documentm

LICEUL TEHNOLOGIC DE TRANSPORTURI AUTO TARGOVISTE

.

PROECT

Nume:Gheoldus Filip

Profesor:Bobeica Mariana

1

Legi de compozitie

Definitie: Fie M o multime nevida.

O aplicatie φ: M x M →M, (x , y) → φ(x , y) se numeste legie de compozitie (operatiune algebrica) pe multimea M.

Elementul φ(x , y) ∈ M x M se numeste compusul lui x cu y prin legia de compozitieφ .

Exemple de legi de compozitie

● Operatia de adunare „ +‟ si operatia de inmultire „ ⋅ ‟ pe multimiele de numere N.

„ +‟ : N x N → N, (x , y)→ x + y

„⋅ ‟ : N x N → N, (x , y)→ x ⋅ y

„ +‟ : Z x Z → N, (x , y)→ x + y

„⋅ ‟ : Z x Z → N, (x , y)→ x ⋅ y

● Operatia de adunare „ +‟ pe multimea a vectorilor din plan:

„ +‟ : N x N → N, (x , y)→ x + y

● Operatia de reuniune „∪ ‟ , intersectie „ ∩ ‟ , diferenta „ \ ‟, diferenta simetrica, „ ∆ ‟ pe multimea P(M) a partilor (submultimelor) une multimi M:

„∪ ‟ : P(M)x P(M)→ P(M) , (A, B )→ A∪B

„∩‟ : P(M)x P(M)→ P(M) , (A, B )→ A∪B

2

● Operatia de compunere „◦ ‟ a functilor pe multimea F(M) = {f | f: M→M} :

„◦‟ : F(M)x F(M)→ F(M), (f , g)→ f◦g.

Legile de compozitie sunt date in diferite notatii:

● In notatie aditiva se scrie ϕ(x, y )= x+; elementul x + y∈M se numeste suma lui x cu y, iar operatia ϕ se numaste adunare.

● In notatie produsului lui x cu y, iar operatia ϕ se numeste inmultire. Deseori, daca ϕ:MxM→ M este o legia de compozitie ( operatie algebrica) pe multimea M, in loc de notatia ϕ(x, y) se folosesc notatile: xϕy, x ◦ y, x¿y, x⊥y, x T y etc.

Proprietatile unei legi de compozitie

1. Comutativitatea

Fie M o multime nevida.

Definitie:

Legia de compozitie „◦ ‟: M x M→ M, (x, y)→x◦y se numeste comutativa daca x◦y=y◦x (∀)x, y ∈M.

2. Asociativitatea

Fie M o multime nevida.

Definitie:

O legie de compozitie M x M→ M, (x, y)→x◦y se numeste asociativitate daca (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) (∀)x, y, z ∈M.

3. Element neutru

3

Definitie:

Legia de compozitie M x M→ M, (x, y)→x◦y admite element neutru daca exista un elemen e ∈ M, asfel incat x◦ e= e◦x=x, (∀)x ∈M. (1)

Elementul ∈ M cu proprietatea (1) se numeste element neutru pentru legia de compozitie „◦ ‟.

4.Elemente simetrice

Definitie:

Fie: M o multime nevida, inzestrata cu o legia de compozitie M x M → M, (x, y)=x◦ y, care admite element neutru e.

Elementul x ∈ M se numeste simetrizabil in raport cu legia de compozitie „◦‟ daca exista x ' ∈ M, asfel incat x◦x ' =x '◦x= e (∀)x ∈M. (1)

Elementul x ' ∈ M se numeste simetricul elementului x in raport cu legia de compozitie „◦ ‟.

Structuri algebrice

1. Monoidul

Fie M ≠ ∅ si f: M x M → M f(x, y)= x◦y legie de compozitie.

Se numeste monoid structura algebrica formata dain perechia (M, ◦) care verifica urmatoarele proprietazi:

a) Legia de compozitie„◦‟ este interna(sau M parte stabila in raport cu legia) x◦y ∈ M, (∀) x, y ∈M.

b) Legia de compozitie„◦‟ este asociativa: (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) (∀)x, y, z ∈M.

c) Legia de compozitie„◦‟ admite element neutru: x◦ e= e◦x=x, (∀)x ∈M

4

2. Grupul

Fie G ≠ ∅ si f: G x G → f(x, y)= x◦y legie de compozitie.

Se numeste grup structura algebrica formata din pereghia (G, ◦) care verifica urmatoarele proprietati:

a) Legia de compozitie „◦‟ este interna x◦y ∈ G, (∀) x, y ∈G.b) Legia de compozitie „◦‟ este asociativa: (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) ∀x, y, z ∈

M.c) Legia de compozitie „◦‟ admite element neutru: x◦ e= e◦x=x, ∀x ∈Md) Legia de compozitie „◦‟ admite element simetrice: x◦x ' =x '◦x= e ∀x ∈M.

Exerciti

1. Pe multimea numerelor R: R →R se considera legia de compozitie: x◦y= x+y+2. Sa se demonstreza ca:

a) Sa se arate ca legia este asociativa.b) Sa se arate ca legia admite element neutru.c) Sa se arate ca legia admite element simetric.d) Sa se arate ca legia este comutativa.

a) Arat ca (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) (∀) x, y, z ∈ R

(x ◦ y) ◦ z = a ◦ z= a + z + 2= (x ◦ y)+ z + 2= (x + y + 2)+ z + 2= x + y + z + 4 (1)

x ◦ (y ◦ z)= x ◦ b= x+ b + 2= x + 2+ (y ◦ z) =x + 2+(y + z + 2)=x + y + 4 (2)

Din (1) si (2) rezulta ca legia este asociativa deoarece adunarea numerelor reale este asociativa si comutativa.

5

b) Arat ca axista e ∈ R asfel incat e ◦ x= x ◦ e =x, (∀)x ∈R

e ◦ x= x e= x - x -2

e + x + 2= x e= -2

x ◦ e=x

x + e + 2= x

e= x - x - 2

e= -2

c)Arat ca exista x '◦x= x◦x ' = e (∀ ¿x ∈ R

x ' ◦ x= e x ◦x '= e

x ' + x + 2= -2 x +x '+ 2= -2

x '= -2 –x -2 x '= -2 -x -2

x '=-x – 4 x '= -x -4

d) Arat ca x ◦ y= y ◦ x e (∀)x, y ∈ R

x ◦ y=x + y + 2

y ◦ x= z + x + 2

Legia este comutativa deoarece adunarea numerelor reale este comutativa si asociativa.

2. Pe multimea numerelor R: R →R se considera legia de compozitie:

x◦y=x+y+5. Sa se demonstreza ca:

a) Sa se arate ca legia este asociativa.

b) Sa se arate ca legia admite element neutru.

c) Sa se arate ca legia admite element simetric.

d) Sa se arate ca legia este comutativa.

6

a) Arat ca (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) (∀) x, y, z ∈ R

(x ◦ y) ◦ z = c ◦ z= a + c + 5= (x ◦ y)+ z + 5= (x + y + 5)+ z + 5= x + y + z + 10 (1)

x ◦ (y ◦ z)= x ◦ d= x+ d + 5= x + 5+ (y ◦ z) =x + 5+(y + z + 5)=x + y + 10 (2)


b) Arat ca axista e ∈ R asfel incat e ◦ x= x ◦ e =x, (∀)x ∈R

e ◦ x= x e= x - x -5

e + x + 5= x e= -5

x ◦ e=x

x + e + 5= x

e= x - x - 5

e= -5

c)Arat ca exista x '◦x= x◦x ' = e (∀ ¿x ∈ R

x ' ◦ x= e x ◦x '= e

x ' + x + 5= -5 x +x '+ 5= -5

x '= -5 –x -5 x '= -5 -x -5

x '=-x – 10 x '= -x -10

d) Arat ca x ◦ y= y ◦ x e (∀)x, y ∈ R

x ◦ y= x + y + 5

y ◦ x= z + x + 5

Legia este comutativa deoarece adunarea numerelor reale este comutativa si asociativa.

3. Pe multimea numerelor R: R →R se considera legia de compozitie:

x ◦ y =xy -3x -3y + 14. Sa se demonstreze:

7

a)Sa se arate ca x ◦ y=(x - 3)(y - 3) + 5

b)Stiind ca legia este asociativa sa se calculeze 1 ◦ 2 ◦ 3

c)Sa se rezolve in multimea numereleo R ecuatia x ◦ x= 9

a) (x-3)(y-3)+5=xy-3z -3y + 9 + 5= xy -3x -3y + 14

b) 1◦2◦3= 5

1 ◦ 2= 1 ⋅2- 3⋅1- 3⋅2+ 14= 2 - 3 - 6 + 14= 14 - 9=7

7 ◦ 3= 7⋅ 3 – 3 ⋅7- 3⋅3 + 14= 21 – 21 -9 + 14= 5

C) x ◦ x= 9

x⋅ x−3 x−3 x+14=9

x2 - 6x + 14 -9= 0

x2 - 6x + 5= 0

a = 1 ∆= b2−4 ac ∆= √∆=√16= 4

b = - 6 ∆=(−6)2−4 ⋅1 ⋅5

c= - 5 ∆= 36 - 20= 16

x1,2=¿ −b± √∆2a

¿

x1,2=¿

−(−6 )± 42

¿

x1=¿ 6+4

2¿=102 =5 S={1, 5}

x2=¿ 6−4

2¿= 22= 1

4. 3. Pe multimea numerelor R: R →R se considera legia de compozitie:

x ◦ y =x + y+ 3. Sa se demonstreze:

a) Sa se rezolve in multimea numereleo R ecuatia x ◦ x ◦ x= 12

b) Sa se demonstrezi ca legia ◦ este asociativa

c) Sa se demonstreze ca ( R, ◦) este grup comutativ

8

a) x ◦ x= x + x + 3=2x-3

(2x-3)◦ x =2x + 3 + x + 3= 3x + 6

3x + 6= 12

3x=12 - 6

3x= 6

x= 63= 2

b) Arat ca (x ◦ y) ◦ z =x ◦ (y ◦ z) (∀) x, y, z ∈ R

(x ◦ y) ◦ z = c ◦ z= a + c + 3= (x ◦ y)+ z + 3= (x + y + 3)+ z + 3= x + y + z + 6 (1)

x ◦ (y ◦ z)= x ◦ d= x+ d + 3= x + 3+ (y ◦ z) =x + 3+(y + z + 3)=x + y + 6 (2)


c) {x∈Ry∈ R rezulta ca x ◦ y =x + y+ 3 ∈ R pentru ca adunarea numerelor reale

este operatiune interna.

Legia este asociativa de la punctul b

Arat ca axista e ∈ R asfel incat e ◦ x= x ◦ e =x, (∀)x ∈R

e ◦ x= x e= x - x -3

e + x + 3= x e= -3

x ◦ e=x

x + e + 3= x

e= x - x - 3

e= -3

Arat ca exista x '◦x= x◦x ' = e (∀ ¿x ∈ R

x ' ◦ x= e x ◦x '= e

x ' + x + 3= -3 x +x '+ 3= -3

x '= -3 –x -3 x '= -3 -x -3

9

x '=-x – 6 x '= -x -6

Cuprins

10

1. Legi de compozitie.............................................................2

2. Proprietatile unei legi de compozitie.................................3

3. Structuri algebrice..............................................................4

4. Exerciti................................................................................5

Bibliografie

11

1. Manual de Matematica M2 clasa a XII a, editura CARMINIS, autori Marisu si Georgeta Burtea.

2. Caietul de clasa

3. Internet

12

documentm

Documents