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FORMULAZIONE DIFFERENZIALE
Descrizione delle proprietà locali dei campi introducendo gli operatori differenziali
GRADIENTE DI UNO SCALARE
(x,y,z) campo scalare continua e derivabile
ds = dx i + dy j + dz kspostamento infinitesimo a partire da un punto P(x,y,z)
La variazione corrispondente della funzione dipende dal modulo e dalla direzione di ds
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*dzz
dyy
dxx
zyxdzzdyydxxd ,,,,
Introducendo il vettore
kjizyx
grad
la (*) si può riscrivere
dsgraddgradd Sus
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Derivata direzionale di (x,y,z)
nella direzione individuata dal versore uS:
cosu gradgrad
dsd
S
angolo tra uS e la direzione di grad
componente di grad nella direzione di uS
se Sgrad //umassimoèdsd
Sgrad use0dsd
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Modulo di grad = valore assoluto massimo di
dsd
Direzione e verso di grad direzione e verso per la quale
massimoèdsd
costante 0
dsd
superficiealla grad costantezyx ,,
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Formalmente il gradiente è un operatore differenziale che applicato ad uno scalare definisce un campo vettoriale
kjizyx
grad
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Si definisce divergenza del vettore v la grandezza scalare
zv
y
v
xv
div zyx
v
Teorema della divergenza: trasformazione di un integrale di superficie in un integrale di volume
S superficie chiusa che racchiude il volume V
S V
dVdivdΣ vnv
kjiv ZYX vvv vettore
Divergenza di un vettore
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dy
dxP’
P
i
x
y
z
Consideriamo un parallelepipedo elementare di spigoli dx,dy,dz
dx, flusso totale attraverso tali facce, dipende solo da vX (P) e vX (P’):
i, i versori delle normali alle facce perpendicolari all’asse x
-iP(x,y,z)
P’(x + dx,y ,z)1dz
2
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dydzzyxvzydxxv xx ,,,,
Quindi x2x1x ddd
dzyd z)y,(x,vd xx1
dydz d S
dzyd z)y,dx,(xvd xx2
dxdydzx
vd X
X
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In maniera analoga
il flusso totale attraverso le facce all’asse y è
il flusso totale attraverso le facce all’asse z è
Il flusso totale attraverso la superficie del parallelepipedo elementare è
dxdydzy
vd Y
Y
dxdydzz
vd Z
Z
dVdivdxdydzz
vy
v
xv
d zyx v
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dVd
divv
Divergenza = operatore differenziale che, applicato ad un campo vettoriale, dà come risultato la densità di flusso uscente da dV
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Si suddivide il volume V in tanti parallelepipedi elementari e si sommano tutti i flussi, ottenendo il flusso attraverso la sola superficie esterna, poiché i contributi d relativi alle facce interne si elidono
Flusso totale attraverso una superficie finita
dVdivdV S
Svnv
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nP
v campo vettoriale
Rotazionale di un campo vettoriale: TEOREMA DI STOKES
P punto del campo
linea chiusa nell’intorno di P
sv d
circuitazione del campo v
S superficie che ha come contorno, passante per P
n versore della normale positiva ad S, orientato in modo che il verso di percorrenza su sia antiorario
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Si definisce rotazionale di un vettore v il vettore
zyx vvvzyx
rot
kji
v
Teorema di Stokes
dSrotd S nvsv
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x
y
z
Consideriamo un rettangolo infinitesimo all’asse z di lati dx, dy nell’intorno di P
P(x,y,z) punto del campo
n k
dxdy
P
Circuitazione di v lungo il rettangolino
Contributo lungo i due lati // all’asse y
dyzydx
xvzydx
xv yy
),,(),,(
22dxdy
x
vy
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Contributo lungo i due lati // all’asse x
x
y
z
n k
dxdy
P
dxzdy
yxvzdy
yxv xx
),,(),,(
22dydx
yvx
Si ha quindi la circuitazione di v lungo il rettangolino
dxdyx
vy
dydx
yvx
dxdy
yv
x
v xy
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zzdrot S v
Per un rettangolino all’asse x di lati dy, dz di superficie
dxdyddove z S
dydzd x S
xxdSrot v
la circuitazione di v lungo il rettangolino vale
Analogamente
Per un rettangolino all’asse y di lati dx, dz di superficie
dxdzd y Sla circuitazione di v lungo il rettangolino vale
yydrot Sv
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Per un elemento di superficie dS comunque orientato rispetto agli assi x,y,z, si può dimostrare che
la circuitazione di v lungo il suo contorno è pari alla somma dei tre termini precedenti
Circuitazione di v lungo una linea finita Suddividiamo S appoggiata a in due parti, aventi 1 e 2 come contorno
21
S zzdrot v xx drot Sv yydrot S v
S drot nv
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21
21 somma delle circuitazioni
I tratti interni non danno contributo alla somma, in quanto percorsi due volte in senso inverso,quindi
Suddividendo S in infinite areole infinitesime e applicando ad ogni coppia di areole contigue le considerazioni precedenti, si ha
S S
drotdN
1ii
Nnvsvlim
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SS
i
N
1i i
i
N
N
1ii
Nlimlim
S S S SS
Sdrotd
i
i
0i
nvlim
nvlim S
Srot
i
i
0i
Quindi
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Utilizzando l’operatore come un vettore
kjizyx
vv divz
vy
v
xv zyx
gradzyx
kji
v v
kji
rot
vvvzyx
zyx
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0 A
2
2
2
2
2
2
2
zyx
Laplaciano2
0 0gradrot
0Arotdiv
graddiv
operatore scalare
zzyyxx
Applicato ad un vettore A
kjiA zyx AAA 2222
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Ricordando la proprietà del triplo prodotto vettoriale
CBABCACBA
Per il prodotto triplo misto vale
CBACBA Per l’operatore si ha
BAABBA
AA 2divgrad
AAAA 2rotrot
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FORMULAZIONE DIFFERENZIALE DELL’ELETTROSTATICA
V potenziale elettrostatico
E campo elettrostatico
VgradV E
kji
zV
yV
xV
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0
INTQd
S
SnE
Teorema di Gauss in forma integrale
Teorema di Gauss in forma differenziale0
divE
SS V 0V
dVdVdivd EnE
La divergenza è proporzionale alle sorgenti di flusso (coulombiane)
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E campo elettrostatico conservativo
0d sE
Teorema di Stokes
0drotd S S
nEsE
0rot E
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S superficie chiusa arbitraria, che delimita una regione
Per il principio di conservazione della carica elettrica:a una fuoriuscita complessiva di carica attraverso la superficie chiusa S deve corrispondere una diminuzione della quantità di carica contenuta nella regione V delimitata da S
Conservazione della carica elettricaEquazione di continuità
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n
S
J
dtdq I INT
USC
S
S VVUSC dV
tρ
dVdtd
dI nJ
VVdV
tρ
dVdiv J
Per il teorema della divergenza
Consideriamo le variazioni per unità di tempo
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conservazione della carica in termini differenziali: equazione di continuità per la carica elettrica
Nel caso di cariche in moto stazionario la densità di carica non può variare nel tempo Quindi in regime stazionario
0 J
Poiché il volume V è arbitrario
J campo solenoidaleLe linee di campo di J, dette linee di corrente, devono essere chiuse, senza sorgenti o pozzi
t J