m36 1.6 rotation of axes
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1
1.6Rotation of Axes
2
x
y ,P x y
r
x
y
cos cos
sin sin
xx r
ry
y rr
3
x
y ,P x y
r
xy
,P x y
4
rx
y
x
y ,P x y
cos sinx r y r
5
cos sin
cos sin
cos cos sin sin
cos cos sin sin
cos sin
sin cos cos sin
sin cos cos sin
cos sin
x r y r
x r y r
x r
r r
x y
y r
r r
y x
6
2
2
2 2
cos sin
cos sin
cos sin
sin cos
cos cos sin cos
sin sin sin cos
cos sin cos sin
cos sin
x x y
y y x
x x y
y x y
x x y
y x y
x y x
x x y
7
2
2
2 2
cos sin
cos sin
cos sin
sin cos
sin sin cos sin
cos sin cos cos
cos sin sin cos
cos sin
x x y
y y x
x x y
y x y
x x y
y x y
x y y
y x y
8
Theorem
If , represents a point with respect to
a set of axes and , represents the same
point after the axes have been rotated through
an angle , then
cos sin
sin cos
x y P
x y
x x y
y x y
9
Theorem
2 2
2 2
If 0, the equation
0
can be transformed into the equation
0
where and are not both zero, by a
rotation of axes through an angle for which
cot 2 .
B
Ax Bxy Cy Dx Ey F
Ax Cy Dx Ey F
A C
A C
B
10
Second Degree Equations with xy Term
2 2Given 0,
i. Identify the appropriate angle of rotation
by solving cot 2 .
ii. Use the equations cos sin and
sin cos to transform the given
equation.
iii. Express the resulti
Ax Bxy Cy Dx Ey F
A C
Bx x y
y x y
ng equation in standard
form and identify its graph.
11
Example 2.5.1
Identify and sketch the graph of 1.
i. 0 1 0
cot 2
cot 2 0
22
4
xy
A B C
A C
B
12
4
ii. cos sin4 4
2 2
2 2
2
2
sin cos4 4
x x y
x y
x y
y x y
2 2
2 2
2
2
x y
x y
13
2 2
2 2
2 21
2 2iii. 1
2 21
2 2
11
2
12 2
Therefore, the graph is a hyperbola.
xy x x y y x y
xy
x y x y
x y
x y
14
4
12 2
x y
xy
x
y
4
15
Theorem
2 2
2
2
2
If the graph of
0
is a conic, then it is
i. a parabola if 4 0
ii. an ellipse if 4 0
iii. a hyperbola if 4 0
Ax Bxy Cy Dx Ey F
B AC
B AC
B AC
16
Example 2.5.2
2 2Identify and sketch the graph of 2 0
i. 1 2 1
cot 2 22
cot 2 04
2 2ii.
2 2
x xy y x y
A B C
A C
B
x x y y x y
17
2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 22 0
2 2
2 2 2iii. 2
2 2 2
2 2 20
2 2 2
1 12 2
2 2
2 20
2 2
x xy y x y x x y y x y
x y x y x y
x y x y x y
x xy y x y x xy y
x y x y
18
2 2 2 2 2 2
2 2
1 12 2
2 2
2 20
2 2
1 1 1 11 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 20
2 2 2 2
x xy y x y x xy y
x y x y
x xy y
x y
19
2 2
2
2
2
1 1 1 11 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 20
2 2 2 2
2 2 0
2
2
24
8
Therefore, the graph is a parabola.
x xy y
x y
y x
y x
y x
20
2
4
24
8y x
xy
x
y
4
21
Example 2.5.3
2Identify and sketch the graph of 3 1
i. 0 3 1
cot 2
1cot 2
32
23
3
xy y
A B C
A C
B
22
3
ii. cos sin3 3
1 3
2 2
13
2
x x y
x y
x y
sin cos3 3
3 1
2 2
13
2
y x y
x y
x y
23
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 13 1 3 3
2 2
1 1 1iii. 3 3 3 3 1
2 2 2
3 13 2 3 3 2 3 1
4 4
3 3 3 3 3 11
4 4 2 2 4 4
3 11
2 2
1 Therefore, the graph is a hyperbol2 2
3
xy y x x y y x y
x y x y x y
x xy y x xy y
x xy y
x y
x y
a.
24
2 2
3
12 2
3
x y
x
y
x
y
3
25
Exercises
Answer Exercises A.10 in TC7 (5-39)
On pageA-83 to A-34
Check your answers on A-190 to A-192
END