∆Lx i ∆Ly i ∆Rx i ∆Ry i

1 50 10 15 0,015 260 0,0313 0,1773 0,0078 0,0443

2 50 30 20 0,025 40 -0,1532

-0,1286

-0,2298

-0,1928

3 50 45 30 0,02 180 0,0600 0,0000 0,5400 0,0000 ∆Lx ∆Ly ∆Rx ∆Ry

-0,0620 0,0487 0,3180

-0,1485

∆L [kg.cm] ∆R [kg.cm] 0,0788 0,3510 αL [o] αR [o]

141,825 -25,035

rL [cm] rR [cm] mL [kg] mR [kg] 0,04 0,04 1,9702 8,7743

20 kg

L R

20

50 cm

15

0,015 cm

10

400

100

30 kg

15 kg

0,020 cm 0,025 cm

y

x

y

z

0,3180xR =∆ kg.cm

-0,1485yR =∆ kg.cm

0,3510R =∆ kg.cm → kg774,8m 04,00,3510

rRR ===

∆

ooR 0,335-25,0 ==α


YANIT 3 a) ϕ(t)=0 statik denge konumu olarak seçildiğinden, bu konumda birbirini dengeleyen ağırlık ve yay kuvvetleri

devre dışı bırakılır ve küçük salınımlar kabulüyle lineerleştirme yapılırsa, hareketi yöneten dif. Denk.,

0)ba(km 22231 =ϕ++ϕ&&l (i)

ya da

0mk)ba(3

2

22=ϕ+ϕ +

l&& (ii)

şeklinde elde edilir. Burada, çubuğun O’ya göre kütlesel eylemsizlik momenti, Huygens-Steiner teoreminden

2312

22

1212

2SO m)(mm)(mII ll ll =+=+= şeklinde hesaplanıp kullanılmıştır.

b) Denk. (ii)’den doğal frekans hemen,

mk)ba(3

mk)ba(3

n22

2

22⋅==ω

++ll

rad/s (iii)

olarak bulunur.

SORU 3 (30 p)

Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, O noktasından mafsallanmış, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun bu konum civarındaki küçük ϕ(t) salınımlarının;

a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını hesaplayınız.

m

ℓ

ϕ(t)

x

y

mL

mR

rL

rR

αL=141,8o

αR=335,0o

15.12.2011


SORU 1 (20p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:

a) İdeal Sistem neye denir, bir sistemin ideal olup olmaması niçin önemlidir?

b) Virtüel İşler İlkesi nedir? Kelimelerle ifade ediniz.

c) Bir rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır?

d) Bir sistemin doğal frekansı denildiğinde ne anlaşılır?

SORU 2 (25p)

SORU 3 (30p)

c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.

d) Diğer kuvvetler aynı kalmak kaydıyla, 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için ve makinayı q=30o

konumunda sabit tutabilmek için M(q) momentinin ne olması gerekir, ayrı ayrı belirleyiniz.

SORU 4 (25p)

Şekilde statik denge konumunda gösterilen sistemde, kütlesel eylemsizlik

momenti J olarak bilinen makara ile üzerine sarılı uzamayan ipler arasında kayma

yoktur. Sistemin sönümsüz serbest titreşimlerinin; a) Diferansiyel denklemini elde ediniz, b) Doğal frekansını sistem parametreleri cinsinden belirleyiniz, c) m kütleli cismin, denge konumundan ilk hızıyla başlatılan

titreşimlerinin genliğini ve x(t) ifadesini elde ediniz.

Şekilde, peryodik çevrimli bir makinada mile

indirgenmiş momentlerin bir peryod boyunca değişimi,

milin n=600 dev/dak hızıyla dönmesi hali için

gösterilmiştir. Makinanın mile indirgenmiş eylemsizlik

momentinin sabit kısmı 21I , kg.m2 olarak bilindiğine

göre;

a) Bu haliyle makinanın maksimum ve minimum hızları

ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar,

belirleyiniz.

b) Hız dalgalanma katsayısının =0,02 değerini alması için

mile eklenmesi gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız.

Tüm uzuv kütlelerinin m2=m3=…=m7=m

şeklinde birbirine eşit olduğu bilinen, 7 no.lu uzvu r

yarıçaplı homojen bir disk, 2 ve 3 no.lu uzuvları ise 2r

boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen birer çubuk kabul

edilen şekildeki makina, F kuvvetinin, M(q) momentinin

ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altındadır.

a) a) 2, 3, 4, 5 ve 6 no.lu uzuvların kütlelerini, dinamik

eşdeğer olarak, O, A, B, C ve D noktalarına indirgeyiniz.

b) b) a şıkkındaki sonuçlardan yararlanarak, makinanın

genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q) genelleştirilmiş

kuvvetini belirleyiniz.

[rad]

2,04cm2 0,54cm

2

0,76 1,82

1 2 3 4

5

1 cm2=240 N.m

M+= Mç+Me+Mk M

-=Mw+Ms

M [N.m]

C

O

q

F

y

x

A

1

D

r

x

B

r r

1

1

7

6

2 3

4

5

M(q)

k

m

x

15.12.2011


SORU 1 (20p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:

a) İdeal Sistem neye denir, bir sistemin ideal olup olmaması niçin önemlidir?

b) Virtüel İşler İlkesi nedir? Kelimelerle ifade ediniz.

c) Bir rotorun statik ve dinamik dengesi denildiğinde ne anlaşılır?

d) Bir sistemin doğal frekansı denildiğinde ne anlaşılır?

SORU 2 (25p)

YANIT 2 (25p)

a) İş fazlalıklarının alan karşılıkları şekilden alınıp birikimli iş fazlalıklarına karşılık gelen alanlar hesaplansın:

04.2A12 cm2 04.2A12 cm

2 → 1MA (Maks.)

76.0A23 cm2 28.1AAA 231213 cm

2

54.0A34 cm2

82.1AAA 341314 cm2

82.1A45 cm2 0AAA 451415 cm

2 → 1mA (Min.)

Buna göre, şekilde verilen enerji/alan ölçeği de kullanılarak

6.489)004.2(240)AA(kW m1M1a/e Nm.

Ayrıca

2030600

30n

rad/s

Buradan ve

2

Wv II

den Iv=0 ile bu durumdaki hız dalgalanma katsayısı

1.022 )20(2.1

6.489

I

W

Şekilde, peryodik çevrimli bir makinada mile

indirgenmiş momentlerin bir peryod boyunca değişimi,

milin n=600 dev/dak hızıyla dönmesi hali için

gösterilmiştir. Makinanın mile indirgenmiş eylemsizlik

momentinin sabit kısmı 21I , kg.m2 olarak bilindiğine

göre;

a) Bu haliyle makinanın maksimum ve minimum hızları

ne olur ve diyagramın hangi noktalarında ortaya çıkar,

belirleyiniz.

b) Hız dalgalanma katsayısının =0,02 değerini alması için

mile eklenmesi gereken eylemsizlik çarkını hesaplayınız.

[rad]

2,04cm2 0,54cm

2

0,76 1,82

1 2 3 4

5

1 cm2=240 N.m

M+= Mç+Me+Mk M

-=Mw+Ms

M [N.m]

Oysa ve ’nin tanımlarından

630600)2

1.01(n)

21(nmaks

dev/dak 2 Noktasında

570600)2

1.01(n)

21(nmin

dev/dak 5(≡1) Noktasında

b) İstenen için

52.1II22 )20(02.0

6.489Wv kg.m

2

SORU 3 (30p)

c) Makinanın hareket denklemini elde ediniz.

d) Diğer kuvvetler aynı kalmak kaydıyla, 2 no.lu uzvu sabit hızıyla döndürebilmek için ve makinayı q=30o

konumunda sabit tutabilmek için M(q) momentinin ne olması gerekir, ayrı ayrı belirleyiniz.

YANIT 3 (30p)

a) Önce, 2 no.lu çubuğun kütlesi O, A ve D noktalarına indirgensin

2

3

12

12

1S mr)r2(mI →

2

3

12S ri (i)

ile

6

m

r2r

r)2(D

)2(O

mmm

2

31

(O hareketsiz olduğu için ilgili hesap gereksiz)

3

m2

rr

r)2(A

m1m

2

31

3 no.lu çubuk için benzer hesap ile;

6

m)3(B

)3(C

mm

3

m2)3(A

m .

Sonuç olarak 7 no.lu uzuv hariç tüm mekanizma için:

3

m4

3

m2

3

m2)3(A

)2(AA mmm

Tüm uzuv kütlelerinin m2=m3=…=m7=m

şeklinde birbirine eşit olduğu bilinen, 7 no.lu uzvu r

yarıçaplı homojen bir disk, 2 ve 3 no.lu uzuvları ise 2r

boyunda, ince, düzgün kesitli, homojen birer çubuk kabul

edilen şekildeki makina, F kuvvetinin, M(q) momentinin

ve uzuvlarının ağırlık kuvvetlerinin etkisi altındadır.

a) a) 2, 3, 4, 5 ve 6 no.lu uzuvların kütlelerini, dinamik

eşdeğer olarak, O, A, B, C ve D noktalarına indirgeyiniz.

b) b) a şıkkındaki sonuçlardan yararlanarak, makinanın

genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q) genelleştirilmiş

kuvvetini belirleyiniz.

C

O

q

F

y

x

A

1

D

r

x

B

r r

1

1

7

6

2 3

4

5

M(q)

6

m7

6

m6

)3(BB mmmm

6

m7

6

m5

)3(CC mmmm (ii)

6

m7

6

m4

)2(DD mmmm

bulunur.

b) Yukarıdaki indirgemeden yaralanılarak genelleştirilmiş eylemsizlik,

2

2

2

2D

2

2C

2

2B

2

2A

q

2

2

1

q

vD

q

v

Cq

vB

q

v

A )mr(mmmm)q(

(iii)

şeklinde hesaplanabilir. Burada şekil yardımıyla

qrvA ,

qr2vD ,

qcosr2xB → qqsinr2xB →2222

B qqsinr4v (iv)

qsinr2yC → qqcosr2yC →2222

C qqcosr4v

ve

qqsin2r

x B (v)

belirlenir ve Denk. (ii) de dikkate alınarak Denk. (iii)'e dönülürse,

22

3

32

222

6

2822

6

2822

6

282

3

4

mr)qsin2(

qsinmr2mrqcosmrqsinmrmr)q( (vi)

bulunur.

Şimdi de genelleştirilmiş kuvvet hesaplanırsa, ağırlık kuvvetleri V(q) potansiyel enerji fonksiyonu

yardımıyla hesaba katılarak

dq

)q(dV

q

y

q

CF)q(M)q(Q

(vii)

yazılabilir. Burada

qsinmgr6qsinr2gqsingr

gy)mm(gymgymgymgym)q(V

6

m14

3

m4

CDCAADDCCAA (viii)

dikkate alınarak hesap yapılırsa

qcosr)mg6F2(qsin)q(M2

qcosmgr6qcosFr2qsin)q(M2)q(Q (ix)

bulunur.

c) Yukarıdaki sonuçlar kullanılarak

)q(Qqq)q( 2

dq

)q(d

2

1

şeklindeki hareket denklemi yazılırsa,

qcosr)mg6F2(qsin)q(M2qqcosqsinmr2qmr)qsin2( 2222

3

32 (x)

ya da

qcosr)mg3F(qsin)q(Mqqcosqsinmrqmr)qsin( 2222

3

16 (xi)

elde edilir.

c) Dönme hızının sabit olması istendiğinde, Denk. (xi)’de q,0q konularak

qcosmr)q(Mqsin

r)mg3F(22 , (xii)

makinanın sabit tutulması istendiğinde de Denk. (xi)’de 30q,0q,0q konularak,

r)mg3F(732,1r)mg3F()30(M30tan

1 , (xiii)

bulunur. Eksi işareti M'nin yönünün şekildekinin tersi olacağını göstermektedir.

25.4.2012

MAKİNA TEORİSİ 2. Yıliçi Sınavı

SORU 1 (20 p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:

a) Hız dalgalanma katsayısı ne işe yarar ve nasıl tanımlanır?

b) Zorunlu hareketli bir makinada mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması probleminin

bilinmeyen ve denklem sayılarının bir muhasebesini yapınız.

c) Bir makinada, sarsma kuvvetlerinin yok edilmesinin makina kütle dağılımı bakımından koşulu

nedir? Kavramsal olarak belirtiniz.

SORU 2 (30 p)

SORU 3 (20 p) Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle

merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru dinamik olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L

ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 35 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir.

Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu,

çizeceğiniz bir şekil üzerinde gösteriniz.


Üç uzvunun kütleleri mA=mB=m ve mC=2m olarak verilmiş

olan ve P yükü, F kuvveti ve kütlesi verilen uzuvlarının ağırlık

kuvvetlerinin etkisinde bulunan şekildeki “X” tipi kaldırma

platformunda, her biri a boyunda olan, X şeklinde bağlı 2 özdeş

taşıyıcı çubuğun kütlelerini göz ardı ederek;

a) Makinanın )q( genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q)

genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

b) Makina hareket denklemini elde ediniz,

c) Platformu belli bir q konumunda dengede tutmak için

uygulanması gereken F kuvvetinin q’ye bağlı ifadesini

veriniz.

SORU 4 (30 p) Şekilde statik denge konumunda gösterilen

sistemde, ince, düzgün kesitli, homojen ve rijid m,ℓ çubuğunun

O mafsalı çevresindeki küçük genlikli (t) salınımlarının;

a) Diferansiyel denklemini elde edip doğal frekansını şekilde

verilen parametreler cinsinden belirleyiniz,

b) m=5 kg, k=3920 N/m, =1/3, =1/2 verildiğine göre,

çubuğun (0)=0.14 rad konumundan ilk

hızıyla başlayan hareketinin (t) ifadesini elde ediniz; bu

hareketin peryod ve genliğini belirleyiniz.

k

m

ℓ

β.ℓ

O

.ℓ

(t)

y

30o 45

o

x

2

3

1

r3

r2 r

1 2

1

L R

z

50 70

3

40 15 15

F

C

O q

P y

x

a/2

A

a/2

mA

mC

B

mB

25.4.2012

MAKİNA TEORİSİ 2. Yıliçi Sınavı

SORU 1 (20 p) Aşağıdaki soruları kısa ve özlü biçimde yanıtlayınız:

a) Hız dalgalanma katsayısı ne işe yarar ve nasıl tanımlanır?

b) Zorunlu hareketli bir makinada mafsal ve yatak kuvvetlerinin hesaplanması probleminin

bilinmeyen ve denklem sayılarının bir muhasebesini yapınız.

c) Bir makinada, sarsma kuvvetlerinin yok edilmesinin makina kütle dağılımı bakımından koşulu

nedir? Kavramsal olarak belirtiniz.

SORU 2 (30 p)

YANIT 2

a) Göz ardı edilmeyen mA ve mC kütlelerine sahip uzuvların doğrusal, mB kütlesine sahip uzvun ise

dairesel öteleme hareketi yaptığı dikkate alınarak,

2

2C

2

2B

2

2A

q

y

Cq

vB

q

x

A mmm)q(

(i)

den

qcos2x2a

A → qqsinaxA

qavB (ii)

qsin2y2

aC → qqcosayC

ile

)qcos2(maqcosa)m2(maqsinma)q( 2222222, (iii)

bulunur. Genelleştirilmiş kuvvet için ise, kuvvetlerin yönlerine dikkat edilerek ve mB, mC kütleli uzuvların

ağırlıkları dikkate alınarak,

qcosa)mg3P(qsinFa]g)mm(P[F)q(Qq

yCBq

x CA

(iv)

elde edilir. (İstenirse, ağırlık kuvvetleri bir PE ifadesi üzerinden hesaplanarak da aynı sonuca gelinebilirdi.)

Üç uzvunun kütleleri mA=mB=m ve mC=2m olarak verilmiş

olan ve P yükü, F kuvveti ve kütlesi verilen uzuvlarının ağırlık

kuvvetlerinin etkisinde bulunan şekildeki “X” tipi kaldırma

platformunda, her biri a boyunda olan, X şeklinde bağlı 2 özdeş

taşıyıcı çubuğun kütlelerini göz ardı ederek;

a) Makinanın )q( genelleştirilmiş eylemsizliğini ve Q(q)

genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

b) Makina hareket denklemini elde ediniz,

c) Platformu belli bir q konumunda dengede tutmak için

uygulanması gereken F kuvvetinin q’ye bağlı ifadesini

veriniz.

F

C

O q

P y

x

a/2

A

a/2

mA

mC

B

mB

b) Makina hareket denklemi,

)q(Qqq)q( 2

dq

)q(d

2

1 (v)

şeklinde yazılmak istensin. Bu amaçla Denk. (iii)'den

qcosqsinma2 2

dq

)q(d, (vi)

hesaplandıktan sonra Denk. (iii-vi) ile Denk. (v)'e dönülürse,

qcosa)mg3P(qsinFaqqcosqsinmaq)qcos2(ma 2222 (vii)

ya da

0qsinFqcos)mg3P(]qqcosqsinq)qcos2[(ma 22 (vii)

elde edilir.

c) Denge koşulu için Denk. (iv)'ten Q(q)=0 yazıp (ya da Denk. (vii)’de 0q , 0q deyip) F çekilerek

qtan

mg3P

qsin

qcos)mg3P()q(F (viii)

elde edilir.

SORU 3 (20 p) Şekilde, üzerinde statik dengesiz üç disk taşıyan rijid bir rotor ve disk kütle

merkezlerinin konumları gösterilmiştir. Bu rotoru dinamik olarak dengelemek üzere, şekilde verilen L

ve R dengeleme düzlemlerine, dönme ekseninden 35 cm uzağa dengeleme kütleleri yerleştirilecektir.

Bu kütleleri ve yerleştirilmeleri gereken açısal konumları hesaplayınız. Bulduğunuz sonucu,

çizeceğiniz bir şekil üzerinde gösteriniz.


y

30o 45

o

x

2

3

1

r3

r2 r

1 2

1

L R

z

50 70 cm

3

40 15 15

YANIT 3 Aşağıda, problemin, bir Excel programı yardımıyla çözümü görülmektedir.

ROTOR DENGELEME

No a [cm] zi [cm] mi [kg] ri [cm]

i [o]

Lx i Ly i Rx i Ry i

1 120 -40 3 0,25 135 0,7071 -0,7071 -0,1768 0,1768

2 120 50 2 0,2 30 -0,2021 -0,1167 -0,1443 -0,0833

3 120 120 4 0,15 270 0,0000 0,0000 0,0000 0,6000

Lx Ly Rx Ry

0,5050 -0,8238 -0,3211 0,6934

L [kg.cm] R [kg.cm]

0,9663 0,7642

L [o] R [o]

-58,489 114,848

rL [cm] rR [cm]

mL [kg] mR [kg]

35 35

0,0276 0,0218

Buradan okunan sonuçlara göre;

5050.0cosrm)1(

i

iiia

zL

i

x kg.cm

8238.0sinrm)1(

i

iiia

zL

i

ykg.cm

9663.0)()( 2L

2LL yx

kg.cm → g6.27kg106.27m 3

35

9663.0

rLL

L

5.301489.58tan

xL

yL1L

**************************************************

3211.0cosrm

i

iiia

zR

i

x kg.cm

6934.0sinrm

i

iiia

zRy

ikg.cm

7642.0)()( 2R

2RR yx

kg.cm → g8.21kg108.21m 3

35

7642.0

rRR

8.114848.114tan

xR

yR1R


x

y

mR

mL

rR

rL

R=114.8o

L=301.5o

29.04.2013


(2012-2013 BAHAR)

SORU 1 (25p)

SORU 2 (40p)

SORU 3 (35p)

Şekildeki makinada 3 ve 5 no.lu uzuvların kütleleri ihmal edilmekte

(m3=m4=0), ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan 2 no.lu uzvun

kütlesi m2=2m, 4 ve 6 no.lu uzuvlarınki ise m4=m6=m olarak bilinmektedir.

Makina, uzuv ağırlık kuvvetlerinin ve 2 no.lu uzva etkiyen M momentiyle 6 no.lu

uzva etkiyen F kuvvetinin etkisi altında bulunduğuna ve bir ucu O yatağına diğer

ucu C mafsalına bağlı olan k yayının serbest boyu 2r olduğuna göre, (d şıkkına

kadar parametreler cinsinden çalışarak) bu makinanın;

a) (q) genelleştirilmiş eylemsizliğini,

b) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

c) Hareket denklemini elde ediniz.

d) m=3kg, r=15cm verildiğine ve M=0, F=0 iken makinanın statik dengesi

q=30o konumunda oluştuğuna göre k yay katsayısını hesaplayınız.

C

O q

F

y

x

A

D

B r

1

2

3 5

M

r r

2r

k

4

6

OA=AB=AC=r BD=2r

Peryod 0

2

Şekilde, bir makinada, milin 300 dev/dak ortalama hız

ile dönmesi hali için elde edilmiş moment grafikleri ve Joule

cinsinden bazı alanlar verilmiştir.

a) Mile indirgenmiş kütlesel eylemsizlik momentinin sabit

kısmı 0.9 kgm² olarak bilinen bu makinada mil hızının 297-303

dev/dak aralığında kalmasını sağlamak üzere mile eklenmesi

gereken eylemsizlik çarkını belirleyiniz.

b) Çark olarak r=0.5 m yarıçaplı homojen bir disk

kullanılacağına göre bu diskin kütlesi ne olmalıdır, hesaplayınız.

Şekildeki sistemde hiç bir sürtünme bulunmamaktadır

ve P'den yataklanmış, Ip kütlesel eylemsizlik momentine sahip

iki kademeli makaraya sarılı ipler hep gergin kalmaktadır.

Şekilde verilen parametreler cinsinden çalışarak;

a) Sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi,

b) Sistemin doğal frekansını belirleyiniz.

c) m=5 kg, k=1000 N/m, r=0,2 m, Ip=50 kg.m2 verildiğine

göre (0)=0 m konumundan ilk hızıyla başlayan

hareketin (t) ifadesini elde ediniz.

d) c şıkkında verilen hareketin genlik ve peryodunu

belirleyiniz.

x

P

IP

29.04.2013


(2012-2013 BAHAR)

SORU 1 (25p)

YANIT 1 a) Hızın ekstremum olduğu noktalardan 2 noktası referans alınarak İş fazlalıkları şekilden okunsun (Ref alınan

noktanın hesap üzerinde hiç bir etkisi yoktur):

50W23 J, 30W34 J , 35W45 J, 551045W52 J .

Buna göre birikimli iş fazlalıkları

50W23 J

20WWW 342324 J

55WWW 452425 J → 2MW (Maks.)

0W22 J → 2mW (Min.)

ve

55055)WWW m2M2 J

Ayrıca verilerden

1030

300

30

n rad/s, 02.022

297303

297303

nn

nn

minmaks

minmaks, 9.0I kgm

2

Böylece

886.19.0II22 )10(02.0

55Wv kgm

2

b) Homojen disk için

2

2

1v mrI → kg15m

22

v

5.0

886.12

r

I2

Peryod 0

2

Şekilde, bir makinada, milin 300 dev/dak ortalama hız

ile dönmesi hali için elde edilmiş moment grafikleri ve Joule

cinsinden bazı alanlar verilmiştir.

a) Mile indirgenmiş kütlesel eylemsizlik momentinin sabit

kısmı 0.9 kgm² olarak bilinen bu makinada mil hızının 297-303

dev/dak aralığında kalmasını sağlamak üzere mile eklenmesi

gereken eylemsizlik çarkını belirleyiniz.

b) Çark olarak r=0.5 m yarıçaplı homojen bir disk

kullanılacağına göre bu diskin kütlesi ne olmalıdır, hesaplayınız.

SORU 2 (40p)

YANIT 2

a) 2 no.lu uzvun o çevresinde dönme, 4 ve 6 no.lu uzuvlarin öteleme har. yaptıklarına dikkat edilerek

2

2D

2

2C

q

v6

q

v

4O2

mmI)q(

(i)

yazılıp burada, Huygens-Steiner teoremine göre

2222

2S2

O2

mr3

8r)m2()r2)(m2(

12

1AOmII (ii)

ve şekilden

qsinr2yC → qqcosr2yv CC ,

(iii)

qsinr4yD → qqcosr4yv DD

dikkate alınırsa

qcosmr20mr3

8qcosmr16qcosmr4mr

3

8)q( 22222222

(iv)

bulunur.

b) q

y

6q

y

4Cq

y

2DCA )gmF(]gm)r2y(k[gmM)q(Q

(v)

yazılıp, burada Denk. (iii)’ün yanı sıra

qsinryA → qqcosryA (vi)

dikkate alınırsa

qcosr)]1q(sinkr4mg8F4[M

qcosr4)mgF(qcosr2]mg)r2qsinr2(k[qcosmgr2M)q(Q (vii)

Şekildeki makinada 3 ve 5 no.lu uzuvların kütleleri ihmal edilmekte

(m3=m4=0), ince, düzgün kesitli, homojen bir çubuktan ibaret olan 2 no.lu uzvun

kütlesi m2=2m, 4 ve 6 no.lu uzuvlarınki ise m4=m6=m olarak bilinmektedir.

Makina, uzuv ağırlık kuvvetlerinin ve 2 no.lu uzva etkiyen M momentiyle 6 no.lu

uzva etkiyen F kuvvetinin etkisi altında bulunduğuna ve bir ucu O yatağına diğer

ucu C mafsalına bağlı olan k yayının serbest boyu 2r olduğuna göre, (d şıkkına

kadar parametreler cinsinden çalışarak) bu makinanın;

a) (q) genelleştirilmiş eylemsizliğini,

b) Q(q) genelleştirilmiş kuvvetini belirleyiniz,

c) Hareket denklemini elde ediniz.

d) m=3kg, r=15cm verildiğine ve M=0, F=0 iken makinanın statik dengesi

q=30o konumunda oluştuğuna göre k yay katsayısını hesaplayınız.

C

O q

F

y

x

A

D

B r

1

2

3 5

M

r r

2r

k

4

6

OA=AB=AC=r BD=2r

elde edilir. Yay kuvveti PE aracılığıyla da hesaba katılabilirdi.

c) Denk. (iv)’ten

qcosqsinmr20dq

)q(d

2

1)q(C 2

hesaplandıktan sonra (a)’da bulunan )q( ve (b)’de bulunan Q(q) ile

)q(Qqq)q( 2

dq

)q(d

2

1

şeklindeki Eksergian hareket denklemi yazılırsa

qcosr)]1q(sinkr4mg8F4[Mqqcosqsinmr20q)qcosmr20mr3

8( 22222

elde edilir.

d) Denk. (vii)’deki Q(q) ifadesi kullanılarak, F=0, M=0 özel halinde statik denge koşulu

0qcosr)]1q(sinkr4mg8[ (q≠90o için) → 0)1q(sinkrmg2

verir ve buradan

8.784)30sin1(15.0

81.932

)qsin1(r

mg2k

o N/m

bulunur.

SORU 3 (35p)

YANIT 3

a) Şekildeki x, y ve koordinatları arasında

r2

x , 2

xry

kısıtları bulunduğu saptansın ve sistemin x koordinatına indirgenmiş eşdeğeri kurulsun. Koordinat başlangıcı olarak

sistemin statik denge konumunun seçilmesi ve buna dayanarak yaylardaki ön gerilme kuvvetlerinin ve (2m)

cisminin ağırlık kuvvetinin devre dışı bırakılmasıyla eşdeğer kütle ve eşdeğer yay:

Şekildeki sistemde hiç bir sürtünme bulunmamaktadır

ve P'den yataklanmış, Ip kütlesel eylemsizlik momentine sahip

iki kademeli makaraya sarılı ipler hep gergin kalmaktadır.

Şekilde verilen parametreler cinsinden çalışarak;

a) Sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi,

b) Sistemin doğal frekansını belirleyiniz.

c) m=5 kg, k=1000 N/m, r=0,2 m, Ip=50 kg.m2 verildiğine

göre (0)=0 m konumundan ilk hızıyla başlayan

hareketin (t) ifadesini elde ediniz.

d) c şıkkında verilen hareketin genlik ve peryodunu

belirleyiniz.

x

P

IP

y

2eş2

12

2

P

4

1

2

12

2

P

22

12P2

12

2

12

2

1sis xmx)

r

Im9(x]

)r2(

I

)2(

mm2[Iymx)m2(T

)r

Im9(m

2

P

4

1eş

2

eş212

2212

212

21

sis xkx)]k2()2(

k[x)k2(kyU k

4

9keş

Böylece dif. denk.

0xkxm eşeş → 0xk

4

9x)

r

Im9(

2

P

4

1 → 0xkx)r9

Im(

2

P

şeklinde bulunur.

b) Buradan doğal frekans

P2

2

Peş

eş

Imr9

k

r9

Im

k

m

k

n r3

şeklinde hesaplanır.

c) Başlangıç koşulları, xo=0, vo=vo şeklindedir. x(t)=Acos nt+Bsin nt → A=0, B=vo/ n olduğuna göre hareket

x(t)=( vo/ n )sin nt

şeklindedir. Sayısal olarak,

636.22.03r3502.059

1000

Imr9

kn 2

P2

rad/s, 138.1636.2

3v

n

0 m

ile

t636.2sin138.1)t(x [m]

bulunmuş olur.

d) Genlik

X=1.138 m,

peryod ise

38.2636.2

22T

n

s

olarak hesaplanır.

makteo 2.yiliçi sinav soru ve yanitlari

Documents