luẬt sỐ lỚn

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến

LUẬT SỐ LỚN

1

Chương 5


Hội tụ theo xác suất• Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ

theo xác suất về bnn X nếu:

• Ký hiệu:

2

lim 0, 0.n nX XP

Pn nX X


Hội tụ theo phân phối• Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ

theo phân phối về bnn X nếu:

• Ký hiệu:

3

lim , .

lim , .n

nn

X Xn

P X x P X x x

F x F x x

Fn nX X


Ý nghĩa• Hội tụ theo xác suất: khi n đủ lớn ta có thể xem

Xn không khác biệt mấy so với X.• Hội tụ theo phân phối:

• Hội tụ P kéo theo hội tụ F.

4


Bất đẳng thức Chebyshev• Cho X là biến ngẫu nhiên không âm, có kỳ

vọng hữu hạn. Khi đó với mọi a>0 ta có:

5

E XP X a

a


Bất đẳng thức Chebyshev• Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và

phương sai hữu hạn. Khi đó:

6

2

V XP X E X

21

V XP X E X


Luật số lớn Chebyshev• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,

có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn trên bởi hằng số C thì:

7

1 1

1 1lim 1n n

i in i i

P X E Xn n

0


Hệ quả 1• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,

có cùng kỳ vọng và các phương sai bị chặn trên bởi hằng số C thì:

8

1 2 ... Pnn

X X Xn


Hệ quả 2• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,

có cùng phân phối xác suất. Giả sử kỳ vọng và phương sai là 2 thì:

9

1 2 ... Pnn

X X Xn


Ý nghĩa• Trung bình của các bnn độc lập hội tụ theo xác

suất về trung bình kỳ vọng tương ứng của chúng.

• Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên có độc lập có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng nhưng trung bình của một số lớn các bnn độc lập lại nhận giá trị gần với trung bình kỳ vọng của chúng với xác suất rất lớn.

10


Luật số lớn Bernoulli• Gọi fn là tần suất xuất hiện bc A trong n phép

thử độc lập.• Tần suất fn hội tụ theo xác suất về xác suất p

của biến cố A.

11

lim 1, 0nnP f p


Chứng minh• Xét dãy các bnn như sau:

• Khi đó:

12

1 ,0 ,

neáu A xaûy ra laàn k.neáu A khoâng xaûy ra laàn k.kX

~ 1, ,iX B p i

1 2 ... Pnn n

X X X k f pn n

;i iE X p V X pq


Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,

có cùng phân phối xác suất với kỳ vọng và phương sai là 2 thì:

hay

13

2

1

,n

Fi n

i

X X N n n

21 2 ... ,F

n nX X X N n n


Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,

có cùng phân phối xác suất với kỳ vọng và phương sai là 2 thì:

14

1 0,1

n

iFi

n n

X nS N

n

lim 0,5x

nnP S x t dt x


Ví dụ 1• Đo chiều cao của 125 thanh niên. Tìm xác suất

sao cho độ lệch giữa chiều cao trung bình và chiều cao lý thuyết không vượt quá 2cm biết V(X)=(4,7cm)2

15


Ví dụ 2• Điều trị cho 500 người. Tìm xác suất sao cho độ

lệch giữa tần suất khỏi và xác suất khỏi không vượt quá 0,05. Biết xác suất khỏi khi điều trị là 0,85.

16


BỔ SUNG CHƯƠNG 3• Phân phối Khi bình phương• Phân phối Student• Phân phối Fisher - Snedecor

17


Hàm Gamma

18

1

0

. .Vôùi >0, ñaët = xx e dx

00

0

1 . 1

1 . . .

1!2

=

=

x x

x

e dx e

x e dx

n n


Phân phối Khi bình phương• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n

bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Ký hiệu:• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

19

12 2

2

1 , 02

20 , 0

n x

n x e xnf x

x

2~X n


Phân phối Khi bình phương• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị:

20

2 ; arE X n V X n


Đồ thị hàm mật độ

21

4n

5n


Đồ thị hàm mật độ Khi BP• Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20

22


Đồ thị hàm mật độ• Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong

khoảng 3 độ lệch chuẩn)

23

30

2 60 7 74

,E X n

V X n


Tính chất X~2(n)

24

2 21 1 2 2

21 2 1 2

) ~ ; ~

~

Neáu vaøñoäc laäp thì:X

a X n X n

X n n

2) ~ 0,12

Neáu thì Fn

X nb X n Nn


Quan hệ với pp N(0,1)• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối

N(0,1).

• Khi đó:

25

2 2

1

~n

ii

X n

~ 0,1iX N


Quan hệ với pp N(0,1)• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

phối chuẩn.

• Khi đó:

26

2

2

1

~n

i

i

X n

2~ ,iX N


Quan hệ với pp N(0,1)• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân

phối chuẩn.

• Khi đó:

27

2

2

1

~ 1n

i

i

X X n

2

1 2

~ ,

1 ...

i

n

X N

X X X Xn


Phân phối Student t(n)• Kí hiệu: X ~ t(n) • Bnn X gọi là có phân phối Student với n bậc tự

do nếu hàm mật độ có dạng:

28

1

2 2,

11 2 1

2

n

x

nxf x

n nn


Quan hệ với Chuẩn và Khi BP• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Khi đó:

29

2~ 0,1 ; ~X N Y n

~X X nT t nYY

n


Đồ thị hàm mật độ t(2); t(6) và t(20)

30


So sánh với N(0,1)

31


Đồ thị hàm mật độ t(5) và t(20)

32


Tính chất

33

~

) 0 1 ;

) 2 .2

) 0,1

Neáu thì:

Fn

T t n

a E T n

nb V T nn

c T N


Dò bảng xác suất Khi BP• Ký hiệu:• Là giá trị sao cho:

34

n

2, ~vôùiP Z n Z n

n

Đưa về đúng dạng Lấy giao giữa hàng và

cột tương ứngHàng: bậc tự do n Cột: xác suất bên phải


Dò bảng xác suất Student• Ký hiệu:• Là giá trị sao cho:

35

t n

, ~vôùiP Z t n Z t n

t n


Ví dụ

• Cho

• Tìm các xác suất sau:

36

2 20Z

) 0,95

) 8,2604 ?

) 10,8508 31,4104 ?

a P Z a

b P Z

c P X


Ví dụ

• Cho


37

15Z T

) 0,025

) 2,4899 ?

) 2,0343 2,9467 ?

) 0,975

a P Z a

b P Z

c P X

d P Z b


Ví dụ 2

• Cho


38

40Z T

) 2,7045 ?

) 1,7232 2,2990 ?

) 0,025

a P Z

b P X

d P Z b


Phân phối Fisher - Snedecor• Ta định nghĩa thông qua phân phối Khi bình

phương.• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Đặt:

39

2 2~ ; ~X n Y m

//X n mXFY m nY


Phân phối Fisher - Snedecor• Khi đó ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor

với (n,m) bậc tự do.

40

1

22

2

,2 0

12 2

nn

n m

n mn xf x x

n m m n xm


Đồ thị hàm mật độ• Gần giống với

đồ thị phân phối Khi bình phương.

41



42



43

, 1,0Fmn

F n m N


Tính chất• Cho X~F(n,m) thì:

44

2

2

, 22

2 2, 4

2 4

mE X mmm n m

V X mn m m

, 1,0Fmn

F n m N

luẬt sỐ lỚn

Documents