5. Determinante 

Determinanta n – tog reda  ( )n∈  je broj kojeg zapisujemo ovako: 

11 12 1

21 22 2

1 2

...

....

. . . ....

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

 

Pri tome su  ( ), 1,2,...,ija i j n= zadani realni ili kompleksni brojevi. 

Determinanta  drugog  reda  je  broj  ,a b

ad bcc d

= − pri  čemu  su  , , ,a b c d proizvoljne  realne  (ili  kompleksne) 

konstante. 

U pravougaonoj šemi a bc d

 kažemo da brojevi a  i b čine prvu vrstu (redak), a brojevi c  i d drugu vrstu (redak) 

determinante.  Za brojeve  a  i  c  kažemo da  čine prvu  kolonu  (stubac),  a  b  i  d  čine drugu  kolonu  (stubac)  date determinante. Za brojeve a i d kažemo da leže na glavnoj dijagonali, a za b i c da su na sporednoj dijagonali. Otuda možemo reći da je vrijednost determinante drugog reda jednaka razlici proizvoda brojeva na glavnoj i sporednoj dijagonali te determinante.  

Pojmovi vrste, kolone, glavne i sporedne dijagonale se analogno koriste i u determinantama višeg reda.  Elemente determinanti reda 3  i višeg označavaćemo sa dva  indeksa: prvi broj predstavlja redni broj vrste, a drugi  je redni broj kolone dotičnog elementa. Determinanta trećeg reda  ima tri vrste  i tri kolone, ali njeno računanje  je dosta komplikovanije od determinante drugog reda. Jedan način računanja ove determinante je tzv Sarusovo* pravilo. 

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 3 11 33 21 12

31 32 33 31 32

.a a a a a

D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a

= = + + − − −

 

* Pierre Frédéric Sarrus (1798. – 1861.) – francuski matematičar. 

Ovo pravilo je vrlo jednostavno i praktično za determinantu trećeg reda, ali se ne može koristiti za determinante 

višeg  reda.  Općenito  se  za  računanje  determinante  n  –  tog  reda  ( )3n ≥   koristi  tzv.  Laplasov*  razvoj 

determinante. 

* Pierre Simon Laplace (1749. – 1827.) – francuski matematičar. 

11 11 12 12 13 13D a A a A a A= + + − razvoj determinante D po prvoj vrsti 

12 11 22 22 32 32D a A a A a A= + + − razvoj determinante D po drugoj kolini, itd. 

Možemo  odabrati  bilo  koju  vrstu  ili  kolonu  determinante  i  vršiti  razvoj  po  toj  vrsti  ili  koloni.  Pri  tome  su 

11 12 33, ,...,A A A  brojevi koje zovemo kofaktori (algebarski komplementi), koje računamo ovako: 

( )

11

1 1 22 2311

32 33

1 ,

M

a aA

a a+= −   ( ) ( )

3312

1 2 3 321 23 11 1212 33

31 33 21 22

1 ,..., 1 .

MM

a a a aA A

a a a a+ += − = −  

( ), 1,2,3ijM i j =   je determinanta koju zovemo subdeterminantom  ili minorom determinante D. Dobije se  iz D 

križanjem i – te vrste i j – te kolone. Da bismo dobili kofaktor  ijA  iz minora  ,ijM  minor se treba pomnožiti sa 1 (tj. 

ij ijA M= )  ukoliko  je  zbir  indeksa  i j+   paran  broj,  a  sa  ( )1−   (tj.  ij ijA M= − )  ukoliko  je  zbir  indeksa  i j+  

neparan broj. Znači,  

22 23 21 23 21 2211 11 12 12 13 13 11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a aD a A a A a A a a a

a a a a a a= + + = − + =  

( ) ( ) ( )11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22 ,a a a a a a a a a a a a a a a= − − − + −   

a onda se lako uvjeravamo da je to isti rezultat dobijen Sarusovim pravilom. 

Za vježbu razvijte determinantu D po nekoj drugoj vrsti ili koloni i pokažite da se dobije isti rezultat! 

Naročito  je  značajno  da  se  Laplasovim  razvojem mogu  računati  i  determinante  čiji  je  red  veći  od  3.  Ako  u determinanti uočimo neku vrstu ili kolonu u kojoj ima nula, zgodno je razvijati determinantu upravo po toj vrsti ili koloni, jer se račun značajno ubrzava. 

Primjer: 

3 2 0 05 0 0 4 0 0

4 5 0 03 7 2 3 2 6 2 3

6 7 2 39 3 7 8 3 7

8 9 3 7

= − =   (razvili  smo determinantu po prvoj vrsti,  jer  imamo u njoj 

dvije nule; determinante trećeg reda koje smo dobili takođe imaju dvije nule u prvoj vrsti, pa ih razvijamo po toj 

vrsti) ( ) ( )3 5 14 9 2 4 14 9 75 40 35.= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = − =  

Da nismo imali ove 4 nule u determinanti, morali bismo računati determinantu preko 4 determinante trećeg reda, a svaku od njih preko tri determinante drugog reda. To znači da bismo ukupno morali izračunati 12 determinanti drugog reda.  

Osobine determinanti 

1. Ako su svi elementi jedne vrste ili kolone determinante nule, determinanta je jednaka nuli. 2. Ako su elementi u dvije vrste (kolone) determinante međusobno proporcionalni, determinanta je jednaka 

nuli. 3. Ako u determinanti zamjenimo mjesta dvjema vrstama (kolonama), ona će promijeniti znak. 4. Determinanta neće promijeniti svoju vrijednost ako se svim elementima neke njene vrste (kolone) dodaju 

odgovarajući elementi neke druge vrste (kolone), pomnoženi nekim brojem. 5. Determinanta se množi brojem tako da se svaki element jedne i samo jedne njene vrste (kolone) pomnoži 

tim brojem. 6. Ako  su  u  determinanti  svi  brojevi  iznad  ili  ispod  glavne  dijagonale  nula,  takvu  determinantu  zovemo 

trougaonom. Njena vrijednost jednaka je proizvodu brojeva na glavnoj dijagonali. 7. Determinanta neće promijeniti svoju vrijednost ako joj se zamijene vrste i kolone. 

 

 

 

 

Primjeri: 

a)  ( )2 1 3 2 1 34 3 8 3 2 0 17 10 17 7.1 0 5 1 0 5

v vII I− −

= − ⋅ = − = − − + = −− −

 

Odlučili smo se na razvijanje determinante po drugoj koloni, ali najprije su u  toj koloni obezbjeđene dvije nule. Takođe, bilo bi lako namjestiti dvije nule u trećoj vrsti, jer jednu nulu već imamo u toj vrsti, 

( )2 1 3 2 1 74 3 8 5 4 3 28 28 21 7.1 0 5 1 0 0

k kD III I−

= = + ⋅ = = − − = −− −

 

b) 

2 3 3 8 3 3 1 3 3 1 3 33 2 3 8 2 3 8 1 2 3 8 0 1 0 8 1 8.3 3 2 8 3 2 1 3 2 0 0 1

v vk k k

v v

II II II III

III I−

= + + = = ⋅ = = ⋅ − = ⋅ =−

− 

c) Izračunati determinantu: 2

2

1 1 2 31 2 2 32 3 1 52 3 1 9

xD

x

−=

−

, a zatim riješi nejednačinu  23( 4).D x< −  

( ) ( )2

2 2

2 22

1 1 2 31 2 3 1 2 3

0 1 0 01 2 1 5 1 0 3 1

2 3 1 52 1 9 0 3 3

2 3 1 9

xD x x

x xx

−= = − = − − − =

− − −−  

pa  ( )2 2 2 23( 4) 3( 4) 1 3( 4)D x x x x< − ⇒ − − < −  

( ) ( )2 2 2 23( 4) 1 1 0 3 4 0.x x x x⇒ − − − < ⇒ − − <  

Pošto je   23 0x− ≤  za sve  x∈ imamo da je  ( ) ( )2 24 0 4 2 , 2 2, .x x x x− > ⇒ > ⇒ > ⇒ ∈ −∞ − ∪ +∞  

d) Izračunati vrijednost determinante 

2 2

2 4

2

11

1 1D

ε εε εε

=  ako je 1 .

2iε +

=  

Oduzmimo drugu vrstu od treće: 

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2

22 4 4 2 4 4 4 4

4

1 11 1 1 1 1 1 .

0 1 0 0 1 0D

ε ε ε εε ε ε ε ε ε ε ε

ε= = − = − − − = − −

− 

Pošto je 

2 cos sin4 4 cos sin ,

4 42

ii

π ππ πε

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= = +  slijedi: 

( )24 cos 4 sin 4 cos sin 1 1 1 4.4 4

i i Dπ πε π π= ⋅ + ⋅ = + = − ⇒ = − + = −  

   

( )( ) ( )( )2 2 2 21 9 3 3 3 4 1 ,x x x x= − − + − = − −

Zadaci za vježbu:  

1. Izračunati determinante 

a) 

3 6 5 6 45 9 7 8 66 12 13 9 74 6 6 5 42 5 4 5 3

,     b) 

24 11 13 17 1951 13 32 40 46

,61 11 14 50 5662 20 7 13 5280 24 45 57 70  

c) 

4 3 4 6 24 4 3 2 6

6 2 2 6 1

i i ii i ii i

+ − −− − − −+ − −

 

     2.   Dokazati pomoću osobina determinanti da je 

a)  ( )32 2

2 2 .2 2

a b c a ab b c a b a b cc c c a b

− −− − = + +

− − 

b)  ( )( )( )( )

00

.0

0

x y zx z y

x y z x y z y z x x z yy z xz y x

= − + + + − + − + −  

c) 

22 2

2 2

2 2

00 .

0

b c ab ca c bab c a bc c aca bc a b b a

++ =

+ 

3. Riješiti nejednačinu: 

1 1 1 11 2 1 1

0.1 1 4 11 1 1 6

xx

x

−>

−−

  

4.  Izračunati vrijednost determinante  2

2

1 11 1 ,

1D

εε

ε ε=  ako je 

1 3 .2 2

iε = − +  

5.  Naći sve kompleksne brojeve z takve da je 

1 0 0 02 0 0

1.3 0 04 0 09 0 0 0

zz z

z zz z

z

−−

= −−−

−