m4-soaljawab un matipa2006.pdf
TRANSCRIPT
www.belajar-matematika.com 1
SOAL DAN PEMBAHASAN
UJIAN NASIONAL
SMA/MA IPA
TAHUN PELAJARAN 2005/2006
1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180m 2 . Jika perbandingan panjang dan
lebarnya sama dengan 5 berbanding 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah….
A. 9m C. 6 41 m E. 81 m
B. 3 41 m D. 9 41 m
Jawab:
? l
p
L = p x l = 180 m 2
Panjang diagonal = 22 lp +
p : l = 5 : 4 � p = 4
5 l
p x l = 4
5 l l=
4
5 l
2 = 180
l2 =
5
4.180 =
5
720 = 144
l = 144 = 12
p = 4
5 l =
4
5. 12 = 15
maka panjang diagonal = 22 1215 + = 144225 + = 369 = 41.9 = 3 41.
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 2
2. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi
panjang yang luasnya 180m 2 . Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3m. Di sekeliling kolam
dibuat jalan selebar 2m. Maka luas jalan tersebut adalah…
A. 24m 2 C. 68m 2 E. 124m 2
B. 54m 2 D. 108m 2
Jawab:
2m 2m
2m
Kolam renang
2m
Luas jalan = Luas area – Luas kolam
Luas area = panjang area x lebar area
panjang area = 2 + 2 + panjang kolam
lebar area = 2 + 2 + lebar kolam
cari panjang kolam dan lear kolam:
Luas kolam = 180 m 2
Panjang kolam(pk) = Lebar kolam(lk) + 3
Luas kolam = panjang kolam x lebar kolam
= (lk + 3). (lk)
= lk 2 + 3 lk = 180
lk 2 + 3 lk – 180 = 0
(lk+15)(lk-12)= 0
lk = -15 (tidak berlaku) atau lk =12
nilai lk = 12
pk = lk+3
= 12 + 3 = 15
panjang area = 4 + 15 = 19
lebar area = 4 + 12 = 16
Luas area = 19 . 16 = 304
Luas jalan = 304 – 180 = 124 m 2
Jawabannya adalah E
www.belajar-matematika.com 3
3. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp. 70.000,00, dan harga 1 kg mangga, 2 kg
jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp. 90.000,00, jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur
Rp. 130.000,00, maka harga 1 kg jeruk adalah….
A. Rp. 5000,00 C. Rp.10.000,00 E. Rp.15.000,00
B. Rp. 7500,00 D. Rp.12.000,00
Jawab:
misal : x = mangga ; y = jeruk ; z = anggur
2 x + 2 y + z = 70000 …… (1)
x + 2 y + 2z = 90000 …… (2)
2 x + 2 y + 3 z = 130000 …… (3)
ditanya x =..?
subst (1) dan (2)
eliminasi x:
2 x + 2 y + z = 70000 x 1 2 x + 2 y + z = 70000
x + 2 y + 2z = 90000 x 2 2x + 4y + 4z = 180000 -
- 2y – 3 z = - 110000 ⇔ 2y + 3z = 110000…… (4)
subs (1) dan (3)
eliminasi x:
2 x + 2 y + z = 70000
2 x + 2 y + 3 z = 130000 -
-2 z = -60000 ⇔ 2z = 60000
z = 30000
masukkan ke dalam pers (4)
2y + 3z = 110000
2y + 3. 30000 = 110000
2y = 110000 – 90000
2y = 20000
y = 10000
masukkan nilai x dan y ke dalam pers (1) :
2 x + 2 y + z = 70000 ⇒ 2x + 2 . 10000 + 30000 = 70000
2x = 70000 – 50000
2x = 20000
x = Rp. 10.000,00
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 4
4. Dari argumentasi berikut:
Jika Ibu tidak pergi maka adik senang
Jika adik senang maka dia tersenyum
Kesimpulan yang sah adalah:
A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum
C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
E. Ibu pergi atau adik tersenyum
Jawab:
p = ibu tidak pergi
q = adik senang
r = adik tersenyum
premis 1 : p ⇒ q
premis 2: q ⇒ r Modus silogisme
∴ p ⇒ r
kesimpulannya adalah ibu tidak pergi maka adik tersemyum
tetapi jawabannya tidak ada di atas maka cari ekuivalensinya:
Ekuivalensi : p⇒q = ~q⇒~p = ~p ∨ q
Identik dengan p⇒ r = ~r⇒~p = ~p ∨ r
ekuivalensinya adalah ~p ∨ r
yang berarti ibu pergi atau adik tersenyum
Jawabannya adalah E
(⇒ � maka, ∧ � dan, ∨ � atau)
5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044 0 sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi
dengan arah 104 0 sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah…
A. 10 95 km C. 10 85 km E. 10 61 km
B. 10 91 km D. 10 71 km
Jawab:
180 0 - 44 0 = 136 0
U
U
B
104 0 γ
044 0
C
A
www.belajar-matematika.com 5
γ = 360 0 - 104 0 - 136 0 = 120 0
B
40 km
50 km 120 0
A C
Aturan cosinus
C
b γ a
α β
A c B
2c = 2a + 2b - 2ab cos γ
AC 2 = BC 2 + AB 2 - 2 BC. AB cos 120 0
= 40 2 + 50 2 - 2 . 40. 50 .( - 2
1)
= 1600 + 2500 + 2000
= 6100
AC = 6100 = 61 . 100 = 10 61 km
Jawabannya adalah E
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut:
(1) AH dan BE berpotongan
(2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD
(3) DF tegak lurus bidang ACH
(4) AG dan DF bersilangan
yang benar adalah nomor…
A. (1) dan (2) saja C. (3) dan (4) saja E. (2) dan (4) saja
B. (2) dan (3) saja D. (1) dan (3) saja
www.belajar-matematika.com 6
Jawab:
H G
E F
P
D C
A B
Perhatikan gambar:
untuk kondisi 1
AH dan BE tidak berpotongan karena AH dan BE tidak terletak pada bidang yang terpisah
Untuk kondisi 2
AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD adalah benar
tarik salah satu titik dari gris AH yang berada di luar bidang ABCD yaitu titik H ke bidang ABCD
yang membentuk siku –siku ke ujung titik yang lain (titik A), kemudian tarik titik tersebut didapat
garis AD
untuk kondisi 3.
DF tegak lurus bidang ACH d titik P (titik berat ∆ ACH)
Untuk kondisi 4
terlihat pada gambar bahwa garis AG dan DF bersilangan, karena masing-masing merupakan garis
diagonal ruang yang saling berpotongan
Penyataan 2, 3 dan 4 benar
Tidak ada jawaban yang tepat
7. Diketahui bidang empat beraturam ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang
ABC dan bidang ABD adalah…..
A. 3
1 C. 3
3
1 E. 2
2
1
B. 2
1 D.
3
2
www.belajar-matematika.com 7
Jawab:
D
8cm
α C
A O B
∠ (ABC,ABD)= ∠COD
OD =OC = 22 OBBD − ; OB = 2
1 AB =
2
1 . 8 = 4
= 22 48 − = 1664 − = 48 = 4 3
Aturan cosinus:
CD 2 = OC 2 + OD 2 - 2 OC.OD cos α
2 OC.OD cos α = OC 2 + OD 2 - CD 2
cos α = ODOC
CDODOC
..2
222 −+
= 3.4.3.4.2
8)34()34( 222 −+
=3.32
644848 −+
= 3.32
32 =
3
1
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com 8
8. Perhatikan gambar berikut :
f
10
8
6
4
49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 Berat badan (kg)
Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar . Rataan berat
badan tersebut adalah:
A. 64.5 kg C 65.5 kg E. 66.5 kg.
B. 65 kg D. 66 kg
Jawab:
tabel distribusi frekuensi:
Rata-rata = x = ∑
∑i
ii
f
xf =
40
2600= 65 kg
Jawabannya adalah B
9. A, B , C dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan
adalah….
A. 12
1 C.
3
1 E.
3
2
B. 6
1 D.
2
1
Berat badan Frekuensi ( fi ) Nilai Tengah (xi) fi.xi
50 - 54 4 52 208
55 - 59 6 57 342
60 - 64 8 62 496
65 - 69 10 67 670
70 - 74 8 72 576
75 - 79 4 77 308
Σ 40 387 2600
www.belajar-matematika.com 9
Jawab:
P(A) = )(
)(
Sn
An
n(S) = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 � terdapat posisi yang akan ditempati oleh A, B, C, D
posisi pertama bisa ditempati oleh semuanya (4 posisi)
posisi kedua bisa ditempati oleh 4 - 1 = 3
(1 posisi sudah menempati posisi pertama )
posisi ketiga bisa ditempati oleh 4 – 2 = 2
posisi keempat bisa ditempati oleh 4 – 3 = 1
mencari n )(A
Banyaknya susunan A dan B selalu berdampingan:
A dan B selalu berdampingan pada posisi I dan II
I II III IV
2 1 2 1
Banyaknya susunan = 2 . 1. 2. 1 = 4
A dan B selalu berdampingan pada posisi II dan III
Banyaknya susunan = 2 . 2. 1. 1 = 4
A dan B selalu berdampingan pada posisi III dan IV
Banyaknya susunan = 2 . 1. 2. 1 = 4
Banyaknya susunan A dan B selalu berdampingan adalah: 4 + 4 + 4 = 12
Maka peluang A dan B selalu berdampingan adalah :
P(A|B) = )(
)|(
Sn
BAn =
24
12 =
2
1
Jawabannya adalah D
I II III IV
2 2 1 1
I II III IV
2 1 2 1
www.belajar-matematika.com 10
10. Nilai sin 105 0 + cos 15 0 =….
A. )26(2
1−− C. )26(
2
1− E. )26(
2
1+
B. )23(2
1− D. )23(
2
1+
Jawab:
Sin (90 0 + θ ) = cos θ
sin 105 0 + cos 15 0 = sin (90 0 + 15 0 ) + cos 15 0
= cos 15 0+ cos 15 0
= 2 cos 15 0
= 2 cos (45 0 - 30 0 )
= 2 { cos 45 0 cos 30 0 + sin 45 0 Sin 30 0}
= 2 . { 22
1 , 32
1 + 2
2
1 . 2
1 }
= 2 . { 64
1 + 2
4
1 }
= 62
1 + 2
2
1 =
2
1{ 6 + 2 }
Jawabannya adalah E
11. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah…..
A. 4x – y – 18 = 0 C. 4x – y + 10 = 0 E. . 4x + y – 15 = 0
B. 4x – y + 4 = 0 D. 4x + y – 4 = 0
Jawab:
Persamaan umum lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Dari persamaan lingkaran x 2 + y 2 - 2x – 6y – 7 = 0
didapat A = -2 ; B = -6 dan C = - 7
Lingkaran menyinggung persamaan garis di titik yang berabsis 5 atau x = 5 maka :
masukkan nilai x= 5 ke dalam pers lingkaran :
5 2 + y 2 - 2.5 – 6y – 7 = 0
25 + y 2 - 10 – 6y – 7 = 0
y 2 - 6y + 8 = 0
(y - 4) (y - 2) = 0
y = 4 atau y = 2
maka titik singgungnya didapat (5,4) dan (5,2)
www.belajar-matematika.com 11
Persamaan garis singgung melalui titik (x 1 , y1 ) pada lingkaran x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah:
x . x 1 + y. y1 + 2
1 A (x + x 1 ) +
2
1B ( y + y1 ) + C =0
- Persamaan garis singgung melalui titik (5, 4)
⇔ 5x + 4y + 2
1(-2) (x + 5) +
2
1(-6) ( y + 4) -7 = 0
⇔ 5x + 4y - (x + 5) -3 ( y + 4) -7 = 0
⇔ 5x + 4y – x - 5 -3 y -12 -7 = 0
⇔ 4x + y – 24 = 0
- Persamaan garis singgung melalui titik (5, 2)
⇔ 5x + 2y + 2
1(-2) (x + 5) +
2
1(-6) ( y + 2) -7 = 0
⇔ 5x + 2y - (x + 5) -3 ( y + 2) -7 = 0
⇔ 5x + 2y – x - 5 -3 y -6 -7 = 0
⇔ 4x - y – 18 = 0
Jawaban yang tersedia adalah A
12. Sebuah peluru ditembakkan vertical ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t
detik dinyatakan dengan fungsi h(t)= 100 + 40t – 4t 2 . tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru
tersebut adalah….
A. 160 m C. 340m E. 800 m
B. 200 m D. 400 m
Jawab:
Tinggi maksimum dicapai apabila h ' (t) = 0
h(t)= 100 + 40t – 4t 2 .
h ' (t) = 40 – 8t = 0
40 = 8.t
t = 8
40= 5 detik
www.belajar-matematika.com 12
tingggi maksimum dicapai pada t = 5
h (5) = 100 + 40 . 5 – 4 . 5 2
= 100 + 200 – 100
= 200 m
Jawabannya adalah B
13. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung sumbu x
negatif dan sumbu y negatif adalah…
A. x 2 + y 2 + 4x + 4y + 4 = 0 D. x 2 + y 2 - 4x - 4y + 4 = 0
B. x 2 + y 2 + 4x + 4y + 8 = 0 E. x 2 + y 2 - 2x - 2y + 4 = 0
C. x 2 + y 2 + 2x + 2y + 4 = 0
Jawab:
menyinggung sumbu x negatif dan y negatif maka lingkaran berada di kuadran III :
-a
r
(-a, -b) -b
r
Pusat lingkaran adalah (-a, -b)
Terlihat pada gambar bahwa r = |-a | = a atau r = |-b | = b � a = b
Pusat lingkaran yaitu titik (-a, -b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 maka
masukkan nilai –a dan –b dimana a = b
2 .( –a) – 4 .( -a) – 4 = -2a + 4a – 4 = 0
2a – 4 = 0
2a = 4
a = 2 maka b = 2
Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
Maka persamaan lingkaran dengan pusat (-2,-2) dan berjari-jari 2 adalah
(x – (-2)) 2 + (y – (-2)) 2 = 2 2
⇔ (x + 2) 2 + (y +2) 2 = 2 2
⇔ x 2 + 4x + 4 + y 2 + 4 y + 4 = 4
⇔ x 2 + y 2 + 4x + 4y + 4 = 0
Jawabannya adalah A
www.belajar-matematika.com 13
14. Nilai xx
x
x sincos
2cos
4
lim
−→π = …
A. 0 C. 1 E. ~
B. 22
1 D. 2
Jawab:
Bentuk tak tentu 0
0 dapat diselesaikan dengan faktorisasi atau L’Hospital:
Cara 1 : Faktorisasi
xx
x
x sincos
2cos
4
lim
−→π =
xx
x
x sincos
2cos
4
lim
−→π
xx
xx
sincos
sincos
++
= xx
xxx
x 22 sincos
)sin(cos2cos
4
lim
−
+→
π ; ingat � cos 2A = 2cos A - 2sin A
= x
xxx
x 2cos
)sin(cos2cos
4
lim +→
π
= )sin(cos
4
limxx
x+→
π
= 4
sin4
cosππ
+ = cos 45 0+ sin 45 0
= 22
1 + 2
2
1 = 2
Cara 2 : L’Hospital
xx
x
x sincos
2cos
4
lim
−→π =
xx
x
cossin
.2sin2
−−−
=
4cos
4sin
.4
2sin2
ππ
π
−−
−
=
4cos
4sin
.2
sin2
ππ
π
−−
−
=
22
12
2
1
.1.2
−−
− =
2
.2
−
− =
2
2
2
2 =
2
22 = 2
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com 14
15. Turunan pertama dari f(x)= sin ( )23 24 −x adalah f ' (x)=…
A. 2 sin 2 ( )23 2 −x sin ( )46 2 −x
B. 12x sin 2 ( )23 2 −x sin ( )46 2 −x .
C. 12x sin 2 ( )23 2 −x cos ( )46 2 −x
D. 24x sin 3 ( )23 2 −x cos 2 ( )23 2 −x
E. 24x sin 3 ( )23 2 −x cos ( )23 2 −x
Jawab:
f ' (x)= 4 sin ( )23 23 −x cos ( )23 2 −x . 6x
= 24x sin ( )23 23 −x cos ( )23 2 −x � jawabannya adalah E
Tetapi hasilnya setelah dijabarkan menjadi:
24x sin ( )23 23 −x cos ( )23 2 −x = 12x sin ( )23 22 −x .2 sin ( )23 2 −x cos ( )23 2 −x ;
ingat sin 2A = 2 sin A cosA
= 12x sin ( )23 22 −x .sin 2 ( )23 2 −x
= 12x sin ( )23 22 −x .sin ( )46 2 −x � Jawabannya adalah B
Kita tidak boleh memilih 2 jawaban, maka saya menyarankan untuk memilih jawaban yang pertama
saja yaitu E
16. Persamaan garis singgung kurva y = 3 5 x+ di titik dengan absis 3 adalah….
A. x – 12 y + 21 = 0 C. x – 12 y + 27 = 0 E. x – 12 y + 27 = 0
B. x – 12 y + 23 = 0 D. x – 12 y + 34 = 0
Jawab:
cari titik singgungnya dengan memasukkan nilai absis atau x = 3
y = 3 5 x+ = 3 35 + = 3 8 = 2
didapat titik singgungnya (3,2)
y = (5+x) 3
1
gradien = m = y ' = 3
1 (5+x) − 3
2
= 3 2)5(3
1
x+
www.belajar-matematika.com 15
masukkan nilai x = 3 � 3 2)5(3
1
x+ =
3 2)35(.3
1
+ =
3 64.3
1 =
33 8.8.3
1
= 2.2.3
1 =
12
1
persamaan garis singgung di titik (a,b) adalah:
y – b = m (x-a)
persamaan garis singgung di titik (3,2) adalah
y – 2 = 12
1( x - 3) � dikalikan 12
⇔ 12y – 24 = x – 3
⇔ x – 12y + 21 = 0
Jawabannya adalah A
17. Suatu pekerjaan dapat deselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + x
2000) ribu rupiah per hari.
Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah….
A. Rp. 200.000.00 C. Rp. 560.000.00 E. Rp. 800.000.00
B. Rp. 400.000.00 D. Rp. 600.000.00
Jawab:
Biaya=B(x) = (4x – 160 + x
2000).x
= 4x 2 - 160x + 2000
Agar biaya minimum maka B '= 0
B ' (x) = 8x – 160 = 0
8x = 160
x = 20
masukkan nilai x = 20 pada B menjadi:
B(20) = 4 . 20 2 - 160 . 20 + 2000
= 4 . 400 – 3200 + 2000
= 1600 – 3200 + 2000
= 400
Karena nilainya dalam ribuan maka biaya minimumnya adalah 400 x 1000 = Rp.400.000,-
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 16
18. Nilai ∫ =π
0
...cos2sin xdxx
A. - 3
4 C.
3
1 E.
3
4
B. - 3
1 D.
3
2
Jawab:
∫ =π
0
cos2sin xdxx ∫π
0
2cossin2 xdxx ; sin 2A = 2 sin A cosA
= - ∫π
0
2 cos.cos2 xdx = -2. 3
1cos x3
π
0
|= -
3
2cos x3
π
0
|
= - 3
2{(-1) 3 -1} = -
3
2{-2} =
3
4
Jawabannya adalah E
19. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x 2 + 1 dan y = x + 3, diputar
mengelilingi sumbu x adalah….
A. π5
67 satuan volum C. π
5
117 satuan volum E. π
5
183 satuan volum
B. π5
107 satuan volum D. π
5
133 satuan volum
Jawab:
www.belajar-matematika.com 17
y 1 = x2 + 1
y 2 = x + 3
V = π ∫ −b
a
dxyy ).(2
1
2
2
Titik potong kurva dan garis:
y 1 = y 2
x 2 + 1 = x + 3
x 2 -x - 2 = 0
(x-2)(x + 1) = 0
x =2 dan x = -1
titik batas atasnya 2 dan titik batas bawahnya -1
V = π ∫−
+−+2
1
222 }.)1()3{( dxxx
= π ∫−
++−++2
1
242 )}.12(96{ dxxxxx
= π ∫−
−−−++2
1
242 ).1296( dxxxxx
= π ∫−
++−−2
1
24 ).86( dxxxx
=π {- xxxx 833
1
5
1 235 ++− }
2
1
|−
= π {- )12(8)14(3)18(3
1)132(
5
1++−++−+ }
= π (-5
33 – 3 +9 + 24) = π (
5
33− + 30) =
5
15033+− = π
5
117
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 18
20. Perhatikan gambar berikut!
Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah…
A. 3
2 satuan luas C. 5
3
1 satuan luas E. 9 satuan luas
B. 3 satuan luas D. 6 3
2 satuan luas
Jawab:
y 1 = -x2 + 6x – 5
y 2 = x2 - 4x + 3
titik potong kurva :
y 1 = y 2
-x 2 + 6x – 5 = x 2 - 4x + 3
x 2 + x 2 -6x - 4x + 5 + 3 = 0
2x 2 - 10x + 8 = 0 � dibagi 2
x 2 - 5x + 4 = 0
(x- 4)(x-1) = 0
x= 4 atau x = 1
x = 4 merupakan titik potong tetapi bukan menjadi batas karena batasnya sudah ditentukan dengan x =
3 sebagai batas atasnya
x = 1 merupakan batas bawah
www.belajar-matematika.com 19
L= dxyy
b
a
)( 21∫ −
= dxxxxx )}34(56{
3
1
22∫ +−−−+−
= dxxxxx )}3456{
3
1
22∫ −+−−+−
= dxxx )}8102{
3
1
2∫ −+−
= xxx 853
2 23 −+−
3
1
|
= )13(8)19(5)127(3
2−−−+−−
= -3
52 + 40 – 16
= 3
7252 +− =
3
20 = 6
3
2 satuan luas
Jawabannya adalah D
21. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang
tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang
tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg.
Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang
diperoleh adalah…..
A. Rp.150.000,00 C. Rp.192.000,00 E. Rp.216.000,00
B. Rp.180.000,00 D. Rp.204.000,00
Jawab:
Misal : x = mangga ; y = pisang
Model matematikanya:
x ≥ 0 ; y≥0
8000x + 6000y ≤ 1200.000 � dibagi 2000
⇔ 4x + 3y ≤ 600 ….(1)
x + y ≤ 180 ….(2)
Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200
Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000
Laba maksimum = 1200x + 1000y
www.belajar-matematika.com 20
200
180
(60,120)
150 180
Titik potong:
Dari pers (1) dan (2)
eliminasi x
4x + 3y = 600 x1 ⇒ 4x + 3y = 600
x + y = 180 x4 ⇒ 4x + 4y = 720 -
- y = - 120
y = 120
x + y = 180
x = 180 – 120 = 60
titik potong = (60,120)
Titik pojok 1200x + 1000y
(0, 0) 0
(150, 0) 180.000
(60, 120) 192.000
(0, 180) 180.000
Laba maksimum adalah 192.000
Jawabannya adalah C
22. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin
muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11
buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah…
A. 60 buah C. 70 buah E. 80 buah
B. 65 buah D.75 buah
www.belajar-matematika.com 21
Jawab:
U n = a + (n-1) b
U 2 = 11 = a + b
U 4 = 19 = a + 3b
a + 3b = 19
a + b = 11 -
2b = 8
b = 4
a + b = 11
a = 11 – 4
= 7
S n =2
n(2a +(n-1) b)
S 5 = 2
5(2.7 +4.4)
= 2
5(30) = 75
Jawabannya adalah D
23. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4
3 kali tinggi
sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah…..
A. 65 m C. 75 m E. 80 m
B. 70 m D. 77 m
Jawab:
10 m 2
17
2
17
8
55
8
55
www.belajar-matematika.com 22
Jumlah seluruh lintasan = 10m + S ∞ naik + S ∞ turun � S ∞ naik = S ∞ turun
= 10 m + 2 S ∞
a = 2
17 ; a bukan 10, karena deret terjadi mulanya pada
2
17
r =
2
158
45
= 8
45.15
2 =
15
45
8
2 =
4
13 =
4
3
S ∞ = r
a
−1 =
4
31
2
17
− =
4
12
17
= 2
15.4 = 30
Jumlah seluruh lintasan = 10 m + 2 S ∞ = 10 m + 2. 30m = 70 m
Jawabannya adalah B
24. Diketahui matrik A =
52
03, B =
−
1
1
y
x dan C =
−
−
515
10, A t adalah transpose dari A
Jika A t . B = C maka nilai 2x + y =…
A. – 4 C. 1 E. 7
B. – 1 D. 5
Jawab:
A =
52
03 � A t =
50
23
A t . B = C
50
23.
−
1
1
y
x =
−
−
515
10
3x + 2y = 0
5 y = -15
y = -3
3x + 2y = 0
3x + 2(-3) = 0
3x – 6 = 0
3x = 6
x =2
maka nilai 2x + y = 2.2 - 3 = 1
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 23
25. Diketahui |a | = 2 ; |b | = 9 dan | a + b | = 5 .
Besar sudut antara vector a dan vector b adalah….
A. 45 0 C. 120 0 E. 150 0
B. 60 0 D. 135 0
Jawab:
cos θ = ||.||
..
ba
ba � besar sudut antara vektor a dan vektor b
| a | dan |b | diketahui, ba . belum diketahui, dicari dengan cara sbb
besar sudut antara vektor a dan vektor a adalah 0 0
Cos θ = ||.||
..
aa
aa� aa = |a | . | a | . Cos θ
= 2 2 . 1 = 2
besar sudut antara vektor b dan vektor b adalah 0 0
cos θ = ||.||
..
bb
bb� bb = |b | . |b | . Cos θ
= 9 9 . 1 = 9
besar sudut antara vektor ba + dan vektor ba + adalah 0 0
cos θ = ||.||
)).(...(
baba
baba
++
++� )).(...( baba ++ = ||.|| baba ++ . Cos θ
= 5 . 5 . 1 = 5
)).(...( baba ++ = aa + ba . + ab + bb
5 = aa + 2 ba . + bb
5 = 2 + 2 ba . + 9
2 ba . = 5 – 11 = -6
ba . = - 3
Maka: cos θ = ||.||
..
ba
ba =
9.2
3−=
.23
3− =
.2
1− = 2
2
1−
www.belajar-matematika.com 24
θ = 180 0 - 45 0 = 135 0 atau
θ = 360 0 - 45 0 = 315 0
Karena θ merupakan sudut lancip maka nilai θ yang berlaku adalah 135 0
Jawabannya adalah D
26. Diketahui vector a = 3 i - 4 j - 4 k , b = 2 i - j + 3 k dan c = 4 i - 3 j + 5 k
Panjang proyeksi vector (a + b ) pada c adalah….
A. 3 2 C. 5 2 E. 7 2
B. 4 2 D. 6 2
Jawab:
Panjang proyeksi vector (a + b ) pada c = d = ||
).(
c
cba +
(a + b ) = (3+2) i + (- 4 - 1) j + (- 4+3) k
= 5 i - 5 j - k
d = ||
).(
c
cba + =
222 5)3(4
)5.1()3.5()4.5(
+−+
−+−−+
= 25916
5.1520
++
−+ =
50
30 =
25
30 = 6 2
Jawabannya adalah D
27. Persamaan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks
− 31
02 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah….
A. 3x + 2y – 30 = 0 C. 7x + 3y + 30 = 0 E. 11x - 2y + 30 = 0
B. 6x + 12y – 5 = 0 D. 11x + 2y – 30 = 0
Jawab:
pencerminan terhadap sumbu Y =
−
10
01
transformasi dengan
− 31
02 dilanjutkan terhadap sumbu Y =
'
'
y
x =
−
10
01
− 31
02
y
x
'
'
y
x=
−
−
31
02
y
x
www.belajar-matematika.com 25
x ' = - 2 x � x = 2
1− x '
y ' = -x + 3y � 3y = x + y '
y = x3
1+
3
1y '
masukkan nilai x = 2
1− x ' menjadi y =
3
1(
2
1− x ' )+
3
1y '
= 3
1y ' -
6
1 x '
Masukkan nilai-nilai tesebut ke dalam persamaan garis awal:
4x – y + 5 = 0 � 4 . (2
1− x ' ) – {
3
1y ' -
6
1 x ' }+ 5 = 0
⇔ - 2 x ' - 3
1y ' +
6
1 x ' + 5 = 0
⇔ 6
12 '' xx +− -
3
1y ' + 5 = 0
⇔ - 6
11x ' -
3
1y ' + 5 = 0 � dikalikan -6
⇔ 11 x ' + 2 y ' - 30 = 0
Jawabannya adalah D
28. Akar-akar persamaan 0183.203.2 24 =+− xx adalah x 1 dan x 2 . Nilai x 1+ x 2 =
A. 0 C. 2 E. 4
B. 1 D. 3
Jawab:
Misal y = 3 x2 � 3 x4 = (3 x2 ) 2 = y 2
0183.203.2 24 =+− xx
⇔ 2 y 2 - 20.y + 18 = 0
⇔ ( 2y – 2 ) ( y – 9 ) = 0
2y = 2
y = 1 � 3 x2 = 1
x = 0
y = 9 � 3 x2 = 9
2x = 2
x = 1
Didapat x 1 = 0 dan x 2 = 1 maka x 1+ x 2 = 0 + 1 = 1
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 26
29. Nilai x yang memenuhi persamaan ( ) xx log132loglog 2122 +=++ adalah….
A. 3log2 C. log3
2 E. 8 atau
2
1
B. 2log3 D. -1 atau 3
Jawab:
( ) xx log132loglog 2122 +=++
⇔ ( ) =++ 32loglog 122 x 2log2 + xlog2
⇔ ( ) =++ 32loglog 122 x x2log2
⇔ ( ) =++ 32log 12 x x2
⇔ ( ) =++ 32log 12 x x22 2log
⇔ 2 31++x = x22
⇔ x22 - 2.2 x 3+ = 0
⇔ 2)2( x - 2.2 x 3+ = 0
Misal y = 2 x
Maka 2)2( x - 2.2 x 3+ = 0
⇔ y 2 - 2 y + 3 = 0
⇔ (y-3) (y+1) = 0
y = 3 � 2 x = 3
x = 3log2
y = - 1 � 2 x = -1 ; nilai x tidak ada yang memnuhi
x = 1log2 − � tidak memenuhi syarat
ba log � syarat b > 0
Maka jawabnya adalah x = 3log2
Jawabannya adalah A
30. Penyelesaian pertidaksamaan log (x-4) + log (x+8) < log (2x+16) adalah…
A. x > 6 C. 4< x < 6 E. 6 < x < 8
B. x > 8 D. -8 < x < 6
Jawab:
log (x-4) + log (x+8) < log (2x+16)
⇔ log (x-4) + log (x+8)- log (2x+16) < 0
www.belajar-matematika.com 27
⇔ log 162
)8)(4(
++−
x
xx< 0
⇔ log )8(2
)8)(4(
++−
x
xx< 0
⇔ log 2
)4( −x< 0
⇔ log 2
)4( −x< log1
⇔2
)4( −x< 1
⇔ 4−x < 2
⇔ x < 6
Syarat logaritma: ba log � syarat b > 0
Maka 2
)4( −x> 0
x -4 > 0
x > 4
Maka jawabannya adalah x> 4 dan x< 6 atau 4< x <6
Jawabannya adalah C