Abstrak

Setiap manusia ingin menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dengan secepat-

cepatnya dan mendapatkan keuntungan sebanyak-banyaknya dengan mengefisienkan

sumber daya yang dimiliki terhadap batasan-batasan yang ditemui pada suatu masalah.

Khususnya permasalahan yang selalu terdapat pada bidang informatika adalah

pencarian metode atau algoritma yang lebih mangkus untuk mencapai solusi. Oleh

karena itu dibutuhkan langkah-langkah tertentu yang dapat dijadikan acuan untuk

membantu pemecahan masalah tersebut. Salah satunya adalah pemecahan algoritma

runut balik (backtracking) yang sering digunakan untuk membuat program khususnya

permainan dan kecerdasan buatan. Algoritma-algoritma selain runut balik pun

sebenarnya cukup mangkus untuk mencari solusi di antara kemungkinan solusi yang ada.

Akan tetapi, waktu komputasi yang dibutuhkan algoritma lain biasanya akan meningkat

dengan drastis seiring dengan pertambahan ukuran persoalan yang membesar. Karena

itulah dibutuhkan metode untuk lebih memangkuskan algoritma tersebut. Salah satu

metode yang dapat digunakan adalah menggunakan metode runut balik. Runut balik itu

sendiri adalah algoritma yang berbasis pada DFS untuk mencari solusi persoalan secara

lebih mangkus. Dengan metode runut balik, kita tidak perlu memeriksa semua

kemungkinan solusi yang ada. Hanya pencarian yang mengarah ke solusi saja yang

selalu dipertimbangkan. Akibatnya, waktu pencarian dapat dihemat.

KATA PENGANTAR

Rasa syukur yang dalam kami sampaikan ke hadirat Allah swt, karena berkat

kemurahanNya makalah ini dapat kami selesaikan sesuai yang diharapkan.Dalam makalah ini

kami membahas “Backtracking, Algoritma serta Implementasinya”, suatu permasalahan para

programmer sekaligus solusi dalam pembuatan algoritma yang ingin dibuatnya di antara

berbagai algoritma-algoritma yang ada.

Makalah ini dibuat dalam rangka memperdalam pemahaman terkait algoritma yang sangat

diperlukan dalam membuat suatu program yang efektif dan efisien dalam memanfaatkan

teknologi informasi terutama untuk para programmer dan sekaligus melakukan apa yang menjadi

tugas mahasiswa yang mengikuti mata kuliah “Algoritma dan Pemrograman II”

Dalam proses pendalaman materi Backtracking ini, tentunya kami mendapatkan bimbingan,

arahan, koreksi dan saran, untuk itu rasa terima kasih yang dalam-dalamnya kami sampaikan :

Dr. Dedi Rohendi, MT. selaku dosen mata kuliah “Algoritma dan Pemrograman II”

Rekan-rekan mahasiwa yang telah banyak memberikan masukan untuk makalah ini.

Demikian makalah ini kami buat semoga bermanfaat,

Bandung, Desember 2010

Penyusun

BAB I Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Di dalam kehidupannya, manusia selalu menemui masalah atau persoalan. Hal ini

mungkin didasarkan dari sifat dasar manusia itu sendiri yang selalu ingin tahu segala sesuatu.

Deskripsi dari masalah menurut [NEA96] adalah pertanyaan atau tugas yang kita cari

jawabannya.

Dalam menghadapi permasalahan, untuk menyelesaikannya manusia memerlukan

langkah-langkah yang benar sehingga permasalah tersebut dapat terselesaikan. Urutan

langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah tersebutlah yang dinamakan dengan

algoritma. Definisi lain dari algoritma adalah deretan langkah-langkah komputasi yang

mentranformasikan data masukan menjadi keluaran [COR92].

Dalam menentukan langkah-langkah tersebut diperlukan suatu strategi agar langkah-

langkah yang dipakai tersebut dapat menyelesaikan permasalahan secara mangkus (efisien).

Strategi menurut kamus besar bahasa indonesia adalah rencana yang cermat mengenai

kegiatan untuk mencapai sasaran khusus. Rencana itu sendiri dapat berisi suatu metode atau

teknik yang digunakan untuk mencapai sasaran khusus tersebut.

Dengan pengertian algoritma dan strategi tersebut, kita dapat mendefinisikan strategi

algoritmik sebagai kumpulan metode atau teknik untuk memecahkan masalah guna mencapai

tujuan yang ditentukan, yang dalam hal ini deskripsi metode atau teknik tersebut dinyatakan

dalam suatu urutan langkah-langkah penyelesaian.

Secara umum, strategi pemecahan masalah dapat dikelompokan menjadi:

1. Strategi solusi langsung, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah: Algoritma

Brute Force dan Algoritma Greedy

2. Strategi berbasis pencarian pada ruang status, metode yang termasuk ke dalam strategi ini

adalah: Algoritma Backtracking dan Algoritma Brach and Bound

3. Strategi solusi atas-bawah, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah Algoritma

Divide and Conquer.

4. Strategi solusi bawah-atas, metode yang termasuk ke dalam strategi ini adalah Dynamic

Programming.

Strategi yang akan dibahas pada makalah ini adalah strategi berbasis pencarian pada

ruang status. Secara spesifik, metode yang dibahas adalah Algoritma runut balik

(backtracking). Permasalahan ini akan dibahas lebih lanjut dalam bab selanjutnya.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang yang telah diuraikan, maka timbul beberapa pertanyaan yang merupakan

rumusan masalah, yakni sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud dengan algoritma runut balik (backtracking) ?

2. Apa keunggulan serta kelemahan algoritma runut balik (backtracking) dibandingkan

dengan algoritma-algoritma yang ada?

3. Bagaimana prosedur algoritma runut balik (backtracking) ?

4. Bagaimana Implementasi algoritma runut balik (backtracking) dalam pemrograman ?

1.3 Maksud dan Tujuan

1.3.1 Maksud Pembahasan

Berdasarkan uraian latar belakang dan rumusan masalah di atas, maka maksud

dari pembahasan ini adalah untuk mengetahui dengan jelas hal-hal yang berkaitan dengan

sebuah algoritma yang dinamakan dengan algoritma runut balik (backtracking).

1.3.2 Tujuan Pembahasan

Tujuan pembahasan ini dapat dirumuskan untuk:

1. Menganalisis definisi yang dimiliki oleh algoritma runut balik (backtracking).

2. Menganalisis prosedur algoritma dalam algoritma runut balik (backtracking).

3. Menganalisis implementasi algoritma runut balik (backtracking).

BAB II Isi

2.1 Algoritma Runut Balik (backtracking)

Algoritma runut balik pertama kali diperkenalkan oleh D.H Lehmer pada tahun 1950.

Algoritma ini cukup mangkus untuk digunakan dalam beberapa penyelesaian masalah dan

juga untuk memberikan kecerdasan buatan dalam game. Beberapa game populer semisal

Sudoku, Labirin, Catur juga bisa diimplementasikan dengan menggunakan algoritma runut

balik.

Algoritma runut balik (backtracking) merupakan algoritma yang digunakan untuk

mencari solusi persoalan secara lebih mangkus daripada menggunakan algoritma brute force.

Algoritma ini akan mencari solusi berdasarkan ruang solusi yang ada secara sistematis

namun tidak semua ruang solusi akan diperiksa, hanya pencarian yang mengarah kepada

solusi yang akan diproses. (Rinaldi Munir, Diktat Strategi Algoritmik, Teknik Informatika

ITB. 2005).

Algoritma runut balik berbasis pada DFS (Depth First Search) sehingga aturan

pencariannya akan mengikut kepada aturan pencarian DFS yaitu dengan mencari solusi dari

akar ke daun (dalam pohon ruang solusi) dengan pencarian mendalam. Simpul-simpul yang

sudah dilahirkan (diperiksa) dinamakan simpul hidup (live node). Simpul hidup yang sedang

diperluas dinamakan simpul-E atau Expand Node.

Algoritma backtracking mempunyai prinsip dasar yang sama seperti brute-force yaitu

mencoba segala kemungkinan solusi. Perbedaan utamanya adalah pada ide dasarnya, semua

solusi dibuat dalam bentuk pohon solusi (pohon ini tentunya berbentuk abstrak) dan

algoritma akan menelusuri pohon tersebut secara DFS (depth field search) sampai ditemukan

solusi yang layak.

2.2 Properti Umum Metode runut balik (Backtracking)

Untuk menerapkan metode runut-balik, properti berikut didefinisikan:

1. Solusi persoalan.

Solusi dinyatakan sebagai vektor n-tuple:

X=(x1, x2, ..., xn), xi anggota himpunan berhingga Si .

Mungkin saja S1 = S2 = ... = Sn.

Contoh: Si = {0,1}

Si = 0 atau 1

2. Fungsi pembangkit nilai xk

Dinyatakan sebagai:

T(k)

T(k) membangkitkan nilai untuk xk, yang merupakan komponen vektor solusi

3. Fungsi Pembatas (fungsi kriteria)

Dinyatakan sebagai:

B(x1, x2, ..., xk)

Fungsi pembatas menentukan apakah (x1, x2, ..., xk) mengarah ke solusi. Jika ya, maka

pembangkitan nilai untuk xk+1 dilanjutkan, tetapi jika tidak, maka (x1, x2, ..., xk)

dibuang dan tidak dipertimbangkan lagi dalam pencarian solusi.

2.3 Pengorganisasian Solusi

Semua kemungkinan solusi dari persoalan disebut ruang solusi (solution space).

Jika xi Si, maka S1 S2 … Sn disebut ruang solusi. Jumlah anggota di dalam

ruang solusi adalah | S1| | S2| … | Sn |. Tinjau persoalan Knapsack 0/1 untuk n = 3.

Solusi persoalan dinyatakan sebagai vektor (x1, x2, x3) dengan xi {0,1}. Ruang solusinya

adalah

{0,1} {0,1} {0,1} = {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1),

(0, 1, 1), (1, 1, 1)}.

Pada persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3 terdapat 2n = 23 = 8 kemungkinan solusi, yaitu:

(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), dan (1, 1, 1).

Penyelesaian secara exhaustive search adalah dengan menguji setiap kemungkinan solusi.

Ruang solusi diorganisasikan ke dalam struktur pohon. Tiap simpul pohon menyatakan status

(state) persoalan, sedangkan sisi (cabang) dilabeli dengan nilai-nilai xi. Lintasan dari akar ke

daun menyatakan solusi yang mungkin. Seluruh lintasan dari akar ke daun membentuk ruang

solusi. Pengorganisasian pohon ruang solusi diacu sebagai pohon ruang status (state space

tree). Tinjau kembali persoalan Knapsack 1/0 untuk n = 3. Ruang solusinya:

Gambar Ruang solusi untuk persoalan Knapsack 0/1 dengan n = 3

2.4 Prinsip Pencarian Solusi dengan Metode Runut Balik

Langkah-langkah pencarian solusi dengan metode runut balik adalah sebagai berikut:

1. Solusi dicari dengan membentuk lintasan dari akar ke daun. Aturan yang dipakai adalah

mengikuti metode pencarian mendalam (DFS). Simpul-simpul yang sudah dilahirkan

dinamakan simpul hidupm dan simpul hidup yang sedang diperluas dinamakan simpul-E.

Simpul dinomori dari atas ke bawah sesuai dengan kelahirannya.

2. Jika lintasan yang diperluas yang sedang dibentuk tidak mengarah ke solusi, maka

simpul-E tersebut “dibunuh” sehingga menjadi simpul mati (dead node). Simpul yang

sudah mati ini tidak akan diperluas lagi.

3. Jika pembentukan lintasan berakhir dengan simpul mati, maka proses pencarian

diteruskan dengan membangkitkan simpul anak lainnya. Bila tidak ada lagi simpul anak

yang dibangkitkan, maka pencarian solusi dilanjutkan dengan melakukan runut-balik

(backtracking) ke simpul hidup terdekat. Selanjutnya simpul ini menjadi simpul-E yang

terbaru.

4. Pencarian dihentikan bila telah ditemukan solusi atau tidak ada lagi simpul hidup untuk

runut balik (backtracking).

Tinjau persoalan Knapsack 0/1 dengan instansiasi:

n = 3

(w1, w2, w3) = (35, 32, 25)

(p1, p2, p3) = (40, 25, 50)

M = 30

Solusi dinyatakan sebagai X = (x1, x2, x3), xi {0, 1}.

Fungsi pembatas:

∑i=1

k

wi x i≤M

Gambar (a) Pohon dinamis yang dibentuk selama pencarian untuk persoalan Knapsack

0/1 dengan n = 3,

w = (35, 32, 25) dan p = (40, 25, 50)

(b) Penomoran ulang simpul-simpul sesuai urutan pembangkitannya

Solusi optimumnya adalah X = (0, 0, 1) dan F = 50.

2.5 Skema Umum Algoritma Backtracking

(a) Versi rekursif

procedure RunutBalikR(input k:integer)

{Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema rekursif

Masukan: k, yaitu indeks komponen vektor solusi, x[k]

Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n])

}

Algoritma:

for tiap x[k] yang belum dicoba sedemikian sehingga

( x[k]T(k)) and B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true do

1

2 9

10 13

14 15

x1 =1 x1 =0

x2 =1 x2 =0

x3 =1 x3 =0

B

B

(a) (b)

if (x[1], x[2], ... ,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun

then

CetakSolusi(x)

endif

RunutBalikR(k+1) { tentukan nilai untuk x[k+1]}

endfor

Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikR(1)

(b) Versi iteratif

procedure RunutBalikI(input n:integer)

{Mencari semua solusi persoalan dengan metode runut-balik; skema iteratif.

Masukan: n, yaitu panjang vektor solusi

Keluaran: solusi x = (x[1], x[2], …, x[n])

}

Delarasi:

k : integer

Algoritma:

k1

while k > 0 do

if (x[k] belum dicoba sedemikian sehingga x[k]T(k)) and

(B(x[1], x[2], ... ,x[k])= true)

then

if (x[1],x[2],...,x[k]) adalah lintasan dari akar ke daun

then

CetakSolusi(x)

endif

kk+1 {indeks anggota tupple berikutnya}

else {x[1], x[2], …, x[k] tidak mengarah ke simpul solusi }

kk-1 {runut-balik ke anggota tupple sebelumnya}

endif

endwhile

{ k = 0 }

Pemanggilan prosedur pertama kali: RunutBalikI(n)

Setiap simpul dalam pohon ruang status berasosiasi dengan sebuah pemanggilan rekursif.

Jika jumlah simpul dalam pohon ruang status adalah 2n atau n!, maka untuk kasus

terburuk, algoritma runut-balik membutuhkan waktu dalam O(p(n)2n) atau O(q(n)n!), dengan

p(n) dan q(n) adalah polinom derajat n yang menyatakan waktu komputasi setiap simpul.

Pembuatan algoritma dengan menggunakan prinsip backtracking banyak digunakan dalam

menyelesaikan berbagai masalah. Adapun masalah-masalah yang dapat diselesaikan dengan

teknik tersebut, antara lain:

1. Banyaknya Himpunan Bagian Suatu Himpunan (Sum Of Subsets)

Masalah utama dari Sum Of Subsets adalah jika terdapat n bilangan real dan ingin

dihitung semua kombinasi yang mungkin dari himpunan bilangan tersebut. Kombinasi yang

diinginkan yaitu kombinasi yang jumlah seluruh elemennya sama dengan M (tertentu).

Sebelum kita selesaikan masalah tersebut dengan menggunakan teknik backtracking,

perhatikan terlebih dahulu penyajian permasalahan dan penyelesaiannya dalam bentuk

pohon.

Misalkan banyaknya bilangan real tersebut adalah 4 (n=4) akan ditentukan lebih dahulu

kombinasi-kombinasi dari elemen-elemen bilangan tersebut. hal itu dikenal dengan istilah

himpunan bagian (subsets). Dari pohon berikut digambarkan bahwa setiap ruas (edge) diberi

label sedemikian sehingga ruas dari simpul (vertex/node) tingkat I ke simpul tingkat I + 1

akan mewakili nilai dari xi. Pada setiap simpul, ruang penyelesaian dibagi (dipartisi) menjadi

ruang-ruang penyelesaian bagian. Ruang penyelesaian didefinisikan oleh semua jalur dari

akar simpul (node root) ke simpul lainnya di dalam pohon tersenut. Kemungkinan jalur-jalur

tersebut adalah () atau kosong, ini berarti tidak ada jalur dari akar simpul ke dirinya sendiri

(1), (1,2), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,4), (1,3,4), (2), (2,3), (2,3,4) dan seterusnya.

Jalur-jalur tersebut mempunyai ukuran tuple yang berbeda-beda, yang merupakan ruang

penyelesaiannya. Secara struktur data, pencari ruang solusi di atas menggunakan queue, yang

disebut juga dengan breadth first search (BFS)

Gambar Pohon dari ruang penyelesaian dalam breadth first search (BFS)

Adapun bentuk penyajian lain dari pencarian ruang penyelesaian permasalahan tersebut

di atas, adalah dengan menggunakan ukuran tuple yang sama (tetap). Bahwa untuk setiap

ruas dari simpul-simpul tingkat I ke simpul-simpul tingkat i+1 diberi nama dengan nilai X i=0

atau Xi=1. Semua jalur dari akar ke daun didefenisikan sebagai ruang penyelesaian. Pohon

bagian (sub tree) di sebelah kiri dari akar sama dengan semua himpunan bagaian yang berisi

W1. sementara itu untuk pohon bagaian disebelah kanannya adalah merupakan semua

himpunan bagaian yang tidak mengandung W1 dan seterusnya. Pendarian simpul-simpul dari

pohon tersebut sehingga diperoleh ruang penyelesaiannya menggunakan metode stack. Hal I

tersebut dinamakan juga dengan istilah Depth First Search (DFS).

Gambar Pohon Dari Penyelesaian Ruang DFS

Kedua bentuk penyajian pohon dari persoalan sum of subsets, merupakan tahapan pertama

dalam proses mendapatkan solusi sesungguhnya (solusi optimal). Untuk mendapatkan solusi

yang optimal dari ruang penyelesaian digunakan suatu algoritma lain. Algoritma tersebut

menggunakan teknik backtracking, yang selanjutnya disebut dengan algoritma SUMOFSUB.

PROCEDURE SUMOFSUB(s,k,r)

GLOBAL INTEGER M,n

GLOBAL REAL W(1:n)

GLOBAL BOOLEAN X(1:n)

REAL r,s; INTEGER k,j

X(k) = 1

IF s + W(k) = M THEN PRINT (X(j), j ← 1 TO k)

ELSE

IF s + W(k) + W(k+1) ≤ M THEN

CALL SUMOFSUB(s+W(k), k+1, r-W(k))

ENDIF

ENDIF

IF s + r - W(k) ≥ M AND s + W(k) ≤ M THEN

X(k) 0

CALL SUMOFSUB(s, k+1, r-W(k))

ENDIF

END SUMOFSUB

2. Pewarnaan Graph (Graph Coloring)

Misalkan G adalah sebuah graph dan m adalah bilangan yang positif. Kita ingin

menemukan simpul-simpul dari G yang dapat diwarnai sedemikian rupa sehingga dua simpul

yang berdampingan tidak mempunyai warna yang sama, sehingga hanya m warna yang

dipakai. Masalah keputusan pewarnaan m bertujuan untuk menanyakan bilangan yang

terkesil dimana graph G dapat diwarnai. Bilangan ini disebut sebagai bilangan khromatik

dari sebuah graph.

Sebuah graph dikatakan planar jika tidak ada dua buah titik yang saling berpotongan.

Sebuah kasus yang terkenal dari “m colorability decision problem” yaitu masalah 4 warna

dari suatu graph planar. Masalah ini disertai pertanyaan sebagai berikut: berikan beberapa

map yang dapat menimbulkan daerah-daerah yang diwarnai sedemikian rupa sehingga

daerah-daerah yang berdampingan tidak memiliki warna yang sama, tapi hanya empat buah

warna yang dipakai oleh sebuah masalah dimana graph- graph masalah itu berubah menjadi

sangat berguna, karena sebuah map dapat dengan mudah dirubah bentuknya menjadi sebuah

graph.

Masing-masing daerah dari map itu menjadi sebuah titik dan jika dua buah daerah

berdampingan maka kedua buah titiknya berhubungan, kemudian kedua titik itu dihubungkan

dengan sebuah edge.

Dalam bagaian ini kita mempertimbangkan tidak hanya graph- graph yang dibuat untuk

map-map tetapi semua graph diperhitungkan juga.

Kita tarik dalam mendeterminankan semua cara-cara yang berbeda yang mana graph

tampil mungkin dengan memakai yang terbanyak m warna.

Gambar Sebuah map dan representasi graph planarnya

Jika kita unpamakan sebuah graph dengan matrik adjacency GRAPH (1:n, 1:n), dimana

graph (I,j) = benar jika (I,j) adalah sebuah garis dari G dan graph (I,j) yang lainnya adalah

salah. Kita labih senang menggunakan nilai-nilai dari Boolean sejak algoritma hanya akan

menarik dengan ada atau tidaknya sebuah titik. Warna-warna tersebut diumpakan dengan

bilangan 1,2,2,…,m dan pemecahan akan diberikan dengan n-tuple. (x(1),… x(n0 dimana

x(i) adalah warna dari node(i).

Dengan mempergunakan rumus backtracking seperti yang telah diberikan dalam

algoritam maka hasil dari program tersebut adalah MCOLORING. Disebutkan bahwa state

space tree yang sering dipergunakan adalah sebuah tree dengan tingkat m dan panjang =

n+1. Setiap node pada derajat I mempunyai m cabang yang berhubungan ke m yang mungkin

untuk x (i), dimana 1 ≤ I ≤ n.

Node-node pada n+1 adalah daun-daunnya node.

Prosedur MCOLORING dimulai pertama-tama dengan pembagian graph untuk matrik

adjacency-nya, membuat harga x = 0, dan kemudian memanggil statement call

MCOLORING.

Prosedur NEXTVALUE menghasilkan kemungkinan warna-warna untuk X9k) setelah X(1)

samapi X(k-1).

Gambar State space tree untuk MCOLORING ketika n=3 dan m=3

Loop yang utama dari MCOLORING secara berulang mengambil sebuah elemen, dari

berbagai kemungkin-kemungkinan, kemudian membaginya ke dalam X(k) dan kemudian

memanggil MCOLORING.

Procedure MCOLORING (k)Global integer m,n, X(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n)Integer kLoopCall NEXTVALUE (k)if X(k) = 0 then Exit Andifif k = n

then print (X)else call MCOLORING (k+1)

endifrepeatend MCOLORING

Setiap path untuk sebuah daun diwakili dengan sebuah pewarna yang memakai tiga

warna. Bahwa hanya 12 warna penyelesaian yang keluar dengan tepat tiga warna.

Gambar Sebuah graph dengan 4 node dan 3 pewarnaan yang mungkin

3. Lingkaran Hamiltonian (Hamilton Cyclles)

Misal G = (V,E) adalah graph terhubung dengan vertice. Lingkaran Hamilton (diciptakan

oleh Sir William Hamilton) adalah buah circuit dengan n edge dari G yang dikunjungi sekali

oleh setiap vertex dan kembali pada posisi semula. Dengan perkataan lain jika sebuah

lingkaran Hamilton dimulai dengan beberapa vertex v1 dan vn+1 yang sama.

Kita sekarang akan melihat pada algoritma backtracking yang menemukan semua

lingkaran Hamilton ini di dalam Graph. Graph itu mungkin terhubung tetapi mungkin saja

tidak. Hanya circuit yang berbeda yang akan menjadi keluarannya.

Procedure NEXTVALUE (k)Global integer m,n, X(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n)Integer kLoopX(k) –(X(k)+1) mod (m+1)if X(k) = 0 then return andiffor j-1 to n do

if GRAPH(k,j) and X(k) = X(j)then exit endif

repeatif j = n+1 then return endifrepeat

end NEXTVALUE

Gambar Dua graph, hanya satu yang mengandung lingkaran Hamilton

Pemecahan dengan backtracking vector (xi, …, xn) telah dibatasi sehingga x1 yang

diwakilkannya telah dikunjungi vertex dari rencana circuit. Sekarang yang perlu kita lakukan

adalah menyelesaikan bagaimana menghitung vertice yang mungkin dari xk jika x1, x2, …,xk-1

siap dipilih.

Jika k=1, maka x(1) didapatkan n vertex.

Cara lainnya untuk menghindarkan n kali bekas-bekas lingkaran yang sama, kita

menghendaki x(1)=1.

Jika 1 k n, kemudian X(k) menjadi beberapa vertex v yang berbeda dari x(1), x(2),…,

x(k-1) dan v dihubungkan dengan sebuah edge untuk x(k-1).

X(n) hanya dapat menjadi satu-satunya vertex dan merupakan hubungan dari x(n-1) dan

x(1). Kita mulai dengan prosedur NEXTVALUE yang menyelesaikan vertex selanjutnya

yang mungkin, dari circuit yang sudah direncanakan.

Dengan memakai prosedur NEXTVALUE kita dapat menyebutkan satu demi satu skema

backtracking secara rekursif untuk menemukan semua Hamiltonian cycle.

Prosedur ini dimulai matrik adjacency GRAPH (1:n, 1:n), kemudian memasukkan x(2:n)

0, x(1) 1 dan kemudian melakukan call HAMILTONIAN(2).

Procedure NEXTVALUE (k)Global integer n, x(1:n) boolean GRAPH (1:n,1:n)Integer k, jLoop

X(k) –(X(k)+1) mod (n+1)if x(k) = 0 then return andif

if GRAOH(x(k)-1), x(k))then for j-1 to k-1 do

if x(j)=x(k)then exit

endif repeatif j=k

then if k n or (k=n and GRAPH (x(n),1))then return

endifendif

endifendifrepeatend NEXTVALUE

Procedure HAMILTONIAN (k)Global integer x(1:n)Local integer k,nLoopCall NEXTVALUE(k)If x(k)=0 then return andifIf x(k)=n

Then print (x,’1’)Else call HAMILTONIAN (k+1)

EndifRepeatAnd HAMILTONIAN

4. Masalah Knapsack (Knapsack Problem)

Persoalan knapsack ini mempertimbangkan kembali section, yang mana akan

didefinisikan serta memecahkan permasalahan algoritma pemrograman secara dinamika. The

Zero-One yaitu mencari hasil yang paling baik secara zero-one pada knapsack tersebut.

Procedure BOUND (p,n,k,m) determinan upper bound didapat solusi yang lebih baik.

Dengan perkembangan node z pada level k+1 dari space state tree. Hal yang utama berat dan

totalnya W(i) dan P(i).

(i) dan dengan asumsi itu P(i)/W(i) ≥ P(i+1)/W(i+1)

2.4 Implementasi Algoritma runut balik

Algoritma runut balik ini banyak digunakan pada beberapa program, seperti program

permainan sudoku, program permainan kuda menyebrang jembatan dengan lintasan

Hamilton, program pencarian solusi game maz (labirin), dan juga digunakan dalam gerak

animasi 3D, dan beberapa program yang lainnya.

2.4.1 Program permainan Sudoku

2.4.1.1 Gambaran umum teka-teki Sudoku

Sudoku adalah suatu permainan teka-teki yang memiliki aturan sederhana. Teka-teki

ini terdiri atas 9 buah blok yang berupa tabel 3 × 3. Sebagian sel tabel dalam teka-teki ini

telah diisi dengan angka-angka yang berupa patokan untuk menyelesaikan teka-teki.

Tujuan permainan ini adalah untuk mengisi setiap sel tabel yang masih kosong dengan

angkaangka, sedemikian sehingga dalam 1 blok hanya terdiri atas angka 1-9 yang tidak

Procedure BOUND (k)Global integer n, PC(1:n),W(1:n)integer k,i: rela b,c,p,w,Mb p ; c Wfor i k+1 to n do c cw(i) if c < M then d p + P(i) else return (b+(1-(c-M)/W(i)) * p(i)) endifrepeatreturn (b)end BOUND

berulang dan tidak ada angka yang berulang dalam 1 baris maupun kolom. Meskipun

aturannya sederhana namun penyelesaian teka-teki ini tidak semudah aturannya. Tentu

saja tingkat kesulitan tiap teka-teki dapat bervariasi. 2.2 Strategi umum penyelesaian

teka-teki Sudoku Secara umum, Sudoku dapat diselesaikan dengan kombinasi teknik

pemindaian (scanning), penandaan ( marking), dan analisa (analysing). Beberapa tekiteki

Sudoku yang tergolong mudah dapat diselesaikan hanya dengan salah satu proses, namun

pada umumnya kita harus mengkombinasikan ketiga teknik tersebut.

a. Pemindaian

Berupa proses memindai baris atau kolom untuk mengindentifikasi baris mana dalam

suatu blok yang terdapat angka-angka tertentu. Proses ini kemudian diulang pada setiap

kolom (atau baris) secara sistematis. Kemudian menentukan nilai dari suatu sel dengan

membuang nilai-nilai yang tidak mungkin.

b. Penandaan

Berupa analisa logika, dengan menandai kandidat angka yang dapat dimasukkan dalam

sebuah sel.

c. Analisa

Berupa eliminasi kandidat, dimana kemajuan dicapai dengan mengeliminasi kandidat

angka secara berturut-turut hingga sebuah sel hanya punya 1 kandidat.

2.4.1.2 Penerapan algoritma runut balik dalam teka-teki Sudoku

Algoritma runut balik sangat efektif dalam mengurangi jumlah pencarian

kemungkinan solusi teka-teki. Menurut perhitungan ada sebanyak

6,670,903,752,021,072,936,960 jumlah kemungkinan status untuk teka-teki Sudoku

berukuran 9 x 9. Suatu angka yang sangat besar jika ingin dicari secara brute-force,

dengan kompleksitas. Garis besar algoritma runut-balik untuk menyelesaikan teka-teki

diberikan di bawah ini:

Deklarasi Global

N : integer

{adalah ukuran papan sudoku }

tabel : array[1.. N2] of

array[1..N2]

{representasi papan sudoku}

procedure solve(){menyelesaikan teka-teki Sudokupada papan n2 * n2,versi: rekursif}Algoritmaif( isDone() ) thenexit(){papan sudah selesai diisiprogram selesai}elseupdateTabel(){update sel tabel yang masihkosong}if( not isValidBaris() ) thenbacktrack()else{jika baris valid makaperiksa kolom}if( not isValidKolom())thenbacktrack()else{jika kolom valid makaperiksa blok}if ( not isValidBlok())then backtrack()else{jika blok valid makapanggil rekursif}solve()

2.4.2 Program Permainan Kuda Menyebrang Jembatan

2.4.2.1 Permasalahan game

Persoalan yang muncul pada game kuda menyeberang jembatan adalah bagaimana

menghabiskan balok / kotak dan kuda kembali ke posisi awal. Setiap kali berpindah

balok, maka balok tersebut akan jatuh, ini berarti kuda tidak dapat menggunakan lintasan

yang sama dalam perjalanannya.

2.4.2.2 Penyelesaian Lintasan Hamilton

Salah satu permasalahan dalam penyelesaian lintasan Hamilton pada game kuda

menyebrang jembatan yakni :

Diberikan sebuah papan yang berisikan kotak – kotak yang berjumlah 14 kotak.

Kuda diletakan pada posisi awal yakni posisi bebas (misal : kita taruh posisi kuda pada

kotak 1 ), kuda harus bisa melewati semua kotak tanpa harus balik lagi dengan aturan

jalan (membentuk huruf L) sampai semua kotak itu habis dan kuda harus balik ke posisi

awal yakni posisi 1 agar kuda dapat menyebrangi jembatan dengan selamat. Persoalan

perjalanan kuda catur ini merupakan permainan kecerdasan logika di mana pemain harus

memikirkan strategi dalam setiap langkah kuda.

Penyelesaian:

1. Solusi persoalan

Solusi persoalan dituliskan dalam vektor dengan 14 kotak / tuple yang berisi urutan dari

kotak yang dilalui oleh kuda. Posisi kotak dituliskan dalam bentuk dua digit integer.

Misal : posisi kuda di nomor 1 maka dia bisa melangkah / jalan ke nomor 7,8,10. Solusi

dicapai apabila seluruh kotak dalam papan sudah dilewati oleh kuda.

Contoh solusi:

S = (12,23,31,..dst)

12 13 14

8 9 10 11

4 5 6 7

1 2 3

Dikatakan solusi apabila kuda telah mengambil langkah seluruh kotak / tuple dan tidak

kembali lagi ke kotak semula sampai dia kembali ke posisi awal pertama kali kuda

mengambil posisi.

2. Fungsi pembangkit

Fungsi JalanKuda(k) membangkitkan kotak berikutnya yang dilalui kuda dan

memasukkan kotak tersebut ke dalam solusi persoalan. Kotak berikutnya didapat dengan

memilih salah satu elemen dari list yang dihasilkan fungsi JalanBerikut(k). Dari list

tersebut dipilih posisi dengan jumlah elemen JalanBerikut(k+1) yang terkecil.

Fungsi – fungsi bantuan:

Fungsi jalanBerikut(k) menghasilkan ListJalan yang berisi list dari posisi kotak

berikutnya yang dapat dilewati oleh kuda, serta jumlah elemen dari ListJalan pada

jalanBerikut(k+1).

Contoh:

8 10

7

1

Fungsi JalanBerikut(1) menghasilkan ListJalan : {(7,8,10)}.

Artinya kuda dari kotak 1 bisa berjalan ke kotak 7 atau 8 atau 10 sehingga kuda

mempunyai 3 kemungkinan, demikian juga setelah kuda berjalan ke kotak berikutnya

maka kuda mempunyai beberapa kemungkinan tergantung kuda tersebut mempunyai

kemungkinan untuk melangkah. Dari list tersebut dipilih kotak dengan alternatif jalan

berikutnya yang paling kecil, jika sama maka pilih salah satu dan kotak yang lain

dimasukkan ke dalam alternatif jalan bila diharuskan melakukan runut balik.

3. Fungsi pembatas

Bila kuda tidak bisa berjalan lagi tetapi masih ada kotak yang belum dilewati maka kotak

tersebut dilewati dan melakukan runut-balik ke penanda runut balik terdekat.

Aturan yang berlaku agar bisa menemukan solusi :

1. Langkah berikutnya harus mempunyai jumlah kemungkinan langkah selanjutnya yang

lebih kecil dibandingkan langkah yang lain. Bila ada jumlah langkah selanjutnya yang

sama, maka menjadi penanda bila terjadi runut-balik.

2. Bila langkah yang dipilih ternyata tidak menemukan solusi, maka runut-balik ke penanda

runut-balik yang terdekat.

3. Lakukan langkah tersebut hingga ditemukan solusi.

Analisa penggunaan Teknik Backtracking pada lintasan Hamilton :

1. Keunggulan menggunakan algoritma backtracking yakni mudah merunut balik apa yang

kita kerjakan, apabila kita salah melangkah maka kita akan kembali pada posisi yang

mempunyai solusi permasalahan

2. kelemahan menggunakan algoritma backtracking yakni kita belum dapat / belum

mengetahui apakah langkah yang kita ambil merupakan langkah yang terbaik, sehingga

memungkinkan terjadi terlalu banyak backtracking yang harus dilakukan.

Hal ini dapat diminimalisasi dengan menggunakan fungsi Heuristik untuk menentukan

langkah yang lebih optimal.

Penggambaran proses pencarian solusi menggunakan algoritma runut-balik dengan pohon

graf alur perjalanan kuda :

Runut balik disini ditunjukkan(karena terlalu banyak)Tidak ditemukan solusi danrunut balik ke atas

2.4.2 Program Permainan Maze (Labirin)

2.4.2.1 Gambaran umum game

Game Maze (Labirin) merupakan game sederhana yang bertujuan menentukan

jalur yang tepat untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Selama proses penentuan

jalur tersebut, jika menemui jalan buntu maka akan dilakukan proses backtrack sampai

kembali menemukan jalur yang tepat untuk mencapai tujuan.

2.4.2.1 Konsep game

Maze (Labirin) merupakan game yang template-nya berbentuk persegi yang

ukurannya dapat diatur sesuai dengan keinginan user. Di dalamnya terdapat serangkaian

jalur berupa labirin yang bercabang. Namun, tidak setiap cabang mencapai tujuan yang

diinginkan.

2.4.2.1 Solusi

Ada dua solusi yang bisa digunakan untuk permainan ini, yakni secara iteratif dan

rekursif. Di bawah ini akan disajikan solusi secara iteratif:

Algoritma nya adalah sebagai berikut: function SolveMaze(input M : labirin) boolean{ true jika solusi ditemukan, false jika tidak }Deklarasiarah : integer { up = 1, down, 2, left = 3, right = 4 }Algoritma:if solusi sudah ditemukan thenreturn trueelsefor tiap arah gerakan (up, down, left, right) domove(M,arah) {pindah satu langkah (satu sel)sesuai arah tersebut }if SolveMaze(M) thenreturn trueelseunmove(M, arah) { backtrack }endifendforreturn false{ semua arah sudah dicoba, tetapi tetap buntu,maka kesimpulannya: tidak ada solusi }endif

Sebuah labirin

Dalam game ini, algoritma akan membagi lintasan menjadi sederetan langkah. Sebuah langkah

terdiri dari pergerakan satu unit sel pada arah tertentu. Arah yang mungkin: ke atas (up), ke

bawah (down), ke kiri (left), ke kanan (right).

Contoh runut balik pada sebuah labirin, runut balik diperlihatkan dengan garis

putus-putus

Contoh runut balik pada labirin penuh

BAB III Penutup

3.1 Kesimpulan

3.2 Saran-saran

Daftar Pustaka

Tanggal 18 Desember 2010,

http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/Makalah/MakalahStmik26.pdf

http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/2007-2008/Makalah2008/MakalahIF2251-2008-

109.pdf

Tanggal 20 Desember 2010