Ma�ík Radek 1

�íslicová technika

Radek Ma�ík

�

Ma�ík Radek 2

�íselné soustavyaaritmetické operace

Ma�ík Radek 3

Výsledek dostaneme vy�íslením zVýsledek dostaneme vy�íslením z--adickéhoadického �ísla �ísla ve tvaru �ady.ve tvaru �ady.

(101,11)(101,11)22 = 1.2= 1.222 + 0.2+ 0.211 + 1.2+ 1.200 + 1.2+ 1.2--1 1 + 1.2+ 1.2--22 = (5,75)= (5,75)1010

(276,4)(276,4)88 = 2.8= 2.822 + 7.8+ 7.811 + 6.8+ 6.800 + 4.8+ 4.8--11 = (190,5)= (190,5)1010

(8E2,A)(8E2,A)1616 = 8.16= 8.1622 + 14.16+ 14.1611 + 2.16+ 2.1600 + 10.16+ 10.16--11 === (2274,625)= (2274,625)1010

P�evody mezi soustavami (z����10)

Ma�ík Radek 4

�íslo p�ed desetinnou �árkou d�líme dv�ma a �íslo p�ed desetinnou �árkou d�líme dv�ma a zapisujeme zprava doleva zbytky p�i d�lení:zapisujeme zprava doleva zbytky p�i d�lení:(364)(364)1010 = (101101100)= (101101100)22182182 ��9191454522221111552211

P�evody mezi soustavami (10����2)

Ma�ík Radek 5

�íslo za�íslo za desdes. �árkou násobíme dv�ma a zapisujeme . �árkou násobíme dv�ma a zapisujeme zleva doprava p�enosy p�edzleva doprava p�enosy p�ed desdes. �árkou:. �árkou:(0,364)(0,364)1010 = (0,01011101…)= (0,01011101…)22 = (0,36328125)= (0,36328125)1010

728728 ��11,456 ,456

91291211,824,82411,648,64811,296,296

59259211,184,184

P�evody mezi soustavami (10����2)

Ma�ík Radek 6

�íslo ve dvojkové soustav� rozd�líme od desetinné �íslo ve dvojkové soustav� rozd�líme od desetinné �árky do t�í�lenných skupin:�árky do t�í�lenných skupin:(11101100,11001)(11101100,11001)22 = (11= (11��101101��100 , 110100 , 110��01)01)22 = = = (354,62)= (354,62)88

Každou cifru vKaždou cifru v oktalovéoktalové soustav� zapíšeme jako soustav� zapíšeme jako trojciferné dvojkové �íslo:trojciferné dvojkové �íslo:(27,31)(27,31)88 = (10 111,011 001)= (10 111,011 001)22

Jedna �íslice soustavy o základu z = 2Jedna �íslice soustavy o základu z = 2nn odpovídá odpovídá n �íslicím binární soustavyn �íslicím binární soustavy

P�evody mezi soustavami (8����2)

Ma�ík Radek 7

�íslo ve dvojkové soustav� rozd�líme od desetinné �íslo ve dvojkové soustav� rozd�líme od desetinné �árky do �ty��lenných skupin:�árky do �ty��lenných skupin:(101101100,101101)(101101100,101101)22 = (1= (1��01100110��11100 , 1011100 , 1011��01)01)22= (16C,B4)= (16C,B4)1616

Každou cifru v hexadecimální soustav� zapíšeme jako Každou cifru v hexadecimální soustav� zapíšeme jako �ty�ciferné dvojkové �íslo:�ty�ciferné dvojkové �íslo:(E7,1A)(E7,1A)1616 = (1110 0111,0001 101)= (1110 0111,0001 101)22

P�evody mezi soustavami (16����2)

Ma�ík Radek 8

Logické funkce - sou�in

S1 S2

0 = open1 = closed

0 = open1 = closed

0 = off1 = on

(a) Obvod

(b) pravdivostní tabulka

Dva spína�e v sérii

S1 S2 L0 0 00 1 0 1 0 0 1 1 1

L

Ma�ík Radek 9

Logické funkce - sou�et

S1

S2 L

(a) Obvod

(b) Pravdivostní tabulka

S1 S2 L0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 1

Dva paralelní spína�e

Ma�ík Radek 10

Úplný soubor logických funkcí�� sou�in + negacesou�in + negace

�� negovaný sou�innegovaný sou�in

�� sou�et + negacesou�et + negace

�� ......

Ma�ík Radek 11

Schematické zna�ky podle �SN

Ma�ík Radek 12

Nonekvivalence

=1A

BY

Ekvivalence

=1A

BY

A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

A B Y0 0 10 1 01 0 01 1 1

Ma�ík Radek 13

a,b 00 01 10 110 0 0 0 f = 0 nulová funkce0 0 0 1 f = ab log. sou�in0 0 1 0 f = ab´ 0 0 1 1 f = a identita a0 1 0 0 f =a´b0 1 0 1 f = b identita b0 1 1 0 f = a´b+ab´ nonekvivalence0 1 1 1 f = a+b log. sou�et1 0 0 0 f = a´b´1 0 0 1 f = ab+a´b´ ekvivalence1 0 1 0 f = b´ negace b1 0 1 1 f = a+b´1 1 0 0 f = a´ negace a1 1 0 1 f = a´+b1 1 1 0 f = a´+b´1 1 1 1 f = 1

Všechny funkce dvou prom�nných

Ma�ík Radek 14

Ma�ík Radek 15

�� ZákonyBooleovyZákonyBooleovy algebryalgebry�� Vyjád�ení logických funkcíVyjád�ení logických funkcí

�� pravdivostní tabulkapravdivostní tabulka�� logický výrazlogický výraz�� mapamapa

Booleova algebra

Ma�ík Radek 16

, 0 0��a, aaa ��

, abaa ���

1 1 ��a aaa ��

abaa ��� ��

�

1. komutativita: a + b = b + a, a.b = b.a

2. asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c, a.(b.c) = (a.b).c3. distributivita: a + (b.c) = (a + b).(a + c), a.(b + c) = (a.b) + (a.c) 4. neutralita 0 a 1: a + 0 = a, a.1 = a5. vlastnosti komplementu: 1�� a a 0��aa6. agresivita 0 a 1 :7. idempotence8. absorbce

Základní zákony Booleovy algebry

(8 axiom�)

Ma�ík Radek 17

dvojí negacedvojí negaceabsorbceabsorbce negacenegacede Morgande Morganconsensusconsensus

, babaa ����� � , baba ���

,c aabbccaab ����

babaa ���� ��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

� ��������� cabacbcaba

baba ��� ��

�

, aa �

Odvozené zákony

Ma�ík Radek 18

P�íklad aplikace zákon� Booleovy algebryNalezn�te MNDF funkce f zadanou Booleovým výrazem:

f = ����a d + ����b c d + a����b (c +d) + ����b����c����d

Distributivní zákon: f = ����a d + ����b c d + a����b c +a����b d + ����b����c����d

zákon absorbce negace: { ����a d + a����b d = d(����a + ����b) } f = ����a d + ����b c d + a����b c +����b d + ����b����c����d

Absorbce negace: { ����b d + ����b c����d = ����b (d + ����c) }f = ����a d + ����b c d + a����b c +����b d + ����b����c

Absorbce negace: { a����b c + ����b����c = ����b(����c + a) }f = ����a d + a����b +����b c d +����b d + ����b����c

Absorbce: f = ����a d + a����b +����b d + ����b����c

consensus: f = ����a d + a����b +����b����c ���������a to je MNDF

Ma�ík Radek 19

Zákon negace

Vyjád�ení logické funkce�� slovní popisslovní popis�� algebraický výrazalgebraický výraz�� tabulkatabulka�� mapamapa�� jednotková krychlejednotková krychle

) , , z , ... , b , a F( ) , ,z , ... , b , (aF ����� , , 0 1 , , 1 0

�� zobecn�ný zákon negace zobecn�ný zákon negace (logick(logické funkce) :é funkce) :

Ma�ík Radek 20

Algebraický (Booleový) výraz�� p�edstavuje funkci nad B. Jednu funkci lze popsat více p�edstavuje funkci nad B. Jednu funkci lze popsat více

výrazy. Používá sevýrazy. Používá se standartnístandartní (kanonický) tvar. Tento tvar (kanonický) tvar. Tento tvar se též n�kdy nazývá normální formou.se též n�kdy nazývá normální formou.

�� termterm -- výraz tvo�ený pouze prom�nnými v p�ímém a výraz tvo�ený pouze prom�nnými v p�ímém a negovaném tvaru a operací logického sou�tu nebo sou�inunegovaném tvaru a operací logického sou�tu nebo sou�inu

�� PP--termterm (sou�inový term) (sou�inový term) -- term s operací sou�inuterm s operací sou�inu

�� SS--termterm (sou�tový term) (sou�tový term) -- operace sou�tuoperace sou�tu

�� mintermminterm -- PP--term obsahující všechny nezávislé prom�nnéterm obsahující všechny nezávislé prom�nné

�� maxtermmaxterm -- SS--term obsahující všechny nezávislé prom�nnéterm obsahující všechny nezávislé prom�nné

�� vstupní písmenovstupní písmeno -- kombinace hodnotkombinace hodnot vstvst. prom�nných. prom�nných

Ma�ík Radek 21

�� Každou log. funkci je možno vyjád�it pomocí sou�tuKaždou log. funkci je možno vyjád�it pomocí sou�tuminterm�minterm� nebo sou�inunebo sou�inu maxterm�maxterm�

�� KaždýKaždý mintermminterm (resp.(resp. maxtermmaxterm) nabývá hodnoty log1 ) nabývá hodnoty log1 (resp. log0) práv� pro jedno vstupní písmeno dané log. (resp. log0) práv� pro jedno vstupní písmeno dané log. funkcefunkce

�� Stavový indexStavový index -- desítkový zápis kombinace hodnot desítkový zápis kombinace hodnot nezávisle prom�nnýchnezávisle prom�nných

�� Úplná normální disjunktní formaÚplná normální disjunktní forma (UNDF) log. výraz (UNDF) log. výraz tvo�ený sou�tem všechtvo�ený sou�tem všech minterm�minterm�

�� Úplná normální konjunktivní formaÚplná normální konjunktivní forma (UNKF) (UNKF) -- log. výraz log. výraz tvo�ený sou�inem všechtvo�ený sou�inem všech maxterm�maxterm�..

Ma�ík Radek 22

�� UNDF: UNDF: �� UNKF: UNKF: �� Seznam stavových index� (zkrácený tabulkový tvar):Seznam stavových index� (zkrácený tabulkový tvar):

Pravdivostní tabulka se všemi Pravdivostní tabulka se všemi mintermymintermy a a maxtermymaxtermy

acb abc abc abc) a , b , (c f ����

���

���

�

���

���

� ������������ abcabcabcabc) a , b , (c f

)()( 7 5, 3, 0,6 4, 2, 1,) a , b , (c f ����

Ma�ík Radek 23

�� UNDF obsahuje tolik UNDF obsahuje tolik minterm�minterm�, kolik je po�et vstupních , kolik je po�et vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 1hodnoty 1

�� UNKF obsahuje tolik UNKF obsahuje tolik maxterm�maxterm�, kolik je po�et vstupních , kolik je po�et vstupních písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce písmen, pro které nabývá uvažovaná logická funkce hodnoty 0hodnoty 0

�� Vytvo�ení UNDF z UNKF Vytvo�ení UNDF z UNKF -- roznásobenímroznásobením�� UNKF z UNDFUNKF z UNDF

�� ur�íme dopln�k množiny ur�íme dopln�k množiny minterm� minterm� s hodnotou 1s hodnotou 1�� pro p�íslušná vstupní písmena ur�íme pro p�íslušná vstupní písmena ur�íme maxtermymaxtermy�� UNKF je sou�in t�chto UNKF je sou�in t�chto maxterm�maxterm�

Ma�ík Radek 24

�� Algebraické výrazy nabývají �ady forem, které nejsou Algebraické výrazy nabývají �ady forem, které nejsou �ist� disjunktivní nebo konjunktivní. Nazýváme je �ist� disjunktivní nebo konjunktivní. Nazýváme je smíšenésmíšené formy.formy.

�� Disjunktivní nebo konjunktivní formou m�žeme popsat Disjunktivní nebo konjunktivní formou m�žeme popsat všechny výrazy všechny výrazy -- používá se pro minimalizacipoužívá se pro minimalizaci

�� Tyto formy lze snadno transformovat do Tyto formy lze snadno transformovat do Shefferovy Shefferovy algebry (samé algebry (samé NANDyNANDy) nebo ) nebo Pierceovy Pierceovy algebry (samé algebry (samé NORyNORy))

Ma�ík Radek 25

Vénovy diagramyA

BC

ab´c

a´b´c´

a´bc´abc

a´b´c a´bc

abc´

� Mapa je Vén�v diagram, kde jednotlivé oblasti mají tvar obdélník�

ab´c´

Ma�ík Radek 26

Mapy

�� SvobodovaSvobodova

Ma�ík Radek 27

Tabulka Tabulka GrayovaGrayova kódukódu

Ma�ík Radek 28

Ma�ík Radek 29

Rozší�ení Svobodovy a Karnaughovy mapy