ma091_2014_12_polinomios

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Trilha sonora

Compositor: Frederic Chopin

Noturno no.1 em Si bemol menor, Op.9/1

Noturno no.2 em Mi bemol maior, Op.9/2

Piano: N. Freire

Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 – Matematica basica Marco de 2014 1 / 23

MA091 – Matematica basicaAula 12 – Polinomios. Expressoes. Produtos notaveis. Fatoracao.

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Marco de 2014


Roteiro da aula

1 Polinomios e expressoes algebricas

2 Exercıcios


Polinomios e expressoes algebricas

Polinomios

Polinomio

Um polinomio na variavel x e uma expressao na forma

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0,

em que

a0, a1, · · · , an sao coeficientes reais, com an 6= 0.

n e um numero inteiro nao negativo.

Cada termo aixi e um monomio.

O grau do polinomio e n, o maior expoente de seus monomios.

O monomio a0 e chamado termo constante.



Sera que e polinomio?

Expressoes

(a) 3x− 2

(b) y6 − 3y4 + 4y

(c) 8 + 2b2 − 5b− b3

(d)√x + 8

(e) y2/3 + y − 1

(f) 3

(g) 4x− 1x

(h) 2w3 −√

3w + 12

Das expressoes ao lado, quais saopolinomios?

A) Todas

B) (a), (b), (c), (e), (f), (g), (h)

C) (a), (b), (c), (e), (f)

D) (a), (b), (c), (f), (g)

E) (a), (b), (c), (f), (h)



Soma e subtracao de expressoes algebricas

(−6x2 − 2x + 3) + (x3 + 2x2 + 3x + 1)

= x3 + (−6x2 + 2x2) + (−2x + 3x) + (3 + 1)

= x3 + (−6 + 2)x2 + (−2 + 3)x + (3 + 1)

= x3 − 4x2 + x + 4.

(2x4 − 3x3 + 5x2 + x− 5) − (−3x3 + x2 + 2x− 8)

= 2x4 − 3x3 + 5x2 + x− 5 + 3x3 − x2 − 2x + 8

= 2x4 + (−3x3 + 3x3) + (5x2 − x2) + (x− 2x) + (−5 + 8)

= 2x4 + (−3 + 3)x3 + (5− 1)x2 + (1− 2)x + (−5 + 8)

= 2x4 + 4x2 − x + 3.



Produto de expressoes algebricas

Regra do chuveirinho

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd.

(√x− 3)

(4− 2

x

)=√x · 4 +

√x ·

(−2

x

)− 3 · 4− 3 ·

(− 2

x

)

= 4√x− 2

√x

x− 12 +

6

x



Produtos notaveis

Produtos notaveis

Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Produto Exemplo

1. Quadrado da soma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (7 + 3)2 = 72 + 2 · 7 · 3 + 32 = 100

2. Quadrado da diferenca(a− b)2 = a2 − 2ab + b2 (5− 4)2 = 52 − 2 · 5 · 4 + 42 = 1

3. Produto da soma pela diferenca(a + b)(a− b) = a2 − b2 (5 + 3)(5− 3) = 52 − 32 = 16



Exemplos

(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 5 + 52

= 4x2 + 20x + 25

(x− 2)2 = x2 − 2 · x · 2 + 22

= x2 − 4x + 4

(5− 4

y

)2

= 52 − 2 · 5 · 4

y+

(4

y

)2

= 25− 40

y+

16

y2



Exemplos

(4x− 6y)(4x + 6y) = (4x)2 − (6y)2

= 16x2 − 36y2

(√x +√

2)(√x−√

2) = (√x)2 − (

√2)2

= x− 2 (supondo que x ≥ 0)



Fatoracao de expressoes

Fatoracao

Sejam a, b e c numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Forma fatorada Exemplo

1. ab + ac = a(b + c) 10x + 20 = 10 · x + 10 · 2 = 10(x + 2)

2. ab− ac = a(b− c) 5− 20x2 = 5 · 1− 5 · 4x2 = 5(1− 4x2)

7x2 − 21x3 = 7 · x · x− 3 · 7 · x · x · x= 7x2 · 1− 7x2 · 3x= 7x2(1− 3x)



Exemplos

2xy4−8xy2z−6xy3z2 = 2xy2 · y2−2xy2 · 4z−2xy2 · 3yz2

= 2xy2(y2 − 4z − 3yz2)

(3x− 5)2 − (3x− 5)2x = (3x− 5) · (3x− 5− 2x)

= (3x− 5)(x− 5)

4x2 − 20x

2x=

4x · x− 4x · 52x

=4x(x− 5)

2x

=2x

2x· 2(x− 5)

1= 2(x− 5)



Reconhecendo produtos notaveis

Fatoracao usando produtos notaveis

Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Forama fatorada Exemplo

1. Quadrado perfeito da soma

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

2. Quadrado perfeito da diferenca

a2 − 2ab + b2 = (a− b)2 y2 − 8y + 16 = (y − 4)2

3. Diferenca de quadrados

a2 − b2 = (a + b)(a− b) x2 − 4 = x2 − 22 = (x− 2)(x + 2)



Diferenca de quadrados

4x2 − 9 = (2x)2 − 32

= (2x− 3)(2x + 3)

y2

16− 25 =

(y4

)2− 52

=(y

4− 5

)(y4

+ 5)

x2 − 3 = x2 − (√

3)2

= (x−√

3)(x +√

3)



Trinomios quadrados perfeitos

9x2 − 30x + 25 = (3x)2 − 2 · 3x · 5 + 52

= (3x− 5)2

8 + 8x2 + 2x4 = 2 · 4 + 2 · 4x2 + 2 · x4

= 2(4 + 4x2 + x4)

= 2(22 + 2 · 2 · x2 + (x2)2)

= 2(2 + x2)2


Exercıcios

Exercıcio 1

Produtos notaveis

Calcule o produto(3x + 8)2

A) 9x2 + 64

B) 9x2 + 48x + 64

C) 3x2 + 48x + 64

D) 3x2 + 16x + 64

E) 9x2 + 24x + 64


Exercıcios

Exercıcio 2

Produtos notaveis

Calcule o produto(−2− x)2

A) −4− x2

B) 4− x2

C) −4− 4x + x2

D) −4 + 4x + x2

E) 4 + 4x + x2


Exercıcios

Exercıcio 3

Produtos notaveis

Calcule o produto(√

2x− 1)2

A) 1− 2√

2x + 2x2

B) 4x2 − 4x + 1

C) 2√

2x2 − 2√

2x + 1

D) 2x− 1

E) 2x2 − 1


Exercıcios

Exercıcio 4

Produtos notaveis

Calcule o produto(√x + 5)(

√x− 5)

A) x− 10√x + 25

B) x2 − 25

C) x− 25

D) 2√x + 25

E) 2√x− 25


Exercıcios

Exercıcio 5

Fatoracao

Fatore4y2 − 5

A) (4y − 25)(4y + 25)

B) (4y −√

5)(4y +√

5)

C) (2y − 5)2

D) (2y −√

5)(2y +√

5)

E) (2y −√

5)2


Exercıcios

Exercıcio 6

Fatoracao

Fatore36

y2− 1

9

A) 3y2−1

B) 3y2

C) ( 6y −13)2

D) ( 2y − 1)( 2y + 1)

E) ( 6y −13)( 6y + 1

3)


Exercıcios

Exercıcio 7

Fatoracao

Fatore4x2 + 20x + 25

A) (2x + 5)2 + 20x

B) 2(x + 5)2

C) 4(x + 5)2

D) (5 + 2x)2

E) (4x + 5)2


Exercıcios

Exercıcio 8

Fatoracao

Fatore

x2 − x +1

4

A) (x− 12)(x + 1

2)

B) (x− 12)2

C) 12(x− 1)2

D) (x2 − 1)2

E) 2(x2 − 1)2


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