NGUYỄN DUY TIẾN - vũ VIẾT YÊN

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Tái bán lần thứ nhất)

00501

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

á

LỜI NÓI Đ Ầ U

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Nói một cách đại khái thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng ta không thể nói trước nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu t iến hành

quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong những hoàn cảnh như nhau, thì trong nhiều trưừng hợp ta có thể rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này. Chằng hạn, ta không thể nói trước một hạt giống có nảy mầm hay không khi gieo xuống đ ấ t canh tác, nhưng nếu gieo nhiều hạt thì ta có thể rút ra được chất lượng tố t hay xấu của hạt giống. Lý thuyết xác

suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng "tưừng chừng" như không có quy luật.

Lý thuyết xác suất ra đừi vào nửa cuối thế kỷ thứ 17 ừ nước Pháp. Hai nhà toán học vĩ đại của nước Pháp là Blaise Pascal (1623-1662) và Pierre de Ferraat (1601-1665) đã trao đ ổ i thư từ với nhau dể bàn về một số bài toán liên quan đến trò chơi may rủ i . Những bài toán này và các phương pháp giải chúng có thể xem là những nghiên cứu đầu tiên của lý thuyết, xác suất. Tuy nhiên, trước đó. ừ Italia các nhà toán học Cardano (1501-1576), Pacioli (1445-1509), Tartaglia đã giải một số bài toán riêng lé trong trò chơi may rủ i .

Những bài toán kiểu Pascal và Fermat ảnh hưừng và khích lệ các nhà toán học trẻ (thừi bấy giừ) như Huygens, Bernoulli và De Moivre t iếp tục nghiên cứu xác suất. Đấy là những ngưừi có công đầu tiên sáng tạo ra cơ sừ toán học của lý thuyết xác suất. Có lẽ Cardano và Huygens (1629-1695) là những ngưừi đầu tiên viết

sách về xác suất (sách của Cardano xuất bản năm 1663, tức là 100 năm sau khi ông viết xong tác phẩm này; sách của Huygens công bố năm 1657).

4

Lịch sử thực sự của lý thuyết xác suất bắt nguồn từ các còng trình James Bernoulli (1654-1705). Ông là người phát minh ra Luật Số Lớn. Chính vì lý do đó, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới mang tên Bernoulli.

De Moivre (1667-1754) là tác giả của Định Lý Giới Hạn Trung Tâm (trường hợp đối xứng), một trong những thành tựu quan trụng nhất của xác suất.

Năm 1812, P. s. Laplace (1749-1827) công bố cuốn sách "The-orie Analytique des Probabilities" (Lý Thuyết Giải Tích của Xác Suất). Cuốn sách này được xem là một đóng góp rất to lớn của Laplace trong xác suất. Ong là tác giả của Định lý giới hạn trung tâm (trường hợp không đối xứng), và là người đầu tiên áp dụng lý. thuyết xác suất vào các vấn đề liên quan tới sai số quan sát.

s. D. Poisson (1781-1840) vác. F. Gauss (1777-1855) là những hục giả tiếp thêm sức mạnh cho xác suất ứng dụng. Poisson là tác giả của Luât Biến cố Hiếm nổi tiếng; Gauss là tác già của lý thuyết sai số và đặc biệt đã sáng tạo ra Phương Pháp Bình Phương Tố i Thiểu.

P. L. Chebyshev (1821-1894), A. A. Markov (1856-1922). A. M. Liapunov (1857-1918), A. Ya. Khinchin là những nhà toán hục: người Nga có rất nhiều dóng góp cho sự phát triền của lý thuyết

xác suất. Hụ đã sử dụng các phưcrng pháp moment, hàm đặc. trưng để nhận đirợc những định lý giới hạn quan trụng. Đặc biệt Markov là người đã dưa ra mô hình Markov; Khinchin là tác gia của Luât Loga Lấp.

Lý thuyết xác suất hiện đại đi theo hướng tiên dề hóa. Các

nhà toán hục có công lớn trong hướng này là Berstein (1880-1968), von Mises (1883-1953), Borel (18871-1956), p. Levy. Tuy nhiên, phải chờ đến sự ra đời cuốn sách "Foundations of the. Theory of Probability, 1933" của Kolmogorov, giới toán hục mới công nhận

5

xác suất là một lĩnh vực toán học chặt chẽ. Hệ tiên đề về xác suất của Kolraogorov được hầu hết các nhà toán học thừa nhận.

Ngày nay lý thuyết xác STiất là lĩnh vực toán học có cơ sờ lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người t ừ âm nhác tới vật lý, từ văn học tới thống ké xã hội, từ cơ học tới thổ t rường chứng khoán, t ừ dự báo thà i t i ế t tá i kinh tế, từ nông học tới y học.

Ở nước ta xác suất được dạy đầu tiên tạ i trường Đại Học Tổng Họp Hà Nội từ những năm đầu 1960 thế kỷ 20, và ngày nay đã được giảng day tại hầu hết các t rường đạ i học. Có lẽ cuốn sách xác suất nước ngoài đàu tiên được dổch ra tiếng Viêt là: "The Theory

of Probability" của Gnedenko. (do Nguyễn Bác Vàn, H ồ Quỳnh xà Nguyễn Quý Mỹ dổch từ nguyên bản tiếng Nga). Đấy là tài liệu quí, giúp người Việt học xác suất bằng tiếng Việt .

Trong hem bốn mươi năm qua, số sách về xác suất thống kè ờ nước ta đ ã được xuất bản khá nhiều. Đặc biệt là những năm gần đây (1990-2000) đã có nhiều tác giả viết sách xác suất thống kê dưới hình thức phổ biến đại trà những kết quả cơ bàn nhất của xác suất và thống kê, nhưng thiếu cơ sờ toán học chặt chẽ tớ i mức cần thiết . Mục đích chính của cuốn sách này là cung cấp cho đọc giả những kiến thức toán học cơ bán nhất làm nền tảng cho xác suất thống ké. Vì thế cuốn sách này sẽ có ích cho các sinh viên và

những ai muốn đi sâu nghiên cứu xác suất thống kê.

Nội dung cuốn sách này được viết theo hệ tiên đề Kolrnogorov.

Chúng tòi lấy các sách [1]- [22] làm tài l iệu tham khảo. Cuốn sách này có lo chương. Chương Ì trình bày vắn tắ t các kết quả cơ bản nhất của xác

suất cố điển. Chướng 2 trình bày các khái niệm cơ bản của xác suất dựa

trên lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue.

6

Chương 3 trình bày biến ngẫu nhiên và hàm phản phối, tính độc lập.

Chirang 4 trình bày các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai và các tính chất cơ bản nhất của chúng.

Chương 5 dành cho các khái niệm hội tụ của biến ngẫu nhiên: hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ trung bình. hội tụ theo phân phối,...

Chương 6 trình bày giải tích Fourier: hàm đặc trưng, một trong những công cụ quan trọng của giải tích đe nghiên cứu lý thuyết xác suất.

Chương 7 dành cho những đạnh lý giới han của tổng các biến

ngẫu nhiên độc lập: luật số lớn, đạnh lý giới hạn trung tâm. Chương 8 nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên

độc lập, luật mạnh số lớn là mục đích chính của chương này. Trong xác suất cố điển, khái niệm độc lập chiếm vạ trí trung

tâm. Như ta sẽ thấy, các kết quả quan trọng trong các chương 1-8 thường có mặt giả thiết độc lập. Trong hai chương 9-10 của tài liệu này khái niệm phụ thuộc theo nghĩa nào đó sẽ được xét tới.

Chương 9 dành cho lý thuyết martingale với thời gian rời rạc. Nội dung chính của chương 9 là Các bất đằng thức; Các đạnh lý hội tụ; Thời điểm dừng. Bất, đẳng thức Doob và đạnh lý Doob về

sự hội tụ của martingale là mục đích chính của chương 9. Chương 10 trình bày các đạnh nghĩa cơ bản và nêu một số

mô hình ứng dụng quan trọng của xích Markov. Trong chương này bạn cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như: tính Markov, xác suất chuyển, phirơng trình Chapman-Kolmogorov, phân phối dừng, đạnh lý ergodic, phương pháp phân tích birớc thứ nhất và ba bài toán liên quan.

7 Nội dung của cuốn sách này đã được các tác giả và các bạn

đồng nghiệp giảng dạy trong nhiều năm ỏ trường ĐHTH và trường ĐHSP Hà Nội.

Chúng tôi xin chân thành cám ơn các bạn đồng nghiệp ở tổ bộ môn xác suất thống kê của hai trường đại học nói trên.

Chúng tôi bày tồ lòng biết ơn đối với Nhà xuất bản Giáo dục và T.s Nguyữn Huy Đoan, T.s Trần Phương Dung đã động viên chúng tôi viết tài liệu này. Đặc biệt ông Nguyữn Trọng Bá đã đóng góp cho chúng tôi nhiều ý kiến về nội dung của cuốn sách này.

Cám ơn những người đã đọc bản thảo và cho những nhận xét quí báu.

Cám ơn Nguyữn Thị Vân Hoa , Phạm Thị , Dư Đức Thắng đã cùng chúng tôi đánh máy bản thảo dưới dạng Tex.

Dù đã rất cố gắng, song chắc còn một số sai sót, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp, phê bình của bạn đọc.

CÁC TÁC GIẢ

M ự c L Ụ C

Lời nói đầu 3

Chưcmg 1. Mô hình xác suất rời rác

1.1 Không gian xác suất rái rạc 12 1.2 Định nghĩa cổ điển của xác suất 17 1.3 Xác suất điều kiện. Sự độc lập 23 1.4 Dãy các phép thử 28 1.5 Phản phối giới hạn -.- V 36 Bài tập 40

Chương 2. Không gian xác suất tổng quát

2.1 Hệ tiên đề 45

2.2 Không gian đo 52 2.3 Phần tử ngu nhiên 55 2.4 Tích các ơ-đại số 58 2.5 Xây dựng không gian xác suất 59 Bài tập 70

Chương 3. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

3.1 Biến ngu nhiên 73 3.2 Phần từ ngu nhiên 78 3.3 Hàm phân phối xác suất của biến ngu nhiên 79 3.4 Phân phối của véc tơ ngu nhiên 85 3.5 Phân phối của hàm của biến ngu nhiên 89 3.6 Tính độc lập 91 3.7 Phân phối của tổng các biến ngu nhiên độc lập 96 Bài tập l o i

9

Chương 4. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

4.1 Kỳ vọng toán 104 4.2 Khái niệm hầu chắc chắn 112 4.3 Tính kỳ vọng 113 4.4 Một số ví dụ 115 4.5 K h ả tích đều 116

4.6 Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên 122 4.7 Không gian C? 124 4.8 Quan hệ với tính độc lập 129 4.9 Kỳ vọng của hàm của véc tơ ngẫu nhiên 133 4.10 Tích các độ đo 135 4.11 Kỳ vọng điều kiện 141 4.12 Xác suất điều kiện chính quy : lõi) Bài tập 152

Chương 5. Sự hôi tu của dãy biến ngẫu nhiên và phân phối

5.1 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên 158 5.2 Sự hội tụ của các phân phối 169 5.3 Compact tương đối 178 Bài tập 183

Chương 6. Hàm đặc trưng

6.1 Định nghĩa và các tính chất của hàm đổc t rưng 187 6.2 Một số tính chất của hàm đổc t rưng 189 6.3 Công thức ngược 193 6.4 Định lý về tính chất liên tục 196 6.5 Định lý Bochner -200 6.6 Một, vài nhận xét về hàm đổc t rưng của phân phổi nhiều chiều 202

10

6.7 Phản phối chuẩn nhiều chiều 203

Bài tập 209

C h ư ơ n g 7. Các đ inh lý gió*! han theo p h â n phối của tổng các b i ến ngẫu nhiên dóc láp

7.1 Một số bất đằng thức 214 7.2 Định lý Poisson và tốc độ hội tụ 215 7.3 Luật số lớn với các biến ngẫu nhiên độc lập tuy ý . . . . 219 7.4 Định lý giới hạn trung tâm 221 7.5 Phân phối chia được vô hạn 233 7.6 Phản phối ổn định 236 Bài tập 241

C h ư ơ n g 8. Tổng các biến ngẫu nh iên dóc lập và Luât số lớn

8.1 Sệ hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập 246 8.2 Luật mạnh số lớn 256 Bài tập 266

C h ư ơ n g 9. Martingale vớ i t h ờ i gian r ờ i rạc

9.1 Khái niệm tương thích và dệ báo được 274 9.2 Thời điểm Markov và thời điểm dừng 275 9.3 Martingale 281 9.4 Các bất đẳng thức cơ bản 301 9.5 Các định lý hội tụ 306 9.6 Martingale chính quy 310 9.7 Martingale bình phương khả tích 317 9.8 Luật số lớn 320 9.9 Hằng đằng thức Wald 324 Bài tập 326

I ]

Chương 10. Xích Markov v ố i thờ i gian r ờ i rạc

10.1 Tính Markov 329 10.2 Xích Markov rời rạc và thuần nhất 333 10.3 Một số mô hình xích Markov 338 10.4 Xích Markov có hữu hạn trạng thái 344 10.5 Mò hình phân chia thị trường 356 10.6 Mô hình trò chơi hai đấu thủ 360 10.7 Phân tích bước thứ nhất 365 Bài tập 374 Bảng ký hiệu 390 Tài liệu tham khảo 393

12

Chương Ì

MÔ HÌNH X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C

Mục đích của chương này là trình bày vắn tắt các khái niệm cơ bản của xác suất cổ điển.

1.1 Không gian xác suất rời rạc

1.1.1 Phép thử và biến cố

Trong toán học có những khái niệm không có định nghĩa mà

chỉ có thể mô tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác. Chằng hạn, trong hình học các khái niệm điểm, đưừng thẳng, mặt phang là những khái niệm không có định nghĩa. Trong xác suất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản không có định nghĩa. Ta

hiểu phép thừ là một thí nghiệm hay quan sát nào đó. Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không thể dự báo trước kết quà nào

sẽ xảy ra. Thưừng trong mỗi phép thử (thí nghiệm) có nhiều kết

quà xẩy ra. Có kết quả đơn giản, và cũng có những kết quả phức hợp. Chẳng hạn, khi quay xổ số, nếu ta chỉ quan tâm tới hai số cuối, thì mỗi sự xuất hiện một trong các số từ 00,01,..., 98,99 là những kết quả đom giản nhất; trong khi đó, sự xuất hiện các số chăn. lè, đầu 5. đuôi 2,... là những kết quả phức hợp (gồm nhiều

kết quả đơn giản nhất hạp thành). Kết quả đơn giản nhất

13

đ ư ơ c gói là b i ế n cố sơ cấp (g iống n h ư k h á i n i ê m đ i ể m t r o n g h ì n h hoe, nó k h ô n g có đ ị n h nghĩa c h í n h x á c ) . T ậ p h ơ p g ồ m t ấ t cả các b i ế n cố sơ cấp đ ư ơ c gói là k h ô n g gian m ẫ u (sample space) hay k h ô n g gian các b i ế n cố sơ cấp . M ỗ i t á p con của k h ô n g gian m ẫ u đươc gói là b i ế n cố.

Ta có thể hình dung không gian mẫu là một phần nào đó cùa mặt phang; biến cố sơ cấp là một điểm của phần này và mỗi tập con của phần này được gọi là một biến cố.

Ta thường dùng SA) để ký hiởu biến cố sơ cấp; fi để ký hiởu không gian mẫu; A, B, c,... để ký hiởu biến cố. Để minh họa ta xét một phép thử ró không quá đếm được các

kết quả đơn giản nhất: Uị,u>2,... . Theo trên, mỗi u>k được gọi là một biến cố sơ cấp, còn tập hợp

fi = {u>i,u>2,. • . }

là không gian các biến cố sơ cấp hay không gian mẫu. Ta cũng có

the dùng các số 1,2,... thay cho U>1,U>2,. .. để chi các biến cố sơ cấp. Bản chất các biến cố sơ cấp không có vai trò đặc biởt gì trong lý thuyết xác suất, điều quan trọng là mỗi kết quả của phép thừ được miêu tả bởi một và chỉ một điếm của không gian mẫu.

Ví dụ 1. Gieo một đồng t iền (xu) một lần. Không gian các biến cố sơ cấp là:

n^{s,N}

ở đây 5' ( tương ứng N) chỉ kết quả: "đồng t iền xuất hiởn mặt "sấp" (tưcmg ứng "ngửa")". Cũng có thể miêu tả Q, bời tập hợp

ũ = {1 ,0} .

14

Ví dụ 2. Gieo m ộ t đồng t i ề n (xu) hai l ầ n . K h ô n g gian m ẫ u là:

n = {SS,SN,NS,NN}

ờ đ â y SN là kết, q u ả làn gieo đ ầ u x u ấ t h i ệ n m ặ t ố', l ầ n t h ứ hai

x u ấ t h iện m ặ t N.

Ví dụ 3. M ộ t con xúc xắc đ ư ợ c gieo liên t i ế p n l ầ n . Đ ó là m ộ t

p h é p t h ử v á i k h ô n g gian m ẫ u đ ư ợ c m ô t ả b ở i t ậ p :

o = { C Ư = {aua2.. ... ,an) : ak £ { 1 , 2 , . . . , 6 } } .

D ễ t h ấ y ũ gom = 6 n p h ầ n t ử .

Ví dụ 4- M ộ t đồng t i ề n đ ư ợ c gieo liên t i ế p cho đ ế n k h i l ần đ ầ u

t i ên x u ấ t h i ện m ặ t sấp th ì dọng l ạ i . Đ ố i v ớ i p h é p t h ử n à y k h ô n g

gian m ẫ u có dạng:

n {S. .v.v.... ,N ...NS,...}. ri

Trong k h ô n g gian m ẫ u v ớ i k h ô n g q u á đ ế m đ ư ợ c p h ầ n tử , ta

sẽ gọi m ỗ i t ậ p con A c ũ là mộ t b i ế n cố . N h ư v ậ y n ế u = ri.

th ì số b i ế n cố sẽ là 2". B i ế n cố A x ả y ra k h i có m ộ t k ế t q u á nào

đ ó của A x ả y ra.

rỉ đ ư ợ c gọi là b i ến cố chắc chắn, còn t ậ p 0 được. gọ i là b i ến cố

k h ô n g .

B i ế n cố Au B -- {u> : u) € A hoặc U) € B} đ ư ợ c gọ i là hợp (hay

tống) của A. v à B.

Biến cố An B - {co : LÚ 6 A và LƯ e B} đ ư ợ c gọ i là giao (hay

t ích) của A và B. B i ế n cố n à y còn đ ư ợ c ký h i ệ n là AB.

B i ế n cố A\B — {LO : UI 6 A và LƯ ị B} đ ư ợ c gọi là h i ệ u c ù a J4

và B. B i ế n cố Ã = {cư : cư ^ J4} đ ư ợ c gọi là b i ế n cố đ ố i của A.

L5

V ớ i n g ô n n g ữ xác suất, các đ i ề u t r ê n có nghĩa là:

Au B x ả y ra <=> hoặc A hoặc ổ x ả y ra .

Ẩ n B x ả y ra A v à £ c ù n g xảy ra ;

A\B -xảy ra <=> /Ì x ả y ra và B k h ô n g x ả y ra,

À x ả y ra <í=> A k h ô n g x ả y ra .

N ế u AB = 0 t h ì A v à JB đ ư ợ c gọi là xung khắc. Các p h é p t oán

h ợ p v à giao c á c b i ế n cố có t ính chấ t giao h o á n và k ế t h ạ p . C ụ t h ể

là:

AUB=BUA

(A Ụ B ) U C = Ấ U ( ổ Ú C ) ;

/Ì n B = B n A

(AnB)nC = A n ( ổ n ơ ) .

Vì v ộ y đ ố i v ớ i h ọ h ữ u h ạ n các b i ế n cố { A ; , i € / } các t ộ p

i G / í G /

là h o à n t o à n x á c đ ị n h '

Trong ví d ụ 2, x é t

/Ì = {SS,SN,NS},

B = {NS, SN, NN}.

A ( t ư ơ n g ứ n g B) là b i ế n cố : "có ít nhấ t m ộ t l ầ n x u ấ t h iên m ộ t

sấp" ( t ư ơ n g ư n g "ngửa") . Ta có: A u B = 0 , ,45 = {SN.NS}

là b i ế n cố: "có đ ú n g m ộ t lần x u ấ t h i ện m ặ t sấp", /Ì - {NN} còn

i4 \5 = { 5 5 } .

16

1.1.2 Xác suất của biến cố

Giả sử A là biến cố của phép thử nào đó. Mặc dù, khi tiến

hành phép thừ một lần, ta không thể nói trước biến cố A có xuất hiện hay không, nhưng ta thừa nhận rằng: có mót số (ký hiêu là Ỹ(A), tồn tai khách quan) đo khả năng xuất hiện Ả. Số này phải bằng Ì (100%) nếu A là biến cố chắc chắn, bằng 0 nếu

A là biến cố không, và nếu A, B là hai biến cố xung khắc, thì Ỹ(AUB) = ¥(A)+¥(B). Tùy từng trường hựp cụ thể, ta tìm cách xác định Ỹ(A) một cách hựp lý.

Vì vậy, bước tiếp theo của việc xây dựng mỏ hình xác suất, (rời rạc) là: phải gắn cho mỗi biến cố một số gọi là xác suất của biến cố đó theo cách sau.

Giả sử o = {ujị,uJ2, • • • ,u>k,. .. } là không gian mẫu đã cho. Mỗi biến cố sơ cấp u>k đưực gắn với một "trọng số" Pk = Pfc(cjfc) sao cho

a) Pk > 0, VẢ; > Ì, (1.1) b) p l + p 2 + ...+P* + ... = l . (1.2)

Khi đó với mỗi biến cố A c n ta định nghĩa

P M ) = E PK). (1-3)

Số P(y4) đưực gọi là xác suất của biến cố yi. TÍT (1.1) và (1.2) suy ra chuỗi trong vế phải của (1.3) là hội tụ và ta có các tính chất sau của xác suất:

1) P(0) = 0, P(íĩ) = Ì, 0 < F(A) < 1.

17

2) Đối với hai biến cố A, B bất kỳ

F(A U B ) = £ pk

k:wk€ẢUB

Ả::u;fc6/1 fc:u/jt€B fc:u>jt€/lB

= P(i4) + P ( Ổ ) - P U S ) .

T ừ đó nếu i4 và B xung khắc thì P(i4 U B ) = F(A) + Ỹ(B). 3) P( i ỉ ) = Ì -P(i4). 4) Đối với họ không quá đếm được các biến cố bất kỳ

{/Ì, : í € / } ta có bất đằng thức Boole sau:

Ị Ị

Đặc biệt nếu các Ai đôi một xung khắc (hay xung khắc từng cặp), nghĩa là

AịAị = 0, (i Ỷ ì)

thì

Bây giờ ta trình bày cách xây dửng mỏ hình xác suất cho những phép thử "cán đ ố i " , như tung một đồng t iền hoặc một con xúc sắc cân đ ố i .

1.2 Đinh nghĩa cổ điển của xác suất

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử í ì •= {u>i ,u>jv} là không gian mẫu mà các kết, quà có cùng khả năng xuất hiện' nghĩa là:

P M = P M = . . . = n » N ) = ị - 00501

18

Khi đó, theo (1.3) xác suất của biến cố A được xác định bằng c.ôriỊ thúc

P ( > 4 ) - |íỉ| ĩ v

tí đây |v4| = ra là số phan tủ của tập A. Đó chính là định nghĩa cổ điển của xác suất. Định nghĩa nay

cho ta một mô hình toán rấ t tốt đối với các hiện tượng ngẫu nhiên liên quan đến phép thử có tính đối xứng vả do đó các kết, quá của nó được coi là có cùng khả năng xuất hiện.

1.2.2 Các ví dụ

Ví dụ í. Một cái hộp chứa N quả cầu được đánh số bời các số của tạp hợp X = { 1 , 2 , . , . , N } . Rút lần lượt từng quả lì lần sao cho, mỗi lần rút một quả, quả đó được hoàn t rả lại hộp lồ i mới rút lần t iếp theo. Hãy tính xác suất của biến cố

A = {các quả đã được rút là đôi một khác nhau}.

Không gian mẫu có thể mô tả như sau:

n. = [ui — (a i , a 2 , . . . , Un) '• ữk € X, k ---- 1.2 ri).

Với các điều kiện được nêu, ta có thể xem các biến cố sơ cấp u> éc cùng khả năng xuất hiện. Do được hoàn lạ i , Ui có N cách rút, U, có N cách rút,...,UN CÓ N cách rút. Vạy = Nn. Tạp hợp .4 éc dạng

/4 = {cư = (oi, 02 , . . . . t í n ) : «A- £ x , k = 1.2 n;

r;A. ^ Ui với fc / ỉ } .

19

Như vậy, Ui có N cách rút, (12 có N — ì cách rút,..., an có N — ri -ị ì cách rút. T ừ đó \A\ = An

N = N(N - ì)(N - 2 ) . . . (N - n 4 1) và

¥ ( A ] Ị4 AẰ N ( N - l ) . ( N - n + 1) F [ A ) im AT" A'" • ( L 4 )

Ta xét một vài dạng đặc biệt của bài toán trên. a) Lên cầu thang: Cầu thang máy bắt đầu chuyển động với 7

người và nó sẽ dừng lại ờ cả 10 tầng. Hãy tính xác suất p để sao cho không có hai người nào cùng vào một tầng.

Áp dụng (1.4) với N = 10, Tỉ = 7 ta có

47 p = I M = (10.9.8.7.6.5.4)l(r 7 = 0,06048.

b) Ngày sinh: Trong Tuột lớp có n hỗc sinh. Giả sử rằng ngày Kinh mỗi hỗc sinh có thể rơi vào ngày bất kỳ trong 365 ngày với cùng khả năng. Hãy tính xác suất sao cho-hai hỗc sinh bất, kỳ có ngày sinh khác nhau (TÌ < 365).

Áp dụng mò hình tổng quát với N — 365 ta có xác suất. p can tìm là:

= ( ! — ) ( ! - 4 ) - 0 - ^ ) Với Tí khá nhỏ ta có

Ì i 2 -Ị . . . I ( n - 1 ) n ( n - l ) » ~ 1 = Ì ' 365 730

Ví dụ 2. Trong một cái hộp chứa M quả cầu đen và N — M quả cầu trắng. Chỗn ngẫu nhiên n quả (chỗn cùng một, lúc, hoặc chỗn. lần lượt nhưng không hoàn lại) . Tính xác suất để sao cho trong n quà đã chỗn có đúng m quả màu đen. •

Ký hiệu Am là biến cố cần tìm xác suất.

20

Để m ỏ h ì n h hoa. các q u à cầu đ e n đ ư ợ c đ á n h số Ì , . . . . M còn

các q u à t r ắ n g đ ư ợ c đ á n h số t ừ M 4 Ì đ ế n N. T r o n g b à i t o á n này.

Tì q u à đ ư ợ c chọn là k h á c nhau. và k h ô n g p h â n b iệ t t h ứ t ự . Vì vậy

k ế t q u ả của sự lựa chọn là một, t ậ p con n p h ầ n t ừ của t ậ p N p h ầ n

t ử .

K h ô n g gian m Ộ u có dạng

Ũ — { ù — ( a i , 0 2 , . . . , o n ) : ( l ỵ 6 X \ k = Ì , T I , (lị < (12 < ... < « „ }

v à im = c% = nị(ỈỈLn)Ị còn

Am = {tư = ( a ! , a 2 , . . . , a n ) € rì : a m < M , a m + , > M).

Vky\Ani\=C%.Cn

NZ^. T ừ đ ó £-m—m

PMm) = C ĩ ỉ - T ^ 1 - 0- r » / V

Đạc b iệ t k h i A/ n

« * > - ( I - £ > < 1 - J £ T > - < 1 - ] 7 3 7 7 T ) -

N ế u JV = T í2 — oo th ì P M o ) — - « 0,368.

e

C7m ý. Trong công th i í c (1.5) số rn cần thoa m ã n

max(0,7? + M - N) < m < rain(M, n ) .

Ví Ạ t 3. X ế p ngỘu nh iên TI q u ả c ầ u p h â n b i ệ t v à o N cái hỘỊ) p h â n

b i ệ t . T í n h xác. sunt sao cho

a) H ộ p t h ứ n h ấ t đ ư ợ c Vị qua, h ộ p t h i ! hai đ ư ợ c r»2 q u à

' ộ p t h ứ AT đ ư ợ c TIN q u á ;

h) Hộp . t h ứ Ắc chrợc đ ú n g m q u á .

21

Giải. a) M ỗ i cách xếp là một bộ ( « 1 , 0 2 : • • • <«n) trong đó lift

là số thiír t ự của hộp mà ta phản Ịỉhối quả thứ Ả- vào. Như vậy

í ỉ = {u/ = (ơ i . , « 2 , . . . . « „ ) : «fr € X, k - Ì , 2 T ỉ } ,

* = { 1 , 2 . . . . ,N)

và | í ỉ | jV" . Giá sử .4 là biến cố cần tính xác suất và u> 6 A Như vậy trong

dãy hữu hạn ui = ( a i , . . . , a n ) có đúng Tỉ! số 1,...,ĨÍJV số Af. T ừ đó suy ra

_ _ n! 141= f7™> ÍT*2 /7"«

1 w n i !n2 ! . . . n/v!

va

* M ) = | ắ | - T - T ĩ * ~ " í1

-6

) |S2| 7Jt!n2! . . .TíAi!

1)) Gại B là biến cố: ử hộp thứ Ả- chúa m I\\\k. Giả sử a; ( « 1 . . . . , ( I n ) 6 B . K h i đó trong dây («1 « n ) phải có đúng Vì số k chiếtn m vị t r í trong ĩ) vị trí. Còn ờ các vị trí còn lạ i là các số / 6 {Ì N}\{k}. T ừ đó | £ | •-= C™.(N - Ì ) " - ' " , và do đó

= Cn'^^r"' -= C7(ị)m(l - ị r m (1.7)

í 7m ý.

1) Nếu các quả cần không được phân biêt thì số cách xếp TI

quà C H U đ ó vào N hộp phân biệt là s ố c á c nghiệm nguyên không âm rủa phưcmg t r ình

t>\ + ri2 f . . . f "Ai — « •

22

SỐ A(n, N) này chính là hệ số của xn trong khai t r i ển thành chuỗi lũy thừa của hàm sinh sau:

oe oo oo

/ ( * ) ( £ / ' ' ) ( £ • ' • ' ' • - ' ) • • • ( £ / ' \ )

n i = 0 712=0 n/v = 0

= ( l + X + X 2 + . . . + X n + . . . ) y V

= (Ì — x)~N, \x\ < 1.

Do đó

i4(n ,J\r) = f r / W ( 0 ) = 1 , ( « > ™ _ (n + N - 1 )

7i!(iV - 1)! '

Trong A(n, N) kết quà cùng khả năng chỉ có một kế t quả thuận lợi cho biến cố A (nghĩa là \A\ = 1). Vậy

n\(N — 1)! F(A)

(n + i V - 1 ) ! '

2) Nếu quả cầu không phân biệt thì số cách xếp n quả cầu vào N hộp khác nhau sao cho mỗi hộp chứa không quá một quà là hệ số của, xn trong khai t r iển chính tắc đa thức:

/(•'•) (Ẻ- ' - "XE• ' • " • ' ) • • • (Ề -'r"N) T i l — 0 n2—0 ri/V' ~ ( J

= (Ì + x ) ( l I . / : ) . . . (Ì + x ) = (Ì . . / - ) A

và đó là Cfl:

Chú ý. Khi phép thọ không đối xứng, ta xác đ ịnh gần đúng Ỹ(A) theo cách sau: Tiến hành n phép thọ. Gia sọ n(A) là số lần ,4 xuất hiện trong n phép thọ này. Ta gọi n(A) là t ầ n số xuất hiện biến

Cố J4, và gọi n(A)/n là t ầ n suất xuất hiện biến cố A. Với /ỉ khá lớn ta dùng tần suất n(A)/n để xấp xỉ Ỹ(A). Đó là ý tường của định nghía xác suất theo quan điếm thống kê. Cụ thể là ta thừa

23

n h ậ n t ồ n t ạ i F(A) sao cho t ầ n suất n{A)/n dao động quanh ¥{A).

Sau này, v ớ i n h ữ n g g i ả t h i ế t hợp lý t a chứng m i n h r ằ n g

l im ^ = P(i4). n—»00 71

Điều k h ẳ n g đ ị n h n à y là L u â t số l ớ n B e r n o u l l i , m ộ t t rong những

k ế t q u ả quan t r ọ n g n h ấ t cệa lý t h u y ế t x á c suất .

Có t h ể nói b à i t o á n đ i ể n h ì n h n h ấ t c ủ a x á c suất v à t h ố n g

k ê là n g h i ê n c ứ u sai s ố c ủ a v i ệ c x ấ p xỉ x á c suất ( c h ư a b i ế t )

c ủ a b i ế n c ố A b ằ n g t ầ n suất ( t í n h đ ư ợ c nhò* c á c q u a n s á t )

t ư ơ n g ứ n g . L í c h s ử t h ư c s ư c ủ a x á c suấ t bắ t n g u ồ n t ừ

v i ê c n g h i ê n c ứ u d á n g đ i ê u c ủ a

P { | ^ ^ - Ỹ { A ) \ < e } , 0 <e < 1. Tỉ.

Bảy g iờ ta c h u y ể n sang m ộ t khá i n i ệ m quan t rọng k h á c .

1.3 X á c s u a t đ i ề u k i ê n . S ư d ó c l á p

l $ i i n g h i ê n c ứ u c á c h iện t ư ợ n g ngẫu nh iên x u ấ t h i ệ n một v ấ n

đ ề sau: x á c s u ấ t cệa m ộ t b i ến cố sẽ thay đ ổ i t h ế n à o kh i m ộ t b i ế n

cố k h á c đ ã x ả y ra. Đ ể m ở đ ầ u ta xé t m ộ t ví d ụ sau.

Ví dụ í. Gieo m ộ t con xúc xắc c â n đ ố i và đồng chất hai l ầ n . A là

biến cố " l ầ n đ ầ u gieo xuấ t h iện m ặ t Ì c h ấ m " , B là b i ế n cố " t ô n g

số chấm t r o n g hai l ầ n gieo k h ô n g v ư ợ t q u á 3". Ta thấy

íỉ =- {(>../) : Ì < i,j < ti}.

A -- U M ) , ( Ì , 2 ) , . . . , ( 1 , 6 ) } , B = { ( 1 , 1 ) , ( Ì , 2 ) , ( 2 , 1 ) } . Theo đ ị n h

nghĩa cổ đ i ể n cệa x á c suất

F(A) = 6/36, Ỹ(B) = 3/36, Ỹ(AB) = 2/36.

ì

24

Nếu biết rằng B đã xảy ra thì A xảy ra khi một trong hai kết quà

(1,1) và (1,2) xảy ra. Do đó, xác suất của A với điều kiện B là

Ví dụ trên đưa ta tới định nghĩa sau.

1.3.1 Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A với điêu kiện B là một số xác định theo công thức

PịA\B) = ^ỆnểUP(B)>0. (1.8)

Từ định nghĩa, dễ dàng nhận được a) P(i4 ị B) > 0, b) P (n I B) = P(J3 \B) = l, c) nếu (Ai) là dãy các biến Cố4,ừng dôi xung khắc thì

P ( ^ i 4 i | B ) = Ẹ P ( i 4 i | B ) . t ĩ , *

1

ơ đây và sau này, ta viết 53 -<4i thay cho ụAị khi các Ai đòi tuột xung khắc. 1.3.2 Công thức nhăn xác suất

Từ (1.8) suy ra rằng

P(AB) = P(B)P(,4 I B) = F{A)F(B I Ả), (1.9]

nếu P(4)P(B) ^ 0.

Bằng quy nạp, ta có công thc nhân tổng quát sau: Già SI Ai, A2,... , An là các biến cố bất kỳ sao cho P(i4i A-2 - . • An-1) > 0

25

Khi đó, ta có:

Ỹ(AlA2 ...An) = Ỹ(Al)F(A2 ị Ax).. .P(An ị AXA7 ... An^)

(1.10) ờ đây A1A2... An = Aị n Ai n . . . n ,4n.

Ví dụ. T ừ một hộp chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một hai lần. Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được quả cầu trắng.

Ký hiệu Ak là biến cổ: "lần thứ k rút được quả trắng", k = ĩ , 2,... Theo công thức nhân xác suất ta có xác suất cần tìm là

P(AM = P( i í i )P( i4 a I À,) = -A- a

a + 0 a -t 0 — Ì

1.3.3 Công thức xác suất toàn phần Hệ các biến cổ { B i , 2?2> • • ) Bn} gọi là hệ đầy đủ nếu

a) xung khắc từng đôi một, b ) Bx + B2 + . . . + ổ n = Ũ.

Ví dụ đom giản về hệ đầy đủ là hệ {B, Ỗ). Giả sử { B i , £ ? 2 , . . . , Bn) là hệ đầy đủ các biến cổ với

F(Bk) > 0, Vfe. Khi đó với biến cổ A bất kỳ ta có n

P(i4) = J > ( f t ) P ( i 4 | f l i ) . (1.11) »=1

Công thức này được gọi là công thức xác suất toàn phần. Nó cho ta một công cụ hữu hiệu để tính xác suất.

Thật vậy, từ (b) suy ra A = ABX + AB2 + ... + ABn. Nên

P(i4) = Ỷ^riABi) = ỵ^riBiMAịBi).

26

Ví dụ 2. Với các giả thiết trong ví dụ Ì, hãy t ính xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng.

Ta sẽ tính Ỹ(A2) trong hệ điều kiện {A\, Àị}. Theo công thức xác suất toàn phần ta có

Ỹ(A2) =P(Al)F(A2 ị Ar) + P ^ O P M a I Ả,)

a a — Ì b a = a + b'a + b - ĩ a + b'a-ị-b-1'

1.3.4 Công thức Bayes. Giả sử Ỹ(A) > 0 và {Bị, B 2 , . . . . Bu)

là hệ đầy đủ các biến cố với Ỹ(Bị) > 0, Vi . K h i đ ó ta có

K f t M ) - , B ^ g ^ ì - - p g ^ , (1.12,

- J > ( B Ì ) P U Ì B i ) 1=1

(Ả- = 1,2.... ,n ) . Thật vậy theo (1.9) ta có P(i4 I ỡfc) = P ( A ) P ( f l A . I .4). từ dó

có (1.12).

Ví dụ 3. Cũng với các già thiết trong ví dụ Ì . hãy t ính xác suất dè lần đầu rút đưỊc quà trắng biết. lằng lần t hứ hai cũng rút dưỊc quả tráng.

Theo bài ra cần tính Ỹ(Ai ị A2). Theo (1.12) có

P ( A x ) f { A 2 ị Ai) ạ ( ạ - Ị ) P(i4i I A 2 ) P(-4 2) • u(a - ì ) - ị - fib'

Bây giờ ta trình bày khái niệm độc lập. Hầu hốt các kế t quả của xác suất cổ điển đều có giả thiết độc lập. Bạn cần <1<K- kỹ các mục dưới đây.

27

1.3.5 Sư độc láp của hai biến cố

Dinh, nghĩa. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu

Ỹ(AB) =P(>4)P(B). (1.13)

Nếu F(B) > 0 thì dễ thấy rằng A và B độc lập khi và chỉ khi

P(A ị li) •-• F(Á).

1.3.6 Sự độc lập đìa nhiềíi biến cố

Dinh nghĩa. Hệ các biến cố Ai, A'2,. .. , An gọi là độc lập (trong toàn thề ) nếu với mọi 2 < k < n và mọi bộ k chỉ số ì < i\ < . .. < lỵ < n ta có

? ( , 1 , ; / t , , . . . , l , , ) ? ( , l M ) P ( . 4 , J . . . ? ( , l n ) . (1.11)

('hú ý. Rõ ràng t ừ sự độc ]ậỊ) (trong toàn thế) suy ra từng cạp độc lập. nhưng đ iều ngược lại không đúng. Để thấy điều đó. xét ũ --- {ujị. u>2. ú^3 , } với các kết quả cùng khả năng. Các biến cố

A •-- ịuJ\ , UJ'2 } , B ----- { j j \ . a j ỵ } . c ----- { L Ư 1 . ^ 4 }

độc lập từng cặp nhưng không độc lập trong toàn thể vì

¥{ABC) = - í ( ị ỹ == P(A)P(B)Ỹ(C).

Trong nhiều t rường hợp, xác suất chì được tính trẽn một lớp. cụ thể A gồm các biến c thoa mãn các điều kiện sau:

a) 0 ,o e Ả, h) A e A =» Ả e Ả,

28

c) A. B e A Au B e A-L á p A như thế đirợc gọi là đạ i số các biến cố. Các lớp sau:

{Í2,0}, {íì, <b,A,Ã} với A c ũ, hay lớp "P(íì) gồm tấ t cả các tập con của fi đều là ví dụ về các đạ i số các b iến cố mà việc kiểm tra các tính chất a, b, c không khó khăn gì.

Trong trường hợp f2 gồm đếm được phần từ đòi khi người ta còn đòi hội đạ i số A thoả mãn thêm đ iều kiện

d) Ai e A: i = 1,2,... => Ui Ai e A. Đại số thoa mãn thêm diều kiện d) gọi là Tuột ơ - đ ạ i s ố các

biến cố.

1.3.7 Sư đốc láp cứa các ơ-đai số

Đinh nghĩa. Các đại số biến cố A\,... , An được gọi là độc lập (trong toàn thể) nếu họ bất kỳ Ai,... .An sao cho Ai 6 Ai, ĩ = Ì , . : . ,n là độc láp.

Dễ dàng kiểm tra được rặng với Bi,... , Bn là cái- biến cố bất kỳ. đ iều kiện cần và đủ để các đại số (ri, 0, B], Bi), (íi, 0, Bạ. #2)>•••• (fì, 0. Bn, Bn) dộc lập là hệ các biến cố B Ị , . . . , B „ độc lập.

ỉ.4 Dãy các phép thừ

Lị. Ì Mô hình xác stint của dãy phép thử. Xét không gian mẫu:

fi = {u/ = (aị.a-Ị,:.. ,un) : Oi e {ì,.. • ,N},i -- Ì ,n).

Trong thực tế Jj dược hiểu là tuột dãy các- kết quà r ù a các pỉiép thử riêng lẻ . Để cho xác suất của biến cố sơ cấp. ta đ u a vào l i ộ các số J>(a\),p(u-2\aì) p(fin\ayU2 . . . U n - i ỉ thoa mãn các điên kiện

N

p(ak)> tt, p(ak.) = ì;

2!)

va

pịữkịaia-2 . . . «fc-1) > 0 (1.15) N

2J p(ofe|ai«2 .. .flfe-i) = Ì (1.16) Ofc = l

với ẮT = 2 , . . . ,n, O i , . . . , « * _ ! e {1 ,2 , . . . ,N) Với ó> — (cu,... , an). đặt

p(tư) = p(ai)p(u 2 |« i) . . .p(on|«i«2 • • • f ln- i ) . (1.17)

Dễ dàng thấy rằng 7;(u>) > 0 và

5 > M (1.18) ụ>en

Thật vậy,

JV

^ p(uj) = ^2 p ( a l )p(°2 l a i ) . . . p(«n I «Ì "2 • • • « n - 1 )

ijj a i ,a-2,... ,0.11 = 1

N = ^ 2 p ( ° l ) p ( a 2 I O i ) • • • p ( « n - l I «1«2 • • • « n - 2 Ỉ X

ai ,02 , . . . , a „ _ i = Ì

ẠT

x X] p ( " n I a i " 2 • • • ' i n _ 1 ^ a „ = l

N

22 p{ui)p(u2 ị a i ) . . . p ( a n _ i I ai «2 • • • « » - 2 ) a i , a j , . . . , a n -1 = 1

.V

= . . . - - ỉ . a Ị Ì

30

T i ế p theo ta đ ặ t

F(A)=Ytp(u), A e n . (1.19)

C ặ p ( f ì , p ) đ ư ợ c x á c đ ị n h n h ư vậy là m ô h ì n h t o á n của d ã y p h é p

t h ử . Dãy p h é p t h ử m à các x á c suất đ i ề u k i ệ n p(ữk ị a\(i2 • • • « f c - i )

k h ô n g phụ thuộc v à o -ai,.. . , cik-2 v ớ i k — 2 , . . . . T ỉ đ ư ợ c gọ i là

x ích Markov; còn n ế u p(fifc I ai(i2 . . .ữfe_i ) k h ô n g p h ụ thuộc v à o

(lị.. .. . (Ik-I v ớ i m ọ i k t a có d ã y p h é p t h ừ độc l ậ p .

Ví dụ. C ó ba hộp chứa các q u ả cồu t r ắ n g v à đ e n . H ộ p t h ứ n h ấ t

chứa hai q u ả t r ắ n g v à ba quả đ e n , h ộ p t h ứ hai chứa hai q u ả t r ắ n g

v à hai q u ả đ e n , hộp t h ứ ba chứa ba q u ả t r ắ n g v à m ộ t q u ả đ e n .

T ừ hộp t h ứ n h ấ t l ấ y ngẫu n h i ê n m ộ t q u ả cồu b ồ v à o h ộ p t h ứ hai ,

sau đ ó l ấ y n g ẫ u nh iên m ộ t q u ả t ừ hộp t h ứ hai b ỏ sang h ộ p t h ứ ba,

cuối c ù n g l ấ y m ộ t q u ả t ừ hộp t h ứ ba b ỏ vào h ộ p t h ứ n h ấ t . N h ư

vậy ta có ba p h é p t h ừ đ ư ợ c thực h i ện liên t i ế p . Ta h ã y x â y d ự n g

m ô h ình t o á n của d ã y p h é p t h ử này. Á p d ụ n g k ế t q u ả t r ê n v ớ i

n = 3, JV = 2 t rong đ ó số:

Ì là ký h i ệu cho k ế t q u ả r ú t đ ư ợ c q u ả t r ắ n g ,

2 là ký h iệu cho k ế t q u à r ú t đ ư ợ c q u ả đ e n .

N h ư vậy ta có các xác suất đ i ề u k i ệ n v à k h ô n g đ i ề u k i ệ n sau:

p ( l ) = p ( 2 | l ) = p(l\2) = p(2|12) = p(2|22) = 2 /5 ,

p(2) = p ( l | l ) = p(2|2) = p ( l | 1 2 ) = p ( l | 2 2 ) = 3/5 ,

p ( l | l l ) = p ( l | 2 1 ) = 4/5, p ( 2 | l l ) = p(2|21) = 1/5.

3J

Ta thấy rằng p ( i \ j k ) không phụ thuộc vào Điều đó chứng tỏ rằng dãy phép thử của ta là xích Markov. Theo (1.17) la có:

ọ 'ị A 94 l o p ( ( l . l . l ) ) = - — . P((2.2.2)) --. — .

u 5 5 ó 125 u ' ' " 125

• p ( ( 2 , l , l ) ) = ^ , P((1,2,2)) = Ĩ ^ I

P ( ( l , 2 ; l ) ) = ~ . P((2,1,2)) = A

P((1.1,2)) = A p ( ( 2 , 2 , l ) ) = ^ .

Xét biến cố /Ít- = { sau quá trình chuyển các quả cầu, hộp thứ nhất có k quả t rắng}.

Ta có:

/Ì , = {(1 .1 .2) , (1,2,2)} => P(.4,) -

.4, - { (1 .1 ,1) , (2 ,2 .2) . (1 .2 ,1) . (2 .1 ,2)}^>P( J 4 2 ) -

A, { ( 2 . ì . l ) . ( 2 . 2 . 1 ) } - > Í P ( , l : í )

1.4.2 Dãy các phép thứ đác láp Dãy phép t h i ! độc lập đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết

xác suất và có nhiều ứng dụng thực t iợn. Như đã biết ờ trên, dãy c á c p h é p t h ử mà c á c x á c s u ấ t đ i ề u k i ệ n p ( « A - | « i " 2 • • • «A—ì) k h ô n g

phụ thuộc vào các đ iều kiện « 1 , . . . . (Jk-1 được gọi là dãy phép thu độc lặp, hơn nữa chúng lại không phụ thuộc vào k. tức là không phụ thuộc vào t hứ t ự của phép thử. Dãy nhu thế được gọi là dãy

;V2

p h é p t h ừ độc lập thuần n h ấ t . Đ ố i v ớ i d ã y p h é p t h ừ n h ư vậy. r ò n g

t hức 1.2,3 có dạng

p('ik) > 0, k 1/2.... .N. N

PM = p ( o l ) p ( o 2 ) . . . p ( a „ ) .

Dãy p h é p t h ử độc- l ậ p t h u ầ n nhất, v ớ i N = 2 c ò n d ư ợ t : gọi là đ â y

p h é p t h ử Bernoull i .

Lị.3 Dãy phép thử Bei~noulli (lược đồ nhi thức)

a) N h ư đ ã nói, d ã y p h é p t h ử Bernoull i l à d ã y p h é p t h ử đ ộ c

l ập t h u ầ n nhấ t . m ỗ i p h é p t h ử chỉ có hai k ế t q u ả đ ư ợ c k ý h i ệ u b ả i

hai số 0 và Ì . K ế t q u ả Ì ( t ư ơ n g ứ n g 0) còn đ ư ợ c g ọ i là t h à n h c ò n g

( t ư ơ n g ứng " t h ấ t b a r ' ) . S t huần nhất. cũng có nghĩa là xác suất

t h à n h còng p -- p(ì) k h ô n g p h ụ thuộc v à o t h ứ t h phí*]) t h ử (ló.

'/ - Ì ~ p p(0) cũng n h ư vậy.

Trong m ò h ình này

Í2 = { 0 , 1 } " = { C Ư = ( « ! , . . . , Un) : « , - 0 . 1 } ,

p(u>) - p ( « , ) p ( « 2 ) . . . p ( « n ) =- p S a < • 7 U " S a i •

Đảng thức 5^P(w) - Ì cũng có t h ể đ ư ợ c suy ra t ừ h ệ t h ứ c

Mên (a, , . . . , a n ) n

A-=0

33

Nếu ta đ ư a vào hàm ịi : ũ —> R 1 cho ứng

cư = (ai,. .. , an) H - * ịi{u>) = ai + a2 + ... + an.

Đó l à số " thành công" trong dãy kết quả OI "của Tì. phép thử Bernoulli. Xét b iến cố

Ak — {to : /Lí(cư) = ai + a2 + • • • + an = k}, k = 0, Ì , . . . , lĩ.

Theo ví dụ 2 (1.3.3) ta thấy \Ak\ = Ngoài ra nếu UJ € Ak thì

P(ÚJ) = pkqn~k. Vậy

¥{Ak) = PỊ/X = kị = C k

n V

k q n - \ k = 0, Ì , . . . , n. (1.20)

Bộ các số Fịfi = 0|,P[/i = 1 | , . . . ,Pị/x = n] được cho bời (1.20) gọi là phân phối nhị thức B(n,p). Đôi khi xác suất PỊ/i = /cỊ còn được ký hiệu là b(k, n,p).

b) S ố t h à n h c ô n g có khả năng nhất. Số m € {0, Ì , . . . , n} sao cho

ò ( m , n , p ) = max b(k,n,p) 0 < f c < n

được gọi là số thành công có khả năng nhất. Đế xác đ ịnh m, ta xét tỷ số

b(k, n , p ) _ (n + l)p - kỹ 1 ( n + Ị )p — fc — l , n , p ) /c<7 /cg

T đó nếu k < (n + l ) p thì b(k,n,p) > ò(fc - l , n , p ) và nếu

fc > (n + 1)/^ thì b(k,n,p) < b(k - l , n , p ) . Như vậy, ta có:

1.4.4 Định lý. a) Nếu (n + l )p fc/iônỹ nguyên thì số có khả nấng nhất. ni = Ị(n + fcỷ đài/ số ỊxỊ là phần nguyên của số x) và b(k,n,p) thực sự tăng khi k tăng từ 0 đến m, thục sự giảm khi k tăng tủ m đến TI.

34

b) Nếu m = (n + l)p là số nguyên thỉ ni — Ì và ni là các số có khả năng nhất và b(k,n,p) thực sự tăng (thục sụ giảm) khi k tăng tử 0 đến m — Ì (tương ứng tù m đến ri).

Lị.5 Lược đò đa thức Xét dãy n phép thử độc lập, thuần nhất. mỗi phép thử có N

kết quả được ký hiệu là Ì, 2,. .. ,N. Sự thuần nhất có nghĩa là xác

suất ỹỵ := F(k) của kết quả k với mọi k = 1. . . . ,N không phụ thuộc vào chi số của phép thừ. Mò hình xác suất tương ểng là

ũ = {LO = (ai,a2, • • • . (in) • «fc = 1,2,... ,N},

P(w) = p ( o 1 ) . p ( a 2 ) . . . p ( o n ) ) (1.21)

N

X > * = 1. (1.22)

Rõ ràng từ (1.22) suy ra

wen

Đối với mỗi Ả; — Ì , . . . , N, xét hàm Xk • íí —* {0, Ì , . . . , Tí} sao cho với UI = (a\,ũ2, • • • , an) 6 o, Xfc(cư) bằng số các Ui mà Ui k. Khi đó (1.21) có thể viết thành

P(w) - p f ' ^ p f ^ . . . ^ " ^ . (1.23)

Ký hiệu

^fc , , f c 2 , . . . , f c N = : = ki,... ,XN(u>) = k N ) .

Theo ví dụ 2 (1.3.3) ta có

35

T ừ đ ó v à (1.23), suy ra

' . > - r a r f " * ( 1 2 5 )

B ộ các x á c s u ấ t (1.25) đ ư ợ c gọi là p h â n phố i đ a thức v à ký h i ệ u là MUL(n,pu... , p N ) .

Ví dụ. Gieo m ộ t con x ú c xắc c â n đ ố i đồng chất 10 l ầ n . T í n h các

x á c suất đ ể cho

a) đ ú n g 6 l à n x u ấ t h i ệ n m ặ t 5 chấm,

b) 2 l ầ n x u ấ t h i ệ n m ặ t Ì chấm, 4 l ầ n x u ấ t h i ện m ặ t 3, Ì l ầ n

m ặ t 4 v à 3 l ầ n m ặ t 6.

Giải. Ta có lược đ ồ đ a thức vớ i ri = 10, N = 6 và Pi — P2 =

Vi = PA = P5 = P6 = 1/6. Sử dụng các ký h iệu đ ã đ ư a v à o ta có

a) X á c suấ t cần t ì m là

n x 5 - 6 ] -6 (6 ,10 ,1 /6 ) = C l V ( ì ) 6 ộ 4 « 0,00001.

b) X á c suấ t cần t í n h là

F\xx = 2,x2 = 0,x3 = 4 , ^ 4 - 1 1 X 5 = 0 , X 6 = 3] =

10! _1_ Ì Ì Ì Ì Ì ~ 2!0!4!1!0!3! = 5 2 . 7 . 8. 9.6 1 0 ss 0,000208.

1.4.6 Phăn phối siêu bôi

M ộ t cái h ộ p chứa M q u cầu, t rong đ ó có M i q u đ ư ợ c ghi

số 1,...,M/V q u đ ư ợ c ghi số N. T i ế n h à n h l ấ y ngẫu nh iên l ầ n l ư ợ t

t ì rng qu n l ầ n k h ô n g h o à n l ạ i , ( n < M ) . Ta có m ộ t d ã y p h é p t h ử .

K h ô n g gian m ẫ u có d ạ n g

Q = {(ù = (av..., an):al = Ì , M, dị.* dj , ì

36

đồng thời | f ì | = AM-Xét biến cố ANX ... > R Í N = "trong Tì, quả đã chọn có ni quả mang

số Ì , . . . , n/v quả mang số N". Nếu ký hiệu Xk : ũ -» { Ì , . . . , N}

sao cho cu = ( a i , . . . , a n ) I • Xk(ijj) = số số k trong dãy cư, thì

A l l , . . . , n N = {w : A"i(u;) = n i , . . . , XN(u) = n N } .

Ta thấy

n! l/4_ I = An\ Anĩ An» \ * n u . . . , n N ị - n ^ / i ^ / i ^ . . . / i ^ .

T ừ đó, vì các kết quả lựa chọn là cùng khả năng nên: I / M i l (~<r\2 s-<n.N

MA \ - M 1 M 2 • • J T \ / l n , , . . . , n N ì .— ị r , n

_ U M Ị - ^ M ạ • • • MẠI ~ /-~<n '

L Ai

77.j > 0,2 — Ì , . . . , yV; , T i ! + . . . nN = n. (1.26)

Bộ các số (1.26) gọi là phân phối siêu bội nhiều chiều.

1.5 Phân phối giới han Trong lược đồ nhị thức, khi n khá lớn việc t ính các xác suất

b(k, n , p) hay b(k, n,p) gẢp nhiều khó khăn do có mẢt các hệ số fc=Jfei

c£. V i vậy cần phải tìm công thức tính gần đúng xác suất này khi n lớn.

1.5.1 Dinh lý Poisson (Luât biến cố hiếm). Nêu Tỉ —> oo và p = pn —> 0 sao cho np —> Ả > 0 thì

A f e e~ À

b(k,n,p) A) = ,n -» oo

37

với mọi k = 0, Ì , . . . T h ậ t vậy, đặ t np = Xn và biểu diễn b(k, n,p) dưới dạng

= n ( n - l ) . ( n - f c + 1) fc _ A n r * /c! v n n '

= TT ( ! - ^Tơ - ị ) (Ì - - ) • • • (Ì - — ) • • • ( ! - - ) " " kĩ n TI n

v

Ti n

\k

-> — e- A . • fc!

'Như vậy với n khá lớn, p khá bé ta có

b(k,n,p)^^e-x", xn = np. (1.27)

Chú ý rằng vớ i mọi tập B c {0, Ì , . . . }

(53 -p(k>np)) fees

< np .

Bất dẳng thức trên cho ta biết độ chính xác của xấp xỉ (1.27). Nếu q = ĩ — p nhỏ thì xay xỉ (1.27) vổn dùng được nếu ta

thay đ ố i vai t rò t hành công và thất bại cho nhau. Điều đó cũng

có nghĩa là ta thay đ ổ i vai trò p và q = Ì — p cho nhau. Trong t rường hạp p và q khác không rất nhiều (tức là p gần 1/2) thì xấp xỉ Poisson (1.27) không tố t . Trong t rường hợp đó ta nên sử dụng định lý Moivre-Laplace địa phương sau.

1.5.2 Dinh lý giới hạn đỉa phương Moivre-Laplace Nếu n —• oo, p E (0,1) không đổi và Xỵ = (k — np)Ịy/npq bị

chăn đêu theo k và n thì

b(k,n,p) = f ( x k ) ( ỉ + an(k))/y/npq,

38

trong đó \an\ < c/ựn với Xk 6 [a;6],c > 0 là hằng số và

I s 1 - £ (p(x) — r—.e .

Chứng minh. Sừ dụng công thức Stirling

Inn! = In V2ir/n + n In n — n + ơ( —) n

để khai t r i ển t iệm cận hệ số nhị thức trong

ò ( f c , n , p ) = c £ p v - f e -

(1.28)

(1.29;

Ta có k = np + Xky/npq, n — k — nq — Xk^npq. T ừ đó và (1.28' ta thu đươc

In Ả:! = In V2ĩĩk + (np + Xky/npq) \n(np + Xky/npq)-

np - XkựnẸq + o ( - ) , (1.30;

In (n — Ả;)! = In Ự2TĨ(TI — k) + (nq — Xky/npq) \ĩì(nq — Xky/ĩtpq) —

- nq + Xkựnpq + o ( - ) . n

(1.31

Sử dụng công thức

l n ( l + x) = x ~ 2 + °(x )>

39

đ ể CÓ kha i t r i ể n

\n(np + XkJnpq) = \nnp + ln(l + Xk\ —)

y np ỉ ỡ "X^1

Ũ (T^

lnnp + X f c J ^ - - + o ( _ "7=_a); np 2 n p

/ p ln(n<7 — XkJnpq) = In nạ + ln( l — XfcW—)

V n <7 = \nnq-xkx/— - ~±- + o( V - J . Tig 2 n ợ ' xny/nq3

T ừ (1.28) đ ế n (1.32) ta suy ra k ế t l u ậ n của đ ị n h lý. •

Chú ý.

1) V ớ i ri k h á l ớ n , t a có

b(k,n,p) « (f(xk)Iựĩvpq.

2) C ô n g t h ứ c sử dụng t ố t kh i n > 100, np7 > 20.

(1.32)

(1.33)

B â y g i ờ t a xé t p h â n phố i g iớ i h ạ n của p h â n p h ố i s i êu b ộ i (1.15)

v ớ i N = 2. N h ắ c l ạ i r n g p h â n p h ố i s i êu b ộ i (1.15) v ớ i N = 2 l à

b ô các x á c suấ t

V ( Ả n u n 2 ) = S^iTl Ị y ^ f T l 2

M Ị Mạ ni + n 2 = n, Ml + M 2 = M.

Đ ịnh lý sau đ â y cho ta b i ế t g iớ i h ạ n của F(Ani n2).

1.5.3 Dính lý. Giả sử M, Mi —»• oo sao cho Mi/M - » p 6 ( ũ , 1).

Khi đó T P { A n u n ĩ ) ^ b ( n u n ì P ) . (1.34)

40

Chứng minh. Ta có

P(A •ri] ,TX2 ) = n ! ( M - n ) ! M Ị ! M 2 !

Ai ! T ? i ! ( M i - n i ) ! n 2 !(M2 — n 2 ) !

n! M W M X Ì u M i 2 , ~Af i n i - 1

X

M 2 7 M2 Ì V , M2 2 > , M 2 7 1 2 - 1 M v M M M M M M M '

_ > C ^ p n i ( l - p ) n - n i

= 6(n 1 ,n,/)) . •

M i ệ n xéỂ. T ừ định lý này suy ra rằng khi số phần tử M của hộp rấ t lớn thì P( 4ni n 2 ) ~ K n i ) n i + n 2 , Điều đó cũng có nghĩa

là khi M khá lớn thì hai cách lấy cầu hoàn lại v à k h ô n g hoàn lai là gần như nhau.

Bài tập 1. Con xúc xắc được gieo hai lần . a) Hãy miêu t ả không gian mồu. b) Hãy miêu tả các biến cố

A= "tổng số chấm trong hai lần gieo là 8", B= "ít nhất một làn xuất hiện mặt 6 chấm."

2. Gieo một đồng t iền sau đó gieo một con xúc xắc. a) Hãy miêu tả không gian mồu. b) Xác định biến cố

A— "con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 5". 3. Gieo một đông t iền liên t iếp cho đến khi xuất hiện mặt sấp thì dừng lạ i .

a) Hãy miêu tả không gian mồu. b) Xác định biến cố

41 A — "quá trình gieo diễn ra không quá 4 lần ".

4. Hai người chơi cờ. Biến cố A ( tương ứng B) là biến cố người thứ nhất, ( tương ứng, thứ hai ) thắng. Các biến cố sau có ý nghĩa

gi 7 _

A A B,A A B,AB,B\ A,

ờ đáy c A D : = (c \D)U(D\ C). 5. Từ một hộp chứa các cầu đen và cầu trắng. Rút lần lượt từng quả cầu cho đến khi đủ n quả. Ký hiệu Ai là biến cố quả rút lần thứ i là trắng. Hãy biếu diễn các biến cố sau qua các Ai'.

a) tất cả đều trắng, b) có đúng một quả trắng, c) có không hơn k quả trắng, d) có đúng k quả trắng.

6. Chọn ngẫu nhiên một hoán vị cùa tằp {1,2,... ,n}. Ký hiệu Aịj —" số i đứng ờ vị trí thứ j ". Hãy biểu diễn qua các Aịj các biến cố sau:

a) số Ì đứng ờ bên trái số 2 , b) số Ì đứng cạnh số 2.

7. Chứng minh rằng A A B = c A D => A A c = B A D. 8. Chứng minh rằng nếu A\,. .., AN là các biến cố thì

N N N N

u n u - ^ A*-lí Ì k=n n— \ k--~ <n

9. Chứng minh rằng nếu A, B. C là các biến cố thì a) F{A A B) -• P(Ấ) -I ¥{B) - 2Ỹ(AB), b) P(yli?) + Ỹ(AC) + Ỹ(BC) > ¥(A) + Ỹ(B) ị- F(C) - Ì, c) P(ỳlỡ) + P(y4C) - Ỹ{BC) < Ỹ(A), ủ)Ỹ(A A B) < F{A A Ừ) + F(C A Bị

42

10. G ià sử Ai,..., An là các b i ến cố. C h ứ n g m i n h r ằng

n

a) F(Ai A Ẩ 2 A ... A An) = £ > ( ^ ) - 2 Y, P(^M- t 2H i = l li < 12

+ 4 Ẹ P ( A i l A i a ^ i 3 ) + --- + ( - 2 ) n - l P ( J 4 l ^ 2 . . . J 4 n ) , ì ] < Ì '2<Ì3

n—m

b) p (B m ) = £ ( - I ) f c c ™ + f c s m + f c , fc=o

t rong đ ó B m là b i ế n cố m à n ó xảy ra khi v à chỉ k h i có đ ú n g m b i ế n

cố t ừ t ậ p {Ai,. .., An} x ả y ra và

sk= 5] F(AnAì2...Alk). Ì < í Ì < - " < i < n

11. Gieo rĩ con xúc xắc. T ì m xác suất đ ề sao cho số chấm xuấ t

h i ệ n t r ê n c h ú n g n h ư nhau.

12. Gieo 6 con xúc xắc. T í n h xác suất sao cho

a) số chấm x u ấ t h i ện t r ên chúng k h á c nhau;

b) tổng số chấm x u ấ t h i ệ n bằng 7.

13. Trong hộp có K cầu đ ỏ , L cầu t r ắ n g và M cầu đ e n . L ấ y n g ẫ u

nh iên có h o à n l ạ i ( k h ô n g h o à n l ạ i ) n cầu. T ì m x á c suất sao cho

t rong TI cầu đ ó có le cầu đ ỏ , ỉ cầu t r ắ n g và ni cầu đ e n .

14. Hai n g ư ờ i độc l ậ p nhau c ù n g gieo đỏng t i ề n . T í n h x á c suấ t

sao cho số l ần xuất, h i ệ n m ặ t sấp t rong ri l ầ n gieo của m ỗ i n g ư ờ i là

n h ư nhau.

15. Cho k số t ự nh iên Ui,. .. ,cik đ ỏ i m ộ t n g u y ê n t ố c ìmg nhau.

L ấ y ngẫu nh iên t ừ t ậ p { 1 , 2 . . . . , N} m ộ t số a. T í n h x á c suất P/V

sao cho

a) số a k h ô n g chia h ế t cho cả a i l ẫ n « 2 ;

b) số a k h ô n g chia h ế t cho b ấ t kỳ số n à o t rong các số (lị,. . . , (lị.

43

c) tìm lim PPỈ, trong đó P/V là xác suất để à1 — Ì chia hết cho N—*oo

10.

16. Chứng minh rằng, với A i , . . . , An, í? là các biến cố, P ( / M 2 ... An\B) = Ỹ(A1\B)Ỹ(A2\AlB)x.. . x P ^ I ^ ! ... An^B).

17. Giả sư Bi,..., Bn là hệ đầy đủ, P(B;Ơ) > 0. Chứng minh rằng

n P(Ẩ|C) = J > ( Ẩ | ổ f c C ) P ( ổ f e | C )

fc=l 18. Một hộp chi'ra ã cầu trắng, b cầu đen. Lấy lần lượt từng quả theo cách sau. Cứ mời lần lấy một quả, rồi quả đó lại được hoàn lạ i hộp dồng thời bố sung thêm c quả cùng mầu với quả vừa lấy. Chứng minh rằng

a) xác suất để trong n = riị + n2 lần lấy cầu đầu tiên nhân được n i cầu trắng, n-2 cầu đen là

a(a + c) ... (ạ + nịC - c)b(b + c ) . . . (b + n2c - c) n (a + b)(a + b + c)(a + b + 2c) . . . (a + b + ne - à)'

b) xác suất để lần thứ k lấy đươc cầu trắng là -———, (a + b)

c) xác suất để lần thứ m lấy được cầu trắng với điều kiện lần CL -\- c

thứ k (Ả: < m) lấy đươc càu đen là ——, a + b + c

(1) P(y4 m |y l n ) = P ( J 4 n | y l m ) ) trong đó Ak là biến cố lần thứ Ả" lấy được cầu trắng. 19. Chọn ngẫu nhiên một số Ị) từ các số Ì, 2 , . . ., N. Ký hiệu Áp là biến cố :"số chọn dược là ước của N."

a) Giả sử ỹ\,.. . , p n là các số nguyên tố cùng nhau và đầu là ước của N. ChTrng minh rằng các biến cố ATn \... , Áp độc lập.

44

b) G i ả s ư N có p h â n t ích ch ính tắc t h à n h các t ích của các t hừa

số n g u y ê n t ố

N = PTPT •••Pnn {ỉn/v.r >/i)

v à <p(N) là số các số t ự n h i ê n d ư ơ n g k h ô n g v ư ợ t q u á N và n g u y ê n

t ố v ớ i N. Chứng m i n h r ằ n g

<p(n) = i V ( l - - K I - - ) . . . (Ì - ~ ) , Vi P2 Pn

( ip(r>) là h à m Euler) .

45

Chương 2

K H Ô N G G I A N XÁC S U Ấ T T O N G QUÁT

M ụ c đ í c h của c h ư ơ n g n à y là t r ì n h b à y m ô h ì n h x á c suất theo

h ệ t i ên đ ề Kolmogorov . M ỏ h ì n h n à y l ấ y lý t huyế t đ ộ đ o v à t í ch

p h ả n Lebesgue l à m cơ sở t o á n học cho x á c suất h i ện đ ạ i . B ạ n c ầ n

đọc kỹ c h ư ơ n g này .

2.1 H ệ tiên đ ề

Trong t h ự c t ế , t h ư ờ n g gặp nh iều p h é p t h ử m à k h ô n g t h ồ đ ế m

đ ư ợ c các k ế t q u ả của nó. Chằng hạn m ộ t đồng t i ề n đ ư ợ c gieo liên

t i ế p . độc l ậ p nhau vò hạn l ần . K h ô n g gian m ẫ u có dạng

f2 = {LO = ( a i . a-2, • • •) : (lị = 0, 1}.

N h ư đ ã b i ế t , á n h x ạ

/ : í ĩ - | 0 ; 1 | ,

LO = (ai, o 2 , . . . ) I—> / ( a i ) = 2 22

là m ộ t t o à n á n h . Vì vậy o có lực l ư ợ n g continum ( tức là t a k h ô n g

t h ồ đ á n h số c á c p h ầ n t ừ của O) .

Đ ố i v ớ i k h ô n g gian m ẫ u n h ư vậy, k h ô n g t h ồ xây dựng m ò h ì n h

x á c suất n h ư ờ c h ư ơ n g Ì bằng cách gán cho m ỗ i k ế t quả UJ 6 f ĩ m ộ t

46

trọng số P(tư) > 0, sau đó đ ịnh nghĩa Ỹ(A) = Ẹ p(a>), yl c rỉ, vì

khi đó F(A) có thể nhận giá trị oo. Để khắc phục, ta chỉ xét một lớp con đặc biệt A các tập con

của n. Lóp 4 đó cần phải thoả mãn một số đ iều kiện thông thưấng.

2.1.1 Dai số. Giả sử o là một tập tùy ý khác 0. Ký hiệu V(Q.) là tập hợp gôm t ấ t cả các tập con của n.

Đinh nghĩa . Lớp A c v(ĩì) được gọi là một, đại số nếu:

AI) ne A,

A2) A e A => Ã = fi\A e Ả, A3) A, B e A=> Au B e Ả, AnBeA.

Nhận xét. Vì Au B = Ăn B, A n B = Ã u Ỗ, nên trong A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai đ iều kiện, chằng hạn A u B E A.

2.1.2 ơ-đai số. Lớp T c v(ũ) được gọi là ơ-đại số nếu nó là

đại số và ngoài ra: Aị) tù An e T, n = Ì, 2 , . . . suy ra

oo oe

u An e ĩ , fì An e T.

Nhận xét. Ớ đây cũng như A3) chi cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức kia tự động được thoa mãn. Chằng hạn t ừ

_ co

(AO c T =» u i e f n—Ì

thì cũng có oe co -

n An = u Ăn e ^. n = l n = l

47

2.1. 3 Không gian đo. Cặp (ũ, T), trong đó o Ỷ 0 bất kỳ còn T là Tì lột ơ -đại số các tập con của được gọi là một không gian đo.

'[Vong lý thuyết xác suất, người ta thường dùng các thuật ngữ sau.

Toàn bộ Q được gọi là b i ế n cố chắc c h ắ n . Tập rỗng 0 được gọi là b i ế n c ố k h ô n g . A G T, Ả được gọi là b i ế n cố đ ố i của biến

cố Ả. N ế u Ả n B = 0 thì ta nói A và B là các b iến cố x u n g k h ắ c .

2.Lị Hàm táp. Giả sử A c v{ũ) là một đại số nào đó. Hàm tập hợp p(.) xác định trên A được gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính (hay cộng tính hữu hạn) nếu:

Pl) F(A) > 0, Ae Ả, P2) P( f ỉ ) = 1,

P3') F(A UB) = F(A) + P(J3) nếu A, B e A và A n B = 0.

Bằng quy nạp từ P3') suy ra rằng nếu Ai E A, % = Ì, 2, . . . , Tì và Ai n Aj = 0 với i Ỷ j thì

P ( £ » = x > ( ^ ) . i = l i=l

Cũng t ừ P2) và P3') ta có Ì = p ( f i ) = P(y4 + i4) = P(A) + p ( i ) . Đo đó P ( i ) = Ì — F(A).

2.1.5 Dô đo xác suất. Hàm tập hợp p xác định trên đại số A được gọi là độ đo xác suất ơ-cộng tính nếu

Pl) P( ) > 0, AeA, P2) p ( í ì ) = Ì,

co

P3) nếu Ai e A, i - Ì, 2, . . . , Ai n ,- = 0, í j , J A; G ,4 1=^1

1= 1 i = l

48

Dễ dàng thấy, t ừ tính chất ơ-cộng tính của độ đo xác suất suy ra t ính chất hữu hạn cộng tính. Điều ngược lạ i không đúng.

Ví dụ. Lấy Q là tập số hữu tý trên R \ lấy f ĩ = Q n [0; Ì Ị. Ký hiệu c là lớp các khoảng ịa; bị n Í2, ịa; ò) n fi, (a; b\ n n, (a; ò) n Í2, với a, b € f ỉ . Xét hệ .4 gểm tấ t cả các hợp của một số hữu hạn các khoảng trên (đương nhiên c c A).A là đ ạ i số.

Nếu A E c có một trong bốn dạng t rẽn ta đặt F(A) = b — a, n

còn nếu B = 5Z A t ) A i € c và từng cặp rời nhau ta đặ t : i = l

n

P(B) = X > ( A t ) . Í = 1

Rõ ràng p là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên Ả. Nhưng với r e n , {r} éc v à P ( { r } ) = 0 , v à P ( f ì ) = 1 ^ 0 = Vậy

ren p không thể là ơ-cộng tính.

Định lý dưới đây cho biết khi nào một độ do xác suất hữu hạn cộng t ính có thể trở thành ơ-cộng tính .

2.1.6 Đinh lý. Giả sù Ỷ là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A. Khi đó bốn điêu kiện sau là tương đương:

1) Ỹ là cộng tính đếm được (ơ-cộng tính ); 2) p liên tục trên, tức là nếu An € A, n = 1,2,... là dãy

không giảm (An c j4 n +i) và lim An = Lì An 6 A thì n—»oo n~\

p( U An)= l im P ( Ẩ n ) . v n = l n—toa

3) Ỹ liên tục đuôi, túc là nếu An e Ả, n = Ì , 2 , . . . là dãy oo

giảm (An c An-i) và lim An = n An e A. thì n—*oo n = l

p ( n An) = l im P(i4 n). v n = l n—»c»

49

4) IP liên tục tại không, túc là, nếu An E Ả, An D An-ị-1,

n = 1,2, . . . và

n An = 0 thì lim P ( i 4 n ) = 0. ' ' rì—>no n = l

Chứng minh. oo

1) => 2): G iả sư (v4n) c .4 không giảm, U An € Ả-Đặt Ao = 0, ổ i = e K h i đ ó

i= l 1=1

A„ = Bi + B 2 + . . . + fin, 0 ^ = 5 B i ,

n

co oe co

» ( Q ^ ) = p (5> i ) = £ p ( B i ) i = l 1=1 i = l

lim y"p(£ , ) 1 = 1

lim P (Ẩ n ) .

2) => 3): Già sử ( v 4 „ ) c ./4 là dãy giảm, n y 4 n e A khi dó (An) là n- Ì

dãy tảng. Theo 2):

n f ] A i ) = i - Ỹ ( f ] A i ) = Ì - P X U ^ Ì ) i= l 1 = 1 1 = 1

= Ì - lim P (Ẫ n ) = lim l i - P(Ấ„)1 n—*oo n—KX>

= lim Ỹ(An). n—*oc

3) => 4) : Hiển nhiên.

50

4) => 1): Giả sử (An) c Ả là dã}' đôi một không giao nhau và

oe

n = l

Khi đó oo co n

c n : = u A ; = Ị J ^ \ U ^ e J

c n c c n + 1 ) Pl C n = 0. n = l

Do p hữu hạn cộng t ính

oo n n

P(ỊJ ^ ) = P(ỊJ Ai) i-¥(Cn) - ] T p ( A t ) 4 P ( C n ) . i = l i = l 1=1

Cho n —> oo với chú ý P(C n ) —> 0 ta có

oo oo

P(ỊJ AO = J > ( A ( ) . •

2.1.7 Các tính chất của xác suất 1) P(0) = 0. Được suy ra từ 0 + 0 - 0 và P2), P3'). 2) Ỹ(Ă) = Ì - F(A),A e T. 3) A c ổ ; A, B e T => P(i4) < P(/9). (Do p ( f i ) = P(,4) + P (#V4) : 4) P(Â) < 1. (Do A c n và 3)). 5) i4, B e T => Ỹ{A u B) = Ỹ(A) + F(B) - Ỹ(AB). Suy ra từ

A u B = A + (B\A) và P ( B \ J 4 ) = P ( B ) - p(/l / i) .

6) p ( 4 U B ) < P(>1) + P( f í ) , (A, BeT). (Suy từ 5)).

51

7) P ( Ị J / ỈO = ^ ( - l ) f e - 1 J2 ¥(Au...Atk). k—l k—l 1 <i1 < t 2 < . . . < i f c < n

Tính chất này suy ra bằng quy nạp và 5).

P ( U An) <j2n^n), (An)cT.

n=l

D O o o oo

p ( U Ẩ " ) = E p ( s - ) ^ E I p ( ^ ) '

n = Ì T ì . = Ì

Thật vậv D O

n=l n=l n=l

n - 1

trong đó Bn = An\ ỊJ Ak, Ao = 0. fc=o

oe oo o o

9) P(ỊJ An) - P ( U Bn) < J2\Ỹ(An)-F(Bn)} nếu (An), ( f í n ) c n=l n=l n=l

và Ẩ n D Bn; n = Ì, 2 , . . . . Tính chất này được suy ra từ 3), 8) và hệ thức

(J An\ ( j B n c \J(An\Bn). n=l n=l n=l

i ĩ ẹ í iên đề Kolmogorov. Ta gọi bộ ba (Q,.T,F) với a) ũ là tập hợp tuy ý gồm các phần tử LÚ; b) T là ơ đại số các tập con của fi; c) w là độ đo xác suất ơ -cộng tính hay nói gọn là xác suất trên

T, là không gian xác suất. Tập fi được gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Tập A € T

đuợc gọi là biến cố, F(A) là xác suất cùa biến cố Ả. Ỹ được gọi là xác suất trên J-.

Các khái niệm: biến cố sơ cấp, biến cố , xác suất là các đối Urợng cơ bản, các t ính chất được thừa nhận A l ) - A 3 ) và Pl)-P3) lập nên hệ tiên đề của lý thuyết xác suất được A. N . Kolmogorov đưa ra l ần đầu tiên năm 1933. Sư xuất hiện của hệ tiên đề là một

52

CUỘC cách mạng trong lý thuyết xác suất. Nó đ á n h dấu một bước ngoặt trong quá tr ình sáng tạo ra các mô hình toán học của phép t h ừ này hay phép thử kia.

2.2 K h ô n g gian đ o Không t hể đi sâu vào lý thuyết xác suất nếu không tìm hiểu

cấu t rúc các đ ạ i số và các <7-đại số một cách kỹ lưỡng.

2.2.1 Lớp đơn điêu. Lớp Ai c khác 0 được gọi là lớp đơn điệu'nếu:

co

a) An EM, Anc An+U n = Ì, 2,. .. => u A% e M; 1=1 ao

b) An e M, An D.An+u n = 1,2,... => Pl Ai e M.

Hiên nhiên 'P(O) vừa là đại số vừa là ơ - đ ạ i số và là lớp dơn điệu. Đó là lớp "giàn có" nhất trong các lớp gồm các tập con cỉa íì. Trái l ạ i . lớp {O, 0} cũng vừa là đạ i số vừa là (7-đai số nhưng là lớp nghèo nhất . Bây giờ giả sử c c 'P(fỉ) là một họ không rỗng đã cho. Giao (trong v ( f l ) ) của tập hợp tấ t cả các đ ạ i số ( tương ỉng ơ - đ ạ i số , lớp đ a n điệu) chỉa c cũng là đạ i số ( tương irng ơ - đ ạ i số , lớp đ a n điệu) bé nhất chỉa c hoác được sinh bởi c.

Dưới đày ta sẽ xét cấu trúc của đạ i số sinh bời một phản hoạch. 2.2.2 Phân hoach. Một. phân hoạch hữu hạn c = {Al, i € / } là một họ các tập con khác 0, rời nhau từng cặp của í ì , và hợp của chúng là Í 2 .

2.2.3 Định lý. Đại .số A sinh bời phân hoạch hữu hạn c cùa o gồm tất cả các hợp của các họ con có thề có cùa c (nếu c gồtn Tì phn tủ thỉ A có 2 n phn từ). Nguợc lại, nếu đại số A chi gom một số hữu hạn các tập con của Í2 thì tập hợp các nguyên tù của

53

A tạo thành phán hoạch hữu hạn của Q sinh ra A, (ở đây A c o gọi là nguyên tủ của Ả nếu A / 0 và nếu 0 Ỷ- B c Ạ B e A thì li Ai.

Chứng minh. Phần đầu của định lý là h iển nhiên. Để chứng minh phần sau ta giả th iế t A — {Ai, ỉ e 1} là một đ ạ i số hữu hạn trong o. Xét họ

Khi đó c là một phân hoạch của íì gồm các nguyên tứ của A và sinh ra Ả. •

Ví dụ 1. G iả sử 0 Ỷ Ả c n, A í í l K h i đ ó {0, A, Ã, n} là đạ i số sinh bởi phản hoạch {A, Ã} của Í2.

VY dụ ớ. Cho tập hữu hạn Í2 = {cư!, U)2, • • • , U n } . H ọ

là một phân hoạch của ũ. Theo định lý 2.2.3, v(ĩì) là đ ạ i số sinh

2.2.4 Đinh lý. Giả sử A là một đại số. Khi đó, A là ơ-đại số nếu và chỉ nếu A là lớp đơn điệu.

Chúng minh. H i ể n nhiên rằng nếu A là ơ - đạ i số thì A là lớp đ o n điệu. Ngược lại, g iả sử Ả là lớ]) đơn điệu. K h i đó nếu (An) c A

c = {B c n : B Ỷ 0 và B = n Bi

trong đó mới B.t hoặc bằng Ai hoặc bằng Ai}.

c = { { w i } > { ^ 2 } , • •'• , { u n } }

bời c.

TI

thì do A là đ ạ i số . Bn - [J Ai € A, Bn c B. + u n = 1,2,. . . T ừ 1= Ì

đó, do .4 là lớp đ a n điệu

oe

A n lim | B n e ^ TI

n = l

54

nên A là ơ-đại số; ờ đây và sau này ta viết :

B — lim Ị Bn nghĩa là (Bn) tăng và ổ TI

B — l im ị B n nghĩa là (Bn) giảm và B Ti

2.2.5 Dinh lý. Giả sử A là đại số. Khi đó ơ-đại số sinh bài A trùng với lớp đơn điệu sinh bài A.

Chứng minh. Ký hiệu ơ(A) ( tương ứng m(A)) là <x-đại số ( tương ứng lớp đơn diệu) sinh bởi Ả- Vì ơ(A) cũng là lóp đơn điệu nên m(A) c ơ(A). Để chứng minh ơ(A) c m(A) ta cần chứng tổ rằng m(^4) là đạ i số. Do đó theo định lý 2.2.4, m(A) là ơ - đ ạ i số .

Ký hiệu M = {B : B và B e m{A)}. Rõ ràng Ả c Ải c m(A). T ừ đó nếu ta chứng minh rằng M-

là lóp đơn điệu thì M. = m(A). Giả sư ( ổ n ) c M là dãy tăng, ( C n ) c M. là dãy giảm tuy ý. Khi đó Bn, B n , Cn,cn € T77A>1). Do m(A) là lóp đơn điệu nên

B = lim t ổn, lim t ổ n = lim ị Bn e m(A), ri ri TI

c = lim ị cn, lim ị ơ n = lim t Ỡn 6 m(A), Ti ri n

và B , c € A i . Điều đó có nghĩa là M là lớp đơn điệu . Với A € m.(A) xét lớp con

MA = {B : B và ẨB € m ( A ) } ,

T ừ đằng thức l i m Ẩ B n = AYìmBn (đúng với dãy đơn điệu ( B n ) n n

b t kỳ) suy ra MA là lớp đơn điệu. Nhưng với B e A ta có B 6 MA c m(X). Vì vậy MA = m(A). T ừ đó và hệ thức

A € MB <=> ổ € A-U,

55

suy ra A e MB với mọi A 6 Ả và B 6 m( .Ẩ), hay ,4 c M B với

mọi B € m ( A ) . Vậy AÍB = m(A) với mọi B € m.(A), nghĩa là

?n.(.4) dóng đ ố i với phép giao nên m(A) là đạ i số. •

2.3 P h ầ n t ử n g ẫ u n h i ê n

2.3. ỉ Dính nghĩa. Giả sử (íỉ, JT) và (E,8) là hai không gian đo.

Anh xạ f : rì —• E đuợc gọi là đo được, hay phần tủ ngẫu nhiên

nhận giá trị trong E nếu

f~\A) e T với mỗi A e £.

Đói khi / còn được gọi là phần tử ngẫu nhiên trên (ũ, T ) với giá

trị trong (E, £).

Ví dụ 1. L ấ y E = {0, 1}, £ = V{E) và hàm

ĨA : o -» E, A en

11,4(0;) = Ì nếu UI (E A,= 0 nếu U) 6 A (gọi là hàm chi tiêu của

tập Á). Dễ thấy ỈA là phần tử ngẫu nhiên trên (ĩì,^") với giá trị trong

(E, £) nếu và chỉ nếu A 6 T.

Ví dụ 2. Cho không gian đo (íì, JF). ổ là một ơ - đ ạ i số con của .F.

Khi đó ánh xạ đ ng nhất từ ( í l , ^ ) lên (fì, Q) là đo được.

2.3.2 Định lý. Giả sù h : (n.T) -» ( ơ , ổ ) ; ổ : ( ơ , ổ ) -» ( £ , £ ) /à

các án/i xạ đo đuợc. Khi dó ,,nh xạ hợp g0h là phần tử ngẫu nhiên

trên với giá trị trong (E,£),

Chúng minh. H i ể n nhiên.

2.5.3 Đinh nghĩa. Già sử rỉ là t,ập tuy ý, (/i)ịg/ là họ các ánh

xạ tù íì vảo các không gian đo (Eị,£i)iẸj. Ta gọi ơ-đại số sinh bởi

56

họ hàm ( / ị ) và ký hiệu bài ơ(fi,i € ì) là ơ"đại số bé nhất. trên ũ

sao cho tất. cả các ánh xạ fi đo được.

Nhận xét 1. Hiển nhiên rằng

ơ(fi,i e l ) = a(f-l(Ai),Ai e £ u i e i ) .

2.3.4 Định lý. Giả sử (E,£) là không gian đo, c c v(ữ) và giả sủf:E—*ũ. Dể Ị là ánh xạ đo được trên (E,£) với giá trị trong (Ũ, ơ(C)) điêu kiện cần và đủ là f~l(C) 6 £ với mỵi c € c.

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Để chứng minh điều

kiện f - \ C ) c £ là đủ ta xét tập T = {A c ũ. : Ĩ~HA) € £}. Dễ dàng kiểm tra được rằng T là một ơ - đ ạ i số các tập con của ũ chứa c. Do đó T D ơ(C), có nghĩa là A e ơ(c) => f ' l ( A ) e£. •

Nhận xét 2. Giả sử có một họ ánh xạ fi : f ĩ —> (Et, £ị),i E ì. Khi đó ánh xạ / : (E,£) —» (f2, ơ(fi,i 6 / ) ) là đo được khi và chớ khi mỗi ánh xạ fịof t ừ E vào Eị là đo được. Điều này suy t ừ nhận xét Ì và định lý 2.3.4.

Nhận xét 3. ơ - đ ạ i số ơ(fi,i £ ì), xem định nghĩa 2.3.3, trung với hợp (trong "P(O)) của t ấ t cả các ơ - đ ạ i số ơ(/ . t , i & .7), ,7 chạy trong họ các tập con đếm được của / .

Ví dụ. Giả sử R = (—00; 00) và lớp c gồm các khoảng dạng [ri; ò) với —00 < a < ò < +oo, (Ịa;a) = 0), ở đây quy ước Ị — 00; ò) = (—00; b). Ký hiệu A là tập các tập A € K được biểu diễn d ư ớ i dạng hợp hữu hạn các khoảng rời nhau thuộc c

n

A = ỵ2[aù bi). 1=1

57

R õ r à n g A là đ ạ i số các t ập con của R n h ư n g k h ô n g phả i là ơ - đ ạ i

số vì

K ý h i ệ u Ổ ( R ) hay Bl là ơ- đ ạ i số sinh b ờ i A hay c. N ó đ ư ợ c gọi là

ơ - đ ạ i số c á c t ậ p Borel của R. R õ r à n g [à; bị, (a; b) G B(R). N g ư ợ c

la i . vì

v à m ọ i t ậ p m ở M / 0 đ ề u là hợp k h ô n g q u á đ ế m đ ư ợ c các khoảng

m ờ k h ô n g giao nhau của R, ta r ú t ra r ằ n g B(R) cũng là ơ - đ ạ i số

c á c t ậ p con của R sinh b ờ i các t ậ p m ở của R.

T ư ơ n g t ự , g i ả sử E là k h ô n g gian metric (hay t ổ n g q u á t là m ộ t

k h ô n g gian t ô p ô ) . ơ - đ ạ i số các t ậ p con của E đ ư ợ c sinh b ở i các

t ậ p m ờ của E đ ư ợ c gọi là ơ - đ ạ i số Borel của E, ký h iệu là B(E).

N ế u / : E —> R là á n h x ạ liên từc th ì do ả n h ngược của m ỗ i

t ậ p m ờ của R qua / cũng là m ở t rong E, n ên theo đ ị nh lý 2.3.4,

cũng là đ o đ ư ợ c t ừ (E,B(E)) v à o ( R , B ( R ) ) . Do đ ó ơ - đ ạ i số t r ê n

E s inh b ở i t ấ t cả các h à m liên từc t ừ E v à o R, ký h iệu là Bo(E),

là c r - đ ạ i số con ciìa B(E) nghĩa là B0(E) c B(E). BQ(E) đ ư ợ c gọi

là ơ - đ ạ i số Baire t rong E. Tuy vậy, n ế u E là k h ô n g gian metric

t h ì B0(E) = B(E). Thực vậy, g i ả sử F là t ậ p đ ó n g tuy ý của E th ì

h à m số ( t ừ E v à o R)

( ồ đ â y d(x, y) là khoảng cách t rong E) là h à m liên từc v à

{0; Ì] ----- n [0; Ì + - ) ế -4 1 1

Tì.

X (-> d(x, F) — mĩ{d(x,y),y € F}

F = { x e E : d{x, F) = 0}

là t ậ p Baire. Từ đ ó B(E) c B0(E) c B(E).

58

2.4 T í c h các <7—đai số

G i ả sử (Ei,£ì)iéi là h ọ các k h ô n g gian đ o v à E là t ích Đ ề

c á c của các Eị, E = n Bị. K ý h i ệu Xi là á n h x ạ toa đ ộ t ử E lên te/ ' . . .

K t . ( í ẽ / ) .

Dinh nghĩa . ơ(Xị,i € / ) được gọi là tích của các a-dại số£ị và

đuơc ký hiệu là ® Eị. i G /

Nhân xét 1. Theo nhận x é t 2.3.1, t í ch 0 Si cũng là ơ - đ ạ i số s inh te/

b ờ i h ọ t ậ p ^ Y ~ 1 ( Ẩ i ) , Ai € £ị, ì € ì t rong đ ó Ai — i?i v ớ i h ầ u t ấ t

cả (có t h ể t r ừ m ộ t số h ỳ u h ạ n các i).

Nhận xét 2. Xé t R n = R x R x . . . x R ( n n h â n t ử ) v à h ệ các h ì n h

h ộ p

c = {Bi X B2 X . . . X sn, Bk = ịak;bk),

— o o < Ofc < òfc < + 0 O , k = ĩ , . . . , r í }

K ý h i ệ u Ổ ( R n ) = ơ (C) . R õ r à n g

Ổ ( R n ) c S (R) ® Ổ(R) ® . . . ® B(R).

N h ư n g v ớ i m ỗ i k,

X ^ ( B k ) e c c ơ(C) =» X ^ i f l f c ) e ơ(C),

v ớ i #fc € B ( R ) b ấ t kỳ. Do đ ó

B(R) ® ổ ( R ) ® . . . ® S(R) c ẽ ( R n ) ,

v à theo t r ên ,

B(R) ® Ổ(R) ® . . . ® B ( R ) = Ổ ( R n )

59

Ký hiệu V là tập hợp các hình hộp mờ dạng

( a i ; ó i ) X . . . X (u„;bn).

Rõ ràng V c B ( R n ) => ơ(D) c S (R n ) . Nhưng mỗi tập mờ G c R" là hợp không quá đếm được các phàn từ của V nên ổ ( R n ) c ơ(T>)

Cuối cùng, t ừ I ) c Ơ-(C) và c c <T(X>) suy ra ơ(c) = ơ{V). Như vậy

Ổ ( R n ) = B(R) 0 S(R) 0 . . . 0 S(R) = ổ ( M n ) .

2.5 X â y d ư n g k h ô n g gian xác suất

Nhiều khi không gian xác suất không được cho ngay từ dầu. Bời vậy xuất hiện vấn đề sau: liệu có thể thác t r iển một độ đo xác suất. trên đ ạ i số A lên một (7 -đạ i số ơ(A) được hay không? Bài toán này đ ã được nhà toán học Đ c Carathéodory (1873 1950) giải quyết dưới dạng tổng quát hơn. Chủng tòi phát biểu không chng minh kết quả đó .

2.5.1 Đinh lý Carathéodory. Già sù VL là một tập hợp nào đó, A là đại số các tập con cùa ũ. Già sù là một độ đo xác định trên Ả (nghĩa là là một hàm tập hợp, không âm , a-cộng tính trên A) và ơ-hữu hạn (nghĩa là ton tại dãy (An) c A sao cho Ũ An — Vi và no(An) < oe, Tỉ. = 1,2,...). Khi đó tồn tại duy nhất.

n — ị một độ đo / í xác định trên ơ(A) sao cho

fi(A) fiữ(A). Ả <E A.

60

2.5.2 Xác suất trên (R,B(R)) Giả sử p là độ đo xác suất xác định trên ổ ( R ) . Khi đó hàm

số

có các tính chai. sau: a) F không giảm: X < y => F(x) < F(y), b) F liên tụt- trái t ạ i mọi điểm. c) F ( -oo ) lim /••(./•) - 0, /••( f oe) =- lim /•'(./•) 1.

X —* — oe .T —* - Ị - oe

Hàm F có ba tính chất, đó được. gọi là hàm phân phối trên R. Thậ t vậy. tính chất a) suy từ tính đơn điệu của xác suất và bao hàm thồc ( — oo, x) c (—Oũị y) nếu X < y.

Do F đơn điệu bị chặn nên các giới hạn một phía (kể cả các đ iểm ±oo) đều tồn t ạ i . Vì vậy để chồng minh t ính chất liên tục trái cũng như c) chi cần sử dụng tính chất liên tục của xác suất .

Ngược lại ta có kết quả sau:

Đinh lý. Giả sù F(x) là một hàm số tuy ý xác định trên R thoa mãn ba điều kiện a), b), c) ở trên. Khi đó ton tại duy nhất mội xác suất p xác định trên B(R) sao cho:

Chứng minh. Ký hiệu Ả là họ gồm các tập A c R sao cho

F(x) = P ( -oo ,z ) ,x € R

F\a;b) = F(b) - F(a) a < b.

TI-

(2.1)

với lai; bi) n \cij\bj) = 0, ì Ỷ j.

Rõ ràng (xem ví dụ 5), A là một đạ i số. Đặt

PoM) = F(b) -F(a), a<b

6 1

và n n

Ỹ»(A) = X > o k ; f e t ) = ^ [ ^ ( f e i ) - F(ai)\ i=l 1 -1

n ế u A € A v à có dạng (2.1).

D ễ thấy , Po t h o ả m ã n các đ i ề u k i ệ n P I ) , P2), P3 ' ) . Đ ể c ó t h ể

á p dụng đ ư ợ c đ ị n h lý C a r a t h é o d o r y ờ t r ê n chi còn p h ả i chứng m i n h

r ằ n g Po là (X-cộng t í n h t r ên Ả. N h ư n g theo đ ị n h lý 2.5.1, chi c ầ n

chứng m i n h r ằ n g Po liên tục t ạ i 0.

G i à sử An 6 A, An ị 0. ta h ã y chứng t Ị r ằ n g Ỹo(An) —> 0.

a) Đ ầ u t i ê n t a g i ả sử r ằ n g t ồ n t ạ i a; b € R, a < b sao cho

An c [a; 6], n = Ì , 2 , . . . n i n

Theo g i ả t h i ế t , A n -- y^ịa"; b") và F liên tục t rá i n ê n v ớ i •1=1

£ > 0 tuy ý đ ã cho t ì m đ ư ợ c dị € Ịa"; ỉ)"),sao cho

Pole?;6?) = F(6?) - F(c?) < e.(2n.rnn)-1

v ớ i 1 = 1,... , m n , n = 1,2, . . .

K ý h iệu

1=1

R õ ràng B n c K n c A n c Ịa; bị và

' r i n

P o M „ \ / i r , ) = x > [ c ? ; ỉ > ? ) < 5.2- n V ớ i rỉ - 1 , 2 , . . . . (2.2)

ọc oo 3

Do n A„ 0 n ê n n / f n = 0. T ừ d ó v à t í n h compact cứa các t ậ p rỉ = Ì rỉ,— l

K ' r i t rong khoảng [a; bị suy ra t ồ n t ạ i số no sao cho

no m

Pl f r n = 0 => Pl ổ n = 0, m > no.

62

Khi đó với ni > no

ÍT). m

Ỹo(Am) = r 0 ( f ] A „ \ f ] B n ) < n = l n = l

m oo

<^2Ỹ0(An\Bn) <J2z-2~n = £• n = l n = l

Vì E > 0 tuy ý, nên ta có lim P o ( A m ) — 0. m—>oo

b) Bây giờ xét (An) c A tuy ý,.y4n ị 0. Theo giả th iế t về hàm

phân phối F, với e > 0 đã cho, tuy ý. tìm được a < b sao cho

F ( a ) < e / 2 , Ì - F(6) < e/2.

Đặt

/ i ' n = A„ n Ịa; ó) e . Ẩ n và ,4" =- An n [R\Ịa; 6)1 G An, TI > Ì.

Theo phần a), A'n I 0, ^ c [a;b\. nên P o ( ^ n ) - » 0,7J. - » + 0 0 .

Ngoài ra, p 0(40 < P 0ỊR\[a;6)] < e. T ừ đó

Ĩ ĨSĨ P 0 ( 4 n ) = ĩ ™ | P o « ) + P o « ) j ri —» + do Tí —» + oe

< e + ĩĩĩn p 0 ( 4 j = e, n—'-(-co

suy ra

ĩ m Po(A„) = 0. • TI —• -f- oo

Nhận xét. Trong chứng minh định lý trên, ta nhận thấy P(| có tính chất sau: với mọi £ > 0 và mọi tập A € A, tồn tủ i tập compact K € A sao cho KcAvằ Ỹo(A\K) < e.

Chính nhờ điều đó mà ta có thể chứng minh được t ính ơ-cộng tính của P() trên A. Phân tích kỹ sự kiện này ta thấy sự tồn tủi của một lớp các tập con compact của R đóng vai t rò quyết định.

63

2.5.3 Lớp compact và xác suất chính quy Lớp K, các tập con của íì được gọi là compact nếu đối với

oo dãy bất. kỳ (Kn) c /c mà f ] Kn = 0 thì tồn tại số no sao cho no

n ỉ<n = 0-

Nhận xét. N ế u n là không gian tô pô thì lớp các tập compact của nó thoa mãn đ ịnh nghĩa.

Đinh lý. Giả sứ /c là lớp compact bất kỳ của íì . Khi đó lớp nhỏ nhất chứa K, đóng đối với hợp hữu hạn và giao đếm được cũng là

lớp compact.

Chứng minh. Giả sử ỈC* là lớp gồm các tập là hợp của một số hữu hạn các phần t ừ của K.. K là lớp gồm các tập là giao của một số đếm được các phần tử của K*. Bời vì bao đóng đối với phép giao bảo toàn t ính compact nên /c compact nếu le* compact. Vì vậy, chỉ cần chệng minh rằng K* là lớp compact. Giả sử (Cn) c KI* và

m „

C n = u / c . ^ e ^ ; m , n > 1.

ĩ'

Giả sử Pl C'n 0 với mọi p tuy ý. Ta hãy chệng minh rằng n= Ì

oo n c n / 0. Ký hiệu

n==l

co

J- = J]{1,2, . . . , m n } và n = l

P

J p = { { j n } e j : f | ^ - / 0 } , p > l . n = l

64

Vì

n = l J n = l

nên 7^ 0 với mỗi p. Hơn nữa nếu Pi < P2 thì JPl D Jp2 và J là

tích các không gian compact (với tô pô rời rạc) nên cũng compact. o o C O

Do đó fì Jp 4- 0- Bây giờ, giả sư { j n } e 0 Jp. Lúc đó với mỗi n — Ì í , Ì

p = 1.2....

l i - : Ì

o o

và lạ i do /c là lớp compact nên n Kị" 7 0. Mà ù---ì

o e o e

f | A l " c f | C n . n = l n = l

Do đó n cn -é 0. • T I - . Ì

2.5.4 Đô đo xác suất chính quy. Giả sứ (Q, T, P) /à khổng gian xác suất; KI Q T là lớp compact, Độ đo xác suất p đu ực gọi là chính quy (đối với K.) nếu'

F(B) = sup Ỹ(A), với mỗi B e T. Ai lí' Aì h

Nhận xét. Nếu p chính quy đối với K. thì p cũng ('.hình quy đối với lớp K là lớp nhỏ nhất chứa K, đóng đố i với hợp hữu hạn và giao đ ế m được.

Đinh lý. Giả sù To là đại số các tập con cùa íì. Ằ'o là lớp compact và /Co c Tư- Ngoài ra, giả thiết, rang T = ũ (Tà) và KI là lớp nhỏ nhất chửa /Co đóng đối hp hữu hạn, giao đếm, đưc.

65 Giả sử p là hàm tập không âm hữu hạn cộng tính trên Tư và

P(fỉ) = 1. Khi đó, nếu

F(B) = sup Ỹ(A), với mỗi B e To, AÍK.Q ACB

thì ¥ có thê thác triển một cách duy nhất thành một, độ đo xác suất trên T và chính quy đối với le.

Chúng minh. a) Theo nguyên lý thác triển độ đo, ta chỉ cần chứng tồ rằng nếu

(Bu) c J o, Bn ị 0, thì Ỹ(Bn) —> 0. Lấy £ > 0 và với mỗi n chọn Kn e K.Q sao cho Kn c Bn và p ( / f n ) > P(B„) - e/2 n. Vì

co oo no n A ' n c n Bn = 0,do đó tồn tại no sao cho f ì Kn = 0. Từ đó

71= l n = Ì n = l no no no

.Bno = n B , c u ( S n \ i í n ) . Vậy Ỹ ( B m ) < ỵ;W(Bn\Kn) < e và n = l n = l n—Ì

do Bn ị 0 nên f ( B n ) < é với mọi n > no-b) Dể cliứng minh độ đo thác triển (mà ta cũng ký hiệu là p) chính quy ('ủi với /c, ta xét tập M gồm các tập BÉT sao cho

P(B) =- sup P(A).

Dễ d a n g thấy rằng .M là lớp đơn điệu, chứa Ti). Do đó M — JF.n

2.5.5 Xây dưng xác suất trên tích vô hạn Cho tập T tuy ý, ký hiệu u là họ các tập hữu hạn của T. Với

mỗi tập con s c T ta xét tích đề các R s = { / : s -> R}. Đặt Í2 - R T . Với mỗi ti € ơ (tương ứng u,v e U} u c v) ta ký hiệu ri,, (tương ứng Uuv) là phép chiếu chính tắc từ R r lên R" (tương ứng từ w lên f " ) . Chúng thoả mãn các điều kiện

nuv o n u = n u (u, V eư,ucv), ĩiuv ° ĩivw = n u l u («, v,w eư,u Cv Cw).

66

Ký hiệu Bs là ơ -đạ i số nhỏ nhất trên R' s sao cho các ánh xạ chiếu

n s , s 6 s là đo được. Đó cũng là ơ-đại số sinh bời các tập UBS,

trong đó Ba € B(R) và Bs = R với t ấ t cả các s chỉ t rừ một số hữu hạn.

Bây giờ già sử đã cho họ (p„)„e{7 các độ đ o xác suất trên {(RU,BU), xiêu} tưomg ủng.

H ọ ( p u ) được gọi là tương thích (hay nhất quán) nếu

ĩ l u v p v ) = P U 1 (2.3)

đ ố i vớ i mỗi cặp u,v € u và l i c V, trong đó ĨỈUV(FV) là độ đo xác suất ảnh của Ỹ v qua n u u được xác định bới

nuu(Vv)(Au)- P u (n - J (A U ) )

với mỗi Au e Bu. Như trên ta thấy, nếu tồn tạ i một độ đo xác suất p trên

( R T , Ổ T ) thì đương nhiên

p u =n„(P) =Pon~ 1 , nêu (2.4)

thoả mãn đ iều kiện (2.3). Ngược lạ i , nên chi cho họ các xác suất {IP,!, u € f / } thoả mãn (2.3) thì thừ hỏi có tồn t ạ i độ đo xác suất p t rên ( R T , 6 T ) thoa mãn (2.4) hay không?

Định lý sau đây thuộc về Kolmogorov.

Định lý tòn tại. Giả sử T là tập chỉ số bất kỳ , ư là tập hợp gom tất cả các tập con hữu hạn của T. Giả thiết rằng với mỗi lí 6 u tịn tại độ đo xác suất p u trên Bu sao cho họ (IP u )u£ơ thoa mãn điều (2.3). Khi đó, tịn tại một độ đo xác suất duy nhất p trên ( R T , B T ) , thoa mãn (2.ị).

67

Chúng minh. a) Ký hiệu BỊ = {UZ1(Au),u 6 U,AU e Bu). Rõ ràng BỊ là một đạ i số các tập con của R T ( đạ i số các tập t rụ đo được). Nếu

A = lì-1

{Au) e BỊ,

đặt ¥(A)=¥U(AU).

Ta sẽ chứng tỏ rằng hàm p xác định như vậy cho ta một hàm tập hợp trên BỊ không phụ thuộc vào cách biểu diễn của tập A. Quả vậy, nếu A 6 BỊ có hai cách biểu diễn

A = U-\AU) =U-Ì(AV), u,veu.

Lúc đó tìm được vu 6 u sao cho u,v c w. Do. tính chớt của các ánh xạ chiếu nên

U^(Au) = Uw(A)=nzị(Av).

T ừ đó và điều kiện tương thích (2.3) ta có

P«(AJ = Pw(nzi(Au)) = FW(U-Ị(AV)) = Fv(Av)

Cũng dễ thớy rằng, hàm p là hữu hạn cộng tính, không âm trên BỊ và Ỹ(RT) = 1. b) Đe có thể áp dụng nguyên lý thác t r iển độ đo Carathéodory ta còn phải chứng minh rằng p liên tục t ạ i 0 trên đạ i số C(f c BQ m à ơ(CỊ) = ơ(BỊ). trong đó C(f là lớp các tập con của R T biểu diễn được dưới dạng hợp của một số hữu hạn rời nhau các tập trụ chữ nhật Ù Át với At € B(R) và Át = R với tớ t cả các í € T chỉ t r ừ

một số hữu hạn. Rõ ràng CỊ là đạ i số các tập và ơ(CỊ) = BT.

68

Ta sử dụng định lý 2.4.5 để chứng minh tính chất liên tục tạ i 0 của p trên CỊ, bằng cách chỉ ra tính chất chính quy của p trên CỊ đối với một lớp compact nào đó. Để làm được điều đó, ta xét lớp /Co gồm các tập con của R biểu diờn dược dưới dạng tổng mội số hữu hạn rời nhau các tập hợp chữ nhật YlKị trong đó Kị =- R

với t ấ t cà các í chí t rừ một số hữu hạn các chỉ số t\,Ì2 I tri € T nào đó, còn Kịx. Kị2,.... Kị, là các tập compact của R. Rõ ràng /Co là lớp compact của R 7 và /Co c cỏ .

Đầu tiên ta có nhận xét san: với mỗi t 6 T, độ đo xác suất P{(;} trên (R,Ổ(R)) có tính chính quy đối với lớp các tập compact của R nghĩa là với mỗi £ > 0 và mỗi Af e Ổ(R) tồn tạ i tập compact Kị c A sao cho Fụy(At\Kt) < £. T ừ đó với mỗi ỉí e u, An = n At, At e và £ > 0 tuy ý . tìm được e t > 0, t e u sao cho

têu

5 é, = e vkỸ{t}(At\Kt) <et. te u. t êu

K ý hiệu B í = n ^ M A ^ t ) , t e '»; ta có

Ỹu(UAt\ụKt) <Fu{[j Bt) < tí V ^

t e n

t ê u t ê u

Do đó cũng suy ra rằng p trên C(f chính quy đối với lớp K,Q. Định lý được chứng minh hoàn toàn. •

Nhận xét í. Trong chứng minh, ta đã sử dụng tính chất, chính quy của mọi độ đo xác suất trên R. đối với lóp các tập compact của R. Ta có thể chứng minh tính chất này vẫn đúng đối với không gian metric khả ly, đầy đủ tuy ý.

69

Thật vậy, giả sử E là không gian metric khả ly đầy đủ bất kỳ, p là độ đo xác suất trên B(E) tuy ý. Đầu tiên, ta chứng minh rằng với 6 > 0 tuy ý, tìm được tập compact K c E sao cho Ỹ(E\K) < e. Vì E khả ly nên tồn tạ i tập trù mật đếm được { « 1 , Ci2, • . . } và do

in đó ỊJ fí(a.t,l/n) I JB khi m t co, (ở đây B(cii,l/n) là hình cầu

í - 1

đóng tâm ặj bán kính 1/n). T ừ tính chất liên tục của xác suất suy ra tồn tạ i mn sao cho

m n

P(i?\ Ịj B(o„ 1/7-0) < e / 2 n

1=1

Đặt

oe m „

n = l ị = l

Rõ ràng, K là tập compact của E và F(E\K) < ổ. Tiếp theo, ta

chứng minh rằng với A 6 B(E), £ > 0 tuy ý, tìm đirợc tập đóng F c i i sao cho P(Ì4\JP) < e .

Để thấy điều đó ta xét lớp A gồm các tập A € Bị E) sao cho với mỗi s > 0 tồn tạ i tập dóng F , tập mờ G để cho F c A c G và. F(G\F) < e. Lớp này chứa 0, o, các tập đóng, đóng đố i với phép lấy phần bù và hợp đếm được. Do dó A = B(E).

Cuối cùng lấy A € 13(E), £ > 0 tuy ý và Ke c E compact sao cho Ỹ(E\K£) < e/2. Theo trên tồn tạ i tập F đóng, F c Ả và sao cho P(/4\F) < e/2. Khi đó tập K = Ke n F compact và P ( y l \ / 0 < £ .

Nhận xét 2. Định lý tồn tại vẫn đúng nếu R được thay bời một không gian metric khả ly đầy đủ bất kỳ.

70

Bài táp 1 . G i ả sử ũ = {0,1,2}. Cho một ví dụ về cr-đại số chứa các tập >4 = { 0 , 1 } , B = {1 ,2} . 2. Cho ũ = Ị0; 1], Hãy mô tả các (7-đại số sinh bời các tập:

a) [0;2/3], [1/3; 1]; b) { 0 } , { l } ; c) tập hợp t ấ t cả các số hữu tỉ.

3 . Chứng minh rằng nếu {Tu) là dãy không giảm các ơ-đại số thì

TI

là một đạ i số. Cho một ví dụ chứng tỏ rằng T không là (7-đại số. 4. Hãy mô tả các er-đại số sinh bời

a) các biến cố có xác suất 0, b) các biến cố có xác suất Ì.

5 . Cho hai dãy các biến cố (An) và ( ổ n ) . Chứng minh rằn* a) lim inf An — lim sup An

b) lim sup(j4„ u Bn) — l im sup An u lim sup Dr, c) lim sup An n l im inf Bn c lim sup( An B n ) c

c lira sup . A n n l i m sup Bn. 6 . G iả sử ( ĩ ì , ^ , P) là không gian xác suất. Hai biến cố A và B

được gặi là tương đương nếu P(J4 A B) = 0 ( v iế t A ~ / í ) . Kí hiệu / Ì là lớp tương đương chứa A. Đặt d( i í , Ồ) = P( i4 A Bí; A,BeT. Chứng minh rằng ả là raột metric trên TỊ ~ và không gian (J^"/ ~ , d) là đầy đủ. 7 . G iả sử (rì, J ", p) là không gian xác suất và Tư là một đ ạ i số sinh ra T. Chứng minh rằng với e > 0 bất kỳ và A € ^F bất kỳ, tồn tại e e f o sao cho Ỹ(A A B) < e.

71

8. Cho không gian xác: suất ( í ĩ . ^ p ) và Ấ,B e T. Chứng minh rằng

a) \F(AB) -Ỹ(A)Ỹ(B)\ < ỉ ; b) 1P(U Ù fí)P(AB) < P(Ấ)P(Ỡ).

9. Cho một, dãy (An) c T. Chứng minh rằng a) £ P ( y C Ã n + i ) < oo,P(A n ) -> 0 =• P(limsup An) = 0; b) Y^F(An A An+i) < oa => limsupy4n ~ liminf An => => lim P( i4 m A Ẩn) = 0.

m , TI—>oo

ờ đây c ~ D <=> P(C A D) = 0. 10. Xét một lớp V gồm các tập con của 0 thoả mãn các điều kiện sau:

a) n € D ; b) i 4 i , Ạ 2 e 2>,J4IÌ4 2 = 0 =• A + A 2 € X>,i4i,i4 2 e v,Aị c

A 2 => A2 \Ai e V-c) V B An 1=> Ị J y l n € V. ( Lớp này gối là lớp (7- cộng tính.)

n Chứng minh rằng:

a) Với mối lớp con c gồm các tập con của ũ, tồn tại lớp ơ-cộng tính bé nhất chứa C;

b) Nếu c đóng với phép giao thì lớp ơ- cộng tính nhỏ nhất chứa c trùng với ơ- đại số sinh bởi C;

c) Giả sử p và Q là hai độ đo xác suất xác định trên (QjJ-'). Chứng tồ rằng lớp V = {A € T : Ỹ(A) = <Q(A)} là lớp ơ- cộng tính. Từ đó suy ra rằng nếu p và Q tríing nhau trên lớp c mà c đóng đối với phép giao thì p trung với Q trên ơ- đại số sinh bởi c. 11. Già sử .Ẩ là đại số các tập con của ũ và p là độ đo xác suất trên Ả. Với mỗi A e n , kí hiệu

co 7(A) = {(AO : An € A n > Ì và A c ỊJ A n } .

n = l

72

oo Đặt P*(A) = inf{ E : (A n) € y(A)}.

n = l 1° Chứng minh rằng a) Ấ c B c fi =» V*(A) < F*(B), b) p*( 2 A n ) = E p * ( ^ n ) nếu Ẩ n e A\AiAj - 0,i / .,,

n = l n = l oo C X I

c) p*( u An) < V*(An); An c n, n > 1.

2° Đặt d(i4, B) = F»(i4 A B) ; A, 5 e a Chứng minh rằng, trêr 2 n d có các t ính chất sau:

a) d(A,B) = d(B,A), d(A,A)=0\ b) d(Ã,~B) = d(A,B); c) d(AB,CD) < d(A,C) + d{B,D); ả) d(A, B) < d(A, C) + d(C, ổ ) ; e) d ( \ j A k ì { j B k ) <J2d(Ak,Bkỵ

k k k g) \V*(A)-V*(B)\ < d(A,B).

3° Ký hiệu T = {A c n : 3(An) c A d(A, Ẩ n ) -» 0} . Chứng mint rằng

a) ^ là à- đ ạ i số chứa A] b) Hàm P = là độ đo xác suất trên ( ạ T) và p = PU-Như vậy tồn t ạ i độ đo xác suất P là độ đo thác t r i ển của p tù

A lên ^ D ơ(.Ẩ). Độ đ o này đầy đủ và duy nhất tho m ã n 3°(b) < trên.

73

Chương 3

B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N VÀ H À M P H Â N P H O I

C h ư ơ n g n à y t r ì n h b à y đ ị n h nghĩa b i ế n n g ẫ u n h i ê n v à c ấ u t r ú c của nó. Đ á c t r ư n g cơ bản của b i ế n ngẫu n h i ê n là h à m p h ả n p h ố i . K h á i n i ệm đ ộ c l ập của b i ến ngẫu n h i ê n ( đ ó n g vai t r ò quan t r ọ n g t rong lý t h u y ế t x á c suất) đ ư ợ c t r ì n h b à y k h á chi t i ế t . C á c p h á n

p h ố i quan t r ọ n g n h ấ t (nhị thức, Poisson, chuẩn , m ũ , gamma, . . .)

cũng đ ư ợ c x é t đ ế n .

3.1 B iến ngẫu nhiên

G i ả sử ( f i , T ) là k h ô n g gian đ o đ ã cho, R — |— oe; I oo|.

3.1.1 Định nghĩa. Hàm thục X = x(u>) xác định trên Sì lấy giá trị trên R gọi là hàm T -đo được hoặc biến ngẫu nhiên suy rong nêu

ụ : x ụ ) e F3} - X~l(B) e T với mỗi B e B(R) .

(Ớ đáy B(R) là ơ đại số các lập Bond cùa trục thưa R). Thèm vào đó, nếu

X : n — R ( - o e ; + oe)

thỉ ta có khái niệm biển ngu nhiên. Già sử c c P ( R ) và B(R) a{C). Theo đ ị n h lý 2.2.4, c h ư ơ n g 2.

á n h xạ X : ( f , r ) -> ( R , B ( R ) )

74

là biến ngẫu nhiên suy rộng khi và chỉ khi X 1 (C) e T với mỗi c e c.

T ừ đó, nếu lấy c là một trong các lớp

Ci = { [ - o o ; j ; ) , x eẼ} ,

c2 = { | -oo ;x | , z e 1} ,

c3 = {[a;6),a < 6} ,

thì ta có khẳng định sau.

3.1.2 Đinh lý. Giả sử X : Q —> R. Khi đó các mệnh đề sau tu ang

đương: a) X là hiến ngẫu nhiên. b) {UJ : X{UJ) < x } € f với mỗi X E R. c) {ui : X(LJ) < x) e T vái mọi X e R. (ỉ) {vú : a < X{UJ) < b) 6 T với a <b bất kỳ.

Ví dụ. Cho không gian đo ( í ì , ^ 7 ) , A c o. Dễ dàng chứng minh được rằng IA là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi A e T. Tổng quát hơn. nếu Ai 6 T, i e ì (ĩ không quá đếm được) và Ai í ỉ

i€/ thì với ( X i ) i e í c R,

^ ) = J x 4 H (3.1) t e /

cũng là biến ngẫu nhiên. Nó sẽ được gọi là biến ngẫu nhiên rời rỠc. Khi / hữu hỠn, X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.

3.1.3 Hàm Borel. Hàm i f : ( R n , S ( R n ) ) -» (R, B(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nó ) đo được, nghĩa là

if~l(B) e B{Rn) VỚI mỗi B 6 Ỡ(R) .

Nhận xét. T ừ định nghĩa suy ra, nến tp : R" —> R là hàm liên tục thì ip cũng là hàn) Borel. ĐỠc. biệt các hàm

(x,y) !-> X +y, (x,y) !-> Xỉ/

75

(x . ụ) H I V Ị / =- max(x, y ) , (x, ụ) t—> X Ay = mm(x, y) là các hàm Borel hai biến.

3.1.4 Đinh lý. Giả sử Xi,. .. , X n /à các 6tấn ngẫu nhiên cùng xác định trên (ũ. J-) và íp(tị.... , t n ) là hàm Borel giá trị thục. Khỉ đó Y ----- <p(Xi,... , Xn) cũng là biến ngẫĩi nhiên.

Chứng minh. Đặt x(u>) = (Xi(oj),. . . , Xn(u>)) là hàm trên (rĩ, T)

nhận giá trị trên R". Theo giả thiết với Tị,. . . ,xn <E R bất kỳ ta có

Tì

pỊ{w : Xị(u>) < Xi} e T ,

1=1 hay

rì.

1=1 Nhưng láp các tập

n

Ỵị(-oo,Xi), X i , . . . , x „ e R 1=1

• sinh ra B(Rn): Nên theo định lý (2.2.4),

X-\B) ETvớiBE B(Rn) bắt kỳ.

T ừ đó, nếu c e B(R) thì

^ - 1 ( C ) e B(M n) và A- l | ¥> _ 1 (C*) | € T.

Do đó, ỵ - ^ C ) = X-xị<p-l(C)\ 6 f và y là biến ngẫu nhiên.D

i ĩ ê gud. Giả .sử X , V /à cóc biến ngẫu nhiên. Khi đó

X±Y, X.Y, X V K , XAY,

I + = I V 0 , * - = (-*•) vo , | X | - = X M ^ _

70

cũng là các biên ngẫu nhiên. Đặc biệt, nếu Y khàng triệt tiêu thì X/Y là biến ngẫu nhiên.

3.1.5 Dinh lý. Giá su (Xn,ìi > 1) là dãy biến ngẫu nhiên và

s u p X „ , i ĩ i f X r , TI. n

hữu hạn trên íì. Khí đó,

suọXn. i n f X n , l i m sup X n . . l h n i n f v Y , , n n ri ri

lủ các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu l i m Ẩn — X. X hùn hạn thì X cũng là biến ngấu nhiên.

Chứng vánh. T ừ các đ ẳ n g thức

irif Ẩn — s u p ( — x n ) . " ả Ì

l im iiifyY,, ----- sưp( i n f Xi-) .

l im supX,, ----- inf(sup-Xfc) , ?7.—oe n > l / j > n

l a t h ấ y chỉ cần chứng m i n h r ằ n g supA"„ là b i ế n n g ẫ u n h i ê n . N h ư n g rỉ-

v ớ i X 6 R b ấ t kỳ \xn < x\ €F, Tỉ - 1 ,2 . . . . . Vì v ậ y

•DO

ỊsupX,, < xi = Ị ~ ) \x„ < x\eT . •

3.1.6 Cấu trúc của biến ngẫu nhiên

Dinh lý 3.1.6. Giả sù X là biên ngẫu nhiên xác định trẽn ( f i . J F ) .

Khi dó

li) tìhi tại dãy biến ngẫu nhiên rời rục hội tu dơu đến X;

bì Tiểu X > 0 thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên dơn giàn ( X n ) .sao cho x„ ị A'.

77

('ìn eng ri linh. a) L ấ y

l t X i / . Ẩn • y — I , fc < v M Ị I .

• — / ; / I „ 11-^ „ I A' — oe

RÕ r à n g ( X n ) là d ã y b i ến ngẫu nh iên r ờ i rạc v à

Ì

sup | j f n (a>) - x ụ ) \ < - - * 0 . UI Ti

h) N ế u X > 0 th ì l ấy

£C Ã - - Ì

x„ = 2^ - ỹT~Đ ỊA—1<A - . 2"<A- ] + r ? I [ . v > „ | , (rỉ > 1) . Ắt — Ì

R õ r à n g . 0 < x„. j yY và (Xi.) 1« d ã y b i ế n ngẫu nhiên đ ơ n g i à n . Đ ịnh lý đ ư ợ c chứng minh . •

G i ả sử X là b i ế n ngẫu nh iên t r ê n ( f i , J^) và

T { X ) = {X~l(B), B e B(R)}

là Í T - đ ạ i số sinh b a i X.

3.1.7 Dinh lý. Già sù X là biến ngẫu nhiên trên (iì.T) và Y là ánh xạ tủ iì vào R . Lúc đó, Y là T ( X ) -đo được khi vả chi khi ton lại hàm Borel if : R —* R sao cho Y = ipoX.

Chúng minh. Đ i ề u k i ệ n đ ủ là h i ể n nh iên . Đế chứng m i n h đ i ề u k i ệ n cổn, đ ổ u t i ên g i ả sử Y là h à m l à i rạc v ớ i m i ề n giá tr ị { « 1 . « 2 , • • • } • Theo g ià t h i ế t , t ậ p An ------- \Y an\ e T(X). Do đ ó A„ -----X - l { B r ì ) , l ị , e B ( R ) .

Dạt l i - ì

(•„ - B„\ ỊJ li, e ổ ( R ) , r ? - 1 ,2 , . . . . 1 = 1

78

Các tập này rời nhau và

n - l

X-l(Cn) = An\ u Ai - Ar, . i--ì

Đặt

<p(z) = Y^"n-kj „(•/:). n > l

Dễ thấy Y = ự>oX. Xét trường hợp tổng quát . Theo định lý 3.1.6 tôn t ạ i dãy hàm

Y n T-ủo được, rời lạc hội tụ đều đến Y. Theo phần đầu của chứng minh, tồn tạ i các hàm Borel i f n sao cho Yn — íỌnoX. Kí hiệu

B = { X Ễ R : tồn tạ i l i r ay5 n (x )} . n

Hiốn nhiên B e B(R) và B D x(íì). Đặt

limí/?„(.r) với X € ổ ^ (x)

0 với ì ế #

Rõ ràng Y = l imYr , = linií/pn0yY — ^poX .

ri Tí

Định lý được chứng minh. •

3.2 Phần t ử ngẫu nhiên

3.2.1 Đinh nghĩa. Giả sù (ÍÌ,^F) và (E,£) là hai không gian đo. Như đã biết, ánh xạ X : íì —> E T/8-đo đít ơi: còn được gọt là phần tủ ngẫu nhiên.

Thông thường, E hoặc là không gian metric hoặc là không gian tỏpó, còn € là ơ-đại số các tập Borel {£ B(E)).

Khi E = R, E = c, E Rd với ơ . lạ i số các tập Borel tương ứng thì phần tử ngẫu nhiên tương ứng được gọi là biến

ngẫu nhiên (thực), biến ngẫu nhiên phức hay véc tơ ngẫu nhiên

Tì

đ-chiầu. Véc tơ ngẫu nhiên d-chiầu được biểu diễn duy nhất dưới dạng

X = ( X i , . . . . Xd),

trong đó Xk = TĩkoX, 7Tfc là ánh xạ chiếu t ừ Rd lên toa độ thứ k. Vì Kịt là các hàm liên tục nên Xk là biến ngẫu nhiên. Đảo lại , nếu

các Xk là các biến ngẫu nhiên thì X là véc tơ ngẫu nhiên.

3.2.2 Phân phối của phần tứ ngẫu nhiên. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên xác định trên (ũ, JF, p) nhận giá trị trên ( £ , £) . Hàm tập

FX(B) =Ỹ{X-Ì(B)) , B e £ ,

được gệi là phân phối của X trên (£/, £ ) . Đó là một độ đo xác suất còn được gệi là ảnh của p qua X, kí hiệu là X(F).

Khi ( £ , £ ) = ( R T

: ổ ( R r ) ) , phần tử ngẫu nhiên X còn được gệi là hàm ngẫu nhiên. Nếu T c R thì yY thrợc gệi là quá trình ngẫu nhiên.

3.3 H à m p h â n p h ố i x á c suất của b i ế n n g ẫ u n h i ê n

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Q,,Jr. F) nhận giá trị trên K = (—00; +00).

3.3.1 Dinh nghĩa. Hàm số

Fỵ{x) =F[X < xi x e R , (3.1)

được gọi là hàm phân phổi của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét . Theo định nghĩa, hàm phân phối của X là thu hẹp của độ đo xác suất PA ' trên lớp các khoảng (-00; x), xe R.

T ừ đó, hàm phân phối F(x) = Fỵ(x) có các tính chất sau: i) đơn điệu: X < y => F(x) < F(y), li) liên tục trái, có giới hạn phải tạ i mệi đ iểm, ni) /••( oe) : = l im F(x) = 0 , /•'( I oe) : lira F(x) •-- Ì .

80

Ngược, l ạ i , n h ư đ ã b i ế t t rong c h ư ơ n g 2, n ế u h à m số F(x) b ấ t kỳ có ba t í n h chất t r ê n thì tồn t ạ i một đ ộ đ o xác suất /X t r ê n (R, B{R)) sao cho

F(x) = /i(-oo.x) , x c R .

T ừ đ ó , n ế u l ấ y X : R —> R là á n h xa đồng n h ấ t th ì X là b i ế n ngẫu n h i ê n t r ê n k h ô n g gian x á c suất, (R, ổ ( R ) , / i ) sao cho

/'(•'•) Fx(x) .

Đ ộ đ o x á c suất / i sinh b ờ i h à m F(x) còn được gọ i là đ ộ đ o Lebesgue-Stielt jes sinh b ờ i F.

T ừ t í n h chất liên tục của xác suất, ta có

Fỵ(x + 0) - F x ( x ) - l im Ị F Y ( x + ị ) - F A - ( x ) | n—»oe TỊ,

Ì 0 0 Ì = l i m Ỹ\x <x< X -I - I = P( n |x < X < X + - ] )

n—»oc 71 1 1 n n = Ì

- F\x = x\ .

Do đ ó . h à m Fỵ(x) liên tục t ạ i Xo khi và ch k h i P Ị X = X o i --- 0. T ừ đ ị nh nghĩa h à m p h ả n phố i . ta còn có

F\a <x<b\ = Fỵ(b) - Fx(a) , F[a < X < bị = Fỵ(b + 0) - Fỵ(a) ,

Ỹịa < X < bì = Fx (6) - Fx (a + 0) ,

P|a < X < 6| = F\- (6 + 0) - Fx (a + 0) ,

v ớ i tì < ò bấ t kỳ . Do đ ó . n ế u Fỵ (x) liên tục t ạ i « và b t h ì b ố n x á c s u ấ t t r ên

t r ù n g nhau.

81

3.3.2 Các dạng phân phối

H à m p h â n p h ố i Fỵ{x) đ ư ợ c gọ i là r ờ i rạc n ế u n ó có d ạ n g

Fix) = Y, Vi (3-2) i:Xị <x

t rong đ ó Pi > 0, / ] p i — Ì v à s = {Xi : Ì < i < oo} là t ậ p con ì

k h ô n g q u á đ ế m đ ư ợ c của R.

H à m p h ả n p h ố i F(x) đ ư ợ c gọ i là l iên t ú c t u y ệ t đ ố i n ế u có m ộ t h à m Borel f(x) sao cho

F{x) = / / ( í ) d í , X € R. (3.3) •/ —co

D ễ t h ấ y / ( í ) > 0 ( h ầ u k h ắ p nơ i ) v à

/

+ oo f(t)dt = Ì .

-oo

T ừ lý t h u y ế t h à m b i ế n thực , t a t h ấ y m ộ t h à m p h â n p h ố i b ấ t k ổ đ ư ợ c b i ể u d i ễ n d ư ớ i d ạ n g m ộ t t ổ hợp lồ i của ba loạ i

F(x) = cxFd{x) + c2Fac{x) + c3Fs(x) , (3.4)

(ơi > 0, Cy + c 2 + C"3 = Ì ) , t r o n g đ ó Fd(x) l à h à m p h â n p h ố i r ờ i rạc, F a c ( x ) là, h à m p h â n phố i liên tục t u y ệ t đ ố i , Fs(x) là h à m p h â n p h ố i kổ d ị , nghĩa là n ó là h à m liên t ục v à

t ậ p h ợ p

{x e R : Fs(x + E) - Fs(x - é) > 0 v ớ i m ọ i e > 0}

có đ ộ đ o Lebesgue k h ô n g .

• N ế u c 2 = c 3 = 0 t h ì C\ = 1. K h i đ ó F có dạng (3.2). B i ế n

ngẫu n h i ê n có h à m p h â n p h ố i n h ư v ậ y gọ i là b i ế n ngẫu n h i ê n r ờ i rạc. N h ư vậy , b i ế n n g ẫ u nh iên X có p h â n phố i r ờ i rạc k h i v à chỉ

82

khi có một tập s = {Xi, ì <-ỉ < ri < oe} hữu hạn hoặc đếm được sao cho pịx é s\ = ì. Nếu đặt Pi •= p\x X i ị. / > ] thì rõ ràng

Fỵ(x) = Pi , X 6 R .

P h â n phối xác suất được tập trung tạ i các điểm Xi và ta có bang sau gọi là bảng phân phối xác suất. của X :

X X i x 2 . . Xi . . .

p V\ ĩ>2 •• • Ví •••

ờ đây

Xi^ Xj với ì Ỷ 3: p; > 0. 5ZPÌ = Ì

• Ngược lạ i . nếu cho tập 5' = { j - t , / € / } không quá đếm (lược và tập các số {pi,i 6 / } như trên thì có một biến ngẫu nhiên lài rạc X với tập giá trị s và có bảng phản phối ờ trên.

Đôi khi hàm số

, Ị Vì nếu X = Xi

P [ X ) ~ Ì 0 nếu X Ệ { X i . i > 1}

còn được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

• Trong trường hợp C\ — C'4 = 0, F = Fac. Kh i đó F có dạng (3.3), Biến ngẫu nhiên có hàm phân phối như vậy gọi là biến

ngẫu nhiên có phân phối liên tc tuyệt đối ; hàm / trong (3.3) gọi là hàm mật độ của biến ngan nhiên X. Cũng như t rường hợp rời rạc, phản phối xác suất của nó được: biết hoàn toàn nếu biết hà™ mật độ / của nó. T ừ nguyên lý thác t r iển độ đo, ta có

Ỹ\x e Bị = í f(x)dr . R 6 B(R) . JB

83

3.3.3 Một số ví dụ Ví dụ ỉ. (Phân phối nhị thức)

Tiến hành một dãy Tì phép thử Bernoulli với xác suất thành cống ờ mỗi phép thử là p. 0 < p < ì. Già sử X là số lần thành cóng trong TI. phép thử đó. Rõ ràng X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị 5' = {0, Ì , . . . , ri} và

Ỹ\x = kị = cipk(ì - p ) n - k , kes .

Khi đó, X đirợc gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n.p hay nói gọn. X có phân phối B(n,p) (còn viết X ~ B(n,p)).

Vi dụ 2. (Phẫn phối siêu bội) Giả sử có một cái hộp chứa M quả cầu trắng và N — M quả

cầu đen. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lạ i n quà cầu. Gọi Y là số quả t rắng trong n quả đã lấy. Nếu ký hiưu

ki = max(0, n - N + M ) ,

/C2 - rain(M, n) .

thì Y có miền giá trị là tập s = {k € z : kị < k < k'2} và

(~<k (~>n—k

PỊy . Ai = WEứL , fces.

Biến ngẫu nhiên V với phân phối như vậy gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội với các tham số ri, M, N (còn viết Y ~

H(n, M, N)).

Ví dụ 3. Phán phối Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Poisson với tham số À > 0

(viết X ~ P(A)) nếu X có miền giá trị 5 = N = {(), Ì, 2 , . . . } và

xke~x

F\x -— k] — —~— , À-= 0 , 1 , . . .

Ví dụ 4- Phán phối nhị thúc âm Tiến hành liên t iếp các phép thử Bernoulli với xác suất thành

('.óng ở mỗi phép thử là p, 0 < p < 1. Ký hiưu X là số phép thử

84

cần thiết d ể nhận được chi r lần thành công. X có phân phối rời rạc với miền giá trị s — {r, r + Ì , . . . } và

P[X = k] = cr

kz\pr(l - p)k~r ,k>r .

Thật vậy, b iến cố \x = k} xảy ra khi có r — Ì lần thành còng ờ k — Ì phép thừ đ ầ u và thành công ờ phép thử thứ k. Do đó F\x — k\ có dạng trên.

Biến ngẫu nhiên X phân phối như vậy gọi là có phân phối nhị thức ân) với tham số r , p (còn viết X ~ NB(r,p)).

Dưới đây là một số phân phối liên tễc tuyệt dối có dạng đạc biệt.

Ví du 5. Phân phối đầu Biến ngẫ\i nhiên X được gọi là có phân phối đều ư(a; b) nếu

hàm mát đó của nó có dang

Ì nếu a < X < b ,

Dễ thấy

f ( x ) = { b-a 0 nếu X ị \a\b\ .

0 nếu X < a ,

F t x ) = { V — - n ế u

'a <

x

<h Ì 1 b — a

Ì nếu X > b .

Ví dụ tì. Phản phối chuẩn Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phản phối chuẩn với các

tham số a. ơ2{ơ > 0) (còn viết X ~ jV( t t ,ơ 2 ) ) , nếu hàm mật độ của nó có dạng

Ì (*-*)* / O E ) = — 7 = e - ^ , x e R .

Phân phối 7^(0,1) còn được gọi là phân phối chuẩn chính tắc. Có thể chứng minh dễ dàng rằng, nếu X ~ N{a, ơ2) t iu

( X - a ) / ơ ~ A/"(ớ, 1).

85

Ví dụ 7. Phân phối mũ

B i ế n n g ẫ u nh iên X gọi là có p h â n p h ố i m ũ v ớ i t h a m số 0 > 0 (còn v i ế t X ~ EXP(0)) n ến m ậ t đ ộ của n ó có d ạ n g

f(x) =

H à m p h á n phố i có dạng

F(x) =

9e~8r n ế u X > 0

0 n ế u X < 0 .

Ì — e~ ỡ x n ế u X > 0 .

0 n ế u X < 0 .

P h à n p h ố i mĩĩ t h ư ờ n g x u ấ t h iện t rong c á c bà i t o á n v ề t h ờ i gian sống của m ộ t bộ phận t rong cơ t h ể của m ộ t s inh v ậ t , . . .

Ví dụ 8. Phàn phối gamma V i ế t X ~ hay còn nói X có p h â n p h ố i gamma v ớ i c á c

tham số a,p(a,p > 0) nếu m ậ t đ ộ của n ó c ó d ạ n g

a p x p - l e - a x

n ế u X > 0 ,

ờ đây

f(x) = { rịp) 0 n ế u X < 0

/• + oe

rịp) =-- ị xp-le-Tdx ,p > 0

P h ả n p h ố i m ũ là t r ư ờ n g hợp đặc b i ệ t của p h â n p h i gamma k h i p = . - . : ] .

Phản Ị>hối còn đ ư ợ c gọi là p h â n p h ố i " k h i - b ì n h p h ư ơ n g " v ớ i ri bậc t ự do ( v i ế t gọn là X / 2 ( T / ) ) .

3.4 P h â n p h ố i c ủ a v é c t ơ n g ẫ u n h i ê n

Trong Rd có t h ể đ ư a vào quan h ệ t h ứ t ự b ộ p h ậ n . V ớ i X (./;,.. . . , xd),y = ( y i , . . . , 2/d) e R đ , t a v i ế t

86

X < y nếu Xk < yk, k = 1 , . . . , d ,

X < y nếu Xfc < y f c , fc = l , . . . , d .

Tập hợp ịx;y) := { ĩ i € R d : X < u < ĩ/}. Giả sử X = {Xi,... , x d ) là véc tơ ngẫu nhiên ả chiều xác định trên (íí, J 7 , p) .

Như đã biết, hàm số

F(x)=Ỹ\X <x\=¥\Xl<xu... ,xd<xd\ ,

X = (xx , . . . , I d ) € K d là hàm phân phối c ủ a v é c t ơ ngẫu nhiên X. Vì

F(x) = Fx(-oo,x) , x € K d ,

nên như đã biết, hàm F có các tính chắt sau: 1) 0 < F(x)< ì. 2) Nếu Xfc —> —oo với một fc nào đó thì lim F(x) = 0.

Nếu X i —> +oo , . . . , Xá —> +oo thì lim F(x) = Ì. 3) Hàm F liên tục trái. 4) A ^ A ^ . . . A ^ F ( x ) > 0 với > 0, fc = Ì , . . . , d t ấ t kỳ

trong đó nếu g(x) = g(xi,... , X á ) là hàm s ố bất kỳ, toán tử sa: phân A£ được xác định bời

&hk9Ìx) = y(xu • • • ,xk-i,xk + / ỉ . f c , x f c + i , . . . , x d ) ~

- g ( x u . . . , X f c , . . . , x d ) .

Chng hạn, khi d = 2 ta có:

A i t A ^ F ( x ) = F ( X l + h u x 2 + ha) - F ( X l + h u x 2 )

- F{xx, x2 + /12) + F(xi,x2).

Dễ dàng thấy r ng

F\Xe[x; x + h]] = Al

hiA2

h2...Ad

hdF(x).

87

N g ư ợ c l ạ i , n h ư t r ư ờ n g hợp ả = ì, n ế u h à m số (ỉ b i ế n số F(x) t h ỏ a m ã n 4 t ính chấ t . trên thì F sẽ là h à m phản phố i của véc t ơ n g ẫ u n h i ê n d-chiều n à o đ ó .

Thật, vậy, t a có t h ể l ấy k h ô n g gian đ o ( R d , B(Rđ)). T r ê n l ó p c = {|a; 6), a < b} đ ặ t

P 0 | a ; ò ) = A Ỉ 1 _ a i A g 2 _ a a . . . A £ ỉ _ 0 ( í F ( a ) .

Sau (ló, n h ờ n g u y ê n lý t hác t r i ể n đ ộ đ o . có t h ể t h á c t r i ể n Po t ừ c len ọ ( R d ) đ e đ ư ợ c đ ộ đ o x á c suất p t r ê n ọ ( R d ) . Véc t ơ n g ẫ u n h i ê n X cần t ìm ch ính là á n h x ạ đồng nhấ t t ừ R d lên R d .

• Véc t ơ ngẫu nhiên d-chiều X đ ư ợ c gọi là có p h â n p h ố i r ờ i rạc n ế u t ồ n t ạ i t ậ p k h ô n g q u á đ ế m đ ư ợ c s •= {xi. ĩ 6 / } c R

sao cho F\x e s\ = ì. Đ ặ t Pi P|A' ,r'Ị. t e / . K h i đ ó

P | X 6 ọ i = ỵ2 Pi . i:x'£B

Ví dụ ỉ. Phân phối đa thúc Véc t ơ ngẫu nh iên (á-chiều X đ ư ợ c gọi là có p h â n phố i đ a t h ứ c

v ớ i các tham số n,p\,... ,pd ( v i ế t gọn X ~ MUT(n.p\,.. : , pd ) ) , ờ đ â y Tí 6 N * , P 1 , . . . ,Pd > 0, Pd-I-I = Ì - (p i + . . • + Pri) n ế u

PỊA-! X , M = - , " ! / ' P 2 2 . . .PỈ d

4 V . A ] ! A 2 ! . . • / c f i + 1 l

ờ ( l a y 0 < fci < T ỉ , fcd4 , - 7/ - (Ả-1 í . . . + kd) > 0 .

• Véc t ơ ngẫu nh iên A" = ( X i . . . . , x d ) đ ư ợ c gọi là có p h à n phố i liên tục t u y ệ t đ ố i nếu t ồn t ạ i một h à m Borel / : Rd —* R 1 k h ả t ích sao cho

F . Y ( X I , . . . , d !

v ớ i m ỗ i ì = ( x i , . . . , Xd) € R d .

88

Hàm f(t) được gọi là hàm mật độ của X hay mật. độ đồng thời của Xi,... , Xd-

Từ định nghĩa ta có ngay

¥\x e Bị = y • • • y/0*1. • • • ... dxd , B e S ( R d ) .

Giả sử X = ( X i , . . . , Xé). Đặt V . ( X ; . . . . , xk), k < ả. Khi dó

F Y { x u . . . , x k ) = P|A"i < X i , . . . , x t < x f c Ị •=

= P[A"i < £ i , . . . ,Xfc < X f e , X f c + 1 < + 0 0 , . . . ,xd < f o o j

= F ỵ ( x i , . . . ,Xk,+00,. . . , + 0 0 ) .

Từ đó nếu c eB(Rk

) và B = c X Rd

~k và X có mật độ / ( ì ) ,

X e Rd thì

P[y 6 C'Ị = P ị j f G Bị = / / (x )dx

f oo /> + oe / / ( x i , . .. , x d ) d x , . . . dx d

J —oe

... J f ( x i , . . . , x k . x k i U ....xd)dxk+l...dx0 dx\...dxk

Như vậy, ý cũng có phân phối liên tục tuyệt đối vi hàm mật độ

ĨYÌVu--- ,Vk) = í • • • ỉ f ( y \ , - • ,Vk,Xk+i,--- , x d ) d x k u . . . d x d .

R d - f c

Từ định nghĩa của hàm mật độ đồng thời, ta có

Vx e Rd, f ( x ) > 0 và / f(x)dx = Ì

89

N g ư ợ c l ạ i , n ế u f(x) là h à m luật đ ọ cua X •- ( X i , . . . . Xì) th ì h ầ u k h ắ p nơi

3dFx (xụ rji — r-^ —— -- / .r, , . . . , xd) .

OX\UX2 • • • ƠXẠ

Ví dụ 2. Phân phối chuấn nhiều chiều

G i à sử li — ( o i , . . . .dà) là véc t ơ á ch iều v à M = là

ma t r ậ n v u ô n g cấp n . G i ả t h i ế t r ằ n g M đ ố i x ứ n g v à xác đ ị n h d ư ơ n g và A = Ả / - 1 . Ta nói r ằng véc t ơ ngẫu nhiên X -- ( X i , . . . . X d ) có p h â n p h ố i chuẩn M(a, M ) n ế u m ậ t đ ừ của yY có dạng

. y ^ L 4 í Ì , ,

(2n)W r \ 2

t rong đ ó

a)A(x - à) = ^2^2 "iji-i'i - - ra

3.5 P h â n p h ố i c ủ a h à m c ủ a b i ế n n g ẫ u n h i ê n Già sử X là b i ến ngẫu nhiên v ớ i h à m phản phố i F\ (x) và h(x)

là h à m Borel. K h i đ ó h à m p h à n phố i của Y = h(X) là

Fy(x) =-- F h { X ) ( x ) = F\h(X) < s\ p\x e ì r 1 ( - o e . x ) | .

T ừ đ ó . n ế u h t ă n g , có h à m ngược h~] th ì

/•ụ.Y )(.'•) Fx(h-\x)) . (3.5)

N ế u /í.(jr) - a i 4 6, tì > 0 th ì h i ể n nh iên

FaX + b(x) = Fx

Đặc b i ệ t n ế u Fx (x) là h à m liên tục thì b i ế n ngầu n h i ê n Y — F\ { X ) có phản phố i đ ề u t r ê n ỊO; 1Ị.

ra

90 T ừ (3.5) suy ra rằng, khi hàm h tăng thật sự và khả vi t rên R

thì

fh(X)(y) = f x ( h - l ( y ) ) ( h - l ( y ) ) '

= f x ( x ) ỷ . x = h-*(v) • áy

Trường hợp h(x) khả vi và giảm thật sự, bằng lý luận tương t ự ta cũng có

dx

ày

Giả sử X = (Xi,... , Xd) có mật độ f x ( x ) và x(íì) c Ả,

f h ( X ) ( y ) = f x ( x ) , x = h - l ( y ) .

h(x) = (hx(x),... ,hd(x))

là ánh xạ t ừ A c Rd vào tập B c Rd, B = h(A). Nếu h là song

ánh khả vi liên tục và Jacobian

£>(/?!,.. . ,hd) J ( x l = rư r 0

D{xi,... ,xd)

t rên Ẩ thì phân phối của ý = cũng liên tục tuyệt đ ố i và

f Y ( y ) = f x ( h - ỉ ( y ) ) \ J ( h - l ( y ) ) \ - ì , y e B .

Thật vậy, lấy ố' c ]Kd tuy ý, Borel vỉi biên tran từng phần ta có

PỊy e 5'Ị = P|X e = / fx(x)dx . A -» (S )

Đối biến ý = /ỉ.(x) ta có

Ỹ\Y es\= í fx{h-l(y))\J(h-Hv))\-ldy . Js

T ừ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ. Giả sử X có phân phối chuẩn n chiều X ~ A/^a, A f ) , a €

R n , M = ( m j j ) " - = 1 . Xét véc tơ ngẫu nhiên Y = X.B, trong đe

91

B = (bij)™j=l. Để xác định phân phối của Y ta giả thiết B không suy b iến và đ ư a vào phép biến đ ố i y = X.B hay X — y.B~l , x,y 6 R". Ta có

Vậy với A - M~l, c = B~l

fv(y) = fx(yC)\detC

e x p { - ị ( y - aB)CAC (y - aB )I

T ừ đó và đ ịnh nghĩa phân phối chuẩn ta thấy Y cũng có phân phối chuẩn AÍ(aB, B MB) vì (CÁC)-1 = B MB. ;

Bây giờ ta chuyển sang trình bày khái niệm độc lập, một trong những khái niệm quan trọng nhất của xác suất.

3.6 Tính độc lập

Giả sử (rì, ^"(P) là không gian xác suất cố định.

3.6.1 Đinh nghĩa. Họ hữu hạn {J-ị, í 6 / } các ơ -đại số con của T được gọi là độc lập nếu

đối với Ai 6 Tị, (i € / ) bất kỳ. Họ vô hạn {J-ị, i E 1} các ơ-đại số con của T dược gọi là độc

lập nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các biến ngấu nhiên Xi,i € / đuợc gọi là độc lập nếu họ

các ơ-đại sổ sinh bởi chúng {J-(Xị),i € 1} là độc lập. Họ các biến cố {At,i e 1} c T được gọi là độc lập nếu họ các

biến ngẫu nhiên {ĨA•) i € / } là độc lập.

i € / t e /

92

3.6.2 Dinh lý. Giả sù {d,i e Ị} là họ tuy ý các lớp con cùa T có cúc tỉnh chất. sau:

ti) mỗi lớp Cị đóng đối với phép giao, b) họ {C' (, i € / } độc lập theo nghĩa đối với J c / hữu hạn bát

kỳ và Cj eCj,j e J bất kỳ, ta có

P ( fV ; >) I l ^ O ) . (3.6)

Khi đó, họ {ơ(Ci),i 6 / } củng độc lập.

Trong chứng minh. ta cần bổ đề sau.

BỔ đề. Giả sù c c T là lớp đóng đối với phép giao nà lớp A là lớp bé nhất các tập con cùa ũ, chúa c và thoa mãn các điều kiện .san:

a) íì 6 A

b) AUA2 eA, A\A2 = 0 => Ai + A2 E A c) Ai c A2; Aị ,A2eA^> A2 \ AA € Á á) (A„) c Ạ (An) tăng thỉ u An e .

rỉ Khi đó A = ơ(C). Chúng minh.

1° A đóng đ ố i với phép giao. Đặt

Bi = {A: AeA,ABeA, V B e C } .

Lớp này thoa mãn các đ iều kiện à) — ả) ờ t rên và chứa c, nên BỊ = A ( vì A là lớp bé nhất có tính chất đó ). Như vậy. với VÃ e A,VB E C, AB é .

Đặt B2 = {A : A e .AB € A V ổ € À).

Lớp này cũng thoa mãn các điều kiện à) — ã) ở t rên. đồng t l iờ i theo nhận xét vừa rồi thì B-2 D c. Vậy ổ2 = .4. Nói cách khác. A đóng đ ố i với phép giao. 2° T ừ a) và c) suy ra .Ẩ đóng đố i với lấy phần bù. Do dó >J là (lại .số và cùng với d) A là ơ — đạ i số. Vậy .4 D ơ((.').

9 3

3° Rõ ràng ơ(c) cũng thoa mãn các t ính chất a) — d) và chứa c nên ơ(c) D Ả. T ư đó và 2°, ta có A - ơ(c).

Chúng minh định lý 3.6.2. Lấy J c ĩ , hữu hạn bất, kỳ. Cố đ ịnh ì € ./. Xét lóp

Ti {A c T : P ( , 4 Pl Cj) = Ỹ(A) J ỊP (Ợ, - ) , ve,- 6 Cj,Vj / í } .

Theo giả th iế t , J^i D Cj và có các tính chất à) — ả) trong bổ đề , vì

vậy Ti z> ơ(Cị). T ừ đó, họ các lớp {ơ(Cị),Cj, j 6 <Ạ{ ĩ }} cũng đệc lập. Lặp lạ i lý luận như đã làm, cuối cùng thấy họ các ơ -đạ i số {ơ(Cj), i € J} đệc lập. Do J được lấy tuy ý. theo đ ịnh nghĩa, họ {Tị, i £ / } đệc lập. •

Hê quả 1. Giả sứ TịẠ £ ì là họ các ơ-đại số con độc lập của ơ -đại số T. Khi đó, đối với họ con rời nhau { I j , j € J} bất kì của tập ỉ, các ơ -đại số {Qj = a{TiẠ € I j ) , j € J} cũng độc lập.

Chứng minh. Kí hiệu

Cj — {B : B = Pl Ai; Ai e Ti, K là tập hữu hạn bấ t kì của lị).

Rõ ràng mỗi lóp Cj đóng đối với phép giao và sinh ra ơ - đạ i số Ợj.Rọ {Cj,j E . / } thoả mãn các điều kiện của đ ịnh lý (3.6.2) nên họ {Gj;j € J} đệc lập- ũ

Hê quả 2. Giả sỳ họ các biển ngẫu nhiên {xị, k = Ì , . . . , n,j, j € J } độc lập và {gj(x\ , . . . , £ „ )} /à /lọ các /làm Borel bất, kỳ. Khi đó họ các biến ngẫu nhiên {(Jj(xị,. .., XỊ, ), j € J} cũng độc lập.

Chúng minh. Hiển nhiên .

Hệ quà 3. a) Các biến ngẫu nhiên Xi, X'2, • • •, Xn độc lập khi và chi khi

94

x„ ( x u . . . , x n ) = F X l ( x i ) F x 2 ( x 2 ) . . . F X n ( x n ) (3.7)

ÍJỚ? m ọ i ( . r i , . . . , x n ) £ R" . b) Nếu (Xi, X ỉ , x n ) có mật độ / . V , ...,.\"„ (-i'l J-ri.) thì Xi, . . . . xn

đạc lặp khi và chì khi

/ . V , . . .A„(-n- • • .,£„.) = / . Y , ( X I ) / A ' 2 ( X 2 ) . . . / v . ( . ' • „ ) (3.8)

-(.'ớ/ ( x i ;r„) G R" bất kỳ.

Chứng minh. a) L ấ y C'i { | X ị < x ] , x 6 R } , i = Ì n . L ú c đ ó ÍT ( X i ) SE (7 (c,) v à (3.7) t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i (3.6) . C á c lớ]) C' l , . . . ,c'n thoa m ã n các đ i ê u k i ệ n của đ ị n h lý (3.6.2), nên X\ Xri (lộc l ậ p . b) D i ề u k i ệ n (3.8) t ư ơ n g đ i r a n g v ớ i (3.7). Do đ ó đ i ề u k i ệ n (3.8) là cần v à đ ủ đ ẽ Xi,..., x„ độc l ập . • G i ả sir J-n.n > Ì là họ các ơ - đ ạ i số con của ơ - đ ạ i số T. K í h i ệ u

oe

là a - đ ạ i số sinh b ờ i {Tm,m. > Tì.} v à JFoc = Pl ^ ( giao đ ư ợ c

t h ự c h i ệ n t rong p ( f í ) ) .

3.6.3 Đinh nghĩa, ơ-đại số con oe ÓC'

n = l I . í

cùa T được gọi là a-dại số đuôi ( hay tiệm cận ).

Luật 0-1 Kolmogorov. Giả sù {T„, Tí. > 1} là họ các ơ-dại số đọc lập và Too là a-dại số đuổi tư ưng úng. Khi đó, nén. A e Tvc thì P(A) bằng 0 hoặc Ì, nghĩa là Too •= {0,0} xê xích một tập Ỹ-khàng.

Chúng minh. Á p d ng hệ q u à I . h ọ T\,... , T n , T ' m v ớ i ru > Tì là h ọ độc: l ập . T ừ đ ó v à J o o c T'm n én h ọ {T,. . . , Tri: Foe} cũng độc l ậ p hay cũng vậy. h ọ {Tn, Ì < n < oo} là h ọ đ ộ c l ậ p . D o đ ó T[

95

và T^o độc lập và vì vậy Toe độc lập với chính D Ó . Bây <ẠỪ nếu

A € Toe thì

Ỹ(A) ---- P(AnA) - P(A)Ỹ(A)

suy ra P(/4) bằng 0 hoặc ] . •

Hê quả 1. Già sù {J-n, ri > 1} là họ các ơ-đại sổ đọc lụp và X là một biến ngẫu nhiên đo đuợc với ơ~đại số đuôi. Khi đó X là suy biến, nghĩa là X là hằng số fi.ee.

Thật, vậy, già sử X là jF^-do được. Khi đó với mỗi r ẽ l ta

có F\x < c\ = 0 hoặc 1. Nếu Ỹ\x < c\ = 0 với mọi r thì X I DO h.c.c. Còn nếu với mọi r € R đều có Ỹ\x < rị - Ì thì X - —oe h.c.c. Trái l ạ i . đặ t Co = in f{ r : F\x < c\ = 1}. C o là hữu hạn và X - C o h . c c .

Đối với dãy biến ngẫu nhiên (x„) ta đật - ơ(x„), ti > ĩ

và là cr-đại số đuôi của dãy T„ . hay cũng còn nói là cua dãy

biến ngẫu nhiên ( X n ) .

Hê quả 2. Già sù ( X n ) là dãy biến ngan nhiên dọc lập. Khi đó moi biến cố đuôi có xác suất bằng 0 hoặc Ì và mựi biến ngan nhiên

do được với ơ đại số đuôi cùa ( X n ) hàn ch ắc chắn bằng hang sổ.

Hê quả 3. Già sù (Xu) là dãy biến ìiỊ)ảa nhiên dộc lập (lấy giá oe

tri trong R), (an) là dãy số thực, 0 ,1 —+ 0. Khi dó chuồi Xu, ri- l

dây (xn)n>ỉ và (an(Xi -ị X'2 4 . • • + X n ) ) r , > \ hoặc hòi tụ ÌI..C.C. hoặc phân kỳ h.c.c.

Ví dụ ĩ. G iả s {An) là dãy biến cố độc lập. Khi đó dãy

Xn — ĨA, , n > Ì độc: lập và do đó

oe oe oe

lim S l i p A n f ) u A„, € Pl ơ ( X t . ị > l i ) ri .

I! I ni — n It ì

là biến cố đuôi . Theo luật 0 ĩ cua Kohĩiogoro\'

P(HnisiiỊ) A„) 0 hoác 1.

96

Ví dụ 2. Giả sử ( X n ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Xét chuỗi lũy thừa

co

/?=()

Ta thấy, lim sup v | X n | = / là biến ngẫu nhiên (suy rộng) đo được n

<ỉ6i vái ơ đạ i số đuôi, nên hầu chắc chắn, bằng hằng số. T ừ dó bán kính hội tụ R cặa chuỗi lũy thừa là hằng số h.c.c, (vì R Ì / / ) .

3.7 P h â n p h ố i c ặ a t ổ n g c á c b i ế n n g ẫ u n h i ê n d ó c l á p y.7.1 Già sử X và y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f ( x ) và g(y). Khi đó fx,y(x, ij) = f(x)y(y).

Đặt, z =X + Y, T = Y.

Xét, phép biến đ ỏ i

Vậy

và do đó

X + y

y

s = z — t

ị/ I

dx dx \

~dz dĩ dy dy

dz dt ỉ

Ì - Ì 0 Ì

J(z,t) Ì

fz,T(z,t) -- / A - , V ( * - M ) | l | = / (2 - %y(í)

ì

/ ( 2 - t )^( t )di ĩ z ( z ) -

Một cách tương t ự ta có /•oo

/ x - y W = / f ( z + t)g(t)dt J — oe

97

3.7.2 Giả sử X và Y đều có phân phối rời rạc nhận các giá trị nguyên và Ỹịx = Tì] = p(n), Pịỹ = mị = 7(mj , (m,n e z). Khi đó, nếu X và y độc lập thì, tương t ự như trên, ta cũng có X + y

và X - y cũng nhận giá trị nguyên và

co

P|À" + y = n | = ]P p(n - m)q(m.), n e z m = —oe

oo

P|X - ý = nỊ = p ( n + m ) g ( " 0 , n 6 z - ( 3 - 9 ) m = — oe

3.7.3 M ộ i s ố vỉ dụ Vi dụ 1. Giả sử X và y độc lập có phân phối Poisson với các tham

số A và /Li tương ứng. Khi đó, theo (3.9) ta có

\X + Y = n] = ỵ^ A m e - A ựp-va^-ụ.

mì (TỈ. — m)! m=0 v

e - ( A + / x ) A n!

E í? ì ũ A > r

^—' mu Tì — m i m=0 m!(n — m)!

oa,

Vậy X + V có phản phối Poisson với tham số À + ịi.

Ví dụ 2. Giả sử X và V là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối gamma Ợ(a,p), Q(a,q) tương ứng. Xét, phân phối của s = X + Y

và Ì ^ - Y . Đ t

= X + y X

x + y X > 0 , y > 0

98

Jacobian của phép b iến đ ổ i này là

J = D ( x 2 y ) D(s,t)

T ừ đó suy ra

t s 1 - t -s = — s.

hay

fs,T(s,t) = r( )r( f ~ a a - s P + q ~ l t P ~ 1 ^ - ' ) ợ ~ 1 J W ° ) 0 0 W ) ,

/s(s)= //s,r(s,í)<ft

B ị p ì q ) e - a a . s ^ % 0 t + o o ) ( s ) . r(p)r(g)

T Ừ /R fs(s)ds = Ì, suy ra

Vậy X + ý ~ ổ ( a , p + 7). Tương t ự

( í ) .

Ta nhận thấy / s , r ( s , í ) = / S ( S ) / T ( Í ) . Vậy 5 và T độc lập.

Ví dụ 3. Cho Tỉ. b iến ngẫu nhiên X i , . . . , Xn độc lập có phân phối mũ với cùng tham số A. Như vậy Xi ~ Ỡ(A, 1), i = Ì , . . . ,n. Từ đó (ví dụ 2) ta có

Xx + x 2 + . . . + X n ~ ổ ( A , 7 i ) .

99

Ví dụ ị. Giả sử Xi,. .. , Xn độc lập cùng phân phối chuẩn jV(0,1). Xét phân phối của XỊ + ... + xị.

Đầu tiên ta thấy Ỹ\XỊ < z] == 0 với z < 0. Nếu 2 > 0 thì

ịx? <z\= n-ựĩ <X1<VĨ} = -j=expị-ịu2} du

^ 1 í - 1 *\H exp < — -U > du . / 2TT

Lấy đạo hàm ta nhận được hàm mật độ của xị là

;==z e .1(0,00)12:) .

Vì r( l /2) = 0F nên X? có phân phối 0(1/2,1/2). Từ đó và ví dụ 2, rút ra

Y = XĨ + ... + X ị ~ g ( ị l ) .

Như vậy Y có phân phối khi-bình phưang (x 2) vái n bậc tự do.

Ví dụ 5. Giả sử z ~ Af(0,1), V ~ x 2 ( n )~phân phối X 2 với n bậc tự do. Ngoài ra giả thiết Zv&v độc lập. Phân phối của biến ngổu nhiên

T=-ị-ựvJ7>. '

được gọi là phân phối student với n bậc từ do. Ta hãy xác định hàm mật độ của T.

Đặt T — z/ \/V/n, s = V với phép biến đổi ngược V = s, z = ty/s/ri. Jacobian là J — \Jsịn và

t , x ( s / n ) 1 / 2 s n / 2 - l e - « / 2 e - t 2 V 2 n

/ r , s ( M ) = — ;

27r(n/2)2"/2

100 với — oe < í < +00, 0 < s < -f oo.

• f o o r t - oo

h í t ) = / / r , s ( M ) d s Jo

n / 2 / - + OC ,

v /7r2n/2r(T?./2) 0

nirT(n/2) y1 + n

Ví dụ 6. Giả sử X và y độc lập, X ~ x 2(m), y ~ x 2(n). Hãy xác đ ịnh phân phối của

= XỊm Y/n '

Đ ặ t F = Z = ặ ^ . T = Y. Y/n Phép biến đ ổ i tương ứng là

TIX z = z~, t = y, x>0, y>0,

my

phép biến đ ổ i ngược la

mzt X = — , Ị) = í

n 777

Jacobian J = —t. Do đó n

/ mzt \ Vĩ

ỈZ!T(z,t)=fx,y p p . í - í = V Ti / rỉ,

2 = ^ r ( f ) r m 2 »

lo i

T ừ đ ó

IF(Z) f z ( z ) = / ỉz:r(z,t)dt

r ( f ) r ( f ) U J 2 > 0 .

Phân phối này đirợc gọi là phân phối F với m , Tỉ bậc: tự do.

Bài táp

1. G iả sử X và K là các biến ngẫu nhiên ( b.n.n) xác định trên (Í^-T^P).Chứng minh rằng

i4 = {tư 6 n : < r(u/)} = [X < Y\ e T

B = \x = Y}e T, c = \x < Y\ e ^ .

2. Một hộp có 3 cầu trắng, 2 cầu đen. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng quả ( không hoàn lỊ i ) cho đến khi hết. Xảy (lựng không gian xác suất . Hãy miêu tả ơ-đỊi số sinh bởi X nếu

a) X là số quả trắng rút được trước khi lút được quả cầu đen đau tiên;

b) X = Y + z trong đó Y ( tưang ứng Z) là ệố quà trắng ( tương ứng đen ) rút được trước khi rút được quả cầu đen ( t ư ơ n g ứng trắng) đ ầ u tiên. 3. Cho không gian đ o (|0; 1Ị.Ổ(|0; l ị ) ) . Hãy miêu tả F(X) với

b) X(UJ) = w/2, có xịu) = 1/2.

4. Chứng minh rằng nếu (Xn) là dãy b.n.n xác định trên (n, T) t hì

vi = {ui ed: dãy (Xn(uj)) bị chặn} € T.

Ì

1/4. 1/2,

vo e ịO; 1/4) w € | l / 4 ; 3/4) u; 6 ( 3 / 4 ; ! ]

Y

102

% 5. Hàm phân phối F(x) của b.n.n X liên tục tại X = 0. Tìm hàm phân phối của .

x/\x\, X^O Ì X = 0.

\| 6. Tìm hàm phân phối của ị(x + \x\) nếu hàm phân phối cùa X là F(x). 7. Già sử F(x) và là các hàm phân phối. Tìm điều kiện cần và đủ để hàm H(x) — F(G(x)) là hàm phân phối.

Ị 8. Giả sử X có phân phối liên tục F(x). Xác định hàm phán. phối của Y = F(X). 9. Giả sử / 2 ( 2 ; ) là các hàm mật độ, F\ Và F2 là các hàm

phản phối tương ứng và \a\ < 1. Chứng minh rằng a) / ( x , y ) = / i ( x ) / 2 ( y ) { l + a [ 2 F 1 ( x ) - l | [ 2 F 2 ( ỉ / ) - l ] } là mật độ

phân phối của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) nào đó, b) f x ( x ) = f l ( x ) ; f y ( y ) = f 2 ( y ) .

10. Giả sử F(x) là hàm phân phối của b.n.n dương X, có tính chờt

w\x < t + x / x >t)= Ỹ\x < x\ với X, t > 0

Chứng minh rằng F(x) = Ì — e _ À X , X > 0. 11. Giả sử X và y có mật độ đồng thời

* . Ì X 2 Ỷ y 2

2TĨƠz l a í

Tìm mật độ của z = max(\x\, \ Y\). 12. Giả sư X và V độc lập có phân phối Poisson với tham số A và /Li tuông ứng. Tính

¥[X = k/x + Y = ni k = 0, Ì , . . . , n.

13. Giả sử X và Y dộc lập cùng phân phối chuẩn jV(o, à1). Chứng minh rằng X + Y và X — Y cũng độc lập. 14. Giả sử Xi, x2, • • . là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối.

ỸịXr =0] =F[Xl = 1] = ị .

103

T ì m p h â n p h ố i của

k=i z

15 . G i ả sử X v à Y độc ' l ập c ù n g có h à m m ậ t đ ộ

f ( x ) = ịe-w.

T ì m m ậ t đ ộ của X + Y. 16 . G i ả sử X v à Y độc lập đồng t h ờ i X + Y v à X có c ù n g p h â n p h ố i . T ì m p h â n p h ố i của Y. 17. G i ả sử X. Y, z là các b i ế n ngẫu n h i ê n đ ộ c l á p có c á c p h â n p h ố i đ ố i x ứ n g (X đ ư ợ c gọi là có p h â n p h ố i đ ố i x ứ n g n ế u Fx — F-x)

v à g i ả s ư có số c > 0 sao cho P Ị | X + Y + z\ < c\ = 1. C h ứ n g m i n h r ằ n g

F\\X\ + \Y\ + \Zị<C} = 1.

18 . C h i í n g m i n h r ằ n g n ế u X = (Xi,. . . , X n ) có p h â n p h ố i c h u ẩ n th ì

n Y=Y,aiXit ( ( a u . . . , a n ) e R n )

1=1

cũng có p h â n p h ố i chuẩn. 19. G i ả sử X i , . . . , x n là các b.n.n đ ộ c l ậ p v ớ i h à m p h â n p h ố i n h ư nhau F(x). Đ t

X = m i n ( . X i , . . . , xn); Y = m a x ( A " i , . . . , Xn).

Xác đ ị nh h à m p h â n phố i của (X, Y). 20 . Xác đ ị n h p h ả n phố i của véc t ơ ( I n \ x \ , s i g n X ) n ế u X ~ A^(0 ,1 ) .

104

C h ư ơ n g 4

C Á C S Ố Đ Ặ C T R Ư N G C Ử A B I Ê N N G Ẫ U N H I Ê N

Trong n h i ề u t r ư ờ n g h ạ p , ta k h ô n g t h ể b i ế t h à m p h â n p h ố i của b i ế n n g ẫ u n h i ê n . V ì t h ế c ầ n p h ả i b i ế t m ộ t số đặc t r ư n g bằng số của p h â n p h ố i . C h ư ơ n g n à y t r ì n h bầy các số đ ặ c t r ư n g quan t rọng n h ấ t v à c á c t í n h c h ấ t của c h ú n g . B ạ n c ầ n n ắ m vững các k ế t quà

l i ên quan đ ế n k ỳ vọng , p h ư ơ n g sai, kỳ vọng có đ i ề u k iớn . Đ á c b i ê t c ầ n h ọ c t h u ô c l ò n g Đ i n h lý h ô i t ụ đ e m đ i ê u p . L e v y , B ổ đề

F a t o u , Đ i n h l ý h ô i t u b i c h ă n L e b e s g u e .

4.1 K ỳ v o n g t o á n

K ỳ vọng t o á n , moment là các đặc t r ư n g số quan t rọng của b iến

n g ẫ u n h i ê n . C h ú n g cho b i ế t m ộ t phần , đô i k h i t o à n b ộ về phản p h ố i của b i ế n n g ẫ u n h i ê n .

K ý h i ớ u cị hay p ) là t ậ p h ạ p các b i ế n n g ẫ u nhiên đ a n g i ả n x á c đ ị n h t r ê n (Í2, T, Ỹ).

Ta n h ớ l ạ i r ằ n g X thuộc Lị kh i v à chi k h i

n

X = Ỵ ^ x k l A k (4.1)

ờ đ â y xk e R, Ak e k = Ì , . . . , n v à AkAi = 0, (k Ỷ l).

105

Với mỗi biển ngẫu nhiên X có dạng (4.1), ta cho ứng nó với một số. ký hiệu E(X), được xác: định bời

rỉ. E(A') ) T , - , p ( , 4 , r ) . (4.2)

fe-.i

Số đó được gọi là kị' vọng của biến ngẫu nhiên và đôi khi còn được ký hiệu là EX, Ị X(ùj)dP(uj). Ị X{uj)F(dw), hoặc / XdP.

Dỳ dàng thấy E(X) hoàn toàn xác định, không phụ thuộc vào cách biếu diỳn của X và như vạy, kỳ vọng là một phiếm hàm xác

định ì,rèn £().

Ạ. 1.1 Mệnh đe a) E(.) là phiếm hàm tuyến tính trên cị. b) X >OUEX>0, X < Y => E X < E V .

f i j Trong £(), nếu x „ t ^ (tương ứng l ) thì E X „ T (tuang úng ị).

Quà vậy. các tính chất a)-c) là hiển nhiên, Như vậy. chi cần kiêm tra tính chất cuối cùng.

Giả sử Xn ị í). Đặt c = niaxyYi (tư). Khi đó, với mọi t > 0. UJ

0 < X r i < C ĩ ị X n > f ] + e.

Do đó. 0 < EyY„ < C*PỊXr, > f.| f f.. Cho n -> oo với Um ý |X„ > f ị Ị 0, ta có 0 < ìimEXn < f .

ri Vậy limEA'n ---- 0 (vì ( nhỏ tuy ý),

/ỉ Do trên, nếu ỳ f n T X ( tương ứng ị ) thì X - Xn ị 0 ( tương

ứng x n - X ị 0) và E X - EXn = E(x - x n ) í ó ( tương ứng EXn - EX ị 0).

Để t iếp tục quá trình xây dựng kỳ vọng, ta xét l áp £ + gồm t ấ t cả các biến ngẫu nhiên X là giới hạn của dãy táng các biến ngẫu nhiên đơn giản, không ảm (Xn) • 0 < X n T X•

106

K h i đ ó , do 0 < EXn < E X n + i n ên g i ớ i h ạ n l i m E X n luôn t ồ n n

t ạ i ( hữu hạn hoặc vò hạn) , do đ ó ta có q u y ề n đ ặ t

EX : = l im T EXn . (4.3) n

Để chứng t ồ đ ị n h nghĩa IEIX cho m ỗ i X € b ờ i công thức (4.3) là đ ú n g đ ắ n , t a còn p h ả i chứng minh r ằ n g g iớ i h ạ n trong v ế p h ả i của (4.3) k h ô n g p h ụ thuộc v à o d ã y t i ừ m c ậ n (X-n) của X .

Bổ đề. Giả sử 0 < x n T X , 0 < Y n r X và ( X n ) , ( Y n ) € Lị. Khi đó

l i m E X n = l imEKn . (4.4) n r i

Chúng minh. C ố đ ị n h m . Do t í n h liên tục của h à m số (x, y) t—> in f (x , í/) nên

l im T i n f ( X „ , r m ) = i n f ( X , Y m ) = Km . n

T ừ đ ó v à t ừ m ừ n h đ ề 4.1.1

\imEXn > l i m E Ị i n f ( X n ! Y m ) \ = EYm . n TI

Cho rn 00 , ta có l i m E X n > l i m E K m .

n m

Đ ố i vai t r ò của ( X n ) và (Ym) ta cũng có

l i m E V n > \imEXm. n ru

N h ư vậy d) đ ư ợ c chứng minh . • C ô n g thức c) cho p h é p ta m ờ rộng p h i ế m h à m E t ừ l ớ p các

b i ế n ngẫu nh iên đ ơ n g i ản k h ô n g â m lên £ + .

4-1.2 Mệnh đe. Hàm É trên c + có các tính chất sau: a) X e £+ => E A ' > 0, b) X E £ + , c > 0 => E(cX) = cEX,

107

À' , Y 6 £+ => X A Y, X V Y e £+

fx- V y := sup(x, y), X A y : inf(x, y) j , c j A" < Y, X, Y e £+ => E X < EY\

d) x n r Á", (X n ) e £H => X e £+ «0 E X n T EJf.

Chúng minh. Các tính chất a)-c) là hiển nhiên. Đế chứng minh d) ta lưu ý rằng Xn e c + nên có một dãy (x™)m>i c cị không âm, tăng theo m và lim t = Xn, (n > 1).

m

Đặt Y m = supX^, ra > 1. Ta có n < m

Y-(«i) < V = s i m v ( m ) <r CUT-. W m + l ) <r e m v ( m + l ) _ \ / A n s i m — S U p A ^ s S U p A ^ s s u p A „ = r m + i n < m n < m n < m + l

< sup JCn = X m + 1 , n < m. n < m + 1

Vậy

4 m ) < K n < * m , r m < y m + 1 , n < m.

E(xim)) < E(Ym) < E(Xm), E(Ym) < E ( K n + i ) , n < rn.

Cho m —> 0 0 , sau đó cho Tỉ. —> oo ta có

X = lim Ị x n = lim t Y m , n m

và lim t E X n = lim T EYm = EX . •

n m

Dễ thấy rằng £ + trùng với tập hợp các biến ngẫu nhiên không âm. T ừ đó biến ngẫu nhiên X bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng X = X+ - X- VỚI x+,x- e £ + .

ị . 1.3 Dinh nghĩa. Nếu ít nhất một trong hai số EX+ và ¥JX~ hữu hạn, nghĩa là

m i n ( E X + . E X ~ ) < oo ,

108

thì X Au ợ í: gọi ỉa nửa khả tích hay có kỳ vọng nà khi đó ta dạt

EX = EX 1 - EX~ .

X được gọi là khả tích hay có kỳ vọng hữu hạn nếu cà hai sốEiX 1

và E X - đều hữu hạn. Trong mọi trường hợp, EÀ" đuợc gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X.

Nhận xét. C á c b i ế n ngẫu n h i ê n đ ơ n g i ả n k h ả t í ch . X € Cị khá t ích kh i và chỉ khi EX h ữ u hạn . B i ế n ngẫu n h i ê n À' k h ả t ích k h i v à chỉ kh i E\x\ h ữ u h ạ n v à k h i đ ó E|A"| =•• EX+ + EX~ .

4.1.4 Mênh đe. Trên tập hợp các biến ngẫu nhiên nửa khả tích, kỳ vọng E( . ) có các tính chất sau:

a) E(ck) = cEX, c € R ; b) Tính chất hảo toàn thú tụ: nếu X < Y thì MX <_ E K . do

đó\EX\ <E\X\ ; <:) Đ i n h l ý t iội t u đ ơ n đ i ê u p . L e v y : nếu x„ í X (tương

úng ị j , thì ¥íX„ I EX (tương ng l ) nếu ton tại ri đè'EX~ (iitanỵ úng E X , | ) hữu hạn;

ả) Tính tuyển tính: nếu X và Y khả tích thì (X ị Y) cùng khả tích và

E(X i V ) - EX ị EY .

Chng minh.

a) N ế u c > 0 và vY > 0 th ì t ồ n t ạ i ( X „ ) c £ j :

0 < x n T X => 0 < cXn T

v à E(cÀ") - l i m E ( c X n ) = c l i i n E X n = cEX . ri T ỉ

V ớ i X b ấ t kỳ n ư a k h ả t ích , chằng h ạ n E X " 1 < 00 v à r > 0. tó có (cX)+ = cX+ khả tích và (r,vY)" = rÁ"-. K h i đ ó

E(cX) = EcX* - EcX- = cEX . '

109

T ư ơ n g tụ v ớ i c < 0, ta cũng có

E(cX) = E(-cX~) - E(-cX+) = cEX .

b) N ế u EX — —oo hoặc E V •-- +00 thì b ấ t đ ằ n g thức đ ầ u h i ế n

n h i ê n .

N ế u > -00 t h ì E A " - < +00. Do X < Y n ên À" 1 < r+. x~ > ỵ - . T ừ đ ó E V + - E ỵ - > E X + - É * - .

T ư a n g t ự đ ố i v ớ i EY < +00. B ấ t đ ằ n g t h ứ c cuố i t rong b) suy t ừ — I A" I < X < | X | v à t í n h

đ ơ n d i ệ u của kỳ vọng . c) G i ả sử Xn ợ X và E X ~ 0 < oe. K h i . d ó . v ớ i n > Ho ta có

x~ < x~0, x~ < x~0. do đ ó A n , (/í > no) vả A" mía k h ả t ích. M ạ t k h á c

0 < xn + X - T A- + X - v ớ i no < rí T oe ,

v à theo t í n h chấ t d) của mệnh đ ề 4.1.2 ta có

E X n + E X - T EX + EX-0, ri í oe

hay E X „ T E X .

T r ư ờ n g h ợ p x„ ị X đ ư ợ c chứng m i n h t ư ơ n g t ự . d) Đ ầ u t i ên g i ả t h i ế t X và Y > 0. K h i đ ó có hai d ã y

(X.„). (Yn) c cị sao cho 0 < Xn ĩ X . 0 < y„ ĩ Y. Do đ ó ta có

0 < xn f n, r * f y và E(Xn + Yn) ĩ E(A" I V ) ;

E ( X n + v;) = EXn f EV„ ĩ EX f E K

T ừ đ ó suy ra E ( J f + V ) -- EA" I E y . Xét t r ư ờ n g h ợ p tổng q u á t . T ừ bất. đ ẳ n g thức \x ị Y\ <

\x\ -ị IVợ suy ra z = X + Y cũng k h ả t ích v à chú ý r ằng

z = z+ -z~ = (X + y)+ - (X H V ) - = X 4 f r+ - + y - ) ,

nén z+ + ( A - + r - ) = z - + (X+ + Y+} .

no

TÍT đó và điều vừa chiíng minh, ta có

E Z 4 + EX~ + EY~ EZ- + EX+ + EY+ .

Chuyển vế với lưu ý z~, x~, Y~ khả tích, nên ta có

EZ = EX +EY . •

Dưới đây, để đem giản. trong ký hiệu giới hạn (trên, dưới) ta bỏ n —> 00.

4-1-5 BỔ đề Fatou. Giả sử Y, Xi, X'2,... /à dãy biến ngẫu nhiên. a) Nếu xn > Y. n > Ì và EY > -oe thì

ElimXn < l i m E X n

b) Nếu xn < Y, n > Ì và EY < oo thì

\ìmEXn < EliraX, Ti

c) Nếu \xn\ <Y,n> Ì và EY < oe thì

ElimXn < ỉjmEXn < ìiváEXn < E l imX, TI

Chúng minh. •À) Ta có Y\mXn = lim I inf Xm và

< EY~ < +OC (vì EV > -oo) .

Từ đó và khẳng định c) của mênh đề 4.1.4, ta có

E(limX„) - limE inf x„, < l imEX n

b) được chứng minh tương tự. c) là hệ quả của a) và b). c •

I l l

ị.1.6 Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn. Giả sử Yr Xi, X-2,... là dãy biến ngẫu nhiên sao cho \Xn\ < Y, n > Ì và ¥iY < oe. Khi đó nếu Xn —> X thì X khả tích và

E\xn - x\ -> 0 .

Chứng minh. Đ ặ t z n = \xn — x\. R õ r à n g , vì |yY| < Y n ê n ^ k h ả t ích v à 0 < Zn < 2Y. Á p dụng b ố đ ề Fatou v ớ i Ì t ru ý Zn —> 0, t a có

0 = E l i m Z n < Ị i m E Z n < ĩ ĩ m E Z „ < ẼŨmZr,. =. 0 .

V ậ y l i m E Z n = 0 hay E | X n - x\ - > 0 . • T I

M ậ n xé/. T ừ b ấ t đ ằ n g thức \EXn - EX\ < E\Xn - x\ suy ra n ế u

E | X n - XI -> 0 th ì E X n -> E X .

4-1-7 Tích phân không xác định. G i ả sử (Í2,J^.P) là k h ô n g gian xác suất đ ã cho v à X là b i ế n n g ẫ u n h i ê n k h ô n g ân) t r ê n đ ó . H à m t ậ p hự})

Ị Xáp := E ( X Ĩ A ) , J A

h o à n t o à n x á c đ ị n h t r ê n đ ư ợ c gắ i là t í ch p h â n k h ô n g x á c đ ị n h của X .

D ễ d à n g t h ấ y r ằ n g h à m t ập n à y c ó c á c t í n h chấ t sau: a) 0<JA XdP < EX, và jA x<m> = 0 => F(A[X > 0Ị) - 0; b) / x<w = ^ / XdW đ ố i v ớ i h ắ k h ô n g q u á đ ế m đ ư ợ c

các t ập Ak € T , x u n g khắc đói m ộ t ; c) An T A (tuông ứng ị) => JA XdF T JA XdP (tương ứng ị ) . N ế u X k h ả t í ch t h ì t í n h chất, b) v ẫ n đ ú n g . Nói c á c h k h á c h à m

t ậ p hợp

KA) = í J A

XdF A

là mộ t đ ỏ đ o d ấ u t r ê n T.

112

4.2 K h á i n i ê m h ầ u chắc chắn. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn (h.c.c) nếu tồn tạ i tập NÉT sao cho P(iV) = 0 và x{u>) = Y(u>) với UI ị N. Khi đó ta v iết X =

Y (h.c.c) hoặc X —° Y. Một cách tổng quát , ta nói một tính chất nào đó xây ra hầu chắc chắn trên ũ nếu nó xảy ra ờ bên ngoài một tập N có xác suất không. Khi X h'~jC Y ta bảo X tương đương với Ỳ và viết X ~ Y. •

Mênh đề. Trên ( f i . T. p) các lính chất san đúng: ' a) X = 0 (Ti.c.c) => E X - 0 ;

ft) A" > 0 và EX = 0=> X = Ofh.c.c); é) Nếu X = Y fh.c.c), X khả tích thì EX •= EV; d) Nếu X và Y khả tích và f A XdP < JA YdP với mọi AeT

thì X < Y fh.cc); e) Giả sử X > 0 (h.c.c). Lúc đó với mọi a > 0, ta có

F\x > a\ < -EX a

(bắt đ ẳ n g thức Markovj ; g) Nếu X khả tích thì \x\ < oe fh.ee).

Chúng minh. à) G iả sử X > 0. K h i đó có (X„) c A) : 0 < x „ ĩ À". Giả sư

fc=i

Do 0 < x „ < X v à X - 0 (h.c.c), từ đó nếu P(Aỳ!) > 0 thì 4'" •- (.] và do đỏ KXn = 0 với mọi rỉ và 0.

Nếu X bất kỳ thì X = X+ -X~. Đo \x\ = X ị ị x~ nen

x + --= 0 (h.c.c). Theo trên E X + = E X " = 0 => E X - 0. b) Ta có 0 < X . I | . Y > i / n | < ^ s u y r a

0 < 1. X>1

n < E X I | A - > 1 / n ỳ < EX 0

113

Do đó, Fịx > 1/nỊ = 0 với n = 1.2,... T ừ đó

/ 0 0 1 \ ° ° 1

P | X > 0 | = P | J | A * > - ] Ị < £ > Ị | X | > - ị = 0 , \ n = l / n = l n

hay X = 0 (h.c.c). c) Giả sử X khả tích X = Y (h.c.c). K h i đóZ = Y - X = 0

(h.c.c). Suy ra z khả tích và Y = X + Z cũng khả tích. T ừ đ ó

EY = EX + EZ = EX.

á) Ký hiệu 4 = |Jf > VỊ. Ta có

Ị Y,m< Ị XdF < Ị YdP=> E((X - Y)U) = 0 . ./ A J A J A

Vì ( X - Y ) l A > 0 nên từ b) ta có ( X - r)IU = 0 (h.c.c). Do đó ¥ { Ả ) = 0.

e) Ta có alịx>a\ < X (h.c.c). T ừ đó và b) ta nhận được

aỸ(X >a)<EX hay ¥(x > a) < -EX. a

g) Đặt An = [\x\ > n\. Theo bất đằng thức Markov,

rỉ •

Mặt khác An ị Ị |X | = +00Ị nên Ỹ\\x\ = +oo| = 0. •

4.3 Tính kỳ vong Giả sử X là biến ngẫu nhiên khả tích, h là một số d ư ơ n g nào

đó. Đặt, + oe

Xh = khlịkh<x<(k+i)h] • k= —oo

114

R õ r à n g Xh là b i ế n n g ẫ u nh iên r ờ i rạc, đồng t h ờ i

0 < X - xh < h,\xh\ < \x\ + h . T ừ đ ó suy ra Xh k h ả t í ch , Xh —> X(h —> 0) . Theo đ i n h lý Lebesgue về h ộ i t ụ bị chặn

MO

hay

+ oo

EX = l i m j 2 kh[Fx((k + l)h) - Fx(kh)\ (4.5) k~—oo

L J —(

xdFx(x),

ờ đ ây , J xdFỵ(x) l à t í c h p h â n Stieltjes đ ư ợ c x á c đ ị nh b ở i g iớ i h ạ n có m ặ t t r o n g (4.5).

M ặ t k h á c , vì

\x\<\xh\ + h,h>0 \xh\ <\x\ + h

n ê n X k h ả t í c h k h i v à chi k h i t ồ n t ạ i h > 0 sao cho Xh k h ả t ích . nghĩa là k h i chuỗi

+ O Q

J 2 \k\\Fx((k + ĩ ) h ) - F x ( k h ) ) fc=—oo

h ộ i t ụ v ớ i h > 0 n à o đ ó . Đ i ề u đ ó cũng có nghĩa là X k h ả t ích kh i v à chỉ k h i

/+oo

\x\dFx(x) < oo . (4.6) -co

K h i đ ó ta c ó

/

+oo

xdFx{x) . ( 4 . 7 ) -oo

115

Đặc b i ệ t , kh i X có p h â n phối liên tục t u y ệ t đ ố i v ớ i m ậ t đ ộ f ( x ) t h ì

r + oo

EX = / x f ( x ) d x . (4.8)

X k h ả t ích k h i v à chỉ kh i t ích p h â n (4.8) h ộ i t ụ t u y ệ t đ ố i . N ế u X có p h â n phố i r ờ i rạc v ớ i m i ề n g i á t r ị s = {xk,k =

1 , 2 , . . . } và x á c suất t ư ơ n g ứng là PI,P2, • • • t h ì đ i ề u k i ệ n k h ả t í c h (4.7) có dạng

]T \xk\pk < oo . (4.9) k

K h i đ ó công thức (4.8) có dạng

VX = Y j x k V k . (4.10) k

4.4 M ó t s ố v í d u a) N ế u X có p h â n phối nhị thức B(n,p) t h ì

EX = Y ^ k C y q

n - k = npJ2c^z\pk-xq fc=o fc=i

= n p J ^ C r

n _ l P

r q n - l - r = np.. r = 0

b) N ế u yY có p h ả n phố i Poisson v ớ i t ham số A > 0 t h ì

, n - k

k 0 /. Ì v '

c) N ế u X có p h ả n phố i đ ề n t rên \a;b\ th ì

Ì

A e " V = A

, , . , . kh i a < X < b f x ( x ) = { b-a"

0, k h i X Ệ [a; ỉ)] ,

116

và

EX = í xf{x)dx = ị x-^—dr - — - . Ju Va b - a 2

d) Nếu X ~ Ăí(a, <72), a > 0 thì

E X = r°° g -4= exp í - ( x ~ 9

a )2 Ị dx

= ^ ^ ( x - a ) e x p { - í ĩ 2 ^ ! } d l +

- 0 + a = a .

4.5 K h ả t í c h đ ề u

Tập các biến ngẫu nhiên khả tích trên (f2,-F.p) ký hiệu là c l .

4.5. ỉ Mênh đ ề . X £ £l nếu và chì nếu với mọi <• > 0 ton tại ó > 0 sao cho

í \X\dP < e, E | X | < l /ó nới mọi ^ € F,P(A) < ồ . J A

Chúng minh. G iả sử X € £ l . Đặt X n = \ ' | < n ị . K h i đó Xa T \x\; EX.n T EỊXỊ; E(|X|I||A"|>n|) í 0, nen t im được no sac cho

E ( \ X \ ĩ m > n o ] ) < f./2 . (4.11)

Lấy ỏ = rnin(—3-, —/„• ) • Lúc đó, nếu F(A) < é thì

í \X\dP= f \X\lm>no]dP+ í | X | I [ | x | < „ 0 | d P ./.4 7/1

< fi/2 + e/2 = e .

117

Bất đằng thi'rc E\x\ < 1/ố điing do cách chọn ổ. Điều ngưạc lạ i là hiển nhiên. • Bất đẳng thức (4.11) gợi ta đi đến định nghĩa sau.

4.5.2 Định nghĩa. Giả sú H c o ---- £}{Vi,T,Ỹ). Họ Ti được. gọi lả khả tích đều nếu

sup / | X | d P - > 0 khi c - > o o . (4:12) xèHJị\x\>c\

Nhận xét. à) Nếu \x\ < Y (h.c.c) đối với mọi X 6 n và Y € £ 1 thì Tí

khả tích đều .

b) M ỗ i họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên khả tích là khả tích đều.

4-5.3 Mệnh đề. Giả sù Ti c 0 . Tí khá tích đêu khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoa mãn:

a) BỊ chặn trong £}, túc là: súp MịXị < 00; xen

b) Liên tục tuyệt dối đầu, tức là: w. > 0, Bò > 0 sao cho A ^ T . F(A) < ố thì

sup / \y\\đP < í.. xen J A

Chúnq minh. Điều kiên cần. G iả s H khả tích đầu. Đặt

nếu \X(UJ)\ < c

0 nếu |X(cư)| > c ,

và xc .= X - xc

Ta có

í \X\dP< í \X\dP + ỉ \Xc\dP<cP(A) + E\Xc\ . (4.13) J A JA\\X\<C] J A

Ì 18

Lấy A = fi trong (4.13) ta có a) nếu chọn c = ce đủ lớn để

supE|X cJ < e/2. ù

Nếu lấy ơ — e/2ce thì

sup / \X\dF < e/2 + e/2 = e .

Điều kiện đủ, giả sử họ H c £ l thoả mãn a) và b). Cho í. > 0 và giả sử ổ = ố(e) thoả mãn b). Đặt

c = supE\X\/ố < oo , xén

ĨEiìXị nên F[\x\ > c\ < - 1 — i < ố với mọi X en. Tù đó theo b)

c

/ \X\dP < e với mọi X € w . • i [ | X | > c i

Định lý sau là sự mờ rộng của định lý Lebesgue.

4.5.4 Dinh lý. Giả sử ( x n ) là dãy biến ngẫu nhiên khả tích, hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X. Khi đó, đề X khả tích và E | X n — x\ —* 0 cần và đủ là ( X n ) khả tích đều.

Nếu (Xn) không âm hội tụ hầu chắc chắn tới X thỉ ¥áXn —> EiX < 00 khi và chỉ khi (Xn) khả tích đều.

Chứng minh. à) Giả sử l e / ; 1 và E\xn - x\ -» 0. Khi dó

/ \Xn\dF< Ị \X\dF + E |X n - x\ . (4.14) J A J A

Chọn no đủ lớn để E ị x n - A " | < e/2 với n > no, chọn A e T sao che ¥{A) < 6e để Ĩ A \X\dP < e/2 và JA \Xi\dP < e/2 với i = Ì,. . . , no

119

(xem nhận xét b) ). Khi đó

sup / \Xn\dP < e/2 + e/2 = e . n .7,4

Mặt khác, do { E | X n

- - x\,n = 1,2,... } bị chặn nên trong (4.14) thay A = Q ta có

supE|X n | < E |X| + supE|X n - x\ < +oo . Tỉ. n

Vậy ( X n ) khả tích đều.

Ngược lạ i , giả sử (x n ) khả tích đều. Khi đó supEỊXnl < oo, n

và t ừ bổ đề Fatou suy ra E\x\ < 00. Ta có

E | X n - X I = Bị X£ - x c | + E | Z n c | + E\xc\ . (4.15)

Cho f. > 0, chọn c đủ lớn để

E\xcị + supE |X n c | < 2e/3 . (4.16) n

Mặt khác X£ -> x c (h.c.c) và \Xị - xc\ < le nên theo đ ịnh lý Lebesgúe, tồn tạ i no sao cho

E|X£ - xc\ < e/3 vói n > no . (4.17)

T ừ (4.15),(4.16), (4.17) ta có E | X n - x\ < e với n > no. b) Còn lại cần chẦng minh rằng nếu (Xn) không âm và

EXn -» thì E | X n - x\ -» 0 (do đó (Xn) khả tích đều).

Ta có

X + xn = X A xn + X V xn ,

0 < Ẩ A l n < X , Ầ A l n ^ X .

Theo định lý Lebesgue, E(x A x„) -» E X . Mặt khác, từ giả thiết, E(X + x n ) -> 2EX. T ừ đó

E(xv'xn) ^EX và do đó

E\xn -x\= E(xn V X) - E(Xn A X) —* 0 . •

120

Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để họ biến ngẫu nhiên khả tích đều.

4.5.5 Dinh lý Walle-Poussen Giả sứ H c c l . Khi đó, các điều kiện sau tương đương: a) Ti khả tích đầu; b) Tồn tại một hàm G(t) xác định trên |0; f oe), loi dvới, tăm

và không âm sao cho

, :_ G ( t ) lim —-— = +00 ,

t-U+oo í

và supE|G( |X|) | < + 0 0 . (4.18 xén

Chứng minh. b) => a). Đặt M - supEỊG(|X|)Ị < 00. xén

Cho e > 0, đặt a = Mịt. Chọn c đủ lớn để G(t)/t > a vớ t > c. Khi đó

\\X\>c\c\\X\<G(\X\)/a\ và n h ư vậy

/ \X\dF<- í G{\X\)đP f J[ịx\>c\ a J\\x\>c) a

với mọi X € H.

a) =>• b). T ừ sự khả tích đều của H suy ra tồn t ạ i dãy SI nguyên dương (c n ) tăng thực sự và cn —> 4 00 sao cho

sup. / |A"|dP < 2 _ n , n = 1,2,...

121

T ừ đ ó . DO

/ \X\dP> V kV\k < \x\ < (k + 1)1 > • / [ | A ' | > C „ | M | A ' | > C „ ]

> 53 F [ | X | >k}=J2 ak(X) ,

fc=c oo

fc = c„

ờ đây , a f c ( X ) : = P ị | X | > kị. M ặ t k h á c ,

00 f supV y a ( i ( I ) < s u p y | X | c f l P < A' V í ^ X ~JịịX\>cn]

< Vsup / | Jf |dP < Ì . „ X Jí\xị>c„\

n k=c„

'\\x\>c

Đ ặ t

qỵ = " m a x { n : c„ < fc}, fc = Ì, 2 . . I . .

R õ r à n g Ợ). I + O C . Đ ặ t

g(t) = (jỵ n ế u t E [k;k -ị- ì).

K h i đ ó /ý, X - foo. H à m cần t ìm là / ố g(u)du. Ngoà i ra oo oe

E Ơ ( | X | ) < = £ J2 ^ ( X ) < Ì , fe = l n fc=c„

đ ề u đ ố i vớ i X e n , nghĩa là có (4.18). •

Nhận xét. N ế u l ấy <?(t) = í " , í e | 0 ; + o o ) , a > Ì thì t ừ đ i ề u k i ệ n s u p E | X | " < oo suy ra H k h ả t ích đ ề u . Đặc b i ệ t , n ế u Xn —> x(h.c.c)

H

v à s u p E ị X n l " < oe v ớ i a > 0 n à o đ ó t h ì (l-Xnp) k h ả t ích đ ầ u v à n

E\xn - x f -* 0 v ớ i m ọ i 0 < p < a.

122

4.6 K ỳ v ọ n g của h à m của b i ế n n g ẫ u n h i ê n

K ế t quả sau đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết, tích phản.

4-6.1 Dinh lý. Giả sù X là phần tử ngẫu nhiên tù khàng gian xác suất. (0,^,1?) vào không gian đo (£',£) ,ỸX là phân •phối xấc suất của X trên (E,£),nghĩa là

Fx(B) = F ( X - \ B ) ) , B e £ . (4.19)

Khi đó, với mọi hàm thục tp tủ E vào R £ -đo được ta có

[ <p(x)d&x(x) = í (p(X(u))dP(u) , (4.20)

với mọi B € £ theo nghĩa tích phân này tồn tại thì tích phân kia cũng tồn tại và bằng nhau.

Chúng minh. G iả sử íf = ỈA, A 6 £ và B € E bất kỳ. Khi đó

Ỹx(AB) = F(X-\AB)) = Ỹ(X-l(A)nX~x(B))

hay

/ ĩA(x)dPx(x)= í ĩX~HA)(tj)dP(uj)

= lA(X(uj))dP(oj) . Jx-l{B)

Đằng thức này nói rằng (4.20) đúng với If = ỈA- Do t ính tuyến tính

nên (4.20) cũng đúng với (f là hàm đơn giản £ đo được. Mặt. khác-, do đ ịnh lý về hội tụ đơn điệu, (4.20) cũng đúng với ý? > 0, £ -đo được. L i do t ính tuyến tính nên (4.20) cũng đúng với ip £ do được ĩniễn là một trong hai tích phản tôn t i .

123

ị . 6.2 Các hệ quả

Hê quà 1. Giả sù X là biến ngẫu nhiên xác đinh trên (ÍÌ,J-,Ỹ) và (f : R —> R là hàm Borel bất kỳ. Khi đó

í <p(X((ư))dP(u) = í ự>(x)dPx(x), B 6 S(R) ,

J x - L { B ) J B

miễn là một trong hai tích phân tôn tại. Đặc biệt

E<p(X) = í <p(x)đPx(x) • (4.21) J&

Hê quả 2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f ( x ) . Khi đó

ờ ip(X)dP = í <p(x)f(x)dx, B e B(R) , J X - 1 ( B ) J B

miễn là một trong hai vế tồn tại. Đặc biệt

Eip(X) = ờ <p{x)f{x)dx . .lu

Hê quả 3. Giả sử X có phán phổi rời rạc với mien giá ti Ị X \ , X 2 , • • • và các xác suất tương úng P\,P2, • • • Khi đó, Hí-ti yS' là hàm số bất. kỳ xác định trên R thì

Etp(X) = Ỵ^v(xì)Vi •

Eip(X) hữu hạn khi và chí khi vế phải hội tụ tuyệt đối.

Chú ý. Vì giữa Fỵ và Fỵ có tương ứng một-rnột , hàm Fỵ(x) xác định hoàn toàn Fỵ nên tích phân Lebesgue / H ự}(x)dPx (x) còn đirợc

124

v i ế t d ư á i dạng fRip(x)dFx(x) v à đ ư ợ c gọi là t í c h p h â n Lebesgue-St ic l t jes theo đ ộ đ o sinh b ờ i h à m p h â n p h ố i F\(x).

4.7 K h ô n g g i a n ũ'

V ớ i p > 0, ký h i ệ u Ũ' =• D'(Sì,T,Ỹ) l à t ậ p h ợ p cáo. b iến

n g ẫ u n h i ê n X (xác đ ị n h t r ê n ( Í Ị . F , P ) ) sao cho E | X | P < oe. K h i X e £ p , p > 0, ta ký h i ệ u

\\x\\v = ( E \ x \ p ) u p .

N ó đ ư ợ c gọi là chuẩn bậc p của X. Trong lý t huyế t x á c suất, m ộ t số b ấ t đ ằ n g thảc sau t hường

đ ư ợ c sử dụng .

4.7.1 Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski Giả sứ X , Y é c 2 . Khi đó

E\XY\ < \\X\\2.\\Y\\2 . (4.22;

Chúng minh.(4.22) là t à m t h ư ờ n g n ế u | |A" | | 2 . | | F | | 2 = 0. V ậ y có thê g i ả t h i ế t \\X\\2.\\Y\\2 > 0.

Thay a, b t rong b ấ t đ ẳ n g thảc sa cấỊ)

2Ị«6 | < a2 + b2 ,

b ờ i y Y / | ị X | Ị 2 v à V/Ị ịy ị la t ư ơ n g ảng . sau đ ó l ấ y kỳ vọng hai vế . ti

T ừ đ ó . ta có (4.22). •

4.7.2 Bất đằng thức Holder Giả sù p,q e (Ìỉ+00) sao cho ì + J = Ì và X e Ũ\Y € Lq

Khi dó

E\XY\<\\X\\P.\\Y\U- ' (4-23

125

Chứng minh. Vì hàm f ( x ) - x'\x e (0; + 0 0 ) là lồi dưới , nên / ( * ) - / (1 ) > / ( ! ) ( * - 1) hay x P - ì > p(x - 1) với X > 0. Thay X ---- {a/b)l/p, (a > 0. 6 > 0) vào bất đằng thức sau cùng, ta có

a b ì ! _ I

> o p 6 p — 0 , p p

(í ò l i h a y — + - > Ó " bi.

V 7

Thay a = | A " | * 7 l l * l l p . 6 = : l * T / l l y l * v à o bất đẳng thức trên và lấy kỳ vọng. ta có

- l i ®\xỵ\ ~ p+ 7 - ĩmtĩmũ'

T ừ đó ta có (4.23). Nếu E | * | p . E | y | « = 0 thì (4.23) là hiển nhiên. •

4.7.3 Bất đẳng thức Minkowski Giả sử X. Ỳ e ơ \ Ì < p < 00. Khi đó X + Y e ũ' và

\\X + Y\\P<\\X\\P + \\Y\\P. (4.24)

Chứng minh. Thậ t vậy, đầu tiên ta chứng minh bất đằng thức sa cấp: nếu a, b > 0 và p > Ì thì

(a \-b)T> < 2 p _ l ( a p + V) • (4-25)

Đê chứng minh (4.25) ta xét hàm

f ( x ) = (a í x)p - T ' - \ a v f x p ) .

Ta có f ' ( x ) = p(o + a r ) P _ 1 - 2 p - l p x p _ 1 . v à

/ (x) > 0 v ớ i :E < a ,

/ (x) < 0 với X > a ,

/ ' ( « ) 0 .

T ừ đó f{b) < max / ( ĩ ) = f(a) = 0 hay (a + f>)p < 2 P ~ 1 ( « P 4- f>p) .

126

Sử dụng (4.25) ta có

\x -f r ị p < (\x\ + \ Y\)P < 2 p _ t ( | X | p + \Y\P) ,

và do đó E\x + Y\p < 2 p - 1 ( E | ^ | p + E\Y\P) . (4.26)

Phần đầu của khang định đã được chứng minh. Với p = Ì, (4.24) suy ra từ (4.26).

Giả sử p > 1. Tìm được 7 > Ì sao cho - + - - 1. T ừ bất V q

đẳng thức

| X + F | P = \X + Y\.\X + Y\p-1 < \x\.\x + Y\p-1 -ị \ Y\.\X ị Y\p-1 ,

và t ừ bất đẳng thức Holder (cho hai số hạng sau cùng) ta có

E\x + Y\" < ( ( E | . Y | p ) 1 / p + (E\Y\")l/p).{E\X + Y \ { ĩ J - ] ) q ) ỉ / q .

hay l i * Ị < ( | | X | | P + \\Y\\P)(\\X + Y Ẹ ý ^ . (4.27)

(vì (p - l )q = p)

T ừ đó. nếu \\x + Y\\p Ỷ 0 thì

(||,Y + F | | p l - l ^ < | | X | | p + | | y | | p ,

hay \\X.+ Y\\V<\\X%A \Y\\v

Còn nếu \x + Y\\ = 0 thì (4.24) hiển nhiên đúng . • Nhận xét. Khi 0 < p < Ì bất động thức (4.26) không đúng. Tuy

vậy, t ừ bất đẳng thức

(« 4 ỉ>)p < ( « p + b p) raax(l, 2 P _ 1 ) , o > 0, 6 > 0, p > 0 ,

ta có

E\x + Y\p < CP{E\X\P + E\Y\P), V > 0 . (4.28)

trong đó Cp = m a x ( l , 2 p _ 1 ) chi phụ thuộc vào p.

L27

4-7.4 Bất đẳng thức Jensen Giả sử if : E —» R là hàm lồi dưới, X và if{X) là các biến

ngẫu nhiên khả tích. Khi đó

Eụ>(X) > v(EX) . (4.29)

Chúng minh. Thậ t vậy, vì if là hàm lồi nén íp liên tục có đạo hàm phải, và đạo hàm trái t ạ i mọi điểm. Do đó i f ( X ) cũng là biến ngẫu nhiên, ngoài ra với Xo £ R tuy ý ta có

<p(x) >ip(x0) + (x - x0)k(x0), x € R . (4.30)

ờ đây k(xo) có t hể lấy là đạo hàm phải hoặc trái của if tạ i Xo-Thay X bời X, Xo bởi ¥íX vào (4.30) sau đó lấy kỳ vọng ta có

E<p(X) > ( f ( E X ) + k(EX)(EX - EX) •= (p(EX). •

4-7.5 Bất đằng thức Liapunov Đối với biến ngẫu nhiên X bất kỳ và 0 < s < í, ta có

\\x\\s < \\x\\t . (4.31)

Chứng minh. Thậ t vậy, áp dụng (4.29) với (fi(x) — \x\l/s và thay X bởi \x\s ta có

• E(\x\s)t/S > (E\x\s)t/S ,

hay E\x\< > (E\x\ay/a. Đó chính là (4.31). Đặc biệt

E\x\ < ( E X 2 ) Ỉ / 2 < . . . < ( E X n ) l / n < . . . < \\XWoo ,

trong đó

Halloo = s u p { x : P | X | > xi > 0 }

= mĩ{y:¥\\x\ > y\ = 0}.

128

Nhặn xét. V ớ i Ì < p < oa, ta có

l l ^ l l p = 0 F\x Ỷ OI = 0,

| | c ^ | | p = | c | | | X | | p i c e R ,

||x + r | | p <| |x | ị p + | | r | | p . C á c b ấ t đ ẳ n g thức t r ê n đ ã đ ư ợ c chứng m i n h k h i ỉ < p < +oo. Đ ố i v ớ i p = +oo v à x,y e R sao cho P ị | X | > xỊ = 0, p | y > y| 0, kh i đ ó do

PỊ|.Y + r i > X + y\ < Ỹ\\x\ > x\+ ¥\Y > y\ = 0 ,

suy ra \\x + y ị ị o o < X + 7/. Do t í n h liên tục phải của các xác suất: t r ê n nên l i * + r i u < | | i | U f \\Y\U

Ta nói X và ỵ là hai b i ến ngẫu n h i ê n r ư ơ n g đ ư a n g và v i ế t

(X ~ V ) n ế u X = Y h.c.c. N h ư vậy, ll-^llp chỉ p h ụ thuộc: v à o lớp t ư ơ n g đ ư ơ n g của X. Do đ ó , v ớ i Ì < p < oo v à L ' J = L P ( Í 2 , ^",P) c/ ~ th ì L p là k h ô n g gian đ ị n h chuần. M ệ n h đ ề d ư ớ i đ â y khẳng đ ị n h r ằ n g L p là k h ô n g gian đ ầ y đ ủ , do đ ó là k h ô n g gian Ban ách.

4.7.6 Định lý. Giả sứ ( X n ) c Lp,p > 1. Đ ế ( X „ ) hội tụ thét trung bình bậc p (hội tụ theo chuẩn |ị.||p) tới X € Lv điều kiện car, và đủ là ( X n ) là dãy Cauchxj trong Lv.

Chứng minh. Đ iều k i ệ n cần. G i ả sử {Ẩn) hộ i t ụ t r o n g L p t ớ i X nghĩa là | | X n — x\\p —> 0. K h i đ ó , do b ấ t đ ẳ n g t h ứ c Minkowsk i

\\xm - xn\\p < \\xrn - x\\p + \\xn - x\\p -> 0 k h i n , m - oe.

Đ i ề u k i ệ n đ ủ . G i ả sử | | X m - Anllp —* 0, (rụm —> oe). B ằ n g qu} n ạ p . ta có t h ể chọn đ ư ợ c m ộ t d ã y t ă n g (rtk)k>\ s a o cho

\\ x m - X n | | p < 2 - 2 * v ớ i m . n > Ả: = 1 ,2 . . . .

Đ ặ t

^ = [ | X „ f c + 1 - X n J > 2 - * ] , * > ! •

129

Sử dụng bất dằng thức Markov, ta có

WAk) < ầ^h±ỉ ~ * W f c | P < 2 - P f c < 2- f c .

Do đó

^ P ( Ẩ f c ) < ao, nên P(limsupẨfc) = 0, (Luật 0.1 Borel-Cantelli). fc=i k

K h i Ui ị l im sup Ak, tồn tạ i N(u>) sao cho khi k > N(OJ) thì k

\Xnk+1(u)-Xnk(uJ)\<2-k .

T ừ đó , suy ra (Xnk(ui)) hội tụ đến X(UJ) nào đó trên limsupAfc k

hay x n f c

h^ỳc X. T ừ giả th iế t trên, với e > 0 tồn t ạ i Ne sao cho

E\xn - xm\p < e với m, n>N€.

Khi 77 > iV t sử dụng bổ đề Fatou ta có

E|X n - X | p = E( lim | X n - X n J p ) < lim E | X n - X n J p < e .

k->oo fc->00

Như vậy x n ^ X • 4.8 Quan hê với tính dóc láp

Đối với hai b iến cố độc lập A và B ta có

E O U I B ) = E ( Ĩ A B ) = F(AB) = P ( 4 ) P ( Ỡ ) = E I ^ E I B •

Trong t rư ng họp tổng quát, ta có kết quả sau:

4.8.1 Định lý. Giả sứ X và Y độc lập và X, Y e o . Khi đó E(XY) = (EX)(EY).

130

Chúng minh. Đàu tiên, giả thiết X, Y > 0. Khi đó

X = l im T A n , V = l iraVn , n n

trong đ ó

fc=o 0 0 Ả;

ỵ " = 5 Z ỹ 7 I l ^ r < v < ^ ! : fc=l

XY = lim T J fn^n •

Chú ý rằng, với mỗi cặp (k,l) các biến cố

Ak = ị±<x<k-±1). B l = [±-<Y<l-±±\ l 2 n 2" l 2 n 2"

độc lập. Do đó xn, Y n độc lập và

EXY = l im T E ( X „ . r n ) = lim T EXn.EYn = EX.EY . n Tí

Trong t rường hợp tổng quát , ta có

E\XY\ =E\X\.E\Y\ < 00, E ( X - . y - ) = EX-.EY-.

T ừ đó và t ừ t ính chất tuyến tính cọa E(.) ta có điều cần chứng minh. •

4.8.2 Đinh nghĩa. EiXp, ¥i\x\p

nến tồn tại được gọi là rnome.nl bậc, p, moment tuyệt đối bậc p của biến ngẫu nhiên X.

Nếu X € c? thì

D(X) :=E(X-EX)2 ,

được gọi là phương sai cọa biến ngẫu nhiên X và còn được ký hiệu là Var (X) .

T ừ đ ịnh lý 4.8.1 ta rút ra hệ quả sau:

131

H ệ q u ả . Nếu Xi,... , x n €*£ 2 và độc lập thì

n

D(Xl + ... + Xn) = Y,D{Xk) . fc=i

Thậ t vậy, do D(X) = D(x + c) vớ i hằng số c bấ t kỳ nến có

thể coi EXk = 0 với k = í , 2,... , n . K h i đó

n n T i

D ( * ! + . . . + X n ) = E ( £ ; x f c ) 2 = £ E ( X f c ^ = £ E * f c '

fc=i fc,ỉ=i fc=i

vì Epffc.JO) = EXkEXi = 0 với k Ỷ l-

4-8.3 Mót số tính chất cứa phương sai 1) B ấ t đ ằ n g t h ứ c Chebyshev: Nếu D(x) < oo thì vái mọi

e > 0 ta có

Ỹ[\X-EX\ > e\ < ^ 2 .

Thậ t vậy, theo bất đằng thức Markov

P Ị ị* - EX\ > £] = PHA- - E * ị 2 > c 2] < E | * ~ E X | 2 = ^ 1 .

2) Nếu = 0 thì X = EX (h.c.c).

Thật vậy, D p ò = 0 E\X-EX\2 = 0. T ừ đó và t ừ ịX-TẼXị2 > 0 suy ra X - EX = ũ (h.c.c).

3) D(X) = EX2

- (Éx)'2. Thật vậy

D(X) = E |X 2 - 2JCEJÍ + (EX)2\ = EX2"- {EX)2 .

T ừ D(X) > 0 suy ra \EX\ < VẼỵĩ và D(X) < EX2

.

4) |É(A" -EJ f ) (ỹ - Ê r ) | < DX.DY. (S dụng bất đằng thức Cauchy-Buniakowski). 5) D(aX + b) = a*Dự), a,beR.

132

6) Nếu D(X) hữu hạn thì

E ( X - c f > D ( X ) v ớ i m ọ i - c e R .

Thậ t vậy, dễ dàng thấy

E(X - c ) 2 = D(X) + (c - EX)2 > D(X) .

ị.8.ị Ví dụ a) X ~ P(Ằ) (tức là X có phân phối Poisson với tham số À).

EX(X - 1) = - 1 ) ^ - = A 2 e - ^ - A

fc=0 fc=2v ;

À 2 e - A e A = A 2 ;

^ /c! Z ^ ( f r - I ) fc=o fc-1 v '

= Af i -V = À .

T ừ đó EX2 = A 2 + A và D ( X ) = À2 + A - A 2 = A ' . b) X ~ ư(a; b), a < b (tức là X có phân phối đều trên |a; ò| )

Như đ ã biết

EX a + b

2

EXk = ỉ xk—^—dx J a b -

fc ì b f c + l _ a f c + l

, a „ a (fc + l ) ( 6 - a )

' T ừ đ ó

E X 2 = 3 ( 6 - a )

va D(X) = E * 2 - ( E X ) 2 =

133

c) X ~ G(a)p), a > 0,7? > 0 (X có phân phối gamma).

EXk = / xk ' - ~ dx ( đ á t ax = t) rịp)

a p ịk+p-ĩ d t r(k + p)

oe _p p—l - O I

-e r(p) Q^+P-

1 ' a a*T(p)

(p + l ) ( p + 2 ) . . . ( p + fc-l)

T ừ đó

a1 a oi1

d) X ~ J\f(a,ơ2) (tức là X có phân phối chuẩn vớ i các tham số a, ơ ).

Đã biết E I = a.

E ( X - à ) " = -^=f(x- aY exp { - ỉ í ^ n ƠV27T J R l 2 J

/ zne-z'2dz (đặt = z). 2TT

Nếu ĩ) lẻ thì E (X - a)n = 0. Nếu n = 2k thì

r2fc c+oo

E(A" - « ) 2 f c = ~ í z 2 k e ' 2 Ì ' 2 d z (đát í = ị z 2 )

2 f c ơ 2fc y»+oo 2fcơ 2* , Ì , 7 = - / í f e - 1 / 2 e - t d í = —7^r ( / c + / T T Jo v% 2

= 1 . 3 . . . ( 2 f c - l ) ơ 2 f c = ( n - l ) ! ! ơ n .

Đặc biệt D ( X ) = E(Jf - a ) 2 = ơ 2 .

4.9 K ỳ vong của h à m của v é c tor ngẫu n h i ê n Như đã biết trong mục 3.4, mỗi véc tơ ngẫu nhiên

134

cảm sinh trên (R N ,B(R n ) ) một phân phối xác suất P Ỵ , P Y lại cho ta một hàm phân phối F(x) = Fỵ(x) trên R n và ngược lại mỗi hàm phân phối F xác định trên R n sinh ra một độ đo xác suất duy nhất ịip trên không gian đo (R n , ổ (R n ) ) . Nó được gọi là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh bời F.

Nếu ip(xi,... , x n ) là một hàm số khả tích trên không gian

(Rn,B(Rn),ỊMF)

thì tích phân

ự>(x)fip(dx)

còn được ký hiệu là

/ ự>(xi,... ,xn)dF(xly... , x n )

hoặc dưới dạng ngắn gọn

/ tp(x)dF(x) . (4.32)

Tích phân đó còn gọi là tích phân Lebesgue-Stieltjes ca ọ theo hàm F.

Định lý sau đây được suy ra từ định lý 4.6.1.

4.9.1 Đinh lý. Nếu X = (Xi,... , xn) là véc tơ ngẫu nhiên với hàm phân phối Fỵ và ip là hàm Borel trên R" thì

E<p(X)= í <p(xu... ,xn)dF(xu... , X n ) (4.33)

theo nghĩa nếu một trong hai vế tồn tại thì vế kia cũng ton tại và bằng nhau.

Hệ quả. Nếu X có mật độ f(x) thỉ

E<p(X) = í <p(x)dF(x)

Iu

135

theo nghĩa, vế này tòn tại thì vế kia cũng tồn tại và bằng nhau. Đặc b iệ t g i ả sử X và Y là hai b i ế n ngẫu nh iên . Lúc đ ó

EX.Y= ỉ xydFXiY(x,y) .

N ế u X v à Y có m ậ t đ ộ đồng t h ờ i f x Y t h ì

EX.Y = / xyfx,Y(x,y)dxdy .

4.9.2 Định nghĩa. Kỳ vọng E(x - EX){Y - EY) (nếu ton tại ) được gọi là covarian của X và Y, và đuơc ký hiệu là cov(X, Y).

' N ê u DX, DY h ữ u hạn th ì t i số

VDX.DY

đ ư ợ c gọi là hệ số t ư ơ n g quan của X v à Y. D ễ d à n g t h ẩ y rằng covarian v à h ệ số t ư ơ n g quan có các t í n h

chẩ t sau: a) Đ ố i xứng : cov(X, Y) = cov(Y, X), p(x, Y) = p(Y, X); b) N ế u X v à Y độc lập th ì covix, Y) = p(x, Ý) = 0; c) cov(.,.) là p h i ế m h à m song t u y ế n t í n h t r ê n c

2

X £2

;

d) \p{x, Y)\ < Ì , d ẩ u = x ẩ y ra kh i v à chỉ k h i ì v à ĩ p h ụ thuộc t u y ế n t í n h v ớ i x á c suẩt 1. T í n h chẩ t d) là m ộ t dạng của b ẩ t đ ằ n g thức Cauchy-Buniakowski .

4.10 Tích các đ ô đ o

4-10.1 G i ả sử í ì i v à Q.2 là hai t ậ p h ạ p k h ô n g rỗng t u y ý. Đ ặ t í í = flị X n 2 . V ớ i A cfl,u>i eũi t ậ p Áli : = {ùJ2 6 0,2 : {(^1,1^2) ẹ ^4} đ ư ợ c gọi là t h i ế t d i ệ n (hay lá t cắ t ) của t ậ p A t ạ i U>1. T ư ơ n g t ự v ớ i u>2 € ÍỈ2, t ậ p hợp A^2 •= {u>i € í í i : ((jJi,u>2) € A} là l á t c ắ t của A t ạ i o>2- T ư ơ n g ứ n g A >—> Ai, là m ộ t đồng c ẩ u t ừ v(ũị X Q2) v à o V(ĩìi), (i — 1,2) đ ố i v ớ i các p h é p t o á n t ậ p hợp .

136

Giả sử X : Ví —» R. Các ánh xạ u>2 » (^2)1 cư Ì H-> yY(tưi,o;2) đ ư ợ c k ý hiệu l à -Xu,, ^ 2 t ư ơ n g ứ n g v à đ i r ợ c g ọ i

là các thiết diện của X tai LOI và to»2 tương ứng. Tập Ai X 42 c Í2i X f i 2 được gọi là tập chữ nhật. Bây giờ, gù

sử ( í ĩ i , ^ 1 ) , ( ^ 2 , ^ 2 ) là hai không gian đo, tập chữ nhật Ai X A2 với A i G ^ i , ỉ = 1,2 gọi là tập chữ nhật đo được. Dễ dàng thấy rằng tập hợp To gồm các tập con của íì là tởng của một số hữu hạn các hình chữ nhật đo được rời nhau lập thành một đại số tập hợp.

ơ- đại số sinh bởi To hay cũng vậy bời T\ X Ti ký hiệu là

ị.10.2 Định lý. Giả sử A e Ti ® Ti và Ui € fìi,W2 e n 2 . Kh đó, các tập hợp , Á^2 thuộc Ĩ2: F\ tuông úng.

Giả sử X là biển ngẫu nhiên trên (ũị X 0,2,^1 0 ^ 2 ) - Khi đó các thiết diện XWl, Xu2 là .7-2) Tị-đo được tương ứng.

Chứng minh. Ký hiệu CWì = {A c ũ\ X í~22 : A]j <E 7^2}• Ta tha)

CWJ chứa các tập chữ nhật đo được và đóng đối với phép lấy phầr bù, hợp đếm được. giao đếm được nên CU)l D a[T\ X T i ) = Tị ®T2 Khẳng định đối với A^2 € Ti được chứng minh tương tự.

Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Oi X 0,2,^1 và J3 € S(R) bất kỳ. Khi đó X^(B) = [X-^B)}^, suy ra X~f(B) e ^ 2 Vậy XUi T2~ào được. •

Nhân xét. •ã) 0 Ỷ M X M c Í2i X 0,2 t h u ộ c ® T i khi v à c h ỉ kh

b) X(u>i,U2) = Xi{uj\)X2{<^>2) T\ ® T2- đo được khi và ch khi Xi Tị-âo được (i = 1,2).

4-10.3 Xác suất chuyển và độ đo tích

Định nghĩa. Giả sử (fZi,.Fi), (fỈ2,-7"2) là hai không gian đo. Xá' suất chuyển là hàm P i2(^ i ) -^2) xác định trên không gian tích Oi X Ti và thoa mãn:

137

a) với U\ € rĩ Ì cố định, hàm p^o^! , •) là độ đo xác suất trên

b) với A'1 €^2 cố định, hàm Ỹ12Ì-. A2) T\ - đo đuợc.

4.10.4 Đinh lý. Giả sử (íìị. Tị), (0,2,^2) là hai không gian đo. P i là xác suất trên TỊ, F12 là xác suất chuyển trên íĩỵ X Ti. Khi đó. tòn tại xác .mất p trên T\ Q J-2 sao cho

Ỹ(AĨ X A2) = / Ỹx{duj,)Fvl{uuA2). Ai e T t , i = 1.2 . JAÌ

Giả su X là biến ngẫu nhiên không ăm hoặc nưa khả tích trên

Khi đó, hàm

Y(i0,) = ỉ Pi2(uĩ,dLJ2)XUÌM

xác định (Pị-h.e.c), T\ -đo đít ọc, không âm (hoặc nửa khả tích ) và

Ị XdP Ị Ỷ,{du,) Ị P 1 2 ( U l l r l W 2 ) A ; > 2 ) (4.34) . / f ỉ , x í i 2 JQỊ • JQ2

Chng minh. Đầu tiên cần chứng minh p xác định và ơ -cộng tính trên đạ i số sinh bởi các tập chữ nhật đo được T{).

Thật vậy, với n

Ì Ì

đặ t n

Ỹ(A) = J2^(A\ X Ải) .

RÕ ràng Ỹ(A) không phụ thuộc vào cách biểu diễn ca Ả. T ừ dó nếu p ơ-cộng tính trên Tỵ X T 2 thì cũng (7- cộng tính t rẽn Tị).

138

Giả sử

Aỉ X Ă2 = ^2 x ^2 (J đếm được) , t e /

hay t ư a n g đưcmg

ì

Do đó, nếu lấy tích phản theo Pi2 ta được

W w i ) P i 2 ( w i , i 4 2 ) = ^ I / l i ( a ; 1 ) P 1 2 ( w 1 , 4 ) .

Sau đó , lấy tích phân theo Pi ta được

ì

Như vậy, hàm p (7- cộng tính trên Tỵ X ^ 2 -Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì XUl cũng không âm

và theo định lý trên XUL là !F2~ào được. Vì vậy Y(UJI) xác định t rên ĩìị.

Ký hiệu £ là các biến ngẫu nhiên X sao cho Y Tị-ảo được và (4.34) được thực hiện. Khi đó c là tuyến tính, đơn điệu, đ ó n g đ ố i với chuyển qua giới hạn đ a n điệu, chứa các hàm chỉ tiêu IA1^A2{^-\ € T\,Ả2 € Tì). Vậy, c chứa t ấ t cả các hàm nửa khả tích. Hơn nửa X khả tích thi Y cũng khả tích. •

Hệ quả 1. Giả sù X > 0. Khi đó

Ị Xdp = 0 «* ý - 0 (Pi - fc.cc), i n

XcflP < oo Y < ao (Fi-h.c.c). í

139

Dồng thời tồn tại xác suất. Ỹ2 trên (ÍÌ2,-?r2) sao cho

W2(Ả2) = / Fl(du>l)Fl2(uJuA2) .

Dối với biến ngẫu nhiên bất kỳ X > 0 (hoặc nửa khả tích) trên ( f ỉ 2 , ^2,^2) hàm số

Y M = ỉ X ( u > 2 ) p 1 2 ( u , t , ^ 2 )

xác định h.c.c, T\-âo được, không âm ( hoặc nửa khả tích theo Ỹỵ ) và

ỉ XdP2 = Ị Ỹ^duixKM . JÍÌ2 J toi

Hủ quả 2 (Định lý Pubini). Giả sứ ( í ĩ i , . F i , P i ) , ( Í ^ . ^ . P ỉ ) là hai không gian xác suất. Khi đó tồn tại xác suất p duy nhất, trên F\ ®-7r2 sao cho

F(Al X A2) = Vi(Ai)V2(A2) (ẢI e F u Ả 2 e Tù .

Đối với biên ngẫu nhiên bất kỳ X không âm (nửa khả tích ) trên

ta có

í XdP= í Pi(dwi) / P 2 ( d w 2 ) * w , M

= / P 2(cM í P i ( d w i ) X U a ( w i ) .

Ỹ được ký hiủu là P i X p 2 và (Hi X ĨÌ2,Fi ®T2,ỸI X p 2 ) được gọi là tích của hai không gian xác suất ( í i i , jF^P i ) và (Ũ2)-^2,P2) và

đĩỉơc ký hiủu là ( í ĩ i , ^ i ) P i ) X (ÍÌ2)-^2)1P2)'

140

Chứng minh. Lấy p 1 2 - P2 và P21 - 5*1, sau đó, áp dụng định K 4.10.4.

Nhận xét. a) Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa được tích của mội. số

hữu hạn không gian xác suất

b) Giá sử F\. Fỵ.... , Fn là các hàm phân phối tuy ý đã cho. Khi đe tồn t ạ i một không gian xác suất, (Í2. ĩ . P) và các biến ngẫu nhiên độc lập X\, Xi; • • • • xn sao cho F), F2 /'„ là các. hàm phân phối tương ứng.

Quừ vậy, lấy ũ = R", T - B(Rn) và Pi •= ///,, p.n ỊiFti, ờ đây /i/r là độ đo Lebesgue sinh bời F j , (?' = 1 . . . . . •»).

Không gian xác suất cần tìm là không gian tích

(R,S(R),P,) X (R,B(R) ,P 2 ) X . . . X (R ,B(R) ,P n ) =

- ( R n , 8 ( R n ) , P , X . . . x P n ) ,

còn Xi là ánh xạ chiếu từ R n lén toa độ thứ ỉ, (ỉ - ì,.. . ,n). Re ràng Xi, X2,. • . , Xu độc lập và Fỵì = F \ . F\ , = F„.

4.10.5 Tích chóp và phân phối của tống các biến nqẫĩ

nhiên đác láp Trẽn tập hợp các hàm phừn phối, ta đưa vào phép toán hai

ngôi (*) xác định như sau:

(F,*F2)(x) = í b\{x - v)dF2{y) .

Rõ ràng F — Fi * F2 là hàn) phân phối. Diều đó có thể kiêm tre trực t iếp hoặc gián t iếp nhờ định lý sau:

Đinh lý. Giả sù Xi, X'2 tó cóc biến ngẫu nhiên độc lập xác dịnì trên (Q. !F,F) và F\,Fĩ là các hàm phân phối tương leng. Khi đó

FXl+x.2(x) -{Fl*F2)(x), X € R

141

Chứng minh. Theo định lý 4.10.4 và hệ quả 2 của 4.10.4 ta có

FịXl + Xi <x\= ỉ I ị X l + x 2 < ^ i ( P i X p 2 ) = Jũ

= í í d{B\ X F2)(y, z) = ỉ í ĩ ị y + z < x ị ( y , z)dF1(y)dF2(z) JJ\y+z<x\ JRJM.

= í Fx{x - y)dF2(y) = í F2(x - y)dFl(y) =

— (Fị * F 2 ) (x ) , X&R. •

4.11 K ỳ vong đ i ề u kiên

Kỳ vọng điều kiện là một công cụ rấ t quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt trong lý thuyết các quá trình Markov ,

martingale. Kế t quả dưới đây là cơ sớ để chứng minh sự tồn tạ i đ ì a kỳ vọng điều kiện.

ị . l i . Ì Định lý. Giả sử (íì, T, p) là không gian xác suất, Y là phần tủ ngẫu nhiên xác định trên ( í i , ^ ) nhận giá trị trong (E, £). Ký hiệu Q là hàm phân phối xác xuất của Y trên (E, £), nghĩa là

Q = FoY~l -đô đo ảnh. Giả sứ X là biến ngẫu nhiên khả tích trên (Oj-T^P). Khi đó ton tại biến ngẫu nhiên M Q-khd tích trên (E,£) sao cha với mỗi A £ £ ta có

í M(x)Q(dx) = í X{u)F(duj) . (4.35) JA J Y-1(A)

Nếu M là biến ngẫu nhiên khác thoả mãn (ị.35) thì M — M (Q-h.c.c ).

Chứng minh. a) Tính duy nhất suy tỗ mệnh đề 4.2 d)

b) Sự tồn t ạ i . Đầu tiên giả thiết rằng EX2 < 00. Với mỗi z e C2(E,£,Q), đặ t

ụ>(Z) = E[(ZoY).X\ ,

142

(p là phiếm hàm tuyến tính, chỉ phụ thuộc vào lớp tircmg đưcmg của z và

MZ)\ < | | X | | 2 . | | | Z | | | 2 .

ờ dây \\\Z\\\2 = (fE\Z(x)\2Q(dx))V*. Nghĩa là <p liên tục trên L2(E,£,Q), Do đ ó tồn tạ i

M e L2(E, £, Q) sao cho

/ (ZoY)XdP = <p(Z) = í ZMdQ , JQ J E

đ ố i với mọi z. Nếu lấy z = lA, A € £ ta có ngay ( 4 . 3 5 ) .

Nếu X không âm thì vế trái của ( 4 . 3 5 ) không âm với mỗi A G 8. Do đó M không âm (h.c.c).

Bây .giờ giả sử X chỉ khả tích bậc nhất. Đặt X+ = x + An, TI > 1 . ' R Õ ràng € L 2 ( Í 2 , ^ , P ) .

Theo trên tồn t ạ i Mn tương ệng với và Mn không âm, tăng (h.c.c). Đặt M+ = lim T M'n, cặp ( X + , M + ) thoa mãn ( 4 . 3 5 ) .

n

Tưcmg t ự ta cũng có cặp ( X ~ , M _ ) thoả mãn ( 4 . 3 5 ) . Do đ ó cặp ( X , M = M+ - M _ ) cũng thoa mãn ( 4 . 3 5 ) với lưu ý M Q-khả t í c h . n

4-11.2 Dinh nghĩa. Biến ngẫu nhiên M khả tích trên (E,£,Q) t.hoả mãn (4-35) được gọi là kỳ vọng điêu kiện của X với Y đã cho.

Nhận xét. a) Nếu X — ỈA thì M tương ệng được gọi là xác suất điều

kiện của biến cố A với Y đã cho. Chú ý rằng xác suất đó không phả i là một số mà là một b iến ngẫu nhiên, được xác định hầu chắc chắn.

oe

b) Giả sử ũ = 2 J Ẩ n , An € T, ne N . Lấy ánh xạ Y từ n = l

Í 2 vào N sao cho \Y = n\ = i 4 n . Khi đó Q{n} = P ( i 4 n ) , ri € N .

Bây giờ nếu X € £ 1 ( í 2 , ^ r , p ) thì M được t ìm t ừ

/ MdQ = í Xem , J{n} 7 v - ' { n }

143

hay M(n)Q{n} = JA XdF. Do đó

ỈA X d F

M ( n ) = ị ( A ) với nen mà ¥(An) é 0 ,

còn nếu F(An) = 0 thì M{n) có thể lấy giá trị tuy ý. K h i Ì = IU, AeTŨủ

M { n ) = F(F(AA)n)' n ế u W { A n )

^ũ

> A e T

-

c) Nếu X chỉ là biến ngẫu nhiên không âm, không nhất t h iế t

khả tích thì vớ i Xn = X An, tồn t ạ i kỳ vọng điều kiện Mn thoả mãn (4.35). Bằng cách cho n —> 00 ta được biến ngẫu nhiên M trên (E,£,Q) không nhất thiết hữu hạn, chi được xác định h.c.c thoả mãn (4.35). Nó cũng được gọi là kỳ vọng điều kiện suy rộng cẹa X với Y đ ã cho.

Nếu X nửa khả tích thì bằng cách phân tích X = x + — x~, theo cách xây dựng trên kỳ vọng điều kiện vẫn tồn tạ i .

Giả sử E = íì, £ = Q c T và Y là ánh xạ đồng nhất. Rõ ràng Y TỊQ-Ao được và Q = Ỹ\g (thu hẹp cẹa p lên G). Kh i đó nếu X khả tích thì kỳ vọng điều kiện cẹa X với Y đã cho thoả mãn

/ MdP= í XdP, J A J A

AeQ .

Đây là dạng đặc biệt cẹa khái niệm kỳ vọng điều kiện hay được sử dụng nhất.

4.11-3 Định nghĩa. Giả sử (Vi, Jr, p) là không gian xác suất, Q là ơ-đại số con của ĩ', X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên X với Q đã cho là biến ngẫu nhiên M thoả mãn các điêu kiện sau:

a) M là Q-đo được,

144

b) M thỏa mãn đẳng thúc

Ị M(uj)F(duj) = ỉ xụ)Ỹ{duj), A eg (4.36)

J A J A

M còn được ký hiệu là E(X\G) hoặc EứX. Chú ý.

a) Nếu Z\, Z2, • • • , là các biến ngẫu nhiên xác định trên (fì, T) và Ợ là (7-đại số sinh bới chúng thì E(X\Q) dược ký hiệu là E(X\ZUZ2,...).

b) Nếu À" = 1,1, A e T thì E ( * | ỡ ) được ký hiệu là P(i4 |£) . E ( I A | Z i , z 2 , . . . ) được viết là Ỹ(A\Zl,Z-2, •• •). Đó là các xác suất điều kiện.

c) Với các ký hiệu trong định lý 4.1] .1

E(X\Y~l(£)) MoY (h.c.r) .

ả) Nếu X e-Cl(íl.T,P) thì hàm tập hợp

Q(4) - / X<ZP: A eg J A

CÓ tính chất A e Ổ,P(.A) = 0 => Q(i4) = 0, nghĩa là Q liên tục tuyệt đối với p ổ = P|g, (Q < < p e ) . Như đã biết trong lý thuyết,

độ đo, tôn t ạ i phần tử A i € Cl(íì,G,Fg) duy nhất xê xích trong cùng lớp tương đương thoẳ mãn (4.36) (định lý Radon-Nikodyni). M được gọi là đạo hàm Radon-Nikodym của độ đo Q đ ố i với Pg, và ký hiệu M = dQ/đPg. Như vậy, ta có ít nhất hai cách khẳng định sự tòn tại của kỳ vọng điều kiện.

4.11.4 Các tính chất của kỳ vọng điều kiên

Trong suốt mục này ta luôn giẳ thiết (ÍÌ,!F,Ỹ) là không gian xác suất cố định, các biến ngẫu nhiên đều có kỳ vọng (khẳ tích hoặc nửa khẳ tích ), Q c T là (7-đại số con nào đó.

a) Nếu c là hằng số thì E(cịổ) — c (h.c.c). b) X < Y (h.c.c) => E(X |Ổ) < E ( r j ợ ) (h.c.c). c) | E ( X | ổ ) j < E( |X | |Ớ) (h.c.c).

145

(Ì) (I, b là h ằ n g số và (MX f bEY x á c đ ị nh th ì

E(aX + bY\g) - a E ( X | ơ ) + bE(Y\Ợ) (h.c.c).

tỉ) E(A" |{0, Í2}) = EvY (h.c.c). g) E ( X ị ) 7 ) ----- X (h.c.c). lí) E ( E ( X | £ ) ) = E X (h.c.c).

Ì) E ( E ( X | Ỡ 2 ) | ổ i ) = E ( X | ổ i ) = E ( E ( A - | ổ i ) | ổ 2 ) (h.c.c) n ế u

k) N ế u X d ó c lập vớ i Q (nghĩa là ơ(x) và ợ độc lập ) th ì

E(X\g)=EX (h.c.c).

1) N ế u K ổ - đ o đ ư ợ c . và E ị y ị < 0 0 , EịX.Yị < oe thì

E(yYr |ổ ) --• YE(X\g) h.c.c .

Chúng minh. a) là h i ể n nh iên . b) X < y (h.c.c) suy ra X r f ' p < f 4 V d P với m ọ i A e ợ'

=> / E(A"|ổ)dP < / E ( K | p ) f / P . V.4 6 Ị? , / A 7/1

=> E ( X | Ỡ ) < E(Y\g)(h.c.c) .

c) - | A ' | < X < \x\ => - E ( | X | | Ỡ ) < E ( X | Ổ ) < E ( | * | | ỡ ) . T ừ đ ó , suy ra đ i ề u c n chứng minh . d) .4 € Q th ì

/ ( « 1 f 6r)riP = a / X d P + & / ^<ỈP .ỈA J A J13

a Ị E(X\GW + b I E(Y\g)dF = í (aE(X\g) + bE(Y\Ợ))dP . ,1A J A J A

T ừ đ ó có kết l uận .

146

e) EX đo được đ ố i với (7 -đạ i số {0,12} và nếu A = 0 hoặc A = Q, thì có

/ XdP= Ị EXdP. J A J A

ĐÓ là điều phải chứng minh. g) Hiển nhiên. h) Sử dụng (4.36) với A = n . i) Nếu À e ói thì

ỉ E\E(X\g2)\gi\dP = í E{X\g2)dF= í XdP. J A J A J A

T ừ đó và định nghĩa 4.11.3 có đằng thức đầu. Đằng thức sau suy từ g) và nhận xét E ( x | ổ i ) là C/2-âo được.

k) Nếu A eg thì X và Ỉ A đ c lập. Do đó

/ XdP = EXĨA = EX.Ỹ{A) = í (EX)dP . J A J A

T ừ đó CÓ kết luận. • Bây giờ ta trình bầy:

N h ó m các t ính chất chuyển qua giới han rin) Đ ịnh lý hội tụ đơn đ i êu B . Levy: nếu

f x n T X (h.c.c)

Ì 3n:E(X~)<oo,

thì E(Xn\Q) ĩ E(X\g) (h.c.c).

Nếu

ị x n I X (h.c.c)

1 3n : E (X+) < oe , thì E(Xn\g) ị E{X\9) (h.c.c).

n) BỔ đ ề Fatou: giả sử tồn tạ i Y khả tích. Khi đó

nếu x n < y(h.c.c) n > ] thì E{\jmXn\G) < \jmE{Xn\Ợ) (h.c.c),

nếu x n > y(h.c.c) TI > Ì thì ĩmiE(Xn\G) < E(ĩmX n |C?) (h.c.c).

147

Ị)) Đ ị n h l ý h ô i t ụ bi c h ặ n L e b e s g u e : G i à sử Y k h ả t ích và \xn\ < K(h.c .c) . K h i đ o

n ế u x.„ - » X (h.c.c) thì E(]imXn\Ợ) = H m E ( J f n | ỡ ) (h.c.c). n n

Chứng minh. in) G i ả sử E X ~ 0 < 00. K h i đ ó 0 < x„ + jr~0 ĩ X 4 x~ , theo

đ ị n h lý Lebesgue về hội t ụ đ ơ n đ i ệ u

/ l h n E ( X n + * - | ổ ) d P = l i m í E(xn + X.- \g)dP J A " ' n J A

= l im ỉ ( X n + X-)dP = Ị \ìm{Xn + X-0)dP --= ỉ (X + X~)dP . " J A J A n J A

T ừ đ ó do t u y ế n t ính ta có

/ ìimE(Xn\gdF) Ị XdP = / E(A" |ổ)r iP . Vi4 € ổ .//í " J/t J A

và do d ó K m E ( * « | ỡ ) = E(X\g)(h.cc) .

n

C á c l ính chất n) ,p) đ ư ợ c chứng m i n h t ư ơ n g t ự . •

4.11.5 Các tính chất của kỳ vọng điều kiện đối với biến

ngẫu nhiên đã cho

G i ả sử X và Y là hai b i ế n ngẫu nh iên đ ã cho t r ê n (ÍĨ.T). N h ư đ ã b i ế t (chú ý c))

E(X\Y) : E(Xịa(Y)) - M o K (h.c.c) , (4.37)

t rong đ ó A/ là á n h xạ t ừ ( R , Ổ ( R ) ) v à o (R, B(R)) đ o đ ư ợ c v à v i m ọ i B 6 fi(R)

/ M ( y ) P y ( d ĩ / ) = / x(u)¥(duj) . (4.38) . / V 1 ( B )

148

(Chú ý. ờ đây E = R, Q = Py) . Hàm M(y), là hàm Borel trên R, sẽ được ký hiệu là E(A'|V

y) và được gọi là kỳ vọng điều kiện của X đ ố i với K Ị/. Dưới đây là một số tính chất hay được dìmg. a) Nếu ự} : R —> R là hàm Borel sao cho X và khá tích

thì Py-h.c.c xảy ra

E\X<p(Y)\Ý = y\ = ự>(y)E(X\Y = y) . (4.39)

Quả vậy, ký hiệu M(y) là vế trái (4.39) và M(y) = E(X\Y ì/).

Theo (4.37) và tính chất 1) của kỳ vọng điều kiện

M{Y) -- E (A>(V) |>0 = ý?(r)E(^|K) = ^( r )M(y)( / / . . r . r ) .

nên M ( y ) = ipịy)M(y),(FY - h.c.c).

b) Nếu X và V độc lập thì

E(X\Y = ty) = EAT . (4.40)

Quả vậy

M ( y ) = E(X|r) = (h.c.c) nên M(?y) - EvY. (Py - /r.c.r).

c) Nếu A € Ổ(M 2) và X , V độc lập thì

E(JU(A\ Y)\Y = y) = EỈA(X,y) (Fy-h.cc) . (4.41) Quà vậy, nếu A = Ai X Ai thì 1,4, ( X ) và I U 2 ( y ) đ ộ c lậỊ) . Áp dụng (4.39) và (4.40)

EỊlU .POMmV = ỉ/l = I>t a(y).P(i40 = EĨA(X.y) .

Lớp các tập A € Ổ(R 2 ) mà (4.41) đúng là lớp đem điệu ('hứa đửi số các tập hửp sinh bởi các tập chữ nhật đo được. Do đó. nó trùng với B(R2).

ả) Giả sử X và Y độc lập và <p(x,y) là hàm Borel sao cho

E\ụ>(X,Y)\ < oe.

149

Khi (ló

Eịự>(X, Y)\Y =y\= Eự>(X,y) (Py - h.c.c) . (4.42)

Thật vậy, do tuyến tính và (4.41), đằng thức (4.42) đứng với ip là hàm đơn giản, do đó với Ifi > 0 và <p(x, Y) khả tích.

ị.11.6 Các ví dụ áp dụng •á) Giả sử X và Y độc lập có hàm phân phối là F và G tương

ứng. Hãy xác định Fỵ+y.

Fx + Y ( x ) - Ỹ\x + Y<x]= E ( I | X + y < x Ị )

= E ( E ( ĩ [ x + Y < x ] \ Y ) ) = í ( E ( ỉ ị X + y < x ] \ Y = y)dG(y)

= [(E(ĩ[x+y<x])dG(y)= Ị Ỹ\X<x-y\dG{y)

= Ị F(x - y)dG(y) .

Vậy Fx+Y = F * G. b) Giả sử Xi,X'2 độc lập có các phân phối F\ và P2 tương

ứng. Lấy B € B(R). Ta có

P(A\ + x2 e B\xx) = Eậịx^x^BịịX,) =

= P 2 ( ì ỉ - X i ) (/l.c.c).

Tổng quát hơn, giả sử Xi, X2, • • • , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với ỏ'k = Xi + . ,. + Xk- Khi đó theo trên

F(Sn e B\su.. . ,5n_i) = P„(B - sn-r) = P(5„ € £ |S„ - i ) .

Nhưng (7 (Si,. .. , Sn) — ơ(X\,... , x „ ) cho nên ta cũng có

F{Sn € B\xu. . . , x n_x) = P(5 n eH^-iK^.c.c) .

Như vậy vế trái phụ thuộc chỉ vào Sn-\.

150

4.12 X á c suất đ i ề u kiên chính quy

Giả sử (fì, p) là không gian xác suất, Q là ơ - đ ạ i số con cùa T. Như đã.nói ở trên, Ỹ(A\g) = E(JA\g) gọi là xác suat của A với đ iều kiện Q. Nó không phải là một số mà là một biến ngẫu nhiên được xác định h.c,c. Hàm tập A H-> P(v4 |ổ) có một số tính chất sau:

0 < Ỹ ( A \ g ) <0(h.c.c), A eg,

F(A\g) = 0 {h.c.c)^Ỹ(A) = 0,

F(A\g) = ĩ (h.c.c) ^ F(A) = ỉ .

Nếu (An) là một dãy biến cố đôi một xung khểc thì

oo oo

P(U Ản\g) = Y^F(An\g) (hx.c) n = l n—l

nghĩa là, tồn t ạ i tập N với Ỹ(N) = 0 sao cho

oo oo

F(\jAn\g) = Y^Ỹ(An\ỹ). coệN. (4.43) n = l n = l

Tập N phụ thuộc vào dãy (An). Nói chung không thể khẳng định rằng có một tập có xác suất

không 7V để (4.43) xảy ra đ ố i với mọi dãy (An) các biến cố l ờ i nhau.

Tinh hình đó dẫn tới định nghĩa sau.

4-12.1 Định nghĩa. Hàm tập hợp Ỹ(A,uj) xác định trên T X r i gọi là xác suất điều kiện chinh quy đối với Q nêu

i) đối với mỗi U) € A,F(.,OJ) là độ đo xác suất trên ĩ ,

li) với mỗi A € T hàm Ỹ(A} Ui) xác định trên Q, Q-âo âuợc và F(A, ú) = Ỹ{A\Q){u)(h.c c).

Mệnh đề dưới đây khẳng đ ịnh rằng kỳ vọng đ iều kiện được t ính như kỳ vọng thông thường đ ố i với độ đo xác suất, điều kiện chính quy.

15]

Ạ. 12.2 Đinh lý. Giả sù F(A,iv) là xác suất điều kiện chính quy đối vói Q và X là biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó

E(X\g)(u) = / X(utx)P(dLjltù}) (h.c.c) . (4.44) • JQ

Chúng minh. L ớ p các b i ế n ngẫu n h i ê n t h o ả m ã n (4.44) ( đ ư ợ c ký h i ệ u là £ ) , là k h ô n g giao t u y ế n t ính chứa các h à m chỉ t i êu ĨA,A 6"

T (vì thay X = ỈA v à o (4.44) đ ẳ n g thức có dạng F(A\g)(oj) = Ỹ(A, L Ư ) ) , do đ ó chứa các b i ế n ngẫu n h i ê n đ ơ n g iản . M ặ t k h á c , n ế u

0 < Xn ] X, x n € £. n > Ì th ì do t í n h chất của kỳ vọng đ i ề u k i ệ n v à t í c h p h â n ta có

E(X\g)(ư) = l imE(A"|Ổ)(w) n

= l im / Xn(ui)F(dui,u>) = / X ( w ) P ( d w i , w ) (h.c.c) . N JQ Jn

T ừ đ ó £ chứa các lóp h à m k h ả t ích. •

Ví dụ. L ấ y ( Í 2 , ^ \ P ) = ( R 2 , Ổ ( R 2 ) , P ) t rong đ ó

F(A) = / f(x,y)dxdy ,

v à .X , V là các p h é p ch iếu ch ính tốc lên toa đ ộ t h ứ n h ấ t v à t h ứ hai t ư ơ n g ứng . N h ư v ậ y ( X , Y ) có m ậ t đ ộ f ( x , y ) . Đặ t

4 =4 ta i X m à / A ' ( x ) > 0

0 t ạ i X m à f x ( x ) — 0 •

Đó là h à m Borel và đ ư ợ c gọi là m ậ t đ ộ đ i ề u k i ệ n của Y đ ố i v á i X . V ớ i i4 € Ổ ( R 2 ) , W = ( ì , ý) đ ặ t

P ( Ạ w ) = Ị fy\x(y\x)dy, (4.45)

t rong đ ó Ạ T = { ỉ / e R | ( x , y ) € -À}.

|:r)

152

Lấy T = £ ( R 2 ) , G = B{R) X {R} = ơ(X). Ta thấy với u> e R 2 . F(., cư) là độ đo xác suất trên Ổ(R 2 ) . với i e -F hàm P(Ạ .) Ế? -đe được. Để chứng minh F(A\g)(u>) = Ỹ(A,ư) (h.c.c). Ta lấy ờ t u i ý thuộc g, G sẽ có dạng B x í , B e S(R). Ta có

Dii l i phải chứng minh. •

B à i t á p

1. Chứng minh rằng a) EX tồi, t ạ i khi và chỉ khi tồn tại E\x} ( ở đáy \u\ là phần

nguyên cậa số à). b) w>x = E|À'j khi và chi khi X là biến ngẫu nhiên nhận giá

trị nguyên.

2. G iả sử X- b.n.n giá ti Ị nguyên không âm với kỳ vọng hữu hạn. Chứng minh rằng

/ í Ỹ(A,(x,y))f(x,y)dxdy JR J B

Te

I-: ì

153

3. G i ả sir E | x \ v < oo ( p > 0 n à o đ ó ) . Chứng minh rang

l im rpỸ\\X\ > t\ = 0. í —oe

4. G i à sử là b .n .n . a > 0. Chứng m i n h r ằ n g

T e

E| ,Y| r * < oe <=> ^ / / ' - ' P H A ' ! > T?.| < oe. /Ì - 1

5. G i ả sử X là b .n .n k h ô n g â m v ớ i h à ĩ i i p h â n phố i F(x) và kỳ v ọ n g h ữ u h ạ n . C h ứ n g m i n h r ằ n g

/•oe

= / l i - F(x)\đx

6. C h ứ n g mi n h r ằ n g n ế u F(x) là h à m p h â n phố i của b.n.n X k h ô n g ả m v à E A " a < oo ( a > 0 n à o đó ) thì

EA"'V cv / . /- ' - ( ì - F(.r))ds J()

7. G i ả sử X có p h ả i : phối v ớ i /''(()) 0 và E |A' | < DC. C h ứ n g m i n h r ằ n g h à m

GỤ-) n /.'(.ý I ..,)

là h à m p h â n p h ố i . 8. Cho X và V là hai b.n.n dộc l ập vớ i EA' 1.EV -- 2. DyY 1. DY ------ 4. T í n h kỳ vọng của b.n.n

yY 2 + 2 ỵ 2 - XY-4X -ị Y ị 4.

9. G i ả sử X v à y là hai b.n.n độc lập v ớ i p h ư ơ n g sai h ữ u h ạ n . C h ứ n g minh r ằ n g

DẨY > DX.DY.

K h i n à o có d ấ u b ằ n g ?

154

10. G i ả sử Xi, X2,... là d ã y b.n.n độc lập c ù n g p h â n p h ố i v ớ i các kỳ vọng 0 v à p h ư ơ n g sai h ữ u hạn . Chứng m i n h r ằ n g d ã y sổ

{ E | * ± * J j p ± * M , » - i . a . . . . }

bị c h ặ n đ ề u .

11. G i ả sử Xi,..., X n là các b.n.n có m ô men bậc 0 < a < ĩ .

C h ứ n g m i n h r ằ n g

E | * 1 + • • • + XX < E\Xi\a + •••+ E\xn\a.

12. G i à sử X i , . . . , X n độc l ập và có p h à n phố i đ ố i x ứ n g . K h i đ ó

EịXi + ••• + XX < E\xx\a + • • • + E\xn\a-

với Ì < a < 2 b ấ t kỳ . 13. C h i í n g m i n h r ằ n g n ế u ì v á y độc l ập , EY = 0, E | X | a < 00, E\Y\a < 00, a > Ì , t h i E\x + Y\a > E\x\*. 14. G i ả sử ( X i , . . . , x r ) có p h â n phố i đ a thức v ớ i c á c tham số n,pi,... ,pr (pk > 0,k = Ì , . . . , r ; Px -f + Pr = ! ) • T í n h

p(Xi,Xj),l <i,j<r.

15. G i ả sử ( X , Y) có p h â n phố i chu n . EX = EY = 0. DX UY = Ì , E A T = p. Chứng minh r ằng

E m a x ( X . y ) =

16. G i ả sử ( X , Y ) có p h â n phố i chu n v ớ i EX = EY = 0, h à m m ậ t đ ộ có dạng

f{x,y) = C e x p { - Q ( i , y ) } ; C e R ,

ờ đ â y Q(x , ý) là dạng t o à n p h ư ơ n g xác đ ị n h d ư ơ n g . T ì m h à m p h à n p h ố i c ủ a , Z = Q ( X , Y ) .

155

17. a) Giả sử X và Y là hai b.n.n không âm, z — max(x, Y). Ị Chứng in inh I'ằrig

Ị ZdP < í XdP + / ^dP (fl > 0) JịZ>a\ Jị\>a\ J\y>a\

b) Giả sử ( X n ) là dãy b.n.n khả tích đều. Chứng minh rằng

E ( - sup | X m ị ) - 0 . n l<m<n

18. Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n sao cho

E X n = 0, DXn — ơ2,n> Ì, EXnX„t -•: 0, n 7 m.

Đặt 5 n = Xi + • • • + x n . Chứng minh rằng {Sn/\/n,n > Ì} khả tích đều .

19. Giả sử dãy b.n.n ( X n ) khả tích đều.

Chứng minh rằng

sup / \Xlt\dP-+ 0. (/// -> oo) n > l 7An,

đ ố i với mọi dãy ( j 4 m ) m > ! các biến cố mà Am ị 0. 20. Giả sử (rĩ, T ì P) là không gian xác suất. Ký hiệu L° là tập hợp các lớp tương đưcmg của các b.n.n. Với X, Y 6 L ta đặt,

= E : | A ~ v 1

Ì + I * - r i '

d 2 ( X , Ỹ ) = Emin(\x - V I , 1).

Chứng minh rằng a) ( L ° , d i ) , (ư\d2) là các không gian metric. b) Sự hội t theo dị hoặc f i 2 tương đương với hội t theo xác

suất. 2 1 . Giả sử T là một tập khác 0 tuy ý. tf {K(s,t),s,t 6 T } là hạch đố i xứng xác định dương (nghĩa là K(s,t) — K{t,s), với

I 50

n

V(.s. í) e T 2 . J] C i C j H i i , /.,) > 0 v ớ i m ọ i ??.; í , t„ € 7" và ' , ; i

C i , . . . , C'„ € K ) . Chứng m i n h vằng tồn t ạ i x á c suất p duy nhất t rên ( R T , ổ ( R r ) ) sao cho vơi Xị là á n h xạ ch iếu t ừ R T l ẽn á , = R, véc

t ơ ( X t Ị x t n ) là gauss vớ i cov(Xi:, X ị } ) = Kựi, tỳ). Xét t r ư ờ n g hợp T ••- [0; co) v à /r(s, í) = ỉ A i -= ni in(s , í ) . X á c đ ị n h p h â n phố i dồng t h ờ i của Xi,,. . . , x t i vớ i 0 < ti <•••<!:„.

K Ỳ V Ả N G Đ I Ế U K I Ệ N 22. T rên (Q. T.F) (Ị0; 1|. ổ ( | 0 ; l ị . Ả); A là đ ộ đ o Lebesgue. T í n h E(A ' |Ợ) nêu Ì " ổ - ơ ( Ị l ) ; l / 3 | , { l / 3 } , ( l / 3 ; l / 2 ) ) còn X có dạng

a) xịu)) ••- u>; b ị Á"(w) = w a ; c) Ì - u;; 2° ^Y(cư) -= LƯ còn Q thuộc một, t rong các dạng .sau:

à) Ọ - ơ ( | 0 ; 1/31,11/3; 2 /3] ) , b) Q •-- {A e B(\0, l ị ) : À = ịx e A: \ - xe . 4 } } , cịg ơ(mhx{2XA}).

23. G i ả sir Q\. Ợ-2 là hai ơ - đ ạ i số độc l ập . X là b i ến ngẫu nhiên bá t kỳ có kỳ vọng. Chứng m i n h r ằng

E ( x \ g x n ợ 2 ) = EX, ( h.c.c).

24. G i ả sử A và V là hai b.n.n độc l ập c ù n g p h â n p h ố i có kỳ von" h ữ u hạn . Chứng m i n h rang:

E(X\X I K) E O " À' I V ) - - - - (h.c.c).

Hãy rin/ rụng cho l i h i ế n ngẫu nh iên (lộc lặp c ù n g p h á n phố i . 25. Già sử Qi.Q'2 - • • • là m ộ t d ã y g iảm ( t ư ơ n g ứ n g t à n g ) các ơ-(lạ: Hố con. A' là b.n.n khù t ích. Hãy t ìm

E(E(...E(x\gl)\g.i)...\gn).

26. Gia sử X là b.n.n có EyY - a.T\,T2 là hai 1 7 - đ ạ i số (lọc lạ])

A") --- E{X\Jr

ì),X2 ---- E(Xi\F2)- Xác đ ị nh p h á n phố i cua , Y 2 .

157

27. Giả th iế t rằng (Ẩn) là dãy các b.n.n độc lập. cùng phân phối và S'fc — X i + • • • + A'fc, /c > 1. Chứng minh rằng

E C X i l S V ^ S n + i , . . . ) = 5'n/n, (h.c.c).

28. Chứng minh rằng DE(X|Ỡ) < D I . 29. Giả sử 0 < a < í, 0 < /3' < Ì vào: + (3 < 1; X và Y có kỳ vọng hữu hạn. Chứng minh rằng

E(\X\r*\Yf\g) < [E(\XịịỢ)]a[E(\Y\\g)f,(h..c.c).

30. Giả sử ( X n ) là dãy b.n.n độc lập, Y là b.n.n có phương sai hữu hạn, E V = a. Chứng minh rằng

i ị E ( y | X ! ) + E(Y\X2) + ••• + E(Y\Xn)\ í* a. Tì

3 1 . Giả sử (Tít) là dãy tăng các ơ-âại số, X là b.n.n với E | X | < oo. Chứng minh rằng với e > 0 bất kỳ

P( sup \E(X\fk)\ > è) < E\x\/e. l<fc<n

32. Già sử Xi,... ,xn là các b.n.n độc lập cùng phản phối đều

trên [0; 2a), a > 0. Đặt ~x = (Xi + . .. + Xn)/n. Chứng minh rằng

E(x\ max Xk) — \ r——— max Xfc.

l<Jt<n 2 n l<fc<n

33. Giả sử yY và Y là hai b.n.n sao cho EX2 < DO, E K 2 < oo. Đặt

D(x\g) = E\(X -E(x\g))2/g\, covg(x, Y) = E\(X - E(x\g))(Y - E(Y\g))\g\.

Chứng minh rằng

DX = ED(X\Ợ) + DE{X\g), covự, Y) = EcơvQ(X,Y) + cov (E(X | ) ,E (y | ổ ) .

158

C h ư ơ n g 5

Sự H Ộ I T Ụ C Ủ A D Ã Y B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N V À P H Â N P H O I

Sự hội tụ đ ỉa dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khái

nhau đóng vai trò rấ t quan trọng trong lý thuyết, xác suất. Troiiị chương này. các dạng hội tụ: theo xác suất, hầu chắc chợn. trunj bình bậc p, sự hội tụ yếu của dãy phân phối sẽ được nghiên cứu Trong các chương sau ta sẽ thấy rằng các dạng hội tụ theo xái suất. hầu chắc chắn và hội tụ trung bình đóng vai trò then cho trong Luật số lớn; còn sự hội tụ yếu là đối tượng nghiên cứu chín] ciìa Định lý giới hạn trung tâm.

5.1 S ư hôi t u của các b i ế n n g ẫ u n h i ê n

Giá sử X\. X'2,... là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xá đ ịnh t rẽn không gian xác suất cố định (ũ, T,F). Đe cho gọn, t dùng ký hiệu ( X n ) để chỉ dãy b.n.n.

5.1.1 Hôi tu theo xác suất. Dãy b.n.n ( X n ) được gọi là hội I theo xác suất tới b.n.n X nếu với f. > 0 bất kỳ

lim Ỹ\\xn - x\ > e\ -* 0.

159

Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là Xn —y X.

Trong lý thuyết, hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội tụ theo độ đo.

5.1.2 Hôi tu hầu chắc chắn. Dãy b.n.n ( X n ) được gọi là hội tụ h.c.c đèn b.n.n X nếu tần tại tập A có xác suất không sao cho

Xn(u>) —> x(u>) với u> ị A.

Sự hội tụ h.c.c được ký hiệu là Xn

h^>' X.

5.1.3 Hôi tu trunq bình. Dãy b.n.n ( X n ) được gọi là hội tụ theo

trung bình bậc p (0 < p < oa) đến b.n.n X ký hiệu là Xn —* X nếu

E|X„ - x \ p -» 0, ( n - ^ o o ) .

T ừ bất đ ằ n g t hức Markov :

E\Xịp

Ỹ{\x\ >e}< 0 <p < ao

suy ra rằng hội tụ theo trung bình bậc p kéo theo hội tụ theo xác suất.

Dưới đây, ta sẽ thấy sự hội tụ h.c.c suy ra hội tụ theo xác suất. Điều ngược lạ i nói chung không đúng. Tu}' vậy, nếu dãy ( X n ) là dãy tăng hoặc giảm hội tụ theo xác suất đến b.n.n X thì xn ^>

c

X.

Thật vậy, giả sử ( X n ) là dãy giảm, Xn A X. Băng cách xét x v - x ta có th coi (Xn) giảm, X = 0 và Xn ĩ* 0. Nếu (Xn) không

Ì G O

hộ i t ụ h.c.c t ớ i 0 th ì t ồ n t ạ i e > 0 và b i ế n cố A v ớ i P ( / l ) > ố > (Ì

sao cho

A - > n

v ớ i aj € A v à ?í t u y ý. N h u n g

x n ( c ư ) ------ 8 U Ị ) A \ . ( o ; )

n ê n /Ì c [X,,. > ẽ | v ớ i m ọ i ri v à do đ ó

P | ^ n > e} > Ỹ(A) > ố , T ỉ > 1.

Đ i ề u n à y m â u t h u ầ n v ớ i gia t h i ế t x„ —> X .

5.1.4 Đinh lý. x n

h—>' X khi và chì khi, với £ > 0 6ấí kỳ,

Fịsup\xk - x\ > £ • ! - > 0. rí -> oe. (5.1) A - > n

Chứng minh. Đặt

z n = supIXA- - X | . < r > n

R õ r à n g , yY„ X k h i v à chỉ k h i Zn 0. N h ư n g ( Z r l ) là d ả \ h e r ¥

g i ả m , n ê n z n —» 0 t ư ơ n g đ i r ơ n g v ớ i z n —> 0 hay cũng vậy, t ương

đ ư ơ n g v ớ i (5.1) . •

Nhận xét. TÍT h ệ t h ứ c

\\xn-x\ >E\ c | s u p | X f r - A ' | > f | ,

k>n

suy ra r ằ n g . n ế u X n

h—>': X t h ì Ấ n X .

161

Hê quả. Nếu chuỗi

co

J2n\Xn-X\>e) n = l

hội tụ với £ > 0 tùy ý thì Xn X.

Chứng minh. Với mọi £ > 0, ta có co

¥\suV\Xk -x\>e\= Ỹ(\J[\Xk - x\> e\) — ,. K = n

oo

< ỵ^V[\Xk -X\>e]-^0, 7 W oo k=n

do C O

J2^{\xn-X\ > e j < oo. • n = l

5.1.5 Dinh nghĩa. Dãy ( x n ) đuợc gọi là cơ bản theo xác suất (tương ứng h.c.c, theo trung bỉnh bậc p) nếu với £ > 0 bất kỳ

P ị | X n — xm\ > e\ —y 0 khi m, n —> oo,

(tương úng

P[ sup |ATfc - X i l > e] -+ 0 , E | X n - x m | -^Okhi n , m -» oo). fc,/>n

M i ậ n xái Điều kiện

PỊ sup |Xfc - Xỉ ị > eỊ -> 0 khi n -> oo fe,/>n

162

tương đương với điều kiện PỊsup\X m - Xn\ > Ẹ\ —> 0 khi Tì —> oe. m > n

Điều đó suy từ các bất đằng thức:

sup \x m - xn\ < sup \xk - Xi\ < 2sup | X m - xn\. m>n fy,l>n m > n

Miện lái 2. Đặt z n = sup \Xk — Xị\. Dãy ( Z n ) giảm. Vì vậy, điều k,l>TL

kiện P[ sup - Xị\ > e) —> 0, n —>• oo với £ > 0 bất kỳ tương fc,i>n

đương với điều kiện z „ 0 và do đó, tương đương với zn 0. Điều đó cũng có nghĩa là với xác suất 1. dãy ( X n ) là dãy cơ bản trong R. Khi chứng minh các định lý giới hạn người ta thường dùng bố đề

sau.

5.1.6 BỔ đe Borel - Cantelli. Giả sù (An) là dãy biến cố bất kỳ . a) Nếu

ao

ỵ^Ỹ(An) < oe n = l

thì P(limsup^n) = 0.

Tí

b) Nếu

Y/Ỹ(An) = oo n = l

và (An) độc lập thì P(limsup^n) = Ì

163

ỏ đây, OQ oo

lira sup An = Pi (J Ẩ m . n= Ì m = n

Chứng minh. ao

a) Vì ( u j 4 m ) n > ! là dãy giảm nên

oo oo

P(lirnsupyt n ) = liraP( I I An) < lim V P(i4m) = 0. „ n n —' m = n 7 n = n

b) Nếu dãy ( j4 n ) độc lập thì (Ăn) cũng độc lập. Do đó

oo oo

p( f ì Ăm) = lị F(Ăm)

Do đó, ta có

oo oo oo

0 < p ( n Ãm) = Ị ] p ( i m ) = ỴỊ (Ì - P ( 4 m ) ) ọp

m ~ n 771—TI m = n

co

< J Ị e - P M m ) = - m~ TI

m —TI

(ờ đây, ta sử dụng bất đẳng thức Ì — X < e T , 0 < X < 1). oe oe

T ừ đó, P( n À m ) = 0 hay P( u Ảm) = Ì, và như vậy ni —Tí m=- n

P(limsupi4 n ) = 1. • n

.He gud 1. Giả sù (en) là dãy số dương và £n ị 0. Khi đó nếu

ao

Y^rdXn-XịyEnXoO (5.2) n = l

i 64

thì X n ^>c X .

Chứng minh. Đ ặ t An — ị\Xn — x\ > en\. T ừ (5.2) và bổ đ ề Borel -

Cante l l i ,

P ( l i m s u p Ấ n ) = 0. n

N ế u Ui ặ. I i m s u p v 4 n th ì t ồ n t ạ i Nịu)) sao cho n

\xn(u) - X(u>)\ < en, n > Niu).

Do đ ó . xn(uj) —» x(u>) v ớ i UI ị l i m s u p y i n . • n

Hê quả 2. Giả sử En > 0, TI, > ì và ^r^£n < oe. Khi đó, nếu

n

+ 1 -xn\ >en) < oe (5.3)

n

í/iỉ day ( y Y n ) hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X nào đó, hữu hạn

h.c.c.

Chứng minh. .Đặt An = [\Xn-ị-i — Xn\ > En li t ừ (5-3) v à bổ đề

Bore l -Cante l i ,

P ( l i r n s u p i 4 n ) = 0 n

N ế u LO ị l i m s u p , 4 n th ì t ồ n t ạ i N(u>) sao cho Ui ặ. An v ớ i n > Nịu)) n

hay

| X n + i - * „ | < e „ , n > J V M .

V ậ y , k h i ui Ệ l im sup Ẩ n , chuỗi số J2 \Xn+i(u>) — xn(u>)\ có các số n n

h ạ n g bị t r ộ i b ờ i các số hạng t ư ơ n g ứng c a chuỗi hộ i t ụ ] T En bắ t

165

đ ầ u t ừ số hạng N(u>). Do đ ó , t ồ n t ạ i g iớ i h ạ n h ữ u hạn

oo

Xịu) = lim xn = Xy(u) + ] T [xn+l(u>) - Xn(oj)} n = l

v ớ i m ỗ i Lú Ệ l im sup An, • n

Hê quả 3. Nếu dãy (Ẩn) cơ bản theo xác suất, thì có thể rút. ra

được một dãy con ( X n i c ) hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X nào

đó,

Chúng minh. Ta chọn d ã y Ì = no < n.\ < ... < ĩifc < . . . b ằ n g quy

nạp nhir sau.

Đ ặ t no = 1. G i ả sử d ã chọn đ ư ợ c rifc. K h i đ ó t ì m đ ư ợ c

rik-ị-1 > n.k sao cho

Ỹ\\xnk+l - XnJ > 2-k\ < 2-\ k = 1 ,2 , . . .

Đ i ề u đ ó có t h ể thực h iộn đ ư ợ c do d ã y ( X n ) cơ b ả n theo x á c suấ t

R õ r à n g

5 > Ị | * „ t + 1 - x n k \ > 2-k\ <J22-k< oe. *• k

Theo h ộ quả 2, d ã y (Xnk) h ộ i t ụ h.c.c đ ế n b i ế n ngẫu n h i ê n X n à o

đ ó . •

5.1.7 Tiêu chuẩn Cauchy về sư hôi tu theo xác suất . Dãy

các biển ngẫu nhiên ( X n ) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó cơ

bản theo xác suất. . ,

166

Chứng minh. IP

Diều kiện cần. G i ả sử X n —> X. K h i đ ó , v ớ i e > 0 b ấ t kỳ

¥\\xn - x m \ >e\< Ỹ[\xn - x\> e/2\ + P ị | X m - x\ > e/2),

t ừ đ ó , cho n , 771 —* oo ta có P [ | X n — Xm\ > e\ —* 0.

Đ i ề u fciện đủ. Do h ệ q u ả 3, n ế u ( X n ) c ơ b ả n theo x á c suấ t th ì

t ồ n t ạ i d ã y con ( X n k ) hộ i t ụ theo xác suất đ ế n b i ế n ngẫu nh iên X

n à o đ ó . T ừ đ ó v à t ừ b ấ t đ ằ n g thức

F\\xn - x\ > e\ < Ỹị\xn - xnk\ > E / 2 \ + F\\xnk - x\ > e/2 ,

t a suy r a đ i ề u p h ả i chứng m i n h , bằng cách cho nỵ —* oo, Tỉ. —> OO .D

5.1.8 Tiêu chuẩn Cauchy t>ề sụ hôi tu h.c.c. Dãy ( X n ) hội

tụ h.c.c khi và chỉ khi dãy ( X n ) cơ bản theo nghĩa h.c.c.

Chúng minh. G i ả sử x n ^ X. K h i dó , do

sup \Xk — Xi\ < sup \Xk — x\ + sup \Xi — x\ k,l>n k>n ( > n

v à g i ả t h i ế t suy ra d ã y ( X n ) cơ b ả n h.c.c.

Đ ả o l ạ i . N ế u ( x n ) cơ b ả n (h.c.c) th ì theo nhận x é t 2, m ụ c

5.1.5, v ớ i x á c suấ t Ì , các d ã y (xn(uj)) cơ b ả n t rong R, do đ ó h ộ i

t ụ t ớ i x(u>) n à o đ ó .

Đ á t

Xiu) X(u>) t ạ i Ui m à g iớ i h ạ n t ồ n t ạ i

0 t ạ i UI m à g iớ i h ạ n k h ô n g t ồ n t ạ i

K h i đ ó , xn

h^c X. • Đ ị nh lý d ư ớ i đ â y m ở rộng đ ị n h lý 4.5.4.

167

5.1.9 Định lý a) Nếu dãy biến ngẫu nhiên (\Xn\p) khả tích đầu với p > 0

nào đó và Xn —> X thì X £ ty và Xn ^+ X. b) Ngược lại, nếu ( X n ) c £ p , Xn % X thì X e £ p , ' X n í* X

và {\Xn\p) khả tích đều.

Chúng minh.

a) Nếu x n —» X thì theo hệ quả 3.1, tồn tạ i một dãy con ( X n k ) hội tụ h.c.c đến X. Theo bo đề Fatou,

E\x\p = E ( Ị Ị m | * n J p ) < Ị ị m E | X n J p < s u p E | X n J p < 00. k

T ừ bất đằng thức

nxn - x\nA < 2p(E\xn\nA + E\x\nA)

và giả th iế t trong a) suy ra (\Xn — x\p) khả tích đều.

Mặt khác, 'do Xn ^ X nên với mọi e > 0, ¥{\Xn -X\>e\-+ 0, do đó tìm được no sao cho

E(\xn - X\nịịXn-xị>e]) < e, với mọi n > no.

Khi đó

E(\xn - x\* = E ( | X n - X | p I | | X n _ X | < e | ) +

E(\Xn - X\nUn_x\>e]) <ep + e với mọi n > no.

c Điều này chứng minh Xn —» X .

b) Nếu x n ^ X thì X e £ p . Do đó

supE|AT„| p < 2 p s u p ( E | X n - X ị p +E\X\P) < +oo. n n

168

V ớ i £ > 0 bất kỳ, tìm được no sao cho E | X n — x\p < E với Tì > no T ậ p hữu hạn các biến ngẫu nhiên \x\p, \X\\P,. .. , | ^ n o | p khả tích đ ề u nên tồn tạ i ổ > 0 sao cho khi A € T và p(yl) < ố ta có

E(|A"| P.]U) < e, sup E | X n | p U < E k<riQ

Khi đó

E\Xn\nA < 2p(E\Xn - X\nA + E\X\pỉA) < 2 p + 1 e .

vớ i mọi n = Ì, 2, Vậy ( | X n | p ) khả tích đều.

Theo bất đằng thức Markov, với mọi £ > 0

Ỹ[\xn-X\>e} < E \ ỵ « - X \ p _>0 n ^ o o .

Cho nên x „ -£> X . •

/Tê quả(Đinh lý Lebeggue về hôi tu bi chăn). Giả sử xn —• A va E(sup | X n | ) < oo Ể/iế Ể/iì

n

E | J í n - X I -> 0, E X „ - » E A \

Chứng minh. Áp dụng độnh lý 5.1.9 vào dãy ( X n ) với lưu ý ( |Xn | khả tích đều vì chúng bộ chặn bời biến ngẫu nhiên khả tích. •

Nhận xét. Giữa các dạng hội t ụ đã xét có mối liên hệ sau:

xn

h^>° X => xn X (nhận xét của 5.1.4)

xn =-* X => xn —> X (dùng bất dang thức Markov)

Tuy vậy, nói chung không có các dấu kéo theo ngược l ạ i .

169

Ví dụ 1. T r ê n (|0; 1], ổ ( | 0 ; l j ) ) , l ấ y p là đ ộ đ o Lebesgue. Đ ặ t

Xk,n = .*p Ì < k < n

K h i đ ó , d ã y b i ế n ngẫu nh iên

-^1,2, ^ 2 , 2 ; -^1,3) ^ 2 , 3 ) -^3,3) • • •

h ộ i t ụ theo x á c suất đ ế n k h ô n g , n h ư n g k h ô n g hộ i t ụ t ạ i bất. k ỳ

đ i ể m n à o của o .

Ví dụ 2. L ấ y k h ô n g gian xác suấ t n h ư t rong ví d ụ 1. Đ ặ t

x n = e n . I | 0 ; i / „ | , Tỉ. > 1.

R õ r à n g X n

h ^ c 0 n h ư n g v ớ i m ọ i p > 0,

E\xn - 0 | p = — - » oo ( n - » o o ) .

5.2 S ư hôi t u của các p h â n p h ố i

C á c đ ị n h lý g iớ i h ạ n đ ố i v ớ i các p h â n phố i đ ó n g vai t r ò quan

t rọng t rong lý t h u y ế t x á c suất . Đ ể ngh iên cứu v ấ n đ ề n à y ta c ầ n

đ ư a t ô p v à o t ậ p hợp các p h â n phố i xác suất .

5.2.1 Đinh nghĩa. Dãy hàm phân phối ( F n ) xác định trên R]

được gọi là hội tụ căn bản đến hàm F nếu

Fn(x) -> F(x), X € C ự ) (5.4)

trong đó C(F) là tập hợp các điềm liên tục cùa hàm F. Ký hiệu

sụ hội tụ căn bản là Fn —> F.

170

Nhận xét. a) Hàm giới hạn F nhận giá trị trong [0; 1], và là hàm không giàn: nên có thể chọn để F liên tục trái t ạ i mọi điểm. Tuy vậy F có thê không là hàm phán phối xác suất.

Thật vậy, giả sử ( F n ) là dãy hàm phân phối được xác đ ị i ứ như sau

{ 0 nếu X < Tì,

1 L _ Ì nêu X > n

n=l,2, . . . Rõ ràng Fn A F, F không là hàm phân phối (vì F = 0).

b) Định nghĩa 5.2.1 có thể mờ rộng cho dãy hà™ phân phối tronị

R d .

5.2.2 Đinh nghĩa. Dãy hàm phân phối (Fn) được gọi là hội ti yếu đến hàm phân phối F (trong Rd ) và viết Fn F, nếu

í f(x)dFn(x) - / f(x)dF(x), ỉ e Ch(Rd) (5.5

ờ đáy Cfe(Rd) là tập hợp các hàm số Ị liên tục bị chận trong wl.

Nhận xét.

•À) Nếu ký hiệu p „ , p là các độ đo Lebesgue-Stieltjes tương ứn

với Fn và F thì (5.5) có thể viết như sau:

í f(x)Fn(dx) - í f(x)¥(dx), ỉ e Ch(Rd). (5.6

Nếu Fn là hàm phân phối của Xn, F là hàm phản phối cùa X lí (5.5) và (5.6) có thể viết là

E f ( X n ) - E / ( X ) , / € C f c ( R d ) . (5.7

171

b) Sự hội tụ yếu của các độ đo xác suất p trong không gian metric tổng quá t cũng được định nghĩa tương tự. Cụ thể , giả sử (P n ) và F là các độ đo xác suất xác định trên (S, ổ, p) trong đó s là không gian metric. 5 = B(S) , ọ là khoảng cách trong s. Ta bảo dãy (P n ) hội t ụ yếu đến p và viết P n A p nếu

Ị f(x)Ỹn(dx) - / / (x)P(dx) , / 6 Cb(,S).

5.2.3 Đinh nghĩa. Dãy các độ đo xác suất (P n ) gói /à / lội íụ cán òán đến độ đo xác suối p nếu

Pn(^) -> P(A)

nới mỗi J4 G <s mà F(ỠẤ) = 0, írong đó ằ 4 /à biên cùa tập A. Sự hội tụ đó được ký hiệu là P n A p.

5.2.4 Đinh lý. Nếu dãy các véc tơ ngẫu nhiên ả-chiều ( X n ) cùng

xác định trên một không gian xác suất hội tụ theo xác suất đến véc

tơ ngẫu nhiên X thì dãy hàm phân phối tương úng (Fn) hội tu yếu

đến hàm phân phối F cùa X.

Chúng minh. Đê chứng minh Fn F ta chứng tỏ rằng (5.7) đúng. Lấy g e Cb(Rd) bất kỳ. Khi đó, y(xn) g(X). Thật vậy, với f. > 0 tuy ý tìm được tập Ka = {x € Rd • \x\ < a} sao đ io

Ỹ\x ị Ka\ < e/2.

Hàm (Ị liên tục đầu trên Ka+1 nên tồn tạ i 0 < ó < Ì sao cho khi

x,y e K a + U \x-y\<ố

ta có

172

T ừ đ ó

[\g(Xn) - g(X)\ > é) = [\g(xn) - g(X)\ > e] [x e Ka\ +

[ \ g ( x n ) - g ( x ) \ > e ] [ x #Ka}

c [ \ x n - x\ > ố; X e Ka) + [X ị Ka\

c [ \ x n - x \ > 6 \ u [XỆKa).

D o đ ó , n ế u no là số sao cho Ỹ\\Xn — x\ > ồ} < e/2 k h i Tỉ > no t h ì

P[ |ớ(*n) - g(X)\ > e\ < P [ | X n - X I > ó) + PỊX £ / C a i

< e/2 + e/2 = e.

Vì Ễ > 0 n h ỏ tuy ý . n ê n (j(Xn) —> t / ( y Y ) . T ỉ r đ ó v à t ừ sự bị chài:

của g, d ã y ( g ( X n ) ) thoa m ã n các đ i ề u k i ệ n của đ ị n h lý Lebesgue, VI

h ộ i t ụ bị chặn . Vì t h ế

5.2.5 Đinh lý. Giả sử P n , ri > Ì i ) ả P /à c á c đọ đo xác .suối. A7i

đ ó các đ i ề u fciệrỉ .sa?/ tuông đương:

f a ) F n ^ P ;

(b) Với mọi tập đóng A thì ĩ ĩmP n (y l ) < Ỹ(A);

(c) Với mọi tập mà A thì MmFJA) > F(A);

(ả) p n A P.

Chúng minh.

(ã) =• (6). K ý h i ệ u ỡ / v ( x ) = e " ^ * ' - 4 ) , đ â y / Ì c 5' v à

p (x , = i n f { / 9 ( x , y ) , y e Ả}.

173

Rõ ràng \imgN(x) = I[A](x),

ờ đày \A} là bao đóng của A. Nếu p n A p thì theo bổ đề Fatou

Ũmip n(i4) < ĩ ĩ m / gN(x)Fn(dx) = / gN(x)F(dx). n Js Js

Cho yv —• oo và sử dụng định lý Lebesgue về hội t ụ bị chặn, ta có

finĩpn(i4) < ĩmiỊ gN(x)F(dx) = Ị IịA]F(dx) = F(\A\). (5.8)

Do đó Ĩmjp„(i4) < Ỹ(A) n

nếu A-ăóng. (b) => (c). Trong (5.8), thay ,4 bời ố' \ ,4 ta có

ĩ ĩ m P „ ( S \ .4) < P([S \ i4]) = P(S \ n

ờ đày 4°— miền trong của A. Vậy

p( ,4 0 ) < Ị ỊmP„04) . (5.9)

Đó chính là (c) nếu lấy A-mờ.

(c) =» (ri). Giả sử P(a4) = 0, nghĩa là P(|i4|) = P ( ^ H ) = P(i4). T ừ (5.8) và (5.9) ta có

p(^4°) < liinP„(j4) < ĨIĩnPn(i4) < Ỹ(\A\).

Do đó, l ịmPn(^) = ĩ ĩmPn(A) = P(A).

(d) => (a). G iả sử g là hàm liên tục bị chặn tuy ý và Slip \g(x)\ — c. X

Ký hiệu Es = {x € s : g(x) = s}, s € R. Vì Ea, s 6 R là rờ i nhau và đóng nên £ := { ỉ e M : P(£ s ) / 0} không quá đ ế m đư c . Do

174

đó. với £ > 0 bất kỳ, ta có thể lập một phàn hoạch đoạn ị—c; cỊ bời các đ iểm

- c - So < Si <••• < s m = c

sao cho

Si ị E, ỉ = 0, . . . , m và S j + J — Si < e, i = 0,. . . , m — Ì.

Đặt Bi = {x : Si < g(x) < S j + i } , í = 0,. ., , rn — 1. Ta thấy

dBị c ESi u Eai+i =*• P(ỡfli) = 0, * = 0, . . . , m - 1.

Đặt

m — Ì

1=0

Khi đó 0 < g(x) — gt(x) < e với mọi X 6 ố'. Do đó

ĨĨH / í , ( x ) P ( d i ) - / ff(i)P„(dx)ị < ĩĩmị / \g(x) - g( (x)}F(dx) +

m— Ì

+ T SiịỸiBi) -Ỹn(Bi)} + / \gt(x) - g(x)\Fn(dx)\ <

< 2c.

Cho r ị 0 ta nhận được

lim / s(x)P n (dx) = / ff(x)P(dx).

Định lý được chứng minh. •

Bây giờ ta bàn về: Mối liên hê giữa hôi tu yếu và hội tí điểm.

Trên (R, (R)) cho p, (p„) là các độ đo xác suất, và F, (Fn) là

các hàm phân phối tương ứng.

175

5.2.6 Đinh lý. Giả sử F, (Fn) là các hàm phân phối sao cho Fn(x) —+ F(x) với mọi X € D, trong đó D là tập hợp đếm dược trù mật trong R. Khi đó Fn —> F.

Chứng minh. a) Đầu tiên, ta cần chứng minh Fn A F. Giả sử X € C(F). K h i

đó tìm được x',x" € D sao cho x' < X < x". Do tính chất đem điệu không giảm của hàm phân phối, nén F(x) — Fn(x) < F(x") — Fn(x'). Do đó

M\F(x) - Fn(x)\ < F(x") - Fự). n

Cho s! \ X, x" ị X với lưu ý X e C(F), ta có

\mi\F(x) - F„(x)ị < 0. n

Tưong tự, vì F(x) - Fn(x) > F(x') - Fn{x") nên

l im[F(x) - Fn(x)\ > Fự) - Fn(x"). n

T ừ đó, cũng như trên, ta có: lim|F(x) - Fn(x)} > 0.

n

Vậy Fn(x) -» F(z) , X G C(F) . b) Cho e > 0 tuy ý. Vì C'(F) t rù mật trong R nên tìm được

a, b 6 C(F), a < b sao cho

F(b) - F(a) > Ì - ft,

Vì Fn(b) - Fn(a) -» F(6) - F(o) nên có no sao cho

F n (6) - F n (o) > Ì - e với Tỉ, > no.

176

G i ả s ử g là h à m số liên tục bị chặn ( b ở i số C) t r ê n R, ẻ > 0 được

chọn sao cho

X , y e ịa; 6], |x - y\ < 6 I P O ) - < e

C h ọ n m ộ t p h â n hoạch a = to < tị < • • • < í m = ò, sao che

Ế. ; 6 C ' (F) , | Í » + 1 - t i Ị < ố. Đ ặ t

m— Ì

= Y l 9(ti).I[UiU+l)(x). i=0

K h i đ ó |g(x) — ỡ E ( x ) | < e v ớ i X € Ịa; b) và

Ĩ Ĩ Ĩ S I í - / g(x)Fn(dx)\ <

l im! g(x)F(dx)- / 5 ( i ) F n ( d x ) | + R\[o;6) ÌR\[a;fe)

+ l i m | ỡ ( x ) - 0 e ( z ) | F ( d x ) -a;b)

+ 1 / £ ( z ) F ( d x ) - / g£(x)Fn(dx)\ + J\a;b) Jịa;b)

\ge{x) -g(x)\Fn(dx) a;b)

Tri— Ì

< 2Ce + It + l i m | y ỡ ( í i ) | F n [ í i ; t i + i ) - F ị í t ; í i + 1 ) | | 1=0

= 2 (C + l )e .

Vì e > 0 n h ò tuy ý, n ê n

l i m / g(x)Fn(dx)= Ị g{x)F{dx). •

177

Nhận xét.

1) Đ ị nh lý 5.2.6 v ẫ n đ ú n g n ế u thay R b ở i Rd v ớ i cách chứng m i n h

gần n h ư k h ô n g thay đ ổ i .

2) Ta t h ấ y các mệnh đ ề sau t ư ơ n g đ ư c m g :

(A) P n ^ P ; (B) P n - P ; (C) F n ^ F ;

( D ) F n A F .

T h ậ t vậy :

(.4) (C) ( c ù n g m ộ t nghĩa).

(Ả) & ( B ) ( Đ ị n h lý 5.6).

(B) ( D ) vì n ế u X e C*(F) th ì P { a ( - o o ; x ) } = 0 nên

Fn(x) -> F ( x ) ;

( D ) => ( 4 ) ( đ ị n h lý 5.2.6).

3) N ế u F liên tục th ì F n F « sup | F n ( x ) - F ( i ) | - » 0. ì

T h ậ t vậy, n ế u

s u p | F n ( x ) - F(x)\ -> 0 th ì F ( - o o ) = 0, F ( + o o ) = Ì

n ê n F là h à m p h â n phố i v à Fn A F => Fn —• F.

N g ư ợ c l ạ i , g i ả s ư F n A F. K h i đ ó Fn(x) - » F ( x ) vó i m ờ i

X € R.

Do F liên tục đ ề u t r ê n [o; b\ (ờ đ â y ịa; 6] đ ư ợ c chờn sao cho

v ớ i f > 0 đ ã cho ta có F(a) < e, Ì — F(6) < e), nên có ố = (5(e) > 0

Set. jho

\F(x) - F(y)\ < F- v ớ i X, y € Ịa; 6], |x - y\ < ố.

Chia I a; ỉ>| t h à n h c á c đ o ạ n b ờ i các đ i ể m chia

a = ao < a i < • • • < a m = b

178

sao cho max | a fc + i — dfcl < ố. T ồ n tai số no sao cho k

max \Fn(ak) — F(ak)ị < e v ớ i n > TI , ( ) . fc

K h i đ ó , n ế u X < ao th ì

|Fn (x ) - F(x)\ < Fn(a0) + F(ao) < 2e, n > 77.,,.

N ế u X >b th ì

| J F n ( x ) - F ( x ) | < | l - F n ( x ) H \l-F(x)\

<ĩ — Fn(b) + 1 — F(b) < 2f., ri > 7*0.

N ế u ì € ị a fc ,a j t + i ) th ì v ớ i n > T?o

\Fn(x) - F(x)\ = \Fn(x) - Fn(ak) + F n ( a , ) - F(ak) + F ( o , ) - F ( : f ) |

< F n ( a f c + i ) - F „ ( a * ) + \Fn(ak) - F(ak)\ ị \F(uk) - FL

< F ( a k + l ) - F(ak) + 4e < 5e.

T ó m l ạ i s u p \ F n ( x ) — F ( x ) | + < 5e, n > no- •

5.3 Compact tương đối

N h ư đ ã b i ế t , d ã y h à m p h â n phố i (Fn) đ ư ợ c xác đ ị n h b ờ i

0 vớ i X < n

Ì vớ i X > Tí Fn(x)

hôi t u v à

F n ( i ) -> F ( x ) = 0, Va; 6 R.

H à n i g i ớ i h ạ n F ( x ) = 0 k h ô n g p h ả i là h à m p h â n p h ố i . N h ư v ậ y

cần p h ả i đ ặ t t h ê m những đ i ề u k i ệ n phụ đ ể t ừ m t d ã y h à m p h â n

179

phối hay tổng quát hơn tìr một họ các phân phối xác suất có thể rút. ra một dãy con hội tụ yếu. Điều đó dẫn đến định nghĩa sau.

5.3. Ì Đinh nghĩa. Một họ các độ đo xác suất {P a , a e M} gọi là compact tie ưng đổi nếu tủ một dãy bất kỳ (P a )n của họ đó luôn luôn có thề trích ra một dãy con hội tụ yếu.

Tính compact tương đ ố i của một họ xác suất liên quan với t ính chất. t rù mật theo định nghĩa sau.

5.3.2 Tính trù mát. Họ các độ đo xác suất {Pa,cv e M} xác định trên không gian metric đo đĩtợc (S,B(S)) được gọi là trù mật nêu với mỗi e > 0 đầu tồn tại tập compact K c s sao cho

supFa(S\K) < £ . (5.10) a

Họ các hàm phân phối { F Q , a e M) xác định trên Rđ đuơc gọi là trù mật nếu họ các độ đo xác suất. tương úng là trù mật.

Kết quả sau chì rõ mối liên hệ giữa hai khái niệm được nêu ả trên.

5.3.3 Dinh lý Prokhorov. Giừ sử s là không gian metric kha ly, đầy đủ. Khi đó, một họ các độ đo xác suất trên (S,B(S)) là compact, tương đối khi và chỉ khi nó trù mật.

Ta sẽ chng minh định lý trong trường hợp s = Rd. Trong chng minh ta cần kết quả sau.

5.3.4 Định lý Helly. Từ một dãy hàm phân phối bất kỳ (Fn) trong Rd, có thể rái được ra một dãy con (Fnk) hội tụ đến một

180

hàm F nào đó tại những điểm thuộc C(F), đong thời F là hàm đơn điệu không giảm, liên tục trái và

A ^ A £ 2 . . . A ^ F ( x ) > 0, xeRd,huh2,... ,h.d>ũ. (5.11)

Chúng minh. Lấy tập D = { x i , X 2 , . . . } c R d gồm tấ t cả các đ iểm TTỈ

Xfr mà các toa độ của chúng có dạng ± j - , m , p là các. số nguyên.

Rõ ràng D t rù mật khắp nơi trong R d .

Dãy số (Fn(xi))n bị chặn trong R nên có một, dãy con Fin(xi) hội tụ đến một số được ký hiệu là F(x\). Dãy số (f\n(x2))n cũng

bị chặn nên có một dãy con (F2n(x2)) hội tụ đến một số được ký hiệu là F{x2)- Như vậy

Fỉn{x\) -* F(xi) F2n(xi) ^> F{xị), í = 1,2.

Tiếp tục quá t r ình đó ta được các dãy (Fkn)n, (k = li 2, ...) sao cho {Fkn)n c ( F f c _ l n ) n , Ắc > Ì và lim Fkn(xi) = F(xi),i = l , . . . , fc .

n—t + oo

Xét dãy đư ỉng chéo ( F n n ) n . Với xk € D bất kỳ chỉ có fc — Ì

phần tử đầu tiên của dãy số ( F n n ( x f c ) ) n có thể không thuộc dãy

{Fkn(xk))n- Do đó

.lim Fnn(xk) F(xk). ri —»00

Hàm F mới chỉ được cho trên D có các tính chất đơn điệu táng,

nhận giá trị trong [0; l ị và

A ^ A Í ? . . . A ^ F ( x ) > 0, xeD,

h = (hy, h 2 , . . . , M <E D, /la, • • • • hd > 0.

181

Thác t r iển liên tục trái hàm F t ừ D lên toàn bộ Rđ:

F(x) = lim F(y). y€D,yĩx

Áp dụng đ ịnh lý 5.2.6 (mà nó còn đúng trên R d ) ta có -

Fnn{x) -» F ( x ) , X € C(F).

Hiển-nhiên, hàm F là đơn diệu tăng, liên tục trái và thoa mãn (5.11).D Chúng minh định lý 5.3.3. Xét s = Rd và thay cho P a ta xét hàm phân phối Fa(x) = Fa(—00; x).

Diêu kiện cần. Giả sử họ { P a , a € M } compact tương đ ố i nhưng tồn t ạ i £ > 0 sao cho với mọi tập compact K cRd

supỸa{Rd\K) > e. ót

T ừ đó suy ra với mọi tập mờ dạng (a; 6) c K r f ta cũng có

s u p P Q ( R d \ ( a ; ò ) ) > £. a

T ừ bất dợng thức này rút ra rợng với mỗi khoảng

In (—n,n) = ( - T ỉ , í?) X ( - 7 í , n ) X . . . X (—n, Tí) > J

d tìm được an € M sao cho

P „ „ ( R d \ / n ) > £ , n > l .

T ừ giả th iế t về tính compact tương đ ố i của họ ( P a ) , suy ra tồn tạ i dãy con (P„ ) sao cho P a ? > p, trong đó p là độ đo xác

182

suất n à o đó.. Vì R d \ / m là t ậ p đ ó n g , n ê n ( đ ị n h lý 5.2.5)

a m : = ỉ m * (R<Vm) < P (R d \ /m) , (fi .12) k *

n h ư n g k h i m t oo, P ( R d \ / m ) ị 0, còn a m > e v ớ i m ọ i ni. T h ậ t vạy.

v ớ i nk > m, Fnrik { R d \ I m ) > P a „ f c ( R d \ I n J . T ừ đ ó suy ra « m > E.

N h ư vậy, n ế u cho m —> oo thì

£ < ĩ ĩ m a m < l i r a P ( R d \ 7 m ) = 0.

m m

M â u t h u ẫ n đ ó đ ã chứng m i n h đ i ề u k i ệ n cần .

Điêu kiện đủ. G i ả sử h ọ (Ỹrt)a E M) là h ọ t r ù mạt, và (P,; ỉ n )

là d ã y con v ớ i d ã y h à m p h â n phố i t ư a n g ứ n g là (Frỵ I). Theo đ ị n h

lý Helly, có m ộ t d ã y con, ký h i ệ u là ( F 7 , ) v à h à m F. sao cho

F 7 „ ( x ) -> F ( x ) , X e C(F).

T ừ b ấ t đ ờ n g thức (5.10) suy ra có m ộ t h ì n h hộp |o;6) sao cho

F ịa ; ò) > Ì — e (e là số d ư ơ n g đ ã cho). K h i đ ó v ớ i X > b.

F(x) > F(a; b) > Ì - £.

Vì s > 0 nhỏ tuy ý nén l im F(x) -• 1.

T ư ơ n g t ự ta cũng chứng m i n h đ i r ạ c r ờ n g

F(x) —> ũ k h i m i n ( x i , . . . , X á ) —» —oe.

Theo nhận xé t sau đ ị n h lý 5.2.6, ta có

F 7 „ ^ F hay P 7 n p .

ờ đây , p là đ ộ đ o sinh b ờ i F. •

183

Bài t á p

1. G i ả sử Ẩn í* X, Yn ^ Y. C h i í n g minh r ằ n g X Y(li.r.c).

ỉ? 2. C i a s ư x„ —* X. )',, t )'. C h ứ n g m i n h r ằ n g

a) nXn ị bYn -1* ti X ị !>Y;u,b e R.

b) XnYn -+ X.Y. 3. G i ả sử (X„) là d ã y b.n.n. sao cho Ỹ\\Xn\ > c > OỊ > ố v ớ i

n — 1 , 2 . . . . , {(In) là d ã y số .sao cho a „ X n —> 0. Chứng m i n h r ằ n g

a n - > 0 .

4. C h ứ n g m i n h r ằ n g d ã y ( X n ) hộ i t ụ theo x á c suất đ ế n X k h i v à

chi k h i m ọ i d ã y con (vY n (J đ ề u chứa m ộ t d ã y con khác h ộ i t ụ h.c.c

đ ế n X.

5. C h ứ n g m i n h rằng , d ã y ( X n ) hộ i t ụ theo xác suất đ ế n b .n .n X

r ú n ) đ ó kh i v à chi k h i v ớ i m ọ i f. > 0, t ồ n t ạ i no sao cho v ớ i T í , ra > no

F(\xn - xm\ > f.) < t.

IP

6. G i ả sử x n —+ a và / . l à h à m Borel có đ ạ o h à m t ạ i X - a. C h ứ n g

m i n h r ằ n g

f ( X n ) -= f(a) + f'(a)(X„ - a) + ( X n - a)Ynvk Yn £ 0.

7. G i ả sử ( X n ) là d ã y b.n.n v à t ồ n t ạ i b .n .n X c ù n g v ớ i m ộ t d ã y

số n g u y ê n d ư ơ n g (rik)k>l sao cho

ị Xn, -» X h.c.c

Ị max \xm — Xnk_1 ị h^ 0, /c —> oo

C h ứ n g m i n h r ằ n g X n —> X h.c.c.

184

8. G i ả s ử

X m n —* X m h.c.c k h i lĩ —> oo v à

X m —•» X h.c.c k h i TÍT —+ oo.

C h ứ n g m i n h r ằ n g t ồ n t ạ i ha i d ã y con (w ỉ . f c ) f c > 1 , ( í i * ) f c > i s a o cho

Xmk nk —* X h.c.c k h i /c —» oo.

9. G i ả sử ( P n ) là d ã y c á c p h â n p h ố i x á c suấ t t r ê n (R, # ( R ) ) , đồn;

t h ờ i p ( { a ; n } ) = 1, 71 > 1. C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u Pn ^ p t h ì

x „ —• X 6 R n à o đ ó v à p ( { x } ) = 1. N g ư ợ c l ạ i cũng đ ú n g .

10. G i ả s ư p , Fi, P2) • • • l à d ã y c á c đ ộ đ o x á c suấ t t ậ p t r u n g t r ê n tả]

số n g u y ê n . C h ứ n g m i n h r ằ n g P n p k h i v à chỉ k h i Fn(k) —> Ỹ(k

v ớ i m ọ i số n g u y ê n k.

11. C h ứ n g m i n h r ằ n g Fn F k h i v à chỉ k h i

l i m sup Fn(x + 0) < F ( x + 0) V x e R n

l i m i n f Fn(x) > F ( x ) V i € R n

12. G i ả sử p h â n p h ố i đ ồ n g t h ờ i của x n , Y n h ộ i t y ế u đ ế n pha

phố i của (X, Y).Chứng m i n h r ằ n g

xn + r n - Ì X 4 y.

13. G i ả s ư A n - i X . C ó đ ú n g k h ô n g k h ẳ n g đ ị n h

xn-x±0. d p

14. C h ứ n g ra i n h r ằ n g n ế u x n A X , Y n A 0 t h ì

b) x n y n -?» 0.

185

15. Giả sử / ( x ) là hàm Borel có đạo hàm tại X = 0. Chứng minh rằng, nếu XnYn --> Y, Yn —> 0,thì

X n [ f ( Y n ) - f ( 0 ) ) Á f ' ( 0 ) Y .

16. Giả sử x„ 4 X, D(Xn) -» < 00. Chứng núng rằng

E X n -» EX.

17. Giả sử X n - Ì X. Chứng minh rằng

D J < liminf D I n , n

E|X| < l i m i n f E | X n | . n

18. Giả sù xn Ẩ X v à s u P E | X | r < 00, (r > Onàođó). Chứng n

minh rằng E\xn\s -» E |X | s , ( 0 < s < r ) .

19. Giả sử x n ^ X. Khi đó

a) nếu limsupE|X„| < E\x\ th\E\Xn - x\ -» 0; TI

b) nếu l imsupE|X n |2 < E | X | 2 thì E | X n - x\

2 -> 0. TI

20. Giả sử (An), (Yn) là hai dãy b.n.n sao cho oo

£p( |x n -y n | > e ) <00 . n=l

Chứng minh rằng từ xn

h ^ c a suy ra Yn -^»c a. 21. Giả sử ( In ) là dãy b.n.n , là dãy b.n.n nhận giá trị nguyên dương, 7n độc lập với (Xk)k>i với mỗi n. Chứng minh rằng

a) nếu 7n oo và Xn —* x,thì X l n —> X,

b) nếu 7„ -í* oe và Xn - i X, thì X 7 „ —» -X.

186

2 2 . G i ả sử X, Ăn, Ki, n > Ì là các b.n.n, Xu —* X, v à

F(\Xn — Yn\ < f . n | X n | ) — l , n > Ì đ ố i v á i m ộ t d ã y các b.n.n (e.n) Ì 5 l i

n à o đ ó m à e n A 0. C h ứ n g m i n h r ằ n g v„ A X .

2 3 . G i ả sử (Fn) là d ã y h à m p h â n p h ố i v à F „ F . C h ứ n g m i n h

r ằ n g t ồ n t ạ i k h ô n g gian x á c suấ t ( f ĩ , T. Ỹ) v à c á c b .n .n X. Xn . r? > Ì

t r ê n d ó sao cho, F, F n , ri > Ì là các h à m p h â n p h ố i t ư a n g ứ n g và

Ẩn - * X(h.c.c).

2 4 . G i ả sử T> là t ậ p các h à m p h à n p h ố i t r ê n R. Đ ố i v ớ i F,G E V

t a đ ặ t

d (F , G) = i n f { c > 0; F(x - f.) - f. < G(x) < F(x + f.) 4 f., X e R}.

•À) Xác đ ị n h rf(F, F n ) ở đ â y F là h à m p h â n p h ố i đ ề u t r ẽ n [0; 1]

còn F„ là h à m p h â n phố i có dạng bậc thang sao cho

F n ( - + 0 ) - F n ( - ) = - i T . 77 77. Vi + Ì

b) C h ứ n g m i n h r ằ n g rỉ là khoảng cách t rong V. sự hộ i t ụ theo

met r i c r/ cũng là hộ i t ụ theo p h â n p h ố i , và k h ô n g ọọÌHII (ĩ>. í / ) là

met r ic đ ầ y đ ủ .

25 . C h ứ n g m inh r ằ n g v ớ i m ọ i d ã y b .n .n (x„) đêu t ồ n t ạ i d ã y h ằ n g

số (An) sao cho X n / A n —> 0 /ì .c.r .

2 6 . C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u Ấn —» AT h.c.c t r ê n b i ế n cổ A th ì vớ i

f. > 0 t ồ n t ạ i b i ế n cố B c A P(i4 \ B ) < £ sao cho ( X „ ) hộ i t ụ đêu

đ ế n X t rên B . ( Đảy là đ ị n h lý Egorov).

187

C h ư ơ n g 6

H À M ĐẶC T R Ư N G

Hàn) đặc t rưng (phép biến đố i Fourier của hàm phân phối) là một còng cụ giải tích rấ t quan trọng để nghiên cứu các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất (Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tám). Chương này t r ình bày một số tính chất, cơ bản của hàm đặc trưng, các mối quan hệ khăng khít giửa hàm phân phối và hàm dặc trưng: công thức ngược (hay quan hệ duy nhất), quan hệ liên tục. Phản phối chuẩn nhiều chiều cũng được đề cập khá chi t i ế t .

6.1 Đinh nghĩa và các t ính chất của h à m đác t r ư n g

Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên thực xác định trên (Í2, F.P). Khi đó , X + iY ( i-đơn vị ảo) là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị t rên mặt phang phức. Ta định nghĩa

E(X 4 iY) =•- EA' f ÌEY

nếu EX và EiY xác đ ịnh . Dễ dàng thấy rang hai biến ngẫu nhiên Xi + ị Y] và X-2 I > Y-i

dộc lập khi và chì khi ơ(X] .. Y\) và ơ(X<2, Y'ỉ) dộc lá}) .

6.1.1 Đinh nghĩa. Hàm sổ

(fx(t) := Ee"-Y = Ecos tx + iEsin tx, í € R (6.1)

được gọi là hàm đặc trung của biến ngẫu nhiên X.

188

Dễ thấy rằng, nếu Fx (x) là hàm phản phối của biến ngai;

nhiên X thì

<px(t)= í eừxdFỵ(x), teR (6.2;

Nếu X có mật độ f ( x ) thì

- <Px(t) = / eỉtxf{x)dx. (6.3;

Giả sử a; = ( x i , . . . , x n ) , y = (vi,.. •,Un) £ R n - Tích vò hưáii|Ị của X và ỉ/ được cho bời

(x, 2/) := Xxy! + rr2j/2 + • • • + x n y n .

6.1.2 Dinh nghĩa. Già sủ X = (Xi,.... x n ) là véc tơ ngẫu nhiéi nhận giá trị trong R n . Hàm đặc trĩtng cùa X là hàm số

ự>x(t) - Ee l ( ' " Y í = / el^'x)dFx(x), ỉ e R". Jũ

Ta xét vài ví dụ cụ thể .

Ví dụ í. Giả sử X ~ B(n,jj) (tức là X có phân phối nh thức). Tí có

n n

VA" (í) = £ e " * C * p V - * - E C n ( p e ư ) v ~ * - (pe" t ọ ) " . /r=0 fc = 0

Ví dụ 2. Nếu X có phân phối Poisson với tham số A > 0 thì

*•-() ' *•=(>

Ví dụ 3. G i ả sử X có p h â n p h ố i chuẩn Aí(0,1). K h i đ ó

ì í 0 0

<p(t) = 4= / e i t e - * * a d x VZ7T J - o e

Lấy đ ạ o h à m theo í

Ì ý 4 0 0 - 4= / V27T J - o o

i x e , t x - ị x 2

d x

V^TT ' ~ V27T

= -MO-

Níhư vậy, </j'(í) = - íy>( í ) . T ừ đ ó

<p(t) = Ce-£.

N h ư n g ífi(0) = Ì n ê n c - Ì và do đ ó

*>(t) = e - ^

Nỉếu yY có p h â n phố i A/"(a. ( 7 2 ) t h ì

/

+ O C

1

•co e"*-** dx

ỵ X = ơ—— + a = ơY + a v ớ i V ~ ^ ( 0 , 1 ;

Vậy

itx TỊ? UơY + ito <px(t) = Eeltx = Ee

= eita.<fY((Tt) = é

6.2 M ó t s ố t í n h c h ấ t c ủ a h à m đ á c t r ư n g

G i ả sử X có h à m p h â n p h ố i F v à ip(t) là h à m đặc t r ư n g

nó. K h i đ ó

190

(a) M O I < ^ ( 0 ) = Ì , \<p(t + h ) - <p(t)\ < 2y/(ĩ-ĩieự>(h))

t rong đ ó R.ez là p h ầ n thực của 2 ,

(b) ip{t) liên tục đ ề u t r ê n R,

(c) *>(- í ) =

(d) i/?(í) là h à m thực k h i và chì kh i X có p h ả n p h ố i đ ố i x ứ n g

nghĩa là X v à —X c ù n g p h á n phố i hay t ư ơ n g đ ư o m g Ỹỵ(B) -

Ỹỵ(-B). vse6(R); (e) n ế u X và Y độc lập thì

ipx + Y{t) ỳ.\ '(0-ýr(0. teR,

do đó , nếu Xi... ., x„ độc lập thì

Tì.

T{X: Y„,(0 n / e R ' fc=1

(g) n ế u E | ^Y | n < 00 v ớ i Tỉ > Ì n à o đ ó t h ì if>{t) có đ ạ o h à m đế ]

cấp n t ạ i m ọ i đ i ể m v à

sp^Ht) ----- / ( i z ) * f c i t x d F ( x ) =- i * E ( , Y V , A ' ) .

r

/r~-:()

t rong đ ó . | o n ( í ) | < 2 E Ị X n | , a T , ( í ) -» 0 k h i í — 0.

Đảo l ạ i , n ế u <p( 2 m ) (0 ) t n t ạ i và h ữ u h ạ n th ì E X 2 í " < oe.

đ á y 70 là số n g u y ê n d ư ơ n g n à o d ó .

tín

Chúng minh.

(a) \<p(t O ) - <p(t)\ = | E e " A ' ( e l h - Y - 1)1 < E\eihX - l ị

= v ^ E í l - c o s / i X ) = v/2(l - M<p(h)).

N h ư n g |1 - ? M / i ) | = E ( l - c o s / i X ) - » 0 vì ( ] - c o s / i X ) - * 0 kh i

/? —>( ) . ( Ì — cos /?YY) < 2 v à đ ị n h lý Lebesgue về hộ i t ụ bị chặn. T ừ

đ ó suy ra (b) . (c) là h i ể n n h i ê n .

(d) N ế u X có phản p h ố i đ ố i x ứ n g th ì

í sin txdF(x) = 0,

nên

tp(t) = Ị castxdF(x) £ R.

(e) N ế u vY v à Y dộc l ập th ì e i í A và e a v cũng độc l ặp . T ừ đ ó

V?A -+ r (0 E<:MXịY) = E e i í A " . E e " v = * . Y ( Í ) - * V Ơ ) -

(g) T ừ E\xn\ < o i suy ra E\xk\ < 00, VẢ; - Ì , T ỉ . Do d ó ,

sup / | z x e l t x | d F ( z ) < / |x|dF(a;) < 00.

Theo đ ị nh lý Lebẹsgue về h ộ i t ụ bị chặn, có t h ể l ấ y đ ạ o h à m d ư ớ i

d ấ u tích p h â n . Suy ra

tp'(t) = ĩ ị xettxdF(x),

ip'(Q) - iEX.

B ằ n g quy nạp, ta chứng m i n h đ ư c r ằ n g if k h ả v i đ ế n cấp -ti: M ặ t

k h á c

\ z — ' A:! n!

192

= y {-^EXk + ^ p ( E X " + a n (0)

ờ đây |ớ| < Ì, an(t) = E\xn(emx - 1)1 và \an(t)\ < 2E\Xn\. Sù dụng định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn, ta suy ra rằng an(t) —• 0 khi t —> 0. Để chứng minh điều ngược lạ i , ta dùng quy nạp. V ớ i m = l , già sử ip"(0) tồn t ạ i , hữu hạn. Ta có

„ m ^ 2 ^ 0 ) + ^ - * ) v n-To

/eihX _2 + e - i h X

= lim E 7^

. Ì — COS hX -2 l im E

h-»0 h2

Theo bô' đề Fatou,

E X 2 = 2E lim - T P < 2 lim E ~ = -ự>"(0) < +oo.

G i ả sử mệnh đề đúng với m, và ^ ( 2 m + 2 ) (0) tồn t ạ i , hữu hạn. Khi đó (p(2m\t) tồn tạ i và liên tục trong một lân c n của t = 0 và

( - l ) m Ị x2mdF(x) = <p2m (0).

Nếu / R x2mdF{x) = ũ thì / H x2m+2dF{x) = 0. V y ta có thể gií th iế t

0 < / x2mdF(x) < 0 0 .

Đặ t

G(x) = f y2mdF(y). J — co

L03

Khi d ó

ự>&m\t)= í (ix)2meltxdF(x) = ( - l ) m / x2mettxdF(x) R

' Ta chú ý rằng

( - l ) V 2 m ) ( í ) „ / + 0 \ t t x , G(x) ìí>(í) : = i — ' V = / e t t x d G(+oo) J _ x G(+oo)

C(x) là hàm dác t rưng của phân phối xác suất —- -. Theo giả th iết ,

G{+oo) . -ự''2 >(0) tồn t ạ i hữu hạn nên

/ R ơ ( + Oo)

và / H j : 2 m + 2 d F ( x ) = / H x2dG(x) <oo. •

6.3 C ô n g t h ứ c n g ư ơ c

Ta đ ã biết , mỗ i biến ngẫu nhiên đều có một hàm đác t rưng hoàn toàn xác đ ịnh. Trong mục này, ta sẽ khẳng định rằng mỗi hàm đ c t rưng xác định duy nhất một hàm phân phối tương ứng.

6.3.1 Công thức nqươc. Giả sử F là hàm phân phối và if là hàm đặc tncng của biến ngẫu nhiên X. Lúc đó ,

ỉa) Nếu dvy € C(F) thì

1 [ (,-itx _ e-ity 2 „ /'(;,) - F(x) = f - lim / e ự>(t)e-' * át; (6.4)

(b) Nêu ngoài ra ip(t)/t khả tích trên phần bù của một. lân cận nào đó của 0 thì

ì ĩ e~ltx

— e.~iịy

F(y) - F(x) = - ỉ - / — <p(1)dt; (6.5) 2TT J r it

194

(c) Nếu Ju \<p(t)\dt < oe thì Xeo mật độ f ( x ) và

f ( x ) = Ị - ỉ e-itx<p(t)dt. (6.6)

Chứng minh.

(c) N ế u (fi(t) k h ả t í ch th ì (6.6) c h í n h là p h é p b i ế n đ ố i Fouriei

n g ư ợ c . Đ i ề u n à y là k ế t q u ả quen b i ế t t rong g i ả i tích Fourier.

(a) G i ả sử Y là b i ế n ngẫu n h i ê n có p h á n phố i chuẩn Ai {ũ. lơ2'

và Y đ ư ợ c chọn, sao cho X và Y độc l ậ p . K h i đ ó

Vx+vự) = <p(t)e-ơit*.

R õ r à n g ipx+Y(t) k h ả t ích . T ừ đó , X f Y có m ậ t đ ộ là

y(u) = -Ị- í e - l t X í ) e - ơ V ' á t . (6.7 2TT .. „

L ấ y t í ch p h â n hai v ế v à d ù n g đ ị n h lý Fub in i , ta có

Fỵ+y(y) - Fỵ+Y(x) = í g(u)du ---= J X

(6.8

Thay r b ờ i ỵ n t rong đ ó r n ~ A f ( 0 , 2 ơ £ ) , ơ„ -> 0. Lúc đ ó Y„ ^ (

v à do đ ó

F\+Yn ~* ^ •

Vì vậy, n ế u X, y € C(F) t h ì

- F(x) = lim \Fx + Y J y ) - Fỵ + Yn(x)}. TI—•oe

T ừ đ ó v à (6.8), ta có (6.4).

195

(b) Nếu <p(t)/t khả tích bên ngoài lân cận nào đó của 0 thì hàm

e—itx _ ( - l i u

-<p(t) ít khả tích trên R. Điều đó cùng với định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn. có thể chuyển giới hạn trong (6.4) vào trong dấn tích phản và do đó ta nhận được (6.5). •

Nhận xét Trong chứng minh (6.4) ta đã sử dụng nhân tử khả tích.

Tuy vậy, có thể chứng minh rằng (6.4) tương đương với công thức

sau:

F(y) - F(x) --: lim ị - ị ~ <p{t)dt

với X, y € C(F).

Hê quả 1: tính duy nhất. Hàm đặc trưng cùa biến ngẫu nhiên xác định hàm phân phối của nó một cách đơn trị.

Chứng minh. T ừ (6.4), íp(t) xác định duy nhất F(y) — F(x) với x. y e C(F). Cho X —> —oe nhưng v n thuộc C(F) . ta nhận được F(y) T t i ộ t cách đơn trị. •

Hê quả 2. Giả sứ X = ( X ị x n ) i ự>x! f X i ự > x là các

hàm đặc trung của X, Xi...., Xn tương úng. Khi đó, điêu kiện cần và đù để Xi,..., Xn độc lập là

xít: /„) - Ị ị v x M ) , (h i n ) 6 R " . (*) A—-Ì

Chúng minh. Kí hiệu F = Fỵ, Q F\ X F2 X . . . X Fn trong đ ó Fk là hàm phân phối của Xi;.

196

Nếu Xi,..., x n độc lập thì (*) đúng. Đảo lạ i . nếu có (*) thì

do vế trái là hàm đặc t rưng tương ứng với F, còn vế phải tương ứng với Q và do hàm đặc t rưng xác định hàm phân phối tương ứng một cách đem trị nên F = Q nghĩa là X i , . . . , x n độc lập.

6.4 Đinh lý về tính chất liên túc

Giả sử (ụ>n) là dãy hàm đặc t rưng , ( F n ) là dãy hàm phản phối tương ứng. Một vấn đề nảy ra là nếu (fn(t) —> ụ>(t),t € R thì ip có

phải là hàm đặc t rưng không. Đồng thời nếu ip là hàm đặc trưng thì dãy (Fn) có hội tụ yếu không .

K ế t quả sau sẽ trả lời vấn đề đặ t ra.

6.4.1 Đinh lý. Giả sử (Fn) là dãy hàm phân phối xác suất vớ; ((fn) là dãy hàm đác trưng tuông úng;

<Pn(t) = Í eitxdFn{x), 71 = 1,2,...

í ) Nếu Fn A" F (F là hàm phẫn phối xác suất nào đó ) tít ((fin) hội tụ đến hàm đặc trưng <p tương ứng với hàm phân phối F

nghĩa là

¥>«(*) - <p(t) = Í eitxdF(x), í € R (6.9; Ju

2) Giả sử <Pn(t) —> <p(t),t € R . Khi đó các mệnh đề sau tươm đu ang

(a) ip(t) là hàm đặc trung, và Fn ^> F, F úng với íp. (b) ip(t) liên tục tại t=0, (c) dãy (P n ) trù mật, ờ đây Ỹ n là độ đo xác suất sinh bài

Fn, n = 1,2,...

Chứng minh. 1) Suy ra từ sự hội tụ yếu Fn ^ F.

197

Thực vậy , vì Fn —> F nên với mọi hàm g € Cb(R) (tập tấ t cả các hàm liên túc và bi chăn trên R) ta đều có

/ g(x)Fn(dx) -> / g(x)F(dx).

T ừ đó , nếu lấy y(x) = e i t x thì ta nhận được (6.7). 2) Rõ ràng (à) => (6). Để chứng minh (b) => (c) ta cần đến kế t

quả sau .

BỔ đề. Giả sử F là hàm phân phối và if là hàm đặc trưng tương ứng. Khi đó

í dF(x)<- í [Ì -<p(t)\dt,a > 0 (6.10) Jịxị>ị a J - a

Chứng minh. v ế phải của (6.10) bằng

ì f+a /- + 0O 1 r+oo pa

L ị / (Ì - eitx)F(dx)dt = - / / (Ì - eUx)dtF(dx) a j _ a (IJ-OO J - a

/

+ o c s i n ax. , _ , . (Ì - ——)dF(x).

ax

Vậy

ị f l i - <p(t)\dt = 2 / + 0 0 | 1 - ^ ĩ ] d F ( x )

a 7-a J-OC a x

y w > 2 ax

> 2 / (Ì - 7^-7 w * ) > / d F ( x ) -

7 |x|>2 M 7 | « | > Ỉ

BỔ đề được chứng minh.

198

Bây g i ờ ta chứng m i n h (6) => (c). Sử d ụ n g (6.10). t a có

l im sup / dFn{x) < l im sup - Ị \\ - ípn(t)\dt n J\x\>2/a n 0 J-a

= - Ị \ \ - f { t ) \ d t . (6.11) a J-a

Vì ip liên tục t ạ i t = 0 v à ự>(0) = Ì n ên vế p h ả i của (6.11) có t h ể làn;

n h ò tuy ý, m i ễ n là ã đ ư ợ c chọn đ ủ n h ò . N h ư vậy, v ớ i e. > 0 đ ã cho.

t ì m đ ư ợ c o e sao cho

/ dFn{x) < 6 v ớ i n — Ì , 2 , . . .

Nghĩa là ( P n ) t r ù m ậ t .

(c) (a) . G i ả sử ( P n ) là h ọ t r ù m ậ t các đ ộ đ o x á c suấ t . Thee

đ ị n h lý Prokhorov, ( P n ) là compact t ư ơ n g đ i . Do đ ó . t ồ n t ạ i d ã j

con {TÌ!) c (rì) và đ ộ đ o x á c suất p sao cho

Ta chứng m i n h r ằ n g p „ —» p .

G i ả sư, ngược l ạ i P n -i*> p . Lúc đ ó . t ồ n t ạ i h à m ợ e 6fe(R) sac

cho

/ g(x)Fn(dx) -» Ị g(x)¥(dx).

D o đ ó , t ồ n t ạ i e > 0 và m ộ t d ã y (ri") c (lì) sao cho

I / g(x)Vn"(dx) - ỉ y(j-)Ỹ(dx)\ > f , Va"

L ạ i do (P„'<) compact t ư ơ n g đ i liên tồn t ạ i d ã y con ( P „ . ) và đ ộ đe

x á c suất Q sao cho p „ . 2* Q, Q / p và vì l im <£»(/) - f (0- ' € n

199

nen

Do đó

•lim í eltxFn, (dx) = lim í étxỸn.{dx).

/ e " x P(d i ) = / etlxQ(dx), teR

Nhưng hàm đặc t rưng xác định hàm phân phối một-cách đơn trị, vì vậy p •-= Q. Mâu thuẫn đó chứng tỏ rằng p n Á p . •

Dưới đây là một áp dụng của phương pháp hàm đặc t rưng vào luật số lớn.

6.4.2 Luât số lớn. Giả sứ (Xk) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với kỳ vọng chung là a hữu hạn. Khi đó

Xi + X'2 + • • • + x n p : -> a.

n

Chúng minh. Đặt s n = X\ + x% + • • • + Xu và tp là hàm đặc t r ư n g của X]. Khi đó

<psn/n(t) = ự>s„(t/n) = [<p(t/n)\n.

Theo 6.2. , , , Ha t ,t. At ri) - - 1 4 ^ +

ri TI n trong đó rịt) -> 0 khi t -> 0. Do đó,

^., n / í ,(0 = |1 Ị — ị - . r . ( - ) | n - e ỉ í a khi n - 00. TI ri n

200

C h ú ý r ằ n g e l t a là h à m đặc t r ư n g đ ì a b i ế n n g ẫ u n h i ê n X = a v ớ

h à m p h â n phố i Fa(x) :

Fa(x) 0, X < a

Ì , X > rt,

và X = a là điểm gián đoạn duy nhất. TÍT đó và định lý 6.2. ta re v ớ i m ọ i e > 0

9 _ 5 _ ố' P Ị | — - oi < ej = pịa - e < — < a + e| > ria - e/2 < — < « I f.

ri Tì lì

= F S n / n ( a + e) - F S n / n ( a - e/2) - » F a ( a + e) - F a ( a - f / 2 ) Ì

vì / „ F a v à a + e, a — e/2 € C(F). V ậ y 5'n/rí —> a. •

6.5 Đinh lý Bochner

Trong n h i ề u t r ư ờ n g hợp cần p h ả i k i ể m t ra m ẩ t h à m phức b i ế i

thực có là h à m đặc t r ư n g hay k h ô n g . M ẩ t t i êu chuẩn được n ê u dướ

đ â y thuẩc v ề Bochner.

6.5.1 Hàm xác định dương. Hàm giá trị phức g(t), t e R gọ

là xác định dương nếu với TI nguyên dương bất kỳ J\ /„ e ì

và Z\,.. . , zn 6 c bất. kỳ ta có

n

]T g ( t k - t t ) z k z ĩ > 0 . (íi.12

fe,(=i

H à m x á c đ ị n h d ư ơ n g có các t í n h chấ t sau:

(a) 9(0) > 0;

(b) g(t) = ^FÕ; (c) | f l f ( í ) l < 5 ( 0 ) ;

201

(d)Với mọi t, s € R ta có

\g(t - s)f < 2 Ổ (0) | Ỡ (0) - Ịfty(t - s)\. (6.13)

Thật vậy, (a) suy t ừ (6.12) với n = l . T ừ (6.12) suy ra

g{t)zịZÍ + g(-t)zĩz2

có giá trị thực với Zi, Z2 bất kỳ. Điều đó chỉ xảy ra khi g{—t) — g(ị). Các tính chất khác được suy tương tự.

6.5.2 Dinh lý Bochner. Điều kiện cần và đủ đề hàm g(t), t € R

là hàm đặc trưng của phân phối xác suất nào đó là hàm g(t) liên tục tại t=0, g(0)—l và xác định dương.

Chứng minh, T ừ giả thiết , g liên tục tạ i t=0 và bất đằng thễc (6.13) suy ra g liên tục đều. Do đó nếu z(t) liên tục và khả tích thì

/ ỉ g(t- s)z(t)7ự)dtds > 0 (6.14)

và hữu hạn (theo đ ịnh lý Pubini). Nếu chọn z(t) — exp{—€2t2—itx} thì ta có

1 •= Ị Ị 9(t - s ) e x p { - e 2 ( í 2 + s2) - i(t - s)x}dtds

hữu hạn và > 0. Đặt ị — s = u, t + s = V, ta có / = e~

l

y/2Tĩh(x) với

2 í ị* ù'

h(x) : = / g(u)exy>{ ^ iux}du>0.

Dễ dàng thấy rằng h.(x) khả tích trên M và

.2.,2 ỉ* Xử Ì í • <pe(u) := g(u)exp{--^-} = / eluxh(x)dx.

2 ẦTĨ J 9

202

h(.T ì

Cho li •-- 0, ta nhận đ ư ợ c f K 4p-dx 1.

N h ư vậy. có t h ể coi là h à m đặc t r ư n g của h à m phản phố:

/•', (x) n à o đ ó . Cho F. —+ 0

l i m ự)((li) -- ợ(íí) .

Theo đ ị n h lý 6.4.1 v à già t h i ế t # liên tục t ạ i 0. S U Y ra g(u) là h à n

đặc t r ư n g (ứng v ớ i h à m p h â n phố i F là g iớ i h ạ n y ế u của >f

k h i f. —> 0). Đ i ề u k i ệ n đ ủ đ ư ợ c t h i ế t l ập .

Điều k i ệ n cần là h i ể n nh iên . •

6.6 M ó t v à i n h â n x é t v ề h à m đ á c t r ư n g c ủ a p h â n p h ố

n h i ề u c h i ề u

H à m đạc t r ư n g của véc t ơ ngẫu nh iên có t ấ t cả các t í nh cha 1

( v ớ i sỗ thay đ ố i chú t ít t rong p h á t b iểu) n h ư đ ã kế ờ t r ê n đ ố

v ớ i h à m đạc t r ư n g của p h â n phố i m ộ t ch iều . Đạc b iệ t . giá SI

Xi.... . x„ là véc t ơ ngẫu nh iên sao cho v ớ i số n g u y ê n ( lươn '

ni n à o d ó . E | A \ . | m < oo.k — Ì . . . . . Tí. K h i đ ó moment hỗn h ạ ]

EX[Ji .XĨỊ'2 . . . x%" h ữ u h ạ n v ớ i m ọ i bộ đ a chi số Ị) (p\,. . . .]>.„

m à \p\ : J>\ ị ••• -{- J)n < lít. Ngoài ra. t ồ n t ạ i các d ạ o h à m ìiẽriị

liên tục

v ớ i t ấ t cả các C ấ Ị ) |p| < TO. và

' . V Ơ I ' , ) = 5] ' n i - 2^ —i — E X f > . . . . V í - f f . . . / é , " I ..( l'Hs<

ớ đày . | / | | / ) | ) ••• I ',,1 í " l i " I 0 la nhạn (burr l ừ ỗ).15):

, 9 / í t - I p . , , _ " „ ,

^ S r — ^ T f v ( / „ . . / . . » 1 . ^ n x r , ( U f i

203 6.7 P h â n p h ố i c h u ẩ n n h i ề u ch iều

6.7.1 Mật độ chuẩn. N h ư đ ã b i ế t , véc t ơ À" (A' l x„) có

p h á n p h ố i c h u ẩ n n chiều (xem ví d ụ 3.10) n ế u hầm mật đ ộ của n ó

có dang

/(•'•) = "™ 42 ^ Ị - ị Ẻ Ẻ " ' . ' ^ ' - "<>(•'•; - ".lì}--'- e R n

í*' 7 ' ^ í ì j 1 -1

(6.17)

t rong đ ó /Ì = ( a » j ) n

= 1 là m a t r ậ n đ ố i x ứ n g x á c đ ị n h d ư ơ n g . Ta xét

xem h à m đ ặ c t r ư n g của X có dạng t h ế n à o . Đ ế cho t i ệ n . ta ký h i ệu

X € R" là véc t ơ cột X = (xi,..., xnỴ. N h ư vậy a = ( a i , . . . , I í n ) '

v à A r là t í ch ha i m a t r ậ n còn t í c h ' v ô h ư ớ n g t rong R n đ ư ợ c v i ế t là

(x.y), x . y e R n .

Lúc đ ó , (0.17) có t h v i ế t n h ư sau:

/(.<•) - ^ e x p { - I ( , l ( . , - a ) . ( . , - a ) ) } . (H.18)

Vì .4 là ma t r ậ n đ ố i x ứ n g v à xác đ ị n h đ ư ơ n g nên t ồ n t ạ i nia t r ậ n

trực: chuẩn c sao cho

(ch

CÁC = D

ũ \ • dị > 0. í --- Ì ri.

V o . . . dn ỉ Đặt X — a C y , í — C á . Lúc đ ó

i(t. .r - a) - ị{A(x - o) , (./• - a)) = i (Ca , C y ) - Ì ( i 4 í V <";/)

== i (C.s) ' (Cĩ / ) - i ( , 1 C / / ) ' ( C y ) -.- - ịỉ/ƠACy

ỉ .

204

T ừ đó

<px{t)= í ( M ' - X ' f ( x ) í i x CỤ) ( f i . i a ; J Ù"

với

u,(t) = (An^Ị^l Ị en».y)-w°vdy

( 2 7 T ) n / 2 7 R "

ÍT--1 V 27T JR ^

= e x p i - ^ ' D - ^ } =.-. e x p { - ỉ S ' ( C M C ' ) " 1 * }

= e c p { - ì í M - l í } .

T ừ đó và (6.19), ta có

^A-(Í) e x p { i ( t , « ) - ị(A"]i-n Đạt .1/ A~l, ta nhận được

y j A - ( í ) = e x p { i ( í , a ) - ì ( M í , í ) } -

Như vậy, ta có kết quả sau.

6.7.2 Đinh lý. Dối với véc tơ a € R n bất kỳ và ma trận đối X-IÍTIỊ

xác định dương M cấp T ỉ tuy ý , hàm

<p{t) = exp{i( t , u) - ^ ( M / , t.)},te Rn (6.20

/à /làm độc tncng cùa phân phổi chuân Aí(u, M) với hàm. mật đi tương ứng được cho bởi (6.18), trong đó A =

205

Bây g i ờ ta h ã y g i ả i th ích ý nghĩa xác suất của p h â n phố i ( h u â n

ri chiều. G i ả s ử X — ( X i , . . . , X n ) v ớ i h à m đặc t r ư n g ự>(t) có dạng

(6.20). M = (»>,,)•• r r V

Vì

ỡln</>(0 ì dự) d2\mp ì d2ip Ì dip dip

diu {Ọ dtỵ ' di If di I if dtkdtị if'1 dtit du va

\ìì(p(t) = ĩ Ỵ ^ t k a k - ị- TTHjtitj k -. Ì

cho nên

á t * (=0

í -41

( xem r ô n g t h ứ c (6.16)).

T ừ đ ó

covựk, Xi) = EXkXi - EXkEXt ớ 2 ìn<p(t)

rít ki-

(-(] atkdti

N h ư vậy t rong (6.20)

a - (EXx.EX2,...,EXny

còn M ch ính là n ia t r ậ n covarian của X nghĩa là

M ( r o v ( , Y í . . Y ; } ) ; : ; , .

Véc t ơ X có p h â n p h ố i Af(a, M) còn đ ư ợ c gữi là véc t ơ Gauss.

6.7.3 Bảy g i ờ ta xé t còng thức (6.20) vớ i M là ma t r ậ n suy b i ến .

xác đ ịnh k h ô n g â m . L i ệ u ip{Ị) có còn là h à m đ á c t r ư n g nữa k h ô n g ?

2 0 6

Đ ế g i ả i quyế t v ấ n đ ề này, ta đặt . M, = M ị f j , e. > 0 ( ờ đ â y / 1«

m a t r ậ n đ ơ n vị cấp n).

R õ r à n g , v ớ i m ọ i X 6 R n , X ^ 0 ta có

ri

x'Mt x = X1 Mi + e ] P xl > 0.

V ậ y M f đ ố i xứng , xác đ ị n h d ư ơ n g . T ừ đ ó và đ ị n h lý 6.7.2 h à m

^ ( í ) : - e x p { z ( / , a ) - I ( M f M ) }

là h à m đặc tn rng . Đồng t h ờ i

Ì lim v>£(í) - ¥»(0 = e.xp{i(í,a) - ^ ( A R / ) }

v à y?(í) liên tục t ạ i 0. Do đ ó . theo đ ị n h lý 6.4.1. ip(t) cũng là h à n

đ ặ c t r ư n g của p h â n phố i n à o đ ó t r ê n R" . Véc t ơ X v ớ i h à m đặc

t r ư n g n h ư vảy cũng đ ư ợ c gọi là véc t ơ Gauss. C á c t ính t o á n trước

đ â y chi ra r n g

a = EX và M - (cov(Xi, Xj))'; ị Ị .

Xét ( M ụ ) - E [ E L i ( ^ A - - « A - ) Í A - ] " -• D ( A \ Í ) > ( ) .

N ế u A7 có hạng r ( r < ri) th ì có một. cách đ ổ i biốr i t h í ch hạ])

A- Ì

đ ế d ư a dạng t o à n p h ư ơ n g (MI, í) về t rục ch ính

(MM) x>*«* E

207

T ừ đó . với mỗi k > r, lấy

« w = - - ( « ị ' p , , . . . , « W )

sao cho 7 i ị Ả > - 0 với j ^ fc và = Ì, thay vào ta có

E I ỵ^íX,-,,,)( n I 0: fc = r + l L Ì - Ì

2

" n.

Như vậy

n

Ỵ^(Xj - a j ) C j k = 0; k = r + l....,n j = i

với xác suất 1. Nghĩa là X tập trung xác suất trên siêu phang /•-chiều được xác định bời Tì — r phương trình

ri

Cjk(xj - aị) = 0, fc = r + Ì , . . . , n. j = i

ổ. 7.4 Tương quan giữa các véc tơ Gauss. Giả sử X và K là hai véc tơ ngẫu nhiên Gauss với giá tri trong R" và R'" t ương ứng. Xét z là véc tơ ngẫu nhiên với giá trị trong R" + " ' có dạng

'-{ĩ Kí hiệu Mỵ. My, Mz là các ma trận covarian cùa X, Y và z tương ứng còn Mỵ.Y là nia trận covarian của X và V nghĩa là

MA- Y = E(X - EX)(Y - EY)' = EXY' - (EX)(EY)' .

Lúc đó / Mỵ Mx,Y

V M \ . y My

20*

6.7.5 Định lý. Nếu X, Y là các véc ta Gauss độc lập thì z củng là véc tơ Gauss và Mỵ Y — 0. Nguợc lại , nếu z là véc tơ Gauss và Mỵ y — 0 thì X và Y đác lặp.

Chúng minh. Giả sử u € R"\v e R m và t = (") . Khi đó nếu X và

Y độc lập thì

<Pz(t) ^x{u)ipY{v) (6.21)

l i ^ z ( í ) = exp{ỉ.(u, à) + 6) - ị(Mỵu, u) - ^ ( A f K T . í.)} (6.22)

(a EX.b EY).

tức là z có pKân phối chuẩn. Ngươc l ạ i . nếu z là véc tơ Gauss và M.X.Y — 0 thì í/?z có dạng (6.22) và do đó thoa mãn (6.21). Vậy À* và Y độc lập. •

6.7.6 Đinh lý. Giả sử Mỵ không suy biến. Lúc đó

E(Y\X == x) = EV I- My.A- Afỹ l (a : - E X ) . (6.23)

Chúng minh. Đặt c = M K X M ^ 1

Ỷ' V CA'.

Rõ ràng z là véc tơ Gaưss và

Mỹ ỵ :-- E(Y - CX)X' -= My.x - ƠM.V --- 0.

Theo định lý 6.7.5 , Y và À' độc- lập. T ừ (ló

K{Ỵ\X - x) E ( ỹ f C*X|X = x) ----- E F I 6'x

= E y - CEX I r . f EV I í •(.'• - SA').

209

B à i t á p

1. G i ả s ử X nhận giá trị - Ì và Ì v ớ i F\x = - l ị = Ỹ\x = 1| = 1/2.

T í n h h à m đặc t r ư n g .

2. G i ả sir X i , X2, • • •, x n là các b .n .n độc l ập c ù n g p h â n p h ố i :

F\Xi = - l ị = Ỹ\Xl = l i = 1/2.

Xác ( l ịnh h à m đặc t r ư n g của 5 n = ATi +-----+- x n .

3. C h ứ n g m i n h r ằng h à m đặc t r ư n g là h à m c h ă n khi v à chỉ k h i

h à m p h á n phối t ư ơ n g ứng F(x) thoa m ã n

/••(./•) Ì - F(-x 4 0 ) , x € R.

4. C h ứ n g mi n h r à n g h à m

ípị (tị = r a If COS ki

k=(ì

v à h à m

A-=l

ứ ( lây rí/, > 0, y^a* - Ì là các h à m đặc t r ư n g h ã y xác đ ị n h c á c 1

p h â n p h ố i t ư ơ n g ứng .

5. Gia sir ( v „ ( 0 ) , > 1 là d ã y h à m đặc t r ư n g v à (JJ„) là d ã y số k h ô n g

â m v ớ i Y2i>„ ' Ì- Chứng m i nh r ằ n g h à m ----- Y^Pk-Pk-Ọ) cũng

/í

là hàn) dạc trưng' .

6. G i ả sử p ( t , a ) . ỉ . n 6 R thoa m ã n các đ i ề u k i ện :

a) v ớ i m ỗ i (í cố đ ịnh . ự>(., à) là h à m đặc t r ư n g ,

b) v ớ i m ỗ i / cố đ ịnh , ự)(t, .)là đ o đ ư ợ c .

210

C h ứ n g mi n h r ằ n g v ớ i m ỗ i h à m p h â n p h ố i F, h à m

g(t) = í ự>(t,a)dF(a)

là h à m đặc t r ư n g .

7. G i ả sử ( f ( t ) là h à m đặc t r ư n g v ớ i h à m p h ả n p h ố i t ư ơ n g ứng

F(x). Chứng m i n h r ằ n g các h à m sau:

5 M i ) ; K t ) | V ( * ( t ) - 1 U > 0; ^ - ^ y - Ì

cũng là các h à m đặc t r ư n g . H ã y x á c đ ị n h các h à m p h á n p h ố i t ư ơ n g

ứ n g .

8. G i ả sử F(x),G(x) l à các h à m p h â n p h ố i , f(t),g(t.) l à các h à n

đ ặ c t r ư n g t ư c m g ứng . C h ứ n g minh r ằ n g

ỉ f(t)dG(t) = Ị g{u)dF{u).

9. G i ả sử i f ( t ) là h à m đặc t r ư n g , tt > 0. C h ứ n g m i n h r ằ n g h à m

a ỉ1

g(t) = Ẹ; J ip(n)ua-ldu cũng là h à m đặc t r ư n g .

10 . a) B i ế n ngẫu n h i ê n X có m ậ t đ ộ

f f \ -í - 0 - - ) vói 1*1 < a f ( x ) = i a a { 0 v ớ i \x\ > a.

C h ứ n g m i n h r ằ n g h à m đặc t r ư n g của X

1 — cos at rt0 = 2 . - ^ - .

211

b) Biến ngẫu nhiên Y có mật độ

Ì Ì — cos ax g(y) =

Chứng minh rằng hàm đặc trưng của Y là

ĩl>(t) = Ì — — với |í| < a

\ 0 với |í| > a.

c) Sử dụng định lý Bochner, chứng minh rằng hàm ự)(t) tuần hoàn với chu kì 2« và ip(t) — Ì — |í|/« với ịíị < a cũng là hàm đạc trưng. 11. Giả sít X và y là hai biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm phân phối F và G và các hàm đặc trưng / , g tương ứng. Tìm hàm đặc trưng của X.Y. 12. Giả sử F là hàm phản phối với hàm đặc trưng ip(t) tương ứng. Xác định hàm phán phối G(x\...., xn) tưcmg ứng với hàm đặc trưng

ệ(h,..., ỉn) = ự>(tị + ••• + *„).

13. Giả SÙX\,X2 độc lập. Chứng minh rằng a) Xi ~ ổ(ni ,p) , i = 1,2 =• X i + x2 ~ B(rn + n 2 ,p) b) X- ~ P(Ai), = Ì, 2 => xx .+ *2 ~ P(Ài + A 2) c) -V, ~ Q(aitp),i = 1,2 => X i + x 2 ~ ơ(c*i f Q 2 , p ) d ) X, ~Jự(ai,ơf),i = 1,2=* Xi { X2~N(a\ +o 2 ,<T? + ơjf)

bằng phương pháp hàm đặc trưng. 14. Hãy cho minh hoa bằng lý thuyết xác suất, các đồng nhất thức sau:

siní/2 í sin í n í

cos - = — ----- 11 COS -í/2 ' 2 / A I 2*

212

1 5 . G i à sử (X„) là d ã y các b.n.n độc lá]) c ù n g p h â n p h ố i vá i hàn i dạc t r ư n g ~p{t). v à V là b.n.n nhận giá trị n g u y ê n ( l ư ơ n g và dộc lập đ ố i v ớ i d ã y (X„). T ì m h à m đ ặ c t r ư n g của X\ i X-2 \ • • • I À,, theo •f (t,)vk các pit t rong đ ó P | i / - fc|, Ả- - 1.2,...

16 . G i à sử là h à m dạc t r ư n g . C h ứ n g in inh l ằ n g

à) Ì - Sty>(t) > 4 - " ( l - ỊR*(2nt))

b) Ì - b ( í ) | 2 > 4—(Ì - I v ( 2 n í ) | 2 ) . » = 1,2.... 1 7 . H à m đặc t n r n g (/?(/) đ ư ợ c gọ i là tự p h ả n nếu v ớ i 0 < c < Ì bai

k ỉ . t ồ n t ạ i h à m đặc t r ư n g ụ>c{t) sao cho ~p(t) = {p(Ct)<pc-(1)J 6 R.

C h ứ n g m i n h r ằ n g sf(t) ^ 0,Ví e R.

1 8 . G i ả sử X có h à m đặc t r ư n g <p(t). C h ứ n g m i n h r ằ n g

a) X có p h ư ơ n g sai h ữ u hạn k h i và chỉ kh i t ồ n t ạ i c > 0 và d ã y

(ít,) c R, tn -* 0 sao cho \ip(tn)\ > t r c ' » . » > 1: b) n ế u t ồ n t ạ i d ã y ( /„) c R. /„ —> 0 sao cho

l ^ i l l 0 in - 00)

th ì A" h ầ u chắc chắn b ằ n g h ằ n g số.

19 . Chứng m i n h r ằ n g n ế u là h à m mậ t đ ộ ứng v ớ i h à m ( l ạ i

t r ư n g i>ự) ----- e - l ' l ° ( 0 < tt < 2) thì / bị chạn.

2 0 . Gia sử f là h à m m ậ t đ ộ có h à m đặc: t r ư n g i £ . C h ứ n g m i n h

r ằ n g n ế u Jỵ f 2(x)dx < oe thì

Ị f'2(r)đx= L Ị yự^di J l i »/ 5Ỉ

2 1 . Chứng minh l ằ n g n ế u X là h.n.n n h ậ n giá trị n g u y ê n v ớ i h à m

đ ạ c t r ư n g ^)(/,)thì

F\x = kị = ^- í b- itkự>(t)dt, li - 0, ± 1 . ± 2 . . . .

21 a

ỉ 2 2 . G ià sử b.n.n X có h à m đạc t r ư n g >p(t). C h ứ n g minh r ằ n g

a) p\x - x i = l im 27 ĩITv(t)tritTdt,

b) n ế u X có p h â n phối rờ i rạc nhận các giá trị ./•]../ '2.. . • v ớ i các-

x á c suất t ư ơ n g ứ n g P\. P'2- • • • th ì

oe y

ẼPỈ .fcể\/_,>«>f'"' A I • / _ /

23 . ( í in s ư (A"„) là d ã y b.n.n (lộc lạỊ) c ù n g p h â n phố i v á i g i á Mị

n g u y ê n . .S'„ À* Ì 1 ••• ( Xn. C h ứ n g ĩ ĩ i inh r ằ n g n ến À'Ì k h ô n g p h ả i

là hang su V(VÌ xác - ' .á t 1 thì

lÌTiisupPI.S. ệi 0. " h

24 . Chứng minh rang uốn /•' và (ỉ là cái- hàn) ])hân phố i v ớ i c á c

h à m dạc t r ư n g t ư ơ n g ứng ^ và 0 thì

s ú p ụ- ( . ; • ) - í,(./•)! < - / I — \dt. •Ì- . 7 7 . / - - X . '

NỐI Ì (lặc biệt F và (7 có niạt ( l ộ /' và í/ t ư ơ n g ứng thì

s u p i / ( . r ) - r / ( : r ) | < - ỉ - / M(0 - <Ị>(0K .1 .tTr , / R

25 . Giá sử A và V !;'| CHÍ- 1).11.11 v ớ i giá trị nguyên và có h à m dạc

t r ư n g ý?, tí) t ư ơ n g ìrntí- ( ' l iúiiị í ni inh ranỵ

S l i p |P| A" A-| - P | V Ail <TZ Win - 0{l)\<ll. I f

214

C h ư ơ n g 7

C Á C Đ Ị N H L Ý G I Ớ I H Ạ N T H E O P H Â N P H Ố I

C Ử A T Ổ N G C Á C B I Ể N N G Ẫ U N H I Ê N Đ Ộ C L Ậ P

Kolmogorov đ ã t ừ n g nói: giá t r ị chấp n h ậ n đ ư ợ c c ù a lý t h u y ế t

xác suất là các đ ị n h lý g iớ i họn . L u ậ t số l ớ n , Đ ịnh lý Poisson v à Đ ịnh lý g iớ i họn t r u n g t â m là

những đ ị n h lý g iớ i h ọ n quan t rọng nhấ t của lý t h u y ế t x á c suất . có n h i ề u ứng dụng t rong thực t i ễ n . C h ư ơ n g n à y d à n h cho việc nghiên c ứ u các v ấ n đ ề đ ó d ư ớ i d ọ n g tổng q u á t b ằ n g p h ư ơ n g phá}) h à m đọc t r ư n g . C h ư ơ n g n à y còn có mộ t số k i ế n thức: về luật, chia được vó h ọ n và luậ t ổ n đ ị n h .

7 .1 M ộ t s ố b ấ t đ ẳ n g t h ứ c

Sau n à y ta sẽ s ử d u n g n h i ề u l ầ n c á c b ấ t đ ẳ n g t h ứ c sau:

(à) N ế u Re a < 0 th ì

| e a - l i < l a i , le" - Ì - n | < Ị n | 2 / 2 .

\ea - Ì - a - a 2 / 2 \ < I M ' l i . ( 7 . 1 )

(b) N ế u K I < l.\bk.\ < ì,ịk = Ì , li) 111.

\a\(!2 • • • (in - b]b'2 • • . 6,,| < i ' u ' _ ^ ỉ - ( k- Ì

T h ậ t vậy (a) Ta t h ấ y

\en - l i = ị / e'dt\ l a í e'*"Hn\ < \a\ vì \ể"'\ < 1 .

215

Ì - toi --- I / ( e f - ì)dt\ -= \a Ị ( e a n - l)du\ < Vo Jo

< |cv2| / udu ——, Jo 2

l e " - Ì - a - 0,2/21 = / {é - Ì - t)dt Jữ

a í ( e a u - Ì - au)du\ < \af í -Jo 7.0 1

(b) Đậ t fe k

Ak = Ỵ[ai, Bk^ỴỊbị. 1=1 i = l

V ậ y

- Bu i = ị (-An-1 - Ổ n - l ) a n + ( a n - 6 n ) B n _ i | ri

< | , 4 n _ , - B n _ i | + \arì-bn\<...<J2 - M -fe = i

T ừ (7.1) suy ra

(<•)

Í 2 X 2

| e i t x - Ì - < m i n ( 2 | í x | , — - ) < 2 / ) I ( Í ) Ổ I ( Z ) , (7.3)

t rong đ ó hỉ(t) m a x ( | í | , / 2 ) v à -• min(| ic | , X 2 ) , (:r. í 6 R ) .

(d) '

le**' - Ì - itx + ^ y - l < MOstoí*) (7.4)

t rong d ó /?. 2(í) = m a x ( í 2 , | í | 3 ) , g2(x) = m i n ( x 2 , | x | 3 ) , X, í 6 R.

7.2 Đ i n h lý Po i s son v à t ố c đ ô h ô i t u

G i à sử (Xí,.) là d ã y b . i i .n độc- l ập nhận giá t r ị nguyên ,

P | A ' , = l ị pk, qk Ì - Vk - nXk - 0]. Ả* > 1

2 Ì (i

Đại

\ k e ~ x

s n = Xỉ+--- + X n , À = P\+--- + Pn, Ỹ(k, À) k . Ả- 0. 1 . .

Đinh lý. Ta có bất dằng thức sau Tì rì

|P|.s; ( Ẳ - | - P ( / , - , A ) | <5>? + 2]T9jl k OA.... (7.5

Chứng minh. Đặt = E e i < X t

*>*(í) = PA-e" + ( Ì - pk - Qk) •+ 7 * a * ( í )

= Ì +Pfc(e i < - 1 ) + 7*(a*(t) - 1).

ờ (lây CIA - ( Í ) là h à m đặc t r ư n g của b iến ngẫu nh iên có g iá t r ị nguyò i K ý h i ẹ u Y là b i ế n ngẫu nh iên có p h á n phố i Poisson t l iaĩĩ) số A. K I •lo

n

k-..l

T ừ đ ó n n

k s „ ( 0 - f ( 0 i i n - n e P f c ( e " ~ n i - -

r Ì r=i

Aj) f l ung bấ t đ ẳ n g thức (7.2). l a có

/ í

k O - i ' O I ^ U C ) - ^ 1 ' " - 1 1 ! -Ị

?»

Y. 'Jn""-U - l*(<" - ĩ ) - Ì - >it,(ctk(t) - \ )\<-

k. ì

s Ẻ;. l i ' . 2Ị> a i > ' i ^ n r 1 ' « n ' í A I t i í Ì (,-= Ì

T ừ đ ó

|P[.V„ kị - P(k, A)| \Ị- Ị * e - ^ ' b s j t ) - 4>(t))dt\

^ M r i 2 2

rỉ rỉ

1 2 X > f XX a

* - - 1

CVíỸÍ ý.

1. Trong chứng minh, ta sử ( lụng t ính chất sau: nến X là b i ế n

ngẫu n h i ê n n h ậ n giá trị n g u y ê n thì

Ỹịx .... k]_L | ' r , - 'Vv(0 r f / .

C h ú n g m i n h đ i ề u n à y k h ô n g có gì khó khan. 2. K h i pị,. = p, <7fc — Ì — p t h i 6',, có p h à n phố i nhị thức

P ( .v„ - Ả-) - &(&,n ,p) --= c*pkqn-k. k 0,1 7/

Yu . V . Prokliorov đ ã chứng m i n h r ằ n g

°° 2À y \b(k. rúp) - 7 T A . | < — rnin(2. Ả). A- (I

t rong đ ó 7T*. - í: J j - . A - ÌIJI. v à ( lật b ( k . n . p ) 0. VẢ- > / í .

rvní /7ỉú:/í i;e //<;/(. . S i / . S e m i o n D e n i Po i s son (21.í).178] - 2"). 1.1 8-10) là n h à Vật lý - C ơ học - T o á n học nôi t i ếng n g ư ờ i P h á p . v i ệ n sự V i ệ n h à n lãn] khoa học Paris (1812). s. D. Poisson sinh ớ 1*11 i l l —

hie ( v ù n g Loara) . n á m 1798 v à o học t ạ i t r ư ờ n g Đ ạ i học Mách khoa Paris. T ạ i đ â y anh sinh viên s. ỉ ) . Poisson đ i rạc p. Laplacf . .). Lagrange và các giáo s ư khát ' chú ý đ ế n b ờ i nang lực c ủa m ì n h .

218

K h i kết thúc khoa học. anh được giữ lại trường. T ừ nám 1816 ỏng là giáo sư của t rường Đại học Soorbone.

Đối với lý thuyết Xác suất và Thống kẻ toán học. s. D. Poissoii đã ('hứng minh định lý nổi t iếng vê luật số lớn (mà san này được mang rên là luật Poisson). Ong chính là người đ ệ u tiên sử dụng thuật ngữ "Luật số lớn".

s. D. Poisson đirợc bệu làm viện sỹ danh d ự Viện hàn lán khoa học Peterburg năm 1826, ông còn là viện sỹ của nhiều việi hàn lâm khoa học của châu A u và châu Mỹ. Tên cùa s. D. Poissoi được đ ặ t cho một miệng mái lưa trên mặt trăng.

Hê quả. Giả sứ cho dãy tam qiác

X i n , X'ỉn, . . . . Xnni n > ỉ

sao cho với mỗi TI, dãy Xin Xan là các biến ngẫu nhiên đội lập nhận giá tri nguyên. Khí đó nếu

thì

trong dó

qkn -> 0. PỈ„ - 0 khi rì — oe k - r l Ì

T(S„ kì - P ( A - . A) — i)(n — oe)

Sa - Xị,..„,]>k,, W\Xkr, ~ 1|

k — Ì

qkrt ---- Ì - p A „ - Ỹ\xkrl -= <)|,

kr- ì

219

7.3 Luât s ố lớn vớ i các biến ngẫu n h i ê n d ó c lập tuy ý

Giả sử với ri •-- 1,2,... cố đ ịnh X\n, X-2n Xun là cát: b.ri.11 độc lập và

EXkrì =- 0. Ả- = Ì n. (7.6)

Đinh lý. Giả sử dãy tam giác {Xkn,k —- Ì , . . . , n } , ri > ì thon mãn các điêu kiện trên và

n M„ := ^ E m i n f l X f c n l , \xkn\r) - 0. (7.7)

fc=i

đối với r £ (1; 2| nào đó. Khi đó

n.

sn xkn ĩ* 0. (7 .8)

fc=i

Chứng minh. T ừ (7.2) và (7.3) suy ra

tí n

k v „ ( 0 - i i i n ^ 1 " - ] ! 1 ^ A : Ì *A Ì

rí n

< ^ |E(e."-Y t» - DI 52 |E(e í f A ' f c " - Ì - itx,r, )\ h- Ì fr : ỉ

V I

< £ / M ( 0 E . 7 I ( X U ' M ( ' ) M „ - 0 .

í,- - Ì

(ờ (láy hí,, ứng với r - 2 ). •

f f ê gud 1. Cúi .S7Í dát/ {Xkn,k - Ì , . . . , li}, n > Ì í/iơả mãn f7.ổ,)

^ E | Ầ t n | < C < x , (7.9) A--=l

220

L\{() -.- ^ E O X A - J / H . Y ^ I ^ I H <>(< > 0). (7.1<>: 1

Khi dó sn i n . •5

CìiứììỊi minh. Ta có . v á i 0 < í < Ì tuy ý .

n li

Mn < ^ E ( | X , 7 ( | . / | | A , „ | > f ] ) I• 5>(|**„r/|ị.Y>„|<,|) ỉ í.' - Ì

< L , , ( 0 + f R - ' . C ' .

Vì f bó t uy ý . I „ ( V ) —* 0 n ê n v ế p h ả i cùa bấ t đ ẳ n g thức t r ê u có l i u l àm nho tuy ý . T ừ d ó và đ ị n h lý 7.2. t a có d i ề u C H U chứng ni inh.c

Hê quả 2. Giả xú (Xì,-) là dãy b.n.ĩi dộc lặp và EA*i- =- 0 với mọ k. Khi dó licit- với Ị- 6 ( 1 : 2| nào dỏ ,

1 "

l i m - y Emin(\xk.\.,\xk.\r/nr-x) 0. (7.11 ri—.-X / ( í—*

k - Ì

,, . c -Vi Ì • • • Ì XU P lỉu s„ —— -* ().

li

Chưn (Ị minh. Dật À"*.,, A " ; , / f . Ả- Ì / V . Lúc (ló (7.11 tưcrng ( Imní t ; v ứ i (7.7) .

ffê g?/.d ,v. <7/« sù (Xi, ) (ỉm lặp cimtf phản phái và

E(Ị.V, - ' ' ' . / . Ị . v , - . , | > . „ | ) - * 0 (7.12

('<// r/íỌí f > 0. A7;/' r?ó

A' | i ••• I A'„ » li.

H

ớ dày li -•• E A ' i .

221

Chúng minh. Đặt Xkn = —— ) k < n. Lúc đó (7.12) tương đương với (7.9) và (7.10).

Hệ quả 4 (Luât số lớn Liapunov). Nếu với r € ( l ; 2 ị nào đó

ỵ^E\xk

k- Ì

thỉ sn ^ 0.

Chứng minh. H iển nhiên.

Ví dụ. Cho dãy các b.n.n độc lập (Xk) và dãy số (afc) sao cho

E\xk - EXk\ < c, k = Ì, 2 , . . . (C - hằng số ), an -> 0.

Sử dụng hệ quả 2. suy ra dãy (ukXk) t uân theo luật số lớn (LSL). Thực vậy, có thể coi rằng EXk — 0. Ta có

J ri Ì c n

- J2Emin(\akXk\,\akXk\2/ri) < - J2E\akXk\ < - Vía*!. TY 77. 7 ĩ'

A- ! fc=l /•• Ì

(7.13)

Mặt khác, vì a/,. —> 0 nên

- Y > , - > 0 . fc=i

T ừ đó. từ (7.13) và hệ quả 2 có đ iều phải chứng minh. •

Bây giờ ta chuyển sang trình bày một trong nhủng thành tựu đặc sắc nhất của lý thuyết xác suất.

7.4 Đinh lý gió"i han t rung t â m

Xét dãy tam giác (Xỉn, Ẩ2n; • • • , Xnn),n = 1,2,... gồm các b.n.n sao cho đ ố i với mỗi n, các b.n.n Xin, X'2n; • • • ) xnn độc lập

222

EXkn = 0, (k — 1 Tí)

Y t D ( X k n ) = l. (7.14;

A-=l

Đặt n

5 n = ]T xkn< ơ'ỉn = D(Xkn), k < n. fc=l

7.4-1 Đinh lý. Giả sử {Xkn-k = ì.... ,n},ri 1.2,... là dã} các biến ngẫu nhiên độc lập thoa Tuân điêu kiện (7. lị). Khi đó nếu với s > 2 nào đó,

ri

M i 2 ' Ỵ^EmmiịX^ị2.\Xkn\H) - 0 (7.15 k=i

thì

Fs„(x) - * ( * ) = - 4 = / c - ^ r f i (7.16

ííevi //í eo «r G R.

Chứng minh. Để có ( 7.16) ta chỉ cần chứng tồ rằng

n 2 vsn[t) = ĩ l < P k n ( t ) ì eR.

22-ỏ

Ta có n n TI

\Ỵl^Pkn(t)-e-^\ \Ỵ[íkn(t)-ỴỊc-'2

A I A M k Ì

r i 2

< £ > * „ ( / ) - e - ' ^ | ( theo (7.2)) A =- Ì

< £ |E(e"-v*" - Ì - I t x k n ị ^ Ị L ) | +

+ ^ j e - i ^ ỉ - - l + í!fL|

< ^ E í , 2 ( f + ^ X! ( t h e o ( 7 A ) v à í 7 - 4 ) )

A- -- Ì fc= Ì

" t4

< h 2 ( í) V 02 (I AVn I) i - g max ÍTjf. f,

Diên sau cùng đúng vì Mị — > 0. còn lại phái chứng ló

max ơ'ịri —• 0. A ' < l i

Thật vậy, với 0 < f- < Ì tuy ý ta có

à;2,, - \xkn\ < e) Ì E ( * L | X f c n | > c)

< e2 + E(Aj? n 1 |A-A.„| > 1) + E(A"L. Ì > > f )

< f . 2 f E(,Y A

2„ ; |A-,„Ị > 1) 4 - L Ê U ì > |.Y,,„| > 0

< , 2 ị _ L E T n m ( ^ r i . | X A . r , n . (7.1

2 2 4

T ừ đó,

Rim max ơL < F2 [ —Ị—ĨIrrĩA/,(

,2) = r 2 .

n k<n f .s

~ ri

Vì f > 0 tùy V . nên lim max ớỉ 0. •

Nhạn xét ỉ. Trong chứng minh các bất đảng linh- (7.17) ta í hãi với ,.s > 2 và 0 < í < 1 tuy ý

E(Xl,\Xhri\> c) < - ^ E n . i n ( A - (

2 , , i A ' , „ r s ) .

T ừ dó

A- Ì

T ừ bất đ a n g tlnírc trên suy ra rằng

A / < 2 ; - 0

iie ợrtd 1. (Dinh lý Lindeberg) Nếu dãy {Xkn.h độc lặp thoa mãn Í7.14) và điêu kiện Lindtbery

L \ f H i ) — ( ) . (Ví > 0)

thì / s, r (./•) - » * ( . / • ) đen then ;/;.

Chứng minh. Ta sẽ đnhụ ĩ tó ràng (7.14) và (7.19) suy la (7.lõ)

sau dó sử dụng (lịnh lý 7.1.1 ta ró kốt luân. Đau tiên. vái .s > 2 vi 0 < f < Ì; ta có

/7

A/<2> 53Eni in ( ,YL- |A* f r „ r ) < k= ì

ri ri

< Y,E(x'ỉn,\xk,,\> <) ì Y,E(ix*„r.|AV| < r)

< 4 2 , ( 0 + * - 2 -

Ì /í

(7.19

225

T ừ đ ó

ĩ l m M p < f"-'2 ị I i ra4 2 »(c) =- f s ~ 2 .

n ri

Do f > 0 n h ò tuy ý nên ta có l im M r , 2 ) = 0. • rí

M ạ n :cé/ 2. a) T ừ nhận xé t Ì và ch i íng m i n h t r ê n ta t h ấ y n ế u (7.14) đ ư ợ c

thoa m ã n thì (7.15) t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i đ i ề u k i ệ n Lindeberg. b) G i ả sứ (Xít) là d ã y b.n.n độc l ậ p có kỳ vọng và p h i r ơ n g sai

h ữ u h ạ n . Đạ t

ri.

ỵ^(xk-Exk) Ố : = ^ - Õ . Bị = ỲđĐ{xk).

n fc=i

K h i đ ó . n ế u v ớ i f. > 0 b ấ t kỳ

Ì '"

t h ì F s . 0 ) -» <t>(x). T h ậ t vậy. chi cần đ ặ t

- EX, A i , , : - —J- .Ả- -•• Ì . ri.

k h i đ ó . d ã y { X k n . k = ].... .ri}, li > Ì thoa m ã n (7.14) v à (7.19) và k ế t l uận t rên suy t ừ hệ quả Ì .

(') N ế u (Xk) là d ã y các b.11.11 độc lập c ù n g phản p h i v ớ i ' k ỳ vọng chung là a, p h ư ơ n g sai chung là ơ 2 , th ì

Q* - X ì í 1 X n ~ —

nựn

226

CÓ phản phối hội t ụ đ ề u đến phân phối chuẩn -V(0 ,1 ) , tức là

l im sup \Fn(x) — <&(x)| ~ 0, n — > ° ° —oo<x<oc

t r o n g d ó Fn(x) l à h à m p h â n p h ố i của S*, v à

*(*) = 4== í e - * 2 / 2 d í . v27T J-OC

Q u à vậy, đ ố i v ớ i d ã y đ ó v à e > 0,

L ^ ( f . ) = E[(Xl - r i ) 2 , I * ! - ai > eơựn\-+ 0.

C ầ n b i ế t r ằ n g tốc đ ộ hội t ụ của đ ị n h lý g iớ i h ạ n t r u n g t á n đ ư ợ c cho t r o n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c B e r r i - E s s e n , cụ t h ể là: Nế t

E Ị X i l 3 < oo t h i

sup \Fn(x)-9(x)\<C. MizMll -oo<x<oo ơ V n

t r o n g đ ó c l à h ằ n g số sao cho

Ì < c < 0,.

d) Á p d u n g q u a n t r o n g . Ta x é t tì phê]) t h ừ Bernou l l i đội l ậ p v ớ i x á c suấ t t h à n h c ò n g là p. K ý h i ệ u A là b i ế n cố t h à n h còng Đ ạ t

Xk Ì n ế u A x u ấ t h i ệ n t ạ i p h é p t h ừ t h ứ k

0 n ế u A k h ô n g x u ấ t h i ện t ạ i p h é p t h ừ t h ứ k\ k Ì , ...r,

Ta t h ấ y ( X k ) là d ã y b .n .n độc l ậ p c ù n g p h â n p h ố i chỉ n h ậ n hai gi.

t r ị 0, Ì sao cho

P ( X i = l ) = p ; P ( X x = 0 ) = g = l - p ,

227

v à n(A) = Xl+--- + Xn

là số l ầ n b i ế n cố A x u ấ t h i ệ n t rong Tỉ, p h é p t h ừ Bernoul l i đ ộ c l ậ p v ớ i x á c suất t h á n g công là p --- F(A). K h i đ ó ,

• B ấ t đ ẳ n g t h ứ c B e r r i - E s s e n cho ta

^ i F . w - » ( I ) i < c . d ± £ < £ L ± £ , - o c < x < o c V « P 9 V " W

t rong đ ó F n là p h â n phố i của

n(A) — np

T ừ đ â y d ể d à n g r ú t ra • Đ i n h l ý g iớ i h a n t r u n g t â m M o i v r e - L a p l a c e : với e > 0,

t a có

p / | ! ! Í ^ l _p| < e \ ^ ^(ey/n/pq)-^(-ey/n/pq). n

C h ú ý r ằ n g p g < 1/4 (dấy b ằ n g x ả y ra k h i v à chỉ k h i p = (Ị = 1/2), do đ ó :

Q(eựn/pq) - *( - t \ /™/pg) ^ 2í>(2fV") - 1.

• Tuy nh iên kh i p k h á bé (hay q k h á bé ) t h ì do b ấ t đ ằ n g thúc Berri-Essen, ta k h ô n g n ê n d ù n g Đ ị n h lý g i ớ i h ạ n t r u n g t â m Moivre-Laplace đ ể t í n h x ấ p xỉ n h ư vừa nói ờ t r ê n .

• G ầ n đ á y n g ư ờ i ta đ ã ch ng minh đ ư ợ c ư ớ c l ư ơ n g m ũ sau:

P / | I ^ _ 7 , | > f } < 2 e -2

-2

. Tì

C ô n g t h c n à y r ấ t quan t rọng, vì n ó cho t a c á c h t í n h Tỉ. đ ể ư ớ c l ư ợ n g x á c suất c h ư a b i ế t p ( k h ô n g cần g i ả t h i ế t p k h á b é hay g ầ n

228

1/2) b ằ n g t ầ n suất n(A)/n. Chằng hạn , v ớ i TI = 5.000 t a có

p { | — -p\ < 0 ,02} > 95%. TI '

T ừ Đ ị nh lý g iớ i h ạ n t rung t â m Moivre-Laplace r ú t ra • L u ậ t s ố l ớ n B e r n o u l l i :

lira p / | ĩ ^ i l _ p | < e ) = 1

n—»oo 77,

t ứ c l à t ầ n suất n(A)Ịn h ô i t u theo x á c s u ấ t t ớ i p. • C á c h đ ơ n g iàn n h ấ t đ ể clnrng m i n h L u ậ t số l ớ n Bernou l l i là

d ù n g b ấ t đ ằ n g t h ứ c C h e b y s h e v

P { I ^ - P | < £ } > 1 - ^ > 1 - 1

Tỉ, ne 2 2nt2

N h ư n g ước l ư ợ n g n à y k h ô n g t ố t . C h ằ n g hạn , k h i d ù n g ư ớ c lượng n à y đ ể chọn n sao cho

p { |^ í i l -p ị < 0 ,02) > 95%, n

t a p h ả i l ấ y ri = 12.500. Trong kh i đ ó , n ế u d ù n g x ấ p x i theo đ ịnh lý Moivre-Laplace, ta chỉ c ầ n l ấ y n — 2.500. T h ậ t vậy, theo đ ịnh lý g i ớ i h ạ n t rung t â m Moivre-Laplace th ì k h i ri k h á l ớ n ta có

p ộ _ p\ < ỳ > 2*(2e0ĩ) - Ì •

Do d ó v ớ i Xa sao cho 2<í>(x a) — Ì = Ì — a t h ì cần chọn Tì là số n g u y ê n n h ỏ n h ấ t thỏa m ã n b ấ t đ ằ n g thức 2eựĩĩ. > xa. Trong t r ư n g hợp a = 0,05 thì xa = 1,96 n ê n v ớ i 6 = 0,02 ta có n -- 2500. Tuy n h i ê n , cách n à y k h ô n g t h ậ t c h í n h xác , b ở i lẽ ta c h ư a b i ế t rì. bằng bao n h i ê u th ì m ớ i d ù n g đ ư ợ c x ấ p xỉ theo đ ị n h lý Moivre-Laplace.

22!)

V ấ n đ ề c h o n cỡ m ẫ u . Trong thực t ế ta t h ư ờ n g quan t â m đ ế n bài t oán : cho t r ư ớ c

và a . T ì m Tì. sao cho

p\ < t ị > Ì - a. n(A)

r. đ ư ợ c g ọ i là sai số, Ì — a là đ ộ t i n cây, n là cỡ m ẫ u . Theo b ấ t đ ẳ n g thức Chebyshev thì cần chọn

Ì + 1.

[ 4 c 2 a

Theo đ ị n h lý g iớ i hạn t rung t â m thì cần chọn

V ( a f 4(2

Theo bấ t đ ẳ n g thức tri ũ thì cần chọn

ì n ( 2 / a )

1.

Đát

ni ( à ) Ì

Af2a

lê

4f i 2

+ 1.

77.2(0:) - 113(a) = l n ( 2 / q )

2c 2

là p h ầ n n g u y ê n của x ) . N g ư ờ i ta đ ã chứng m i n h r n g

li ria) lim

iÔí)2( í co,

'í ĩ (ĩ M ; . Ị ( ' 0

Í V I Ú t/i/c/í về lịch sứ. Luật số l ớ n Bernoull i do n h à t o á n học .lames Bernoull i ( n g ư ờ i T h ụ y sĩ) cóng bố n á m 1713 t rong p h ầ n t h ứ t ư t á c

230

phẩm "Ars Conjectandi" của ông, nhưng với chứng minh khó và dài hơn nhiều so với chứng minh dùng bất đẳng thức Chebyshev.

Định l ý giới hạn tF>ung tâm đ ố i với các phép thử Bernoulli (đối xứng: p — 1/2) độc lập do nhà toán học de Moivre (người Pháp) công bố nám 1718 trong cuốn sách "The Doctrine of Chances''. T ừ tuổ i 18 đ ế n 21 Moivre bị tù ệ Pháp vì có nguồn gốc đạo Tin lành. Ra tù, ông rờ i P h á p sang Anh. T ạ i Anh ông làm gia sư cho các gia đ ình quí tộc. Vào thờ i gian đó Newton đ ã trình bản thảo "Principia Mathematica" của Newton cho Bá tước vùng Devonshire. Chuyện kể rằng, khi làm gia sư cho gia đ ình Bá tước này, Moivre tình cờ thấy công t r ình của Newton, và Moivre thấy rằng còng trình này nằm ngoài t ầ m hiểu b iết của ông. Sau đó ông mua một bàn của công t r ình này l ồ i xé t h à n h từng trang, học lần lượt từng trang khi đi bộ quanh London t ớ i những nơi làm gia sư. Moivre thường có mặt ờ các t i ệm cà phê của London và tạ i đó bắt đầu nghiên cứu xác suất bằng cách t ính tỷ lệ cá cược cho những người tham gia t rò chai cá cược. Moivre đ ã gặp Newton tạ i một quán cà \>hẻ như thế , và họ t rờ t hành bạn thân. De Moivre đã dành sách cù Ì mình tặng Newton.

Năm 1912 Laplace đ ã m ả rộng kết quả của Moivre cho các phép thử Bernoulli (không đ ố i xứng) độc lập.

Hê quả 2 ( Liapunov). Giả sử dãy ( x n ) độc lập có các mômerì bậc s > 2 hữu hạn và

n J2E\Xk-EXk\9

7":=— ĨT, >0

- ( 7

-2 1 )

tin

Khi đóFs-N(x) ->*(*).

Chứng minh. Đặt Xkn = —^-J5——, k < Tì . Khi đó M n 2 ) < In —* 0 n

T ừ đó và đ ịnh lý 7.4.1 suy ra đ iều phải chứng minh. •

231

Ta vừa chứng minh rằng đ iều kiện Lindeberg là đ ủ để

FSn(x)-**(x).

K ế t quà dưới đây chứng tỏ rằng đ iều kiện Lindeberg cũng là cần nếu dãy (Xkn: k = lr..p) nhỏ đều vô hạn (theo nghĩa (7.22) d ư ớ i đây) .

7-4-2 Định lý Feller. Giả sử dãy tam giác độc. lập

{Xkn,k = Ì , . . . , n } , n > Ì

thoả mãn điều kiện (7.14) và nhỏ đều vô hạn theo nghĩa

max F\\xkn\ > e\ -> 0, (Ve > 0). (7.22)

l<fc<n

Khi đó: (7.16) => (7.19) nghĩa là, từ Fs (x) —> $(x) suy ra

4 2 ) ( 0 - 0 , ( v f > 0 ) .

Chứng minh. Với các ký hiệu đ ã dùng trong chứng minh đ ịnh lý 7.4.1. ta có

\<pnk(t) - l ị = | E ( e í t X * " - Ì - itxkn)\ < y ơL.

X > n f c ( 0 - l | < y X > L . - ậ ( 7 - 2 3 )

fc=i fc=i và

|v»*(t) - li < E ( | e í t X * " - l i , | * f c n | < e) + E(\eitx*» - 11, | X f c n | > í )

< |í|£ + 2P(|Xfcn| > e ) .

Vì vậy, do (7.22)

rap |¥>fcn(t) — l i —• 0 khi n -* 00 . (7.24)

232

Mặt khác

ri li n

in vuo - n e ^ ( í ) _ i i ^ E w > - ^" ( t ) _ 1 Ị

fc=l A ỉ A - = l

_ ^ | e ^ „ ( 0 - l - Ì - (ự>kv(t) - 1)1

À---.-1

/ , • - 1 ti

< ^ n i a x | v ? f c „ ( 0 - 1 ^ 1 . ( 0 - Ì z A -<n f—• te- -- ì

t 2

< - -max |*>*n(0 - l i -» 0. 4 k<n

Do đó n

l n ^ s „ ( í ) - ^ | ^ n ( í ) - l | - » 0 .

Theo giả thiết ta có

l n ¥ > s „ ( 0 -

t 2

2

nên cũng có

Cho ì Ì, ta có

2

2

- £ E ( « ' -V

* " - Ì - i * A . „ t ^ L H 0.

23a

e i x - 1 - is, H à m f ( x ) = 75 liên tục: b i c h á n b ờ i 1/2 t r ê n R và có l í n h chất : v ớ i m ỗ i r > 0 có một số cv(f) > 0 sao cho

S " P < ị - " ( f ) -

| x | > t ỉ-

Do đ ó .

suy ra

Cho nên

R e ( / ( x ) f ị)>aựr) v ớ i |:,:| >•

Ì _ ... .r 2

. r 2 < - i - R e ( f c i T - Ì - ứ + Ị - ). a(f.) 2

E(xỉn,\xk.n\ > e) < J - R e E ( e l A ' - - Ì - i X , n + tt(r.) Z

T ừ đ ó

U 2 )(í-) < - T T M T , I - » » v ớ i moi f. X ) . • a ( f )

7.5 P h â n phối chia đ ư ơ c vô hạn

Trong các mục trước:, ta t h ấ y p h ả n phố i Poisson. Ị )hán p h ố i suy b i ế n và phản p h ố i chuẩn đ ê u là phản p h ổ i g iớ i h ạ n của (lây p h á n p h ố i của tống

S n X \ j , I A 2 , , , I . . . I x„.v

các b i ế n ngặu nh iên độc lả]) nhỏ đ ồ n v ó hạn . Dồng t h ờ i các p h â n p h ố i đ ó đ ề u có m ộ t t í n h chất chung san:

N ế u <p(t) là h à m đặc t r ư n g t ư ơ n g ứng . thì v ớ i Tì > Ì t u y ý . luôn luôn t ồ n t ạ i m ộ t h à m đạc t r ư n g ípn(l) sao {-ho

<p(t) y.„(t)\", t e R . (7.25)

234

Cu thể

>A(e" - 1) = Ị e A / n ( e i ( - 1)1

exp < it a ah

exp r ử a _ ơHỴịn

ị n In Ị

Một vấn đề đ ặ t ra là lớp các phân phối mà hàm đặc t rưng tương ứng thoa m ã n (7.25) có ý nghĩa gì và phân phối của nó có dạng thế

nào ?

7.5.1 Dinh nghĩa. Hàm phân phối F(x) âu ọc gọi là chia đitợi vò hạn nếu với mọi Tỉ > Ì , tồn tại hàm phản phối F„(x) sao cho

F(x) = F„ * F n * . . . * Fn(x) = F,:n(x)

niên

hay cũng vậy

à đây, i f . ifr, là các hàm đặc trung của F, Fn tương teng. Biến ngẫu nhiên X được gọi là chia được nô hạn nếu Fỵ(x

chia được vô hạn, hay cũng vậy, với mọi n > ì tồn tại TI b.n.n đột lập cùng phản phối Xi,n X'2 n i • • • ) Xn n sao cho

X = X\.n + X'2,,n + • • • + Xn.n

(à đáy, X — Y có nghĩa là F\ = Fy).

7.5.2 Đinh lý. Biến ngẫu nhiên X chia đicợc vô hạn khi và ch khi X là giới hạn theo phàn phối của dãy tổng Sn X\ìTl +'X'2.n ì . . • x„ „ các ì).TI.ri độc lập cùng phan phối, tức là

ị 235

Ịc'hứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X chia được vó hạn. Khi (ló. theo định nghĩa, với mọi Tì > Ì tồn tại các b.n.n độc lập cùng phan phối X\,n,. •. , X n n sao cho

X í Sn :— Xi ,n f .. . + I n , n , n > 1.

Suy ra Fs„ = Fỵ F,Y.

Điều kiện đù. Giả sử 5 n —» X. Với n cố định xét

&nm — ( ^ l , n m ~l~ ••• ~f~ ^ m , n m ) *l~ ( ^ - m + l . n m "t" ••• ~t~ ^ 2 m , n m ) "I" •••~t~-

~f~ ( ^ ( n - l | m + l , t i m + • • • 4" ^nm.nm)'

Đặt

y*r,m = (-^(fc—l)m+1 ,nm + • • • f -Xfem.nm)) A; — Ì , . . . . r/

Rõ ràng, với c > 0

(pịn.m > c|) n - P Ị V l i m > c, Viì.n, > c, [Vn ,m > c| < P ị S n m > ;

( P Ị V l . n , < - c | ) n = p |n ,m < - r . V 2.m < -c, . . . , |y„, m < -c | <

< P ị s n m < -ne].

Từ đó và tính trù mật ca (Fs ) suy ra tính trù mật ca (Fyu ) m > i - Theo định lý Prokhorov, tồn tại dãy con (m f c)fc>i sao

cho Y ì m k - i V i khi fc —• 00. Nhưng V i , m = V2,m - • • • - ^n,»n nên ta cũng có

v<2,n, - i V2, . . . . n,.r» k - V n khi Ả' - oe

và Ki -Ì y 2 = • • • = Yn. Đồng thời, Ki. ... , Yn độc lập. Như vậy

' V i ~* ì • • •

23(i

và s,,„lk - ì À" (theo giá thiết) , nén

X ỉ Ki 4- . . . 4 Yn. •

Kết quả dirới đây cho biểu diễn chính tác cùa hàm đặc t rưng đối với phân phối chia được vô hạn ( t a phát biểu không chứng minh):

7.5.3 Dinh lý (biển diễn Levy-Khinchin). Biến ngẫu nhièr X chia được vô hạn khi nà chi khi hàm đặc trung cùa nó có dạng

2 Jỵ ì + J ' 7 • ' J

trong đó a G R, Ó > 0. A(x) là độ đo hữu hạn nào đó trèr (R.Ổ(R)) và A(0) --• 0.

7.6 P h â n phối ổn đ inh

Trong mục này. ta sẽ xe''t lớp tất cá rác b.n.n X là giãi hại theo phân phối (nếu có ) của dãy

— " - , n > Ì (7.26'

trong đó. (ò„) là dãy hằng số dương và ( t t n ) là dãy hàng số nào đe còn 6',, - Xi -(•• X'2 + . . . í x „ liên kết với dãy (A'/,) CHÍ : biến ngai

nhiên độc lẫp củng Ị)hân phối. Đầu tiên. ta chú ý rằng nếu EX\ a. DA"Ì ơ 2 > 0 và

(}.,, im. b.„ ơựĩĩ thì X ~ 7V((). 1). Nhít vẫy. láp dó chứa cái biến ngẫu nhiên có phàn ])hối chuẩn.

Nếu A"i có Ị)hân phối Cauchy với mẫt độ

237

rk b„ = TI, a.„ — ú th ì S n / b n ---- S n / n có h à m đặc t r ư n g

<PS„/n{t) = ( e x p { - i | i | } ) " = e - l ' l

Ìghĩa là ố',,,./rí cũng có p h ả n phố i Cauchy và lớp nói t r ê n chứa các ).n.n có p h â n phố i Cauchy.

T h ứ hai , n ế u X là g iới hạn theo p h â n phố i của d ã y (7.26) thì X chia d ư ơ c vò han b ớ i vì

/ƠI

tt —* oe n -- Ì

X i . ri.. -. k = ỉ Tỉ

K nbn

l ộ c l ập c ù n g p h â n phố i . N h ư vậy, lớp đ ó là l ớ p con của lớp các

D.n.ĩì chia đ ư ợ c v ô han.

7.6.1 Dinh nghĩa. Biến ngẫu nhiên X với hàm phân phối F(.r),

hàm đặc trung ụ>(t) được gọi là ôn định nếu với mọi li > ì, lon tại các hằng số bn > 0. a„ và các b.n.n độc lập cùng phản phối X i . . . . , Kỵ, với X, sao cho

hay cũng vẩy

hoác

bnx + rin ' Xì i . . . í x„

F X — li,

ip(bnt.)(

/<'*"(./•)

\<p(t)r.

T r ư ớ c k h i p h á t b i ể u m ộ t k ế t q u ả đ ặ c t r ư n g cho l ớ p các: b.r i .n

Ổn đ ị n h ta cần bổ đ ề sau.

238 BỔ đề. Giả sử x n - i X và có các hằng số bn > 0, (In, b.n.n Y sao cho

bnx ffl„ Ẩ Y. Khi dó, nếu X và Y không suy biến thì tòn tại các giới hạn hùi hạn l im bn = b > 0, l im an = a, và Y = bX + t i . Chứng minh. N ế u ký h i ệu í f n . <p và ụ> là các h à m đặc t r ư n g của x n , X, v à ý t ư ơ n g ứng thì eita"ự>(bnt) là h à m đặc t r ư n g ciìa b„x„ + «.„. v à

Vn.(í) - v(t) (7.27)

e í t a ' v (M) -» Mi) (7.28)

đ ề u t r ê n m ỗ i khoảng h ữ u hạn . G i ả sử có m ộ t d ã y con

(«fc)fc>i c (n) sao cho ò n,. —> +OC.

Do (7.28), v ớ i c > 0 bấ t kỳ

sup|v?(b„0| - - " 0> " —• 3C-

Vái to 6 R bấ t kỳ . đ ặ t ìnk — U)/bnk. Vì bUk —> oe nên vá i Ả- đ ủ lớn

|'-n.J < <" và

Do đó , \<pnk ( í „ ) | - * V'(0) = Ì , Ả- —> oe. T ợ đ ó và (7.27). ^ ( í „ ) = 1

to € R t u i ' ý, nghĩa Jà X suy b i ế n . M á u t h u ẫ n n à y chứng t ò rang t ậ p hợp các đ i ể m giới hạn của d ã y (ba) k h ô n g chứa 4-oe. Bay giò g i ả sứ c ó hai d ã y bnk —> ò, bnik. —> 6' v à 0 < b' < ò. T ợ d ó và (7.27), (7.28), ta có

\<Pnk{bnkt)\ -> |^n, (bn, i ) | - M O I

l * w ( w ) l - » Iv (b ' í ) | , k m , ( w ) l - M O I -

239

Như vậy. \(fi(b't)\ •=-- \ip{bt)\ với mọi if € K, hay

b' í b'\ n

\>p(t)\ = \<p(ị tỵ = J>\( ị ) í] —> Ì- n - » o c .

T ừ đó, Iv?(í)| - Ì và như vậy. X suy biến. Mâu thuẫn này đã chứng tỏ dãy (6„) có điểm giới hạn duy nhất, nghĩa là tồn t ại giới hạn

l imò n = 6 6 [0; +oo). rì

Do (7.27) nên <Pn(bnt) -> *>(6í). (7.29)

VI yj(0) — 1. 9? liên tục nên tồn tạ i khoảng (—ố, é) sao cho íp{bt) Ạ 0, í e ( - ố , ố) . T ừ đó, (7.28) và (7.29) rút ra l i m e i í a " tồn tạ i với mọi

Tì

í € (—ố, é). Do đó sup |a n | < oe. Bây giờ giả sư a và «' là hai điểm giới hạn của ( a n ) , nghĩa là có hai dãy con (ank) và {(Imte)

s a o cho

ci„ f c —> a, a.,nk —> «'. Lúc đó. (7.28)-(7.29) suy ra

e U a = e í t a \ te (-6.6)

và do đó. « - (/' nghĩa là tồn tại l i m u n « 6 R. Theo (7.28). rí

ĩỊ>ự) t " a i f ( b t ) . Vì vậy, nếu b r, 0 thì v"(0 •-- fci<a và do đó Y suy biến. Mâu thuẫn đó đã chứng minh ràng b > 0. •

7.6.2 Đinh lý. Biến ngẫu nhiên X ôn định khi và chì khi X là giới hạn theo phân phối của dãy b.n.n

, K > 0. On

Chúng minh. a) Nếu X là b.n.n ằn định thì với mỗi n > ] theo định nghĩa

tồn tại các hằng số an, bn > 0 và các b.n.n X i . . . . , x„ độc lập cùng phán phối với X sao cho

bnx + 0 „ ẩ X i + ... -ị- xn -: s„

240

hay

xỉs\a\ „>!. bn

Đ ư ơ n g nhiên (5'n — an)/b„ X. h) Ngược l ạ i , g i ả sử ( X n ) là d ã y các b .n .n đ ộ c lập c ù n g phả i :

phối và

b t l > 0 .

Ta phá i chứng minh r à n g X là b.n.n ổ n đ ị n h . Ch i cần xét X không suy b i ến . L ấ y in cố đ ịnh . Đặt

Sì ,n = X ] f . . . + A „ . .S'2.n f . . . + A ' 2 „

&m,n = ^(m—\)n f ì 4" . . . Ỷ ^ m n

va

R õ ràn":

va

Ta lai có

_ 5; ,„ - q r , .V m ,„ - a, M , / ì " . . . . . . . í m. , n

b„ 6„

V -ì V — V V A V ~ ' Ì,ri. * Ì y V ' • • • í * 'tn.n 1 tri

Y n Y',.„ i . . . I V,,,,. - V; = . . . ị >•„.. í7 .30

V ^J L i u ỉ ~ " m " / j w — "»... . ạ,,,,, - ^ 7 " í r_ \ I ' ì.

Đạt

V - ' - ' r im — " n i r i bmti "ni n ~ F " 7 J Ị = , • ' K Ì . l i "7 ; ' 1 " • • . ' ỉ

0)1)71. '-Vi "Ví

Theo giả th iế t v à đ i ề u vừa chứng minh

z „ > X , Pm.n^n. ỉ í*m.n K i ' '1 I • • • 'ỉ' ^ ">

241

( k h ô n g suy b i ế n ) . Theo b ổ đ ề . tôn t ạ i

Prr, ••= l i m / j m . n i a m ------ l Ì T n a m , n , 0n > 0 ri r i

v à

V, f . . . + Ym ẩ pmx + a m ; n ầ X ; k = Ì , . . . , n .

Đ i ề u đ ó đ ã chứng t ỏ X là b.n.n ổ n đ ị n h . •

D ạ n g t ổ n g q u á t của h à m đ á c t r ư n g của b.n.n ổ n đ ị n h đ ư ợ c

cho t rong m ệ n h đ ề sau ( k h ô n g chứng m i n h ) .

7.6.3 Đinh lý (biểu diễn Levy-Khinchin)

Biến ngẫu nhiên X là ổn định khi và chỉ khi hàm đặc trưng cùa nó có dạng ip{t) — exp(ĩịj(t)) với

iịỉ(t) = Ha - c\t\'x{\ + Ì0ỵ-uj(\t\, à)}

trong dó, các hàng số c,0. a thoa mãn điều kiện

(• > 0, \p\ < Ì , 0 < a < 2 và a e R bất kỳ;

hàm wư(|í|, a) thoa mãn đằng thức

ị tgỊệ nếu a Ì w ( | í | , a ) = ị 2 , 2

t — In I í I nếu a = 1.

P h á n p h ố i v ớ i h à m đ ặ c t r ư n g

*>(t) - e x p í - c ị í H

v ớ i c > 0. 0 < a < 2 đ ư ợ c gọi là Ị)hân phố i ổ n đ ị n h đ ố i xứng .

B à i t ậ p

1. Đạt, Si, - X i 4 • • • + x n . Chứng m i n h r ằ n g vớ i m ọ i d ã y b.n.n

( X „ ) và p > ì à) x„ —> 0 h.c.c => sn/n —> 0 h.c.c;

242

b) xn^0^ s n / n ^ 0; IP p

c) Xn —* 0 ^ Sn —* 0 ( ngay cả k h i ( X u ) độc lập );

d) mạxịXkị^O^ ^ - ^ G ; k<n Tì

e) — -> 0 A n —> 0.

2. G i ả sử P ị X i = 2A"| = 2~k,k > Ì v à ( X n ) là d ã y b .n .n độc l ậ p

Chứng m i n h r ằng l u ậ t số lớn ( LSL) k h ô n g x ả y ra.

3. G i ả s ử ( x n ) là d ã y các b.n.n độc l ập . Trong các t r ư ờ n g h ơ ]

sau. xét xem d ã y ( X n ) có t u â n theo LSL k h ô n g ?

a) F\Xn = ựĩĩ] = ỸỊX,

b) F\xn = n) = Ỹ\xn

c) F\xn = 2n\ - Ỹ\xn

d) P ( X n = 2"] = Ỹ\Xn

Fịxn = - 1 ] =F[X.

e) P [ X „ = n " | = P;A',.

4. G i ả sử ( X n ) là d ã y b.n.n có các p h ư ơ n g sai bị chặn đ ề u b ờ i se

c > 0. C h ứ n g minh r ằ n g có t h ể á p dụng đ ư ợ c LSL cho m Ị i m ộ

trong các t r ư ờ n g hợp sau:

a ) x n độc lập v ớ i m Ị i Xi, i Ệ {ri — Ì , Tí Ị ì}, ri = 1 , 2 , . . .

b) c o v ( X t , ^ ) < 0 , i ^ j ,

c) co\'(Xt, X j ) —> 0 đ ề u kh i \i — j\ —* oe.

5. G i ả sử ( A n ) là d ã y b.n.n có các p h ư ơ n g sai h ữ u hạn và có THÔ d ã y số a ( 0 ) , a ( l ) , . . . k h ô n g ả m sao cho

p ( X u X j ) < a ( \ i - j \ ) V ( i , j ) ,

n ~ 2 ị a ( ° ) + Q(1) + • • • 4 a(n - l)Ịị<7? + • • • f ơị; | -> 0.7? -> oo.

Chứng m i n h r ằng d ã y ( X n ) t u â n theo L S L .

-vH = 7^-, P | X „ = 0 ] = 1 - - , n> Ì Z7) rí

Ì .., . Ì — —n 2n : r , F\xn =- 0] = Ì - n > Ì

- 2 n l = ^ > P | X „ = 0] = l - i r > n > l

- 2 n l Ì

2*1 + 1 ' , Ì - 2 " n

l i —ị • > l .

-na\ = i,r? > L a > 0.

243

6. C á c b.n.n X\,X2,... có kỳ vọng a, p h ư ơ n g sai ơ2 v à k h ô n g t ư ơ n g quan covịXị, X j ) = 0,1 Ỷ j. C h ứ n g m i n h r ằ n g

a) X i + X2 + • • • + Xn2

a ( h.c.c), ri —* 00

b)

tron": d ó

y -4r —> 0 ( h.c.c) k h i n —> oe

y;, --. max \xnĩ.ịi + Xn2+2 4 f Xì, - (Ả- - n2)a\; 'n2<k<(n+\v

c) T ừ (a) và (b) suy ra

a ( h.c.c). li.

ĩ . G i ả sử ( x n ) là d ã y b.n.n. C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u có số c > 0 và tt > 0 sao cho < en, DSn > an . Chứng minh r ằ n g (Ẩn) k h ô n g t u â n theo LSL. 8. G i ả sử ( x n ) là d ã y b.n.n độc l ập c ù n g p h â n phố i v ớ i p h ư ơ n g sai ờ1 ^ 0. C h ứ n g m i n h r ằ n g

a) d ã y (5 ' n ) k h ô n g t u â n theo LSL , b) d ã y (anSn) v ớ i (an) c R b ấ t kỳ, an —> 0, t u â n theo L S L .

9. G i à sử ỈA Xi, X-2,... là các b .n .n độc l ập , EXn = o.n > Ì và

—¥iX'ị —> 0 còn f là b.n.n có p h â n p h ố i Poisson tham số A > 0. ri C h ứ n g m i n h r ằ n g

1 " Ì 1

— — V A - * — 0, kh i A —» 00.

10 . Dãy b.n.n ( X n ) thoa m ã n đ i ề n k i ệ n

— p 0

244

còn {v{v).n > 1} là d ã y các b.tt .n chỉ n h ậ n giá trị n g u y ê n và u(n) —> +00 theo x á c suất . Ngoà i ra các h ọ ( X n ) và ( f ( n ) ) đ ộ c l ậ p C h ứ n g m i n h r ằ n g

11. G i ả sứ ( X n ) là d ã y b.n.n t u â n theo LSL. C á c dãy sau có t uân

theo L S L k h ô n g ?

à) d ã y \x,\,\x2\,... b) d ã y 0,1X1,0.2X2, . . . t rong đ ó ( l i , , ) là d ã y số bị chạn đ ã cho.

12. G i ả sử ( X n ) là d ã y b.n.n độc lập c ù n g p h â n phối có p h ư ơ n g

sai h ữ u hạn, ( c n ) là d ã y số g i á m . C h ư n ? minh rằng r ầ n và đ ẳ đ ế

d ã y (c.„Xn) t u â n theo LSL là c n Ị v / n —» u.

13. G i ả sư ( X n ) là d ã y các b.n.n độc. l ậ p c ù n g phản phố i . (u„) ìn d ã y số d i rơng , bị chặn. Xé t xem n ế u (x„) t u â n theo LSL th ì có

t h ể k h ẳ n g đ ị n h d ã y ( a n x n ) cũng t u â n theo LSL đ ư ợ c k h ô n g ?

Đ Ị N H LÝ G I Ớ I H Ạ N T R U N G T Â M

Đ ặ t sn = Xi+ ••••{• xn

14. G i ả sir ( x n ) là d ã y các b.n.n độc l ậ p c ù n g p h à n Ị )hối vái

p h ư ơ n g sai d ư ơ n g . C h i h i g m i n h r ằ n g

à) l im P(a < sn < b) = 0, (ft.be E ) ;

b) l im Ỹ(Sn < x) có giá trị hoặc b ằ n g 0, hoặc bằng Ì hoắc

1/2. Hãy chỉ rõ kh i n à o x ả y ra các t ì n h huống đ ó .

15. G i ả sử ( X n ) là d ã y b.n.n độc lập c ù n g p h á n Ị)hối đ ê u t r à :

ịO; l ị . H ã y t ìm d ã y số (rin) sao cho v ớ i 0 < p < ì d ã cho ta r ó

16. G i ả sử ( X n ) là d ã y b.n.n (lộc lạ]) c ù n g p h â n phố i vớ i Ị )hi rơi i | sai ơ 2 = Ì và E ( [ X i | ) 0 ( ứ (lay |x l là phần nguyên rẳa X

i/(n)

l im P|.S'„ < c/„ V/T7] -- p.

245

{.('} : X — \x\) và giả sứ

lim Ỹ & > OI = ị . n—oc ự n 2

t ính E{{X}). 17. Giả sử (Xn) là dãv các b.n.M độc lập cùng phàn phối với kỳ vọng bàng 0, phương sai ( 7 2 -- 1. Chứng minh rằng

v / x f — 4 Kị v

18. Giả sử (Xn) là dãy các b.n.n độc lập với các kỳ vọng bằng 0, ngoài ra dã}- X\,X-J, AV>;.. • cùng phản phối và dãy X2.X4, • . . cùng phán phối sao cho

0 < EX'ị < oe, 0 < EX'i < oe.

Hãy tìm phản phối giới hạn của Sn/ \JDSn.

246

Chương 8

T Ổ N G CÁC B I Ể N N G Ẫ U N H I Ê N ĐỘC L Ậ P VÀ L U Ậ T SỐ L Ớ N

Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của cá' biến ngẫu nhiên hại tụ theo xác suất. Luật mạnh số lớn là mèn] đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hại ti h.c.c.

Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố nán 1713 (lúc đó Berraoulli đã qua đời) . Vẽ sau. kết quả này đượ Poisson, Chebyshev. Markov, Liapunov mờ rạng. Tuy nhiên, phá đ ế n năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E. Borel phát hiện. Kế

quả này ciia Borel được Kolmogorov hoàn thiện (nam 1926).

8.1 Sự hôi t ụ của chuỗi các b iến ngẫu nhiên đạc lập

Giả sir (Xn)n>i là dãy các biến ngẫu nhiên đạc lập xác đ ị a trên không gian xác suất (Í2, T. P). Đặt. sn - Xì + . . . I x„ . I

oe bảo rằng chuỗi )T x n hại tụ theo nghĩa nào đó nếu dãy (.S'„.)„>

n - l

hại tụ theo nghĩa tương ứng. Như đã biết, tập các. cư 6 rì để chui Y^Xn(uj) hại tụ là mạt biến cố thuạc ÍT -đại số đuôi, đo đó có xá n

suất 0 hoặc Ì (luật 0-1 Kolĩĩiogorov). Nghĩa là chuỗi Ỵ^Ẩy, hoạ TI

phán kỳ h.c.c hoặc hại tụ h.c.c. Đế đưa ra những tiêu chuẩn hại í

247

của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập, ta càn các bất đằng thức sau.

8.1.1 Đinh lý Kolmogorov. Giả sử Xi,... , Xn là các b.n.n độc lập sao cho với mọi k = Ì, 2,. .. ,n

P | | S „ - S f e | > o Ị <p< 1.

Khi đó Pịmạx\s k\ >x\< — Ì — P [ | 5 n | >x- (lị. (8.1)

/>í M Ì p

Chứng minh. Ký hiệu

/ Ù {aJ : |.S'i I < . . . . \Sk-\I < X, \sk\ > x), k 1.2 rí,

Rõ ràng A j n .4J 0 với i 7^ j. T ừ đó n

P [ | 5 n | >x-a\ >53P[|S„| > x - a ; A f c | fc=i

n

> £ > Ị | S n - S * | < a ; A f c ị . (8.2) fe=i

Mặt khác, | |5„ - 5fc| < a| e ơ ( X f c + i , x „ ) còn Ak € X/r) nôn chúng độc l]) với nhau. Vì thế t ừ (8.2) suy ra

Tỉ.

F\\sn\ > .r - « 1 > Y,F(Ak)Ỹ\\Sn\ >x- a\ r i

> (Ì — p) ^ Ỹ(Ak) - (Ì - p ) P Ị max \Sk\ > xỊ. fc=i

Điều này chứng minh (8.1). •

248

Hê quả. Già sử Xi, X2, • • • , X n độc lập và có phương sai hủi

han. Khi đó,

Ịmax|5fcỊ > x\ < 2 P ị | 5 n | > X - s/2D(Sn)\.

Q u ả vậy, l ấ y a = y/2DSn. Sử dụng b ấ t đ ằ n g thức Chebyshev:

8.1.2 Bất đằng thức (Kolmogorov)

a) Giả sử X\,X2,... , Xn là các biến ngẫu nhiên đọc lặp và

EXk = 0, D p i f c ) < 0 0 , k = 1 ,2 , . . . ,77.

/(Tú đó 7>ớz £• > 0 tuy ý ta có

P | m a x | 5 n | >£] < ^ ậ ^ . (8.3 fc<n £•

6 j iVếti có một số c > 0 n à o đ ó m à

P ị | * k | < cỊ = Ì , fc = 1 ,2 , . . . , n

Chứng minh.

•à) Ký hiệu

A = Ịmax|5'fc| > eị,

Au = {ui: Ị 5 i | < £ , . . . , | 5 f c _ t ị < £ , | 5 f c ị > e } , * = 1 . 2 . . . n .

24!)

Ta có TI l ì

k • Ì *•

Mặt khác

ESị = E(Sk + S n - S k ) H A , :-.

= E S ị l ^ + 2E(S„ - S*.)S*I^ + E(.v„ - Í>V) 2 1U

vì 5 „ - 5 t và S V I A , độc lập, E ( S „ = 0 nén E(Sn - Sk)SklAị 0.

Do đó,

n t i

Eố* > ^ E S f IU, > - 2 J > ( , 4 * . ) C 2 P ( A ) . k- ì

Đó chính là (8.3).

1)) Ta có

ES'ịlA = ES* - > ES* - =-2PM)

: - - E S * - c 2 + í T 2 P ( . 4 ) . (8.5)

Trẽn ta có < e, |Sfc| < |5fc_i| + \xk\ < e +• c, nén

ri

fr - Ì

TI n

--• Y,BSllAk I 5 ^ B ( 6 n - ^ ) a

A---1 A Ì

l i ri

< ( r + e ) 2 ^ P ( . 4 A . ) I / ; ( .S \ , ) ]TP( ,U)

A-.--1 * !

<P(i4)Ị(c.+ o 2 + £>(£,,)]• í*.")

v 2 „ . <

250

T ừ (8.5) và (8.6) suy ra

D(Sn) - e2

1 (c + é)'1

F(A) >

> ì -

(c + e)2 + D(Sn) - £ 2 (c + e)2 + D ( 5 n ) _ e 2

(c + e) 2

ơ ( 5 n ) •

8.1.3 Đinh lý. Giả sử ( X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập. Lúc đó ỵ2 Xn hội tụ h.c.c khi và chi khi nó hội tụ theo xác suất. Chúng minh. Hiển nhiên từ sự hội tụ h.c.c suy ra được sự hội tụ theo xác suất. Vì vậy, chỉ cần chứng minh điều ngược l ạ i . Giả sì chuỗi Xn hội tụ theo xác suất. Điều đó có nghĩa là dãy (Sn) hội t ụ theo xác suất. Do đó, dãy ( s n ) cũng là dãy cơ bản theo xác suất. Khi đó, với mọi e > 0, với mọi ổ > 0, ổ < 1/2 tồn t ạ i no sac cho

F\\sn - sm\ > e\< ố/2, n > ni > n n .

Sù dụng bất đằng thức (8.1) với a ='£. X — 2e, ta có

P ( sup |S n - s m \ > 2e) < - 1 - P ( | 5 M - 5 m | > e) m<n<M Ì — ồ

< 2 P ( | 5 ' M - 5 M | > e) < ổ, m > Ho-

Cho M —» +oo ta có

P( SUI) \sn - sm\ > 2e) = l i m p ( sup |5„ - 5 m | > 2e) m < n < M M - . + 00 m < n < J W

< ổ, rn. > no.

T ừ dó lira P(sup \sn - sm\ > 2e) < ồ.

m - t + oo rtl<n

Vì (5 > 0 nhổ tuy ý nên vế trái bất đằng thức trên bằng 0. Nhu vậy. dãy (S„) cơ bản h.c.c nên hội tụ h.c.c. •

8.1-4 Đinh nghĩa. Dãy biến ngẫu. nhiên (Znì dược gọi là hội: tụ theo luật. đến biến ngẫu nhiên z, ký hiệu là z„ s z nếu

Fz„ Fz

hay cũng nhu vậy, Ỹz —> f z - ờ đày ¥ỵ là phàn phối xác suất của X.

8.1.5 Đinh lý. Giả sù ( x n ) là dãy các biến ngầu nhiên dọc lạp. Khi. đó, các điều kiện sau là tương đương:

a) Chui Xn hội tụ h.c.c. b) Chui Y^Xn hội tụ theo xác suất .

c) Chui Y^, x n hội tụ yếu theo phân phối. Chứng minh. Chi cần chứng minh c) => b) . Giả sử chuỗi Y2 X>I hội tụ yếu theo phân phối nhưng không hội tụ theo xác suất. Nghĩa là

dãy (S„) không cơ bản (heo xác suất. Như vậy tồn tạ i é > 0 và mọt đày ( r n - , m ^ > i , ri ị,- > ìiik sao cho

P( |ố ' n t - SmJ > c) > e. Ả- > Ì, (mk - ! oe). (8.7)

Mặt- khác, do (Ps ) hội tụ yếu đến độ đo xác suất /í liên cũng

compact tương dối . Bời vậy. vịi 6 > 0 tồn tại a > 0 sao cho

supPỊỊốnl > «1 < e/2.

T ừ đó

Ỹ\\sn - sm\ > 2a\ < Ỹ\\s„\ > «1 f F\\sm\ > a\ < z vịi mọi (ni, Tì).

Nghĩa là. họ {fs„-sm: li > UI > ì} compact tương đố i theo đ ịnh lý Prokhorov. Nói riêng, họ {P.s- _.y , . A- > Ì} compact, tương dố i . Cho nen tồn tạ i một dãy con { P v . _,S'„ . A- > Ì} hội tụ yếu (lếu độ

252

(lo xác suất A. N h ư vậy.

p.v A / í , v à P.V -P.S- _ s„ . *p .9 A * a ,

T ừ đó , ta có X*Ịt — / í . N h ư vậy A = ỏo- ờ đ â y ốỊ) l à đ ộ đ o xác: suất

t ậ p t rung t ạ i 0, nghĩa là Ò{)(B) ---- 0 nếu 0 ế fí v à Ò()(B) ••- Ì nối

0 € B: li e B(R). Theo kế t quá t rong chứng m i n h đ ị n h lý 6.4.2 t í

co

SPk - sqí 0.

Điêu dó m â u t h u ẫ n v ớ i (8.7). V ậ y (S„ ) hội t ụ theo x á c suất . c

Kết quả san đ â y x á c l ập m ố i liên h g iữa h ộ i t ụ theo t r ù n '

b ình và hộ i t ụ h.c.c.

8.1.6 Dinh lý KolmogoTov -Khinchin. Già sù dãy (X.„) dội

lập, EX„ - 0. Khi đó:

aj Nêu oe

^ T E À ^ O C (8.8 n-.\

thì chuồi x„ hội tụ h.c.c;

b) Nếu với xác suất ì dày ( X n ) bị chận đêu, tức là tòn tụ

h ằrựị số r > 0 sao cho

' (V\\x„\<c\ Ì , v»»

và nêu chuỗi Xn hội tụ h.c.c, thì

oe

J2EXI<OC.

Chứng minh.

a) Do ( X n ) độc lập. EXn 0, li > Ì cho nên d ã y ( S n ) hộ i ị:

2Õ;Í

theo t r u n g b ì n h bậc hai nếu (8.8) d ư ợ c t hực h i ện . V ậ y

E ( 5 „ - sm ) 2 - » 0. (TỈ . n? -+ oe).

Theo b ấ t đ ằ n g thức Chebyshev. d ã y ( S n ) cơ b á n theo xác suất nén

h ộ i t ụ theo x á c suất và do d ó theo đ ị n h lý 8.1.3, d ã y (.S'„) hộ i tụ

h.c.c.

b) G i ả sử chuỗi Yl Xn hộ i t ụ h.c.c. K h i đ ó , v ớ i ì) đ ọ l ớ n

P ( s u p | 5 . „ + A . - s , | >£) < ị . (8.9)

T ừ đ ó . (heo (8.4)

(c f ^ P ( s u p | 5 n + A . -s„\ >£•)>!

^ 1 Ẽ

oo

Do đ ó , n ế u £ Đ/Yj. co thì

p(sup |5'n + A- — Sn\ > í ) = Ì v ớ i mọi?? > 1. k>ĩ

Điêu đ ó m â u t h u ẫ n vớ i (8.9). V ậ y có (8.8). •

Ví dụ. G i ả s ư (A"„) là d ã y các b i ến ngẫu nhiên độc l ập sao cho

EXr, 0. DXn - Ì và tồn tại số r < oe dể pị |A" n < rị I : 1. n > L.

G i ả sử ((!„) là d ã y số, ta sẽ chứng t ỏ r ằ n g chuỗi

anxn hộ i t ụ h.c.c ^ J « n < 3 0 •

T h ậ t vậy, V I 53 E (u„ xn)'2 = £ dị cho n ê n n ế u £ < 3 0 ' h ì ( 1 < )

đ ị n l i lý 8.5(a), chuỗi Ỵ^a„x.n hộ i t ụ h.( ' .é.

Ngược l ạ i . n ế u £ « n y Y „ hộ i tụ h.c.c th ì d ã y (rí,,) p h ả i bị chạn.

Q u á vậy. n ế u k h ô n g phả i n h ư vậy thì sẽ có d ã y a.„k —> oe t rong khi

254

đ ó a n k X n k —> ũ(h.c.c). Do đ ó Xnk —> o(h.c.c). T ừ đ ó v à đ ị n h h

Lebesgue vê hộ i t ụ bị chặn suy ra Ì = E X „ —* 0 (vô l ý ) .

N h ư vậy, d ã y (\an\) bị chặn b ờ i ơ > 0 nên d ã y (an.Xn) b

chặn b ờ i ác v ớ i xác suất 1. Bây g iờ sử d ụ n g đ ị nh lý 8.1.6 ta c<

E « n < oe.

8.1.7 Dinh lý hai chuỗi. Giả sù ] T xn là chuỗi các biến nga;

nhiên độc lập. Khi đó:

a) Nếu hai chuỗi

E I „ và ỵ2 DX™ h 9 l lV"-

thì chuỗi ỵ2 Xn hội tụ h.c.c.

b) Nếu tồn tại c < oo sao cho Ỹ\\xn\ < c\ = Ì , n > Ì thì ti Y^Xn hội tụ h.c.c suy ra hai chuỗi 53EJt„ và Y^DXn hội tụ.

Chứng minh.

•á) Chuỗi 52 DX„ < co, cho nên theo đ ị n h lý 8.1.6, chuỗi

Ỵ2(Xn — EXn) hộ i t ụ h.c.c. T ừ d ó v à g ià t h i ế t của a) ta có chile

£ EvY„ hộ i t ụ . Do đ ó chuỗi Xu hộ i t ạ h.c.c.

b) N ế u cần p h á i m ớ rộng k h ô n g gian (Í2, P) đ ù g i àu đ

t ồ n t ạ i d ã y các b i ế n ngẫu n h i ê n độc l ập (x'n) và các h ố (Ầ .„ Ị „>1

( x ^ ) n > i cũng độc l ập v ớ i nhau ngoài ra Xn v à có c ù n g p h á

p h ố i đ ố i v ớ i m ỗ i TI. n ên chuỗi Ỵ^{Xn — x'n) h ộ i t ụ h.c.c.

K h i đ ó n ế u P Ị | X „ | < c| = Ì th ì Ỹ\\x„ - x'„\ < 2cj - 1. The

đ ị n h lý 8.1.6, chuỗi D{X„ - x'n) h ộ i t ụ v à do đ ó

do - ao

5 D X „ = ± £ D ( X n - x ; j hộ i t ụ . li ! n — Ì

L ạ i do đ ị nh lý 8.1.6(a), chuỗi X X A n - EXn) hộ i t ụ h.c.c. Đ iều (Ị

và g i ả t h i ế t cho ta k ế t l u ậ n chuỗi Ỵ^¥iX,n h ộ i t ụ . • •

255

3.1.8 Đinh lý ba chuỗi đìa Kolmogorov. Giả sù (Xn) là dãy -Ác biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, nếu chuỗi 53 Xn hội tụ h.c.c '.hỉ với mọi c > 0 ba chuỗi

( a ) ] T > * « . (b)Y,DX'n, (c)J2n\Xn\>c\

lội tụ, trong đó x r = JO||Y|<o]-

Ngược lại, nếu với c > 0 nào đó ba chuỗi trên hội tụ, thì chuỗi

V Xn hội tụ h.c.c.

Chứng minh.

Điều kiện cần. Nếu chuỗi Xn hội tụ h.c.c thì Xi, —> 0 h.c.c. Do đó có biến cố A sao cho Ỹ{A) —- Ì và Xn{^>) —* 0 với mỗi u) 6 A.

<hi đó với mỗi c > 0 và mỗi Lư G A chi có một số hữu hạn các chi l ố 77 để tư G \\Xn\ > c\ nghĩa là

oo oe

A c u Pl | | X n | < cỊ hay P(l imsupỊX n > c\) = 0. fc=l ú Á' "

Theo bổ đề Borel-Cantelli, chuỗi £ P [ | X „ | > c\ < oe hay cũng như ' ti

'ây, Y^Ỹ(Xn ệ Xị) < oe. T ừ đó và già thiết chuỗi x„ hội tụ 1.C.C suy ra chuỗi 52 - ^ n hội tụ h.c.c. Bời vậy theo định lý 8.1.fj(b) huỗi (a) và (b) hội tụ.

Điều kiện đặ. Giả sử với c > 0 nào đó. ba chuỗi (a), (b), (c) lội tụ.' Khi đó, theo định lý 8.1.6(b), chuỗi J2 Xít hội tụ. Mặt khác lo ((') và bổ đề Borel-Cantelli, với xát' suất Ì hai chuỗi X'n và ^ x„ chỉ có một số hữu hạn các số hạng khác nhau. Cho nên chuôi r* x.n cũng hội tụ h.c.c. •

Ví dụ. Giả sử ( x n ) là dãy biến ngẫu nhiên không âm. Ta sẽ chứng ninh rằng chuỗi

Ỵ] x n hội tụ h.c.c <=> y^Emin(X T , , Ị ) < +oo .

256

• Nếu chuỗi Ẩn hội tụ li.co thì theo định lý ba chuỗi, c á c chuỗi sau hội tụ: £ P Ị | X „ | > 1), ^ E ( * » u ) . T ừ đó chuỗi

ri

ỵ,Eựp+iỊịXnỊ>ỈỊ)

hội tụ. hay ] T E m i n ( X „ , l ) < co (vì miĩì(Xn,l) = x i " + I||.Y |>1|.)

• Ngược lại vì

rnin(X n , 1) > x£] > 0. min(,Y n , 1) > I|.V„>1|

nên từ sự hội tụ của chuỗi 5 Z E m i n ( X n , 1) suy ra X]P(|A"„| > 1) < o

và ỵ^EX^} < oe.

Mặt khác m'm(Xn, 1) > ( x i 1 ' ) 2 nén cũng có

Theo định lý ba chuỗi, chuỗi Xn hội tụ h.c.c.

8.2 L u ậ t manh s á l ố n

8.2.1 Đinh nqhĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên ( X n ) có kỳ vụng hữu hạn được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn (LMSL) nếu

Sn — Eố'„ » 0 h.c.c

Tì

hay lòng quát hộn, nếu ton tại hai dãy hằng Hố (tin), (b„). 0 < bn ị oe

sao cho • () h.c.c

K ờ đây sn = X\ + Ẩ2 + ... i xn.

8.2.2 Luât manh số lớn Kolmogoĩvv: triỉờng hơp tổng quát. Giã sù ( X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các.

257

moment bậc hai hữu hạn, (bn) là dãy hằng số sao cho 0 < bn I 00.

Khi đó, nếu

E DXn

n = l bĩ.

thì Sn — ESn

bn

0 h.c.c.

Chứng minh. T ừ (8.10) và đ ịnh lý 8.1.6, suy ra chuỗi

> • 0 hội tụ h.c.c. n=l

Để chứng minh (8.11) ta cần bổ đề sau.

(8.10)

(8.11)

(8.12)

BỔ đề Kronecker. Giả sử 0 < bn I oo và chuỗi số xn hội tụ. Lúc đó khi Tỉ —> 00

Ì n

fc=i

Chứng minh.

Đặt AT, X] R õ ràng Ẩ n - > 0 và A = sup I Ẩ n I < oo. Ta có k-n+l n

ri. ri Tí ri

] T bkxk = bk(Ak-i - Ak) = Yl bkAk-i - b k A k

l i l i

n - l

1 1 n 1 1 ^

l im-—y^bfeXfe < iim-— - bk)Ak

(8.13)

Giả sử e > 0 đã cho, tồn tạ i no sao cho \An\ < £, ri > no. K h i đó,

258

với Tỉ > no

. n - l "ũ n-l

I 1 - bk)Ak < IY^(bk+1 - bk)Ak +e J2 - bk)

Ì Ì n o + l

= Mb

n0+Ĩ - bi) + e(bn - b n o ) .

Do đ ó n - l I 1

l i m hr zJ( 6 *+l - bk)Ak 7 1 lơn J

T ừ (8.13), (8.14) suy ra

1 I n

< e. (8.14)

fe=l

Để kế t thúc chứng minh định lý, ta chú ý rằng t ừ (8.12) và bổ đề

ta có:

Sn — E 5 n Ì v-^. xn — E A n . = — 2^h > O(h.c.c) •

On On , On

Nhân xét.

a) Nếu

thì

n = l

5 n — 0 h.c.c.

n

(8.15)

(8.16)

b) (8.15) được thoà mãn nếu dãy (DXn) bị chặn đều, tức là, tồn t ạ i hằng số c > 0 sao cho DXn < c với mọi Tỉ.. Do đó, có (8.16). K ế t quả này mạnh hơn đ ịnh lý Chebyshev về luật yến số lán được p h á t biểu như sau:

259

Nếu dãy ( D X n ) bi chặn đêu thì

Sn — ESn p 0 .

n

Ví dụ. G i ả sử {Ẩn) là d ã y các b i ế n ngẫu nh iên độc lập v à n ế u d ã y

( D X n ) bị chặn đ ề u . K h i đ ó

y ~ ] j - ^ Ị j — < 00 v ớ i 6 > 0 b ấ t kỳ 2 n l o g n

c (vì chuỗi s < 00). Cho n ê n

2 n log n

O r , — E ^ r , 0 h.c.c.

Điều k i ệ n có moment bậc 2 có t h ể g i ả m nhẹ n ế u t h ê m v à o g i à

t h i ế t c ù n g p h â n phố i c a d ã y ( X n ) .

8.2.3 Luât manh số lớn Kolmogorov: trường hơp. cùng

phân phối. Giả sử (x.n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng

phân phối. Khi đó

— -> a h.c.c, a e R (8.17) ri,

khi và chỉ khi EỊXiị < 00 và a — HSiX\.

Chứng minh. a) G i ả sử E ị X i l < 00. Đ ặ t

x'n = X n I | | x „ | < n i v à X" = x n - Xn.

260

Vì ao oe oo

J2nK Ỷ 0] = x > n * n | > n) = J2n*i\ > n i

Ì Ì Ì OG C O

= J2 p i T O < I^ii < m +1] n=i m=n

co

= mPịm < \Xi\ < m + l ị < (8.18) m~ Ì

< E | X t | < co.

Theo bố đ ề Borel -Cante l l i , v ớ i x á c suấ t Ì chỉ có m ộ t số h ữ u hạ i :

các X " Ạ 0. Cho nên

ì ^

n k=i

G i ả sử F(x) là h à m p h ả n p h ố i của Xị.' K h i đ ó

DX'n<E{X'n)2 = í" x2dF(x), J —Tì

và

- oe - TI ỊI

Ệ;W = Ị; JJSE / n — Ì m n — Ì /c — Ì , ì 1 I ^ Ì — n fc—KỊ:rỊ</c

co „ oo -

>; / fc=l fc-K|x|<fc n = A "

oo » / 0 0 ì

Ẽ / w"nx ) (*Ẽ - i

oo

<

< 2E|X

261

(vì

k y ± < Jfc y ( _ L _ - í) = < 2 v ớ i jfc > 2, n — K T) — K

còn vớ i fc = Ì thì ^-

.si 1 Ẹ ^ < 1 + 1 = 2). 1

Vậy

Do đó theo nhận xét 8.1,

±(X'k-EX'k) >0 (h.c.c).

n

Mặt khác, theo định lý Stolz (giải tích cổ điển)

1 n

l im - ý EX'k = l im EX'n =

Ì Ị xdF(x)

J — n

fc=l

= l i m / xdF(x) = EXi = a.

Như vậy r

É*; Ì a (h.c.c). (8.20) . li

T ừ (8.19) và (8.20) ta có sn/n -> E X i /i.c.c. b) Đảo lạ i , giả sử s n / n —> a h.c.c và a € R . Vì a hữu hạn nên

- ^ n 5'n 77 — 1 5 n _ i 0 h.c.c. TI n n n — Ì

và do đ ó với xác suất Ì chỉ có m t số hữu hạn các biến cố li A n ị > rỉ I

262

x ả y ra. Theo b ổ đ ề Borel-Cantel l i

óo oo

53P[|Xn| >n\ = 5 > [ | * i | >n\ <oc. n = l Ì

T ừ đ ó v à (8.18) ta có

oo

E | X ị | < ]T (m + l)P[m < < m + lị < 00. 771 = 0

K h i đ ó theo (a), s n / n —*• E X i h.c.c v à do đ ó a = E X i . •

Nhận xét. N ế u E X i = a t ồ n t ạ i n h ư n g k h ô n g h ữ u h ạ n t h ì v ẫ n có

Sn/n —* a h.c.c.

T h ậ t vậy, n ế u EXị = +oo (có nghĩa là EX'{ < 00, EX{*" = co) t h ì

EXỈ h ữ u hạn , ( ờ đ â y X{ = Xi\xx<c\ v ớ i c > 0 b ấ t k ỳ ) . n

K h i đ ó , ^ : = — > EXĨ h.c.c. Tì. Ti

s Sĩ. N h ư n g l ị m — > l ị m — = B X f — • B X i = +oo .

n n n ( c—+oo)

g Nghĩa là, l i m — = -foo — a h.c.c.

n n

N ế u ¥iX\ = —oo t h ì cũng x é t t ư ơ n g t ự .

K ế t q u ả sau m ờ rộng l u ậ t m ạ n h số l ớ n Kolmogorov.

8.2.4 Định lý (Mareinkiewicz-Zygmund). Giả sù {Ẩn) là dãy

các b.n.n độc láp cùng phân phối, Sn = Xi +... + Xn và p 6 (0; 2) .

Khi đó

^ F ^ M - (8-21)

đối với một hằng số c nào đó nếu và chỉ nếu ĩỉi\Xi\p < 00. Đong

thời,, nếu như vậy thì c = EXi khi ì < p < 2 và c là tuy ý khi

0 <]?<!.

263

Chứng minh.

a) Nếu (8.21) xảy ra thì

Xn_ sn-nc _ n - 1 Q / pSn- i -ne nVP ~ n>/ĩ> 1 n ' (n-iy/p ^n-cc>-

Từ đó theo bổ đề Borel-Cantelli, chuỗi oe oo

£ > | | A " i | > n 1 / p ] < oe hay ỵ2Ỹ\\Xi\P

> Ti) < oo. n = Ì n = Ì

Suy ra , E\Xị\p < 00 (tại sao?).

b) Ngược lại, giả sử E\Xi\p < 0 0 . Để chứng minh (8.21) ta cần bố đề sau.

Bổ đề. Giả sử Yn = n - l ^ X n ĩ ị X r , \ < n - i / p - Lúc đó chuỗi

oa J£ 53 - EY„) hội tụ ft.ee. n = l

//ơn nứa, nếu 0 < p < ì hoặc Ì < p < 2 và EXi = 0 thì chuỗi ao

E ?_ hộitụ h.c.c. n\lv

n = l

Chúng minh bô đề. Đặt

>lfc = ị(fc-l) 1 / p <l*il < f c l / p u = 1 >2,-. . •

Khi đó với 0 < p < ợ oo oo n /•

£ E | n , r . £ £ » - 9 / p / n = l n = l f c = l - / - 4 » :

|A"i|«dP

fe=ln=fe

264

0 0 ỉ < V ( f c - « / p + — £ - i f c < p - 9 > / p ) / Ì X ^ d P

£[ <ỉ-p JAk

0 0 ì ỉ

fc=i fc 9 p ^

CO

<

< — - — E Ị X i | p < 00. (8.22 9 - P

Trong (8.22), l ấ y <7 = 2, t a có

00 2 x>|>g2< ^ - E l ^ r < o o . n=l "

Do đ ó , chuỗi 00

^T(Yn - EYn) h ộ i t ụ h.c.c. (8.23 n=l

M ặ t khác ,

oe y 00

5>[4^ + Vu} = E P Í P G Ị > " 1 / P 1 ^ E i * i i p < °°-n=l n=l

T ừ đ ó v à (8.23), chuỗi

00 ỵ Ỵ^iAr-. - EVn) h ộ i t ụ h c c • ( 8 - 2 4

^—/ 77l/p n=l

oe

K h i 0 < p < Ì , á p dụng (8.22) v ớ i ạ — Ì t a có E\Yr>.\ < +°° V i

c ù n g v ớ i (8.24), chuỗi —ự- h ộ i t ụ h.c.c. n=l

265

K h i Ì < p < 2 v à EXi = 0 t a có

„ oo CO p J > ỵ n | < Vn-. 1 /"/ \Xl\dP = T T n~l'r ịX^dP n = l n = l

oe fc— Ì - oo .

fc=2n=l ^A«= p ~ 1 fc=l ọp ỵ-

^ T ^ E / l ^ i l p r f l P - - Z

7 i E | ^ 1 | p < 0 0 . p - 1 è t p - 1

(vì 7>2 - 2p + Ì > 0 =• p > \(p - l ) / p \ + 1).

Đ i ề u đ ó c ù n g v ớ i (8.24) ta l ạ i có

0 0 X E —TJ- < oe h.c.c.

BỔ đ ề đ ư ợ c chứng m i n h . •

Bây g i ờ ta t r ờ l ạ i chứng m i n h đ ị n h lý.

Theo b ổ đ ề

E X n - rc^n hôi t u h.c.c, Ì < p < 2, n = l

— j y - h ộ i t ụ h.c.c, 0 < p < ì.

Sử dụng b ổ đ ề Kronecker, t a có

s n - nEXi n ỉ / p . 0 ( h . c . c ) , K P < 2 ,

S n 0 ( h.c.c), 0 < p < Ì , v à n i / p

5 n - -ne _^ 0 ( h c c ) k h i 0 < p < 1 c € R . n l / p v

T r ư ờ n g h ợ p p = Ì đ ã đ ư ợ c chứng m i n h t rong đ ị n h lý K o l m o g o r o v . n

266

Bài t á p 1. Chứng minh rằng một chuỗi các b.n.n độc lập có tống hầu chắc chắn bằng hằng số thì mỗi số hạng cũng hầu chắc chắn bằng hằng số. 2. Giả sử ( x n ) là dãy các b.n.n độc lập. Chứng minh rằng chuỗi Y^, xn ( xn là đối xứng hoa của Xn) hội tụ h.c.c khi và chi khi tồn tại dãy hằng số (an) sao cho chuỗi X X ~ an) hội tụ h.c.c. 3. Giả sử X i , Ẩ2, • • ., Ki, V2, • • • là tập hợp các b.n.n độc lập. Chứng minh rằng nếu chuỗi Y^(X.n + Y n ) hội tụ h.c.c thì tồn tại hai dãy số (a n) và (bn) sao cho hai chuỗi

hội tụ h.c.c. 4. Giả sử (Ẩn) là dãy các b.n.n độc lập và ( i f n ) là dãy hàm đặc trưng tương ứng. Chứng minh rằng chuỗi J2 Xn hội tụ hầu chắc chắn khi và chớ khi mỗi một trong hai điều kiện sau được thực hiện:

n

a) lim I I tpk(t) = vit), hàm <f liên tục tại t = 0, n—*oo

fc=l 00

b) Yi fk(t) hội tụ tới giới hạn khác không trên một tập có độ fc=i

đo Lebesgue dương. 5. Giả sử (Xn) là dãy các b.n.n không âm. Đặt — min(x, 1). Chứng minh rằng chuỗi Xu hội tụ h.c.c khi và chớ khi chuỗi 53 Xn^ hội tụ h.c.c. 6. Giả sử ( x n ) là dãy các b.n.n độc lặp cùng phân phối bị chặn bời cùng một hằng số và có kỳ vọng bằng 0. Chứng minh rằng chuỗi

00

53 cnxn ( trong đó(c„) là dãy số thực ) hội tụ h.c.c khi và chì khi n = l

E cị < 00.

267

7. G iả sử ( x n ) là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối với kỳ vọng 0, phương sai hữu hạn và ( c n ) là dãy số. Chứng minh rằng chuỗi J2 cnXn hội tụ h.c.c khi và chỉ khi x ^ c n < ° ° -

8. Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập không âm. Chứng minh rằng

a) nếu chuỗi Y^'EXn hội tụ thì chuỗi Yl Xn hội tụ h.c.c.

b) nếu F\xn > c\ = 0,n > l , c e R và chuỗi J2Xn hội tụ

h.c.c thì chuỗi 53 EXn hội tụ .

9. Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập, X n ~ A/"(0,ơ^),7? =

1,2,... Chứng minh rằng chuỗi Yl Xn hội tụ h.c.c khi và chỉ khi

E °ị < 10. Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập và mỗi Xn có phân phối

Poisson. Chứng minh rằng Ẩn hội tụ h.c.c khi và chỉ khi chuỗi

J2 EXn hội tụ.

1 1 . Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối Cauchy

với mát độ

và (c n ) là dãy số thực. Chứng minh rằng chuỗi Y^CnXn hội tụ

h.c.c khi và chì khi 5Z i c n | < OO-

12. Giả sử ( x n ) là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối ấn định đ ố i xứng với chỉ số a > 0 ( nghĩa là hàm đặc t rưng có dạng ip(t ) -exp{-d\t\rJí}, á > 0) và (c n ) là dấy số thực. Chứng minh rằng chuỗi

hội tụ h.c.c khi và chi khi \cn\a < oo. 13. Giả sử ( X n ) là dãy b.n.n độc lập với EXn = 0,n > Ì, và tồn tạ i b.n.n X với EX2 < oo sao cho với raỗi n > Ì các b.n.n

X i + h xn và X - Xi xn độc lập. Chứng minh rằng

EX% < oo với mọi Tì, > Ì và chuỗi £2 hội tụ h.c.c.

268

1 4 . G i ả sử ( X n ) là day b .n .n đ ộ c l ập . C h ứ n g m i n h r ằ n g chuỗ

x'n h ộ i t ụ h.c.c k h i v à chỉ k h i

1 5 . G i ả sử ( . X n ) l à d ã y b .n .n đ ộ c l ậ p v ớ i các kỳ vọng b ằ n g k h ô n g

C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u

t h ì chuỗ i Xn h ộ i t ụ h.c.c.

1 6 . G i ả sử ( X n ) l à d ã y b .n .n đ ộ c l ậ p và

EXn = 0, EXị = l,EXị < c\ n > Ì, c e R;

G i ả sử {a,ij, i, j > 1} c R, O j j = ciji, i , j > 1. Đ ặ t

ri

Sn = ^ ^ ữ j j JCịJCj, TI ^ 1. I . j = l

C h ứ n g m i n h - r ằ n g d ã y ( ổ n ) h ộ i t ụ theo t rung b ì n h bậc hai k h i Vi

chỉ k h i các chuỗ i sau h ộ i t ụ :

hi

1 7 . G i ả sử ( ^ r i ) l à d ã y c á c b .n .n đ ộ c lập , k h ô n g â m sao cho

Y^EXn < oe.

oe

C h ứ n g m i n h r ằ n g t í c h Ỵ ỵ ( Ì + x n ) h ộ i t ụ h.c.c.

n=l

269

18. Hai dãy b.n.n (Xn), (Yn) được gọi là tương đương theo nghĩa

Khinchin nếu

J>[x n í Yn\ < oa

Chứng minh rằng đối với hai dãy b.n.n (Xn), (Yn) tương đưang theo nghĩa Khinchin thì chuỗi ( X n ) hội tụ h.c.c khi và chi khi chuỗi (Yn) hội tụ h.c.c. 19. Chứng minh rằng nếu chuỗi Xn các b.n.n độc lập đối xứng có dãy tổng riêng (S.n) bị chặn theo xác suất, nghĩa là

lim supP[|5n| > cỊ = 0, thì hội tụ h.c.c. c—oe n

20. Chứng minh rằìig đối với dãy các b.n.n độc lập và dối xứng ( x n ) nếu chuỗi ^ Xn hội tụ h.c.c thì chuỗi ^2 Xơ(n) cũng hội tụ

TI TI

h.c.c, trong đó ơ là một song ánh tuy ý từ N vào N. 21. Cho dãy số (ơ'ị) không âm sao cho

Hãy chỳ ra một dãv b.n.n độc lập ( X n ) sao cho

r 2

TI

nhưng .V, i 4 ,Y.

7^ 0h.ee

SA',, 0. ĩ) > Ì, Y l 2= o c

-

Xi + . . . + Xr,

22. Giả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập cùng phân phối với kỳ X. + 4- -X"

vọng EXi = a hữu hạn và r n = — — - , n > 1. Chứng • n minh rằng dãy (y n ) tuân theo LMSL. 23. Dãy (X„) các b.n.n độc lập thoa mãn

a) £ - 1 E * 2 < oe,

270

b) EXn -> 0.

Chứng minh rằng

^ - 0 h.c.c. n

24. G iả sử ( A n ) là dãy b.n.n độc lập sao cho

F\Xn = -n]=F[Xn=n\ = - ì

n ỸịXn = OI = Ì Tỉ > 2.

Tỉ,

Chứng minh rằng oe

a) E = 0 0 , n = 2

b) LMSL không được thực hiện.

25. Giả sử ( x n ) là dãy b.n.n độc lập với E | X n | < oo,n > Ì và

ỵ,±E\Xn-Èxn\ < o o . Chứng minh rằng

s n — EiSVi . • • O(a.c.c).

n 26. Dãy các b.n.n độc lập đ ố i xứng (Xn) thoả mãn các điều kiện ¥iXn = 0, n > Ì và vớ i r > 0 nào đ ó

8 U P E | Ề ^ r < 0 0 . n

fc=l

Chứng minh rằng

^ -» 0 h.c.c. n

27. Chứng minh rằng nến dãy các b.n.n độc lập (Xn) thoa mãn

Tì DX„ < ũ 2 , n > 2, (c là hằng số dương)

In n

thì dãy { x n ) t uân theo Luật mạnh số lớn.

271

28. G i ả sử ( X n ) là dãy các b.n.n độc lập đ ố i xứng sao cho, với e > 0 bấ t kỳ

^ P [ | Ố V | > e.2 n | < DO.

Chứng minh rằng

^ ^ 0 h.c.c. n

29. Giả sử (xn)\k dãy các b.n.n độc lập Gauss.Chứng minh rằng,

nếu với f. > 0 bất kỳ

2"

Ỵ^exV{-e.22niỸ^DXk)-1} < oo fc=i.

thì ( X n ) tuân theo Luật mạnh số lớn.

30. Giả sử dãy các b.n.n (Xn) độc lập Gauss và E J „ = ũ, Ũ J Í „ = Ì,

ri > 1. Chứng minh rằng

,. S n — S m lim n-m—>+oo TI — ra

không tồn tạ i với xác suất 1.

272

C h ư ơ n g 9

M A R T I N G A L E V Ớ I T H Ờ I G I A N R Ờ I R Ạ C

Martingale bắt, nguồn từ trò chơi, và ngày nay đã trờ thành công cụ toán quan trọng trong các lĩnh vực của xác suất và giải tích. ơ đây ta hiểu trò chơi theo nghĩa rộng: trò chơi có thè là chơi bài, mua sổ số, đánh số đề, mua cố phiếu, bò vốn đầu tư ... . Khi bắt đầu cuộc chơi, người chơi có vốn là Xo, thông tin ban đầu mà người chơi biết được là T(). Sau khí chơi ván thằ nhất, vốn của người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên Xi, và thông t in sau khi chơi Ì ván sẽ tăng lên: Tị) c T\. Tiếp tục chơi ván thằ hai, vốn sau khi chơi ván hai sẽ là biến ngẫu nhiên X2 và thông t in bây giờ lại tăng lên: Tư c Tỵ c Ti- Bằng cách đó, t iền vốn sẽ có sau ván thằ ri là biến ngẫu nhiên Xn, và thông t in sau khi chơi Tì. ván là Tri-Như vậy. vốn của người chơi và thông t in thu được lập thành dãy {Xn,Tn}. Về phương diện toán học. ta có thể xem {Tn} là dãy ơ-trường không giản), và xn là biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào Tn-tằc là. T.n-ảo được.

Trò chơi dược xem là không thiêt hai hoác công bằng. nếu

trung bình có điều kiện (biết thông tin) vốn của ván sau bằng vốn của ván t rước. Theo ngôn ngữ xác suất thì điều này có nghĩa là:

và {X.n,Tn} được gọi là martingale.

273

T r ò chơi đ ư ợ c xem là th i ệ t h ạ i , n ế u t rung b ình có d i ề u k i ệ n (b i ế t t h ô n g t in ) v ố n của ván sau bé h ơ n hay bằng von của ván trước:. Theo n g ô n ngữ x á c suất th ì đ i ề u n à y có nghĩa là:

và { X n . T n ) đ ư ợ c gọi là martingale t r ên . T r ò chơ i đ ư ợ c xem là c ó Xơi . n ế u t rung b ì n h có đ i ề u k i ệ n

(b i ế t t h ô n g t in) v ố n của v á n sau l ớ n h ơ n hay bằng v ố n của v á n t r ư ớ c . Theo n g ô n ngữ x á c suất thì đ i ề u n à y có nghĩa là:

E(Xri+ì\Fn) >-Xn,

v à {Xn,^Fn} đ ư ợ c gọi là martingale d ư ớ i . Dĩ nh iên k h i chơi , n g ư ờ i chơi phả i đ ị n h ra m ộ t ch iến lược đ ế

chơi : t i ế p tục chơi , b ỏ t h ê m v ố n . thô i k h ô n g chai nữa. Chẳng hựn , Vi là t i ề n đ ặ t cược cho v á n t h ứ nhấ t . R õ r àng , Vị phả i p h ụ thuộc t h ò n g t i n Tị). Sau đ ó , c á n cứ v à o t h ò n g t i n Ty t hu đ ư ợ c sau v á n t h ứ nhấ t , n g ư ờ i chơi đ ặ t cược Vi cho v á n chơi t h ứ hai.. . ; c ă n cứ vào t h ô n g t i n T-n t hu đ ư ợ c sau n v án , n g ư ờ i chơi đ ặ t cược V'nf! cho v á n chơi t h ứ Ti + 1. Theo n g ó n ngữ x á c suất thì đ i ề u n à y có

nghĩa là: v n là Tn-]-ảo đ ư ợ c , v à gọi {Vnỉ!Fn-\} là d ã y d ự b á o đ ư ợ c .

Vì mục đ í ch n à o đ ó , n g ư ờ i chơi ngừng cuộc chơi . Chẳng hựn, kh i v ố n đ ự t hoặc v ư ợ t q u á số n à o đó , th ì ng í rng chơi . T h ờ i g ian l ầ n đ ầ u t i ê n n g ư ờ i c h ơ i đ á t đ ư ơ c m ú c đ í c h đ ã đ i n h đ ư ơ c g ó i là t h ờ i đ i ể m d ừ n g .

Lúc đ ầ u lý t huyế t martingale ngh iên cứu những v ấ n đ ề liên

quan đ ế n những khá i n i ệm nói t r ê n của t r ò chơi , n h ư n g về san

đ ư ợ c p h á t t r i ể n t h à n h m ộ t l ĩnh vực t o á n học chặt chẽ, có nh i ều

ứ n g dụng t rong thống kê, g iả i t ích h à m , p h ư ơ n g t r ì nh v i p h â n , t o á n k inh t ế . v à đặc b i ệ t gần đ ây . có nh iều ứng dụng t h ú vị t rong th ị t r ư ờ n g chứng k h o á n .

V ẽ p h ư ơ n g d iện x á c suất, lý t huyế t martingale m ở rộng lý t h u y ế t t ổ n g các b i ế n ngẫu nh iên độc l ập . C ô n g cụ then chốt đ ể ngh i ên cứu martingale là khá i n i ệm t h ờ i đ i ể m dừng. C á c k ế t q u ả c h í n h của n ó là những b ấ t đ ằ n g thức và đ ị n h lý hộ i t ụ . Quan t rọng

274

nhấ t là b ấ t đ ằ n g thức Doob và đ ị n h lý hộ i t ụ của Doob. C h ư ơ n g n à y n h ằ m chứng minh chi t i ế t những t h à n h t ự u đ ó .

9.1 K h á i n i ê m t ư ơ n g t h í c h v à d ự b á o đ ư ơ c

9.1.1 Các ơ-trường liên quan tới dãy ngẫu nhiên. G i ả sù (ĩl,A, p ) là k h ô n g gian xác suất, T c A là ơ - t rường con của Ả và X là b i ế n ngẫu nh iên n à o đ ó . Ta nói r ằ n g X t ư ơ n g t h í ch v ớ i T n ế u X là T-ảo đ ư ợ c . Trong t r ư ờ n g hợp đ ó ta v i ế t

XeT.

K ý h i ệ u ơ(X) = X~l(B), t rong đ ó B là ơ - t rường Borel của IR. R õ r àng , X € T k h i và chỉ k h i

ơ{X) c T.

Cho t r ư ớ c d ã y ngẫu nh iên X = { X n , 77. e N } . K ý h i ệ u ơ({xn, n € N } ) là ơ - t r ư ờ n g con b é n h ấ t của A chứa t ấ t cả các ơ - t r ư ờ r i g ơ(Xn), ri e N . Ta gại ơ({Xn, Tì € N } ) là ơ - t r ư ờ n g sinh ra t ừ X = {Xn, Tì. e N } .

Đặt

°x<n — v<n = ơ({Xm, m < " } ) , 77?, n e N.

-ìn = ơ<„ = ơ({Xm, m < n } ) , m , 77. e N,

°ln = 0 = n = ơ(Xn), „x ơ>n = ơ > „ = ơ ( { X m , m, > " } ) , m , 77 € N ,

= Ơ > T Í m > r i } ) , m , TI, € N .

Cho d ã y ơ - t rường con {Tn, Tỉ. € N } của .4. D ã y n à v đ ư ợ c gại là k h ô n g g i ả m , n ế u

Tm c Tn, ru < rì, V m , rí. € N .

Chang hạn , { ơ < n , n € N } là h ạ k h ô n g g i ả m . Ta l ưu ý r ằ n g ơ<„ g ồ m c á c b i ế n c ố q u a n sá t đưorc t í n h đ ế n t h ờ i đ i ể m 77.

275

9.1.2 Dinh nghĩa. Với các ký hiệu nhu trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X = {Xn,Tn,n € N} là dãy tương thích, nếu

Xn € T n với mối Tỉ 6 N . Ta nói rằng V = {Vn,Tn-\, Tỉ. 6 N, T-\ = Tị)} là dãy dụ báo

được, nêu Vn & Tn-\ với mỗi Tì. 6 N.

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích. T ấ t nhiên, ta luôn có X = {Xn,ơ<n, n E N} là dãy tương thích. Người ta thường gọi <7< n là ơ - trường t ư nhiên của dãy ( X n , TI e N). Nó gồm tấ t cả những biến cố liên quan đến quá khứ (trước n), và hiện tạ i ( tạ i Tỉ.) của dãy.

Một trong những khái niệm quan trọng là:

9.2 T h ờ i đ i ể m Markov và t h ố i đ i ể m dừng

T ừ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

• Ả, p) là không gian xác suất với A chứa tấ t cả cát: t p có xác suất 0 (t p o được gọi là xác suất 0 , nếu tồn tạ i A € A sao cho F(A) = O v à O c A). Trong trường hợp này, ta nói (ÍÌ,A,Ỹ) là không gian xác suất đầy đủ.

• N - {0 .1 ,2 , . . . .} , N = N U { o o } .

• M = M U {-00} u {oe}.

• {•Tỹu" € N} là dãy các ơ-trường không giảm. Ký hiệu

DO

•Foe ~ \ J -Fri n = 0

là ơ-trtrờng bé nhất, chứa tất cá Trí. n € N.

9.2.1 Dinh nghĩa. Già su T : Í2 —> N u {oo} là biến ngẫu nhiên (có thề lấy giá trị oe). Ta nói rằng T là thời điểm Markov đối với {Tri: ri € N } , nếu

ụ : T(UJ) = n} 6 T n , Vn 6 N

276

Nếu thêm vào đc)P(r < oe) Ì , thì T đĩcợi: gọi là thời diêm dử nọ. Chú ý. T là t h ờ i đ i ể m M a r k o v k h i v à chỉ k h i

{ui : T(UJ) < Tì} € T n . V u e N .

rrhật vậy . chứng m i n h súy ra t ừ các- đ ằ n g thức sau:

n

{LU : T(UJ) < n) = Ị J {u; : r(tư) = /é} e A-=0

{tư : r(cư) = ri} = {cu : T(U>) < n} \ {uJ : T(U>) < n — 1} E T„.

K ý h i ệ u T T l à l ớ p gồm tất . cả các t ậ p con A của ũ sao cho

4 e f ^ c , v à Ẩ n ( r < ri.) € JF„.

N h ư vậy , ^ > g ồ m c á c b i ế n c ố q u a n s á t đ ư ơ c t í n h đ ế n t h ờ i đ i ể m T . D ễ d à n g chứng m i n h r ằ n g T T là ơ - t r ư ờ n g con của ơ-t r ư ờ n g Ả. T h ậ t v ậ y :

• fi € ^v. vì o n ( r < n) - ( r < ri ) e T n •

• G i ả s Ai - e Tr. k = 1,2,.... tức; là. Au n ( r < ri) e T„. k 1.2 K h i đ ó , t a có

T O oo

( u Ak) n ( r < n) = u (>!*. n ( r < « ) ) e fc=l k-----ị

oe

suy ra Ị J Ak e Tn. k.----i

• G i ả s Ae^r,vìí Ar = Í2 \ A Ta t h ấ y

Ẩ' ' n ( r < r i ) = Í2 n ( r < ?/) \ / l n ( r < rí.)

- ( r < 7?) \ An{r < ri) £ J"„.

S U Y ra v4r' 6 J^>.

277

9.2.2 Các ví dụ ve thời điểm dửng

Dưới đày là những ví dụ quan trọng nhất về thời diêm dừng.

Ví dụ ĩ. Nếu r(u>) = n(e N u co), thì hiển nhiên T là thời điểm Markov.

Ví dụ 2. Giả sir {x„, Tì € N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và /ỉ là tập'Bore] của IR. Đật

núiìịn : x„ e B} nếu ó-' € U n e N ^ n 6

oe nếu x„ £ « v?7 6 N.

Khi đó. T R là thời điểm Markov đối với { ơ < n . n e N}. Chứng Tri inh suy ra t ừ

n

{ T b < r i } = Ị J { X * E B Ị e < 7 < N , Vn 6 N.

ĩ 7/ dụ 5. Giá sạ {X„, rí 6 N} là đây các biến ngẫu nhiên, và /í,,, rí - 1.2. ... là dãy tập Borel của 1R. Đặt Tị - T f l , :

í min {TÍ > T B l : À " , , e B 2 ) . U J e Ị J {X„ e B 2 } n { r , o e }

\ oe trong trường hợi) ngược lại.

T„ dược định nghĩa tương tự. Khi đó, ( r n , rí € N) là dãy các thời điểm Markov đối với { < 7 < „ , ri e N}. Chứng minh đối với T-1 suy la l ừ

n { T 2 < « } - { r , < 7 / } n Ị J { X * e ổ 2 } .

Jfc=0

9.2.3 Các íín/i c/iấí của thời điểm dừng

Tính, chất 1. Giả sù T là thời điếm Markov đói với {Tn, " € N}. Khi đó,

{T < li} e T n .

278

Thật vậy, ta thấy:

n

{ r <n}=\J{T <n-k}e Tn-X c Tn,

Cần lưu ý rằng, nói chung, từ điều kiện { r < rí.} € T n không suy ra được T là thời đ iểm Markov.

Tính chất 2. Nêu T i , T2 là các thời điềm Markov đối với {ĩn- n Ễ N thì T i A T2 = rain(T1, T 2 ) , T Ị V T'1 = m a x ( r i , T 2 ) , và T i + T2 /à các: í / iời điềm Markov đối với n € N } .

Thật vậy, chứng minh suy l a từ:

{TI A T2 < n } = {TI < Ti} u { r 2 < r?.};

{TÌ V r 2 < n} = {Tx < n} n { r 2 < n } ; n

{TÌ + r 2 = n} = Ị J {n = fc} n { r 2 =-n - fc}. fc=o

ĨYn/ ỉ c/iấí 3. / / ấ u T i , T2, ••• là dãy các thời điềm Markov dối với { T n , Tì e N } , thỉ \J' T n •--= supr n , Ạ T „ = inf Tn cũng là thời Giếm

_ n n

n rì

Markov đối với {Fn, n EN}. Thật vậy, chứng minh suy ra từ:

{ s u p r n < n} = P | { r„ < Tì) e T n , n n

{inf r n < n} = I J { r n < n} € ^ n -

n

ĨYn/i c/iấí 4. iVếií r Zà í/ỉời điềm Markov đối với {Tn. H E N } , thì T 6 T T . Nếu T và ơ là các thời điểm Markov đối với {Tu, ì € N} sao cho Ỹ(T < ơ ) = Ì, thì T r c Ta.

279

Thật vậy, giả sử A = {T < Tri}. Để chứng minh T 6 T r ta phải chi ra A € T r , hoặc tương đưcmg A n { r < rì) e Tn. Ta có

{ r < m} n { r < Tì,} = { r = n A m} € ^ n A m c T n .

Bây giờ giả sư A c {u> : ơ < 00} và vi É TT. Khi đó, do F(r < ơ) = Ì và ơ-trường T n đầy đủ, hai tập:

An{ơ<n}] An {T < n} n{ơ < n}

chi sai khác nhau một tập có độ đo không. Tập thứ hai thuộc vào T n . nên A n {ơ < n) € T-n, t ức là, TÍ. € ^v.

Tính chất 5. Nếu Ti, T 2 , . . . /à dãi/ các í/iời điếm Markov đối với { jF n , n € N}, rà T = inf Tfc, thì

k

Thật vậy, theo tính chất 4, ta có TT c Pl J>fc • k

Mặt khác, nếu Ẩ e Pl^Vfc, thì fc

.4 n { r < n} = An ( |J{^ < "}) = ( j ( Ả n { T k < nỷj e T n ì

k k suy ra 4 € TT.

Tính chất 6. Nếu T, ơ là các thời điểm Markov đối với {!Fn, n 6 N}, thì các biến cố

{ T < Ơ } , { T = Ơ } , { T < Ơ }

thuộc vào T r PiTơ. Thật vậy, với mỗi Tì E N ta có

{T <ơ}n{r = n) = {ơ > n} n { r = ri) € Tn\

280

{ r = ơ } n { r = n} = {ơ n} n { r = ?}} € T n .

Vì vậy, { r < ơ } e j ' v v à { T = ơ} € !FT. T ừ đ ó S U V ra

{T < ơ} = {T < ơ} u { r = ơ} e TT.

Do t í n h đ ố i x ứ n g ta có { r = ơ} € C u ố i c ù n g , b i ến cố đ ố của {r < ơ) Va {ơ < T) E T ơ , suy ra { r < ơ} 6 b i ến cố đ ố của { T < ơ } là {ơ < r } € suy ra {T < ơ} £ T ơ .

Tinh chất 7. Giả sù {XnyTn li € N } /à dã?/ tương thích và T li thời điểm Markov đối với đối với {Tn, TI 6 N } , thì

Xr-.n-^ JR., x T (w) = n ế u j j € { T ( U ) ) < oe}

nếu J j £ { T ( ^ ) - oo}

là đo được đối với T T , tức là, XT € T r . T h ậ t vậy, v ớ i m ọ i t ậ p Borel B của đ ư ờ n g t h ẳ n g

{Xr € B}n{T=r n} = { X n e B} n { r = Tì} e J=n,

vì { X n e B} € T n . Đ i ề u n à y chứng t ỏ : { X T e B) e Tr, t ứ c là vYT G .7""r.

Tírứi chất 8. Giả sù Ị : f ĩ —• 1R /ả t i ế n n g ẫ u nhiên Too-do đĩcựt và T là thời điểm Markov đối với {Tni n £ N } . Khi đó, f lủ TT-ài được nếu và chì nếu với mọi TI, € N , hạn chẽ cùa Ị trên { r ri) là T-n-âo được, tức là, / I { T - n } € Trì-

Nếu z là biến ngẫu nhiên khủng ám hoặc có kỳ vọng hu hạn thì ta có

E(Z|Jv) = E(Z\Tn) trên tập {uJ : T ri}, Vn e N .

T h ậ t vậy, p h ầ n t h ứ nhấ t của t í n h chấ t 8 suy t ừ đ ị n h nghĩ!

của TT n ế u / là h à m chỉ t i êu c ù a t ậ p A € Too; sau đ ó m ờ r ng che

281

hàm Foc-do được. Đê chứng minh phần thứ hai, ta đật

Y 5 ] E ( Z | ^ n ) I { r ụ } .

Ta có thể giá thiết z > 0. Theo trên thì Y là hàn) không âm

và Tr-áo (ĩược; mật khác. tích phản của hàm này trên tập A 6 J~T

là

/ YdỸ = V / E(Z\F„)rIP

= ý Ị ZdP - í ZdP = í E(Z\TT)dP

^ JA{T=n} J A J A

VÌ A{T = ri} É T-n với mọi n € N. Điền này chứng tỏ Y ----- E(Z\JR

T). Với z bất kỳ thì áp đụng điều vừa chứng minh cho z + . z~ rồi cộng lự i .

9.3 M a r t i n g a l e

Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không ảm N {(), 1....} bằng tập hữu hựn { 0 , 1 . / v ị . N Ễ k

9.3.1 Đinh. nghĩa. Già sú (íì, Ạ p) là không gian xác suất. Dãy X { X n . T n , TI e N} đu ợ c gọi là:

• mar t inga l e t r ê n fdcfi Tớ i { -"n, " 6.N}y , nếu:

(ỉ) {xn,p„,n € N} là dãy tương thích; á i ) E\xn\ < oo. VÍA E N; f i i i ì ỉ/ới TO < 77., m. n 6 N

E{Xn\Ty„) < Xm. P- /í-a-a chắc chấn,

• mar t inga l e d ư ớ i (đối với {Tn, rì € N}); nén các điều kiện (í), (ũ) đu ực thực hiện, và

282

(Ui') với m <n, m,n € N

m i P- hầu chắc chắn.

• martingale (đối với {J-*n, n G N}J, nếu các điều kiện (ỉ), (li) được thục hiên, và

(Ui") với m. < n, m,n 6 N

• martingale ngưưc (đối với {Tn, n EN}), nếu các điêu kiện (i), (li) đuợc thục hiên, và

(Ui"') với m > n, m,n€N

Từ đó suy ra { ^ „ , ^ , 0 < lĩ• < N} là martingale ngược khi và chi khi {XTV-TII 3~N-n, 0 < ri < l\ ị là martingale.

Chú ý.

1. Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có: Điều kiện (iii) tương đương với

TẼ(Xn\^Fm) — X, P- hầu chắc chắn.

Tm c p-n c Tư

F- hầu chắc chắn.

m ì ra < Tỉ..

Điều kiện (iii') tương đưang với

m < n.

Điều kiện (iii") tương đưang vái

m < n.

283

2. Định nghĩa t rên về martingale dưới , martingale trên, martingale tương đ ư a n g vái :

Giả sử N = {0, Ì , N } , (n,A,F) là không gian xác suất, Tư c Ti c • • • c Fn CFn+i c Ả. Khi đó, { X n , T n , n 6 N} là:

• martingale trên, nếu

(i) xn e Tn, Vn € N;

f n j E | X n | < oo, V n e N ;

(Ui) với ri — 1,2,...

E ( x „ | ^ r

n _ i ) < X n _ i , P- /lau c/iắc c/ỉ.ắn .

• martingale duới, nếu có các điều kiện (ỉ), (ũ), và (Ui')

với n = 1,2,...

E ( X n | J ỉ r „ _ 1 ) > Xn-1, P- /ỉữu c/ỉắc c/iắn .

• martingale, nếu có các điều kiện (í), (ii), và (Ui") với Tì — 1,2,...

E ( X n | ^ r

n _ i ) = Xn-lì P- /lầu c/lắc chắn.

Thật vậy, xét t rường hợp martingale chằng hạn. Với 0 < ra < n, Tm c T m \ \ c • • • c f „ , nên theo tính chất của kỳ vọng có đ iều

kiện ta có

•XVn — E ( X f n + l | ^ r

m ) = E ( E ( X m + 2 | ^ r m + l)|-? rm) = E(-X"m-f 21- "ru)

và t iếp t c như thế, ta thu được

x m = E ( X n | ^ m ) ; 0 < rn < n.

3. Trong các đ ịnh nghĩa trên điều kiện (li) (tức là, điều kiện: có kỳ vọng hữu hạn) có thể thay bằng điều kiện có kỳ vọng có đ iều

2*4

kiện. Theo (lịnh nghĩa, biến ngẫu nhiên À" được gọi là có kỳ vọng có diên kiện đ ố i với ơ-lrường T, nếu với xác suất Ì

mm{%{X^\T).^{X-\T) < oe.

Trong trường hạp như thế. dặt

E(X\F) = E(X + \F) - E(X-\F),

trong đó À""1 . x~ là Ị)hần dương, âm của X, tức là:

X nếu X > 0 .V

{-:

0 nếu X < ơ

-A" nếu A' < 0 X

0 nếu À" > 0.

Đạc. biệt. nếu X có dấu không đ ỉ i . thì E(A' |J r ) luôn luôn có nghĩa.

Cần Um ý rằng X có kỳ vọng hữu hạn khi và chỉ khi

E\x\ ? EA" + \- EX~ < oe.

Ta (lưa ra định nghĩa:

Dãy X — { X n . T n , V E N } , được gọi là mar t inga le Suy r ô n g (đói với {Tn,n € N}) , nếu:

(i) {Xn.Tn.n 6 N} là dãy tu ƠI ly tương thích; (ti) Xn có kỳ nạng có điều kiện đối với T n với mọi li € N: (Ui) với m < ri, m, li € N

¥i{Xn\J-m) = Xm, P- /ì chí chắc chấn.

4. Khi không chỉ rõ họ rr-tnròrng, thì ta ngầm hiểu đang xét họ ( 7 -trường tự nhiên. Chằng hạn. khi nói { x n , ĩ> e N} là martingale, thì

ta hiển đó là martingale đố i với dãy ơ-trường tự nhiên ( T < „ . li € N.

2 8 5

9.3.2 Các ví dụ

Ví dụ ĩ. Giả sử (Ẹn, n € N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EẸn — 0. n € N. Khi đó các tổng riêng

Sn — Ẹo + • • • + Ẹn

là dãy martingale đố i với T n = cr(ệo) . . . , £ n ) . Thật vậy, do S n - 1 G Tn-\, t ính độc lập của Ẹn với Tn-I, ta có

E(5 ' n | jF n _ 1 ) = E(5 ' n_i + Ẹnị^n-ì) = s n _ i + EẸn = Sn-\.

Ví dụ 2. Giả sử (£ n , Tì. 6 N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EẸn — Ì, n EN. Khi đó các tích riêng

n

j e = 0

là dãy martingale đố i với :F n = ơ(£o) • • • i £ n ) ' Điều này được chứng minh như trên, cụ thể là

E(Xn\Jrn-i) = E(x n_! X ẸnịTn-i) = x n _ i X EỆn — x n _ i .

Ví" dụ 5. Giả sử là biến ngẫu nhiên nào đó có E |x | < oo và {Tn; n 6 N} là dãy ơ-trường con không giảm của A. Kh i đó, dãy

x n = Ft(X\J-n)

là dãy martingale đ ố i với Tn, n 6 N. Thật vậy, vì Tn-\ c Tri ta có

A ' n _ i - E ( A - | ^ f t _ ! ) = E ( E ( X | ^ n ) | ^ n _ i ) ) = E(Xn\Fn-x).

Ví dụ ị. Dễ kiểm tra lọ i rằng, nếu (£„, TI, e N) là dãy các biến

ngẫu nhiên không âm có kỳ vọng hữu họn, thì các tống riêng

Xu = £o + • • • + Ẹn

l à d ã y martingale dưới đ ố i với T n = ơ(£o, • • • ) £ n ) -

286

Ví dụ 5. N ế u X = { X n ^ n , Tì € N } là mar t ingale v à g l à h à m lồ i v ớ i E\g(Xn)\ < 0 0 , 77. € N , t h ì { ^ ( . Y n ) , ^ , n € N } là mart ingale d ư ớ i . T h ậ t vậy, theo b ấ t đ ằ n g thức Jensen v ớ i m < Tỉ t a có

g(Xm) = g{E(Xn\rm)) < E(g(Xn)\rm).

Ví dụ 6. T ư ơ n g t ự ta có: N ế u X = { X n . T n , TI e N } là mart ingale

d ư ớ i và (ị là h à m lồi k h ô n g giản] v ớ i E|</(x„)| < oe. li € N . th ì { g { X n ) , T 1 ì . Tì. E N } là martingale d ư ớ i .

Bây g iờ ta xé t những ví d ụ cụ t hế han .

Ví dụ 7 (Martingale Walsh-Paley). Ví d ụ cụ t h ể sau, t uy đ ơ n g iản , n h ư n g đ ó n g vai t r ò quan t rọng t rong x á c suấ t , v à có n h i ề u ứ n g dụng hay trong g iả i t ích. Ta ký h iệu

{ — 1. + 1 } là t ậ p gồm hai p h à n t ử : —Ì , + 1 , m ỗ i p h ộ n t ử n à y có xác suất Ì / 2 .

rì - { — Ì , + 1 } N là k h ô n g gian của t ấ t cả các d ã y v ô h ạ n UI = (f-n) = ( f-i) e 2 i fn ) , t rong đ ó các t ọ a đ ộ Ễ n , n 1,2,... chỉ n h ậ n hai giá t r ị : —Ì hoặc + 1 ,

f.n : ũ —+ {—Ì, + l},tn(u>) = fin. Tì. = Ì , 2 , h à m t ọ a đ ộ t h ứ ri; T[) - {0.n} là ( T - t r ư ờ n g t à m thưcriig, T n là ơ - t r ư ờ n g t r ê n ũ

sinh r a t ừ các h à m t ọ a đ ộ t ị , f . „ , tức là, T n = ơ f

< n . C h ằ n g hạn . T\ ••= ơ\ sinh ra t ừ phản hoạch gồiri hai t ậ p " t r ụ "

C _ 1 = ịu) e ũ\ừj = (—1.f -2 , . . . , f - n , • • • ) } ;

C ' + 1 = { L Ư € nịu; = ( + 1 . C 2 ) f - n , • • • ) } ;

- ơ < 2 sinh ra t ừ p h â n hoạch gồm b ố n t ậ p " t r ụ "

C _ ! , _ 1 = {o; 6 íl|cư ( - 1 , - Ì , ta, . . . , f „ , . . . ) } ;

C - 1 , + 1 { - Ư € Í2|w ( - 1 , + l , f c 3 , . . . , ( . „ , . . . ) } ;

C ' + 1 - 1 = {cư € íìịcư = ( + 1 , - l . f - 3 ; • . . , £ „ , . . . ) } ;

C + 1 , + 1 = {w e = ( + 1 , + 1 , c a , . . . , f . „ , . . . ) } •

N h ư vậy J ^ n = sinh ra t ừ p h â n hoạch gồm 2" t ậ p " t r ụ " .

287

A là ơ - t rưòng bé nhất, chứa các tập trụ. Trên A tồn tại duy nhất độ đo xác suất IP sao cho mỗi tập trụ có xác suất là Ì/2 T I

(Định lý tồn t ạ i Kolmogorov). Với các ký hiệu trên, ta gọi martingale Walsh-Paley là martin

gale đ ố i với ( f2 , ^" n , p ) . Trong giải tích có khái niệm "cây" như sau. Cây là tập gồm

các phần t ử

{•':, , . , J1 < Ạ - < / í . f A . ± 1 } , T J 1,2

sao cho _ 1 ,

Như vậy, với ri = Ì cây gồm hai phần tử X-i,Xi; với n — 2 cây gồm bốn phần t ử £ - 1 - 1 , X _ 1 1 , X u ; cây ứng với rí. có 2 n phần từ. Khi đó, nếu ta đ ặ t

Xo = ị('Xi + x-i), Xk(u)) --= x É ] . . . í f c , Ạ- - Ì rí .

x „ , — x„ đ ố i với H ỉ > n,

thì { X , , , . JF,„, m e N} là martingale Walsh-Paley (tại sao?).

VY dụ # (7/ệ Haar). Trong không gian xác suất (fì, Ạ P ) , mọ/. dãy ơ-truờny con không giảm (Tn) của A được gọi là hệ Haar nếu

FOG — Ả, và với mỗi Tì = 0 , 1 , 2 , T N được sinh bời phản hoạch gồm n + Ì tập con ( A {

0

n ) , A ( n ]) thuộc A sao cho P(i4^n )) > 0. Lấy = {0, rì}. T\ sinh ra từ phân hoạch ( ^ Ị , 1 ' , ^ (

v

l ) ) . Tiếp

theo, J 2 nhận được bằng cách tách một và chỉ một trong hai tập này thành hai tập con có xác suất dương; nhận được bằng cách tách một và chỉ một trong 77 + 1 tập (A^\ AÍn)) thành hai tập con có xác suất dương .

288

Đ ặ t

Xu Ì

a t r ê n t ập con Ầ["^ 11

'4+1 ị b t r ê n t ậ p con i 4 ị n + l )

0 t r ê n t ậ p con k h á c .

t rong đ ó A ^ + l ) , A ị n + l ) là hai t ậ p con thuộc: Tn\\ nhận đ ư ợ c b à n g

cách tách một, v à chi một. t rong 77 i Ì t ạp (.Ao An") t h à n h hai t ập con có x á c suất d ư ơ n g . Đó là hai l ậ p con duy nhất của T u ị Ì k h ô n g thuộc vào T n . Ta chọn a. b sao cho

Edn+X :.. 0, Eríị , . 1.

N h ư vậy. m ỗ i đn+1 cĩirợc x á c đ ị n h duy n h ấ t ( nếu k h ô n g kể t ớ i d ấ u của (ì. b) và thỏa m ã n

( i ) E ( 4 n l ^ ) - = 0 V n 6 N ; ( l i ) V ớ i m ỗ i 77 6 N , d ã y (do, .... <i„) là cơ sờ t rực ( 'huân cún

Li (SI. Tu. P) và d ã y (d„. 77 e N) là cơ sờ t rực chuẩn của L2(íl. A.Ỹ). T h ậ t vậy. (ố) có nghĩa là

E(dr, ị x\Tn)dP - 0, v / i e

Điền này là h i ể n nhiên nếu ổ k h ô n g phả i là tây) bị t á ch ra t h à n h hai. Đối vớ i B là t ậ p bị t ách ra t h à n h hai:

\ri ị X I I \ r i + 1 li / I ^ u / i ; 1

th ì

/ E ( d r i + 1 | ^ n ) r f P = / d n + 1 d P ./s ./s

= uP(ylt" M ) ) + P ( 4 r , + 1 ) ) - E r i „ n 0.

289

(li) là kết quả đã biết của lý thuyết, độ đo và tích phản. Bây giờ. mỗi X £ Lỵ dược khai t r iển thành

oe

X —- u n d n , r in ----- ¥iXdn. n=0

Chuỗi này hội tụ trong L 2 . Ta chú ý rằng từ (i) suy ra

ti E(X\f.n) = J2 akdk

k. = 0

là martingale. Sau này ta sẽ thấy (xem Định lý Levy dưới đây) martingale như thế hội tụ hầu chc chn tớ i X.

9.3.3 Các tính chất

Tính chất 1. Nếu X - ị x n , f n . ri € N} là martingale, thì hàm trung bình EX„ không phụ thuộc ri G N.

Thật vậy, với ni < Tí ta có

EXm ^E(E(Xn\Tm)) =EXn.

Tính chất 2. Nêu X - {Xn.Tn: n € N} là martingale dưới, thì hàm trung bình EXn không giảm theo 71 € N.

Thật vậy. với ru < ri ta có

EXm < E(E(X n |JF m ,)) = EXn. .

Tính chất s. Nếu X = { X n , T n , n 6 N} là martingale, thì hàm

ĩ&ịXnị1', 1 < p < oe không giảm theo n 6 N. Thật vậy. do \x\p. Ì < p < oe là hàm lồi , nên

{\xn\p,r„, VEN} là martingale dưới . Vì thế, từ tính chất 2 suy ra tính chất 3.

290

Tính chất ị . Giả sù X = { X n , T n , Tì — 0, Ì , . . . . ÌV} là martingale, trên, và T, ơ là hai thời điềm Markov ( đối với {Tn, ri 0. Ì N}) sao cho p { r < N} = Ỹ{ơ < N} = ì. Khi đó,

x„ > E (X T | JT Ơ ) , ( { r > or}, p - /lau c/íắc r:/i(in), (9.1)

tóc /à,

p{u, e {r > a} : X ơ < E(XT\F„)} 0.

/loặc tương đương

Ẩ ' T A ơ > E ( X T | ^ r

f T ) . (P — /lau c/iắc chắn). (9-2)

T h á t vậy, đầu tiên ta chú ý rằng

r ì = 0 7 { r = n i -

]T / . | X n | d P < J ^ E | X „ | < oe. n 0 í T •/..:--<>

tức là E | X r | < oe. T i ếp theo, ta chú ý rằng

{ r > ơ} = (J {ơ = n } n { r > /<}. rĩ = ũ {ơ = Tí.}. ri 0 n-AI

Vì thế ta xét, tập {ơ = ri} và chứng tỏ rằng (9.1) đ ú n g đối với

Lư G { ơ = T i } n { r > ơ} = {ơ = ri} n { T > / ỉ } .

Trên tập này Xa = x n , nên theo 9.2.3 (t ính chất 8) ta có

E ( X T | ^ Ơ ) - E(XT\rn) ({ơ = n } , p - hầu chắc chắn).

Do đó chỉ cần chỉ ra rằng t rên tập {ơ --= 7 / } n { T > T Í }

x n > E ( X T | J ^ n ) p - hầu chắc chắn.

291

Già sử A € T n . K h i đó

ị ( X n - XT)rW> .- Ị (X„ - XT)dP f . / . 4 n { ữ - n } n ( T > n } •/ An{ơ~n}r\{T-n}

( X n - XT)dP , 4 n { ơ = n } n { T > n }

= / ( X n - X T ) d P J An{ơ = n}n{r>n} 3)

> / ( X n + 1 - X T ) r i P , . / ^ n{<7 = n } n { T > n + l }

trong dó bất đằng thức sau cùng được thực hiện là do: (Xu) là martingale trên, nên trên tập

{ ơ = Tì) n { T > Tí.} € J^n

ta có

x „ > E(X.lH i \Jrn), (P- hầu chắc chắn)

hoác tương đưcmg

ỉ XndF> ỉ E ( X n + i \ F n ) d P - í X n + l d P , Ễ f „ ,

Tiếp tục bất đằng thức (9.3), ta được

( X n - X T ) d P ./ A n { ơ ~ n } n { T > n }

> / ( X n + l - X T ) d F >... i . 4 n { ơ = n } n { T > n + 1}

... > / ( X N - X r ) d P = 0. (9.4) . / y l n { ơ = n } n { T - - N }

Vì tập Q \ [J {(7 = Tí} CÓ độ đ o không, nên từ (9.4) suy ra

(9.1).

292

Tính chất 5. • Già sú X = { X n . T n , tì 0 ,1 . . . . , AT} là martingale trên, và

T. ơ là hai thời điếm Markov (đối với {Tn, n = 0. 1. .... N} ) sao cho F{ơ < T < N} = ì. Khi đó, ta có

EXo > EXƠ > EXT > EXN.

• Già sư X = { X n , T n , ri - 0, Ì N} là martingale dưới, và T, ơ là hai thời điểm Markov (đối với {Tn, ri = 0. Ì, .... A r } ì sao cho P{ơ < T < jV} = 1. Khi đó, ta có

EXo < EX„ < EXT < EXN.

• Già sù X = {Xn,J-n. n — 0. l , . . . , i V } la martingale trên, và T là thời điểm Markov (đối với {Tri. n - 0. Ì , . . . . N}) xao chí. F { r < .VỊ ---- 1. Khi đó, ta có

EịXr l < EX() -ị 2EXŨ < 3 SU]) E\xn\,

Thật, vây. từ tính chất 4 ta có hai khẳng định dần I rong t inh chất, 5. Khẳng định thứ ba được chứng minh như sau. Ta thay \XT\ ^ XT -ị- 2X~, và theo khảng định thứ nhất. thì E\XT\ EXT ị 2EX- < EXịì 4 2EX-. Do {X„,Fn, n - 0. Ì , . . . . N} là niartingak dưới (tại sao?). liên theo khẳng định thứ hai thì EX~ < EX_Ỹ-Vậy là,

E|,Y T | < EXo + 2 E X -

< E,Y,j t 2E.V-, < E.Yo ị 2E\XN\ < 3 SU]) E|.Y„|. ri < A '

Vì các. bất. đằng thức (9.3) và(9.4) trờ thành dang thức đố với martingale, nén ta thu được:

293

Ì

Tính chất 6. Giả sù X {Xn.Tn, n -- 0, Ì , . . . . N) là martingale, và T, ơ là hai thời điểm Markov ( đổi với {Tri: ti - 0 . 1 N}) sao cho P{T < N} = p{ơ < N} -- 1. / a i đó,

A'„ = E p f r f o ) , ( { r > ơ } , p - /lau c/iắr: cAán),

/toác tu ưng đương

XrAơ = ĨEi(XT\Tơ), (p — hầu chắc chấn).

Dạc biệt, nếu F{ơ < T < N } = 1, thì

iSAo = EXƠ = E A T -= E X N .

Tính chất 7. Giả sú X = { X n . T n . ri G N} là martingale (martingale dưới), và T là thời điểm Markov (đối với \Tn. n 6 N } / Khi đó, dãy "ngắt." tụi thời diêm T, túc là,

XT = { A ' „ A T . ^ „ . H E N }

cũng là martingale (martingale dưới). Thật vậy. ta thấy

n - l

Suy ra À ' f ) A T là ^ n - đ o được và có kỳ vọng hữu hạn. Hơn nữa.

do đó

E ( x ( N + 1 ) A T - X „ A R | ^ „ ) - I ( . > „ } E ( ( X M 1 - , Y „ ) | ^ „ ) = 0 ( > ( > ) . .9..V.-4 Martingale đĩa phương. Dãy ngẫu nhiên tương thích

X = {X„.T„. n e N}

294

đuợc gọi là martingale (martingale đuôi) địa phương, nếu tồn tại d ã y thời đ i ể m Markov (rfc, it = 1,2,...) sao cho Tỵ < Tk-ị-1 (Ỹ-hầu

chắc c h ắ n ) , Tỵ t 0 0 (ti*-hầu chắc chắn) khi k —> oe, và mỗi d ã y bi

ngắt

X T f c — { X n A T f c l { T f c X ) } , Tn}

là martingale (martingale dưới).

9.3.5 Phép biến đổi martingale. Giả sử Y — {Yn, Tn, n € N} là dãy ngẫu nhiên tuông thích và V = {Vn,Fn-i, ro € N} là dãy ngẫu nhiên dố báo đuợc (tức là, Vn E Tn-\ì n € N , JF_! = Tư). Dặt

n

(VmY)n = V0Y0 + Y / V i A Y i , (9.5)

trong đó AYị = Yị - Yị-1. Dãy ( V • Y ) = {(V . Y ) n ì F n , n e N} được gọi là biến đối của Y theo V . Nếu thêm vào đó, Y là martingale, thì ta nói ( V • Y ) là biến đối martingale.

Định lý dưới đây là kết quả chính của phần này.

Dinh lý. Giả sử X = { X n , Tri-, Tỉ. € N} là d ã y tuông thích tao cho

X{) — 0 (IP- /tầu chắc chắn). Các điêu sau là tương đuơng: (i) X là martingale địa phương; (li) X là martingale suy rộng;

(Ui) X là biến đổi martingale, tức là, tồn tại martingale

Y = {Yn,Fn, n e N }

và dãy ngẫu nhiên dố báo được

V = {vn,rn-1, nen} sao cho

x = ( V . Y ) . Ta không chứng minh định lý này, vì quá dài. Để minh họa, ta

xét ví dụ thú vị sau.

2 9 5

Ví dụ. Giả sử ịn là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phản phối : P ( f n = 1) = p, p({n = - 1 ) = q, p + q = 1. Ta xem Ẹn - ỉ là biến cố thắng cuộc tạ i ván thứ n; = —Ì là biến

cố thua cuộc t ạ i ván thứ ri. Giả sử t iền đặ t cược chơi t ạ i ván ri là v„ . K h i đó. sau 77. ván chơi t iền được (hoặc mất) tổng cộng là

n

xn = £ Viíi = x„_! + Knín, . Xo = 0. (9.6) i=l

Lẽ tự nhiên ta có thể giả thiết rằng Vn phu thuộc vào các kết quà cờa các ván trước n. tức là, phụ thuộc vào V ị , v n _ i và Ét, . . . , £ n - i - Như vậy, nếu ta lấy Tữ = { 0 , 0 } và {Tn} = ơ{Ẹi, ...,Ẹn) thì l'„ E Tn-Iì nghĩa là, dãy V = {Vn,'Tn-\}, chiến lược cờa người chơi, l à dự báo được. Nếu đặ t Y n = Ẹi-ị H £ n , thì (9.6) t rờ thành

Tí

i=l tức là, dãy X — {Xn,Fn, n 6 N} với Xo = 0 là biến đ ổ i cờa Y theo V (so sánh (9.5) với (9.7)).

Theo quan niệm cờa người chai, thì t rò chơi là • công bằng. nếu

E(Xn+l\Tn) = xn, nen,

nghĩa là, X = { X n i / " „ , Tỉ. 6 N} lập thành martingale; • có lơi, nếu

E(Xn+i\Fn) > xnì n € N,

nghĩa là, X - { X r ì , T n , TI e N} lập thành martingale dưới ; • bất lơi, nếu

E ( x n + l | ^ n ) < x n i n e n , .

nghĩa là, X — { X „ , ^ n , n € N} lập thành martingale trên. Rõ ràng, t rò chai là: công bằng khi p = q = 1/2; có lợi khi

p > q; bất lợi khi p < q.

296

Bây giờ. ta xét các chiến lược đặc biệt V - {v„. !F„-]} với Vi Ì và với V > ì thì

v = ị 2 " - \ nếu í , = —Ì, S n - 1 -" - Ì " \ 0, nếu trái l ạ i .

Theo chiến lược này, ván đầu đặ t cược Vị - 1. nếu ì hun thì l ang

t iền dật cược lên gấp đôi. nếu thắng thì không chai nữa. và cứ t iếp

tục như thế.

Nếu ị\ = —Ì, . . . , £ n — — Ì (tức là t ấ t cá rì ván đ ầ u đều thua),

thì sau ri ván người chơi mất tổng cộng là

n

Y^21-1 = T - 1. 1=1

Nếu Ẹn-ị-1 = Ì, thì sau 77 + 1 ván người chơi được

x n + 1 = X n + V n + 1 = - ( 2 " - 1) + 2" - 1.

tức là. thắng Ì đơn vị (vì Xo = 0). Giễ sử

r = in f{n > Ì : Xn = ĩ}.

Đó là thời điểm không chơi nữa (khi lần đầu tiên thắng cuộc). Nen: p ----- q - 1/2, thì dễ dàng thấy rằng

•P(r - Tí.) = ( l / 2 ) n , P (T < oẹ) = Ì , F(XT --• 1) 1. £ ( X T ) 1.

Vì vậy, ngay cà đối với trò chơi còng bằng, khi áp dụng chiếĩ

lược đặc biệt này, ngirời chai ró thể trong một thời gian hữu hại (với xác suất 1) kết thúc cuộc chơi một cách " thành công'' vì thi được Ì đơn vị: lúc đầu có Xị) - 0, khi kết thúc cuộc chơi C( EXr = 1. Khá i n iệm "martingale" bắt nguồn t ừ t rò chơ này.

Chú ý. Khi p - 7 = 1 / 2 thì X = {Xn,Fn: n e N} với Xu tì lại thành mart ingale và do đó

EXn = EXo --- 0 Ỷ Ì = E * T - (9.S

297

Điêu này là do: trò chơi này không hiện thực ở chỗ r và |A'„| có the lấy giá trị lớn tùy ý, tức là. thời gian chơi không bị'chạn. vốn cua người chơi cũng không bị chạn.

Cho martingale X {A',. . T,:. lì € N} và r là thời điếm (lừng. Viẻc tin) đ iền kiện đê có đẳng thức

EX-n • - EXT.

(tức là. (9.8) không xay ra) là van (tề quan trọng của lý thuyết

mart inhale (xem định lý 9.6.4 (lưới dãy).

9.3.6 Hiên. martingale. Dãy luông thích {ịn,Tn. li € N} (iuực gọi là ỉ liệu martingale, nếu E|£„| < co dối với mọi li € N và

E(vn4Ì \Fn) (), Ỹ- hau chắc chấn.

Rõ ràng. nếu X { X n . T „ , TI <E N} là martingale thì {ịn.Tn, li € N} là hiệu martingale, trong đó

sơ : r T Xi), in := AvY n = Ẩn — Xn-\. rì — 1,2, ...

Ngưảc lạ i . nếu {Ẹn-^II, » £ N} là hiệu martingale thì

X -- { x n , T n . VEN}

là martingale, trong đó

Xi) vãi. x„ Ẹi) I • • • Ị Ẹ.„.

Chẳng hạn, mỗi dãy {in, lì 6 N} các biến ngẫu nhiên dộc lả]) có kỳ vọng 0 là hiệu martingale ((tối với ơ-trường tự nhiên < 7 < „ ) .

9.3.1 Khai triển Doob. Kết quà sau. tuy dơn gian. nhirng đóng vai trò quan trọng t rong lý t huyết martingale.

Định lý. Giả sù X = {Xn.F,„, TI € N} là martingale, dưới. Khi đó, tìm tại martingale M {Mn,Tn, ri € N} và dãy dự báo dược A = {A„.T„ . ]. n e N} sao cho

298

(i) A = {An^Tn-x, H E N } là dãy tăng theo nghĩa

0 =-- Ẩn < Ax < • • • < An < • • • , Ỹ-hầu chắc chẩn;

(ti) khai triền Doob

x n = Mn + An, Vn e N, Ỹ-hầu chắc chắn (9.9)

được thực hiện. Khai triển Doob là duy nhất.

Chứng minh. Đặt Mo = Xo, Ao = 0 và

Mj+l - Mị = x j + ì - E(Xj ị Ì \Tị).j = 0, Ì " - Ì,

A H l - Aj = E ( X i + 1 | ^ - ) - Xi J = 0 , n - Ì,

tức là n - l

M„ = Mo + Y,\xj+l - E ( X j + ỉ (9.10) j=0

n - l ,1„ 5 > ( x i + l | ^ . ) - A - 7 ; . (9.11)

3 0 Dế dàng kiểm tra lai rằng, bằng cách xác định như thế, các dãy ngẫu nhiên M = { M n , f n i n € N} và A = {An, Tn_Ì. TI 6 N} thỏa mãn các yêu cầu trong định lý.

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất. Giả sir Xn - M'n ị A'n. trong đó: M ' = {M'n,Tn, ri e N} là martingale, A ' - {A'^.Fn-i, Tỉ. 6 N} là dãy tăng, dự báo được. Khi đó

Ả'n+l - A'n = ( A n H - An) + ( M N F ! - M N ) - ( M ; + 1 - M ; , ) .

Lấy kỳ vọng có điều ki n dối vơi , ta co

An_ị.ị — A n -= .An+1 — An-

Vì 4(, =-- .40 = 0, ta được: An = A'n và do đó M r , = Mí, • •

299

9.3.8 Compensator. Dãy tăng và dụ báo được

A = {An,Fn-i, n e N}

trong khai triền Doob ở trên âuợc gọi là compensator của martingale du ới X .

Bây giờ giả sử M — { M „ , f n , Tì. € N} là martingale bình phương khả tích; tức là: E | A Í „ | 2 < oe với mọi Tì e N. Khi đó. M 2 — {M'^,!Fn, n € N} là martingale dưới . Ta viết khai t r iển Doob của nó dưới dạng

Mị = mn+ < M >n,

trong đó, m — { m n , T n ì Tì. € N} là martingale, và

< M >= {< M >n,Tn-u n e N}

là dãy táng dự báo được. Ta gọi < M > là đác t r ư n g b ình p h ư ơ n g của martingale M .

Chủ ý rằng

E\(Y - E ( Y \ f f \ T \ = E (y 2 | . F ) - \E(Y\F)\2.

từ (-9.10) ta có

n — Ì ri.

< M > n - J 2 [ E ( M ? + I I ^ - ) - M ? ] ^ E Ị Í A M ^ V Ì - I ] ( 9 1 2 )

trong đó AMj = Mị - M j _ i , và với tất, cả / < Ả-

E | ( M A - - MiÝ\Ti\ = E\M'i - Mf\H = E < M >k - < M >1 \H-(9 .13 )

Đặc biệt . nếu Mo = 0 thì

E M ? = E < A i >fc .

300

Ví dụ. Giả sử (Ẹn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho EẸn = 0, E | £ n | 2 < 00 . Đặt Mo = 0, Mn = Ẹi + K n ' Khi đó,

< M >n= E M * = E |£ : | 2 + • •. + E\Ẹn\2,

đấy là một số không âm (không ngẫu nhiên) vì là tổng của các phương sai.

Bảy giờ giả sử x = { X n , T n , nen} và Y = {Yn,rnì TI EN} là hai martingale bình phương khả tích. Đặt

< X. Y >n= h< X + Y >n - < X - Y > n | . (9.14)

Dễ dàng thử lại rằng {XnY.n— < X, Y > n , J r n , rí 6 N} là martingale, do đó với I < k

E\(Xk-Xi)(Yk-Yl)\Fi}=E\< X , Y > k - < X , Y > 1 (9.15)

Trong trường hợp khi Xn = £i + • • • + £„, Y n = T]i -ị + rin, (Ẹn), (rln) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với E£„ = Er/ n = 0, E | £ n | 2 < 0 0 , Eịrinị2 < ao, thì

ri

< X. Y >n= ^ c o v f ^ T ) , ) . 1=1

Dãy < X , Y >= { < X.Y >n,Tn, ri e N} được g i là đ ặ c t r ư n g t ư ơ n g hỗ của các martingale X và Y .

Dễ dàng chứng tỏ rằng

Tỉ

< X,Y >n=ỵ^E\ứ,XM\Jri-l\. i=-l

Trong lý thuyết martingale đóng vai t rò quan tr ng là covarian bình p h ư ơ n g

TI

\X,Y)„ =Y,AXiAYi

i = i

301

và biến phân bình phưưng

\x\ị - x>*<)2

1 = 1

Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết martingale

là bất đẳng thức.

9.4 Các bất đẳng thức cơ bản

9.4.1 Định lý. Nếu { I „ , f n , n — 0 , N } là martingale dưới, thì với mọi X E M (A > 0)

ÁP max xn > A < E \(i<n<N

XNI[ max Xn > A 0<n<N

<EXị;

ÁP m i l l x n < —A Ị < -EXo + E A)<n<N

XNĨ{ min xn > —A * 0<n<N

Chứng minh. Đặ t

A = ị max xn > A \ 0<n<N

Ta CÓ

A = {Xo > À) u Ụ ( x n > A, max_ t x m < A)

trong đó

n = l

n=ơ

Ao = í Xo > A ), An = ị xn > A, max X m < Ằ 0<m.<n— Ì

302

là t ậ p thuộc T n và r ờ i nhau:

A„ n Am = 0, VO < Tí. / m < /V.

Suy ra

AP(.4) < ^ E Ị A - n I ( A n ) ] ri

o t í n h chất martingale d ư ớ i ) n

- X > [ E ( , Y j V I ( - 4 „ ) | ^ „ ) ị n

-J2E\XNl(An)\ n

- E\XNỈ(A)\ < E\Xịỉ(A)\ < EXị.

Bất đẳng thức. thứ hai được; chứng minh Lương tự. •

9.4.2 Bất đẳng thúc Kolmoqorov. Nêu { X n ^ n . r i 0 iV} là martingale với E\Xn\p < 00, li - 0 N, ì < p < oe, thì với mọi À > 0

A p p ( max \XJ > x) < E\XN\P. \ ()<n<N /

Chứng minh. Vì { \ X n \ v , T n , ri - ( ) , . . . , iV} là martingale d ư ớ i ( k h ô n g á m ) , nên theo bất đ ằ n g thức t rong ( l ịnh lý t r ên ta đ ư ợ c : v ớ i a > 0

UỸ( max \XJP > a) < ELY A, I ' ' .

Diếu này c ù n g v ớ i ư ---- A p h o à n t h à n h chứng minh . •

9.4.3 Bất đẳng thức Doob. Nếu { X n , F n , n 0,.... N} là martingale dưới không ảm, với ¥i\xn\p < oe, li " 0... . . N. Ì <p < oe, thì

H ' Y y v L < li TT1HX \x„\\\p < q\\XN\\p. l i l i / l i . . I l l / ' l i

303

trong đó

\ịx\\p = {E\X\*Ý/V, ì/p+1/q - - ì.

Đối với p = ì, thì

\\XN\U < li max l ^ l l d < 7-^—{Ì 4 \\XN\n* X N \ U } .

0<n<N e — ì

Chúng minh. Đ ầ u t iên ta cho chứng m i n h đ ố i v ớ i p > ì. Bất đ a n g thức. p h í a t rá i là t ầ m t h ư ờ n g . Đ ể chứng minh bất đ ằ n g thức p h í a p h ả i ta sử dụng bấ t đ ằ n g thức t rong đ ị n h lý 9.4.1 và bấ t đ ẳ n g t hức Holder.

E max 1 4 1 " xp-lF m a x \ X J > x ) d x

<p / Xp-'2E Jo

0<n<N

\XM\1( max \ X N \ > X 1 1 1 0 < n < N

max I X , J XN\ I ° S " < W xV-2dx

0 = pE

- <]E

<q(E\XN\nl/P

A"/vI( max | X J P " ( K n < N

E max |A"„ | P

()<n<N

l/</

di

T ừ đ ó r ú t ra b ấ t đ ẳ n g thức p h í a phá i . Bây g iờ ta cho chứng m i n h đ ố i v ớ i p =• ì. Bất đ ẳ n g thức ph ía

t rá i là t ầ m t h ư ờ n g . Đ ể đ ơ n g i ản ta đ ặ t

max | X n | . . 0<n<N

304

G i ố n g n h ư k h i chứng m i n h b ấ t đ ằ n g thức t r ên , ta có

EX*N - Ì < E(X*N - l)+ = / Ỹ{X*N - Ì > l}dt Jữ

Ì ĩ í • I 7 — / XNfJF di 0 1 + t l J {x-N>\+t} J

_ fx

N ~l dị

= E X N / = E X N \ n X ị Jo Ì + t

Vì v ớ i a > 0, b > 0

a In 6 < a l n + a + be —Ì

nen

T i ế p theo ta t r ì n h b à y b ấ t đ ằ n g thức cắ t ngang. V ớ i các số t h ự c a, 6 sao cho —co < a < b < oe. ký h i ệ u V = v(a.b.N) là số l ầ n d ã y { X n . n = 0, i V } chuyển t ừ giá t r ị < a t ớ i giá t r ị > b. V đ ư ợ c gọ i là số l ầ n c ắ t ngang t ừ d ư ớ i lén t r ê n đ o ạ n |u; ò| c a d ã y

{X„.i, 0 V } 9-4-4 S a i đẳng thức cắt ngang. Nếu {Xn,!Fn,n — 0 , Ì V } /à martingale đuôi, thì

Chứng minh. Vì { X n , !Fn,n = 0 , i V } là martingale d ư ớ i , n ê n

cũng là mar t inga le d ư ớ i , v à V b ằ n g số l ầ n cắ t ngang t ừ d ư ớ i lên t r ê n đ o ạ n [0; b — a] c a d ã y { ( X n — a) + , n = 0, . . . , i V } . D o đ ó

(6 - a )E i / < E(vYjv - a)+ - E(X() - a ) 1 .

{ ( X n - a ) + , r n , n = 0,...,N}

305

ta chỉ cần chứng m i n h rằng : đ ố i v ớ i mar t igan le d ư ớ i k h ô n g â m {X „.:/•„.,, ( ) . . . . . . V }

bEv < E ( X N - Xo), (9.16)

t rong đ ó V là số l ầ n cắ t ngang t ừ d ư ớ i lên t r ê n đ o ạ n (0; b\ của d ã y {X,,.» Q,....N}. K ý h i ệu

ro = 0;

T i = m i n { m : 0 < 7 7 1 < • N , X m — 0 } ;

T2 — m i n { m : Ti < m < N, X m > b}\

T 2 n - \ = rain{rn : r 2 n _ 2 < m, < N , X m = 0 } ;

r 2 n = m i n { m : r 2 n _ i < TÍT. < A r , ^ m > 6} .

K ý h i ệu í là số n l ớ n n h ấ t sao cho Tn đ ư ợ c x á c đ ị n h đ ú n g đ ắ n (nghĩa là t ậ p l ấ y m i n t ư ơ n g ứ n g k h á c r ỗ n g ) . R õ r à n g 0 < I < N. Đ Ố t T„ = jV cho t ấ t cả Tỉ > ỉ. K h i đ ó , T /v+1 = N và

N

ẤN - Ốo - £ ( * T „ + 1 - X T n )= + ]T . (9.17) n=0 , rì chẵn ri lè

Xét í í le. N ế u Tì< ì. t h ì

X T n 4 , > 6 > 0 = X T n ;

n ế u /í --" /, th ì

^ T n + 1 = -X/v > 0 = X r „ ;

n ế u í ỉ. > /. thì ^ r „ + , = A'.Y = Ằ' T „ •

Vì vậy.

- > £ - ^ ì ' / 2 ! 6 = ( 9 - 1 8 )

n lè n lè < /

306

trong đó \l/2\ là phần nguyên của 1/2. Các biến ngẫu nhiên

r„ , 0 < n < N

lập thành dãy không giảm các thời điểm dừng dối với Tri, do đó

{ X T n , f n , n = 0,...,N}

là martingale dưới (xem 9.3.3, tính chất 4). Suy ra

E(XTn+ì - XTn) > 0,

và do đó E [ £ {XTn + l - X T n ) ] > 0 .

TI chẵn

T ừ đó và từ (9.17), (9.18) suy ra (9.16). •

9.5 C á c đ ịnh lý hôi tu

9.5.1 Định lý Doob. Nếu {Xn,jFn,n € N} là martingale du ới và Lx-bi chặn, tức là

s u p E | J í n | < oo, ri

thỉ dãy {Xn) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Xoe nào đó với

EịXooị < oo.

Chứng minh. Ký hiệu Vỵ là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [a; bị của dãy {Xn,n = 0, ...,N}, và đặt

I /QO = lim V N . N —»oo

T ừ bất đ ng thức cắt ngang ta có

(b - a)Ei/oo < s u p E | X w | + \a\ < oo, N

307

suy ra Vào < oo hầu chắc chắn. Suy ra, với mọi a, b P{lirn inf Xn < a < b < l im sup Xn} = 0.

Chú ý rằng

{l im inf x n < l im sup Xu} — [ J{ l im inf Xn < a < b < lira sup Ẩn},

trong đó hợp lấy theo tấ t cả các số hữu tỷ a, b. Do đó

P{l iminf x n < l im sup x n } = 0.

T ừ đó rút ra ( X n ) hội tụ hầu chắc chắn tớ i biến ngẫu nhiên Xoe nào đó. Theo bổ đề Fatou ta có

EểXool = E( lim \xn\) < s u p E | Z n | < 00. •

Chú ý. Đối với martingale dưới , hai điều kiện sau là tương đương: (i)

s upE |X n | < oo, n

Oi) supEX+ < oo.

n

Thật vậy (i) => (ii) là hiển nhiên, (i) (li) là do

E\xn\ = 2EX+ - EXn < 2EX+ - EX0:

Hệ quả 1. Nếu { X n ^ n j U € N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm), thì dãy ( X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Xao.

Hê quả 2. Giả sử {Xn,Tn,ri € N} là martingale dưới không, duơng (hoặc martingale trên không âm). Khi đó, dãy

308

X = { X n , !Fnì n 6 N } , với

oo

X e o = lira xn, Too = ơ ( 1J - ^ n ) n = 0

lập thành martiganle dưới không dương (martingale trên không âm).

Thật vậy, nếu {Xn,Fn,n € N} là martingale dưới không dương, thì theo bổ đề Fatou ta có

E ( ^ o c l ^ m ) = E( l im Xn\Tm) > Im Ẹ(Xn\Fm) > xm. n—>oo n

Hê quả 3. Giả sù ( x n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và (Sn) là dãy các tổng riêng của nó:

So = Xo, Sn = Xo 4- • • • + Xn.

Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương: (i) (Sn) hội tụ hầu chắc chắn; (li) (Sn) hôi tụ theo xác suất; (Ui) (Sn) hội tụ theo phân phối.

Chứng minh. (i) => (ri) => (Ui) là tầm thường. (Ui) => (i). Giả sử sn hội tụ theo phân phối tớ i s, tức là

E e i í A " hội tụ tới EeitS với í € R . Đặt r i

Zn = e í t 5 " / E ( e i t s " ) = e í t s " / J] E{eưx>). j = i

Dễ dàng kiểm tra lại rằng ( 7 < n , n € N} là martingale b chặn trong Ll. Suy ra Zn hội tụ hầu chắc chắn, do đó Sn hội tụ hầu chắc chắn.

309

9.5.2 Định lý (hội tụ trong Lp). Giả sử Ì < p < 00. Nếu

{Xnì!Fn,n 6 N} là martingale và Lv-bi chặn, tức là,

supE|Àn|p < DO, n

thì dãy ( X n ) hội tụ trong Lp, đong thời hội tu hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Xác với E|X C J O | p < 00.

Chúng minh. Theo bất đẳng thức Doob 9.4.3 ta có

E( max \XN\P) < qpE\XN\p, \ 0<n<N /

suy ra E Í s u p | X n | p ) < 00.

^ ri. '

Hơn nữa.

p { | * n | > À} < Ả - p E | X n | p < A- p E(sup|X n | p ) -» 0 khi Ả —> oo. n

Vì vậy,

E [ |X n | P I{ |X n | > A}] < E [ ( s u p | X „ r ) l { | X n | > A}]

(Ĩ(A) — ỈA là hàm chỉ tiêu của tập 4 ) hội tụ đều tới 0 khi A —> oe. Như vậy, ( | X n | p ) khả tích đều. Theo định lý Doob, (xn) hội tụ hầu chắc chắn tới Xoa, đặc bit, ( X n ) hội tụ trong Lp tới Xoe. Từ đó rút ra các điều phải chứng minh. •

Đối với p = Ì, định lý trên, nói chung, không đúng. Kết quả sau đây là đã biết.

9.5.3 Đinh, lý (hôi tu trong Ll). Nếu { X n . T n J i € N} là martingale và dãy (xn) khả tích đầu thì dãy ( X n ) hội tụ trong Ll, đong thời hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Xao với ĨEiịXooị < oo.

Chứng minh. Xem định lý 9.6.2 dưới đây.

310

K h i x é t t h ứ t ự theo ch iều ngược l ạ i , ta sẽ có khá i n i ệ m m a r t inga l e n g ư o r c . C ụ thể là. { X n , T n , n € N } là martingale ngTrợc n ế u :

(i) x n l à : F n - đ o đ ư ợ c v ớ i m ọ i n € N ; ( l i ) X n c ó kỳ vọng h í r u hạn v ớ i m ọ i n € N ; ( i i i ) E ( J í m | ^ r n ) = Xm v à T m c Tn v ớ i m ọ i m > T ỉ . ÍT)-, ri € N .

9.5.4 Đinh lý. Nếu { x n , / " „ , n € N } là martingale ngược, thì dãi ( X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Xeo nào dó.

Chứng minh. Ta b i ế t r ằ n g {x„, J n , n = 0, l , . . . , i V } là martingale ngược k h i và chỉ k h i { X / V _ n . . 7 r / V _ n , n = 0, Ì, ...,N} là martingale. C h ú ý r ằ n g mar t inga le n g ư ợ c luôn luôn L l - b ị chặn, vì

E\xn\ < E\xn„x\ < ••• <E\X0\.

C h ứ n g m i n h đ ư ợ c t i ế n h à n h n h ư kh i chứng m i n h đ ị n h lý Doo l 9.5.1 v à sử d ụ n g b ấ t đ ằ n g thức c t ngang cho mart ingale { X N - n , F N - n , n = 0,l....,N}

(b - a)Ev < E(X0 - a ) + - E(XN - a) + . •

9.6 M a r t i n g a l e c h í n h q u y

9.6.1 Dinh nghĩa. Nói rằng { X n , T n , Tì. € N } là martingale chín) quy, nếu tồn tại biến ngấu nhiên X với ¥i\x\ < 0 0 sao cha

Xn=E{X\?n), V n e N .

C h ú ý r ằ n g t r o n g t n r à n g h ợ p t h ờ i gian h ữ u h ạ n : ri OA..... N m ọ i tnar t iganle { I n , f n , n = 0, Ì , N } là c h í n h quy, vì

Xn = E{XN\Fn), Vn 0.1 N.

9.6.2 Định lý. Giả sù { X n , T n , n € N } là martingale. Các duy kiện san là tương đương:

(i) {Xn,^Fn,n E N } là martingale chính quy; (li) ( X n ) khả tích đầu;

311

(Ui) ( X n ) hội tụ trong Ll; (iu) s u p n E | X n | < oo và biến ngẫu nhiên Xao (trong định lý

Doob) thỏa mãn đằng thúc

xn =E(X00\rn), V n € N .

Chứng minh. (i) => (ũ). Già sử

Xn = E(X\Fn), V n e N .

Suy ra

\xn\ < E(\X\\Tn), E\xn\ < E\x\, s u p E | X n | < E\x\ < oe. n

Do đó. với c > 0, ò > 0 ta có

/ \Xn\dP< í \X\dP

í \X\dP+ í \X\dP •Ml-V„|>'--}n{|.\-|>b} J{ịX„\Zn}n{\.X\<b}

< bF{\Xn\ > c} + / \X\dP Jị\xị>b}

< -E\xn\ -ỉ / |X|dP. c J { | X | > 6 >

Vì vậy,

s u p / |X„ |dP < - E | X | + / \X\dP, » J{ | . v„ |>c} c J{ịX\>b)

lim sup / |X„ |P < / |X|dP. CT°° « J{\x„\>r} J{ịx\>b}

Nhưng b bất kỳ. nén

lira sup / | X n | d P = 0.

312

Điều n à y chứng t ỏ ( X n ) k h ả t ích đ ề u .

(ũ) => (Ui). Vì ( X n ) k h ả t ích đ ề u , n ên s u p E | y Y n | < oe. Theo n

đ ị n h lý Doob, t ồ n t ạ i l im Xn = Xao. T ừ đ ó suy ra

lira EịXn-Xooị = 0 . n—*oo

( i n ) => ( r á ) . N ế u ( Ầ „ ) h ộ i t ụ t rong L 1 t ớ i X n à o đ ó . th ì t ấ t n h i ê n s u p E | X ị n < oo. Theo đ ị n h lý Doob, t ồ n t ạ i l i m Xn x~^.

TI

Suy ra X x = X Vậy ,

l im E\xn - Xeo] = 0, lim E\(xn - Xooị^m)] - 0. n—>oo n—»00

N h ư n g v ớ i m < n , th ì

TẼịXnịTm) = Xm-

Suy ra

X m = E ( X 0 O | J r m ) .

=> ( ị ) là h i ể n nh iên , vì X n = E ( J Y 0 0 | J r

n ) . •

9.6.3 Định lý Levy. Giả sử X 6 L 1 nà {Trì) là dãy các ơ-trường con không giảm của A. Khi đó, hầu chắc chắn

lim E(X\Tn) =E(X\roo), n—*oo

trong đó là ơ-truờng bé nhất chúa tất cả các ơ-trường Ty,, túc. là,

Foo = ^(ij-^")' n

Giả sử X € Lx và {Tri) lò. dãy các ơ-trường con không táng của A. Khi đó, hầu chắc chắn

lim E(X\Fn) = E(X\Ạjrn), TI

313

trong đó ỵy^n là ơ-truáng giao của tất cà các ơ-trường J-n, tức TI

là,

l\T„ = ự]Tn. n Ti

Chứng minh. Xét martingale chính quy

xn - E (X | .F n ) .

Ta chú ý rằng

E\xn\ = E\E(X\Tn)\ < E\x\, VTJ e N.

Do đó, lim x n = Xác với E Ị X o c l < E | X | ( theo bổ dề Fatou). Hơn nữa,

/ XmdP= / xn<ffl J A J A

= y E ( X | ^ n ) d P

Vì ( X n ) khả tích đều, nén E l U | X m - X o o l - * 0, m —> oe. suy ra

/ X o o d P = / X d P , VA € U^n.

Hai vế của đằng thức trên là các hàm tập cộng tính đếm được trên trường [ J - F n . Theo định lý thác t r iển độ đo, ta có

ri

ỉ X^rlP = í XdP = í E ( X | ^ " o o ) d P , Vv4 G ffdj-^n) = ^ e .

314

Nhưng Xoe và EịXịToc) là ^ T c - đ o được. do tính duy nhất của kỳ vọng có điền kiện ta ró

Điều khẳng định thứ hai được chứng minh tương tự, khi chú ý rằng

/ X„,dP= Ị XndP J A J A

-- í E(X\Fn)dP J A

- Ị XdP. VA e Ạ ^ „ , m >n. •

Hê quả 1: Luât 0 — 1 Kolmoqorov

Giả sử (X„) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lặp.và A là biến

cố đuôi. tức là

ri

Khi đó, theo định lý Levy (Tu fT>V) • và vì A e l\Fn, ta có n

l im P Ợ U I ^ n ) ) •- E ( l A \ l \ T „ ) 1.4. TI —»oo ' '

Tì

Mặt khác. /Ì và JF„ độc lặp. nén

P ( I . 4 | ^ n ) --- HA).

Suy ra p (4 ) = IU hầu chắc. chán. Vặy P(A) 0 hoác: 1.

Hệ quả 2: Luật số lớn. Già sú (Xn) là dày các biến rii/ihi. nhiên

độc lập. cùng phân phối với E\Xy\ < oe, và (,S'„) là dãy cái t.ÒHỊị

riêng cùa nó:

SỊ — Xi, Sn — X\ + • • • + Xu.

315

Khi dó, với TÁC suất 1 (và Irony )l}

lim Sn /n EA'i-li—-ao

Chứng minh. Với ì < k < ri xét

E(Xfc|^n),

trong đó, .T7,, — ơ"(S'j. 7 > 77.). Ta có

lim E(Xk\Fn) =E(X,\l\Tn). n—' oe ' x

n

Do tính độc lập. ta có

E(Xk\Fn) = E ( X , | 5 n í X n + l ĩ X n + 2 . . . . ) = E(XfcịS'n).

Do ( X n ) độc lập và có cùng phân phối. nên (tại sao?)

E(Xk\Sn) = E(,Y,|.S'n).

Chú ý rằng T I

5„ = E ( S N | S N ) = £ E ( * * | S „ ) . fc=i

Suy ra

lim s„/r» = lim E(Xi |S n ) = E(Jfi | A ^„). n—>oc TI —* oe ' »

Tỉ.

Theo hộ quà Ì, /\-7>> là ơ-tnrờng tầm thircmg, nên E(X\ ị p^Fn) -n lì

EX\ hầu chắc chan (và trong Lx). •

9.6.4 Định lý. Giả sử { I n , f „ , n € N} là martingale chính quy, và T, ơ là các thời điểm Markov sao cho P{r > ơ} — 1. Ấ7Ú đó.

x ơ •= E(Xr\Ta).

316

Chứng minh. D o t í n h c h í n h quy, tức là,

Xn = E(X\Fn), X e L \

n ê n l i m Xn — Xao ( h ầ u chắc chắn) . Ta t h ấ y

Xr = E(X\FT), i

vì t r ê n c á c t ậ p { r = ??} ta có XT = An v à E ( y Y | ^ v ) = E (A" | JF n ) . Suy ra

E | X T | <E\X\ < 00.

V ậ y . t ồ n t ạ i E ( X T | ^ r

a ) . H ơ n nữa, J'v c T T . n ên

E ( X T | ^ Ơ ) = E((XT\FT)\FƠ) - E(X\TƠ) -- x„. • .

H ê q u ả . Giả sù { X n , T n . n € N} là martingale chính quy, thỉ với mọi thời điểm Markov ơ

Chứng minh. Suy ra t ừ T = oe là t h ờ i đ i ể m Markov v à h i ể n nh iên t a có F{T > 0-} = 1.

B â y g i à ta p h á t b i ể u l ạ i đ ị n h lý 9.5.2 n h ư sau:

9.6.5 Đinh lý. Giả sù { X n , T n . n € N} là martingale. Các đĩév

kiện sau là tương đương: (ỉ) { X n . T n . n € N } là martingale chính quy sao cho

x n = E(X\TTI), X e Ư\ Ì < p< oo;

(ũ) {Xn,jFn.ĩì € N Ị bị chạn trong Lp, tức là

s n p E | X „ | p < oo; ri

(ỉn) ( X n ) hội tu í ran (Ị ỈJ\

317

Chứng minh. (í) => (lĩ) suy ra từ

E\xn\p < E\x\p.

(ii) (Ui) là do (x„) compact t ương đ ố i và hội tụ theo xác suất, (xem đ ịnh lý 9.5.2).

(iu) => (li) là hiển nhiên. (li) => (ì) là do ( X n ) khả tích đều . •

9.7 Martingale binh p h ư ơ n g khả t í ch

Ta nhắc l ạ i : Cho M = {Mn,Tn, ri 6 N} là martingale binh phirơng khả tích, tức là: E |M, , | < oo với mọi Tì € N. Không mất, tổng quát , ta có thể già thiết Mo = 0, vì nếu cần ta xét Mn — Mo thay cho Mn. Kh i đó, M 2 = {M^Fn, n e N} là martingale d ư ớ i . Ta viết khai t r i ển Doob của nó dưới dạng

Mị IU,, ị < M >.„,

trong đó . m = m „ | f n , n € N} là martingale, và

< M > - {< hí >n.Tn-x. TI e N}

là dãy táng d ự báo được. Ta gọi < M > là b iến p h â n binh p h ư ơ n g (hoặc đác t r ư n g b ình p h ư ơ n g ) d ự b á o đ ư ơ c c ủ a M .

Ta có

< Ai > , 1 + 1 - < M >n

và nếu Mo --- 0 thì

= E(Mfl+ỉ\F.n) - M.t

EM? - E < A i > „ .

E ( A M n | 1 ) 2 | ^ „

Định lý. Giả sù M - {Mn,Tn, ri e N} là martingale bình phương khả tích với Mí) = 0. Khi đó,

318

(i) nếu E < M > o o < 0 0 , thì martingaleM = { M n , T n , n € N}

hội tụ trong L2, và do đó là chính quy Ị hơn nữa, ta có

E(supM^) < 4E < M > o o ;

(li) nếu E v

/ < M > o o < oo , thì martingale M = {Mn, Tn, n e N '

là chinh quy và

E(sup |M n | ) < 3EV< M >oc; n

tống quát hơn, nếu E \ / < M >T < oe, thì T là thời điềm Markov

chính quy đối với { M „ , f n , n 6 N} (túc là {MT/\nìTn, n 6 N} là martingale chính quy), và ta có

E(sup | M n | ) < 3 E V < M >T; n < T

I'm,) íron<7 mọi trường hợp ta có

{< M > o o < oo} c { M n — } ,

túc là, martingale M = {Mn, T n , Tỉ. € N} hội tụ hầu chắc chắn tới giới hạn hữu hạn trên tập {< M > o o < 0 ° } -

Chúng minh. (i) suy ra từ

supEM^ = E < M >oo n

và bất đằng thức Doob với Ị) = 2. (iii) Đầu tiên chú ý rằng, với mọi thời điểm Markov T ,

{< hỉ > T A n ! f „ , n € N}

319

là biến phản cấp hai của martingale { M T A n , T n ) Tì. € N}. Thật vậy, ta có

E [ ( M T A ( n + 1 ) - MTAn)'2\Tn\ = E | I { T > n } ( M n + 1 - MnÝựn\ = I { T > n } ( < M > n + i - < M >„) = < M > T A ( n + l ) - <M >TAn •

Ta áp dụng điều này cho thời điểm Markov

min{n :< M > n + i > a2} oo nếu < M > o o < a2-

Vì < M > T < á2

, nên theo (i) Ta là thời điểm Markov chính quy đối với martingale { M „ , f n i n € N}, do đó lim Mn tồn tại và hữu

n—»CX) hạn (hầu chắc chắn) trên tập

{Ta = 00} = { < M > o o < CI2}.

Khi cho rí —> 00 trên tập các số nguyên ta nhận được (iii). (li) Ta thấy

P { s u p \ M n \ > 0} < Ỹ{ra < 00} + P { r a = CXD, sup \M n \ > a} ri n

< ¥ { T a < 00} + P{sup | M T a A n | > a}; n

và

P{sup \MlAn\ > a2} < a-2 lim T E M ^ A n = a~2E < m > T j . ri n

Vì < M > T bị chn bởi < Af > o o và a2, và do

{ r 0 < 00} = { < M > o o > a 2 },

nên ta có

P{sup|M n | > ũ) < Ỹ{< M >x> a2} + fl_2E|min(< M > o c , « 2 ) l -í ỉ.

320

Do đó

E |sup |M n | | = / P { s u p | M n | > a}da n Jo ti

rtx> poo I

< / P { < M > o o > a 2 } d a + / EỊmin(< M >00.a2)\~ Jo Jo à

= 3Ev/< M >ŨO,

T ừ đó rút ra (li). •

C7wí ý. Các kết quả sau là đ ã biết:

• Nếu { M „ , j F n , n € N} là martingale dưới sao cho

E s u p | A M n | < oo n

thì hầu chắc chắn

{ s u p M n < 00} = {Mn -»}, n

{ M n ->} u { l iminf A f n = -00} u { l im sup A f n = +00} = Í2.

• Nếu {Mn, J^n, n € N} là martingale bình phương khả tích sao cho

Esup | A M n | 2 < 00 n

thì hầu chắc chắn

{< M > o c < 00} = { A f n -»} .

Bây giờ ta áp dụng các kết quả trên để rút ra luật số lớn (một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất).

9.8 Luât số lớn

9.8.1 Luât yếu số lớn. Giả sử {Mn, Tn,n G N} là martingale, d{) — Mi), (ỉn = Mn — Mn-I,n — 1,2,.... là martingale hiệu tương

321

ứng, và {bn} là dãy các số duơng sao cho bn ì 00 khi n —> oo. Đặt dni — dịĩịịdiị < bn}, 0 < i < n.

Nếu

ri

1=0

(ti) b-l

J2H\dni\^-l)^0,

i=0

TI

(in) 6-2 Ỵ^ịEdl - m(dm\fi-i)]2} - 0, i=0

thì { M n , n € N} tuân theo luật yếu số lớn theo nghĩa

túc là Mn/bn hội tụ theo xác suất tới 0.

Chứng minh. Đặt

n

i=0

T ừ (i) ta có

P { M n n / ò n M n / 6 „ } < ^P{4 7 di} 1=0

n < 5^P{|di| > M - » 0 ,

1=0

và do đó, ta chỉ cần chứng minh b n

l M n n 0. T ừ (Hi) và bất đằng thức Chebyshev suy ra

rì.

6 ^ l ^ { d n t - E ( d n i | ^ i - l ) } - ^ 0 . i=0

322

Đ i ề u n à y c ù n g v ớ i (ri) h o à n t h à n h chứng m i n h . •

Chú ý. N g ư ờ i t a đ ã chứng m i n h đ ư ợ c rằng , t rong t n r ờ n g h ợ p ( d n ) là độc l ậ p th ì ( i ) - ( i i i ) là các đ i ề u k i ệ n c ần cho l u ậ t y ế u số l ớ n (theo nghĩa t r ê n ) .

Bảy g i ờ ta chuyển sang n g h i ê n cứu luậ t m ạ n h số l ớ n .

9.8.2 Luật mạnh số lớn (ị) Giả sử M = { M n , T n , Tì, £ N } là martingale bỉnh phương

khả tích , và giả sù A = { A n , T n , lĩ € N } là dãy tăng, dụ báo được sao cho Ai > 1. / ITC - oe. Nếu với xác suất Ì

2 - AT < 0 0 ' ì Ì

thì với xác suất Ì

l im — J - • 00 . n—oo An

( i i ) Giả sử M = {M„,-?•"„, Tỉ. € N } là martingale bình phương khả tích, và < M > o o = oo hau chắc chắn, thì với xác suất Ì

l i m — — = 0. T W O O < M > n

Chúng minh. K h ô n g h ạ n chế t ổ n g q u á t , t a g i ả sử Mo -- 0. (i) Xét h i ệu martingale d n = M.n - M n _ i , và đ t

E dị

A:

Ta t h ấ y

E ( ^ - I ^ ) = ^ E ( á i l ^ i ) = 0,

323

suy ra {rnn,Tn. Tì € N } là mart ingale b ì n h p h ư ơ n g k h ả t ích . v à

<m ,>n= ^ Ỷz • i = i *

Theo g i ả t h i ế t , v ớ i x á c suấ t Ì

T ừ d ó suy ra v ớ i x á c suất Ì

< m >„—>< m > o o < 00-

Theo đ ị n h lý 9.7, v ớ i xác suất Ì

0 0 dị

i = Ì Điên n à y c ù n g v ớ i b ô đ ề Kronecker cho ta

ri

Mn _ t í 0

( i i ) L ấ y y 4 n = < M > „ . L ư u ý rằng , n ế u ( a „ ) là d ã y số d ư ơ n g , v à bn = ao 4- • • • + t i n - * CO) t h ì

oo

t °°" i = Ì n

Do (ló. n ế u l ấy

n

«.„ E | ( A M , ) 2 | ^ - i l , 6„ = < M > „ ^ ^ E Ị ( A M , ) 2 | ^ - i | ,

3-24

thì theo già thiết ta có b„ —> oe, và vì vậy.

o e

ẽ E\(AMi)

2

\fi.

< M >? — < DC.

Điền này cùng với (i) hoàn thành chứng minh (l i) . • Ngoài ra. ta cần biết thêm những kết quá noi liếng sau.

• Luật số lớn Brunk-Chung. Già sử {dn.T,,.!! € N} là hiện mart ingale sao cho d(ì -- 0, E|c/„ | 2 r < oe với Ì < r < oe nào đó. và

2 J - ^ T T - < o c -

thì hầu chắc chắn Ì "

lim - V ã, 0 n—oc n ^—'

i = 1 • .Liiâí s ố í ớ n Chung. Giả s ử { r i n , jF n , 77 6 N} là hiệu niariingalo sao cho do ="- 0. E | f / „ | p < 0 0 \ 'ới Ì < p < 2 nào đó. b„ \ oe. và

> —— < 3 0 ,

tì

thì hầu chắc chẩn Ì

lim - ý rí; - 0. ri—toe Tì —J

i-Ì

Cuối cùng. t a cần nhớ rằng dã có những kết quả l ố t Ví- Định lý giới hạn trung tân) và luật Loga lạy) đối với martingale.

9.9 H ằ n g đ ẳ n g t h ứ c W a l d . Giả sĩi{Ẹn,n e N} là dài) các biến

ngẫu nhiên độc lập cùng phàn phối với E ị s ị n < 0 0 , và T là thời diêm

dừng đối với dãy (T-I.rườnq tụ nhiên { ơ < n > " € N } nới E r < Khi dó. ta có hằng đẳrựi thức IVald:

EXT = EẸ0.ET,

irony dó X,, £() -ị • • • + £„•

Chú li tị minh. Ta thấy

E/Y,

. A" -1 00 ÓC-

ttfw tt I. .lĩ i n JT k • ,1 .... ; .IT k

ÍP

k tì j (I ' J "A- ./

T < j - 1

nen VI { r < 7 - ì } 6 <7<(j_, r và (lo <7<( j_ i r si độc lạp.

/ £j'flP / I { r < j - Ì k y / p - P { r < j - Ì }E£j J T < J - ) . h ì

Vây là

oe

j-(> oe

] T E Í , P { T > . , }

.; I t

E £ „ . E r . •

320

Chú ý.

Ì . H ằ n g đ ằ n g t h ứ c W a l d là h ệ q u ả của việc bảo t o à n t í n h mart ingale k h i thay t h ế t h ờ i g ian b ằ n g t h ờ i đ i ể m dừng:

Xo - E(XT\Fo).

N h ư d ã b i ế t , đ i ề u n à y đ ú n g k h i {XmFnjU E N } là mart ingale c h í n h quy.

2. Hằng đẳng thức Wold suy rông. G i ả sử {Mn^n^n 6 N } l à mar t inga le v ớ i E | M n | r < oo, Ì < r < 2 n à o đ ó , v à t ồ n t ạ i h ằ n g số B e (0; oe)

s u p n - 1 Y.HKVựi-i) < ổ ,

l<n ; — ĩ

t h ì t a có E M T = E M o , đ ố i v ớ i m ỗ i t h ờ i đ i ể m d ừ n g r v ớ i É T 1 / " " < oe.

B à i t á p

1 . ( i ) G i ả s ử r là t h ờ i đ i ể m d ừ n g đ ố i v ớ i (Tn),n e N . V ớ i "nỗi n. k ý h i ệ u ư(n) l à số n g u y ê n b é nhấ t p sao cho { r — rặ} € /*p. C h ứ n g m i n h ư(n) là t h à i đ i ể m d ì m g .

( i i ) G i ả s ử xn, n € N là d ã y các b i ế n ngẫu nh iên bị chặn. Đ ặ t r = min{fc |Xfe = max Xn},

TI

V = m\tí{k\Xk = m i n A n } . n

r v à V c ó p h ả i là t h ờ i đ i ể m d ừ n g k h ô n g ?

2 . C h o day ( í „ , n e N ) t r o n g L 1 " Đ ặ t

ri

do = Co, d n = Ệ n - B(ỉn | Ễ i , ...,ín-l). * n = J3 d " 1 n 6 R

C h ứ n g Ttiinh { X n , n G N } là mart ingale.

327

3. Cho (Xn) là martingale không âm với EX\ = 1. Chứng minh rằng với À > 0

Ỹ(Xn > Ả với n > . l nào đ ó ) < 1/A.

4. G iả sư n

xn = 2 J dfc, n = Ì, 2 , . . .

fc=i

là martingale bình phương khả tích sao cho

oo

n = l

Chứng minh ( X n ) hội tụ hầu chắc chắn. 5 . Chứng minh định lý ba chuỗi tổng quá t sau. G iả sử {ịni^n}

là dãy tương thích, Tư = { 0 , O } , và c là hằng số dương . K h i đó, chuỗi ^ 2 £ n hội tụ nếu ba chuỗi sau hội t ụ hầu chắc chắn

n

E C I ^ - i l - E V a r ( £ | . F n _ 1 ) , 5 > { | £ n | > cl^n-O, n n TI

trong đó , c = É „ I { | É n | < c}. 6 . BỐ đề Borel-Cantelli suy rộng: Giả sư {Tn, n 6 N) là dãy không giảm các (7- t rưàng con, và (An,n e N) là dãy các b iến cố sao cho -<4n € ^-"n, n € N. Chứng minh rằng

ao oo

C£lA„ < oe} = {YsHAnịTn-x) < 00} P- (h.c.c). n = Ì n = Ì

Hơn nữa, trôn t p

0 0

{ ^ P ( ^ n | ^ n _ t ) = 00} n = l

328

- ^ - ^ , 1 P-(h .C .c).

fc=i

7 . Giả sử ( £ n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, củng phán phối với

P(£ n = 0) = nu = 2) = 1/2.

Đặt Tí Xn=n&>n=1'2'--Ì

Chứng minh (Xn) là martingale và Xn —»• 0, nhưng không phải là martingale chính quy. 8 . Giả sư (£ n) và (ĩ7n) là hai dãy các biến ngẫu nhiên sao cho ( £ i i " - , £ n ) có m ậ t đ ộ là / „ ( x x , x n ) ; (771, . . . ,TỊ n ) có m ậ t đ ộ là 5 n ( x i , x n ) , n = Ì, 2, Chứng minh rằng

v _ fn(vu--,rin) _ , 0

A n — r , n — Ì , z , ....

là martingale. 9 . Giả sử (£ n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và - 0.

TI

Tì = 1,2,..., Ẩn — ^r^ffc. Chứng minh rằng, nếu (Xu) hội tụ hầu Ì

chắc chắn tới Xoe với EỊXool < 00 thì ( x n ) là martingale chính quy.

Từ đó suy ra đối với martingale, loi này, điều kiên Doob

supEỊXnl < 00 n

kéo theo tính chính quy của nó. 1 0 . Cho chứng minh đầy đủ của những kết quả trong ví dụ 7 và 8 ờ mục 9.3.2.

32!)

C h ư ơ n g 10

X Í C H M A R K O V V Ó I T H Ờ I G I A N R Ờ I R Ạ C

Đàu thế kỷ XX. A.A.Markov (14.6.1856 - 20.7.1922) - nhà Toán học- và Vật lý nổi l iếng ngirời Nga đã đưa ra Tuột T H Ỏ hình toán hex; đè mò t ả sự tha}' đ ổ i từ nguyên ảm sang phụ ảm t à ngược- lại c ủ a 20.000 từ t r o n g m ộ t vờ k ị c h c ủ a Puskin. Vẽ s a u THÒ h ì n h này

được phát t r iển và sứ dụng trong nhiều lĩnh vực khác (như vật lý. cơ học. sinh học, y học, kinh tế, v.v... ) và được mang tên là: Quá trình Markov.

Trong những năm gần đây, quá trình Markov được ứng dụng rất nhiều trong thương nghiệp, t in học, viễn thông, v.v... và là ruột môn học bát buộc đố i với sinh viên của nhiều trường (lại học.

Xích Markov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thố đánh số được các trạng thái). Để hiếu xích Markov, bạn chi cần biết những khái niệm cơ bàn nhất của xác suất. (dạc biệt là xác suất có đ iều kiện. công thức xác suất. đầy đù) , dại số tuyến

I inh và cách giải một số phương trình sai phản dơn gián.

10.1 T ính Markov

10.1.1 Dinỉi nghĩa

Già thiết chúng ta nghiên cứu sự t iến t r iển theo thời gian cùa mội hệ vật lý hoặc sinh thái nào đó (có thể là phản tứ, hạt cơ bàn. người hoặc một sinh vật nào đó, v.v... ). Ký hiếu X(l) là vị trí

330

của hệ t ạ i t h ờ i đ i ể m t. T ậ p hợp các vị t r í có t h ể có của hệ đ ư ợ c

gọi là k h ô n g gian t r ạ n g t há i . G i ả sử t r ư ớ c t h ờ i đ i ể m s h ệ ờ t r ạ n g

t há i n à o đ ó . còn ờ t h ờ i đ i ế m s hệ ờ t r ạng t h á i ị. Ta cần b i ế t t ạ i

t h ờ i đ i ể m t t rong t ư ơ n g lai (t > s) hệ ờ t r ạ n g t h á i j v ớ i x á c

suất là bao n h i ê u ? N ế u x á c suất n à y chỉ p h ụ thuức v à o s,t.,i,j t h ì

đ i ề u này có nghĩa là: s ư t i ế n t r i ể n c ủ a h ệ t r o n g t ư ơ n g lai c h ỉ

p h u t h u ô c v à o h i ê n ta i v à d ó c lập v ớ i q u á k h ứ . Đó là t í n h

Markov. H ệ có t í n h chấ t n à y đ ư ợ c gọi là q u á t r ì n h Markov.

Chằng h ạ n . n ế u gọi Xịt) là d â n số t ạ i t h ờ i đ i ế m t ( t rong

t ư ơ n g la i ) , t h ì có t h ể xem Xịt) chỉ p h ụ thuức v à o d â n số h i ệ n t ạ i

v à đức lập v ớ i q u á k h ứ . Nói chung, các h ệ (sinh t h á i , v ậ t lý hoặc

ca học, v.v. . . ) k h ô n g có t r í n h á (memory) hoặc sức ỳ, là n h ữ n g

h ệ có t í n h Markov.

Ta ký h i ệ u E t ậ p gồm các giá t r ị của X(t) v à gọi E là

k h ô n g gian t r ạ n g t há i của Xịt). N ế u x ( t ) có t í n h Markov v à

E đ á n h số đ ư ợ c ( đ ế m đ ư ợ c ) , thì X(t) đ ư ợ c gọi là x ích Markov.

T h è m v à o đ ó . n ế u í — 0, Ì , 2, . . . t h ì t a có khái n i ệ m xích Markov

v á i t h ờ i gian r ờ i rạc, còn nếu t e |0; oo) thì ta có khá i n i ệm xích

Markov v ớ i t h ờ i gian liên tục.

Vê p h ư ơ n g diện t o á n học. t í n h M a r k o v c ó t h ể đ i n h n g h ĩ a

n h ư sau:

Đinh nghĩa. Ta nói rằng Xịt) có tính Markov nếu:

P { X ( í n + l ) = j\X(to) i „ , . . . , X ( í n _ l ) - t n _ l , * ( < n ) ' }

Ỹ { X ( t n + l ) = j \ X ( t n ) = i } ,

với bất kỳ to < tị < • • • < t n < t n + 1 < ... và lo,.... i n - ị , i , j e E.

331

Ta xem t n là hiện tạ i , í n + 1 là (trang lai, (ío, t i , í n _ i ) là quá khứ. Vì thế biểu thức trên chính là tính Markov của X(t).

Đặt p(s,i,t,j) = ¥{X(t) = - i} , (s < í)- Đó là xác suất có đ iều kiện để hê (hay quá trình) t ạ i thời điểm s ở trạng thái i, đ ế n thời điềm t chuyển sang trạng thái j. Vì thế ta gọi Jj(s,i,t. j) là xác suất chuyển của hê (hay quá trình).

Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (í — s), tức là,

p(s,i,t,j) = p(s + h,i,t + h,j),

thì ta nói hệ (hay quá trình) là thuần nhất theo thời gian. Trong g iáo trinh này, khi k h ô n g nói gì t h ê m , c h ú n g ta chỉ xé t x ích Markov thuần nhất.

10.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1. Cho £o,£i, . . . ,£„, . . . là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, Ek là tập hạp các giá trỄ của Ek hữu hạn hay đếm được (Ả: = 0, Ì , . . . . n, . . . ) .

oe

Đặt E = Ek, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm được. fc=o

Khi đó, ta thấy

P { £ n + l = Mu = to, - ì É n - 1 = ỉ ' n - l , í n - ỉ} =

- P { É n + l = 3} = P { Ễ n + l = . /k 'n = í} = " +-!•./)

với ỉ(| € £(), n € E l , . . . , i„_i € E n - l i ỉ € En, ị 6 En + Ì .

Như thế (£ n ; n = 0,1.2,...) là xích Markov.

w dụ ỗ . Cho £o,?7i, •••,í?n, ••• là dãy biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) rời rạc, độc lập, nhận các giá trỄ là những số nguyên.

332

Đặt x„ = í o + »/1 + 7/2 + ••• + f/n (» - 1.2, •••)• Ta vó

P { ^ n + l = j |£o — Í O . - ^ l - ái. .... /Y n _t -- i „_] .x r , /'} -

•- P{X„ + r / n + 1 = i l í o - /'(). //: = - /(Ị..... í?,, ••=•• I - 7 „ _ 1 }

P{//„4 Ì - j - / Ị Co := í'o, ??1 = i i - i() '/« í - ' „ - 1 }

- i i . / - > • }

P { * „ » 1 j | X „ í }

?{A'„ I r / n + 1 -= j | £ o f ' / ! + . . . I / / ,1-1 f í/n í }

: P{'/nt Ì j - 'k"o í '/Ì f ••• + ĩ}n-\ + í/n :

/}

Như thế ( X n ; n - 1,2,...) là xích Markov.

c/ỉ-ú ý. Nói.chung các xích Markov ờ ví dụ Ì và 2 trên đáy khôn"; thuần nhất.

Nếu trong ví dụ Ì cho . . . . („ , . . . là dãy biến ngẫu nhiẽi

rời rạc. độc lập và cùng Ị)hân pliối xác suất. thì (£„.; TI 0. Ì. 2. ... là xích Markov thuần nhất, và ngược lạ i .

Còn trong ví dụ 2, nếu cho 7/1.7/2 //.„.... là dãy biến ngai

nhiên rái rạc. độc: lập và cùng Ị)hản phối xác suất. thì (X„: li 1.2,...) là xích Markov thuần nhai,. Thật vậy. b ng lập luận lúm trên ta có

P { X n + h j\Xn - i,} Pịrinị ì + rin ị 2 + ... I n„ ị h 3 - í ) ;

- Ỹ{rì2 + //3 I ... + rít, ị ị ---3-1} --- P{x h + 1 - ;•}

v ớ i m ọ i rí " 1.2,... ; h = 1.2,... : 7, j 6 Ế ' C N .

333

10.2 X í c h M a r k o v r ờ i r á c v à t h u ầ n n h ấ t

10.2.1 Ma trân xác suất chuyển

G i à sư ( X n ) [lì -- 0 .1 .2 . . . . là x ích Markov r ờ i rạc và t h u ầ n

n h ấ t . Nói m ộ t cách ch ính xác là: g i ả sử (f2. .Ả, P) là k h ô n g gian

xác suấ t . x„ : n —> E là b i ế n ( đ ạ i lượng) ngẫu nh iên nhận g iá

trị t rong t ậ p đ ế m đ ư ợ c E. E là k h ô n g gian t r ạ n g thá i , các p h ầ n t ừ

của n ó đ ư ợ c k ý h i ệu là i,j,k,... (có chi số hoểc k h ô n g ) . K h i đ ó .

t í n h Markov v à t í n h t h u ầ n nhấ t của ( X n ) có nghĩa là:

Pij - P ( X „ + 1 j\x„ = ì)

W(X.n-ị-\ — j\X{) = lị). .... X n - \ — in-l,Xn - Ì)

k h ô n g p h ụ thuộc v à o T í .

p = (ĩJij) đ ư ợ c gọi là m a t r â n x á c s u ấ t c h u y ể n sau Ì

b ư ớ c .

pij là x á c suất, có đ i ề u k i ệ n đ ể h ệ t ạ i t h ờ i đ i ể m ri (h iện t ạ i )

ờ t r ạ n g t há i ì. chuyển sang t r ạng t h á i ị t ạ i t h ờ i d i ê m lì ị ĩ

( t ư ơ n g la i ) .

N ế u đ ậ t c á c b i ế n cố

A ( X „ H --- j ) , B - ( X „ = ì ) , c .-: {Xo ----- 2 0 , . i „ _ i ) .

thì t í nh Markov có nghĩa là P(A\B) Ỹ(A\BC).

T ừ đ ó suy ra

Ỹ(ABC) Ỹ{BC)Ỹ(A\BC) F(AC'\B) = P ( B ) P ( B )

nge|gdw . P ( C 1 B ) P ( A | B ) ,

334

tức là, q u á k h ứ và t ư ơ n g lai là độc l ập v ớ i nhau k h i cho t r ư ớ c h i ện

t ạ i .

C h ú ý r ằ n g t ừ c ô n g thức x á c suất đ à y đ ủ suy ra ma t r ậ n

p = (Pij) có t í n h chất

0<Pij < 1 . ViJeE ; ] T P l j = 1 .

Ma t r ậ n có t í n h chất n h ư t h ế đ ư ợ c gọi là m a t r â n n g ẫ u

n h i ê n .

X á c s u ấ t c h u y ể n sau 71 b ư ớ c được định nghĩa theo công

thức :

v [ ỹ = P ( X n + m = j \ x m = i) = Ỹ{Xn = j \ x 0 = i).

Đây là x á c suất đ ể h ệ t ạ i t h ờ i đ i ể m ban đ ầ u ờ t r ạ n g t h á i -ì, sau rì

b ư ớ c chuyển sang t r ạ n g t há i ị . R õ r à n g Pịỹ = Pij. Ta quy ước

p(°> = I 1 n ế u i = j

\ 0 n ế u i 7^ j

và đ t p ( n ) = ( p j j * ) . Đó là m a t r ậ n x á c s u ấ t c h u y ể n sau r i

b ư ớ c .

T ừ công thức xác suất đ ầ y đ ủ và t ừ t í n h Markov ta có Ví)

0,1,2. . .

/'!;tl! E/wir- (10-1

p & f l ) = EpíĩW (U)-2

fceE

Ta gọi (10.1) là p h ư ơ n g t r i n h n g ư ợ c , (10.2) là p h ư ơ n g t r ì n ỉ

t h u ậ n .

335

T ổ n g q u á t h ơ n Vn , ??; - 0, Ì, 2, . . . ta có

( n + m ) v ^ í " ) (m.) / m o \ P i i = Z-r Pifc P fc i •

fc€£

(10.3) đ i rợc gọi là p h ư ơ n g t r ì n h C h a p m a n - K o l m o g o r o v .

Giải thích. Đ ể chứng m i n h (10.1) ta l ậ p l u ậ n n h ư sau: H ệ

x u ấ t p h ấ t t ừ t r ạ n g thá i i, sau n + 1 b ư ớ c chuyển sang t r ạ n g t h á i

j l à k ế t qủa của việc hệ x u ấ t phấ t t ừ t r ạng t h á i i, sau Ì b ư ớ c

chuyển sang t r ạ n g t há i k n à o đ ó ; t h ế rồ i hệ x u ấ t p h á t t ừ t r ạ n g

t h á i /í, sau n b ư ớ c t i ế p theo chuyển sang t r ạ n g t há i j. Vì vậy. t ừ

c ô n g thức x á c suất đ ầ y đ ủ v à t í n h Markov ta suy ra (10.1). T h ậ t

vậy, do công thức xác suất đ ầ y đ ủ ta có

p ị ; + 1 ) r.v(xn+x =j\Xo = i)

•= J 2 P ( * n + 1 = j\Xo = i, x x = = fc|Xo - i )

- ^ P ( x n + 1 = j | X x - Jfc).P(Xi = fc|Xo = Ì) (do t í n h Markov) k£E

- VikV^j {ào t í n h t h u ầ n n h ấ t ) .

Đ i ề u n à y chứng m i n h (10.1).

C á c công thức (10.2) và (10.3) đ ư ợ c chứng m i n h t ư ơ n g t ự .

Các p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n có dạng ma t r ậ n n h ư sau:

p ( " Ì Ì *' ,- Ịppi " :

p ( " t Ì ì p ( " ) p

p ( n + m ) _ p ( n ) p ( r n )

T ừ đ ó suy ra p ( n ) _ p í i

336

P h â n phối hữu han chiều rủa quá trình Markov được tính ì heo cóng thức sau:

vựa =io) Pi0.

V(Xo — 'ĩ Oi X\ — i\, X „ _ 1 =• i n - 1 1 - X n — ì) -- Pm'Pion • • ' P i n . r i -

10.2.2 Phân phối ban đầu

Định nghĩa. Phân phối cùa hệ tại thời điểm. Ti. được. cho bời công thức sau:

pị n ) =P(,Y„ ./) ; H 0,1,2,... ; j e E.

Đ ạ i n< n ) = (pị n ) , i 6 E) và gọi n = rít 0 ' /à pAón tan đầu cùa hệ .

Ta quy ước viết n^ n )

( f j ị n ì . í € í?) là véc tư hàng. Dễ dàng thấy rằng:

n ( » . i n p ( n ) )

f [ ( n + ] ) - n ' n , p

+ n = Ị - j ( l )p(n)

Ịị(n+m) _ Ị - j (n )p(m)

Thật vậy, theo công thức xác suất đầy đủ ta có

p ị * + m ) = P (x , l + m j)

= = i).P(X = j\X„ - 0

E (n> . P i - / ' ù

Í 6 E

337

P h â n phối ban đ ầ u đ ư ợ c gọi là dừng nếu n ( n ) không phụ thuộc vào n, tức là r i = n ( n ) , hay là rĩ = np.

Như vậy, m ô h ình của mót x ích Markov rời rác v à thuần nhất là bộ ba ( X n , n , p ) , trong đó:

( x n ) là dãy các đai lượng ngẫu nhiên rời rạc, n là phân phối ban đầu, F là ma t rận xác suất chuyển.

Những vấn đ ề chính đ ố i v ố i x ích Markov là: • T ì m đ i ề u kiên đ ể tồn tại 7Tj = lim pịy d ó c lập vớ i ì.

• P h â n phối dừng có tồn tai k h ô n g ? có duy nhất k h ô n g ? v à cách t ì m nó.

Các mô hình được trình bầy trong mục 1.3 t iếp theo sẽ làm sáng

tỏ thêm ý nghĩa thực t iễn của nhớng vấn đề này.

Nhận xét. Xích Markov hoàn toàn được xác định một cách duy nhất bời bộ ba (xn,u,¥). nhưng nếu thay p bời p ( 2 ) thì t ính duy nhất không còn đúng nớa.

Chẳng hạn, với

n—>cc

thì

hoặc

338

10.3 Mót s ố mô hình xích Markov

10.3.1 Mô hình kiểm kê (Inventory Model)

Giả thiết phải dự t rữ trong kho một loại hàng nào đó để đáp ứng nhu cầu liên tục của khách hàng. Hàng được nhập kho t ạ i cuối các chu kỳ n — 0 , Ì, 2 , . . .

Giả sư tổng số lượng hàng cần phải đ á p ứng nhu cần trong chu kỳ Tỉ. là biến ngỗu nhiên có phân phối độc lập với chu kỳ thời gian: Vn = 0 , 1 , 2 , . . . thì

oo

F{Ẹn = k} = ak (k = 0 , 1 , 2 , . . . ) ; Q f c > 0 , J Ofc = l . ( 1 0 . 4 ) fc=o

Mức hàng dự t rữ được kiểm kê t ạ i cuối mỗi chu kỳ. Cách nhập hàng căn cứ vào hai chỉ số tiêu chuẩn 5 và s (s < S) như sau: Nếu ờ cuối mỗi chu kỳ lượng hàng d ự t rử nhỏ hơn hay bàng s thì ngay tức khắc phải nhập hàng để có số hàng dự t rữ bằng S; Nếu hàng dự t rữ hiện có lòm hơn s, thì không cần nhập hàng. Ký hiệu x n là lượng hàng hiện có t ạ i cuối chu kỳ Tí và trước khi nhập hàng. Các trạng thái của quá trình ( X n ) là các số lượng hàng dự trữ: s, s — Ì , 1 , 0 , —Ì, — 2 , . . . trong đó giá trị âm là nhu

cầu không được thoả mãn mà sẽ được đáp ứng ngay sau khi nhập hàng.

Theo cách kiểm kê hàng hóa đã nêu ờ trên, các mức hàng dự t rữ tạ i hai chu kỳ liên t iếp có mối liên hệ sau:

U n - £n+i nếu s < xn<s, An+1 - <

{ b' — qn+i n ê u xn < s.

trong đó £ n là tổng lượng hàng yêu cầu của khách tạ i chu kỳ t h ứ n. Nếu ta giả sử rằng dãy các nhu cầu liên t iếp: £i, £2, ••• là dãy

các biến ngỗu nhiên độc lập có cùng phân phối xác suất ( 1 0 . 4 ) , thì

339

dãy các giá trị dự trữ: Xo, Xi, x2,... lập thành xích Markov với

xác suất chuyển

Pij = P { X n + i = j\xn = i} =

_ f P ( ỉ n + 1 = * - j ) nếu s<i< s, .

~ I p ( ỉ n + l = S - j ) nếu i < s .

s

k ị

\

\

\

\

\ Si \

Xi ị ^3

1

\ 1 \

2 3

5ơ đồ ạuá trình kiềm kê hàng hóa

Đế minh họa , ta xét mô hình kiểm kê phụ tùng thay thế, trong

đó yêu cầu có thể là 0, Ì hoặc 2 đom vị phụ tùng cần thay trong một chu kỳ bất kỳ, với phân phối xác suất thuộc loại (3.1) như sau:

Ỹ{u 0} = 0,5; P{É n = l } = 0 , 4 ; P { É n = 2} = 0 , l Vn = 0 , l , 2 , . . .

và gi sử s — 0, s — 2. Các giá trị có thể cùa Xn là 2, Ì, 0, —Ì.

Các xác suất chuyển được tính như sau:

Ta xét Pin = P { ^ n + 1 = 0 \ X n = ĩ } . Khi x . n = Ì thì

không cần nhập phụ tùng và trạng thái t iếp theo X n + \ = 0 là do

Vn + I — Ì (x y ra với xác suất 0,4 ) , vậy Pio = 0,4.

,340

Bây giờ, nếu Xn = 0 thì phải nhập phụ tùng ngay cho đạt tới s = 2 và trạng thái tiếp theo X n + X = 0 là do ] = 2 (xay ra

với xác suất 0,1), do đó Poo = 0, 1. Tiếp tục như thế ta có xích Markov với không gian trạng thái là E = { — 1,0,1,2} và ma trận xác suất chuyển là

/0 ,0 0,1 0,4 0,5\ 0,0 0,1 0,4 0,5

Ị 0,1 0,4 0,5 0,0 \0 ,0 0,1 0,4 0,5/

Giải thích.- Ngoài Pio và poo dã tính ờ trên, ta có thể dễ dàng tính được

P-1-1 = Ỹ { X n + ì = -l\xn = - 1 } = P{0} = 0.0 ,

p_!0 = P { X n + 1 = 0\xn = -ĩ} = Ỹ{Ẹn+ỉ = 2} = 0. Ì . p_u = P { X n + i = l | X n = - 1 } = Ỹ{ịn+l 1} = 0.4 .

p _ 1 2 = P { x n + 1 = 2|*„ = -1} = P{ỉ„+1 = 0} = 0. 5 .

P2-1 - P { X n ) 1 = - l i x „ 2} = P{0} = 0,0 .

P20 = P { * « + 1 = 0|X„ -- 2} = P{e„+1 2} 0. Ì .

P21 = P{Xn+i = 1|X„ = 2} = P{e« + l = 1} = 0,4 ,

P22 = p { * n + l = 2 |X n = 2} = p { £ n + 1 = 0} = 0, 5 ,

v.v...

Đặt p ị n ) = P{X„ - j}, ta thường quan tâm đến các đại lượng sau

lim V ' A li™ jP j •

n—IOC ' v J n—»oo ^ — ' J

j<0 j>0 Ý nghĩa của các đại lượng này là: • Đại lượng thứ nhất bằng lim F(Xn < 0), đó là xác sua

n—»00

không đáp ứng được nhu cu của khách hàng tại chu kỳ TI tron: tương lai xa.

341

• Đại lượng thứ hai bằng số lượng hàng d ư thừa trung bình tạ i chu kỳ ri trong tương lai xa.

Điều này chỉ rõ tầm quan trọng của những kế t quả về

(n)

lim p) = •Kị, ri—»00 J

10.3.2 Mô hình bình Ehrenfest

Già th iế t chúng ta có 2 container chứa 2a quả cầu (có thể xem mỗi qua cầu là một phân tỏ ) . Giả sỏ container Ả chứa k quả và container B chiía (2a — k) quả. Một. quả được chọn ngẫu nhiên t ừ tổng số la quả và cho vào container kia (xem như phân tỏ khuyếch tán ngẫu nhiên qua m à n g mỏng). Rõ ràng các quả cầu luân .chuyển giữa hai container theo quy luật chung: chuyển t ừ bình có nhiều quả hơn sang bình có ít quả hơn .

Giả sỏ Yn là số quà cầu trong A t ạ i giai đoạn t h ứ rì và đặt Xn = Yn — a .

Khi đó, {Ẩn} là xích Markov có các trạng thái là

—a, —o + Ì , — 1 . 0, Ì , a

với xác suất chuyển

a — i „ . . , — — nêu j = i + Ì ,

a + i - • • .• ì — — nêu j = 1-1 , 2 a 0 trong các t rường hợp còn lạ i .

Giải thích. Ta thấy

pt] = F{Xn+l = j\xn =t}= P { V n + 1 = a + j\Yn = a 4 1} ,

Y n + l - Y n = j - i = ±\ ,

342

j —i — ì nghĩa là A được thêm Ì quả cầu từ B có a — ỉ quà cầu,

j —i = —ì nghĩa là A mất Ì quả cầu trong số a + ỉ quả cằn của ne

Điều-chúng ta cần biết trong mô hình này là phân phối cân bằng của các quả cầu trong mỗi bình.

10.3.3 Mô hình phúc vu đám đông (lý thuyết xếp hàng)

Giả sử có một cửa hàng phục vụ. Khách đến xếp hàng để chờ phục vụ và cửa hàng chỉ phục vụ từng khách một. Khi có khách thì cửa hàng phục vụ ngay, khi không có khách cửa hàng sẽ chờ khách đến để phục vụ. Khi cửa hàng đang phục vụ khách nào đó, thì các khách mới có thể tới và ngẫi chờ. Giả sử trong mỗi chu kỳ thời gian, cửa hàng chỉ phục vụ một khách và giả sử số khách đến

cửa hàng trong chu kỳ thứ n là biến ngẫu nhiên Ẹn có phân phối xác suất như sau: xác suất để có k khách hàng tới trong một chu kỳ cho bời công thức:

Ỹ(u = k) = ak ; k = 0,1,2,... ; a f c > 0 , ^ O f e = l k

(phân phối này độc lập đối với rì).

Ta giả thiết rằng £i , f2>-" là các biến ngẫu nhiên độc lập. Như vậy (£ n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Trạng thái của hệ (cửa hàng) tại thời điểm đầu của chu kỳ là số khách xếp hàng chờ phục vụ. Nếu hiện tại hệ ờ trạng thái i, thì sau một chu kỳ hệ rơi vào trạng thái

Ị i — Ì + £ nếu i > ì ,

^ X Ẹ nếu 1 = 0,

(£ là biến ngẫu nhiên có phân phối (ctfc) ờ trên).

343

Ta ký h iệu Xn là số k h á c h t ạ i t h ờ i đ i ể m x u ấ t p h á t của chu

kỳ n. K h i đ ó

= (xn — 1 ) + + Ẹn ,

v ớ i x + = max(0, X). R õ r à n g ( X n ) l à x ích Markov ( t h u ầ n n h ấ t )

v ớ i k h ô n g gian t r ạ n g t h á i E = { 0 , 1 , 2 , . . . } v à ma t r ậ n x á c suấ t

chuyển là

/ao ai C12 a3 a-4 ao dị a.2 0,3 CL4

0 ao a i a 2 a 3

0 0 ao dị CL2

V o 0 ũI ao ai . . . /

Ta c h ú ý r ằ n g — keif, là số t rung b ì n h k h á c h t ớ i t rong

m ỗ i kỳ phục vụ . B ằ n g t rực giác ta cảm n h ậ n đ ư ứ c r ằ n g n ế u E£ > Ì

th ì số n g ư ờ i x ế p h à n g (chờ phục vụ) ngày c à n g t ă n g . N ế u E£ < Ì

th ì số n g ư ờ i x ế p h à n g sẽ đ ạ t t ớ i t r ạng t h á i cấn b ằ n g theo nghĩa

sau đ â y :

l i m Ỹ(Xn = k\x0 = j ) = nk>0 ; Vk = 0 ,1 ,2. . . , (V7T f e = 1) . n—»00 *—

Trong m ô h ì n h n à y còn hai đ ạ i lưứng quan t r ọ n g nữa cần t í n h đ ế n .

Đó là:

• 7fo là x á c suất k h ô n g có khách , tức là, tý l ệ t h ờ i gian cửa

h à n g k h ô n g có k h á c h so v ớ i t h ờ i gian c ư a h à n g mờ c ư a .

• T h ờ i gian t rung b ì n h m ộ t k h á c h ờ t rong cửa h à n g b ằ n g

344

10.4 Xích Markov có hữu hạn t rạng thái

10.4-1 Xích có hai trang thái

Bày giờ ta xét t rường họp đơn giản nhất của xích Markov: không gian trạng thái E của xích ( X n ) gồm hai phần tử. Ta ký hiệu E = {0,1} .

Giả sử ma trận xác suất chuyển của xích là

Ì — a a \ ,-. , bị l - b ) v ó i 0 < a , 6 < l .

Có thể kiểm tra lại rằng a = ĩ — b khi và chố khi X], Ẫ2;...

là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với ¥{Xn - 0} = ò, F{Xn = 1} = a, nếu ta xem F(x0 = 0) = b , Ỹ(x0 = 1) = a . Do đó, khi a Ỷ Ì — b thì (A" n ) là dãy phụ thuộc, nhưng có tính Markov.

Tính trực t iếp ta thấy

1P>2 _ ị (Ì - (í? + ab a(ĩ- a + ĩ - b)

6(1 - a + Ì - b) (Ì - ố))2 + ub

Bằng quy nạp ta có

Ì (b a\ ( l - a - b ) n í a —a a + b \ b a J a + b \-b b

lim p n

n—too

a + 6

1 thì

b a a + b a + b

b a

3 4 5

Điều này nói lên rằng, trong tương lai (xa xôi) hệ sẽ rơi vào

trang thái 0 với xác suất ——— và rơi vào trang thái Ì với xác a + b

ữ suãt . a + b

Mỏ hình xích Markov hai trạng thái có ý nghía thực tiễn như sau: Giả sử ta nghiên cứu một vấn đề xã hội (tội phạm, nghiện hút, mại dâm, v.v...) trong một lớp người nào đó. Ta ký hiệu 0 là trang thái không mắc vấn đề xã hội và Ì là trạng thái mắc vấn đề xã hội.

Chẳng hạn, thống kê tình trạng nghiện hút cỷa 1.200 sinh viên ta có số liệu ban dầu sau: 1.000 không nghiện, 200 nghiện. Vậy tỷ lệ ban đầu là

1 0 0 0 5 n ann 2 0 0 1 n , e , Po = — — = - = 0, 833 , Pi = — — = - = 0,167 . 7 0 1200 6 ' ' 1 1200 6

Sau ba tháng, do bọn buôn bán ma túy hoạt, động mạnh và do những biện pháp xã hội (tuyên truyền giáo dục, cai nghiện, v.v...) nên có những sinh viên (trong số 1.200 này) sẽ từ 0 chuyển thành 0 hay Ì, hoặc từ Ì chuyển thành 0 hay 1.

• 0 —> 0 có nghĩa là trước đây không nghiện, nay vẫn không nghiện.

• 0 —•> Ì có nghĩa là trước đây không nghiện, nay nghiện. • Ì —> 0 có nghĩa là trước đây nghiện, nay không nghiện. • Ì —* Ì có nghĩa là trước đây nghiện, nay vẫn nghiện.

Các. số liệu này có thể thu thập được, chằng hạn:

0 Ì

0 / 990 10 \ Ì y 24 176/ '

346

Ta có

poo

Pit)

990

1000

24

0,99

0,12

pen

Pi Ì =

10

ĩõõõ 176

= 0,OI ,

0, 88 200 ' 200

N h ư vậy ta đ ư ợ c m ô h ì n h xích Markov (Xu) sau:

• K h ô n g gian t r ạ n g t há i E = { 0 , 1 } .

• P h ả n phố i ban đ ầ u n = (po , Pi) = (5 /6 , 1/6) = (0, 833 , 0 ,167).

• M a t r ậ n x á c suất chuyển

Poo Poi Pio Pu

0,99 0,01 0,12 0,88

Theo m ô h ì n h t r ê n th ì a = 0, OI , b = 0,12. R õ r à n g 11 — ct — 6| < 1.

Vì t h ế

/ b a \ l im p 7 1

ri—>oc

a + 6 a + b b a

0,923 0 , ( )77 \

0,923 0,077 ) •

\ a + b a f b ị

K ế t l uận : t rong t ư ơ n g lai sẽ có p h ả n phố i c â n bằng :

• T ỷ l ệ n g ư ờ i k h ô n g nghiện là x ấ p xỉ 92%.

• T ỷ l ệ n g ư ờ i nghiện là x ấ p x i 8%.

Tất . nh i ên , ta còn p h ả i t í nh đ ế n tốc đ ộ h ộ i t ụ của P" . T rong

th c t ế , có t h ể d ù n g m á y t ính d ể t í n h p 2 , p 3 , . . . v à rút, ra TI c ầ n

t h i ế t . N ế u n = 24, t h ì có nghĩa là 24 X 3 t h á n g — 6 n á m sẽ có

p h ả n phố i c â n b ằ n g nói t r ẽ n . •

Sau 3 t h á n g đ ầ u t i ên ta có t ỷ l ệ n g ư ờ i k h ô n g nghiện v à n g ư ờ i

nghiện là

= HP = (5/6 , 1/6) (o,12 M s ) = ( 0 ' 8 4 5 ' ° ' 1 5 5 ) •

347

Để dự báo 3 tháng t iếp theo tình hình sẽ ra sao ta cần tính

n<2> .= ra*2 = (5/6 , 1/6) (°Qllll l:f7%) = (0,855 , 0,145) .

Đe d ự báo cho 3 tháng sau nữa thì cần tính

n(3) - np3 _ (Kìa ì /Rì /0,973731 0,026269 \ _ n ^ n p = ( 5 / 6 ' 1 / 6 ) (, 0:315228 oi 684772 J = (0.864.0.130) . Khi Tỉ = 24 ta được

nW = ra*24 = rs/6 1 /6Ì f°< 9 2 5 7 9 6 6 0, 0742034 \ l i - 11F - ( 5 / M / 6 ) 8904407 0,1095593 J

= (0,9199 , 0,0801) .

10.4- 2 Đinh lý ergodic Trong các ví dụ trên, ta thấy rõ cần phải nghiên cứu những

điều kiện để xích Markov có tính chất ergodic theo nghĩa sau: tồn tạ i các giới hạn

71"j — l im p-"' không phụ thuộc vào i n—»oo J

sao cho

7Tj > 0 V j e E, 5^7^ = 1.

Ta cần n m vững nội dung của kết quả sau:

Đ i n h lý. Giả sử Ỹ = (p. ) là ma trận xác suất. chuyển của xích

Markov (Xu) có không gian trạng thái hữu hạn E = { 1 , 2 , N }

(i) Nếu F chính quy theo nghĩa sau: tồn tai no sao cho

m i n p £ o ) > 0 (10.5) i, j

348

thì ton tại các s ố 1 Ĩ \ , 7 T Ạ Í sao cho

và với mỗi j 6 E

TTj > 0 , 5^7Tj = l (10.6) j € E

lim pg° = 7 T j . (10.7)

( l i ) Ngược lại, nếu tồn tại các số 7 T x , . . . , 7T/V í / t o á m ã n r á c điều

kiện (10.6) và (10.7) thỉ sẽ tồn tại no thoả mãn (10.5). (iii) Các số 7 r i , . . . , 7 T j v là nghiệm của hệ phuơng trình

x j = ]C X k V k i ' Ì 6 ^ (10.8) fees

1/à đó /à nghiệm duy nhất thoả mãn điêu kiện

X j > 0 , V j 6 £• ; X j = Ì

new (10.5) được í/iỊ£c /liên. Chúng minh.

(i) Đát m ' n ) = rainp-"' và M - n ) = raaxp. J ị J J -ị 13

T ừ phương trình Chapman-Kolraogorov ta có

T ừ đó suy ra

E n

A- fc

Vậy m ị n ) < m ị n + l ) hay ( m ị n ) ) là dãy đơn điệu tăng.

giảm.

349

Tương tự ta có Aíj f , ) > M j n + l ) hay ( M j n ) ) là dãy đơn điệu

Vì vậy để chứng minh (10.7) ta chỉ cần chứng tỏ

A / j n ) - m ị n ) -> 0 khi TI —> oo ; V j = Ì, 2 , N .

ỉ;o) > 0. Khi đó p£°> - q#> Giả sử í = minp|" o ) > 0. Khi đó p ị" o ) - ẹpịy > 0 (tại sao?) và ta có

pỉr+ n ) = Ẹpí r^Ly = E Mr> - gí?]PÍĩ+ÉẸPÍPPÍĨ'

\ ™ ( n ) í ( n o ) „(")1 , (2n) _ ( n ) / 1 X , (2

> mA ^ Ịp£°' - ep}fc'J + ep£ = m} (Ì - e) + ep£ fc

Từ đó ta có ( n 0 + n ) - V , „ ( 2 n )

> m]- (Ì - í) + ép}} . Tương tự ta có

Từ hai bột đằng thức này ta được

M j n o + n ) _ m ( n o + n ) < ( M j n ) _ m ( n ) ) ( 1 _ f )

Từ đó suy ra

M ( f c n o + n , _ m ( f c n o + n ) < _ m ( n ) ) ( j _ e)fc ị 0 khi fc -> oo .

Dãy ( M - n ) - m . ) đơn điệu giam (tại sao?), có dãy con hội tụ tới 0 . nên

hìf - m ị n ) - 0 khi Tí. - oe ; V j = Ì, 2 , N .

350

N h ư vậy, t a đ ã chứng m i n h đ ư ợ c rằng , t ồ n t ạ i

TTj = lim m) Ti—>rv-i J

(n) l i m M. (n) l im 7? (n)

C ầ n chú ý r ằng , theo cách chứng m i n h t r ê n t h ì k h i n > no ta c ó

(n) <M3

(") _ ™ ( n ) < ( Ì - e ) l n / n o l - l rin,-

tức là, sự h ộ i t ụ của p ị " ' t ớ i 7Tj d i ễn ra v ớ i tốc đ ộ cấp số

n h â n .

Ngoà i ra, mịn^ > m ị n o ) > í > 0 khi' T ỉ > no , do đ ó Iĩj > 0.

( i i ) H i ệ n nh iên t ừ (10.6) và (10.7) suy ra (10.5) vì số t r ạ n g

t h á i là h ữ u hạn .

( i i i ) (10.8) là hệ quả t rực t i ế p của (10.7) .

T h ậ t vậy, vì số t r ạ n g t há i là h ữ u hạn , n ê n

l im = J i m VpiV-j ri—»oo * *

= V l im p ? P f e j = ^ T T f c P / c j • *—* n—toe *—*

k k

T í n h duy n h ấ t của nghiệm suy ra t ừ đ ị n h lý 1.4.5 d ư ớ i đây . •

Chú ý. Ta có t h ệ chứng m i n h đ ư ợ c l u â t s ố l ớ n đ ố i vớ i x ích

Markov có t í n h ergodic. C ụ t h ệ là, g i ả sử A c E ----- { 1 , 2 . N ) .

Đặt, v ^ f Ì n ế n X 6 A

1TA = 2_jKị , ĩ A ( x )

i&A

Ì ưA{n)

Tì + Ì

0 n ế u X tệ A ,

l A ( X 0 ) + - - - + ỉ A ( X n ) .

351

Luật số lớn khẳng định rằng: nếu (Xn) là xích Markov ergodic thì

Ve > 0

lim P ( | ^ ( n ) - 7 T ^ | > e ) = 0 .

10.4-3 Phân phối dừng

Đinh nghĩa. Nghiệm không ám (iTi,TỈM) của phương trình (10.8) sao cho Ỵ^ĩĩj = Ì, được gọi là phân phối dùng (hay bất biến) của xích Markov với ma trận xác suất chuyển F — (pij).

Ta giải thích ý nghiã của phân phối dừng: Nếu ta lấy { i ĩ \ , T Ỉ M ) là phân phối ban đầu của xích Markov,

tức là, Khi đó,

. ( 1 ) = F(Xl = j ) = Y^nkPká

Tổng quát ta có Iĩịn^ = Ỹ(Xn = j ) = T ĩ j , tức là, Xo, X i , X n , . . . có phân phối xác suất như nhau.

Ta có thể chứng minh phân phối đồng thời của các biến ngẢu nhiên (Xk. Xk-ị-1,Xk+m) không phụ thuộc vào Ả* đối với mọi m. Quá trình có tính chất như thế được gọi là quá trình dừng. Viết dưới dạng ma trận, thì phản phối dừng là véc t ơ cót bất biến đ ố i với ma trân chuyển vi của p, tức là,

P12

V2\

P22

PIN P2N

VN2

PNN

\ \ \ 7T 2

ì \ 7 T y v ì \ T Ĩ N Ì

352

10.4-4 Phăn phối giới han và phân phối ergodic

Đinh nghĩa. Ta nói rằng xích Markov có phân phối giới hạn, nếu

V j = Ì,2,...,N ton tai các giới han lĩ J = lim pịT^ không phu 71—» oe •'

thuộc vào i và thoa mãn các điều kiện: Iĩj > 0 , 517Tj ì •

Trong trường hợp đó ta gọi (ni, 7 T 2 . 7 T / v ) tó p/ián pảối giới hạn.

Ta nói rằng xích Markov có tính ergodic, nếu \/j —- 1, 2,.... iV

tòn íai các g iớ i /lan 7Tj = lim p |" ' không phu thuôc vào í và thoa mãn các điêu kiệm 7Tj > 0 , £ 7Tj = Ì . Trong trường hợp đó ta gọi (ni, 7 T 2 , T Ĩ N ) là phân phối ergodic.

Theo c) của định lý ergodic trên thì phân phối giới hạn (và phân phối ergodic) là phân phối dừng. Điều ngược lại không đúng, tức là. có những quá trình có phân phối dừng. nhưng không có phán phối giới hạn. Chằng hạn

- 0 ' ỉ) - -Mi' í) tó ^ ' - ( i ?)• do đó không tồn tạ i các giới hạn lim p|™'. Tuy nhiên, hệ phương trình

(ỉ ì) • + ' ' có (1/2 , 1/2) là nghiệm duy nhất, - đó là phân phối dừng duy nhất.

10.ị.5 Đinh lý. Nếu tồn tại phái} phối giới hạn, thì đó là phân phổi dừng duy nhất.

353

Chứng minh. Giả sử có phân phối giới hạn (cũng là phân phối dừng) ( ỉ ĩ i , 7 T 2 , 7 T / v ) v à phân phối dừng ( ÍTÌ , 7 T 2 , 7 T A T ) - Khi đ ó

* j 2 ^ A - j = XI ^ F E P & E ~ (n)

Theo giá thiết 7Tj = liĩĩi 7>[„n) , nên ta có ri—* co

A-

Như vậy, theo định lý ergodic ờ mục 10.4.2 trên thì điều

kiên

minpỈT 0 ' > 0 i,3

(n) đàm bảo tồn tại duy nhất phân phối dừng, dó là: Iĩj ----- lim p rí—*oc J

Ví du í. Nếu xích Markov có ma trận xác suất chuyển là

0,40 0,50 0,10' 0,05 oi 70 0,25 0, 05 ũ. 50 0,45

t hì phân phối dừng là nghiệm không ảm đỉa hệ phương trình

' 0. 4071-! + 0, 057T2 + 0, 057T3 = lĩ ỉ

0, 50*1 Ì 0, 707T2 + 0, 507T3 = 7T2

I 0, 107TJ + 0, 257T2 4 0.457T3 7T3

( Tỉ i Ì Ti 2 I- 71" 3 Ì .

Từ đó ta có 7Ti = 1 /13 , 7T 2 = 5/8 , 7T 3 = 31/104 .

354

Ví dụ 2 ( Ma trận ngẫu nhiên kép). Ta nói rằng ma trận p = \pij) là ma trận ngẫu nhiên kép nếu

Y^Pik = Ỵ^Vki = Ì , Vi.J . k k

Xét xích Markov có N trạng thái: E = {Ì, 2,.... N} và ma trận xác suất chuyển p của nó là ma trận ngẫu nhiên kép. Nếu

p chính quy, tức là, tồn tạ i no sao cho

• p £ > 0 , V z , j e £ ,

thì phân phối giới hạn duy nhất là phân phối đều

n = (1/N,Ì/N,...A/N) .

Thật vậy, vì p chính quy nên hệ phương trình

N

xi ^Ỵ^Xkỹkị , ( j = 1,2...., AO

k=ì

Ê» j = 1

CÓ nghiệm duy nhất. Do đ ó ta chỉ cần kiểm tra xem p h â n phố i đ ề u

có là nghiệm của hệ phương trình này không. Sử dụng tính ngẫu nhiên kép ta có

ị = ịẾĩ^-Ề^ > (V; = 1 ,2 , . . ,AO. fe=i fc=i

Chằng hạn, nếu ta tung con xúc sc cân đ ố i , đồng chất 77 lần và gọi Yn là tổng số chấm xuất hiện. Gọi Xn là phần dư khi chia Yn cho 7. Khi đó ( x n ; n -•= Ì, 2,...) là xích Markov vái

355

không gian trạng thái là E = {0,1,2,3,4,5,6} và nia trận xác suất chuyến là

0 ] 2 3 4 5 6

0 ( 0

1/6 1/6 /1/6 1/6 1/6 1/6 \

] 1/6 0 1/6 /1/6 1/6 1/6 1/6

2 1/6 1/6 0 /1/6 1/6 1/6 1/6

= 3 1/6 1/6 1/6 0 1/6 1/6 1/6

4 1/6 1/6 1/6 /1/6 0 1/6 1/6

5 1/6 1/6 1/6 /1/6 1/6 0 1/6

6 W 6 1/6 1/6 /1/6 1/6 1/6 0 / Đây là ma trân ngẫu nhiên kép.

Ma trận này chính quy vì

0 1 2 3 4

0 / 1/6. 5/36 5/36 5/36 5/36 Ì 5/36 1/6 5/36 2 5/36 5/36 1/6

p 2 = 3 5/36 5/36 5/36 4 5/36 5/36 5/36 5/36 1/6 5 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36 6 \ 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36

tức là, Pif > 0 ; V i , j = 0,1,...,6 .

5/36 5/36 5/36 5/36 1/6 5/36

5/36 5/36 \ 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36 5/36 1/6 5/36

5/36 1/6 J

Vậy phân phổi giới hạn là

11 = ( 1 / 7 , 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7) .

Suy ra

Ỹ{Yn là bội của 7 ) = P(X„ = 0) = 1/7 .

35G

10.5 M ô h ì n h p h â n chia t h i t r ư ờ n g

G i ả s ư ta có N cửa h à n g c ù n g b á n m ộ t sản p h ẩ m n à o đ ó .

K h á c h h à n g có t h ể mua h à n g ờ N cửa h à n g này. việc h ọ chọn

cửa h à n g n à o là t ù y theo sở th í ch của h ọ và h ọ có t h ế b ó cửa h à n g

n à y đ ế n cửa h à n g kia (vì m ộ t lý do n à o đ ó ) . C á c cửa h à n g sẽ cạnh

t ranh (quảng cáo. k h u y ế n m ạ i , v.v. . . ) đ ể lôi kéo k h á c h h à n g .

Ta có mô hình sau: T ấ t cà các k h á c h h à n g d i rạc ( lồng nhấ t

n h ư m ộ t đ i ể m vật chất chuyển động có N t r ạ n g t h á i ( ứ n g v ớ i N

cửa h à n g ) . Đây là x ích Markov có N t r ạng t h á i . xác suất, chuyển

pij có nghĩa là xác suất đ ể k h á c h h à n g h iện t ạ i dang th í ch cửa

h à n g ị. sau m ộ t chu kầ t h ờ i gian chuyển sang mua h à n g ờ c ư a

h à n g j.

G ọ i Xi) là sự p h á n chia k h á c h h à n g ờ giai đ o ạ n đ a u ( t h á n g

Giêng ) . C h ẳ n g hạn , có 3 cửa h à n g (E — {Ì , 2, 3 } ) v ớ i 1.000 k h á c h

h à n g v à

P(Xo = 1) 20% , P(X() = 2) = 50% . F(A"„ = 3) = 30% .

có nghĩa là t rong giai đ o ạ n đ ầ u :

* cửa h à n g số Ì chiếm 20% k h á c h h à n g (có 200 k h á c h ) ,

Ỷ cửa h à n g số 2 chiến) 50% k h á c h h à n g (có 500 k h á c h ) .

* cửa h à n g số 3 chiếm 30% k h á c h h à n g (có 300 k h á c h ) .

Sau một chu kầ t h ờ i gian (chẳng hạn Ì t h á n g ) , t ì n h h ì n h c ó t h ế

thay đ ổ i : M ỗ i cửa h à n g có t h ế g i ữ đ ư ợ c k h á c h , h o á c dược- t hem

k h á c h và có t h ể mất. khách . G ọ i X] là sự phan chia thị t r ư ờ n g t

giai đ o ạ n t h ứ nhấ t , chẳng h ạ n

F(Xi ì) = 22% , Ỹ(Xl = 2) = 49% , F(Xi 3) - 29% ,

có n g h í a là sau m ộ t chu kầ hoạt động:

* cửa hàng Ì chiếm 22% thị trường (thu thêm được 2%

khách hàng),

* cửa hàng 2 chiếm 49% thị trường (mất 1% khách hàng),

* cửa hàng 3 chiếm 29% thị trường (mất 1% khách hàng).

Mới thoạt nhìn ta cho rằng trong chu kỳ Ì tháng có 10 khách hàng chuyến từ cửa hàng 2 sang cửa hàng Ì và có lo khách hàng chuyển t ừ cửa hàng 3 sang cửa hàng 1. Tuy nhiên, nếu điều tra

chi t iết Ta c ó bảng sau:

ch khách tháng 1 khách có thêm khách mất đi khách tháng 2

1 200 60 40 220

2 500 40 50 490

3 300 35 45 290

Nến điều tra chi t iế t thòm nữa. la có các sổ liệu sau:

ch khách tháng 1 thu từ cửa hàng mất cho cửa hàng

khách tháng 2 ch khách tháng 1 1 2 3 1 2 3

khách tháng 2

1 200 0 35 25 0 20 20 220

2 500 20 0 20 35 0 15 490

3 300 20 15 0 25 20 0 290

358

Như vậy, tháng đầu ( tháng Giêng) cửa hàng Ì có 200 khách hàng. Sau Ì tháng (tháng Hai), tình hình của cửa hàng Ì như sau:

* giữ được 160 khách,

* mất 20 khách cho cửa hàng 2 và mất 20 khách cho cửa hàng 3 (tức là, có 20 khách chuyền t ừ cửa hàng Ì sang cửa hàng 2 và có 20 khách chuyển từ cửa hàng Ì sang cửa hàng 3).

* thu được 35 khách từ cửa hàng 2 và 25 khách từ cửa hàng 3 .

Ta lý giải tương tự cho các cửa hàng 2 và 3 .

Ta có các xác suất chuyển sau:

Vu 160

~ 2ÕÕ = 0,800 ; p\2 =

20 2ÕÕ

0. 100 ; 7'Kí = 20

200 0,100

P2I 35

~ 5ÕÕ 0, 070 ; P22 =

450 5ÕÕ

= 0,900 ; ĩ'2'ỏ = 15

500 0.030

P31 25

~ 3ÕÕ ^ 0,083 ; P32 =

20 3ÕÕ

= 0,067 ; P33 = 255 3ÕÕ

0,850

Tóm lạ i , với các sờ liệu trên, nếu chọn mô hình là xích Mar ÝOV thì:

* không gian trạng thái là các cửa hàng: E - {1 .2 ,3} .

* phân phời ban đ ầ u là r i := (0, 20 , 0, 50 , 0. 30) ,

* ma trận xác suất chuyển là

/0 ,800 0,100 0,100\ p = 0,070 0,900 0, 030

\ 0,083 0,067 0,850/

Nhờ mô hình này ta có thể tính:

n ( D = n p = (0,20 , 0,50 , 0,30)P (0,22 , 0.49 . 0.29),

(ta trở lại sờ liệu về khách hàng của tháng Hai).

359

n( 2) = -n^ỉp = (0,22 , 0,49 0,29)P = (0,234 , 0,483 , 0,283). Vậy, ta có thể dự báo trong tháng Ba:

* cửa hàng Ì có 234 khách,

* cửa hàng 2 có 483 khách,

* cửa hàng 3 có 283 khách. Tiếp tục quá trình như thế ta có thể tính

n < u ) = n ( 1 0 ) p - n p ( 1 0 ) = nip 1 0 = (0,270. 0,459, 0,271)

để thu được. dự báo khách hàng cho tháng Chạp:

* cửa hàng Ì có 270 khách,

* cửa hàng 2 có 459 khách,

* cửa hàng 3 có 271 khách. Để dự báo sự phân chia thị trường cho tương lai ta cần tính

£ Ị ( n + i ) _ ỊỊ(n)p Ngu trong tương lai thị trường sẽ cân bằng (nghĩa

là mỗi cửa hàng sẽ có một lượng khách ổn định) thì n ( n + l ) ~ n ( n ' khi Tì khá lốn. Đấy là lý do vì sao chúng ta cần phải tìm phân phối dừng, tức là tìm nghiệm không âm của hệ phương trình

' 0.800xt + 0,070x2 + 0 , 0 8 3 X 3 = Xi

0,100:/-! + 0. 900x2 + 0, 0 6 7 X 3 = x2

I 0 , 1 0 0 X 1 { 0 , 0 3 0 X 2 + 0. 850x3 = *3

{ I x2 ị £ 3 ----- Ì .

Ta có tối 4 phương trình để xác định 3 ẩn. Tuy nhiên, cần chứ ý rang do ( p i j ) là xác suất chuyển nên y~]pij --- Ì vì thế 3 phương

ú trình đầu phụ thuộc tuyến tính.

Khi bỏ đi Ì trong 3 phương trình đầu, ta tìm được

XX = 0,272 , x2 = 0,455 , x 3 = 0,273

360

tức là, trong tương lai

* cửa hàng Ì sẽ có lượng khách ổn định là 272 .

* cửa hàng 2 sẽ có lượng khách ổn định là 455 .

* cửa hàng 3 sẽ có lượng khách ổn định là 273 .

Chú ý. Trên thực tế có những cửa hàng phục vụ tốt đến mức khi khách đã từng đến mua hàng ờ cửa hàng này thì không bao giờ chuyển sang cửa hàng khác. Cưa hàng (trạng thái) như thế gọi là chỗ trũng (hay trang thái hút , hay trang thái hấp thụ) .

Chẳng hạn, nếu nia t rận xác suột chuyển là

/0 ,90 0,05 0,05\ p = ị 0, l ỗ 0,75 0,10 ,

\ 0 0 1,00/

thì cửa hàng 3 sẽ dần dần chiếm lĩnh toàn bộ thị trường (j>3i -

VAI — 0 ) P33 = 1,00). Vậy 3 là chỗ trũng (hay là trạng thái hú t ) .

Còn nếu ma t rận xác suột chuyển là

/ 0, 90 0,05 0,05 \ p . = ị 0 0,50 0,50 ,

\ 0 0,50 0 ,50/

tức là, 7J21 — V'i\ = 0 ) thì cửa hàng Ì dần dần một hết khách hàng,

còn hai cửa hàng 2 và 3 sẽ dần dần chiếm lĩnh thị trường. Độy là chỗ trũng gồm hai trạng thái.

10.6 M ô h ình trò chơi hai đ ấ u thủ

Giả sử .£i>£2i ...,£n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli (lộc lặp với

P(6 = 1) = p , Ỹ(ii = - 1 ) = q , V e (0; 1) , JH q =• Ì ; I = Ì, 2, . . . . T í

•Mi I

Đặt So = 0 , sk =-- Ẹi + 62 ị . . . + & • ; Ì < fc < n . Khi đó có thế

xem So . Sì ,... . <S'„ là quĩ đạo của hạt di động ngẫu nhiên trên đường thẳng xuất phát từ 0. là vị trí của hạt tại thời điểm Ả'. Ta xét bài toán với xác: suất là bao nhiêu hạt, vượt ra ngoài khoảng (A- B) ?

Cụ thể là: Cho trước hai số nguyên A, B sao cho A < 0 < /:?. Với xác suất là bao nhiêu sau TI bước hạt không còn nứm trong (A; B)'ĩ Với xác suất là bao nhiêu hiện tượng nà} xảy ra ớ (liêm A (hoặc. B) ?

Đó là mô hình trò chơi hai đấu thù: Già sư có hai (lấn thù chơi một trò chơi nào đó. Ban đầu đấu thủ thứ nhất có vốn là — Áy đ ấ u thủ thứ hai có vốn là B. Nếu thắng cuộc (trong Ì ván) thì được thêm 1. thua cuộc thì phải trả Ì (cho người kia). Vậy Sít = Ẹị f £2 + ••• + Ẹ,k là t iền thắng cuộc (sau Ả- ván) ('lia đấu thủ t hứ nhất và là t iền thua cuộc cùa đấu thù thứ hai nếu Sk > 0.

Rõ ràng khi s\. •-- B (hãy ố'/,. --• .4) thì người thứ hai ( thứ nhất) hết t iền, lúc đó trò chơi kết, thúc.

Để giải quyết bài toán đặt ra, ta đưa vào các ký hiệu san: Giá sứ ì là số nguyên sao cho A < .1: < B. Đặt Sị =- X ị Sít ; Ả' 0, Ì , . . . . li và

Tx

k = min{0 <l<k: Sf = A hay 57 = ổ } .

trong đó ta quy ước rị ---- k nếu .4 < Sf < B đối với mọi

0 < ỉ < k.

Khi đó, {Tị. •--= / } là biến cố: di động ngẫu nhiên 5() , S'f , . . . . xuất phát từ X lần đầu tiên ra khỏi (i4; # ) tạ i thời điểĩn /.

362

B i ế n CỐ { T £ = / , Sf = A} ( hoặc / . Sf =. B}) là h iến

cố: h iện t ư ợ n g t r ê n x ả y ra t ạ i A (hoặc t ạ i B ) . Đặ t

k

Ảị = \J{rĩ = l, Sf = A} ,

fe

B Ỉ = U K ' = i ' -Sf--=«} • fc--0

aA.(.r) = P ( ^ ) , /Jfc(x) = p ( / ỉ £ ) , v ớ i fc 0, Ì , . . . . r i .

N h ư v ậ y th ì

• Qífc(a;) là x á c suất đ ấ u t h ủ t h ứ nhất, thua cuộc ( hế t t i ền )

t rong vòng k ván .

• 0k(x) là x á c suất đ ấ u t h ủ t h ứ hai thua cuộc t rong vòng

ọ' v á n .

Do t í n h Markov và cóng thức xác suất đ ầ y đ ủ ta có (giả i

th ích?) các hệ thức t ruy hồi sau:

ak(x) = pak-ị(x -ì 1) -ị qa-k-\i-r. - 1); v ớ i X <E (A; B) , k < TI-

at(A) = Ì , at(B) = 0 ; v ớ i m ọ i 0 < ỉ < 77 ,

í (h{x) vfh-Áx l i ) ị qíh-Á-r. - 1); v ớ i X e ( /1 ; fí) , ọ- < /I

Ì =-- 0 . Pi(B) : Ì ; v ớ i m ọ i ( ) < / < « .

R õ l à n g cv 0(x) A)(:r) - 0 v ớ i X e (A\ B) . Vì t h ế có the dựa

v à o các hệ thức t ruy hồ i t r ê n đ ể t í n h « 1 ( x ) , . . . . a „ ( : c ) và f.j] (./:) 3„(.í

C h ú ý r ằ n g {cvfc(x)| v à {Pk(-r)} là các d ã y k h ô n g g iám và

bị chặn (bờ i 1), nên kh i n —+ oo t ồ n t ạ i

a(x) --- l i m ttn(x) , /3(:r) - lun pn(x) .

363

T ừ đ ó và t ừ các hệ t hức t r ê n ta có

a(x) = pa(x Ị 1) 4 qa(x - ĩ )

a(A)=ĩ , a(B) = 0,

0(x)=P0(x+ l ) + q 0 ( x - ĩ )

(3(A) = 0 , 0(B) = Ì .

T ừ các Ị )hương t r ì n h n à y ta t í n h đ ư ợ c :

• T r ư ờ n g hợp p -/ q , p e ( 0 ; l ) ta có

(q/p)B -(q/pV , M , ( < / / p ) S - l a ( x ) = ( ? /p ) f l - (7/p)" ' a ( 0 ) " ~ ( q / p ) B - ( q / p )

M = {Mf^A m 1 - (f//p)'4

( q / p ) B - ( q / p ) A ' ' w ( l / p ) B - ( r i / p ) A

T r ư ờ n g hơ]) p = r/ = Ì /2 ta có

B — X r — A a { x ) = B - \ • ớ ( x ) - B A '

fì — 4 ổ - ,1 v ' / í .1

/ í ế/, ỉ i iận: K h i cho p h é p số v á n chơi l ớn t ù y ý th ì v ớ i các c ô n g thức

t r ê n ta có

• «(.;:) là xác suất t hua cuộc (hết sạch vốn) của đ ấ u t h ù

t h ứ nhất (có v ố n ban đ ầ u là X — A ),

• fỉ(x) là xác suất thua cuộc (hết sạch vốn) của d ấ u t i m

t h ứ hai (có v ố n ban đ ầ u là B — X ),

• a.(:r) ị fi{x) = Ì , v.r € \A\ Bị , Vp e (0 ;1) .

364

Nhận xét.

1) N ế u X - 0 ( tức là, v ố n ban đ ầ u của đ ấ u t h ủ t h ứ nhai

là —A và của đ ấ u t h ủ t h ứ hai là B) . thì xác suất thua cuộc cua

đ ấ u t hủ t h ứ n h ấ t là

n w m ( 7 / p ) B - l a = tt'(U) (q/p)B - (q/p)A •

K h i p < q ( tức là, k h ả n ă n g chơi c ù a đ ấ u t h ủ t h ứ n h ấ t k é m

h ơ n đ ấ u t h ủ t h ứ hai) , ta thay đôi t i ề n thắng cuộc t rong m ỗ i ván

chơi chỉ còn 1/2 ( tức là, = 1/2) = p , P ( & = - 1 / 2 ) ' /) .

th ì x á c suất thua cuộc của n g ư ờ i t h ứ nhấ t sẽ là

( q / p )2 B

- ì ( q / p )B

- ì 0?/p) R + l "1/2

( q / p )2 B

- ( q / p )2 A

- ( q / p )B

- ( q / p )A

( q / p )B I to/pj*

í / / / / ' ) " f 1 > n ( c h ù y p<q. A < l ì ) . '{<ìlv)B

+ (q/p)A

Do d ó . r i ế u đ ấ u t h ủ t h ứ n h ấ t c h ơ i k é m h ơ n đ ấ u t h ủ

t h ứ h a i t h ì v i ê c t ă n g t i ề n t h ắ n g c u ô c t r o n g m ỗ i v á n l ê n h a i

l ầ n sẽ l à m g i ả m x á c s u ấ t t h u a c u ô c c ủ a a n h t a .

2) N ế u đ ấ u t h ủ t h ứ nhấ t có v ố n là —As còn đ ấ u t h ủ t h ứ hai

có v ố n B —> 00 thì xác suất thua cuộc của đ ấ u t h ủ t h ứ n h ấ t sẽ là

a(0) Ì n ế u p < q

{<ỉlv)~Á n ế u V > 'ỉ

v à xác suất đ ể đ ấ u t h ủ t h ứ nhất, k h ô n g bao g i ờ hết Liền (nghĩa là

t r ò chơi cứ t i ế p tục mã i ) là

0(0) = Ì - tt(0) .

365

c 'hú ý. C á c k ế t quả sau đ ã đ ư ợ c chứng minh:

1) Tốc đ ộ hộ i t ụ của ttn - an(0) đ ế n tt - a:(0) và cùa

tin .#„(<)) đ ế n 13 3(0) r ấ t nhanh. C ụ t h ể là. tồn t ạ i ( e (0; ] )

sao chí)

0 < tt - an < c" và 0 < ạ - an < e" v ớ i ĩ? đ ủ lớn .

2) Đ ạ i lượng rnk(x) - E r ^ ch ính là đ ộ dà i t rung b ì n h của

cuộc chơi . B ằ n g những lập l u ậ n n h ư t r ê n ta có t h ể t í n h đ ư ợ c

• v ớ i p Ị q t h ì ĩn.(x) ~ \ B f j ( x ) ị Aa(x) -.rị.

• v ớ i p = (Ị = 1/2 th ì rn(x) - (B - j){x - A).

Đặc b iờ t k h i hai đ ấ u t h ủ có v ố n ban đ ầ u n h ư nhau ( L ứ c là.

B - —A) th ì nì (ũ) — B2. N h ư vậy, chằng h ạ n m ỗ i ván chơi có t iên

thang c:uộc là 1$ , th ì kh i m ỗ i đ ấ u t h ủ có v ố n b a n - đ ầ u là 100$. t r ò

chai về t rung b ì n h sẽ k ế t t h ú c ờ v án t h ứ 777,(0) = Ì Oi)2 Ì ().()()().

Bài t o á n t r ò chơi ờ t r ê n và nh i ều bà i t o á n k h á c của lý t huyết,

x á c suất liên quan đ ế n quỹ đ ạ o của q u á t r ì n h ngẫu nh iên . C á c v ấ n

đ ề ( lưới đ â y m i n h họa đ i ề u này.

10.7 P h â n t í c h b ư ớ c t h ứ n h ấ t

10.7.1 Trường hơp đơn qiản

N ộ i ( lung của p h ư ơ n g p h á p n à y là: t í n h các k h ả nang của hờ

sau bước t h ứ nhấ t n h ờ á p dụng còng thức xác suất đ ầ y chi.

Các ví d ụ d ư ớ i đ â y m i n h họa đ i ề u này.

366

Ví dụ ỉ. Trò chơi có hòa

Ta xét xích Markov ( X n ; Tì - 0,1,2,...) có không gian trạng thái E = {(}, 1,2} và ma trận xác suất chuyển là

p r i 0

i í a > 0 , 6 > 0 = a 6 c , với <

! 6 -f c Ũ 0 ĩ ) ỉ ! 6 -f c

. oi) . , - 1 .

Đáy là mỏ hình trò chơi hai đấu thù: mỗi người có vốn ban đầu là Ì, t iền thắng cuộc. hằng Ì . a là xác suất thua của đ ấ u thu thứ nhất, b là xác suất hòa, c là xác suất thắng của đấu thủ t hứ nhất.. Xn là số t iền của đấu thii thứ nhất tại ván rì.

Rõ ràng, đố i với xích Markov này 0 và 2 là các trạng thái hút (hay hấp thệ) .

Hai vẩn đề cần nghiên cứu là:

• Quá trình sẽ bị hút vào trang thái nào (0 hay 2)?

• Sau bao lâu thì hiện tượng trên xảy ra?

Phương pháp giải quyết hai vấn đề này là: P h â n t í c h b ư ớ c t h ứ n h ấ t .

Đặt

T mm{n > 0 : xn 0 hoặc x„ 2} .

Dó là thời điểm quá trinh sẽ bị hút (ngừng lại) .

Ta cần phải tính

tí = P{ ÁY = (lịAo = 1} ,

ủ -- F { X r ---- 2\Xo 1} .

V = E{T\X0 1} .

367

N h ư v ậ y thì

• tí là x á c suất. p h á sản (hế t t i ền ) của đ ấ u t h ủ t h ứ n h ấ t .

• ũ là x á c suất p h á sản (hế t t i ền ) của đ ấ u t h ủ t h ứ hai ,

• V là t h ờ i gian (số v á n ) t rung b ình đ ể t r ò chơi k ế t t h ú c .

Sau b ư ớ c t h ứ n h ấ t (ván t h ứ n h ấ t ) Xi có 3 k h ả n ă n g : Xị 0,

X] ---- Ì , X i — 2 vớ i x á c suất t ư ơ n g ứ n g là ri , ò, r. N ế u vYi 0

hoặc X\ — 2 thì T = 1. n ế u X\ — Ì th ì t r ò chơi l ạ i l ặ p l ạ i t ừ

đ ầ u .

0} Ì , F { K y = 2|A"i = 0} 0 .

2} = 0 . Ỹ{XT = 2 Ả À"; - 2} - Ì ,

1} u , F{XT --= 2\X; = 1} - ú .

S ử d ụ n g công thức x á c suất đ ầ y đ ủ và t ính Markov ta có:

2

•li =-- Ỹ{XT = 0\Xữ = 1} = 5 ^ P { X T = 0, À", Ả-|X() - 1} -*•=<)

2 = ^ r ? { A > •-- OI Xo = Ì. A'l = k}.Ỹ{X, -- k\Xo - 1} k 0

2 -• J > { X r 0 |A" I = k}.P{Xì kị Xa = 1} k- tì

ì.a I 7Í.6 I o.c Í; 4 l ib.

suy ra ?í = o / ( l — b) = « / ( a f r ) .

Do đ ó ta có:

P { A " r OI X i =

P { Ả'7 - OI X i =•••

P { A > = 0\Xl =

3GS

T i ế p theo

2

ũ P{Xf 2\XQ - 1} X > { A > 2. X i />|A'o ì } A--0

2

- £ > { * T = 2\Xo = ì, Xì = A-}.P{.Y, = fc|X„ = 1}

fc=o

2

- £ r { A > = 2\x, = k}.F{X, = k\xữ = 1} fc=o

= ().« f ũ.b + Le — f i ồ + r .

suy ra ũ - r / ( l — 6) c/(o f r ) .

C ó t h ể t h ấ y r ằ n g (giải th ích?)

V = 2{7',A'() - 1} = Ì í ,/.() i 6.1! f c o Ì I ôn .

suy r a T> --- 1/(1 - b) Ì / ( r í + à).

Hoặc là, ta dễ d à n g t h ấ y r ằ n g (giải th ích?)

¥{r>m\xữ •= 1} = &"' (ni = 0,1,2,. . .) .

nen

E { T | X o - 1} = F i T > ml*<> = ] } = = I r') m=0

V í li?/ ổ. Ta xét xích Markov (vY„ ; Tỉ 0. 1,2,...) có k h ô n g gian

t r ạng t há i £ ••- { 0 . 1 , 2 , 3 } v à nia t r ậ n x á c suất, c h u y ê n là

1 0 0 0 \ ' va > 0 , Pit) Vu V\2 PVi

P20 P21 P22 P23

0 0 0 Ì • v ớ i 5 > y • 1 { i J - ( U ' 2 ' : ỉ )

309

Đặt

T = mmịn > 0 : x n 0 h o ặ c x„ 3} .

Đ ó l à t h ờ i đ i ể m q u á t r ì n h sẽ b ị h ú t .

Ui T-ịXr = OI Ao -• ì} ,

V i S{7' |A'o = / } (í = 1,2) .

S ừ d ụ n g p h ư ơ n g p h á p P h â n t í c h b ư ớ c t h ứ n h ấ t t ư ơ n g t ự

n h ư t r ư ờ n g h ợ p q u á t r ì n h c ó 3 t r ạ n g t h á i , t a t h u đ ư ợ c :

Ui ••=•- PU) f PH UI -ị PV2U2 ;

"2 - P20 -t Ĩ>2\11\ I 7'22"2 .

Vị -- Ì I- -f 7^2 ỉ'2 ,

•ỉ'2 - Ì I T>2\'-'Ì i P22'Ỉ'2 •

N h ờ c á c p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n t a t í n h đ ư ợ c « j . Ví2 . í ' Ì . í'2 •

10.7.2 Phân tích bước thứ nhất tống quát

G i ả s ử ( A n ; Tỉ 0 ,1 ,2 . . . . ) là x í c h M a r k o v có k h ô n g g i a n

t r ạ n g t h á i h u h ạ n E = { ( ) , Ì . . . . . ; V } .

G i à s ử c á c t r ạ n g t h á i 0. Ì , . . . . 7- — Ì là c á c t r ạ n g t h á i t r u y ề n

ứ n g ( h a y t r a n g t h á i d i c h u y ể n ) theo ngh ĩa

l i m J>{''] = 0 . 0 < i . Ì < r - ì . r i — t o e •>

c ò n c á c t r ạ n g t h á i r , N l à c á c t r ạ n g t h á i h ấ p t h u ( h a y t r ạ n g

t h á i h ú t ) t h e o n g h ĩ a

Pii = ì , r < i < N .

370

K h i đ ó , ma t r ậ n xác suất chuyến có dạng

\o ĩ )

t rong đó o là ma t r ậ n cỡ (N - r -ị- 1) X r gồm t o à n số k h ô n g , ì

là ma t r ậ n đ a n vị cỡ (N - r + 1) X (N - r + ỉ ) v à Q là n ia t r ậ n

v ớ i qtj --• Pij , 0 < i,j < r - 1 , còn E là ma t r ậ n cấp rx(N — r ị ỉ )

v ớ i r ( j r P i i , i 0,.... r - Ì , j r. . . . , i V .

X u ấ t p h á t t ừ t r ạ n g thá i Xo - í .0 < ĩ < r — Ì q u á t r ì n h

còn lưu l ạ i ờ t r ạ n g t há i t r u y ề n ứng {0 , Ì , r — Ì} t rong Tuột- t h ờ i

gian n à o đ ó , n h ư n g cuối c ù n g q u á t r ì n h sẽ bị h ú t v à o m ộ t t r o n g các

t r ạng thá i {r,.... N}.

Bài toán 1. T h ờ i gian t rung b ình q u á t r ì nh lưu l ạ i t rong t ạ p hợp

các t r ạ n g t h á i {0 . Ì , r — 1} bằng bao nh iêu ?

Bài toán 2. P h â n phố i xác suất t ạ i các t r ạng t há i t ạ i d ó q u á

t r ì nh bị h ấ p thụ?

Ta xé t bà i t o á n 2 t rước . C ố đ ị n h k € {r,...,N}. Ký h i ểu

Uịị. Ui ( ta b ỏ chỉ số k đ ể t i ển cho cách v i ế t ) là xác. suất, h ấ p

t h ụ vào t r ạng t há i k k h i hể x u ấ t p h á t t ừ t r ạ n g thá i A"() = í. Theo

phản t ích b ư ớ c t h ứ nhấ t ta có

371

Tóm lạ i , đối với trạng thái hấp thụ k xác suất để quá trình bị hút vào k khí xuất phá t từ Xo = ì là nghiệm của hệ phương trình sau

r - 1

Ui = Pik+Ỵ2pijUj , (Ì = 0, Ì, . . . ,r - 1) (10.9)

Đây là c ô n g thức t ính x á c suất đ ể quá tr ình bi hấp thu v à o trang thá i k khi xuất phát từ trang thái i.

Bây giờ ta xét bài toán 1. Đặt

T = m i n { n > 0 : x n > r} .

Đó là thời gian cho tớ i lúc quá trình bị hấp thụ. Giả sọ g(i) là hàm số phụ thuộc trạng thái truyền ứng i. Ta đặt

r - 1

Wi =E[J2a(Xn)\Xo n=0

Nếu chọn g(i) = Ì với mọi 2 = 0, Ì , r — Ì thì

Wị = Vi= E[T\X0 = i\ •

Đó là thời gian trung bình cho đến lúc hấp thụ (tức là, thời gian trung bình quá trình còn ờ các trạng thái truyền ứng: 0, Ì , r — 1 ) .

Nếu k là trạng thái truyền ứng và chọn

ị Ì nếu ỉ = k g(i) = ỏik = ị _ * . . .

( 0 nêu ì Ỷ k Ì

thì Wị = wik

372

là Số lần trung bình quá trình rơi vào trạng thái k (0 < k < r --1) t rước khi bị hấp thụ.

Theo phân tích bước thứ nhất, ta có

r - l

w i <]{>) I ^2/Vijwi ' (í = 0,1, . . . , r - ì; j=0

Đặc biệt , ta thu được

r - 1

= Ị + y^JHjVj , (' 0. i r ì; j = 0

(10.10)

Đây là c ô n g t h ứ c đ ể t í n h t h ờ i gian t r u n g b ì n h cho tới lúc

q u á t r ì n h b i h ấ p t h u .

r - 1

Wlk = ỏlk + Ỵ^PijWjk , ( i = 0 , l , . . . , r - l ) (10.11) j = 0

Đây là c ô n g t h ứ c đ ề t í n h số l ầ n t r u n g b ì n h q u á t r i n h rơ i v à o t r a n g t h á i k (0 < k <r — ì) trước k h i bị h ấ p t h ụ .

Ví dụ (Mê cung). Cho một con thỏ vào mê cung (là một chung

có nhiều ngăn) như hình vẽ

7

Thức ăn

373

Ta có thể giả thiết thỏ chạy ngẫu nhiên. Giả sử xn là ngăn thỏ vào ờ giai đoạn thứ n (mỗi đơn vị thời gian thỏ vào ngăn bên cạnh). Ngăn 7 chứa thức ăn, ngăn 8 có bẫy. Tính xác suất để thỏ vào ngăn có thức ăn trước khi bị bẫy. Trong trường hợp này ma trận xác suất chuyển là

ũ 1 2 3 4 5 6 7 8

0 / 0 1 2

1 2

0 0 0 0 0 0 \

1 1 3

0 0 1 3

0 0 0 1 3

0

2 1 3

0 0 1 3

0 0 0 0 1 3

3 0 1 4

1 4

0 1 4

1 4

0 0 0

4 0 0 0 1 3

0 0 1 3

1 3

0

5 0 0 0 1 3

0 0 1 3

0 1 3

6 0 0 0 0 1 2

1 2

0 ũ 0

7 0 0 0 0 ũ 0 ũ 1 0

8 V o 0 0 0 0 0 0 0 l ì

Giả sử Uị(7) là xác suất hấp thụ vào ngăn 7 khi thỏ đi từ ngăn i . Theo (8.1) ta có

Ì Ì 1 1 1 Uịì = -Ui f -U2 , " 1 = 3 + 3«0 t- 3«3 >

1 1 1 1 1 1 3 3 4 4 4 4 l i Ì l i Ì Ì

« 4 = - +• I r « 6 ì « 5 = x « 3 + r « 6 ) « 6 = 7T7Í4 + " 5 '

Giải ra ta được

Uo = Úc, = 1/2 , l i Ì = u 4 = 2/3 , I i 2 = « 5 = 1/3 , u-i = 1/2

374

B à i t á p

1. Cho xích Markov (Xn ; n = 0,1,2,...) với không gian trạng thái E = {0, Ì, 2} và ma trận xác suất chuyển

2. Xét bài toán truyền một bức điện gồm các tín hiệu 0, Ì thòng qua kênh có nhiều t rạm và mỗi trạm nhận sai tín hiệu với xác suất cố đ ịnh bằng a 6 (0; 1) . Giả sử Xo là tín hiệu truyền đi và Xn

là t ín hiệu nhận được t ạ i t rạm Tỉ. . Cho biết (Xn ;n = 0.1,2,...)

láp t h à n h xích Markov với các xác suất chuyển là

/'OI) = Vu = a ; Pin = Pin l - Oi .

a) Tính Ỹ(XQ = 0, Xi = 0, X2 — 0) , là xác suất, không nhận sai t ín hiệu cho tái trạm TI = 2. b) Tính F(Xo = 0, xỵ = 0, x2 = 0) -+ F(x() -- 0, Xi \.x2 0), là xác suất nhận đúng tín hiệu ca t rạm ri = 2. c) T ính F(X5 = Q\x0 = 0), là xác suất nhận đúng tín hiệu qua 5

Biế t phân phối ban đàu là

P0 = Ỹ(X0 = 0) = 0,3 ; P! = P(Xo = 1) = 0,4;

P2 = P ( X o = 2) = 0 , 3 .

T ính P(*o = 0, X i = Ì, x2 = 2) ?

t r ạm.

375

3. Cho xích Markov ( X n ; n = 0 ,1 ,2 , . . . ) v ớ i k h ô n g gian t r ạ n g

t há i E = {0 , Ì , 2} v à m a t r ậ n x á c suất chuyển

/ 0 , 1 0,2 0 , 7 \ p = 0,2 0,2 0,6

\ 0 , 6 0 ,1 0 , 3 /

T í n h P 2 v à Ỹ{Xi - l i X i = 0) , P(Xs = l ị Xo = 0).

4. Cho xích Markov ( X n ; n = 0 ,1 ,2 , . . . ) v ớ i k h ô n g gian t r ạ n g

t h á i E = { 0 , 1 , 2 } v à ma t r ậ n x á c suất chuyển

/ 0 , 0 0,5 0 , 5 \ p = 0, 5 0,0 0,5

\ 0, 5 * 0. 5 0 , 0 /

T í n h F(Xn = 0\x0 = 0) , đ ố i v ớ i Tí. = 0,1,2, 3,4.

5. * G i ả sử ( X n ; n = 0 ,1 ,2 , . . . ) là x ích Markov v ớ i k h ô n g gian

t r ạ n g t h á i E v à f(x) là h à m số n à o đ ó x á c đ ị n h t r ê n E . H ỏ i

r ằ n g ( f ( x n ) ; Tì, = 0 ,1 ,2 , . . . ) có lập t h à n h xích Markov k h ô n g ?

t ạ i sao?

6. G i ả sử X n là chấ t l ư ợ n g của chi t i ế t t h ứ Tì t rong d â y c h u y ê n

sản x u ấ t v ớ i X n = 0 có nghĩa là "tối" , x n = ì có nghĩa là "xấu".

Gia sứ ( x n ; rỉ = 0 ,1 ,2 , . . . ) l ập t h à n h xích Markov v ớ i m a t r ậ n

x á c suất c h u y ê n / 0 , 9 9 0.01 \

= \ 0. 12 0,88 ; •

T í n h Ỹ(Xị = ì\Xị — ì). G i ả i th ích ý nghĩa của xác suấ t n à y ?

7. Cho xích Markov ( X n ; TI 0 .1 ,2 , . . . ) v ớ i E {OA} v à nia

t r ậ n xác s\iất chuyển

376

Chứng minh rằng khi đó ( z n ) — ( ( X n - 1 , x n ) ; Tỉ — 0, Ì, 2,...) lập thành xích Markov với bốn trạng thái (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Tìm ma trận xác suất chuyển Q của (Zn).

8 . * Cho £oi£i> •••;Ẹm ••• là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, cùng phân phối xác suất F(€k = —ì) = P(£fc = 1) -- 2 • k = 0, Ì,.... l i . . . .

Đ ặ t

X u ~ - 2 ~ > ^ n = £ ™ + £n+\ Ì Z n = £ n - £ n + l

n

r„ = 17 , Un = max & . Vị, = I : ) 0 < i < n

i=0

với = Ì , ¥?(- l , l ) = 2 , y>( l , - l ) = 3 , <p{ỉ,l) = 4 Hỏi rằng trong các dãy (Xn), (Yn), (zn), (r„), ( n ) , ( V n ) ; rí =

0,1,2,... có dãy nào lập thành xích Markov? tại sao ? Nếu lập thành xích Markov, hãy tìm các ma trận xác suất chuyển của chứng.

Kết quà sẽ như thế nào nếu cho biết

--• -1) = V , Hik = 1) = Ì - V ; 0 < V < Ì ; k - 0.1.2...

9. Cho biết ( X n ) ; H = 0, Ì, 2,... là xích Markov với P{yY(, 0} 1. không gian trạng thái E ----- {0,1,2} và ma trận xác suất chuyên

3/7 3/7 1/7 1/11 2/11 8/11 1/11 4/11 6/11

Đ ậ t Ì nếu X n tì .

Yn

2 nếu x„ / 0

3 7 7

C h ứ n g t ỏ r ằ n g (Yn) ; n - 0, Ì , 2, . . . là xích Markov và t ì m m a

t r ậ n x á c suất chuyển của nó .

10. * Cho £ i , Ẹn, ••• là d ã y b i ế n ngẫu n h i ê n r ờ i rạc, d ó c l ậ p , có

c ù n g p h â n p h ố i x á c suất p(£fc = —1) = F(Ẹk = 1) = 2 ' k = 1,2,...

Đ ặ t So = 0 , s m = 5 m _ i + Cm ; « 1 = 1,2,...

C h ứ n g m i n h r ằ n g ( 5 ' n ) ; 77. = 0 ,1 ,2 , . . . là xích Markov.

G ọ i T/v = m i n { n : \Sn\ = N} . T í n h

É T , , E r 2 , E r 3 .

T ổ n g q u á t han, chứng m i n h r ằng ETJV = N2.

1 1 . Cho p = (ĩJij) í Ì < ị , i < ni là ma t r ậ n ngẫu nh iên v à A

là g iá trị r iêng của nó, tức là, A là nghiệm c ù a p h ư ơ n g t r ì n h đ ặ c

t r ư n g det(F — AI) — 0 , v ừ i ì là ma t r ậ n đ ơ n v ị .

C h ứ n g m i n h r ằ n g Ào = Ì là mộ t giá trị r iêng, đồng t h ờ i c á c

giá t r ị r i êng còn l ạ i đ ề u có giá tr ị t u y ệ t đ ố i k h ô n g l ừ n h ơ n 1.

12 . * a) Cho Xo,Xu...,Xn,... và Vu. Vi ý ; . . . . là hai

xích Markov.

H ỏ i r ằ n g ( x n ị- Y n ) ; ri = 0 ,1 ,2 , . . . có l ập t h à n h xích Markov

k h ô n g ? tai sao?

b) Cho £o, £ i ) f m ••• là d ã y b i ế n ngẫu nh iên rờ i rạc, độc'

l ập t ừ n g đòi ra ót .

H ỏ i r ằ n g (£„) ; TI •-• 0 ,1 ,2 , . . . có lập t h à n h xích Markov k h ô n g ?

tai sao?

c) Cho xích Markov ( x n ) ; Tỉ, = 0 ,1 ,2 , . . . và đ ặ t Yn

X n \ Xn-ị.\

378

H ỏ i r ằ n g (Yn) ; n = 0 ,1 ,2 , . . . có lập t h à n h x ích Markov không?

t ạ i sao?

13 . Cho b i ế t ( X n ) ; n = 0 ,1 ,2 , . . . là xích Markov v ớ i k h ô n g gian

t r ạ n g t h á i £ ' = { 1 , 2 , 3 } v à ma t r ậ n x á c suất chuyển

0 a Ì — a a 0 Ì - a I , a 6 | 0 ; l j .

1/3 1/3 1/3

Đ ấ t

Yn = ì n ế u X n < 3 ,

2 n ế u xn = 3 .

C h ứ n g t ồ r ằ n g (Yn) ; n = 0 ,1 ,2 , . . . là x ích Markov v à t ìm m a

t r ậ n x á c suấ t chuyển của n ó .

14 . Cho £o! d i £ 2 1 ••• là d ã y b i ế n ngẫu nh iên r ờ i rạc, độc l ập , dồng

t h ờ i

Hín = k)=Pk , p f c e [ 0 ; l | , (fc = 0 , ± l , ± 2 , . . . ) .

Đ ặ t xn = eo + 6 + ... + Én •

C h ứ n g mi n h r ằ n g ( X n ) ; n = 0, Ì , 2, . . . l ập t h à n h xích Markov

v à t ì m m a t r ậ n xác suất chuyển của nó .

15 . X é t m ò h ì n h k i ể m kê p h ụ t ù n g thay t h ế v ớ i s —- 0 v à s ----- 3

là c á c mức c ầ n cứ đ ể nhập h à n g c ù n g v ớ i £ n là lượng h à n g k h á c h

y ê u cầu t rong chu kỳ ri . B i ế t r ằng

riu = 0} = 0,4.; P{£n = 1} = 0,3 ; P { e „ = 2} = 0,3 .

X á c đ ị n h x á c suất chuyển của xích Markov ( X n ) , t rong đ ó

X n là số p h ụ t ù n g còn l ạ i t ạ i cuố i chu kỳ n .

379

1 6 . Xét mò hình kiểm kê: Xn là số hàng còn lạ i tạ i cuối chu kỳ n, Ẹn là số hàng khách yêu cầu trong chu kỳ TI và (s, S) là các mức cán cứ để nhập hàng,

ti) Giả sử s 1,5 - 4 và Xo - s = 4. Nếu

Si = 2, sC

2 = 3, 6 = 4, £ 4 = 0, Ẹ5 = 2, ỉa = Ì, ÉT = 2, & = 2

thì A n là bao nhiêu đ ố i với mỗi chu kỳ n = Ì, 2 , 8 ?

b) Giả sử £ i , £ 2 ) ••• là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối sao cho

P { í „ 0} = 0, Ì ; P { í „ = 1} = 0,3 ; P{£ n = 2} = 0,3

P { í n = 3} = 0 ,2 ; p{6 , 1} - 0. Ì.

Khi đó Xi).X\,... lập thành xích Markov. Xác định p4\ và P()4?

17. Cho hai bình J4, ổ chứa tắ t cả jV quả cầu. Tạ i thời đ iểm n = 1,2,... chọn ngẫu nhiên Ì quả trong N quả. Sau đ ó chọn ngẫu nhiên Ì bình theo quy tắc: A được chọn với xác suắt p và B được chọn với xác suắt (/ , rồi cho quà cầu vừa chọn vào bình này. Ký hiệu Xu là số quả cầu trong bình A tạ i thời đ iểm n.

Xác định ma t rận xác suắt chuyển của xích Markov ( X n ) này.

1 8 . Hai bình J4, B chứa tắt, cả Af quà cầu. T ạ i thời đ iểm ì) bình /1 chứa đúng k quả cầu. Tạ i thời đ iểm ( T Ỉ . + 1) chọn ngẫu nhiên Ì bình theo tỷ lệ số quà cầu chứa trong đó, tức là, A được chọn với xác suắt k/N và B được chọn với xác suắt (N — k)/N. Sau đó chọn ngẫu nhiên Ì quả cầu từ bình Ả với xác suắt p hoặc

380

t ừ b ì n h B v ớ i x á c suất q , rồ i cho q u ả cầu vừa chọn v à o b ình đ ã

chọn. K ý h i ệu X n là số q u ả cầu t rong b ình A t ạ i t h ờ i đ i ể m Tì..

Xác đ ị n h ma t r ậ n x á c suất chuyển của xích Markov ( X n ) này.

19 . Hai b ì n h A, B chứa t ấ t cả N quả cầu. T ạ i t h ờ i đ i ể m rì

bình- A chứa đ ú n g k quả cầu. T ạ i t h ờ i đ i ể m (rí. + 1) chọn ngợu

n h i ê n Ì quả cầu và chọn ngợu nh iên Ì b ình theo tỷ l ệ số qua cầu

chứa t rong đó , tức là, quả cầu đ ư ợ c chọn t ừ b ì n h A v ớ i x á c suất

k/N hoặc t ừ b ì n h B v ớ i x á c suất (N — k)/N . Sau d ó cho que

cầu v ừ a chọn vào m ộ t t rong các b ình , t rong đ ó b inh A đ ư ợ c chọn

v ớ i xác suất k/N v à b ì n h B đ ư ợ c chọn v ớ i x á c suất (N — k)/N.

X á c đ ị n h x á c suất chuyển của xích Markov v ớ i các t r ạng thà :

là số quả cầu t rong b inh A.

20. T í n h p h â n p h ố i g iớ i h ạ n của xích Markov có ma t r â n xác suất

chuyển là:

a) Ì / 2 Ì / 2 í)

p = I 1/3 1/3 1/3

1/6 1/2 1/3

b)

0 , 0

0 , 0

\ ] , 0

0 , 2 ú, 3 ( Ị 0 0 , 0

0 .3 0 ,3 0 ,6 0. 0

0 . 4 \

0 ,4

0, 4

0 , 0 /

2 1 . Chứng m i n h r ằ n g nia t r ậ n xác suất, chuyển

/ 0 1/2 1/2 0 0 \

1/2 Ó 1/2 0 0 1/3 1/3 Ó 1/3 0

0 0 1/2 0 1/2

V1 / 2 0 1/2 0 Ó /

381

là chính quy, tức là, thỏa mãn điều kiện (4.1) . Tính phân phối giới hạn?

22. Chứng minh rằng đối với xích Markov có hữu hạn trạng thái luôn luôn tồn tại phàn phối dừng.

23. Chứng minh rằng ma trận xác suất chuyển

/1/4 1/4 0 0 l / 2 \ 1/3 Ó 1/3 1/3 Ó 1/2 0 Ó Ó 1/2 0 0 -0 1/2 1/2

V o 0 0 Ì Ó / không thoa mãn điều kiện (4.1). Phản phối dừng có tồn tại không?

24. Xác định phân phối dừng của xích Markov có ma trận xác suất chuyển là:

a)

b)

/1/3 1/3 1/3 0 \ 1/2 1/2 Ó 0 1/4 1/4 0 1/2

V Ó 1/2 0 1/2/

/ 0 1/2 0 0 l / 2 \ 0 0 1 0 0

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Ó 1/2 Ó Ó 1/2

V 0 1/2 1/2 0 0 /

3 8 2

25. Kiểm tra tính ergodic của xích Markov với ma trận xác suất chuyển sau đây:

/1/2 1/2 0 0 \ • 1/2 1/2 0 0

i 0 1/2 0 1/2 V1/2 Ó 0 1/2/

b) / 1

Ì

0 0 0 0

1/2 1/2 0

0 \ 0 0

V1/4 1/4 1/4 1/4/

Tìm phân phối ergodic (nếu có)?

26. Cho xích Markov ergodic với 2 trạng thái có phân phối giới hạn là (p , Ì — p).

Hãy xác định ma trận xác suất chuyển?

27. * Cho xích Markov ergodic với hữu hạn trạng thái và

lĩ Ì lim p n—>oo

( n )

Chứng minh rằng tồn tại các hằng số 0 < g < Ì và c sao che

„(n) _ ^ /"-< ri w • „ P i j - ^ < c £ ; Vi, j , n .

28. Cho xích Markov ( X n ) có E = { 1 , 2 , . . . , 7 V } và ma trận xác suất chuyển

/ P l P2 P3 ••• PN \ P I p2 ••• PN-l

P2 P3 P4 Vi ì

383

N

t rong đ ó 0 < Pi < Ì , y~] Pi = Ì . C h ứ n g m i n h r ằ n g 1=1

l i m Ỹ ( X N = j ) = ĩ v

29 .* Cho ( A n ) v à ( y n ) là hai xích Markov v ớ i h ữ u h ạ n t r ạ n g

t h á i , c ù n g m ộ t ma t r ậ n x á c suấ t chuyển p = (j>ij) , có p h â n p h ố i

ban đ ầ u t ưomg ứ n g là

(PI,P2,-,PN) v à (<7i,<?2, ...,QN) •

C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u Tainpij > e > 0 th ì

3 0 . Cho ( x n ) là xích Markov v ớ i E — { Ì , 2 ,3} , p h â n p h ố i d ừ n g

7T t = 7T 2 — 7T3 = 1/3 v à ma t r ậ n x á c suất chuyển p = (Pij) c ó

P n = P22 = P33 = 0. Chứng m i n h r ằ n g P12 = P23 = P31 v à

Pl3 = P21 P32-

3 1 . M ỗ i m ộ t n g ư ờ i d â n của th ị t r ấ n ./V có m ộ t t rong ba nghề

(A,B,C). Con cái hổ n ố i t i ế p nghề của cha m ì n h v ớ i ' x á c s u ấ t

t ư ơ n g ứ n g là (3/5 , 2/3 , 1/4). N ế u k h ô n g theo nghề cha, t h ì

c h ú n g chổn m ộ t t rong hai nghề còn l ạ i v ớ i x á c suất n h ư nhau. H ã y

t ì m :

a) P h â n phố i theo nghề nghiệp của d â n cư th ị t r ấ n ò t h ế h ệ

t i ế p theo, n ế u t h ế hệ h i ệ n t ạ i có phản phố i theo nghề nghiệp là

20% có nghề A , 30% có nghề ổ v à 50% có nghề ú.

b) P h â n phố i g iớ i h ạ n theo nghề nghiệp của d â n c ư t h ị t r ấ n

ớ t h ế h ệ t ư ơ n g lai (xa xô i ) .

N ,(n) nxn = k) F(Yn = k) .

J2\pin) - QÍn) < 2(1 -Ne)" . t r ong đ ó

384

c) P h â n phố i của số d â n c ư k h ô n g thay d ổ i nghề nghiẻỊ t ừ

t h ế h ệ n à y sang t h ế h ệ k h á c .

n h i ê n v à o hai chiếc b ì n h sao cho m ỗ i b ì n h có đ ú n g N q u ả cầu.

G ọ i Xn là số q u ả cầu đ e n t rong b ình t h ứ nhất t ạ i t h à i đ i ế m 7 =

0 , 1 , 2 , . . . . T ạ i m ỗ i t h ờ i đ i ớ m (71 + 1) . l ấy ngẫu nh iên l ừ m ỗ i t ì n h

Ì q u ả cầu rồ i b ò v à o b ì n h kia. Chứng to l à n g ( X n ) là xít h Maikov

v ớ i p h â n phố i d ừ n g là Tĩk = (Ck

N)2

/( ' 2 \ : />' 0. 1.2,.... A\

3 3 . Cho xích Markov v ớ i k h ô n g gian t r ạ n g t há i E - { 1 . 2 , 3 } v à

m a t r ậ n x á c suất chuyớn p = ( j ) ị j ) có t í n h chất

C h ứ n g tỏ r ằ n g n ế u n = (iT\,7T2,..., T Í N ) "là p h ả n phối d ừ n g

của x í ch thì

3 5 . X é t t r ò chơi v ớ i hai d ấ u t h ủ : đ ấ u t h ủ Ả có 5$ v à x á c suất

t h ắ n g cuộc là p = 0,4929 ; đ ấ u t h ủ B có 10$ v à x á c suất, t h ắ n g

cuộc là q = Ì — p ; t i ề n t hắng cuộc cho m ỗ i v á n chơi là Ì $ . T í n h

x á c suấ t đ ớ A thua cuộc.

32 . Ta b ỏ N q u ả cầu đ e n và N q u ả cầu t r ắ n g m ộ t c á c h n*ẫu

N Ì

385

36. Xét trò chơi 2 đấu thủ: đấu thủ A có 50$ và xác suất thắng cuộc là p; đ ấ u thủ B cũng có 50$ và xác suất thắng cuộc là q = Ì — p ; t iền thắng cuộc cho mỗi ván chơi là 1$ . Tính xác suất đê A thua cuộc khi

a) p = 0,492929 ,

b) V = 0, 5029237 .

Tính xác suất để J4 thua cuộc khi A va B cùng có 500$ .

37. Hãv xem xét tấ t cả các kết quả đã trình bày trong mục 1.6 cho các t rường hợp p = 0 và p = Ì?

38. Xét trò chơi sau: có hai đấu thủ, mỗi người tung một đồng xu dối xứng n lần, hoàn toàn độc lập với nhau.

a) Chứng minh rọng sau n lần tung đồng xu n ia mỗ i người , xác suất để số lần thu được mặt sấp của hai người bọng nhau là

2 - 2 " Ê(C'*) 2, t ừ đó suy ra đọng thức f>'*) 2 - C2V

k=0 fc=o

b) Gọi ơn là thời đ iểm lần đầu tiên số lần thu được mặt sấp của hai người bọng nhan (tu coi ơn = 77 + 1 nếu thời đ iểm đ ó không xảy ra sau Tì lần tung đồng xu cùa mỗi người) . Hãy t ính En i in (ơn, rì) .

39. Một hạt chuyển động trên đường tròn qua các điểm 0,1,2,3,4 ( thứ tự theo chiều kim đồng hồ). T ạ i mỗi bước hạt chuyển sang phải (theo chiều kim đồng hồ) với xác suất p và chuyển sang trái (theo ngược chiều kim đồng hồ) với xác suất ì —p . Ký hiệu Xn là vị trí của hạt tạ i bước thứ n.

386

a) Chứng minh ( X n ) là xích Markov, tìm nia t r ận xác suất chuyển.

b) Tính phân phối giới hạn.

40. G iả sử {xn,n > 0} là xích Markov ergodic.

Đặt Y n = . ( * „ _ ! , X n ) ; n = 1,2,...

a) { y „ , n > 1} có phải là xích Markov không? t ạ i sao?

b) Nếu phải thì tính ma trận xác suất chuyển và tính

lim P|K„ = (*.j)ỉ . n—»oo

41. Cho xích Markov ( X n ) với không gian trạng thái E = {0 , Ì , 2,3} và ma t rận xác suất chuyển

/ 1 , 0 0,0 0,0 0 ,0\ 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,3

Vo,0 0,0 0,0 1,0/

T ính Ui , u2 , Vi , 1>2 ?

42. Cho xích Markov ( x n ) với không gian trạng thái E = {0 . Ì, 2} và ma t r ận xác suất chuyển

/ 0 , 5 0,5 0 , 0 \ p = 0,5 0,0 0,5

\ 0 , 0 0,0 1,0/

T ính thời gian trung bình để hệ rơi vào trạng thái 2 khi xuất phá t từ 0 ?

387

43. Cho x í ch Markov ( X n ) v ớ i k h ô n g gian t r ạ n g t há i

E — {(), Ì , 2, 3} và ma t r ậ n xác suất chuyển

/ 0 , 4 0,3 0,2 0 , 1 \ Ị 0,0 0,7 0,2 0 , 1 Ị 0,0 0,0 0,9 0,1 V o , 0 0 ,0 0,0 1 , 0 /

T í n h t h ờ i gian t r ang b ì n h đ ể hệ rơi v à o t r ạ n g t há i 3 k h i x u ấ t

p h á t t ừ 0?

44. T h ả t h ỏ v à o n g ă n 4 t rong m ê cung n h ư h ì n h vẽ.

1 2 3

Thức ăn

4 5 6

7 Bầy

T í n h x á c suất đ ể t h ỏ t ì m đ ư ợ c thức an t r ư ớ c kh i bị m ắ c bẫy .

45 . M ộ t đ ố n g t i ề n x u đ ư ợ c tung cho đ ế n k h i hai l ầ n m ặ t sấp l iên

t i ế p x u ấ t h i ệ n . T í n h số l ầ n t rung b ì n h cần tung.

46. M ộ t đ ố n g t i ề n x u đ ư ợ c tung cho đ ế n k h i hoặc hai l ầ n m ậ t sấp

liên t i ế p hoặc hai l ầ n m ặ t ngửa liên t i ế p x u ấ t h i ện . G i ả sử l ầ n .tung

388

thứ nhất đồng t iền xuất hiện mặt sấp. Tính xác suất để trò chơi kết thúc với hai lần mặt ngừa liên t iếp xuất hiện.

47. Cho xích Markov với không gian trạng thái E = {0, Ì , 2,3,4} và ma t rận xác suất chuyển

Ịq p 0 0 0 \ q 0 p 0 0 q 0 0 p 0 7 0 0 0 p

V Ó 0 0 0 li

trong đó 0 < p , q < l , p + q= l . Xác định thời gian trung bình đạt được trạng thái 4 khi xuất phát từ trạng thái 0 .

48. Một bộ phận của máy tính có thời gian sỏng là biến ngẫu nhiên T với phân phỏi xác suất

Ỹ(T = k) = ak , (k = 1,2,...)

Ta bắt đầu với bộ phận còn mới nguyên và thay cái mới nếu hỏng. Ký hiệu xn là tuổi của bộ phận tạ i thời đ iểm Tỉ. . Kh i đ ó ( x n ) là xích Markov chạy liên t iếp.

a) Diễn t ả các xác suất Pi và Qi .

b) Ta thay bộ phận này khi nó hỏng hoặc khi nó đã có N tuổi . Diễn t ả các xác suất Pí và Ọi .

49. Chứng minh rằng nếu ma t rận xác suất chuyên của xích Markov với hữu hạn trạng thái có hai giá trị riêng với giá trị tuyệt đỏ i bằng Ì, thì xích này không có tính ergodic.

38»

50. Cho (An); Ti. - 0,1.2,... là xích Markov rời rạc, thuần nhất với không gian trạng thái E — {0,1.2, 3.4} và ma trận xác suất chuyến

/ 0

0

0

\ 0

Ì 0

1/2 0 0

0 3/4

0 3/4 0

0 0

1/2 0 Ì

0 0

1/4 Ó /

a) Xích ( x n ) có ergodic không? vì sao?

b) Hãy sư dụng phương pháp phản tích bước thứ nhất đối với xích này.

BẢNG KÝ HIỆU

N Tập các số tự nhiên

Q Tập các số hữu tỷ

R Tập các số thúc

R Tập các số thực và —oo, oe

z Tập các số nguyên

c Tập các số phức

R n Không gian 77-chiều

a € v4 a thuộc .4

a ^ i4 a không thuộc A

3a€ A Tôn tại a € A

VaeA Với mọi a £ A

0 Tập rỗng

i 4 c f l . A là tập con của B (A bị chứa trong B)

/ l u B ì tạp của A và B

( ì lao rùa A và B

,1 \ /ỉ Hiên ( lia /1 và fí

€ X \ x e /'} • Tạp rác phần từ X 6 X có tính chất p

,4'' Phan hù của J4

391

HA) Ảnh của i4 qua /

rl(B) Nghịch ảnh của B qua /

Dãy (số hoặc dãy các phần tử)

ụ* ị

Hợp các tập Ai

)Ai = Ỵ[Ai ị

Giao các tập Ai

í Tổng các số Ui

Tích các số ai i

Tí! Tích số 1...Ĩ1

(2n)!! Tích các số chan 2.4...2n

(2n + 1)!! Tích các số lè 1.3...(2n+l)

1*1 Giá trị tuyệt đố i của X

I N Chuẩn của X

[xi Phần nguyên của X

sup E Cận trên đ ú n g của E

inf £ Cận d ư ớ i đ ú n g của E

max £ Giá trị lớn nhất của E

min E Giá trị bé nhất của E

a(x) ~ /?(x) a tưcrng đ ư ơ n g với 0

a = o(0) a là vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé 0

392

/ := y Đ ịnh nghĩa / là /ý

f : X Y Á n h x ạ / t ừ X v à o Y

D ã y x n hộ i t ụ đ ế n X

fog H à m hợp của / v à g

l i m = l i m sup 7 1 >°° n—>oo

G i ớ i h ạ n t r ê n

l i m = l i m i n f n—oc ™ — ° °

G i ớ i h ạ n d ư ớ i

( f ì , Ắ P ) K h ô n g gian x á c suất

F(A) Xác suất của A

X á c suất có đ i ề u k i ệ n của A đ ố i v ớ i T

/ f { y j ) d f i Jn

Tích p h á n Lebesgue

EX : = / X ( w ) d P Jo

K ỳ vọng của X

E r ( X ) = E(X\F) K ỳ vọng có đ i ề u k i ệ n của X d ố i v ớ i ĩ~

/ / ( s , w ) d W i Vo

T í c h p h â n Wiener

đi/

d/ i Đạo h à m R a đ o n - N i c o d y m

(0 => (w) ( i) suy ra ( l i )

(0 <=> (") ( i ) suy ra ( i i ) và n g ư ợ c l ạ i

rf(x,2/) Khoảng cách t ừ X đ ế n ụ

r H à m gamma

B H à m beta

C ( n ) T ậ p các h à m k h ả v i liên tục t ớ i cấp ri

393

TÀI L I Ệ U T H A M K H Ả O

[1] Nguyễn Duy Tiến; 2000, Các mô hình xác suất và ứng dụng, Phần ì: Xích Markov và ứng dụng, Phần IU: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia, Hà Nội

[2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến; • 1983; Cơ sò lý thuyết Xác suất, Nhà xuất bàn Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội:

[3] Y . s. Chow, and H. Teicher; 1988, Probability Theory: Independence, Intel-changeability, Martingales, Springer-Verlag, Berlin and New York.

[4] Kai Lai Chung; 1974, A Course in Probability Theory, 2nd ed, Academic Press, New York.

[5] J . L . Doob ; 1953, Stochastic Processes, Willey and Sons, New York.

[6] G . A. Edgar and Louis Sucheston; 1992 Stopping Times and Directed Processes, Cambridge Univ. Press.

[7] w . Feller; 1968 A Introduction to Probability and its Applications, vol I , I I , Wiley, New York.

394

[8] B . V . Gnedenco; 1976, The Theory of Probability, Mir Publisher. Moscow.

[9] P. Hall, c. c. Heyde; 1980, Martingale Limit Theon and its Application, Academic Press, Inc. New York.

[lớ] A. N. Kolmogorov; 1956, Foundations of the Theo-}' of Probabilty, Chelsea, New York.

[11] s. Kwapien, w. A. Woyczynski; 1992, Random Series and Stochastic Integrals, Birkhauser, Boston . Basel . Berlin.

[12] M . Loeve; 1977, Probability Theory I , I I , 4th ed, Sprhger-Verlag, Berlin and New York.

[13] P. A. Meyer; 1972, Martingales and Stochastic Integiales, Lecture Notes i n Math. V. 284, Springer-Verlag, Heidelberg, New York.

[14] P. A. Meyer; 1968, Probability and Potentials, Blaiidell Publishing Co.

[15] J . Neveu; 1965, Mathematical Foundations of Culculis of Probability, Holden-Day, San Francisco.

[16] J . Neveu; 1975, Discrete-Parametre Martingales, Ncrth-Holland Pub]:, Amsterdam.

[17] s. M. Ross; 1993, Introdution to Probability Models. 5th ed., Academic Press, Inc. New York.

[18] B . A. Sevastyanov, V . p. Chistyakov, A.M.Zubcov; 1985. Problems in the Theory of Probability, Mir Publishers, Moscow

395

[19] A . N . S h i r y a e v ; 1996, Probability, Springer-Verlag, New

York.

[20] H . M , T a y l o r , s . K a r l i n ; 1998, An Introduction to Stochastic

Modeling, Academic Press, Inc. New York.

[21] P. UI. JIunv,ep. A. H. IUupsree; 1974, CmamucmuKa CjiynauHbix

ĩlpoụeccoe, ỈÍ3dameAbcmeo "HayKa", MocKGa.

[22] A. B. ỉĩpoxopoe, B. r. YiuaKoe, H. r. Yuianoe; 1986, 3adauu

no Teopuu BepoxmHocmeii, MsdameAbcmeo "Hayna", MocKea.

Chịu trách nhiệm xuất bán :

Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI

Tổng biên tập vũ DƯƠNG THỤY

Biên lập nội dung :

NGUYÊN TRỌNG BÁ

Trình bày bìa :

ĐOÀN HỒNG

Chẽ bản :

KHOA TOÁN (TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN HÀ NỘI)

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT In 2.000 cuốn, khổ 14,3 X 20,3 tại Xí nghiệp In Phú Thọ. Số in : 235. Giấy phép xuất bản số: 562/116-01 Cục xuất bàn cẩp ngày 25 tháng 4 năm 2001 (QD số 19 STK).. In xong vầ nộp lưu chiêu tháng 8 năm 2001.