ltdh chuong11 decrypted

http

://ao

trang

tb.co

m

Chương 11

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :

1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :

→u .−• − →→v = 0, ở đó − →v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.u và −

• Góc giữa chúng bằng 90◦.

• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).

• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.

• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo

của định lí Pytago, . . .

2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :

• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).

• d ∥ d′ mà d′⊥(α).

• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).

• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).

• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).

• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và

(α) thì d⊥(α).

3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :

• Góc giữa chúng bằng 90◦.

• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.

4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.

Hệ thức lượng trong tam giác vuôngCho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.

A

B CH M

201

http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

• AB2 + AC2

= BC2 (Định lí Pytago);

•1

AH2=

1AB2+

1AC2

; AH =AB.AC

BC ; b• AB2

= BH.BC; AC2 = CH.BC;

• AM =BC2

, nếu C = 30◦ thì AB =BC2

.

Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a,CA = b; ha, hb, hc và ma,mb,mc lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất

phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p =a + b + c

2 là

nửa chu vi tam giác.

1. Định lí hàm số cosin :

a2 = b2

+ c2 − 2bc cos A; cos A =b2 + c2 − a2

2bc .

2. Định lí hàm số sin :a

sin A=

bsin B

=c

sin C= 2R ⇒ a = 2R sin A.

3. Công thức trung tuyến :

m2a =

2(b2+ c2) − a2

4 .

4. Công thức diện tích tam giác:

(a) Tam giác thường

S =12

a.ha =12

b.c. sin A =abc4R= pr =

Èp(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ ha =

2Sa ,R =

abc4S , r =

Sp .

(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S =12

AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =a2

2 .

(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =a2 √

34

và đường cao bằnga √

32

;

ÔÔ5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2.

6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.

7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD =12

AC.BD. sin(AC, BD).

8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD =12

AC.BD.

9. Diện tích hình thang là S =( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao

2 .

10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S =12

tích hai đường chéo.

11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

�Nếu ba vectơ −→a ,

−→b ,−→c không đồng phẳng thì vectơ

−→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a ,

−→b ,−→c ; nghĩa là tồn tại duy

nhất bộ ba số m, n, p sao cho−→d = m−→a + n

− →c .→b + p−

Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt−−→AA′ = −→a ,−−→AB =

−→b ,−−→ →c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trênAD = −

cạnh B′C′ sao cho JB′ = k.JC′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ−−→CB′,

−→ →AI,−IJ theo ba vectơ −→a ,

−→b ,−→c .

Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Đặt −→a =−−→AC′,

−→b =−−→BA′,−→c =

−−→CB′. Gọi M là trung điểm AA′ và G là trong tâm tam giác

ABC. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AA′,−−−→B′G,

−−−→MN theo ba vectơ −→a ,

−→b ,−→c .

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com T r a n g 202

http

://ao

trang

tb.co

m


Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

�1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.

2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.

AB +−−→Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng

−−→AD +

−−→AE =

−−→AG.

Bài 11.4 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng−−→S A +

−−→S C =

−−→S B +

−−→S D.

Bài 11.5 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng−−→S A2 +−−→S C2

=−−→S B2 +−−→S D2.

Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao choCACB=

mn

, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta

luôn có−−→S C =

nm + n

−−→S A +

mm + n

−−→S B.

Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′.

1. Hãy biểu diễn các vectơ−−→AO,−−−→AO′ theo các vectơ

−−→AA′,−−→AB,−−→AD.

2. Chứng minh rằng−−→AD +

−−−→D′C′ +

−−−→D′A′ =

−−→AB.

Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C,D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và

đủ để bốn điểm A, B,C,D tạo thành một hình bình hành là :−−→OA +

−−→OC =

−−→OB +

−−→OD.

Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

�1. Để chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta có thể

• Chứng minh vectơ hai−−→AB và

−−→AC cùng phương, tức là

−−→AB = k

−−→AC.

• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh−→IC = m

−−→OA + n

−−→OB với m + n = 1.

2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ−−→AB và

−−→CD cùng phương.

3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc−−→ →u + y−AB = x− →→v trong đó các vectơ − →v có giá song song hoặc nằm trên (P).u và −

Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xét các điểm M,N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho−−−→MA′ = k

−−→MC,

−−−→NC′ = l

−−→ND (k và l đều khác 1). Đặt

−−→BA = −→a ,

−−→BB′ =

−→b ,−−→BC = −→c .

1. Hãy biểu thị các vectơ−−→BM và BN qua các vectơ −→a ,

−→b ,−→c .

2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′.

Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho−−→MA = m

−−→AB. Tìm điểm N trên đường thẳng

B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′ sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng (m , 0).

Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho−−→MA = −2

−−→MB,−−→ND = −2

−−→NC. Các điểm I, J,K

lần lượt thuộc AD,MN, BC sao cho−→IA = k

−→ID,−−→JM = k

−−→JN,−−→KB = k

−−→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J,K thẳng hàng.

Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆,∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B,C và A1, B1,C1. Với điểm O bất kì

trong không gian, đặt−→OI =

−−−→AA1,

−−→OJ =

−−−→BB1,

−−→OK =

−−−→CC1. Chứng minh rằng ba điểm I, J,K thẳng hàng.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 203

http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B0,C0,D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm tam

giác BCD và B0C0D0. Chứng minh rằng ba điểm A,G0,G thẳng hàng.

Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên cạnh AD sao cho−−→AM =

13−−→AD. N là điểm trên đường thẳng BD1, P là

điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M,N, P thẳng hàng. Tính��−−−→��MN

−−→NP�� .

Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′, BC,C′D′ lân lượt tại M,N, P sao cho−−−→NM = 2

−−→NP. Tính

MAMA′

.

Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.

1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng.

2. Tính tỉ sốGAGC1

.

Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′. M là một điểm trên OB′.

Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ ở I và DA′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I,M, J thẳng hàng.

Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của

hai đường thẳng AB′ và A′B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′ song song với nhau.

Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1, AB1 của các mặt

bên sao cho EF ∥ BC1. Tìm tỉ sốEFBC1

, xác định vị trí của E, F.

Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1. Trên đường chéo AB1, BC1 của các mặt

bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ sốEFCM


Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1,CC1. Hai điểm E, F lần lượt trên

các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ sốEFBN


Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M,N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1, BB1,CC1 sao choAMAA1

=B1NBB1

=C1PCC1

=34

. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P. Tìm tỉ sốEFB1P

.

Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất

thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1. Tính tỉ sốMNBD1

.

Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc AD′ và DB sao cho−−→MA = k

−−−→MD′,

−−→ND = k

−−→NB

(k , 0, k , 1).

1. Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;

2. Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD′ và DB.

Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G,G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện

A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.

Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

�Muốn chứng minh các vectơ −→a ,

−→b ,−→c đồng phẳng chúng ta có thể :

1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,−→b ,−→c có giá cùng song song với một mặt phẳng.

2. Ba vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n

−→b , trong đó −→a ,

−→b là hai vectơ không

cùng phương.

Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :


http

://ao

trang

tb.co

m


1.−−→AB,−−−→A′C′,

−−−→B′D′ ; 2.

−−→AB,−−→BB′,−−−→B′C′ ; 3.

−−→AB,−−−→B′D,

−−−→C′D′.

Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho−−→AM = 3

−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho

−−→NB = −3

−−→NC.

Chứng minh rằng ba vectơ−−→AB,−−→DC,−−−→MN đồng phẳng.

Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường

chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ−−→BD,−→IK,−−→GF đồng phẳng.

Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các

điểm M,N sao choAMAC=

BNBD= k (k > 0).

Chứng minh rằng ba vectơ−−→PQ,−−→PM,−−→PN đồng phẳng.

Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ−−→BB′,

−−−→CC′,

−−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng

các vectơ−−→AA′,−−→BB′,−−−→CC′,

−−−→DD′ đồng phẳng.

Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN. Chứng

minh rằng ba vectơ−−−→MN,

−−→AB,−−−→B1D đồng phẳng.

Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M,N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :

−−→OM =

−−→OA + α

−−→OB − 2

−−→OC; −−→ON = (α + 1)

−−→OA + 2

−−→OB +

−−→OC; −−→OP = (α − 2)

−−→OB + 2

−−→OC

với α là số thực. Tìm α để ba vectơ−−→OM,

−−→ON,−−→ d d dOP đồng phẳng.

Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc yOz, zOx và phân giác ngoài của xOy thuộc

một mặt phẳng.

Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1. Mặt phẳng này cắt đường

thẳng BC1 tại M, và giả sử−−→BM = k

−−−→BC1. Hãy tính k ?

Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P,Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao

choARAC=

BSBD

. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R, S thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′ và A′C′. Điểm K thuộc B′C′ sao cho−−−→KC′ = −2

−−−→KB′.

Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J,K cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho−−→MA = k1

−−→MC ; N là điểm

thuộc BD sao cho−−→NB = k2

−−→ND. Chứng minh rằng các điểm I, J,M,N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2.

Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N, P,Q lần lượt thuộc AB, BC,CD,DA sao cho−−→AM =

13−−→AB,−−→BN =

23−−→BC,−−→AQ =

12−−→AD,−−→DP = k

−−→DC. Hãy xác định k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng.

11.2 Hai đường thẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ

�1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu

−−→OA = −→a ,−−→OB =

−→b thì (−→a ,−→b ) = (

−−→OA,−−→ ÔOB) = AOB. Đặc biệt

• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức

(−−→OA,−−→OB) = (

−−→AO,−−→ ÔBO) = AOB.


http

://ao

trang

tb.co

m


• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức

(−−→

OB) = (−−→

AO,−−→

OA,−−→BO) = 180◦ − (

−−→OA,−−→ ÔOB) = 180◦ − AOB.

2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(−→u ,−→u .−→v ) =− →v|−→u |.|−→v |

.

Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1.−−→AC và

−−→CD; 2.

−−→CH và

−−→CD.

Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

1.−−−→A′C′ và

−−→AB; 2.

−−−→A′C′ và

−−→AB′; 3.

−−→A′B và

−−−→B′D′.

Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa

hai vectơ−−→OM và

−−→BC.

Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a √

2. Tính góc giữa hai vectơ−−→AB và

−−→S C.

Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b

�

××× ×××1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc

giữa a và b bằng góc giữa a′ và b′.

2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể

• Nếu (−−→AB,−−→CD) ≤ 90◦ thì (AB,CD)

×= (−−→AB,−−→CD).

• Nếu (−−→AB,−−→ ×CD) > 90◦ thì (AB,CD) = 180◦ − (

−−→AB,−−→CD).�� ×

Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB,CD) = cos(−−→AB,−−→

��CD) .

Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

1. AC và DA′; 2. BD và AC′.

Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc

giữa các cặp đường thẳng :

1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC.

Bài 11.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.

1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.

2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không

phụ thuộc vào vị trí của I và J.

Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và

DM.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết

AB = CD = 2a và MN = a √

3.

Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M

và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.

Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

�Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90◦ hoặc chứng minh

−−→AB.−−→CD = 0.

Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng minh rằng MN⊥A′C.

Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.

1. Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2. Tính cosin góc giữa hai vectơ−−→AB,−−→CD.

Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1A, A1B, B1C,C1D của các mặt của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 lấy các điểm M,N, P,Q sao

cho :−−−−→D1M = k

−−−→D1A;

−−→BN = k

−−−→BA1;

−−−→B1P = k

−−−→B1C;

−−→DQ = k

−−−→DC1.

Ô Õ ÕTìm số thực k để MN⊥PQ.

Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD.

Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB′ ta lần lượt lấy các điểm M,N không

trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC′⊥MN.

Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N, P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng

AB⊥CD.

Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B′D′. Chứng minh rằng nếu

ABC = B′BA = B′BC = 60◦ thì A′B′CD là hình vuông.

Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M,N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho−−→MB = k

−−→MC và

−−→NA = k

−−→ND, với k là

số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (−−−→MN,

−−→BA), β = (

−−−→MN,

−−→CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45◦.

Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

1. Chứng minh rằng AD⊥BC.

2. Gọi M,N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB,DB sao cho−−→MA = k

−−→MB,−−→ND = k

−−→NB. Tính góc giữa hai đường thẳng

MN và BC.

Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD =43

AB. Gọi I, J,K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK =56

AB, tính góc giữa các

đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.

Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và

CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a2 cos α, b2 cos β, c2 cos γ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

�1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207

http

://ao

trang

tb.co

m


2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).

Ô Ô Ô

Ô

Bài 11.61 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC.

1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC).

2. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G1G2⊥(ABC).

Bài 11.62 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C.

1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).

2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.

Bài 11.63 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a, AS B = 90◦, BS C = 60◦, AS C = 120◦. Gọi O là trung điểm cạnh AC.

Chứng minh rằng S O⊥(ABC).

Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.

1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).

2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).

Bài 11.65 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √

3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD

vuông tại D và có S D = a √

5.

1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.

2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C. Hãy

xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(S CD).

3. Tính diện tích tứ giác AKHL.

Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường

thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng

S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a.

Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC).bBài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (A = 90◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời

S A = S C = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).

Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

�

1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′ của a trên (P).

3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.70 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I,K lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm A trên các cạnh S B, S C, S D.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB),CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).

2. Chứng minh rằng S C⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).

3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.

Bài 11.71 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = S C, S B = S D.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).

2. Gọi I,K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.

Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:

1. OA⊥BC,OB⊥CA,OC⊥AB.

2. H là trực tâm của tam giác ABC.

3.1

OH2=

1OA2

+1

OB2+

1OC2

.

4. Tam giác ABC nhọn

5. sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC).

6. S 2∆ABC = S 2

∆OAB + S 2∆OBC + S 2

∆OCA .

Bài 11.74 : Hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các

mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.

Bài 11.75 : Cho chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB).

2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥S C.

Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S .

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,CD.

1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(S CD), S J⊥(S AB).

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC.

3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a.

Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và S C = a √

2. Gọi H,K là

trung điểm AB, AD.

1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K,CK⊥S D.

Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A′H⊥(ABC). Chứng minh rằng

1. AA′⊥BC và AA′⊥B′C′.

2. Gọi MM′ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA′) với mặt bên BCC′B′, trong đó M ∈ BC và M′ ∈ B′C′. Chứng minh rằng tứ giác

BCC′B′ là hình chữ nhật và MM′ là đường cao của hình chữ nhật đó.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.79 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là

điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA,CD⊥(S CA).

Bài 11.80 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)

trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).

2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.

Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là

trung điểm của AB và CD.

Bài 11.82 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H2Ô Ô Ô = HA.HC.

Chứng minh rằng S C⊥(S AB).

Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có BS C = 120◦; CS A = 60◦; AS B = 90◦ và S A = S B = S C. Chứng minh rằng ABC là tam giác

vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.

Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

�

Ô1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a′ của a

trên mặt phẳng (P).

2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0◦.

3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90◦.

4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông

góc H của B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng BAH.

(P)

A

B

Hϕ

a

a′

Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa

nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy.

Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √

6. Tính góc

giữa

1. S C và (ABCD); 2. S C và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC).

Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a √

2.

1. Tính góc giữa đường thẳng BC′ và (ABB′A′).


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCbÔ

2. Gọi M là trung điểm CC′. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A′B′C′).

Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có A = 120◦, BC = a √

3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

1. Chứng minh rằng AO⊥(DBC).

2. Tính góc giữa đường thẳng DA và mặt phẳng (BCD) khi BDC = 90◦.

Bài 11.88 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và có tâm O, biết S A⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm

các cạnh S A và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60◦.

1. Tính độ dài MN và S O; 2. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (S BD).ÔBài 11.89 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = α. Biết S A, S B, S C đều hợp với mặt phẳng (ABC)

một góc α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.90 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC′ của mặt bên BCC′B′ hợp với ABB′A′ góc 30◦.

1. Tính AA′.

2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA′C′).

3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB′. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA′C′).

Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC vuông cân tại A, AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của

AB và trung điểm N của B′C′ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc α và mặt bên (BCC′B′) góc β.

1. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và α; 2. Chứng minh rằng cos α =√

2 sin β.

Bài 11.92 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Mặt phẳng (α) qua BC hợp với AC góc

30◦, cắt S A, S D lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác BCNM.

Bài 11.93 : Cho hình chóp S .ABC có các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo với đáy một góc α. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài 11.94 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB = a, AC = a √

3. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng tạo

với đáy một góc 60◦. Tính góc tạo bởi

1. S A và (S BC); 2. S A và BC.

Bài 11.95 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB = a, AD = a √

2.Các cạnh bên S A, S B, S C, S D cùng tạo

với đáy một góc 45◦. Gọi M là trung điểm AD.

1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và S C.

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước

�Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.

1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai

đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).


http

://ao

trang

tb.co

m


2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc

chứa b).

Bài 11.96 : Cho chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.

Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).

1. Tìm thiết diện của hình chóp S .ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông

góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.

Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC

với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

1. (α) qua S và vuông góc với BC.

2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.

3. (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC.

Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.

M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).

Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).

Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng

vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi

1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 2. mặt phẳng qua M và vuông góc với S C.

Ô

Ô

Bài 11.101 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có S A = S B = S C = AB = AC = BC = a, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho

AM = x (với 0 < x < a). Xác định và tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của

M để diện tích thiết diện là lớn nhất.

Bài 11.102 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hai điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB,CC′. Hãy xác định

và tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN.

Bài 11.103 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC). Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ). Xác định và tính diện tích thiết diện của

hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A. Tìm vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Bài 11.104 : Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′ có đáy là tam giác vuông cân tại O với OA = OB = a, chiều cao AA′ = a √

2. Gọi M là

trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A′B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).

Bài 11.105 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E,K,H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a √

2.

Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc

với AC. Đặt CM =x √

32

.

1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.

2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.

Bài 11.107 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 600. Cạnh S C = a và vuông góc với

(ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện

và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.


http

://ao

trang

tb.co

m


11.4 Hai mặt phẳng vuông góc

Vấn đề 1 : Xác định góc giữa hai mặt phẳng

�

Ô Ô ÔÔ �� Ô��Giả sử cần tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có các phương pháp sau :

1. Sử dụng định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nghĩa là,

lấy a⊥(P) và b⊥(Q) thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

2. Giả sử c = (P) ∩ (Q). Xét mặt phẳng (R) vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc ϕ giữa

(P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Trong nhiều bài toán thường có sẵn đường thẳng AB (A ∈ (P) và B ∈ (Q)) vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c

tại H. Lúc này mặt phẳng (R) chính là mặt phẳng (ABH) và góc ϕ là góc AHB (nếu AHB ≤ 90◦) và là góc 180◦ − AHB (nếu

AHB > 90◦). Trong thực hành thường dùng công thức cos ϕ = cos AHB .

3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H′. Khi

đó, cos ϕ =S ′

S với S ′ là diện tích hình H

′ và S là diện tích hình H .

Bài 11.108 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a √

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau

1. (S BC) và (ABCD); 2. (S CD) và (ABCD); 3. (S BC) và (S CD).ÔBài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có ABC = 90◦, AB = 2a, BC = a √

3, S A = 2a và S A⊥(ABC).

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

2. Mọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường cao AK của tam giác AMC.

3. Tính tan ϕ, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S MC).

Bài 11.110 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính góc giữa hai mặt phẳng

1. (ABCD) và (A′B′C′D′); 2. (ABCD) và (CDD′C′); 3. (ACC′A′) và (ABB′A′); 4. (A′BD) và (ABCD).

Bài 11.111 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.

Ô1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60◦.

2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).

Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a √

5 và BAC = 120◦. Gọi M là trung điểm cạnh CC1.

Chứng minh rằng MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 11.113 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, S A⊥(ABCD) và

S A = a √

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AD) và (S BC); 2. (S CD) và (S BC).

Bài 11.114 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, với AB = BC = a, S A⊥(ABC), S A = a. Gọi E và F lần lượt

là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

1. (S AC) và (S BC); 2. (S EF) và (S BC).


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCd d dBài 11.115 : Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng sao cho xOy = 90◦, yOz = zOx = 60◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (yOz) và

(zOx).

Bài 11.116 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn (C ) tâm O bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại O lấy điểm S sao

cho OS = R. Gọi M và N là hai điểm khác nhau trên (C ), a và b là hai tiếp tuyến với (C ) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng

(S , a) và (S , b) trong mỗi trường hợp sau :

1. MN là đường kính của đường tròn; Õ2. MON = 90◦.ÔÔ

Bài 11.117 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (S CD) là các tam giác vuông lần lượt

tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết ABC = ϕ.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);

2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.

Bài 11.118 : Cho hình chóp S .ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa

hai mặt bên (S AC) và (S BC).

1. Chứng minh rằng tan α. tan β =

√1 + cos2 α

cos α;

Ô2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60◦.

Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.120 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm

các cạnh AA′ và CC′.

1. Chứng minh bốn điểm B′,M,D,N đồng phẳng. Tứ giác B′MDN là hình gì ?

2. Tính độ dài AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

3. Khi tứ giác B′MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′MDN) và (ABCD).

Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

�

1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦.

2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).

Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =a √

62

. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).

Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).

3. Gọi BE,DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).

Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,OB =a √

33 , S O⊥(ABCD), S O =

a √

63

.Ô1. Chứng minh rằng AS C = 90◦.

2. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD).


http

://ao

trang

tb.co

m


3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.124 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là hai điểm

nằm trên BC,DC sao cho BM =a2

; DN =3a4

. Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN).

ÕBài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB)

và (S AC) vuông góc với nhau.

Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a. Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ở cùng

nửa mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N sao cho BM.DN =a2

2 . Đặt BOM Õ= α,DON = β.

1. Chứng minh rằng tan α. tan β = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).

Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

�

1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.

2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).

Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ

AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).

Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE,DF của tam

giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.

1. Chứng minh rằng AB⊥(BCD).

2. Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).

3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng OH⊥(ADC).

Bài 11.129 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a √

2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB.

1. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D. 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD).

ÔÔBài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).

1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).

3. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).

Bài 11.131 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có S AB = 30◦. Tính

góc giữa mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.132 : Cho hình chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại A, ABC = 60◦, M là trung điểm AB. Các mặt phẳng (S AB) và (S CM)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa S C và (ABC) là 60◦, tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABC).

Bài 11.133 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACB′) cùng vuông góc với

(ABC).

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ÕÕ2. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (A′B′C′) bằng 30◦. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC′A′).

Bài 11.134 : Cho hình vuông ABCD. Mặt phẳng (P) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB. Điểm M di động sao cho AMB =

AMD = 90◦.

1. Chứng minh rằng M thuộc mặt phẳng trung trục của BD;

2. Giả sử MD cắt (P) tại M′. Chứng minh rằng AM′⊥BM′.

Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Trên hai cạnh AC, BF lần

lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a √

2).

1. Chứng minh rằng AF⊥(ABCD).

2. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Chứng minh rằng MM1⊥M1N và MN ∥ (CDEF).

3. Tính MN theo a và x. Tìm x để MN nhỏ nhất.

4. Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và MN ∥ DE.

Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) (giả thiết a không vuông góc với (P))

�

ÔTừ một điểm trên a, dựng đường thẳng b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng (Q) cần dựng.

Bài 11.136 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 60◦. Đường thẳng S O⊥(ABCD) và S O =3a4

.

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.

1. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).

2. Gọi O′, A′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC). Tính độ dài các đoạn thẳng OO′, AA′.

3. Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC). Xác định thiết diện cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện đó. Tính góc

giữa (P) và (ABCD).

Bài 11.137 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và

vuông góc với mặt (S CD).

1. Dựng mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2. Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 11.138 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp S .ABCD với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:

1. (α) qua tâm O của đáy, trung điểm M của S D và vuông góc với (ABCD).

2. (α) qua A, trung điểm N của CD và vuông góc với (S BC).

Bài 11.139 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a √

2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và A′C′. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (α) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (BCC′B′). Tính diện tích

thiết diện và tính góc tạo bởi mặt phẳng (α) với mặt phẳng đáy.

Bài 11.140 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh

S A⊥(ABCD) và S A = a.

1. Chứng minh rằng (S AD)⊥(S CD) và (S AC)⊥(S CB).

2. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD), tính tan ϕ.


http

://ao

trang

tb.co

m


3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa S D và vuông góc với (S AC). Hãy xác định (α) và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (α).

Bài 11.141 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc

với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại E,K,H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a √

2.

Bài 11.142 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD), S A = a. Xác định và tính diện tích thiết diện

của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD.

11.5 Khoảng cách

Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước

�∆) tại H. Ta có d(M,∆) = MH.1. Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥

∆, cắt ∆ tại H. Ta có d(M,∆) = MH.2. Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥

Bài 11.143 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi I là trung điểm cạnh

S C và M là trung điểm đoạn AB.

1. Chứng minh rằng OI⊥(ABCD). 2. Tính d(I,CM).

Bài 11.144 : Cho hình chóp S .ABC; ABC là tam giác vuông cân (AB = AC = a); S B⊥(ABC) và S B = a. Tính khoảng cách từ S đếnÔCM, với M thuộc đoạn AB và AM =a3

.

Bài 11.145 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, S A = AB = 2a, ABC = 60◦ và S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh : BD⊥S C, từ đó suy ra khoảng cách từ O đến S C.

2. Tính d(O; S B) và d(D; S C).

Bài 11.146 : Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy

điểm O sao cho AO = 4cm. Tính d(O, BC).

Bài 11.147 : Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = a; BC = 2a). Ax và Cy cùng vuông góc với (ABC) và ở về cùng một phía. Lấy

M ∈ Ax và N ∈ Cy với AM = a,CN = a √

5. Chứng minh rằng AB⊥(BCy). Tính khoảng cách từ M đến BN.

Bài 11.148 : Cho góc vuông xOy và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng xOy. Khoảng cách từ A đến Ox,Oy đều bằng a và AO =a √

72

.

Tính khoảng cách từ A đến (xOy).

Vấn đề 2 : Dựng đường thẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

�

Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).

Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần

dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P).

Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau :


http

://ao

trang

tb.co

m


1. Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)).

2. Nếu AB ∩ (P) = {O} thìd(A, (P))d(B, (P))

=OAOB

.

α

O

A

α

O

A

B

B

Bài 11.149 (Bài toán có bản) : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC). Hãy dựng hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (S BC).

Bài 11.150 (Bài toán cơ bản) : Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn

thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với (α) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng (α) tại A′ và B′. Chứng minh rằng ba điểm A′,O, B′

thẳng hàng và AA′ = BB′.

Như vậy ta có hệ quả của bài toán này là : Hai điểm A và B phân biệt cách đều (P) (hoặc ∆) khi và chỉ khi AB ∥ (P) hoặc trung điểm

M của AB thuộc (P) (tương ứng ∆).

Bài 11.151 : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC), tam giác ABC đều cạnh a và S A = a √

2. Xác định và tính khoảng cách từ A đến

mặt phẳng (S BC).

Bài 11.152 : Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a,OB = b,OC = c. Xác định và tính khoảng

cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

Bài 11.153 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên cùng bằng 2a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ở

đáy.

1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).

2. Xác định và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.154 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6a; BC = BD = 5a; AC = AD = a √

73. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống

(BCD). Chứng minh rằng H nằm trên trung tuyến BI của tam giác BCD. Tính d(A, (BCD)).

Bài 11.155 : Cho hình chóp S .ABC có ABC là tam giác vuông tại B (AB = 2a, BC = a); S A⊥(ABC). Tính d(B, (S AC)).

Bài 11.156 : Cho hình chóp S .ABC có S A = h, S A⊥(ABC); M là điểm thuộc đoạn S B sao choMSMB=

12

, I là trung điểm của CM.

Tính d(I, (ABC)).

Bài 11.157 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a. Xác định và tính

1. d(A, (S CD)); 2. d(O, (S CD)); 3. d(B, (S CD)); 4. d(C, (S BD)).

Bài 11.158 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a √

3. Gọi G là trọng tâm tam giác S AB.

Tính d(G, (S AC)).

Bài 11.159 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, , S A⊥(ABCD) và S A = a √

3, G là trọng tâm tam

giác S AB. Tính


http

://ao

trang

tb.co

m


1. d(M, (ABCD)); 2. d(A, (S BC)); 3. d(O, (S BC)); 4. d(G, (S AC)).

Bài 11.160 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho dưới

đây.

1. Điểm A và mặt phẳng (BDB′D′) ; 2. Điểm A và mặt phẳng (A′BD).

Bài 11.161 : Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính d(B, (ACD)).

Bài 11.162 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Xác định và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng (AB′D′).

Bài 11.163 : Cho hình chóp đều S .ABC cạnh a. Xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (S BC) và tính d(A, (S BC)).

Bài 11.164 : Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC = a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng S H⊥(ABCD) với S H = a.d1. Tính d(H, (S CD)). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (S CD).

2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.165 : Cho góc vuông xOy và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông, OM = 23cm và khoảng cách từ M tới hai

cạnh Ox,Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.

Bài 11.166 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (α), cạnh AC = a √

2 và tạo với (α) một góc 60◦.

1. Tính khoảng cách CH từ C tới (α). 2. Chứng minh rằng cạnh BC tạo với (α) một góc bằng 45◦.

Bài 11.167 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, AB = 2a, S A = 4a. Tính :

1. d(O; (S AB)) ; 2. d(A; (S CD)).

Bài 11.168 : Cho tứ diện DABC, có ABC là tam giác vuông tại A, S B = a, AC = 2a. Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC)

góc α, mặt bên (S BC) vuông góc với (ABC).

1. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và α ; 2. Tìm số đo α khi biết d =2a√

3, khi đó hãy tính d(C; (DAB)).

Bài 11.169 : Cho hình chóp S .ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (S BC) và (ABC) là 60◦. Các tam giác S BC và ABC đều, AB = a.

Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (S AC) trong mỗi trường hợp sau :

1. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền trong tam giác ABC.

2. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) nằm miền ngoài tam giác ABC.

Bài 11.170 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, S A = a và S A⊥(ABCD), gọi M là trung điểm S C. Tính

1. d(A, (S CD));

2. d(B, (S CD));

3. d(O, (S CD));

4. d(C, (S BD));

5. d(M, (ABCDC));

6. d(M, (S AD)).

Bài 11.171 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √

3 và các cạnh bên cùng hợp với đáy một

góc 60◦.

1. Tình d(S , (ABC)), d(A, (S BC)), d(C, (S AB));

2. Tính cosin góc giữa S B và AC;

3. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AC).

Vấn đề 3 : Đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

�Ta xét các trường hợp sau đây:


http

://ao

trang

tb.co

m


b

B

A

a

A M′

B Mb

b′a

α I H

AB

O

a b

b′

α

a) b) c)

a) Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo nhau và a⊥b.

- Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

- Trong (α) dựng BA⊥a tại A, ta được độ dài đoạn BA là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (hình a).

b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Cách 1 : - Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM′⊥(α) tại M′.

- Từ A dựng AB ∥ MM′ cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2 : - Ta dựng mặt phẳng (α)⊥a tại O, (α) cắt b tại I (hình c).

- Dựng hình chiếu vuông góc của b là b′ trên (α).

- Trong mặt phẳng (α), vẽ OH⊥b′ tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Chú ý : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta thường làm như sau :

• Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b (hình b).

• Lấy điểm M ∈ b. Ta có d(a, b) = d(b, (α)) = d(M, (α)).

Bài 11.172 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Hãy

dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

1. OA và BC; 2. AI và OC.ÔBài 11.173 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD = 60◦, S O⊥(ABCD), S O =3a4

.

1. Tính d(O, (S BC)) và d(A, (S BC)); 2. Tính d(AD, S B).

Bài 11.174 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, A′C′, B′C′. Tính khoảng các giữa các cặp đường thẳng sau :

1. DE và AB′; 2. A′B và B′C′.

Bài 11.175 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh S A = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:


http

://ao

trang

tb.co

m


1. S B và CD; 2. S C và BD; 3. S C và AB; 4. AC và S D.

Bài 11.176 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính các khoảng cách :

1. d(A, (CDD′C′)) ;

2. d(A,CC′) ;

3. d(AA′, (BB′D′D)) ;

4. d((AIA′), (CJC′)) ;

5. d(BD, A′C) ;

6. d(AA′, BD′) ; b 7. d(AI, JC′).

Bài 11.177 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, mặt đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A có A = 120◦, cạnh bên bằng a.

1. Tính d(A, (BB′C′C)).

2. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA′ và B′C.

Bài 11.178 : Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = x,CD = y. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD.

Bài 11.179 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tính d(A, (BDA′)), d((A′BD), (CB′D′)), d(A′D,D′C).

Bài 11.180 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a √

3.

Tính d(AA′, (BCC′B′)), d(A′, (ABC′)), d(A, (A′BC)).

Bài 11.181 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = S B = S C = S D = a √

2. Tính d(S , (ABCD)), d(AD, S B).

Bài 11.182 : Cho hình chóp S .ABC có S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = a √

2, đáy ABC là tam giác vuông tại B có BA = a.

Gọi M là trung điểm của AB. Tính d(S M, BC).

Bài 11.183 : Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 60◦, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By, lấy điểm C sao

cho BC = a. Tính d(C, (B, Ax)), d(C, Ax) và tìm điểm cách đều các đỉnh A, B,C,D.

Bài 11.184 : Cho tứ diện ABCD có bốn mặt là bốn tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm hai cạnh

đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của hai cạnh đó.

Bài 11.185 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh bên bằng h. Biết khoảng cách giữa A′B′ và BC′ bằng d. Tính cạnh

đáy của hình lăng trụ theo d và h.

Bài 11.186 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = a, S A⊥(ABC), S A =a √

22

. Tính góc giữa hai mặtÔ Ôphẳng (S AC) và (S BC); tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và S C, với I là trung điểm BC.

Bài 11.187 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, CBA = BAD = 90◦, S A = AB = BC = a và AD = 2a. Biết hai mặt

phẳng (S AB) và (S AD) cùng vuông góc với đáy.

1. Tính d(S , (BCD)); d(A, (S CD)); d(AD, (S BC)).

2. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (S CD) và (ABCD).

3. Tính d(S A,CD), d(BC, S D), d(S B,CD).

Bài 11.188 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có ABC và ABB′ là hai tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau.

1. Tính d(B′, (ABC)); d(A, (BCC′B′)).

2. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và CC′.

Bài 11.189 : Cho khối chóp S .ABC có tam giác ABC đều cạnh A, chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của BC và góc

giữa S A và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦.

1. Tính d(S A, BC); d(B, (S AC)).

2. Gọi G là trọng tâm tam giác S BC. Tính góc giữa (ABC) và (ABG), từ đó suy ra diện tích của tam giác ABG.


http

://ao

trang

tb.co

m


11.6 Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Vấn đề 1 : Phương pháp trực tiếp tìm thể tích khối chóp

�Sử dụng công thức V =

13

S .h với hình chóp và V = S .h với hình lăng trụ, trong đó S là diện tích đáy còn h là độ dài đường cao.

1. Phương pháp xác định trực tiếp chân đường cao :

Dưới đây là một số đặc điểm thường gặp của hình chóp và vị trí chân đường cao tương ứng.

• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường đi qua tâm của đáy (các cạnh bên bằng nhau).

• Hình chóp có hai mặt phẳng (cùng chứa đỉnh) vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

• Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Hình chóp có một mặt (chứa đỉnh) vuông góc với đáy, thì đường cao chính là đường cao (xuất phát từ đỉnh) của mặt bên

đó.

• Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau hoặc các mặt bên có các đường cao (xuất phát từ đỉnh) bằng

nhau thì chân đường cao cách đều các cạnh của đáy. Nếu lúc này đáy là tam giác thì chân đường cao chính tâm đường tròn

nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy.

2. Phương pháp gián tiếp xác định độ dài đường cao : Chúng ta sử dụng các phương pháp xác định khoảng cách từ một điểm đến

mặt phẳng, cụ thể

• Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P));

• Nếu AB ∩ (P) = {O} thìd(A, (P))d(B, (P))

=OAOB

. ÔÔ

Bài 11.190 : Cho chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, S AC = 45◦. Tính thể tích hình chóp S .ABCD.

Bài 11.191 : Cho hình chóp S .ABC có S B = S C = BC = CA = a; hai mặt bên (ABC) và (AS C) cùng vuông góc với (S BC). Tính thể

tích khối chóp.

Bài 11.192 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Lấy M ∈ AB,N ∈ C′D′. Chứng minh rằng tứ diện B′A′MN có thể tích

không đổi.

Bài 11.193 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính thể tích khối tứ

diện AB′MN.

Bài 11.194 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; (S AC)⊥(ABCD); AS C = 90◦ và S A tạo với đáy một góc α. Tính

thể tích khối chóp. Ô ÔBài 11.195 : Cho hình chóp S .ABC có BAC = 90◦, ABC = α; S BC là tam giác đều cạnh a, (S BC)⊥(ABC). Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.196 : Cho tứ diện ABCD có AD = b và 5 cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích khối tứ diện.

Bài 11.197 : Cho hình chóp đều S .ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính cạnh của hình chóp biết thể tích của khối chóp bằng9a3 √

22

.

Bài 11.198 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC. Biết khoảng cách từ A đến (S BC) bằng d, góc giữa AB và mặt phẳng (S BC) là bằng

α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối chóp.

Bài 11.199 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 60◦.

Tính thể tích khối chóp đó.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.200 : Cho khối chóp S .ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a. Các mặt bên tạo với đáy một góc 60◦, chân

đường cao của hình chóp nằm trong miền trong tam giác ABC. Hãy tính thể tích khối chóp đó.

Bài 11.201 : Cho khối chóp tam giác đều S .ABC có chiều cao bằng h và góc AS B bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp.

Bài 11.202 : Cho khối chóp S .ABC có S A⊥(ABC); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên S B tạo

với đáy một góc α và tạo với mặt (S AD) góc β. Tính thể tích khối chóp.

Bài 11.203 : Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng

minh rằng

VABCD =16

AB.CD.d. sin α.

Bài 11.204 : Cho khối chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và S A⊥(ABC), S C = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt

phẳng (S CB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

÷ ÷b

Bài 11.205 : Cho khối chóp tứ giác đều S .ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa

mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất.

Bài 11.206 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :

AB = CD = a; AC = BD = b; AB = BC = c.

Bài 11.207 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC′A′.

Bài 11.208 : Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm S . Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với S B tại K cắt S M tại H. Tìm vị trí của M để

thể tích khối chóp S .AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.

Bài 11.209 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a. Cạnh bên của lăng trụ bằng a và

vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng 6 đỉnh của lăng trụ nằm trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (CA′B′) và mặt đáy (ABC).

Bài 11.210 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60◦. Đường chéo A′C của lăng trụ hợp

với đáy một góc bằng 60◦.

1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối lăng trụ đó.

2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa DD′ cắt các cạnh AB, A′B′, BC và B′C′ lần lượt tại M,M′,N và N′. Giả sử AM = x, BN = y.

Tìm x, y để (P) và (Q) chia lăng trụ thành ba phần tương đương (có thể tích bằng nhau).

Bài 11.211 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA′ và BC′ là 30◦ và khoảng cách giữa

chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên chứa AA′ là 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.212 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′. Mặt phẳng (A′BC) cách A một khoảng bằnga √

34

và hợp với BC′ một góc α với sin α =√

1510

. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.213 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a và A′A = A′B = A′C = b.

1. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật.

2. Xác định b theo a để mặt bên (ABB′A′) hợp với đáy góc 60◦.

3. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được.

Bài 11.214 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A′ có hình chiếu trùng với tâm O của tam giác ABC.

Cạnh bên hợp với đáy một góc 45◦.

1. Tính thể tích của khối lăng trụ.


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC bÔbÕ

2. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ đó.

Bài 11.215 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc α, đáy là hình thoi góc A = α và AC = 2a. Mặt

chéo ACC′A′ vuông góc với đáy.

1. Chứng minh rằng BDD′B′ là hình chữ nhật và các mặt bên bằng nhau.

2. Tính thể tích khối lăng trụ.


Bài 11.216 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = 2a, BAC = 2α. Đỉnh A′ cách đều ba đỉnh A, B,C. Các

cạnh bên hợp với đáy một góc 60◦.



Bài 11.217 : Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60◦. Hình chiếu của A′ xuống dưới mặt phẳng

(ABCD) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Cho biết BAA′ = 45◦.



Bài 11.218 : Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài dg

chéo mặt bên bằng 5.

1. Hạ AK⊥A1D (K ∈ A1D). Chứng minh rằng AK = 2.

ÔÕ Ô ÕÕ

2. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.

Bài 11.219 : Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là một tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc 30◦ và tam giác

A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 11.220 : Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD = 45◦. Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt

tạo với đáy AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.

Bài 11.221 : Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, A1AB = BAD = A1AD = α (0◦ < α < 90◦).

Hãy tính thể tích của khối hộp.

Bài 11.222 : Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình chữ nhật với AB = a √

3, AD = a √

7. Hai mặt bên (ABB′A′) và (ADD′A′)

lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết cạnh bên bằng 1.

Bài 11.223 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 mà mặt bên ABB1A1 có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC1 và mặt phẳng

(ABB1A1) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng√

2. Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với

mặt phẳng (ABC), AA1 =√

3, góc A1AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (AA1C) và mặt phẳng (ABC) bằng 60◦. Hãy tính thể tích khối lăng

trụ.

Bài 11.224 : Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax, By. Gọi C và D là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao choa

AC+

bBD= k (a, b

là độ dài cho trước, k là số thực dương cho trước).

1. Chứng minh rằng đoạn CD luôn luôn cắt một đoạn thẳng cố định.

2. Xác định vị trí của C,D để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất.

Bài 11.225 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, ta lấy điểm M. Gọi H là trực

tâm của tam giác ABC,K là trực tâm của tam giác BCM.

1. Chứng minh rằng MC⊥(BHK) và HK⊥(BCM).

2. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích tứ diện KABC.


http

://ao

trang

tb.co

m


bBài 11.226 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, lấy điểm M sao cho AM = x(0 ≤ x ≤ a). Trên nửa đường

thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng hình vuông tại điểm A, lấy điểm S sao cho S A = y(y > 0).

1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S BC).

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S CA).

3. Tính thể tích khối chóp S .ABCM theo a, y và x.

4. Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S .ABCM.

Bài 11.227 : Hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại a và AC = b,C = 60◦. Đồng thời đường chéo

BC′ của mặt bên BB′C′C tạo với mặt phẳng (AA′C′C) một góc 30◦.

1. Tính độ dài đoạn A′C ; 2. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.228 : Cho chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và S A = l, tính thể tích khối chóp theo a và l.

2. Biết S A = l và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích khối chóp theo α và l.

Bài 11.229 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD.

1. Biết AB = a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính thể tích khối chóp theo a và α.

2. Biết độ dài của đoạn thẳng nối đỉnh hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ,

tính thể tích khối chóp theo d và ϕ.

Bài 11.230 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Hơn nữa góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy

bằng 60◦ và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A′B′C′) trùng với trung điểm của cạnh B′C′.

1. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy.

2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC′.

3. Tính góc giữa mặt phẳng (ABB′A′) và mặt đáy.

4. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.231 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh S B, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ

diện CMNP.

Bài 11.232 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc nhau. Tìm thể tích khối lăng

trụ đó.

Bài 11.233 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có độ dài cạnh đáy AB bằng a và góc S AB bằng α. Tính thể tích khối chóp S .ABCD

theo a và α.

Bài 11.234 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a √

2. Tính thể

tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.235 : Cho hình lập phương OBCD.O1B1C1D1 có độ dài mỗi cạnh bằng a.

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng O1B và B1C.

2. Gọi N là trung điểm của BD1. Tính thể tích khối chóp ONBB1.

3. Gọi M là một điểm bất kì thuộc OO1. Chứng minh rằng tỉ số thể tích khối chóp MBCC1B1 và hình lăng trụ OCBO1B1C1 không

phục thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 11.236 : Chứng minh rằng nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích của tứ diện đó lớn nhất là18

.

Bài 11.237 : Kí hiệu S và V lần lượt là diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp đều n - giác.


http

://ao

trang

tb.co

m


ÔÔ Ô

Ô

Û

1. Với các giá trị cho trước n và S , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích V .

2. Tính các cạnh đáy và đường cao của tất cả các hình chóp với n = 4, S = 114,V = 64.

Bài 11.238 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √

2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng

(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông

góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.239 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 11.240 : Cho hình chóp S .ABCD đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ω (0◦ < ω < 90◦). Tính tan của góc

giữa hai mặt phẳng (S AB), (ABCD). Tính thể tích khối chóp theo a, ω.

Bài 11.241 : Cho hình chóp S .ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh S A vuông góc với đáy, góc ACB = 60◦, BC = a, S A = a.

Gọi M là trung điểm cạnh S B. Chứng minh mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng (S BC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.

Bài 11.242 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 90◦, AB = BC = a, AD = 2a, S A vuông góc với đáy

và S A = 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S A, S D. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S .BCNM

theo a.

Bài 11.243 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √

2. Gọi M là trung

điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.244 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a √

3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với

mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai đường

thẳng S M,DN.

Bài 11.245 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √

3 và hình

chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin

của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

BA và−−→Bài 11.246 : Cho tứ diện ABCD có BC = CD = a, BC là đoạn vuông góc chung giữa AB và CD, góc giữa

−−→CD bằng 60◦ và

AD⊥AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a.

Bài 11.247 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc ϕ. Mặt phẳng qua AC, vuông góc với

(S AD) cắt cạnh S D tại E. Tính thể tích khối đa diện S BCEA theo a và ϕ.

Bài 11.248 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác S AB đều, góc giữa mặt bên (S AB) và đáy bằng

60◦, I là trung điểm S C. Tính thể tích khối chóp S AIB.

Bài 11.249 : Trong không gian cho hình chóp S .ABCD với ABCD là hình thoi tâm O, có cạnh a, góc ABC = 60◦, chiều cao S O của

hình chóp bằnga √

32

. Gọi M là trung điểm AD, (P) là mặt phẳng qua BM và song song với S A, cắt S C tại K.

Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

Bài 11.250 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AD = a √

2,CD = 2a. Cạnh S A vuông góc với đáy và S A =

3a √

2. Gọi K là trung điểm AB. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC) vuông góc với mặt phẳng (S DK) và tính thể tích khối chóp S .CDK

theo a.

Bài 11.251 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh AA′ = A′B = CA′, biết góc giữa mặt

bên ABB′A′ tạo với đáy của lặng trụ một góc bằng 60◦. Chứng minh rằng BCC′B′ là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ theo a.

Bài 11.252 : Cho hình vuông ABCD cạnh a nằm trên mặt phẳng (P). Dựng hai nửa đường thẳng Bx và Dy cùng vuông góc với mặt

phẳng (P) và nằm cùng phía với mặt phẳng (P). Trên hai nửa đường thẳng Bx,Dy lần lượt lấy hai điểm M ∈ Bx,N ∈ Dy sao cho

BM = b,DN = c (b, c > 0). Tính thể tích khối tứ diện ACMN theo a, b, c. Khi M,N thay đổi trên Bx,Dy sao cho (ACM)⊥(ACN), hãy

xác định b, c theo a để thể tích khối tứ diện ACMN là nhỏ nhất.

Bài 11.253 : Trong mặt phẳng (p) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao chi AC = R. Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho ((S AB), (S BC)) = 60◦. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên S B, S C.

Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S .ABC.


http

://ao

trang

tb.co

m


ÔBài 11.254 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo với

mặt đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a √

33

. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh S D tại N. Tính thể tích khối chóp

S .BCNM.

Bài 11.255 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, AA′ =a √

32 , BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′⊥(BDMN) và tính thể tích A.BDMN. ÔÔBài 11.256 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 90◦.

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 11.257 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.

Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

Bài 11.258 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc

giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Vấn đề 2 : Tính thể tích hình chóp một cách gián tiếp

�1. Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy của hình chóp, diện tích đáy của hình chóp phải tính với một hình chóp đã biết

(hay dễ tính toán hơn).

2. Dùng phương pháp chia tách khối đa diện.

3. Sử dụng kết quả sau: Cho khối chóp S .ABC. Trên tia S A, S B, S C lần lượt lấy ba điểm A′, B′,C′ khác với S . Khi đó

VS .ABC

VS .A′B′C′=

S AS A′.

S BS B′.

S CS C′.

Chú ý : Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và chung các cạnh bên.

Bài 11.259 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD, N thuộc cạnh AD sao cho

DA = 3NA. Tính thể tích tứ diện BMNP theo P.

Bài 11.260 : Cho hình chóp S .ABCD có thể tích là V; ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC,CD, S D. Tính thể tích tứ diện AMNP theo V .

Bài 11.261 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Từ A kẻ đường AD vuông góc với S B

và AE vuông góc với S C. Biết AB = a, BC = b, S A = c. Hãy tính thể tích hình chóp S .ADE.

Bài 11.262 : Cho hình chóp đều S .ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′. Biết rằng

AB = a,S B′

S B=

23

.

1. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S .AB′C′D′ và S .ABCD.

2. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.263 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy và đường cao cùng bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm S B, S D ; P là giao

điểm của mặt phẳng (AMN) với S C. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.264 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông, cạnh a, có S A⊥(ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với S C, cắt

S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′,D′ và biếtS B′

S B=

23

. Tính thể tích hình chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.265 : Cho chóp S .ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, có S A⊥(ABCD) và S AÔ = a √

2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu

của A lên S B và S D. Chứng minh rằng S C⊥(AHK). Tính thể tích khối chóp OAHK.

Bài 11.266 : Cho hình chóp S .ACBD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, S A⊥(ABCD) và S A = a. Gọi C′ là trung điểm của S C.

Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD cắt các cạnh S B, S D lần lượt tại B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.


http

://ao

trang

tb.co

m


ÔBài 11.267 : Cho khối chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng đáy và S A = 2a. Gọi B′,D′ lần lượt

là hình chiếu vuông góc của A trên S B và S D. Mặt phẳng (AB′D′) cắt S C tại C′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.268 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc CC′ sao cho CK =2a3

. Mặt phẳng (α) đi qua

A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó.

Bài 11.269 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, S A⊥(ABCD), S A

Ô Ô Ô= a. Gọi C′ là trung điểm S C. Mặt

phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp tại B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.270 : Cho hình chóp S .ABC, có S A = a, S B = b, S C = c. Tính thể tích khối chóp S .ABC, biết :

1. AS B = BS C = CS A = 60◦ ; Ô Ô Ô2. AS B = 90◦; BS C = 120◦; CS A = 60◦.

Bài 11.271 : Biết thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ là V . Tính thế tích khối tứ diện ACB′D′.

Bài 11.272 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M,N lần lượt là trung điểm A′B′, B′C′. Tính

tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

Bài 11.273 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, BB′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc các cạnh

BB′ và DD′ sao cho BE =12

EB′,DF =12

FD′. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H)

và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H).

Bài 11.274 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và

C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính thể tích

của (H) và (H′).

Bài 11.275 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E, F lần lượt là trung điểm B′C′,C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành

hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa

diện (H′).

Bài 11.276 : Cho khối hộp MNPQ.M′N′P′Q′ có thể tích V . Tính thể tích khối tứ diện P′MNP theo V .

Bài 11.277 : Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI =13

PQ. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện MNIQ và MNIP.

Bài 11.278 : Cho hình chóp đều S ABCD. Đáy là ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. Cạnh bên S A = a √

5. Một mặt phẳng (P) đi

qua AB và vuông góc với mặt phẳng (S CD), và (P) lần lượt cắt C và S D tại C′ và D′.

1. Tính diện tích tứ giác ABC′D′.

2. Tính thể tích của khối đa diện ABCDD′C′.

Bài 11.279 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a.

1. Tính thể tích khối chóp.

2. Gọi M,N, P là trung điểm của AB, AD, S C. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng

nhau.

Vấn đề 3 : Dùng công thức thể tích để giải một số bài toán hình học

�

1. Chúng ta có thể dùng công thức tỉ số thể tích để chứng minh một số hệ thức.

2. Hoặc dùng công thức thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoăc tính diện tích đa giác đáy, cụ thể

d(A, (S BC)) =3.VS ABC

S ∆S BC và tổng quát h =

3VS đáy

.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.280 : Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Đường thẳng AM cắt mặt phẳng (BCD) tại A′, BM cắt mặt

phẳng (ACD) tại B′, CM cắt mặt phẳng (ABD) tại C′, DM cắt mặt phẳng (ABC) tại D′. Chứng minh rằng :

VM.BCD

VABCD=

MA′

AA′

và suy raMA′

AA′+

MB′

BB′+

MC′

CC′+

MD′

DD′= 1.

Bài 11.281 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh S A, S B, S C, S D lần lượt tại A′, B′,C′,D′. Chứng minh

rằng1

S A′+

1S C′

=1

S B′+

1S D′.

Bài 11.282 : Cho tứ diện ABCD và M là một điểm nằm miền trong tam giác BCD. Vẽ MB′ ∥ AB (B′ ∈ (ACD)); MC′ ∥ AC

(C′ ∈ (ABD)); MD′ ∥ AD (D′ ∈ (ABC)). Chứng minh rằng BM và AB′ cắt nhau trên CD vàVMACD

VBACD=

MB′

BA . Từ đó suy ra

MB′

BA+

MC′

CA+

MD′

DA= 1.

Bài 11.283 : Cho tứ diện ABCD cso điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng bằng r. Gọi hA, hB, hC, hD

lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B,C,D đến các cạnh đối diện. Chứng minh rằng

1r=

1hA+

1hB+

1hC+

1hD .

Bài 11.284 : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh S A vuông góc với đáy. Biết AB = a, BC = b, S A = c.

Hãy tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.285 : Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d′. Trên d lấy hai điểm A và B, trên d′ lấy hai điểm C và D sao cho AB = a,CD = c.

Biết góc giữa d và d′ bằng 60◦ và khoảng cách giữa d và d′ bằng h.

1. Tính thể tích tứ diện ABCD.

2. Giả sử BC vuông góc với CD và BC = b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài 11.286 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

1. Tính thể tích hình chóp M.AB′C.

2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).

Bài 11.287 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a; M,N lần lượt là trung điểm của AB và C′D′. Chứng minh rằng

A′MCN là hình thoi và tính khoảng cách từ B′ đến (A′MCN).

Bài 11.288 : Cho hình chóp S .ABC, đáy là tam giác đều cạnh a √

3, đường cao S A = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với S B tại H

cắt S C tại K. Tính S K và diện tích tam giác AHK.

Bài 11.289 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện BDC′B′ và suy ra khoảng cách từ B′

đến (BDC′).

Bài 11.290 : Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V; M,N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh AC, AD, BD sao choCMCA=

DNDA=

DPDB=

23

. Biết d(D, (MNP)) = h, tính diện tích tam giác MNP.

Bài 11.291 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD′. Tính khoảng cách giữa CK và A′D.

Bài 11.292 : Trong không gian, cho các điểm A, B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho

OA = a(a > 0),OB = a √

2,OC = c(c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC,

(P) là mặt phẳng đi qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.

1. Gọi E là giao điểm của (P) với đường thẳng OC, tính độ dài của đoạn thẳng OE.

2. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).

3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).


http

://ao

trang

tb.co

m


Ô Ô

11.7 Phân loại một số hình khối đa diện

11.7.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 11.293 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC = a. Biết AB = a, S A = a √

2

và S A⊥(ABCD).

1. Chứng minh các tam giác S BC và S DC là các tam giác vuông.

2. Kẻ AJ⊥S B, AH⊥S C. Chứng minh rằng : (JAH)⊥(S DC).

3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau : (S DC) và (ABCD) ; (S DC) và (S AD).

4. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AD và S B ; AD và S C.

Bài 11.294 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và S A = a. Gọi E

trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến BE.

Bài 11.295 : Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy

điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC) bằng 60◦. Tính độ dài đoạn thẳng S A theo a.

Bài 11.296 : Cho hình chóp O.ABC, với OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = a,OB = b,OC = c.

1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).

2. Chứng minh rằng tam giác ABC nhọn.

3. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt (OBC), (OCA), (OAB) với mặt (ABC). Chứng minh rằng cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Bài 11.297 (B06) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √

2, S A = a và S A vuông góc với mặt

phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và S C; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AC)

vuông góc với mặt phẳng (S MB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Bài 11.298 (D02) : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm.

Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).

Bài 11.299 (D06) : Cho hình chóp tam giác S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, S A = 2a và S A vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng S B và S C. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Bài 11.300 (D07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên S A vuông

góc với đáy và S A = a √

2. Gọi H là hình chiếu của A trên S B. Chứng minh rằng tam giác S CD vuông và tính theo a khoảng cách từ

H đến mặt phẳng (S CD).

Bài 11.301 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính

khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (S BC) theo a, biết rằng S A =a √

62

.

Bài 11.302 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với

các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng :

cos α + cos β + cos γ ≤√

3.

Bài 11.303 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy và S A = 2a.

Gọi M là trung điểm của S C. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Bài 11.304 : Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

2S ≥p

abc(a + b + c).

Bài 11.305 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh S A vuông góc với đáy, cạnh S B tạo

với mặt phẳng đáy một góc 60◦. Trên cạnh S A lấy điểm M sao cho AM =a √

32

. Mặt phẳng (BCM) cắt S D tại N. Tính thể tích khối

chóp S .BCNM.


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCÔBài 11.306 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦, S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), S A = a.

Gọi C′ là trung điểm của cạnh S C. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song song với BD, cắt các cạnh S B, S D của hình chóp lần lượt tại

B′,D′. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.

Bài 11.307 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, S A vuông góc với đáy. Cho AB = a, S A = a √

2. Gọi H và

K lần lượt là hình chiếu của A lên S B, S D. Chứng minh S C⊥(AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK.

Bài 11.308 : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H,K lầ lượt là hình

chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.

11.7.2 Hình chóp đều

ĐỊNH NGHĨA : Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (đường cao vuông góc với đáy tại tâm

đáy).

Chóp tứ giác thì chọn gốc tọa độ là tâm đáy ; chóp tam giác thì chọn gốc tọa độ là trung điểm M của BC (hình dưới) :

S

A

B C

D

O

x

y

z

S

A

B

C

MO

x

z

y

Câu hỏi : Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp ở trên, biết độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

Các yếu tố xác định hình chóp đều : biết cạnh dáy là a và

1. độ dài đường cao là h ;

2. độ dài cạnh bên bằng b, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

3. góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α, khi đó sẽ tính được chiều cao ;

4. góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β, khi đó sẽ tính được chiều cao.

Câu hỏi 1 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Hãy gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz như hình trên và tìm tọa độ

các đỉnh của hình chóp trong mỗi trường hợp sau :

1. Đường cao bằng a √

2 ;

2. Cạnh bên bằng a √

3 ;

3. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30◦ ;

4. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng23

.

Câu hỏi 2 : Hãy làm bài toán trên với giả thiết là hình chóp đều S .ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.

Chú ý : Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạch bằng nhau.

Bài 11.309 : Cho hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a = 6 √

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC.

Bài 11.310 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

Bài 11.311 (B07) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm

của S A, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai

đường thẳng MN và AC.


http

://ao

trang

tb.co

m


Ô

Bài 11.312 (A02) : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,N lần lượt là các trung điểm các

cạnh S B và S C. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (S BC).

Bài 11.313 (B04) : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦).

Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a và ϕ.

Bài 11.314 : Cho hình chóp đều S .ABC, đáy có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ, với (0◦ < ϕ < 90◦). Tính thể tích

khối chóp S .ABC và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.315 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi S H là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung

điểm I của S H đến mặt phẳng (S BC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.

Bài 11.316 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC,CAD,DAB đều bằng 60◦.

11.7.3 Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Giải sử mặt bên (S AB) vuông góc với đáy (AB là cạnh đáy và đáy có thể là tam giác hoặc tứ giác), ta có quy trình vẽ hình như sau :

Bước 1 : Vẽ đa giác đáy ;

Bước 2 : Vẽ đường S H của hình chóp, H ∈ AB. tùy thuộc vào tính chất của tam giác S AB mà ta có vị trí của H, chẳng hạn S AB là

tam giác cân tại S thì H là trung điểm của AB. Dựa vào các yếu tố có thể tính được chiều cao S H.

Bài 11.317 : Cho hình chóp S .ABC với tam giác S AB cân tại S , tam giác ABC vuông cân tại C và (S AB)⊥(ABC).

1. Kẻ S H⊥(ABC). Chứng minh H là trung điểm cạnh AB và CH⊥(S AB).

2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Chứng minh rằng :

(a) (S HM)⊥(S AC) và (S HN)⊥(ABC).

(b) Hai mặt bên (S AC) và (S BC) cùng tạo với đáy (ABC) hai góc bằng nhau.

(c) d(H, (S AC)) = d(H, (S BC)).

3. Gọi D là điểm đối xứng của C qua H. Chứng minh rằng S .ADBC là hình chóp tứ giác đều.

Bài 11.318 (A07) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy. Gọi M,N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối

tứ diện CMNP.

Bài 11.319 (B08) : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a √

3 và mặt phẳng (S AB) vuông

góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S .BMDN và tính cosin góc giữa hai

đường thẳng S M,DN.

Bài 11.320 : Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 90◦.

Xác định và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài 11.321 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √

3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông

góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.322 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = AB = a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD), tam giác S AB vuông. Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S .ABD.

Bài 11.323 : Đáy của một hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a và một góc nhọn bằng 60◦. Mặt bên chứa cạnh

huyền vuông góc với đáy, các mặt còn lại cùng hợp với đáy một góc α.

1. Tính thể tích khối chóp này.

2. Một mặt phẳng qua cạnh huyền của tam giác đáy và cắt cạnh đối diện tại trung điểm. Tính tỉ số thể tích hai phần của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng đó.

Bài 11.324 : Cho hình chóp S .ABC có bằng bên (S BC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (S AB) và (S AC) cùng lập với đáy góc 45◦,

đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và có AB = a đồng thời S BC là tam giác nhọn. Tính thể tích khối chóp.


http

://ao

trang

tb.co

m


Bài 11.325 : Cho hình chóp S .ABC có hai tam giác ABC và S BC là hai tam giác đều cạnh a và (S BC) vuông góc với đáy. Tính thể

tích khối chóp.

Bài 11.326 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H

là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC.

1. Chứng minh rằng : S H⊥(ABCD). Tính thể tích hình chóp S .ABCD.

2. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của S lên DM.

3. Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.

11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy

Nếu hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ vuông góc với đáy. Vì vậy ta cũng sẽ xác định được ngay

phương của đường cao.

Bài 11.327 : Cho hình chóp S .ABC, tam giác đáy ABC có AB = a, B = 45◦,C = 30◦, hai mặt bên (S AB) và (S AC) vuông góc với đáy

(ABC), S A =a √

62

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.

1. Chứng minh rằng : (S AH)⊥(S BC) và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S AC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).

Bài 11.328 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A và có trung tuyến AD = a. Hai mặt bên S AB và S AC vuông góc

với đáy. Cạnh bên S B hợp với đáy một góc α và hợp với mặt phẳng (S AD) một góc β.

1. Chứng minh rằng : S B2 = S A2

+ AD2 + BD2.


3. Tính khoảng cách từ A đến (S BC).

Bài 11.329 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi, góc nhọn A = α. Hai mặt bên (S AB) và (S AD) vuông góc với đáy và hai

mặt bên còn lại hợp với đáy góc β, biết S A = a.

1. Tính thể tích và diện tích xung quanh khối chóp.

2. Tính cosin góc giữa S B và mặt phẳng (S AC).

Ô ÔÔÔ

11.7.5 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau

Nếu các cạnh bên của hình chóp là bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì đường cao của hình chóp

sẽ đi qua tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

Bài 11.330 : Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC, biết S A = S B = S C = a, AS B = 60◦, BS C = 90◦,

CS A = 120◦.

Bài 11.331 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và

cùng bằng a √

2.


2. Gọi M,N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD, S C, S D. Chứng minh S N vuông góc với (MEF).

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S CD).

Bài 11.332 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, BAD = 60◦. Biết S O =3a4

và S O⊥(ABCD).

Gọi H và K lần lượt là trung điểm BC và BH.

1. Chứng minh rằng : (S OK)⊥(S BC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (ABCD).

Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 233

http

://ao

trang

tb.co

m


Ô3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC).

4. Cho (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 11.333 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với BAD = 60◦, các cạnh S A = S B = S D = a √

3.

1. Chứng minh tam giác S BC vuông ; 2. Tính khoảng cách giữa S C và AD.

ÔÔ

11.7.6 Hình hộp - Hình lăng trụ

Bài 11.334 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ với AB = a, BC = b,CC′ = c.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A′BD).

2. Tính khoảng cách từ điểm A′ tới đường thẳng C′D.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC′ và CD′.

Bài 11.335 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B,C và cạnh bên

AA′ tạo với mặt đáy góc 60◦.

1. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

2. Chứng minh mặt bên BCC′B′ là hình chữ nhật.

3. Tính diện tích xung quanh của khối lăng trụ đó.

Bài 11.336 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Trên các cạnh AA′, BC,C′D′ lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho

AM = CN = D′P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng (MNP) ∥ (ACD′) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Bài 11.337 (A03) : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (A′CD).

Bài 11.338 (D08) : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √

2. Gọi M là

trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C.

Bài 11.339 (A08) : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √

3 và

hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính

cosin của góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′.

Bài 11.340 (B03) : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60◦. Gọi M là trung

điểm cạnh AA′ và N là trung điểm cạnh CC′. Chứng minh rằng bốn điểm B′,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính độ dài cạnh

AA′ theo a để tứ giác B′MDN là hình vuông.

Bài 11.341 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM⊥B1C

và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.

Bài 11.342 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc BAC = 120◦, cạnh bên BB′ = a.

Gọi I là trung điểm CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).

Bài 11.343 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Tìm điểm M thuộc cạnh AA′ sao cho mặt phẳng (BD′M) cắt hình lập phương

theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

Bài 11.344 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a AA′ =a √

32

Ôvà góc BAD = 60◦. Gọi M,N lần lượt là

trung điểm các cạnh A′D′, A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 11.345 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có A′ABC là hình chóp đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA′ = b. Gọi α là góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (A′BC). Tính tan α và thể tích khối đa diện A′BB′C′C.

Bài 11.346 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC′ sao cho CK =2a3

. Mặt phẳng (α) đi

qua A,K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.


http

://ao

trang

tb.co

m

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌCÔ

Ô

Bài 11.347 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a √

5 và BAC = 120◦. Gọi M là trung điểm của cạnh

CC1. Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

Bài 11.348 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a √

2. Gọi M,N lần lượt là trung

điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1BC1.

Bài 11.349 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau làa √

22

.

1. Tính thể tích hình lập phương.

2. Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng (MB′D) cắt A′D′ tại N. Chứng minh rằng MN⊥C′D.

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và mặt phẳng (ABCD).

Bài 11.350 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C′ trên đáy (ABC) trùng với O. Biết

khoảng cách từ O đến CC′ bằng a. Gọi E là hình chiếu của A lên CC′ và góc AEB = 120◦.

1. Chứng minh mặt bên ABB′A′ là hình chữ nhật.

2. Tính thể tích lăng trụ.

3. Tính góc giữa mặt bên BCC′B′ và mặt đáy ABC.

Bài 11.351 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát từ đỉnh A tạo với nhau các góc

nhọn bằng nhau và cùng bằng α.

1. Chứng minh rằng hình chiếu H của A′ trên (ABCD) nằm trên đường chéo AC.

2. Tính thể tích hình hộp.

3. Tính góc của đường chéo CA′ và mặt đáy của hình hộp.

11.8 Bài tập tổng hợp

Bài 11.352 : Cho hình vuông ABCD và tam giác S AB đều cạnh a ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I, J,K lần lượt là

trung điểm các cạnh AB,CD, BC.

1. Chứng minh rằng S I⊥(ABCD).

2. Tính góc giữa S A, S B, S C và (ABCD).

3. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên S J. Chứng minh rằng IH⊥(S CD). Từ đó suy ra góc giữa S I và (S CD).

4. Chứng minh rằng S AD và S BC là các tam giác vuông. Tính khoảng cách từ I đến (S KD).

5. Chứng minh (S AD), (S BC) cùng vuông góc với (S AB). Tính góc giữa S C, S D và (S AB).

Bài 11.353 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F,G,H

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O. Chứng minh rằng

1. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. (S BC)⊥(S AB) và (S CD)⊥(S AD).

3. Nếu ABCD là hình vuông thì AH⊥(S BD) và H là trực tâm tam giác S BD.

4. Các điểm A, E, F,G đồng phẳng và (S AC)⊥(AEFG).

5. Tứ giác AEFG nội tiếp và−−→

S F.−−→

S E.vecS B =−−→

S C =−−→S G.−→S I.

6. Nếu ABCD là hình vuông thì hai đường chéo của tứ giác AEFG vuông góc với nhau.

Bài 11.354 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa S C

và (S AB) bằng 30◦. Gọi E, F,G,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O.


http

://ao

trang

tb.co

m


1. Tính góc giữa

(a) S B và (ABCD), (S AD), (S CD), (S AC), (AEFG).

(b) (S AB) và (S CD); (S AD) và (S BC); (S BC) và (S CD).

(c) (AEFG) và các mặt phẳng của hình chóp.

2. Tính khoảng cách theo a

(a) Từ A đến (S BC), (S CD), (S BD).

(b) Giữa BD và (AEFG).

(c) Giữa các cạnh đối diện của tứ diện S BCD.

3. Trên cạnh AB lấy một điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với AB cắt CD, S C, S B theo thứ

tự N, P,Q.

(a) Xác định hình dạng của thiết diện MNPQ. Tính theo a và x chu vi và diện tích của thiết diện đó.

(b) Gọi I là trung điểm của S C, J là hình chiếu vuông góc của I trên CM. Tìm tập hợp của J khi x biến thiên trong khoảng

(0; a).

Bài 11.355 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông có đường cao AD = a và AB ∥ CD, với AB = 2a, CD = a,

S A⊥(ABCD), S A = a √

2.

1. Tính khoảng cách

(a) Từ điểm A đến các mặt phẳng (S CD) và (S BC).

(b) Từ các điểm B,C,D đến các mặt phẳng của hình chóp không chứa nó.

(c) Từ CD đến (S AB); AB đến (S CD); DE đến (S BC) với E là trung điểm AB.

(d) Giữa S A và BC; S B và C; S D và AB; S D và BC; S C và AB; S C và AD.

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S CD).

3. Gọi M là điểm di động trên cạnh AD với AM = x (M không trùng với A và D). Mặt phẳng (Q) qua M song song với (S CD) cắt

BC, S B, S A theo thứ tự tại N, P,Q.

(a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ theo a và x.

(b) Tìm quỹ tích giao điểm I của MQ và NP khi M chạy trên AD.

Bài 11.356 : Trong mặt phẳng (α) cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng d vuông góc với (α) tại A lấy điểm

S . Gọi M là một điểm thuộc đường tròn tâm O; D, E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S M. Giả sử S A = R √

3, góc

giữa S M và (α) bằng 60◦. Tính

1. Góc giữa S A và (S BM); S B và (S AM); S M và (S AB); S M và (ADE).

2. Góc giữa (S BM) và (α); (S BM) và (S AB); (ADE) và (S AM).

3. Khoảng cách từ M đến (S AB); từ S đến (ADE); từ A đến (S BM). Khoảng cách giữa các cạnh đối nhau của hình tứ diện S ABM.

4. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I, đặt AI = x (0 < x < 2R). Mặt phẳng qua I vuông góc với AM cắt AM, S M, S B lần lượt tại

J,K, L. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện IJKL theo R, x. Tìm x để IJKL có diện tích lớn nhất.

Bài 11.357 : Cho ba nửa đường thẳng S x, S y, S z không đồng phẳng và vuông góc với nhau từng đôi một. Trên S x, S y, S z lần lượt lấy

các điểm A, B,C khác điểm S . Đặt S A = a, S B = b, S C = c. Gọi α, β, γ là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (S BC),

(S CA), (S AB). Lấy P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB. Gọi G,H,O, r lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua S . Chứng minh rằng

1. Các cặp đối của tứ diện S ABC vuông góc với nhau từng đôi một và cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.


http

://ao

trang

tb.co

m


2. S H⊥(ABC) và1

S H2=

1a2+

1b2+

1c2

.

3. S 2ABC = S 2S BC + S 2S AC + S 2S AB, S 2S BC = S HBC.S ABC.

4.√

3S ABC ≥ S S BC + S S CA + S S AB ≥92

S H2, (BC +CA + AB)2 ≤ 6(a2+ b2 + c2).

5. Tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn và a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C = 2S ABC.

Bài 11.358 : Hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, S O⊥(ABCD). Giả sử OB =a √

32

, S B = S D = a.Ô1. Chứng minh rằng tam giác S AC vuông tại S , S C⊥BD, (S AC)⊥(S BD).

2. Giả sử BDA = 60◦, S O =3a4

. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).

3. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (S BC).

4. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Tính diện tích

thiết diện này và góc giữa (α) và mặt phẳng (ABCD).

5. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của O trên (S CD) khi S di động trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD).

Bài 11.359 : Cho hình chóp tứ giác tứ đều S .ABCD, có AB = a, S A = a √

2. Qua điểm A dựng mặt phẳng (α) vuông góc với S C.

1. Dựng thiết diện tạo bởi (α)với hình chóp.

2. Mặt phẳng (α) chia khối chóp trên thành 2 phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu?

Bài 11.360 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tinh thể tích

khối chóp S .ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và S C bằng a.

Bài 11.361 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều và BCD là tam giác cân tại D. Cho biết AB = a,CD = a √

5, góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30◦. Tính khoảng cách giữa AD và BC.

Bài 11.362 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = 1,CC′ = m. Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng

60◦.

Bài 11.363 : Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AB Ô= AD = 1, AC = 2, BAC = ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Gọi H,K lần lượt là hình chiếu

vuông gó của B lên AC và CD. Đường thẳng HK cắt tia đối của tia AD tại E. Chứng minh BE⊥CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE.

Bài 11.364 : Cho hình chóp S .ABC có S C ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = a, AC = a √

3. Góc giữa 2 mặt phẳng

(S AC) và (S AB) bằng α với tan α =

É136

. Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a.

Bài 11.365 : Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O đều bằng 90◦. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 1 và tổng diện tích

các tam giác OAB, OBC, OCA bằng√

3. Tính thể tích khối tứ diện OABC.

Bài 11.366 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a √

2, CD = 2a, S A⊥(ABCD), S A = 3a √

2. Gọi K làÔtrung điểm của AB. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S KD) và tính thể tích khối chóp S .CDK.

Bài 11.367 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ =a √

32

và BAD

Ô

= 60◦. Gọi M và N lầ lượt là trung điểm

A′D′ và A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối đa diện ABDMN.

Bài 11.368 : Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A′C bằnga √

155

. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 11.369 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên S D vuông

góc với mặt phẳng (ABCD), S D = a √

3.

1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (S BC).

Bài 11.370 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 60◦, đường chéo BC′ của mặt bên

BB′C′C tạo với mặt bên (AA′C′C) một góc 30◦.


http

://ao

trang

tb.co

m


1. Tính thể tích khối tứ diện C′ABC.

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 11.371 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C ) tâm O đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy

điểm S sao cho OS = R √

3. I là điểm thuộc đoạn OS với S I =2R√

3. M là một điểm thuộc (b bC ) (M không trùng với A và B). H là hình

chiếu của I trên S M. Tìm vị trí của M trên (C ) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 11.372 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác nhọn và cân ở A, có AB = AC = a; B = C = α. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng

tạo với đáy một góc β (0◦ < β < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.373 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AA′ = a √

2 và A′B⊥B′C. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh

rằng A′B⊥B′M. Tính thể tích khối chóp A′.ABC.

Bài 11.374 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng BD⊥(S AC). Tìm x

theo a thể thể tích khối chóp S .ABCD bằnga3 √

26

.

Bài 11.375 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a √

2. M là điểm trên

AA′ sao cho−−→AM =

13−−→AA′. Tính thể tích khối tứ diện MA′BC′.

Bài 11.376 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và−−→S A.−−→S B =

−−→S B.−−→S C =

−−→S C.−−→S A =

a2

2 . Tính thể tích khối

Õ

chóp S .ABC theo a.

Bài 11.377 : Trong không gian cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với

mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mặt phẳng (S BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60◦. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện S ABC.

Bài 11.378 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (S BC) vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với

đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S .ABC.

Bài 11.379 : Hình chóp tứ giác đều S .ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt

bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?

Bài 11.380 : Co lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân với AB = AC = a, cạnh bên AA′ = a √

2. M là trung điểm

của A′B′. Dựng và tính diện tích của thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với BC′.

Bài 11.381 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC,CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD = a. Gọi C′,D′ lần lượt là

hình chiếu vuông góc của B trên AC và AD. Tính thể tích tứ diện ABC′D′.

Bài 11.382 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và S E = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, S C; M là điểm di động trên tia đối

của tia BA sao cho góc ECM = α (0◦ < α < 90◦) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ

theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.

Bài 11.383 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = a √

3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối

tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng S B và AC.

Bài 11.384 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M,N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP.

Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ sốAQAD

và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 11.385 : Cho hình chóp S .ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = S B = S C = a. Gọi N,M, E lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (S MN). Chứng minh

rằng AD vuông góc với S I và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBS I.

Bài 11.386 : Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy

tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.

Bài 11.387 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D có cạnh bằng a. K là giao điểm của AC′ và mặt phẳng (A′BD). Tính thể tích tứ

diện KCC′D′ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KC′D′).

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 238Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com

http

://ao

trang

tb.co

m

Chương 12

Mặt cầu và khối tròn xoay

12.1 Mặt cầu, khối cầu

�

Ô

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một

hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :

(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.

(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.

Chú ý :

1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung

trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.

2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.

Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC = 120◦ và đường cao AH = a √

2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại

A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.

1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính theo a độ dài AI, AJ.

3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.

4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.

5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.

Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′,C′,D′ lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng

1. Các điểm A, B′,C′,D′ đồng phẳng.

2. Bảy điểm A, B,C,D, B′,C′,D′ nằm trên một mặt cầu.

3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.

239

Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com

ltdh chuong11 decrypted

Documents