ma1201 matematika 2a - personal.fmipa.itb.ac.id · limf(t) lim f(t).i limg(t).j. ... dan mempunyai...
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
12 Maret 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11 2‐4 Vektor Hasilkali Titik Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 3
11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANMA1201 MATEMATIKA 2A
11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DANGERAK SEPANJANG KURVA•Menghitung limit dan turunan fungsi ber•Menghitung limit dan turunan fungsi ber‐nilai vektor•Menentukan kecepatan dan percepatan dari•Menentukan kecepatan dan percepatan darisuatu partikel yang bergerak sepanjangkurva yang diketahui persamaan posisinya
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4
kurva yang diketahui persamaan posisinya
Fungsi Bernilai VektorFungsi Bernilai VektorFungsi F yang memetakan tiapbilangan real t I ke suatu vektorF(t) di R2 atau R3 disebut sebagaif i b il i kt /fungsi bernilai vektor.Sebagai contoh,
F(π/2)
F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2πmerupakan fungsi bernilai vektor.
1
Daerah nilai fungsi ini adalahlingkaran yang berpusat di (0,0) danb j i j i 1berjari‐jari 1.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Limit Fungsi Bernilai VektorLimit Fungsi Bernilai Vektor
Kita tuliskan apabilaLtF )(limuntuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sehingga
ct)(
F(t), t ≈ c
.)(0 LtFct( ),
L
Secara intuitif: semakin dekat t ke c, ki d k t F(t) k Lsemakin dekat F(t) ke L.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6
TeoremaTeorema
Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka Fmempunyai( ) ( ) g( )j p ylimit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyailimit di c. Dalam hal ini,,
.).(lim).(lim)(lim jtgitftFctctct
Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanyajika ).()(lim cFtF jika
Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilaivektor di R3
).()(lim cFtFct
vektor di R3.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh/LatihanContoh/Latihan
Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di‐Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang didefinisikan
1sin et t
,0,1sin)(
tjtei
tttF
menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Turunan Fungsi Bernilai VektorTurunan Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai
)()( cFtF
B d k t t t li it f i
.)()(lim)('ct
cFtFcFct
Berdasarkan teorema tentang limit fungsibernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g
i t di kmempunyai turunan di c, maka
.)(')(')(' jcgicfcF
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9
)()()( jgf
TeoremaTeorema
Misalkan F dan Gmempunyai turunan p fungsiMisalkan F dan Gmempunyai turunan, p fungsiskalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. MakaMaka
1.
2
)(')(')]()([ tGtFtGtFDt )(')]([ FFD2.
3.
)('.)](.[ tFctFcDt )()(')(')()]().([ tFtptFtptFtpDt
4.
5)(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt
))((')('))](([ tpFtptpFD 5.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10
))(().())](([ tpFtptpFDt
TeoremaTeorema
Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R . Jika F dan Gmempunyai turunan, maka
6. )(')()()(')]()([ tGtFtGtFtGtFDt )(')]([ FFD )('.)](.[ tFctFcDt
Catatan. Dt menyatakan operasi turunanterhadap tterhadap t.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Contoh/LatihanContoh/Latihan
Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikanTentukan apakah fungsi F yang didefinisikansebagai
1sin et t
0
,0,1sin)(
tji
tjtei
tttF
mempunyai turunan di 0.
,0, tji
p y
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Contoh/LatihanContoh/Latihan
Diketahui F(t) = (cos t sin t) dan p(t) = t2Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t . Tentukan:
1 D [p(t) F(t)]1. Dt[p(t).F(t)]
2. DtF(p(t))
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Integral Fungsi Bernilai VektorIntegral Fungsi Bernilai Vektor
Intergral dari fungsi F yang bernilai vektor di R2 Intergral dari fungsi F yang bernilai vektor di Rdidefinisikan sebagai
jdttgidttfdttF .)(.)()( bb b
jdttgidttfdttFaa a
.)(.)()(
Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor diR3 didefinisikan serupaR didefinisikan serupa.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva
Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjangMisalkan sebuah partikel bergerak sepanjangsuatu kurva di bidang dengan persamaan
r(t) = f(t)i + g(t)j t Ir(t) = f(t)i + g(t)j, t I,
yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsbd l h (f( ) ( )) M k k dadalah (f(t),g(t)). Maka, kecepatan danpercepatan partikel tsb adalah
v(t) = f’(t)i + g’(t)j, t I,
a(t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t I.( ) ( ) g ( )j,
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 15
ContohContoh
Diketahui sebuah partikel bergerak di bidangDiketahui sebuah partikel bergerak di bidangdengan persamaan
r(t) = (cos 2t sin 2t) t > 0r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0.
(a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatan‐nya.
(b) Periksa bahwa dan . )()( tvta )()( trtv (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17
SoalSoal
Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektor posisinyapada saat t Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikapada saat t. Buktikan bahwa |r(t)| konstan jikadan hanya jika r(t) ● r ’(t) = 0.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 18
11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DIMA1201 MATEMATIKA 2A
RUANG•Menentukan persamaan garis di ruang baik•Menentukan persamaan garis di ruang, baikdalam bentuk persamaan vektor, persamaanparametrik atau persamaan Cartesiusparametrik, atau persamaan Cartesius
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Persamaan Garis di BidangPersamaan Garis di Bidang
Persamaan Cartesius garis di bidangPersamaan Cartesius garis di bidangyang memotong sumbu‐y di P(0,c) dan mempunyai gradien m adalah c
1
m
dan mempunyai gradien m adalah
y = mx + c.
P i i i d di k
1
Persamaan garis ini dapat dinyatakandalam bentuk persamaan parametrik
x = t, y = mt + c,
atau persamaan vektor
Garis melalui (0,c) dan mempunyaivektor arah (1,m).p
r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m).3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20
( , )
Persamaan Garis di BidangPersamaan Garis di Bidang
Dari persamaan parametrikDari persamaan parametrikx = t, y = mt + c,
kita dapat pula memperoleh c1
m
kita dapat pula memperolehpersamaan simetrik
1
0 cyx
P h tik b h i l l i
.1
0m
cyx
Perhatikan bahwa garis melaluiP(0,c) dan mempunyai vektorarah v = (1 m) terekam dalamarah v = (1,m) terekam dalampersamaan simetrik.3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Persamaan Garis di RuangPersamaan Garis di Ruang
Persamaan garis yang melalui titik P(x0 y0 z0) danPersamaan garis yang melalui titik P(x0,y0,z0) danmempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah
r(t) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc … p. parametrik
000 zzyyxx persamaan simetrik...000
czz
byy
axx
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22
ContohContoh
Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,‐2,3) dang ( , , )Q(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaanparametrik, dan persamaan simetrik garis tsb.p , p g
Jawab:
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Soal 1Soal 1
Persamaan bidang yang melalui titik P(x0,y0,z0)g y g ( 0,y0, 0)dan mempunyai vektor normal n = (n1,n2,n3) diberikan oleh (x – x0, y – y0, z – z0)●n = 0.( 0, y y0, 0)
Tentukan persamaan garis yang merupakanperpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = ‐6 danperpotongan dua bidang: 2x y 5z = 6 dan4x + 5y + 4z = 9.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Garis Singgung pada Kurva di RuangGaris Singgung pada Kurva di Ruang
Persamaan
r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k
menyatakan sebuah kurva dimenyatakan sebuah kurva diruang. Pada saat t = t0, vektorposisi‐nya adalah r(t ) dan
r’(t0)posisi‐nya adalah r(t0) danvektor singgung‐nya adalah
’(t ) f’(t )i + ’(t )j + h’(t )kr(t0)
r’(t0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k.
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 25
Persamaan Garis Singgung pada KurvaPersamaan Garis Singgung pada Kurva
Persamaan parametrikPersamaan parametrikgaris singgung padakurva tsb di titik P = r(t0)kurva tsb di titik P = r(t0) adalah:
x = f(t ) + t f’(t )
r’(t0)
Px = f(t0) + t.f (t0),
y = g(t0) + t.g’(t0),
r(t0)
z = h(t0) + t.h’(t0).
3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 26