i

Mở đầu

Trong chương trình toán Trung học cơ sở, các bài toán về chia hết và chia

có dư phức tạp thường gây khó khăn cho học sinh khi trình bày cách giải và

giáo viên khi hướng dẫn học sinh. Chẳng hạn bài toán sau: “Có bao nhiêu số

tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia cho 7 còn dư 3?”. Vì vậy, sử dụng kiến thức về

đồng dư mà luận văn đề cập đến đó là nguồn đồng dư sẽ giúp các em học sinh

và giáo viên có cái nhìn trực quan về bài toán và dễ dàng giải quyết nó. Đồng

thời, tác giả hy vọng luận văn sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên học

tốt môn “ Lý thuyết đồng dư” .

Luận văn sẽ trình bày một dạng đa đồ thị có hướng được gán nhãn. Đó là

nguồn.

Nguồn với tập nhãn gồm các số được gọi là nguồn sinh số.

Nguồn với tập nhãn gồm các số đồng dư được gọi là nguồn đồng dư.

Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm

bốn chương:

Chương I. Trình bày về một số khái niệm cơ bản cần sử dụng trong các

chương sau;

Chương II. Trình bày về nguồn sinh số;

Chương III. Trình bày về nguồn đồng dư;

Chương IV. Trình bày về nguồn đồng dư có nhiều tính chất.

Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo GS.TS Đặng Huy

Ruận, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình

nghiên cứu. Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

ii

khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc

gia Hà Nội đã tận tình dạy bảo trong quá trình học tập và tạo điều kiện tốt về

thủ tục hành chính để tác giả có thể hoàn thành luận văn này.

Do thời gian hạn hẹp và đề tài có một số nguồn giao khá phức tạp, nên

không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong được sự chỉ bảo tận tình

của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin

chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014

Tác giả

Phạm Công Biên

MỤC LỤC

iii

Mục lục trang

Mở đầu i

Mục lục iii

Chương I: Một số khái niệm cơ bản…………………………………… . 1

§1 Tập xâu ký hiệu và một số phép toán………………………………... 1

§2 Đa đồ thị có hướng…………………………………………………... 9

Chương II: Nguồn sinh số……………………………………………….

16

§1 Thuật toán xây dựng nguồn sinh số…………………………………..

17

§2 Xây dựng một số nguồn sinh số………………………………………

19

Chương III: Nguồn đồng dư……………………………………………..

21

§1 Nguồn đồng dư một vòng đỉnh……………………………………….

21

§2 Nguồn đồng dư hai vòng đỉnh………………………………………..

26

Chương IV: Nguồn đồng dư có nhiều tính chất…………………………

35

§1 Thuật toán xây dựng nguồn giao……………………………………..

35

§2 Một số nguồn minh họa………………………………………………

39

Danh mục tài liệu tham khảo…………………………………………….

73

iv

1

CHƯƠNG I.

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết cho các

chương tiếp theo.

§1. TẬP XÂU KÝ HIỆU VÀ MỘT SỐ PHÉP TOÁN

I. Bảng chữ cái. Xâu ký hiệu. Tập xâu ký hiệu.

1. Bảng chữ cái.

Tập ∑ ≠ gồm hữu hạn hoặc vô hạn các đối tượng được gọi là bảng

chữ cái (hay tự điển). Mỗi phần tử a ∑ được gọi là ký hiệu hoặc chữ

cái (thuộc bảng chữ cái ∑).

Ví dụ:

P= 0,1 là bảng chữ cái nhị phân.

Q= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 là bảng chữ cái thập phân.

2. Xâu ký hiệu.

Giả sử có bảng chữ cái ∑= 1 2 na ,a ,...,a

Dãy α gồm các ký hiệu thuộc bảng chữ cái ∑

α=1 2 s t si i i i ia a ...a ...a ,a (1 s t) được gọi là một xâu ký hiệu hay một

xâu trên bảng chữ cái ∑.

Tổng số vị trí của tất cả các ký hiệu xuất hiện trong α được gọi là độ

dài của xâu α và ký hiệu bằng .

Xâu có độ dài bằng 0 (tức xâu không chứa một ký hiệu nào) được gọi

là xâu rỗng hay xâu trống đồng thời được ký hiệu bằng hoặc .

Xâu rỗng là xâu thuộc bất kỳ bảng chữ cái nào.

2

Dễ dàng thấy rằng: Nếu α là xâu thuộc bảng chữ cái ∑, thì nó cũng là

xâu trên bảng chữ cái tùy ý chứa ∑.

Ví dụ: β= 101011 là xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 và = 6,

còn = 1223233 là xâu trên bảng chữ cái S= 1,2,3 và =7

Các xâu β, đều là các xâu trên bảng chữ cái thập phân.

Tập gồm tất cả các xâu trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng ∑*, còn

tập gồm tất cả các xâu khác rỗng trên bảng chữ cái ∑ được ký hiệu bằng

∑+. Dễ dàng thấy rằng ∑

+ = ∑

*\

3. Tập xâu ký hiệu.

Giả sử có bảng chữ cái ∑.

Mỗi tập con A ∑* được gọi là một tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái

∑ (nếu ∑ là bảng chữ cái số và các xâu ký hiệu thuộc A đều là các số, thì

A còn được gọi là tập số trên ∑).

Tập được gọi là tập xâu trống. Tập xâu trống là tập xâu trên bất kỳ

bảng chữ cái nào. Hiển nhiên rằng tập xâu trống khác với tập xâu chỉ

gồm xâu rỗng.

Ví dụ:

L= { ,1,0,10,011 } là tập xâu trên bảng chữ cái nhị phân P= 0,1 , còn

L1= {a,bc,bac} là tập xâu trên bảng chữ cái ∑={a,b,c}.

4. Tích ghép.

Đây là phép toán thực hiện trên xâu ký hiệu.

Định nghĩa. Tích ghép của các xâu không rỗng α= a1a2…am và

β=b1b2…bn là xâu = c1c2…cm+n, trong đó c1= a1, c2= a2 ,…, cm= am ,

cm+1= b1, cm+2= b2,…, cm+n= bn.

Ngoài ra, đối với xâu tùy ý α tích ghép của α với xâu rỗng bằng tích

ghép của với α và bằng α.

3

Dễ dàng thấy rằng, tích ghép có tính chất kết hợp, song nó chỉ giao

hoán khi các xâu trên bảng chữ cái một ký hiệu.

Ta viết αn thay cho cách viết αα…α(n lần) và quy ước rằng α

1= α, còn

α0 là xâu rỗng.

Ví dụ 1: Cho các xâu α= ab, β= cde, µ= 543, = 21. Khi đó, α.β= αβ=

abcde, β.α= βα= cdeab, α.µ= αµ= ab543, µ. = 54321.

Nếu đối với các xâu µ,α,β,γ trên bảng chữ cái ∑, mà µ= αβγ thì xâu

α*β*γ với ký hiệu * không thuộc ∑ được gọi là một vị trí của xâu β

trong xâu µ.

Xâu β được gọi là một xâu con trong xâu µ (hay của xâu µ), nếu tồn tại

ít nhất một vị trí của β trong µ.

Nếu α= , tức µ= βγ, thì xâu β còn được gọi là phần đầu. Còn nếu γ=

tức là µ= αβ thì xâu β được gọi là phần cuối của xâu µ.

Khi β= , ta có µ= α γ= µ= µ , nên xâu rỗng là xâu con, là phần

đầu, phần đuôi của bất kỳ xâu nào và được gọi là xâu con tầm thường.

Trong trường hợp độ dài của xâu β= 1, tức là nó gồm một ký hiệu.

Chẳng hạn β= b, b thuộc ∑, thì *b* được gọi là vị trí của ký hiệu b trong

xâu µ. Đôi khi vị trí của ký hiệu còn được gọi là điểm.

Người ta dùng la(µ) để chỉ số vị trí của ký hiệu a trong xâu µ.

Nếu α= t1*at2*, β= s1*bs2* là các điểm của cùng một xâu µ= t1at2=

s1bs2. Và 1t < 1s , thì ta viết α< β, đồng thời nói rằng α nằm (hoặc được

đặt) bên trái β, còn β nằm bên phải α.

Nếu α< β< γ, thì ta nói rằng β nằm giữa α và γ. Đối với hai điểm tùy ý

α, β của xâu µ, mà α≤ β, tập hợp các điểm δ thỏa mãn bất đẳng thức α≤

δ≤ β được gọi là một đoạn của xâu µ và được ký hiệu bằng [α, β], còn

tập hợp các điểm mà α< δ< β được gọi là một khoảng của xâu µ và được

ký hiệu bằng (α, β).

4

Đôi khi chúng ta cũng cần những khoảng đặc biệt (-, α) và (α, -) là các

tập hợp điểm thỏa mãn bất đẳng thức δ< α và α> δ.

Khoảng khác với đoạn ở chỗ nó có thể rỗng.

Ví dụ 2: Xâu µ= abcbcb chứa 2 vị trí của xâu bcb: a*bcb*cb và

abc*bcb*, một vị trí của ký hiệu a: *a*bcbcb, 7 vị trí của xâu rỗng :

**abcbcb, a**bcbcb, ab**cbcb, abc**bcb, abcb**cb, abcbc**b,

abcbcb**.

Nếu ký hiệu các vị trí của chữ cái trong xâu µ bằng α, β, δ, thì α< β< δ.

Các đoạn [α, β] và [β, δ] tương ứng với hai vị trí khác nhau của cùng xâu

con bcb.

II. Các phép toán trên các tập xâu ký hiệu.

Trên các tập xâu ký hiệu, ngoài các phép toán của lý thuyết tập hợp

như: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù. Còn có các phép toán đặc thù

như: tích ghép, lặp.

Giả sử L1, L2, L3 là các tập xâu ký hiệu trên bảng chữ cái ∑.

A. Phép hợp.

1. Định nghĩa.

Tập xâu ký hiệu {x ∑*/ x L1 hoặc x L2} được gọi là hợp của

các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời được ký hiệu bằng L1L2

hoặc

L1L2

Ví dụ:

Cho các tập xâu ký hiệu L1= { , a, ab, bc}, L2= {a,b,ca,ab,cb}. Khi đó:

L1L2= { , a, b, ab, bc, ca, cb}.

5

2. Tính chất.

a. Giao hoán, nghĩa là L1 L2= L2 L1

b. Kết hợp, nghĩa là (L1L2) L3= L1 (L2L3)

c. L = L= L

d. L∑*= ∑

* với mọi L ∑

*

B. Phép giao.

1. Định nghĩa:

Tập xâu ký hiệu {x ∑*/ x L1 và x L2} được gọi là giao của

các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời ký hiệu bằng L1∩ L2 hoặc

L1L2

Ví dụ:

Với L1, L2 được cho bởi ví dụ trên có giao là L1∩L2 = {a, ab}.

2. Tính chất:

a. Giao hoán, nghĩa là L1∩ L2=L2∩ L1

b. Kết hợp, nghĩa là (L1∩ L2)∩ L3= L1∩ (L2∩ L3)

c. L∩ ∑*= L với mọi L ∑

*

d. L∩ = ∩ L= .

C. Phép lấy phần bù.

1. Định nghĩa.

Tập xâu ký hiệu {x∑* / x L} được gọi là tập xâu ký hiệu phần bù

của tập xâu ký hiệu L, đồng thời được ký hiệu bằng C∑L hoặc CL.

Ví dụ: Cho L= {a, bc}. Khi đó: CL= {x ∑*/ x≠ a, x≠ bc}.

2. Tính chất:

a. CL{ }= ∑+, CL(∑

+)={ }

b. CL( )= ∑*, CL(∑

*)=

c. Hệ thức De Morgan: L1∩ L2= C(CL1CL2)

D. Phép tích ghép.

6

1. Định nghĩa:

Tập xâu ký hiệu {x ∑*/ y L1, y L2, x= y.z= yz} được gọi là

tích ghép của các tập xâu ký hiệu L1 và L2, đồng thời ký hiệu bằng

L1.L2 hoặc L1L2.

Đối với tích ghép L.L…L(n lần) ta viết dưới dạng thu gọn Ln với quy

ước: L1= L và L

0= { }

Ví dụ 1: Cho các tập xâu ký hiệu L1= { , a, bc, cab}, L2= {b, ca}.

Khi đó, L1.L2= {b, ca, ab, aca, bcb, bcca, cabb, cabca}.

L2.L1= {b, ca, ba, caa, bbc, cabc, bcab, cacab}.

Quy ước rằng: Nếu xâu rỗng xuất hiện trên tập số, thì nó được gọi

là số rỗng.

Ví dụ 2: Cho các tập số S1= { , 1, 2, 4}, S2= {2, 3, 5}. Khi đó,

S1.S2= {2, 3, 5, 12, 13, 15, 22, 23, 25, 42, 43, 45}.

S2.S1= { 2, 21, 22, 24, 3, 31, 32, 34, 5, 51, 52, 54}.

2. Tính chất.

a. Không giao hoán, tức là: L1.L2≠ L2.L1

b. Kết hợp, tức là: (L1.L2).L3= L1.(L2.L3)

c. L. = .L=

d. L. { }= { }.L= L.

E. Phép lặp.

1. Định nghĩa.

Hợp vô hạn các tập xâu ký hiệu: { }LL.L…L.L…L

…= i

i 0

L

được gọi là lặp của tập xâu ký hiệu L, đồng thời được ký

7

hiệu bằng L*, còn hợp vô hạn i

i 1

L

được gọi là lặp cắt của tập xâu ký

hiệu L, đồng thời được ký hiệu bằng L+.

Ví dụ 1. Cho tập xâu ký hiệu L= {a, b, bc, cba}. Khi đó: L*= { }

LL.L…L.L…L…= { } {a, b, bc, cba} {aa, ab, abc,

acba, ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb, bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc,

cbacba}…

= { , a, b, bc, cba, aa, ab, abc, acba, ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb,

bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc, cbacba, …}.

L+= LL.L…L.L…L…= {a, b, bc, cba, aa, , ab, abc, acba,

ba, bb, bbc, bcba, bca, bcb, bcbc, bccba, cbaa, cbab, cbabc, cbacba,

…}.

Từ định nghĩa ta thấy rằng: Dù tập L có chứa xâu rỗng hay không

thì lặp L* vẫn chứa xâu rỗng.

Ví dụ 2. Cho tập số nguyên dương S= {1, 3, 8, 12}. Khi đó,

S*= { } S S.S S.S.S …

={ } {1, 3, 8, 12} {11, 13, 18, 112, 31, 33, 38, 312, 81, 83, 88,

812, 121, 123, 128, 1212}… = { , 1, 3, 8, 12, 11, 13, 18, 112, 31,

33, 38, 312, 81, 83, 88, 812, 121, 123, 128, 1212, 111, 113, 118,

1112, 131, 138, 1312, 181, 183, 188, 1812, 1121, 1123, 1128, 11212,

311, 313, 318, 3112, 331, 333, 338, 3312, 381, 383, 388, 3812, 3121,

3123, 3128, 31212, 811, 813, 818, 8112, 831, 833, 838, 8312, 881,

883, 888, 8121, 8123, 8128, 81212, 1211, 1213, 1218, 12112, 1231,

1233, 1238, 12312, 1281, 1283, 1288, 12812, 12121, 12123, 12128,

121212 }…

8

2. Tính chất.

a. (L*)

*= L

*

b. ( )*= { }

c. ( )*={ } . …= { }

d. ( )+= . …= .

§2. ĐA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG

I. Định nghĩa.

1. Định nghĩa.

Trên mặt phẳng hay trong không gian lấy n điểm khác nhau, được ký hiệu

bằng x1, x2, …, xn.

Giữa một số cặp điểm (có thể trùng nhau ) được nối bằng các đoạn thẳng

hoặc đoạn cong được định hướng (có thể theo chiều khác nhau ).

Người ta gọi hình nhận được là một đa đồ thị có hướng (có thể có khuyên),

đồng thời ký hiệu bằng G. Các điểm xi (1≤ i≤ n) đã chọn được gọi là các đỉnh.

Các đoạn thẳng và đoạn cong đã nối được gọi là các cung của đồ thị G. Nếu

cung có hai đầu trùng nhau, thì nó còn được gọi là một khuyên của đồ thị G.

Nếu cung u xuất phát từ đỉnh xi và đi tới đỉnh xj, thì xi được gọi là đỉnh đầu,

còn xj được gọi là đỉnh cuối của cung u.

Nếu cung v có hai đầu đều là xk thì nó được gọi là một khuyên tại đỉnh xk

xi xJ

(u)

xk

(v)

9

Để cho gọn trong các phần tiếp theo ta sẽ gọi đa đồ thị có hướng là đồ thị.

2 .Đường trên đồ thị.

Dãy cung 1 2 s s 1 ti i ... i i iu u u u ...u

với đỉnh đầu của

1iu là a, đỉnh cuối của

tiu là b

và s (1≤ s≤ t- 1) đều có đỉnh cuối của cung si

u trùng với đỉnh đầu của cung

s 1iu

được gọi là một đường hay một đường đi trên đồ thị G, đồng thời được

ký hiệu bằng d. Đỉnh a được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh b được gọi là đỉnh cuối

của đường d.

Người ta còn nói rằng đường d đi từ đỉnh a đến đỉnh b.

d:

…

Đường d được gọi là đường sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh của đồ thị G

không quá một lần.

Đường d được gọi là đường đơn nếu nó đi qua mỗi cung của đồ thị G không

quá một lần.

II. Đồ thị được gán nhãn.

Giả sử có bảng chữ cái ∑.

1. Định nghĩa.

a b

( ) ( )

10

Đồ thị G được gọi là đồ thị được gán nhãn ở cung, hay đồ thị được gán nhãn

trên bảng chữ cái ∑, nếu có một phép đặt tương úng mỗi cung u của G với

một ký hiệu c thuộc ∑ (trên cung u ghi ký hiệu c).

Người ta còn nói rằng: Cung u được gán nhãn bằng ( thay bởi) ký hiệu c.

Ký hiệu c được gọi là nhãn của cung u.

2. Nhãn của đường.

Giả sử d 1 2 s s 1 ti i ... i i iu u u u ...u

là một đường xuất phát từ đỉnh a và đi tới đỉnh b

trên đồ thị G và s (1≤ s≤ t) cung si

u có nhãn là si

c . Khi đó dãy ký hiệu

1 2 s s 1 ti i ... i i ic c c c ...c

được gọi là nhãn của đường d, đồng thời được ký hiệu bằng

d

…

1 s ti i id c ...c ...c .

Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh a và đi tới đỉnh b trong

đồ thị G được ký hiệu bằng NG(a, b).

Ví dụ:

Cho bảng chữ cái thập phân N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và G là đồ thị

được gán nhãn bằng các chữ số thập phân.

a bb ( )

( )

xi xj (u)

c

11

G:

Hãy xác định tập nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh b và đi tới

đỉnh e, tức là xác định NG(b, e)?

Từ đỉnh b sang đỉnh e có các đường kèm theo nhãn tương ứng sau đây:

d1= (b) u9 u10 (e), 1d = 6 9

d2= (b) u8 (e), 2d = 5

d3= (b) u4 u7 u10 (e), 3d = 7 0 9

d4= (b) u4 u6 (e), 4d = 7 3

d5= (b) u4 u5 (e), 5d = 7 2

Bởi vậy,

NG(b, e)= {6 9, 5, 7 0 9, 7 3, 7 2}

III. Nguồn.

Giả sử có bảng chữ cái ∑.

4

(u1)

(u2) 3

(u3) 1

6 (u9)

5 (u8)

7

(u4)

3 (u6)

(u7)

0

9 (u10)

(u5) 2

a

b

c

d

e

12

1. Định nghĩa.

Nguồn trên bảng chữ cái ∑ là một đa đồ thị có hướng gán nhãn trên ∑ được

tách ra một đỉnh được gọi là đỉnh vào ( thường được ký hiệu bằng V và được

đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào), một tập con các đỉnh được gọi là các

đỉnh kết ( thường được ký hiệu bằng F và mỗi đỉnh kết được đặt trong một ô

hình chữ nhật).

2. Tập nhãn của nguồn.

Giả sử nguồn I có đỉnh vào là V, tập đỉnh kết là F. Khi đó, tập gồm nhãn

của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào V và đi tới các đỉnh kết, tức tập

I

u F

N (V,u)

được gọi là tập nhãn của nguồn I hoặc tập nhãn được sinh bởi

nguồn I, đồng thời ký hiệu bằng N(I), tức là:

N(I)= I

u F

N (V,u)

Ví dụ: Cho nguồn I trên bảng chữ cái thập phân N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9} có dạng sau:

I:

1

2

3

5

0

4

4

5

5

6

8 7

9

0

u1

u2

u4

u5

u6

u7 u8

u9

u10 u11

u12

u13

u14

u15

u16

d

f

a

b e

c

V

13

Để có tập nhãn của nguồn I cần xác định tất cả các đường xuất phát từ đỉnh

vào V, đi tới các đỉnh kết d và f kèm theo nhãn của chúng.

Các đường xuất phát từ đỉnh vào V và đi tới đỉnh d là:

d1= u1 u6, 1d = 2 3

d2= u1 u4 u8, 2d = 2 0 5

d3= u2 u8, 3d = 5 5

d4= u3 u5 u8, 4d = 7 4 5

Các đường xuất phát từ đỉnh vào V và đi tới đỉnh f là:

d5= u1 u6 u16, 5d = 2 3 0

d6= u1 u6 u14 u15, 6d = 2 3 9 1

d7= u1 u7 u15, 7d = 2 2 1

d8= u1 u4 u8 u16, 8d = 2 0 5 0

d9= u1 u4 u8 u14 u15, 9d = 2 0 5 9 1

d10= u1 u4 u9 u15, 10d = 2 0 6 1

d11= u1 u4 u10, 11d = 2 0 8

d12= u2 u8 u16, 12d = 5 5 0

d13= u2 u8 u14 u15, 13d = 5 5 9 1

d14= u2 u9 u15, 14d = 5 6 1

14

d15= u2 u10, 15d = 5 8

d16= u3 u5 u8 u16, 16d = 7 4 5 0

d17= u3 u5 u8 u14 u15, 17d = 7 4 5 9 1

d18= u3 u5 u9 u15, 18d = 7 4 6 1

d19= u3 u5 u10, 19d = 7 4 8

d20= u3 u11 u15, 20d = 7 7 1

d21= u3 u12, 21d = 7 4

d22= u3 u13, 22d = 7 5

Vậy ta có tập nhãn của nguồn I cần xác định là:

N(I)= { 2 3, 2 0 5, 5 5, 7 4 5, 2 3 0, 2 3 9 1, 2 2 1, 2 0 5 0, 2 0 5 9 1, 2 0 6 1, 2

0 8, 5 5 0, 5 5 9 1, 5 6 1, 5 8, 7 4 5 9 1, 7 4 6 1, 7 4 8, 7 7 1, 7 4, 7 5}.

Nguồn với tập nhãn là tập số được gọi là nguồn sinh số. Nguồn với tập nhãn

là tập số đồng dư được gọi là nguồn đồng dư.

15

§2. NGUỒN SINH SỐ

Trong bài này sẽ xây dựng nguồn sinh một số tập số có cấu trúc đặc thù.

Nội dung gồm hai phần:

i. Phần thứ nhất trình bày thuật toán xây dựng nguồn sinh số.

ii. Phần thứ hai xây dựng nguồn sinh các tập số.

Tập số tự nhiên N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Tập số nguyên dương N+= {1, 2, 3, 4, 5, …}

Tập số chẵn không âm Nc= {0, 2, 4, 6, …}

Tập số lẻ dương Nl= {1, 3, 5, 7, …}

Tập số nguyên dương chỉ chứa đúng một chữ số a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9}

Tập số nguyên dương bắt đầu bằng chữ số b {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Tập số nguyên không âm kết thúc bằng chữ số c {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9}

Tập số nguyên dương có chứa đúng k chữ số d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9}.

I. Thuật toán xây dựng nguồn sinh số

Giả sử có bảng chữ cái ∑.

Nguồn trên bảng chữ cái ∑ được xây dựng bằng quy nạp như sau:

1. Cơ sở quy nạp:

a. Nguồn I sinh xâu rỗng (số rỗng) là một cung rỗng.

I

16

N(I)= { }

b. Nguồn I sinh ký hiệu a ∑ là một cung có nhãn ký hiệu a.

I

N(I)= {a}

2. Quy nạp.

Giả sử đã có nguồn I1 sinh tập xâu ký hiệu N(I1) ∑*, nguồn I2

sinh tập xâu ký hiệu N(I2) ∑*

Khi đó:

a. Để có nguồn I sinh tập xâu (N(I1))*, từ mỗi đỉnh kết của nguồn

I1, kẻ một cung rỗng đi tới đỉnh vào của nguồn I1 (trong trường

hợp có thể ta đồng nhất các đỉnh kết với đỉnh vào của I1) và thừa

nhận đỉnh vào của I1 là đỉnh vào đồng thời là đỉnh kết của nguồn

I. Khi đó, ta được:

N(I)= (N(I1))*

Để có nguồn I’ sinh tập xâu (N(I1))+ ta xây dựng tương tự như

nguồn I, song chỉ thừa nhận đỉnh vào của nguồn I1 là đỉnh vào

của nguồn I’, còn đỉnh kết của I’là các đỉnh kết của nguồn I1. Khi

đó, ta được:

N(I’)= (N(I1))+

b. Để có nguồn I sinh tập xâu N(I1) N(I2) ta thêm vào một đỉnh

mới thừa nhận đỉnh này là đỉnh vào của nguồn I, đồng thời từ

đỉnh mới thêm kẻ các cung rỗng đi tới đỉnh vào của I1 và I2 (Nếu

có thể ta đồng nhất đỉnh vào của I1, I2 và công nhận là đỉnh vào

a

17

của nguồn I ), đồng thời thừa nhận các đỉnh kết của I1 và I2 là

đỉnh kết của nguồn I. Khi đó ta được:

N(I)= N(I1) N(I2)

c. Để có nguồn I sinh tập xâu N(I1).N(I2) từ mỗi đỉnh kết của

nguồn I1 kẻ một cung rỗng đi tới đỉnh vào của nguồn I2 (trong

trường hợp có thể ta đồng nhất các đỉnh kết của nguồn I1 với

đỉnh vào của nguồn I2) và thừa nhận đỉnh vào của nguồn I1 là

đỉnh vào của nguồn I, các đỉnh kết của nguồn I2 là đỉnh kết của

nguồn I.

II. Xây dựng một số nguồn sinh số

1. Nguồn sinh tập số tự nhiên N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Để dễ nhìn, ta vẽ dạng thu gọn bằng cách khi có nhiều cung cùng đỉnh đầu

và đỉnh cuối, ta chỉ để lại một cung đồng thời ghi nhãn của tất cả các cung còn

lại lên cung này.

Chẳng hạn nguồn:

Có dạng thu gọn sau:

V

0 1

5

3 4

2

6 7

8 9

18

Như vậy, nguồn I sinh tất cả các số tự nhiên có dạng thu gọn như sau:

N(I)= {0, 1, 2, …}

2. Nguồn sinh tập số nguyên dương N+= {1, 2, 3, 4, …}

Nguồn I+ sinh tập số nguyên dương có dạng sau:

N(I+)= {1, 2, 3, …}

3. Nguồn sinh tập số chẵn không âm Nc= {0, 2, 4, …}

N(Ic)= {2k/ k N}

V 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

V 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

…

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

…

9

19

4. Nguồn sinh tập số lẻ dương Nl= {1, 3, 5,…}

N(Il)= {2k + 1/ k N}

CHƯƠNG II.

NGUỒN ĐỒNG DƯ

Với số nguyên dương m ≥ 3 tùy ý trong chương này sẽ xây dựng nguồn sinh

tập số tự nhiên đồng dư với số nguyên k tùy ý (0≤ k≤ m- 1) theo module m.

Khi m≥ 6 nguồn đồng dư khá phức tạp nên tùy thuộc vào module m mà chia

thành hai dạng sau:

Với 3 ≤ m< 6 xây dựng nguồn đồng dư một vòng đỉnh.

Với m ≥ 6 xây dựng nguồn đồng dư gồm hai vòng đỉnh.

Nguồn đồng dư với k theo module m được ký hiệu bằng kmI

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

…

9

20

§1. NGUỒN ĐỒNG DƯ MỘT VÒNG ĐỈNH

Giả sử m là số nguyên dương tùy ý với 3 ≤ m< 6 và k là số nguyên không

âm tùy ý 0≤ k≤ m- 1. Nguồn đồng dư kmI được xây dựng trên cơ sở thuật toán

chia có dư Euclide.

I. Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư một vòng đỉnh.

Để có nguồn cần xác định đỉnh và cung, nên gồm có hai bước:

Bước 1: Xác định đỉnh.

Vẽ một đường tròn, sau đó xác định đỉnh:

Đỉnh vào: Lấy tâm đường tròn làm đỉnh vào, ký hiệu bằng chữ V và

đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào.

Đỉnh trong: Trên đường tròn lấy m điểm làm đỉnh trong và ghi lần

lượt các số dư từ 0 đến m- 1. Đỉnh ghi số k là đỉnh kết nên được đặt trong ô

hình chữ nhật, các đỉnh còn lại đều được đặt trong khuyên tròn.

Bước 2: Xác định cung

Cung xuất phát từ đỉnh vào V: Từ đỉnh vào xuất phát 9 cung với nhãn tương

ứng là 1, 2, 3,…, 9. Cung nhãn t đi tới đỉnh i khi và chỉ khi t chia cho m có số

dư là i

Cung xuất phát từ đỉnh trong: Từ đỉnh trong k (0≤ k ≤ m- 1) tùy ý xuất

phát 10 cung với nhãn tương ứng là 0, 1, 2, …, 9. Cung nhãn t đi tới đỉnh s

khi và chỉ khi số kt chia cho m có số dư là s.

21

Nguồn kmI sẽ sinh tất cả các số nguyên không âm chia cho m có số dư là k.

II. Một số nguồn minh họa.

1. Nguồn đồng dư với 1 theo module 3.

Nguồn 13I sinh tất cả các số tự nhiên chia cho 3 còn dư 1

1

0 2

V

0 3 6 9

0 3 6 9 0 3 6 9

2 5 8

1 4 7

22

2. Nguồn đồng dư với 3 theo module 4.

3

2

0

1

V

0 4 8

0

4

8

0 4 8

0 4 8

3

7

3 7

2 6

2 6

1

5

9

1 5 9

15 9

23

3. Nguồn 05I sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5

V

1

2 3

4

0

5

1 6

0 5

2

7

2 7

3

8

3

8

4 9

3 8

24

§2. NGUỒN ĐỒNG DƯ HAI VÒNG ĐỈNH

I. Thuật toán.

Với số nguyên dương tùy ý m ≥ 6 và với mọi số nguyên không âm k

(0 ≤k ≤ m- 1) để có nguồn sinh tất cả các số nguyên dương đồng dư với k theo

module m ta cần xác định đỉnh và cung, nên thuật toán xây dựng nguồn gồm

hai bước:

Bước 1: Xác định đỉnh.

Vẽ hai đường tròn đồng tâm nhỏ và lớn

Đỉnh vào. Lấy tâm của hai đường tròn trên làm đỉnh vào, ký hiệu bằng V và

đặt trong khuyên tròn có mũi tên đi vào.

Vòng đỉnh trong: Trên đường tròn nhỏ lấy m điểm tương ứng với m số dư:

0, 1, 2,…m-1. Dùng ngay các số dư này để ghi trên các điểm tương ứng. Đỉnh

k là đỉnh kết nên được đặt trong ô hình chữ nhật, các đỉnh còn lại được đặt

trong khuyên tròn.

Vòng đỉnh ngoài. Trên đường tròn lớn lấy m(m- 1) điểm tương ứng với vòng

gồm m(m- 1) vị trí của các số dư: 0, 1, 2, …, m- 2, m- 1, m- 2, …, 1, 0, 1, 2,

…, m-2, m- 1, …, m-1, m- 2, …, 2, 1. Dùng ngay vị trí của các số dư trên để

ghi lên các điểm tương ứng. Các điểm ghi số dư k là đỉnh kết nên được đặt

trong ô hình chữ nhật, các đỉnh còn lại được đặt trong khuyên tròn.

Bước 2: Xác định cung.

1. Cung xuất phát từ đỉnh vào.

25

Từ đỉnh vào V xuất phát chín cung với nhãn ương ứng là 1, 2, .., 9 và chỉ đi

đến các đỉnh thuộc vòng trong.

Cung nhãn t đi tới đỉnh r khi và chỉ khi chia t cho m có số dư là r.

2. Cung xuất phát từ các đỉnh vòng trong( tầng một)

Các cung xuất phát từ đỉnh thuộc vòng trong (tầng một) chỉ đi tới các đỉnh

thuộc vòng ngoài (tầng hai). Từ mỗi đỉnh r (0≤ r ≤ m- 1) thuộc vòng trong

xuất phát mười cung với nhãn tương ứng 0, 1, 2, …, 9.

Cung nhãn k đi tới đỉnh s khi và chỉ khi số rk chia cho m có dư là s.

II. Hướng dẫn sử dụng nguồn hai vòng đỉnh.

Để xác định số dư khi chia

1 2 1

S= a a ...a a ...at t ni i i i i

cho m ta xuất phát từ đỉnh vào V đi theo cung nhãn1

a i để đến một đỉnh thuộc

vòng trong (tầng một ), rồi đi tiếp theo cung nhãn 2

a i xuất phát từ đỉnh này để

đến, chẳng hạn, đỉnh r thuộc vòng ngoài (tầng hai ).

Sau đó “nhảy” ngay vào ( lên) đỉnh r thuộc vòng trong (tầng một ) mà đi

tiếp theo cung nhãn 3

a i …

Cứ tiếp tục đi và “nhảy” như vậy cho đến khi đi hết cung nhãn ani thì dừng

lại.

Nhãn s của đỉnh ta dừng lại chính số dư nhận được khi chia S cho m.

Nguồn minh họa.

26

1. Hãy xây dựng nguồn 06I sinh tất cả các số nguyên dương chia hết

cho 6.

V

1

2

3

4

5

0

1

1

1

1

1

0

0

0

2

2

2

2

2

2

1

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

5

5

5

6

3

9

2

8

2

8

3

9

2

8

27

2. Hãy xây dựng nguồn 07I sinh tất cả các số nguyên dương chia hết

cho 7.

V

1

2

3 4

5

6

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1 1

2

2

2

2

2

2 2 3 3

3 3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

6 6

6 6

1

8

2

9

2

9

3

7

28

3. Hãy xây dựng nguồn 08I sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho

8.

V

1

2

3

4 5

6

7

0

0 1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0 1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4 5

4

6 7 6 5

4

4

5

6

6

6 6

6

6

7

7

7

4

4

4

4

5

3

5

5

5

5 4

3

6

3

2

2

35

CHƯƠNG III.

NGUỒN ĐỒNG DƯ CÓ NHIỀU TÍNH CHẤT

Trong chương II xây dựng nguồn đồng dư theo một module. Trong chương

này sẽ xây dựng nguồn đồng dư có nhiều tính chất, chẳng hạn nguồn đồng dư

theo nhiều module hoặc ngoài tính chất đồng dư, tập số sinh bởi nguồn còn có

các tính chất khác như độ dài, có cấu trúc đặc biệt… Bởi vậy, để thực hiện

chương IV ngoài kiến thức xây dựng nguồn đồng dư, nguồn sinh số ta cần làm

quen với thuật toán xây dựng nguồn giao.

§1. THUẬT TOÁN XÂY DỰNG NGUỒN GIAO

Giả sử có n nguồn I1, I2, …, In. Nguồn Ii (1≤ i≤ n ) có đỉnh vào Vi, tập đỉnh

trong Xi, tập đỉnh kết Fi và sinh ra tập số N(Ii) có tính chất ti.

Để được nguồn sinh tập số có đầy đủ n tính chất t1, t2, …, ti, …, tn cần xây

dựng nguồn giao I của n nguồn I1, I2, …, Ii, …, In.

Để có nguồn giao I của n nguồn I1, I2, …, Ii, …, In cần xác định đỉnh và cung.

I. Đỉnh

1. Đỉnh vào

Lấy một điểm trên đó ghi bộ V= (V1, V2, …, Vi, …, Vn) gồm đỉnh vào của các

nguồn thành phần I1, I2, …, Ii, …, In làm đỉnh vào của nguồn giao I.

2. Tập đỉnh trong

36

Lấy│X│=│X1X2… Xi…Xn│điểm tương ứng với các phần tử thuộc

tập X= X1X2… Xi…Xn và ghi các phần tử tương ứng trên các điểm này

làm các đỉnh trong của nguồn I.

3.Tập đỉnh kết

Tập điểm tương ứng với các phần tử thuộc tập F= F1 F2 … Fi … Fn

được thừa nhận là tập đỉnh kết của nguồn I.

Đối với nguồn giao ít đỉnh ta xây dựng dạng một vòng đỉnh, còn khi nguồn

gồm nhiều đỉnh ta xây dựng dạng hai vòng đỉnh. Thậm chí khi có quá nhiều đỉnh

tầng đỉnh thứ nhất còn được phân nhóm và xây dựng các bản nguồn theo từng

nhóm.

Nguồn giao gồm hai vòng đỉnh

Để dễ nhìn đối với nguồn giao gồm quá nhiều đỉnh và cung, ta sẽ xây dựng

nguồn giao gồm hai vòng đỉnh.

Giả sử có s nguồn I1, I2, …, Is. Nguồn Ii (1 ≤ i ≤ s) có đỉnh vào là Vi , tập đỉnh

trong là Xi. Để xây dựng nguồn giao của s nguồn này trước hết ta vẽ đường tròn

lớn và đường tròn nhỏ (hoặc elip lớn và elip nhỏ) đồng tâm, sau đó xác định đỉnh

và cung:

1. Đỉnh

37

a. Đỉnh vào: Ta lấy tâm của hai đường tròn hoặc tâm của hai elip làm

đỉnh vào của nguồn và ký hiệu bằng V= (V1,V2, …Vs)

b. Đỉnh trên đường tròn nhỏ (elip nhỏ): Trên đường tròn nhỏ (elip nhỏ)

lấy X điểm tương ứng với các phần tử thuộc tập X= X1 X2 .. Xs ,

đồng thời lấy ngay các phần tử của tập X để ghi lên các điểm tương

ứng.

c. Đỉnh trên đường tròn lớn (elip lớn): Với mỗi đỉnh t= (t1, t2, ..., ts) thuộc

đường tròn nhỏ và với mọi a (0 ≤ a ≤ 9), trên đường tròn lớn đỉnh

e= (e1, e2, …, es) được xác định khi và chỉ khi với mọi i ( i 1,s ) trên

nguồn thành phần Ii, từ đỉnh ti sang đỉnh ei có cung nhãn a, tức là:

Đỉnh kết được đặt trong ô hình chữ nhật, các đỉnh còn lại được đặt trong

khuyên tròn.

2. Cung

a. Cung xuất phát từ đỉnh vào.

Với mọi chữ số a {1, 2,…, 8, 9}

Từ đỉnh vào V= (V1,V2, …Vs) sang đỉnh t= (t1, t2, ..., ts) thuộc đường tròn nhỏ,

có cung nhãn a

ti ei a

V= (V1,V2, …Vs) t= (t1, t2, ..., ts)

a

38

khi và chỉ khi i,(i 1,s)

trong nguồn thành phần Ii từ đỉnh vào Vi sang đỉnh ti có cung nhãn a.

Ii:

b. Cung xuất phát từ các đỉnh thuộc đường tròn nhỏ.

Với mọi chữ số b {0, 1, 2, …, 8, 9}

Và với đỉnh t= (t1, t2, ..., ts) thuộc đường tròn nhỏ, trên đường tròn lớn đỉnh

e= (e1, e2, …, es) được xác định và từ đỉnh t sang đỉnh e có cung nhãn b

khi và chỉ khi i,(i 1,s) trong nguồn thành phần Ii từ đỉnh ti sang đỉnh ei có

cung nhãn b

Ii:

Sau đây xin trình bày một số bài toán ví dụ về nguồn giao có nhiều tính chất

ti Vi a

t= (t1, t2, ..., ts) e= (e1, e2, ..., es) b

ei ti b

39

§2. MỘT SỐ NGUỒN MINH HỌA

Ví dụ 1. Hãy xây dựng nguồn I sinh tất cả các số nguyên dương mà mỗi số

này chứa một chữ số 0 và chia cho 3 còn dư 1.

Tập số do nguồn I sinh ra có hai tính chất:

Tính chất thứ nhất: Mỗi số chứa đúng một chữ số 0

Tính chất thứ hai: Mỗi số chia cho 3 đều có số dư là 1.

Bởi vậy tập số do nguồn I sinh ra là giao của hai tập số: M1 gồm tất cả các số

nguyên dương mà mỗi số này đều chứa đúng một chữ số 0, M2 gồm các số

nguyên dương chia cho 3 còn dư 1.

Do đó để có nguồn giao I ta phải xây dựng nguồn I0 sinh tập số M1 và nguồn

13I sinh tập số M2, rồi xây dựng nguồn giao của I0 và 1

3I

1. Xây dựng các nguồn thành phần.

a. Nguồn I0

V1 V2 V3

1,2,…,9

1,2,…,9 1,2,…,9

0

40

b. Nguồn 13I ( xem tại trang 23)

2. Xây dựng nguồn giao I

a. Đỉnh

Đỉnh vào: (V, V1)

Tập đỉnh trong: {0, 1, 2}{V2, V3}= {(0, V2 ),(1, V2),(2, V2),(0, V3),(1, V3),(2,

V3)}.

Đỉnh kết: (1, V3)

41

b. Cung

Các cung xuất phát từ đỉnh vào (V, V1)

Do trong 13I từ đỉnh vào V sang đỉnh 0 có ba cung với nhãn tương ứng là 3,6,9

và trong nguồn I0 các cung nhãn 3, 6, 9 cùng đi từ đỉnh vào V1 sang đỉnh V2, nên

trong nguồn giao I từ đỉnh vào (V, V1) sang đỉnh (0, V2 ) có ba cung với nhãn

tương ứng là 3, 6, 9.

3

Để hình vẽ được đơn giản hơn khi có nhiều cung cùng đỉnh xuất phát và cùng

đỉnh đi vào ta chỉ giữ lại một cung rồi ghi nhãn của tất cả các cung bị xóa lên

cung đó.

Bằng cách xác định tương tự các cung còn lại, theo thuật toán xây dựng nguồn

giao ta được nguồn I là hình vẽ sau:

V,V1 0,V2

6

9

V,V1 0,V2

3 6 9

42

0,V2

0,V3 2,V3

1,V2 2,V2

V,V1

3 6 9

3 6 9 3 6 9

3 6 9

3 6

9

3 6 9

3

6

9

1 4 7

2 5

8

25

8

1 4

7

1,V3

0

I

43

Ví dụ 2. Hãy xây dựng nguồn K sinh tất cả các số nguyên dương mà mỗi số

này chia cho 3 còn dư 1 và chia cho 4 còn dư 3.

Tập số do nguồn K sinh ra là giao của tập số do nguồn 13I sinh ra và tập số do

nguồn 34I sinh ra. Bởi vậy, để có nguồn K ta chỉ việc xây dựng nguồn giao của

13I và 3

4I .

Để có nguồn K cần xác định đỉnh và cung.

1. Đỉnh

Đỉnh vào là cặp (V, V1)

Tập đỉnh trong: {0, 1, 2}{0, 1, 2, 3}= {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0),

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

Đỉnh kết: (1, 3)

Vì số đỉnh tăng thì số cung cũng tăng theo nên nguồn cần xây dựng ngày

càng phức tạp. Do vậy đối với nguồn giao thường xây dựng dạng hai tầng

đỉnh

Tầng thứ nhất ghi toàn bộ các đỉnh trong. Tầng thứ hai cũng ghi toàn bộ

các đỉnh trong.

Ngoài ra để dễ theo dõi tầng đỉnh thứ nhất còn được chia làm nhiều mảng.

Đối với mỗi mảng tầng thứ hai ghi toàn bộ các đỉnh trong.

Đối với nguồn K, tầng đỉnh thứ nhất được chia thành ba mảng:

Mảng thứ nhất gồm bốn đỉnh: (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)

Mảng thứ hai gồm bốn đỉnh: (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)

Mảng thứ ba gồm bốn đỉnh: (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)

44

2. Cung

a. Cung xuất phát từ đỉnh vào.

Từ đỉnh vào (V, V1) xuất phát chín cung đều chỉ đi tới các đỉnh thuộc tầng

thứ nhất. Cung nhãn a{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} đi tới đỉnh (i, t) khi và chỉ

khi trong nguồn 13I cung nhãn a đi từ đỉnh V sang đỉnh i và trong nguồn 3

4I

cung nhãn a đi từ đỉnh V1 sang đỉnh t:

K:

↔

13

34

I :

I :

b. Cung xuất phát từ các đỉnh thuộc tầng một

Các cung xuất phát từ đỉnh thuộc tầng một chỉ đi tới đỉnh thuộc tầng hai.

Cung nhãn b {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} xuất phát từ đỉnh (p, q), ( p

{0, 1, 2}, q {0, 1, 2, 3}) thuộc tầng một và đi tới đỉnh (u, v), (u {0, 1,

2}, v {0, 1, 2, 3}) thuộc tầng hai khi và chỉ khi trong nguồn 13I cung

nhãn b đi từ đỉnh p sang đỉnh u và trong 34I cung nhãn b đi từ đỉnh q sang

đỉnh v.

(V,V1) (i,t) a

V i a

V1 t a

45

K:

↔

13

34

I :

I :

(p,q) (u,v) b

p u

q v

b

b

46

Nguồn K ( Phần tương ứng với mảng đỉnh {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} của

tầng một).

(V,V1)

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)

0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 2,3 1,3

6 7 8

47

Nguồn K ( Phần tương ứng với mảng đỉnh {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)} của tầng

một).

(V,V1)

(1,0) (1,1) (1,2)

0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 2,3 1,3

7 3 2

(1,3)

48

Nguồn K ( Phần tương ứng với mảng đỉnh {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} của tầng

một).

(V,V1)

(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)

0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 2,3 1,3

3 7