makalah geometri affine (revisi)

1

TUGAS SISTEM GEOMETRI

GEOMETRI AFFINE

DAN APLIKASINYA DALAM KEHIDUPAN

SEHARI-HARI

Oleh Kelompok 3(1):

1. Rizqi Fadlilah 1131740232. Iin Septiasari 1131740623. Yunanda Ayman Aula 1131740654. Nur Putri Inayati Lestari 1131742085. Gilang Ramadani Setyowati 113174219

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2013

1

A. SEJARAH DAN PERKEMBANGAN GEOMETRI AFFINE

1. Ahli Matematika yang Terlibat

a. Euler

Leonhard Euler adalah salah satu matematikawan terbesar sepanjang

masa . Karya-karyanya banyak ( lebih dari 900 publikasi ) di banyak daerah

memiliki pengaruh yang menentukan pada pengembangan matematika , pengaruh

yang dirasakan sampai hari ini .

Euler lahir di Swiss , di kota Basel , pada 15 April 1707 , dalam keluarga

pendeta. Pada saat itu, Basel adalah salah satu pusat utama matematika di Eropa .

Pada usia 7 , Euler mulai sekolah sementara ayahnya menyewa tutor pribadi

matematika untuknya . Pada 13 , Euler sudah menghadiri kuliah di universitas

lokal , dan pada tahun 1723 memperoleh gelar master , dengan disertasi

membandingkan sistem filsafat alam Newton dan Descartes . Pada keinginan

ayahnya , Euler ditindaklanjuti pendidikan dengan mendaftar di fakultas teologi ,

tetapi mencurahkan seluruh waktu luangnya untuk belajar matematika . Dia

menulis dua artikel pada lintasan balik yang sangat dihargai oleh Bernoulli

gurunya . Pada 1727 Euler diterapkan untuk posisi sebagai profesor fisika di Basel

universitas , tapi ditolak.

Pada saat ini pusat baru ilmu pengetahuan telah muncul di Eropa -

Petersburg Academy of Sciences . Seperti Rusia memiliki beberapa ilmuwan

sendiri , banyak orang asing diundang untuk bekerja di pusat ini - di antara

mereka Euler . Pada 24 Mei 1727 Euler tiba di Petersburg . Bakat -Nya yang besar

segera diakui . Di antara daerah ia bekerja dalam meliputi teori produksi suara

manusia , teori suara dan musik , mekanisme visi , dan karyanya pada persepsi

2

teleskopik dan mikroskopik . Atas dasar ini karya terakhir , tidak dipublikasikan

sampai 1779, pembangunan teleskop dan mikroskop ini dimungkinkan.

Dalam studinya tentang efek warna , Euler berharap untuk menggunakan

pengamatan konjungsi Venus dan bulan , karena berlangsung pada 8 September

1729 . Namun, tidak ada efek seperti yang diamati selama hubungannya ini , dan

Euler terpaksa menunggu gerhana matahari yang akan terjadi pada tahun 1748 .

Dia mengamati gerhana ini di Berlin , di mana ia pindah pada 1741 . Di sini ia

bekerja di Berlin Academy of Sciences dan diangkat sebagai kepala

Observatorium Berlin , dan juga tutor ke keponakan Raja Frederich II dari Prusia .

Pengamatan dari gerhana matahari yang dilakukan oleh para ilmuwan

dari hari menyebabkan mereka percaya bahwa bulan tidak mengandung atmosfer

yang cukup untuk memberikan efek difraksi atau refraksi . Hanya Euler mampu

mendeteksi suasana bulan. Dan pada 1761 , ketika Venus melewati wajah

matahari , dia mendeteksi atmosfer Venus.

Euler bekerja tidak hanya dikhususkan untuk ilmu-ilmu alam . Seorang

pria renaisans sejati , ia juga melibatkan diri dalam perdebatan filosofis hari, dan

penuh kemenangan menyatakan dirinya percaya pada kebebasan kehendak .

Pandangan seperti dia memenangkan beberapa teman di Jerman , dan buku di

mana ia menyatakan dirinya demikian diterbitkan untuk pertama kalinya di Rusia ,

di mana Euler kembali pada 1766 . Di sini ia menemukan banyak yang setuju

dengan pandangannya , di antaranya musuh pandangan Leibnitz dan Voltaire.

Pada tahun 1763 Catherine II naik takhta . Dia melakukan reformasi di

Academy of Sciences dan bertujuan untuk membuat lembaga yang lebih

bergengsi. Ketika Euler kembali ke Petersburg dengan kedua anaknya tua mereka

diberi sebuah rumah dua lantai di tepi Neva dan Euler diberikan posisi di kepala

Academy of Sciences .

Pada saat kembali ke Petersburg Euler sudah dipertimbangkan

pandangannya tentang atmosfer planet . Karya Lomonosov dan Bernoulli di

bidang ini membuatnya menyimpulkan bahwa atmosfer di Bumi dan di planet lain

harus jauh lebih transparan daripada yang ia pikirkan . Euler mengambil peran

yang sangat aktif dalam pengamatan pergerakan Venus melintasi wajah matahari ,

meskipun fakta bahwa saat ini dia hampir buta . Dia telah kehilangan satu mata

dalam perjalanan percobaan pada difraksi cahaya pada tahun 1738 , dan penyakit

3

mata dan operasi yang gagal pada 1771 menyebabkan kerugian hampir total

penglihatan .

Ini tidak, bagaimanapun , berhenti Euler hasil kreatif . Sampai

kematiannya pada tahun 1783 , Akademi disajikan dengan lebih dari 500 karya-

karyanya. Akademi terus mempublikasikan mereka untuk setengah abad lagi

setelah kematian ilmuwan besar . Sampai hari ini , teorinya dipelajari dan

diajarkan , dan bekerja sangat beragam nya membuat dia salah satu pendiri ilmu

pengetahuan modern.

b. Janos Bolyai

Janos Bolyai dilahirkan pada tanggal 15 Desember 1802 di

Koloszvar, sekarang Cluj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua dari

Janos Bolyai adalah Farkas Wolfgang Bolyai dan Zsuzsanna Benko. Ayahnya

Farkas Bolyai mempunyai pekerjaan di Perguruan Tinggi Calvinist sebagai

pengajar Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu Kimia.

Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia masuk di

Perguruan Tinggi Calvinist di Marosvasarhely pada umur 12 tahun dan

selama 3 tahun lebih ia dijuluki sebagai “a real child genius”. Dan saat umur

13 tahun dia telah menguasai kalkulus dan analitis, mekanika dan yang lain.

Pada umur 15 tahun, ia telah menemukan solusi dalam menggunakan salah

satu cabang dari hiperbola xy=c. Ia juga ahli bahasa yang terkemuka yang

menguasai sembilan bahasa asing termasuk Cina dan Tibet.

Ia belajar di Akademi Rancang-Bangun di kerajaan Vienna dari

tahun 1818 sampai 1822. Setelah itu ia bergabung di Angkatan Perang

Kesatuan Rancang-Bangun selama 11 tahun. Kemudian pada tahun 1833 ia

4

dipensiunkan di rangking Kapten karena sering terkena penyakit. Kemudian

ia tinggal di pengasingan dengan keluarganya di Marosvasarhely tanpa

memperoleh informasi tentang peristiwa ilmiah. Meskipun demikian ia

mencapai hasil penting didalam matematika.

Antara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan ilmu ukur non-

Euclide-nya yang baru yang berasal dari solusi permasalahan dalam parallel.

Pada saat berusia 21 tahun, ia melaporkan temuannya pada ayahnya: “Aku

sudah menemukan hal yang bagus dan aku sangat dikejutkan. Aku sudah

menciptakan sesuatu yang baru, dunia yang lain, yang keluar dari tidak ada

apapun…”. Suatu catatan tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan

yang disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai catatan tambahan

pada buku teks ayahnya yang berjudul “Tentamen” pada tahun 1832.

Judulnya adalah catatan tambahan, Scientiam Spatii Veram Absolut Exhibens

…”, yaitu “Ilmu Pengetahuan Riil yang Absolut …”.

Melalui ayahnya, ia menerima suatu catatan oleh Lobachevski

berjudul “Geometriche Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien”

(Penyelidikan Geometris mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana catatan

tersebut hampir sama dengan catatan tambahan dan dimana orang Rusia Ahli

Matematik menguraikan Ilmu Ukur non-Euclide hyperbolic. Pada tahun 1850,

Bolyai mulai menyiapkan suatu naskah yang diberi hak Jerman yang

berjudul “Raumlehre” (Ilmu Pengetahuan Ruang). Ia mencoba untuk

mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar pada aksioma,

tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan.

Bolyai juga mengembangkan suatu konsep Geometris kaku tentang

angka-angka kompleks sebagai penghembus dari angka-angka riil. Walaupun

ia tidak pernah menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan, namun

pemikirannya telah dibukukan lebih dari 14.000 halaman naskah

mathematical. Dan pada saat itulah ia meninggal. Ahli Matematika tulen

telah ditemukan. Dialah Janos Bolyai yang sebagian besar menghasilkan teori

baru.Dasar dari Geometri Affine adalah adalah Geometri Terurut. Bidang

Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian

pangkalnya sama yaitu titik dan keantaraan. Aksioma-aksioma dari geometri

5

terurut yang berlaku adalah Aksioma 3.1, 3.7, 3.8, 3.9. Sementara aksioma-

aksioma

2. Perkembangan Geometri Affine

Dalam matematika, geometri affine merupakan suatu ilmu tentang garis-garis

paralel.Aksioma playfair menjadi dasarnya sebab perbandingan nilai ukuran sudut

berpindah ke geometri affine, sehingga postulat kesejajaran Euclid menjadi bagian

dari geometri affine murni. Geometri Affine menggunakan Postulat 1,2, dan 5 Euclid.

Pada geometri affine, hubungan kesajajaran dapat diadaptasi menjadi hubungan

keseimbangan. Beberapa perbandingan dari gambar-gambar pada geometri affine

terbentuk oleh dilatasi yang digambarkan meliputi affine grup A. Karena A terletak di

antara grup E Euclid dan grup proyeksi P, maka geometri affine terkadang terhubung

dengan program Erlagen, yang mana terpusat pada grup inklusi seperti ⊂ ⊂ .

Geometri affine dapat dikembangkan menjadi dasar Aljabar Linear.Salah

satunya adalah sebuah ruang affine sebagai himpunan dari beberapa titik dengan

himpuanan suatu transformasi, translasi tersebut yang mana membentuk grup

tambahan pada ruang vektor.Sehingga untuk sembarang pasangan titik-titik terurut

yang diberikan, ada sebuah translasi tunggal yang terkirim dari titik pertama menuju

titik kedua.

Geometri affine tidak terpusat pada gagasan tentang lingkaran, sudut, dan

jarak.Ia terkenal dengan keputusan bahwa Geometri Affine: Semua segitiga adalah

sama. Pada konteks ini kata affine pertama kali digunakan oleh Euler (affinis).Dalam

perbincangan modern, geometri affine merupakan ilmu tentang ciri objek-objek

geometri tentang sisa invarian menurut geometri affine.

Geometri afine menyajikan titik-titik klinear, jika 3 titik terdapat pada garis

lurus yang sama, menurut transformasi affine bayangannya juga terdapat pada garis

yang sama, pada tambahannya, titik tengah antara dua titik yang lain, sebagai contoh:

Garis-garis sejajar tetap sejajar

Garis-garis yang berpotongan tetap berpotongan

Perbandingan panjang dari segmen garis yang diberikan tetap stabil

Perbandingan area dua segitiga tetap stabil

Ellip tetap ellip dan parabola tetap parabola, juga hiperbola tetap hiperbola

6

B. Geometri Affine

Aksioma 1 Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 2

Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F

yang memenuhi [AFB].

Aksioma 3 (Dalam ruang dimensi dua)

Semua titik ada dalam satu bidang

Aksioma 4

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang

tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang

terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu

himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan

lainnya.

Aksioma 5

Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling

banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r.

7

Aksioma 6

Jika A, A’, B, B’ C, C’, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA’,

BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB//A’B’, BC//B’C’, maka

CA//C’A’.

Kesejajaran dalam Geometri Affine ini adalah suatu relasi ekuivalensi. Jadi

memenuhi sifat-sifat:

a. refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan a sendiri

b. simetrik, yaitu jira garis a sejajar denga garis b, maka garis b sejajar dengan garis

a.

c. transitif, yaitu jira garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c,

maka garis a sejajar denan garis c. Aksioma 2 dapat kita gambarkan sebagai

berkut:

Teorema 4.1

Jika ABC dan A’B’C’ adalah 2 segitigadengantitik-titiksudut yang berlainan,

diletakkansedemikian,hingga BC//B’C’, CA/C’A’ dan AB//A’B’, makaketigagaris AA’, BB’

dan CC’ adalahberpotonganpadasatutitik (konkuren) atausejajar.

8

Diketahui : BC//B’C’, CA/C’A’, AB//A’B’

Dibuktikan : AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitikatausejajar.

Bukti:

Ada 2 kondisi yang harus kita buktikan, yaitu :

1. AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitik

2. AA’, BB’ dan CC’ sejajar

Kondisi 1 : AA’, BB’ dan CC’ berpotonganpadasatutitik

Misalkan ketigagaris AA’, BB’ dan CC’ tidaksemuanyasejajar,

duadiantaranyatentuberpotongan

No Pernyataan Keterangan

1 ABC &A’B’C’

BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’

Premis

2 A,B,C sudut sudut ABC Premis

3 A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’ Premis

4 AA’ dan BB’ berpotongan di O Permisalan

5 Konstruksigaris OC, perpanjanghinggamemotong B’C’ di C’’

6 Karena C’’ pada B’C’ maka AC//A’C” (aksioma 4.6)

9

No. Pernyataan Keterangan

7 Karena AC//A’C’ dan AC//A’C”, maka

C”pada A’C’,

C”jugapada B’C’.

Akibat 5

8 A’B’C’ suatusegitigamakaharuslah C”berimpitdengan C’. Premis

9 Jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan di satu titik Akibat 8

Kondisi 2 : AA’, BB’ dan CC’ sejajar

No Pernyataan Ket

1 ABC &A’B’C’

BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’

Premis

10

No. Pernyataan Ket

2 A,B,C sudut sudut ABC

A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’

Premis

3 Buat segmen AA’,BB’ dan CC’ konstruksi

4 Buat sinar A/A’ sehingga memenuhi [PAA’] konstruksi

5 Buat sinar B/B’ sehingga memenuhi [QBB’] Konstruksi

6 Buat sinar C/C’ sehingga memenuhi [RCC’] Konstruksi

7 Buat A’/A sehingga memenuhi [SA’A] konstruksi

8 Buat B’/B sehingga memenuhi [TB’B] konstruksi

9 Buat C’/C sehingga memenuhi [UC’C] konstruksi

10 Jadi Garis AA’//BB’//CC’ Akibat 4-9

11

Teorema 4.2

Jika A, A’, B, B’, C,C’ adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA’,BB’,CC’,

diletakan sedemikian hingga t AB sejajar with A’B’ . BC sejajar B’C’ , maka CA juga sejajar

dengan C’A’.

Diketahui : A, A’, B, B’, C, C’ (6 titik berlaianan)

AA’//BB’//CC’

AB//A’B’

BC//B’C’

Akan dibuktikan : CA//C’A’

Bukti :

(1) Ambil sebarang titik C” di segmen B’C’ sedemikian hingga

AC//A’C”

(2) AB//A’B’ (diketahui)

(3) BC//B’C’ (diketahui)

(4) AA’//BB’//CC” (teorema 4.1)

(5) BB’//CC” (4)

(6) BB’//CC’ (diketahui)

(7) Melalui titik C di luar garis BB’ ada paling banyak satu garis

sejajar BB’ (aksioma 5). Padahal ada dua garis sejajar BB’ yaitu

CC’ dan CC”, jadi haruslah C” berhimpit dengan C’.

(8) C” berada pada garis CC’

(9) C” berada ada garis B’C’ (1)

(10) AC// A’C’’.

12

Dalam geometri Affine, kita akan mengenal beberapa transformasi. Untuk itu, perlu

didefinisikan terlebih dahulu tentang Jajargenjang.

Definisi 1 (Jajar Genjang)

Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang

ABCD jika AB sejajar dengan DC dan BC sejajar dengan AD.

Dari gambar tersebut, A, B, C, dan D adalah titik-titik sudut jajargenjang

ABCD.Segmen-segmen AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisi jajargenjang ABCD.Segmen-

segmen AC dan BD adalah diagonal-diagonal jajargenjang ABCD. Karena B dan D berada

pada pihak yang berlainan yang dibentuk segmen AC, maka diagonal-diagonal jajargenjang

berpotongan di suatu titik yang kemudian disebut dengan pusat jajargenjang.

Definisi 2 (Dilatasi)

Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang

sejajar.

Teorema 4.3

Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis yang sejajar menentukan dengan

tunggal suatu dilatasi AB→A’B’.

Diberikan : AB//A’B’

Akan dibuktikan : AB//A’B’ menentukan dengan tunggal suatu Dilatasi AB→A’B’

A B

CD

13

Bukti :

Ambil sebarang titik P pada bidang.

Konstruk P’ (bayangan P) yang merupakan titik potong dari garis

yang dibuat melalui A’ sejajar AP dan garis melalui B’ sejajar BP.

Karena AP∦BP, maka garis-garis yang melalui A’ dan B’ tidak

mungkin sejajar.

Ambil sebarang titik C, C≠P.

Dengan cara yang sama, konstruk C’.

Berdasarkan Teorema 4.1, didapat AA’∥ BB’∥ PP’∥ CC’.

Jika AB dan A’B’ tidak berimpit, maka AA’, BB’, PP’, dan CC’

adalah konkuren atau sejajar sehingga C’P’∥ CP.

Jadi, menurut Definisi 4.2, transformasi tersebut adalah dilatasi.

Jika AB dan A’B’ berimpit, maka transformasi dapat dipandang

sebagai AC→A’C’.

... Dua segmen sejajar menentuka dengan tunggal suatu dilatasi.

P

A

C

A’ B’

B

C’

P’

14

Definisi 3 (Invers)

Invers dari dilatasi AB A’B’ ialah dilatasi A’B’ AB

Definisi 4 (Hasil Kali Dua Dilatasi)

Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan

dilatasi yang lain.

Maka hasil kali dua dilatasi AB A’B’ dan A’B’ A”B” ialah dilatasi AB A”B”.

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB AB.

Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis-garis

invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar.

15

Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang

menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik, maka

dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi

O dan titik pusat tersebut tunggal.

Definisi 5 (Translasi)

Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu

suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak

memiliki titik invarian (tapi garis invarian).

Jika pada translasi AB A’B’, AA’, BB’ tidak berupa jajaran genjang, maka dapat

ditunjukkan jajaran genjang lainnya. Seperti pada gambar berikut:

AB A’B’ sama dengan AC A’C’ dengan AA’C’C suatu jajargenjang atau

AD A’D’ suatu jajargenjang.

Jika A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak tergantung dari pemilihan C atau D,

sehingga terdapat Teorema berikut:

Dilatasi Sentral Translasi

16

Teorema 4.4

Sebarang dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi A A’.

Bukti:

(1) Suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak mempunyai titik

invarian. Translasi A A’ sama dengan translasi B B’. Jika AA’ B’B suatu

jajargenjang. (Definisi 4.4)

(2) Andaikan AA’BB’ bukan jajar genjang

(3) Ada titik B” membentuk garis melalui B tidak sejajar dengan AA’

(4) AA’BB” membentuk titik invarian (Definisi 4.4)

(5) AA’BB” bukan suatu translasi (Definisi 4.4)

(6) AA’ bukan suatu translasi (5)

(7) Pengandaian salah, maka dua titik A dan A’ menentukan dengan tunggal translasi

A A’

Teorema 4.5

DilatasiAB → A’B’ mentransformasikan setiap titik.

Diketahui : Dilatasi AB ke A’B’

Karena setiap titik diluar garis ditransformasikan ke petanya menurut Teorema 4.3, maka

Adib : Setiap titik pada AB ditransformasikan ke setiap titik pada A’B’

Bukti :

Kita akan membuktikan bahwa, jika [ACB] maka [A’C’B’].

Berdasarkan Definisi Dilatasi, maka AB//A’B’. Hal ini menjadikan ada dua kondisi

dimana AB kongruen dengan A’B’ dan AB tidak kongruen dengan A’B’.

1. AB kongruen A’B’

Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a

Hubungkan B dengan B’ dan beri nama garis invariant b

Konstruksi garis invarian c sedemikian, sehingga c//a//b

Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi

mempunyai peta di C’ yang

[A’C’B’]. Dapat disimpulkan bahwa

Untuk kondisi pertama terbukti.

2. AB tidak kongruen dengan A’B’


dimana AB kongruen dengan A’B’ dan AB tidak kongruen dengan A’B’.

n A dengan A’ dan beri nama garis invariant a


Konstruksi garis invarian c sedemikian, sehingga c//a//b

Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi

mempunyai peta di C’ yang merupakan titik perpotongan A’B’ dengan c, jadi

Dapat disimpulkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’].

Untuk kondisi pertama terbukti.

AB tidak kongruen dengan A’B’

17


Untuk titik C yang merupakan titik perpotongan AB dengan c, jadi [ACB]. C

merupakan titik perpotongan A’B’ dengan c, jadi

18

Hubungkan A dengan A’ dan beri nama garis invariant a


a dan b berpotongan di titik invariant O. ambil titik C pada AB dan hubungkan ke O.

sinar OC terletak di dalam sudut AOB sehingga [ABC]. Untuk titik C’, titik potong

OC dengan suatu segmen A’B’ dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada sinar OB

dipenuhi [A’C’B’]. Dapat disimpulkan bahwa jika [ACB] maka [A’C’B’].

Untuk kondisi kedua terbukti.

Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garis-

garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini.

1. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]

2. [ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]

Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’]

Teorema 4.6

Hasil kali dua translasi A→B dan B→C adalah translasi A→C.

19

Bukti:

(1) Andaikan hasil kali 2 translasi bukan suatu translasi, maka ada titik invariant O.

(2) Translasi pertama A → B. Titik O juga ditranslasikan ke O’ sebesar dan searah

translasi A → B.

(3) Diandaikan hasil kali 2 translasi memiliki titik invariant maka O’ ditranslasikan

kembali ke O (sesuai dengan definisi titik invariant (titik yang tidak berubah posisi).

(4) Sehingga untuk translasi ke dua yaitu B → C ditranslasikan sebesar dan searah

O’ → O. Jadi B → C merupakan invers dari A → B.

(5) Karena B → C invers dari A → B, maka pengandaian salah. Seharusnya invers dari

A → B adalah B → A. Maka hasil kali 2 translasi tidak mempunyai titik invariant.

Jadi, hasil kali 2 translasi berupa translasi.

Definisi 5 (Setengah Putaran)

Jika dua titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB→BA

atau A↔B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.

Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka untuk mencari bayangannya, kita

hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui B sejajar AC dan

yang melalui A sejajar BC ialah D, bayangan dari C.

20

Jadi ACBD adalah suatu jajargenjang. Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C

D. garis-garis invarian AB dan CD, karena diagonal-diagonal suatu jajargenjang,

berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O adalah

titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran A B, titik O adalah titik tengah segmen

AB.

Untuk melukis bayangan titik T pada garis AB, dihubungkan T dengan C (atau D) dan

kemudian dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC (atau TD) dan terdapat

T’ pada garis AB.

Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A↔B) atau (B↔C).andaikan

hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah putaran A↔B, O

dibawa ke-O’. Jadi A↔B sama dengan O↔O’. Oleh setengah putaran B↔C maka O’

dibawa ke O, jadi B↔C sama dengan O’↔O. Jadi ada titik invarian jika A↔B = B↔C.

Dalam hal ini yang lain tidak ada titik invarian.

Teorema 4.7

Hasil kali 2 setengah putaran A↔B dan B↔C adalah translasi A↔C.

Bukti:

1) Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai (A B) (B C).

2) Andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O

3) Setengah putaran A B, O dibawa ke-O’ (O O’)

Berakibat A B = O O’

4) Setengah putaran B C maka O’ dibawa ke O (O’ O)

Berakibat B C = O’ O

5) Jadi hasil kali dua setengah putaran (A B) (B C) memiliki titik invarian jika

A B = B C

Hal tersebut kontradiksi bahwa A B ≠ B C

Sehingga pengandaian salah, jadi dalam hal ini yang lain tidak ada titik invariant dan

hasil kali dua setengah putaran berupa translasi ( definisi translasi)

21

Teorema 4.8

Setengah putaran A↔B dan C↔D sama, bila dan hanya bila translasi A↔D dan C↔B

sama.

Untuk “→”:

Diberikan : A↔B = C↔D

Akan dibuktikan : A↔D= C↔B

Bukti : A↔D = (A↔B) (B↔D)

= (C↔D) (B↔D)

= (C↔D) (D↔B)

= C↔B

Untuk “←”:

Diberikan : A↔D= C↔B

Akan dibuktikan : A↔B= C↔D

Bukti : A↔B = (A↔D) (D↔B)

= (C↔B) (D↔B)

= (C↔B) (B↔D)

= C↔D

Teorema 4.9

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu

segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga, dan

Suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar

dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga.

22

Bukti I

Diketahui : ∆ B’ titik tengah ACA’ titik tengah BC

Buktikan : B’A’�AB

Bukti :

1. Konstruksi translasi B’B” A’A” searah B’A

2. Akibatnya B’B” � A’A” sehingga B’A’ � B”A”

3. Berdasarkan definisi jajargenjang maka B’A’A”B” adalah jajargenjang

4. Akibatnya akan dibuktikan bahwa B”A” terletak pada AB

5. Berdasarkan Teorema 4, translasi B’ B” searah B’A maka B” = A sehingga A” = D

(dengan D terletak pada AB).

6. B’A’�AB

Bukti II

Diketahui : ∆ B’ titik tengah ACB’A’�AB

Buktikan : A’ titik tengah BC

Bukti :

1. Pandang ∆ ′ ′ dan ∆ 2. CB’A’ CAB (Sehadap)

3. C C (Berhimpit)

4. CA’B’ CBA (Sehadap)

5. Berdasarkan definisi kesebangunan maka ∆ ′ ′ ∆ 6. = *Dari yang diketahui B’C =

12AC

C

A B

A’B’

C

A B

A’B’

23

=

=

7. Karena perbandingan = maka A’ titik tengah BC.

C. APLIKASI GEOMETRI AFFINE

Menampakkan kondisi transformasi dari wujud aslinya (optical illusion)

a. Bentuk berikut merupakan bentuk transformasi.

Perhatikan gambar di samping.

Kita dapat melihat bahwa gambar A terlihat

tegak (i), padahal gambar aslinya adalah

miring seperti gambar (ii).

Gambar (i) adalah transformasi dari gambar

(ii).

i

ii

24

Dilihat seakan-akan stik merah tidak akan mungkin bisa menembus dari kotak ke kotak yang lain. Padahal, bentuk asli dari gambar tersebut adalah sebagai berikut.

b. Gambar berikut juga merupakan bentuk yang sama dengan a.

Apabila dilihat dari bentuk transformasinya terlihat mustahil benda lingkar merah yang bisa menempel dengan bentuk seperti pada gambar sebelum melihat bentuk aslinya.

c. Bola yang ada pada gambar tersebut seakan-akan menggelinding ke atas (dari yng rendah menuju ketempat yang lebih tinggi). Padahal dilihat dari bentuk aslinya bola tersebut menggelinding dari tempat paling tinggi ke tempat yang lebih rendah (normal)

25

Gambar di bawah ini adalah bentuk asli dari gambar di atas.

d. Sponsor sepak bola samping gawang yang dilingkari adalah bentuk aplikasi affine lainnya.

Broadcast tersebut terlihat seakan-akan berdiri tegak jika dilihat dari sudut pandang penonton. Tetapi akan terlihat menempel tanah seperti karpet yang di pasang di ruang

26

tamu jika dilihat dari atas atau dari sisi kamera yang dekat dengan gawang. Amati gambar berikut yang merupakan bentuk asli dari broadcast tersebut.

27

DAFTAR PUSTAKA

1. Budiarto, Mega Teguh, Prof. Dr. Masriyah, Dra. M.Pd. 2010. Sistem Geometri.

Surabaya: Unesa University Press.

2. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/affine.htm didownload pada6 tanggal 6

Oktober 2013 pukul 10.00

3. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html didownload pada 5 Oktober 2013 pukul 20.30

makalah geometri affine (revisi)

Documents