CHUYÊN ĐÊ KHAO SAT VA VE ĐÔ THI HAM SÔ

(Cac bai toan vân dung va vân dung cao)

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 5

yx 3

trên đoạn 0;2 .

A. x 0;2

5min y

3 . B.

x 0;2

1min y

3 . C.

x 0;2min y 2

. D. x 0;2

min y 10

.

Hương dân

Hàm số 2x 5

yx 3

xác định và liên tục trên 0;2

2

2

x 1x 5 4 4y y x 3 y ' 1 , y ' 0

x 5x 3 x 3 x 3

Ta có 5 1

y 0 , y 23 5

. Vậy x 0;2

5min y

3 .

Chon A.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số 4 2 4y x 2mx 2m m có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. m 0 . B. 3m 3 . C. 3m 3 . D. m 3 .

Hương dân

TXĐ:

3

2

x 0D .y ' 4x 4mx, y ' 0

x m *

. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ

khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 0 . Khi đó tọa độ các điểm cực trị là:

4A 0;m 2m , 4 2 4 2B m;m m 2m ,C m;m m 2m

Theo YCBT, A, B, C lập thành tam giác đều 2 2 4AB AC

AB BC m m 4mAB BC

3 3m m 3 0 m 3 (vì m 0 ).

Chon B.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 2

4

x 2y

mx 3

có hai đường tiệm cận

ngang.

A. m 0 . B. m 0 . C. m 0 . D. m 3 .

Hương dân

Đồ thị hàm số 2

4

x 2y

mx 3

có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn

x xlim y a a , lim y b b

tồn tại. Ta có:

+ với m 0 ta nhận thấy x xlim y , lim y

suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận

ngang.

+ Với m 0 , khi đó hàm số có TXĐ 4 43 3

D ;m m

, khi đó x xlim y, lim y

không tồn tại

suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

+ Với m 0 , khi đó hàm số có TXĐ D suy ra

2

2 2

x x2 2

2 4

2 2x 1 11x xlim , lim

3 3 mx m x m

x x

suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang.

Vậy m 0 thỏa YCBT.

Chon C.

Câu 4: Cho hàm số 3x 1

yx 3

có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng

cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

A. 1 2M 1; 1 ;M 7;5 . B. 1 2M 1;1 ;M 7;5 .

C. 1 2M 1;1 ;M 7;5 . D. 1 2M 1;1 ;M 7; 5 .

Hương dân

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: 1 : x 3 0 và tiệm cận ngang 2 : y 3 0

Gọi 0 0M x ; y C với 00 0

0

3x 1y x 3

x 3

. Ta có:

1 2 0 0d M, 2.d M, x 3 2. y 3

2 00

0 0

00

x 13x 1x 3 2. 3 x 3 16

x 7x 3

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là 1M 1;1 và 2M 7;5

Chon C.

Câu 5: Cho hàm số y f x có tập xác định và liên tục trên R, và có đạo hàm cấp 1, cấp 2 tại

điểm x a . Xét các khẳng định sau:

1. Nếu f " a 0 thì a là điểm cực tiểu.

2. Nếu f " a 0 thì a là điểm cực đại.

3. Nếu f " a 0 thì a không phải là điểm cực trị của hàm số

Số khẳng định đúng là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Hương dân

- 1,2 sai vì còn cần có thêm f ' a 0

- Khẳng định 3 sai, ví dụ: cho hàm số 4 2f x x f " x 12x . Ta thấy f " 0 0 nhưng khi

vẽ bảng biến thiên ta thấy 0 là điểm cực trị.

Chon A.

Câu 6: Hàm số 2x m

yx 1

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng -1 khi:

A. m 1

m 1

. B.

m 3

m 3

. C. m 2 . D. m 3 .

Hương dân

2 22

min2

m 1x m 1 my y ' 0, x 1 y y 0 1 m 1

m 1x 1 x 1

Chon A.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của số thực m sao cho đồ thị hàm số 2

4xy

x 2mx 4

có 2 đường

tiệm cận.

A. m 2 . B. m 2 m 2 . C. m 2 . D. m 2 m 2 .

Hương dân

xlim y 0

suy ra đường thẳng y 0 là TCN.

Đồ thị hàm số có thêm một đường tiệm cận nữa khi phương trình 2x 2mx 4 0 có một

nghiệm, suy ra m 2 .

Chon B.

Câu 8: Đường thẳng d : y x 3 cắt đồ thị (C) của hàm số 4

y 2 xx

tại hai điểm. Gọi

1 2 1 2x , x x x là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số, tính 2 1y 3y .

A. 2 1y 3y 1 . B. 2 1y 3y 10 . C. 2 1y 3y 25 . D. 2 1y 3y 27 .

Hương dân

Phương trình hoành độ giao điểm:

1 12

2 2

x 1 y 242x x 3 x 0 x 3x 4 0

x 4 y 7x

Vậy 2 1y 3y 1 .

Chon A.

Câu 9: Cho hàm số 2

4 2

x 2x 3y

x 3x 2

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận ?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

Hương dân

Hàm số đã cho có tập xác định là D ; 2 1;1 2;

Ta có x xlim y 1, lim y 1

suy ra y 1, y 1 là các TCN,

x 1 x 1x 2 x 2

lim y , lim y , lim y , lim y

suy ra có 4 đường TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 6 đường tiệm cận.

Chon D.

Câu 10: Hai đồ thị y f x & y g x của hàm số cắt nhau tại đúng một điểm thuộc góc phần

tư thứ ba. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Phương trình f x g x có đúng một nghiệm âm.

B. Với 0x thỏa mãn 0 0 0f x g x 0 f x 0

C. Phương trình f x g x không có nghiệm trên 0;

D. A và C đúng.

Hương dân

- Góc phần tư thứ ba trên hệ trục tọa độ Oxy là tập hợp những điểm có tung độ và hoành độ âm.

- Đáp án đúng ở đây là đáp án D. Nghiệm của phương trình f x g x là hoành độ của giao

điểm, vì giao điểm nằm ở góc phần tứ thứ Ba nên có hoành độ âm nghĩa là phương trình có

nghiệm âm.

- Lưu ý cách xác định góc phần tư, ta xác định góc phần tư theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

và thỏa mãn góc phân tư thứ nhất là các điểm có tung độ và hoành độ dương: x, y 0

Chon D.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 4 2 4y x 2mx 2m m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

A. m 0 B. 3m 3 C. 3m 3 D. m 1

Hương dân

3 2

2

x 0y ' 4x 4mx 4x x m ; y ' 0

x m *

Hàm số có 3 cực trị * có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 loại đáp án A, C.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

4 4 2 4 2A 0;2m m ;B m;m m 2m ;C m;m m 2m

Vì 4AB AC m m nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó, tam giác ABC đều 4AB BC m m 4m

4 3

3

m 0 Lm 3m 0 m m 3 0

m 3

Chon B.

Câu 12: Cho hàm số 2y mcot x . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa 2m 4 0 và làm cho hàm

số đã cho đồng biến trên 0;4

A. Không có giá trị m B. m 2;2 \ 0 C. m 0;2 D. m 2;0

Hương dân

2m 4 0 2 m 2 1

Ta có 2 2

2mxy ' , x 0;

4sin x

, theo YCBT suy ra

2 2

2mx0, x 0; m 0 2

4sin x

Từ (1) và (2) suy ra m 2;0

Chon D.

Câu 13: Cho hàm số 4 2 2y x 2 m 1 x 1 1 . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1)

có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.

A. m 2 B. m 1 C. m 2 D. m 0

Hương dân

3 2y ' 4x 4 m 1 x

2

x 0y ' 0

x m 1

hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m

2

CTx m 1 giá trị cực tiểu 2

2

CTy m 1 1

Vì 2

2

CTm 1 1 y 0 2

CTmax y 0 m 1 1 m 0

Chon D.

Câu 14: Một khúc gỗ tròn hình trụ c n xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và

4 miếng phụ như hình vẽ. ãy ác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết

diện ngang là lớn nhất.

A. Rộng 34 3 2

d16

, dài

7 17d

4

B. Rộng

34 3 2d

15

, dài

7 17d

4

C. Rộng34 3 2

d14

, dài

7 17d

4

D. Rộng

34 3 2d

13

, dài

7 17d

4

Hương dân

Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng phụ lần lượt là x, y.

Đường kính của khúc gỗ là d khi đó tiết diện ngang của thanh xà có

độ dài cạnh là d

2 và

d 2 2 d0 x ,0 y

4 2

Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ theo định lý

Pitago ta có:

2

2 2 2 2d 12x y d y d 8x 4 2x

2 2

Do đó, miếng phụ có diện tích là: 2 21S x x d 8x 4 2dx

2 với

d 2 20 x

4

Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất.

2 2

2 2

2 2 2 2

1 x 8x 2 2d 16x 6 2dx dS' x d 8x 4 2x

2 2 d 8x 4 2dx 2 d 8x 4 2dx

2

2 2 x x 34 3 2S' x 0 16x 6 2dx d 0 16 6 2 1 0 x d

d d 16

Bảng biến thiên

x 0

34 3 2d

16

2 2d

4

y' + 0

y Smax

Vậy miếng phụ có kích thước 34 3 2 7 17

x d, y d16 4

.

Chon A.

Câu 15: Cho hàm số 2y x 2x a 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2;1

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a 3 B. a 2 C. a 1 D. Một giá trị khác

Hương dân

Ta có 22y x 2x a 4 x 1 a 5 . Đặt

2u x 1 khi đó x 2;1 thì u 0;4 Ta

được hàm số f u u a 5 . Khi đó

x 2;1 u 0;4Max y Max f u Max f 0 , f 4 Max a 5 ; a 1

Trường hợp 1:

u 0;4

a 5 a 1 a 3 Max f u 5 a 2 a 3

Trường hợp 2:

u 0;4

a 5 a 1 a 3 Max f u a 1 2 a 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của x 2;1

Max y 2 a 3

Chon A.

Câu 16: Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn: điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số 1

y1 x

sao cho

tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của hàm số là nhỏ nhất.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hương dân

Gọi 1

M a; C a 11 a

. Đồ thị (C) có TCN là: y 0 , TCĐ là: x 1

Khi đó M,TCD M,TCN

1d d a 1 2 a 1 1 a 0 a 2

1 a

. Vậy có 2 điểm thỏa

mãn.

Chon B.

Câu 17: Cho hàm số 3 2 2 2y x 3 m 1 x 3m 7m 1 x m 1 . Tìm tất cả các giá trị thực

của m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

A. 4

m3

B. m 4 C. m 0 D. m 1

Hương dân

TXĐ: 2 2

yD , y ' 3x 6 m 1 x 3m 7m 1 , ' 12 3m . Theo YCBT suy ra phương

trình y ' 0 có hai nghiệm 1 2x , x phân biệt thỏa

1 2

1 2

x x 1 1

x 1 x 2

y

1 2

m 4' 04 4

1 3.y ' 1 0 m m 1 m3 3

x xm 0m 1 1

2

4

2 3.y ' 1 0 m 13

Vậy m 1 thỏa mãn YCBT.

Chon D.

Câu 18: Cho hàm số x 1

y2 x

có đồ thị là (H) và đường thẳng d : y x a với a . Khi đó

khẳng định nào sau đây là khẳng định sai.

A. Tồn tại số thực a để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (H).

B. Tồn tại số thực a để đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

C. Tồn tại số thực a để đường thẳng (d) cắt đồ thị (H) tại duy nhất một điểm có hoành độ

nhỏ hơn 1.

D. Tồn tại số thực a để đường thẳng (d) không cắt đồ thị (H).

Hương dân

+) Với 5 a 1 thì đường thẳng (d) không cắt đò thị (H) => D đúng.

+) Với a 5 hoặc a 1 thì đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (H) => A đúng

+) Với a 5 a 1 thì đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt => B đúng

Chon C.

Câu 19: Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 22x x 1

yx 1

tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho 3

AB2

thì giá trị của m là:

A. m 1 B. m 0;m 10 C. m 2 D. m 1

Hương dân

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số:

2

22x x 1m 2x m 1 x m 1 0 *

x 1

(vì x 1 không phải là nghiệm của pt)

Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2x , x

2 2

m 9m 1 4.2. m 1 0 m 10m 9 0

m 1

Khi đó, tọa độ hai giao điểm là: 1 2A x ;m ,B x ;m

2

2 2 2

2 1 1 2 1 2

m 1AB x x m m x x 4x x 2 m 1

2

2

2m 03 m 1 3

AB 2 m 1 m 10m 0m 102 2 2

(thỏa mãn)

Chon B.

Câu 20: Một con cá hồi bơi ngược dòng ( từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi

sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h

thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức 3E v cv t trong đó c là hằng số

cho trước. E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao

ít nhất bằng:

A. 9 km/h B. 8 km/h C. 10 km/h D. 12 km/h

Hương dân

Thời gian cá bơi: 3 3300 300t E cv t cv .

v 6 v 6

Xét hàm số 3 300E cv .

v 6

v 6;

3 2

2

300.c.v 900cvE ' 0 v 9

v 6v 6

Bảng biến thiên:

x 6 9

E' 0 +

min

minE v 9

Chon A.

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2f x x 2x 5 là:

A. 5 B. 2 2 C. 2 D. 3

Hương dân

Xét hàm số 2f x x 2x 5

Tập xác định . Ta có

2

f ' x 0khi x 1x 1f ' x ;

f ' x 0 khi x 1x 2x 5

Suy ra f(x) nghịch biến trên ;1 và đồng biến trên 1; nên x 1 là điểm cực tiểu duy

nhất của hàm số trên . Bởi thế nên min f x f 1 2

Chon C.

Câu 22: Khoảng có đạo hàm cấp hai nhỏ hơn không của hàm số được gọi là khoảng lõm của

hàm số, vậy khoảng lõm của hàm số 3 2 2f x x 3mx 2m x 1 là:

A. m; B. ;3 C. 3; D. ;m

Hương dân

Xét hàm số 3 2 2y f x x 3mx 2m x 1

Ta có 2 2y ' 3x 6mx 2m , y" 6 x m , y" 0 6 x m 0 x m

Vậy khoảng lõm của đồ thị là ;m .

Chon D.

Câu 23: Cho hàm số 3 2y x 3x 3 m 1 x m 1 . Hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu khi:

A. m 0 B. m 1 C. 1 m 0 D. m 1 m 0

Hương dân

Ta có D

2y ' 3x 6x 3 m 1 g x

Điều kiện để hàm số có cực trị là g' 0 m 0 *

Chia y cho y’ ta tính được giá trị cực trị là 0 0f x 2mx

Với 1 2x , x là hai nghiệm của phương trình y ' 0 , ta có 1 2x x m 1

Hai giá trị cùng dấu nên:

1 2 1 2f x .f x 0 2mx .2mx 0 m 1

Kết hợp vơi (*), ta có: 1 m 0

Chon C.

Câu 24: Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên khoảng K. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số

f x trên khoảng K. Số điểm cực trị của hàm số f x trên là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Hương dân

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ' x 0 chỉ có một nghiệm đơn (và hai nghiệm kép) nên

f ' x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó suy ra hàm số f(x) có đúng một cực trị.

Chon B.

Câu 25: Cho hàm số x 1

y2x 1

có đồ thị (C) căt đường thẳng d : y x m . Tìm m để d luôn

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

A. m 5 B. m 0 C. m 1 D. m

Hương dân

PTHĐGĐ của (C) và x 1

d : x m2x 1

ĐK: 1

x2

21 x 1 2x 2mx x m

22x 2mx 1 m 0, *

Ta thấy 1

x2

không phải là nghiệm của phương trình

Ta có: 2' m 2m 2 0, m

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Vậy d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt với mọi m

Chon D.

Câu 26: Cho hàm số 3 2 33 1y x mx m

2 2 có đồ thị mC . Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ

thị mC có hai điểm cực đại là A và B thỏa mãn AB vuông góc đường thẳng d : y x

A. 1

m2

hoặc m 0 B. m 2 hoặc m 0

C. 1

m2

D. m 2

Hương dân

Ta có:

3

2

1x 0 y m

y' 3x 3mx y ' 0 2

x m y 0

Để hàm số có hai điểm cực trị thì m 0

Giả sử 2 31 1A 0; m ,B m;0 AB m, m

2 2

Ta có vtpt của d là n 1; 1 u 1;1

Để 3m 01

AB d AB.u 0 m m 0 m 22 m 2

Chon D.

Câu 27: Cho hàm số 2

5x 3y

x 4x m

với m là tham số thực. Chọn khẳng định sai:

A. Nếu m 4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.

B. Nếu m 4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

C. Nếu m 4 đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

D. Với mọi m hàm số luôn có hai tiệm cận đứng.

Hương dân

Xét phương trình 2x 4x m 0 , với ' 4 m 0 m 4 thì phương trình này vô nghiệm

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Chon A.

Câu 28: Giá trị m để hàm số 2 3 21y m 1 x m 1 x 3x 1

3 đồng biến trên R là:

A. −1 ≤ 𝑚 ≤ 2 B. m > 2 C. m ≤ −1 ∪ m ≥ 2 D. m ≤ −1

Hương dân

Trường hợp 1. Xét m 1,m 1 ;Suy ra m=-1 thoả mãn.

Trường hợp 2. m 1

2 2f ' x m 1 x 2 m 1 x 3

f ' x là tam thức bậc hai, f ' x 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi 2m 1 0

Δ' 0

,

Chon C

Câu 29. Giá trị của tham số m để hàm số cos x 2

ycos x m

nghịch biến trên khoảng 0; .

2

là:

A. m 0 hoặc 1 m 2 . B. m 0. C. 2 m . D. m > 2.

Hương dân

Do x thuộc 0;2

suy ra 0 cosx 1 , cosx m với x 0;2

Suy ra m 0 hoặc m 1 (1)

2 2

sinx cosx m sinx cosx 2 m 2 sinxy' x

cosx m cosx m

y' x 0 , suy ra m 2

Kết hợp (1) suy ra đáp án A.

Chon A.

Câu 30. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách 300km. Vận tốc dòng nước là

6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá

trong t giờ được cho bởi công thức 3E v cv t . Trong đõ c là một hằng số, E(v) được tính bằng

jun. Vận tốc v khi nước đứng yên để năng lượng cá phải tiêu hao ít nhất là:

A. 8km / h . B. 9km / h . C. 10km / h . D. 10km / h .

Hương dân

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng là v 6

Thời gian cá bơi 300

v 6

Năng lượng tiêu hao 2 300E v cv

v 6

Xem E(v) là hàm số của v, khảo sát trên 6; ta có v 9

Chon B.

Câu 31: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ

đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ

là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới

đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi

đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB = 40km, BC = 10km)

A. 15

2km B.

65

2km C. 10km D. 40km

Hương dân

Đặt 2100 , 0;40BD x CD x x

Từ giả thiết suy ra: 23(40 ) 5 100F x x nhỏ nhất:

2

5 15' 3 0 0;40

2100

xF x do x

x

Suy ra giá trị cần tìm là: 65

2km

Chon B.

Câu 32: Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm. Người ta cắt ở bốn góc của

tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) để khi gập lại được

một chiếc hộp không nắp. Để chiếc hộp có thể tích lớn nhất thì x

bằng:

A. 12

B. 11

C. 10

D. 9

D B

C

Ax

40km

10km

80 cm

50 cm

x

Hương dân

Gọi cạnh hình vuông được cắt đi là x (cm), 0 25x

Thể tích V của hộp là: 80 2 50 2V x x x

Xét hàm số ( ) 80 2 50 2 (0 25)f x x x x x

Với 0;25x , ta có:

2'( ) 12 520 4000; '( ) 0 10f x x x f x x

BBT:

x 0 10 25

f’(x) + 0 -

f(x)

Suy ra V đạt giá trị lớn nhất khi 10x

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vuông có cạnh 10x .

Chon C.

Câu 33: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng đường s (mét) đi được

của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là 2 36 .s t t Thời điểm t (giây)

mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. 6 st B. 4 st C. 2 st D. 1st

Hương dân

Ta có 2( ) ( ) 12 3 ( )v t s t t t f t và ( ) 12 6 0 2.f t t t

Chon C.

Câu 34: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm

của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (m), sao cho bốn đỉnh

của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích

lớn nhất là

80 cm

50 cm

x

A. 2 2

5x B.

1

2x C.

2

4x D.

2

3x

Hương dân

Thể tích của khối chóp thu được là

2 2 421 2 1 1 2

3 2 2 3 2

( ).

x x x xV x

Xét 4 1 2 ( ) ( )f x x x trên 1

02

; được ( )f x lớn nhất khi 2 2

5 .x

Chon A.

Câu 35. Cho ham sô (C). Giá trị nào của m sau đây thì đương thăng căt

(C) tai hai điêm phân biệt M, N sao cho đô dai MN nho nhât?

A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3 D. m = -1.

Hương dân

Điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là phương trình: mxx

x

2

1

3có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình: g(x) = 2x2 + (m+1)x + m – 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

0)1(

0

g (*)

Ta thấy (*) đúng với mọi m .

Vậy (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N

Ta có: MN2 = (xM – xN)2 + (yM – yN)2 = 5.(xM – xN)2 = 5.[(xM + xN)2 - 4xMxN]

= 1434

5256

4

5

2

3.4

2

1.5

22

2

mmm

mm

3

1

xy

x

: 2d y x m

Ta thấy MN nhỏ nhất m = 3.

Chon C.

Câu 36. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) y = x+ m cắt đồ thị hàm số y = 2x 5

1x

(C) tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB có tung độ bằng (1+m)

A. m = -1 B. m = -2 C. m = -3 D. Không tồn tại m.

Hương dân

Gọi M là là trung điểm của AB, ta có M thuộc (d).

Do đó tọa độ M có dạng : M(xM; xM+m).

Theo giả thiết ta có: xM+m = 1+m , suy ra: xM=1

Ta có: xA+ xB= 2 xM, suy ra xA+ xB=2. (1)

Lại có xA, xB là 2 nghiệm của phương trình 2 5

1

xx m

x

xA, xB là 2 nghiệm của phương trình: x2 + (m-1)x + m +5 = 0 (*)

Suy ra: xA+ xB = 1-m (2).

Từ (1) và (2) suy ra m= -1. Tuy nhiên với m= -1 ta thấy phương trình (*) vô nghiệm .

Vậy không tồn tại m thỏa mãn.

Chon D.

Câu 37: Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m, đỉnh của hai cây cột cách nhau

5m .Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh

cột để trang trí mô hình bên dưới .

Độ dài dây ngắn nhất là:

A. 41m B. 37m C. 29m D. 3 5m

Hương dân

x

4m

1m

H

NM A

C

B

3m5m

1m

Giả sử đoạn dây là đường gấp khúc BAC, gọi MA = x và các yếu tố như hình vẽ

Tính được 2 2

[0;4]1 (4 ) 16 ( ), [0;4] min ( ) 41AB AC x x f x x f x .

Chọn A.

Câu 38: Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

3500

3m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là

500000 đồng / m2. Nếu biết xác định kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp

nhất, chi phí thấp nhất đó là

A. 70 triệu đồng B. 75 triệu đồng C. 80 triệu đồng D. 85 triệu đồng

Hương dân

Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung quanh và đáy

22 2

2

5002 . 500 250 250

3 2 2 150

2 6

co siV x hS x x

x x xS x xh

Số chi phí thấp nhất là 150 x 500000=75 triệu.

Chon B.

Câu 39: Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam

giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất

mỏng) thì cạnh đáy của bình là

A. 4m B. 4dm C. 32 2 dm D. 32 4 m

500

3m3h

2x

nhân công xây

x

Hương dân

Để tiết kiệm chi phí nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất

2

2

2 2

3 6416 .

4 3

3 3 1923 ( ) ( 0)

2 2 3tp

V h x hx

S x xh x f x xx

Min f(x) đạt tại x = 4 (dm).

Chọn A.

Câu 40. Từ một tấm tôn hình tròn có đường kính bằng 60 cm. Người ta cắt bỏ đi một hình quạt S

của tấm tôn đó, rồi gắn các mép vừa cắt lại với nhau để được một cái nón không có nắp (như hình

vẽ). Hỏi bằng cách làm đó người ta có thể tạo ra cái nón có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 31800 3. ( )cm . B. 32480 3. ( ).cm

C. 32000 3. ( ).cm D. 31125 3. ( ).cm

Hương dân

Gọi x là độ dài dây cung của phần còn lại

của tấm tôn, 0 < x < 2π, và gọi V là thể tích nón đó, ta có

2 2 2 22

22 2 2 2 2 2

2

1 1 1 2 30 1. . . 30 . . 60

3 3 3 2 2 12 2 2 24

x x x xV Bh r R r x x

x=?

16l

S

2 2

2 2 2

8 3 2'( ) . ; '( ) 0 . 2 20 6. .

24 32

R xxV x f x x R

R x

x 0 20 6. 60

V’(x) + 0 -

Câu 42V(x) 32000 3. ( )cm

Chon C.

Câu 41: Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh

cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì người ta cần ít nhất bao

nhiêu cm3 thủy tinh?

A. 375,66 cm . B.

371,16 cm .

C. 385,41 cm . D.

384,64 cm .

Hương dân

Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc,

ta có 0,4 x và 2

0,2 1,5 480x h

2

4801,5

0,2h

x

Thể tích thủy tinh cần là:

2 2

2

480480 1,5 480

0,2V x h x

x

3

3

2' 1,5 0,2 480.0,2

0,2

xV x

x

; 3

480.0,2' 0 0,2 4,2

1,5V x

X 0,4 4,2

V’ - 0 +

V

75,66

Chon A.

Câu 42: Một màn ảnh hình chử nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu

mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Vị

trí đứng cách màn ảnh là:

A. x 2,4m. B. x - 2,4m. C. x 2,4 m. D. x 1,8m.

Hướng dẫn

Với bài toán này ta cần xác định OA

để góc BOC lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi

tan BOC lớn nhất.

Đặt OA x m với 0x , ta có

2

2

tan tan 1,4tan tan

. 5,761 tan tan 1

AC AB

AOC AOB xOA OABOC AOC AOBAC AB xAOC AOBOA

Xét hàm số 2

1,4( )

5,76

xf x

x

. Bài toán trở thành tìm 0x để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có

2

2

1,4 1,4.5,76'( ) ; '( ) 0 2,4

5,76

xf x f x x

x

Ta có bảng biến thiên

+ 0

f(x)

f'(x)

x 2,4

+ _

0 0

0

O A

C

B

1,4

1,8

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.

Chon A.

Câu 43. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với

giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người cho thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho

thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập

cao nhất, công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? Khi đó có bao nhiêu

căn hộ cho thuê?

A. Cho thuê 5 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng.

B. Cho thuê 50 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.000.000 đồng.

C. Cho thuê 45 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng.

D. Cho thuê 40 căn hộ với giá mỗi căn hộ là 2.250.000 đồng.

Hương dân

Gọi số căn hộ bỏ trống là 2x thì giá cho thuê căn hộ là 2000+100x( Đơn vị nghìn đồng) Khi đó

thu nhập là )250)(1002000()( xxxf

Xét hàm số )250)(1002000()( xxxf trên 50;0 ta có

2

50)(1000400)1002000(2)250(100)( '' xxfxxxxf .

Vậy số căn hộ cho thuê là 45 với giá 2250 nghìn đồng, tức 2.250.000 đồng.

Chon C.

Câu 44: Cho đồ thị (C): mxmmxxy 6)13(3 23 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 321 ,, xxx thỏa mãn điều kiện

20321

2

3

2

2

2

1 xxxxxx .

A. 3

55m B.

3

222 m C.

3

32 m D.

3

333m

Hương dân

PT hoành độ: 0]6)13()[1(06)13(3 223 mxmxxmxmmxx

(*)06)13(

1

2

3

mxmx

xx

1918)13(193)(19 2

21

2

2121

2

2

2

1 mmxxxxxxxx .

3

222018129 2

mmm .

Chon B.

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mx

xy

tan

2017tan đồng biến trên

khoảng

4;0

.

A. 20171 m B. 0m hoặc 20171 m

C. 0m hoặc 20171 m D. 0m

Hương dân

Với

4;0

x thì tanx nhận các giá trị thuộc khoảng 1;0 . Hàm số xác định trên khoảng

4;0

khi 1;0m . 22

'

)(tancos

2017

mxx

my

.

Hàm số đồng biến trên

4;0

khi 0)(tancos

201722

'

mxx

my

Với )4

;0(

x và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm

Từ đó suy ra 0m hoặc 20171 m .

Chon C.

Câu 47: Cho hàm số 3 23 9 5y x x x có đồ thị ( C). Gọi A, B là giao điểm của ( C) và trục

hoành. Số điểm M ( )C sao cho 090AMB là:

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Hương dân

Gọi A( -5; 0) , B ( 1; 0), 3 2( ; 3 9 5)M m m m m với 1; 5m m (*)

Ta có: 0 390 . 0 ( 1)( 5)[( 1) ( 5) 1] 0AMB AM BM m m m m

4 3 22 12 14 4 0m m m m (**) (do (*))

Xét 4 3 2 2( ) 2 12 14 4 '( ) ( 1) (4 14)f m m m m m f m m m

Dễ thấy m= -5; m= 1 không là nghiệm của (**) . Mặt khác 7 6129

( ) 02 16

f

và

lim ( )x

f m

nên phương trình (**) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1 và -5. Vậy tồn tại 2

điểm thỏa mãn.

Chon C.

Câu 48: Cho đồ thị (C): y = 2 1

2

x

x m

và ( 2;3); (4;1)A C . Tìm m để đường thẳng (d) y= 3x-1 cắt đồ

thị (C) tại 2 điểm phân biệt B, D sao cho tứ giác ABCD là hình thoi.

A. m = 8

3 B. m=1 C. m= 2 D. m=0 hoặc m= -1

Hương dân

Phương trình đường thẳng AB: 1 7

3 3y x . Tọa độ giao điểm của AC và BD: (1;2)I

Dễ thấy AC BD và I là trung điểm AC. Vậy để ABCD là hình thoi thì (1;2)I là trung điểm của

BD. Xét phương trình hoành độ giao điểm: 26 (3 4) 1 0x m x m luôn có hai nghiệm phân

biệt với 1 2 3 4,

2 12

x x mm

. Suy ra: để I là trung điểm BD thì m =

8

3.

Chon A.

Câu 49: Cho hàm số 1

1

xy

x

có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B. Tìm M

thuộc (C) sao cho diện tích tam giác MAB bằng 3.

A. 1

2;3

M

B. 1

(3; )2

M , 1

( ; 3)2

M C. 2;3M , 3;2M D. 1 1

( ; )2 3

M

Hương dân

Giao điểm của (C) với Ox là 1;0A , giao điểm của (C) với Oy là 0; 1B .

PT đường thẳng AB là 1x y ; 2AB . 1 6

3 . , 3 ( ; )2 2

MABS AB d M AB d M AB

Mặt khác: 1

( ; )2

M Mx yd M AB

. Dùng máy thử tìm M thỏa mãn. 2;3M , 3;2M .

Chon C.

Câu 50: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình

tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh

tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành

hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:

A. 391125( )

4cm

B. 391125( )

2cm

C. 3108000 3( )cm

D. 313500. 3( )cm

Hương dân

Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN

Đặt MN = x ( 0 90x ); 3

(90 )2

MQ BMMQ x

AI BI

Gọi R là bán kính của trụ 2

xR

2 3 23 3

( ) (90 ) ( 90 )2 2 8

T

xV x x x

Xét 3 23( ) ( 90 )

8f x x x

với 0 90x . Khi đó:

(0;90)

13500. 3max ( )

x

f x

khi x= 60.

Chon D.

A

B C M N

P Q