Faisal Wibisono/ X.6/ 13

Macam-macam Artikel Matematika

1. Misteri Bilangan Nol Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.

Nol, penyebab komputer macetPelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak ada. Mungkinkah 5*0 menjadi tidak ada? (* adalah perkalian). Ide ini membuat orang frustrasi. Apakah nol ahli sulap? Lebih parah lagi-tentu menambah bingung-mengapa 5+0=5 dan 5*0=5 juga? Memang demikian aturannya, karena nol dalam perkalian merupakan bilangan identitas yang sama dengan 1. Jadi 5*0=5*1. Tetapi, benar juga bahwa 5*0=0. Waw. Bagaimana dengan 5o=1, tetapi 50 o=1 juga? Ya, sudahlah. Aturan lain tentang nol yang juga misterius adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun yang tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol.

Bilangan nol: tunawismaBilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterus nya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 sampai pada titik 0 kembali. Bukankah dunia ini bulat? Mungkinkah? Bukankah Columbus mengatakan bahwa kalau ia berlayar terus-menerus ia akan sampai kembali ke Eropa? Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3. Tetapi, yang lebih aneh adalah pertanyaan mungkinkan seseorang bisa berangkat dari titik nol? Jelas tidak bisa, karena bukankah titik nol sesuatu titik yang tidak ada? Aneh dan sulit dipercaya? Mari kita lihat lebih jauh. Jika di antara dua bilangan atau antara dua buah titik terdapat sebuah ruas. Setiap bilangan mempunyai sebuah ruas. Jika ruas ini dipotong-potong kemudian titik lingkaran hitam dipindahkan ke tengah-tengah ruas, ternyata bilangan 0 tidak mempunyai ruas. Jadi, bilangan nol berada di awang-awang. Bilangan nol tidak mempunyai tempat tinggal alias tunawisma. Itulah sebabnya, mengapa bilangan nol harus menempel pada bilangan lain, misalnya, pada angka 1 membentuk bilangan 10, 100, 109, 10.403 dan sebagainya. Jadi, seseorang tidak pernah bisa berangkat dari angka nol menuju angka 4. Kita harus berangkat dari angka 1.

Mudah, tetapi sa lahGuru meminta Ani menggambarkan sebuah garis geometrik dari persamaan 3x+7y = 25. Ani berpikir bahwa untuk mendapatkan garis itu diperlukan dua buah titik dari ujung ke ujung. Tetapi, setelah berhitung -hitung, ternyata cuma ada satu titik yang dilewati garis itu, yakni titik A(6, 1), untuk x=6 dan y=1. Sehingga Ani tidak bisa membuat garis itu. Sang guru mengingatkan supaya menggunakan bilangan nol. Ya, itulah jalan keluarnya. Pertama, berikan y=0 diperoleh x=(25-0)/3=8 (dibulatkan), merupakan titik pertama, B(8,0). Selanjutnya berikan x=0 diperoleh y=(25-3.0)/7=4 (dibulatkan), merupakan titik kedua C(0,4). Garis BC, adalah garis yang dicari. Namun, betapa kecewanya sang guru, karena garis itu tidak melalui titik A. Jadi, garis BC itu salah. Ani membela diri bahwa kesalahan itu sangat kecil dan bisa diabaikan. Guru menyatakan bahwa bukan kecil besarnya kesalahan, tetapi manakah yang benar? Bukankah garis BC itu dapat dibuat melalui titik A? Kata guru, gunakan bilangan nol dengan cara yang benar. Bagaimana kita harus membantu Ani membuat garis yang benar itu? Mudah, kata konsultan Matematika. Mula-mula nilai 25 dalam 3x+7y harus diganti dengan hasil perkalian 3 dan 7 sehingga diperoleh 3x+7y=21. Selanjutnya, dalam persamaan yang baru, berikan y=0 diperoleh x=21/3=7 (tanpa pembulatan) itulah titik pertama P(6,1). Kemudian berikan nilai x=0 diperoleh y=21/7 = 3 (tanpa pembulatan), itulah titik kedua Q(0, 3). Garis PQ adalah garis yang sejajar dengan garis yang dicari, yakni 3x+7y=25. Melalui titik A tarik garis sejajar dengan PQ diperoleh garis P1Q1. Nah, begitulah. Sang murid telah menemukan garis yang benar berkat bantuan bilangan nol.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 Akan tetapi, sang guru masih sangat kecewa karena sebenarnya tidak ada satu garis pun yang benar. Bukankah dalam persamaan 3x1+7x2=25 hanya ada satu titik penyelesaian yakni titik A, yang berarti persamaan 3x1+7x2 itu hanya berbentuk sebuah titik? Bahkan pada persamaan 3x1+7x2=21 tidak ada sebuah titik pun yang berada dalam garis PQ. Oleh karena itu, garis PQ dalam sistem bilangan bulat, sebenarnya tidak ada. Aneh, bilangan nol telah menipu kita. Begitulah kenyataannya, sebuah persamaan tidak selalu berbentuk sebuah garis.

Bergerak, tetapi diamBilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada? Waw. Begitulah. Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, bisakah? Berapakah bilangan desimal terdekat sebelum sampai ke bilangan 2? Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2?

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 2. Matematika dan Bilangan Prima Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.

Bilangan Prima dan Rencana PenciptaanSalah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitunganperhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus. Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos. Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya : 6=2x3=2.3 30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5 85 = 5 x 17 = 5 . 17 Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya : (3,5) (5,7)

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 (11,13) (17,19) dan seterusnya. Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 3. Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123 Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan". Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka. Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246. Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iter asi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dala m dunia bilangan. Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 4. Rumus Phytagoras Dalam Matematika kita sering menggunakan rumus phytagoras, akan tetapi bagaimana untuk membuktikannya kita sering belum tahu bahkan belum mengerti. Disini saya akan memberitahukan anda bagaimana untuk membuktikan rumus tersebut. Pengalaman ini saya pada salah satu mata perkuliahan yang saya ikuti, berikut uraiannya : Berikut rumus asli phytagoras, perhatikan dengan seksama.

Untuk membuktikannya buatlah sebuah persegi besar kemudian gambar persegi kecil yang berada dalam persegi besar. Ingat persegi kecil dibuat agak miring sesuai segitiga siku - siku berikut gambarnya :

Bukti : Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga ( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a b 2 + 2 b.a + a 2 = c 2 + 2 b.a b 2 + a 2 = c 2 + 2 b.a - 2 b.a b2+a2=c2

Berdasarkan rumus diatas terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 5. E8, Teori Matematika Tersulit

Teka-teki Matematika 120 Tahun TerpecahkanBelasan matematikawan berhasil menyusun E8, sebuah struktur teoretis 248 dimensi. Setelah empat tahun bekerja sama dengan intensif, 18 matematikawan terkemuka dan pakar komputer dari Amerika Serikat dan Eropa berhasil memetakan E8, salah satu struktur matematika terumit dan terbesar. Pemetaan ini diharapkan dapat digunakan untuk menguji teori tentang struktur alam semesta serta teori gabungan ruang, waktu, dan materi. Jeffrey D. Adams, pemimpin proyek dan profesor matematika di University of Maryland, mengatakan E8 sebenarnya telah ditemukan lebih dari satu abad yang lampau, pada 1887. Namun, ia baru bisa dipecahkan sekarang karena tak seorang pun yang berpikir struktur itu bisa dimengerti. Soal yang satu ini harus menunggu datangnya era superkomputer dan Internet hingga bisa dipecahkan. "Ini adalah pencapaian yang akan menjadi landasan, baik untuk kemajuan dalam pengetahuan dasar maupun perhitungan skala besar dalam memecahkan berbagai permasalahan matematika yang rumit," kata Adams. Pemetaan E8 ada kemungkinan punya implikasi yang tidak dapat diramalkan sebelumnya di bidang matematika dan fisika. Struktur E8 adalah induk kelompok Lie, yang ditemukan oleh Sophus Lie, matematikawan Norwegia abad ke-19, untuk mengeksplorasi simetri. Bagi matematikawan dan fisikawan, simetri amat penting karena bisa memberikan wawasan yang amat mendalam untuk memahami sebuah masalah. Kelompok Lie adalah nama yang diberikan untuk sebuah kumpulan deskripsi matematis untuk membantu mengilustrasikan simetri dari sebuah obyek. Grup Lie untuk bidang bulat, misalnya, menggambarkan seluruh operasi matematika yang bisa dilakukan pada bidang itu tanpa mengubah penampilannya. Teorinya, segala bentuk obyek simetris, seperti sebuah bidang bulat, adalah anggota kelompok Lie. Anggota kelompok ini adalah beberapa set transformasi yang terus-menerus tanpa mengubah penampilan sebuah obyek. Sebuah bidang bulat, misalnya, bisa diputar pada jarak mana pun di sekitar porosnya dan tetap terlihat sama. Silinder, bola, atau kerucut adalah contoh obyek tiga dimensi simetris yang paling umum dan sederhana. Ketika mempelajari struktur simetri dalam kelompok Lie, para matematikawan menemukan lima perkecualian dari empat kelas grup Lie itu. Salah satu struktur nyeleneh yang paling rumit dari kelompok Lie itu adalah E8, potongan origami geometris dalam 248 dimensi. "E8 adalah simetri yang paling sulit," kata David Vogan, profesor matematika di Massachusetts Institute of Technology (MIT), yang terlibat dalam penghitungan itu. "Matematika selalu menawarkan contoh lain yang lebih susah daripada bentuk yang Anda amati sekarang, tapi untuk grup Lie, E8 adalah yang paling sulit." Biarpun sulit, pemecahan E8 memang layak diperjuangkan. Struktur ini diharapkan bisa menjadi landasan Teori Segalanya yang dicetuskan Albert Einstein dalam upaya menggambarkan alam semesta kita. Pada saat ini para pendukung Teori Dawai (String Theory) mencari teori alam semesta dengan menghitung E8 x E8. Mengingat luasnya alam semesta, tak mengherankan jika magnitudo kalkulasi E8 ini amat besar, jauh lebih besar dibanding Proyek Genom Manusia.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 Genom manusia, yang mengandung seluruh informasi genetik sebuah sel, besarnya kurang dari satu gigabita. Sedangkan hasil penghitungan E8, yang berisi semua informasi tentang struktur itu, berukuran 60 gigabita. Ukuran ini cukup untuk menyimpan musik dalam format MP3 selama 45 hari tanpa berhenti. Jika disalin di atas kertas, jawaban hitungan ini akan menutupi area seluas Manhattan, Amerika Serikat, yakni 61 kilometer persegi. Sebuah gambar E8 dengan ketajaman rendah yang dikeluarkan MIT memperlihatkan struktur mirip tenda sirkus beraneka warna, seperti mainan konstruksi anak-anak dengan tiang-tiang yang saling berhubungan. "Kami tak pernah berharap bisa merepresentasikan struktur itu seutuhnya karena ini adalah abstraksi matematis," kata ilmuwan Belanda, Marc van Leeuwen, dari University of Poitiers, Prancis. Van Leeuwen mengatakan dari struktur itu memang bisa dibuat beberapa gambar yang bagus. "Tapi selembar kertas hanya dua dimensi sehingga Anda tak akan pernah bisa melihat obyek riilnya." Meski abstrak dan sulit dibayangkan, fisikawan Hermann Nicolai dari Max Planck Institute for Gravitational Physics di Potsdam, Jerman, menganggap E8 sebagai struktur matematika paling indah. "Tapi sangat kompleks," ujarnya.

Apa Itu E8?Obyek ini dianggap memiliki struktur matematika paling simetris di alam semesta. Namun, para pakar matematika dan fisika yang berhasil membuatnya sekalipun tak bisa menggambarkan deskripsinya dengan kata-kata. "Bentuk ini sangat abstrak," kata Jeffrey D. Adams, profesor matematika di University of Maryland, Amerika Serikat. Brian Conrey, Direktur Eksekutif American Institute of Mathematics, yang menjadi sponsor proyek itu, menyatakan benda ini memang tak bisa digambarkan. "Bentuknya semacam kurva, sejenis benda dengan permukaan yang berbentuk seperti donat," kata Conrey. "Anda bisa memutarnya dalam berbagai cara dan yang menakjubkan ia selalu simetris." Sebuah situs milik American Institute of Mathematics menjelaskan E8 sebenarnya adalah empat benda yang berbeda tapi saling berhubungan. E8 adalah struktur pertama dari sistem akar yang luar biasa besar, sebuah set vektor dalam sebuah ruang vektor riil 8 dimensi. Karena teramat besarnya E8, maka untuk mengetahui seluruh dimensi simetris dari obyek 57 dimensi ini diperlukan kalkulasi 200 miliar angka. Bisa dibayangkan berapa lama waktu yang dibutuhkan seorang matematikawan menghitungnya sehingga perlu 18 matematikawan serta satu superkomputer. E8 adalah anggota grup Lie yang paling rumit karena merupakan obyek 57 dimensi yang amat simetris sehingga bisa diputar-putar dalam 248 cara tanpa mengubah penampilannya. aimath | NYTimes

Yang Menemukan KebahagiaanUntuk memecahkan masalah yang supersulit ini, matematikawan harus menanggalkan kebiasaan soliternya.Mereka harus berkolaborasi dengan belasan pakar matematika dan komputer lainnya. Dari dua benua yang dipisahkan Samudra Atlantik, mereka menggabungkan matematika teoretis dan program komputer yang ruwet.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 "Literatur soal ini amat tebal dan sangat sulit dipahami," kata David Vogan, profesor matematika di Departemen Matematika Massachusetts Institute of Technology. "Bahkan setelah kami mengerti dasar matematikanya, masih perlu waktu dua tahun untuk mengimplementasikannya di komputer." Kesulitan selama empat tahun berkutat dengan E8 itu diungkapkan Vogan dalam ceramah bertajuk "Tabel Karakter E8 atau Bagaimana Kami Menulis Matriks 453.060 x 453.060 dan Menemukan Kebahagiaan" di kampusnya. Masalah yang paling membuat pusing kepala adalah menemukan komputer yang cukup besar untuk menyelesaikan kalkulasinya. Selama satu tahun penuh, tim itu berusaha merampingkan kalkulasi tersebut seribu kali lipat agar lebih efisien dan muat dalam superkomputer yang ada. Meski mereka sudah bekerja keras, kalkulasi itu masih di luar batas kemampuan generasi mesin hitung paling mutakhir. Tepat ketika tim mulai kehilangan harapan bisa melihat realisasi hasil kerja mereka, salah seorang di antara mereka mempunyai gagasan untuk membagi-bagi perhitungan itu menjadi beberapa kelompok sehingga bisa dikalkulasi secara terpisah. Hasil dari tiap kelompok kemudian digabungkan untuk mencari cara penyelesaian terakhir. Untuk mencari kalkulasi final sebuah matriks 453.060 x 453.060 sel itu, superkomputer Amerika, Sage, membutuhkan waktu 77 jam. Namun, seperti diungkapkan Vogan, pada akhir perjuangan itu tim Atlas yang beranggotakan 18 orang ini memang menemukan kebahagiaan. Meskipun salah seorang di antara mereka, ilmuwan Prancis, Fokko du Cloux, meninggal pada 2006, setahun sebelum teka-teki rumit ini terpecahkan. Terobosan ini adalah kemajuan amat penting dalam ilmu fisika karena dapat dipakai untuk menguji teori kunci tentang berbagai simetri fundamental di alam. Di antara berbagai simetri yang diperdebatkan itu adalah bentuk kosmos, yang diciptakan suatu ledakan besar 13 miliar tahun lampau dan partikel dasar itu sendiri, kata Hermann Nicolai, Direktur Albert Einstein Institute di Potsdam, Jerman.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 6. Teori Chaos Yang aneh selalu membuat penasaran, salah satunya adalah teori chaos. Adalah Edward Lorenz yang pertama kali meneliti mengenai fenomena chaos. Lorenz adalah seorang meteoroligist yang meneliti masalah prakiraan cuaca. Untuk memprakirakan cuca, Lorenz menggunakan komputer yang mengoperasikan 12 persamaan untuk melihat perilaku cuaca. Pada suatu waktu di tahun 1961, Lorenz ingin melihat deret tertentu dari hasil perhitungan. Untuk menghemat waktu, ia mengambil satu bilangan dari hasil print out kemudian memasukan kondisi awal(initial condition) ke dalam persamaan. Pada saat mengambil sebuah bilangan, Lorenz hanya menggunakan tiga digit dibelakang koma. Ia pikir, dengan memasukan tiga digit, hasil yang diperolehnya takkan jauh berbeda, namun ia salah. Dari hasil iterasi, perbedaan digit keempat dan seterusnya menghasilkan percabangan-percabangan yang meberikan hasil yang sangat berbeda dengan perhitungan sebelumnya. Apa yang ditemukan oleh Lorenz menunjukan bagaimana kondisi awal sangat berpengaruh pada hasil akhir, dan bahwa prakiraan cuaca, akan tetap menjadi prakiraan cuaca. Sebagaimana teori-teori matematika lainnya, teori chaos juga mencari pola, yang hal ini mencari pola dari data acak.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 7. Simetri Lipat dan Simetri Putar A. Simetri Lipat Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar. Untuk mencari simetri lipat dari suatu bangun datar maka dapat dilakukan dengan membuat percobaan dengan membuat potongan kertar yang ukurannya mirip dengan yang akan diuji coba. Lipat-lipat kertas tersebut untuk menjadi dua bagian sama besar. Berikut ini adalah banyak simetri lipat dari bangun datar umum : - Persegi Panjang memiliki 2 simetri lipat - Bujur Sangkar memiliki 4 simetri lipat - Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri lipat - Belah Ketupat memiliki 2 simetri lipat - Lingkaran memiliki simetri lipat yang jumlahnya tidak terbatas B. Simetri Putar Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal. Percobaan dapat dilakukan mirip dengan percobaan pada simetri lipat namun caranya adalah dengan memutar kertas yang telah dibentuk. Berikut ini adalah banyak simeti putar pada ba ngun datar umum : - Persegi Panjang memiliki 2 simetri putar - Bujur Sangkar memiliki 4 simetri putar - Segitiga Sama Kaki tidak memiliki simetri putar - Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri putar - Belah Ketupat memiliki 2 simetri putar - Lingkaran memiliki simetri putar yang jumlahnya tidak terbatas

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 8. "Al-Khawarizmi"...?Bapak Algoritma & Penemu Teori Aljabar

Bagi parakanca yg sekolah dibawah thn '90-an mungkin sangat akrab dg bahasan Algoritma dlm mata pelajaran matematika. Yah,.patut kita syukuri bahwa penemu ilmu tsb adalah seorang ilmuwan muslim yg bernama Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa al-Khawarizmi (770-840 M) atau yg terkenal dg nama al-Khawarizmi. Di kalangan ilmuwan Barat ia lebih fasih dipanggi Algorizm, dan nama Algoritma diambil dari nama asing tsb. Pada thn 770 M kota Khawarizm (Kheva) sebelah selatan sungai Oxus (kini Uzbekistan) adalah saksi bisu atas kelahiran Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa, kota tsb diabadikan sebagai nama belakang matematikawan ini, yaitu al-Khawarizmi. Pada tgl 14 Sep 786 M dinasti Abasiyah nengangkat Harun Al-Rasyid sebagai khalifah ke 5. Hingga pada thn 809 M keKhalifahan beliau berakhir. Roda pemerintahan pun di teruskan oleh putra mahkotanya, Abu Abbas Abdullah al-Ma'mun. Tak berapa lama setelah al-Ma'mun di lantik, al-Khawarizmi kecil beserta keluarganya hijrah dari Uzbekistan ke Baghdad. Kecerdasannya sudah tampak sejak kecil, ia sangat lancar menghitung bilangan - bilangan dlm jumlah yang cukup besar. Sehingga ia mendapat beasiswa untuk belaja r di House of Wisdom. House of Wisdom adalah sebuah akademi yg didirikan al-Ma'mun dalam rangka meneruskan perjuangan pendahulunya Harun al-Rasyid utk menjadikan kota Baghdad sebagai pusat ilmu pengetahuan dunia. Pada akademi inilah pria berdarah Uzbekistan ini mampu mengguncangkan dunia ilmu matematika dgn penemuannya yg spektakuler. Konsep Algoritma sebagai salah satu cabang ilmu matematika yg ia temukan menghantarkannya menjadi seorang ilmuwan termasyur di seluruh dunia.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 9. Kalkulus

PerkembanganSejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bh skara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13

Pengaruh pentingWalau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus mod ern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Limit dan kecil tak terhinggaKalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, , , ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga. Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah: Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 Jika, untuk setiap bilangan > 0, terdapat bilangan dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x: > 0 yang berkoresponden

TurunanTurunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan fungsi (x) terhadap variabel x adalah titik x adalah: yang nilainya pada

, Dengan syarat limit tersebut eksis. Jika eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika eksis di setiap titik pada domain , kita sebut terdiferensialkan. Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Perhatikan bahwa ekspresi

pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x, (x)) dan (x+h, (x)) pada kurva (x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva (x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi (x) merupakan gradien dari fungsi tersebut. Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

Faisal Wibisono/ X.6/ 13

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial.

Notasi pendiferensialanTerdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler. Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = (x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

ataupun Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ( x) ditulis sebagai (x) ataupun hanya . Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = (t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika. Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = (x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai: atau .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13

IntegralIntegral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan). ,

y

Integral tertentu bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real,

Diberikan suatu fungsi integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik , sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan yang membagi

[a,b]

tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], menjadi sejumlah n subinterval

. Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai x1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai xi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar x dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, (ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan (ti) xi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Faisal Wibisono/ X.6/ 13

Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi luas daerah tersebut. mendekati nol, maka kita akan mendapatkan

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah: Diberikan (x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [ a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann

apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan > 0 apapun terdapat sebuah bilangan > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan dan pilihan ti

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar x = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Faisal Wibisono/ X.6/ 13 Contoh

y

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagibagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama x = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

dan

, sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi didapatkan:

mendekati 0, maka

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.