lycée ‘’ mihai eminescu “ iassy
DESCRIPTION
Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy. Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe : le XI- ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy
Fonction logarithme Fonction exponentielle
Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton
- 31 octobre 2011-
Les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles dans la vie quotidienne
chimie : pH, ...
acoustique : décibel, …
biologie : magnitude, …
musique : savart, construction des gammes, …en Physique (la radioactivité)
et bien d’autres applications encore …
Lexique
logarithme népérien fonction logarithmigue/fonction logarithme fonction exponentielle( de base a ) puissance logarithme décimal bijective surjective inversable asymptote horizontale asymptote verticale tableau de valeurs monotonie courbe axe de symétrie bissectrice domaine de définition équations inéquations
~ La fonction logarithmique
I)Définition et lois des LOGARITHMES
On sait que 3x = 27 x = log3 27
an = x n = loga xdonc
Par conséquent : loga 1 = 0
loga c = 1
(car a0 = 1)
(car a1 = a)
Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1
Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4
!!!!!!Remarques:->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes.->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .
Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax =n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note loga x
Proprietes des logarithmesNote : log3 x2 ≠ log3 2x
log3 x2 = log3 (x • x)
log3 2x = log3x • log3x
car
Exemples :
b) Simplifier log2 x2 – log2 x .
log2 x2 – log2 x = log2 x2
x
= log2 x
a) Simplifier .log2 9
log2 3
log2 9
log2 3=
log2 32
log2 3=
2 log2 3
log2 3= 2
c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 (2x4 • 3)log6 2x4 + log6 3 = = log6 6x4
= log6 6 + log6 x4
= 1 + 4 log6 x
Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=loga x)1.f(1)=02.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1< loga x2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1> loga x23.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, loga x >0 si x>1 et loga x<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , loga x>0 si 0<x<1 et loga x<0 si x>1 On remarque que loga x si et seulement si a et x ont la même position par rapport à un.Plus précisément ,si la base et l`argument sont inférieurs à 1 ou supérieurs à 1 , à la fois ,alors loga x>0 ,sinon , loga x<0.Une manière très pratique d’exprimer ce résultat est la suivante :
sign(loga x)=sign(a-1)(x-1)
4. f est un fonction bijective donc, inversable.Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout y réel, il existe un seul x= ay réel strictement positif,qui est la solution de l`équation:loga x=y. Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=loga y pour tout y réel strictement positif.
5.LES TABLEAUX DE VARIATION:
Pour a>0
X 0 1 ∞
| ∞ ↘ 0 ↘ -∞
X 0 1 ∞
| -∞ ↗ 0 ↗ ∞
Pour 0<a<1
*On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.
1
1
1
1
6.Graphique: est trasé pqr des points . Gf admit des asymptotes.7.L`intersection avec l`xOy : 0 ( ) 0 log 0 1 (1,0)aGf Ox y f x x x A
8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’inéquations:
1 2 1 2log log
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a inj
a a inj
x x x x
u x v x u x v x
9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations.
loga x=y=>x= ay
10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle
f: ->(0, ∞) , f(x)= ax
et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x
sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice
Équations logaritmiques et graphique
f(x) = logc x (forme générale de BASE)
f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
x = h (Équation de l’asymptote)
f(x) = log2 xExemple :
f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5Exemple: :
x f(x)
0
1 0
2 1
4 2
8 3
½ -1
1)f(x) = log2 x
(forme générale de BASE où c 1 )
1
1
¼ -2
Asymptote x = 0
Exemple :
x f(x)
0
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
½ 1
2)f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c ]0, 1[ )
1
1
¼ 2
Asymptote x = 0
x f(x)
-4
-3 0
-2 1
0 2
4 3
3)f(x) = log2 (x + 4)
(forme c 1 et h = -4)
1
1
Asymptote x = - 4
1
1
Asymptote x = h
f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
x = h (Équation de l’asymptote)c 1
c ] 0 ,1 [
Dom f = ] k , +∞
Ima f =
x f(x)
-4
-3 0
-2 1
0 2
4 3
1) f(x) = log2 (x + 4)(forme c 1 et h = -4)
1
1
Asymptote x = - 4
Résolutions d’inéquationsExemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .
1
1
Asymptote x = 6
Asymptote x = - 4
log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .
Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .
log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9
log2 (x + 4) + log2 (x – 6) 9 – 5
log2 [ (x + 4) • (x – 6) ] 4
(x + 4) • (x – 6) 24
x2 – 2x – 24 16
x2 – 2x – 40 0
x1 – 5,40 x2 7,40
Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0donc que x > - 4et que x > 6
À rejeter
Réponse : x [ 7,40 , +
Exemple #2 :
(x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5
Réponse : x [ - 0,12 , +
Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 .
log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 .
(x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7)
- 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7
- 0,2 ≤ 1,7x
- 0,12 ≤ x
Base naturelle « e »Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme :
e ≈ 2,7182818…
ex = y x = loge y
Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :
Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x.
C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels.
loge x = ln x
La fonction Exponentielle
Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors ax est défini. On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats d’analiyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels
1 1( ) , ( )nn n nr s ,tel que
1 2 1 2 1.. ... ....n n nr r r x s s s s Note:On peut prendre les suites
1 1( ) , ( )nn n nr s comme les approximations
décimalesPar défaut ;respectivement par excès:
2.Si a est un réel, a>0 et 1
( )nn
ret 1( )n ns
est une suite convergente de nombres rationnels
alors la suite et est aussi convergente.1( )nr na 1( )ns na 3.Pour tous réels x et y, ex > ey x > yex = ey x = y ex > 1 x > 0 ex < 1 x < 0
Propriétés des logarithmes
( )
( )
( )
x y xy
x y xy
x x x
xx
x
xx y
y
a a a
a a
ab a b
a a
b b
aa
a
base exposant = puissance
TERMINOLOGIE
Ex. : 32 = 9
LOIS DES EXPOSANTS
am • an = am + n
am
an= am – n
(ab)m = am bm
a
b=
am
bm
m
a - m =1
am
(am)n = amn
Proprietes de la fonction exponentielle
1.f(0)=12.La monotonie de f- f strictement croissante pour a>1,ce qui équivaut à: tous
-f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à:
1 21 2 1 2, , x xx x x x a a
1 21 2 1 2, , x xx x x x a a
5.LES TABLEAUX DE VARIATION:
Pour a>0
X -∞ 0 ∞
f(x)= ∞ ↘ 1 ↘ 0
X -∞ 0 ∞
f(x)= 0 ↗ 1 ↗ ∞
Pour 0<a<1
*On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.
xa
xa
6.Graphique: est trasée pqr des points . Gf admet des asymptotes.7.L`intersection avec l`xOy
0 2 0xf xG O y x
8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’équations.
9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations..
1 21 2
( ) ( ) ( ) ( )
x x
u x v x
a a x x
a a u x v x
log
x
a
a y
x y
10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle
f: ->(0, ∞) , f(x)= ax
et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x
sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice
De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.
Exemple :
Réponse : x { -1,7 }
3x = 2x – 1
log 3x = log 2x – 1
x • log 3 = (x – 1) • log 2
x • (0,477) = (x – 1) • (0,3)
0,477x = 0,3x – 0,3
0,177x = – 0,3
x = – 1,7
Avec LOGAvec LOG
Réponse : x { -1,7 }
3x = 2x – 1
ln 3x = ln 2x – 1
x • ln 3 = (x – 1) • ln 2
x • (1,1) = (x – 1) • (0,7)
1,1x = 0,7x – 0,7
0,4x = – 0,7
x = – 1,7
Avec LNAvec LN
Équations et graphique
f(x) = cx (forme générale de BASE)
f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE)
f(x) = 2xExemple :
f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5Exemple :
f(x) = 3 • 2x – 3 + 5Exemple :
x f(x)
0 - 4,3
1 - 3
2 1
3 13
-1 - 4,8
-2 - 4,9
1)f(x) = 2 • 3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE)
1
1
y = - 5 (asymptote)
2)f(x) = a cb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)
1
1
y = k (asymptote)
y = k Équation de l’asymptote
Dom f = Ima f = ] k , +∞
c 1c ] 0 ,1 [
72 = 72x – 1
Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .
0 = 11 (72x – 1) – 539
Réponse : x { }
539 = 11 (72x – 1)
49 = 72x – 1
2 = 2x – 1
3 = 2x
= x3
2
3
2
Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 .1
2
0 = (6x+1) – 1081
2
108 = (6x+1)1
2
216 = 6x+1
63 = 6x+1
3 = x + 1
2 = x
Réponse : x { 2 }
( )4 = ( )3x
Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 .1
5
0 = 625 ( )3x – 11
5
= ( )3x1
625
= x Réponse : x { }
1
5
= ( )3x1
54
1
5
1
5
1
5
4 = 3x
4
34
3
2-16x = 2-10x + 18
Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 .
( )8x = 2-10x + 18
Réponse : x { -3 }
(2-2)8x = 2-10x +18
-16x = -10x + 18
-18 = 6x
-3 = x
1
4
1
22
Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 .
-26 + 234 (3-0,08x) < 52
y = - 26 (asymptote)
y = 52
3
10
234 (3-0,08x) < 78
3-0,08x <
3-0,08x < 3-1
-0,08x < -1
x 12,5
1
3
Réponse : x ] 12,5 , + ∞
À partir d’un problème de « BACTÉRIES » …
Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ?
f(x) = 500 (2)x/5
128 000 = 500 (2)x/5
256 = (2)x/5
28 = 2x/5
8 = x
5
40 = x
Réponse : Après 40 heures.
Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.Laquelle est la plus avantageuse ?
C(t) = 1000 (1 + )3t
C(t) = 1000 (1,01667)3t
C(3) = 1000 (1,01667)3(3)
Après 3 ans…b) Règle générale…
C(3) ≈ 1160,40
Réponse : 1160,40 $
0,05
3
C(t) = 1000 (1 + )12t
C(t) = 1000 (1,0041667)12t
C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)
Après 3 ans…c) Règle générale…
C(3) ≈ 1161,47
Réponse : 1161,47 $
0,05
12
C(t) = 1000 (1 + )1t
C(t) = 1000 (1,05)t
C(3) = 1000 (1,05)3
Après 3 ans…a) Règle générale…
C(3) ≈ 1157,63
Réponse : 1157,63 $
0,05
1
Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes :a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5
= e xe)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1
g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5)
2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.
Sources principales: http://matematicadnl.wikispaces.com/ www.wikipedia.com “Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu
Programs utilisés: Microsoft Office 2007;Mathtype 6.7;Graph 4.3;Paint;