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Triangulos Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Triangulos
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
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Triangulos Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 A classificacao de triangulos.
2 Algumas caracterısticas dos triangulos.
3 Os casos de congruencia de triangulos.
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Triangulos Exercıcios
Classificacao segundo os lados
Classificacao
Um triangulo e
Equilatero, se tem tres lados congruentes.
Isosceles, se tem dois lados congruentes.
Escaleno, se nao tem lados congruentes.
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Triangulos Exercıcios
Triangulo retangulo
Definicao
Um triangulo e dito retangulo se um de seus angulos e reto, ouseja, mede 90◦.
Em um triangulo retangulo,
O lado oposto ao angulo reto e chamado hipotenusa.
Os outros lados sao chamados catetos.
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Triangulos Exercıcios
Congruencia de triangulos
Definicao
Dois triangulos sao congruentes se podemos estabelecer umacorrespondencia entre os angulos de modo que
Os lados correspondentes sejam congruentes; e
Os angulos correspondentes sejam congruentes.
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Triangulos Exercıcios
Congruencia de triangulos
Uso da congruencia na pratica
A teoria sobre congruencia de triangulos nos permite desenhar umtriangulo a partir de medidas conhecidas.
Apesar de dois triangulos serem congruentes quando suas seismedidas sao iguais (lados e angulos), tres medidas ja bastam.As possibilidades sao
LLL (os tres lados sao conhecidos)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entreeles)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entre eles)LAL (dois lados e o angulo compreendido entre eles)LAA (dois angulos e um lado nao compreendido entre eles)ALA (dois angulos e o lado compreendido entre eles)AAA (os tres angulos saoconhecidos)AAA (os tres angulos sao conhecidos)
As combinacoes LLL, LAL, LAA e ALA servem
AAA e LLA nao servem para definir congruencia
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Triangulos Exercıcios
Caso LLL
Caso LLL
Dois triangulos sao congruentes se possuemtres lados congruentes.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e BC
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)
Com o compasso centrado em B, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado BC . (Fig. 1)
Descoberta a localizacao de C , trace oslados que faltam. (Fig. 2)
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Triangulos Exercıcios
Caso LAL
Caso LAL
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois lados congruentes, bem como o anguloentre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, BC e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)
Com o compasso centrado em B ou umaregua, marque o ponto C sobre a
semirreta−→BD. (Fig. 1)
Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)
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Triangulos Exercıcios
Caso ALA
Caso ALA
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como o ladoentre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo A
(ponto D) e trace a semirreta−→AD.(Fig.1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto E ) e trace a semirreta−→BE .(Fig.1)
O vertice C esta na intersecao dassemirretas. (Fig. 2)
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Triangulos Exercıcios
Caso LAA
Caso LAA
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como um ladonao compreendido entre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e C
Sabemos que a soma dos angulos internosde um triangulo equivale a 180◦.
Logo, conhecendo A e C , encontramos Bcalculando B = 180◦ − A− C .
Assim, caımos no caso ALA, mencionadoanteriormente.
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Triangulos Exercıcios
Medidas insuficientes: AAA
Caso AAA
E possıvel construir infinitos triangulos dadasas medidas dos tres angulos.
Os triangulos ABC e ADE nao saocongruentes, embora B ≡ D e C ≡ E .
Esse caso e equivalente a termos apenasdois angulos conhecidos, pois a medida doterceiro sempre pode ser descobertausando o fato de que a soma dos angulosinternos e 180◦.
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Triangulos Exercıcios
Medidas insuficientes: LLA
Caso LLA
E possıvel construir dois triangulos dadas as medidas de dois ladose um angulo nao compreendido entre eles.
Os triangulos ABC e ABD naosao congruentes, embora
Ambos tenham em comumo angulo A e o lado AB.
O lado BC seja congruentecom BD.
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Triangulos Exercıcios
Caso particular LLA
Caso LLA com angulo maior ou igual a 90◦
No caso LLA, se o angulo tiver medida maiorou igual a 90◦, o triangulo e unico.Nesse caso, os outros dois angulos sao agudos.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)
Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)
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Triangulos Exercıcios
Triangulo isosceles
Teorema
Um triangulo e isosceles se e somente se possui dois anguloscongruentes.
Se A ≡ B entao ∆ABC e isosceles.(∆ABC ≡ ∆BAC por ALA.)
Se ∆ABC e isosceles entao A ≡ B.(∆ABC ≡ ∆BAC por LAL.)
O lado compreendido entre os angulosiguais (AB) e chamado base.
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Triangulos Exercıcios
Desigualdade triangular
Teorema
Em um triangulo, a medida de um lado e menor que a soma dasmedidas dos outros dois lados.
a < b + c b < a + c c < a + b
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Triangulos Exercıcios
Bissetriz de um angulo
Definicao
Uma semirreta−→AD interna a um angulo BAC e chamada bissetriz
do angulo se BAD ≡ CADA bissetriz divide o angulo BAC em dois angulos congruentes.
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Triangulos Exercıcios
Bissetriz de um triangulo
Definicao
Bissetriz (interna) de um triangulo e o segmento com extremidadesem um vertice e no lado oposto a este, que divide o angulo dessevertice em dois angulos congruentes.
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Triangulos Exercıcios
Mediana de um triangulo
Definicao
Mediana de um triangulo e o segmento que liga um vertice aoponto medio do lado oposto.
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Triangulos Exercıcios
Altura de um triangulo
Definicao
Altura de um triangulo e o segmento que liga um vertice a suaprojecao na reta que contem o lado oposto.
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Triangulos Exercıcios
Perımetro de um triangulo
Definicao
O Perımetro de um triangulo e a soma dos comprimentos de seuslados.
Perımetro: p = a + b + c
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Na figura abaixo, o triangulo ABC e isosceles, com base BC .Determine x e y .
x = 85◦, y = 50◦
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 2
Problema
Sabendo que o triangulo ABC e equilatero, determine x e y .
x = 4, y = 9
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Encontre os valores de x e y na figura abaixo (nao e precisoencontrar z e α).
x = 11, y = 15
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Um triangulo isosceles tem um lado com 10 cm e outro com 24cm. Nesse caso, o comprimento do terceiro lado e
A) x = 10 cm
B) x = 24 cm
C) x = 10 cm ou x = 24 cm
D) 10 cm ≤ x ≤ 24 cm
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 5
Problema
Sabendo que r e paralela a s na figura abaixo, determine os valoresde α e β.
α = 40◦, β = 60◦
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 6
Problema
As bissetrizes de dois angulos adjacentes a um lado de umtriangulo formam um angulo de 120◦. Sabendo que um desses doisangulos mede 70◦, determine a medida do outro.
50◦
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Triangulos Exercıcios
Exercıcio 7
Problema
Usando esquadros, compasso e transferidor, desenhe triangulos apartir das informacoes fornecidas abaixo.
1 Lados que medem 3 cm e 6 cm e angulo compreendido entreeles de 60◦.
2 Lados que medem 4 cm, 5 cm e 7 cm.