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MA111 - Cálculo IAula 26 - Volumes
Marcos Eduardo Valle
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Introdução
Nas aulas anteriores, apresentamos diversas técnicas deintegração.
Na aula de hoje, apresentaremos uma aplicação das integraispara o cálculo de volumes de certos sólidos.
Especificamente, consideraremos cilindros e sólidos de rotação.
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Calculo de Volumes Usando IntegraisSeja S um sólido que está definido para a ≤ x ≤ b. Se a área dasecção transversal de S no plano Px , passando por x eperpendicular ao eixo x , é A(x), em que A é uma funçãocontínua, então o volume de S é
V = limn→∞
n∑i=1
A(xi)∆x =
∫ b
aA(x)dx .
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 1
Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V = 43πr3.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 2
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixox da região sob a curva y =
√x de 0 a 1. Ilustre a definição
esboçando um cilindro aproximante típico.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 2
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixox da região sob a curva y =
√x de 0 a 1. Ilustre a definição
esboçando um cilindro aproximante típico.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
Resposta: O volume é V = π/2.
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Exemplo 3
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiãolimitada por y = x3, y = 8 e x = 0 em torno do eixo y .
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Exemplo 3
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiãolimitada por y = x3, y = 8 e x = 0 em torno do eixo y .
Resposta: O volume é V = 96π/5.
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Exemplo 4
Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com ladoL e cuja altura é h.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 4
Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com ladoL e cuja altura é h.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
Resposta: O volume é V = L2h/3.
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Volume por Cascas CilíndricasO volume do sólido S obtido pela rotação em torno do eixo y daregião R = {(x , y) : 0 ≤ y ≤ f (x),a ≤ x ≤ b} é
V = limn→∞
n∑i=1
2πxi f (xi)∆x =
∫ b
a2πxf (x)dx .
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 5
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixoy da região delimitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 5
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixoy da região delimitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
Resposta: O volume do sólido é V = 165 π.
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Exemplo 6
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixoy da região entre y = x e y = x2.
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Exemplo 6
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixoy da região entre y = x e y = x2.
Resposta: O volume do sólido é V = π6 .
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Exemplo 7
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiãodelimitada por y = x − x2 e y = 0 em torno da reta x = 2.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
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Exemplo 7
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da regiãodelimitada por y = x − x2 e y = 0 em torno da reta x = 2.
(Figura extraída do livro do Stewart.)
Resposta: O volume do sólido é V = π2 .
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Considerações FinaisNa aula de hoje vimos que o volume de um cilindro reto é dadopor
V =
∫ b
aA(x)dx ,
em que A(x) representa a área de uma secção transversal dosólido.
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume de um sólido obtidopela rotação de uma região R = {(x , y) : 0 ≤ y ≤ f (x),a ≤ x ≤ b}é dado por
V =
∫ b
a2πxf (x)dx .
Muito grato pela atenção!