ma3231 analisis real (*itb bandung) ma3231 analisis real 13 march 2017 20 / 21 12.3 turunan dari...

MA3231 Analisis Real

Hendra Gunawan*

*http://hgunawan82.wordpress.com

Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology

Bandung, INDONESIA

Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 1 / 21

BAB 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

1 12.1 Luas Daerah di Bawah Kurva

2 12.2 Integral

3 12.3 Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus


12.1 Luas Daerah di Bawah Kurva

Masalah menentukan luas daerah (dan volume benda ruang) telahdipelajari sejak era Pythagoras dan Zeno, pada tahun 500-an SM.

Konsep integral (yang terkait erat dengan luas daerah) berpijak padametode ‘exhaustion’, yang telah dipakai oleh Plato dan Eudoxus, dankemudian oleh Euclid dan Archimedes, untuk menghitung luas daerahlingkaran (dengan menggunakan pengetahuan tentang luas daerahsegitiga atau, secara umum, segi banyak).

Pada 1630-an, Pierre de Fermat tertarik untuk menghitung luasdaerah di bawah kurva. Beberapa puluh tahun kemudian, John Wallisdan Gottfried Wilhelm von Leibniz mengembangkan metode untukmenghitung luas daerah di bawah kurva, yang merupakan cikal-bakalteori integral yang kita kenal sekarang.



Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untukmembahas luas’ daerah di bawah kurva y = f(x)?

Gambar 12.1 Daerah di bawah kurva y = f(x)

Jika ya, bagaimana menghitungnya?



Luas daerah di bawah kurva mestilah lebih besar daripada L, yangmenyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.

Gambar 12.2 Luas daerah L

Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapatdiperoleh sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil di bawahkurva. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan luas daerah dibawah kurva y = f(x) sebagai supL.



Contoh 1. Misalkan f(x) = x2, x ∈ [0, 1]. Dengan membagiinterval [0, 1] atas n interval bagian yang sama panjang danmenghitung jumlah luas daerah persegi-panjang yang terbentuk, luasdaerah di bawah kurva y = f(x) mestilah lebih besar daripada

1

n

[0 +

12

n2+

22

n2+ · · ·+ (n− 1)2

n2

].

Jumlah deret ini sama dengan

(n− 1)n(2n− 1)

6n3.

Mengingat (n−1)n(2n−1)6n3 ≤ 1

3untuk tiap n ∈ N dan (n−1)n(2n−1)

6n3 → 13

untuk n→∞, maka

supn∈N

(n− 1)n(2n− 1)

6n3=

1

3.

Jadi, luas daerah di bawah kurva y = f(x) adalah 13.



SOAL

1 Buktikan bahwa (n−1)n(2n−1)6n3 ≤ 1

3untuk tiap n ∈ N, dan

simpulkan bahwa supn∈N

(n−1)n(2n−1)6n3 = 1

3.

2 Tentukan luas daerah di bawah kurva y = 1 + x, x ∈ [0, 1],dengan cara seperti pada Contoh 1. Apakah hasil yang diperolehsesuai dengan pengetahuan geometri kita?


12.2 Integral

Apa yang terjadi pada Contoh 1 berlaku secara umum pada fungsiyang kontinu pada interval tutup.

Salah satu sifat fungsi kontinu pada interval tutup yang terpakaidalam pembahasan integral adalah sifat keterbatasannya.


12.2 Integral

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Definisikan partisi dari [a, b]sebagai himpunan P := {x0, x1, . . . , xn} dengan

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

Karena f kontinu pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b].

Jadi, diberikan sembarang partisi P := {x0, x1, . . . , xn} dari [a, b],kita dapat mendefinisikan

mk := infxk−1≤x≤xk

f(x),

untuk k = 1, 2, . . . , n. Dengan demikian, untuk tiap partisi P , kitadapat membentuk deret

L(P, f) :=n∑

k=1

mk(xk − xk−1).

(Buatlah suatu ilustrasi yang menyatakan nilai L(P, f).)HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 9 / 21

12.2 Integral

Misalkan f terbatas di atas oleh M pada [a, b], yakni

f(x) ≤M, x ∈ [a, b].

Maka

L(P, f) ≤Mn∑

k=1

(xk − xk−1) =M(b− a).

Jadi himpunan bilangan {L(P, f) : P partisi dari [a, b]} terbatas diatas oleh M(b− a), dan karena itu ia mempunyai supremum.


12.2 Integral

Sekarang kita sampai pada definisi integral.

Jika f kontinu pada interval [a, b], kita definisikan integral dari fpada [a, b] sebagai ∫ b

a

f(x) dx := supPL(P, f),

dengan nilai supremum diambil atas semua partisi P dari [a, b].

Dalam hal f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a, b], maka∫ b

af(x) dx dapat

diinterpretasikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x), yangbernilai tak negatif (lebih besar daripada atau sama dengan 0).


12.2 Integral

Sebagai tambahan, jika a < b, maka kita definisikan∫ a

b

f(x) dx := −∫ b

a

f(x) dx.

Selain itu, untuk sembarang a ∈ R, kita definisikan∫ a

a

f(x) dx := 0.


12.2 Integral

Proposisi 2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan m ≤ f(x) ≤Muntuk tiap x ∈ [a, b]. Maka

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤M(b− a).

Proposisi 3. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan a ≤ c ≤ b. Maka∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

Catatan. Bukti Proposisi 3 agak panjang; lihat [2].


12.2 Integral

SOAL

1 Buktikan Proposisi 2.

2 Buktikan bahwa∫ b

ac dx = c(b− a).

3 Misalkan f kontinu pada [a, b]. Buktikan jika f(x) ≥ 0 untuk

setiap x ∈ [a, b], maka∫ b

af(x) dx ≥ 0.

4 Diketahui f(x) = x, x ∈ [a, b]. Buktikan bahwa

L(P, f) ≤ 1

2(b2 − a2)

untuk sebarang partisi P dari [a, b]. Selanjutnya, denganmenggunakan definisi integral, buktikan bahwa∫ b

a

f(x) dx =1

2(b2 − a2).


12.3 Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan f terdefinisi pada (a, b). Misalkan F kontinu pada [a, b] danmempunyai turunan pada (a, b) dengan

F ′(x) = f(x)

untuk tiap x ∈ (a, b). Maka F disebut sebagai anti turunan dari fpada [a, b].

Contoh 4. Jika f(x) = x3, maka fungsi F yang didefinisikan sebagai

F (x) =1

4x4 + 5

merupakan suatu anti turunan dari f . Secara umum, fungsi G yangdidefinisikan sebagai

G(x) =1

4x4 + C,

dengan C konstanta, merupakan anti turunan dari f .



Apa urusannya anti turunan dengan integral?

Misalkan f kontinu pada [a, b]. Definisikan F pada [a, b] sebagai

F (x) :=

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b].

Dalam teorema berikut, kita akan menunjukkan bahwa F merupakansuatu anti turunan dari f pada [a, b].

Teorema ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus I, yang pertamakali dibuktikan oleh Isaac Barrow dan dibuktikan ulang dengan carayang lebih intuitif dan gamblang oleh Isaac Newton pada abad ke-17.



Teorema 5 (Teorema Dasar Kalkulus I). Misalkan f kontinupada [a, b] dan F didefinisikan pada [a, b] sebagai

F (x) :=

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b].

Maka, F merupakan suatu anti turunan dari f pada [a, b]; yakni, Fkontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), danF ′(x) = f(x) untuk tiap x ∈ (a, b).



Bukti. Karena f kontinu pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b],katakanlah |f(t)| ≤ κ untuk setiap t ∈ [a, b]. Selanjutnya, untukx, c ∈ [a, b], kita mempunyai

|F (x)− F (c)| =∣∣∣∫ x

c

f(t) dt∣∣∣ ≤ κ|x− c|.

Jadi F kontinu pada [a, b].

Selanjutnya perhatikan bahwa untuk x 6= c kita mempunyai

F (x)− F (c)x− c

− f(c) = 1

x− c

∫ x

c

[f(t)− f(c)] dt.

Karena f kontinu di c, kita dapat memilih δ > 0 sedemikian sehingga|f(x)− f(c)| < ε untuk |x− c| < δ. Akibatnya, kita peroleh∣∣∣F (x)− F (c)

x− c− f(c)

∣∣∣ < ε,

untuk 0 < |x− c| < δ. Ini menunjukkan bahwa F ′(c) = f(c), dan iniberlaku untuk setiap c ∈ (a, b).



Teorema 6 (Teorema Dasar Kalkulus II). Jika f kontinu pada[a, b] dan G adalah anti turunan dari f pada [a, b], maka∫ b

a

f(t) dt = G(b)−G(a).



Bukti. Definisikan fungsi F pada [a, b] sebagai

F (x) :=

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b].

Maka, menurut Teorema Dasar Kalkulus I, F merupakan suatu antiturunan dari f pada [a, b], dan∫ b

a

f(t) dt = F (b) = F (b)− F (a).

Sekarang, jika G adalah anti turunan dari f pada [a, b], makaterdapat suatu konstanta C sedemikian sehingga G(x) = F (x) + C,untuk setiap x ∈ [a, b]. Karena itu,∫ b

a

f(t) dt = [F (b) + C]− [F (a) + C] = G(b)−G(a),

sebagaimana yang kita harapkan.HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 20 / 21


SOAL

1 Buktikan bahwa∫ 1

0x2dx = 1

3.

2 Misalkan r ∈ Q, r 6= −1. Buktikan bahwa∫ 1

0xrdx = 1

r+1.

3 Misalkan f dan g kontinu pada [a, b]. Buktikan, denganmenggunakan Teorema Dasar Kalkulus II, bahwa untuk setiapλ, µ ∈ R, berlaku∫ b

a

[λf(x) + µg(x)] dx = λ

∫ b

a

f(x) dx+ µ

∫ b

a

g(x) dx.

4 Misalkan f dan g kontinu pada [a, b]. Buktikan KetaksamaanCauchy-Schwarz untuk integral:[∫ b

a

f(x)g(x) dx]2≤∫ b

a

[f(x)]2dx ·∫ b

a

[g(x)]2dx.


ma3231 analisis real (*itb bandung) ma3231 analisis real 13 march 2017 20 / 21 12.3 turunan dari...

Documents