Luciano Colombo

Fisica dei semiconduttori

FISICA

Questo volume, risultato di una lunga esperien-za didattica maturata con gli studenti della lau-rea triennale in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica, si presenta come un’introduzione alla fisica dei semiconduttori, utile per compren-dere i principi di funzionamento dei dispositivi elettronici allo stato solido.

Il testo risponde all’esigenza dell’Autore di proporre uno strumento di studio completo ma didatticamente accessibile. Grazie allo studio di questo manuale, lo studente infatti potrà acqui-sire le nozioni di base (sia working knowledge sia problem solving) relative alle proprietà elettroni-che, termiche, di trasporto e ottiche dei semicon-duttori, pur non possedendo alcuna conoscenza pregressa di fisica moderna. La trattazione degli argomenti proposti insiste più sulla fenomeno-logia che sull’apparato matematico, riservando

all’esperimento la verifica dei concetti teorici più complessi; il formalismo è dunque sviluppato al livello minimo di complessità che tuttavia salva-guardia il rigore e la chiarezza espositiva.

Il testo è articolato in sei capitoli disposti con un criterio consequenziale e arricchito da una parte conclusiva dedicata a esercizi e appendici, che presentano argomenti tecnici e approfondi-menti.

Distinguendosi dall’approccio di altri testi esistenti, l’enfasi dell’esposizione è posta più sui principi fisici di base che sugli aspetti applicativi o sul funzionamento dei dispositivi. Proprio per questo il manuale risulta un riferimento utile anche per studenti di discipline scientifiche non ingegneristiche che intendano affrontare per la prima volta lo studio di questo importante cam-po della fisica della materia.

Luciano Colombo

Fisica dei semiconduttori

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Luciano ColomboProfessore ordinario di Fisica della Materia presso l’Università di Cagliari. Autore di 250 pubblicazioni scientifiche, svolge ricerche in fisi-ca computazionale dei materiali. Ha vinto il pre-mio Gordon-Bell conferito dalla IEEE Computer society per i suoi risultati nel campo del calcolo parallelo ad alte prestazioni.

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ISBN 978-88-08-52054-8COLOMBO*FISICA DEI SEMICONDUTTORI

9 788808 5205489 0 1 2 3 4 5 6 7 (60D)

Presentazione

Questo manuale, frutto di una lunga esperienza didattica rivolta agli studentidella Facolta di Ingegneria di Cagliari, e un’introduzione essenziale ai principifisici che sono alla base della comprensione dei semiconduttori.

Come dichiarato dall’autore, e sottolineato dal titolo stesso, l’enfasi del-l’esposizione e piu sulla fisica che sugli aspetti della costruzione e del funzio-namento dei dispositivi. Proprio per questo il manuale risulta un riferimentoutile anche per studenti di altre discipline scientifiche che intendano affronta-re per la prima volta lo studio di questo importante campo della fisica dellamateria.

La comprensione delle proprieta fisiche dei semiconduttori e strettamentelegata alla conoscenza di come gli elettroni si comportano all’interno del mate-riale e come rispondono a sollecitazioni esterne, come pressione, campi elettricie magnetici, radiazione, temperatura, ecc.. Ecco perche e essenziale che lo stu-dente sia accompagnato nella descrizione e comprensione dei semiconduttoriavendo parallelamente un’introduzione ai principali risultati della meccanicaquantistica, della fisica statistica, delle onde elettromagnetiche, ecc., secondola tendenza dei moderni orientamenti, soprattutto dell’ingegneria elettronica.Di questo l’autore e ben consapevole e fin dai primi capitoli del manuale in-troduce i principali elementi di meccanica quantistica, calandoli nel concretodi problemi degli elettroni nei solidi e affiancandoli ad appendici alle qualie lasciato il compito di fornire l’approfondimento adeguato per integrare lequestioni discusse nel testo principale.

Questo manuale riesce a soddisfare l’esigenza di affrontare gli aspetti mi-croscopici della fenomenologia dei semiconduttori, utilizzando elementi basi-lari di meccanica quantistica e statistica, mantenendo pero comprensibile illinguaggio formale per la trattazione quantitativa dei problemi affrontati. Inquesto, il manuale si differenzia dai molti altri pubblicati che forniscono deisemiconduttori o una descrizione semiclassica in termini di massa effettiva ouna specialistica focalizzata sugli aspetti tecnologici e sui dispositivi.

VIII Presentazione ISBN 978-88-08-52054-8

Il corpo centrale del manuale si articola in sei distinti capitoli, disposti conun criterio sequenziale appropriato; sono poi inseriti un capitolo di esercizi,undici appendici e una scelta ragionata di riferimenti bibliografici.

I primi due capitoli hanno carattere propedeutico ai temi specifici dei se-miconduttori, trattati successivamente. Dopo la descrizione della strutturadella materia partendo da atomi e molecole, vengono presentati nel primocapitolo gli elementi basilari per la descrizione delle strutture cristalline per-fette, con particolare riferimento ai principali tipi di semiconduttori, e vienedescritto come queste sono modificate dalla presenza di difetti; infine vienediscussa la classificazione dei principali tipi di legami chimici. Nel secondocapitolo vengono introdotti in modo fenomenologico elementi di meccanicaquantistica necessari per la comprensione di importanti modelli della fisicadello stato solido. I capitoli terzo e quarto riportano, rispettivamente, l’analisidella struttura vibrazionale e quella elettronica dei cristalli, due dei soggettitradizionali e piu importanti della fisica teorica e sperimentale dello stato so-lido. Sono introdotti il concetto di fonone, di bande di energia elettroniche, dimassa effettiva, di densita degli stati, ma sono descritti anche gli effetti dellapressione e gli effetti del drogaggio sulla struttura elettronica. Il successivocapitolo quinto descrive il trasporto di carica nei semiconduttori in condizionidi differenza di potenziale applicata e di gradiente di concentrazione di caricatra differenti zone del sistema. Al capitolo sesto e infine affidata la trattazio-ne delle proprieta ottiche dei materiali, cioe della loro risposta quando sonoinvestiti da radiazione elettromagnetica.

ll materiale contenuto in questo libro e presentato e organizzato in mododa poter essere incluso in corsi introduttivi di struttura della materia e di fisicadello stato solido; e una risorsa utile per sviluppare, negli studenti dei corsiuniversitari con vocazione scientifica, la capacita di saper cogliere i principifisici essenziali per il funzionamento dei dispositivi a semiconduttore che sonopresenti in ogni aspetto della vita che ci circonda.

Pisa, aprile 2018 Giuseppe GrossoUniversita di Pisa

Prefazione

Questo manuale raccoglie in forma ordinata gli appunti delle lezioni del corso“Fisica dei semiconduttori” da me professato nel quinto semestre della laureatriennale in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica presso la Facoltadi Ingegneria-Architettura dell’Universita di Cagliari.

La storia di questo corso e iniziata quando, nell’a.a. 1999/2000, e entratoin vigore il nuovo ordinamento universitario e il tradizionale corso di laureaquinquennale a ciclo unico in Ingegneria Elettronica assunse la struttura delcosiddetto “3+2”. La riduzione del numero di ore assegnato a ciascun corsoe l’obiettivo professionalizzante inizialmente assegnato alla laurea triennaledi primo livello comportarono una profonda revisione dei tradizionali corsi di“Fisica Generale I” e “Fisica Generale II”, con conseguente riduzione del lorosyllabus e generale alleggerimento dell’apparato matematico-formale. Tutti gliargomenti che – pur ritenuti fondamentali per la formazione di un Allievo In-gegnere – non trovarono piu adeguata collocazione nei due corsi generali, ora“snelliti”, furono collocati nell’ambito di un nuovo insegnamento che, signifi-cativamente, prese il nome di “Fisica Generale III”. Si trattava di nozioni dielettromagnetismo nella materia, di meccanica dei fluidi e di ottica: il nuovoinsegnamento era dunque finalizzato al mero completamento delle nozioni difisica classica di base.

Dopo aver professato “Fisica Generale III” per un paio di anni, avanzai laproposta di cambiare le cose in altra direzione. Prendendo spunto dal fattoche alle scienze fisiche fosse stato assegnato un corso aggiuntivo rispetto ai duegenerali, proposi che esso prendesse la forma di un’introduzione alla modernafisica della materia. La mia idea era quella di esporre l’Allievo Ingegnere anozioni elementari di fisica moderna dello stato solido. La proposta piacque eper i successivi 10 anni cosı si fece. Avevamo certamente guadagnato qualcosa(ora lo Studente aveva accesso a concetti di fisica quantistica), ma la colloca-zione del corso (ancora confinato al secondo semestre del primo anno di studi,come memoria degli assetti didattici precedenti) risultava non ideale.

X Prefazione ISBN 978-88-08-52054-8

Successivamente, in occasione di una nuova ristrutturazione del corso dilaurea, proposi di ridefinire il ruolo del mio corso, attribuendogli quello dicorso caratterizzante e assegnandogli un diverso obiettivo formativo. La miaconvinzione era basata sulla duplice constatazione che (i) la moderna elet-tronica fosse ormai una disciplina largamente basata su nozioni avanzate difisica quantistica dei semiconduttori e che (ii) la figura del quantum engineersi stesse diffondendo a livello internazionale come nuova figura professionalenei campi delle nanotecnologie dell’informazione, dell’optoelettronica e dellacomputazione quantistica. Ancora una volta la proposta fu accolta: l’insegna-mento assunse l’attuale denominazione e fu collocato al terzo anno di studi.Attualmente esso costituisce un esame caratterizzante il percorso di elettronicadello stato solido entro la laurea triennale in Ingegneria Elettrica, Elettronicae Informatica.

Definire il syllabus e il livello di trattazione di questo nuovo insegnamentoha rappresentato una sfida rivelatasi difficile, ma entusiasmante: bisognava,infatti, trovare il modo didatticamente piu accessibile di presentare i princi-pali risultati di struttura elettronica, trasporto di carica e proprieta ottichedei semiconduttori a una platea di studenti non formati ne ai rudimenti dellameccanica quantistica ne alla struttura della materia allo stato solido. Le duecose piu impegnative sono certamente state (i) decidere cosa non raccontare e(ii) presentare il formalismo quantistico in un modo non troppo astratto. Perquanto riguarda il primo aspetto, ho scelto di concentrarmi unicamente sui se-miconduttori di volume, saltando completamente la descrizione dei costituentielementari della materia (se non facendo cenno ad alcune elementari nozionidi fisica atomica) e la trattazione dei (nano)sistemi a bassa dimensionalita.Nel secondo caso, invece, ho scelto di introdurre i concetti quantistici in modofenomenologico, invece che presentarli in forma matematicamente sofisticata(comunque riassunta in una Appendice).

Lo sforzo compiuto ha prodotto questo manuale di “Fisica dei Semicon-duttori”: esso presenta in modo coerente, auto-sufficiente e didatticamenteaccessibile i contenuti del corrispondente insegnamento che, nelle mie inten-zioni, costituisce un’introduzione a carattere semi-fenomenologico alla fisicadi un solido semiconduttore. In coerenza con gli obiettivi formativi del corsodi laurea nell’ambito del quale questo insegnamento e professato, attraversolo studio di questo manuale lo Studente dovrebbe acquisire le nozioni di base(sia di working knowledge sia di problem solving) utili a comprendere i principifisici alla base del funzionamento dei dispositivi elettronici a stato solido.

Quest’opera e scritta in modo

euristico – l’enfasi e posta sulla fenomenologia piuttosto che sull’appara-to matematico, riservando all’esperimento la verifica dei concetti teoricipiu fondamentali; il formalismo e dunque sviluppato al minimo livello di

ISBN 978-88-08-52054-8 Prefazione XI

complessita possibile che salvaguardi comunque rigore formale e chiarezzaespositiva;

critico – ogni approssimazione utilizzata e analizzata in dettaglio al fine dimetterne in rilievo i meriti e le limitazioni, altresı discutendone il contestoconcettuale e metodologico nell’ambito del quale e formulata e applicata;

fondazionale – l’attenzione e posta sui principi fisici di base piuttosto chesulle applicazioni. In altre parole, non viene descritto alcun dispositivoelettronico.

Quest’ultimo aspetto merita un commento aggiuntivo, perche discosta questomanuale dalla maggior parte di quelli esistenti. Come spiegato, io ho lavora-to in un contesto ben preciso, ovvero quello di un corso di studi nell’ambitodel quale il compito di descrivere la struttura, la funzione e l’operativita deidispositivi elettronici era stato attribuito ad altri insegnamenti di stampoprettamente ingegneristico. Al fine di evitare la sovraesposizione di questi ar-gomenti ho deciso – in pieno accordo con i colleghi – di concentrami sugliaspetti di fisica di base. Questa scelta, oltre a eliminare ogni inutile dupli-cazione di argomenti tra corsi dello stesso ciclo di studi, mi ha consentito discendere piu in profondita di quanto usualmente si faccia in un ciclo triennaledi studi di Ingegneria, in particolare usando pienamente la meccanica quanti-stica. La risposta degli studenti mi ha confortato: dalle schede di valutazionedella didattica ho appreso che la maggior parte di loro ha gradito lo studiodella struttura della materia, dichiarandosi in particolare molto incuriosito einteressato alla fisica quantistica.

Lo studio del materiale presentato in questo manuale richiede la conoscen-za dell’analisi matematica e della fisica classica (meccanica, termodinamica edelettromagnetismo), come normalmente presentate nei corsi di base del pri-mo anno. A parte questo, non e richiesto alcun altro pre-requisito. L’opera estrutturata in sette capitoli. I primi due

Capitolo 1 – struttura della materia, ordine cristallino e difetti reticolari

Capitolo 2 – elementi di meccanica quantistica

sviluppano le conoscenze di base sullo stato solido e sulla fisica quantistica.Seguono i quattro capitoli

Capitolo 3 – proprieta vibrazionali e termiche

Capitolo 4 – struttura elettronica (modello a bande)

Capitolo 5 – trasporto di carica

Capitolo 6 – proprieta ottiche

che contengono la descrizione sistematica delle piu importanti proprieta fi-siche dei semiconduttori di volume, di specifico interesse per le applicazioniingegneristiche. Infine, conclude l’opera il

Capitolo 7 – esercizi

XII Prefazione ISBN 978-88-08-52054-8

in cui ho raccolto una collezione di esercizi con le relative risposte: molti diessi sono stati usati per esami scritti e, quindi, ben definiscono il livello di dif-ficolta che il lettore dovrebbe saper affrontare avendo studiato questo manuale.

Alcune Appendici completano il manuale, presentando argomenti tecnici oapprofondimenti che vanno oltre il livello di trattazione normalmente svilup-pato nei capitoli ordinari. La loro lettura non e necessaria per la comprensionedi quanto descritto in essi, ma e comunque fortemente consigliata perche riten-go sia molto istruttiva. In generale, ho cercato di riportare la dimostrazione diogni affermazione fatta nel testo. A volte la dimostrazione e proposta in modoformale, altre volte si utilizzano evidenze sperimentali, altre volte ancora siusano argomenti di analogia con risultati precedentemente acquisiti. Solo inpoche occasioni ho fatto ricorso a risultati dimostrati altrove, dichiarandoloesplicitamente.

Infine, il manuale e completato da una Bibliografia ragionata, con indi-cazione del livello di difficolta. Ove possibile ho indicato testi italiani, manella maggior parte dei casi e stato inevitabile indicare testi in lingua in-glese (tipicamente perche mancava una valida alternativa redatta in linguaitaliana).

Al fine di aumentare la leggibilita ho adottato alcuni artifizi grafici: (i) ognicapitolo si apre con un syllabus; (ii) i principali risultati concettuali discussinel testo sono invece evidenziati in grassetto; (iii) nel caso delle conclusionipiu significative, il testo e addirittura evidenziato con uno sfondo in colore.

Ringraziamenti – Il primo e particolarmente sentito ringraziamento va aglistudenti che, seguendo il mio corso negli a.a. 2016/2017 e 2017/2018, hannolavorato su dispense informali da me fornite. Esse, opportunamente corrette,integrate e ampliate secondo i suggerimenti offerti dagli stessi studenti, hannocostituito il punto di partenza per la scrittura di questo manuale.

Desidero inoltre ringraziare (ordine alfabetico): Aleandro Antidormi, peraver letto criticamente alcune parti del manuale e per aver calcolato le curve didispersione fononica e le bande dei principali semiconduttori; Antonio Cappai,per aver letto criticamente alcune parti del manuale e per aver svolto gliesercizi; Riccardo Dettori, per aver letto criticamente alcune parti del manuale;Giorgia Fugallo, per aver calcolato la conducibilita termica del silicio; ClaudioMelis, per aver elaborato tutte le figure dei Capitoli 5 e 6 in cui ho fatto uso didati di letteratura; Sara Mascia, per aver letto criticamente alcune parti delmanuale; Michele Saba, per aver letto criticamente alcune parti del manuale.Il loro aiuto e stato preziosissimo: sono davvero molto grato a tutti.

Cagliari, giugno 2018 Luciano ColomboUniversita di Cagliari

Indice

1 Struttura della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Stati di aggregazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Struttura atomistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Retrospettiva storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Verifica sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Solidi e fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Elementi di cristallografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Il reticolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Classificazione cristallografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 La base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.4 Il reticolo reciproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Strutture cristalline dei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1 La struttura del diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 La struttura della zincoblenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 La struttura della wurtzite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Altre strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.5 La struttura esagonale in due dimensioni . . . . . . . . . . 27

1.5 Difetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Difetti puntuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Difetti estesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Classificazione fenomenologica dei legami interatomici . . . . . . . 39

2 Elementi di meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Struttura dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Onde e particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.1 Gli elettroni: onde materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 La radiazione elettromagnetica: un flusso di

pseudo-particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.3 Dualismo onda-corpuscolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 La meccanica delle onde materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1 L’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

XIV Indice ISBN 978-88-08-52054-8

2.3.2 La funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 Casi di interesse paradigmatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.1 Elettrone libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.2 Elettrone confinato in una buca di potenziale . . . . . . . 592.4.3 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4.4 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5 Il gas di elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.6 Lo spin elettronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7 Il principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.8 La statistica di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8.1 Il gas di elettroni a temperatura nulla . . . . . . . . . . . . . 782.8.2 Il gas di elettroni a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . 79

3 Proprieta vibrazionali e termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1 L’approssimazione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Dinamica reticolare: nozioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2.1 La catena atomica monoatomica unidimensionale . . . 893.2.2 La catena atomica biatomica unidimensionale . . . . . . 94

3.3 Dinamica reticolare dei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.1 Vibrazioni reticolari nel silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.2 Vibrazioni reticolari nell’arseniuro di gallio . . . . . . . . . 103

3.4 Quantizzazione dei moti vibrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4.1 Il concetto di fonone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4.2 Il gas di fononi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5 Proprieta termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5.1 Calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5.2 Conducibilita termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 Struttura elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1 Le approssimazioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Il teorema di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3 Il modello di Kronig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.4 Il modello a bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.4.1 Nomenclatura per il modello a bande . . . . . . . . . . . . . . 1334.4.2 Metalli, semiconduttori e isolanti . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.5 Il calcolo delle bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.1 Bande elettroniche in una dimensione . . . . . . . . . . . . . 1374.5.2 Bande elettroniche in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . 141

4.6 Le bande elettroniche nei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.6.1 Le bande del silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.6.2 Le bande dell’arseniuro di gallio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.6.3 Le bande di altri semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.7 Alcune conseguenze fisiche della struttura a bande . . . . . . . . . . 1464.7.1 Cinematica degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.7.2 Effetti cinematici di un campo elettrico . . . . . . . . . . . . 148

ISBN 978-88-08-52054-8 Indice XV

4.7.3 Eccitazione termica: elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . . 151

4.7.4 La massa efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.7.5 L’approssimazione di bande paraboliche . . . . . . . . . . . 160

4.7.6 Massa densita di stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.8 Effetti di pressione e temperatura sul gap di energia . . . . . . . . . 163

4.9 La densita di stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.10 Effetti del drogaggio sulla struttura a bande . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5 Trasporto di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.1 Inquadramento generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.2 Teoria microscopica per la velocita dei portatori . . . . . . . . . . . . 175

5.2.1 Regime di campo elettrico debole . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2.2 Elettroni e lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.2.3 Analisi fenomenologica dello scattering . . . . . . . . . . . . 182

5.2.4 Concentrazione di portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.2.5 Conducibilita elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.2.6 Regime di campo elettrico intenso . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.7 Resistenza differenziale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.2.8 Effetti di gradiente di concentrazione . . . . . . . . . . . . . . 195

5.3 Vettore densita di corrente totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.4 Determinazione sperimentale della conducibilita . . . . . . . . . . . . 198

5.5 Statistica dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.5.1 Semiconduttori all’equilibrio termico . . . . . . . . . . . . . . 200

5.5.2 Livello di Fermi in semiconduttori intrinseci . . . . . . . . 202

5.5.3 Livello di Fermi in semiconduttori estrinseci . . . . . . . . 203

5.5.4 Legge di azione di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.5.5 Semiconduttori fuori equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.6 Equazione di continuita fuori dall’equilibrio termico . . . . . . . . . 216

6 Proprieta ottiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.1 Il quadro concettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2 Assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3 Transizioni inter-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.3.1 Transizioni dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6.3.2 Transizioni indirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.3.3 Transizioni sopra-soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4 Eccitoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.5 Emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.5.1 Transizioni radiative e non radiative . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.5.2 Luminescenza in materiali a gap diretta . . . . . . . . . . . 238

6.5.3 Luminescenza in materiali a gap indiretta . . . . . . . . . . 240

6.5.4 Fosforescenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

XVI Indice ISBN 978-88-08-52054-8

7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.1 Statistica dei portatori nei semiconduttori intrinseci . . . . . . . . . 2447.2 Statistica dei portatori nei semiconduttori estrinseci . . . . . . . . . 2457.3 Calcolo della posizione del livello di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.4 Effetti di campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.5 Effetti di gradiente di concentrazione dei portatori . . . . . . . . . . 2517.6 Effetti combinati di campo elettrico e gradiente di

concentrazione dei portatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.7 Semiconduttori fuori equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

APPENDICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

A Diffrazione di raggi X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

B Richiami di termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.1 Definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.2 Funzioni di stato e concetto di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.3 Lavoro e calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.4 Processi termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265B.5 Variabili intensive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266B.6 Potenziali termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

C Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271C.1 Onde meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271C.2 Onde acustiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273C.3 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

D Struttura formale della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . 277D.1 Funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277D.2 Operatori quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278D.3 Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283D.4 Sistemi di particelle identiche e indistinguibili . . . . . . . . . . . . . . 286D.5 Principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288D.6 Elementi di teoria delle rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289D.7 Teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

E Dinamica reticolare in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

F Oscillatore armonico quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

G Il metodo tight-binding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305G.1 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305G.2 Una parametrizzazione per i semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . 307G.3 Struttura a bande di alcuni semiconduttori elementali e

composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

ISBN 978-88-08-52054-8 Indice XVII

H Interazione radiazione-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311H.1 Il quadro concettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311H.2 I coefficienti di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312H.3 Analisi delle popolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313H.4 Inversione di popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314H.5 Teoria microscopica dei coefficienti di Einstein . . . . . . . . . . . . . . 314H.6 Regole di selezione per transizioni di dipolo elettrico . . . . . . . . . 317

I L’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319I.1 Spettro di emissione e assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319I.2 Il modello di Bohr per l’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 320I.3 Estensioni del modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

J Proprieta fisiche dei semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

K Costanti fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Riferimenti bibliografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Risorse onlineSul sito del libro online.universita.zanichelli.it/colombo-fisica troveraitest di autovalutazione pubblicati sulla piattaforma ZTE e domande aperte.

Capitolo 1

Struttura della materia

Syllabus - Si descrive la materia, nei suoi diversi stati di aggregazione eordine strutturale, sia nell’ambito dell’ipotesi di continuo sia consideran-done la struttura atomistica. Si introducono successivamente il concetto direticolo cristallino nello spazio diretto, descrivendo le architetture atomichepiu comuni tra i semiconduttori, e il concetto di spazio reciproco, trattandoil fenomeno della diffrazione di raggi X. Dopo aver dimostrato termodi-namicamente l’inevitabile presenza di difetti reticolari in cristalli reali, siclassificano i difetti puntuali ed estesi piu comuni. Si presenta, infine, unadescrizione fenomenologica dei legami interatomici e si discute il concettodi coesione nei solidi.

1.1 Stati di aggregazione

La struttura della materia e discreta: tutti i sistemi materiali sono costituitida atomi e/o molecole in mutua interazione e perenne agitazione. Tuttavia, incondizioni ordinarie la nostra esperienza sensibile non ci permette di percepirei singoli atomi o molecole ne il loro moto: dunque, i mezzi fisici ci si offronoin forma di un continuo.

Attraverso i nostri sensi noi percepiamo il risultato complessivo di un grannumero di eventi atomistico-molecolari e chiamiamo processi macroscopici talimanifestazioni collettive di eventi elementari piu o meno organizzati. Possiamopiu precisamente dire che le proprieta fisiche della materia che percepiamoin condizioni ordinarie sono il risultato complessivo di una molteplicita diprocessi microscopici, nel senso che ogni misura macroscopica e di fatto unamedia di proprieta atomiche. Tali medie forniscono i parametri macroscopicia seconda della cui natura noi diciamo di studiare proprieta meccaniche, otermodinamiche o, ancora, elettromagnetiche. Questi parametri macroscopicisono descritti da grandezze continue, quali ad esempio: la densita di massa,oppure la temperatura o la pressione, oppure la polarizzazione elettrica o lamagnetizzazione.

In generale, i parametri macroscopici dipendono dalla posizione e dalladirezione individuate entro il blocco di materia oggetto di studio. Quando

2 1 Struttura della materia ISBN 978-88-08-52054-8

Tabella 1.1. Stati di aggregazione della materia

volume proprio forma propria resistenza a sforzo di taglio

stato solido sı sı sıstato liquido sı no nostato gassoso no no no

invece le proprieta della materia “continua” non dipendono dalla posizione siparla di un mezzo omogeneo e se non dipendono dalla direzione consideratasi parla di un mezzo isotropo.

Da un punto di vista fenomenologico possiamo distinguere diversi stati diaggregazione della materia, semplicemente classificandone il comportamentomacroscopico come riportato nella tabella 1.1. Mentre le caratteristiche asso-ciate al volume e alla forma propria sono di significato intuitivo, e opportunospecificare che possedere resistenza a uno sforzo di taglio significa opporre unaresistenza alla deformazione quando viene applicato uno sforzo meccanico pa-rallelo alle superfici del blocco di materia considerato: questa, in effetti, e unaproprieta che solo i solidi manifestano, mentre i fluidi (termine che collettiva-mente identifica i liquidi e i gas) in risposta a uno sforzo di taglio manifestanomoti di scorrimento laminare, come illustrato nella figura 1.1.

Oggetto di questo manuale e la fisica della materia allo stato solido: ci oc-cuperemo solo occasionalmente delle proprieta dei fluidi e solo in misura stru-mentale allo sviluppo di specifici concetti utili per caratterizzare le proprietadei semiconduttori.

1.2 Struttura atomistica

1.2.1 Retrospettiva storica

L’idea che la materia sia costituita a livello microscopico da una distribuzionediscreta di massa e stata intuita per la prima volta dal filosofo greco Demo-

solido �uido

parete �ssapiano �sso

sforzo di taglioparete scorrevole sforzo di taglio

Figura 1.1. Uno sforzo di taglio viene applicato a un solido (sinistra) e a un fluido(destra), per il quale le frecce indicano le velocita di scorrimento laminare.

ISBN 978-88-08-52054-8 1.2 Struttura atomistica 3

crito (IV secolo a.C.), che ipotizzava l’esistenza di particelle indivisibili (gliatomi) e associava ogni proprieta materiale percepita al loro moto: “... opinio-ne il dolce, opinione l’amaro, opinione il caldo, opinione il freddo, opinioneil colore: in realta soltanto gli atomi e il vuoto ...”. Naturalmente si trattavadi una speculazione filosofica e non certo di una teoria scientifica e, infatti,la filosofia atomistica di Democrito fu respinta da altri non meno autorevolipensatori. Per Aristotele, ad esempio, era inammissibile l’esistenza del vuotoseparatore di atomi perche attraverso il vuoto non si possono trasmettere glieffetti meccanici (era sconosciuto il concetto di azione a distanza: quindi, siassumeva che le azioni di forza potessero trasmettersi solo in condizione dicontatto tra oggetti): secondo Aristotele, dunque, la materia doveva esserecontinua e, quindi, suddivisibile all’infinito senza perdere le sue proprieta.

La riproposizione di una moderna teoria atomistica della materia si collocaagli inizi del XIX secolo, e dovuta al chimico Dalton e si basa sulla leggedelle proporzioni finite, ovvero sulla constatazione empirica che il rapportotra la quantita di elementi diversi che si combinano a formare i compostie sempre esprimibile con numeri interi: ad esempio, ci vogliono sempre due“quantita” di idrogeno e una sola “quantita” di ossigeno per formare quelcomposto liquido che chiamiamo acqua. La conclusione di Dalton fu che lamateria non puo essere un continuo, ma deve al contrario essere costituita daparticelle discrete di cui dobbiamo ammettere microscopiche le dimensioni,non essendo percepibili ai nostri sensi. In breve, la teoria di Dalton e formulatasulle poche seguenti proposizioni:

1. la materia e costituita da particelle sferiche piccolissime, indivisibili eindistruttibili che chiameremo atomi;

2. gli atomi sono la parte piu piccola di ogni dato elemento chimico;3. gli atomi di uno stesso elemento sono uguali tra loro e hanno la stessa

massa, mentre gli atomi di elementi diversi sono differenti e non hanno lastessa massa;

4. in ogni reazione chimica non si creano o distruggono atomi, ne si trasfor-mano atomi di un elemento in atomi di un diverso elemento; piuttosto,durante la reazione chimica gli atomi restano inalterati, ma si aggreganoin modo diverso.

Grazie ai successivi studi di Avogadro, Gay-Lussac e Cannizzaro, condottinello stesso secolo, si comprese che in realta solo poche sostanze sono costituiteda atomi di un solo tipo: la maggior parte e in realta costituita da unitastrutturali consistenti in aggregati di atomi ben definiti che noi oggi chiamiamomolecole. D’ora innanzi, quando ci riferiremo a un “elemento” intenderemo unsingolo atomo corrispondente a una ben specifica specie chimica. Per questolo indicheremo anche come elemento chimico.

Un risultato decisivo per attestare la veridicita della teoria atomistica fu lacostruzione della tabella periodica degli elementi operata da Mendeleev nellaseconda meta del XIX secolo: nel tentativo di classificare i diversi elemen-ti in base alle rispettive proprieta chimiche osservate sperimentalmente, egli

4 1 Struttura della materia ISBN 978-88-08-52054-8

Figura 1.2. La versione del 1871 della tabella periodica degli elementi chimici diMendeleev.

individuo delle regolarita di comportamento e, grazie ad esse, organizzo grafi-camente l’insieme degli elementi allora noti secondo una tabella che, nella suaoriginale versione del 1871, e riportata in figura 1.2.

1.2.2 Verifica sperimentale

La teoria atomistica ottiene piena legittimita da una nutrita serie di risultatiteorico-sperimentali di cui riportiamo solo alcuni tra i piu significativi.

Consideriamo innanzitutto un gas costituito da particelle (atomi o mo-lecole) di un solo tipo e immaginiamo di portarlo all’equilibrio termico allatemperatura T . Supponiamo di studiarlo in condizioni di bassa densita e dialta temperatura, ovvero in condizioni che rendono trascurabili le interazionitra particelle. Questa e la condizione di gas ideale per il quale e possibi-le sviluppare analiticamente una semplice teoria cinetica. Questa teoria, purbasandosi su un modello atomistico, elabora predizioni su proprieta macro-scopiche misurabili in laboratorio e, dunque, si presta bene a svolgere il ruolodi “verificatore” della sottostante ipotesi atomistica.

A noi e sufficiente ricordare solo quattro, tra i tanti, risultati della teoriacinetica1.

1. Se, considerato un gas all’equilibrio termico alla temperatura T , si calcolail numero Nv di particelle che possiedono velocita in modulo compresenell’intervallo [v, v + dv] si ottiene

1 I quattro risultati ricordati in questo paragrafo sono discussi in pieno dettaglio inogni buon testo di fisica generale.

ISBN 978-88-08-52054-8 1.2 Struttura atomistica 5

T1

T2

T3

Modulo della velocità (unità arbitrarie)

Num

ero

di p

art

icelle

(un

ità a

rbitra

rie)

Figura 1.3. Legge di distribuzione delle velocita molecolari di Maxwell per tretemperature T1 > T2 > T3. Ovviamente le aree sottese dalle due curve sono ugualiperche il numero totale di particelle e costante.

Nv = 4πN

(m

2πkBT

) 32

v2 exp

[− mv2

2kBT

](1.1)

dove N e il numero totale di particelle, m la loro massa e kB la costante diBoltzmann. Questo risultato prende il nome di legge di distribuzione dellevelocita molecolari di Maxwell. Questa legge, riportata in forma graficanella figura 1.3, e verificata sperimentalmente in modo estremamente ac-curato, fornendo dunque una convincente prova della validita dell’ipotesidi struttura atomistica del gas.Dalla legge di Maxwell si ottengono alcuni risultati interessanti di cui,stante la loro generale validita, faremo uso piu avanti. In particolare, sipuo facilmente calcolare la velocita piu probabile vp (ovvero il valore divelocita in corrispondenza del quale cade il massimo della distribuzioneNv), la velocita media v e la velocita quadratica media v2 ottenendo questivalori

vp =

√2kBT

mv =

√8kBT

πmv2 =

3kBT

m(1.2)

per le particelle che formano il gas2.2. Quando un gas ideale monoatomico e all’equilibrio termico alla tempera-

tura T , ad ogni grado di liberta traslazionale di ciascuna particella compete

2 Ricordiamo che la velocita media e data da v = 1/N∫∞0vNvdv e la velocita

quadratica media e data da v2 = 1/N∫∞0v2Nvdv, dove Nv e dato dalla legge di

Maxwell.

Luciano Colombo

Fisica dei semiconduttori

FISICA

Questo volume è un’introduzione alla fisica dei semiconduttori, utile per comprendere i principi di funzionamento dei dispositivi elettronici allo stato solido, ed è il risultato di una lunga espe-rienza didattica maturata con gli studenti della laurea triennale in Ingegneria Elettrica, Elettro-nica e Informatica.

L’autore propone uno strumento di studio completo ma didatticamente accessibile. Grazie allo studio di questo manuale, lo studente infatti potrà acquisire le nozioni di base (working know-ledge e problem solving) relative alle proprietà elettroniche, termiche, di trasporto e ottiche dei semiconduttori, pur non possedendo alcuna cono-scenza pregressa di fisica moderna. La trattazione degli argomenti proposti insiste più sulla fenome-nologia che sull’apparato matematico, riservando

all’esperimento la verifica dei concetti teorici più complessi; il formalismo è dunque sviluppato al livello minimo di complessità, nella salvaguardia del rigore e della chiarezza espositiva.

Il libro è articolato in sei capitoli e arricchito da una parte conclusiva dedicata a esercizi e appendici, che presentano argomenti tecnici e approfondimenti.

A differenza di altri manuali, l’enfasi dell’e-sposizione è posta più sui principi fisici di base che sugli aspetti applicativi o sul fun-zionamento dei dispositivi. Per questo Fisica dei semiconduttori risulta un riferimento utile anche per studenti di discipline scientifiche non ingegneristiche che intendano affrontare per la prima volta lo studio di questo importante campo della fisica della materia.

Luciano Colombo

Fisica dei semiconduttori

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Luciano Colombo è professore ordinario di Fisica della Materia presso l’Università di Cagliari. Autore di 250 pubblicazioni scientifiche, svolge ricerche in fisica computazionale dei materiali. Ha vinto il premio Gordon-Bell conferito dalla IEEE Computer Society per i suoi risultati nel campo del calcolo parallelo ad alte prestazioni.

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Luciano Colom

boFisica dei sem

iconduttoriFISICA

ISBN 978-88-08-52054-8COLOMBO*FISICA DEI SEMICONDUTTORI

9 788808 5205489 0 1 2 3 4 5 6 7 (60D)