lqdï · pdf file . tdlels 7. tïøû\ y¥®vp 159-202 7.0...

$: LQdÏ · PDF file . TdLeLs 7. TÏØû\ Y¥®Vp 159-202 7.0 A±ØLm 159 7.1 ®¡Rf ãj§Wm 159 7.2 ØdúLôQj§u TWlT[Ü 169 7.3 úSodúLôÓLs 173$
LQdÏ

TjRôm YÏl×

RªrSôÓ AWÑ CXYN TôPèp YZeÏm

§hPj§u¸r ùY°«PlThPÕ (®tTû]dÏ Auß)

¾iPôûU JÚ TôYfùNVp

¾iPôûU JÚ ùTÚeÏt\m

¾iPôûU U²RjRuûUVt\ ùNVp

RªrSôhÓl TôPèp LZLm Lpí¬f NôûX, ùNuû] – 600 006

www.kalvisolai.com

© RªrSôÓ AWÑ ØRp T§l× – 2004 §Új§V T§l× – 2009

TôPèp ÏÝ

RûXYo

N. AkúRô¦Wôw CûQlúTWô£¬Vo (LQd¡Vp)

Uô¨XdLpí¬ (Ru]ôh£) RªrSôÓ AWÑ, ùNuû]-600 005.

úUXônYô[oLs

& èXô£¬VoLs

£. ReLúYÛ £. ReLúYÛ ØÕ¨ûXd LQd¡Vp ®¬ÜûWVô[o ØÕ¨ûXd LQd¡Vp ®¬ÜûWVô[o TfûNVlTu Lpí¬ UL°o ¡±jÕYdLpí¬ ùNuû]-600 030 ùNuû]-600 006

èXô£¬VoLs

L. úLô®kRu RûXûU B£¬Vo

AW£]o BiLs úUp¨ûXlTs° LôúY¬lTôdLm, úYío UôYhPm-632 508.

ùN. ùUo³ BgNXô Wô. Sm©dûL ù_VWôw ER®j RûXûUVô£¬ûV ØÕ¨ûXlThPRô¬ B£¬ûV (LQd¡Vp) ×²R WúTp ùTiLs úUp¨ûXlTs° ×²R Au]ôs ùTiLs úUp¨ûXl Ts° ùNuû]-600 004 CWôV×Wm, ùNuû]-600 013 L. ©fûNdLiÔ Å. cWôm ØÕ¨ûXlThPRô¬ B£¬Vo (LQd¡Vp) ThPRô¬ B£¬Vo (LQd¡Vp Gv.©.I.K.H. Uô§¬ úUp¨ûXlTs° T.ùN.L. AW£]o úUp¨ûXlTs° ùNuû]-600 101 úLôPmTôdLm, ùNuû]-600 024.

TôPeLs RVô¬l× : RªrSôÓ AWÑdLôL Ts°dLp® CVdLLm, RªrSôÓ

Ckèp 60 ´.Gv.Gm. Rô°p Af£PlThÓs[Õ.

®ûX ì. 46-.00 ùYl BlùNh Øû\«p Af£húPôo:

www.kalvisolai.com

ØuàûW

TpXô«Wm BiÓL[ôL Ck§Vd LQd¡VXô[oLs Øû]l×Pu êXØRXôL

Bt±V úNûYLÞdÏ Cuû\V LQd¡Vp ªLlùT¬V A[®p LPuTh¥Úd¡\Õ Guß Sôm Eß§ÙPu A±dûL®hPôp AÕ ªûLVôLôÕ. Ck§VoL[ôp ØRuØRXôLd LiÓ©¥dLlThP GiØû\Ls L¦R EXLj§u A¥jR[m GuT§p IVªpûX! £\kR LQd¡VXôo XôlXôv ùTôÚs ùR°ÜûPV ùNôtL°p “TjÕdÏ±ÂÓLs ùLôiP JÚ ùRôÏ§ûVl TVuTÓj§ JqùYôÚ GiûQÙm ùR°YôL ùY°lTÓjRØ¥Ùm Gu\ áoU§ÙûPV Øû\ Ck§Vô®p ùY°lThÓ ùY°úV±VÕ. RtLôXj§p CkR Øû\ ªL G°RôLd LôQlTÓYRôp CkR A¬V LiÓ©¥l©u R²f£\l×m, A±ÜYûL«p A[®PtL¬V Ød¡VjÕYØm TôWôhPlTÓY§pûX. L¦jRpLû[ G°RôdÏm Øû\«p LiÓ©¥dLlThP Aû]j§Ûm Gi LQd¡Vp Øu]¦ ØRuûUVôL ûYdLlTÓ¡\Õ CÚ ªLf£\kR ùRôpTZûUd LôXjÕ LQd¡VXôoLs Bod¡ª¼v, AlúTôúXô²VvdÏ CdLiÓ©¥l× AlTôÛdÏ AlTôp Guß JÚYo LÚÕmúTôÕ, CdLiÓ©¥l©u Ød¡VjÕYjûR EP]¥VôL U]UôWlTôWôhP Ø¥¡\Õ” Guß áß¡\ôo.

ªLlùT¬V A[Ü ùLôiP L¦jRpLû[ Es[Pd¡V Ck§Vd LQd¡Vp NôokR Yô²Vp BWônf£ ¡.Ø. êu\ôm B«WUôi¥p úUtùLôs[lThPÕ. CkRdLôXj§p LQd¡VÛm, Y¥®VÛm BWônf£Vô[oLÞdÏ SuÏ ùR¬k§ÚkRÕ. CR]ôp LQd¡Vp NôokR Yô²Vp BWônf£ BR¬dLlThÓ Y[okRÕ. LpV±Üs[YoLÞd¡ûPúV LQd¡Vp úRof£j§\ûULs £\kÕ ®[e¡VÕ GuTRtÏ, ÑUôo ¡.Ø. 2500-Cp ùRôPe¡ ¡.Ø. 1700 YûW A¯VôÕ §LrkR £kÕNUùY°lTiTôÓ Nôuß TLo¡\Õ. ¡.Ø. 1500-−ÚkÕ ¡.Ø. 800 YûW úYRLôX NUv¡ÚRj§p CVt\lThP úYReLs Ck§V Ui¦p AÓjÕ EÚYô] Ød¡VjÕYm ¨û\kR LQd¡VÛPu ùRôPo×TÓjRlTÓ¡\Õ. úYReL°p LôQlTÓm LpTãj§WeLs Y¥®Vp NôokR A±ûY ªLlùT¬V A[®p Es[Pd¡Ùs[]. AùU¬dLô®u JÚ ×LrùTt\ YWXôt\ô£¬Vo ®påWih (1885 – 1981) JÚ LÚjÕûWVôL “Ck§Vô Sm U²R C]j§tÏj RônSôPôL ®[e¡VÕ. NUv¡ÚRm IúWôlTô®u ùUô¯LÞdÏ RôVôL ®[e¡VÕ. Sm RjÕYOô]m Sm LQd¡V−u ùTÚmTÏ§, Sm LÚjÕdLs... Ru]ôh£, UdL[ôh£ úTôu\ûYLÞdÏj RôVôL ®[e¡VÕ! TX ùS±L°p Ck§V Auû] Sm Aû]YÚdÏm Auû]!” Guß áß¡\ôo.

CVtL¦Rj§u ÖhTØm, éf£Vj§u LÚjÕlT¥YØm Ck§Vô®p ©\l©dLlThPÕ Guß EXLm ØÝYÕØs[ LQd¡VXôoL[ôp ùTôÕYôL HtßdùLôs[lThÓ®hPÕ! ùRôuûUdLôX Ck§Vô®p úWLô-L¦Rô Gu\ûZdLlThP Y¥®V−u êXA¥lTûP A±Ü, Y¥Yôd¡ Øû\lTÓjRlThÓ, £tTdLûXûVf NôokR úRûYLÞdÏj §hPYûWTPeLû[ EÚYôdLl TVuThPÕ. TX úLô®pL°u LûXlTi×d áßL°p TVuTÓjRlThP Y¥®Vp GÓjÕdLôhÓ AûUl×L°p úWLô-L¦Rô LYof£ªdL Lôh£j ùRôÏlTôL ®[eÏ¡\Õ! AúW©V T§uØû\ CXdLUô]m Gu\ûZdLlTÓm L¦jRpL°u ÖhTm áP Ck§Vd LQd¡V−−ÚkÕ YÚ®jÕ EÚYôdLlThPÕ! CmØû\ûVl TVuTÓj§ Cuß ªÏ§Vô] A[®p L¦lùTô± ùUuùTôÚs §hPeLs AûUdLlTÓ¡u\]!

B£¬VoLÞdÏm UôQY-UôQ®VoLÞdÏm ùNVp úSôdLm A°jÕ, úSW¥j§¼o EQoÜj§\m Utßm áoU§ûVd LQd¡V−Pm AÔÏØû\VôLd ùLôiÓ A§Lm EûZjÕ CZkÕúTô] Sm Ck§V UWûT ÁhÏm ùTôÚhÓ, CkR è−p TôPl©¬ÜL°u ùRôPdLd Ï±l×L°p Ck§V LQd¡VXôoLs êXRô]UôLd Ï±l©PjRdL Øû\«p Bt±V úNûYL°u £\l×d áßLû[ GÓjÕf ùNôpX

www.kalvisolai.com

ØVt£d¡ú\ôm. YÏlTû\L°p UôQY-UôQ®VoLs U]dLQdÏLs ùNnV FdLlTÓjRlThP SôhLs Uû\kÕ úTô«]. UôQY-UôQ®VoLs ReLs ùNôkR Es[ôokR §\ûULs Utßm T«t£f NôUoj§VeLû[d LiÓ©¥jÕd ùLôiÓ LQdÏLû[j ¾oÜùNnV ØVt£lTÕ ClúTôÕ CpûX. Uô\ôL, ùTôÕjúRo®p èß ®ÝdLôÓ YôeL úYiÓm Gu\ JúW úSôdLjúRôÓ ¨ìTQeLû[Ùm ¾oÜLû[Ùm U]lTôPm ùNn¡u\]o. Cuß LQd¡Vp Lt©jRp - T«ÛRp Y¯Øû\ Uôt± AûUdLlTÓRp úYiÓm. LQd¡VXô£¬VoLs A¥lTûPd LÚjÕdLû[Ùm, LÚêXeLû[Ùm ªLjùR°ÜPu UôQY - UôQ®VoL°u U]j§p ®ûRjÕ, JÚ£X ALjçiÓRp, ùNVpúSôdLU°jRp Yô«XôL UôQY-UôQ®VoL°u LQd¡Vp - U§dáoûUûV EÚYôdÏY§p B£¬Vo ¡¬VôFd¡ úTôXf ùNVpTP úYiÓm. ØVuß ùTtßd ùLôiP A±Ü, §PUô] ¾oUô]m, AdLû\, BoYm CYtßPu, ReLs ùNôkRj §\ûUL°uúUp ØÝSm©dûL ûYjÕs[Õ. C[ûU Bt\ûX BdLéoYUô] Utßm EûZl× ùNVp§\ªdL Øû\«p Y¯SPj§, Y−kÕ G§oùLôiÓ úTôWô¥l TôPè−p Es[ Aû]jÕd LQdÏLû[Ùm ¾oÜ ùNnVúYi¥V ùTôßl× UôQY-UôQ®VoLû[f NôokRÕ.

UôQY-UôQ®VoLs B£¬V BRWÜ NôWôUp LQdÏLû[j ¾oÜ ùNnÙmúTôÕ LQd¡Vp Gu\ Y]j§p Õ¦fNpªdL ÅW-ÅWôeLû]L[ôL ÖûZkÕ, TX G§ol×Lû[ G§oùLôiÓ úTôWôÓ¡u\]o GuTûR IVj§tÏ CPªu± Eß§lTÓjÕ¡ú\ôm. úUÛm AYoLs JqùYôÚ LQdûLÙm ¾oÜ ùNnÙmúTôÕ, LYof£ÙhTÓjÕm AàTYjûR ªÏkR L°l×Pàm ùUnU\kR U¡rf£ÙPàm YÚ®jÕ EÚYôdÏ¡u\]o. Lp®V±Üs[ JqùYôÚYÚm GkR YôrdûLjÕû\«Ûm ºÚm £\l×Pu ®[eL SpX L¦RlT«t£j §\ûUÙm TÏlTônÜ U]lTôuûUÙm ùLôi¥ÚdL úYiÓm GuTûR ¨û]®p ùLôs[ úYiÓm.

CkR è−p YZeLlThÓs[ RûXl×Ls Aû]jÕm, TôPj§hPj§u YûWfNhPj§tÏs, TjRôm YÏl× UôQY-UôQ®VoL°u úSôdL GpûXdÏs, ùR°Ü, SpX ®[dLm, G°Rô] Øû\ Utßm êû[«p Yôe¡d ùLôsÞm Bt\ÛdÏhThÓ, ×¬kÕ ùLôsÞm §\u YûL«p ØÝûUVôLd ûLVô[lThÓs[]. UôQY-UôQ®VoLs T«t£j§\ûULû[ ØVuß ùTtßd ùLôs[Üm TpúYß YûLLs ùLôiP LQdÏLû[ ¾oÜ ùNnVÜm ER®Óm ùTôÚhÓ A§L Gi¦dûL«p ¾oÜ ùNnÕ LôhPlThÓs[].

UôQY-UôQ®VoLs úRoÜdÏj RVôo ùNnÙmúTôÕ RuU§lÀÓl T«t£L°p RWlThP LQdÏLû[j ¾oÜ ùNnY§p UhÓm ReLs LY]jûR EhTÓj§d ùLôs[dáPôÕ. TôPè−−ÚkÕ CVt\lTÓm Aû]jÕ úLs®LÞdÏm LQdÏLÞdÏm ®ûPV°dLdá¥V YûL«p RVô¬l×Pu CÚdL úYiÓm.

©ûZ«pXôl TôPèûX YZeÏYRtLôL SôeLs GÓjÕdùLôiP Aû]jÕ ØVt£LÞdÏm Uô\ôL, JÚ £X ©ûZLs CPm ùT\Xôm. RVÜPu GeLû[l ùTôßjÕd ùLôsÞeLs. Aû]jÕl ©ûZLÞm N¬ùNnVlTÓm Guß Eß§V°dLlTÓ¡\Õ.

GpXôm YpX Cû\YàdÏ Su±ÙPu Ck§VdLQd¡V−u UW×, EVoRW UW×¬ûULs, Ru ØRuûU CûYLû[ ¨û]®p ¨ßj§lúTôt±l TôWôh¥d ùLôiÓ, EeLs Aû]YÚdÏm LQd¡Vp TôPjúRôÓ JÚ CuTlùTôÝÕ úTôdLô] ®û[Vôh¥ ®Úm© Yôrj§dùLôsÞm

N. AkúRô¦Wôw £. ReLúYÛ ©.−v³ Hu_−]ô L. úLô®kRu ùN. ùUo³ý BgNXô Wô. Sm©dûL ù_VWôwL. ©fûNdLiÔ Å. cWôm

www.kalvisolai.com

ùTôÚ[PdLm TdLeLs

1. Gi¦Vp 1-23

1.0 A±ØLm 1 1.1 ùRôPo Y¬ûNLs 1 1.2 ùRôPo ùRôÏl× 13

2. A[®Vp 24-38

2.0 A±ØLm 34 2.1 L] A[ÜLÞm ×\lTWl×LÞm 26

2.2 Uô\ô L] A[ÜLs 33 3. LQ®Vp 39-50

3.0 A±ØLm 39 3.1 LQeLs 39

4. CVtL¦Rm 51-100

4.0 A±ØLm 51 4.1 JÚeLûUf NUuTôÓLs 52 4.2 TpÛßl×d úLôûYLs 59 4.3 Á.ùTô.Y. Utßm Á.ùTô.U. 68 4.4 ®¡RØß úLôûYLs 74 4.5 YodLêXm 80 4.6 CÚT¥f NUuTôÓLs 84

5. TVuTôhÓd L¦Rm 101-118

5.0 A±ØLm 101 5.1 úS¬V §hPªPp 101 5.2 YûXVûUl×j §hPªPp 112

6. Y¥®Vp 119-158

6.0 A±ØLm 119 6.1 ¨VUlTôûR 119 6.2 YhPeLs 121 6.3 YhPj§às AûUkR úLôQeLs 126 6.4 YhPeLÞm ùRôÓúLôÓLÞm 132 6.5 Y¥ùYôjR ØdúLôQeLs 138

www.kalvisolai.com

TdLeLs 7. TÏØû\ Y¥®Vp 159-202

7.0 A±ØLm 159 7.1 ®¡Rf ãj§Wm 159 7.2 ØdúLôQj§u TWlT[Ü 169 7.3 úSodúLôÓLs 173 7.4 úSodúLôÓL°u £X Ti×Ls 190

8. ØdúLôQ®Vp 203-217

8.0 A±ØLm 203 8.1 ØdúLôQ®Vp AhPYûQûVl TVuTÓjÕRp 204 8.2 EVWeLÞm çWeLÞm 208

9. ùNnØû\ Y¥®Vp 218-232

9.0 A±ØLm 218 9.1 YhPSôtLWm YûWRp 219 9.2 ØdúLôQeLs YûWRp 226 9.3 YhPeLÞdÏ ùRôÓúLôÓLs YûWRp 229

10. ×s°«Vp 233-258

10.0 A±ØLm 233 10.1 TWÜRp 233 10.2 ¨LrRLÜ 246

11. YûWTPeLs 259-270

11.0 A±ØLm 259 11.1 CÚT¥ Yû[YûWL°u YûWTPeLs 259 11.2 £X £\l× YûWTPeLs 268

©túNodûL 271 ØdúLôQ®Vp AhPYûQLs 276

www.kalvisolai.com

1

1. Gi¦Vp 1.0 A±ØLm úYRLôXm ØRtùLôiúP Ck§VoLs GiLû[Ùm ©u]eLû[Ùm TVuTÓj§]o. AYoLs ®¡RØ\ô GiLû[Ùm TVuTÓj§]o. ¡úWdLoLs ®¡RØ\ô GiLû[ GiL[ôLúY LÚR®pûX. B]ôp Ck§VoLs GpXô GiLû[Ùm Ju\ôLúY Tô®jR]o. CÕ, AYoLs éf£VjûRd LiÓ©¥dLÜm, Ïû\ GiLû[ EÚYôdLÜm, ‘Ø¥®−’-«u êXdLÚjûR EÚYôdLÜm ER®VôL CÚkRÕ. ùYt±Pj§tÏ ‘0’ Ï±ÂÓ ùLôÓdLlThÓ ‘ãuVm’ G]Üm ùTV¬PlThPÕ. Ck§VoL°u Ï±l©PjRdL NôRû] RNU©u]eLû[ EÚYôd¡VúR. úTWWNo AúNôLo LôXj§tÏ Øu©ÚkúR Ck§VoLs 1-−ÚkÕ 9-YûW GiLû[l TVuTÓj§ YkR]o. lWmUÏlRo (598-665 ¡.©.) Rôu ØRu ØR−p Ïû\ùViLû[ A±ØLlTÓj§VYo. AYo LPuLû[d Ï±dL Ïû\ùViLû[l TVuTÓj§]ôo. A¥lTûPf ùNV−L[ô] +, –, ×, ÷ B¡VYt±tÏ ®§Lû[j RkRôo. ¡.©. 766-p AúW©Vd L¦R A±OoL[ôp 0, 1, 2, ..., 9 Gu\ Ck§V GiLs TôdRôjÕdÏd ùLôiÓ ùNpXlThP]. EúWôUô²V¬u ÏZlTUô] GiùRôÏ§ûV®P Ck§V GiùRôÏ§ ªLf £\kRRôL CÚkRRôp IúWôl©V YojRLoLs EúWôûUl úTWWN¬u BûQûVl ×\dL¦jÕ®hÓ Ck§V GiùRôÏ§ûV HtßdùLôiP]o. L¦R EX¡tÏ, Ck§Vô®u ªLf£\kR L¦RúUûRVôLl úTôt\lTÓm c¨YôN CWôUôà_²u TeL°l× ªLf£\lTô]Õ. Ï±lTôL Gi¦V−p AYWÕ TeL°l× EX¡úX DÓCûQVt\Õm R²f£\l×ûPVÕm BÏm. CWôUôà_²u ×LrùTt\ úSôhÓl×jRLeL°Ûs[ L¦RjúRt\eLÞm, ®û[ÜLÞm L¦R BWônf£Vô[oLû[ UhÓªu±, Ts° UôQYoL°u Es[eLYoY]YôLÜm BoYjûRj çiÓY]YôLÜm Es[]. CWôUôà_¬u úSôhÓl×jRLeL°Ûs[ AYWÕ BWônf£d Ï±l×Ls ùTo]ô− GiLs, ùRôPo ©u]eLs, ®¬ùRôPoLs, Ø¥®− ùRôPoLs, TÏØû\ Gi¦Vp G] TXYtû\ Es[Pd¡VûY. Ts°lTÚYj§p AYûW ØR−p CuTlùTôÝÕúTôd¡p Brj§V UôVNÕWeL°−ÚkÕ AYWÕ BWônf£d Ï±l×Ls ÕYe¡].

2.0 ùRôPo Y¬ûNLs ØkûRV YÏl×L°p ¸Ýs[ Gi Th¥VpLû[l Tt± SuL±k§ÚlÀoLs. 1, 2, 3, 4, 5, ... 1, 3, 5, 7, 9, ... 1, 8, 27, 64, 125, ... úUtLôÔm Øû\«p JÚ Ï±l©hP ºWô] AûUl×s[ Gi Y¬ûNLs ùRôPo Y¬ûNLs G]lTÓm. ØRp Eßl×, CWiPôYÕ Eßl×, êu\ôYÕ Eßl× G] GiLû[ Y¬ûNlTÓjÕm AûUl× ùRôPo Y¬ûNVôÏm. 2,3,5,8, ... Gu\ GiLû[ GÓjÕd ùLôsúYôm. CeÏ, GiLs Juû\ùVôuß ùRôPÚm Øû\ JÚ YûWVßdLlThP ®§Vôp ¾oUô²dLlTÓ¡\Õ. CkR ®§ AÓjÕ YÚm GiLû[d

www.kalvisolai.com

2

LôQ ERÜ¡\Õ. CÕúTôu\ Gi AûUl×, ùRôPo Y¬ûN G]lTÓm. ¸rdLiPYôß Øû\VôL JÚ ùRôPo Y¬ûNûV YûWVßdLXôm. HúRàm JÚ ®§lT¥ JqùYôÚ ªûLØÝ ‘n’-EPu JúWùVôÚ Gi an-I ùRôPo×lTÓj§d ¡ûPdÏm a1, a2, a3, … an Gu\ Y¬ûNlTÓjRlThP GiLs JÚ ùRôPoY¬ûNûV YûWVßd¡\Õ. ùRôPo Y¬ûN«Ûs[ GiLû[ ARu Eßl×Ls Gu¡ú\ôm. ùRôPoY¬ûN«p ‘n’-YÕ Eßl× an ùTôÕ Eßl× G]lTÓm. JqùYôÚ EßlûTÙm ¾oUô²dÏm ®§ ùR°YôÏm YûW ØRp £X Eßl×Lû[l Th¥VpTÓjÕYRu êXúUô ApXÕ ‘n’-YÕ Eßl©u ãj§WjûR GÝÕYRu êXúUô JÚ ùRôPo Y¬ûNûV ®Y¬dLXôm. GÓjÕdLôhPôL Jtû\ GiL°u ùRôPo Y¬ûN 1, 3, 5, 7, 9, ... I an = 2n – 1, n = 1, 2, 3, 4,... G] GÝRXôm.

ùRôPo Y¬ûN 1, 8, 27, 64, 125,..I an = n3, n = 1, 2, 3, 4, ...G] ®Y¬dLXôm.

GÓjÕdLôhÓ 1: n

n n

( 1)a2−

= G²p AjùRôPo Y¬ûNûVd Lôi.

¾oÜ : 1

1 1

( 1) 1a22

−= = − ,

2 3

2 32 3

( 1) 1 ( 1) 1a , a4 82 2

− −= = = = −

∴ 1 1 1 1 1, , , , ,...2 4 8 16 32

− − − GuTÕ úLhLlThP ùRôPo Y¬ûNVôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 2: a1 = 1, a2 = 1, an = an–1 + an–2 , n > 2 G] JÚ ùRôPo Y¬ûN YûWVßdLlThPôp AjùRôPo Y¬ûNûVd LôiL. ¾oÜ : a1 = 1, a2 = 1 an = an–1 + an–2 , n > 2 a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2 a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 ∴ 1, 1, 2, 3, 5,... GuTÕ úLhLlThP ùRôPo Y¬ûNVôÏm. ØVuß Tôo

I. ùLôÓdLlThP ùTôÕ EßlûT EûPV ùRôPo Y¬ûN«p ØRp SôuÏ Eßl×Lû[d LôiL.

1) n3 – 1 2) 3n 15− 3)

n1 ( 1)n

+ − 4) 2n2 – 3n+1 5) (–1)n 2n

II. ùLôÓdLlThP ùRôPo Y¬ûN«p Ï±l©PlThÓs[ Eßl×Lû[d LôiL.

1) a12, a15 ; an = 5n – 4, 2) a7 ; an n 22n 3++

3) a3 ; an = n(n 1)2+

4) a10 ; an = 5 + 2 (n – 1) 5) a5 if an = (–1)n n

www.kalvisolai.com

3

1.1.1 áhÓjùRôPo Y¬ûN (A.P) CkRl TôPlTÏ§«p JÚ Ï±l©hP YûL ùRôPoY¬ûNûVl Tt± TôolúTôm. C§p ØRp EßlûTj R®W Ut\ Eßl×Ls JqùYôußm JÚ §hPUô] Øû\«p ùRôPo¡u\]. GÓjÕdLôhPôL 2, 5, 8, 11, 14... Gu\ ùRôPo Y¬ûN«p ØRp EßlûTj R®W JqùYôÚ Eßl×m Øu]ôp Es[ Eßl×Pu 3-Id áhÓYRôp ¡ûPd¡\Õ. CjùRôPoY¬ûNûV áhÓjùRôPo Y¬ûN Gu¡ú\ôm. GiL°u ùRôPo Y¬ûN«p ØRp GiûQj R®W Ut\ JqùYôÚ Eßl×m JÚ Ï±l©hP GiûQ ARu Øu² EPu áhÓYRôp ùT\lThPôp AkR Gi ùRôPo áhÓjùRôPo Y¬ûN G]lTÓm. áhPlTÓm Ï±l©hP Gi ùTôÕ ®j§VôNm G]lTÓm. GÓjÕdLôhPôL 1, 2, 3, 4,... GuTÕ ùTôÕ ®j§VôNm 1 Es[ JÚ áhÓjùRôPo 5, 7, 9, 11,... GuTÕ ùTôÕ ®j§VôNm 2 Es[ JÚ áhÓjùRôPo

1 1 3, , , 1 ,...4 2 4

GuTÕ ùTôÕ ®j§VôNm 14 Es[ JÚ áhÓjùRôPo

102, 97, 92, 87,... GuTÕ ùTôÕ ®j§VôNm –5 Es[ JÚ áhÓjùRôPo áhÓj ùRôP¬u ùTôÕ Y¥Ym : a, a + d, a + 2d,... CeÏ a GuTÕ ØRp Eßl×, d GuTÕ ùTôÕ ®j§VôNm. áhÓjùRôP¬u ùTôÕ Eßl× (ApXÕ) ‘n’-Bm Eßl× nt = a+(n -1)d áhÓjùRôP¬u Ti×Ls

1. áhÓjùRôP¬u JqùYôÚ Eßl×Pàm JÚ Uô±−ûVd áh¥]ôÛm, L¯jRôÛm AjùRôPo Y¬ûN, áhÓjùRôPo Y¬ûNVôLúY AûUÙm.

GÓjÕdLôhPôL 9, 13, 17, 21, 25,... Gu\ áhÓjùRôP¬u ùTôÕ ®j§VôNm = 4. C§p JqùYôÚ Eßl×Pàm êuû\d áh¥]ôp ¡ûPdÏm ùRôPo Y¬ûN. 12, 16, 20, 24, 28, ... CÕÜm ®j§VôNm 4-BLd ùLôiP áhÓjùRôPo

Y¬ûNVôÏm.

áhÓjùRôPo Y¬ûN«u JqùYôÚ Eßl×Pàm 2-Id L¯jRôp ùT\lTÓm ùRôPo Y¬ûN 7, 11, 15, 19, 23,... CÕÜm 4I ùTôÕ ®j§VôNUôLd ùLôiP áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm..

2. áhÓjùRôP¬u JqùYôÚ EßlûTÙm éf£VUt\ Uô±−Vôp ùTÚd¡]ôÛm,

YÏjRôÛm AjùRôPo Y¬ûN, áhÓjùRôPo Y¬ûNVôLúY AûUÙm. GÓjÕdLôhPôL: 2, 4, 6, 8,... GuTÕ JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN, CRu ùTôÕ

®j§VôNm 2 CkR áhÓjùRôP¬u JqùYôÚ EßlûTÙm 5-Bp ùTÚd¡]ôp ¡ûPdÏm

ùRôPo Y¬ûN 10, 20, 30, 40, ... CÕÜm JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN. CRu ùTôÕ ®j§VôNm 10. ùLôÓdLlThP áhÓjùRôPûW 2Bp YÏjRôp ¡ûPdÏm ùRôPo Y¬ûN 1, 2, 3, 4,… CÕÜm ùTôÕ ®j§VôNm 1 EûPV áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm.

www.kalvisolai.com

4

GÓjÕdLôhÓ 3: 10, 4, –2, –8, … Gu\ ùRôPo Y¬ûN JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûNVô? ¾oÜ : ùLôÓdLlThÓs[ ùRôP¬p 4 – 10 = –2 – 4 = –8 – (–2) = – 6 ùTôÕ ®j§VôNm –6. BLúY CjùRôPo JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm. GÓjÕdLôhÓ 4: an = 2n2 + 1 G]d Ï±l©PlTÓm ùRôPoY¬ûN, JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûNVô?

¾oÜ: an = 2n2 + 1 a1 = 2(1)2 + 1 = 3, a2 = 2(2)2 + 1 = 9 a3 = 2(3)2 + 1 = 19, a4 = 2(4)2 + 1 = 33 ùRôPo Y¬ûN 3, 9, 19, 33, ... CeÏ 9 – 3 = 6 19 – 9 = 10 33 – 19 = 14 CeÏ®j§VôNm ùYqúY\ôL Es[]. ∴ùLôÓdLlThP ùRôPo Y¬ûN JÚ áhÓj ùRôPo ApX.

GÓjÕdLôhÓ 5: 1, 4, 7, ... Gu\ áhÓjùRôPo Y¬ûN«u ùTôÕ ®j§VôNm Utßm AÓjR 3 Eßll×Lû[d LôiL. ¾oÜ : ùTôÕ ®j§VôNm = 4 – 1 = 3 AÓjR êuß Eßl×Ls 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, 13 + 3 = 16 GÓjÕdLôhÓ 6: 6, 1, –4... Gu\ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p 12-BYÕ EßlûTd LôiL. ¾oÜ: a, a + d, a + 2d, ... Gu\ Y¥®p áhÓjùRôPo Y¬ûNûV GÓjÕd ùLôsL. CeÏ a = 6, d = 1 – 6 = –5, n = 12 tn = a + (n–1) d t12 = 6 + (12 – 1) (–5) = 6 + 11 x (–5) = 6 – 55 = – 49 ∴ 12-BYÕ Eßl×–49 GÓjÕdLôhÓ 7: JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p 7-BYÕ Eßl×–15, 16-YÕ Eßl× 30 G²p AkR áhÓjùRôPo Y¬ûNûVd LôiL. ¾oÜ: a, a + d, a + 2d,... Gu\ Y¥®p áhÓjùRôPûW GÓjÕd ùLôsúYôm. t7 = a + 6d = –15 t16 = a + 15d = 30 t16–t7 ⇒ 9d = 45, d = 5 d = 5 G] t7-p ©W§«P a + 30 = –15, a = –45 ∴ áhÓjùRôPo Y¬ûN –45, –40, –35...

www.kalvisolai.com

5

GÓjÕdLôhÓ 8: a = 3, d = 7 G]dùLôiP áhÓj ùRôPo Y¬ûNûVÙm ARu ùTôÕ EßlûTÙm LôiL. ¾oÜ: áhÓjùRôPo Y¬ûN a, a + d, a + 2d GuL. ∴ úLhLlThP áhÓjùRôPo 3, 3 + 7, 3 + 14, … ApXÕ 3, 10, 17… ùTôÕ Eßl× tn = a (n – 1)d = 3 + (n – 1) 7 = 7n – 4

GÓjÕdLôhÓ 9: JÚ ùRôPo Y¬ûN«u nm Eßl× 7n – 3 G²p AÕ JÚ áhÓj ùRôPo G] ¨ì©. úUÛm ØRp EßlûTÙm ùTôÕ ®j§VôNjûRÙm LôiL. ¾oÜ: tn = 7n – 3 t1 = 7 – 3 = 4 t2 = 14 – 3 = 11 t3 = 21 – 3 = 18 t4 = 28 – 3 = 25 ∴ 4, 11, 18, 25, ... GuTÕ ùRôPo Y¬ûNVôÏm. ØRp Eßl× 4, ùTôÕó ®j§VôNm = 11 – 4 = 18 – 11 = 25 – 18 = 7 ∴ ùLôÓdLlThP ùRôPo Y¬ûN JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm. ARu ùTôÕ ®j§VôNm = 7

GÓjÕdLôhÓ 10: JÚ AÛYXL ER®Vô[¬u A¥lTûPf NmT[m 3200 – 85 – 4900, G] ¨oQ«dLlThÓs[Õ. GlúTôÕ AYo A§LThN NmT[jûRl ùTßYôo? ¾oÜ: F§V ®¡Rm : 3200 – 85 – 4900 ùRôPdL NmT[m = ì.3200 = a, Bi¥u F§V EVoÜ = ì. 85 = d

A§LThN F§Vm = ì.4900 = tn tn = a + (n – 1) d ⇒ 4900 = 3200 + (n–1) 85

1700n 185

− = = 20, n = 20 + 1= 21

AÛYXL F¯Vo R]Õ T¦ LôXj§u 21YÕ YÚPj§p A§LThN F§VjûRl ùTßYôo. GÓjÕdLôhÓ 11: JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p 3, 38-tÏ CûPúV AûUkR SôuÏ GiLû[d LôiL. ¾oÜ: a, a + d, a + 2d, ... Gu\ Y¥®p áhÓjùRôPo Y¬ûNûV GÓjÕd ùLôsúYôm. CeÏ a = 3, ; a + 5d = 38 ⇒ 5d = 35, ⇒ d = 7 ∴ áhÓjùRôPo Y¬ûN 3, 10, 17, 24, 31, 38... ∴ 3-dÏm 38-dÏm CûP«Ûs[ SôuÏ GiLs 10, 17, 24, 31 GÓjÕdLôhÓ 12: JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«u, IkRôYÕ Eßl©u IkÕ UPeÏm, GhPôYÕ Eßl©u GhÓ UPeÏm NUm G²p 13-BYÕ Eßl× éf£Vm G]dLôhÓL. ¾oÜ: : 5t5 = 8t8 (ùLôÓdLlThÓs[Õ) 5(a + 4d) = 8 (a + 7d) 3a + 36d = 0 ⇒ a + 12d = 0 ∴ t13 = a + 12d = 0

www.kalvisolai.com

6

GÓjÕdLôhÓ 13: 20-Id áhÓjùRôP¬p AûUkR 4 TôLeL[ôL GqYôß ©¬jRôp ØRp Utßm SôuLôYÕ TôLj§u ùTÚdÏjùRôûLÙm, CWiPôm Utßm êu\ôYÕ TôLj§u ùTÚdÏj ùRôûLÙm 2: 3 Gu\ ®¡Rj§p AûUÙm? ¾oÜ: 20-I SôuÏ TôLUôL a – 3d, a – d, a + d, a + 3d Guß áhÓjùRôPo Y¬ûN«p GÓjÕd ùLôsúYôm. ⇒ (a – 3d) + (a – d) + (a + d) + (a + 3d) = 20 ⇒ 4a = 20 ⇒ a = 5

ØRp Utßm SôuLôm TôLj§u ùTÚdÏjùRôûL

CWiPôm Utßm êu\ôm TôLj§u ùTÚdÏjùRôûL =

(a − 3d) (a + 3d)(a − d) (a + d) =

23

⇒ 2 2

2 2

a 9d 23a d

−=

−

⇒ 3(25 – 9d2) = 2(25 – d2) ⇒ 25d2 = 25 ⇒ d = + 1 a = 5, d = 1 G²p, 4 TôLeLs 2, 4, 6, 8 a = 5, d = –1 G²p, 4 TôLeLs 8, 6, 4, 2 GÓjÕdLôhÓ 14: áhÓjùRôPo Y¬ûN«p êuß GiL°u áhÓjùRôûL 21, AYt±u ùTÚdÏjùRôûL 280 G²p AkR GiLû[d LôiL. ¾oÜ: áhÓjùRôP¬p êuß GiLû[ a – d, a, a + d G] GÓjÕd ùLôs[Üm. GiL°u áhÓjùRôûL = a – d + a + a + d = 21 ⇒ 3a = 21 ⇒ a = 7 GiL°u ùTÚdÏj ùRôûL = (a – d) a (a + d) = 280 ⇒ (a2 – d2) a = 280 (49 –d2) 7 = 280, 49 – d2 = 40, d2 = 9 ⇒ d = + 3 ∴ AkR GiLs a – d = 7 – 3 = 4, a = 7, a + d = 10 ∴ GiLs 4, 7, 10 Ï±l× : d = –3 G²àm AúR GiLsRôu ¡ûPdÏm. GÓjÕdLôhÓ 15 : JÚ ØdúLôQj§u úLôQ A[ÜLs áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[]. A§p ùT¬V úLôQj§u A[Ü Ut\ CÚ úLôQ A[ÜL°u áÓRÛdÏf NUm G²p úLôQeLû[d LôiL. ¾oÜ: ØdúLôQj§u úLôQeLs a – d, a, a + d G] GÓjÕd ùLôsúYôm. ⇒ a – d + a + a + d = 180o ⇒ 3a = 180o ⇒ a = 60o úUÛm a + d = a – d + a ⇒ 2d = a, 2d = 60o ∴ d = 30o a – d = 60 – 30 = 30o, a = 60o, a + d = 60 + 30 = 90o ∴ ØdúLôQj§u úLôQeLs 30o, 60o, 90o GÓjÕdLôhÓ 16: 60dÏm 600dÏm CûPúV 9-Bp YÏTÓm ØÝdL°u Gi¦dûL VôÕ? ¾oÜ: 60-dÏm 600-dÏm 9-Bp YÏTÓm ØRp Gi 63. 600dÏ Ïû\Yô] 9-Bp YÏTÓm LûP£ Gi 594. ùRôPo Y¬ûN 63, 72, 81, ... 594 JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN

www.kalvisolai.com

7

CeÏ a = 63, d = 72 – 63 = 9 tn = 594 ⇒ a + (n –1)d = 594 ⇒ 63 + (n–1) 9 = 594 ⇒ (n–1) 9 = 594 – 63 = 531 ⇒ n – 1 = 59 ⇒ n = 60 ∴ 60dÏm 600dÏm CûP«p 9-Bp YÏTÓm 60 ØÝdLs Es[].

GÓjÕdLôhÓ 17: a, b, c GuT] áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G²p

(a–c)2 = 4(b2 – ac) G]d LôhÓ ¾oÜ: a, b, c GuTÕ áhÓjùRôPo Y¬ûN ⇒ b – a = c – b = ùTôÕ ®j§VôNm ⇒ 2b = a + c ⇒ 4b2 = a2 + 2ac + c2 ⇒ 4b2 – 4ac = a2 – 2ac + c2 ⇒ 4(b2 – ac) = (a – c)2 GÓjÕdLôhÓ 18: a2, b2, c2 GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p AûUkRôp

1 1 1, ,b c c a a b+ + +

GuT]Üm áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G] ¨ßÜL.

¾oÜ: a2, b2, c2 GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm. ⇒ b2 – a2 = c2 – b2 = ùTôÕ ®j§VôNm

⇒ (b – a) (b + a) = (c – b) (c + b) ⇒ (b + c – c – a) (b + a) = (c + a – a – b) (c + b) ⇒ [(b + c) – (c + a)] (b + a) = [(c + a) – (a + b)] (c + b) CÚTdLØm (b +c) (c + a) (a + b)Bp YÏdL

1 1 1 1 1 1 1, ,c a b c a b c a b c c a a b

− = − ⇒+ + + + + + +

GuT] áhÓjùRôPo

Y¬ûN«p AûUÙm.

GÓjÕdLôhÓ 19: ax = by = cz Utßm b2 = ac G²p 1 1 1, ,x y z

GuT] áhÓjùRôPo

Y¬ûN«p Es[] G] ¨ßÜL. ¾oÜ: ax = by = cz = k GuL.

11 1yx za k , b k , c k⇒ = = =

b2 = ac ⇒ 21 1 1

y x zk k .k⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 2 1 1y x z 2 1 1k k

y x z+

= ⇒ = +

1 1 1, ,x y z

⇒ GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[].

www.kalvisolai.com

8

T«t£ 1.1.1 1. ©uYÚY]Ytßs GûYd áhÓjùRôPo Y¬ûNVôÏm? a) 11/3, 13/3, 15/3, 17/3, ... b) 0, –3, –6, –9, ... c) 12, 32, 52, 72, … d) 5, 5, 5, 5, ... e) a, a + 2, a + 4, a + 6, ... 2. ©uYÚm áhÓjùRôPo Y¬ûN«p ùTôÕ ®j§VôNm LôiL. a) 3, 1, –1, –3, ... b) 1.0, 1.7, 2.4, 3.1, ... c) 0, 1/4, 1/2, 3/4, ... d) 7, 4, 1, –2, ... e) tn = 4n + 5 3. ©uYÚm áhÓjùRôPo Y¬ûN JqùYôu±Ûm AÓjR êuß Eßl×Lû[

GÝÕL. a) 14, 11, 8, ... b) 6, 4.5, 3, ... c) 22, 29, 36, ... d) 1, 1½, 2, ... e) –1, –5/6, –2/3, ... 4. ùLôÓdLlThP ®YWeLÞûPV áhÓjùRôPoLû[d LôiL a) a = –5, d = 6 b) a = 3½, d = 1½ c) a = p, d = q d) a = 0.7, d = 0.02 e) tn = 3n – 2 5. ©uYÚY]Yt±p úRûYVô] EßlûTd LôiL. a) 40, 43, 46, ...u 15-BYÕ Eßl× b) 10, 10.5, 11, ...u 10-BYÕ Eßl× c) a = 3/5, d = 2/5 G²p 9-Bm Eßl× d) a = 18, d = –4 G²p 20-BYÕ Eßl× e) tn = 4n + 5 G²p 7-Bm Eßl× 6. a) JÚ áhÓjùRôP¬p t7 = 45, t9 = 57 G²p, ØRp Eßl× Utßm ùTôÕ

®j§VôNjûRd LôiL. b) JÚ áhÓj ùRôP¬p êu\ôYÕ Eßl× 14, 9-BYÕ Eßl× 52 G²p

30-Bm EßlûTd LôiL. c) JÚ áhÓjùRôP¬p a = –3, d = 3 Utßm Eßl×L°u Gi¦dûL 21 G²p

AjùRôPo Y¬ûN«u SÓ EßlûTd LôiL. d) JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p 24-Bm Eßl× 10Bm EßlûT úTôp CWiÓ

UPeÏ Utßm 6Bm Eßl× 10 G²p ØRp êuß Eßl×Lû[d LôiL. e) áhÓjùRôP¬p 10-BYÕ Eßl©u 10 UPeÏm, 15-BYÕ Eßl©u 15

UPeÏm NUm G²p AjùRôP¬p 25-BYÕ Eßl× éf£Vm G] ¨ßÜL.

7. a) 21, 42, 63, ... Gu\ áhÓjùRôP¬p 420 GjRû]VôYÕ Eßl× BÏm? b) áhÓjùRôP¬p a = 5, d = 3 G²p 320 GjRû]VôYÕ Eßl× BÏm? c) –1, –5/6, –2/3, ... 10/3 Gu\ áhÓj ùRôP¬p GjRû] Eßl×Ls Es[]? d) 7, 10, 13, ... Gu\ áhÓjùRôP¬p 68 Ko Eßl× BÏUô? e) 6-Bp YÏTÓm CWiÓ CXdL GiLs GjRû]? 8. JÚ áhÓjùRôP¬p êuß GiL°u áhÓjùRôûL 9, AYt±u ùTÚdLp TXu

− 48 G²p AkR GiLs VôûY? 9. JÚ áhÓjùRôP¬p AûUkR 4 GiL°u áÓRp 50 úUÛm ªLlùT¬V Gi,

ªLf£±V GiûQ®P SôuÏ UPeÏ ùT¬VÕ G²p, AkR GiLs VôûY?

10. JÚ SôtLWj§u úLôQeLs áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[]. úUÛm ARu

ùTôÕ ®j§VôNm 10o G²p úLôQeLû[d LôiL.

www.kalvisolai.com

9

11. áhÓjùRôPo Y¬ûN«p AûUkR êuß GiL°u áÓRp 12. úUÛm AYt±u YodLeL°u áÓRp 56 G²p AkR GiLû[d LôiL.

12. b c a c a b a b c, ,a b c

+ − + − + − GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G²p

1 1 1, ,a b c

-Ùm áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G] ¨ßÜL.

13. a, b, c GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G²p (ab)–1, (bc)–1, (ca)–1 GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p Es[] G] ¨ßÜL.

1.1.2 ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ ùRôPo Y¬ûNûV Etß úSôdÏeLs. a) 2, 4, 8, 16, ... b) 100, 20, 4, 4/5, ... c) 3, 32, 33, 34, ... d) 4, –2, 1, –1/2, ... CûY áhÓjùRôPoLs ApX. CÚl©àm Eßl×Ls JÚ ®§dÏ EhThÓ CPmùTtßs[].

a)Cp 32 4

1 2 3

tt t2

t t t= = = b)Cp 32 4

1 2 3

tt t 1t t t 5

= = =

c)Cp 32

1 2

tt3

t t= = , d )Cp 32

1 2

tt 1t t 2

= =

G]Üm Lôi¡ú\ôm. CkR ùRôPo Y¬ûN«p ØRp EßlûTj R®W JqùYôÚ Eßl×m ARu Øu²ûV JúW LôW¦Vôp ùTÚdÏYRôp ¡ûPd¡\Õ. CÕúTôu\ ùRôPoY¬ûNûV ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN Gu¡ú\ôm. AkR Uô±− LôW¦ûV ùTôÕ ®¡Rm Gu¡ú\ôm. ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN«u ùTôÕ Y¥Ym a, ar, ar2, ar3, ... , a ≠ 0 ùTôÕ ®¡Rmr ≠ 0

ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«u n-Bm Eßl× tn = arn–1 Ï±l×: JÚ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«p JqùYôÚ EßlûTÙm JúW éf£VUt\

Uô±−Vôp ùTÚdL ApXÕ YÏdL ¡ûPdÏm ùRôPÚm, JÚ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûNúV.

GÓjÕdLôhÓ 20: 64, 16, 4... Gu\ ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN«p 5-BYÕ EßlûTd LôiL.

¾oÜ: a = 64, r = 16 164 4

= , n = 5

tn = arn–1, t5 = ar5–1 = ar4

t5 = 64 41 64 1

4 256 4⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ClùTÚdÏj ùRôP¬u 5-BYÕ Eßl× 14

www.kalvisolai.com

10

GÓjÕdLôhÓ 21: JÚ ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN«p 6-YÕ, 10-BYÕ Eßl×Ls Øû\úV 63, 5103 G²p AlùTÚdÏjùRôPo Y¬ûNûV LôiL. ¾oÜ: t6 = 63, t10 = 5103

9

4105

6

t ar 5103 r 81 r 3t 63ar

= = ⇒ = ∴ = ±

r = 3 G] t6-p ©W§«P

5 63 7a(3) 63 a243 27

= ⇒ = =

r = –3 G²p a = 727−

BÏm.

∴ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN 727 ,

2127 ,

6327 , .... (ApXÕ)

− 727 ,

2127 ,

− 6327 , ...

GÓjÕdLôhÓ 22: JÚ ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN«p AûUkR êuß GiL°u áÓRp 14 úUÛm ùTÚdLp TXu 64 G²p AkR êuß GiLû[d LôiL. ¾oÜ: êuß GiLs a/r, a, ar GuL. ùTÚdLp TXu = a/r × a × ar = 64 ⇒ a3 = 64, ∴ a = 4

áÓRp = a/r + a + ar = 14, 1a 1 r 14r

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

21 r r4 14 2(1 r r ) 7rr

⎛ ⎞+ += ⇒ + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 2r2 – 5r + 2 = 0, ∴ r = ½ ApXÕ 2 r = 2 G²p, GiLs 2, 4, 8 BÏm. r = 1/2 G²p, GiLs 8, 4, 2 BÏm. GÓjÕdLôhÓ 23: JÚ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«p êuß GiL°u áÓRp 7, AYt±u RûX¸¯L°u áÓRp 7/4 G²p, AkR êuß GiLû[d LôiL. ¾oÜ: ùTÚdÏj ùRôP¬p êuß GiLs a, ar, ar2 GuL. GiL°u áÓRp = a + ar + ar2 = 7, a (1 + r + r2) = 7 (1)

GiL°u RûX¸¯L°u áÓRp = 2

2 2

1 1 1 7 1 r ra ar 4ar ar

+ ++ + = = (2)

(1)I (2)-Bp YÏjRôp (ar)2 = 4, ar = + 2 ⇒ a = + 2/r a = 2/r G] (1)-p ©W§«P 2/r (1 + r + r2) = 7 ⇒ 2 (1 + r + r2) = 7r ⇒ 2r2 – 5r + 2 = 0 ⇒ r = 1/2 or 2 r = ½ G²p a = 4. ∴ Amêuß GiLs 4, 2, 1 r = 2 G²p a = 1 ∴ Amêuß GiLs 1, 2, 4

GÓjÕdLôhÓ 24: JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u n-Bm Eßl× 2n 123

−

G²p ØRp êuß

Eßl×Lû[Ùm Utßm 10BYÕ EßlûTÙm LôiL.

www.kalvisolai.com

11

¾oÜ: 2n 1 2(1) 1

n 12 2 2t , t

3 3 3

− −

= = =

4 1 6 1

2 32 8 2 32t , t

3 3 3 3

− −

= = = =

∴ 8 / 32a , r 43 2 / 3

= = =

ØRp êuß Eßl×Ls 2 8 32, ,3 3 3

9 910

2t ar (4)3

= = ∴ TjRôYÕ Eßl× 19

182 2(2)3 3

=

GÓjÕdLôhÓ 25: JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u ØRp CWiÓ GiL°u áÓRp 2 ØRp SôuÏ GiL°u áÓRp 20 G²p AlùTÚdÏj ùRôPûWd LôiL. ¾oÜ: a, ar, ar2 Gu\ ùTÚdÏj ùRôPûW GÓjÕd ùLôsúYôm. a + ar = 2, a(1 + r) = 2 (1) a + ar + ar2 + ar3 = 20 ⇒ a (1 + r) (1 + r2) = 20 (2) (1)I (2)p ©W§«P 2(1 + r2) = 20 ⇒ 1 + r2 = 10 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = + 3 r = + 3 G] (1)p ©W§«P r = 3 G²p a = 1/2 r = – 3 G²p a = –1

∴ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN 12 ,

32 ,

92 ,

272 , .... (ApXÕ) –1, 3, –9, 27, ...

T«t£ 1.1.2 1. ©uYÚY]Ytßs GûY ùTÚdÏjùRôPo ApX? a) 2, 4, 8, 16,... b) 12, 22, 32, 42, ... c) 1, –1, 1, –1, ... d) 5, 55, 555, 5555,... 2. ©uYÚm ùTÚdÏj ùRôPoL°u ùTÚdÏ ®¡Rm Lôi. a) 25, –5, 1, –1/5, ... b) 1, –5/2, 25/4, –125/8, …

c) 0.2, 0.06, 0.018, 0.0054 d) 2/5, 6/25, 18/125, 54/625, … 3. a) 1, ½, ¼, … Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p HZôYÕ EßlûTd LôiL.

b) 3,6, 12,… Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p t8 = ? c) 9, 3, 1, … Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p t7 = ? d) 2/5, 8/25, 32/125,… Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p t9 = ? 4. a) JÚ ùTÚdÏjùRôP¬u êu\ôm, IkRôm Eßl×Ls Øû\úV 4/3, 16/27 G²p

AkRj ùRôPûWd LôiL. b) JÚ ùTÚdÏjùRôP¬p êu\ôm, HZôm Eßl×Ls Øû\úV 16, 1 G²p

AjùRôPûW GÝÕ.

www.kalvisolai.com

12

c) JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬p 5BYÕ Eßl× 4/9, 7-BYÕ Eßl× 16/81 G²p 10-BYÕ Eßl× VôÕ?

d) JÚ ùRôP¬u 4-BYÕ Eßl× 27, 7-BYÕ Eßl× 729, G²p ØRp EßlûTÙm,. ùTÚdÏ ®¡RjûRÙm LôiL.

5. a) ùTÚdÏj ùRôP¬p AûUkR 3 GiL°u áÓRp 163

; ùTÚdLtTXu 8 G²p

AkR GiLû[d Lôi. b) ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«p AûUkR êuß GiL°u áÓRp 26, ùTÚdÏj

ùRôûL 216 G²p AkR êuß GiLû[d LôiL.

c) JÚ ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«p êuß GiL°u ùTÚdÏj ùRôûL 216 CWi¥WiÓ GiL[ôL GÓdLlThP ú_ô¥L°u ùTÚdÏjùRôûL«u áÓRp 156 G²p AkR GiLû[d LôiL.

d) JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u ØRp CWiÓ GiL°u áÓRp –1, úUÛm ØRp SôuÏ GiL°u áÓRp –5 G²p AlùTÚdÏj ùRôPûWd LôiL.

6. JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u êuß GiL°u áÓRp 19/3 úUÛm AYt±u RûX¸¯L°u áÓRp 19/12 G²p AkR êuß GiLû[d LôiL.

7. JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u ØRp êuß GiL°u áÓRp 7, úUÛm ARu YodLeL°u áÓRp 21 G²p ØRp IkÕ GiLû[d LôiL.

8. JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u ØRp Eßl× 64, ùTÚdÏ ®¡Rm r. ØRp Utßm SôuLôm Eßl×L°u NWôN¬ 140 G²p r-u U§lûTd LôiL.

9. JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u CWiPôm Eßl× b, ùTÚdÏ ®¡Rm r. ØRp êuß GiL°u ùTÚdLp TXu 64 G²p b-«u U§lûTd LôiL.

10. 1, 4, 16, … 4096 Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p GjRû] Eßl×Ls Es[]? 11. 2-tÏm, 18-tÏªûPúVÙs[ a, b, c Gu\ GiL°u áÓRp 25 Utßm a, b

GuTûY JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«Ûm b, c, 18 GuTûY ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«Ûm AûUkRôp a, b, c Gu\ GiLû[d LôiL.

12. 4 GiLs ùLôiP ùRôÏl©p ØRp êuß GiLs ùTÚdÏj ùRôPo Y¬ûN«Ûm LûP£ êuß GiLs ùTôÕ ®j§VôNm 6 ùLôiP áhÓjùRôPo Y¬ûN«Ûm AûUkÕs[]. ØRp Gi SôuLôm Gi¦tÏ NUm G²p AkR 4 GiLû[d LôiL.

13. a, b, c, d GuTûY ùTÚdÏj ùRôP¬p AûUkRôp a + b, b + c, c + d GuTûYÙm ùTÚdÏjùRôP¬p AûUÙm G] ¨ßÜ.

14. a1, a2, a3, … JÚ ùTÚdÏj ùRôPo (ai > 0) G²p log a1, log a2, log a3, …. JÚ áhÓjùRôPo G] ¨ßÜL.

1.2 ùRôPo ùRôÏl× JÚ ùRôPo Y¬ûN«Ûs[ Eßl×Ls + Gu\ Ï±«]ôp CûQdLlTh¥ÚkRôp AjùRôPo Y¬ûN ùRôPo ùRôÏl× G]lTÓm. a1 + a2 + a3 + … an + … GuTÕ JÚ Ø¥Ü\ô ùRôPo ùRôÏl×. JÚ ùRôPo ùRôÏlûTd Ï±dL Σ an Gu\ Ï±ÂÓ TVuTÓjRlTÓ¡\Õ.

www.kalvisolai.com

13

1.2.1 JÚ áhÓj ùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRp a, a + d, a + 2d, …, a+(n–1) d Gu\ áhÓjùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRûX Sn GuL. Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n–1)d] (1) CûR G§o Y¬ûN«p GÝR. Sn = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + …. + a (2) Adding (1) and (2) 2Sn = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + …. + [2a + (n – 1)d] = n [2a + (n – 1) d]

nnS = [2a + (n-1)d]2

∴

nnS = [a +a+(n-1)d]2

, Sn = n2 [a + l]

CeÏ l = tn = a + (n – 1) d = LûP£ Eßl× GÓjÕdLôhÓ 26: 3, 8, 13… Gu\ áhÓjùRôP¬u ØRp 11 Eßl×L°u áÓRp LôiL. ¾oÜ: 3, 8, 13, …. JÚ áhÓjùRôPo

a = 3, d = 8 – 3 = 5, n = 11, nnS [2a (n 1)d]2

= + −

11 [(2 3) (11 1)5]2

= × + − 11 [6 50]2

= + 11 562

= × = 308

∴ áhÓjùRôP¬u ØRp 11 Eßl×L°u áÓRp 308. GÓjÕdLôhÓ 27: 3 + 11 + 19 + … + 787-Cu áÓRp Lôi. ¾oÜ: 3 + 11 + 19 + … + 787 GuTÕ JÚ áhÓjùRôPo. a = 3, d = 8, tn = 787 = l tn = a + (n – 1) d = 787 3 + (n – 1) 8 = 787

∴ n 787 3 18−

= + = 99

Sn = n2 [a + l] = 99 [3 787]

2+ = 99 x 790 39105

2=

S99 =39105.

GÓjÕdLôhÓ 28: 300dÏm 500dÏm CûPúV 11Bp Á§«u± YÏTÓm Aû]jÕ CVp GiL°u áPRp LôiL. ¾oÜ: 300-I ®Pl ùT¬VÕm, 11Bp Á§«u± YÏTPdá¥VÕUô] ØRp Gi 308. 500-I ®Pf £±VÕm, 11Bp Á§«u± YÏTPdá¥VÕUô] LûP£ Gi 495. ∴ 308 + 319 + … + 495 Gu\ ùRôÏl©p a = 308, d = 11, l = 495, tn = a + (n – 1)d = 495

www.kalvisolai.com

14

308 + (n – 1) 11 = 495 ∴ n = 495 308 111−

+ = 18

∴ Sn = n2 [a + l]

S18 = [ ]18 308 4952

+ = 7227

GÓjÕdLôhÓ 29: JÚ áhÓjùRôP¬u nYÕ Eßl× an = 5 – 6 n G²p AkR áhÓj ùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRp LôiL. ¾oÜ: áhÓjùRôP¬u ùTôÕ Eßl× an = 5 – 6 n; a1 = 5 – 6(1) = –1 a2 = 5 – 6(2) = –7; a3 = 5 – 6(3) = –13 ∴ –1, –7, – 13 … Gu\ áhÓjùRôP¬u ùTôÕ ®j§VôNm–6 a = –1, l = 5 – 6 n

Sn = n2 [a + l] = n [4 6n]

2− = n[2–3n] = 2n – 3n2

GÓjÕdLôhÓ 30: JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p ØRp 7 Eßl×L°u áÓRp 10, AÓjR 7 Eßl×L°u áÓRp 17 G²p, AkR áhÓjùRôPûWd Lôi. ¾oÜ: : S7 = 10, S14 = 10 + 17 = 27

S7 = 10 ⇒ 7 [2a 6d] 102

+ = ⇒ a + 3d = 107

(1)

S14 = 27 ⇒ 14 [2a 13d] 272

+ = ⇒ 2a + 13d = 277

(2)

(1) & (2)Ùm ¾odL, a = 1, d = 1/7 ∴úLhLlThP áhÓjùRôPo 1, 8/7, 9/7, 10/7, …. GÓjÕdLôhÓ 31: 3, 7, 11, … Gu\ áhÓjùRôP¬p ØRp £X Eßl×L°u áÓRp 1275 ùTßYRtÏ GjRû] Eßl×Ls úRûY?

¾oÜ: a = 3, d = 4, Sn = 1275, n [2a (n 1)d] 12752

+ − =

n [6 (n 1)4] 12752

+ − = , n [3 + (n–1)2] = 1275

⇒ 2n2 + n – 1275 = 0 ⇒ (2n + 51) (n – 25) = 0 ⇒ n = 25 ∴ áÓRp 1275 ùTßYRtÏ 25 Eßl×Ls úRûYlTÓm.

GÓjÕdLôhÓ 32: i) JÚ L¥LôWm JqùYôÚ U¦dÏm ùTôÚjRUô] Øû\ A¥dÏUô]ôp, AÕ JÚ Sôû[dÏ GjRû] Øû\ A¥dÏm? (ii) JqùYôÚ AûW U¦ úSWj§tÏm JÚØû\ A¥dÏUô]ôp AÕ JÚ Sô°p GjRû] Øû\ A¥dÏm? ¾oÜ: i) JqùYôÚ U¦ úSWj§tÏm L¥LôWm A¥dÏm Øû\ JÚ áhÓjùRôPûW

AûUdÏm. AkRd áhÓj ùRôPo 1,2,3 … 12

www.kalvisolai.com

15

Sn = n2 [a + l] =

12 [1 12] 782

+ =

JqùYôÚ U¦ úSWj§tÏm Ï±l©hP Øû\ A¥dÏm ùTôÝÕ JÚ Sô°p ùUôjRm A¥dÏm Øû\ = 2 × 78 = 156 ii) AûW U¦dùLôÚ Øû\Ùm A¥dÏmùTôÝÕ JÚ Sô°p ùUôjRm

A¥dÏm Øû\ = 156 + 24 = 180. GÓjÕdLôhÓ 33: JÚ CVk§Wj§u U§l× ì. 5,00,000/–. ØRp YÚPm 15% , CWiPôYÕ YÚPm 13½%, êu\ôYÕ YÚPm 12% G] ARu úRnUô]m LQd¡PlTÓ¡\Õ. úRnUô] NRÅRm APdL®ûX«u ÁÕ LQd¡PlTÓmùTôÝÕ 10 YÚPeLs L¯jÕ CVk§Wj§u U§l× VôÕ? ¾oÜ: AÓjRÓjR BiÓL°u úRnUô] NRÅRm JÚ áhÓjùRôPûW AûUdÏm. ∴ ùUôjR úRnUô]m = 15 + 13½ + 12 + … 10 Eßl×Ls YûW. a = 15, d = – 1.5

nnS [2a (n 1)d]2

= + −

1010S [30 13.5]2

= − in % = 82.5%

10 YÚPm L¯jÕ, CVk§Wj§u U§l× = 100 – 82.5 = 17.5% CVk§Wj§u APdL ®ûX = ì. 5,00,000

∴ 10 YÚPm L¯jÕ, CVk§Wj§u U§l× = ì. 5,00,000 × 17.5100

= ì. 87,500

GÓjÕdLôhÓ 34: JÚ Ts° ®û[VôhÓ ®Zô®p Y¬ûN«p ûYdLlThP TkÕLû[l ùTôßd¡ GÓjÕ Ju\ôL úNolTÕ JÚ úTôh¥VôL CÚkRÕ. JqùYôÚ TkÕdÏªûPúV 3Á CûPùY° CÚdÏUôß TkÕLs JÚ Y¬ûN«p ûYdLlTh¥ÚkR]. ùRôPdL ¨ûX«−ÚkÕ 3 Á CûPùY° CÚdÏUôß 20 TkÕLs JÚ Y¬ûN«p ûYdLlTh¥ÚkR]. ùRôPdL ¨ûX«−ÚkÕ 3Á CûPùY°«p ØRp TkÕ ûYdLlTh¥ÚkRôp, JqùYôu\ôL 20 TkÕLû[Ùm ùRôPdL CPj§Ûs[ áûP«p úNodL, JÚ UôQYu ùRôPdL ¨ûX«−ÚkÕ ùUôjRm GqY[Ü çWm K¥ YWúYiÓm? ¾oÜ: JqùYôÚ TkRôL GÓdL UôQYu KÓm çWm 3, 6, 9, … Gu\ JÚ áhÓj ùRôPWôL AûUÙm. JqùYôÚ çWØm CÚØû\ KPlTÓ¡\Õ. ùUôjR çWm = 2(3 + 6 + 9 … G] 20 Eßl×Ls)

= 2. Sn = n2 [2a (n 1)d]2

× + − = 202 [2(3) (20 1)3]2

× + − = 20 × 63 = 1260 Á.

ùRôPdL ¨ûXdÏ GpXô TkÕLû[Ùm ùLôiÓYW 1260 Á. K¥YWúYiÓm. GÓjÕdLôhÓ 35: ØRp Eßl× a BLÜm, 2Bm Eßl× b BLÜm LûP£ Eßl× c

BLÜm ùLôiP áhÓjùRôP¬u áÓRp (a c) (b c 2a)

2(b a)+ + −

−dÏf NUm G] ¨ßÜ.

¾oÜ: t1 = a, t2 = b ⇒ ùTôÕ ®j§VôNm = b – a, LûP£ Eßl× × l = c

⇒ a + (n – 1)d = c ⇒ a + (n – 1) (b – a) = c ⇒ n – 1 = c − al − a

www.kalvisolai.com

16

⇒ n = c a b c 2a1b a b a− + −

+ =− −

∴ Sn = n2 [a + l]

n [a c]2

= + = (b c 2a) (a c)

2(b a)+ −

+−

T«t£ 1.2.1 1. ©uYÚY]Yt±tÏ áhÓlTXu LôiL:

a) 17 + 19 + 21 + … Eßl×Ls YûW b) 3 14 + 5

12 + 7

34 + ... + 23 Eßl×Ls YûW

c) 7 + 3 + (–1) + (–5) + … 15 Eßl×Ls YûW d) 4 + 9 + 14 + … + 199 e) 2 + 3.5 + 5 + 6.5 + … + 38

2. a) 200dÏm 400dÏm CûPúV 13-Bp Á§«u± YÏTÓm Aû]jÕ GiL°u áhÓlTXu Lôi.

b) 400dÏm 600dÏm CûPúV Es[ 9-u UPeÏL[ô] Aû]jÕ GiL°u áhÓlTXu LôiL.

c) 100-dÏm 300-dÏm CûPúV 5-Bp YÏTP CVXôR Aû]jÕ GiL°u áhÓlTXu LôiL.

d) 500dÏm 700dÏm CûPúV Es[ 6u UPeÏL°u áhÓlTXu LôiL. e) 0dÏm 1000dÏm CûPlThP Jtû\ GiL°u áhÓlTXu LôiL.

3. JÚ áhÓjùRôPo Y¬ûN«p S25 = 1175. LûP£ Eßl× 83 G²p ØRp EßlûTÙm ùTôÕ ®j§VôNjûRÙm Lôi.

4. JÚ áhÓjùRôP¬u ØRp Eßl× 12 ØRp 15 Eßl×L°u áÓRp 390 G²p ARu SÓ Eßl× VôÕ?

5. ØRp 11 Eßl×L°u áÓRp 44. ARu AÓjR 11 Eßl×L°ýu áÓRp 55 G²p AkR áhÓjùRôPûWd LôiL.

6. JÚ áhÓj ùRôP¬u t24 = 47 S24 = 576 G²p ùTôÕ ®j§VôNjûRÙm ØRp 12

Eßl×L°u áÓRûXÙm LôiL.

7. 18, 16, 14, … Gu\ áhÓj ùRôP¬u áhÓlTXu éf£Vm G²p Eßl×L°u Gi¦dûL Gu]?

8. 25, 22, 19, … Gu\ áhÓjùRôP¬p Eßl×L°u áÓRp 116 G²p, LûP£ Eßl× VôÕ?

9. JÚ áhÓjùRôP¬u nYÕ Eßl× 6–n G²p, 15 Eßl×L°u áÓRp LôiL.

10. 100 + 99 + 88 …Gu\ áhÓj ùRôP¬p áÓRp 1155 ¡ûPdÏUôß CûP«−ÚkÕ 30 AÓjRÓjR Eßl×Ls GÓdLlTÓ¡u\] G²p GÓdLlThP GiL°p ØRp Gi VôÕ?

11. JÚYo 10 BiÓL°p úNojR ùUôjR ùRôûL 16,500/– ØRp YÚPj§tÏl ©\Ï JqùYôÚ BiÓm ØkûRV BiûP ®P ì. 100 A§LUôL úNªjRôp ØRp YÚP úNªl× ùRôûLûVd LQd¡ÓL.

12. 50 Á BZj§tÏ ¡Qß úRôiP, ØRp ÁhPÚdÏ ì. 4/– ùNXYô¡\Õ. AÓjÕ YÚm JqùYôÚ ÁhPÚdÏm ì. 2/– A§L¬jÕd ùLôiúP úTô]ôp, ØÝ ¡Qßm úRôiP BÏm ùNXÜ Gu]?

www.kalvisolai.com

17

1.2.2 JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRp a, ar, ar2, …. Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRûXd Ï±lTÕ Sn

GuL. Sn = a + ar + ar2 + …. + arn–1 (1) CÚ×\Øm rBp ùTÚdL, r. Sn = ar + ar2 + ar3 + … + arn (2) (2) – (1) ⇒ r. Sn – Sn = arn – a, Sn (r – 1) = a(rn – 1)

r > 1 G²p n

na (r 1)S

r 1−

=−

ApXÕ r < 1 G²p n

na(1 r )S

1 r−

=−

G²p

ApXÕ r = 1 G²p Sn = na r < 1 G²p GÓjÕdLôhPôL r = ½ GuL. r2 = ¼, r3 = 1/8, …, rn = 1/2n GuTÕ ªLf£±VÕ. úUÛm n ùT¬VRôL CÚdÏm úTôÕ rn 0 ARôYÕ r < 1 ⇒ n ∞ GàmúTôÕ rn 0.

G]úY, Ø¥Ü\ô ùTÚdÏjùRôPo ùRôÏl©u áÓRp aS

1 r∞ =−

.

GÓjÕdLôhÓ 36: 1 1 3 3 ...3+ + + + Gu\ ùRôÏl©p n Eßl×L°u áÓRp

LôiL.

¾oÜ: 1 1a , r 3 113

3= = = >

n

na(r 1)S

r 1−

∴ =−

=

13 ( )3

n − 1

3 − 1 =

3n

− 13 − 3

GÓjÕdLôhÓ 37: 2, 4, 8, … Gu\ ùTÚdÏjùRôP¬p 8 Eßl×L°u áÓRp Lôi. ¾oÜ: a = 2, r = 4/2 = 2 > 1, n = 8

n

na(r 1)S

r 1−

∴ =−

, 8

82(2 1)S

2 1−

=−

= 2 (256 – 1) = 2 × 255 = 510

GÓjÕdLôhÓ 38: 54, 18, 6, 2, …. Gu\ Ø¥®−j ùRôP¬u áÓRp Lôi.

¾oÜ: a = 54, r = 18/54 = 1/3 < 1 aS

1 r∞∴ =−

= 54 354 81

1 1/ 3 2= × =

−

GÓjÕdLôhÓ 39: 3 + 33 + 333 + …. Gu\ ùRôÏl©p n Eßl×L°u áÓRp LôiL. ¾oÜ: Sn = 3 + 33 + 333 + … n Eßl×Ls YûW = 3 (1 + 11 + 111 + … n Eßl×Ls YûW)

= 39 (9 + 99 + 999 + ... n Eßl×Ls YûW) n Eßl×Ls YûW

= 39 [(10 − 1) + (100 − 1) + (1000 − 1) + ... n Eßl×Ls YûW]

www.kalvisolai.com

18

= n3 10(10 1) n

9 9⎡ ⎤−

−⎢ ⎥⎣ ⎦

= n n30 3n 10 n(10 1) (10 1)81 9 27 3

− − = − −

GÓjÕdLôhÓ 40: 0.9 1.0= G] ¨ßÜL.

¾oÜ: 0.9 0.999....= = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …. = 9 (0.1 + 0.01 + 0.001 + …)

= 9[10–1 + 10–2 + ….] = 9 × 1

1

10 19 191 10

−

− = × =−

GÓjÕdLôhÓ 41: 0.241 ©u]UôL Uôtß. ¾oÜ: 0.241 = 0.2414141…. = 0.2 + 0.041 + 0.00041 + …

= 3 5 7

2 41 41 41 ...10 10 10 10

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ =

3

2

2 41/1010 1 1/10

+−

= 2 41 198 4110 990 990

++ = = 239/990

GÓjÕdLôhÓ 42: Ø¥Ü\ô ùTÚdÏj ùRôP¬u ØRp Eßl× 6, ARu áÓRp 8 G²p AlùTÚdÏj ùRôPûWd LôiL. ¾oÜ: a, ar, ar2, … Gu\ ùTÚdÏj ùRôP¬p

a = 6, S∞ = 8 ⇒ a1 r−

= 8 ⇒ 6 81 r

=−

⇒ 1 – r = 6/8 = 3/4 ⇒ r = 1/4

∴ ùTÚdÏj ùRôPo 6, 3/2, 3/8, 3/32,….

GÓjÕdLôhÓ 43: 3 3 3...

¾oÜ: 1 1 111 1 ...2 4 882 43 3 3... 3 3 3 .... 3

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠= × × × = 1 1 1 ...2 4 8+ + + GuTÕ JÚ Ø¥®− ùTÚdÏj ùRôPo.

aS1 r∞ =−

∴ 1 1 1 1/ 2... 12 4 8 1 1/ 2+ + + = =

− ⇒

1 1 1 ...2 4 83

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 31 = 3 ∴ 3 3 3... 3=

GÓjÕdLôhÓ 44: Ø¥Ü\ô ùTÚdÏjùRôP¬u áÓRp 4 Eßl×L°u L]eL°u áÓRp 192 G²p, ARu ùTôÕ ®¡Rm Gu]?

¾oÜ: a + ar + ar2 + … = 4 ⇒ a 41 r

=−

a3 / (1–r)3 = 64 (1)

úUÛm a3 + a3r3 + a3 r6 + … = 192; ⇒ 3

3

a 1291 r

=−

(2)

3 22

3 2

(2) (1 r) 192 (1 r)3 3 2r 5r 2 0(1) 641 r 1 r r

− −⇒ = = ⇒ = ⇒ + + =

− + +

www.kalvisolai.com

19

(2r 1) (r 2) 0 r 1/ 2or 2⇒ + + = ⇒ =− −

∴ ùTÚdÏj ùRôP¬u ùTÚdÏ ®¡Rm–1/2 ApXÕ –2. GÓjÕdLôhÓ 45: 50 Á EVWj§−ÚkÕ úTôPlThP JÚ CWlTo TkÕ JqùYôÚ Øû\Ùm RûW«p úUô§V ©\Ï ®ÝkR EVWj§p Tô§ A[®tÏ GÝm×¡\Õ G²p AkR TkÕ KnÜ ¨ûXdÏ YÚmùTôÝÕ AÕ ùNu\ ùUôjR çWm Lôi. ¾oÜ: ØRp A¥«p TkÕ ùNpÛm çWm = 50 Á 2YÕ A¥«p TkÕ ùNpÛm çWm = 2[1/2× 50] = 2 × 25 Á 3YÕ A¥«p TkÕ ùNpÛm çWm = 2 × 25/2 Á

∴ TkÕ KnÜ ¨ûXdÏ YÚmùTôÝÕ ùNu\ ùUôjR çWm = 25 2550 2 25 ...2 4

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2550 21 1/ 2⎛ ⎞= + ⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 50 + 2 × 25 × 2 = 50 + 100 = 150 Á

∴ TkÕ KnÜ ¨ûXdÏ YÚmùTôÝÕ ùNu\ ùUôjR çWm 150 Á. T«t£ 1.2.2

1. ©uYÚm ùTÚdÏjùRôP¬u áÓRp Lôi a) 5 + 25 + 125 + … 8 Eßl×Ls b) 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + … 10 Eßl×Ls c) 4 + 3 + 2¼ + … 7 Eßl×Ls d) 1 + 3 + 32 + … 8 Eßl×Ls

e) JÚ ùTÚdÏj ùRôP¬u nYÕ Eßl× 2n-123

G²p ØRp 10 Eßl×L°u áÓRp

Lôi.

2. ©uYÚm Ø¥®−j ùRôPoL°u áÓRp Lôi.

a) 36, 12, 4, … b) ¼, –3/16, 9/64, … c) (–2) + 1 + (–1/2), … d) 2/3 + 2/27 + 2/243 + … e) 8/5 + 1 + 5/8 + … f) 1 + (1 + x) + (1 + x + x2) + … 3. ùTÚdÏj ùRôP¬u n Eßl×L°u áÓRp Lôi.

a) 3 + (–6) + 12 + … b) 9 + 99 + 999 + … c) 0.7 + 0.97 + 0.977 + … d) 1 + 11 + 111 + … e) 1 + 12 + 104 + 1006 + …

4. 1 + 3 + 32 + … Gu\ ùRôP¬u áÓRp 1500I ®P A§LUôL CÚdLúYiÓùU²p Ïû\kRÕ GjRû] Eßl×Ls CÚdL úYiÓm?

5. JÚ TkRô]Õ 1 Á EVWj§−ÚkÕ úTôPlTÓ¡\Õ. TkRô]Õ, JqùYôÚ Øû\Ùm Ï§dÏm úTôÕ, AÕ Øu× Ï§jR EVWj§p Tô§ A[Ü EVWjûR GhÓ¡\Õ G²p, KnÜ ¨ûXdÏ YÚØu TkÕ ùNu\ ùUôjR çWm GqY[Ü?

6. 0.736 Bp Ï±dLlTÓm ®¡RØß GiûQd LôiL.

7. 3 3 39 9 9... Gu\ ùRôP¬u U§l× Lôi.

8. Ø¥Ü\ô ùTÚdÏjùRôP¬u Eßl×L°u áÓRp 15. ARu YodLeL°u áhÓjùRôûL 45 G²p AjùRôPûWd LôiL.

www.kalvisolai.com

20

1.2.3 £X R²YûL Gi ùRôÏl×L°u áÓRp ØRp n CVp GiL°u áhÓlTXu

n

11 2 3 ... n n+ + + + = ∑

a = 1, d = 1, l = n

∴ Sn = n2 [a + l] =

n2 [1 + n] ∴

n

Σ1

n = n(n + 1)

2

GÓjÕdLôhÓ 46: áhÓlTXu LôiL: 1 + 2 + 3 + … + 30

¾oÜ: n(n 1)n2+

=∑

30

1

30(30 1)n 15 31 4652+

= = × =∑

GÓjÕdLôhÓ 47: áhÓlTXu LôiL: 11 + 12 + 13 + … + 31

¾oÜ: 1 + 2 + 3 + … + 31 = 31 32 4962×

=

1 + 2 + … + 10 = 10 11 552×

=

∴ 11 + 12 + 13 + … 31 = (1 + 2 + … + 31) – (1 + 2 + 3 … + 10) = 496 – 55 = 441

ØRp n Jtû\ GiL°u áÓRp

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n

1

(2n 1)−∑

CÕ JÚ áhÓjùRôPo a = 1, d = 2, l = 2n − 1

Sn = n2 [a + l],

n

Σ1

(2n − 1) = n2 [1 + 2n − 1] =

n2 × 2n = n2

∴ ØRp n Jtû\ GiL°u áÓRp n2.

Ï±l×: l GuTÕ ùRôÏl©u LûP£ Juû\ Gi G²p Sn = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤l + 1

2

2

n = l + 1

2 GÓjÕdLôhÓ 48: áhÓlTXu LôiL: 11 + 13 + … +35

¾oÜ: 1 + 3 + … + 35 = 2

235 1 18 3242+⎛ ⎞ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 + 3 + … + 9 = 29 1

2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 52 = 25

∴ 11 + 13 + … + 35 = 324 – 25 = 299

www.kalvisolai.com

21

322

22 2

1

1

+

2

+

3

ØRp n CVp GiL°u YodLeL°u áÓRp

n

2 2 2 2 2

1

n 1 2 3 ... n= + + + +∑

CÕ JÚ áhÓjùRôPo ùRôÏl×m ApX, ùTÚdÏjùRôPo ùRôÏl×m ApX.

3 + 1 + 3

12

32

32

12

TPj§Ûs[ ùUôjR NÕWeL°u Gi¦dûL = (1 + 2 + 3) (2 × 3 + 1) = 3(12 + 22 + 32)

3(12 + 22 + 32) = (1 + 2 + 3) [(2 × 3) + 1] ∴ 12 + 22 + 32 = 1/3 (1 + 2 + 3) [(2 × 3) + 1] CkR AûUl×f ºûW n Eßl×Ls YûW ¿hP 12 + 22 + 32 + … + n2

= 1/3 (1 + 2 + 3 + …+ n) [(2 × n) + 1]

= 1/3 n(n 1) n(n 1)(2n 1)(2n 1)2 6+ + +

+ =

n

2

1

n(n 1) (2n 1)n6

+ +∴ =∑

N¬Tôo: NÕWeLl TXûL«Ûs[ NÕWeL°u ùUôjR Gi¦dûL 8

2 2 2 2 2

1

8 9 17n 1 2 3 ... 8 2046

× ×= + + + + = =∑

GÓjÕdLôhÓ 49: áhÓlTXu LôiL: 12 + 22 + … + 202

¾oÜ: n

2

1

n(n 1)(2n 1)n6

+ +=∑ ;

202

1

20(20 1) (2 20 1)n6

+ × +=∑ = 20 21 41 2870

6× ×

=

ØRp n CVp GiL°u L]eL°u áÓRp

n3 3 3 3 3

1n 1 2 3 ... n= + + + +∑

www.kalvisolai.com

22

CkR AûUl×fº¬−ÚkÕ 13 = 1 = 12 13 + 23 = 9 = 32 = (1 + 2)2 13 + 23 + 33 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2 13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2 n Eßl×Ls YûW ¿hP 13 + 23 + 33 + .. + n3 = (1 + 2 + 3+ + … + n)2

= 2n(n 1)

2+⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

∴ 2n

3

1

n(n 1)n2+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

GÓjÕdLôhÓ 50: áhÓlTXu LôiL: 13 + 23 + 33 + … + 203 ¾oÜ:

13 + 23 + 33 + … + 203 = 220 21

2×⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2102 = 44100

N¬Tôo: NÕWeLl TXûL«Ûs[ ùNqYLeL°u (NÕWeLû[Ùm Es APd¡) Gi¦dûL ¾oÜ:

28

3 2

1

8 9n 36 12962×⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

T«t£ 1.2.3

1. ©uYÚY]Yt±u áÓRp Lôi:

a) 1 + 2 + 3 + … + 70 b) 1 + 2 + 3 + … + 112 c) 50 + 51 + 52 + … + 98 d) 15 + 17 + … + 65 e) 1 + 3 + 5 + … 100 Eßl×Ls YûW f) 12 + 14 + 16 + … + 88 g) 5 + 10 + 15 + … + 200 h) 162 + 172 + … + 302 i) 400 + 441 + … + 1600 j) 1 + 8 + 2 + … + 8000 k) 213 + 223 + … + 413 2. TdLeLs Øû\úV 1 ùN.Á., 2 ùN.Á., 3 ùN.Á., …15 ùN.Á. A[ÜLs ùLôiP 15

L]NÕWeL°u L] A[ÜL°u áÓRp VôÕ?

3. TdLeLs Øû\úV 20 ùN.Á., 21 ùN.Á., … 29 ùN.Á. A[ÜLs ùLôiP 10 NÕWeL°u ùUôjR TWl× Lôi.

4. §Ú.ÏUôo, Ru ULàdÏ JqùYôÚ ©\kR Sô[ußm AYàûPV YV§u

YodLj§u A[Ü ùRôûLûV ùLôÓjRôo G²p, AYàûPV 17 YV§p AYàdÏ ¡ûPdÏm ùUôjR ùRôûL GqY[Ü?

www.kalvisolai.com

23

®ûPLs T«t£ 1.1.1 1) a, b, d, e JÚ áhÓjùRôPo (2) (a) –2 (b) 0.7 (c) 1/4 (d) –3 (e) 4 3) (a) 5, 2, –1 (b) 1.5, 0, –1.5 (c) 43, 50, 57 (d) 2½, 3½ (e) –½ , –1/3, –1/6 4) (a) –5, 1, 7, … (b) 3½, 5, 6½ , … (c) p, p + q, p + 2p, … (d) 7, 0.72, 0.74, … (e) 1, 4, 7, … 5) (a) 82 (b) 14.5 (c) 19/5 (d) –58 (e) 33 6) (a) 9, 6 (b) –283 (c) 27 (d) 5, 6, 7 7) (a) 20YÕ (b) 106YÕ (c) 27 (d) CpûX (e) 15 8) –2, 3, 8 (9) 5, 10, 15, 20 (10) 75, 85, 95, 105 (11) 2, 4, 6 T«t£ 1.1.2

(1) (b),(d) (2) (a) –1/5 (b) –5/2 (c) 0.3 (d) 3/5 (3) (a) 1/64 (b) 384 (c) 1/81 (d) 17

9

25

(4) (a) 3,2, 4/3, 3, −2, 4/3 … (b) 64, 32, 16, … (c) 128/2187 (d) 1, 3 (5) (a) 3, 2, 4/3 or 4/3, 2, 3 (b) 18, 6, 2 or 2, 6, 18 (c) 2, 6, 18 (d) 1,–2, 4, –8 or –1/3, –2/3, –4/3, –8/3 (6) 3, 2, 4/3 (7) 1, 2, 4, 8, 16 (8) 3/2 (9) 4 (10) 7 (11) 5, 8, 12 (12) 8, –4, 2, 8

T«t£ 1.2.1 1) (a) 1380 (b) 644 (c) –315 (d) 4060 (e) 500 2) (a) 4485 (b) 10989 (c) 32000 (d) 19800 (e) 250000 3) 11,3 (4) 26 (5) 39/11, 40/11, 41/11, … (6) 144 (7) 19 (8) 4 9) –30 (10) 53 (11) ì.1,200/- (12) ì. 2,650/- T«t£ 1.2.2

1) (a) 488280 (b) 11111111111000000000

(c) 141971024

(d) 3280 (e) 2/9 (410 – 1)

2) (a) 54 (b) 1/7 (c) –4/3 (d) 3/4 (e) 64/15

3) (a) 1 –( –2)n (b) 10/9 (10n –1)–n (c) n

1 1n 13 10⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

(d) n10 n(10 1)81 9

− −

(e) n10 1 n(n 1)9−

+ − (f) n

1 − x − x(1 − x)

n

(1 − x)2

4) 8 (5) 3 (6) 81110 (7) 3 (8)

10 205, , ,...3 9

T«t£ 1.2.3 (1) (a) 2485 (b) 6328 (c) 3626 (d) 1040 (e) 10000 (f) 1950 (g) 4100 (h) 8215 (i) 19670 (j) 44100 (k) 697221 (2) 14400 cm3 (3) 6085 ùN.Á2 (4) ì.1785

www.kalvisolai.com

24

2. A[®Vp 2.0 A±ØLm Sm Au\ôP Yôr®p Sôm TpúYß ¨ûXL°p A[ûYLû[l TVuTÓjÕ¡ú\ôm. GÓjÕdLôhPôL Sôm ûRlTRtLôLj Õ¦«u ¿[jûRÙm, ùYsû[V¥lTRtLôLf ÑYt±u TWlT[®û]Ùm, úY−«ÓYRtLôL ¨Xj§u Ñt\[®û]Ùm Ri½o ¨Wl×YRtLôL ùRôh¥«u ùLôs[[®û]Ùm A[d¡ú\ôm. A[ûYLû[ A¥lTûPVôLd ùLôiÓ Sm úRûYdúLtT úUÛm LQd¸ÓLs ùNn¡uú\ôm. CdL¦Rl ©¬®û] A[®Vp Guß AûZd¡ú\ôm. ØkûRV YÏl×L°p Sôm R[ EÚYeL°u Ñt\[Ü, TWl× B¡VYtû\l Tt± Lt\±kÕsú[ôm. R[ EÚYeLû[j R®W, Ï±l©hP CPjûR AûPjÕd ùLôsYÕm, CWi¥tÏ úUXô]l T¬UôQeLû[d ùLôiPÕUô] L] EÚYeLû[l Tt±Ùm Lt±Úd¡ú\ôm. CkRl TôPlTÏ§«p CûQkR L] EÚYeL°u L]A[Ü, Yû[TWl× B¡VYtû\l Tt±Ùm, Utßm Uô\ôR L] A[ÜLs Tt±Ùm T¥dL CÚd¡ú\ôm. TX®R L] EÚYeL°u L]A[Ü, Yû[TWl× B¡VYtû\l Tt± HtL]úY T¥j§ÚkR úTô§Ûm ClúTôÕ L]A[Ü, Yû[TWl× LôÔm ãj§WeLû[ ¨û]ÜTÓj§d ùLôsúYôm.

úSo EÚû[ JÚ ùNqYLjûR ARu JÚ TdLjûR AfNôLd ùLôiÓ ÑZtßYRôp EiPôÏm EÚYm EÚû[VôÏm. ABCD Gu\ ùNqYLj§p AB Gu\ TdLjûR AfNôLd ùLôiÓ JÚ ØÝf Ñtß Ñt±]ôp TPm 2.1p Lôh¥VÕ úTôp JÚ EÚû[ ¡ûPd¡\Õ..

TPm 2.1 JÚ EÚû[«u CÚ Øû]L°Ûm NUR[m EiÓ. CÚ NUR[eLÞm YhPY¥®Ûm, JußdùLôuß CûQVôLÜm CÚdÏm. CfNUR[eLs, EÚû[«u A¥lTdLm G]lTÓm. A¥lTdLeL°u ûUVeLû[f úNodÏm úLôhÓjÕiÓ EÚû[«u AfÑ G]lTÓm. A¥lTdLj§u BWm EÚû[«u BWm G]lTÓm. NUR[ Øû]Lû[f úNodÏm Yû[TWl× ARu ×\lTWl× BÏm. úSo EÚû[«u BWm r Utßm EVWm h G²p EÚû[«u (a) A¥lTWl× = πr2 N.A. ; (b) Yû[TWl× = 2πrh N.A. (c) ùUôjR ×\lTWl× = 2πr (h + r) N.A.; (d) L]A[Ü = πr2h L.A. EsÇPt\ EÚû[

JúW Af£p AûUkRÕm JúW EVWm ùLôiPÕm, ùYqúY\ô] BWeLs EûPV]ÜUô] CÚ EÚû[Lû[d ùLôiP L] EÚYm EsÇPt\ EÚû[ G]lTÓm. (TPm 2.2p). R GuTÕ EsÇPt\ EÚû[«u ùY° BWm r GuTÕ EsÇPt\ EÚû[«u Es BWm h EVWm TPm 2.2

r

h

R

B

A

D

C

www.kalvisolai.com

25

a) A¥lTdL TWl× = π(R2– r2) N.A. = π(R+r)(R– r) N.A.

b) Yû[TWl× = 2πh (R+r) N.A. c) ùUôjR ×\lTWl× = 2πr (R+r) (h+R– r) N.A. d) L]A[Ü = πh (R2– r2) = πh (R+r) (R – r) L.A. úSoYhPd ám× JÚ ¨ûXVô] ×s°«u Y¯VôLf ùNpYÕm JÚ ¨ûXVô] úLôhÓPu JÚ Uô\ôR úLôQjûR HtTÓjÕYÕUô] JÚ úLôhÓjÕiûP ÑZtßYRôp ¡ûPdÏm L] EÚYm úSoYhPd ám× BÏm. TPm 2.3-p, V GuTÕ ¨ûXVô] ×s°. VO GuTÕ ¨ûXVô] úLôÓ. VA Guàm ÑZÛm úLôÓ, ‘VO’ EPu Uô\ôR úLôQjûR HtTÓjÕ¡\Õ. ‘A’ Gu\ ×s° ‘O’-I ûUVUôLd ùLôiÓ JÚ YhPjûR AûUd¡\Õ. VO TPm 2.3 A¥lTdLj§tÏf ùNeÏjRôL AûU¡\Õ. VO GuTÕ ám©u EVWm `h'. OA GuTÕ

ám©u A¥lTdL BWm ‘r'. VA GuTÕ NôÙVWm `l'. C§−ÚkÕ l2 = r2 + h2 GuTÕ ùR°Ü. úSoYhPd ám©u BWm r, EVWm h Utßm NôÙVWm l G²p ARu a) A¥lTdLlTWl× = πr2 N.A. b) Yû[TWl× = πrl N.A. c) ùUôjRl ×\lTWl× = πr (l + r) N.A.

d) L] A[Ü = 31πr2h L.A.

úLô[m JÚ AûWYhPUô]Õ ARu ®hPjûR AfNôLd ùLôiÓ ÑZÛmúTôÕ HtTÓm L] EÚYm úLô[m G]lTÓm. úLô[j§u ûUVj§u Y¯VôLf ùNpÛm JÚ R[m AdúLô[jûR CÚNUTôLUôLl ©¬d¡\Õ. JqùYôÚ TôLØm JÚ AûWdúLô[m BÏm. JÚ úLô[j§u BWm r G²p, ARu TPm 2.4

(a) Yû[TWl× = 4πr2 N.A. (b) L]A[Ü = 34πr3 L.A.

JÚ AûWdúLô[j§u BWm r G²p ARu

(a) Yû[TWl× = 2πr2 N.A. (b) L]A[Ü = 32πr3 L.A.

(c) §P AûWdúLô[j§u ùUôjRl ×\lTWl× = 3πr2 N.A.

hl

O rAB

V

Or

BA

r

www.kalvisolai.com

26

TPm 2.8

§Úl×Rp T«t£ 1. JÚ EÚû[ Y¥Yj ç¦u ®hPm 3.5 Á, ARu EVWm 20 Á. ç¦u

L]A[ûYÙm, ARu Yû[TWl©tÏ YiQm éN JÚ NÕWÁhPÚdÏ ì. 20 ÅRm Gu] ùNXYôÏm GuTûRÙm LQd¡ÓL.

2. ùNqYL Y¥Y AÛª²Vj RLh¥u A[ÜLs 44 ùN.Á x 20 ùN.Á. AjRLhûP 20 ùN.Á. EVWØs[ EÚû[VôLf Ñt±]ôp EÚYôdLlThP EÚû[«u L]A[ûYd LôiL.

3. JÚ ám©u BWm 7 ùN.Á., EVWm 24 ùN.Á., ám©u L]A[Ü, Yû[TWlûTd LôiL

4. 24 ùN.Á. EVWØûPV JÚ ám©u Yû[TWl× 550 cm2. ám©u L]A[ûYd Lôi.

5. AûWdúLô[ Y¥Yj ùRôh¥«u ®hPm 14 Á. A§p 50 Á3 Ri½o Es[Õ. AjùRôh¥ûV ¨WlTj úRûYVô] Ri½¬u L]A[ûYd LôiL.

2.1 L]A[ÜLÞm ×\lTWl×LÞm SUÕ Au\ôP Yôr®p Sôm Ju±tÏ úUtThP L] EÚYeLs CûQkR Y¥®Xô] ùTôÚhLû[Ùm, ®û[VôhÓf NôUôuLs TXYtû\Ùm Tôod¡ú\ôm. JÚ £X ùTôÚhLs ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[].

TPm 2.5 TPm 2.6 TPm 2.7 ¿ TôodÏm CûRlúTôu\ ùTôÚhLû[ YûWkÕ ùTV¬ÓL. ClúTôÕ CûQkR

TX L] EÚYeL°u L]A[Ü, Yû[TWl× CYtû\ TX GÓjÕdLôhÓL°u êXm ùR¬kÕ ùLôsúYôm. GÓjÕdLôhÓ 1 : JÚ NodLv áPôWUô]Õ 3 Á EVWØs[ EÚû[«u ÁÕ ám× AûUkRôtúTôu\ Y¥Yj§Ûs[Õ. ARu A¥lTdL BWm 52.5 Á, ám©u NôÙVWm 53 Á G²p, AdáPôWm AûUdLj úRûYVô] ¡jRôu Õ¦«u TWlûTd LQd¡ÓL. ¾oÜ: EÚû[«u BWm r = 52.5Á. EÚû[«u EVWm h = 3Á ∴EÚû[«u Yû[TWl× = 2πrh N.A.

= 2 × π × 2

105× 3 Á 2 = 315 πÁ2

53 m

52.5 m

3m

52.5 m

www.kalvisolai.com

27

TPm 2.9

TPm 2.10

ám©u BWm = 52.5Á; ám©u NôÙVWm = 53Á

ám©u Yû[TWl× = πrl N.AXÏ = π × 2

105× 53 Á2 = 2782.5 πÁ2

áPôWm AûUdLj úRûYVô] ¡jRôu Õ¦«u TWl× = EÚû[«u Yû[TWl×+ ám©u Yû[TWl× = π (315 + 2782.5) = (3097.5) πÁ2 GÓjÕdLôhÓ 2 : JÚ WôdùLh, EÚû[«u ÁÕ ám× AûUkRÕ úTôu\ Y¥®Ûs[Õ. EÚû[«u BWØm, EVWØm Øû\úV 2.5 Á, 21 Á. ám©u NôÙVWm 6.5Á G²p WôdùLh¥u Yû[TWl×, L]A[Ü LôiL.

¾oÜ : EÚû[«u BWm = ám©u BWm ; r = 2.5Á ; EÚû[«u

EVWm h1 = 21Á ; ám©u EVWm h2 = 22 r−l (l = ám©u NôÙVWm). 2 2

2h 6.5 2.5= − = (6.5 2.5) (6.5 2.5)+ − = 9 4× = 36 ⇒ h2 = 6Á WôdùLh¥u Yû[TWl× = EÚû[«u Yû[TWl× + ám©u Yû[TWl× = 2πrh1 + πrl = 2 × π × 2.5 × 21 + π × 2.5 × 6.5 = 105 π + 16.25π = (121.25)π N.Á WôdùLh¥u L]A[Ü = EÚû[«u L]A[Ü + ám©u L]A[Ü

= πr2 h1 + 31πr2 h2

= π × 2.5 × 2.5 × 21 + 31π × 2.5 × 2.5 × 6

= (131.25) π + (12.5) π = (143.75) π L.Á. GÓjÕdLôhÓ 3 : JÚ ùTômûU AûWdúLô[j§u úUp ám× ûYjR Y¥®p Es[Õ. AûWdúLô[j§u BWm 3.5 ùN.Á. ARu ùUôjR EVWm 15.5ùN.Á. ùTômûU«u L]A[ûYd LôiL. ¾oÜ : ám©u BWm = AûWdúLô[j§u BWm = 3.5 ùN.Á. = 7/2 ùN.Á. ùTômûU«u ùUôjR EVWm = 15.5ùN.Á. ùTômûU«u ùUôjR EVWm = AûWdúLô[j§u BWm + ám©u EVWm ám©u EVWm = 15.5 – 3.5 = 12 óùN.Á. ùTômûU«u L]A[Ü = ám©u L]A[Ü + AûWdúLô[j§u L]A[Ü

= 31πr2 h +

32πr3 L.A.

= 1 7 7 2 7 7 7 34312 493 2 2 3 2 2 2 12

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞π × × × + π × × × = π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 49π + 28.58π = (77.58) π ùN.Á3

3.5

15.5cm

BA

21 m

2.5m

6.5

m

www.kalvisolai.com

28

GÓjÕdLôhÓ 4 : JÚ L]EÚYm EÚû[«u JÚ×\m AûWdúLô[jûRÙm Uß×\m ámûTÙm ùLôiÓ CÚd¡\Õ. ùTôÕ BWm 3.5 ùN.Á. EÚû[, ám× CYt±u EVWeLs Øû\úV 10 ùN.Á., 12 ùN.Á., L] EÚYj§u ùUôjRl TWlûTd Lôi.

TPm 2.11 ¾oÜ: AûWdúLô[j§u BWm = 3.5 ùN.Á AûWdúLô[j§u Yû[TWl× = 2πr2 N.A. = 2 × π × (3.5)2 = (24.5)π N.ùN.Á. EÚû[«u BWm r = 3.5 ùN.Á. ; EÚû[«u EVWm h = 10 ùN.Á. EÚû[«u Yû[TWl× = 2πrh N.A. = 2 × π × 3.5 × 10 = 70 π ùN.Á2 ám©u BWm r = 3.5 ùN.Á ; ám©u EVWm = 12 ùN.Á

ám©u NôÙVWm = 22 hr + = 1444

49125.3 22 +=+ = 225

4625

= = 12.5 ùN.Á.

ám©u Yû[TWl× = πrl N.A. = π × 3.5 × 12.5 = (43.75) π ùN.Á.2 L] EÚYj§u ùUôjRl TWl× = AûWdúLô[j§u Yû[TWl× + EÚû[«u Yû[TWl× + ám©u Yû[TWl× = 24.5π + 70π + 43.75 π = (138.25) π ùN.Á2 L] EÚYj§u ùUôjRl TWl× = (138.25) π ùN.Á2. GÓjÕdLôhÓ 5 : JÚ Tôj§Wm JÚ AûWdúLô[j§u ÁÕ EÚû[ AûUkRÕ úTôu\ Y¥Yj§p Es[Õ. AûWdúLô[j§u ®hPm 14 ùN.Á. Tôj§Wj§u ùUôjR EVWm 13 ùN.Á. ARu ùLôs[[ûYd LôiL. ¾oÜ: AûWdúLô[j§u ®hPm = 14 ùN.Á. AûWdúLô[j§u BWm = 7 ùN.Á. EÚû[«u BWm = AûWdúLô[j§u BWm EÚû[«u EVWm = 13 – 7 = 6 ùN.Á. Tôj§Wj§u ùLôs[[Ü = AûWdúLô[j§u L]A[Ü + EÚû[«u L]A[Ü

= 32πr3 + πr2h L.A. =

32π×7×7×7 + π×7×7×6 ùN.Á.3

= π × 7 × 7 2 7 63

⎡ ⎤⎛ ⎞× +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ùN.Á.3 = π × 49 ×

332

ùN.Á.3 =3

1568π ùN.Á.3

= (522.67) π ùN.Á.3

7 cm

6 cm

7 cm

13 c

m

10 cm12 cm 3.5c

m

TPm 2.12

www.kalvisolai.com

29

GÓjÕdLôhÓ 6 : JÚ Uôj§ûWd Ïl©Vô]Õ EÚû[«u CÚ×\Øm AûWYhPm AûUkRÕ úTôu\ Y¥®p Es[Õ. ARu ùUôjR EVWm 19 ùN.Á. EÚû[«u ®hPm 7 ùN.Á. Uôj§ûWd Ïl©«u L]A[Ü, ùUôjRl TWl× LôiL. ¾oÜ: EÚû[«u ®hPm = 7ùN.Á. EÚû[«u BWm = 3.5 ùN.Á. = 7/2 ùN.Á. EÚû[«u BWm = AûWdúLô[j§u BWm Ïl©«u ùUôjR EVWm = 19 ùN.Á. EÚû[«u EVWm = 19 – (2 × 3.5) = 12 ùN.Á. Ïl©«u L]A[Ü = EÚû[«u L]A[Ü + CÚ AûWdúLô[eL°u L]A[Ü

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π 32 r

322hr L.AXÏ

= ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞π ×

72 ×

72 × 12 + 2 ×

23 × π ×

72 ×

72 ×

72 ùN.Á.3

= 49π × 256 =

256 =

1225π6 = (204.17) π ùN.Á.3

Ïl©«u ùUôjRl TWl×= EÚû[«u Yû[TWl×+CÚ AûWdúLô[j§u Yû[TWl×

= 2πrh + 2 × 2 πr2 N.A. = 2 × π × 3.5 (12 + 2 × 3.5) ùN.Á.2

= 2 × π × 72

× 19 = 133 π ùN.Á.2.

GÓjÕdLôhÓ 7 : JÚ EÚû[ Y¥Y UWdLhûP«p CÚkÕ 7 ùN.Á. BWØs[ AûWdúLô[eLs CÚ TdLeL°Ûm CÚkÕ ùYh¥ GÓdLlTÓ¡\Õ. EÚû[«u BWm 7 ùN.Á., EVWm 14 ùN.Á. G²p, Á§lTÏ§«u L]A[Ü Gu]? ¾oÜ EÚû[«u BWm = 7 ùN.Á. EÚû[«u EVWm = 14 ùN.Á. ; EÚû[«u L]A[Ü = πr2h = π×7×7×14 = 686 π ùN.Á.3 AûWdúLô[j§u BWm = 7 ùN.Á.

CÚ AûWdúLô[j§u L]A[Ü = 2 × 32

× π r3

= 2 × 32× π × 7 × 7 × 7 =

31372

πùN.Á.3

Á§lTÏ§«u L]A[Ü = 686π – 3

1372π = 2686 1 -

3⎛ ⎞π ⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6863π = 228.67 π ùN.Á.3.

3.5cm

12 c

m

7 cm

TPm 2.13

TPm 2.14

www.kalvisolai.com

30

GÓjÕdLôhÓ 8 : JÚ Yô°«u úUt×\ BWm 18 ùN.Á. A¥lTdLj§u BWm 6 ùN.Á. ARu BZm 24 ùN.Á. G²p, Yô°«u L]A[ûYd LôiL. ¾oÜ: 18 ùN.Á. BWØs[ ám©−ÚkÕ 6 ùN.Á. BWØs[ £±V ám× ùYh¥ GÓdLlThÓ Yô° EÚYôdLlTÓ¡\Õ. £±V ám©u EVWm h GuL.

ΔABC | | | ΔDEC; ∴ 13

618

hh24

==+

3h = 24 + h ApXÕ 2h = 24 ApXÕ h = 12 ùN.Á.. ∴£±V ám©u EVWm = 12 ùN.Á. ∴ùT¬V ám©u EVWm = 12 + 24 = 36 ùN.Á. Yô°«u ùLôs[[Ü = ùT¬V ám©u L]A[Ü – £±V ám©u L] A[Ü =

1 118 18 36 6 6 123 3

⎛ ⎞π× × × − π × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

ùN.Á.3

= 144 π(27–1) ùN.Á.3

= 144 π × 26 ùN.Á.3 = 3744 π ùN.Á.3

Ï±l× : JÚ úSoYhPd ámûT A¥lTdLj§tÏ CûQVô] JÚ R[jRôp ùYhÓmúTôÕ ¡ûPlTÕ CûPdLiPm (frustum) G]lTÓm. CûPdLiPj§u L]A[ûYd LQd¡P ãj§Wm Juû\ LôQ ØVußTôo. GÓjÕdLôhÓ 9 : TPm 2.16-p LôhPlThÓs[ ûYdúLôp úTô¬u L]A[ûYd Lôi. ¾oÜ: ûYdúLôp úT¬u úUtTÏ§ ám× Y¥®p AûUkÕs[Õ. ARu BWm 3 Á., EVWm 7 Á.

∴ám©u L] A[Ü= 31πr2h =

31

π × 3 × 3 × 7 = 21 π Á3.

CRu A¥lTÏ§ A¥ Ö²R±jR CûPdLiPm (frustum). úUt×\j§u BWm = 3Á; A¥lTÏ§«u BWm= 2 Á CûPdLiPj§u EVWm = 10.5 – 7 = 3.5 Á ùT¬V ám©u EVWm ‘H’ GuL. £±V ám©u EVWm ‘h’ Y¥ùYôjR ØdúLôQeLû[l TVuTÓjR,

hh5.3

hH

23 +

== ;

3h = 7 + 2 h ApXÕ h = 7 ⇒ H = 7 + 3.5 = 10.5 Á ûYdúLôp úTô¬u A¥lTÏ§«u L]A[Ü

= 31π×3×3×10.5 –

31

× π×2×2×7

= 31π × (94.5 – 28) Á3

18 cm BA

24 c

m

E6 cm

h

D

C TPm 2.15

2 cm

3 cm

7 cm

10.5

cm

10.5

cm

TPm 2.16

www.kalvisolai.com

31

= 31π × 66.5 = 22.17 π Á3.

ûYdúLôp úTô¬u L]A[Ü = 21π + 22.17 Á3 = 43.17 π Á3. GÓjÕdLôhÓ 10 : JÚ ¡PeÏ TPm 2.17-p Lôh¥VÕ úTôp AûUkÕs[Õ G²p ARu L]A[ûYd LôiL. (π = 3.14). ¾oÜ : ¡Pe¡u ÏßdÏùYh¥u TWl× = ùNqYLj§u TWl× + AûWYhPj§u TWl×

= l × b + 21πr2 = (7 x 3) + ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞1

2 × 3.14 × 72 ×

72 Á2

= 21 + 19.23Á2 = 40.23 Á2. ¡Pe¡u ¿[m = 10Á. ¡Pe¡u L]A[Ü = ÏßdÏùYh¥u TWl× × ¿[m TPm 2.17 = 40.23 × 10 Á3 = 402.3 Á3. úYßØû\:

¡Pe¡u L] A[Ü = L]ùNqYLj§u L]A[Ü + 21

(EÚû[«u L]A[Ü)

L]ùNqYLj§u L]A[Ü = l × b × h = 7 × 10 × 3 = 210 Á3.

EÚû[«u L]A[Ü = πr2h = 3.14 × 72× 7

2 × 10 = 384.65 Á3.

∴ ¡Pe¡u L]A[Ü = 210 + 21

(384.65)Á3 = 402.325 Á3 = 402.3 Á3.

T«t£ 2.1 1. JÚ CÚm×j çi EÚû[«u ÁÕ, ámûT ûYjRôtúTôu\ Y¥®p

AûUkÕs[Õ. EÚû[«u EVWm 2.8 Á, ®hPm 20 ùN.Á., ám©u EVWm 42 ùN.Á. G²p, CÚm×jç¦u ¨û\ûVd LôiL. 1 L.ùN.Á. CÚm×jç¦u ¨û\ 7.5 ¡ (π ~ 3.14).

2. JÚ NodLv áPôWUô]Õ 3 Á. EVWØs[ EÚû[«u ÁÕ ám× AûUkRôtúTôu\ Y¥YØs[Õ. ARu A¥lTÏ§«u ®hPm 105 Á., NôÙVWm 53 Á., AdáPôWjûR AûUdLj úRûYVô] ¡jRôu Õ¦«u ALXm 5 Á. G²p ¿[jûRd LôiL. (π=3.14).

3. JÚ Lh¥Pm 4.2 Á. ®hPØm, 3.8Á. EVWØm Es[ EÚû[«u ÁÕ ám× AûUkRôtúTôp Y¥YØs[Õ. ám©u Ef£dúLôQm ùNeúLôQm G²p, Lh¥Pj§u Yû[TWl×, L]A[ûYd LôiL.

4. JÚ EúXôL EÚû[«u EVWm 15 ùN.Á., A¥lTdL ®hPm 7 ùN.Á. AqÜÚû[«u CÚ×\j§−ÚkÕm 3 ùN.Á. BWØm, 4 ùN.Á. EVWØm Es[ CÚ ám×Ls ùYh¥ GÓdLlTÓ¡u\]. Á§«ÚdÏm TÏ§«u L]A[Ü Gu]?

5. JÚ L] EÚYm EÚû[«u CÚ×\Øm AûWdúLô[jûR ûYjRôtúTôu\ Y¥®p Es[Õ. ARu ùUôjR ¿[m 108 ùN.Á., EÚû[«u ®hPm 36 ùN.Á. G²p ARu ÁÕ YoQm éN N.ùN.ÁdÏ 7 ûTNô ÅRm Gu] ùNXYôÏm? (π = 3.14).

10 m

3 m

7 m

www.kalvisolai.com

32

6. JÚ ùTômûUVô]Õ EÚû[«u JÚ×\m ám×m Uß×\m AûWdúLô[m úNokR Y¥®p Es[Õ. EÚû[«u BWØm, EVWØm Øû\úV 5 ùN.Á., 30 ùN.Á., ám©u BWØm, AûWdúLô[j§u BWØm, EVWØm Øû\úV 5 ùN.Á., 30 ùN.Á. ám©u BWØm, AûWdúLô[j§u BWØm, EÚû[«u BWj§tÏf NUUôLÜs[Õ. ám©u EVWm 12 ùN.Á. G²p ùTômûU«u Yû[TWlûTd Lôi.

7. JÚ ùTômûU 4.5 ùN.Á BWØs[ AûWdúLô[j§u ÁÕ ám× AûUkRÕ úTôu\ Y¥®p Es[Õ. AlùTômûU«u ùUôjR EVWm 24.5 ùN.Á. ùTômûU«u ùUôjRlTWlûTd LôiL.

8. JÚ Tôj§Wm AûWdúLô[j§u ÁÕ EÚû[ AûUkRÕ úTôu\ Y¥Yj§p Es[Õ, Tôj§Wj§u ®hPm 14 ùN.Á., ARu ùUôjR EVWm 13 ùN.Á. G²p, Tôj§Wj§u ùLôs[[ûYd LôiL.

9. TPm 2.18-p Lôh¥Ùs[Õ úTôu\ Y¥®Xô] L]EÚYj§u ùUôjRl TWlûTd LôiL.

AC = 13 Á. ; CE = 3Á

FC = OE = 10.5Á.

10. JÚ ám©p ûYdLlThÓs[ Iv¡Ãªu úUpTÏ§ AûWdúLô[Y¥®p AûUkÕs[Õ. ám©u EVWm 9 ùN.Á., BWm 2.5 ùN.Á., ám©p ûYdLlThP Iv¡Ãªu A[ûYd LôiL.

11. JÚ Tôj§Wm, AûWdúLô[j§u ÁÕ EÚû[ûV ûYjRôtúTôp AûUkÕs[Õ. AûWdúLô[j§u BWm 12.5 ùN.Á., Tôj§Wj§u ùUôjR EVWm 25 ùN.Á. G²p ARu ùLôs[[ûYd LôiL.

12. ûYdúLôp ûYdÏm CPj§u ÏßdÏ ùYhÓj úRôt\m ùNqYLY¥®p, ARu ALXl TÏ§«u úUp AûWYhPm AûUkRôtúTôp AûUdLlThÓs[Õ. ùNqYLl TÏ§«u EVWm 21Á., ALXm 18 Á. Utßm CPj§u ¿[m 24 Á. G²p A§p ûYdLdá¥V ûYdúLô−u L] A[Ü VôÕ? (π = 3.14).

13. 45 ùN.Á. EVWØs[ JÚ Yô°«u CÚ×\Øm AûUkR YhPj§u BWeLs Øû\úV 28 ùN.Á., 7 ùN.Á., AqYô°«u ùLôs[ûYd LôiL.

14. TPm 2.19-p LôhPlThÓs[ EÚYj§u NUR[lTÏ§L°u Ñt\[ÜLs Øû\úV 14π, 8.4π ùN.Á., ARu EVWm 12 ùN.Á. G²p L]A[ûYd LôiL.

(v = πh (R2 + Rr + r2) / 3)

15. JÚ Yô°«u CÚ×\Øm AûUkR YhPj§u BWeLs Øû\úV 21 ùN.Á., 7 ùN.Á., ARu EVWm 32 ùN.Á. G²p Yô°«u ùLôs[[ûYd −hP¬p LôiL. (π = 3.14).

13

10.5

F

B

A

3 E

D

10.5

0

C

12 cm

TPm 2.19

TPm 2.18

www.kalvisolai.com

33

16. TPm 2.20-p LôhPlThÓs[ L] EÚYj§u ùLôs[[ûYd Lôi.

TPm 2.20

2.2 Uô\ô L] A[ÜLs

Åh¥p E]Õ AmUô HúRàm JÚ Y¥Y Tôj§Wj§p ûYdLlThÓs[ C²l× ék§Lû[d ùLôiÓ úLô[ Y¥®p TX XhÓLû[ ùNnYûRl Tôoj§ÚlTôn. ùRô¯tNôûXL°p áP EúXôLj RLÓLs, ApXÕ EúXôLd L¯Ls EÚdLlThÓ TX®R A[®Ûm, Y¥®Ûm L] EÚYeLs ùNnVlTÓ¡u\].

CkRl TôPlTÏ§«p ùLôÓdLlThP L]A[ûYd ùLôiÓ ×§RôL ùNnVlTÓm L] EÚYeL°u Gi¦dûLûVd LQd¡Óm Øû\ûVd LôiúTôm.

GÓjÕdLôhÓ 11 : JÚ CÚm×d ám©u BWm 5.25 ùN.Á., EVWm 8 ùN.Á. AûR EÚd¡ 2 ùN.Á., EVWm 1.75 ùN.Á. ®hPØs[ £ß ám×L[ôLf ùNnRôp, GjRû] ám×Ls ùNnV Ø¥Ùm?

¾oÜ: ám©u BWm = 5.25 ùN.Á. ; ám©u EVWm = 8 ùN.Á..

ám©u L] A[Ü = 31πr2h L.A. =

31π × 5.25 × 5.25 × 8 ùN.Á.3

£±V ám©u ®hPm = 1.75 ùN.Á. ⇒ £±V ám©u BWm = 275.1

ùN.Á.

£±V ám©u L]A[Ü = 1 1.75 1.75 23 2 2π × × ×

ám×L°u Gi¦dûL = ùT¬V ám©u L] A[Ü

£±V ám©u A[Ü

=

1 5.25 5.25 83

1 1.75 1.75 23 2 2

π × × ×

×π × × × = 3 × 3 × 8 × 2 = 144.

∴ 144 £±V ám×Lû[f ùNnVXôm.

2 cm3 cm

7 cm

12.5 cm

www.kalvisolai.com

34

GÓjÕdLôhÓ 12 : JÚ EÚû[ Yô°«u Es®hPm 12 ùN.Á., ARu EVWm 16 ùN.Á. AÕ ¨û\V Ui Es[Õ. AmUiûQd ùLôiÓ 18 ùN.Á. ®hPØûPV ámûT EÚYôd¡]ôp ám©u EVWm Gu]?

¾oÜ : EÚû[ Yô°«u ®hPm = 12 ùN.Á.

EÚû[«u BWm = 2

12 = 6 ùN.Á. ; EÚû[«u EVWm = 16 ùN.Á.

∴Ï®dLlThP UiQ²u L]A[Ü = πr2h = π × 6 × 6 × 16 ùN.Á.3.

Ï®dLlThP Ui¦u ®hPm = 18 ùN.Á. ; ∴ám©u BWm = 2

18 = 9 ùN.Á.

Ï®dLlThP Ui¦u EVWm `h' ùN.Á. GuL. ám©u L]A[Ü = Yô°«Ûs[ Ui¦u L]A[Ü

= 31

× π × 9 × 9 × h = π × 6 × 6 × 16

∴ h = 6 6 16 641 39 93

π × × ×=

× π × × ùN.Á. = 21.33 ùN.Á..

∴ Ï®dLlThP Ui¦u EVWm = 21.33 ùN.Á..

GÓjÕdLôhÓ 13 : CÚmTôXô] JÚ ám©u Yû[TWl× 204.1 ùN.Á2. ARu NôÙVWm 13 ùN.Á. AûR EÚd¡ A¥lTWl× 16π ùN.Á.2 Es[ EÚû[VôLf ùNnRôp EÚû[«u EVWm Gu]? (π = 3.14). ¾oÜ: ám©u NôÙVWm = 13 ùN.Á. ; ám©u Yû[TWl× = 204.1ùN.Á.2.

πrl = 3.14 × r × 13 = 204.1 ùN.Á.2 (ApXÕ) r = 204.13.14 13×

ám©u BWm = 5 ùN.Á. ; h = 22 r−l = 22 513 − ∴ám©u EVWm ‘h’ = 12 ùN.Á.

ám©u L]A[Ü = 31πr2h =

31π × 5 × 5 × 12 ùN.Á.3

EÚû[«u A¥lTWl× = 16 π ùN.Á.2 ; EÚû[«u EVWm ‘H’ ùN.Á. GuL.

EÚYôd¡V EÚû[«u L]A[Ü = EÚd¡V ám©u L]A[Ü ⇒ πr2 H = 31πr2h

A¥lTWl× × H = 31π × 5 × 5 × 12 (ApXÕ) 16π × H =

31π × 5 × 5 × 12 (ApXÕ)

H = 31π × 5 × 5 × 12 ×

π161

(ApXÕ) H = 6.25 ùN.Á.

GÓjÕdLôhÓ 14 : JÚ AûWdúLô[l Tôj§Wj§u BWm 30 ùN.Á. AlTôj§Wm ¨û\V úNôl×dár ¨WlTlThÓs[Õ. AfúNôl×dáûZ 5 ùN.Á. BWØm 2 ùN.Á. EVWØm Es[ EÚû[ Y¥Y úNôl×d Lh¥L[ôLf ùNnRôp GjRû] úNôl×d Lh¥Ls ùNnV Ø¥Ùm?

www.kalvisolai.com

35

¾oÜ: AûWdúLô[j§u BWm = 30 ùN.Á. ; AûWdúLô[j§u L]A[Ü = 32πr3 L.A.

∴úNôl×dá¯u L]A[Ü = 32π × 30 × 30 × 30 ùN.Á.3.

úNôl×dLh¥«u BWm = 5 ùN.Á.; úNôl×dLh¥«u EVWm = 2 ùN.Á. ; úNôl×dLh¥«u L]A[Ü = π × 5 × 5 × 2 ùN.Á. 3.

úNôl×dLh¥«u Gi¦dûL = úNôl×d á¯u L]A[ÜúNôl×dLh¥«u L]A[Ü =

2 30 30 303

5 5 2

π × × ×

π × × × = 360

∴ 360 úNôl×dLh¥Ls ùNnVXôm.

GÓjÕdLôhÓ 15 : JÚ EúXôL EÚû[ 20 ùN.Á. EVWØm, 1.5 ùN.Á. BWØm EûPVÕ. ARû] EÚd¡ 1.5 ùN.Á. BWØs[ úLô[eL[ôLf ùNnRôp GjRû] úLô[eLû[ EÚYôdL Ø¥Ùm?

¾oÜ : EÚû[«u EVWm = 20 ùN.Á. ; EÚû[«u BWm = 1.5 ùN.Á. EÚd¡V EÚû[«u L]A[Ü = π × 1.5 × 1.5 × 20 ùN.Á.3 úLô[j§u BWm = 1.5 ùN.Á.

EÚYôd¡V úLô[j§u L]A[Ü = 34 × π × 1.5 × 1.5 × 1.5 ùN.Á.3.

úLô[j§u Gi¦dûL = EÚû[«u L]A[ÜúLô[j§u L]A[Ü = 1.5 1.5 20 3

4 1.5 1.5 1.5π × × × ×× π × × ×

= 10

⇒ 10 úLô[eLû[ EÚYôdLXôm.

GÓjÕdLôhÓ 16 : JÚ EÚû[ Y¥Y Tôj§Wj§u ®hPm 14 ùN.Á., EVWm 20 ùN.Á., A§p Tô§V[Ü Ri½o Es[Õ. NUUô] 300 DVd ÏiÓLû[ AlTôj§Wj§p úTôhPôp Ri½¬u EVWm 2.8 ùN.Á. A§L¬d¡\Õ. JqùYôÚ DVdÏi¥u ®hPm VôÕ?

¾oÜ: EÚû[«u ®hPm = 14 ùN.Á. ; ∴EÚû[«u BWm = 2

14 = 7 ùN.Á.

A§L¬jRj Ri½¬u EVWm = 2.8 ùN.Á. EÚû[l Tôj§Wj§p A§L¬jR Ri½¬u L]A[Ü = π × 7 × 7 × 2.8 ùN.Á.3. DVdÏiÓL°u BWm ‘r’ GuL. 300 DVd ÏiPL°u L]A[Ü = A§L¬jRj Ri½¬u L]A[Ü

300 × 34

× π × r3 = π × 7 × 7 × 2.8

r3 = 7 7 2.8 3300 4

π × × × ×× × π

= 37 7 7 7

1000 10× × ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (ApXÕ) r =

107 = 0.7 ùN.Á.

DVdÏiÓL°u BWm = 0.7 ùN.Á. ∴DVdÏiÓL°u ®hPm = 1.4 ùN.Á.

www.kalvisolai.com

36

GÓjÕdLôhÓ 17 : 14 ùN.Á. ®hPØs[ EÚû[l Tôj§Wj§p Ri½o Es[Õ. 7 ùN.Á. ®hPØs[ JÚ EúXôLd úLô[jûR CRàs êrÏmT¥ ®hPôp, Tôj§Wj§p Ri½o UhPm GqY[Ü EVÚm?

¾oÜ: úLô[j§u ®hPm = 7 ùN.Á. ⇒ úLô[j§u BWm =27ùN.Á.

úLô[j§u L]A[Ü = 4 7 7 73 2 2 2π × × × ùN.Á. 3.

Tôj§Wj§p EVokR Ri½o UhPm ‘h’ GuL. Tôj§Wj§p EVokR Ri½¬u L]A[Ü = Ri½¬p êr¡V úLô[j§u L]A[Ü

π × 7 × 7 × h = 4 7 7 73 2 2 2π × × ×

h =

4 7 7 73 2 2 2

7 7

× π × × ×

π × × =

67ùN.Á. ~ 1.17 ùN.Á..

Tôj§Wj§p A§L¬jR Ri½o UhPj§u EVWm 1.17 ùN.Á.

GÓjÕdLôhÓ 18 : 60 ùN.Á. × 20 ùN.Á. × 28.26 ùN.Á. A[ÜLÞûPV L]ùNqYL CÚm×jÕiûP EÚd¡ EÚû[ Y¥YÏZôn ùNnVlTÓ¡\Õ. ÏZô«u ùY°YhPm 10 ùN.Á. ÏZô«u TÚUu 1 ùN.Á. CÚm×jÕi¥−ÚkÕ EÚYôdLlTÓm ÏZô«u ¿[jûRd Lôi. (π = 3.14). ¾oÜ: CÚm×jÕi¥u L]A[Ü = 60 × 20 × 28.26 ùN.Á.3. EsÇP t\ EÚû[«u L]A[Ü = πh (R + r) (R – r) ÏZô«u ùY° BWm R = 5 ùN.Á. ÏZô«u EsBWm r = 5 – 1 = 4 ùN.Á. ÏZô«u L]A[Ü = CÚm×jÕi¥u L]A[Ü π (5 + 4) (5 – 4)h = 60 × 20 × 28.26

h = 60 20 28.263.14 9 1× ×

× × = 1200 ùN.Á. = 12 Á.

CÚm×jÕi¥−ÚkÕ RVô¬dLlThP ÏZô«u ¿[m 12 Á..

GÓjÕdLôhÓ 19 : JÚ ¡WôUj§u UdLsùRôûL 3140. JÚYÚdÏ JÚ Sôû[dÏ 25 −hPo ÅRm Ri½o ®¨úVô¡lTRtÏ Ht\ôtúTôp ùT¬V Ri½ojùRôh¥ LhPlThPÕ. AjRi½WjùRôh¥dÏ 10 ùN.Á. ®hPØs[ ÏZô«u Y¯VôL ®Sô¥dÏ 4Á. úYLj§p Ri½o ùNp¡\Õ. JqùYôÚ SôÞm AjùRôh¥«p Ri½o ¨û\V GqY[Ü úSWm BÏm? (π = 3.14) ¾oÜ: JÚYÚdÏ ùLôÓdLlTÓm Ri½¬u L]A[Ü = 25 −hPo = 25000 ùN.Á.3. ùRôh¥«s[ Ri½¬u L]A[Ü = 3140 × 25000 ùN.Á.3 JÚ ®Sô¥«p ùNpÛm Ri½¬u L]A[Ü = 3.14 × 5 × 5 × 400 ùN.Á.3.

ùRôh¥«p Ri½o ¨û\V BÏm úSWm = ùRôh¥«u L]A[Ü

JÚ ®Sô¥«p ùNpÛm Ri½¬u L]A[Ü

www.kalvisolai.com

37

= 3140 250003.14 5 5 400

×× × ×

= 2500 ®Sô¥Ls = 41 ¨ª 40 ®Sô¥Ls ùRôh¥«p Ri½o ¨û\V BÏm úSWm 41 ¨ªPm, 40 ®Sô¥Ls.

T«t£ 2.2

1. JÚ L]ùN.Á. CÚm×jÕiûP 3.5 ª.Á. ®hPØs[ ¿[dLm©VôL Uôt±]ôp Lm©«u ¿[m Gu]?. (π = 3.14).

2. 4.396 Á. × 2.5 Á. × 1.6 Á. A[ÜLÞs[ ùNqYLY¥Y CÚm×jÕiûP EÚd¡ 0.4 Á. BWØs[ EÚû[VôL Uôt±]ôp EÚû[«u EVWm Gu]? (π=3.14).

3. 12 ùN.Á. ®hPØs[ EÚû[Y¥Yl Tôj§Wj§p Ri½o Es[Õ. 6 ùN.Á. ®hPØs[ úLô[jûR AjRi½¬p êrÏmT¥ ®hPôp Tôj§Wj§p Ri½o UhPm GqY[Ü EVÚm?

4. 15 ùN.Á. ®hPØs[ EÚû[Y¥Yl Tôj§Wj§p 6 ùN.Á. EVWj§p Ri½o Es[Õ. CjRi½ûW 1.25 ùN.Á. BWm, 6 ùN.Á. EVWØs[ ám×Y¥Y ºNôdL°p ¨Wl©]ôp GjRû] ºNôdL°p ¨WlTXôm?

5. 4 Á. ¿[Øm 1.2 ùN.Á. BWØm Es[ EÚû[d Lm© 72 ùN.Á. ¿[Øs[ Lm©VôL Uôt\lTÓ¡\Õ. ×§V Lm©«u BWm Gu]?

6. 6 Á x 4 Á x 2.75 Á A[ÜLÞs[ Tôj§Wj§Ûs[ UûZj Ri½ûW 20 Á. ®hPØs[ EÚû[ Y¥Yl Tôj§Wj§tÏ Uôt±]ôp EÚû[l Tôj§Wj§u

Ri½¬u EVWm Gu]? (π = 3.14). 7. 12.6 ùN.Á. BWØs[ EúXôLd úLô[jûR EÚd¡ 12.6 ùN.Á. EVWØs[

EúXôLd ámTôL Uôt±]ôp ám©u EVWjûR CWiÓ RNU CPj§ÚjRUôL LôiL.

8. 8 ùN.Á. BWØs[ AûWdúLô[ Y¥Y EúXôLd ÏiûP EÚd¡ 6 ùN.Á. BWØs[ ámTôL Uôt±]ôp ám©u ®hPjûRd Lôi.

9. 5 ùN.Á. BWØs[ úLô[j§u Yû[TWlTô]Õ 4 ùN.Á. BWØs[ ám©u Yû[TWl©u 5 UPe¡tÏ NUUô]ôp ám©u EVWjûRÙm L]A[ûYÙm LôiL.

10. 12 ùN.Á. BWØs[ JÚ EÚû[ Y¥Yl Tôj§Wj§p 20 ùN.Á. BZj§tÏ Ri½o Es[Õ. JÚ úLô[lTkûR AkRl Tôj§Wj§p úTôhPôp Ri½o UhPm 6.75 ùN.Á. EVÚ¡\Õ G²p úLô[lTk§u BWm Gu]?

11. 7 ùN.Á. ®hPØs[ ÏZô«u Y¯VôL, 4.9 ùadúPo TWlT[Üs[ ¨Xj§tÏ 10 ùN.Á. BZj§tÏ Ri½o TôV 70 U¦ úSWm B¡\Õ G²p Ri½¬u úYLm Gu]?

12. EsÇPt\ JÚ EÚû[«u ¿[m 40 ùN.Á. CRu Es, ùY° BWeLs Øû\úV 4 ùN.Á., 12 ùN.Á. CRû] EÚd¡ 20 ùN.Á. ¿[Øs[ §P EÚû[VôL Uôt±]ôp ARu ®hPm Gu]?

13. JÚ ám×m, JÚ EÚû[Ùm JúW A¥lTWl×m, JúW Yû[TWl×m ùLôiPûY. EÚû[«u EVWm 2.5 Á. ám©u BWm 3 Á. G²p ám©u Yû[TWlûTÙm, L]A[ûYÙm LôiL.

14. EsÇPt\ JÚ úLô[j§u Es®hPm 4 ùN.Á., ùY°®hPm 8 ùN.Á. CRû] EÚd¡ 8 ùN.Á. ®hPØs[ ámTôL Uôt±]ôp, ám©u EVWm Gu]?

www.kalvisolai.com

38

15. êuß úLô[eL°u BWeLs Øû\úV 6 ùN.Á., 8 ùN.Á., 10 ùN.Á. AYtû\ EÚd¡ JúW JÚ úLô[UôLf ùNnRôp, AdúLô[j§u BWm Gu]?

16. JÚ EÚû[«u A¥lTdL BWm 12 ùN.Á., EVWm 16 ùN.Á. AûR EÚd¡ 8 NU A[ÜLÞs[ úLô[eL[ôLf ùNnRôp, JqùYôÚ úLô[j§u BWm Gu]?

17. 3 Á. ®hPØs[ ¡Qß 20Á. BZj§tÏ úRôiPlTÓ¡\Õ. úRôi¥ GÓdLlThPUi 15 Á. EVWØs[ ámTôL Ï®dLlTÓ¡\Õ G²p ám©u BWm, NôÙVWm LôiL.

18. êuß EÚû[ Y¥Yl Tôj§Wj§p U§V EQÜ RVôWôL ûYdLlThÓs[Õ. Tôj§Wj§u ®hPm 1.4 Á., EVWm 56 ùN.Á., AqÜQûY 14 ùN.Á. BWØs[ AûWdúLô[Y¥Yl Tôj§WjRôp CÚØû\ T¬Uô±]ôp GjRû] UôQYoLÞdÏ EQÜ ¡ûPdÏm?

®ûPLs T«t£ 2.1 (1) 692.37 ¡.¡ (2) 1945.23 Á (3) (22.2) πÁ2, (19.745) πÁ3 (4) (159.75) πùN.Á.3. (5) ì. 854.58 (6) 415 π ùN.Á. 2

(7) (132.75) π ùN.Á.2 (8) (522.67) π ùN.Á.3 (9) 420 π Á2 (10) (29.17) π ùN.Á.3 (11) (3255.21) π ùN.Á.3 (12) 12124.08 ùN.Á.3 (13) 15335 π ùN.Á.3 (14) (384.16) π ùN.Á.2 (15) (21.35) h (16) (48.5) π ùN.Á.3. T«t£ 2.2 (1) 10.4 ùN.Á. (2) 35Á (3) 1 ùN.Á. (4) 108 (5) 2√2 ùN.Á. (6) 5.25 ùN.Á. (7) 50.4 ùN.Á. (8) 28.44 ùN.Á. (9) 50.3 ùN.Á. 3 (10) 9 ùN.Á. (11) 18.19 ¡/ U¦ (12) 32 ùN.Á. (13) 15πùN.Á.2, πÁ3 (14) 14 ùN.Á. (15) 12ùN.Á. (16) 6ùN.Á. (17) 3Á, 15.3 Á (18) 225.

www.kalvisolai.com

39

3. LQ®Vp

3.0 A±ØLm LQeL°u SÅ] LÚj§V−u RkûRVô] úLuPo (1845-1918) GuTYo ùUnùViL°u LQj§Ûs[ GiLs ØÝdLú[ôÓ JußdùLôuß ùRôPo×AûUdL CVXôÕ Guàm BWônf£dLhÓûWûV ¡.©. 1874-Cp ùY°«hPôo. 1879-−ÚkÕ AYo U]dLiúRôt\ LQeL°u Ti×Lû[l Tt±V BWônf£ LhÓûWLû[ ùY°«hPôo. ùP¥ûLuh (¡.©. 1831-1916), ÏúWôùSdLo (¡.©. 1810-1893) B¡V ×LrYônkR L¦RYpÛSoLs LQdLÚj§V−u ÁRô] BWônf£ûVj ùRôPokÕ SPj§YkR]o. ù_oUô²V L¦RúUûR LôhXôl RÚdLØû\«u A¥lTûP ®§L[ôL, LQdLÚj§VûXj RkRôo. ùTo¥Wôih Wv^p (¡.©. 1872-1970), TÜp aôpUôu GuTYoLs LQdLÚj§V−u ØWiTôÓLû[l Tt± ×ÕdLÚjÕûWjR]o. LQdLÚj§V−u A¥lTûP EiûULs Go]vÓ ù_oùUúXô (1908), B©WLôm lWôuùLp (1922), _ôuYôu ¨ëúUu (1925) B¡VYoL[ôp ùY°«PlThPÕ. TÜp ùToúSv (1937), úUÛm LohúLôùPp (1940) GuTYoLs Cuàm A§L §Úl§Vô] A¥lTûP EiûULû[j RkRôoLs. B]ôp úLuP¬u LQdLÚj§VúX Cuû\V L¦Rj§p TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. ùPvLôoúPv (¡.©. 1596-1650), Nôo× Guàm YôojûRûV ¡.©. 1637-p xn GuTûR ùTôÚsTÓjR A±ØLlTÓj§]ôo. Nôo× Tt± §hPYhPUô] YûWVû\ ú_mv ¡WúLô¬ (¡.©. 1638-1675) GuTYWôp ùLôÓdLlThPÕ. ùX©²hv (¡.©. 1673) GuTYo JÚ Yû[YûW«p AûUÙm Ts°«u BVdáßLs, Yû[YûW«u NônÜ, JÚ Yû[YûWdÏ JÚ ×s°«p AûUÙm ùRôÓúLôÓ, ùNeúLôÓ B¡VYtû\l ùTôÚsTÓjR Nôo× Guàm YôojûRûVl TVuTÓj§]ôo. ©u]o ùX©²hv (¡.©. 1714) JÚ Uô±ûVf NôokR A[ÜLû[ ùTôÚsTÓjR Nôo× Guàm YôojûRûV TVuTÓj§]ôo. CYoRôm x-Cu Nôo× Guàm ùNôtù\ôPûW ØRu ØR−p TVuTÓj§VYo. f(x) Guàm Ï±Uô]Øû\ BnXo (¡.©. 1734) GuTYWôp A±ØLlTÓjRlThPÕ. úTô¬Vo (¡.©. 1768-1830) GuTYo ùYlTdLPjRp LQdûL ¾oÜLôQ BWôÙmúTôÕ Nôo× Tt±V TWkR YûWVû\ RkRôo. ¥¬fùXh (¡.©. 1805- 1859) Cuû\V Sô°p TVuTÓm Nôo©u ®[dLm RkRôo. úLuPo Nôo×dÏ LQdLÚj§Vp NôokR YûWVû\ RkRôo. 3.1 LQeLs Sôm ØkûRV YÏl×L°p LQeLû[lTt±d Ltßsú[ôm. L¦Rj§u GpXôl ©¬ÜLÞm LQdLÚj§V−u YûWfNhPj§tÏs ùLôiÓYWlTPXôm. ¸úZ LôQlTÓm úLs®LÞdÏ T§p A°lTRu êXm LQeLû[lTt± Sôm Lt\±kRYtû\ ÁiÓm ¨û]ÜáoúYôm. LQm, ùYtß LQm, CûQlTLu\ LQeLs, EhLQeLs, AÓdÏ LQm, Aû]jÕLQm, LQj§u ¨Wl©, LQfùNVpLs B¡VYtû\ YûWVßjÕ GÓjÕdLôhÓLs RÚL. CkRl TôPlTÏ§«p LQfùNVpLs ÁRô] ®§Ls, Tt± ®[dLUôL LtßdùLôsúYôm.

www.kalvisolai.com

40

CÚ LQeL°u úNol× UôtßlTi× EûPVÕ

TPm 3.1 TPm 3.2 TPeL°−ÚkÕ A ∪ B = B ∪ A G]d Lôi¡ú\ôm. GÓjÕdLôhPôL A = {–2, 3, 5, 7} úUÛm B = {3, 9, 11} G]d ùLôÓdLlThÓs[Õ. A ∪ B = {–2, 3, 5, 7, 9, 11}, B ∪ A = {–2, 3, 5, 7, 9, 11}BÏm. ∴ A ∪ B = B ∪ A CÚ LQeL°u ùYhÓ UôtßlTi× EûPVÕ

TPm 3.3 TPm 3.4

úUúXÙs[ TPeL°−ÚkÕ A ∩ B = B ∩ A G]d Lôi¡ú\ôm.. GÓjÕdLôhPôL A = {–7, 5, 2, 3,6} úUÛm B = {3, 6, 7, 12} A ∩ B = {3, 6}; B ∩ A = {3, 6}BÏm. ∴ A ∩ B = B ∩ A. JÚ LQjûR AúR LQjÕPu úNol× LQm AûUjRôúXô ùYhÓLQm AûUjRôúXô AkR LQm Uô\ôR RuûUÙûPVÕ

TPm 3.5 TPm 3.6

A ∪ A = A and A ∩ A = A

A = {1, 3, 5, 7}, then A ∪ A = {1, 3, 5,7} = A úUÛm A ∩ A = {1, 3, 5, 7} = A.

A B

A B

B A

A B

A A

A B

A A

A B

A B

A B

B A

A B

www.kalvisolai.com

41

LQeL°u úNol×, úNol× Ti× EûPVÕ

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ùYuTPeLû[l TVuTÓj§ úNol× LQeL°u úNol© Ti©û]fN¬TôojRp. C C C TPm 3.7 TPm 3.8 TPm 3.9

TPm 3.10 TPm 3.11 TPm 3.12 TPm 3.9, TPm 3.12-−ÚkÕ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C GuTÕ ùR°Yô¡\Õ. LQeL°u ùYhÓ, úNol×l Ti× EûPVÕ

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ùYiTPeLû[l TVuTÓj§ ùYhÓ LQeL°u, úNol× Ti©û]f N¬TôojRp.

TPm 3.13 TPm 3.14 TPm 3.15 TPm 3.16 TPm 3.14, TPm 3.16-−ÚkÕ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C GuTÕ ùR°Yô¡\Õ. GÓjÕdLôhÓ 1: ùLôÓdLlThP LQeLû[d ùLôiÓ LQeL°u úNol×, ùYhÓdLô] úNol× Ti©û]f N¬Tôo. A = {4, 5, 6}, B = {6, 7, 8}, C = {7, 8, 9} ¾oÜ: (a) B ∪ C = {6, 7, 8, 9}; A ∪ (B ∪ C) = {4, 5, 6, 7, 8, 9} (1) A ∪ B = {4, 5, 6, 7, 8}; (A ∪ B) ∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} (2) (1), (2)−ÚkÕ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C GuTÕ N¬TôodLlThPÕ.

A B

A

C

B

(A B) C

A B

CC

BA

C

B

B C

C

A A B

C

A (B C)

A

C

(A B) C

BA B

C

A B

BA

A

BA

B C A (B C)

A B

www.kalvisolai.com

42

(b) B ∩ C = {7, 8}; A ∩ (B ∩ C) = { } (3) A ∩ B = {6}; (A ∩ B) ∩ C = { } (4) (3), (4)-−ÚkÕ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C N¬TôodLlThPÕ.

Te¸hÓ ®§Ls (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A= {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 6,8} B¡V LQeLû[ GÓjÕd ùLôsúYôm.

(a) B ∩ C = {1, 6, 8}; A ∪ (B ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 6, 8} (1) A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8} A ∪ C = {1, 3, 5, 6, 7, 8} (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 3, 5, 7, 6, 8} (2) (1), (2)-−ÚkÕ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) G]d Lôi¡ú\ôm. (b) B ∪ C = {1,2,4,6,8,3}; A ∩ (B ∪ C) = {1, 3} (3) A ∩ B = {1} ; A ∩ C = {1, 3} (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 3} (4) (3), (4)-−ÚkÕ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) G]d Lôi¡ú\ôm. ùYuTPeLû[l TVuTÓj§ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Guàm ®§ûV N¬TôojRp.

TPm 3.17 TPm 3.18

TPm 3.19 TPm 3.20 TPm 3.21

TPm 3.18, TPm 3.21-−ÚkÕ Sôm A±YÕ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ùYuTPeLû[l TuTÓj§ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Guàm ®§ûV N¬TôojRp.

B

B C

C

A A B

C

A (B C)

B

A B

C

A B

A C

C

A B

(A C)

C

A

(A B)

www.kalvisolai.com

43

TPm 3.22 TPm 3.23

TPm 3.24 TPm 3.25 TPm 3.26

TPm 3.23, TPm 3.26−ÚkÕ Sôm A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) G] A±¡ú\ôm. ¥UôoL²u ®§Ls

A, B, C GuTûY HúRàm êuß LQeLs GuL. ©u]o (i) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′; (ii) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ (iii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ A – C) (iv) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) B¡VûY ¥UôoL²u ®§Ls G]lTÓm. GÓjÕdLôhÓ 2: ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5} G²p (i) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ úUÛm(ii) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ ¾oÜ: ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; (A ∪ B)′ = {7, 8, 9, 10} (1) A′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}; B′ = {4, 6, 7, 8, 9, 10} A′ ∩ B′ = {7, 8, 9, 10} (2) (1), (2)-−ÚkÕ (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ N¬TôodLlThPÕ. (i) A ∩ B = {2 } (A ∩ B)′ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (3) A′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}; B′ = {4, 6, 7, 8, 9, 10} A′ ∪ B′ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (4) (3), (4)-−ÚkÕ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ N¬TôodLlThPÕ. GÓjÕdLôhÓ 3: A = {a, b, c, d, e, f, g, h}; B = {a, b, e, f}, C = {a, c, e, g, h, k} G²p ¸rdLôÔm ¥UôoL²u ®§Lû[ N¬Tôo. (i) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) and (ii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) ¾oÜ: (i) B ∪ C = {a, b, c, e, f, g, h, k} A – (B ∪ C) = {d} (1) A – B = {c, d, g, h}; A – C = {b, d, f} (A – B) ∩ (A – C) = {d} (2) (1), (2)-−ÚkÕ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) G] A±¡ú\ôm.

B

B C

C

A B

A (B C)

C

A

B

A B

A B

A C

A B

(A B) (A C)

C C C

www.kalvisolai.com

44

GÓjÕdLôhÓ 4: ùYuTPeLû[l TVuTÓj§ (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ Guàm ¥UôoL²u ®§ûV N¬Tôo: ¾oÜ: TPm 3.27 TPm 3.28

TPm 3.29 TPm 3.30 TPm 3.31 TPm 3.28, TPm 3.31-−ÚkÕ (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ G] Lôi¡ú\ôm. GÓjÕdLôhÓ 5: ùYuTPeLû[l TVuTÓj§ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′, Guàm ¥UôoLu ®§«û] N¬Tôo. ¾oÜ:

TPm 3.32 TPm 3.33 TPm 3.34 TPm 3.35 TPm 3.36

TPm 3.33, TPm 3.36 CYt±−ÚkÕ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ G]d Lôi¡ú\ôm.

A B

A B

(A B)’

A B

A B A B

A ’ B’ A B’ ’

A B

A B

A B

(A B)’

A B

A B A B

A ’ B’ A B’ ’

A B

www.kalvisolai.com

45

B C

A B

C

A - (B C)

A B

C

A - B

A B

C

A - C

A B

C

(A - B) (A - C)

A B

C

GÓjÕdLôhÓ 6: A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) Guàm ¥UôoL²u ®§ûV ùYuTPeLs êXm N¬Tôo. ¾oÜ:

TPm 3.37 TPm 3.38 TPm 3.39 TPm 3.40 TPm 3.41 TPm 3.38, TPm 3.41-−ÚkÕ Sôm A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) G] A±¡ú\ôm. GÓjÕdLôhÓ 7: A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) Guàm ¥UôoL²u ®§ûV ùYuTPeLs êXm N¬Tôo. ¾oÜ: TPm 3.42 TPm 3.43

TPm 3.44 TPm 3.45 TPm 3.46 TPm 3.43, TPm 3.46-−ÚkÕ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) G] Sôm A±¡ú\ôm.

A - B

A B

C

A - C

A B

C

(A B) (A - C)

B C

A B

C

A - (B C)

A B

C

A B

C

www.kalvisolai.com

46

JuTRôm YÏl©p CWiÓ LQeLû[f NôokR LQdÏLû[ ãj§WjûRl TVuTÓj§Ùm ùYuTPeLû[l TVuTÓj§Ùm ¾olTûR Lt\±kúRôm. CeúL êuß LQeLû[f NôokR LQdÏLÞdÏ, ùYuTPeLû[l TVuTÓj§Ùm ãj§WjûRl TVuTÓj§Ùm ¾oÜ LôQlúTô¡ú\ôm. ãj§Wm : n(A ∪ B ∪ C) = n(a) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C) A = {2, 3, 4} B = {2, 3, 5, 6} C = {3, 4, 5, 7, 8} Gu\ LQeLû[d ùLôiÓ ãj§WjûR N¬Tôo. GÓjÕdLôhÓ 8: JÚ LûX¨Lrf£«p, 24 UôQYoLs SP]j§Ûm, 11 úTo SôPLj§Ûm, 25 úTo ÏÝlTôP−Ûm, 7 úTo SP]j§Ûm, SôPLj§Ûm, 4 úTo SôPLj§Ûm, ÏÝlTôP−Ûm, 12 úTo SP]j§Ûm, ÏÝlTôP−Ûm, 3 úTo êu±Ûm LXkÕ ùLôiPôoLs. AqYÏl©p Es[ ùUôjR UôQYoL°u Gi¦dûL 50 G²p JÚ ¨Lrf£«Ûm LXkÕ ùLôs[ôRYoLs GjRû] úTo G]dLôiL. ¾oÜ: A, B, C GuTûY Øû\úV SP]m, SôPLm, ÏÝlTôPp B¡VYt±p LXkÕ ùLôiPYoL°u LQUôL CÚdLhÓm.

YÏl©p Es[ ùUôjR UôQYoL°u Gi¦dûL = n(ξ) = 50 SP]j§p LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(A) = 24 SôPLj§p LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦LfûL = n(B) = 11 ÏÝlTôP−p LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(C) = 25 SP]j§Ûm, SôPLj§Ûm LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(A ∩ B) = 7 SôPLj§Ûm, ÏÝlTôP−Ûm LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(B ∩ C) = 4 SP]j§Ûm, ÏÝlTôP−Ûm LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(A ∩ C) = 12 êu±Ûm LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = n(A∩B∩C) = 3 ∴ HúRàm JÚ ¨Lrf£«p LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 24 + 11 + 25 – 7 – 4 – 12 + 3 = 63 – 23 = 40 ∴ JÚ ¨Lrf£«Ûm LXkÕ ùLôs[ôRYoL°u Gi¦dûL = n(ζ) – n(A ∪ B ∪ C) = 50 – 40 = 10. ùYuTPeLû[l TVuTÓj§ CkRLQdûL ¾olúTôm: HúRàm JÚ ¨Lrf£«p LXkÕ ùLôiPYoL°u Gi¦dûL = 8 + 4 + 3 + 9 + 3 + 1 + 12 = 40 ∴ JÚ ¨Lrf£«Ûm LXkÕ ùLôs[ôRYoL°u Gi¦dûL = 50 – 40 = 10. GÓjÕdLôhÓ 9: 35 UôQYoLs Es[ JÚ YÏl©p, 18 úTo RªÝm, 12 úTo Ck§Ùm, 15 úTo Be¡XØm, 2 úTo RªÝm, Ck§Ùm, 4úTo Ck§Ùm, Be¡XØm, 5 úTo Be¡XØm, RªÝm úTÑ¡\ôoLs G²p êuß ùUô¯LÞm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûLûVd LôiL. úUÛm Ck§Ùm, Be¡XØm úTÑm B]ôp Rªr úTNjùR¬VôR UôQYoL°u Gi¦dûLûVd LôiL. úUÛm Ck§Ùm, Be¡XØm úTÑm B]ôp Rªr úTNjùR¬VôR UôQYoL°u Gi¦dûLûVÙm LiÓ©¥.

24-(4+3+9)

= 8

7-3= 43

12-3= 9

4-3= 1

11-(4+3+1)

= 3

25-(9+3+1)

= 12

A B

CTPm 3.47

www.kalvisolai.com

47

¾oÜ: A, B, C GuT] Øû\úV Rªr, Ck§, Be¡Xm úTÑm UôQYoL°u LQeL[ôL CÚdLhÓm. êuß ùUô¯LÞm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL x G]dùLôsL. Rªr úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(A) = 18 Ck§ úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(B)= 12 Be¡Xm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(C)= 12 = 15 RªÝm, Ck§Ùm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(A∩B) = 2 Ck§Ùm, Be¡XØm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(B∩C) = 4 Be¡XØm, RªÝm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(C∩A) = 5 êuß ùUô¯LÞm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = n(A∩B∩C) = x Rªr UhÓm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = 18 – [2 – x + x + 5 – x] = 18 – (7 – x) = 11 + x Ck§ UhÓm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = 12 – (2 – x + x + 4 – x) = 6 + x Be¡Xm UhÓm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = 15 – [5 – x + x + 4 – x] = 15 – (9 – x) = 6 + x YÏl©Ûs[ ùUôjR UôQYoL°u Gi¦dûL = 35. HúRàm JÚ ùUô¯VôYÕ úTÑTYoL°u Gi¦dûL = 11 + x + 2 – x + 6 + x + 5 – x + x + 4 – x + 6 + x = 34 + 4x – 3x = 34 + x TPm 3.48 ∴ 34 + x = 35, x = 35 – 34 = 1 êuß ùUô¯LÞm úTÑm UôQYoL°u Gi¦dûL = x = 1 Ck§Ùm, Be¡XØm úT£, Rªr úTNjùR¬VôR UôQYoL°u Gi¦dûL = 4 – x = 4 – 1 = 3. GÓjÕdLôhÓ 10: JÚ úUp¨ûX YÏl©p, 66 úTo LôpTkRôhPØm, 56 úTo aôd¡Ùm, 63 úTo ¡¬dùLhÓm, 27 úTo LôpTkRôhPØm, aôd¡Ùm, 25 úTo aôd¡Ùm, ¡¬dùLhÓm, 23 úTo ¡¬dùLhÓm, LôpTkRôhPØm ®û[VôÓ¡\ôoLs. 5 úTo GkR ®û[VôhÓm ®û[VôP®pûX. YÏl©Ûs[ UôQYoL°u ùUôjR Gi¦dûL 130 G²p (i) HúRàm CWiÓ ®û[VôhÓLû[ UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL (ii) LôpTkRôhPm UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL (iii) êuß ®û[VôhÓLû[Ùm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL B¡VYtû\d LôiL. ¾oÜ: F, H, C B¡VûY Øû\úV LôpTkRôhPm, aôd¡, ¡¬dùLh BÓTYoL°u LQeL[ôLhÓm. YÏl©u UôQYoL°u ùUôjRm n(ξ) = 130 LôpTkRôhPm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(F) = 66 aôd¡ ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(H) = 56 ¡¬dùLh ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(C) = 63 LôpTkRôhPØm, aôd¡Ùm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(F∩H) = 27 aôd¡Ùm, ¡¬dùLhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(H ∩ C) = 25 ¡¬dùLhÓm, aôd¡Ùm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(C ∩ F) = 23 êuß ®û[VôhÓLÞm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = n(F∩H∩C) = x G]dùLôsL. GkR ®û[VôhÓm ®û[VôPôR UôQYoL°u Gi¦dûL = 5

11 + x 2-x

x5 - x 4 - x

6 + x

6 + x

AB

C

www.kalvisolai.com

48

LôpTkÕ UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = 66 – (27 – x + x + 23 + x) = 66 – (50 – x) = 66 – 50 + x = 16 + x aôd¡ UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = 56 – (27 – x + x + 25 – x) = 56 – (52 – x) = 4 + x ¡¬dùLh UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = 63 – (23 – x + x + 25 – x) = 63 – (48 – x) = 15 + x TPm 3.49 Ïû\kRÕ JÚ ®û[VôhPôYÕ ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL n(F∪H∪C) = n(ξ) – JÚ ®û[VôhÓáP ®û[VôPôRYoL°u Gi¦dûL = 130 – 5 = 125 TPj§−ÚkÕ, n (F ∪ H ∪ C) = 16 + x + 27 – x + 4 + x + 23 – x + x + 25 – x + 15 + x = 110 + x ∴ 110 + x = 125, x = 125 – 110 = 15. i) CWiÓ ®û[VôhÓLs UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = 27 – x + 23 – x + 25 – x = 75 – 3x = 75 – 3(15) = 75 – 45 = 30 ii) LôpTkRôhPm UhÓm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = 16 + x = 16 + 15 = 31 iii) êuß ®û[VôhÓLû[Ùm ®û[VôÓTYoL°u Gi¦dûL = x = 15 T«t£ 3.1

1. ©uYÚm LQeL°u úNol×LQm, ùYhÓdLQm B¡V CWiÓm UôtßlTi×

EûPV] GuTûR N¬Tôo. (i) A = {1,2,3,4,5,6}, B = {5,6,7,8} (ii) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, u} (iii) A = {3, 7, 9, 11}, B = {4, 5, 6, 8} (iv A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2,4,6,8}

(v) A = {0, 1, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5} 2. ©uYÚm LQeLû[d ùLôiÓ úNol× Ti©û]f N¬Tôo.

(i) A = {a, b, c, d, e}, B = {b, d, f, g}, C = {b, e, f, h} (ii) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8}, C = {8, 9, 10} (iii) A = {3, 4, 5,6}, B = {2, 5, 6,7}, C = {1, 3, 6, 7} (iv) A = {p, q, r, s}, B = {2, 3, 4}, c = {2, 4, p, r} (iv) A = {5, 6, 7, 8}, B = {4, 5, 6}, C = {6, 7, 8, 9}

3. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A ∩ B = {1, 2} úUÛm A = {1, 2, 3, 4, 5} G²p LQm BId LiÓ©¥.

16 + x 27-x

x23 - x 25 - x

4 + x

15 + x

HF

C

www.kalvisolai.com

49

4. A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11}, A ∩ B = {5, 8} úUÛm B = {2,5, 8, 9} G²p LQm A − BûVd LôiL.

5. A = {p, q, r, s} G²p A ∩ A, A ∪ A B¡VYtû\d LôiL.

6. ¸úZ YÚm LQeLû[d ùLôiÓ Te¸hÓ ®§Lû[f N¬Tôo:

(i) A = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {b, d, g, f}

(ii) A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 7, 9}, C = {3, 4, 7, 8, 10}

(iii) A = {3, 5, 6, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 7}, C = {3, 6, 7, 8, 9}

(iv) U = {x/0 < x < 10, x JÚ ØÝ}, A = {x/0 < x < 9, x JÚ CWhûP ØÝ}

B = {x/3 < x < 8, x JÚ Jtû\ ØÝ} C = {x/1 < x < 3, x JÚ ØÝ}

7. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ úUÛm (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′, Guàm ¥UôoL²u ®§Lû[d ¸rdLiP L]eLû[d ùLôiÓ N¬Tôo

(i) ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 4, 6, 7, 8}; B = {3, 4, 6, 7, 8}

(ii) U ={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {4, 7, 9}; B = {6, 7, 1}

(iii) ξ = {5, 6, 9, 11, 13, 17, 18} A = {6, 9, 13, 17}; B = {5, 9, 17, 18}

(iv) ξ = {x/5 < x < 18, x ∈ N} A = {8, 12, 16}; B = {6, 12, 14}

8. ¸rdLiP LQeLû[d ùLôiÓ ¥UôoLu ®§Ls

A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) úUÛm A – (B ∩ C)) = (A – B) ∪ (A – C)-I N¬Tôo

(i) A = {2, 4, 8}, B = {1, 2, 6,8} C = {1, 5, 6, 8}

(ii) A = {4, 7, 9} B = {8, 10} C = {6, 7, 10}

(iii) A = {3, 4, 5, 6} B = {2, 5, 6, 7} C = {1, 3, 6, 7}

(iv) A = {x/-4 < x < 6, x∈ z), B = {x/0 < x < 4, x∈ z), C = {x/-2 < x < 3, x ∈ z}

9. JÚ YÏl©Ûs[ 50 UôQYoL°p 25 úTo Be¡Xm, 18 úTo L¦Rm, 14 úTo A±®Vp, 8 úTo Be¡XØm, L¦RØm 5 úTo L¦RØm, A±®VÛm, 7 úTo A±®VÛm, Be¡XØm 3 úTo êuß TôPeL°Ûm úR±Ùs[ôoLs G²p GpXôl TôPeL°Ûm úRof£ ùT\ôRYoLs GjRû] úTo?

10. 200 úTo YôÝm JÚ ùRÚ®p 120 úTo Be¡X ùNn§jRôsLû[Ùm, 80 úTo Rªr ùNn§jRôsLû[Ùm, 30 úTo ùRÛeÏ ùNn§jRôsLû[Ùm T¥d¡\ôoLs. 60 úTo Be¡XØm, RªÝm, 20 úTo RªÝm, ùRÛeÏm, 15 úTo ùRÛeÏm, Be¡XØm, 9 úTo GpXô ùNn§jRôsLû[Ùm T¥d¡\ôoLs G²p, JÚ ùNn§jRôû[Ùm Yô£dLôRYoL°u Gi¦dûL Gu]?

11. JÚ ùRÚ®p Y£lTYoL°p 65% úTo RªÝm, 52% úTo Ck§Ùm, 40% úTo UûXVô[Øm úTÑ¡\ôoLs. 30% úTo RªÝm, Ck§Ùm, 32% úTo RªÝm, UûXVô[Øm, 25% úTo Ck§Ùm, UûXVô[Øm, 10% Cmêuß ùUô¯Lû[j R®W Ut\ ùUô¯Lû[Ùm úTÑ¡\ôoLs G²p êuß ùUô¯Lû[Ùm úTNjùR¬kRYoLs GjRû] NRÅRm?

www.kalvisolai.com

50

12. 100 £ßYoLs LXkÕùLôiP JÚ ©\kR Sôs ùLôiPôhPj§p NôdúXh, ©vRô, ùYi¦Xô B¡V êuß ÑûYLs EûPV Iv¡ÃmLs T¬Uô\lThP]. 54 £ßYoLs NôdúXh, 32 úTo ©vRô, 36 úTo ùYi¦Xô ÑûY EûPV Iv¡ÃmLû[Ùm, 16 úTo NôdúXhÓm, ©vRôÜm, 16 úTo ©vRôÜm, ùYi¦XôÜm, 14 úTo ùYi¦XôÜm, NôdúXhÓm ®Úm© Nôl©hP]o. 18 £ßYoLs Juû\Ùm Nôl©P®pûXùVu\ôp, (i) GjRû] úTo êuû\Ùm Nôl©hPôoLs? (ii) GjRû] úTo NôdúXh Iv¡Ãm UhÓm Nôl©hPôoLs?

13. JÚ Ts°«p 150 UôQYoLû[, C²l× RVô¬dÏm ¨ßY]m Juß úTh¥ LiPùTôÝÕ 10 UôQYoLs A Guàm C²l×YûLûV UhÓm, 16 úTo B Guàm YûLûV UhÓm, 20 úTo C Guàm YûLûV UhÓm 40 úTo A, B Guàm CWiÓ YûLûVÙm, 20 úTo B, C Guàm CWiÓ YûLûVÙm, 50 úTo A, C Guàm CWiÓ YûLûVÙm, 3 úTo 3 YûL C²l×Lû[Ùm ®Úm© Nôl©Ó¡\ôoLs G²p (i) GjRû] úTo A-IÙm, B-IÙm ®Úm© C-I ®Úm×Y§pûX? (ii) GjRû] úTo B-IÙm, C-IÙm ®Úm×¡\ôoLs B]ôp A-I ®Úm×Y§pûX? (iii) ùTVo ùTt\ C²l× YûL GÕ? (iv) GqY[Ü úTo Juû\ÙúU ®Úm×Y§pûX?

14. JÚ ùRÚ®p 150 úTo Y£d¡\ôoLs. AYoLs êuß®RUô] úNôl×Lû[ ETúVô¡d¡\ôoLs. 30 úTo ØRXôm, CWiPôm YûLûVÙm, 31 úTo CWiPôm, êu\ôm YûLûVÙm, 20 úTo ØRXôm êu\ôm YûLûVÙm ETúVô¡d¡\ôoLs. 9 úTo êuß YûLLû[Ùm, JúW Gi¦dûLÙs[ SToLs JúWJÚ ®R úNôl×Lû[ UhÓm ETúVô¡d¡\ôoLs G²p JúW JÚ®R úNôl×Lû[ UhÓm ETúVô¡lTYoLs ùUôjRm GjRû]úTo?

®ûPLs

T«t£ 3.1 (3) B = {1, 2, 6, 7,8,9} (4) A − B = {3, 4, 6, 11} (5) A ∩ A = {p, q, r, s} A ∪ A = {p, q, r, s} (9) 10 (10) 56 (11) 20% (12) 630 (13) 37, 17, A Jußm CpûX (14) 87

www.kalvisolai.com

51

4. CVtL¦Rm 4.0 A±ØLm

CVtL¦RUô]Õ TXèt\ôiÓL[ôL BWônf£«p Y[okRÕ. Tô©úXô²Vô, º] Øuú]ôoLs, G¡l§V L¦R YpÛSoLs LQdÏLû[ YôojûRL[ôp GÓjÕûWjÕ (ØuùUô¯kÕ) AYtû\j ¾odLÜm ùNnR]o. B]ôp êu\ôm èt\ôiÓ YûW CVtL¦R LQdÏLs Sôm Cuß LtÏm Øû\dÏ DPôL Y¥YûUdLlTP®pûX. 3-Bm èt\ôi¥p AúXd^ôi¥¬VôûYf úNokR ¡úWdL L¦R YpÛSo §úVôTuPv GuTYo ùR¬VôR A[ÜLÞdÏl T§XôL Ï±ÂÓLû[ ETúVôLlTÓjÕm êXØRXô] ØVt£«û] GÓjÕdLôhÓm “A¬jùU¥dLô” Guàm ×jRLjûR GÝ§]ôo. 6-Bm, 7-Bm èt\ôiÓL°p TX Ck§V L¦R YpÛSoLs CVtL¦RjÕû\«p Ød¡VUô]j ùRôiÓLs Bt± YkRôoLs. AYoLÞs B¬VlThPôÜm JÚYo. AYWÕ B¬VTh¥Vô Guàm ×jRLUô]Õ JÚeLûU NUuTôÓ, CÚT¥fNUuTôÓ B¡VYt±p AYWÕ NôRû]Lû[ Es[Pd¡VÕ. ¡.©. 750-Cp CVtL¦R èXô] Th¥ L¦R NôWô, Guàm èûX, cRWô GÝ§]ôo.

9-Bm èt\ôi¥p ApLYô¬vª Guàm AúW©V L¦R YpÛSo Rôm GÝ§V CVtL¦Rl ×jRLj§p TXYûLLs ùLôiP CÚT¥f NUuTôÓLû[j ¾odÏm Bß ®j§VôNUô] YûLLû[Ùm, Gi L¦Rj§−ÚkÕ L¦Rj§u ClTÏ§ûV úYßTÓjÕm Y¯Øû\Lû[Ùm ®¬Yô] Øû\«p RkRôo. ©WmUÏlRô GuTYo YWôL©Wd¬§ G]lTÓm Nx2 + 1 = My2 Guàm Ø¥Ü úR\lùT\ôR NUuTôh¥u ¾o®û]d LiÓ©¥jRôo. úUÛm “GiL¦Rm” Guàm EVoL¦Rl ©¬®tÏ A¥dLp Sôh¥VYo CYoRôm. 1100-p ùTo£V L¦R YpÛSo EUoLVôm ëd°¥u Øû\Lû[ A¥lTûPVôLd ùLôiP CVtL¦R èûX GÝ§]ôo. AYo 25 ®RUô] NUuTôÓLû[ AûPVô[m LiP±kÕ Gi L¦Rj§tÏm CVtL¦Rj§tÏm Es[ ØRp Øû\lT¥Vô] úYßTôh¥û]d LiP±kRôo. TôvLWôfNô¬Vô (¡.©. 1114– ¡.©. 1185) GuTYo Rôm ØRuØR−p éf£VjRôp GkR GiûQ YÏjRôÛm ¡ûPlTÕ Ø¥®− GuTûRÙm, GkR JÚ GiúQôÓm Ø¥®−ûVd áhPd ¡ûPlTÕÜm Ø¥®−Rôu GuTûRÙm A±®jRôo. AYÚûPV ×LrYônkR èp £jRôkR £úWôuU¦ SôuÏ TÏ§Lû[d ùLôiPÕ. A§p Ju\ô]Õ, Utù\ôÚ L¦Rm G]lùTôÚsTÓm ©_L¦Rô (CVtL¦Rm) BÏm. AYo CVtL¦R NUuTôÓLû[j ¾odL “NdLWYôp” ARôYÕ YhP ÑZt£ Øû\ûV A±ØLlTÓj§]ôo.

Bß èt\ôiÓLÞdÏl ©u]o LúXô«v, BnXo, ùXdWôu´ úTôu\ IúWôl©V L¦R YpÛSoLs CkR Øû\ûV ÁiÓm LiP±kÕ RûX¸r YhPÑZt£ Øû\ G]l ùTV¬hP]o. TôvLWô®u TûPl×Ls ùTÚmTôuûUVôL, CVtL¦Rj§pRôu AûUkR]. Ck§V CVtL¦RØm ØdúLôQ®VÛm ùUô¯ ùTVol×L°u êXm AW× EXLj§−ÚkÕ vùT«u, ££− B¡VYt±tÏm ©u]o Ae¡ÚkÕ Ød¡VUôL IúWôlTô ØÝYÕm ùNu\ûPkR]. 13-Bm èt\ôi¥p −úVô]ôoúPô ûTúTô]ô£ CVtL¦Rj§p £X ×jRLeLû[ GÝ§]ôo. 14-Bm èt\ôi¥p, SôWôVQô GuTYo CVtL¦Rj§tÏm, UôV NÕWeLÞdÏm Ød¡V TeL°jRôo. Ut\ SpX TûPl×Ls CjRô−VWô] íLô l£úVô− (1445-1517)

www.kalvisolai.com

52

GuTYWôÛm Be¡X L¦R A±Oo WôToh ùWLôoh (1510-1558) GuTYWôÛm CVtL¦Rj§tÏd ¡ûPjR]. 1515-Cp ££l©úVô²ùPp ùToúWô (1465-1526) GuTYWôp ØlT¥f NUuTôÓLû[j ¾odÏm ®§LÞm 1545-Cp íúPô®dúLô ùToW¬ (1522-1565) GuTYWôp SôtT¥f NUuTôh¥u ¾oÜLôÔm ®§LÞm LiÓ©¥dLlThP]. 16Bm èt\ôi¥p úLW[ô®u £jWôTôà GuTYo 21 ®RUô] CWiÓ CVtL¦R NUuTôhÓj ùRôÏ§LÞdLô] ØÝûUVô]j ¾oÜLû[j RkRôo. Lôop lûWh¬d Lôv GuTYo 1629-p GÓjÕûWdLlThP CVtL¦Rj§u A¥lTûPjúRt\j§û] 1799-Cp ¨ì©jRôo. 1824-Cp ûSpv ùau±d AùTp (1802-1829) ùTôÕYôL IkÕm ApXÕ ARtÏ úUtThPT¥«p AûUkR NUuTôÓLû[j ¾olTRtÏ ùTôÕYô] ®§Ls LôQ CVXôÕ GuTûR ¨ì©jRôo.

4.1 JÚeLûUf NUuTôÓLs

JÚ ùTôÕYô] ¾oÜ LQjûRd ùLôiP JÚT¥f NUuTôÓL°u LQUô]Õ JÚeLûU NUuTôÓL°u ùRôÏl× G]lTÓm. CÚ Uô±L°p AûUkR NUuTôÓLû[j ¾odÏm ùYqúYß Øû\Lû[l Tt± ¿eLs ØkûRV YÏl×L°p Lt\±kÕsÇoLs. x, y, z Guàm êuß Uô±L°p AûUkR JÚT¥f NUuTôÓ ax + by + cz + d = 0 Guàm átß BÏm. CeúL a, b, c, d GuT] a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 G] AûUkR ùUnùViLs. ERôWQUôL 2x – 3y + 6z = 5 GuTÕ 3 Uô±L°p AûUkR JÚT¥f NUuTôPôÏm. ClTÏ§«p GqYôß 3 Uô±L°p AûUkR JÚT¥f NUuTôÓLû[j ¾olTÕ G] Sôm LtL CÚd¡uú\ôm. êuß ùR¬VôR Uô±L°u U§l×Lû[d LôQ SUdÏ AúR êuß ùR¬VôR Uô±L°p AûUkR êuß JÚT¥f NUuTôÓLs úRûY.

4.1.1 x, y, z Guàm êuß Uô±L°p AûUkR êuß JÚT¥f NUuTôÓLû[j ¾odÏm Øû\

êuß NUuTôÓLs ùLôÓdLlThÓs[]. HúRàm CWiÓ NUuTôÓLû[, Ï±lTôL, ØRp CWiÓ NUuTôÓLû[ GÓjÕdùLôsúYôm.

z Guàm JÚ Uô±ûV ¿dÏúYôm. CúRúTôuß CWiPôm, êu\ôm NUuTôÓL°−ÚkÕ (ApXÕ ØRXôm, êu\ôm NUuTôÓL°−ÚkÕ) z-I ¿dÏúYôm.

¡ûPdÏm CWiÓ NUuTôÓLû[Ùm ØkûRV YÏl©p Lt\±kRÕ úTôp ¾oÜ LôiúTôm.

x, y B¡VYt±u U§l×Lû[ êuß NUuTôÓL°u HúRàm Ju±p ©W§«hÓ z-Cu U§lûTd LôiúTôm.

CqYôß x, y, z B¡VYt±u U§l×Ls LiP±VlThP]. GÓjÕdLôhÓ 1 : NUuTôÓLû[j ¾o : x + 2y + 3z = 14, 3x + y + 2z = 11, 2x + 3y + z = 11. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP NUuTôÓLû[ x + 2y + 3z = 14 (1) 3x + y + 2z = 11 (2) 2x + 3y + z = 11 (3) G]d ùLôsúYôm

NUuTôÓLs (1), (3)-I GÓjÕdùLôsL.

www.kalvisolai.com

53

(1) ⇒ x + 2y + 3z = 14 (3) × 3 ⇒ 6x + 9y + 3z = 33 L¯dL

–5x – 7y = –19 5x + 7y = 19 (4)

NUuTôÓLs (2), (3)-I GÓjÕdùLôsL. (2) ⇒ 3x + y + 2z = 11 (3) × 2 ⇒ 4x + 6y + 2z = 22 L¯dL

–x – 5y = –11 x + 5y = 11 (5)

NUuTôÓLs (4), (5)-I GÓjÕdùLôsL. (4) ⇒ 5x + 7y = 19 (5) × 5 ⇒ 5x + 25y = 55 L¯dL

–18y = –36 ; ∴y = 2

y = 2 GuTûR NUuTôÓ (5)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ x + 5(2) = 11; x + 10 = 11; ∴x = 1

x = 1, y = 2 GuTûR NUuTôÓ (3)-Cp ©W§«P 2(1) + 3(2) + z = 11; 2 + 6 + z = 11 ⇒ z = 3

G]úY ¾oÜ x = 1, y = 2, z = 3.

GÓjÕdLôhÓ 2 : ¾o: 3x – 3y + 4z = 14; –9x – 6y + 2z = 1; 6x + 3y + z = 5 ¾oÜ : ¸úZ ùLôÓdLlThP NUuTôÓLû[

3x – 3y + 4z = 14 (1) –9x – 6y + 2z = 1 (2) 6x + 3y + z = 5 (3)

NUuTôÓLs (1), (2)-I GÓjÕdùLôsL. (1) × 3 ⇒ 9x – 9y + 12z = 42 (2) ⇒ –9x – 6y + 2z = 1 áhP

–15y + 14z = 43 (4)

NUuTôÓLs (1), (3)-I GÓjÕdùLôsL. (1) × 2 ⇒ 6x – 6y + 8z = 28 6x + 3y + z = 5 L¯dL

– 9y + 7z = 23 (5)

NUuTôÓLs (4), (5)-I GÓjÕdùLôsL. (4) ⇒ –15y + 14z = 43

www.kalvisolai.com

54

(5) × 2 ⇒ –18y + 14z = 46 L¯dL

3y = –3 ⇒ y = –1

y = –1 GuTûR NUuTôÓ (4)-Cp ©W§«P –15(–1) + 14z = 43 ApXÕ 14z = 43 – 15 = 28 ⇒ z = 2

y = –1, z = 2 GuTûR NUuTôÓ (1)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ 3x – 3(–1) + 4(2) = 14 or 3x = 14 – 11 = 3 or x = 1

∴ ¾oÜ x = 1, y = –1, z = 2

GÓjÕdLôhÓ 3 : ¾o: x+ y = 3, y + z = –5, z + x = 2. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP NUuTôÓLû[

x + y = 3 (1) y + z = –5 (2) z + x = 2 (3) G]dùLôsúYôm.

êuß NUuTôÓLû[Ùm áhPd ¡ûPlTÕ

2x + 2y + 2z = 3 + (–5) + 2 ApXÕ 2(x + y + z) = 0 ApXÕ x + y + z = 0 (4)

y + z = –5 GuTûR (4)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ x + (–5) = 0 ∴x = 5.

z + x = 2 GuTûR NUuTôÓ (4)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ y + 2 = 0 ∴ y = –2.

x = 5 GuTûR NUuTôÓ (3)-Cp ©W§«P, z + 5 = 2 ApXÕ z = 2–5 = –3

¾oÜ x = 5, y = –2, z = –3.

GÓjÕdLôhÓ 4 : ¾o : 2/x + 3/y – 4/z = – 20; 2/y – 4/x + 3/z = 45; 3/x – 4/y + 2/z = 5 ¾oÜ : 1/x = a, 1/y = b, 1/z = c GuL.

©u]o 2a + 3b – 4c = –20 (1) –4a + 2b + 3c = 45 (2) 3a – 4b + 2c = 5 (3)


(1) × 3 ⇒ 6a + 9b – 12c = –60 (2) × 4 ⇒ –16a + 8b + 12c = 180 áhP

–10a + 17b = 120 (4)


(1) ⇒ 2a + 3b – 4c = –20 (3) × 2 ⇒ 6a – 8b + 4c = 10 áhP

8a – 5b = –10 (5)

(4) × 8 ⇒ –80a + 136b = 960

www.kalvisolai.com

55

(5) × 10 ⇒ 80a – 50b = –100 áhP

86b = 860 ∴ b = 10

b = 10 GuTûR NUuTôÓ (5)-Cp ©W§«P Sôm A±YÕ 8a – 5(10) = –10; 8a = –10 + 50 = 40 ∴ a = 5.

a = 5, b = 10 GuTûR NUuTôÓ (3)-Cp ©W§«P 3(5) – 4(10) + 2c = 5 ApXÕ –25 + 2c = 5 ApXÕ 2c = 5+25 = 30 ∴ c = 15.

a = 5, b = 10, c = 15, G]úY Sôm A±YÕ x = 1/5, y = 1/10, z = 1/15.

T«t£ 4.1.1

¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ JÚeLûUfNUuTôÓLû[j ¾o:

1. 3x – 2y + z = 0; 4x + 6y – 3z = 13; x – 2y + 2z = –4 2. 2x – 2y + 4z = –12; 3x + 2y + 2z = 19; –x + y – z = 3 3. 2x + 3y – z = 5; 4x + y + 3z = 5; 3x + 2y + 2z = 5 4. x + 2y + 3z = 10; x – 2y + 4z = 3; x + y – 3z = 2 5. x + y = 7; y + z = 4; z + x = 1 6. x + y = –3; y + z = 1; z + x = –8 7. x – y = 2; 3x + 2y – 3z = 13; x – 3y + 5z = 3 8. x + 2z = 7; 2x – y + 3z = 9; y – z = 1 9. 3/x – 4/y – 6/z = –3; 2/y – 6/x + 3/z = 1; 9/z – 9/x + 1/y = 7/2 10. 2/x + 3/y + 1/z = 4; 4/x – 6/y + 3/z = –5; 3/x – 5/y + 2/z = –4 11. 1/x + 1/y = 1; 1/y + 1/z = 2; 1/z + 1/x = 4 12. 4/x + 3/y = 1; 9/y – 8/z = 5; 1/z + 6/x = 2

4.1.2 JÚeLûUfNUuTôhÓ Y¯dLQdÏLs`

CkRl TÏ§«p SUÕ Au\ôP YôrdûLdÏ NmTkRlThP LQdÏLû[j ¾olTRu êXm JÚeLûU JÚT¥f NUuTôÓL°u TVuTôÓLû[d LôiúTôm. NUuTôÓLs úSW¥VôL ùLôÓdLlTPô®hPôp, ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ NUuTôÓLs AûUjÕ ©u]o AYt±u ¾oÜ LôiúTôm.

GÓjÕdLôhÓ 5 : Δ ABC-«p, m∠C B]Õ 20° A§Lm. m∠A, m∠C B¡VYt±u áÓRp m∠B-«û]lúTôp CÚUPeÏ G²p êuß úLôQeLû[Ùm LôiL. ¾oÜ : m∠A, m∠B, m∠C B¡VYtû\ Øû\úV x, y, z G] GÓjÕdùLôsúYôm. ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ, z = x + 20 ; x + z = 2y

JÚ ØdúLôQj§u êuß úLôQeL°u áÓRp 180°, x + y + z = 180°

úUúX LôQlTÓm NUuTôÓLû[, –x + z = 20° (1) x – 2y + z = 0° (2) x + y + z = 180° (3) G]dùLôsúYôm.


www.kalvisolai.com

56

(2) ⇒ x – 2y + z = 0 (3) × 2 ⇒ 2x + 2y + 2z = 360° áhP

3x + 3z = 360° x + z = 120° (4)

NUuTôÓLs (1), (4)-I GÓjÕdùLôsL. (1) ⇒ –x + z = 20° (4) ⇒ x + z = 120° áhP

2z = 140° (ApXÕ) ∴ z = 70°

z = 70° GuTûR (4)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ x + 70° = 120° ApXÕ x = 50°

x = 50°, z = 70° GuTûR (3)-Cp ©W§«P, 50° + y + 70° = 180° ApXÕ y = 60°

G]úY ØdúLôQj§u úLôQeLs

m∠A = 50°; m∠B = 60°; m∠C = 70° BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 6 : JÚ LûP«p A, B, C Gu\ êuß U²RoLs Yôe¡V A¬£, úLôÕûU, NodLûW B¡VYt±u A[ÜLs ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[]. AYoLs Øû\úV

A¬£(¡.¡)

úLôÕûU(¡.¡)

NodLûW(¡.¡)

A B C

3 2 4

2 3 5

4 2 4

ì. 140, ì. 104, ì. 196 ùRôûLûV AYoLs Yôe¡V ùTôÚhLÞdLôL ùNÛj§Ùs[ôoLs G²p 1 ¡úXô A¬£, úLôÕûU, NodLûW B¡VYt±u ®ûX«û]d LôiL. ¾oÜ : JÚ ¡úXô A¬£«u ®ûX ì.x, úLôÕûU«u ®ûX ì. y, NodLûW«u ®ûX ì. z G]dùLôsL. Sôm A±YÕ 3x + 2y + 4z = 140 (1) 2x + 3y + 2z = 104 (2) 4x + 5y + 4z = 196 (3)


(1) ⇒ 3x + 2y + 4z = 140 (2) × 2 ⇒ 4x + 6y + 4z = 208 L¯dL

– x – 4y = –68 x + 4y = 68 (4)

www.kalvisolai.com

57


(2) × 2 ⇒ 4x + 6y + 4z = 208 (4) ⇒ 4x + 5y + 4z = 196 L¯dL

y = 12

y = 12 GuTûR (4)-Cp ©W§«P Sôm A±YÕ,

x + 4(12) = 68 ApXÕ x = 68 – 48 = 20

x = 20, y = 12 GuTûR (1)-Cp ©W§«P,

3(20) + 2(12) + 4z = 140 ApXÕ

84 + 4z = 140

z = 56/4 = 14

∴ x = 20, y = 12, z = 14

∴ A¬£ = ì. 20 / ¡.¡.; úLôÕûU = ì. 12 / ¡.¡.; NodLûW = ì.14/¡.¡. GÓjÕdLôhÓ 7 : JÚ ûT«p TjÕ, IkÕ, CWiÓ ìTôn úSôhÓLs Es[]. ùUôjR úSôhÓL°u Gi¦dûL 20. ùUôjR TQj§u U§l× ì. 125. IkÕ, CWiÓ ìTôn úSôhÓL°u Gi¦dûL Uôt\lThPôp U§lTô]Õ, ì. 6 Ïû\Ùm. JqùYôÚ YûL«Ûm GjRû] úSôhÓLs Es[] G]dLiÓ©¥. ¾oÜ : x, y, z GuTûY Øû\úV ì.10, ì.5, ì. 2 B¡V úSôhÓL°u Gi¦dûLVôLd ùLôsL. úSôhÓL°u ùUôjR Gi¦dûL 20 ⇒ x + y + z = 20 (1) TQj§u ùUôjR U§l× ì. 125 ⇒ 10x + 5y + 2z = 125 (2) II-m III-m YûL Uôt\lThPôp TQj§u U§l× ì. 6 Ïû\Ùm ⇒ 10x + 5z + 2y = 125 – 6 = 119 (3) 10x + 2y + 5z = 119

10 × (1) – (2) ⇒ 5y + 8z = 75 (4) (2) – (3) ⇒ 3y – 3z = 6 y – z = 2 (5) (4), (5)-Ij ¾odL (4) ⇒ 5y + 8z = 75 8 × (5) ⇒ 8y – 8z = 16

13y = 91 y = 7

y = 7 GuTûR (5)-Cp ©W§«P

z = 5

www.kalvisolai.com

58

z = 5, y = 7 GuTûR (1)-Cp ©W§«P

x + 7 + 5 = 20 ⇒ 20 – 7 – 5 ApXÕ x = 8 ì.10, ì.5, ì.2 B¡V úSôhÓL°u Gi¦dûL Øû\úV 8, 7, 5 BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 8 : êuß GiL°u áÓRp 24. AYtßs Ju\ô]Õ Ut\ CÚ GiL°u áÓR−p Tô§. B]ôp AYt±u ®j§VôNjûRlúTôX SôuÏ UPeÏ. AkR GiLû[d LiÓ©¥. ¾oÜ : AkR GiLs Øû\úV x, y, z G] CÚdLhÓm. AYt±u áÓRp 24 ⇒ x + y + z = 24 (1) JÚ GiQô]Õ Ut\ CÚ GiL°u áÓR−u Tô§ ⇒ x = ½ (y + z) (2) AúR Gi, Ut\ CÚ GiL°u ®j§VôNjûRl úTôp 4 UPeÏ ⇒ x = 4(y–z) ApXÕ x–4y+4z=0 (3) (1) + (2) ⇒ 3x = 24 ApXÕ x = 8 (1) ⇒ y + z = 24 – x = 24 – 8 = 16 ApXÕ y + z = 16 (4) (3) ⇒ 4y – 4z = x = 8 ApXÕ y – z = 2 (5) (4) + (5) ⇒ 2y = 18 ApXÕ y = 9. (4) ⇒ 9 + z = 16 ApXÕ z = 7 ∴ AkR GiLs 8, 9, 7 BÏm.

T«t£ 4.1.2 1. JÚ ùRô¯tNôûX«p, 3 AÓjRÓjR YôWeL°p ùRô¯Xô[oLÞdÏ

ùLôÓdLlThP NmT[ WºÕLs Øû\úV ì.1200, ì.1130, ì.1160 BÏm. 5 BiLs, 5 ùTiLs, 6 £ßYoLs ØRp YôWj§Ûm, 4 BiLs, 6 ùTiLs, 5 £ßYoLs CWiPôYÕ YôWj§Ûm, 4 BiLs, 7 ùTiLs, 4 £ßYoLs êu\ôYÕ YôWj§Ûm úYûX ùNn§ÚkRôp JqùYôÚ ùRô¯Xô[ÚdÏm ùLôÓdLlThP á− GqY[Ü?

2. 4 úT]ôdLs, 12 úSôhÓl ×jRLeLs, 6 ùTu£pL°u ùUôjR ®ûX ì. 160, 3 úT]ôdLs, 4 úSôhÓl×jRLeLs, 1 ùTu£−u ®ûX ì.66, 3 úT]ôdLs, 6 úSôhÓl ×jRLeLs, 4 ùTu£pL°u ®ûX ì.94 G²p AûY JqùYôu±u ®ûXûVd LôiL.

3. JÚ êu±XdL Gi¦u CXdLeL°u áÓRp 24. TjRôm CP CXdLm, Ut\ CÚ CP CXdLeL°u áÓR−p Tô§. AkR GiúQôÓ 198-Id áh¥]ôp CXdLeLs CPm YXm Uô± AûUÙm G²p AkR GiûQd LiÓ©¥.

4. JÚ LûXVWeLj§p 500 CÚdûLLs Es[]. ØRXôm, CWiPôm, êu\ôm YÏl×L°u CÚdûLL°u ®ûXLs Øû\úV ì.100, ì.50, ì.30 BÏm. AWeLm ¨û\kR Lôh£ Sôs Ju±u Yãp ì.25000. S−Ütú\ôÚdÏ ERÜm AWeLm ¨û\kR Lôh£ Sôs Ju±p ØRp, CWiÓ, êu\ôm YÏl×L°u ®ûXLs Øû\úV ì.200, ì.100, ì.50 BL Uôt\lThPúTôÕ ¡ûPjR Yãp ì.47500 G²p JqùYôÚ YÏl×L°p Es[ CÚdûLL°u Gi¦dûL Gu]?

www.kalvisolai.com

59

5. ΔABC«p, ØRp CWiÓ úLôQeL°u áÓRp êu\ôYÕ úLôQjûRl úTôp CÚUPeÏ, m∠B B]Õ m∠C-I ®P 5° ùT¬VÕ G²p AkR úLôQeLû[d LiÓ©¥.

6. A, B, C Guàm êuß YûLl ùTh¥L°p 100 ùTu£pLs AÓdLlTP úYiÓm. A YûL«p 2, B YûL«p 3, C YûL«p 4 G]l ùTh¥L°p AYtû\ AÓd¡]ôp 6 ùTu£pLÞdÏ CPªpûX. A YûL«p 3, B YûL«p 5, C YûL«p 2 G]lùTh¥L°p AÓd¡]ôp 2 ùTu£pLÞdÏ CPªpûX. A YûL«p 2, B YûL«p 4, C YûL«p 4 G]lùTh¥L°p AÓd¡]ôp Cuàm 4 ùTu£pLs A§LUôL AÓdLXôm G²p JqùYôÚ YûLl ùTh¥Ùm ùLôsÞ¡u\ ùTu£pL°u Gi¦dûL Gu]?

7. êu±XdL Gi Ju±u CXdLeL°u áÓRp 15. AkR Gi¦−ÚkÕ 99-Id L¯jRôp CXdLeLs CPm YXm Uô± AûUÙm. TjRôm CPj§p Es[ GiQô]Õ è\ôm CPm, Ju\ôm CPj§p AûUkR CÚ GiL°u áÓR−u 2/3 UPeLôÏm. AkR GiûQd LiÓ©¥.

4.2 TpÛßl×d úLôûYLs JuTRôm YÏl©p TpÛßl×d úLôûYLû[l Tt±Ùm AYt±u ÁRô] ùNV−Lû[l Tt±Ùm Sôm ®[dLUôL Lt\±kúRôm. ¸úZ LôiTYt±tÏ T§X°lTRu êXm Sôm Lt\±kRYtû\ ¨û]ÜáoúYôm.

• T¥ n-Cp AûUkR JÚ TpÛßl×d úLôûYûV GÝÕL. • KÚßl×dúLôûY, DÚßl×dúLôûY, TpÛßl×dúLôûY B¡VYt±tÏ

GÓjÕdLôhÓLs RÚL. • 7x4 – 2x3 + 5x + 6-Cu T¥ Gu]? • éf£V TpÛßl×d úLôûY Gu\ôp Gu]? • Uô±− Gu\ôp Gu]? • x3 – 3x2 + 6x + 5 GuTûR x – 2-Bp YÏdLd ¡ûPdÏm DÜ, Á§ B¡VYtû\d

LôiL. LûP£ ®]ô®tÏ EeL[Õ ®ûP Gu]? DÜ = x2 – x + 4, Á§ = 13. CûR ¿eLs ¿s YÏjRp Øû\«u êXm Lt\±k¾oLs. CkR ¿s YÏjRp Øû\Vô]Õ, ùRôÏØû\ YÏjRp Guàm Øû\Vôp ÑÚdLlTÓ¡\Õ.

4.2.1 ùRôÏØû\ YÏjRp CkR Øû\«p YÏTÓm úLôûYVô]Õ x-Cu T¥«u C\eÏ Y¬ûN«p AûUdLlTÓm. CûP«p HúRàm x-Cu T¥ ùLôÓdLlTPôU−ÚkRôp Aq®Pj§p 0 GÝRlTÓm. LQd¡ÓRXô]Õ ¸úZ Lôh¥Ùs[Yôß AÓjRÓjÕs[ YÏTÓm úLôûY«u ùLÝdLú[ôÓ AûUÙm.

YÏTÓm úLôûY : x3 – 3x2 + 6x – 5 1 –3 6 5

YÏdÏm úLôûY : x – 2 2 0 2 –2 8 DÜ = x2 – x + 4; Á§ = 13 1 –1 4 13 = Á§

D®u ùLÝ

GÓjÕdLôhÓ 9 : x3 + x2 – 2x + 7 B]Õ x + 4-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ DÜ, Á§ LôiL.

www.kalvisolai.com

60

¾oÜ : 331031401247211

4−+−−+−

−−

DÜ = x2 – 3x + 10

Á§ = –33

GÓjÕdLôhÓ 10 : 6x4 – 11x3 + 5x2 – 7x + 9 B]Õ 2x – 3-Bp YÏdLlTÓm úTôÕ DÜ, Á§ LôiL.

¾oÜ : YÏdLm úLôûY 2x – 3 = 2 3x2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

6 11 5 7 9

9 3 3 66 2 2 4 3

− −+ − −− + −

DÜ = 12

(6x3 – 2x2 + 2x – 4) = 3x3 – x2 + x – 2

Á§ = 3

T«t£ 4.2.1 ùRôÏØû\ YÏjRûXl TVuTÓj§ DÜ, Á§ B¡VYtû\d LôiL. 1. x3 + x2 – 3x + 5 ÷ x – 1 2. 4x3 – 3x2 + 2x – 4 ÷ x – 3 3. 5x3 + 4x2 – 6x – 8 ÷ x + 2 4. x3 + x2 – 10x + 8 ÷ x + 4 5. 3x3 + 4x2 – 10x + 6 ÷ 3x – 2 6. 4x3 – 6x2 – 8x + 7 ÷ 2x + 5 7. 8x4 – 2x2 + 6x – 5 ÷ x + 1 8. 3x3 – 4x2 – 5 ÷ x – 1

4.2.2 Á§júRt\m (x–2)-B]Õ P(x) = 2x4 + x2 – 7x + 3 Guàm TpÛßl×d úLôûYûV

YÏdÏm úTôÕ Á§ 25 G]d Lôi¡ú\ôm. ClùTôÝÕ P(2)-Id LQd¡Óm úTôÕ, P(2) = 2(2)4 + 22 – 7(2) + 3 = 25 G]d LiP±¡ú\ôm. C§−ÚkÕ Sôm LiÓQoYÕ Gu]ùY²p P(x) Guàm TpÛßl×d úLôûYVô]Õ (x–2)Bp YÏTÓmúTôÕ Á§

25 = P(2). SôUôLúY £X TpÛßl×d úLôûYLû[ GÓjÕdùLôiÓ, SUÕ ®ÚlTlT¥ (x–a)-Ij úRokùRÓjÕ YÏjúRôùU²p SUdÏ ¡ûPdÏm Á§ P(a) G] A±¡ú\ôm. CÕ Á§ úRt\jRôp ùTôÕûUlTÓjRlTÓ¡u\Õ.

Á§ úRt\m : P(x) GuTÕ Juß ApXÕ ARtÏ úUtThP T¥«p AûUkR JÚ

TpÛßl×d úLôûYVôL CÚdLhÓm. úUÛm a GuTÕ JÚ ùUnùVi. P(x) B]Õ

(x–a) Guàm DÚßl×d úLôûYVôp YÏdLlTÓmúTôÕ Á§ P(a) BÏm.

32

www.kalvisolai.com

61

¨ìTQm : P(x)B]Õ (x – a)Bp YÏdLlTÓmúTôÕ q(x) GuTÕ DÜ, r(x) GuTÕ Á§VôLÜm CÚdLhÓm. ©u]o Sôm ùTßYÕ p(x) = (x–a) q(x) + r(x). C§p r(x)-Cu T¥ < YÏj§«u T¥ ApXÕ r(x) = 0 BÏm. x – a-Cu T¥ 1 GuTRôp r(x) GuTÕ HtùL]úY ®Yô§dLlThPÕl úTôX JÚ Uô±− rBL CÚdLhÓm.

G]úY x-Cu GpXô U§l×LÞdÏm, P(x) = (x – a) q(x) + r.

Ï±lTôL x = a G²p úUtLôiTûYL°−ÚkÕ SUdÏ ¡ûPlTÕ

P(a) = (a – a) q(a) + r = 0 × q(a) + r ⇒ P(a) = r.

Ï±l×: (x + a) B]Õ P(x)I YÏjRôp ¡ûPdÏm Á§ P(–a) BÏm. (ax + b) B]Õ

P(x)I YÏjRôp ¡ûPdÏm Á§ P (–b/a) BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 11 : x3 – 5x2 + 7x – 4 B]Õ (x – 1)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Á§ LôiL. ¾oÜ : P(x) = x3 – 5x2 + 7x – 4. Á§júRt\j§uT¥ P(x)B]Õ (x – 1)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Á§ P(1) BÏm.

∴ Á§ P(1) = 13 – 5(1)2 + 7(1) – 4 = –1. GÓjÕdLôhÓ 12 : 3x3 + 4x2 – 5x + 8 GuTûR x + 2-Bp YÏjÕ Á§ LôiL. ¾oÜ : (x + 2)-Id ùLôiÓ P(x)-I YÏjRôp Á§ P(–2).

∴ Á§ P(–2) = 3(–2)3 + 4(–2)2 – 5(–2) + 8 = 3(–8) + 4(4) + 10 + 8 = 10 GÓjÕdLôhÓ 13 : 5x5 – 9x3 + 3x + m GuTûR (x+1)-Bp YÏdLd ¡ûPdÏm Á§ 7 G²p m-Cu U§l× LôiL. ¾oÜ : Á§ P(–1) = 5(–1)5 – 9(–1)3 + 3(–1) + m = –5 + 9 – 3 + m = 1 + m B]ôp Á§ 7 ∴ 1 + m = 7 ⇒ m = 7 – 1 = 6.

GÓjÕdLôhÓ 14 : x2 + ax + b Guàm TpÛßl×dúLôûYûV Øû\úV (x – 2), (x + 3)-Bp YÏdLd ¡ûPdÏm Á§Ls 18, – 2 G²p a, b CYt±u U§l×Ls LôiL. ¾oÜ : P(x) = x2 + ax + b, x – 2 B]Õ . P(x)-I YÏdÏm úTôÕ Á§ P(2). ∴ P(2) = 4 + 2a + b.

B]ôp Á§ 18 ⇒ 4 + 2a + b = 18 ; 2a + b = 14 (1)

(x + 3)B]Õ P(x)-I YÏdÏmúTôÕ Á§ P(–3). ∴ P(–3) = (–3)2 + a(–3) + b = 9 – 3a + b. B]ôp Á§ = –2 ; ∴ 9 – 3a + b = –2 ; ⇒ –3a + b = –11 (2) (1) ⇒ 2a + b = 14 (2) ⇒ –3a + b = –11 L¯dL 5a = 25 (ApXÕ) a = 5

www.kalvisolai.com

62

a = 5 GuTûR NUuTôÓ (1)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ

10 + b = 14; b = 4, ∴ a = 5, b = 4

GÓjÕdLôhÓ 15 : JÚ CÚT¥ TpÛßl×d úLôûYVô]Õ (x–1), (x+1), (x–2)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ, Á§Ls Øû\úV 2, 4, 4 G²p AkR CÚT¥ TpÛßl×d úLôûYûV LôiL. ¾oÜ : CÚT¥ TpÛßl×d úLôûY p(x) = ax2 + bx + c G] CÚdLhÓm. ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ Sôm ùTßYÕ p(1) = 2, p(–1) = 4, p(2) = 4.

p(1) = 2 ⇒ a + b + c = 2 (1) p(–1) = 4 ⇒ a – b + c = 4 (2) p(2) = 4 ⇒ 4a + 2b + c = 4 (3)

NUuTôÓLs (1), (2)-I GÓjÕdùLôsL (1) ⇒ a + b + c = 2 (2) ⇒ a – b + c = 4 L¯dL

2b = –2 ; b = –1

b = –1 GuTûR NUuTôÓ (1), (3)-Cp ©W§«P (1) ⇒ a – 1 + c = 2 ; ⇒ ∴ a + c = 3 (4) (3) ⇒ 4a – 2 + c = 4 ; ⇒ ∴ 4a + c = 6 (5)

NUuTôÓLs (4), (5)-I GÓjÕdùLôsL. (5) ⇒ 4a + c = 6 (4) ⇒ a + c = 3 L¯dL

3a = 3 ; a = 1

a = 1 GuTûR (4)-Cp ©W§«P, 1 + c = 3 ⇒ c = 2

∴ úRûYVô] CÚT¥ TpÛßl×d úLôûY q(x) = x2 – x + 2.

GÓjÕdLôhÓ 16 : px2 + qx + 6 Guàm úLôûYVô]Õ 2x + 1-Bp YÏdLlTÓm úTôÕ, Á§ 1-IÙm, 2qx2 + 6x + p Guàm úLôûY 3x – 1-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Á§ 2-IÙm RkRôp, p, q B¡VYt±u U§l×Lû[d LiÓ©¥. ¾oÜ : f(x) = px2 + qx + 6

f(x)-I (2x + 1)-Bp YÏdÏmúTôÕ, Á§ f (–1/2)

⇒ f( –1/2) 4

24q2p62q

4p +−

=+−=

B]ôp Á§ = 1 (ùLôÓdLlThÓs[Õ) ∴ 14

24q2p=

+−

p – 2q + 24 = 4 (ApXÕ) p – 2q = – 20 (1) g(x)-I (3x – 1)-Bp YÏdÏmúTôÕ Á§ g(1/3)

www.kalvisolai.com

63

g (1/3) = 2q (1/3)2 + 6(1/3) + p

= 9

p918q2p36

9q2 ++

=++

B]ôp Á§ 2 (ùLôÓdLlThÓs[Õ) ∴ 29

p918q2=

++

2q + 18 + 9p = 18 (ApXÕ) 9p + 2q = 0 (2)

(1) + (2) ⇒ p – 2q = –20 ⇒ 9p + 2q = 0 10p = –20 ∴ p = –2

p = –2 GuTûR (2)-Cp ©W§«P

– 18 + 2q = 0 ⇒ ∴ q = 9, p = –2 ; q = 9

GÓjÕdLôhÓ 17 : ax3 + bx2 + 7x + 9, x3 + ax2 – 2x + b – 4 B¡V TpÛßl×d úLôûYLs (x + 2)-Bp YÏdLlTÓm úTôÕ Øû\úV –13. –16 Gu\ Á§Ls ¡ûPjRôp a, b B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL.

¾oÜ : f(x) = ax3 + bx2 + 7x + 9

f(x)-I (x+2)-Bp YÏdÏmúTôÕ, Á§ = –13

⇒ f(–2) = –13 ApXÕ –8a + 4b – 14 + 9 = –13

–8a + 4b = –8 ⇒ 8a –4b = 8 ⇒ 2a – b = 2 (1) g(x) = x3 + ax2 – 2x + b – 4.

g(x)-I (x + 2)Bp YÏdÏmúTôÕ, Á§ –16.

⇒ g(–2) = –16 ApXÕ –8 + 4a + 4 + b – 4 = –16 (ApXÕ) 4a + b = –8 (2)

NUuTôÓLs (1), (2)-Ij ¾odL, 2a – b = 2 4a + b = –8 áhP

6a = –6 (ApXÕ) a = –1

a = –1 GuTûR (1)-Cp ©W§«P, Sôm A±YÕ –2 – b = 2 (ApXÕ) ⇒ b = –4

¾oÜ = –1, b = –4

www.kalvisolai.com

64

T«t£ 4.2.2 1. Á§j úRt\jûRl TVuTÓj§ Á§ LôiL. a) 4x3 – 5x2 + 2x – 6 ÷ x – 2 b) 5x3 – 6x2 + 3x – 4 ÷ x + 2 c) x4 + 2x3 – 5x2 – 6x – 4 ÷x – 3 d) x3 – 17x – 21 ÷x + 4 2. 3x4 + mx3 – 2x – 8-I (x + 2)-Bp YÏjRôp Á§ 20 G²p m-Cu U§l× LôiL. 3. 4x3 + 5x2 + px – 2-I (x + 2) Á§«u± YÏjRôp p-«u U§l× LôiL. 4. 3x3 – 2x2 + mx – 20-I (x–2)B]Õ Á§«u± YÏjRôp m-Cu U§l× LôiL. 5. 10x2 + ax – 10 B]Õ 2x – 3-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ 2 Guàm Á§ûVj

RÚUô]ôp a-«u U§l× Gu]? 6. (2x + 5)-Bp YÏTÓmúTôÕ, 2x3 + 3x2 + mx + 5 Guàm úLôûYVô]Õ – 15

Guàm Á§ûVj RÚUô]ôp m-Cu U§l©û]d LôiL. 7. x3 + 7x2 + ax + b Guàm úLôûY (x–2)-Bp YÏdLlTÓm úTôÕ 40-I Á§VôLÜm,

(x + 3)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ 25-I Á§VôLÜm RkRôp a, b B¡VYtû\d LôiL.

8. ax2 + bx + c Guàm úLôûYVô]Õ (x+1), (x–2), (x−3)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Øû\úV Á§Ls –8, 13, 8 G²p a, b, c B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL.

9. x3 + ax2 + bx + 8 B]Õ (x–1), (x–2)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Øû\úV 2 Gu\ Á§ûVj RÚUô]ôp a, b B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL.

10. px3 + 9x2 + qx + 1 B]Õ (2x + 1)-Bp YÏdLlTÓmúTôÕ Á§ 4-IÙm, 9x3 + qx2 + px + 1 B]Õ (3x – 1)-Bp YÏdLlTÓm úTôÕ Á§ 3-IÙm RÚ¡u\] G²p p, q B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL.

4.2.3 LôW¦júRt\m p(x) GuTÕ T¥ n-Cp AûUkR JÚ TpÛßl×d úLôûY (n > 1) úUÛm a GuTÕ JÚ ùUnùVi Gu\ôp (i) p(a) = 0 G²p (x–a) GuTÕ p(x)-Cu JÚ LôW¦ BÏm. (ii) p(x)-Cu LôW¦ (x–a) Gu\ôp p(a) = 0 BÏm. GÓjÕdLôhÓ 18 : (x–3) B]Õ p(x) = x3 – 3x2 + 4x – 12 Gu\ TpÛßl×d úLôûY«u JÚ LôW¦VôÏm G]dLôhÓL. ¾oÜ : LôW¦j úRt\j§uT¥ (x–3)B]Õ p(x)-dÏ JÚ LôW¦ùV²p p(3), éf£VUôL CÚdL úYiÓm.

ClùTôÝÕ p(3) = 33 – 3(3)2 + 4(3) – 12 = 27 – 27 + 12 – 12 = 0 G]úY (x–3) GuTÕ ùLôÓdLlThP TpÛßl×d úLôûY«u JÚ LôW¦ BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 19 : x3 + mx2 + 19x + 12-Cu JÚ LôW¦ (x + 1) G²p m-Cu U§lûTd LôiL. ¾oÜ : Let P(x) = x3 + mx2 + 19x + 12 GuL. P(–1) = (–1)3 + m(–1)2 + 19(–1) + 12 = –8 + m LôW¦j úRt\j§uT¥ (x + 1) JÚ LôW¦ùV²p P(–1) = 0 ApXÕ –8 + m = 0 ApXÕ m = 8 GÓjÕdLôhÓ 20 : 3x4 + x3 + ax2 + 5x + b Guàm úLôûY x + 2 úUÛm x – 1 B¡VYt\ôp Á§«u± YÏThPôp a, b B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL. ¾oÜ: P(x) = 3x4 + x3 + ax2 + 5x + b GuL.

www.kalvisolai.com

65

(x+2) Utßm (x–1) GuTûY P(x)-Cu CWiÓ LôW¦Ls. G]úY P(–2) Utßm P(1) = 0

P(–2) = 3(–2)4 + (–2)3 + a(–2)2 + 5(–2) + b = 30 + 4a + b P(–2) = 0 G]úY

4a + b = –30 (1) P(1) = 3(1)4 + (1)3 + a(1)2 + 5(1) + b = 9 + a + b

P(1) = 0 G]úY

9 + a + b = 0 ApXÕ a + b = –9 (2) (1) – (2) 4a + b = –30 a + b = –9 3a = –21 (ApXÕ) a = –7

a = –7 GuTûR NUuTôÓ (2)-Cp ©W§«P Sôm A±YÕ

–7 + b = –9 (ApXÕ) ∴ b = –2

∴ a = –7, b = –2.

GÓjÕdLôhÓ 21 : êu\ômT¥ TpÛßl×dúLôûY Ju±û] (x – 1), (x + 2) úUÛm (x – 3) B¡VûY ØÝYÕUôL YÏd¡u\]. úUÛm Øu]¦«Ûs[ ùLÝ, Juß G²p AkRl TpÛßl×d úLôûYûVd LôiL. ¾oÜ : êu\ôm T¥d úLôûY«u Øu]¦«Ûs[ ùLÝ 1BL CÚlTRôp, AkR êu\ômT¥d úLôûY f(x) = x3 + ax2 + bx + c G] CÚdLhÓm. x – 1, x + 2, x – 3 B¡VûY f(x)-I ØÝYÕUôL YÏd¡u\] G]d ùLôÓdLlTh¥ÚlTRôp AûY f(x)-Cu LôW¦L[ôÏm. LôW¦júRt\jûRl TVuTÓj§]ôp f(1) = f(–2) = f(3) = 0.

f(1) = 0 ⇒ 1 + a + b + c = 0 (ApXÕ) a + b + c = –1 (1) f(–2) = 0 ⇒ –8 + 4a – 2b + c = 0 (ApXÕ) 4a – 2b + c = 8 (2) f(3) = 0 ⇒ 27 + 9a + 3b + c = 0 (ApXÕ) 9a + 3b + c = –27 (3)

NUuTôÓ (1), (2)-I GÓjÕdùLôsL. (2) ⇒ 4a – 2b + c = 8 (1) ⇒ a + b + c = –1 L¯dL 3a – 3b = 9 (ApXÕ) a – b = 3 (4) (3) ⇒ 9a + 3b + c = –27 4a – 2b + c = 8 L¯dL

5a + 5b = –35 (ApXÕ) a + b = –7 (5)

NUuTôÓLs (4), (5)-I GÓjÕdùLôsL. (4) ⇒ a – b = 3 a + b = –7 áhP

2a = –4 (ApXÕ) a = –2

www.kalvisolai.com

66

a = –2 GuTûR (5)-Cp ©W§«P Sôm A±YÕ –2 + b = –7 (ApXÕ) b = –5

a = –2, b = –5 GuTûR (1)-Cp ©W§«P Sôm A±YÕ –2 –5 + c = –1 (ApXÕ) c = 6

G]úY úRûYVô] ØlT¥ TpÛßl×dúLôûY f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

T«t£ 4.2.3 1. ¸rYÚY]Yt±tÏ (x – 1) JÚ LôW¦Vô G] BWônL. a. x3 + 8x2 – 7x – 2 b. x3 – 27x2 + 8x + 18 c. 8x4 – 12x3 + 18x + 14 d. 8x4 + 12x3 – 16x – 4 2. ¸úZ ùLôÓdLlThP Nôo×L°p a-Cu U§l× LôiL. a. x3 – 3x + 3a B]Õ x + 3-Bp Á§«u± YÏTÓ¡\Õ. b. 8x4 – ax3 – x2 – 3x + 4-Cu LôW¦ (x + 1) BÏm c. 3x4 + ax2 + 58x + 40 B]Õ x +5-Bp YÏTÓ¡\Õ. d. x3 + 8x2 + ax – 2 B]Õ (x – 1)-Bp YÏTÓ¡\Õ. 3. x2 – 5x + 6 GuTÕ 3x3 + ax2 + bx + 12-Cu JÚ LôW¦ G²p a, b CYt±u

U§l× LôiL. 4. x3 – 4x2 + ax + b, x3 – ax2 + bx + 8 B¡V CÚ úLôûYLÞdÏm (x – 2) JÚ

ùTôÕdLôW¦ G²p a, b B¡VYt±u U§l× LôiL. 5. (x – 7), (x – 4) GuTûY px3 + qx2 – 5x + 84-Cu LôW¦Lù[²p p, q-®u

U§l×Lû[d LôiL. 6. (x – 1), (x + 2), (x – 2) B¡VûY x3 + ax2 + bx + c-Cu LôW¦Ls G²p,

a, b, c-Cu U§l×Ls LôiL.

4.2.4 LôW¦lTÓjÕRp

CÚT¥ TpÛßl×d úLôûYLû[ LôW¦lTÓjR Sôm HtL]úY JuTRôm YÏl©p Ltßd ùLôiúPôm. CkR YÏl©p êuß ApXÕ ARtÏ úUtThP T¥L°p AûUkR TpÛßl×d úLôûYLû[, LôW¦júRt\jûRl TVuTÓj§Ùm, ùRôÏØû\ YÏjRûXÙm TVuTÓj§ LôW¦lTÓjRd LtßdùLôiúPôm.

Ï±l×: 1. JÚ úLôûY«u Uô±−ûVÙm úNojÕ GpXô Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp éf£Vm G²p (x – 1) JÚ LôW¦VôÏm.

2. JÚ úLôûY«u Uô±−ûVÙm úNojÕ, CWhûPlT¥L°p AûUkR Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRXô]Õ, Jtû\lT¥«p AûUkR Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRÛdÏf NUùU²p (x + 1) JÚ LôW¦VôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 22 : LôW¦lTÓjÕL: 2x3 + x2 – 5x + 2 ¾oÜ : GpXô Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp 2 + 1 – 5 + 2 = 5 – 5 = 0-BL CÚlTRôp (x – 1) JÚ LôW¦VôÏm G] F¡dLXôm.

www.kalvisolai.com

67

ùRôÏØû\ YÏjR−u ¡ûPlTÕ

023223225121

−−++−+

Á§ 0. DÜ 2x2 + 3x – 2 Ut\d LôW¦Lû[d LôQ DûYd LôW¦lTÓjRd ¡ûPlTÕ 2x2 + 3x – 2 = 2x2 + 4x – x – 2

= 2x (x + 2) – 1 (x + 2) = (x + 2) (2x – 1) ∴ 2x3 + x2 – 5x + 2 = (x – 1) (x + 2) (2x – 1)

GÓjÕdLôhÓ 23 : LôW¦lTÓjÕL: 3x3 – 4x2 – 13x – 6.

¾oÜ : GpXô Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp: 3 – 4 – 13 – 6 = 20 ≠ 0. ∴ (x – 1) JÚ LôW¦VpX.

CWhûPlT¥ Es[ Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp = –4 – 6 = –10. Jtû\lT¥ Es[ Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp = 3 – 13 = –10. CûY NUUôL CÚlTRôp (x + 1) JÚ LôW¦VôLXôm. ùRôÏØû\ YÏjR−]ôp

1 3 4 13 63 7 6

3 7 6 0

− − − −− + +− −

Á§ 0. G]úY (x + 1) JÚ LôW¦VôÏm. DÜ 3x2 – 7x – 6 = 3x2 – 9x + 2x – 6

= 3x (x–3) + 2 (x–3) = (x–3) (3x+2) ∴ 3x3 – 4x2 – 13x – 6 = (x+1) (x–3) (3x+2)

GÓjÕdLôhÓ 24 : LôW¦lTÓjÕL: x3 – 3x2 – 10x + 24

¾oÜ : GpXô Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp: 1–3–10 + 24 = 12 ≠ 0.

∴ (x–1) JÚ LôW¦VpX. CWhûPlT¥ Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp = –3 + 24 = 21 Jtû\lT¥ Eßl×L°u ùLÝdL°u áÓRp = 1 – 10 = –9 CûY«WiÓm NUUpX. G]úY (x + 1) GuTÕm JÚ LôW¦VpX G] F¡d¡ú\ôm. (x – 2) JÚ LôW¦Vô G] úNô§lúTôm.

0121124222410312

−−−−++−−

= Á§

Á§

www.kalvisolai.com

68

Á§ 0, G]úY (x – 2) JÚ LôW¦VôÏm. Ut\ LôW¦Lû[d LôQ, DÜ x2 – x – 12 = x2 – 4x + 3x – 12

= x (x–4) + 3 (x–4) = (x + 3) (x – 4) ∴ x3 – 3x2 – 10x + 24 = (x–2) (x–4) (x+3)

T«t£ 4.2.4 ©uYÚY]Ytû\d LôW¦lTÓjÕL:

1. x3 – 23x2 + 142x – 120 2. x3 + 13x2 + 32x + 20 3. x3 – 7x + 6 4. x3 – 3x2 + 4 5. x3 + 2x – 3 6. x3 + 4x2 + 5x + 2 7. 3x3 – 10x2 + 11x – 4 8. x3 + 2x2 + 2x + 1 9. x3 – x2 + x – 6 10. x3 + 6x2 + 11x + 6 11. x3 – 6x2 + 11 x –6 12. 2x3 – x2 – 8x + 4 13. 2x3 + 3x2 – 2x – 3 14. x3 – 3x2 – x + 3 15. x3 – 5x + 4 4.3 Á.ùTô.Y. Utßm Á.ùTô.U.

4.3.1 ÁlùTÚ ùTôÕ YÏGi (Á.ùTô.Y.)

ÁlùTÚ ùTôÕ YÏj§ (Á.ùTô.Y.) ApXÕ EVo ùTôÕdLôW¦ (E.ùTô.Lô.) GuTÕ CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP TpÛßl×d úLôûYL°u GpXô ùTôÕ YÏj§L°Ûm ªLlùT¬V AÓdûLd ùLôiPÕm, AkR AÓd¡u ùLÝYô]Õ ªûL GiQôLÜm CÚd¡u\ ùTôÕ YÏj§Rôu.

GÓjÕdLôhPôL x3 y2 z p, x3 y7 z3 p2, x2 y z2 Gu\ êuß úLôûYLû[ GÓjÕd ùLôsúYôm. x, x2, y, z, xy, x2y, xz, yz, x2z, x2yz B¡V Eßl×Ls CYt±u ùTôÕ YÏj§Ls G]d Lôi¡ú\ôm. AYtßs x2yz GuTÕ EVokR T¥ûVd ùLôiP (ªLlùT¬V AÓdûLd ùLôiP) ùTôÕ YÏj§ BÏm. G]úY x3y2 zp, x3y7z3p2, x2yz2 CYt±u Á.ùTô.Y. x2 yz BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 25 : Á.ùTô.Y. LôiL. (1) 25, 35, 45 (2) 36, 48, 144. ¾oÜ : 1) 25 = 52 ; 35 = 5 × 7 ; 45 = 32 × 5 ⇒ Á.ùTô.Y. = 5 2) 36 = 22 × 32 48 = 24 × 3 144 = 24 × 32 ⇒ Á.ùTô.Y. = 22 × 3 = 12

GÓjÕdLôhÓ 26 : x5, x7, x10-Cu Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : Á.ùTô.Y. x5

GÓjÕdLôhÓ 27 : 3x2 y2 z2, 6x2 yz2, 9xyz2 B¡VYt±u Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : 3x2 y2 z2, 2 × 3x2 yz2, 32 xyz2 ùLôÓdLlThÓs[Õ ⇒ Á.ùTô.Y. = 3xyz2

GÓjÕdLôhÓ 28 : a3 – 1, a2 – 1 B¡VYt±u Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : a3 – 1 = a3 – 13 = (a – 1) (a2 + a + 1) úUÛm a2 – 1 = a2 – 12 = (a+1) (a–1) ùTôÕYô] LôW¦ a – 1 ∴ Á.ùTô.Y. = a – 1

www.kalvisolai.com

69

GÓjÕdLôhÓ 29 : x2 + 2xy + y2, (x + y)3, 25 (x2 – y2)-Cu Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 (x + y)3 = (x + y)3 25 (x2 – y2) = 25 (x + y) (x – y) x + y GuTÕ JúW JÚ ùTôÕdLôW¦ ∴ Á.ùTô.Y. = (x + y)

ùRôPo YÏjRp Øû\lT¥ Á.ùTô.Y. LôÔRp TpÛßl×d úLôûYLû[ G°RôLd LôW¦lTÓjR Ø¥VôRùTôÝÕ ùRôPo YÏjRp Øû\lT¥ ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[Yôß Á.ùTô.Y. LôQXôm. g(x)-Cu T¥Vô]Õ f(x)-Cu T¥ûV ®Pf £±VRôL Es[ ARôYÕ g(x)-Cu T¥ < f(x)-Cu T¥ G]Yôß f(x), g(x) CWiÓ TpÛßl×d úLôûYLû[ GÓjÕdùLôsúYôm. AYt±u ùTôÕYô] Gi LôW¦Ls CÚl©u AYtû\ ®hÓ®hÓ f(x)-I g(x)-Bp YÏjÕ r(x) Guàm Á§ûVd LôiúTôm. r(x)-B]Õ éf£VUôL CÚl©u g(x) GuTÕ Á.ùTô.Y. BÏm. AqYôß CpXô®¥p r(x)-Cu ùTôÕ Gi LôW¦ûV ®hÓ®hÓ g(x)-I, r(x)-Bp YÏjÕ s(x) Guàm Á§ûVd LôiúTôm. s(x) B]Õ éf£VUôL CÚkRôp, r(x) GuTÕ Á.ùTô.Y. AqYôß CpXô®¥p úUtLiP CkR ùNVpØû\, éf£VUô]Õ Á§VôLd ¡ûPdÏm YûW«p ÁiÓm, ÁiÓm ùNnVlTP úYiÓm. LûP£ TpÛßl×d úLôûY«u YÏj§Vô]Õ f(x), g(x) B¡VYt±u Á.ùTô.Y. BÏm. GÓjÕdLôhÓ 30 : x3 – 9x2 + 23x – 15, 4x2 – 16x + 12 B¡VYt±u Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : f(x) = x3 – 9x2 + 23x – 15, g(x) = 4x2 – 16x + 12 = 4 (x2 – 4x + 3)

x – 5

x2 – 4x + 3 x3 – 9x2 + 23x – 15 x3 – 4x2 + 3x

– 5x2 + 20x – 15 – 5x2 + 20x – 15

0

∴ Á.ùTô.Y. = x2 – 4x + 3

GÓjÕdLôhÓ 31 : 2x3 + 2x2 + 2x + 2, 6x3 + 12x2 + 6x + 12 B¡V TpÛßl×d úLôûYL°u E.ùTô.Lô. LôiL.

¾oÜ : f(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 2 = 2 (x3 + x2 + x + 1)

g(x) = 6x3 + 12x2 + 6x + 12 = 6(x3 + 2x2 + x + 2)

1

x3 + x2 + x + 1 x3 + 2x2 + x + 2 x3 + x2 + x + 1

x2 + 1 ≠ 0

x3 + x2 + x + 1 x2 + 1-Bp ©uYÚUôß YÏdL,

www.kalvisolai.com

70

x + 1

x2 + 1 x3 + x2 + x + 1 x3 + x

x2 + 1 x2 + 1

0

∴ E.ùTô.Lô. = 2 (x2 + 1) (Hù]²p 2, 6 CYt±u Á.ùTô.Y. 2 BÏm).

GÓjÕdLôhÓ 32 : x3–3x2+4x–12, x4 + x3 + 4x2 + 4x B¡V TpÛßl×dúLôûYL°u Á.ùTô.Y. LôiL. ¾oÜ : f(x) : x3–3x2 + 4x – 12 , g(x) = x4 + x3 + 4x2 + 4x = x (x3 + x2 + 4x +4)

1

x3 + x2 + 4x + 4 x3 – 3x2 + 4x – 12 x3 + x2 + 4x + 4

– 4x2 – 16 = – 4 (x2+4) ≠ 0

x + 1

x2 + 4 x3 + x2 + 4x + 4 x3 + 4x

x2 + 4 x2 + 4

0

∴ Á.ùTô.Y. = x2 + 4

T«t£ 4.3.1

1. ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ Eßl×L°u Á.ùTô.Y. LôiL. a) 48x9, 64x5 b) 78a3, 52a10 c) 24m6, 36m

d) 12y4 20y5 e) p8, p9, p11 f) m6, m12, m18 g) xn, xn+1, xn+2 h) 3a4, 9a6, 12a7 i) 3a2bc, 6ab2c, 9abc2 j) 4x3y3z2, 6xy2 z3, 8xyz2 k) 4p2q3r, 8p3q2r2, 16p2q4r3 l) 14m2n, 28mn2, 21m3n3

2. ¸úZ ùLôÓdLlThPûYL°u Á.ùTô.Y. LôiL. a) 3x – 6, 5x – 10 b) 4x + 10, 6x – 15 c) 4x2 – 3x, 3x2 + 2x d) (a – b)2, a2 – b2 e) x2 – 4, x + 2 f) x3 + 1, x2 – 1 g) x2 – 4, x3 – 8 h) 2x2 – 11x – 40, 2x2 – 9x – 35

www.kalvisolai.com

71

i) 6a2 – 7a – 3, 10a2 – 11a – 6 j) a2 – 8a+16, (a+3) (a–4) (a2–a–12) k) 6x2 + 7x – 3, 10x2 + 11x – 6, 2x2 – 11x – 21 l) 64(x2–9), 36(x2 + 10x + 21), 24 (x2 + 2x – 3) 3. ¸úZ ùLôÓdLlThP úNô¥ TpÛßl×d úLôûYL°u Á.ùTô.Y.-ûY

ùRôPoYÏjRp Øû\ êXm LiÓ©¥. a) x4 + 2x3 + x2 – 1; x4 + x2 + 1 b) x3 + 6x2 + 11x + 6 ; x3 + 9x2 + 27x + 27 c) 3x2 + 13x + 10 ; 3x3 + 18x2 + 33x + 18 d) x3 + 4x2 – 5 ; x3 – 3x + 2 e) 24x4 – 2x3 – 60x2 – 32x ; 18x4 – 6x3 – 39x2 – 18x

4.3.2 Áf£ß ùTôÕ UPeÏ (Á.ùTô.U.)

CWiÓ ApXÕ úUtThP TpÛßl×d úLôûY«u Áf£ß ùTôÕ UPeÏ GuTÕ Aq®Ú TpÛßl×d úLôûYL[ôÛm ØÝYÕUôL YÏTPdá¥V ªLdÏû\kR ùTôÕYô]l T¥ûVd ùLôiP TpÛßl×d úLôûYVôÏm. CRàûPV EVoT¥ Eßl©u ùLÝ®u Ï±Vô]Õ Aq®Ú TpÛßl×d úLôûYL°u ùTÚdLp TX²u EVoT¥ Eßl©u ùLÝ®u Ï±ûV EûPVRôL CÚdÏm.

GÓjÕdLôhÓ 33 : 12(x–1)3 and 15(x–1) (x+2)2-Cu Á.ùTô.U. LôiL. ¾oÜ : 12(x–1)3 = 22 × 3 (x –1)3 15 (x–1) (x + 2)2 = 5 × 3 (x – 1) (x + 2)2 L.C.M. = 22 × 3 × 5 (x – 1)3 (x + 2)2 = 60 (x – 1)3 (x + 2)2

GÓjÕdLôhÓ 34 : 28 p, 98 q-Cu Á.ùTô.U. LôiL. ¾oÜ : 28p = 4 × 7p = 22 × 7p ; 98q = 2 × 49q = 2 × 72 q ∴ Á.ùTô.U. = 22 × 72 pq = 4 × 49 pq = 196 pq

GÓjÕdLôhÓ 35 : 6x2y, 9x2yz, 12x2y2z B¡VYt±u Á.ùTô.U. LôiL. ¾oÜ : 6x2y = 2 × 3 × x2 y 9xy2z = 32 x2 yz 12x2y2z = 22 × 3x2 y2z

Á.ùTô.U. = 22 × 32 × x2y2z = 4 × 9 x2y2z Á.ùTô.U. = 36x2y2 z

GÓjÕdLôhÓ 36 : Á.ùTô.U. LôiL. (x–1) (x+2), (x+2) (x+3) ¾oÜ : Á.ùTô.U. = (x–1) (x+2) (x+3) GÓjÕdLôhÓ 37 : x3 + 1, x2 – 1, (x + 1)2 B¡VYt±u Á.ùTô.U. LôiL. ¾oÜ : x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x+ 1) x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) ; (x + 1)2 = (x + 1)2 Á.ùTô.U. = (x + 1)2 (x – 1) (x2 – x + 1)

www.kalvisolai.com

72

GÓjÕdLôhÓ 38 : x3 + y3, x3 – y3, x4 + x2y2 + y4 B¡VYt±u Á.ùTô.U. LôiL. ¾oÜ : x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) Á.ùTô.U. = (x + y) (x2 – xy + y2) (x – y) (x2 + xy + y2) = (x3+y3) (x3–y3).

Á.ùTô.U. Utßm Á.ùTô.Y. B¡VYt±tÏ CûPúVÙs[ E\Ü

f(x), g(x) B¡V CÚ TpÛßl×d úLôûYLû[ GÓjÕdùLôsúYôm. úNô§jR±ûL«p Á.ùTô.U.Üm, Á.ùTô.Y.Üm ¸úZ LôÔm E\®]ôp CûQdLlThÓs[] GuTûRd Lôi¡ú\ôm.

f(x) × g(x) = [f(x), g(x)-Cu Á.ùTô.U.] × [f(x), g(x)-Cu Á.ùTô.Y.] úUúX LôÔm ùTÚdLtTX²p HúRàm êuß Nôo×Ls ùR¬kRôp Sôm SôuLôYûRd LiP±VXôm.

GÓjÕdLôhPôL,

f(x) = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 g(x) = x2 + x – 2 = (x – 1) (x + 2) Á.ùTô.Y. = (x – 1) Á.ùTô.U. = (x – 1)2 (x + 2)

ClùTôÝÕ , f(x) × g(x) = (x – 1)2 × (x – 1) (x + 2) = (x – 1)3 (x + 2) úUÛm

Á.ùTô.U. × Á.ùTô.Y. = (x – 1)2 (x + 2) × (x – 1) = (x – 1)3 (x + 2)

∴ f(x) × g(x) = Á.ùTô.U. × Á.ùTô.Y. GÓjÕdLôhÓ 39 : x3 – 12x2 + 44x – 48, x2 – 10x + 24 CYt±u Á.ùTô.U. x3 – 12x2 + 44x – 48 G²p Á.ùTô.Y. LôiL.

¾oÜ : f(x) = x3 – 12x2 + 44x – 48 úUÛm g(x) = x2 – 10x + 24 G] CÚdLhÓm. Á.ùTô.U. = x3 – 12x2 + 44x – 48

∴ Á.ùTô.Y. = f(x) × g(x)Á.ùTô.Y.

= 24x10x)48x44x12x(

)24x10x()48x44x12x( 223

223

+−=−+−

+−−+−

GÓjÕdLôhÓ 40 : x + 1, x6 – 1 B¡VûY Øû\úV CÚ TpÛßl×d úLôûYL°u Á.ùTô.Y., Á.ùTô.U. BÏm. Aq®Ú úLôûYL°p Juß x3 + 1 G²p Utù\ôuû\d LiÓ©¥. ¾oÜ : Á.ùTô.Y. = x + 1; Á.ùTô.U. = x6 + 1 ; f(x) ; x3 + 1

∴ g(x) = Á.ùTô.U. × Á.ùTô.Y.

f(x) = (x6 − 1) × (x + 1)

x3 + 1

www.kalvisolai.com

73

= )1x()1x()1x(

)1x()1x()1x( 33

33

+−=+

+−+

GÓjÕdLôhÓ 41 : x3 – x2 – 25 x – 30, x3 + 4x2 – 5 B¡V CÚ TpÛßl×d úLôûYL°u Á.ùTô.U. LôiL.

¾oÜ : f(x) = x3 – x2 – 25 x – 30 g(x) = x3 + 4x2 – 5 GuL.

We first find the G.C.D. of f(x) and g(x).

1 x – 1

x3 + 4x2 – 5 x3 – x2 – 25x – 30 x2 + 5x + 5 x3 + 4x2 – 0 – 5 x3 + 4x2 – 5 x3 + 5x2 + 5x

– 5x2 – 25x – 25 – x2 – 5x – 5 – 5(x2+5x+5) ≠ 0 – x2 – 5x – 5

0

∴ Á.ùTô. = x2 + 5x + 5. úUÛm g(x) = x3 + 4x2 – 5 = (x – 1) (x2 + 5x + 5)

∴ Á.ùTô.U. = f(x) × g(x)Á.ùTô.Y. =

(x3 + 4x2 − 5)(x2 + 5x + 5)

= 3 2 2

2

(x x 25x 30) (x 1) (x 5x 5)(x 5x 5)

− − − − + ++ +

∴ Á.ùTô.U. = (x – 1) (x3 – x2 – 25x – 30)

T«t£ 4.3.2

1. ¸úZ ùLôÓdLlThP Eßl×L°u Á.ùTô.U. LôiL. a) a8, a10 b) x7, x4 c) m5, m9

d) 15a6 75a5 e) 20x3,36x6 f) 45p9, 100p8 g) x2y, y2z h) ab, bc i) 14x3y, 21xyz2, 28x2y2z j) am+2,am+3, am+4+ k) 12xy, 18yz, 24 zx l) 8p2qr, 12p2r2, 24pqr

2. ¸úZ ùLôÓdLlThPûYL°u Á.ùTô.U. LôiL. a) (x+2)3, (x+2)4 b) x2–16, 4x2 + 16x c) a3–b3, a – b d) 4x–12, 3x–9 e) a2b+ab2, a2+ab f) x2–x–12, x2 – 9x+20 g) 8x2–10x–3, 16x2–1 h) x2+x–6, x2–5x+6 i) 4(x3+1), 6(x4–1), 12(x2–1) j) x2 + 5x + 6, x2 + 8x + 15, x2 + 7x + 10 k) 6x2 – x – 2, 2x2 – 7x – 4, 3x2 – 14x + 8 1) 9x2 + 12x – 5, 3x2 + 14x – 5, 4x2 + 21x + 5 3. 5x2 + x and (x3 – 4x) (5x + 1) B¡VûY Øû\úV CWiÓ TpÛßl×d

úLôûYL°u Á.ùTô.Y., Á.ùTô.U. BÏm. AYtßs JÚ TpÛßl×d úLôûY 5x3 – 9x2 – 2x G²p Utù\ôuû\d LiÓ©¥.

www.kalvisolai.com

74

4. (x–1) (x–2) (x2–3x+3) úUÛm (x–1) B¡VûY Øû\úV CWiÓ TpÛßl×d úLôûYL°u Á.ùTô.U., Á.ùTô.Y. BÏm. Aq®Ú úLôûYL°p Juß x3 – 4x2 + 6x – 3 G²p Utù\ôuû\d LiÓ©¥.

5. (x+1), 2(x+1) (x2–4) B¡VûY Øû\úV CWiÓ TpÛßl×d úLôûYL°u E.ùTô.Lô., Á.ùTô.U. BÏm. JÚ úLôûY (x+1) (x–2) G²p Ut\ûRd LôiL.

6. x3 – x2 – 4x – 6, x2 – 2x + 3 Guàm úLôûYL°u Á.ùTô.U.ûY AYt±u E.ùTô.Lô.®u ER®úVôÓ LiÓ©¥.

4.4 ®¡RØß úLôûYLs

P(x), Q(x) B¡VûY ùUnùViL°u LQj§u ÁRûUkR CÚ TpÛßl×d úLôûYLs. úUÛm Q(x) ≠ 0 G²p P(x)/Q(x) Guàm úLôûY JÚ ®¡RØß úLôûY G]lTÓm. GÓjÕdLôhPôL 2/x2 , (x4+x3+x+1)/(x+5), 5/(x+7), (x–2)/(x+2) B¡VûY ®¡RØß úLôûYLs BÏm.

4.4.1 ®¡RØß úLôûYLû[f ÑÚdÏRp

P(x) / Q(x) GuTÕ JÚ ®¡RØß úLôûYùV²p, ARu ùRôÏ§ P(x), TÏ§ Q(x) CWiûPÙm P(x), Q(x) Guàm úLôûYL°u Á.ùTô.Y-Bp YÏjÕ ªLf£±V EßlTôL ÑÚdLXôm.

GÓjÕdLôhÓ 42 : ÑÚdÏL: 28x720x5

++

¾oÜ : 75

)4x(7)4x(5

28x720x5

=++

=++

GÓjÕdLôhÓ 43 : ÑÚdÏL: 15x39x3

++

¾oÜ: 3x 9 3(x 3) x 33x 15 3(x 5) x 5

+ + += =

+ + +

GÓjÕdLôhÓ 44 : ÑÚdÏL: 6x5x6xx

2

2

++−−

¾oÜ : 3x3x

)3x()2x()2x()3x(

6x5x6xx

2

2

+−

=+++−

=++−−

GÓjÕdLôhÓ 45 : ÑÚdÏL: 33 yxyx

−−

¾oÜ : 222233 yxyx1

)yxyx()yx(yx

yxyx

++=

++−−

=−−

www.kalvisolai.com

75

T«t£ 4.4.1

¸rYÚY]Ytû\ ÑÚdÏ

1) 2x+102x -6

2) 4

3 2

3a ba b

3) 5x+206x+24

4) 2 2

2

9x - 25y3x -5xy

5) 4 2 2

4 2 2

x - x yy - x y

6) 3 3

3 3

xy - x yy - x

7) 2

2

x + 7x + 10x - 4

8) 2

2

2x + x -32x +5x + 3

9) 2

2

6x - 54x +7x+12

10) 3 3

4 4

8x - 27y16x - 81y

11) 3 3

2 2

64a - 125b4a b + 5ab

12) 2

2

4x +17x+58x + 6x -5

4.4.2 ®¡RØß úLôûYL°u ùTÚdLÛm YÏjRÛm

p(x) / q(x), g(x) / h(x) GuTûY CWiÓ ®¡RØß úLôûYLs G²p AYt±u

ùTÚdLtTXu )x(h.)x(q)x(g.)x(p

)x(h)x(g

)x(q)x(p

=× BÏm.

¡ûPd¡u\ úLôûY, ©u]o ARu ªLf£±V Y¥Yj§p ÑÚdLlTÓm.

p(x) / q(x), g(x) / h(x) GuTûY CWiÓ ®¡RØß úLôûYLs G²p, AYt±u

DÜ )x(g.)x(q)x(h.)x(p

)x(g)x(h

)x(q)x(p

)x(h)x(g

)x(q)x(p

=×=÷ BÏm.

¡ûPd¡u\ úLôûY, ©u]o ARu ªLf£±V Y¥Yj§p ÑÚdLlTÓm.

GÓjÕdLôhÓ 46 : ÑÚdÏL : bc2ac16

ad32cb4

cd15ab5

××

¾oÜ : cb2da162dc35

ca16bc4ba5bc2ac16

ad32cb4

cd15ab5

××××××××××××××××××

=×× = 2d3ab

GÓjÕdLôhÓ 47 : ùTÚdLtTXu LôiL: baba

bab2aba 22

22

33

−−

×++

+

¾oÜ : baba

bab2aba 22

22

33

−−

×++

+ =)ba()ba()ba(

)ba()ba()baba()ba( 22

−++−+×+−+ = a2 – ab + b2

GÓjÕdLôhÓ 48 : ùTÚdLtTXu LôiL: 2

2

x 2x 1 3x 66x 6x 3x 2

− + −×

−− +

¾oÜ : x2 – 2x + 1 = (x–1)2 x2 – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1); 6x – 6 = 6(x –1); 3x – 6 = 3( x – 2)

2 2

2

x 2x 1 3x 6 (x 1) 3(x 2) 16x 6 (x 2)(x 1) 6(x 1) 2x 3x 2

− + − − × −∴ × = =

− − − × −− +

www.kalvisolai.com

76

GÓjÕdLôhÓ 49 : x2 − 25x + 3 -I

(x + 5)2

x2 − 9 -Bp YÏ

¾oÜ: ⇒ 2(x 5) (x 5) (x 5)

x 3 (x 3) (x 3)+ − +

÷+ + −

5x

)3x()5x()5x(

)3x()3x(3x

)5x()5x(2 +

−−=

+−+

×+

−+=

GÓjÕdLôhÓ 50 : 3xx2

)1x(2

2

−+−

-I 3x5x2

1x2

2

++−

-Bp YÏ

¾oÜ : 2x2 + x – 3 = 2x2 + 3x – 2x – 3 = x(2x + 3) –1 (2x + 3) = (2x + 3)(x–1) 2x2 + 5x + 3 = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x (x + 1) + 3 (x + 1) = (2x + 3) (x+1)

G]úY 2 2 2

2 2

(x 1) x 1 (x 1) (x 1) (x 1)(2x 3) (x 1) (2x 3) (x 1)2x x 3 2x 5x 3

− − − + −÷ = ÷

+ − + ++ − + +

= (x 1) (x 1) (x 1) (2x 3) 12x 3 (2x 3) (2x 3) (x 1)

− − − +÷ = × =

+ + + −

GÓjÕdLôhÓ 51 : 18x3x12x4x

2

2

−−−−

-I 3x2x2x3x

2

2

−−++

Bp YÏ

¾oÜ : 3x2x2x3x

18x3x12x4x

2

2

2

2

−−++

÷−−−−

= (x 6) (x 2) (x 2) (x 1) x 3x 2(x 6) (x 3) (x 3) (x 1) x 3 x 2

− + + + −+÷ = ×

− + − + + + x 3

x 3−

=+

T«t£ 4.4.2

1. ùTÚdLtTXu LôiL.

a) 3 3

3 3

a+b a -b×a -b a +b

(b) 2 2 2 2

2 2

x -9y x -y×3x -3y x +4xy+3y

(c) 2 2

2 2

x -4x -12 x - 2x -3×x -3x -18 x +3x+2

(d) 2 2

2 3

x -3x - 10 x - 4x+16×x - x - 20 x +64

(e) 2 2

3

x -16 x - 4×x - 2 x + 64

(f) 2

2

x+7 x +8x+7×x+1x +14x+49

(g) 2

2

x - 5x + 6 4x - 8×6x + 6 x - 4x+3

(h) 2 3p -1 p 1× ×p p -1 p+1

2. YÏjRp TXu LôiL.

(a) px - 2p ax - 2a÷qx - 3q bx - 3b

(b) 2 4

2

a 4a÷2a+3 6a +9a

www.kalvisolai.com

77

(c) 2 2

2

x - 4 (x + 2)÷x +3 x - 9

(d) 2

2

x - 16 2x + 8÷3x - 9x - 8x + 16

(e) 2 2

2 2

3x - 7x + 2 9x - 6 +1÷2x - 5x - 3 x - 9

(f) 2 2

1 1 1 1- ÷ -a ba b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

(g) 2 2

2 2

x - 2x -8 4x - 8 x - 7x + 12× ÷x - 2 x - 4x - 12 x - 9x + 18

(h) 2 2

2 2

2x + 13x + 15 2x - x -6÷x + 3x - 10 x - 4x + 4

4.4.3 ®¡RØß úLôûYL°u áhPÛm L¯jRÛm

p(x) / q(x), g(x) / h(x) Guàm CÚ ®¡RØß úLôûYLû[d áhÓm ùTôÝúRô ApXÕ L¯dÏmùTôÝúRô Sôm, ®¡RØß GiLÞdÏiPô] AúR ®§Lû[úV ©uTtßúYôm. p(x) / q(x) and g(x) / h(x) B¡VûY CÚ ®¡RØß úLôûYLs G²p AYt±u áÓRp ApXÕ ®j§VôNjûR Sôm

p(x) h(x) q(x) g(x)p(x) g(x)q(x) h(x) q(x).h(x)

× ± ×± = G] ®[dÏúYôm.

p(x)q(x) ,

g(x)q(x) B¡VûY JúW TÏ§ûVd ùLôiP ®¡RØß úLôûYLs G²p,

p(x) g(x)p(x) g(x)q(x) q(x) q(x)

±± = BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 52 : 4x + 3

x2 + 3x + 2 ,

x + 2x2 + 3x + 2

CYt±u áÓRp LôiL.

¾oÜ : 2 2 2

4x 3 x 2 4x 3 x 2 5x 5 5(x 1) (x 2) x 2x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2

+ + + + + ++ = = =

+ + ++ + + + + +

GÓjÕdLôhÓ 53 : a

a3 + b3 , b

a3 + b3 Guàm úLôûYL°u áÓRp LôiL.

¾oÜ : 2222333333 baba1

)baba()ba(ba

baba

bab

baa

+−=

+−++

=++

=+

++

GÓjÕdLôhÓ 54 : ÑÚdÏL: 2 2

2 2

x 3x 4 x 5x 6x 6x 8 x x 12

+ − + ++

+ + − −

¾oÜ : 2 2

2 2

(x 4) (x 1) (x 2) (x 3)x 3x 4 x 5x 6(x 4) (x 2) (x 4) (x 3)x 6x 8 x x 12

+ − + ++ − + ++ = +

+ + − ++ + − −

2 2(x 1) (x 4) (x 2) 2x x 8(x 1) (x 2)(x 2) (x 4) (x 2) (x 4) (x 2) (x 4)

− − + + − +− += + = =

+ − + − + −

www.kalvisolai.com

78

GÓjÕdLôhÓ 55 : ÑÚdÏL: ab

bba

a 33

−+

−

¾oÜ : ba

bba

a)ab(

bba

aab

bba

a 333333

−−

−=

+−−+

−=

−+

−

2 23 3

2 2(a b) (a ab b )a b a ab ba b (a b)

− + +−= = = + +

− −

GÓjÕdLôhÓ 56 : ÑÚdÏL: 44

2

44

2

yxy

yxx

−−

−

¾oÜ : 2222

22

44

22

)y()x()yx(

yxyx

−−

=−−

2 2

2 2 2 2 2 2

(x y ) 1(x y ) (x y ) x y

−= =

+ − +

GÓjÕdLôhÓ 57 : 2x1x

2

3

+−

EPu GkR ®¡RØß úLôûYûVd áh¥]ôp,

2x3xx2

2

23

++−

Guàm úLôûY ¡ûPdÏm?

¾oÜ : 2x1x

2

3

+− + ®¡RØß úLôûY =

2x3xx2

2

23

++− .

úRûYVô] ®¡RØß úLôûY = 2x3 − x2 + 3

x2 + 2 −

x3 − 1x2 + 2

= 2x3 − x2 + 3 − x3 + 1

x2 + 2 =

x3 − x2 + 4x2 + 2

GÓjÕdLôhÓ 58 : 3x

1x3x 4

++− EPu GkR ®¡RØß úLôûYûVd áhP

x2 + 1x − 2

¡ûPdÏm?

¾oÜ : úRûYVô] ®¡RØß úLôûY = 3x

1x3x2x1x 42

++−

−−+

2 4(x 1) (x 3) (x 3x 1) (x 2)

(x 2) (x 3)+ + − − + −

=− + )3x()2x(

)2xx6x3x2x(3xx3x 24523

+−−++−−−+++

=

)3x()2x(

2x7x3x2x3xx3x 24523

+−+−++−+++

= )3x()2x(

5x6x6xx2x 2345

+−+−+++−

=

GÓjÕdLôhÓ 59 : GkR ®¡RØß úLôûYûV 1x2

5x7x4 23

−+−

-−ÚkÕ L¯dL

2x2 – 5x + 1 ¡ûPdÏm?

www.kalvisolai.com

79

¾oÜ : úRûYVô] úLôûY = )1x5x2(1x2

5x7x4 223

+−−−

+−

3 2 3 2 2 2(4x 7x 5) (4x 10x 2x 2x 5x 1) 5x 7x 6

2x 1 2x 1− + − − + − + − − +

= =− −

GÓjÕdLôhÓ 60 : 1x1xQ,

1x1xP

−+

=+−

= G²p (P+Q)2, (P–Q)2 B¡VYtû\ ®¡RØß

úLôûYL[ôLj RÚL.

¾oÜ : (P+Q)2 = 2222

)1x()1x()1x()1x(

1x1x

1x1x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++−

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x 2x 1 x 2x 1 2x 2 2(x 1) 4(x 1)(x 1) (x 1) x 1 x 1 (x 1)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + + + + += = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

úUÛm (P–Q)2 = 2 22 2 2 2 2

2

(x 1) (x 1)x 1 x 1 x 2x 1 (x 2x 1)x 1 x 1 (x 1) (x 1) (x 1)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − +− + − + − + +⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − −⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

22

22

2 )1x(x16

1xx4

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

T«t£ 4.4.3

I. ÑÚdÏL

a) x 5x+16 16

b) x y+x+y x+y

c) 2 2

8 3+x y xy

d) 2 2

1 2b+a+b a -b

e) 2 2

x+2 x-3+x +3x+2 x -2x-3

f) 2 2

y x-x-yx -y

g) 3a 64-

a-4 a-4 h)

4x 81-x-3 x-3

i) 2 2

x-2 x+3+x -7x+10 x -2x-15

j) 2 2

x x-x +5x+6 x +7x+12

k) −− − −2 2

5 44a 9 2a a 3

l) −−

− − −x+1 (x 1)

(x 2)(x 1) (x+1)(x 2)

m) −2

m 1 1+ +m+1 m+1 m 1

n) −− −2 2

1 1 4x+2x+3y 2x 3y 4x 9y

o) −−2 2

x+a x-a 4ax+x-a x+a a x

p) −− − −2 2 2

x x x+x 9x+20 x 8x+15 x 7x+12

www.kalvisolai.com

80

II. 1. 2x +x-32x-1

EPu GkR ®¡RØß úLôûYûVd áh¥]ôp 23x +x+4x+2

Gu\

®¡RØß úLôûY ¡ûPdÏm?

2. −−

4 3

2

x 7x +4x 2

EPu GkR ®¡RØß úLôûYûVd áh¥]ôp − − 21 5x x

x+1 Gu\

®¡RØß úLôûY ¡ûPdÏm?

3. −25x x+23x+4

−ÚkÕ GkR ®¡RØß úLôûYûVd L¯dL 23x +1

2x-3 ¡ûPdÏm?

III.1. −

x+1P =x 1

, −x 1Q =x+1

G²p (P+Q)2 , (P–Q)2 B¡VYtû\ ®¡RØß

úLôûYL[ôLj RÚL.

2. x yP = , Q =x+y x+y

G²p −− −2 2

1 2QP Q P Q

GuTûRd LôiL.

4.5 YodL êXm

x Guàm JÚ ªûL Gi¦u YodLêXUô]Õ JÚ GiûQ AúR GiQôp ùTÚdÏmúTôÕ x-Ij RÚ¡u\ GiQôÏm GuTûR ¨û]®tÏ ùLôiÓ YÚúYôm. CúR úTôuß JÚ ùLôÓdLlThP TpÛßl×d úLôûY«u YodLêXm GuTÕ, HúRàm JÚ TpÛßl×d úLôûYûV, AúR TpÛßl×dúLôûYVôp ùTÚdÏm úTôÕ, ùLôÓdLlThP ANp úLôûYûVj RÚ¡u\úRô AkR TpÛßl×dúLôûY BÏm. Sôm CeÏ GpXôYt±tÏm ùTôÚkÕUôß ªûL YodL êXeLû[úV GÓjÕd ùLôs¡ú\ôm.

GÓjÕdLôhPôL 784-Cu YodLêXjûR GÓjÕdùLôsúYôm.

784 = 7 × 7 × 4 × 4 = 72 × 42 ∴ 2 2784 7 4 7 4 28= × = × =

P(x) Guàm TpÛßl×d úLôûY«u YodLêXjûR GiL°p Ï±lTÕ

úTôXúY ,)x(P G]d Ï±l©Ó¡ú\ôm. YodLêXm LôiûL«p (i) LôW¦lTÓjÕm

Øû\, (ii) YÏjRp Øû\ B¡V CÚØû\Lû[l ©uTtß¡ú\ôm. 4.5.1 LôW¦lTÓjRp Øû\lT¥ YodLêXm LôQp

GÓjÕdLôhÓ 61 : ¸rYÚY]Yt±u YodLêXm LôiL.

(i) x2 y4 z8 (ii) 256 z2 y6 (iii) 36a2 (b–c)4 (c+a)8 (iv) (p+q)2 – 4pq

¾oÜ : i) x2 y4 z8 = x2(y2)2 (z4)2 = (xy2z4)2

G]úY 2 4 8 2 4 2 2 4x y z (xy z ) (xy z )= =

ii) 2 6 3 2 3256z y (16zy ) 16zy= =

iii) 42242842 )ac()cb(a6])ac()cb(a6[)ac()cb(a36 +−=−−=−−

iv) 2 2(p q) 4pq (p q) p q+ − = − = −

www.kalvisolai.com

81

GÓjÕdLôhÓ 62 : YodLêXm LôiL. : (i) x2 + 10x + 25 (ii) 4a2 + 20ab + 25b2

(iii) (x2 – 4) (x2 + x – 6) (x2 + 5x + 6) ¾oÜ : i) x2 + 10x + 25 = x2 + 5x + 5x + 25 = x (x+5) + 5 (x+5) = (x+5) (x+5)

= (x + 5)2

∴ 5x)5x(25x10x 22 +=+=++

ii) 22 b25ab20a4 ++ = 2(2a 5b) (2a 5b)+ = +

iii) x2 – 4 = x2 – 22 = (x–2) (x+2)

x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6 = x (x+3) – 2 (x+3) = (x+3) (x–2)

x2 + 5x + 6 = x2 + 3x + 2x – 6 = x (x+3) + 2 (x+3) = (x+3) (x+2)

G]úY (x2 – 4) (x2 + x – 6) (x2 + 5x + 6)

= (x + 2) (x + 3) (x – 2) (x + 3) (x + 2) (x – 2)

= (x–2)2 (x + 2)2 (x + 3)2 = [(x – 2) (x + 2) (x + 3)]2

∴ úRûYVô] YodLêXm (x – 2) (x + 2) (x + 3)

T«t£ 4.5.1

I. LôW¦lTÓjÕRp Øû\«p YodLêXm LôiL. 1. 576 2. 676 3. 2025 4. 9801 5. 11025

6. 0.0169 7. 0625.00144.0 8.

917 9.

25214 10.

251411

II. ¸úZ ùLôÓdLlThPûYL°u YodLêXm LôiL.

1. 169 a8b6c4 2. 9x2y4z8 3. 49 (2a–4b)2c2

4. 36 (2–x)4 (3–x2)6 5. 81 (a–b)2 (x+y)4 6. (x–y)2 + 4xy 7. 121z2y4 ÷ 49x6 8. 50(x+y)2 ÷128(x–y)4

9. 8 4

6 16

25(a+b) (x+y)9(x-y) (a+b)

10. 2 2 2

2 6

(x -y )36(x-y) (x+2y)

III. ¸úZ ùLôÓdLlThPûYL°u YodLêXm LôiL. 1) 9x2 + 30x + 25 2) 16x2 – 24x + 9

3) (x2 – 4) (x2 – 3x – 10) (x2 – 7x + 10) 4) (x2 – 1) (x2 – 4x + 3) (x2 – 2x – 3) 5) (a2 – b2) (a2 – 4ab + 3b2) (a2 – 2ab – 3b2) 6) a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ca

7) x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2zx 8) 2 2

2 2

x y+ + 2y x

www.kalvisolai.com

82

9) 22

1x + -2x

10) 44

1x +2+x

11) (6x2 + 7x – 20) (3x2 + 23x – 36) (2x2 + 23x + 45)

12) (2x2 – x – 1) (3x2 – 2x – 1) (6x2 + 5x + 1)

4.5.2 YÏjRp Øû\ êXm YodLêXm LôÔRp

G°RôLd LôW¦L[ôLl ©¬dLØ¥VôR TpÛßl×d úLôûYL°u YodLêXjûR YÏjRp Øû\ûVl TVuTÓj§ LôQXôm. JÚ Gi¦u YodLêXjûR YÏjRp Øû\«u êXm LôÔm Øû\ûV ¨û]Üáo¡ú\ôm.

125

1 1, 56, 25 1

22 56 44 ∴ 15625-Cu YodLêXm 125.

245 12 25 12 25

0 JÚ TpÛßl×d úLôûY«u YodLêXm LôQ Sôm CúR Y¯Øû\ûV ETúVôLlTÓjRXôm.

GÓjÕdLôhÓ 63 : 4x4 – 4x3 + 5x2 – 2x + 1-Cu YodLêXm LôiL. ¾oÜ :

2x2 – x + 1 Y¯Øû\ ØRp Eßl©u YodLêXm

2x2 4x4 – 4x3 + 5x2 – 2x + 1 24 x2x4 = 4x4

4x2 – x – 4x3 + 5x2 2 × 2x2 = 4x2, – xx4x4

2

3

−=

– 4x3 + x2

4x2 – 2x + 1 4x2 – 2x + 1 2 × (2x2–x) = 4x2 – 2x

4x2 – 2x + 1 1x4x4

2

2

=

0 ∴ YodLêXm = ± (2x2 – x + 1) GÓjÕdLôhÓ 64 :

YodLêXm LôiL. a4 – 2a3 + 161a

21a

23 2 +−

www.kalvisolai.com

83

¾oÜ :

a2 – a + 41

a2 a4 – 2a3 + 161a

21a

23 2 +−

a4

2a2 – a – 2a3 + 2a23

– 2a3 + a2

2a2 – 2a + 41

161a

21a

21 2 +−

161a

21a

21 2 +−

0

∴ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−±=+−+−

41aa

41aa

161a

21a

23a2a 2

2

2234

GÓjÕdLôhÓ 65 : p + qx + 10x2 + 12x3 + 9x4 GuTÕ JÚ ØÝYodLm G²p p, q CYt±u U§l× LôiL. ¾oÜ :

3x2 + 2x + 1

3x2 9x4 + 12x3 + 10x2 + qx + p 9x4

6x2 + 2x 12x3 + 10x2 12x3 + 4x2

6x2 + 4x + 1 6x2 + qx + p 6x2 + 4x + 1

0

ùLôÓdLlThP úLôûY JÚ ØÝYodLm. ∴ p = 1 q = 4

T«t£ 4.5.2

1. YÏjRp Øû\ êXm YodLêXm LôiL. (a) 7225 (b) 8649 (c) 18225 (d) 524176 (e) 287296 (f) 186624 (g) 2819041 (h) 1708249.

2. YÏjRp Øû\ êXm YodLêXm LôiL. (a) x4 – 4x3 + 10x2 – 12x + 9 (b) 4x4 + 8x3 + 8x2 + 4x + 1

www.kalvisolai.com

84

(c) 9x4 – 18x3 + 33x2 – 24x + 16 (d) x4 – 2x3 – 23 1 1x x2 2 16

+ +

(e) x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 (f) 16x4 – 24x3 – 31x2 + 30x + 25

(g) 16x24x13x3x41 234 +−+− (h)

41x2x

313x

34x

91 234 +−+−

3. ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ TpÛßl×dúLôûYLs ØÝYodLeLs G²p a-«u B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL. (a) 9x4 – 6x3 + 7x2 – 2x + a (b) 4x4 + 12x3 + 13x2 + ax + 1 (c) x4 – 6x3 + 11x2 + ax + 1

4. ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ TpÛßl×dúLôûYLs ØÝYodLeLs G²p a, b B¡VYt±u U§l×Lû[d LôiL. (a) 25x4 – 40x3 – 34x2 + ax + b (b) 9x4 + 12x3 + 40x2 + ax + b (c) 4x4 + 12x3 + x2 + ax + b

4.6 CÚT¥f NUuTôÓLs

ax2 + bx + c = 0 Guàm Y¥®p a, b, c ∈ R úUÛm a ≠ 0 G] AûUkR NUuTôÓ JÚ CÚT¥f NUuTôÓ G] AûZdLlTÓm. CÕ CWiPômT¥«p AûUkR JÚ NUuTôÓ GÓjÕdLôhPôL 5x2 + 6x + 7 = 0, 9x2 – 4 = 0, 2x2 – 3x = 0 B¡VûY CÚT¥f NUuTôÓLs. p(x) = 0 GuTÕ JÚ CÚT¥fNUuTôÓ G²p p(x) Guàm TpÛßl×d úLôûY«u éf£VeLs, p(x) = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs G]lTÓm.

4.6.1 LôW¦lTÓjRp êXm CÚT¥fNUuTôh¥u ¾oÜ LôÔRp

CkRl TÏ§«p CÚT¥f NUuTôÓLû[j ¾olTRtÏ LôW¦lTÓjRp Øû\ûV TVuTÓjÕúYôm. CÚT¥fNUuTôh¥û] CÚ JÚT¥f NUuTôÓL[ôLd á\Ø¥ÙùU²p CkR Øû\ ETúVôLlTÓjRlTÓm. GÓjÕdLôhÓ 66 : CÚT¥f NUuTôh¥û]j ¾o: 2x2 + 3x – 5 = 0 ¾oÜ : 2x2 + 3x – 5 = 2x2 + 5x – 2x – 5 = x (2x + 5) – 1(2x + 5) = (x – 1) (2x + 5) 2x2 + 3x – 5 = 0 GuTRôp Sôm A±YÕ (x – 1) (2x + 5) = 0 ⇒ x – 1 = 0 ApXÕ 2x + 5 = 0 ⇒ x = 1, –5/2

¾oÜLQm= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

25,1

GÓjÕdLôhÓ 67 : ¾o: 64x2 – 36 = 0 ¾oÜ : 64x2 – 36 = 0 ApXÕ (8x + 6) (8x – 6) = 0 ApXÕ x = –6/8 = –3/4 ApXÕ x = 6/8 = 3/4

¾oÜLQm = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

43,

43

GÓjÕdLôhÓ 68 : ¾o: 3x2 – 4x = 0

www.kalvisolai.com

85

¾oÜ : 3x2 – 4x = x (3x – 4) 3x2 – 4x = 0 GuTRôp Sôm A±YÕ x (3x – 4) = 0 ApXÕ x = 0 ApXÕ 3 x –4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 4/3

¾oÜLQm = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

34,0

GÓjÕdLôhÓ 69 : ¾o: (x + 3) (x + 5) = 1 – x ¾oÜ : (x + 3) (x + 5) = 1 – x x2 + 8x + 15 – 1 + x = 0 ApXÕ x2 + 9x + 14 = 0 ApXÕ (x + 2) (x + 7) = 0 ApXÕ x = –2 x = –7 ¾oÜLQm = {–2, –7}. GÓjÕdLôhÓ 70 : ¾o: (2x + 1) (x – 2) = 0 ¾oÜ : (2x + 1) (x – 2) = 0 ApXÕ 2x + 1 = 0 ApXÕ x – 2 = 0 ApXÕ x = –1/2, x = 2 ¾oÜLQm = {-1/2, 2}. GÓjÕdLôhÓ 71 : ¾o x2 – x – 12 = 0 ¾oÜ : ùLôÓdLlThP CÚT¥fNUuTôh¥û]d LôW¦lTÓjR, Sôm A±YÕ x2 – x – 12 = 0 (x + 3) (x – 4) = 0 ApXÕ x + 3 = 0, x – 4 = 0 ApXÕ x = –3 x = 4 ¾oÜLQm = {− 3, 4}

GÓjÕdLôhÓ 72 : ¾o: 4

15x1x =−

¾oÜ : 4

15x1x =− ApXÕ

x2 − 1x =

154

ApXÕ 4(x2 – 1) = 15x ApXÕ 4x2 – 4 – 15x = 0 ApXÕ 4x2 – 15x – 4 = 0 ApXÕ 4x2 – 16x + x – 4 = 0 ApXÕ 4x (x – 4) + 1 (x – 4) = 0

ApXÕ x – 4 = 0, 4x + 1 = 0 ApXÕ x = 4 , 1x4−

=

¾oÜLQm = 14 ,4−⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

GÓjÕdLôhÓ 73 : ¾o: 036x11x3 2 =++ ¾oÜ : NUuTôh¥û]d LôWQlTÓj§]ôp Sôm A±YÕ 3x2 + 11x + 6 3 = 0 ApXÕ 3x2 + 2x + 9x + 6 3 = 0

x ( )3x + 2 + 3 3 ( )3x + 2 = 0 ApXÕ ( )3x + 2 ( )x + 3 3 = 0

3x + 2 = 0, x + 3 3 = 0 ApXÕ x = − 23 ApXÕ x = − 3 3

¾oÜLQm = 2 , 3, 33

−⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

GÓjÕdLôhÓ 74 : ¾o: a2b2x2 – (a2 + b2) x + 1 = 0 ¾oÜ : a2b2x2 – (a2 + b2) x + 1 = 0 ApXÕ a2b2x2 – a2x – b2x + 1 = 0 ApXÕ

www.kalvisolai.com

86

(a2x – 1) (b2x – 1) = 0 ApXÕ 2 2

1 1x , xa b

= =

¾oÜLQm = 2 2

1 1,a b

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

GÓjÕdLôhÓ 75 : ¾o: 2 (x + 1)2 – 5(x + 1) = 12 ¾oÜ : x + 1 = t G] GÓjÕdùLôiPôp SUdÏ ¡ûPlTÕ 2t2 – 5t – 12 = 0 ApXÕ 2t (t – 4) + 3t – 12 = 0

2t (t – 4) + 3 (t – 4) = 0 ApXÕ (2t + 3) (t – 4) = 0 ApXÕ 4t,23t =−=

3x41x4tand25x

231x

23t =⇒=+⇒=−=⇒−=+⇒−=

¾oÜLQm = 5 , 32

−⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

GÓjÕdLôhÓ 76 : ¾o: x 2 x 3 3x 7+ + + = +

¾oÜ: CÚ×\Øm YodLlTÓjR Sôm A±YÕ x + 2 + x + 3 + 2 7x3)3x(2x( +=++

2 (x 2) (x 3) 3x 7 2x 5 x 2+ + = + − − = + CÚ×\Øm YodLlTÓjR Sôm A±YÕ

4 (x + 2) (x + 3) = (x + 2)2 ⇒ (x + 2) [(x + 2) – 4(x + 3)] = 0 ⇒ (x + 2) (–3x –10) = 0

⇒ (3x + 10) (x + 2) = 0 ⇒ 2x,310x −=

−= .

x = − 103 G²p x + 2 ùUnVpX.

(G]úY 3

10x −= ùTôÚkRôÕ) ⇒ ùLôÓdLlThP NUuTôh¥u ¾oÜ x = –2.

YodLéoj§ Øû\«p NUuTôÓLû[j ¾ojRp ax2 + bx + c = 0 Guàm CÚT¥f NUuTôh¥û] GÓjÕdùLôsúYôm.

CkR NUuTôhûP 0acx

abx 2 =++ G] GÝRXôm ApXÕ

ApXÕ x2 + 2 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞b

2a x + ca = 0 ApXÕ x2 + 2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞b

2a x = − ca

ApXÕ x2 + 2 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞b

2a x + b2

4a2 = b2

4a2 − ca ApXÕ ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞x +

b2a

2

= b2 − 4ac

4a2

ApXÕ x + b2a = ±

b2 − 4ac2a ApXÕ x =

− b b2 − 4ac2a

www.kalvisolai.com

87

CqYôß YodLéoj§ Øû\ûVl TVuTÓj§ CÚT¥f NUuTôh¥u êXeLû[l ùT\Xôm. CkR Øû\ Ck§Vd L¦R úUûR cRWfNôoVô (¡.©. 1025) GuTYWôp A°dLlThPÕ.

GÓjÕdLôhÓ 77 : x2 + 12x-I JÚ ØÝYodLUôL Uôt\ ARàPu GûRf úNodL úYiÓm. ARu YodLm Gu]?

¾oÜ : a2 + 2ab + b2 Gu\ úLôûYÙPu Jl©hÓl TôodûL«p CeÏ 2ab = 12x, a GuTÕ x.

∴ b = 12x2x = 6 úUÛm b2 = 62. BûLVôp áhPlTPúYi¥V Eßl× 36 BÏm.

úRûYVô] YodLm = x2 + 12x + 62 = (x + 6)2. GÓjÕdLôhÓ 78 : ØÝ YodLUôL Uôtßm Øû\«p x2 + 6x – 7 = 0 Guàm NUuTôh¥û]j ¾o.

¾oÜ : x2 + 6x = 7. áhPlTP úYi¥V Eßl× = .926 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

CÚ×\Øm 9Id áhP Sôm ùTßYÕ x2 + 6x + 9 = 7 + 9 ApXÕ (x + 3)2 = 16 CÚ×\Øm YodLêXm LôQ, x + 3 = ± 16 = ± 4

x + 3 = 4 ⇒ x = 1, x + 3 = –4 ⇒ = –7 ¾oÜLQm = {1, –7}

GÓjÕdLôhÓ 79: ¾o: x2 + 2x – 1 = 0 ¾oÜ: x2 + 2x = 1 ApXÕ x2 + 2x + 1 = 1 + 1 ApXÕ (x + 1)2 = 2 x + 1 = + 2 ⇒ x = –1 + 2 ∴ x = –1 + 2 , –1 – 2

¾oÜLQm = { }1 + 2, − 1 − 2

GÓjÕdLôhÓ 80 : ¾o: 6x2 + x –1 = 0 ¾oÜ : 6x2 + x = 1. CÚ×\Øm 6Bp ùTÚdL, SUdÏ ¡ûPlTÕ

(6x)2 + (6x) = 6 ; (6x)2 + 2 × 6x × 1 1 162 4 4

+ = +

21 25 1 56x 6x2 4 2 2

⎛ ⎞+ = ⇒ + = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 6x = 12 +

52 ApXÕ 6x = −

12 −

52

⇒ 6x = 2 ApXÕ 6x = –3

⇒ x = 26 ApXÕ x = −

36 ⇒ x =

13 ApXÕ x = −

12

¾oÜLQm = { }− 1/2, 1/3

www.kalvisolai.com

88

ãj§WjûRl TVuTÓj§ ¾oÜ LôÔRp ax2 + bx + c = 0 Guàm NUuTôh¥p a, b, c, ∈ R úUÛm a ≠ 0 CRàûPV ¾oYô]Õ:

a2ac4bb

x2 −±−

= Guàm ãj§WjRôp ùT\lTÓm.

Ï±l×: CkR ãj§WjûR Sôm YodLeLû[ ØÝûUlTÓjÕm Øû\«úX ùTtú\ôm.

GÓjÕdLôhÓ 81 : x2 – 7x + 12 = 0 Guàm NUuTôh¥û] ãj§WjûRl TVuTÓj§ ¾o: ¾oÜ : ax2 + bx + c = 0 EPu Jl©hÓl TôodûL«p Sôm ùTßYÕ a = 1, b = –7, c = 12 Sôm A±kRúR.

2 2b b 4ac ( 7) ( 7) 4(1)(12)x

2a 2 1− ± − − − ± − −

= =×

7 49 48 7 1 4,32 2

+ ± − ±= = =

∴¾oÜLQm = {4, 3} GÓjÕdLôhÓ 82 : ¾o: x2 + 2x – 1 = 0. ¾oÜ : x2 + 2x – 1 = 0-I ax2 + bx + c = 0 EPu Jl©hÓl TôodûL«p, Sôm ùYßTÕ a = 1.

b = 2, c = –1. ãj§Wj§uT¥ 2 2b b 4ac 2 2 4 1 ( 1)

x2a 2 1

− ± − − ± − × × −= =

×

2 8 1 2

2− ±

= = − ±

∴¾oÜLQm = { }1 2, 1 2− + − − .

T«t£ 4.6.1 I. LôW¦lTÓjRp êXm ¾o.

1) (x – 5) (x – 2) = 0 2) (x + 3) (x + 7) = 0 3) (x – 9)2 = 0 4) (x + 7)2 = 0 5) x (x – 8) = 0 6) x (3x – 4) = 0 7) x2 – 64 = 0 8) 4x2 – 25 = 0 9) 3x2 – 75 = 0 10) 9x2 – 64 = 0 11) x2 + 10x + 21 = 0 12) x2 – 10x – 24 = 0

13) 3x2 – 5x + 2 = 0 14) 9x2 – 15x – 14 = 0 15) 2x3x =−

16) 5

26x1x =+ 17) (x – 2) (2x + 3) = 3 (x – 4) (x + 8)

18) (5x – 2) (x + 1) = 3x (3x – 1) 19) 4a2x2 – 5abx + b2 = 0

20) 0538xx5 2 =++

www.kalvisolai.com

89

II. 1. GûRd áh¥]ôp ©uYÚY] ØÝ YodLUôL Uôßm? a) x2 + 16x b) x2 + 5x c) x2 – 10x d) x2 – 7x e) 3x2 – 8x f) 2x2 + 9x g) ax2 + bx h) 5x2 – 4x 2. YodLléoj§ Øû\«p NUuTôÓLû[j ¾o. a) x2 + 2x – 3 = 0 b) 2x2 – x – 10 = 0 c) 3x2 – 4x + 1 = 0 d) 5x2 – 7x – 6 = 0 e) x2 + x = 72 d) x2 + 5 = –6x g) x2 – 4x – 7 = 0 h) x2 + 14x + 40 = 0

III. ãj§WjûRl TVuTÓj§ NUuTôÓLû[j ¾o. 1) 6x2 + x – 1 = 0 2) 4x2 + 17x + 4 = 0 3) x2 – 28x + 160 = 0

4) 15x2 – 11x + 2 = 0 5) 3x2 – 6x + 2 = 0 6) 212

x1x =+

7) x2 – 10x + 9 = 0 8) x2 – 5x + 5 = 0 9) 2 (x + 2)2 = x + 4

10) x2 + 7x – 6 = 0 11) 32x5 x +=+ 12) 3a2x2 – abx – 2b2 = 0 4.6.2 CÚT¥fNUuTôhÓ Y¯dLQdÏLs

£X LQdÏL°p CÚT¥f NUuTôÓ úSW¥VôLd ùLôÓdLlTh¥ÚdLôÕ. AlT¥lThP LQdÏL°p ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ ØR−p CÚT¥f NUuTôh¥û] AûUjÕ ©u]o ¾oÜ LôiúTôm. CkRl TÏ§«p ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ NUuTôÓLû[ AûUjÕ, LôW¦lTÓjRp Øû\«úXô ApXÕ ãj§WjûRl TVuTÓjÕm Øû\«úXô ARu ¾oÜ LôiúTôm.

GÓjÕdLôhÓ 83 : JÚ Gi ARàûPV YodLm CYt±u áÓRp 90. AkR GiûQd LiÓ©¥. ¾oÜ : úRûYVô] Gi x GuL. ARàûPV YodLm x2. ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ Sôm A±YÕ

x + x2 = 90 ApXÕ x2 + x – 90 = 0 ApXÕ (x + 10) (x – 9) = 0 x + 10 = 0 , x – 9 = 0 ⇒ x = –10, x = 9. ∴ úRûYVô] Gi –10 ApXÕ 9.

GÓjÕdLôhÓ 84 : JÚ YhP úSodám©u EVWm ARu BWjûR®P 7 ùN.Á. A§Lm. NôÙVWm BWjûR®P 8 ùN.Á. A§Lm G²p, ARàûPV Yû[lTWlT[ûYd LôiL. ¾oÜ : BWm x ùN.Á. GuL. G]úY ARu EVWm h = x + 7 ùN.Á. ; ARu NôÙVWm l = x + 8 ùN.Á. Sôm A±YÕ, r2 + h2 = l2 ⇒ x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2 x2 + x2 + 14x + 49 = x2 + 16x + 64 ⇒ 2x2 + 14x + 49 – x2 – 16x – 64 = 0

x2 – 2x – 15 = 0 ⇒ (x – 5) (x + 3) = 0 ⇒ x = 5 Utßm x = –3 BWm Ïû\ GiQôL CÚdL Ø¥VôÕ. ∴ x = 5 ùN.Á. ; h = x + 7 = 12 ùN.Á. ; l = x + 8 = 13 ùN.Á. G]úY ám©u Yû[R[lTWlT[Ü = πrl = π x 5 x 13 = 65πùN.Á.2

www.kalvisolai.com

90

GÓjÕdLôhÓ 85 : Ko D¬XdL Gi¦u CXdLeL°u ùTÚdÏjùRôûL 8. ARàPu 18-Id áh¥]ôp CXdLeLs CPmUôßm. AkR GiûQd LiÓ©¥. ¾oÜ : TjRôm CPj§p CÚdÏm Gi x G]Üm, Ju\ôm CPj§p CÚdÏm Gi y G]Üm ùLôsL. G]úY AkR Gi¦u U§l× 10x + y BÏm. CXdLeL°u ùTÚdLpTXu 8 BL CÚlTRôp xy = 8 (1) GiÔPu 18-Id áhP, CXdLeLs CPmUôß¡u\].

∴ 10x + y + 18 = 10y + x ⇒ 9x – 9y = –18 ⇒ x – y = –2 ⇒ y = x + 2 (2) CXdLeLs ªûL ØÝdLs. G]úY y = x + 2 (1) ⇒ x (x + 2) = 8 ApXÕ x2 + 2x – 8 = 0 ApXÕ (x + 4) (x – 2) = 0 x + 4 = 0, x – 2 = 0 ApXÕ x = –4, x = 2.

CXdLeLs ªûL ØÝdLs. G]úY x = 2 ⇒ 428

x8y ===

∴ AkR D¬XdL Gi 24. GÓjÕdLôhÓ 86 : JÚ ®YNô« 100 N.Á. TWlT[®p JÚ ùNqYLY¥Y LônL±j úRôhPjûR AûUdL ®Úm©]ôo. AY¬Pm 30 Á. A[úYÙs[ ØsLm© CÚkRRôp, Åh¥u U§p ÑYûW úY−«u SôuLôYÕ TdLUôL ûYjÕdùLôiÓ úY−ûV AûUjRôo. úY−«u TdL A[ÜLû[d LiÓ©¥.

¾oÜ : úRôhPj§u ALXm, ¿[m Øû\úV x Á., y Á. GuL. TWlT[Ü = 100Á.2 ∴ xy = 100 (1) Lm©«u ¿[m = 30 Á.

∴ 2x + y = 30 y = 30 – 2x (2) NUuTôÓ (2)-I NUuTôÓ (1)-p ©W§«P Sôm A±YÕ x (30 – 2x) = 100

30x – 2x2 – 100 = 0 ⇒ – 2x2 + 30x – 100 = 0 x2 – 15x + 50 = 0 ⇒ (x – 5) (x – 10) = 0 x = 5, x = 10

x = 5 G²p, (2) ⇒ y = 30 – 2 x 5 = 30 – 10 = 20 G²p x = 10, (2) ⇒ y = 30 – 2 x 10 = 30 – 20 = 10. úRôhPj§u ALXm, ¿[m Øû\úV 5Á., 20Á ApXÕ 10Á., 10Á. GÓjÕdLôhÓ 87 : AlTô®u YVÕ, ULs WmVô®u YV§u YodLj§tÏ NUm. 5 YÚPeLÞdÏl ©u]o RkûR«u YVÕ WmVô®u YVûj úTôp êuß UPeÏ. AYoLs RtúTôûRV YVÕ Gu]?

¾oÜ : WmVô®u RtúTôûRV YVÕ x G] GÓjÕd ùLôiPôp AYoL°u RkûR«u YVÕ x2 YÚPeLs BÏm. 5 YÚPeLÞdÏl ©u WmVô®u YVÕ (x + 5) BiÓLs. AY[Õ RkûR«u YVÕ (x2 + 5) BiÓLs. G]úY ùLôÓdLlThP ®YWeL°−ÚkÕ x2 + 5 = 3 (x + 5) ⇒ x2 + 5 = 3x + 15 ⇒ x2 – 3x – 10 = 0

(x + 2) (x – 5) = 0 ⇒ x = – 2 ApXÕ x = 5 YVRô]Õ Ïû\ GiQôL CÚdL Ø¥VôÕ. G]úY x = 5. ∴ WmVô®u RtúTôûRV YVÕ x = 5 BiÓLs. WmVô®u RkûR«u RtúTôûRV YVÕ x2 = 25 BiÓLs.

www.kalvisolai.com

91

TPm 4.1

TPm 4.2

GÓjÕdLôhÓ 88 : ùNuû] Uj§V W«p ¨ûXVj§−ÚkÕ ×\lTÓm CWiÓ W«p Yi¥L°p Juß úUtÏ §ûNûV úSôd¡Ùm, Utù\ôuß YPdÏ §ûNûV úSôd¡Ùm ©WVôQm ùNn¡u\]. ØRp Yi¥Vô]Õ, CWiPôYÕ Yi¥ûV ®P 5 ¡.Á. A§L úYLj§p ùNp¡\Õ. 2 U¦ úSWj§tÏl ©\Ï AYt±tÏ CûPúVÙs[ ùRôûXÜ 50 ¡.Á. G²p AYt±u NWôN¬ úYLm Gu]? ¾oÜ : CWiPôYÕ W«−u úYLm x ¡.Á./U¦ GuL. G]úY ØRp W«−u úYLm (x + 5) ¡.Á./U¦ BÏm. C B]Õ ùNuû] Uj§V W«p ¨ûXVjûRd Ï±dLhÓm. CWiÓ U¦ úSWj§tÏl ©u]o ØRp Yi¥ CÚdÏªPm A G]Üm, CWiPôm Yi¥ CÚdÏªPm B G]Üm ùLôsL. G]úY Sôm A±YÕ CA = 2 (x + 5) ¡.Á., CB = 2x ¡.Á. AB = 50 ¡.Á. G] ùLôÓdLlThÓs[Õ. ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC«p, CA2 + CB2 = AB2 ⇒ 4 (x + 5)2 + 4x2 = 2500 ⇒ 4(x2 + 10x + 25) + 4x2 – 2500 = 0 ⇒ 4x2 + 40x + 100 + 4x2 – 2500 = 0 ⇒ 8x2 + 40x – 2400 = 0 ⇒ x2 + 5x – 300 = 0 (x + 20) (x – 15) = 0 ⇒ x = – 20 ApXÕ x = 15 W«−u úYLm ªûL GiQôÏm. G]úY, x = 15. ØRp W«−u úYLm = x + 5 = 15 + 5 = 20 ¡.Á./U¦. CWiPôYÕ W«−u úYLm x = 15 ¡.Á./U¦. GÓjÕdLôhÓ 89 : CWiÓ ÏZônLs úNokÕ JÚ ùRôh¥ûV 11 1/9 ¨ªPeL°p ¨Wl×m JÚ ÏZôVô]Õ. Utù\ôÚ ÏZôûV ®P ùRôh¥ûV ¨WlT 5 ¨ªPeLs A§Lm GÓjÕdùLôiPôp JqùYôÚ ÏZôÙm ùRôh¥ûV ¨WlT GqY[Ü úSWm GÓjÕdùLôsÞm G]d LQd¡ÓL. ¾oÜ : A Guàm ÏZôn ùRôh¥ûV x ¨ªPeL°p ¨Wl×m B Guàm ÏZôn x + 5 ¨ªPeL°p ¨Wl×m. 1 ¨ªPj§p CWiÓ ÏZônLÞm úNokÕ ¨Wl×YÕ ùRôh¥«u

5x1

x1

++ = 2x 5

x (x 5)++

TÏ§. ØÝjùRôh¥Ùm ¨WmT BÏm úSWm 9111 ¨ªPeLs.

= 5x2

)5x(x++ ¨ªPeLs ApXÕ

5x2)5x(x

9100

++

=

9x2 + 45x = 200x + 500 ApXÕ 9x2 – 155x – 500 = 0 ApXÕ 9x2 – 180x + 25x – 500 = 0

9x (x – 20) + 25 (x – 20) = 0 ApXÕ (9x + 25) (x – 20) = 0 ApXÕ 925x −

= ApXÕ

x = 20 ⇒ ÏZôn A ùRôh¥ûV 20 ¨ªPeL°Ûm, ÏZôn B ùRôh¥ûV 25 ¨ªPeL°Ûm ¨Wl×m. GÓjÕdLôhÓ 90 : LûWúTôPlThP JÚ úUûN«u A[ÜLs Øû\úV 72 ùN.Á., 108 ùN.Á. LûWûVj R®ojÕ úUûN«u TWlT[Ü 6400 ùN.Á.2 G²p LûW«u ALXm Gu]? ¾oÜ : LûWûVj R®ojR©u úUûN«u ¿[m = 108–2x úUûN«u ALXm = 72 – 2 x LûWúTôL Gg£Ùs[ CPj§u TWlT[Ü = (108 – 2x) (72–2x) = 6400

50

AE

N

W

S

2x

2(x+5) C

B

108

72

xx

xx

xxx

x

www.kalvisolai.com

92

ApXÕ 4x2 – 360 x + 1376 = 0 ApXÕ x2 – 90x + 344 = 0 ApXÕ x2 – 86x – 4x + 344 = 0 ApXÕ x (x – 86) – 4 (x – 86) = 0 ApXÕ (x – 86) (x – 4) = 0 ⇒ x = 86 ApXÕ x = 4. x = 86 GuTÕ CÚdL Ø¥VôÕ. x = 4. G]úY LûW«u ALXm = 4 ùN.Á..

GÓjÕdLôhÓ 91 : ºWô] úYLj§p JÚ W«Xô]Õ 300 ¡.Á. çWm ùNp¡\Õ. ARàûPV úYLm U¦dÏ 5 ¡.Á. A§L¬jRôp, ùNpÛm úSWm 2 U¦ Ïû\¡\Õ G²p W«−u úYLm Gu]? ¾oÜ : úYLm = s ¡.Á./U¦, LôXm = t U¦ úYLm x LôXm= çWm ApXÕ s × t = 300 ; ÁiÓm (s + 5) × (t – 2) = 300 st + 5t – 2s – 10 = 300 ApXÕ 300 + 5t – 2s – 10 = 300 ApXÕ 5t – 2s – 10 = 0

010s2s

3005 =−−× ApXÕ 2s2 + 10s – 1500 = 0 ApXÕ s2 + 5s – 750 = 0

(s + 30) (s – 25) = 0 ⇒ s = – 30 ApXÕ s = 25. ∴ W«−u úYLm = 25 ¡.Á./U¦

GÓjÕdLôhÓ 92 : ¨tÏm ¿¬p JÚ CVk§WlTP¡u úYLm U¦dÏ 15 ¡.Á./U¦ ¿úWôhPj§u §ûN«p TPLô]Õ, 30 ¡.Á. ùNuß, 4 U¦ 30 ¨ªPeL°p §Úm© YkRôp, ¿¬u úYLm U¦dÏ GjRû] ¡.Á.? ¾oÜ : ¿¬u úYLm U¦dÏ x ¡.Á./U¦ G] ûY. ¨tÏm ¿¬p TP¡u úYLm 15 ¡.Á./U¦ ¿úWôhPj§u §ûN«p ARu úYLm (15 + x) ¡.Á./U¦ ¿úWôhPj§u G§o§ûN«p (15 – x) ¡.Á./U¦.

¿úWôhP §ûN«p ùNpX GÓjÕd ùLôsÞm úSWm = x15

30+

U¦

¿úWôhPj§u G§o§ûN«p ùNpX GÓjÕdùLôsÞm úSWm = 30

15 − x U¦

ùLôÓdLlThP ùUôjR U¦ úSWm = 4 12 U¦ =

92 U¦

∴ 30

15 + x + 30

15 − x = 92 ApXÕ 30

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

15 − x + 15 + x(15 + x) (15 − x) =

92 ApXÕ 30

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞30

152 − x2 = 92

1800 = 9 (225 – x2) ApXÕ 200 = 225 – x2 ApXÕ x2 = 25 ⇒ x = 5 x GuTÕ ªûLVôRXôp Ri½¬u úYLm = 5 ¡.Á./U¦.

T«t£ 4.6.2

1. JÚ Gi, ARàûPV ùTÚdLp RûX¸¯ CYt±u áÓRp8

65 G²p AkR

GiûQd LiÓ©¥. 2. AÓjRÓjÕs[ êuß GiL°u YodLeL°u áÓRp 194. AkR GiLû[d

LôiL. 3. AÓjRÓjÕs[ CWiÓ Jtû\ GiL°u ùTÚdLtTXu 323. AkR

GiLû[d LiÓ©¥. 4. JÚ ùNqYLj§u Ñt\[Ü 36 ùN.Á. ARu TWlT[Ü 80 N.ùN.Á. ARu ¿[

ALXeLû[d LôiL. 5. JÚ ùNqYL Y¥Y YV−u TWlT[Ü 240 Á2. ARàûPV ¿[lTdLj§−ÚkÕ

8 ÁhPûWd Ïû\jRôp AÕ JÚ NÕWUôÏm. ARu ¿[m, ALXm LôiL.

www.kalvisolai.com

93

6. JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§u TdLeLs Øû\úV (x – 1.8) ùN.Á., (x + 1.8) ùN.Á., (x + 1) ùN.Á. BÏm. ARu TWlT[Ü LôiL.

7. JÚ RkûR, AYWÕ ULu CÚY¬u YVÕL°u áÓRp 45 YÚPeLs. 5 YÚPeLÞdÏl ©\Ï AYoL°u YVÕL°u ùTÚdLtTXu 600. AYoL°u RtúTôûRV YVÕ Gu]?

8. JÚ U²R¬u 6 YÚPeLÞdÏ ØkûRV YVÕ, 10 YÚPeLÞdÏl ©u]o YVÕ CYt±u ùTÚdLtTXu 960 G²p AYÚûPV RtúTôûRV YVÕ Gu]?

9. JÚ Gi¦u IkÕ UPeLô]Õ AkR Gi¦u YodLj§u CÚUPeûL ®P êuß Ïû\Ü G²p AkR GiûQd LiÓ©¥.

10. AÓjRÓjÕs[ CWiÓ CWhûP ØÝdL°u ùTÚdLtTXu 224. AkR GiLû[d LôiL.

11. JÚ áPj§u ¿[Uô]Õ ARu ALXjûR®P 3 Á. A§Lm. ARu TWlT[®u GiQ[®u U§l× ARàûPV Ñt\[®u GiQ[®u U§l©tÏ NUm. áPj§u ¿[, ALXeLû[d LiÓ©¥.

12. JÚ ®VôTô¬ ì. 1200dÏ £X ùTôÚhLû[ Yôe¡]ôo. 10 ùTôÚhLs ÅQô¡ ®hP]. AYo Ut\ ùTôÚhLû[ Yôe¡V ®ûXûV ®P ì. 2 A§Lm ûYjÕ ®tß ì. 60 CXôTUûPkRôo G²p AYo Yôe¡V ùTôÚhL°u Gi¦dûLûV LiÓ©¥.

13. 60 UôQY-UôQ®Ls ùLôiP JÚ YÏl©p JqùYôÚ ûTVàm YÏl©p GjRû] ùTiLs CÚd¡\ôoLú[ô AúR A[Ü ìTôûVÙm, JqùYôÚ ùTiÔm YÏl©p GjRû]l ûTVuLs CÚd¡u\ôoLú[ô AúR A[Ü ìTôûVÙm SuùLôûPVôL YZe¡]ôoLs. úNL¬dLlThP ùUôjR SuùLôûP ì. 1600 G²p YÏl©p Es[ ûTVuL[, ùTiL°u Gi¦dûL Gu]?

4.6.3 êXeL°u RuûU

ax2 + bx + c = 0 Guàm CÚT¥fNUuTôh¥u êXeLs a2

ac4bb 2 −±− BÏm.

êXeL°u RuûUVô]Õ b2 – 4ac-Cu U§lûTl ùTôßjÕ AûU¡\Õ. b2 – 4ac êXeL°u RuûUûVj ¾oUô²lTRôp CÕ CÚT¥fNUuTôh¥u ‘¾oUô²dÏm CWô£’ G] AûZdLlTÓ¡\Õ. CÕ Δ Guàm Ï±Vôp Ï±dLlTÓ¡\Õ.

Y¬ûN Gi

¾oUô²dÏm CWô£ Δ = b2 – 4ac

êXeL°u RuûU

1. Δ > 0, B]ôp ØÝYodLUpX.

ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY Utßm ®¡RØ\ô GiLs

2. Δ > 0 úUÛm JÚ ØÝYodLm.

ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY Utßm ®¡RØß GiLs

3. Δ = 0 ùUnVô]ûY, NUUô]ûY Utßm ®¡RØß GiLs

4. Δ < 0 ùUnVt\ûY (LtTû]Vô]ûY

www.kalvisolai.com

94

Ï±l×: x2 + 1 = 0-I GÓjÕdùLôsúYôm. ARàûPV êXeLs x2 = –1 ApXÕ

x = + 1− CûY ùUnVpX. Hù]²p Ïû\ Gi¦u YodLêXm ùUnVpX. ClT¥lThP êXeLs LtTû] êXeLs G] AûZdLlTÓ¡u\]. GÓjÕdLôhÓ 93 : x2 – 11x – 30 = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeL°u RuûUûV BWônL. ¾oÜ : CeÏ a = 1 b = –11 c = –30 ¾oUô²dÏm CWô£ Δ = b2 – 4ac = (–11)2 – 4 (1) (–30) = 121 + 120 = 241. Δ > 0 B]ôp ØÝ YodLUpX. G]úY êXeLs ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØß GiLs. GÓjÕdLôhÓ 94 : 5x2 – 2x – 7 = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeL°u RuûUûV BWônL. ¾oÜ : CeúL a = 5 b = –2 c = –7 ¾oUô²dÏm CWô£ Δ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4(5) (–7) = 4 + 140 = 144 = 122. Δ > 0 úUÛm JÚ ØÝYodLm. G]úY êXeLs ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØß GiLs.

GÓjÕdLôhÓ 95 : 4x2 – 28x + 49 = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeL°u RuûUûV BWônL. ¾oÜ : CeúL a = 4 b = 28 c = 49 ¾oUô²dÏm CWô£ Δ = b2 – 4ac = (28)2 – 4 (4 x 49) = 784 – 784 = 0.

Δ = 0 G]úY êXeLs ùUnVô]ûY, NUUô]ûY ®¡RØß GiLs.

GÓjÕdLôhÓ 96 : x2 – 2x + 5 = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeL°u RuûUûV BWônL. ¾oÜ : CeúL a = 1 b = 2 c = 5 ¾oUô²dÏm CWô£ Δ = b2 – 4ac = (2)2 – 4 (1) (5)

= 4 – 20 = –16 < 0. Δ < 0. êXeLs ùUnVô]ûY ApX. GÓjÕdLôhÓ 97 : (a – b + c) x2 + 2 (a–b) x + (a–b–c) = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs ùUnVô]ûY G]dLôhÓL. ¾oÜ : CeúL A = a – b + c , B = 2 (a – b), C = a – b – c. ¾oUô²dÏm CWô£ Δ = B2 – 4AC = 4 (a – b)2 – 4 (a – b + c) (a – b – c)

= 4 (a – b)2 – 4 [(a – b) + c] [(a–b) – c] = 4 (a – b)2 – 4 [(a – b)2 – c2]

= 4 [(a – b)2 – (a – b)2 + c2] = 4c2 > 0.

∴ êXeLs ùUnVô]ûY. GÓjÕdLôhÓ 98 : (2K + 3) x2 + 2 (K + 3) x + (K + 5) = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs NUUô]ûY. K-Cu U§lûTd LôiL. ¾oÜ : CeúL A = 2K + 3, B = 2 (K + 3), C = K + 5. êXeLs NUUô]ûYVôRXôp Δ= 0. B2 – 4AC = 0 ⇒ 4 (K + 3)2 – 4 (2K + 3) (K + 5) = 0

⇒ 4[K2 + 6K + 9 – (2K2 + 10K + 3K + 15) = 0

www.kalvisolai.com

95

⇒ K2 + 6K – 9 – 2K2 – 13K – 15 = 0 ⇒ K2 + 7K + 6 = 0 ⇒ (K + 1) (K + 6) = 0 ⇒ K = –1, K = –6.

GÓjÕdLôhÓ 99 : b = a + c G²p ax2 + bx + c = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs ®¡RØß GiLs G]dLôhÓL. ¾oÜ : CeúL Δ = b2 – 4ac = (a+c)2 −4ac = a2 + 2ac + c2 − 4ac = a2 − 2ac + c2 = (a − c)2 = JÚ ØÝYodLm ∴ G]úY êXeLs ®¡RØß GiLs. GÓjÕdLôhÓ 100 : x2 + 2(a + b) x + 2(a2 + b2) = 0 GuTRu êXeLs ùUnVpX G]dLôhÓL. ¾oÜ : Ax2 + Bx + c = 0 EPu Jl©hÓl TôodûL«p, A = 1, B = 2 (a + b), C = 2(a2 + b2) ClùTôÝÕ Δ= B2 − 4AC = 4 (a + b)2 − 4(1) 2 (a2 + b2) = 4 (a2 + b2 + 2ab) − 8a2 − 8b2 = 4a2 + 4 b2 + 8ab − 8a2 − 8b2 = − 4a2 − 4b2 + 8ab = − 4(a2 + b2 − 2ab) = − [2(a−b)]2 ∴Δ < 0. êXeLs ùUnVô]ûYVpX.

GÓjÕdLôhÓ 101 : NUuTôÓ (1 + m2) x2 + 2mcx + c2 − a2 = 0 GuTYt±u êXeLs NUUô]ûY G²p c2 + a2 = (1 + m2) G]dLôhÓL. ¾oÜ : Ax2 + Bx + C = 0 EPu Jl©hÓl TôodûL«p Sôm ùTßYÕ A = 1 + m2, B = 2mc, C = c2 − a2. êXeLs NUUô]ûY G]úY, Δ = 0. B2 − 4AC = 0. (2mc)2 − 4(1 + m2) (c2 − a2) = 0 ApXÕ 4m2 c2 − 4(c2 − a2 + m2c2 − m2a2) = 0 ApXÕ 4 [m2c2 − c2 + a2 − m2c2 + m2a2) = 0. ApXÕ −c2 + a2 + m2a2 = 0 ApXÕ a2 + m2 a2 = c2 ApXÕ a2 (1+ m2) = c2 ∴c2 = a2 (1+m2).

GÓjÕdLôhÓ 102 : a, b, c, x GuTûY ùUnùViLs. úUÛm (a2 + b2) x2 − 2b (a + c)x + (b2 + c2) = 0 G²p, a, b, c GuTûY ùTÚdÏjùRôPo Y¬ûN«p AûUÙm Gußm x GuTÕ ùTôÕ ®¡RUôL AûUÙm Gußm LôhÓL.

¾oÜ : Sôm A±YÕ (a2 + b2) x2 − 2b (a + c) x + (b2 + c2) = 0 ApXÕ (a2x2 − 2abx + b2) + (b2 x2 − 2bc x + c2) = 0 ApXÕ (ax − b)2 + (bx − c)2 = 0 a, b, c, x GuTûY ùUnùViLs ⇒ (ax − b)2 = 0, (bx − c)2 = 0

⇒ ax − b = 0, bx − c = 0 ApXÕ x = bc

ab

= ⇒ a, b, c B¡VûY ùTÚdÏjùRôPo

Y¬ûN«p Es[]. ùTôÕ ®¡Rm x BÏm. GÓjÕdLôhÓ 103 : (b − c) x2 + (c −a)x + (a − b) = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs NUùU²p a, b, c GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûNûV AûUdÏm G]dLôhÓL.

www.kalvisolai.com

96

¾oÜ : êXeLs NUm. BLúY Δ = 0 ApXÕ B2 − 4AC = 0 ApXÕ (c − a)2 − 4(b−c) (a − b)= 0 ApXÕ (c2 + a2 − 2ca − 4ab + 4ac + 4b2 − 4bc) = 0 or (c2 + a2 + 2ca) + 4b2 − 4b (c + a ) = 0 ApXÕ (c + a)2 + (2b)2 − 2 x 2b (c + a) = 0 ApXÕ [(c + a) − 2b]2 = 0 ApXÕ c + a = 2b ApXÕ c − b = b − a ⇒ a, b, c GuTûY áhÓjùRôPo Y¬ûN«p AûUkÕs[]. T«t£ 4.6.3 1. NUuTôÓL°u êXeL°u RuûUûV BWônL.

(a) 6x2 − 2x − 1 = 0 (b) 9x2 + 12x + 4 = 0 (c) 2x2 − 3x + 4 = 0

(d) x2 − 8x + 12 = 0 (e) 3x25x +=+ (f) x2 + 9 = 0

(g) x2 + 4x + 7 = 0 (h) 9x2 − 16x + 25 = 0 (i) x2 − 10x + 25 = 0 (j) 7x2 − 8x + 1 = 0

2. ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ NUuTôÓL°u êXeLs NUm G²p K-Cu U§l©û]d LôiL.

(a) 3x2 − 4x + K = 0 (b) x2 − K(2x−17) = 12 (c) 9x2 − Kx + 4 = 0 (d) x2 + Kx + 1 = 0 (e) x2 + K(7x − 8) + 65 = 0 (f) Kx2 − 24x + 9 = 0

3. 2b = (a + c) G²p, (b − c)x2 + (c − a)x + (a − b) = 0 Guàm NUuTôh¥u êXeLs ùUn G]dLôhÓL.

4. a, b, c ùUnùViLs G²p a (b − c)x2 + b(c − a) x + a (c − b) = 0 GuTRu êXeLs ùUn G]d LôhÓL.

5. x2 − 2ax + a2 − b2 − c2 = 0 GuTRu êXeLs GlùTôÝÕm ùUn G]dLôhÓL. 6. x2 + 2(a + b) x + 2(a2 + b2) = 0 GuTRu êXeLs ùUnVpX G]dLôhÓL.

7. 3 p2x2 − 2pq x + q2 = 0 GuTRu êXeLs ùUnVpX G]dLôhÓL. 8. x2 − 2px + p2 + q2 + r2 = 0 GuTRu êXeLs ùUnVpX G]dLôhÓL.

®ûPLs T«t£ 4.1.1

(1) 1,21

, −2 (2) 5, 5, −3 (3) 1, 1, 0 (4) 3, 2, 1 (5) 2, 5, −1 (6) −6, 3, −2

(7) 4,2,1 (8) 3, 3, 2 (9) 3, 2, 23

(10) 1, 1, −1 (11)52,2,

32

− (12) 2,−3, −1

T«t£ 4.1.2 (1) ì.100, ì.80, ì.50 (2) ì.10, ì.8, ì.4 (3) 789 (4) 100, 150, 250

(5) 55°, 65°, 60° (6) 8, 10, 12 (7) 564

www.kalvisolai.com

97

T«t£ 4.2.1 T«t£ 4.2.2

DÜ Á§ (1) (a) 10 (b) −74 (c) −4 (d) −17 1) x2 + 2x − 1 4 (2) m = 3 (3) p = −7 (4) m = 2 2) 4x2 + 9x + 29 83 (5) a = −7 (6) m = 3 3) 5x2 − 6x + 6 −20 (7) a = 3, b = −2 (8) a = −3, b =10, c =5 4) x2 − 3x + 2 0 (9) a = 0, b = −7 (10) p = 6, q = −3 5) x2 + 2x − 2 2 6) 2x2 − 8x + 16 −73 T«t£ 4.2.3 7) 8x3 − 8x2 + 6x −5 (1) (a) Bm (b) Bm (c) CpûX (d) Bm8) 3x2 − x − 1 −6 (2) (a) 6 (b) −16 (c) −65 (d) −7 (3) a = −13 (b) = 8 (4) a = 4, b = 0 (5) p = 1, q = −8 (6) a = −1, b = −4, c = 4

T«t£ 4.2.4 (1) (x − 1) (x − 10) (x − 12) (2) (x + 1) (x + 2 ) (x + 10) (3) (x − 1) (x + 3) (x − 2) (4) (x + 1) (x − 2)2 (5) (x − 1) (x2 + x + 3) (6) (x + 1) (x + 1) (x + 2) (7) (x − 1) (x − 1) (3x − 4) (8) (x + 1) (x2 + x + 1) (9) (x − 2) (x2 + x + 3) (10) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (11) (x − 2) (x − 3) (x − 1) (12) (x − 2) (2x − 1) (x+2) (13) (x − 1) (x + 1) (2x + 3) (14) (x − 1) (x − 3) (x + 1) (15) (x − 1) (x2 + x − 4) T«t£ 4.3.1 1) (a) 16x5 (b) 26 a3 (c) 12m (d) 4y4 (e) p8 (f) m6 (g) xn (h) 3a4 (i) 3abc (j) 2xyz2 (k) 4p2 q2 r (l) 7 mn 2) (a) x − 2 (b) 2x + 5 (c) x (d) a − b (e) x + 2 (f) x + 1 (g) x − 2 (h) 2x + 5 (i) 2a − 3 (j) a − 4 (k) 2x + 3 (l) 4(x+3) 3) (a) x2 + x + 1 (b) x + 3 (c) x + 1 (d) x − 1 (e) x (3x + 2) T«t£ 4.3.2 1) (a) a10 (b) x7 (c) m9 (d) 75a6 (e) 180x6 (f) 900 p9 (g) x2y2z (h) abc (i) 84x3y2z2 (j) a m+4 (k) 72 xyz (l) 24p2 qr2 2) (a) (x+2)4 (b) 4x (x+4) (x−4) (c) a3 − b3 (d) 12 (x−3) (e) ab (a+b) (f) (x + 3) (x − 4) (x − 5) (g) (4x + 1) (4x − 1) (2x − 3) (h) (x − 2) (x − 3) (x + 3) (i) 12 (x4 − 1) (x2 − x + 1) (j) (x + 2) (x + 3) (x + 5)

(k) (x − 4) (2x +1) (3x − 2) (l) (x + 5) (3x − 1) (3x + 5) (4x + 1) 3) x(x + 2) (5x + 1) 4) (x − 1) (x − 2) 5) 2(x + 1) (x + 2) 6) (x3 − x2 − 4x − 6) (x + 1) T«t£ 4.4.1

1) 3x5x

−+

2) ba3

3) 65

4) x

y5x3 + 5) 2

2

yx−

www.kalvisolai.com

98

6) 22 xyxy)yx(xy

++

+ 7)

2x5x

−+

8) 1x1x

+−

9) 4x

)3x(6+−

10) )y3x2()y9x4(

y9xy6x422

22

++

++ 11)

abb25ab20a16 22 +−

12) 1x2

3x−

+

T«t£ 4.4.2

1) (a) 22

22

babababa

+−

++ (b)

3y3x −

(c) 3x3x

+−

(d) ( )24x

2x+

+

(e) 16x4x

)2x()4x(2 +−

+− (f) 1 (g)

)1x(3)2x(2

2

2

−

− (h) p2

2. (a) aqbp

(b) a4

3 (c)

2x)3x()2x(

+−−

(d) )4x(2)3x(3

−−

(e) )1x3()1x2(

)3x()2x(−+

+− (f)

abab +

(g) 4 (h) 1

T«t£ 4.4.3

I. (a) 8x3

(b) 1 (c) 22 yxx3y8 +

(d) ba

1−

(e) 1x

2+

(f) 22

2

yxxyxy

−

−− (g) a2 + 4a + 16

(h) (x + 3)(x2 + 9) (i)5x

2−

(j))4x()3x()2x(

x2+++

(k))1a()3a2()3a2(

7a3++−

−−

(l) )2x()1x()1x(

x4−+−

(m) 1m2m

2

2

−

− (n) 0 (o) 0 (p)

)5x()4x()3x()2x(x

−−−−

II. (1))1x2()2x(

2x8x4x5 23

−+++−

(2) 5 4 3 2

2

x 5x 2x 3x 6x 6(x 1) (x 2)

− + + + + −+ −

(3))3x2()4x3(10x4x29x 23

−+−+−

III. (1) 22

2

22

22

)1x(x16,

)1x()1x(4

−−

+ (2) 1

T«t£ 4.5.1

I. (1) 24 (2) 26 (3) 45 (4) 99 (5) 105 (6) 0.13 (7) 2512

www.kalvisolai.com

99

(8) 38

(9) 5

11 (10)

517

II. (1) 13a4b3c2 (2) 3xy2 z4 (3) 7c (2a − 4b) (4) 6(2−x)2 (3−x2)3 (5) 9 (a−b) (x+y)2

(6) x+ y (7) 3

2

x7zy11

(8) 2)yx(8)yx(5

−

+ (9) 43

24

)ba()yx(3)yx()ba(5

+−

++ (10) 3

x y6(x 2y)

++

III. (1) (3x + 5) (2) (4x − 3) (3) (x−2) (x+2) (x−5) (4) (x−1) (x+1) (x−3)

(5) (a−b) (a+b) (a−3b) (6) a − b − c (7) x + y − z (8) xy

yx

+

(9) x1x − (10) x2 + 2x

1 (11) (2x + 5) (3x − 4) (x + 9) (12) (x −1) (2x+1) (3x +1)

T«t£ 4.5.2 1) (a) 85 (b) 93 (c) 135 (d) 724 (e) 536 (f) 432 (g) 1679 (h) 1307

2) (a) x2 − 2x + 3 (b) 2x2 + 2x + 1 (c) 3x2 − 3x + 4 (d) x2 − x − 41

(e) x2 − 3x + 1 (f) 4x2 − 3x − 5 (g) 2x21

−3x +4 (h) 21x2x

31 2 +−

3) (a) a = 1 (b) a = 6 (c) a = −6 4) (a) a = 40, b = 25 (b) a = 24, b = 36 (c) a = −12, b = 4 T«t£ 4.6.1 I. (1) 2,5 (2) −3, −7 (3) 9 (4) −7 (5) 0,8

(6) 0, 34

(7) −8, 8 (8) 25,

25−

(9) −5, 5

(10) 38,

38−

(11) – 3, –7 (12) –2, 12 (13) 1,32

14) 37,

32−

(15) –1, 3 (16) 5,51

(17) – 18, 5 (18) 1, 21

(19) ab,

a4b

(20) 53,5 −

−

II. 1. (a) 64 (b) 425

(c) 25 (d) 4

49 (e)

316

(f) 881

(g) 2

2

a4b

(h) 54

2. (a) –3, 1 (b) 2,25

− (c) 1,31

(d) 2,53

− (e) –9, 8

(f) –5, –1 (g) 112,112 −+ (h) –10, –4

III. (1) 21,

31 −

(2) 4,41

−− (3) 20, 8 (4) 31,

52

(5) 3

33,3

33 −+

www.kalvisolai.com

100

(6) 2, 21

(7) 1, 9 (8) 2

55,2

55 −+ (9)

4177,

4177 −−+−

(10) 2

737,2

737 −−+− (11)

85711,

85711 −−+−

(12) a3b2,

ab −

T«t£ 4.6.2 (1) 8 (2) 7,8,9 (3) 17, 19 (4) 10 ùN.Á, 8 ùN.Á. (5) 20Á., 12Á. (6) 3.2 ùN.Á., 6 ùN.Á., 6.8 ùN.Á., 9.6 N.ùN.Á. (7) 35 YÚPeLs, 10 YÚPeLs (8) 30 YÚPeLs

(9) 13,2− (10) 14, 16 (11) 6m, 3m (12) 100 (13) 40 ApXÕ 20

T«t£ 4.6.3 1. (a) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØ\ô GiLs (b) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØß GiLs (c) LtTû]Vô]ûY (d) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØ\ô GiLs (e) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØ\ô GiLs (f) LtTû]Vô]ûY (g) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY, ®¡RØ\ô GiLs (h) LtTû]Vô]ûY (i) ùUnVô]ûY, NUUô]ûY, ®¡RØß GiLs (j) ùUnVô]ûY, ùYqúY\ô]ûY (NUUpX), ®¡RØß GiLs

2. (a) 34

(b) 8 ApXÕ 9 (c) ± 12 (d) ±2 (e) 2 (f) 16

www.kalvisolai.com

101

5. TVuTôhÓd L¦Rm 5.0 A±ØLm A±®Vp ùRô¯pÖhTm, NêL A±®Vp, CXd¡VeLs Utßm L¦lùTô± B¡VYt±u úRûYLs ×§V NYôpLs ¨û\kR ×§oLû[ G§oùLôi¥Úd¡\Õ. L¦Rj§u ER® ùLôiÓRôu StTV]°dÏm ®Rj§p Al×§oLû[l TÏjRônÜ ùNnVÜm AYtßdÏ ªLj Õp−VUô] ¾oÜ LôQÜm CVÛm. A±®Vp Utßm NêL A±®V−u Ut\ GpXô ©¬ÜLs úUÛm ùNVpØû\ BWônf£, ùRô¯tL¦Rm, LQd¸hÓd L¦Rm, ×s°«Vt L¦Rm, CVt©Vt L¦Rm, E«¬Vt L¦Rm, L¦R Uô§¬«Vp, CWL£V Ï±Âh¥Vp (Cryptology), ùTôÚ°Vt L¦Rm GuT] úTôu\ Cuàm TX ×§V Õû\LÞPu L¦Rm SuÏ Jj§ûNkÕ ùNVtTÓ¡\Õ. RtúTôÕ A±®V−u CkR GpXôl ©¬ÜLÞm TX UPeÏLs Y[okÕ ùLôi¥ÚlTRtÏ L¦R Øû\Lú[ LôWQm. ùTôÚ[ôRôWj§tLô] úSôTp T¬ÑL°p 60 NRÅRj§tÏm úUtThPûY L¦RjûRj R[UôLd ùLôiÓ BnÜ ùNnR ùTôÚ[ôRôW ¨×QoLÞdúL ùNu±Úd¡\Õ. TVuTôhÓd L¦Rm RÓdL Ø¥VôR A[®tÏ TX §ûNL°Ûm RûPLû[j Rôi¥ ùYs[lùTÚdÏ GÓjÕ, GlúTôÕm EiûUj RuûUûVj Ru²PúU RdLûYjÕd ùLôiÓ, ùTôeÏm ¿úWôûPûVl úTôp ®[eÏYûR Sôm LôQXôm. 5.1 úS¬V §hPªPp WxV L¦R YpÛSWô] L.V. LôuhúWô®f GuTYo ØRuØû\VôL úS¬V §hPªPp LQdÏLû[j ¾odL L¦R Uô§¬Lû[l TVuTÓj§]ôo. AYo 1939-p EtTj§«p EÚYôÏm TXYûLVô] ©Wf£û]Lû[ L¦R Y¥®p YûWVû\ ùNnV Ø¥Ùm Gußm G]úY AYtû\ GiUô] Øû\«p ¾odL CVÛm Gußm Ï±l©hÓd Lôh¥]ôo. CkR Ø¥ùYÓdÏm ÖÔdLm ApXÕ Øû\ ©tLôXj§p _ôow B. Pôuh£d Gàm YpÛSWôp úUmTÓjRlThPÕ. AYo ùTôÕ úS¬V §hPªPp LQdûL EÚYôd¡]ôo. úUÛm AYo AjRûLV LQdÏLû[j ¾odL £mùXdv Øû\ûV (simplex method (1947)) úUmTÓj§]ôo. LÚj§Vp, TVuTôÓ, LQd¸ÓLs B¡VYt±u A¥lTûP«p úSôdÏmúTôÕ Cuß úS¬V §hPªPp, ELkR ¾oÜ ÖÔdLeL°p ªLf£\kR Ju\ôL CÚd¡\Õ. úS¬V ANUuTôÓLs Øu YÏl×L°p ax + by = c Y¥Yj§Ûs[ úS¬Vf NUuTôÓLÞdLô] YûWTPm YûWÙm Øû\ûV Sôm Lt±Úd¡ú\ôm. AmØû\«p ¡ûPdÏm úSodúLôÓ, R[jûR êuß ×s°L°u LQeL[ôLl ©¬d¡\Õ. AûYVôY],

i) úLôh¥u ÁÕs[ ×s°L°u LQm ii) úLôhÓdÏ JÚ×\m Es[ ×s°L°u LQm iii) úLôhÓdÏ Uß×\Øs[ ×s°L°u LQm

www.kalvisolai.com

102

CkR êuß ×s°L°u LQeL°p JqùYôuû\Ùm EÚYôd¡V ùRôPo×Ls Øû\úV ax + by = c, ax + by > c Utßm ax + by < c BÏm. CûYVôÜm x Utßm y-u JÚT¥«p AûUk§Úd¡\Õ. C§p ax + by = c GuTÕ úS¬V ApXÕ JÚT¥f NUuTôPôÏm. ax + by > c Utßm ax + by < c GuTûY úS¬V ANUuTôÓLs ApXÕ úS¬V NU²uûULs (linear inequations or linear inequalities) G] AûZdLlTÓ¡u\]. ax + by = c Gu\ NUuTôhûP ax + by > c, ax + by < c B¡VYtßPu úNodL ax + by > c Utßm ax + by < c B¡V ANUuTôÓLs ¡ûPd¡\Õ. úUtLiP LÚjÕdLû[ JÚ ERôWQj§u êXm ×¬kÕ ùLôs[ CVÛm. x + y = 2 Gu\ NUuTôhûP GÓjÕd ùLôsúYôm. CRàûPV YûWTPm ©uYÚUôß YûWVlThÓs[Õ.

x y 2 y 2 x+ = ⇒ = − x 0 2 3 y 2 0 –1

TPm 5.1

úUtLiP YûWTPj§p úSodúLôÓ x + y = 2 Gu\ NUuTôhûPd Ï±d¡\Õ. úLôhÓdÏ JÚ×\m Es[ HúRàm JÚ ×s°, CeÏ (0, 0) GuTûR GÓjÕd ùLôsúYôm. Cl×s° (0,0)I Es[Pd¡V TÏ§ x + y < 2 Gu\ ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. BûLVôp TPm 5.1-p ¨Z−PlThP ×s° (0,0)-I Es[Pd¡V TÏ§ x + y < 2 Guß Ï±dLlTÓ¡\Õ. úSoúLôh¥tÏ Uß×\Øs[ ¨Z−PlTPôR TÏ§ x + y > 2 Guß Ï±dLlTÓ¡\Õ. x + y < 2 Utßm x + y > 2 Gàm ùRôPo×Ls ANUuTôÓLs ApXÕ NU²uûULs G]lTÓm. Ï±l×: 1. x + y < 2 GuTÕ úSoúLôh¥u ÁÕs[ ×s°Lû[Ùm ¨Z−hP

TÏ§«Ûs[ ×s°Lû[Ùm Ï±d¡\Õ. 2. x + y > 2 GuTÕ úSodúLôh¥u ÁÕm ¨Z−PôR TÏ§«Ûm Es[

×s°Lû[d Ï±d¡\Õ.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

54321

-6-7 7-1-2-3x + y < 2

x + y > 2

x + y = 2

www.kalvisolai.com

103

ANUuTôh¥u YûWTPm YûWÙm Øû\ ©uYÚm T¥Ls ax + by > c ApXÕ ax + by < c Gu\ ANUuTôÓL°u YûWTPm YûWYRtÏl TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. T¥ 1: ùLôÓjÕs[ ANUuTôhûP JÚ NUuTôPôLd LÚRÜm. ARôYÕ ax + by = c. T¥ 2: ax + by = c Gu\ YûWTPjûR YûWVÜm. T¥ 3: ax + by = c Gu\ úLôÓ R[jûR CÚ TÏ§L[ôLl ©¬d¡\Õ. JÚ TÏ§«p HúRàm JÚ ×s°ûV úRokùRÓdLÜm. YZdLUôL B§l×s° (0, 0) GÓjÕd ùLôs[lTÓ¡\Õ. Cl×s°ûV ANUuTôh¥p ©W§«P, ANUuTôÓ ¨û\Ü AûPÙm G²p Al×s° (0, 0)-Id ùLôiP TÏ§ Sôm ®Úm×m TÏ§ (desired region) BÏm. AûR ¨Z−hÓd LôhPÜm. Al×s° ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnV®pûX G²p Al×s°«pXôR TÏ§ Sôm ®Úm×m TÏ§VôÏm. AûR ¨Z−hÓ LôhPÜm. ¨Z−hP TÏ§ ùLôÓjÕs[ ANUuTôhûP Ï±d¡\Õ. ClTÏ§«p Es[ GpXô ×s°LÞm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnÙm. G]úY AûYVôÜm ANUuTôh¥u ¾oÜL[ôÏm. GÓjÕdLôhÓ 1: 2x + y > 10 Gu\ ANUuTôh¥u YûWTPm YûWL. ¾oÜ:

TPm 5.2 2x + y > 10 Gu\ ANUuTôhûP 2x + y = 10 Gu\ NUuTôPôLd LÚÕL. 2x + y = 10 Gu\ NUuTôh¥u YûWTPm YûWL.

2x y 10 y 10 2x+ = ⇒ = − x 1 5 0 y 8 0 10

×s°Ls (1,8), (5,0) Utßm (0,10) B¡V ×s°Lû[ YûWTPj§p Ï±jÕ AYtû\ CûQdL 2x + y = 10 Gu\ úSodúLôÓ ¡ûPdÏm. B§l×s° (0,0)-I 2x + y > 10 Gu\ ANUuTôh¥p ©W§«P, 0 + 0 > 10 GuTÕ RY\ôÏm. G]úY (0,0) Gu\ ×s°ûV Es[PdLôR TÏ§ Sôm ®Úm×m TÏ§VôÏm. AûR ¨Z−ÓL. YûWTPj§p ¨Z−hP TÏ§ 2x + y > 10 Gu\ ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

108642

-6-7 7-2-4-6

12

2x + y 10>

(3,10)

(6,2)

(-1,12)

www.kalvisolai.com

104

ClTÏ§«p Es[ GpXôl ×s°LÞm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnYRôp, AûYVôÜm 2x + y > 10-u ¾oÜL[ôÏm. Ï±l× : ¨Z−hP TÏ§«−ÚkÕ HRôYÕ £X ×s°Lû[j úRokùRÓjÕ, 2x + y > 10-I ¨û\Ü ùNnYûRd LôQXôm. CeÏ Sôm (6, 2), (3,10), (–1, 12) Gu\ ×s°Lû[ 2x + y > 10-p ©W§«P ¨û\YûP¡\Õ.

2(6) + 2 = 14 > 10 2(3) + 10 = 16 > 10 2(–1) + 12 = 10 GÓjÕdLôhÓ 2: 3x + 4y < 12 Gu\ ANUuTôh¥u YûWTPm YûWL. ¾oÜ: 3x + 4y = 12-u YûWTPm YûWL.

12 3x3x 4y 12 y4−

+ = ⇒ = x 0 4 6 y 3 0 –1.5

TPm 5.3

(0, 3), (4,0), (6, –1.5) B¡V ×s°Lû[ YûWTPj§p Ï±jÕ AYtû\ CûQdL 3x + 4y = 12 Gu\ úLôÓ ¡ûPd¡\Õ. ùLôÓjÕs[ ANUuTôh¥p 3x + 4y < 12 NUdÏ±ÂÓ CpXôRRôp úLôh¥u ÁÕs[ ×s°Ls ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnVôÕ. AûY ®XdLlTPúYiÓm. CûRd Lôi©dLúY CûPùY°«hP úLôÓ YûWVlThÓs[Õ. ×s° (0,0)-I 3x + 4y < 12 Gu\ ANUuTôh¥p ©W§«P, 0 + 0 < 12 G] ¨û\YûP¡\Õ. G]úY Sôm ®Úm×m TÏ§ ×s° (0,0)-ûYd ùLôi¥Úd¡\Õ (0,0) Gu\ ×s°ûVd ùLôiP TÏ§ûV ¨Z−PÜm. ClTÏ§ 3x + 4y < 12 Gu\ ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ. ¨Z−hP TÏ§«p Es[ GpXôl ×s°LÞm 3x + 4y < 12 Gu\ ANUuTôh¥u ¾oÜL[ôÏm. GÓjÕdLôhÓ 3: x – 4y > 0 Gu\ ANUuTôh¥u YûWTPm YûWL.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 xx’

y’

y

o

54321

-6-7 7-1-2-3

3x + 4y = 12

3x + 4y < 12

www.kalvisolai.com

105

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

o

54321

-6-7 7-1-2-3

x - 4y 0>

x - 4y = 0

TPm 5.5

¾oÜ:

TPm 5.4

x – 4y = 0-u YûWTPm YûWL.

xx 4y 0 y4

− = ⇒ = x 0 4 6 y 0 1 1.5

úSodúLôÓ (0,0) Y¯VôLf ùNpYRôp úLôh¥u Á§pXôR Ut\ ×s°L°p

Ju\ô] (5, –1)-I GÓjÕ x – 4y > 0-p ©W§«PÜm. Cl×s° x – 4y > 0 Gu\

ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. (5, –1) Gu\ ×s°ûVd ùLôiÓs[ TÏ§ ®ÚlTl TÏ§VôÏm. AlTÏ§ûV ¨Z−ÓL. ¨Z−hP TÏ§ x – 4y > 0 Gu\ ANUuTôhûPd

Ï±d¡\Õ. ClTÏ§«Ûs[ GpXôl ×s°LÞm x – 4y > 0-u ¾oÜL[ôÏm. ANUuTôÓLû[ YûWTPm êXm ¾oÜ LôQp CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP ANUuTôÓLû[ JÚúNW GÓjÕdùLôiPôp AûY ANUuTôÓL°u ùRôÏl× G]lTÓm. AYt±u ¾oÜ LôQ, ANUuTôÓLû[d Ï±dÏm TÏ§Lû[ YûWTPj§p ¨Z−ÓL. AqYôß ¨Z−PlThP TÏ§Ls ùYh¥d ùLôsÞm ùTôÕYô] TÏ§ ANUuTôÓL°u ¾oÜ LQm BÏm. GÓjÕdLôhÓ 4: x – 2y > 3 Utßm 2x + 3y < 6 Guàm úS¬V ANUuTôÓLÞdÏ YûWTPm YûWkÕ ¾oÜ LQm LôiL. ¾oÜ:

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

54321

-6-7 7-1-2-3-4-5

www.kalvisolai.com

106

i) x – 2y > 3: x – 2y = 3-u YûWTPm YûWL.

x 3x 2y 3 y2−

− = ⇒ =

(0,0) Gu\ ×s° x – 2y > 3 Gàm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnV®pûX. G]úY×s° (0,0) CpXôR TÏ§ûV ¨Z−ÓL. ii) 2x + 3y < 6 : 2x + 3y = 6-u YûWTPm YûWL:

6 2x2x 3y 6 y3−

+ = ⇒ =

(0,0) Gu\ ×s° 2x + 3y < 6 Gàm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY ×s°

(0,0)-Id ùLôiÓs[ TÏ§ûV ¨Z−ÓL. CWiÓ TÏ§LÞdÏUô] ùYhÓlTÏ§ (APoj§VôL ¨Z−PlThP) ¾oÜ LQm BÏm. CeÏ AlùTôÕl TÏ§ Ø¥Ü\ôUp TW®Ùs[Õ. GÓjÕdLôhÓ 5: ©uYÚm úS¬V ANUuTôÓLÞdÏ YûWTPm êXm ¾oÜ LQm LôiL: x – 2y > – 8, 3x + y < 18, x > 0 y > 0. ¾oÜ:

TPm 5.6

x > 0, y > 0 GuTRôp ¾oÜ LQm ØRp LôtTÏ§dÏ (first quadrant) LhÓlTÓjRlTÓ¡\Õ. i) x – 2y > –8: x – 2y = –8-u YûWTPm YûWL.

x 8x 2y 8 y2+

− =− ⇒ = x 0 –8 4 y 4 0 6

x 3 0 1 y 0 –1.5 –1

x 3 0 1.5 y 0 2 1

2 4 6 8 10-2-4-6-8-10 xx’

y’

y

o

108642

-2-4-6

12141618

x - 2y = -8

3x + y = 18

www.kalvisolai.com

107

(0,0) Gàm ×s° x – 2y > –8 Gàm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (0,0) Gu\ ×s°ûVd ùLôiP TÏ§ x – 2y > –8 Gàm ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ. ii) 3x + y < 18: 3x + y = 18-u TPm YûWL.

3x y 18 y 18 3x+ = ⇒ = − x 6 0 2 y 0 18 12

(0,0) Gàm ×s° 3x + y < 18 Gu\ ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (0,0) Gu\ ×s°ûVd ùLôiP TÏ§ 3x + y < 18 Gàm ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ. CWiÓ TÏ§LÞdÏUô] ùYhÓ YûWTPj§p ¨Z−hÓd LôhPlThÓs[Õ. CqùYhÓl TÏ§úV ANUuTôÓL°u ¾oÜLQUôÏm. GÓjÕdLôhÓ 6: x – 2y > 0, 2x – y < –2 x > 0, y > 0 Gàm ANUuTôÓLÞdÏ ¾oÜ LQm LôiL. ¾oÜ:

TPm 5.7

x > 0, y > 0 GuTRôp ¾oÜ LQm ØRp LôtTÏ§dÏd LhÓlTÓjRlTÓ¡\Õ.

i) x – 2y > 0: x – 2y = 0-u YûWTPjûR YûWL.

x 2y 0 y x / 2− = ⇒ = x 0 2 1 y 0 1 0.5

úSodúLôÓ, B§l×s° (0,0) Y¯VôLf ùNpYRôp AdúLô¥−pXôR (4,1) Gu\ ×s°ûV GÓjÕd ùLôs¡ú\ôm. ×s° (4,1), x – 2y > 0 Gàm ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (4,1) Gàm ×s°ûVd ùLôiÓs[ TÏ§ x – 2y > 0 Gu\ ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ.

ii) 2x – y < –2 : 2x – y = –2-u YûWTPjûR YûWL.

2x y 2 y 2x 2− = − ⇒ = + x 0 –1 2 y 2 0 6

(0,0) Gàm ×s°, 2x – y < –2 Gu\ ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNnV®pûX. G]úY (0,0) Gàm ×s°ûVd ùLôi¥WôR TÏ§ 2x – y < –2 Gu\ ANUuTôhûPd Ï±d¡\Õ. YûWTPj§p CWiÓ TÏ§LÞdÏm ùTôÕYô] ùYhÓlTÏ§ CpûX. G]úY ùLôÓdLlThP ANUuTôÓLÞdÏj ¾oÜ CpûX.

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

54321

-6-7 7-1-2-3

62x

- y

= -2

x - 2y = 0

www.kalvisolai.com

108

GÓjÕdLôhÓ 7: ¸rdLôÔm úS¬V ANUuTôÓL°u ¾oÜ LQm LôiL. x + y < 8, 2x – 3y < 1, x > 2, x > 0, y > 0 ¾oÜ:

TPm 5.8 i) x + y < 8: x + y = 8-u YûWTPm YûWL.

x y 8 y 8 x+ = ⇒ = − x 0 8 4 y 8 0 4

(0,0) Gàm ×s° x + y < 8 Gu\ ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (0,0) Gàm ×s°ûV ùLôiÓs[ TÏ§ ANUuTôÓ x + y < 8-I Ï±d¡\Õ. ii) 2x – 3y < 1: 2x – 3y = 1-u YûWTPjûR YûWL.

2x 12x 3y 1 y3−

− = ⇒ = x 5 2 0.5 y 3 1 0

(0,0) Gàm ×s° 2x – 3y < 1 Gu\ ANUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (0,0)-Id ùLôiP TÏ§ 2x – 3y < 1 Id Ï±d¡\Õ.

iii) x > 2 : x = 2-u YûWTPm YûWL.

CÕ (2,0) Y¯VôL Utßm y-AfÑ CûQVôLf ùNpÛm úSoúLôPôÏm..

×s° (0,0), ANUuTôÓ x > 2-I ¨û\Ü ùNnV®pûX. G]úY (0,0) CpXôR TÏ§ x > 2-Id Ï±d¡\Õ. úUtLiP êuß TÏ§LÞdÏm ùTôÕYô] ùYhÓlTÏ§ YûWTPj§p ¨Z−hÓd LôhPlThÓs[Õ. ¨Z−hP TÏ§ ANUuTôÓL°u ¾oÜ LQm BÏm.

1 2 3 4 5 6-1-2-3xx’

y’

y

o

54321

7-1-2-3

678

8x + y = 8

2x - 3y = 1

x =

2

A

C

B

www.kalvisolai.com

109

úS¬V §hPªPp LQdÏLs úS¬V §hPªPp GuTÕ Y[ BRôWjûRj §hPªÓm JÚ L¦R ÖÔdLUôÏm. CkR Øû\ úY[ôiûU, ùRô¯tNôûX, CWôÔYm, úTôdÏYWjÕ, ùTôÚ[ôRôWm, ÑLôRôW ¨oYôLm Utßm TX Õû\L°p Ø¥ÜLs GÓlTRtÏl TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. CjÕû\L°p Y[ BRôWeLs YWm×dÏ EhTh¥Úd¡\Õ. Y[ BRôWeLs GuTûY U²R Bt\p, êXlùTôÚs, TQm, úNªl×d ¡PeÏ YN§, CVk§WeL°u úSWm G]l TXYûLlThPRôÏm. ªÏkR EtTj§ûV DhÓYRtúLô ApXÕ EtTj§f ùNXûYd Ïû\lTRtúLô ApXÕ A§L CXôTm ùTßYRtúLô Y[ BRôWeLû[ GqYôß £\lTôL ETúVôLlTÓjÕYÕ GuTúR SmØu Es[ ©WfNû] BÏm. úS¬V §hPªPp GuTÕ ¡ûPdÏm YWm×s[ Y[ BRôWeLû[ TtTX ETúVôLeLÞdÏ T¡okR°dÏm §hPjûRd Ï±d¡\Õ. Cj§hPm YWm×LÞdÏ EhThÓ CXôTjûR A§L¬dL ApXÕ ùNXûYd Ïû\dL ERÜ¡\Õ. CXôTm ApXÕ ùNXÜ GuTÕ ØuúT A±k§WôR Gi¦dûLL[ôp EÚYôdLlTÓ¡\Õ. CûY JÚ T¥ Uô±L[ôL CÚd¡u\]. CûY ¾oUô] Uô±Ls (decision variables) G]lTÓm.

CXôTm ApXÕ ùNXÜ CkRj ¾oUô] Uô±L°u úS¬V NôoTôL CÚd¡\Õ. CkR úS¬V Nôo×, CXôTm ÁlùTÚ U§lûT (maximum) ApXÕ ùNXÜ Áf£ß U§lûT (minimum) AûPYûR úSôdLUôLd ùLôiÓs[Õ. CfNôo× Ï±dúLôs Nôo× (objective function) G]lTÓm. YWm×Ls ùTôÕYôL úS¬V NU²uûUL[ôL ®Y¬dLlTÓ¡\Õ. CjRûL NU²uûULs LhÓlTôÓLs (constraints) G] AûZdLlTÓ¡u\].

úS¬V §hPªPp LQdÏ (linear programming problem (LPP)) GuTÕ LhÓlTôÓLÞdÏ EhThÓ Ï±dúLôs Nôo©u ÁlùTÚ ApXÕ Áf£ß U§lûTd LôiTRôÏm. LPP-u YûWTP Øû\j ¾oÜ

• LhÓlTôÓL°u YûWTPjûR YûWL. • GpXô LhÓlTôÓLû[Ùm Ïû\ ApXôR LhÓlTôÓLû[Ùm (x > 0, y > 0) ¨û\Ü

ùNnÙm TÏ§ûVj ¾oUô]m ùNnVÜm, AkRl TÏ§ Ht×ûPV TÏ§ (feasible region) G]lTÓm.

• Ht×ûPV TÏ§«u êûXL°u AfÑjçWeLû[ ¾oUô²dLÜm. • JqùYôÚ êûX«Ûm Ï±dúLôs Nôo©u U§lûTd LQd¡ÓL. • Ï±dúLôs Nôo©u ªL ELkR (ÁlùTÚ ApXÕ Áf£ß) U§lûTj RÚm êûXl

×s°ûVj úRokùRÓdLÜm. Al×s°«u AfÑjçWeLs ªL ELkR ¾oûYj (optimal solution) ¾oUô²dÏm.

GÓjÕdLôhÓ 8: ©uYÚm úS¬V §hP LQd¡tÏ YûWTP Øû\ êXm ¾oÜ LôiL.

Z = 2x + 10 y-u ÁlùTÚ U§lûT 2 x + 5y < 16, x < 5, x > 0, y > 0 Gu\ LhÓlTôÓL°uT¥, LôiL.

www.kalvisolai.com

110

¾oÜ:

TPm 5.9

x > 0 Utßm y > 0 GuTRôp ¾oÜ LQm ØRp LôtTÏ§dÏ LhÓlTÓjRlTÓ¡\Õ. i) 2x + 5y < 16 : 2x + 5y = 16-u YûWTPm YûWL.

16 2x2x 5y 16 y5−

+ = ⇒ = x 8 0 3 y 0 3.2 2

2x + 5y < 16 Gu\ LhÓlTôÓ Ï±dÏm TÏ§ûVj ¾oUô]m ùNnVÜm.

ii) x < 5. x = 5-u YûWTPm YûWL.

x < 5 Gu\ LhÓlTôÓ Ï±dÏm TÏ§ûVj ¾oUô]m ùNnVÜm.

úUúX ¾oUô²dLlThP CÚ TÏ§L°u ùYhÓlTÏ§ûV ¨Z−hÓd LôhÓL. ¨Z−hP OABC Gàm TÏ§ Ht×ûPV TÏ§ BÏm. B(5, 1.2) Gu\ ×s° 2x + 5y = 16, x = 5 B¡V] ùYhÓm×s° BÏm. OABC-«u êûXl×s°L[ôY]: O(0,0), A(5,0), B(5,1.2) Utßm C(0,3.2).

êûX O(0,0) A(5,0) B(5,1.2) C(0,3.2) Z = 2x + 10y 0 10 22 32

x = 0, y = 3.2 Gu\ ×s°«p Z ÁlùTÚ U§lûT AûP¡\Õ. ÁlùTÚ U§l× Z = 32. GÓjÕdLôhÓ 9: ©uYÚm úS¬V §hP LQdûL YûWTP Øû\ êXm ¾odL. Z = 20 x + 15y-u ÁlùTÚ U§lûT 180x + 120y < 1500, x + y < 10, x > 0, y > 0 Gu\ LhÓlTôÓL°uT¥ LôiL.

1 2 3 4 5 6xx’

y’

y

o

54321

7-1-2-3

8 9A(5,0)

B(5,1.2)C(0,3.2) 2x+5y=16

x =

5

www.kalvisolai.com

111

¾oÜ:

TPm 5.10

x > 0, y > 0 GuTRôp ¾oÜ LQm ØRp LôtTÏ§dÏd LhÓlTÓjRlTÓ¡\Õ. i) 180x + 120 y < 1500

180x + 120y < 1500 => 3x + 2y < 25.

3x + 2y = 25-u YûWTPm YûWL.

25 3x3x 2y 25 y2−

+ = ⇒ = x 0 25/3 5 y 25/2 0 5

3x + 2y < 25 Gu\ LhÓlTôÓ Ï±dÏm TÏ§ûVj ¾oUô]m ùNnVÜm. ii) x + y < 10: x + y = 10-u YûWTPm YûWL.

x y 10 y 10 x+ = ⇒ = − x 0 10 5 y 10 0 5

x + y < 10 Gu\ LhÓlTôÓ Ï±dÏm TÏ§ûVj ¾oUô]m ùNnVÜm.

úUúX ¾oUô²dLlThP CÚ TÏ§L°u ùYhÓl TÏ§ûV ¨Z−hÓd LôhÓL. ¨Z−hP OABC Guàm TÏ§ Ht×ûPV TÏ§VôÏm. B(5,5) GuTÕ 3x + 2y = 25, x + y = 10 B¡V] ùYhÓm ×s° BÏm. OABC-u êûXl ×s°L[ôY] O(0,0), A(25/3, 0), B (5,5) Utßm C(0,10).

êûX O(0,0) A(25/3,0) B(5,5) C(0,10) Z = 20x + 15y 0 166.67 175 150

x = 5, y = 5 Gu\ ×s°«p Z ÁlùTÚ U§lûT AûP¡\Õ. ÁlùTÚ U§l× Z = 175.

2 4 6 8 10xx’

y

o

108642

-2-4-6

y’

12

A(25/3,0)

B(5,5)

C(0,10)

3x + 2y = 25x + y = 10

www.kalvisolai.com

112

T«t£ 5.1 1. ¸rdLôÔm ANUuTôÓLû[ YûWTP Øû\«p ¾odL :

i) x – y > 2, 3x + 2y < 21 ii) 5x + 2y < 25, y < 5, x > 0, y > 0 iii) 2x + y > 4, 3x + 5y > 15 x > 0, y > 0 iv) x + 2y > 0, 2x + y < 4 x > 0, y > 0

2. ©uYÚm úS¬V §hPªPp LQdÏLû[ YûWTP Øû\«p ¾odL i) Z = 6x + 10y-u Áf£ß U§lûT ii) Z = 30x + 20 y-u ÁlùTÚ U§lûT 2x + y > 1, 2x + y < 800, 5x + 10y > 4, x + 2y < 1000, x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 Gu\ LhÓlTôÓL°uT¥, LôiL. Gu\ LhÓlTôÓL°uT¥, LôiL.

5.2 YûXVûUl×j §hPªPp LQeL°p CVtL¦R NUuTôÓL[ôp G°RôLj ¾odL CVXôR LQdÏLÞdÏ ‘ùYu’ TPeL°u ER®ÙPu G°RôLj ¾oÜ LôQ CVÛm. AÕúTôp YûXVûUl×l TPm §hP ¨û\Ü LôXjûR ¾oUô²dLl TVuTÓ¡\Õ.

JÚ §hPm GuTÕ TX úYûXLû[d ùLôiPRôÏm. Ï±l©hP £X úYûXLs úYß £X úYûXLs Ø¥kR ©u]úW ùRôPeL Ø¥Ùm. £X úYûXLs Ut\ úYûXLû[f NôWôUp CÚdÏm. §hPm Utßm §hP ¨û\Ü LôXm ùRôPoTô] TX úYûXL°u Y¬ûNLû[ ¨oQ«lTRtÏ ERÜm ÖhTúU YûXVûUl× Y¬ûNlTÓjÕRp BÏm. CÚ®R A¥lTûPj §hPªPp Utßm LhÓlTÓjÕm ÖhTeLs CÚd¡u\]. CûY CWiÓm ØuúT ¨oQ«dLlThP AhPYûQûV ¨û\Ü ùNnV YûXVûUlûTl TVuTÓjÕ¡u\]. AûYVôY] §hP U§lÀÓ Utßm LiLô¦l× ÖhTm (Program Evaluation and Review Technique (PERT)), ¾oÜdÏLkR TôûR Øû\ (Critical Path Method (CPM)) BÏm. ùWªePu úWih ¨ßY]j§u J.E. ùLp− GuTYÚm åTôuh ¨ßY]j§u M.R. YôdLo GuYÚm úNokÕ CWNôV] BûXL°u TWôU¬lûT Y¬ûNlTÓjÕY§p ERÜYRtLôL 1957-p ¾oÜdÏLkR TôûR Øû\ûV úUmTÓj§]ôoLs. CkR ÖÔdLm, ùTôÕYôL ùNVpLû[ SPjÕYRtLô] LôX AhPYûQ ªLf N¬VôLj ¾oUô²dL Ø¥kR §hPeL°p TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. ùNVp: úSWm, ØVt£, TQm ApXÕ úYß YûLVô] Y[ BRôWeLû[ ETúVô¡dÏm GkR R²jR ùNVpTôhÓdÏm ùNVp Guß ùTVo. CÕ BWmT ¨LrÜ,. Cß§ ¨LrÜ B¡V CWiÓ ¨LrÜLÞdÏ CûP«p CÚd¡\Õ. ùTôÕYôLf ùNVûXd Ï±dL Am×dÏ± ETúVôLlTÓ¡\Õ. ARu RûXlTÏ§ §hPj§u Øuú]t\ §ûNûVd Ï±dÏm. ¨LrÜ : ¨LrÜ GuTÕ ùNVpL°u BWmTm ApXÕ ¨û\ûYd Ï±lTRôÏm. ¨LrÜ GkR Y[ BRôWjûRúVô úSWjûRúVô GÓjÕd ùLôsY§pûX. YûXVûUl©p

1 2Activity

Starting event Ending event

Fig.5.16

www.kalvisolai.com

113

1 2 3Foundation Brick work

15 10

4

5

6

electrical

plumbing

wood work

grill work

Flooring7

8 58

Painting

¨LrÜ JÚ YhPjRôp Ï±dLlTÓ¡\Õ. ùNVpLs, BWmT ¨LrÜ Utßm Cß§ ¨LrÜ B¡VYt±u GiL[ôp AûPVô[m LôQlTÓ¡\Õ. TPm 5.11-Cp 1 GuTÕ BWmT ¨LrÜ, 2 GuTÕ Cß§ ¨LrÜ BÏm. ùNVp 1-2 Guß Ï±l©PlTÓ¡\Õ. YûXVûUl×: YûXVûUl× GuTÕ RÚdL (logical) A¥lTûP«p JÝeÏTÓjRlThP §hPm Tt±V TpúYß ùNVpL°u YûWTPdÏ±ÂÓ BÏm. YûXVûUl×l TôûR GuTÕ ùNVpL°u Y¬ûN BWmT ¨Lr®p ùRôPe¡ Cß§ ¨LrÜ YûW Am×dÏ±L°u §ûN«p ØuùNpYRôÏm. TôûR«u LôX A[Ü GuTÕ TôûR«u Y¯«p Es[ ùNVpL°u LôX A[ÜL°u áÓRXôÏm.

TPm 5.12 TPm 5.12-p §hPj§u BWmT ¨LrÜ 1 Utßm Cß§ ¨LrÜ 6 BÏm. 1-2 Gu\ ùNV−u LôXm 5, 1-3 Gu\ ùNV−u LôXm 8, ùNVp 2-4-u LôXm 7 Utßm ©\YôÏm. úUtLiP YûXVûUl×l TPj§u TX TôûRLÞm AYt±u LôX A[ÜLÞm ©uYÚUôß:

TôûR LôXA[Ü

1-2-4-6 5 + 7 + 8 = 20 1-3-5-6 8 + 4 + 5 = 17 1-3-4-6 8 + 6 + 8 = 22

ªL ¿iP LôXm GÓjÕdùLôsÞm TôûR ¾oÜdÏLkR TôûR (critical path) G] AûZdLlTÓ¡\Õ. ClTôûR«u LôXm §hPdLôXm (project duration) G] AûZdLlTÓ¡\Õ. ¾oÜdÏLkR TôûR Øû\ ùUôjR §hPLôXjûRd LQd¡PÜm §hPj§u AhPYûQ«hP LôXA[®tÏ Uô\ôL §hPj§u EiûUVô] Øuú]t\jûRf N¬TôodLÜm TVuTÓ¡\Õ. ®[dLm Lh¥Pm LhÓY§p ¨û\úYt\ úYi¥V ùNVpLÞm AYtßdLô] LôX A[ÜLÞm ©uYÚUôß ùLôÓdLlThÓs[Õ.

ùNVp LôX A[Ü (SôhLs) ùNVp LôX A[Ü (SôhLs)

A¥jR[ªPp 15 UWúYûX 7 ùNeLp LhÓ úYûX 10 CÚm× úYûX 5 ªuLm© úYûX 5 éfÑ úYûX 8 ÏZôVûUjRp 4 RûW«Pp 5

TPm 5.13

1

2

3

4

5

6

5

8

7

6

4

8

5Startingevent Ending

event

5 7

4 5

www.kalvisolai.com

114

TôûRLs LôXA[Ü

1. 1-2-3-4-6-7-8 15+10+5+7+8+5 = 50 2. 1-2-3-5-6-7-8 15+10+4+5+8+5 = 47

ØRp TôûR ¿iP LôX A[ûY GÓjÕd ùLôs¡\Õ. G]úY ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-4-6-7-8 GuTRôÏm. CRu LôX A[Ü 50 SôhL[ôÏm.

Ï±l×: ÏZôVûUjRp Utßm CÚm×úYûX B¡V ùNVpLs ªuLm© úYûXUtßm UWúYûX B¡V ùNVpLs SPdÏm LôXj§úXúV ¨û\úYßm. G]úY 3 – 5 – 6 Gu\ ùNVpLs ¾oÜdÏLkR TôûR«p LôQlTP®pûX.

GÓjÕdLôhÓ 10: JÚ §hPj§u ùNVpLÞm AYtßdLô] LôXA[ÜLÞm (SôhL°p) ©uYÚm AhPYûQ«p ùLôÓdLlThÓs[Õ.

ùNVp 1-2 1-3 2-4 2-3 3-4 3-5 4-5 LôX A[Ü 5 8 7 6 5 4 8

¾oÜdÏLkR TôûRûVÙm ARu LôX A[ûYÙm ¾oUô²dL. ¾oÜ :

TPm 5.19

TôûR LôX A[Ü

1-2-4-5- 5 + 7 + 8 = 20 1-3-5 8 + 4 = 12 1-2-3-5 5 + 6 + 4 = 15

1-2-3-4-5 5 + 6 + 5 + 8 = 24

1-3-4-5 8 + 5 + 8 = 21 ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-4-5 GuTRôÏm. §hPj§u LôX A[Ü 24 SôhLs BÏm. GÓjÕdLôhÓ 11: JÚ §hPj§u LôX AhPYûQ ©uYÚUôß

ùNVp 1-2 1-6 2-3 2-4 3-5 4-5 6-7 5-8 7-8 LôX A[Ü (SôhL°p) 7 6 14 5 11 7 11 4 18

YûXVûUl×l TPjûR YûWkÕ, ¾oÜdÏLkR TôûRûVd LôiL.

5

1 3 5

2

8

8

47

56

4

Starting event Ending event

www.kalvisolai.com

115

3623

35

TPm 5.16

¾oÜ

TPm 5.15 TôûR LôX A[Ü 1-2-3-5-8 7+14+11+4 = ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-5-8 BÏm. 1-2-4-5-8 7+5+7+4 = §hPdLôX A[Ü 36 SôhLs BÏm. 1-6-7-8 6+11+18 = GÓjÕdLôhÓ 12: JÚ §hPm 12 úYûXLû[d ùLôiPÕ. §hPj§u YûXVûUlûT YûWkÕ ¾oÜdÏLkR TôûRûV ¾oUô]m ùNn.

úYûX ùNVp LôX A[Ü (SôhL°p)

a b c d e f g h i j k l

1-2 2-3 2-4 3-4 3-5 4-6 5-8 6-7

6-10 7-9 8-9

9-10

2 7 3 3 5 3 5 8 4 4 1 7

¾oÜ:

1 2 3 5

4

86 7

7

6

5

14 11

7

1811

4

1 2

3

4

5

6 7

8

9

10

7

ab

f3

3

5e

cd3 k

5

1

jh

8 4

4

li

g

7

2

www.kalvisolai.com

116

34

TôûR LôX A[Ü 1-2-3-5-8-9-10 2+7+5+5+1+7 = 27 1-2-3-4-6-7-9-10 2+7+3+3+8+4+7 = 1-2-3-4-6-10 2+7+3+3+4 = 19 1-2-4-6-7-9-10 2+3+3+8+4+7 = 27 1-2-4-6-10 2+3+3+4 = 12 ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-4-6-7-9-10 BÏm. ARu LôX A[Ü 34 YôWeL[ôÏm. T«t£ 5.2

1. LhÓUô]j §hPj§u ùNVpLs Utßm AÕ ùRôPoTô] RLYpLs ¸rdLôÔm AhPYûQ«p RWlThÓs[Õ.

ùNVp 1-2 1-3 2-3 2-4 3-4 4-5 LôX A[Ü (YôWeL°p) 22 27 12 14 6 12

§hPj§u YûXVûUlûT YûWkÕ ¾oÜdÏLkR TôûRûVd LôiL. §hPd LôX A[ûYd LQd¡ÓL.

2. JÚ §hPj§u AhPYûQ ©uYÚUôß: ùNVp 1-2 2-3 2-4 3-5 4-6 5-6

LôX A[Ü (YôWeL°p) 6 8 4 9 2 7

i) §hPj§u YûXVûUl×l TPm YûWL.

ii) ¾oÜdÏLkR TôûRûVÙm, §hPdLôX A[ûYÙm LôiL.

3. JÚ £±V TWôU¬l×j §hPm ¸rdLôÔm úYûXLû[d ùLôi¥Úd¡\Õ. ARu ùNVpLÞm LôX A[ÜLÞm ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[Õ.

ùNVp 1-2 1-3 2-3 2-4 3-4 3-5 4-5

LôX A[Ü (SôhL°p) 20 25 10 12 5 8 10

i) YûXVûUl×l TPm YûWL. ii) ¾oÜdÏLkR TôûRûVÙm §hPdLôX A[ûYÙm LôiL.

4. ©uYÚm AhPYûQ JÚ §hPj§tLô] ®YWeLû[d ùLôÓd¡\Õ.

ùNVp 1-2 1-3 2-3 3-4 3-5 4-6 5-6 6-7

LôX A[Ü (SôhL°p) 5 10 3 4 6 6 5 5

i) YûXVûUl×l TPm YûWL.

ii) ¾oÜdÏLkR TôûRûVÙm, §hPdLôX A[ûYÙm LôiL.

www.kalvisolai.com

117

5. ¸rdLôÔm YûXVûUl©u ¾oÜdÏLkR TôûRûVÙm, §hPdLôX A[ûYÙm LôiL.

TPm 5.17

®ûPLs

T«t£ 5.1 2. i) x = 0 y = 1 Z = 10 (ii) x = 200 y = 400 Z 14000 T«t£ 5.2 1. ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-4-5; LôX A[Ü 52 SôhLs. 2. ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-5-6; LôX A[Ü 30 SôhLs.

1

3

2

5

4

6

3

2

8

4

9

7

5

1 2 4

3

522

2712

6

14 12

1 26

4

38

4

5

6

7

9

2

www.kalvisolai.com

118

3. ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-3-4-5; LôX A[Ü 45 SôhLs. 4.

¾oÜdÏLkR TôûR 1-3-5-6-7; LôX A[Ü 26 SôhLs. 5. ¾oÜdÏLkR TôûR 1-2-4-6; LôX A[Ü 21 SôhLs.

2

1

3

4

5

10

8

5

12

10

25

20

2

1

3

3

10

5

4

6

5

4

6 7

6

55

www.kalvisolai.com

119

6. Y¥®Vp 6.0 A±ØLm ¡úWdL Y¥®Vp Y[of£ êu\ôm èt\ôi¥p EfN ¨ûXûV AûPk§ÚkRÕ. ëd−h (Euclid) CkR LôXjûR NôokRYo BYôo. ©\Ï YkR AlTúXô²Vv ëd−h Y¥®V−p Bt±V T¦«û] ùRôPokÕ R[Øm, ám×m ùYh¥dùLôsYRôp AûUÙm EÚYeL[ô] ám× ùYh¥Lû[ A±V TVuTÓj§]ôo. ¡úWdLoLs Y¥®V−p U§ áoûU YônkRYoLs BRXôp Y¥®V−p AYoLÞûPV TûPl×Ls R²f£\l× YônkRûYL[ôÏm úYR LôXjÕ Y¥®Vp TûPl×L°p (Rekha - Ganit) NÕWm YûWRp, ùLôÓdLlThP ùNqYLj§u TWlT[®tÏ NUUô] TWlT[Ü ùLôiP NÕWm YûWRp, YhPj§u Ñt\[®tÏ NUUô] Ñt\[Ü ùLôiP NÕWm YûWRp Es[PeÏm. úYRLôXjÕ L¦R YpÛSoLs VôLeLs ùNnYRtLô] §PpLs AûUlTRtÏm Ad²ÙPu Y¯Tôh¥tÏ¬V CPeLs AûUlTRtÏm ãj§WeLû[ A±kÕ ûYj§ÚkR]o. CkR ãj§WeLs a2 + b2 = c2 Gu\ ©RôLWv úRt\jûRl úTôu\ LiÓ©¥lûT Ï±lTRôL AûUkRûYL[ôÏm. G]úY ¡úWdL L¦R YpÛSWô] ©RôLWv Rôu (6 BC) ØR−p AkR úRt\jûRd LiP±kRYo G] á\ CVXôÕ. ©RôLWv ET¨`jÕYj§p (Upanishads) BoYm ùLôi¥ÚkRRôp ÑpYô ãj§WeL°−ÚkÕ (Sulvasutras) A¥lTûP Y¥®VûX Lt\±k§ÚkRôo. ÑpYô ãj§WeL°p Es[ Y¥®V−u RjÕYeL°−ÚkÕRôu Ck§V LQd¡V−u YWXôß ùRôPeÏ¡\Õ. ùTôÕYôL á\lTÓm á\ô] ©RôLWv úRt\m G]lTÓYÕ ùT[§Vô]ô ãj§Wj§p (Baudhayana's sutra (800 BC)) Es[RôÏm : "JÚ NÕWj§u êûX ®hPj§u Y¯VôL ¿hP ¡ûPdÏm SôQô]Õ HtTÓjÕm TWlT[Ü NÕWj§u TWlT[®p CÚUPeÏôÏm". CWôUôà_u ùLôÓdLlThP YhPj§u TWlT[®tÏ NUUô] TWlT[Ü ùLôiP NÕWm YûWY§p BoYm ùLôi¥ÚkRôo. TiûPV LôXj§−ÚkúR YhPj§tÏ NUUô] TWlT[Ü ùLôiP NÕWm YûWYÕ GuTÕ ×LrYônkR L¦RUôÏm. B]ôp CkSôs YûW«p AúSL L¦R YpÛSoLs YhPj§tÏ NUUô] TWlT[Ü ùLôiP NÕWm YûWY§p U]SôhPØûPVYoL[ôL Es[]o. CWôUôà_u Ru §¼o EQoÜj§\u ùLôiÓ ©RôLWv úRt\j§tÏ ùNeúLôQ ØdúLôQj§u JÚ TiûT Es[Pd¡V JÚ ×§V úRt\m EÚYôd¡]ôo.

6.1 ¨VUlTôûR

L¥LôWj§p ùSô¥ûV Ï±dÏm Øs°u AûN®û] Etß úSôd¡]ôp Øs°u Øû] L¥LôW ØLj§u R[j§p ùYqúYß ¨ûXL°p AûUYRû] A±VXôm. úUÛm Øs GkRl ×s°ûV BRôWUôLd ùLôiÓ ÑZt£ûVd ùLôiÓs[úRô Al×s°«−ÚkÕ NUçWj§p Es[ Aû]jÕl ×s°L[ôp AûUdLlTÓm RPUô]Õ JÚ ê¥V Yû[YûWVôÏm GuTRû]Ùm G]úY Øs°u Øû]Vôp HtTÓjRlTÓm RPm YhPm GuTRû]Ùm A±VXôm. Øs°u Øû]Vôp HtTÓjRlThP RPUô] Yû[YûW ¨VUlTôûR G]lTÓm. ¨VUlTôûR GuTÕ AûNÙm ×s°Vôp£X Y¥®Vp ¨TkRû]Lû[ Es¨û\Ü ùNnVlThP TôûRVôÏm. C§−ÚkÕ Sôm (i) ¨TkRû]Lû[ Es¨û\Ü ùLôiP ×s°Ls Aû]jÕm ¨VUlTôûR«p AûUÙm GuTRû]Ùm (ii) ¨VUlTôûR«p AûUkR ×s°Ls Aû]jÕm ¨TkRû]Lû[ Es¨û\Ü ùLôiPûYLs GuTRû]Ùm A±VXôm.

www.kalvisolai.com

120

B

DR

C

Q

PA

S

l1

l2

JÚ Rô°p P,Q B¡V CWiÓ ×s°Lû[d Ï±dLÜm. ×s° P B]Õ ×s° Q-u ÁÕ T¥ÙUôß Rôû[ U¥dLÜm. U¥l©Ûs[ Aû]jÕ ×s°LÞm ×s° P, Q B¡VYt±−ÚkÕ NUçWj§p CÚdÏm. úUÛm úLôhÓjÕiÓ PQ-u ûUVl×s°Ùm U¥l©p AûUk§ÚdÏm. BLúY U¥lTô]Õ úLôhÓjÕiÓ PQ-u ûUVd ÏjÕdúLôÓ G] A±VXôm. (TPm 6.1). CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôLd áß¡uú\ôm. úRt\m 1. CWiÓ ¨ûXVô] ×s°L°−ÚkÕ NUçWj§p SLÚm ×s°«u ¨VUlTôûR Al×s°Lû[ CûQdÏm úLôhÓjÕi¥u ûUVdÏjÕdúLôPôÏm. l1 úUÛm l2 Gu\ CWiÓ CûQúLôÓLû[ JÚ Rô°p YûWVÜm. úLôÓ l1 B]Õ úLôÓ l2u ÁÕ T¥ÙUôß Rôû[ U¥dLÜm. U¥l©p Es[ Aû]jÕ ×s°LÞm CWiÓ úLôÓLÞdÏ NUçWj§p CÚdÏm. C§−ÚkÕ Sôm CWiÓ CûQúLôÓLÞdÏ NUçWj§Ûs[ ×s°«u ¨VUlTôûR AkR úLôÓLÞdÏ ûUVj§p

AûUkR JÚ CûQúLôPôÏm Gu\ Ø¥®û]l ùTß¡uú\ôm. (TPm 6.2). JÚ úLôQjûR AûUdÏm CWiÓ TdLeLÞdÏ NUçWj§p AûUÙm ×s°«u ¨VUlTôûR«û] ùR¬kÕ ùLôsúYôm. úLôQm ∠AOB-ûV JÚ Rô°p YûWVÜm. OA-B]Õ OB-«u ÁÕ T¥ÙUôß Rôû[ U¥dLÜm. U¥l©p Es[ Aû]jÕl ×s°LÞm OA, OB-−ÚkÕ NUçWj§p CÚdÏm. C§−ÚkÕ Sôm úLôQj§u TdLeLÞdÏ NUçWj§p Es[ ×s°«u ¨VUlTôûRVô]Õ AdúLôQj§u CÚNUùYh¥VôÏm Gu\ Ø¥®û]l ùTß¡uú\ôm. (TPm 6.3). Juû\ùVôuß ùYh¥dùLôsÞm l1, l2 B¡V úLôÓLÞdÏ NUçWj§p AûUÙm ×s°«u ¨VUlTôûR«û] A±kÕ ùLôsúYôm. úLôÓLs l1, l2 ×s° O-®p ùYh¥d ùLôs¡u\] G]d ùLôsúYôm. CR]ôp ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA B¡V SôuÏ úLôQeLs EiPô¡u\]. OA, OB-«−ÚkÕ NUçWj§Ûs[ ×s°«u ¨VUlTôûRVô] OP, ∠AOB-u CÚNUùYh¥VôÏm. CûRlúTôuú\ OQ, OR, OS B¡VûYLs Øû\úV ∠BOC, ∠COD, ∠DOA B¡V úLôQeL°u

CÚNUùYh¥Ls G]V±kÕ ùLôs¡uú\ôm. (TPm 6.4 LY²dL). TPj§−ÚkÕ Sôm A±YÕ m∠AOB + m∠BOC = 180o (AÓjÕs[ úLôQeLs) m∠POB + m ∠BOQ = ½ {m∠AOB + m∠BOC} m∠POQ = ½ × 180o = 90o

P Q

Fig. 6.1

PO

N

MA

B

d

d

1

2

TPm 6.2 ú m

TPm 6.3 ú m

TPm 6.4 ú m

www.kalvisolai.com

121

CûRlúTôuß m∠QOR = m ∠ROS = m∠SOP = 90o G]úY m∠POQ + ∠QOR = 180o G]úY PR JÚ úLôPôÏm. CûRl úTôuß QSm JÚ úLôPôÏm. PR B]Õ ∠AOB, ∠COD-u úLôQ CÚNUùYh¥VôÏm. QS B]Õ ∠BOC, ∠DOA-u úLôQ CÚNUùYh¥VôÏm. C§−ÚkÕ Sôm PR, QS B¡VYt±p AûUkR Aû]jÕ ×s°LÞm úLôÓLs l1, l2 B¡VûYLÞdÏ NUçWj§Ûs[ ×s°Ls Gu\ Ø¥®û]l ùTß¡uú\ôm. CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôLd áß¡uú\ôm. úRt\m 2 : CWiÓ ùYh¥dùLôsÞm úLôÓL°−ÚkÕ NUçWj§p AûUÙm ×s°«u ¨VUlTôûRVô]Õ AdúLôÓL[ôp AûUÙm úLôQeL°u JÚ úNô¥ úLôQ CÚNUùYh¥VôÏm. T«t£ 6.1

1. JÚ úLôh¥p AûUVôR êuß ×s°Ls A, B, C B¡VYt±−ÚkÕ NUçWj§p AûUÙm ×s°«u ¨VUlTôûRûV LiÓ©¥dLÜm

2. PQ JÚ úLôÓ. X, Y ùLôÓdLlThP CWiÓ ×s°Ls PQ B]Õ XY-dÏ CûQúLôPpX G²p, X, YB¡VûYLÞdÏ NUçWj§p Es[ PQ-u ÁÕ AûUkÕs[ ×s°ûVd LiÓ©¥dLÜm.

3. JÚ NÕWj§u êûX®hPeL°p AûUkR ×s°Ls ARu TdLeLÞdÏ NUçWj§p Es[ûY GuTRû]d LôhPÜm.

4. JÚ ùNqYLj§u êûX®hPeL°p AûUkR ×s°Ls ARu TdLeLÞdÏ NUçWj§p Es[ûYVô?

5. JÚ NônNÕWj§u êûX®hPeL°p AûUkR ×s°Ls ARu TdLeLÞdÏ NUçWj§p Es[ûY GuTRû]d LôhPÜm.

6.2 YhPeLs

YhPUô]Õ R[j§u ÁRûUkR JÚ ê¥V Yû[YûWVôÏm. Yû[YûW ÁRûUkR JqùYôÚ ×s°Ùm Yû[YûW Esú[ AûUkR ¨ûXVô] JÚ ×s°«−ÚkÕ NUçWj§p AûUkR ×s°L[ôÏm. ¨ûXVô] ×s° ARu ûUVm G]lTÓm. Uô\ôR CûPjçWm BWm G]lTÓm. YhPj§u GpûX ARu Ñt\[Ü G]lTÓm. Ø¥Ül×s°Ls YhPj§u ÁRûUkR úLôhÓjÕiÓ Sôi G]lTÓm. YhPûUVj§u Y¯VôLfùNpÛm Sôi ®hPm G]lTÓm. ®hPúU YhPj§às AûUkR ªLlùT¬V SôQôÏm. Sôm YhPûUVj§tÏm, YhP Sô¦tÏm CûPúV B] ùRôPo©û] A±kÕ ùLôsúYôm. ¸rdLôÔm HRôYÕ JÚ ùRôPo©p ØdúLôQeL°u NoYNURuûU Eß§lTÓjRlThÓs[Õ GuTRû] ¨û]ÜáoúYôm.

i) TdLm - úLôQm - TdLm (T-úLô-T) ii) úLôQm - TdLm - úLôQm (úLô-T-úLô) iii) TdLm - TdLm - TdLm (T-T-T) JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p NoYNURuûU iv) ùNeúLôQm - LoQm - TdLm (ùN.úLô-L-T)

www.kalvisolai.com

122

úRt\m 3: YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ Sô¦tÏ YûWVlTÓm ùNeÏjÕ SôûQ CÚNUdá±Óm RWÜ: OûYûUVUôL EûPV YhPj§p AB JÚ Sôi OC ⊥ AB. ¨ì©dL: ×s° C B]Õ ABûV CÚNUdá±Óm. AûUl×: OA, OB B¡VYtû\ CûQdLÜm (TPm 6.5). ¨ìTQm : ØdúLôQm OAC, OBC B¡VYtßs m∠OCA = m∠OCB = 90o (RWÜ); OA = OB (BWeLs) OC = OC (ùTôÕlTdLm) ΔOAC ≡ ΔOBC (ùN.úLô.-L-T) CA ≡ CB (JjR TdLeLs) G]úY ×s° C, Sôs ABûV CÚ á±Ó¡\Õ. úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. úRt\m 3A: (úRt\m 3-u UßRûX) JÚ YhPj§u ûUVjûRÙm, Sô¦u ûUVl×s°ûVÙm úNodÏm úLôÓ Sô¦tÏ ùNeÏjRôÏm. RWÜ : OûY ûUVUôL EûPV YhPj§p AB JÚ Sôi, C B]Õ AB-u ûUVl×s°. ¨ì©dL : OC ⊥ AB AûUl×: OA,OBûVf úNodLÜm (TPm 6.6) ¨ìTQm: ØdúLôQm OAC, OBC B¡VYtßs OA = OB (BWeLs); AC = BC (RWÜ); OC = OC (ùTôÕlTdLm) ΔOAC ≡ ΔOBC (T-T-T)

m∠OCA ≡ m∠OCB (JjR úLôQeLs)

B]ôp m∠OCA + m∠OCB = 180o (ACB is a line)

m∠OCA + m∠OCA = 180o (m∠OCB = m∠OCA) 2m∠OCA = 180o; m∠OCA = 90o ∴OC ⊥ AB úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. JÚ úLôh¥XûUVôR êuß ×s°Ls Y¯úV GjRû] YhPeLs YûWVXôm GuTRû]d LôiúTôm.

A, B, C JÚ úLôh¥p AûUVôR êuß ×s°Ls G]d ùLôsúYôm. úLôhÓjÕiÓ AB, BC B¡VûYLÞdÏ ûUVdÏjÕ úLôÓLs Øû\úV PQ, RS YûWVÜm. AB B]Õ BCdÏ CûQúLôPpX GuTR]ôp PQ B]Õ RSdÏ CûQúLôPôLôÕ GuTRû] A±kÕ ùLôs[Üm. G]úY PQÜm RSm JÚ ×s°«p ùYh¥dùLôsÞm. ARû] O G]lùTV¬PÜm, OA, OB, OC B¡VYtû\f úNodLÜm (TPm 6.7Id LY²dLÜm) O B]Õ PQ-p AûUk§ÚdÏm. (PQ, AB-«u ûUVdÏjÕ úLôÓ). OA = OB (úRt\m 1uT¥) (1) OB = OC (úRt\m 1uT¥) (2)

A BC

O

A BC

O

A B

S

Q

O

P

RC

TPm 6.5 ú m

TPm 6.6 ú m

TPm 6.7 ú m

www.kalvisolai.com

123

(1), (2)−ÚkÕ OA = OB = OC G] A±kÕ ùLôs[Xôm.

OA = OB = OC = r (G]d ùLôs[Üm) r-I BWUôLÜm OûY ûUVUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhPm YûWVÜm. CqYhPm A, B, C-u Y¯úV ùNpÛm. CkR JÚ YhPmRôu A, B, C Y¯VôLf ùNpÛm GuTRû] ¨ìTQm ùNnRp úYiÓm. O′-I ûUVUôLÜm r′-I BWUôLÜm ùLôiÓ YûWkR Utù\ôÚ YhPm A,B, C-u Y¯VôL ùNpYRôL FLm ùNnúYôUô]ôp O′ B]Õ ÏjÕdúLôÓLs PQ, RS-u ÁÕ AûUk§ÚdLúYiÓm. CWiÓ úLôÓLs JußdÏ úUtThP ×s°L°p ùYh¥dùLôs[ôÕ GuTRôp O′ B]Õ O-®u ÁÕ AûUÙm. BLúY OA = O′A = r (= r′) G]úY CdLÚj§û] Sôm ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 4 : JÚ úLôh¥p AûUVôR êuß ×s°Ls Y¯úV JúW JÚ YhPmRôu YûWVØ¥Ùm. YhPj§às AûUkR NUUô] CWiÓ SôiLû[l Tt±VùRôÚ Ø¥®û] ùR¬kÕ ùLôsúYôm. AfÑ GÓdÏm JÚ Rô°p (tracing paper) O-ûY ûUVUôL EûPV JÚ YhPm YûWVÜm. ARàs AB, CD Gu\ CWiÓ NUSôiLû[ YûWVÜm. úUÛm OP ⊥ AB BLÜm, OQ ⊥ CD BLÜm YûWVÜm. (TPm 6.8-I LY²dLÜm). A B]Õ C-«u ÁÕm B B]Õ

D-«u ÁÕm ùTôÚkÕmT¥ Rôû[ U¥dLÜm. AB-Ùm CD-Ùm NUUô] SôiLs

GuTRôp CqYôß ùTôÚjRØ¥Ùm. P B]Õ Q-u ÁÕ ùTôÚkÕYûRÙm, U¥l©u

úLôPô]Õ O-u Y¯úV ùNpYRû]Ùm LôQ®VÛm. G]úY OP = OQ ARôYÕ

AB-Ùm CD-Ùm O-®−ÚkÕ NUçWj§p Es[Õ. CfùNVûX ÁiÓm TpúYß

YhPeL°p NUSôiLs YûWkÕ ùNVpTÓjÕmùTôÝÕ JúW Ø¥Ü ¡ûPlTRû]

A±kÕ ùLôs[Xôm. CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm.

úRt\m 5: JÚ YhPj§às NUUô] SôiLs YhPûUVj§−ÚkÕ NUçWj§p AûUÙm. úRt\m 5-u UßRûXûV ¸rdLiP Øû\«p A±kÕ ùLôs[Xôm. AfÑ GÓdÏm Rôs Ju±p O-ûY ûUVUôL EûPV JÚ YhPm YûWVÜm. AB Gu\ JÚ SôûQ YûWVÜm. OP ⊥ AB YûWVÜm. OP = OQ G] AûUÙUôß Q Gu\ ×s°ûV YhPj§às Ï±dLÜm. Q-u Y¯úV OQ ⊥ CD G] AûUÙUôß Sôi CD YûWVÜm. (TPm 6.9 LY²dL). OP B]Õ OQ-®u ÁÕ T¥ÙUôß Rôû[ U¥jRôp, U¥dÏmùTôÝÕ AB ØÝûUVôL CD-«u ÁÕ T¥YûR G°RôL A±VXôm. ARôYÕ AB = CD. CfùNVûX ÁiÓm TpúYß YhPeLs YûWkÕ NUçWj§p CÚdÏmT¥ SôiLs YûWkÕ ùNVpTÓjÕm ùTôÝÕ JúW Ø¥®û] AûPVXôm. CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 5A: (úRt\m 5-u UßRûX). JÚ YhPj§p YhPûUVj§−ÚkÕ NUçWj§p AûUÙm SôiLs NU¿[Øs[ûYVôÏm.

Q

O

PAB

C

D

Q

O

PAB

C

D

TPm 6.8

TPm 6.9

www.kalvisolai.com

124

GÓjÕdLôhÓ 1: 13 ùN.Á. BWØs[ YhPj§p 10 ùN.Á. ¿[Øs[ Sôi YhPûUVj§−ÚkÕ GqY[Ü çWj§p CÚdÏm G] LiÓ©¥dLÜm, ¾oÜ: AB, 10 ùN.Á. ¿[Øs[ Sôi C, AB-«u ûUVl×s° (TPm 6.10) AC = ½ AB = ½ × 10 = 5 ùN.Á. ; BWm OA = 13 ùN.Á. ùNeúLôQ ØdúLôQm OAC-Cp OC2 = OA2 – AC2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 OC = 144 = 12 ùN.Á. SôQô]Õ ûUVj§−ÚkÕ 12 ùN.Á. çWj§p Es[Õ. GÓjÕdLôhÓ 2: TPj§p O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§p AB-Ùm, CD-Ùm NUUô] SôiLs, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD G²p m∠OMN = m∠ONM G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§às AB-Ùm, CD-Ùm NUUô] SôiLs OM ⊥ AB, ON ⊥ CD (TPm 6.11). ¨ì©dL: ∠OMN = ∠ONM ¨ìTQm: AB = CD (RWÜ) OM ⊥ AB (RWÜ); ON ⊥ CD (RWÜ) OM = ON (NUUô] SôiLs ûUVj§−ÚkÕ NUçWj§−ÚdÏm) ØdúLôQm OMN-p m∠OMN = m∠ONM (Δ OMN CÚ NUTdL ØdúLôQm) GÓjÕdLôhÓ 3 : CWiÓ ùTôÕ ûUV YhPeL°p ùY°YhPj§u Sôi AB Es YhPjûR C, D«p Nk§d¡\Õ G²p AC = BD G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ : RWÜ: CWiÓ ùTôÕ ûUV YhPeL°p ùY°YhPj§u Sôi AB EsYhPjûR C, D-p Nk§d¡\Õ (TPm 6.12). ¨ì©dL: AC = BD AûUl×: OM ⊥ AB G] YûWVÜm ¨ìTQm: OM ⊥ AB (AûUl×) GuTR]ôp OM ⊥ CD BÏm (ACDB JÚ úLôÓ) ùY°YhPj§p, AM = BM (OM ⊥ AB ÏjÕdúLôÓ SôûQ CÚNUdá±Óm) (1) EsYhPj§p, CM = DM (OM ⊥ CD, ÏjÕdúLôÓ SôûQ CÚNUdá±Óm) (2) (1), (2)-−ÚkÕ AM – CM = BM – DM ApXÕ AC = BD

GÓjÕdLôhÓ 4 : O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§às AB, CD Gu\ CWiÓ SôiLs M-p ùYh¥d ùLôs¡u\]. ∠AMD-ûV, OMB]Õ CÚNUdá±Óm G²p AB = CD G] ¨ì©dLÜm.

O

CA B

D

C

M N

O

B

A

A B

O

MC D

TPm 6.10

TPm 6.11

www.kalvisolai.com

125

¾oÜ : RWÜ : O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§às AB, CD Gu\ CWiÓ SôiLs M-®p ùYh¥d ùLôs¡u\] ∠AMDûV, OM B]Õ CÚNUdá±Ó¡\Õ. (TPm 6.13) ¨ì©dL : AB = CD AûUl×: OP ⊥ AB BLÜm; OQ ⊥ CD BLÜm YûWVÜm ¨ìTQm: ØdúLôQm OMP, OMQ B¡VYtßs ∠OPM = ∠OQM = 90o (AûUl×) ∠OMP = ∠OMQ (RWÜ) OM = OM (ùTôÕTdLm) ΔOMP ≡ ΔOMQ (úLô-úLô-T) ∴OP = OQ (JjR TdLeLs) G]úY AB = CD (ûUVj§−ÚkÕ NUçWj§Ûs[ SôiLs NUm BÏm) GÓjÕdLôhÓ 5 : CWiÓ YhPeLs CWiÓ ×s°L°p ùYh¥d ùLôs¡u\] G²p YhPûUVeLû[ úNodÏm úLôPô]Õ YhPeLÞdÏ AûUkR ùTôÕ Sô¦u ûUVdÏjÕd úLôPôÏm G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ : CWiÓ YhPeLû[ C (O, r), C′ (O′, r′) A, B Gu\ ×s°L°p ùYh¥d ùLôs¡u\]. AB B]Õ CWiÓ YhPeLÞdÏ ùTôÕ SôQôÏm. (TPm 6.14). ¨ì©dL: OO′ B]Õ Sôi AB-«u ûUV ÏjÕdúLôPôÏm.

AûUl× : OA, OB, O′A, O′B B¡VYtû\ úNodLÜm. AB-Ùm OO′-Ùm ùYhÓm ×s°ûV M G] Ï±dLÜm.

¨ìTQm : ØdúLôQm OAO′, OBO′ B¡VYtßs OA = OB (O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§u BWeLs)

O′A = O′B (O′-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§u BWeLs)

OO′ = OO′ (ùTôÕlTdLm)

∴ Δ OAO′ ≡ ΔOBO′ ⇒ m∠AOO′ = m∠BOO′ ØdúLôQm AOM, BOM B¡VYtßs OA = OB

m∠AOM = m∠BOM (Q m∠AOM = m∠AOO′ and m∠BOM = m∠BOO′) OM = OM (ùTôÕlTdLm)

ΔAOM ≡ ΔBOM ⇒ AM = MB, m∠AMO = m∠BMO B]ôp m∠AMO + m∠BMO = 180o

∴m∠AMO = m∠BMO = 90o ∴OM ⊥ AB MB]Õ AB-«u ûUVl×s° GuTRôp OO′ ⊥ AB

G]úY OO′ B]Õ Sôi AB-«u ûUVdÏjÕdúLôPôÏm.

O O'

B

A

M

A

D

B

CM

Q

PO

TPm 6.13

TPm 6.14

www.kalvisolai.com

126

T«t£ 6.2

1. 10 ùN.Á. BWØs[YhPj§p 12 ùN.Á. ¿[Øs[ Sôi ûUVj§−ÚkÕ GqY[Ü çWj§p CÚdÏm G] LiÓ©¥dLÜm.

2. 17 ùN.Á. BWØs[ YhPj§às ûUVj§−ÚkÕ 15 ùN.Á. çWj§Ûs[ Sô¦u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm.

3. O-ûV ûUVUôL EûPV YhPj§p AB-Ùm CD-Ùm CWiÓ NUUô] SôiLs. SôiL°u ¿h£ P-«p Nk§d¡\Õ G²p PB = PD G] ¨ì©dLÜm.

4. O-ûV ûUVUôL EûPV YhPj§p AB-Ùm CD-Ùm CWiÓ NUUô] SôiLs. Sôi AB-«u ûUVl×s° P. Sôi CD-«u ûUVl×s° Q G²p ∠APQ = ∠CQP G] ¨ì©dLÜm.

5. ØdúLôQm ABC-p, AC BA = , ØdúLôQm ABC-u ÑtßYhP ûUVm ∠BAC-u úLôQ CÚNUùYh¥«p AûUÙm G] ¨ì©dLÜm..

6.3 YhPj§às AûUkR úLôQeLs HúRàm CWiÓ ×s°Ls A, B B¡VûY YhPj§u Ñt\[ûY CWiÓ TôLeL[ôL ©¬dLd áÓm G] A±úYôm. JqùYôÚ ©¬Üm YhPj§u ®tLs G]lTÓm. CWiÓ ©¬ÜLÞm NUªpûX G²p £±V ©¬Ü £±V ®p G]lTÓm. ùT¬V ©¬Ü ùT¬V ®p G]lTÓm. JqùYôÚ TôLØm ®p AB G]lTÓm. CÕ Ï±Âh¥p AB G] Ï±dLlTÓm. £X úSWeL°p JÚ ©¬ûY, Utù\ôÚ ©¬ÜPu úYßTÓj§ LôhÓYRtLôL ®tL°u CûP«p êu\ôYÕ ×s°ûV GÓjÕ A±VXôm (TPj§p LY²dL). TPm 6.15, 6.16-Cp ACB ùT¬V ®p ADB £±V ®pXôÏm. £±V ®pXô] ADB ûUVj§p HtTÓjÕm úLôQm ∠AOB Ñt\[®p HúRàm JÚ ×s°«p HtTÓjÕm úLôQm ∠ACB BÏm. CûRlúTôuú\ ùT¬V®p ACB ûUVj§p HtTÓjÕm úLôQm ©uYû[ úLôQm m∠AOB Ñt\[®p HúRàm JÚ ×s°«p HtTÓjÕm úLôQm m∠ADB BÏm. Sôm m∠AOB + ©uYû[ m ∠AOB = 360o G] A±úYôm. JÚ YhP®pXôp ûUVj§p HtTÓjÕm úLôQj§tÏm, Ñt\[®p HúRàm JÚ ×s°«p HtTÓjÕm úfôQj§tÏm Es[ E\®û]j ùR¬kÕ ùLôsúYôm. JÚ ØdúLôQj§p CWiÓ TdLeLs NUm G²p AYtßdÏ G§úWÙs[ úLôQeLs NUm. JÚ ØdúLôQj§u JÚ TdLjûR ¿hÓYRôp HtTÓm ùY°dúLôQm ARu Es G§oúLôQeL°u áÓRÛdÏf NUm B¡V Øu× T¥jR úRt\eLû[ ¨û]ÜáoúYôm.

O

B B

O

C C

D DA A

TPm 6.15 TPm 6.16

www.kalvisolai.com

127

úRt\m 6 : JÚ YhP®p−]ôp ûUVj§p AûPTÓm úLôQm, AkR ®pûX R®ojÕ YhPj§u Ñt\[®p HúRàm JÚ ×s°«p AûPTÓm úLôQjûRlúTôp CÚUPeLôÏm.

RWÜ : O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§p TPm 6.17-p AB £±V ®p, C B]Õ ùT¬V ®p−p JÚ ×s°. TPm 6.18-p AB ùT¬V ®p D B]Õ £±V ®p−p JÚ ×s°. ¨ì©dL: m∠AOB = 2m∠ACB, ©uYû[ m ∠AOB = 2m∠ADB AûUl×: TPm 6.17-p COûY úNojÕ P YûW ¿h¥dLÜm. TPm 6.18 DOûY úNojÕ Q YûW ¿h¥dLÜm. ¨ìTQm : ØdúLôQm AOC-p OA = OC (YhPj§u BWeLs) m∠OCA = m∠OAC (NUTdLeLÞdÏ G§úWÙs[ úLôQeLs) ØdúLôQm AOC-p TdLm CO, P YûW ¿hPlThÓs[Õ (AûUl×) ∠AOP ùY°dúLôQUôÏm. m∠AOP = m∠OAC + m ∠OCA (ùY°dúLôQm = Esù[§o úLôQeL°u áÓRp) m∠AOP = m∠OCA + m ∠OCA ∠OAC = ∠OCA = 2m ∠OCA CûRlúTôuß m∠BOP = 2m ∠OCB G] ¨ì©dLXôm m∠AOB = m∠AOP + m∠BOP (úLôQeL°u ©¬ÜLs) = 2m∠OCA + 2m∠OCB = 2{m∠OCA + m ∠OCB} = 2m∠ACB CûRlúTôuú\ ©uYû[ m ∠AOB = 2m∠ADB G] ¨ì©dLXôm. úRt\m ¨ì©dLlThPÕ.

®tL[ôp YhPj§p Ñt\[®p JußdÏ úUtThP ×s°L[ôp HtTÓjÕm úLôQeLû[l Tt± A±kÕ ùLôsúYôm.

B

QO

A A

C

P B

O

D

B

BO O

D DC C

A

A

TPm 6.17 TPm 6.18

TPm 6.19 TPm 6.20

www.kalvisolai.com

128

O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§p ∠ACB-Ùm, ∠ADB-Ùm JúW YhPjÕi¥Ûs[ úLôQeL[ôÏm. (TPm 6.19, TPm 6.20). m∠ACB = ½ m∠AOB (úRt\m 6-uT¥) m∠ADB = ½ m∠AOB (úRt\m 6-u T¥) ∴m∠ACB = m∠ADB CkR LÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 7: JúW YhPjÕi¥Ûs[ úLôQeLs NUm. YhPj§u ÕiPLs: Sôi AB-«]ôp YhPj§u EhTÏ§Vô]Õ CWiÓ TôLeL[ôLl ©¬dLlTÓ¡\Õ. (TPm 6.21 LY²dL). CWiÓ ©¬ÜLÞm YhPÕiÓLs G]lTÓm. GkRl ©¬®p YhP ûUVm Es[úRô AÕ ùT¬V YhPjÕiÓ G]lTÓm. £±V ©¬Ü £±V YhP ÕiÓ G]lTÓm. YhPj§u ®hPm YhPj§û] CWiÓ NUTôLeL[ôLl ©¬dÏm. JqùYôÚ TôLØm AûWYhPm G]lTÓm. ®p AB AûW YhPUôL AûUÙùU²p AR]ôp AûPTÓm úLôQj§û]l Tt± A±kÕ ùLôsúYôm. (TPm 6.22 LY²dL). úRt\m 6-u T¥ COûY, P YûW ¿h¥l× ùNnRôp Sôm A±YÕ

m∠AOP + m∠BOP = 180o m∠AOB = 180 o B]ôp m∠AOB = 2m∠ACB (úRt\m 6-uT¥) m∠ACB = ½ m∠AOB

= ½ × 180 o = 2

180o

= 90o = JÚ ùNeúLôQm

CkRd LÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 8: AûWYhPj§p AûUÙm úLôQm ùNeúLôQUôÏm.

úRt\m 8-u UßRûXûV A±kÕ ùLôsYRtÏ P Gu\ ×s°«p ùNeúLôQm AûUÙUôß ùNeúLôQ ØdúLôQm PQR YûWkÕ ùLôsúYôm. LoQm QR-I ®hPUôLd ùLôiÓ JÚ YhPm YûWkRôp AÕ LoQj§u G§oØû] P Y¯úV ùNpÛm (TPm 6.23). LoQj§u ûUVl×s°ûV

ùNeúLôQj§u Øû]ÙPu CûQdÏm úLôhÓjÕiÓ LoQj§u A[®p Tô§VôÏm GuTRû] ¨û]Ü áoúYôm. G]úY úUtá±V ùNVpTôh¥p OP = OQ = OR. AR]ôp YhPm P-Cu Y¯úV ùNpÛm GuTRû] ùR¬kÕ ùLôs[Xôm. CkR LÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm.

úRt\m 8A: (úRt\m 8-u UßRûX). JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p LoQjûR ®hPUôLd ùLôiÓ YûWVlTÓm YhPm. YhPj§u Hû]V TÏ§«Ûs[ JÚ ×s°ûV G§oØû]VôLd ùLôiÓ ARu Y¯fùNpÛm JÚ AûWYhPUôÏm.

B

O

MajorSegment

MinorSegment

A

B

P

C

OA

Q R

P

O

O DA

B C

TPm 6.21

TPm 6.22

TPm 6.23

TPm 6.24

www.kalvisolai.com

129

O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§p AB, CD NU¿[Øs[ SôiLs (TPm 6.24). ØdúLôQm AOB, COD B¡VYtßs OA = OC (BWeLs); OB = OD (BWeLs) ; AB = CD (NU¿[Øs[ SôiLs) G]úY ΔAOB ≡ ΔCOD . (T-T-T) m∠AOB = m∠COD (JjR úLôQeLs) CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 9 : NU¿[Øs[ SôiLs YhPûUVj§p NUúLôQeLû[j RôeÏm. OûY ûUVUôL EûPV YhPj§p, m∠AOB = m∠COD (TPm 6.25-I LY²dLÜm) ØdúLôQm AOB, COD B¡VYtßs OA = OC (BWeLs) m∠AOB = m∠COD (NUúLôQeLs) OB = OD (BWeLs) ΔAOB ≡ Δ COD (T-úLô-T) AB = CD (JjR TdLeLs) CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôLd áß¡uú\ôm. úRt\m 9A: (úRt\m 9-u UßRûX). SôiL[ôp YhPûUVj§p AûUÙm úLôQeLs NUm G²p SôiLs NUUôÏm. YhP SôtLWm JÚ SôtLWj§u Øû]Ls YhPj§u ÁR AûUÙUô]ôp AkR SôtLWm YhP SôtLWm G]lTÓm. YhP SôtLWj§u úLôQeLÞd¡ûPúVVô] Ød¡V E\®û] A±kÕ ùLôsúYôm. úRt\m 10 : YhP SôtLWj§u G§oúLôQeL°u áÓRp 180o BÏm. RWÜ : O-I ûUVUôL EûPV YhPj§p ABCD YhP SôtLWm. ¨ì©dL : m∠A + m∠C = 180o, m∠B + m∠D = 180o AûUl× : B, D B¡VYtû\ O-ÜPu úNodLÜm. (TPm 6.26). ¨ìTQm : m∠BCD = ½ m∠BOD (YhP ûUVj§p AûUÙm úLôQm = Á§lT¬§«p HúRàm JÚ ×s°«p AûUÙm úLôQj§u CÚUPeÏ) m∠BAD = ½ ©uYû[ m∠BOD (úUtá±VÕ) m∠BCD + m ∠BAD = ½ m∠BOD + ½ ©uYû[ m∠BOD = ½ (m∠BOD + ©uYû[ m∠BOD) = ½ × 360o = 180o m∠A + m∠C = 180o m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360o (SôtLWj§u úLôQeL°u áÓRp 360o) B]ôp m∠A + m∠C = 180o (¨ì©dLlThPÕ) ⇒ m∠B + m∠D = 180o úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. CjúRt\j§−ÚkÕ YhP SôtLWj§u G§oúLôQeLs ªûL¨Wl× úLôQeLs G] A±kÕ ùLôs[Xôm.

O

A

B

C

D

O DA

B C

TPm 6.25

TPm 6.26

www.kalvisolai.com

130

E

úRt\m 10A (úRt\m 10-u UßRûX). SôtLWj§u G§oúLôQeL°u áÓRp 180o G²p AkR SôtLWm YhP SôtLWUôÏm.

RWÜ : ABCD Guàm SôtLWj§p m∠A + m∠C =180o, m∠B + m∠D = 180o ¨ì©dL : ABCD YhP SôtLWm AûUl×: ΔABD-u Y¯úV JÚ ÑtßYhPm YûWVÜm. CqYhPj§p Øû] C AûUVô®hPôp ÑtßYhPm, BC-u ¿h£ûV E-p ùYhÓYRôL GÓjÕd ùLôsúYôm. ¨ìTQm: ABED YhP SôtLWm (AûUl×) m∠A + m∠E = 180o (G§oúLôQeLs) B]ôp m∠A + m∠C = 180o (RWÜ) m∠A + m∠E = m∠A + m∠C m∠E = m∠C m∠BED = m∠BCD TPm 6.27-p ØdúLôQm DEC-p m∠BCD ùY°dúLôQm m∠BCD > m∠BED (ùY°dúLôQm = Esù[§o úLôQeL°u áÓRp) TPm 6.28-p ØdúLôQm DEC-p ∠BED ùY°dúLôQm m∠BED > m∠BCD (ùY°dúLôQm = Esù[§o úLôQeL°u áÓRp) CûYL°−ÚkÕ ØWiTôPô] LÚj§û] AûPkÕsú[ôm. G]úY CB]Õ E-u ÁÕ ùTôÚkÕm G]úY A, B, D-u Y¯úV ùNpÛm YhPUô]Õ C Y¯úVÙm ùNpÛm. ∴ ABCD JÚ YhP SôtLWm. úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. ¡û[júRt\m: YhP SôtLWj§u JÚ TdLjûR ¿h¥lTRôp HtTÓm ùY°dúLôQm Esù[§o úLôQj§tÏ NUUôÏm. TPj§p ABCD Guàm SôtLWj§p TdLm ABB]Õ E YûW ¿hPlThÓs[Õ. (TPm 6.29). úRt\m 10-u T¥ m∠ABC + m∠ADC = 180o m∠ABC + m∠CBE = 180 o (ABE JÚ úLôÓ) TPm 6.29 m∠ABC + m∠ADC = m∠ABC + m∠CBE m∠ADC = m∠CBE ∠CBE ùY°dúLôQm Utßm ∠ADC Esù[§o úLôQm

A B

O

CD

AA

BB

C

CEE

DD

TPm 6.27 TPm 6.28

www.kalvisolai.com

131

0

S

P

R

Q

C

GÓjÕdLôhÓ 6: TPj§p O ûUVm m∠OAC = 35o m∠OBC = 45o G²p m∠AOB LiÓ©¥dLÜm ¾oÜ : OC-If úNodLÜm (TPm 6.30) OA = OB = OC; m∠OCA = m∠OAC = 35o m∠OCB = m∠OBC = 45o; m∠ACB = m∠OCA + m∠OCB = 35o + 45o = 80o; m∠AOB = 2m ∠ACB = 2 × 80o = 160o TPm 6.30 GÓjÕdLôhÓ 7: £±V YhPjÕi¥Ûs[ úLôQm ®¬úLôQm G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§p ∠ACB B]Õ £±V YhPjÕi¥Ûs[ úLôQm G²p ∠ACB ®¬úLôQm G] ¨ì©jRp úYiÓm. m∠ACB = ½ ©uYû[ m ∠AOB B]ôp ©uYû[ m ∠AOB > 180o TPm 6.31 ½ m ©uYû[ ∠AOB > ½ × 180o ApXÕ ½ ©uYû[ m ∠AOB > 90o G]úY m∠ACB > 90o. ARôYÕ £±V YhPjÕi¥Ûs[ úLôQm ®¬úLôQUôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 8: TPj§p PQ ®hPm. m∠OPS = 50o G²p m∠QOS, m∠QRS LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: OP = OS (BWeLs) m∠OSP = m∠OPS = 50o (NUTdLeLÞdÏ G§úWÙs[ úLôQeLs) m∠QOS = m∠OSP + m∠OPS (ùY°dúLôQm = Es G§odúLôQeL°u áÓRp = 50o + 50o = 100o; PQRS YhP SôtLWm ⇒ m∠QRS+ m∠QPS = 180o (YhP SôtLWj§u G§odúLôQeLs ªûL ¨Wl× úLôQeLs) m∠QRS + 50o = 180o, m∠QRS = 180o – 50o = 130o

TPm 6.32 GÓjÕdLôhÓ 9: ABCD JÚ YhP N¬YLm BÏm. AD⎥⎥ BC. úUÛm ∠B = 65o, G²p N¬YLj§u Hû]Vêuß úLôQeLû[ LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: ABCD JÚ YhP N¬YLm, AD⎥⎥ BC, AB ÏßdÏùYh¥. m∠BAD+ m∠ABC =180o (EhúLôQeL°u áÓRp) m∠BAD+65o = 180o;

m∠BAD = 180o – 65o = 115o;

TPm 6.33

m∠ADC+ m∠ABC = 180o (ABCD YhP SôtLWm) m∠ADC+65o = 180o; m∠ADC = 180o – 65o = 115o m∠BCD+ m∠BAD =180o (ABCD YhP SôtLWm) ∠BCD+ 115o =180o ; m∠BCD =180o –115o = 65o

A B

45o

35o

O

C

A B

O

A B

CD

www.kalvisolai.com

132

T«t£ 6.3 1. TPeL°u x G]d Ï±«PlThP úLôQeL°u U§lûTd LiÓ©¥dLÜm: (a) (b) (c) (d) (e) TPm 6.34 TPm 6.35 TPm 6.36 TPm 6.37 TPm 6.38 2. TPj§p m∠OAC =30o m ∠OBC = 25o, m ∠AOB LiÓ©¥dLÜm.

TPm 6.39 3. ùT¬V YhPjÕi¥Ûs[ úLôQm ÏßeúLôQm G] ¨ì©dLÜm. 4. YhPj§às AûUkR CûQLWm ùNqYLm G] ¨ì©dLÜm. 5. CWiÓ YhPeLs A, B-p ùYh¥d ùLôs¡u\]. A, B-u Y¯úV YûWVlThP

úLôÓLs Øû\úV CAD, EBF YhPeLû[ Øû\úV C, D, E , F.-p Nk§d¡u\] G²p CE || DF G] ¨ì©dLÜm.

6. JÚ YhPj§p CWiÓ ®hPeLs JußdùLôuß ùNeÏjRôL ùYh¥d ùLôs¡u\]. ®hPeL°u Øû]Lû[ CûQlTR]ôp ¡ûPdÏm SôtLWm JÚ NÕWm G] ¨ì©dLÜm.

6.4 YhPeLÞm ùRôÓúLôÓLÞm JÚ R[j§p YhPØm, úLôÓm AûUÙm ùTôÝÕ êuß Nôj§VdáßLs ¨LrYûR A±VXôm.

TPm 6.40 TPm 6.41 TPm 6.42 TPm 6.40p úLôÓ AB YhPjûR ùYhP®pûX GuTRû] A±VXôm. TPm 6.41p úLôÓ AB YhPjûR CWiÓ ×s°L°p ùYhÓYûR A±VXôm. CÕ ùYhÓdúLôÓ G]lTÓm. TPm 6.42p úLôÓ AB YhPjûR JúW ×s° P-p ùRôÓYûR A±VXôm. CkR ¨Lrf£«p úLôÓ AB B]Õ YhPj§tÏ P Gu\ ×s°«p AûUÙm ùRôÓúLôÓ G]lTÓm. ×s° P B]Õ ùRôÓúLôÓ AB YhPjûR ùRôÓm ×s° G]lTÓm.

O

x

130o

110o

Ox O x

52o

O

x

240o 33o

O

x

OA

C

B

O

A

B

O

A

B

O

A

B

P

www.kalvisolai.com

133

TPm 6.43-p OûY ûUVUôL EûPV YhPj§p TAT′ ùRôÓúLôPôÏm. A ùRôÓm ×s°VôÏm. úUÛm ùRôÓm ×s°ûVj R®W ùRôÓúLôh¥u ÁRûUkR Aû]jÕ ×s°LÞm YhPj§tÏ ùY°úV AUok§ÚlTRû]Ùm A±kÕ ùLôs[Xôm. BB]Õ ùRôÓúLôÓ TAT′-u ÁÕ HúRàm JÚ

×s° G²p, OB > OA GuTRû]Ùm A±kÕ ùLôs[Xôm. JÚ úLôh¥tÏ AkR úLôh¥u

TPm 6.43

ÁRûUVôR JÚ ×s°«−ÚkÕ AkR úLôh¥u ÁÕ AûUkÕs[ ×s°Lû[ úNojÕ úLôÓLs YûWúYôm. G²p AdúLôhÓj ÕiÓL°p ùNeÏjÕdúLôúP ªLf£±V

úLôÓ GuTRû] A±kÕsú[ôm. G]úY úLôhÓjÕiÓ OA⎯→

, ùRôÓúLôÓ TAT′-dÏ ùNeÏjÕd úLôPôÏm. úUÛm OA B]Õ YhPj§u ÁÕ A Gu\ ×s°«p AûUÙm BWm BÏm. CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 11: JÚ YhPj§tÏ HúRàm JÚ ×s°«p AûUÙm ùRôÓúLôPô]Õ ùRôÓ×s°«−ÚkÕ AkR YhPj§tÏ YûWVlThP BWj§tÏ ùNeÏjÕd úLôPôÏm. JÚ ×s°«−ÚkÕ JÚ úLôh¥tÏ HúRàm JÚ ×s°ý«p JúW JÚ ùNeÏjÕd úLôÓRôu YûWVØ¥Ùm GuTRû] A±kÕsú[ôm. úUÛm ùRôÓúLôPô]Õ ùRôÓ×s° Y¯úV YûWVlTÓm BWj§tÏ ùNeÏjRôÏm GuTR]ôp YhPj§u ÁÕs[ JÚ ×s°«p JúW JÚ ùRôÓúLôÓRôu AûUÙm GuTRû] A±VXôm. CRû] JÚ úRt\UôL áß¡uú\ôm.

úRt\m 12: YhPj§u ÁRûUkR JÚ ×s°«−ÚkÕ JúW JÚ ùRôÓúLôÓRôu YûWVØ¥Ùm.

YhPj§u ÁRûUkR JÚ ×s°«−ÚkÕ JúW JÚ ùRôÓúLôÓ YûWVXôm. YhPj§às AûUkR ×s°«−ÚkÕ ùRôÓúLôÓ YûWV Ø¥VôÕ. ×s° YhPj§tÏ ùY°úV CÚkRôp Al×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWVXôm GuTRû] A±kÕ ùLôs[Xôm. úRt\m 13: YhPj§tÏ ùY°úVÙs[ ×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ YûWVlTÓm ùRôÓúLôÓL°u ¿[eLs NUUôÏm. RWÜ : OûY ûUVUôL EûPV YhPj§p P B]Õ YhPj§tÏ ùY°úVÙs[ ×s°VôÏm. PT Utßm PT′ B]Õ P-p CÚkÕ YûWVlThP ùRôÓúLôÓL[ôÏm.

PAÜm PBÜm ùRôÓúLôhÓj ÕiÓL[ôÏm. (TPm 6.44). ¨ì©dL : PA = PB TPm 6.44 AûUl× : OP-ûVf úNodL. ¨ìTQm : ØdúLôQm OAP, OBP B¡VYtßs m ∠OAP = m∠OBP = 90o (ùRôÓ×s° Y¯úV YûWkR BWm ùRôÓúLôh¥tÏ ùNeÏjRôÏm). OP = OP (ùTôÕTdLm); OA = OB (BWeLs)

O

A

B

P

T

T’

O

A B

P

T’T

www.kalvisolai.com

134

Δ OAP ≡ ΔOBP (ùN.úLô-L-T); PA = PB (JjR TdLeLs). úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. Uôtß YhPjÕi¥p AûUkR úLôQeLs TAT′ ùRôÓúLôÓ, AB B]Õ YhPj§tÏ A-−ÚkÕ YûWVlThP Sôi (TPm 6.45-I LY²dLÜm). Sôi ABB]Õ ùRôÓúLôÓ TAT′ EPu ∠TAB, ∠T′AB B¡V úLôQeLû[ AûUjÕs[Õ. Sôi AB-u CÚ×\Øm YhPj§u ÁRûUkR ×s°Ls C, D G]d ùLôiPôp úLôQm ∠ADB B]Õ úLôQm ∠TAB-dÏ Uôtß

YhPjÕi¥Ûs[ úLôQUôÏm. ∠ACB B]Õ úLôQm TPm 6.45 ∠T′AB-dÏ Uôtß YhPjÕi¥Ûs[ úLôQUôÏm GuTRû] A±VXôm.

úRt\m 14: JÚ YhPj§p ùRôÓúLôh¥tÏm, ùRôÓ×s° Y¯úV YûWVlTÓm Sô¦tÏm CûPúVÙs[ úLôQm, Uôtß YhPjÕi¥Ûs[ úLôQj§tÏ NUm. RWÜ : TAT′ ùRôÓúLôÓ, AB ùRôÓ×s° A Y¯úV YûWVlThP Sôi ¨ì©dL : m ∠TAB = m∠ADB, m∠T′AB = m∠ACB (TPm 6.46). AûUl×: ®hPm AE YûWkÕ, BE-I úNodLÜm. ¨ìTQm: m∠T′AE = 90o ( OA ⊥AT′); m∠T′AE = m ∠T′AB + m∠BAE (úLôQj§u ©¬ÜLs)

∴ m∠T′AB +m∠BAE = 90o (1) m∠EBA = 90o (AûWYhPj§Ûs[ úLôQm) m∠AEB+m∠BAE = 90o (ABE ùNeúLôQ ØdúLôQm) (2) (1), (2)-−ÚkÕ m∠T′AB+m∠BAE = m∠AEB+m∠BAE

m∠T′AB = m∠AEB (ùTôÕ ∠BAE ¿dL) (3) m∠AEB =m∠ACB (JúW YhPjÕi¥Ûs[

úLôQeLs) (4) (3), (4)-−ÚkÕ m∠T′AB = m∠ACB

m∠TAB+m∠T′AB = 180o (TAT′ úLôÓ) (5) m∠ACB +m∠ADB = 180o (ABCD YhP SôtLWm) (6) (5), (6)-−ÚkÕ m∠TAB + m∠T′AB = m∠ACB +m∠ADB B]ôp m∠T′AB =m∠ACB (¨ì©dLlThPÕ) ∴m∠TAB =m∠ADB úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. ùRôhÓd ùLôsÞm YhPeLs: YhPeLs GqYôß AûU¡u\] GuTRû] A±kÕ ùLôsúYôm (TPeLû[ LY²dLÜm).

A

O

D

B

C

T T’

A

O

D

B

C

T T’

E

P

A

B

TPm 6.46

www.kalvisolai.com

135

TPm 6.47 TPm 6.48 TPm 6.49

TPm 6.50 TPm 6.51 TPm 6.52

TPm 6.47-p JqùYôÚ YhPØm ùY°úV AûUkÕs[Õ. YhPeLÞdÏ ùTôÕl×s° CpûX. TPm 6.48-p CWiÓ YhPeLs JußdùLôuß ùY°úV ùRôhÓd ùLôs¡u\]. CWiÓdÏm CûPúV ùTôÕl×s° P Es[Õ. TPm 6.49p CWiÓ YhPeLs CWiÓ ×s°L°p ùYh¥dùLôs¡u\]. A, B Gu\ CWiÓ ùTôÕl×s°Ls Es[Õ. TPm 6.50-p CWiÓ YhPeLs JußdùLôuß Esú[ ùRôhÓdùLôs¡u\]. CWiÓdÏm CûPúV ùTôÕ ×s° Q Es[Õ. TPm 6.51-p JÚ YhPm Utù\ôÚ YhPj§tÏ Esú[ Es[Õ. AûYLÞdÏ CûPúV ùTôÕl×s° CpûX. B]ôp AûYLs ùTôÕûUVj§û] ùTtßs[Õ. CkR YhPeLs ùTôÕûUV YhPeLs G]lTÓm. TPm 6.52-p JÚ YhPm Utù\ôÚ YhPj§às Es[Õ. CWi¥tÏm ùTôÕl×s° ¡ûPVôÕ. ùYqúYß ûUVeLû[d ùLôiPûYL[ôÏm.

TPm 6.53 TPm 6.54

úUúXÙs[ YhPeLs ùRôhÓdùLôsÞm YhPeL[ôÏm. ùTôÕYô] ×s° ùRôÓ×s° G]lTÓm. A, B YhPeL°u ûUVUôÏm. P ùRôÓ×s°VôÏm. TPT′ CWiÓ YhPeLÞdÏm ùTôÕYô] ùRôÓúLôÓ G²p TPm 6.53-p m∠APT = 90o (AP⊥PT); m∠BPT = 90o (BP ⊥ PT); m∠APT + m∠BPT = 180o ∴ APB JÚ úLôPôÏm.

TPm 6.54-p m∠APT = m∠BPT P-−ÚkÕ PT-dÏ JúW JÚ ùNeÏjÕd úLôÓRôu YûWV Ø¥Ùm GuTRôp PA-Üm, PB-Ùm JúW úLôh¥p AûUÙm. G]úY PAB JÚ úLôPôÏm. Cdát±û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 15 : CWiÓ YhPeLs Juû\ùVôuß ùRôhÓdùLôsÞm ùTôÝÕ

Q O OO’

PA B

T’

T

AB

T’

T

P

O

A

P7.8 cm

3cm

www.kalvisolai.com

136

YhPeL°u ûUVeLÞm ùRôÓ×s°Ùm JúW úLôh¥p AûUÙm. GÓjÕdLôhÓ 10: 3 ùN.Á. BWØs[ YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ 7.8 ùN.Á. ùRôûX®−ÚkÕ YhPj§tÏ YûWVlThP ùRôÓúLôh¥u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: O YhPj§u ûUVm P B]Õ YhPj§tÏ ùY°úVÙs[ ×s° OP = 7.8 ùN.Á. PA JÚ ùRôÓúLôÓ, OA BWm = 3 ùN.Á. OA ⊥ PA (ùRôÓúLôÓ ùRôÓ×s° Y¯úV YûWVlTÓm BWj§tÏ ùNeÏjÕ). ∴ ùNeúLôQ ØdúLôQm OAP-®p PA2 = OP2 – 32 = (7.8)2 – 32 = (7.8+3) (7.8–3) = (10.8) (4.8) = 51.84 ApXÕ PA = 84.51 = 7.2 ùN.Á. GÓjÕdLôhÓ 11: TPm 6.56-p AB YhPj§u ®hPm. ∠BAC = 42o G²p ∠ACD LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: ùLôÓdLlThP TPj§p m∠ACB = 90o (AûW YhPj§Ûs[ úLôQm) m∠ACB+ m∠BAC +m∠ABC = 180o (ØdúLôQj§u êuß úLôQeL°u áÓRp) m∠ABC = 180o – (m∠ACB + m∠BAC) = 180o – (90o+42o) = 48o

B]ôp m∠ACD = m∠ABC (ùRôÓúLôh¥tÏm SôÔdÏm CûPúVÙs[ úLôQm = Uôtß YhPjÕi¥Ûs[ úLôQm).

G]úY m∠ACD = 48o GÓjÕdLôhÓ 12: JÚ SôtLWj§u SôuÏ TdLeLÞm JÚ YhPjûR ùRôÓ¡\Õ G²p JÚ úNô¥ G§oTdLeL°u áÓRp, AÓjR úNô¥ G§oTdLeL°u áÓRÛdÏf NUm G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: PQRS Gu\ SôtLWm, OûY ûUVUôL EûPV YhPjûR A, B, C, D Guàm ×s°L°p ùRôÓYRôL ùLôsúYôm. ¨ì©dL: PQ+ RS = PS +QR (TPm 6.57) ¨ìTQm: PA = PD (ùY°l×s°«−ÚkÕ YûWVlThP ùRôÓúLôÓLs NUm) QA = QB (úUtá±V LôWQm); RC = RB ; SC = SD (úUtá±V LôWQm) áhP Sôm ùTßYÕ PA+ QA+ RC +SC = PD +SD +QB+RB ⇒ PQ + RS = PS + QR GÓjÕdLôhÓ 13 : A, B, CûV ûUVUôL EûPV YhPeLs ùY°jùRôÓûL ùLôiÓs[Õ. AB = 4 ùN.Á., BC = 6 ùN.Á., CA = 8 ùN.Á. G²p BWeL°u ¿[eLû[d LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: A,B,C-I ûUVUôL EûPV YhPeLs Juû\ùVôuß ùRôhÓdùLôs¡u\]. r1, r2, r3 YhPeL°u BWeLs G²p RWÜ: AB = r1+ r2 = 4; BC = r2 + r3 = 6; CA = r3 + r1 = 8 (TPm 6.58). áhP ¡ûPlTÕ 2r1+ 2r2 + 2r3 = 18; 2 ( r1 + r2 + r3) = 18; r1 + r2 + r3 = 9 r1 = (r1+r2+r3)– (r2+r3) = 9–6 = 3 r2 = (r1+r2+r3)– (r1+r3) = 9–8 = 1; r3 = (r1+r2+r3)– (r1+r2) = 9–4 = 5 ⇒ BWeLs Øû\úV 3 ùN.Á., 1 ùN.Á., 5 ùN.Á. GÓjÕdLôhÓ 14: TPm 6.59-p PA, PB, CD ùRôÓúLôÓL[ôÏm G²p

A

B

O

42oC

D

DS

C

RBQ

A

P

O

r3

r3

r2 r2

r1

r1

A

B

C

BD

C

QP

A

TPm 6.55

TPm 6.56

TPm 6.57

TPm 6.58

www.kalvisolai.com

137

PC + PD + CD = PA + PB G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: TPj§p YhPj§p ùRôÓúLôÓ CD-u ùRôÓ×s° Q BÏm. CA = CQ (ùY°l×s° C-−ÚkÕ YûWkR ùRôÓúLôÓLs NUm) (1) DB = DQ (ùY°l×s° D-−ÚkÕ YûWkR ùRôÓúLôÓLs NUm) (2) PA+PB = PC+CA+ PD+DB = PC+CQ+ PD+DQ ((1), (2)-−ÚkÕ) = PC +PD+CQ +DQ = PC+ PD+CD, ( CQ+DQ=CD)

GÓjÕdLôhÓ 15: ΔPQR-u ÑtßYhPm P-−ÚkÕ YhPj§tÏ YûWkR ùRôÓúLôÓ AB. AB⎥⎥ QR G²p ΔPQR CÚ NUTdL ØdúLôQm G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: RWÜ : ΔPQR-u ÑtßYhPm P-−ÚkÕ YhPj§tÏ YûWkR ùRôÓúLôÓ AB. AB⎥⎥ QR ¨ì©dL: Δ PQR CÚTdL ØdúLôQm (TPm 6.60) ¨ìTQm: AB ⎥⎥ QR (RWÜ). PQ ÏßdÏùYh¥ m∠APQ = ∠PQR (Juß®hP úLôQeLs) (1) AB ùRôÓúLôÓ PQ Sôi ∠APQ = ∠PRQ (ùRôÓúLôh¥tÏm SôÔdÏm CûPúV Es[ úLôQm = Uôtß çi¥Ûs[ úLôQm) (2) (1), (2)-−ÚkÕ Sôm ùTßYÕ ∠PQR = ∠PQR. ∠PQR-u A¥dúLôQeLs NUm. ∴PQ = PR ∴ G]úY PQR CÚNUTdL ØdúLôQm GÓjÕdLôhÓ 16: CûQLWj§u TdLeLs YhPjûR ùRôÓ¡\Õ G²p CûQLWm NônNÕWm G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: CûQLWm ABCD-«u Aû]jÕ TdLeLÞm O-ûY ûUVUôL EûPV YhPj§û] ùRôÓ¡u\].. ¨ì©dL: ABCD JÚ NônNÕWm (TPm 6.61) ¨ìTQm: ùY°l×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ YûWVlTÓm ùRôÓúLôÓLs NUm GuTR]ôp AP = AS; BP = BQ; CR = CQ; DR = DS áhP (AP+BP)+ (CR+DR) = (AS+DS) + (BQ+CQ) ⇒ AB + CD = AD + BC TPm 6.61

⇒ AB + AB = AD+AD ( ABCD CûQLWm ⇒ CD= AB, BC=AD)

⇒ 2AB = 2AD ⇒ AB= AD B]ôp AB= CD and AD = BC ( CûQLWj§u G§oTdLeLs NUm)

Ra

P BA

R

C

a

B

P

A

S

D

O Q

Q

TPm 6.59

TPm 6.60

www.kalvisolai.com

138

∴ AB = BC = CD = AD. ABCD JÚ NônNÕWm

T«t£ 6.4 1. 6 ùN.Á. BWØs[ YhPj§p ûUVj§−ÚkÕ 10 ùN.Á.

çWj§p Es[ ×s°«−ÚkÕ YûWkR ùRôÓúLôh¥u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm.

2. TPm 6.62-p OûY ûUVUôL EûPV YhPj§p APB ùRôÓúLôÓ G²p

(a) m∠POQ = 70o G²p m∠QPB, m∠QPA LiÓ©¥dLÜm. b) m∠QPB = 80o G²p m∠POQ LiÓ©¥dLÜm.

3. TPm 6.63-p TPT′ ùRôÓúLôÓ m∠PBA = 38o G²p m∠APT, m∠ACP LiÓ©¥dLÜm. 4. ®hPj§u Ø¥Ül×s°L°−ÚkÕ YûWVlTÓm ùRôÓúLôÓLs CûQVôÏm G]

¨ì©dLÜm. 5. ØdúLôQm ABC-p ×s°Ls D,E,F EsYhPjûR ùRôÓm ×s°Ls. BD =4 ùN.Á.,

CE = 7 ùN.Á., AF = 2 ùN.Á. ØdúLôQj§u Ñt\[ûYd LiÓ©¥dLÜm. 6. A,B,CûV ûUVUôL EûPV YhPeLs JußdùLôuß ùRôhÓd ùLôs¡u\]. AB = 8 ùN.Á., BC= 5 ùN.Á., AC= 7 ùN.Á. G²p YhPeL°u BWeLû[d

LiÓ©¥dLÜm. 7. CWiÓ YhPeLs ×s° A-p EsùRôÓûL ùTtßs[Õ.

úLôÓLs ABC-Ùm ADE-Ùm YhPeLû[ Øû\úV B,D Utßm C,E ×s°«p Nk§d¡u\] G²p CE || BD G] ¨ì©dLÜm.

8. ABCD YhP SôtLWm D-p PQ ùRôÓúLôPôÏm. AC ®hPm m∠CAD= 27o, m∠ACB = 63o G²p m∠BAC, m∠PDA LiÓ©¥dLÜm.

9. NU BWØs[ êuß YhPeLs Juû\ùVôuß ùRôhÓd ùLôs¡u\] G²p YhPeL°u ûUVeLû[ CûQlTRôp ¡ûPdÏm ØdúLôQm NUTdL ØdúLôQm G] ¨ì©dLÜm.

6.5 Y¥ùYôjR ØdúLôQeLs 9-Bm YÏl©p JúW Y¥Ym Es[ûYVôLÜm, JúW A[®û]d ùLôiPûYVôLÜm Es[ Y¥®Vp EÚYeLs NoYNU EÚYeLs GuTRû]d Lt\±k§ÚkúRôm. CkRl TôPlTÏ§«p JúW Y¥Ym Es[ûYVôL AûUkR JúW A[®û] ùTt±WôR Y¥®Vp EÚYeLû[ Lt\±úYôm. CjRûLV EÚYeLs Y¥ùYôjRûY G]lTÓm. CWiÓ NoYNU EÚYeLs Y¥ùYôjRûY B]ôp CRu UßRûX CWiÓ Y¥ùYôjRûY NoYNUm ApX GuTÕ ùR°Yô] JÚ átß BÏm. ¸rdLôÔm EÚYeLû[ Etß úSôdLÜm (i)

O

a

R

P

A

B

B A

C

PT T’

Q

Fig.6.62

Fig.6.63

www.kalvisolai.com

139

TPm 6.64. NUTdL ØdúLôQeLs (ii)

TPm 6.65. YhPeLs (iii)

TPm 6.66 NÕWeLs

(iv)

TPm 6.67 úLôhÓjÕiÓLs

CqÜÚYeL°p HúRàm CWiÓ NUTdL ØdúLôQeLs Y¥ùYôjRûY. HúRàm CWiÓ YhPeLs Y¥ùYôjRûY; HúRàm CWiÓ NÕWeLs Y¥ùYôjRûY HúRàm CWiÓ úLôhÓj ÕiÓLs Y¥ùYôjRûY GuTRû] A±kÕ ùLôiúPôm. ¨ZtTPjÕû\«p Uß¨ûXlT¥Ym (negative) ùLôiÓ GÓdLlTÓm TpúYß A[®Xô] ¨ZtTPeLÞm, §ûWlTPeLs TpúYß A[®Xô] §ûWL°p §ûW«PlTÓYÕm Sôm Au\ôP YôrdûL«p LôÔm Y¥ùYôjR EÚYeLÞdÏ GÓjÕdLôhÓL[ôÏm.

CWiÓ ØdúLôQeL°u Y¥ùYôjR RuûUûV ¸rdLiPYôß YûWVû\ ùNnúYôm. CWiÓ ØdúLôQeL°p Ju±u úLôQeLs, Ut\Ru JjR úLôQeLÞdÏ NUUôL CÚkÕ JjR TdLeL°u ®¡Rm NUm G²p AkR CWiÓ ØdúLôQeLÞm Y¥ùYôjRûY BÏm.

G]úY CWiÓ ØdúLôQeLs ABC, DEF B¡VY\kßs

TPm 6.68 TPm 6.69

m∠A = m∠D, m ∠B = m ∠E, m ∠C = m∠F Utßm AB BC CADE EF FD

= = , G]

AûUÙUô]ôp ØdúLôQm ABC-m, DEF-m Y¥ùYôjRûYVôÏm. CÕ

A

B C

D

FE

www.kalvisolai.com

140

ΔABC⎥⎥⎥ DEF G] GÝRlTÓm. (UôQYoLs ªLÜm LY]jÕPu GkR úNô¥ úLôQeLs NUm GuTRû]Ùm GkR úNô¥ TdLeL°u ®¡Rm NUUôL Es[Õ GuTRû]Ùm A±k§ÚjRp úYiÓm. G]úYRôu TPeLs 6.68, 6.69-p Δ ABC⎟⎟⎟ ΔEDF G]Üm ΔABC⎟⎟⎟ ΔFDE) G]Üm GÝÕRp áPôÕ). N¬NUÅR A[ûYl Tt±V (proportionately) £X A¥lTûP Ø¥ÜLs AP Gu\ úLôh¥û] YûWkÕ ùLôsúYôm. ×s° A-−ÚkÕ IkÕ NUUô] ÕiÓLû[ TPm 6.70-p LiPYôß GÓjÕd ùLôsúYôm. 2YÕ, 5-YÕ ×s°Lû[ Øû\úV B, C G] Ï±jÕd ùLôsúYôm. A-«u Y¯VôL AD Gu\ úLôh¥û]Ùm, B, C Y¯úV AD-dÏ CûQVô] úLôÓLs BE, CF B¡VYtû\ YûWkÕ ùLôsúYôm. ÏßdÏùYh¥ AQ YûWVÜm. AÕ BE, CF B¡V úLôÓLû[ ùYhÓm ×s°ûV Øû\úV G, H G] Ï±dLÜm.

G]úY AB 2BC 3

= (AûUl©uT¥) AG 2GH 3

= (NUUô] ùYhÓjÕiÓLs)

⇒ AB AGBC GH

= . TPjûR Etß úSôdÏûL«p ØdúLôQm ACH-p BG B]Õ CH-

dÏ CûQ GuTRû]Ùm AB AGBC GH

= GuTRû]Ùm A±kÕ ùLôiúPôm. CkR

LÚjûR ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm.

úRt\m 16 (N¬NUÅR A¥lTûP úRt\m): ØdúLôQj§p JÚ TdLj§tÏ CûQVôL YûWVlThP úLôÓ Hû]V CWiÓ TdLeLû[Ùm NU®¡Rj§p ©¬dÏm. úUÛm Sôm A±kÕ ùLôsYÕ (TPm 6.70) ØdúLôQm ACH-p BG⎥⎥ CH .

úUÛmAB AGBC GH

= . CWiÓ TdLØm 1-Id áhP

AB AG1 1BC GH

+ = + ApXÕAB BC AG GH

BC GH+ +

= ApXÕAC AHBC GH

=

CûRlúTôuú\ AB AGAC AH

= Gu\ Ø¥®û]Ùm A±kÕ ùLôs[Xôm.

úRt\m 16A : (úRt\m 16-u UßRûX) JÚ úLôÓ ØdúLôQj§u HRôYÕ CWiÓ TdLeLû[ NU®¡Rj§p ©¬dÏm G²p AÕ êu\ôYÕ TdLj§tÏ CûQúLôPôL AûUÙm.

A 1 2B

3 4 5C

P

G

HQ

FED

TPm 6.70

www.kalvisolai.com

141

RWÜ : ØdúLôQm ABC-p DE Gu\ úLôPô]Õ AD AEDB EC

= G] AûUÙUôß AB-ûV D-«Ûm

AC-ûV E-Ûm Nk§d¡\Õ. ¨ì©dL: DE⎥⎥ BC AûUl×: DE, BC-dÏ CûQVôL AûUV®pûXùV²p, DF-I BC-dÏ CûQVôL YûWVÜm. DF B]Õ AC-I Nk§dÏm ×s°ûV F G]d Ï±dLÜm.

¨ìTQm: AD AEDB EC

= (RWÜ) (1)

DF⎥⎥ BC (AûUl×)

∴AD AFDB FC

= (A¥lTûP N¬NUÅR úRt\m) (2)

(1), (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ AE AFEC FC

= ARôYÕ CWiÓ ×s°Ls E, FB]Õ AC-ûV N¬NUÅRj§p ©¬d¡\Õ. B]ôp JúW JÚ ×s°Rôu JÚ úLôhûP ùLôÓjÕs[ ®¡Rj§p ©¬dÏm. ∴ ×s°Ls E-Ùm, F-m Juú\ôùPôuß ùTôÚkÕm. B]ôp DF ⎢⎢ BC; ARôYÕ DE ⎢⎢BC. úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. úLô-úLô-úLô Y¥ùYôl×ûU

TPm 6.72 TPm 6.73 m∠A = m∠D, m∠B =m∠E, m∠C = m∠F Guß AûUkR úLôQeLû[ EûPV ØdúLôQeLs ABC , DEF B¡VYtû\ LY]j§p ùLôsúYôm. AP = DE, AQ = DF G] AûUÙUôß AûUkR ×s°Ls P, Q B¡VYtû\ Øû\úV AB-u ÁÕm AC-u ÁÕm GÓjÕd ùLôsúYôm. P, Q-ûY úNolúTôm. (TPm 6.72 LY²dLÜm).

ΔAPQ≡ Δ DEF (T-úLô-T)

m∠APQ= m∠DEF (JjR úLôQeLs) (1)

B]ôp m∠DEF = m∠ABC. (2)

(1), (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ m∠APQ = m ∠ABC

G]úY PQ ⎪⎪BC (JjR úLôQeLs NUm)

D

B C

EF

A

A

QP

B C

D

E F

TPm 6.71

www.kalvisolai.com

142

∴ PB QCAP AQ

= (A¥lTûP N¬NUÅR úRt\m)

CWiÓ TdLØm 1-Id áhPPB QC1 1AP AQ

+ = +

PB AP QC AQAP AQ+ +

=

AB ACAP AQ

=

AB ACDE DF

= (AP = DE, AQ= DF) (3)

CúR úTôuú\ Sôm AB BCDE EF

= G] A±VXôm. (4)

(3), (4)-−ÚkÕ AB BC ACDE EF DF

= = G] A±kÕùLôs[Ø¥Ùm.

CkRd LÚj§−ÚkÕ ¸rdLiP úRt\jûR áß¡uú\ôm.

úRt\m 17: CWiÓ ØdúLôQeL°p JjR úLôQeLs NUm G²p, JjR TdLeL°u ®¡Rm N¬NUÅRUôL CÚdÏm. T-T-T- Y¥ùYôlTûU

TPm 6.74 TPm 6.75 AB BC ACDE EF DF

= = Guß ®¡ReLs AûUÙUôß ØdúLôQeLs ABC, DEF

B¡VYtû\ LY]j§p ùLôsúYôm. AP = DE G]Üm AQ = DF G]Üm AûUÙUôß ×s°Ls P, Q B¡VYtû\ AB-u ÁÕm AC-u ÁÕm GÓjÕd ùLôsúYôm. PQ-ûYf úNodLÜm (TPeLs 6.74, 6.75 LY²dLÜm).

AB ACDE DF

= (RWÜ) ; AB ACAP AQ

= (AP = DE, AQ=DF AûUl©u T¥)

CWiÓ TdLØm 1-Id L¯dL ¡ûPlTÕ AB AP AC AQAP AQ− −

= ; PB QCAP AQ

=

A

QP

B C

D

E F

www.kalvisolai.com

143

G]úY PQ ⎟⎟ BC (A¥lTûP N¬NUÅR úRt\m) ∠APQ =∠ABC (JjR úLôQeLs NUm) ∠AQP=∠ACB (JjR úLôQeLs NUm) (1) (1)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ Δ APQ-®u Aû]jÕ úLôQeLÞm ΔABC-Cu JjR úLôQeLÞdÏ NUm. G]úY

∴ AB BCAP PQ

= (2)

AB BCDE EF

= (RWÜ)

ApXÕ AB BCAP EF

= (3)

(2), (3)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ BC BCPQ EF

= .

ARôYÕ PQ = EF G]úY ΔAPQ ≡ ΔDEF (T-T-T) G]úY ∠PAQ = ∠D, ∠APQ = ∠E, ∠AQF = ∠F. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ((1)-−ÚkÕ) CdLÚj§û] ¸rdLiP úRt\UôL áß¡uú\ôm. úRt\m 17A: (úRt\m 17-u UßRûX). ØdúLôQeL°u TdLeLs N¬NUÅRj§p AûUkRôp ØdúLôQeLs NUúLôQ ØdúLôQeL[ôÏm. T-úLô-T- Y¥ùYôlTûU

TPm 6.76 TPm 6.77

AB ACDE DF

= G]Üm ∠A = ∠D G] AûUÙUôß Es[ ØdúLôQeLû[ LY]j§p

ùLôsúYôm. AB-«u ÁÕ P Gu\ ×s°ûVÙm, AC-«u ÁÕ Q Gu\ ×s°ûVÙm AP = DE, AQ = DF G] AûUÙUôß GÓjÕd ùLôsúYôm. PQ-ûYf úNodLÜm. (TPm 6.76 LY²dLÜm). AP = DE Utßm AQ = DF (AûUl©uT¥).

AB ACAP AQ

= (A¥lTûP N¬NUÅRj úRt\m).

A

QP

B C

D

E F

www.kalvisolai.com

144

G]úY PQ || BC. ∠ABC = ∠APQ ∠ACB = ∠AQP (JjR úLôQeLs NUm). ΔABC ||| ΔAPQ (úLô-úLô-úLô). úUÛm m ΔAPQ ≡ ΔDEF (T-úLô-T). G]úY ΔABC ||| ΔDEF. CdLÚj§−ÚkÕ ¸rdLiP úRt\jûR áß¡uú\ôm. úRt\m 18: JÚ ØdúLôQj§u JÚ úLôQm, Utù\ôÚ ØdúLôQj§u JÚ úLôQj§tÏ NUUôL CÚkÕ AdúLôQjûR AûPdÏm TdLeLs N¬NUÅRj§p CÚkRôp AkR CWiÓ ØdúLôQeLÞm Y¥ùYôjRûY BÏm. TPm 6.78 TPm 6.79 ØdúLôQm ABC, DEF CWiÓ Y¥ùYôjR ØdúLôQeLs A, D Gu\ ×s°L°−ÚkÕ TdLm BC, EF B¡VûYLÞdÏ Øû\úV ùNeÏjÕ úLôÓLs AM, DN YûWVÜm. (TPm 6.78, TPm 6.79). ΔABC ||| ΔDEF (RWÜ)

∴ AB BC ACDE EF DF

= = (1)

ØdúLôQm ABM, DEN B¡VYtßs m∠ABM = m∠DEN ( ABC ||| ΔDEF) AûUl©uT¥ m∠AMB = m∠DNE = 90o m∠BAM = m∠EDN. ∴ ΔABM ||| ΔDEN.

G]úY AB AMDE DN

= . AM BCDN EF

= ((1)-−ÚkÕ) (2)

ΔABC-u TWlT[ÜΔDEF-u TWlT[Ü

=

12 × BC × AM

12 × EF × DN

= BCEF ×

BCEF =

BC2

EF2 ((2)-−ÚkÕ)

CB

A

M E N F

D

www.kalvisolai.com

145

CûRlúTôuú\ ΔABC-u TWlT[ÜΔDEF-u TWlT[Ü

= AC2

DF2 = AB2

DE2 G] LôQ®VÛm. CdLÚj§−ÚkÕ

¸rdLiP úRt\j§û] áß¡uú\ôm. úRt\m 19: Y¥ùYôjR ØdúLôQeL°u TWlT[ÜL°u ®¡Rm JjRTdLeL°u YodLeL°u ®¡Rj§tÏ NUm. úRt\m 20 (úLôQ CÚNUùYh¥ úRt\m): JÚ ØdúLôQj§p HRôYÕ JÚ úLôQj§u CÚNUùYh¥ AdúLôQj§u G§oTdLjûR, úLôQj§u JjR AÓjÕs[ TdLeL°u ®¡Rj§p ©¬dÏm. RWÜ : ØdúLôQm ABC-p, ADB]Õ ∠BAC-u CÚNUùYh¥

¨ì©dL : BD ABDC AC

=

AûUl×: C-u Y¯úV CE || DA G] YûWVÜm. AÕ BA-®u ¿h£ûV ùYhÓm ×s°ûV E G]d Ï±dLÜm. TPm 6.80 ¨ìTQm: DA || CE, BE ÏßdÏùYh¥ m∠BAD = m∠AEC (Juß®hP úLôQeLs) DA || CE, AC ÏßdÏùYh¥ m∠CAD = m∠ACE (Juß®hP úLôQeLs) B]ôp m∠BAD = m∠CAD (RWÜ) m∠AEC = m∠ACE ΔACE-u A¥dúLôQeLs NUm ∴ AC = AE ΔBCE-p, DA || CE

∴BD ABDC AE

= (A¥lTûP N¬NUÅR úRt\m). B]ôp AE = AC (¨ì©dLlThPÕ).

∴ BD ABDC AC

= úRt\m ¨ì©dLlThPÕ.

úRt\m 21: ùNeúLôQ ØdúLôQj§p ùNeúLôQj§u Øû]«−ÚkÕ LoQj§tÏ ùNeÏjÕ úLôÓ YûWkRôp ùNeÏjÕd úLôh¥u CÚ×\Øm AûUkR ØdúLôQeLs JußdùLôuß Y¥ùYôjRûY. úUÛm R²jR²úV ØÝûUVô] ØdúLôQj§tÏ Y¥ùYôjRûYVôÏm. RWÜ: ØdúLôQm ABC-Cp A ùNeúLôQUôÏm. ADBYÕ LoQm BCdÏ ùNeÏjRôÏm. ¨ì©dL: (i) ΔDBA ||| Δ ABC TPm 6.81 (ii) ΔDAC ||| Δ ABC (iii) ΔDBA ||| Δ DAC

A

E

CB D

CB

A

D

www.kalvisolai.com

146

¨ìTQm: ØdúLôQm DBA, ABC B¡VYtßs m∠ADB = m∠BAC = 90o m∠ABD = m∠ABC (ùTôÕdúLôQm). m∠BAD = m∠ACB. G]úY ØdúLôQeLs DBA, ABC NUúLôQ ØdúLôQeL[ôÏm. G]úY ΔDBA ||| ΔABC (1) ØdúLôQm DAC, ABC B¡VYtßs m∠ADC = m∠BAC = 90 m∠ACD = m∠ACB (ùTôÕd úLôQm) Á§ m∠DAC = m∠ABC. G]úY ØdúLôQeLs DAC, ABC NUúLôQ ØdúLôQeL[ôÏm. G]úY ΔDAC ||| ΔABC (2) Ø¥ÜLs (1), (2)-−ÚkÕ Sôm ΔDBA ||| ΔDAC G] A±kÕ ùLôs¡ú\ôm. úRt\m ¨ì©dLlThPÕ. úRt\m 22 (©RôLWv úRt\m): JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p LoQj§u ÁÕ YûWVlTÓm NÕWj§u TWlT[Ü Hû]V CWiÓ TdLeL°u ÁÕ YûWVlTÓm NÕWeL°u TWlT[ÜL°u áÓRÛdÏf NUm. RWÜ: ØdúLôQm ABC-p ∠A ùNeúLôQm ¨ì©dL: BC2 = AB2 + AC2 AûUl×: BC-dÏ ùNeÏjÕ AD YûWVÜm. TPm 6.82 ¨ìTQm: ΔABC Utßm ΔDBA B¡VYtßs m∠BAC = m∠ADB = 90o m∠ABC = m∠ABD (ùTôÕ úLôQeLs) Á§ m∠ACB = m∠BAD ΔABC ||| ΔDBA (úLô-úLô-úLô Y¥ùYôl×ûU).

∴ JjR TdLeL°u ®¡Rm NUmBC ABAB BD

=

AB2 = BC. BD (1) ΔABC Utßm ΔDCA B¡VYtßs m∠BAC = m∠ADC = 90o

m∠ACB = m∠ACD (ùTôÕ úLôQeLs) Á§ m∠ABC = m∠DAC

ΔABC ||| ΔDCA (úLô-úLô-úLô Y¥ùYôl×ûU).

JjR TdLeL°u ®¡Rm NUmBC ACAC CD

=

AC2 = BC. CD (2) (1)IÙm (2)IÙm áhP AB2 + AC2 = BC.BD + BC. CD = BC (BD + CD) = BC.BC = BC2

úRt\m ¨ì©dLlThPÕ.

CB

A

D

www.kalvisolai.com

147

TPm 6.83 TPm 6.84

c2 = a2 + b2, BC = a, AC = b, AB = c Gu\ AûUl©p Es[ ØdúLôQm ABC-I LY]j§p ùLôsúYôm. QR = a, PR = b Utßm ∠PRQ = 90o CÚdÏUôß ØdúLôQm PQR YûWúYôm. PQ = r G²p ØdúLôQm PQR-p (TPm 6.84). m∠PRQ = 90o (AûUl©uT¥). úUÛm r2 = a2 + b2 (©RôLWv úRt\j§uT¥) (1) B]ôp c2 = a2 + b2 (RWÜ) (2) (1), (2)-−ÚkÕ, Sôm A±YÕ r2 = c2 ARôYÕ r = c. (3) ØdúLôQm ABC, PQR B¡VYtßs BC = a = QR (AûUl©uT¥). AC = b = PR (AûUl©uT¥). AB = c = PQ (3-u T¥). ∴ ΔABC ||| ΔPQR (T-T-T-Y¥ùYôl×ûU). BLúY m∠ACB = m∠PRQ = 90o. CdLÚj§−ÚkÕ ¸rdLiP úRt\j§û] áß¡uú\ôm. úRt\m 23: (©RôLWv úRt\j§u UßRûX): JÚ ØdúLôQj§p JÚ TdLj§u ÁÕ AûUÙm NÕWj§u TWlT[Ü Hû]V CWiÓ TdLeL°u ÁÕ AûUÙm NÕWeL°u TWlT[ÜL°u áÓRÛdÏ NUm G²p ØRp TdLj§tÏ G§úWÙs[ úLôQm ùNeúLôQUôÏm. YhPj§u CWiÓ SôiLs ùYh¥dùLôsÞRp AB Gu\ úLôhÓjÕi¥û] LY]j§p ùLôsúYôm P Gu\ ×s°ûV AB-u ÁÕ GÓjÕd ùLôsúYôm. PA, PB-u ùTÚdLtTXu PA, PB-ûV TdLeL[ôLd ùLôiP ùNqYLj§u TWlT[ûYd Ï±dÏm. YhPj§Ûs[ SôiLs AB-Ùm, CD-Ùm LY]j§p ùLôsúYôm. SôiLs YhPj§tÏ Esú[úVô, ApXÕ ùY°«úXô P Gu\ ×s°«p ùYh¥d ùLôsYRôL LÚÕúYôm.

ØdúLôQm DAP, BCP B¡VYtßs (TPm 6.86-I LY²dLÜm). m∠PAD = m∠PCB (JúW YhPjÕi¥Ûs[ úLôQeLs) m∠ADP = m∠CBP (JúW YhPjÕi¥Ûs[ úLôQeLs). m∠APD = m∠CPB (ÏjùRR¬o úLôQeLs). ΔDAP ||| Δ BCP.

PA PD=PC PB

; ARôYÕ PA. PB = PC. PD.

A P BTPm 6.85

A B

a

C

b

c P Q

a

R

b

DO

CP

B

A

TPm 6.86

www.kalvisolai.com

148

ØdúLôQm ACP, BDP (TPm 6.87I LY²dLÜm). m∠P = m∠P (ùTôÕdúLôQm); m∠PAC = m∠PDB (YhPSôtLWm ùY°úLôQm= the Esù[§o úLôQm). m∠PCA = m∠PBD (AúR LôWQm) ⇒ ΔACP ||| ΔBDP TPm 6.87

⇒ PA PC=PD PB

ARôYÕ PA. PB = PC.PD CdLÚj§−ÚkÕ ¸rdLiP úRt\jûRd áß¡uú\ôm. úRt\m 24: YhPj§às CWiÓ SôiLs Esú[úVô ApXÕ ùY°úVúVô ùYh¥dùLôiPôp JÚ Sô¦u ÕiÓL[ôp AûPTÓm ùNqYLj§u TWlT[Ü Utù\ôÚ Sô¦u ÕiÓL[ôp AûPTÓm ùNqYLj§u TWlT[®tÏ NUm. GÓjÕdLôhÓ 17: ØdúLôQm ABC-p, DE || BC AD = 6, DB = 10, AE = 3. AC-I LôiL.

¾oÜ: AD AE=DB EC

(DE || BC)

6 3= ; 6x 3010 x

=

30x = 56

= ; AC = x + 3 = 5 + 3 = 8

GÓjÕdLôhÓ 18: ØdúLôQm PQR; PA = 5, AQ = 10, PB = 4, BR = 6 G²p AB ⎪ QR G] N¬TôodLÜm.

¾oÜ: PA 5 1=AQ 10 2

=

PB 4 2=BR 6 3

= . G]úY 1 2 PA PB,2 3 AQ BR≠ ∴ ≠

G]úY AB ⎪ QR ( A¥lTûP N¬NUÅR úRt\j§u UßRûX«uT¥)

GÓjÕdLôhÓ 19: SôiLs AB-Ùm CD-Ùm YhPj§às Esú[ P-«p ùYh¥d ùLôs¡u\]. AB = 11, AP = 3, CP = 6. CD-ûVd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AB = 11, AP = 3, CP = 6 ùLôÓdLlThÓs[Õ. G]úY PB = 11 – 3 = 8. AP × PB = CP × PD, 3 × 8 = 6 × PD G] A±kÕsú[ôm.

3 8PD 46×

= = ; CD = PC + PD = 6 + 4 = 10

GÓjÕdLôhÓ 20: SôiLs AB-Ùm CD-Ùm YhPj§tÏ ùY°úV P-«p ùYh¥d ùLôs¡u\]. PC = 15 CD = 7 PA = 12 AB-Id LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: PC = 15, CD = 7, PA = 12 ùLôÓdLlThÓs[Õ. PD = PC - CD = 15 – 7 = 8. PA. PB = PC. PD G] A±kÕsú[ôm. 12 × PB = 15 × 8

PB

DC

A

B C

xE

3

A

6

D10

Q R

B

P

A

PD

BC

A

B

DP

A

C

TPm 6.87

TPm 6.88

TPm 6.89

TPm 6.90

TPm 6.91

www.kalvisolai.com

149

4 2

CB

A D

a

a

15 8PB 1012×

= = ; AB = PA – PB = 12 – 10 = 2.

GÓjÕdLôhÓ 21: 17 Á. ¿[Øs[ H¦ Åh¥u Nu]ûX 15 Á. EVWj§p ùRôÓ¡\Õ G²p H¦«u A¥lTôLj§tÏm Åh¥tÏm CûPúVÙs[ çWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AC = H¦ = 17 Á. AB = H¦«u Ef£ ùRôÓm EVWm = 15 Á ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-p AC2 = AB2 + BC2; BC2 = AC2 – AB2 = 172 - 152 = (17 + 15) (17 – 15) = 32 × 2 = 64 ; BC = 64 = 8 Á H¦«u A¥dÏm Åh¥tÏm CûPúVÙs[ çWm= 8 Á.

GÓjÕdLôhÓ 22: NÕWj§u êûX®hPj§u ¿[m 4 2 Á G²p NÕWj§u TdLj§u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm. NÕWj§u TdLm a G]d ùLôs[Üm.

AC = 4 2 G] ùLôÓdLlThÓs[Õ. ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-p

AB2 + BC2 = AC2; a2 + a2 = ( 4 2 )2; 2a2 = 16 × 2

a2 = 16 22× = 16; a = 16 = 4. NÕWj§u TdLm 4 Á. BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 23: ØdúLôQm ABC-p AB = AC. TdLm AC-Cu ÁÕs[ ×s° D B]Õ

BC2 = AC. CD Gu\Yôß AûUkÕs[Õ G²p BD = BC G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: RWÜ : ØdúLôQm ABC-p AB = AC. ×s° D B]Õ AC-Cu ÁÕ BC2 = AC . CD Gu\Yôß AûUkÕs[Õ. ¨ì©dL: BD = BC. ¨ìTQm: BC2 = AC. CD (RWÜ)

AC BCBC CD

= (1)

ØdúLôQm ABC, DBC B¡VYtßs ∠C ùTôÕ úLôQm ∠CûV Es[Pd¡V TdLeL°u ®¡Rm NUm. (1)-u T¥ ∴ ΔABC ||| ΔDBC (T-úLô-T Y¥ùYôl×ûU).

G]úY AC ABBC BD

= ; AB ABBC BD

= (RWÜ AB = AC).

ARôYÕ 1 1

BC BD= ; ARôYÕ BC = BD.

A

15m 17m

B C

A

C

D

B

TPm 6.92

TPm 6.93

TPm 6.94

www.kalvisolai.com

150

GÓjÕdLôhÓ 24: CWiÓ Y¥ùYôjR ØdúLôQeL°p ûUVdúLôÓL°u ®¡Rm JjR TdLeL°u N¬NUÅRj§p CÚdÏm G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: ΔABC ||| Δ DEF ØdúLôQm ABC-p, APB]Õ A-p YûWkR ûUVdúLôPôÏm. ØdúLôQm DEF-p, DQ B]Õ D-p YûWkR ûUVdúLôPôÏm.

¨ì©dL: AP ABDQ DE

=

¨ìTQm: ΔABC ||| ΔDEF; AB BC ACDE EF DF

= = (JjR TdLeL°u ®¡Rm N¬NUm).

ABDE =

2BP2EQ ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤P B]Õ BC-«u ûUVl×s°

QB]Õ EF-«u ûUVl×s° ⇒ AB BPDE EQ

=

ΔABP, ΔDEQ B¡VYtßs ∠B = ∠E (Y¥ùYôjR ØdúLôQeL°u JjRúLôQeLs). AB BPDE EQ

= (¨ì©dLlThPÕ);

∴ ΔABP ||| ΔDEQ (T-úLô-T Y¥ùYôl×ûU). AB BP APDE EQ DQ

= = . G]úY AB APDE DQ

= .

GÓjÕdLôhÓ 25: NUTdL ØdúLôQm PQR-p PA B]Õ P-«−ÚkÕ QR-dÏ YûWkR ùNeÏjÕ G²p PA2 = 3QA2 G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: RWÜ: PQR NUTdL ØdúLôQm PA ⊥ QR. ¨ì©dL: PA2 = 3QA2 ¨ìTQm: NUTdL ØdúLôQm PQR-p PA ⊥ QR GuTR]ôp PA B]Õ ûUVdúLôPôÏm. ∴A B]Õ, QR-u ûUVl×s°VôÏm. ARôYÕ QA = RA = QR/2 G]úY QR = 2QA (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm PQA-®p PQ2 = PA2 + QA2; PA2 = PQ2 – QA2 = QR2 – QA2 (PQR NUTdL ØdúLôQm GuTR]ôp PQ = QR) = (2QA)2 – QA2

((1)-u T¥)

= 4QA2 – QA2 = 3QA2 GÓjÕdLôhÓ 26: SôtLWm ABCD-p ∠B = 90o. If AD2 = AB2 + BC2 + CD2 G²p ∠ACD = 90o G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: SôtLWm ABCD-p m∠B = 90o. AD2 = AB2 + BC2 + CD2. ¨ì©dL: m∠ACD = 90o AûUl×: AC-If úNodL ¨ìTQm: ØdúLôQm ABC-p (AûUl©uT¥). AC2 = AB2 + BC2 (©RôLWv úRt\m) (1) B]ôp AD2 = AB2 + BC2 + CD2 (RWÜ)

CB

A

P E Q F

D

RQ

P

A

AD

CB

TPm 6.95 TPm 6.96

TPm 6.97

TPm 6.98

www.kalvisolai.com

151

AD2 = AC2 + CD2 ((1)-uT¥) ©RôLWv úRt\m UßRûX«uT¥ ΔADC-p TdLm AD-«u G§oúLôQm 90o ARôYÕ m∠ACD = 90o GÓjÕdLôhÓ 27: ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-p ∠C = 90°, P, Q ×s°Ls Øû\úV TdLm CA, CB-u ÁÕ AûUkR ×s°Ls G²p AQ2 + BP2 = AB2 + PQ2 G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: RWÜ: ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-p ∠C = 90°. P, Q ×s°Ls Øû\úV TdLm CA, CB-u ÁÕ AûUkR ×s°Ls. ¨ì©dL: AQ2 + BP2 = AB2 + PQ2

¨ìTQm: ùNeúLôQ ØdúLôQm AQC-p AQ2 = AC2 + QC2 (©RôLWv úRt\j§uT¥) (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm BPC-p BP2 = BC2 + PC2 (©RôLWv úRt\j§uT¥) (2) (1) + (2) áhP AQ2 + BP2 = AC2 + QC2 + BC2 + PC2 (3) B]ôp ùNeúLôQ ØdúLôQm PQC-Cp PQ2 = PC2 + QC2 (©RôLWv úRt\lT¥) (4) ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp; AB2 = AC2 + BC2 (©RôLWv úRt\lT¥) (5) (4)-IÙm, (5)-Ùm (3)-p ©W§«P Sôm A±YÕ AQ2 + BP2 = AC2 + BC2 + QC2 + PC2 = AB2 + PQ2 GÓjÕdLôhÓ 28: TPj§p DEFG JÚ NÕWm m∠C = 90o G²p

(i) ΔADG ||| ΔGCF (ii) ΔADG ||| ΔFEB (iii) AD FEDG EB

= (iv) DE2 = AD × EB.

G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: ∠C = 90° ùLôiP ØdúLôQm ACB-p Es[Pe¡V NÕWm DEFG BÏm.

¨ìTQm: (i) DE || GF ( NÕWj§u G§oTdLeLs). ⇒AB || GF Utßm AC ÏßdÏùYh¥ ∴ m∠DAG = m∠FGC ( JjR úLôQeLs NUm). úUÛm m∠GDE + m∠GDA = 180o (úSodúLôQm). B]ôp m∠GDE = 90o ( NÕWj§u úLôQm). ∴ 90o + m∠GDA = 180o; m∠GDA = 90o ØdúLôQm ADG, GCF B¡VYtßs

m∠DAG = m∠FGC (¨ì©dLlThPÕ); m∠GDA = m∠GCB (each is 90o). ∴ úLô-úLô-úLô Y¥ùYôl×ûU«uT¥, ΔADG ||| GCF. (ii) CûRlúTôuú\ ΔFEB ||| ΔGCF G] A±VXôm. ØdúLôQm ADG-Ùm, ΔFEB-Ùm ΔGCF-dÏ Y¥ùYôjRûY GuTRôp. ΔADG ||| ΔFEB.

A

P

CQ

B

BEDA

G

C

F

TPm 6.99

TPm 6.100

www.kalvisolai.com

152

(iii) ΔADG ||| ΔFEB GuTR]ôp

AD DG AD FEFE EB DG EB

⇒ = ⇒ =

(iv) ΔADG ||| ΔFEB GuTR]ôp

⇒ ADFE =

DGEB ⇒

ADDE =

DEEB ( FE = DG = DE NÕWj§u G§oTdLeLs).

∴ DE2 = AD × EB

GÓjÕdLôhÓ 29: ∠C = 90° ùLôiP ABC Gu\ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p p B]Õ C-−ÚkÕ AB-dÏ YûWkR ùNeÏjÕ úLôh¥u ¿[m G²p AB = c, BC = a, CA = b

G²p (i) pc = ab G]Üm (ii) 2 2 2

1 1 1p a b

= + G]Üm ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: (i) ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-p, AB2 = AC2 + CB2 c2 = b2 + a2 (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm ADC, ACB B¡VYtßs m∠A = m∠A m∠ADC = m∠ACB = 90o ∴ G]úY úLô-úLô-úLô- Y¥ùYôl×ûU«uT¥

ΔADC ||| ΔACB DC AC p b pc abCB AB a c

⇒ = ⇒ = ⇒ =

(ii) (i)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ 2

2 2 2

ab 1 c 1 cpc p ab p a b

= ⇒ = ⇒ =

= b2 + a2

a2b2 ( 1-Il TVuTÓjR)

2 2

2 2 2 2

b aa b a b

= +

2 2 2

1 1 1p a b

= +

GÓjÕdLôhÓ 30: NônNÕWj§u TdLj§u YodLj§u 4 UPeÏ êûX®hPeL°u YodLeL°u áÓRÛdÏ NUm G] ¨ì©dLÜm.

¾oÜ: RWÜ : NônNÕWm ABCD-p AC-Ùm, BD-Ùm êûX®hPeLs. ¨ì©dL: 4AB2 = AC2 + BD2 ¨ìTQm: NônNÕWj§p êûX®hPeLs JußdùLôuß ùNeÏjRô] CÚNUùYh¥Ls GuTRôp ∴ OA = OC = ½ AC; OB = OD = ½ BD m∠AOB = m∠BOC = m∠COD = m∠DOA = 90o ùNeúLôQ ØdúLôQm AOB-p AB2 = OA2 + OB2 (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm BOC-p BC2 = OB2 + OC2 (2)

C B

A

a

pb

c

B

D C

A

0

D

TPm 6.101

TPm 6.102

www.kalvisolai.com

153

ùNeúLôQ ØdúLôQm COD-p CD2 = OC2 + OD2 (3) ùNeúLôQ ØdúLôQm DOA-p

DA2 = OD2 + OA2 (4) (1), (2), (3), (4)-Id áhP

AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2OA2 + 2OB2 + 2OC2 + 2OD2 = 2OA2 + 2OB2 + 2OA2 + 2OB2 (QOC = OA; OD = OB) = 4OA2 + 4OB2 = (2OA)2 + (2OB)2

AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 ( OA = ½ AC ; OB = ½ BD) NônNÕWj§p Aû]jÕ TdLeLÞm NUm GuTRôp ARôYÕ AB = BC = CD = DA. 4AB2 = AC2 + BD2. GÓjÕdLôhÓ 31: AB Gu\ úLôhÓj Õi¥u ûUVl×s° M. AM, BM B¡VYtû\ ®hPeL[ôLd ùLôiÓ JúW TdLj§p AûWYhPeLs YûWVlTÓ¡u\]. O-ûY ûUVUôLÜm r AXÏ BWUôLÜm ùLôiÓ YûWkR YhPm GpXô AûWYhPeLû[Ùm

ùRôÓ¡u\] G²p r = 16

AB.

¾oÜ: RWÜ: AM, MB B¡VYtû\ ®hPeL[ôLd ùLôiÓ JúW TdLj§p AûWYhPeLs YûWVlTÓ¡u\]. OûY ûUVUôLÜm r AXÏ BWUôLÜm ùLôiÓ YûWkR YhPm TPj§p Es[Yôß AûWYhPeLû[ ùRôÓûL ùLôiÓs[Õ. ¨ì©dL : r = AB/6. ¨ìTQm: L, N Øû\úV AM, MB-«u ûUVl×s°Ls, YhPm (O, r) L,M,N B¡VYtû\ ûUVeL[ôLd ùLôiP AûWYhPeLû[ Øû\úV P,R,Q Gu\ ×s°«p ùRôÓ¡\Õ. ×s°Ls O, P, L; O, Q, N ; R, O, M B¡VûY JÚ úLôhÓl×s°Ls. AB = x G²p, OL = OP + PL = r + LM = r + x/4 ; ON = r + x/4. ∴ ØdúLôQm OLN CÚNUTdL ØdúLôQm; M B]Õ A¥lTdLm LN-u ûUVl×s°. ∴ OM ⊥ LN. ùNeúLôQ ØdúLôQm OML-p

OL2 = OM2 + LM2 2 2

2x xr (RM OR)4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 2

2 rx x x xr r2 16 2 16

⎛ ⎞⇒ + + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2

2 2rx x x xr rx r2 16 4 16

⇒ + + = − + +

P

MLA N B

Q

O

R

r

r

r

TPm 6.103

www.kalvisolai.com

154

2 2rx x 3 xrx rx

2 4 2 4⇒ = − ⇒ =

⇒ 32 r =

x4 ( x ≠ 0)

∴ x 2 1 1r x r AB4 3 6 6

= × = ∴ =

GÓjÕdLôhÓ 32: ΔABC-«u Esú[ AûUkR ×s° O-®−ÚkÕ TdLeLs BC, CA, AB B¡VYtßdÏ ùNeÏjÕd úLôÓLs Øû\úV OD, OE, OF YûWVlTÓ¡u\Õ G²p ¸rdLiPYtû\ ¨ì©dLÜm.

(i) AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 (ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + BF2 + CD2

¾oÜ:

RWÜ: ΔABC-«u Esú[ AûUkR ×s° O-®−ÚkÕ TdLeLs BC, CA, AB B¡VYtßdÏ ùNeÏjÕd úLôÓLs Øû\úV OD, OE, OF YûWVlThÓs[Õ.

¨ì©dL : (i) AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF (ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + BF2 + CD2 AûUl×: OA, OB, OC B¡VYtû\ CûQdLÜm. ¨ìTQm: i) ùNeúLôQ ØdúLôQm OAF-p, AF2 + OF2 = OA2 ùNeúLôQ ØdúLôQm OBD-p, BD2 + OD2 = OB2 ùNeúLôQ ØdúLôQm OCE-p, CE2 + OE2 = OC2 (1) áhP Sôm A±YÕ AF2 + BD2 + CE2 + OF2 + OD2 + OE2 = OA2 + OB2 + OC2

∴ AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 - OF2 – OD2 – OE2 ii) ùNeúLôQ ØdúLôQm OBD-p, OD2 + BD2 = OB2, ùNeúLôQ ØdúLôQm OCD-p, OD2 + CD2 = OC2 L¯dL Sôm A±YÕ BD2 – CD2 = OB2 – OC2 (1) CûRlúTôuú\ ùNeúLôQ ØdúLôQm OCE, OAE LY]j§p ùLôs[ A±YÕ CE2 – AE2 = OC2 – OA2 (2) ùNeúLôQ ØdúLôQm OAF, OBF LY]j§p ùLôs[ A±YÕ AF2 – BF2 = OA2 – OB2 (3) (1), (2), (3) áhP BD2 + CE2 + AF2 – CD2 – AE2 – BF2 = 0 ∴ AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + BF2 + CD2.

O

A

B D C

FE

TPm 6.104

www.kalvisolai.com

155

GÓjÕdLôhÓ 33: JÚ ùNeÏjRô] 15 ùN.Á. ¿[Øs[Lm©u ¨Z−u ¿[m RûW«p 10 ùN.Á. G²p AúR CPj§p JÚ ùLô¥LmTm 60 ùN.Á. ¿[Øs[ ¨ZûX EÚYôdÏ¡\Õ G²p ùLô¥dLmTj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AB = Lm©u ¿[m = 15 ùN.Á. BC = Lm©u ¨Zp = 10 ùN.Á. PQ = ùLô¥dLmTm RQ = ùLô¥dLmTj§u ¨Zp = 60 ùN.Á. ØdúLôQm ABC, PQR B¡VYtßs m∠ABC = m∠PQR = 90o m∠BCA = m∠QRP (NUUô] Ht\dúLôQm) ∴ ΔABC ||| ΔPQR (úLô-úLô-úLô- Y¥ùYôl×ûU).

AB PQ 15 PQBC QR 10 60

⇒ = ⇒ =

∴ PQ = 1510 × 60 = 90 ùN.Á

∴ ùLô¥dLmTj§u EVWm = 90 ùN.Á. GÓjÕdLôhÓ 34: 6 Á, 11 Á. EVWØs[ CWiÓ LmTeLs JußdùLôuß CûPúV 12Á. ùRôûX®p Es[Õ. G²p AûYL°u Ef£L°u CûPúV Es[ çWjûR LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AB = 11Á, CD = 6 Á EVWØs[ CÚ LmTeLs BD = CWiÓ LmTeLÞdÏ CûPúVÙs[ çWm = 12 Á; AC-ûV LiÓ©¥jRp úYiÓm. CE ⊥ AB YûWVÜm. CE = DB = 12 Á AE = AB – BE = AB – CD = 11 – 6 = 5 Á ùNeúLôQ ØdúLôQm AEC-p ©RôLWv úRt\lT¥ AC2 = CE2 + AE2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ∴ AC = 169 = 13 Á. GÓjÕdLôhÓ 35: ABCD Gu\ ùNqYLj§u Esú[ AûUkR ×s° O-®−ÚkÕ ùNqYLj§u Øû]Ls A, B, C, D úNodLlThÓs[Õ G²p OB2 + OD2 = OC2 + OA2 G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: ×s° O ùNqYLm ABCD-u Esú[ AûUkÕs[Õ. O-®−ÚkÕ AB-dÏ YûWkR CûQúLôÓ AD, BC-ûV Nk§dÏm

×s°ûV Øû\úV E, F G]d Ï±dLÜm. ùNqYLm ABFE-p G§olTdLeLs NUm.

15 cm

10 cm BC

A

P

R Q

SUN

60 cm

O F

C

BA

E

D

12m

6m 6m

12mC

A

BD

5m

11mE

TPm 6.105

TPm 6.106

TPm 6.107

www.kalvisolai.com

156

∴ AE = BF. CqYôú\ ùNqYLm EFCD-p ED = FC. ùNeúLôQ ØdúLôQm OFB-p OB2 = OF2 + BF2 (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm OED-p OD2 = OE2 + ED2 (2) (1)Ùm, (2)-Ùm áhPOB2 + OD2 = OF2 + BF2 + OE2 + ED2 (3) ùNeúLôQ ØdúLôQm OFC-p OC2 = OF2 + FC2 ApXÕ OC2 = OF2 + ED2 ( FC = ED) (4) ùNeúLôQ ØdúLôQm OEA-p OA2 = OE2 + AE2 ApXÕ OA2 = OE2 + BF2 ( AE = BF) (5) (4)-Ùm (5)-Ùm áhP OC2 + OA2 = OF2 + ED2 + OE2 + BF2 (6) (3), (6)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ OB2 + OD2 = OC2 + OA2. GÓjÕdLôhÓ 36: ØdúLôQm ABC-p TdLeLs BC, CA, AB B¡VYt±u ûUVl×s°Ls Øû\úV D, E, F G²p ΔABC = 4ΔDEF (TWlT[®p) G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ : ØdúLôQm ABC-p TdLeLs BC, CA, AB B¡VYt±u ûUVl×s°Ls Øû\úV D, E, F. DE, EF, FD B¡V TdLeLû[ CûQjÕ ¡ûPdÏm ØdúLôQm DEF BÏm. ¨ì©dL : ΔABC = 4ΔDEF (TWlT[ÜL°p). ¨ìTQm: D, E Øû\úV BC, CA-®u ûUVl×s°Ls GuTRôp

1DE AB2

⇒ = (ØdúLôQj§p HúRàm CWiÓ TdLeL°u ûUVl×s°Lû[

CûQdÏm úLôÓ êu\ôYÕ TdLj§tÏ CûQVôÏm. úUÛm A[®p Tô§VôÏm). CûRlúTôuú\ EF = ½ BC, úUÛm FD = ½ CA.

∴ DE EF FD 1AB BC CA 2

= = = DEF ||| ABC⇒ Δ Δ

∴ ΔABC-u TWlT[Ü ΔDEF-u TWlT[Ü

= AB2

DE2 = ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞AB

DE2 = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞2

12 ; ∴

ΔABC-u TWlT[Ü ΔDEF-u TWlT[Ü

= 4

ΔABC-u TWlT[Ü = 4 ΔDEF-u TWlT[Ü GÓjÕdLôhÓ 37: N¬YLj§u êûX®hPeLs JußdùLôuß N¬NU ÅRj§p ùYhÓm G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: ABCD Guàm N¬YLj§p AB || DC êûX®hPeLs AC-Ùm BD-Ùm O-®p ùYh¥dùLôs¡u\].

¨ì©dL: AO BOOC OD

=

AûUl×: O-®−ÚkÕ AB, CD-dÏ CûQúLôÓ YûWVÜm. CÕ BC-ûV Nk§dÏm ×s°ûV E G]d Ï±dLÜm. ¨ìTQm: ØdúLôQm CAB-p, OE || AB

B

F E

CD

A

B

O

A

D C

E

TPm 6.108

TPm 6.109

www.kalvisolai.com

157

∴ A¥lTûP N¬NUÅRj úRt\j§uT¥ Sôm A±YÕ AO BEOC EC

= (1)

ØdúLôQm BCD-p; OE || DC

∴ A¥lTûP N¬NU ÅRj úRt\j§uT¥ Sôm A±YÕ BO BEOD EC

= (2)

(1) , (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ AO BOOC OD

=

GÓjÕdLôhÓ 38: ΔABC-u ûUVdúLôÓ AD. m∠ADB, m∠ADC B¡V úLôQeL°u CÚ NUùYh¥Ls TdLeLs AB, AC B¡VYtû\ Øû\úV E, F-p Nk§d¡u\] G²p EF || BC G] ¨ì©dLÜm. ¾oÜ: RWÜ: ΔABC-u ûUVdúLôÓ AD, m∠ADB, m∠ADC B¡V úLôQeL°u CÚNUùYh¥Ls TdLeLs AB, AC B¡VYtû\ Øû\úV E, F-p Øû\úV Nk§d¡u\]. ¨ì©dL: EF || BC ¨ìTQm: ΔADB-p, DE B]Õ ∠ADB-u CÚNUùYh¥ ∴ úLôQeL°u CÚNUùYh¥ úRt\j§uT¥ AE ADEB DB

= (1)

ΔADC-p, DF B]Õ m∠ADC-u CÚNUùYh¥

∴ úLôQj§u CÚNUùYh¥ úRt\j§uT¥ AF ADFC DC

=

AD-u ûUVdúLôÓ GuTRôp DC = BD

∴ AF ADFC DB

= (2)

(1), (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ AE AFEB FC

=

∴A¥lTûP N¬NUÅR úRt\j§u UßRûX«uT¥ EF || BC. T«t£ 6.5

1. ØdúLôQm ABC; DE || BC G²p úLhLlThPûRd LiÓ©¥dLÜm.

(a) AD = 3 DB = 5 AE = 6 EC = ? (b) DB = 6 EC = 8 AE = 5 AD = ?

(c) AE = 3 EC = 7 AD = 6 AB = ? (d) AB = 12 AD = 5 AE = 6 AC = ?

(e) AC = 15 AE = 3 DB = 9 AB = ?

2. ØdúLôQm ΔABC-p ¸rdLôÔm GkR A[ÜLÞdÏ PQ || BC?

(a) AB = 18, AP = 8, AQ = 12, QC = 15 (b) AP = 5, BP = 6, AQ = 6, CQ = 5

(c) AP = 4, BP = 4.5, AQ = 4, QC = 4.5

(d) AB = 1.28, AC = 2.56, AP = 0.16 AQ = 0.32

B

E F

CD

A

TPm 6.110

www.kalvisolai.com

158

3. SôiLs AB-m, CD-m YhPj§às P-«p ùYh¥dùLôs¡u\]. ùLôÓdLlThP ¸rdLôÔm A[ÜLû[d ùLôiÓ úLhLlThP úLôhÓjÕi¥u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm.

(a) AP = 8, AB = 17, CP = 12 CD = ? (b) AP = 2x, PB = x, CP = 10 PD = 5, AP = ? 4. SôiLs AB-Ùm, CD-Ùm YhPj§tÏ ùY°úV P-«p ùYh¥dùLôs¡u\].

ùLôÓdLlThP ¸rdLôÔm A[ÜLû[d ùLôiÓ úLhLlTP úLôhÓjÕi¥u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm.

(a) AB = 8, BP = 4 CD = 8, DP-ûVd LiÓ©¥dLÜm. (b) AP = 9x, BP = 4x, CP = 16, DP = 9, BP-ûVd LiÓ©¥dLÜm.

5. ¸rdLiPYtßs GûY ùNeúLôQ ØdúLôQj§u TdLeLs

(a) 7,24, 25 (b) 6, 9, 12 (c) 50, 80, 100 (d) 5, 5, 5 2 6. 15 Á ¿[Øs[ H¦ ùRÚ®u JÚ TdLj§p NônjÕ ûYdÏm ùTôÝÕ

ÑYt±Ûs[ Nu]ûX 12Á EVWj§p ùRôÓ¡\Õ. H¦«u A¥ûV SLojRôUp ùRÚ®u UßTdLj§p NônjÕ ûYdÏm ùTôÝÕ ÑYt±Ûs[ Nu]ûX 9 Á. EVWj§p ùRôÓ¡\Õ G²p ùRÚ®u ALXjûR LiÓ©¥dLÜm.

7. ΔABC-p m∠C = 90° TdLeLs CA, CB B¡VYt±u ûUVl×s°Ls Øû\úV P, Q G²p ¸rdLiPYtû\ ¨ì©dLÜm.

(i) 4AQ2 = 4AC2 + BC2 (ii) 4BP2 = 4BC2 + AC2

®ûPLs T«t£ 6.2 (1) 8 ùN.Á. (2) 16 ùN.Á T«t£ 6.3 (1) (a) 65o (b) 220o (c) 26o (d) 60o (e) 57o (2) 110o T«t£ 6.4 (1) 8 ùN.Á (2) (a) 35o, 145o (b) 160o (3) 38o, 142o (5) 26 ùN.Á. (6) 2 ùN.Á., 3 ùN.Á., 5 ùN.Á. (8) 27o, 63o T«t£ 6.5 (1) (a) 10 (b) 6.25 (c) 20 (d) 14.4 (e) 11.25 (2) (a) PQ || BC (b) PQ || BC (c) PQ || BC (d) PQ || BC (3) (a) 18 ùN.Á. (b) 10 ùN.Á. (4) (a) 4 ùN.Á. (b) 8 ùN.Á. (5) (a) ùNeúLôQ ØdúLôQm (b) ùNeúLôQ ØdúLôQm ApX (c) ùNeúLôQ ØdúLôQm ApX (d) ùNeúLôQ ØdúLôQm (6) 21 Á

www.kalvisolai.com

159

7. TÏØû\ Y¥®Vp

7.0 A±ØLm Ã² ¥LôoùPv (1596-1650) GuTYWÕ “La Geometric” 1637-Bm BiÓ ùY°«PlThPÕ. CÕúY “Discours de la methods” GÝR Y¯úLô−VÕ. CÕRôu CkR TÏØû\ Y¥®VûXÙm; SÅ] TÏØû\ Y¥®VûXÙm LiÓ©¥dL ER®VôL CÚkRÕ. ¥LôoùPv LiÓ©¥jR CkR L¦Rj§tÏ “Lôo¼³Vu Y¥Y L¦Rm” Guß ùTVo ãhPlThPÕ. TÏØû\ Y¥®V−u A¥lTûPd ùLôsûLLÞm, ùNnØû\LÞm ©V¬ ¥@ùToUôh (1601-1665) GuTYWôpRôu ØR−p LiÓ©¥dLlThPÕ. @ùToUôh GÝ§V “Ad locus Planos et Solidos Isagoge” Guàm ×jRLm 1679-Bm BiÓ AYWÕ Uû\®tÏl ©\ÏRôu ùY°«PlThPÕ. G]úY Rôu ùPvLôoPÑdÏ CûRd LiÓ©¥jRYo Gu\ ThPm ùLôÓdLlThPÕ. ùPvLôoP³u GuTYo TÏØû\ Y¥®V−p ùNVpØû\ GlT¥ Gu\ôp Y¥®V−p ùRôPe¡ CVtL¦R NUuTôPôL Uôt± AûR G°ûUVôd¡l ©\Ï Y¥YL¦R NUuTôPôL UôtßYÕRôu. CÚl©àm YZdLUô] ãj§WeL[ô] CWiÓ ×s°LÞdÏ CûPlThP çWm, NônÜ, CWiÓ úSodúLôÓLÞdÏ CûP«Ûs[ úLôQm B¡VYtû\l Tt± ¥LôoùPv GÝ§V ×jRLj§p CPmùT\®pûX. CûRf N¬ùNnR ùTÚûU ¥LôoùP³dÏl ©u]ôp YkR L¦R úUûRL[ô] ¡ù]nWh (1729), Uôed (1781), XúLô¬u (1765-1843) CYoLû[f NôÚm. ¨ëhPu Cuàm £XYûLVô] úTôXôo, ûTúTôXôo (polar, bipolar) CYtû\ ETúVôLj§tÏd ùLôiÓ YkRôo. TÏØû\ Y¥®VûXlTt±V Ød¡VUô] ×jRLm 1700-Bm BiÓ úXô©Rôp GuTYWôp GÝRlThPÕ. 7.1 ®¡Rf ãj§Wm A Utßm B ùLôÓdLlThP CÚ ×s°L[ôLhÓm. P GuTÕ AB ApXÕ AB ¿h¥«u úUp JÚ ×s°VôLhÓm. PB]Õ AB -I, úLôhÓjÕiÓLs AP Utßm PB

G]l©¬dÏm. AP Utßm PB CYt±u ¿[eLs Øû\úV AP, PB BÏm. AYt±u

®¡ReLs m : n ARôYÕ AP : PB = m : n ApXÕ AP mPB n

= . P B]Õ AB -«u

Eh×\m AûUk§ÚkRôp, Sôm P B]Õ AB -I Eh×\UôL m : n Gu\ ®¡Rj§p

©¬d¡u\Õ G]dáßúAYôm. P B]Õ AB -u ùY°úV AûUkRôp, ARôYÕ P B]Õ AB ¿h£«p AûUkRôp, P B]Õ AB -I m : n Gu\ ®¡Rj§p

ùY°l×\UôLl ©¬dÏm G] Sôm áß¡ú\ôm. ùLôÓdLlThP ®¡Rm m : n-Bp AB B]Õ Eh×\UôL ApXÕ ùY°l×\UôL JÚ ×s°«p ©¬dLlTPXôm. GÓjÕdLôhÓ 1: 16 AXÏLs ùLôiP AB -I 3:5 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dLÜm. ¾oÜ:

TPm 7.1

D A C B

www.kalvisolai.com

160

i) C B]Õ AB -«u Eh×\UôL AC 3CB 5

= BL CÚdÏUôß AûUkR ×s° GuL.

CeÏ TÏ§Vô]Õ, ùRôÏ§ûV®Pl ùT¬V GiQôL CÚlTRôp C B]Õ B-I ®P A-«u AÚ¡p Es[Õ. (TPm 7.1Il TôodLÜm).

CeÏ 5 AC = 3 BC ApXÕ 5 AC = 3 (AB – AC) ApXÕ 8 AC = 3 (16) = 48 AC = 6 AXÏLs Utßm CB = AB – AC = 16 – 6 = 10 AXÏLs. G]úY C B]Õ AB -«u Eh×\m 6 AXÏLs çWj§Ûm, B-«−ÚkÕ 10 AXÏLs çWj§Ûm Es[Õ. C GuTÕ AB -I 3:5 Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬dÏm JúW ×s°VôÏm.

ii) D GuTÕ AB -®tÏ ùY°úV AD 3DB 5

= G] CÚdÏUôß AûUkR JÚ

×s°VôLhÓm. ùRôÏ§Vô]Õ TÏ§ûV ®Pf £±VRôL CÚlTRôp D B]Õ B-I ®P A-«u AÚ¡p Es[Õ. (TPm 7.1-Il TôodLÜm.).

G]úY 5 AD = 3DB ApXÕ 5 AD = 3(AD + AB) ApXÕ 5 AD = 3AD + 3AB 2 AD = 3ab 3(16) = 48 ApXÕ AD = 24 Utßm DB = DA + AB = 24 + 16 = 40 ∴ D B]Õ AB -dÏ ùY°úV A-−ÚkÕ 24 AXÏLs ùRôûX®Ûm Utßm B-−ÚkÕ

40 AXÏLs ùRôûX®Ûm Es[Õ. AB -I ùY°l×\UôL 3:5 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dÏm JúW ×s° D BÏm. GÓjÕdLôhÓ 2: 16 AXÏLs ¿[Øs[ AB -I 3:1 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dLÜm. ¾oÜ:

A

E

B

F

TPm 7.2

i) E Gu\ ×s° AB -I Eh×\UôL AE 3EB 1

= Gu\ ®¡Rj§p ©¬dLhÓm.

ùRôÏ§Vô]Õ TÏ§ûV ®Pl ùT¬VRôL CÚlTRôp E B]Õ A-I ®P B-«u AÚ¡p CÚdÏm. (TPm 7.2-I TôodLÜm). CeÏ

AE = 3 EB ApXÕ AE = 3(AB – AE) ApXÕ AE = 3AB – 3AE ApXÕ 4AE = 3AB = 3(16) = 48 ApXÕ AE = 12. ©u]o EB = AB – AE = 16 – 12 = 4 ∴ E B]Õ AB -Cu Eh×\m, A-−ÚkÕ 12 AXÏLs çWj§Ûm Utßm B-−ÚkÕ 4 AXÏLs çWj§Ûm Es[Õ. E GuTÕ R²jR JÚ ×s°. AÕ AB -I Eh×\UôL 3:1 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ.

ii) F Gu¡\ ×s° AB -dÏ ùY°úV, AF 3FB 1

= Gu\ ®¡Rj§p CÚdÏUôß

AûUVhÓm. ùRôÏ§Vô]Õ TÏ§ûV ®PlùT¬VRôL CÚlTRôp F B]Õ A-I ®P B AÚ¡p CÚdÏm (TPm 7.2-Il TôodLÜm). ©u]o

www.kalvisolai.com

161

AF = 3FB ApXÕ AF = 3(AF – AB) ApXÕ AF = 3AF – 3AB

2AF = 3AB = 3(16) = 48 ApXÕ AF = 24 ∴ FB = AF – AB = 24 – 16 = 8

∴ F B]Õ ABdÏ ùY°úV A-−ÚkÕ 24 AXÏLs ùRôûX®Ûm Utßm B-−ÚkÕ

8 AXÏLs ùRôûX®Ûm Es[Õ. AB -I ùY°l×\UôL 3:1 Gu¡\ ®¡Rj§p ©¬dÏm R²jR JÚ ×s° F BÏm. úUúX ùLôÓdLlThP CWiÓ GÓjÕdLôhÓL°−ÚkÕ, ùLôÓdLlThP úLôhÓjÕiPô]Õ, ùLôÓdLlThP ®¡Rj§p Eh×\UôLúYô ApXÕ ùY°l×\UôLúYô ©¬dLlTPXôm. ©¬Ü YônTôÓ

ClùTôÝÕ (x1, y1) Utßm (x2, y2) B¡V CÚ ×s°Lû[ CûQdÏm úLôhÓjÕi¥û] m : n Gu\ ùLôÓdLlThP ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬dÏm ×s°«u BVjùRôûXÜj çWeLû[d LôiúTôm. ùLôÓdLlThP ×s°Ls (x1, y1) Utßm (x2, y2) B¡VûY Øû\úV A Utßm B BL CÚdLhÓm. C (x3, y3) B]Õ

úLôhÓjÕiÓ AB -I Eh×\UôL m : n Gu\ ®¡Rj§p ©¬dLhÓm. ©u]o SUdÏ

¡ûPlTÕ AC mCB n

= . AP, BQ Utßm

CR B¡VûY x-AfÑdÏf ùNeÏjRôL

CÚdÏUôß YûWL. AS B]Õ CR -dÏf

ùNeÏjRôLÜm Utßm CT B]Õ BQ -

dÏf ùNeÏjRôL CÚdÏUôßm YûWL. (TPm 7.3-I TôodLÜm). ΔASC Utßm ΔCTB

B¡V CÚ ØdúLôQeLÞm Y¥ùYôjRûY. BûLVôp AS CS ACCT BT CB

= =

B]ôp AS = x3 – x1; CT = x2 – x3; CS = y3 – y1; BT = y2 – y3

∴ 3 1 3 1

2 3 2 3

x x y y mx x y y n

− −= =

− − ∴

x3 − x1x2 − x3

= mn Utßm

y3 − y1y2 − y3

= mn

ÏßdÏ Yôh¥p ùTÚdÏL n(x3 – x1) = m(x2 – x3) Utßm n(y3 – y1) = m(y2 – y3)

(ApXÕ) nx3 – nx1 = mx2 – mx3 Utßm ny3 – ny1 = my2 – my3 (ApXÕ) (m+n) x3 = mx2 + nx1 Utßm (m+n) y3 = my2 + ny1

∴ x3 = mx2 + nx1

m + n Utßm y3 my2 + ny1

m + n

ARôYÕ AB -I m : n Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬dÏm ×s°

B

C

AS

T

y

x0 P R Q

TPm 7.3

www.kalvisolai.com

162

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1 2 1mx +nx my + ny,

m+ n m+ n (1)

Ï±l×: úUúX ùLôÓdLlThP ãj§Wm YÚ®jR Øû\«p ØRt LôtTÏ§«p A Utßm B B¡VûY TPm TPm 7.3-p Lôh¥Ùs[Õ úTôp GÓdLlThP]. CÚkR úTô§Ûm A Utßm B GkR ¨ûX«Ûm (GkR LôtTÏ§L°p CÚkRôÛm) CúR ãj§Wm ùTôÚjRUô]Õ. UôQYoLs A Utßm B Ut\ ¨ûXL°²ußm CúR ãj§Wm ùTßm Øû\ûVf ùNnÕ TZÏYôoL[ôL. ClúTôÕ AB Gu\ úLôhÓjÕiûP m : n (m > n) Gu\ ®¡Rj§p ùY°l×\UôLl ©¬dÏm D Gu¡\ ×s°«u BVjùRôûXÜ çWeLû[d

LôiúTôm. D B]Õ ABdÏ ùY°l×\m, B]ôp B-dÏ AÚ¡p, AD mDB n

= (TPm 7.4-I TôodLÜm)

CÚdÏUôß AûUkÕs[Õ. B B]Õ AD -I Eh×\UôL ABBD

Gu\ ®¡Rj§p

©¬d¡\Õ GuTûR A±VXôm. CeÏ AD mBD n

= BL CÚlTRôp SUdÏd ¡ûPlTÕ

nAD = mBD ApXÕ n(AB + BD) = mBD ApXÕ nAB = (m–n) BD ApXÕ AB m nBD n

−= .

ARôYÕ BB]Õ AD -I Eh×\UôL (m – n): n Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ. D B]Õ (x4, y4) G²p

x2 = (m − n) x4 + nx1

(m − n) + n , y2 = (m − n) y4 + ny1

(m − n) + n ( NUuTôÓ (1)-uT¥)

(ApXÕ) mx2 = (m – n) x4 + nx1 Utßm my2 = (m – n) y4 + ny1

(ApXÕ) 2 1 2 14 4

mx nx my nyx , y

m n m n− −

= =− −

G]úY AB -I ùY°l×\UôL m : n (m > n) Gu¡\ ®Rj§p ©¬dÏm ×s° D-Cu

BVjùRôûXÜj çWm 2 1 2 1mx - nx my - ny,

m- n m- n⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2)

AB -I ùY°l×\UôL m : n (m < n) Gu¡\ ®¡Rj§p ùY°l×\UôLl ©¬dÏm ×s°

E-Id LôiúTôm. RtùTôÝÕ AE m 1EB n

= < ApXÕ AE < EB G]úY ×s° E B]Õ

A-dÏ AÚ¡p (TPm 7.5-I TôodLÜm) Es[Õ. AB]Õ EB -I EAAB

Gu\ ®¡Rj§p

Eh×\UôLl ©¬d¡\Õ. AE mEB n

= BL CÚlTRôp SUdÏd ¡ûPlTÕ nAE = mEB

ApXÕ nEA = m(EA + AB) (ApXÕ) (n – m) EA = mAB (ApXÕ) EA mAB n m

=−

A(x1,y1) B(x2, y2) D(x4, y4)

m-n:n

TPm 7.4

www.kalvisolai.com

163

ARôYÕ A B]Õ EB -I m : n – m Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬d¡u\Õ. E GuTÕ (x5, y5) G²p

2 51

mx (n m) xx

m n m+ −

∴ =+ −

2 51

mx (n m) xx

n+ −

⇒ =

2 5

1my (n m) y

ym n m+ −

=+ −

⇒ 2 51

my (n m) yy

n+ −

=

1 2 1 25 5

nx - mx ny my x , y

n - m n m−

∴ = =−

AB -I ùY°l×\UôL m : n (m < n) Gu¡\ ®¡Rj§p ©¬dÏm ×s°«u BVjùRôûXÜ çWeL[ôY]

1 2 1 2nx -mx ny -my,

n -m n -m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(3)

ãj§WeLs (1), (2) Utßm (3) B¡VûY ®¡R ãj§WeLs G]lTÓm. F GuTÕ AB -u SÓl×s° G]

ûYjÕd ùLôsúYôm. F B]Õ AB -I Eh×\UôL 1:1 Gu¡\ ®¡Rj§p ©¬d¡u\Õ G]d Lôi¡ú\ôm. Hù]²p AF = FB (TPm 7.6).

∴ AB -Cu SÓl×s° F ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+×+×

+×+×

=2

yy,2

xx1 1

y 1 y 1 ,11

x 1 x1 21212121

CkR ®û[Ü, ûUVl×s° ãj§Wm ApXÕ

SÓl×s° ãj§Wm G]lTÓm. 1 2x x2+

GuTÕ

úLôhÓjÕi¥u Øû]l×s°L°u x-BVj ùRôûXÜj çWeL°u NWôN¬ GuTûR A±¡ú\ôm.

CúR úTôuß, 1 2y y2+

GuTÕ úLôhÓjÕi¥u

Øû]l×s°L°u y-BVjùRôûXÜj çWeL°u NWôN¬ GuTûR A±¡ú\ôm. (x1, y1), (x2, y2) Utßm (x3, y3) B¡V Ef£l ×s°Lû[d ùLôiP ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm LôiúTôm.

ØR−p JÚ ØdúLôQj§u JÚ Ef£ûV, ARu G§olTdLj§u SÓl×s°úVôÓ úNodÏm úLôhÓjÕiPô]Õ SÓdúLôÓ G]lTÓm GuTûR ¨û]®tùLôQoúYôm. BLúY JÚ ØdúLôQj§tÏ êuß SÓdúLôÓLs EiÓ. AûY G Gu¡\ ×s°«p Nk§dÏm. AkRl ×s°, JÚ ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm (centroid) G]lTÓm. ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ

A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x3, y3)

x2 + x3

2,

y2 + y3

2

D

G

D

A(x1, y2) G

2:1

A F B

m : n - m E(x5, y5) A(x1, y1) B(x2, y2)

TPm 7.5

TPm 7.6

TPm 7.7

www.kalvisolai.com

164

ûUVm JqùYôÚ SÓdúLôhûPÙm Eh×\UôL, 2:1 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ. SÓdúLôÓ ADûV GÓjÕdùLôsúYôm. G B]Õ AD-ûV 2:1 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ (TPm 7.7-I TôodLÜm). G Gu¡\ ×s°«u BVjùRôûXÜ çWeLs

2 3 2 3

1 1x x y y

2 1 x 2 1 y2 2,2 1 2 1

⎡ + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × × + ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

ApXÕ 1 2 3 1 2 3x + x + x y + y + y,

3 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

GÓjÕdLôhÓ 3: (–1, 2) Utßm (4,–5) B¡V CÚ ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôhÓj Õi¥û] 2:3 Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬dÏm ×s°ûVd LôiL. ¾oÜ: úRûYVô] ×s°

2 4 3 ( 1) 2 ( 5) 3 2,2 3 2 3

⎛ ⎞× + × − × − + ×= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2 1 2 1mx nx my ny,

m n m n⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

10 68 3 5 4, ,5 5 5 5

− +− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(x1, y1) (–1, 2) (x2, y2) (4,–5)

m : n = 2 : 3

41,5

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ãj§Wm (1).

GÓjÕdLôhÓ 4: (2,1) Utßm (3,5) B¡V CÚ ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôhÓj Õi¥û] 2:3 Gu\ ®¡Rj§p ùY°l×\UôLl ©¬dÏm ×s°ûVd LôiL. ¾oÜ: úRûYVô] ×s°

3 2 2 3 3 1 2 5,3 2 3 2

⎛ ⎞× − × × − ×= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 1 2nx mx ny my,

n m n m⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

6 6 3 10,1 1− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x1, y1) (2,1), (x2 , y2) (3,5),

m : n = 2 : 3 = (0,–7) CeÏ m < n ãj§Wm (3) GÓjÕdLôhÓ 5: (–3, –4) Utßm (–8, 7) B¡V CÚ×s°Lû[f úNodÏm úLôhÓjÕi¥û] 7:5 Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôL, ùY°l×\UôLl ©¬dÏm ×s°Lû[d LôiL. ¾oÜ: i) Eh×\UôL 7:5 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dÏm ×s°

7 ( 8) 5 ( 3) 7 7 5 ( 4),7 5 7 5

⎛ ⎞× − + × − × + × −= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2 1 2 1mx nx my ny,

m n m n⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

56 15 49 20,12 12

− − −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(x1, y1) (–3, –4)

71 29,12 12

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x2, y2) (–8, 7)

m : n = 7.5 ãj§Wm (1)

www.kalvisolai.com

165

ii) ùY°l×\UôL 7:5 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dÏm ×s°

7 ( 8) 5 ( 3) 7 7 5 ( 4),7 5 7 5

⎛ ⎞× − − × − × − × −= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 1 2 1mx nx my ny,

m n m n⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

56 15 49 20,2 2

− + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(x1, y1) (–3, –4)

41 69,2 2

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x2 y2) (–8, 7)

m : n = 7 : 5 CeÏ m > n ãj§Wm (2) GÓjÕdLôhÓ 6: A(4,4) Utßm B(7,7) B¡VYtû\f úNodÏm úLôhÓjÕiûP C(–1, –1) Gu¡\ ×s° GkR ®Rj§p ©¬dÏm? ¾oÜ: ØR−p A, B, C B¡V ×s°Ls JúW úSodúLôh¥p AûUÙm ×s°L[ô G]j

ùR¬kÕ ùLôs[ úYiÓm. úUÛm C B]Õ AB -Cu Eh×\m Es[Rô ApXÕ ùY°l×\m Es[Rô G]j ùR¬kÕ ùLôs[ úYiÓm. CRtLôL, ¿[eLû[d LiP±úYôm. CeÏ

2 2AC ( 1 4) ( 1 4) 25 25= − − + − − = + = 50 5 2= TPm 7.8

CB = 2 2( 1 7) ( 1 7) 64 64− − + − − = + (x1, y1) A(4,4) (x2, y2) B(7,7)

= 128 8 2= (x3, y3) C(–1, –1)

AB = 2 2(7 4) (7 4) 9 9− + − = +

= 18 3 2= AC + AB = CB BL CÚlTûRd LiP±úYôm. G]úY A, B Utßm C B¡VûY JúW

úLôPûUÙm ×s°Ls. úUÛm C B]Õ AB -dÏ ùY°úV, B]ôp A-dÏ AÚ¡p Es[Õ. (TPm 7.8-I TôodLÜm).

úRûYVô] ®¡Rm AC 5 2 5 5 : 8CB 88 2

= = =

∴ ×s° C(–1,–1)B]Õ AB -I ùY°l×\UôL 5:8 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡u\Õ. ®ûPûV ®¡R ãj§Wm (3) -u ER® ùLôiÓ N¬TôodLXôm. Hù]²p 5 < 8 AB -I ùY°l×\UôL 5 : 8 Gu\ ®¡Rj§p ©¬dÏm ×s°

AC B

5 2 3 2

www.kalvisolai.com

166

8 4 5 7 8 4 5 7,8 5 8 5

⎛ ⎞× − × × − ×⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 1 2nx mx ny my,

n m n m⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

32 35 32 35,3 3− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x1, y1) (4, 4)

3 3,3 3

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(x2, y2) (7, 7)

( 1, 1)= − − m : n = 5 : 8 m < n ãj§Wm (3) UôtßY¯ Øû\VôL C Gu¡\ ×s° AB ÁÕ AûUVhÓm. úUÛm C B]Õ AB -I m : n Gu\ ®¡Rj§p ©¬jRôp

m(7) n(4) m(7) n(4),m n m n

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

7m 4n 7m 4n,m n m n

⎛ ⎞+ += ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2 1 2 1mx nx my ny,

m n m n⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(x1, y1) (4, 4) (x2, y2) (7, 7) (x3, y3) (–1, –1)

B]ôp C B]Õ (–1, –1) G]d ùLôÓdLlThÓs[Õ.

∴ AfÑçWeLû[f NUuùNnV 7m 4n 1

m n+

= −+

ApXÕ 7m + 4n = –m – n

ApXÕ 8m = –5n ApXÕ m/n = –5/8 ⇒ C B]ÕAB -I (–5) : 8 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ. ARôYÕ C B]Õ AB -I ùY°l×\UôL 5 : 8 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ. úUÛm C B]Õ B-I ®P A-dÏ AÚ¡p Es[Õ.

Ï±l× : C B]Õ AB -I ùY°l×\j§p m : n ®¡Rj§p ©od¡\Õ. m, n GuTûY

ªûLùViLs G²p C B]Õ AB -I (–m): n Gu\ ®¡Rj§p Eh×\UôLl ©¬d¡\Õ G] GÓjÕd ùLôs[Xôm. Hù]²p C B]Õ

1 2 1 2 2 1 2 1nx mx ny my ( m)x nx ( m)y ny, ,

n m n m ( m) n ( m) n⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + − +

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CúRúTôuß C B]Õ AB -I ùY°l×\UôL m : n Gu\ ®¡Rj§p m > n ©¬dÏm G²p C B]Õ AB -I “Eh×\UôL” m : (–n) Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ G] GÓjÕdùLôs[Xôm. Hù]²p C B]Õ

2 1 2 1 2 1 2 1mx nx my ny mx ( n)x my ( n)y, ,

m n m n m ( n) m ( n)⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − + −

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CqYôß, m : (–n) ApXÕ (–m) : n Gu\ ®¡Rm (AYt±p m Utßm n GuTûY ªûL

GiLs) ùY°l©¬ûYf NôokÕs[]. GÓjÕdLôhPôL, C Gu¡\ ×s° ABI

www.kalvisolai.com

167

“Eh×\UôL” (–5): 9 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ G²p CeÏ C B]Õ AB -I 5:9 Gu\ ®¡Rj§p ùY°l×\UôLl ©¬d¡\Õ G] Sôm ùTôÚs ùLôs¡ú\ôm. úUÛm CeÏ C B]Õ B-I ®P A-dÏ AÚ¡p Es[Õ.

GÓjÕdLôhÓ 7: A(–3,2) Utßm B(7,8) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôhÓj Õi¥u ûUVl×s°ûVd LôiL. ¾oÜ: úRûYVô] SÓl×s°

( 3) 7 2 8,2 2

− + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(x1, y1) (–3,2)

4 10, (2,5)2 2

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(x2, y2) (7,8)

ãj§Wm 1 2 1 2x x y y,

2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

GÓjÕdLôhÓ 8: JÚ YhPj§u ûUVm (–6,4). AqYhPj§u JÚ ®hPj§u JÚ Øû]l×s° B§l×s° G²p, Utù\ôÚ Øû]l×s°ûVd LôiL. ¾oÜ: YhPj§u ®hPm OA. A§p O GuTÕ B§l×s° (0, 0). CÕ JÚ Øû]l×s°. Utù\ôÚ Øû]l×s° A (x1, y1) BL CÚdLhÓm. ®hPj§u SÓl×s°, YhPj§u ûUVm BÏm. G]úY, OA-®u SÓl×s°, YhPj§u ûUVUô¡V (–6,4) BÏm.

B]ôp, SÓl×s° ãj§Wj§uT¥ SÓl×s°Vô]Õ 1 1 1 10 x 0 y x y, ,

2 2 2 2+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B]ôp CkRl×s° YhPj§u ûUVm (–6,4). BûLVôp 1x6

2= − Utßm 1y

42

=

(ApXÕ) x1 = –12, y1 = 8 . ∴ ®hPj§u Utù\ôÚ Øû]l×s° (–12, 8) BÏm. GÓjÕdLôhÓ 9: A(2, –2), B (8,4), C(5,7) B¡VûY CûQLWm ABCD-u Y¬ûN Øû\lT¥ GÓjÕdùLôs[lThP êuß Ef£Ls G²p, SôuLôYÕ Ef£ûVd LôiL. ¾oÜ: D(a,b) SôuLôYÕ Ef£VôL CÚdLhÓm. (TPm 7.9-I TôodLÜm) ABCD JÚ

CûQLWm GuTRôp, êûX®hPm AC Utßm BD B¡VûY Juû\ùVôuß

NUUôL ùYh¥dùLôsÞm. ARôYÕ AC -«u SÓl×s°Ùm BD -Vu SÓl×s°Ùm Ju\ôL CÚdÏm.

B]ôp AC -«u SÓl×s° 2 5 ( 2) 7,2 2+ − +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

7 5,2 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

BD -«u SÓl×s° 8 a 4 b,

2 2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

BVjùRôûXÜj çWeLû[f NUlTÓjR, Sôm A±YÕ 8 a 4 b7 5,

2 2 2 2+ +

= =

=> 8 + a = 7, 4 + b = 5 => a = –1, b = 1 ∴ SôuLôYÕ Ef£l×s° D(–1, 1) GÓjÕdLôhÓ 10: (8, 4), (1,3) Utßm (3,–1) Gu\ ×s°Lû[ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm LôiL.

D C

A BTPm 7.9

www.kalvisolai.com

168

¾oÜ: ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm

8 1 3 4 3 ( 1),3 3

+ + + + −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(x1 y1) (8,4)

12 6,3 3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(x2 y2) (1,3)

= (4,2) (x3 y3) (3, –1)

ãj§Wm 1 2 3 1 2 3x x x y y y,

3 3+ + + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

GÓjÕdLôhÓ 11: JÚ ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm (4,3), ARu CWiÓ Ef£Ls (2,–1) Utßm (7,8) G²p, êu\ôYÕ Ef£ûVd LôiL. ¾oÜ: êu\ôYÕ Ef£ûV (a,b) GuL. ClùTôÝÕ ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm,

2 7 a ( 1) 8 b,3 3

+ + − + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(x1, y1) (2, –1)

9 a 7 b,3 3+ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x2, y2) (7,8)

(x3, y3) (a, b

ãj§Wm 1 2 3 1 2 3x x x y y y,

3 3+ + + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

B]ôp SÓdúLôhÓ ûUVm (4,3) G]d ùLôÓdLlThÓs[Õ. G]úY,

BVjùRôûXÜ çWeLû[f NUlTÓjR, Sôm A±YÕ 9 + a

3 = 4 Utßm 7 + b

3 = 3 ⇒ 9 + a = 12 Utßm 7 + b = 9 ⇒ a = 3 Utßm b = 2 ⇒ êu\ôYÕ Ef£ (3,2) BÏm.

Ï±l×: m : n ®¡RUô]Õ, mn

Gu¡\ ùUnùViÔdÏ JjRÕ. CkR ùUnùVi λ

(¡úWdL GÝjÕ XômPô BÏm) G] Sôm Ï±l©hPôp mn 1

λ=λ = . BûLVôp

m : n = λ : 1. GÓjÕdLôhPôL, 5 : 3 Gu\ ®¡Rm 5 : 13

GuTRôÏm. UßRûXVôL

5 : 13

Gu\ ®¡Rm 5 : 3 GuTRôÏm.

T«t£ 7.1 1. CÚ ×s°Lû[f úNodÏm úLôhÓjÕi¥û]d ùLôÓdLlThP ®¡Rj§p ©¬dÏm

×s°«u BVjùRôûXÜj çWeLû[d LôiL. i) A(–2,6) Utßm B(3,6) Eh×\UôL 3 : 2 Gu\ ®¡Rj§p

ii) P(3,4) Utßm Q(–6,2) ùY°l×\UôL 1 : 3 Gu\ ®¡Rj§p iii) A(4, –7) Utßm B(–1,5) ùY°l×\UôL 5:2 Gu\ ®¡Rj§p

www.kalvisolai.com

169

iv) (–1, –2) Utßm (5,3) Eh×\UôL 2 : –1 Gu\ ®¡Rj§p v) (3, –4) Utßm (–2,6) Eh×\UôL –2:3 Gu\ ®¡Rj§p vi) (a+b, a–b) Utßm (a–b, a+b) Eh×\UôL 3 : 2 Gu\ ®¡Rj§p

2. P Guàm ×s° A Utßm B Gu¡\ ×s°Lû[f úNodÏm úLôhÓjÕi¥û] GkR ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ Guß LôiL. CeÏ P, A, B GuT] Øû\úV

i) (11,7) (13,4), (7,13) ii) (–5,3, (–3, –1). (–8, 9) iii) (1,12) (5,6), (7,3) 3. x-AfNô]Õ ùLôÓdLlThP ×s°Lû[ CûQdÏm úLôhÓjÕiûP GkR ®¡Rj§p

©¬d¡u\Õ G]d LôiL. ×s°Ls Øû\úV i) (1,2) Utßm (–2,5) ii) (–3, –2) Utßm (–1, 4) iii) (3, –2) Utßm (–7, –1) iv) (5, –4) Utßm (9, 1)

4. y-AfNô]Õ ùLôÓdLlThP ×s°Lû[ CûQdÏm úLôhÓjÕiûP GkR ®¡Rj§p ©¬d¡u\Õ G]d LôiL. ×s°Ls Øû\úV i) (3,0), (–3,5) ii) (–2,6), (3,4) iii) (3, –4), (–6,2) iv) (–1, 2), (5, –2)

5. ùLôÓdLlThP CÚ ×s°Lû[ CûQdÏm úTôhÓjÕi¥u SÓl×s° LôiL. ×s°Ls Øû\úV i) (–1, –3) Utßm (–5, –7) ii) (8, –2) Utßm (3, –4)

6. A(2,–1), B(–4, 2) Utßm C(2,5) B¡VûY ABC Gu¡\ ØdúLôQj§u Ef£Ls,

SÓdúLôÓ AD -«u ¿[m LôiL. 7. PQ -Cu SÓl×s° (5,1). P (8,4) G²p, ×s° Q-ûYd LôiL. 8. JÚ YhPj§u ûUVm (4,–1). JÚ ®hPj§u JÚ Øû]l×s° (9,7), Utù\ôÚ

Øû]l×s°ûVd LôiL. 9. ¸úZ ùLôÓdLlThP ×s°Ls Ko CûQLWjûR AûUdÏm G]dLôhÓL.

i) (1,2), (–2, 2), (–4, –3) Utßm (–1, –3) (ii) (–2, –1), (1, 0), (4,3) Utßm (1,2) iii) (2, –2), (8,4), (5,7) Utßm (–1, 1) (iv) (0, 3), (4,4), (6,2) Utßm (2,1)

10. ùLôÓdLlThP Y¬ûN«p AûUkR êuß Ef£Lû[d ùLôiP CûQLWj§u SôuLôYÕ Ef£ LôiL. i) (1, 1), (2,3) Utßm (–2,2) ii) (–1,0), (5,2) Utßm (7,4) iii) (2,3), (3,8) Utßm (10,–1) iv) (–2,–5), (4, –5) Utßm (4,7)

11. ùLôÓdLlThP Ef£Lû[d ùLôiP ØdúLôQj§u SÓdúLôhÓ ûUVm LôiL. i) (1,10), (–7, 2) Utßm (–3, 7) ii) (–1, –3), (2, 1) Utßm (2, –4) iii) (1, 1), (2,3) Utßm (–2, 2) iv) (1, 3), (2,7) Utßm (12, –16)

12. ØdúLôQm ABC-u SÓdúLôhÓ ûUVm (3, –2). ARu Ef£Ls A Utßm B ùLôÓdLlThÓs[] C Gu¡\ Ef£ûVd LôiL.

i) (1, –2) Utßm (7, 4) ii) (3, 4) Utßm (–1, 9) iii) (5, –1) Utßm (–2, –7) iv) (–11, 1) Utßm (2, –5)

7.2 ØdúLôQj§u TWlT[Ü JÚ N¬YLj§u TWlT[Yô]Õ, ARu CûQlTdLeL°u áÓRp, Aq®Ú TdLeLÞdÏm CûPúVÙs[ ùNeÏjÕ çWm B¡VYt±u ùTÚdLp TX²p Tô§ Guß Y¥®V−p HtL]úY Lt\±kÕsú[ôm. Cfãj§WjûRl TVuTÓj§ JÚ ØdúLôQj§u Ef£L°u AfÑj çWeLs ùLôÓdLlThPôp ØdúLôQj§u TWlT[Ü LôQ CVtL¦R ãj§Wm Juû\d LiÓ©¥lúTôm.

www.kalvisolai.com

170

ABC GuTÕ ùLôÓdLlThP ØdúLôQm

BLhÓm. ARàûPV Ef£Ls A, B Utßm C B¡VûY Øû\úV (x1,y1), (x2, y2) Utßm

(x3, y3) BL CÚdLhÓm. AL , BM Utßm CN B¡VYtû\ x-AfÑdÏ ùNeÏjRôL YûWL.

(TPm 7.10-I TôodLÜm). ABC-u TWlT[Ü Δ GuL. ©u× TPj§−ÚkÕ Δ = N¬YLm ABML-u TWl× + N¬YLm ALNC-u TWl× − N¬YLm BMNCP-u TWl×

= 1 1 1ML (AL BM) LN (AL CN) MN (BM CN)2 2 2

+ + + − +

= 1 2 1 2 3 1 3 1 3 2 2 31 1 1(x x ) (y y ) (x x ) (y y ) (x x ) (y y )2 2 2

− + + − + − − +

= ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 3 1 1 3 1 11 x y x y x y x y x y x y x y x y2

⎡ + − − + + − −⎣

( )3 2 3 3 2 2 2 3x y x y x y x y ⎤− + − − ⎦

= 1 11 x y2 1 2 2 1 2 2x y x y x y+ − − 3 3 3 1x y x y+ + 1 3x y− 1 1x y⎡ −⎣

3 2 3 3x y x y− − 2 2x y+ 2 3x y ⎤+ ⎦

BLúY [ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21 x (y y ) x (y y ) x (y y )2

Δ = − + − + − NÕW AXÏLs. CÕ

ØdúLôQj§u TWlT[Ü LôÔm ãj§Wm G]lTÓm. Ï±l× : i) GpXôl TWl×LÞm ªûL. BûLVôp Δ (TWlT[Ü) ªûLVôL CÚdL, GÓjÕd

ùLôs[lThP Ef£l ×s°Ls (x1, y1), (x2, y2) Utßm (x3, y3) Y¬ûN«p L¥LôW Øsú[ôhP G§o§ûN«p (TPm 7.11-I TôodLÜm) AûUV úYiÓm. Y¬ûN«p GÓjÕdùLôs[lThP Ef£l ×s°Ls, L¥LôW Øsú[ôhP §ûN«p AûUkRôp, TWlT[®u ãj§WUô]Õ JÚ Ïû\ GiûQj RÚm. (TPm 7.12).

L¥LôW Øsú[ôhP G§o§ûN L¥LôW Øsú[ôhP §ûN TPm 7.11 TPm 7.12

A

C

B

M L N

y

OX

A

B C

C

B A

TPm 7.10

www.kalvisolai.com

171

ii) (x1, y1) (x2, y2) Utßm (x3, y3) B¡V êuß ×s°Ls JúW úLôh¥XûUkRôp, AYt\ôp HtTÓm ØdúLôQj§u TWlT[Ü éf£Vm BÏm. ARôYÕ

[ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21 x (y y ) x (y y ) x (y y ) 02

− + − + − =

(or) x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2) = 0

∴ G]úY (x1, y1), (x2, y2) Utßm (x3, y3) B¡VûY JúW úLôh¥p AûUYRtLô] LhÓlTôÓ

x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2) = 0 BÏm. TPm 7.13

iii) ØdúLôQj§u TWlT[Ü ãj§WjûRl TVuTÓj§ SôuÏ TdLeLs ùLôiP Y¥®Vp EÚYeL°u TWlT[ûYd LôQXôm. GÓjÕdLôhPôL SôtLWm ABCD-I BD-I ùTôÕlTdLUôLd ùLôiP ΔABD Utßm ΔBCD BLl ©¬jÕd LQd¡PXôm (TPm 7.13).

GÓjÕdLôhÓ 12: (5, 2), (–9, –3) Utßm (–3, –5) B¡VYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u TWlT[ûYd LôiL. ¾oÜ: ùLôÓdLlThP Ef£Lû[ Øû\úV A, B Utßm C GuúTôm. ∴ Δ ABC-«u TWlT[Ü

= 21 [5(–3+5) + (–9) (–5 –2) + (–3) (2+3)] Δ =

21 [x1 (y2–y3) + x2 (y3–y1) + x3 (y1–y2)]

= 21 [10 + 63 – 15] =

582 = 29 NÕW AXÏLs (x1,y1) → (5,2)

(x2,y2) → (–9, –3) (x3,y3) → (–3, –5)

Ï±l×: TWlT[Ü ªûL GiQôL CÚlTRôp, ùLôÓdLlThP ×s°Ls AúR Y¬ûN«p L¥LôW Øsú[ôhP G§o§ûN«p AûUkÕs[]. (–9, –3)I A Gußm, (5,2) -I B Gußm Utßm (–3, –5)-I C Gußm, GÓjÕdùLôiúPôùUu\ôp,

Δ ABC TWlT[Ü = 21 [(–9) (2+5) + 5 (–5+3) + (–3) (–3–2)]

= 21 [–63–10+15] =

21 (–63+5) =

21 (–58) = –29

TWlT[Ü JÚ Ïû\GiQôLd ¡ûPd¡\Õ. Hù]²p (–9, –3), (5,2) Utßm (–3,–5) Gu¡\ Y¬ûN«p Es[ GiLs L¥LôW Øsú[ôhP G§o§ûN«p AûUV®pûX (ARôYÕ, ×s°Ls L¥LôW Øsú[ôhP §ûN«úXúV AûUkÕs[]). Lôo¼£Vu R[j§p ×s°Lû[d Ï±jÕ, Sôm úUúX LiP±kRûR Eß§ ùNnVXôm. GÓjÕdLôhÓ 13 : (4,5), (4,2) Utßm (–2,2) B¡V Ef£Lû[d ùLôiP ØdúLôQj§u TWlT[Ü LôiL.

D C

BA

www.kalvisolai.com

172

¾oÜ : Uô§¬lTPm (TPm 7.14-−ÚkÕ) (–2,2)-I A G]Üm, (4,2)-I B G]Üm Utßm (4,5)-I C G]Üm L¥LôW Øsú[ôhP G§o§ûN«p GÓjÕdùLôsúYôm. ØdúLôQj§u TWlT[Ü ãj§Wj§uT¥

Δ = 21 [x1(y2–y3) + x2 (y3–y1) + x3 (y1–y2)]

Δ ABC = 21 [(–2) (2–5) +4(5–2) +4 (2–2)]

= 21 [6+12+0] =

21 (18) = 9 NÕW AXÏLs.

Ï±l×: (4,5)I A G]Üm, (4,2)-I B G]Üm Utßm (–2,2)-I C G]Üm GÓjÕdùLôiúPôùUu\ôp ØdúLôQm ΔABC-Cu TWlT[Ü –9 NÕW AXÏLs G]d ¡ûPd¡\Õ. GpXô TWl×LÞm ªûL BûLVôp ΔABC-Cu TWlT[Ü 9 NÕW AXÏLs Guß á\Xôm. GÓjÕdLôhÓ 14: (a,b+c), (b, c+a), (c,a+b) ×s°Ls JÚ úLôPûUÙm ×s°Ls G]dLôhÓL. ¾oÜ: ùLôÓdLlThP ×s°Lû[ Øû\úV P,Q Utßm R GuL.

Δ PQR-Cu TWlT[Ü = 21 [a{(c+a) – (a+b)} + b{(a+b) – (b+c)}+c {(b+c) – (c+a)}]

= 21 [a(c–b) + b(a–c) +c(b–a)] =

21 [ac–ab + ba – bc + cb – ca] =

21 (0) = 0

ØdúLôQj§u TWlT[Ü éf£Vm G²p êuß ×s°LÞm JÚ úLôPûUÙm ×s°Ls BÏm. ∴ P,Q,R JÚ úLôPûUÙm ×s°Ls BÏm. GÓjÕdLôhÓ 15: (1,4), (r, –2) Utßm (–3, 16) GuTûY JúW úLôPûUÙm ×s°Ls G²p r-u U§l× LôiL. ¾oÜ: ùLôÓdLlThP ×s°Ls Øû\úV A,B Utßm C G] GÓjÕdùLôsúYôm. ΔABC-«u TWl×

= 21 [1(–2–16) + r(16 – 4) + (–3) (4+2)] =

21 [(–18+12r–18)] =

21 [–36 +12r] = –18 + 6r.

A,B Utßm C B¡VûY JÚ úLôPûUÙm ×s°Ls. G]úY ΔABC-«u TWlT[Ü = 0

G]úY –18 + 6r = 0 ApXÕ 6r = 18 ApXÕ r = 6

18

ApXÕ r = 3 GÓjÕdLôhÓ 16 : (–3,–9), (–1,6), (3,9), (5,–8) B¡VYt\ôp AûUdLlTÓm SôtLWj§u TWlT[Ü LôiL. ¾oÜ: Lôo¼£Vu R[j§p ×s°Lû[d Ï±dL. (TPm 7.15-I TôodLÜm) (–1,6) (–3, –9), (5,–8) Utßm (3,9) Y¬ûNVôL L¥LôW Øsú[ôhP G§o §ûN«p AûU¡u\]. AkRl ×s°Lû[A, B, C Utßm D G]d Ï±lúTôm. ©u]o ΔABC-«u TWlT[Ü

B(4,2)

A(-2,2)

0

C (4,5)y

x

D(3,9)

A(-1,6)

B(-3,-9) C(5,-8)

xx’

y’

y

O

TPm 7.15

TPm 7.14

www.kalvisolai.com

173

= 21 [(–1) (–9 +8) + (–3) (–8 –6) + 5(6+9)]

= 21 [(–1) (–1) + (–3) (–14) + 5(15)]

= 21 [118] = 59 NÕW AXÏLs

ΔACD-«u TWlT[Ü = 21 [(–1) (–8–9) +5(9–6)+3(6+8)]

= 21 [(–1) (–17) + 5(3) + 3(14)]

= 21 [17 + 15 + 42] =

21 [74] = 37 NÕW AXÏLs

∴SôtLWm ABCD-«u TWlT[Ü = ΔABC TWlT[Ü + ΔACD TWlT[Ü = 59 + 37 = 96 NÕW AXÏLs T«t£ 7.2 1. ¸rdLiPYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u TWlT[Ü LôiL. i) (0,4), (3,6) Utßm (–8,–2) ii) (3,4), (2,–1) Utßm (4,–6), iii) (5,6), (2,4) Utßm (1,–3) iv) (1,3), (–7,6) Utßm (5,–1) v) (1,1), (3,4) Utßm (5,–2) 2. ¸úZ ùLôÓdLlThP ×s°Ls JúW úLôPûUÙm ×s°Ls G]d LôhÓL.

i) (3,1), (–1,–7), (5,5) ii) (–21 ,3), (–5,6), (–8,8) iii) (9,0), (1,4), (11,–1)

3. (2,5), (4,6) Utßm (a,b) GuT] JúW úLôh¥p AûUÙm ×s°Ls G²p a Utßm b CYt±t¡ûPúV Es[ E\ûYd LôiL.

4. (x,–11), (2,3) Utßm (4,–1) GuTûY JúW úLôh¥p AûUÙm ×s°Ls G²p x-u U§l× LôiL.

5. (x,y) Gu¡\ ×s° (a,0) Utßm (0,b) B¡V ×s°LÞPu JúW úSodúLôh¥p

AûUÙm G²p, 1by

ax

=+ G] ¨ì©.

6. ¸úZ ùLôÓdLlThP Ef£Lû[d ùLôiP SôtLWj§u TWlT[ûYd LiÓ©¥. i) (–1,6), (–3,–9), (5,–8) Utßm (3,9) ii) (1,2), (–3,4), (–5,–6) Utßm (4,–1) iii) (5,8), (6,3), (3,1) Utßm (2,6) iv) (3,4), (5,–2), (4,–7) Utßm (1,1). 7.3 úSodúLôÓLs JÚ úSodúLôh¥u NUuTôÓ ApXÕ x, y-p Es[ JÚT¥f NUuTôPô]Õ JÚ úSodúLôhûPd Ï±d¡\Õ. úSodúLôh¥u ÁÕs[ ×s°Lû[j R®W Ut\ ×s°Ls úSodúLôh¥u NUuTôhûP ¨û\Ü

ùNnVôÕ. l Gu\ úSodúLôÓ x-AfûN A-«Ûm y-AfûN B-«Ûm ùYhÓ¡\Õ GuL. A-Cp x-BVj ùRôûXÜj çWm OA. CRû] x-ùYhÓjÕiÓ GuTo. B-Cp y-BVjùRôûXÜj çWm OB, y-ùYhÓjÕiÓ GuTo. (TPm 7.16).

0

B

y

x

y’

x’A

TPm 7.16

www.kalvisolai.com

174

úSodúLôh¥u ùYqúYß AûUl× x-Af£u NUuTôÓ y = 0 Utßm y-Af£u NUuTôÓ x = 0 x-Af£u ÁÕs[ JqùYôÚ ×s°«Ûm y-Cu BVjùRôûXÜj çWm éf£VUôÏm. G]úY x-Af£u NUuTôÓ y = 0, ⇒ y-Af£u ÁÕs[ JqùYôÚ ×s°«Ûm x-Cu BVjùRôûXÜjçWm éf£VUôÏm. G]úY y-Af£u NUuTôÓ x = 0. y-AfÑdÏ CûQVôLÜm y-Af£−ÚkÕ à’ AXÏ çWj§Ûm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ x = a TPm 7.17-p l Gu\ úSodúLôÓ y-AfÑdÏ CûQVôLÜm y-Af£−ÚkÕ à’ AXÏ çWj§Ûm

Es[Õ. l Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[ ×s°L°u x-BVj ùRôûXÜj çWm à’ AXÏ

(TPm 7.17). G]úY l Gu\ úSodúLôh¥u NUuTôÓ x = a BÏm. x-AfÑdÏ CûQVôLÜm, x-Af£−ÚkÕ `b’ AXÏLs çWj§Ûm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = b TPm 7.18-p l Gu\ úSodúLôÓ x-AfÑdÏ CûQVôLÜm x-Af£−ÚkÕ ‘b’ AXÏLs çWj§Ûm Es[Õ. l Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[ ×s°L°u y-BVj ùRôûXÜj çWm b BÏm. G]úY l Gu\ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = b BÏm. (TPm 7.18). x-Af£u ªûL §ûN«p l Gu\ úSodúLôÓ x-AfÑPu HtTÓjÕm úLôQm NônÜ úLôQm (angle of inclination) G]lTÓm. Ø¥ÜLs: i) x-Af£u NônÜ úLôQm 0o. ii) x-AfÑdÏ CûQVô] GpXô úSodúLôÓLÞm x-Af£p HtTÓjÕm

NônÜ úLôQm 0o. iii) y-AfNô]Õ x-AfÑPu HtTÓjÕm NônÜ úLôQm 90o. iv) y-AfÑdÏ CûQVô] GpXô úSodúLôÓLÞm x-AfÑPu HtTÓjÕm

NônÜ úLôQm 90o.

a

x =

a

x’O

x

y

x’

y’

y

y = b

b

xO

0

θ

y

x

y’

x’

y

y’

x’ xθ

TPm 7.17

TPm 7.18

TPm 7.19 TPm 7.20

www.kalvisolai.com

175

TPm 7.21

TPm 7.22

TPm 7.23

úSodúLôh¥u NônÜ l Gu\ úSodúLôPô]Õ L¥LôWj§u G§o§ûN«p x-AfÑPu HtTÓjÕm úLôQj§u úPuù_iÓ (tangent) U§l× úSodúLôh¥u NônÜ ApXÕ N¬Ü G]lTÓm. (TPm 7.21). CRû] m Guß Ï±lTo. ∴ úSodúLôh¥u NônÜ = m = tan θ.

A(x1,y1), B (x2,y2) B¡V CWiÓ ×s°Lû[f

úNodÏm úSodúLôh¥u NônÜ x- AfÑdÏ ùNeÏjRôL BN-Ùm, AC-ûVÙm

YûWL. BN-dÏ ùNeÏjRôL AM-I YûWL. CûY M Gu\ ×s°«p BN-I Nk§d¡\Õ. G]úY A (x1,y1), B(x2,y2) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u NônÜ m = tan θ

= 12

12

xxyy

OCONACBN

CNMNBN

AMBM

−−

=−−

=−

=

∴ m = 12

12

xxyy

−− ApXÕ m = 1 2

1 2

y yx x

−−

CWiÓ úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQVôLÜm, ùNeÏjRôLÜm AûUYRtLô] ¨TkRû]

CWiÓ úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQVôL CÚdLj úRûYVô]Õm úTôÕUô]ÕUô] ¨TkRû] AYt±u NônÜLs NUm.

l1, l2 Gu\ úSodúLôÓL°u NônÜLs m1, m2 AûYLs HtTÓjÕm NônÜ úLôQeLs Øû\úV θ1 , θ2 GuúTôm. ∴ m1 = tan θ1 , m2 = tan θ2 (TPm 7.23). l1 || l2 G]jRWlThÓs[Õ.

l1 || l2 ⇒ [θ1 = θ2 GuT] JjR úLôQeLs] ⇒ tan θ1 = tan θ2 ⇒ m1 = m2 úSoUô\ôL, m1 = m2 ⇒ tan θ1 = tan θ2

⇒ θ1 = θ2 ⇒ l1 || l2 [Q θ1 , θ2 GuT] JjR úLôQeLs]. Q l1 || l2 ⇔ m1 = m2 m1 , m2ûY NônYôLd ùLôiP CWiÓ úSodúLôÓLs l1 , l2 GuT] JußdùLôuß ùNeÏjÕ G²p m1m2 = –1

0

θ

y

x

y’

x’

y’

θ

x’ x

y

A(x,y

)1

1

B(x,y

)2

2

M

NCθ

0

θ2

y

y’

x’ xθ1

2

1

www.kalvisolai.com

176

TPm 7.25

A(x1, y1), C(x3, y3) B¡V] Øû\úV l1 , l2 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[ ×s°Ls

GuúTôm. AûYLs B (x2, y2) Gu\ ×s°«p ùYh¥dùLôs¡u\]. l1 , l2 GuT] JußdùLôuß ùNeÏjRô]ûY. G]úY ∠ABC = 90o (TPm 7.24).

l1-Cu NônÜ = m1 =32

32

xxyy

−−

(1)

l2-Cu NônÜ = m2 = 21

21

xxyy

−− (2)

ABC GuTÕ ùNeúLôQ ØdúLôQm GuTRôp ∴AB2 + BC2 = AC2 (x1 – x2)2 + (y1– y2)2 + (x2 – x3)3 + (y2 – y3)2

= (x1 – x3)2 + (y1 – y3)2 TPm 7.24

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3x x 2x x y y 2y y x x 2x x y y+ − + + − + + − + +

2 2 2 22 3 1 3 1 3 1 3 1 32y y x x 2x x y y 2y y− = + − + + −

2y22 – 2y1y2 – 2y2y3 + 2y1y3 = –2x2

2 + 2x1 x2 + 2x2 x3 – 2x1 x3 y2

2 – y2y3 – y1y2 + y1y3 = –x22 + x2 x3 – x1x3 + x1x2 ( ÷ by 2)

y2 (y2–y3) – y1 (y2 – y3) = x2 (x3 – x2) – x1 (x3 – x2) (y2 – y3) (y2 – y1) = (x3 – x2) (x2 –x1)

–(y2 – y3) (y1 – y2) = (x2 – x3) (x1 – x2)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

32

32

21

21

xxyy

xxyy = –1

∴ m1 . m2 = –1 (1) & (2)-u T¥ m1 . m2 GuT] CWiÓ ùNeÏjÕ úSodúLôÓL°u NônÜ G²p m1 . m2 = –1.

NônÜ - ùYhÓjÕiÓ AûUl× m-I NônYôLÜm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ `c’ G]Üm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx + c. l Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ m úUÛm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ c G] GÓjÕd ùLôsL. l Gu\ úSodúLôPô]Õ x-Af£u ªûL §ûN«p HtTÓjÕm úLôQm θ G]d ùLôsL. ùLôÓdLlThP úSodúLôPô]Õ y-Af£u ÁÕ c-ùYhÓjÕiûP HtTÓjÕ¡\Õ. G]úY AÕ A(0, c) ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ. P(x,y) GuTÕ úSodúLôh¥u ÁÕ HúRàm JÚ ×s° G] GÓjÕd ùLôsL. x-AfÑdÏ ùNeÏjRôL PN-Ùm PN-dÏ ùNeÏjRôL AM-Ùm YûWL. AûYLs M-p Nk§d¡\Õ. úSodúLôh¥u NônÜ m = tan θ, ∴ ΔAPM-−ÚkÕ

0

y

y’

x’ x

2

1

B (x

,y)

22

C (x ,y )3 3

A (x ,y )1 1

y’

θx’ x

y

A(0,C)

P(x,y)

M

N

C

0

θ

www.kalvisolai.com

177

m = tan θ = ON

NMPNAMPM −

=

= x

cyON

OAPN −=

−

⇒ y – c = mx (ApXÕ) y = mx + c G]úY m-I NônYôLÜm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ c BLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx+ c. Ï±l× : B§Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx. B§Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥tÏ y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ éf£VUôÏm ⇒ c = 0. G]úY B§Y¯VôL ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx. NônÜ - ×s° AûUl× m-I NônYôLÜm (x1, y1) Gu\ ×s°«u Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – y1 = m (x – x1). l Gu\ úSodúLôPô]Õ x-AfÑPu θ úLôQjûRÙm Q (x1, y1) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. P (x,y) GuTÕ úSodúLôh¥u ÁÕ HúRàm

JÚ ×s° GuL. ∴ úSodúLôh¥u NônÜ 1

1

xxyy

−− .

úSodúLôh¥u NônÜ m G²p ⇒ m = 1

1

xxyy

−−

(ApXÕ) y – y1 = m (x – x1). m-I NônYôLÜm Q (x1, y1) Gu\ ×s°«u Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – y1 = m (x – x1). Ï±l× : úSodúLôPô]Õ B§Y¯VôLf ùNu\ôp x1 = 0, y1 = 0, y – 0 = m(x – 0). ∴ y = mx. CWiÓ ×s°Ls AûUl×

(x1,y1), (x2,y2) B¡V CWiÓ ×s°Ls Y¯VôL ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ

.xxxx

yyyy

12

1

12

1

−−

=−

−

l Gu\ úSodúLôPô]Õ A(x1,y1), B(x2,y2) B¡V ×s°Ls Y¯VôLf ùNp¡\Õ G] GÓjÕdùLôs (TPm 7.27). G]úY úSodúLôh¥u NônÜ

0

θ

P(x,y)

Q(x ,y )1 1

y

y’

x’ x

TPm 7.26

0

B(x,y

)2

2

y

y’

x

A(x,y

)1

1

x’

TPm 7.27

www.kalvisolai.com

178

m = 12

12

xxyy

−− . úSodúLôPô]Õ A(x1, y1) Gu\ ×s° Y¯VôL ùNpYRôp úSodúLôh¥u

NUuTôÓ y-y1 = m (x–x1).

y–y1 = )x(x xxyy

112

12 −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− (ApXÕ)

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

G]úY (x1,y1), (x2,y2) B¡V CWiÓ ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u

NUuTôÓ 12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

Uôtß Øû\: (x1, y1), (x2, y2) B¡V CWiÓ ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm

úSodúLôh¥u NUuTôÓ 12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−−

l Gu\ úSodúLôPô]Õ Q(x1,y1), R(x2,y2) Gu\ ×s°Ls Y¯VôL ùNp¡\Õ G] GÓjÕdùLôs. P(x,y) GuTÕ QR Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[ HúRàm JÚ ×s° G]d ùLôsL. Q,P,R GuTÕ JÚ úLôPûUl ×s°Ls BÏm. (TPm 7.28).

∴ PQ-®u NônÜ = QR-Cu NônÜ

⇒ 12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

− .

Uôtß Øû\: (TPm 7.29-−ÚkÕ)

QS = x – x1 PS = y – y1

QT = x2 – x1 RT = y2 – y1

ΔQSP ||| ΔQTR

PSRT

QSQT ∴

PSQS

RTQT

12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−− (ApXÕ)

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

G]úY CWiÓ ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

− .

0

y

y’

x’ x

P(x,y)

R(x ,y )2 2

Q(x ,y )1 1

TPm 7.28

TPm 7.29

O

S

y

x

y’

x’

TQ(x ,y )1

1

P(x,y)R(x ,y )

22

www.kalvisolai.com

179

ùYhÓjÕiÓ AûUl×

x, y AfÑL°p Øû\úV a, b ùYhÓjÕiÓLû[

HtTÓjÕm úSodúLôh¥u NUuTôÓ 1.by

ax

=+

l Gu\ úSodúLôPô]Õ x, y-AfÑdL°p Øû\úV a, b ùYhÓjÕiÓLû[ HtTÓjÕ¡\Õ

GuL. l Gu\ úSodúLôPô]Õ x, y-AfÑLû[ Øû\úV A, BGu\ CPj§p ùYh¥]ôp OA = a, OB = b BÏm. G]úY A,B-Cu BVjùRôûXÜj çWeLs Øû\úV (a,0), (0,b) BÏm, CWiÓ

×s°Ls AûUl©p úSodúLôh¥u NUuTôÓ 12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

(x1,y1) T§XôL (a,0)-ûYÙm (x2,y2) T§XôL (0,b)-ûYÙm ©W§«P

a0ax

0b0y

−−

=−−

aax

by

−−

=

a

aa

xby

−−

−= 1

ax

by

+−=

∴ 1by

ax

=+

G]úY x-Af£p `a’ ùYhÓj ÕiÓm, y-Af£p `b’ ùYhÓjÕiÓm HtTÓjÕm

úSodúLôh¥u NUuTôÓ 1.by

ax

=+

Ï±l× : ùTôÕYôL CWiÓ Uô±Lû[d ùLôiP JÚT¥f NUuTôPô]Õ úSodúLôh¥u NUuTôhûPd Ï±dÏm. G]úY ax + by + c = 0 Gu\ NUuTôÓ ùTôÕYô] úSodúLôh¥u NUuTôhûPd Ï±dÏm. CeÏ a, b-Cp HRôYÕ Juß éf£VUt\RôL CÚdL úYiÓm.

úUÛm by = –ax – c ApXÕ bcx

bay −−=

CfNUuTôhûP y = mx + c Gu\ NUuTôhÓPu Jl©hPôp NônÜ = m = –a/b

∴ m = –x-Cu ùLÝy-Cu ùLÝ

GÓjÕdLôhÓ 17 : x-AfÑdÏ CûQVôLÜm (–3,2) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : x-AfÑdÏ CûQVôL Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = b (1) úSodúLôÓ (1) B]Õ (–3,2) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ. G]úY NUuTôÓ (1)-p (–3,2) ©W§«P, b = 2 G] ¡ûPd¡\Õ. G]úY úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 2 = 0. GÓjÕdLôhÓ 18 : y-AfÑdÏ CûQVôLÜm (–7,5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

0

B(0,b)

y

y’

x’ xA(a,

0)

b

a

TPm 7.30

www.kalvisolai.com

180

¾oÜ : y-AfÑdÏ CûQVôL Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ x = a (1) NUuTôÓ (1) B]Õ (–7,5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. (–7,5)-ûV NUuTôÓ (1)-p ©W§«P, a = –7 G] ¡ûPd¡\Õ. G]úY x = –7 ∴ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x + 7 = 0 BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 19 : x-AfÑPu 60o úLôQjûRÙm B§Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

¾oÜ : NônÜ = m = tan θ = tan 60o = 3 . úSodúLôPô]Õ B§ Y¯VôLf ùNpYRôp ARu y-Af£u ùYhÓjÕiÓ éf£VUôÏm. ∴c = 0. úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx + c

(ApXÕ) y = 3 x 0+ (ApXÕ) y = 3 x. GÓjÕdLôhÓ 20 : x-AfÑPu 30o úLôQjûRÙm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ –3 BLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓLû[d LôiL.

¾oÜ : úRûYVô] úSodúLôh¥u NônÜ m = tan 30o = 3

1 .

y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ c = –3. G]úY NônÜ - ùYhÓjÕiÓ AûUl©p úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx + c. ∴ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ

y = 3

1 x – 3 (ApXÕ) 3 y = x – 3 3 (ApXÕ) x – 3 y–3 3 = 0.

GÓjÕdLôhÓ 21 : 34-I NônYôLÜm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ – 4 BLÜm Es[

úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

¾oÜ : NônÜ m = 34

, c = –4

∴ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = mx + c, y = 34

x–4 (ApXÕ) 4y = 3x–16 (ApXÕ)

3x – 4y – 16 = 0. G]úY úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ 3x – 4y – 16 = 0. GÓjÕdLôhÓ 22 : 3x + 2y + 1 = 0-u NônÜ Utßm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ LôiL. ¾oÜ : úSodúLôh¥u NUuTôÓ 3x + 2y + 1 = 0 (ApXÕ) 2y = –3x – 1 (ApXÕ)

y = –21x

23

−

CfNUuTôhûP y = mx + c Gu\ úSodúLôhÓPu Jl©P, m = 3 1, c2 2

− = − .

∴ NônÜ = 23

− , y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ= 21

− .

GÓjÕdLôhÓ 23 : (5,–7) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm 4-I NônYôLÜm ùLôiP úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : (5, − 7) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm 4-I NônYôLÜm ùLôiP úSodúLôh¥u NUuTôÓ

www.kalvisolai.com

181

y – (–7) = 4 (x–5) (x1,y1) = (5,–7) (ApXÕ) y + 7 = 4x–20 m = 4 (ApXÕ) 4x – y – 27 = 0 y – y1 = m (x–x1) GÓjÕdLôhÓ 24: (7,5), (1,3) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm (–3,4) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : (7,5), (1,3) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u NônÜ

31

62

7153m =

−−

=−−

= 12

12

xxyy

m−−

=

m = 31

CWiÓ úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQ G²p AYt±u NônÜLs NUm.

∴ úRûYVô] úSodúLôh¥u NônÜ 31

y – 4 = 3)(x31

+ (x1,y1) = (–3,4)

3y – 12 = x + 3 y – y1 = m(x – x1) x – 3y + 15 = 0 úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x – 3y + 15 = 0. GÓjÕdLôhÓ 25 : (4,5), (1,2) B¡V ×s°Lû[ CûQdÏm úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm (3,2) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : (4,5), (1,2) B¡V ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôh¥u NônÜ

133

4152m =

−−

=−−

= ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

m = y2 − y1x2 − x1

m = 1 CWiÓ úSodúLôÓLs JußdùLôuß ùNeÏjÕ G²p m1 × m2 = –1 ∴ ùNeÏjÕd úLôh¥u NônÜ = –1/m = –1/1 = –1. ∴úRûYVô] úSodúLôh¥u NônÜ–1. ∴ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 2 = –1 (x – 3) y – y1 = m(x – x1) (ApXÕ) y – 2 = –x + 3 (ApXÕ) x + y – 5 = 0 úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x + y – 5 = 0. GÓjÕdLôhÓ 26 : 5x – 3y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm (1,3) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NUuTôÓ 5x – 3y + 1 = 0

⇒ úSodúLôh¥u NônÜ = –5/–3 = 5/3 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ m = −

x-Cu ùLÝy-Cu ùLÝ

www.kalvisolai.com

182

⇒ 5/3-ûV NônYôLÜm (1,3) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 3 = 5/3 (x – 1) (x1,y1) = (1,3) 3y – 9 = 5x – 5 y – y1 = m(x – x1) 5x – 3y + 4 = 0 GÓjÕdLôhÓ 27 : 5x + 4y + 11 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏf ùNeÏjRôLÜm (0,7) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NUuTôÓ 5x + 4y + 11 = 0. ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NônÜ = –5/4;

∴ ùNeÏjÕdúLôh¥u NônÜ = 4/5 m = − x-Cu ùLÝy-Cu ùLÝ

úRûYVô] úSodúLôPô]Õ (0,7) Gu\ CWiÓ úSodúLôÓLs ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ. ùNeÏjÕ G²pm1m2 = –1 ∴úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 7 = 4/5 (x – 0) 5y – 35 = 4x (x1,y1) = (0,7) 4x – 5y + 35 = 0 y–y1 = m(x–x1) GÓjÕdLôhÓ 28 : JÚ ØdúLôQj§u Ef£Ls Øû\úV (1,2), (–3,4), (5,–3) G²p (1,2) Gu\ Ef£«−ÚkÕ G§olTdLj§tÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : A(1,2), B(–3,4) , C(5,–3).

BC-Cu NônÜ = 87

3543

−=+−− 2 1

2 1

y ym

x x⎛ ⎞−

=⎜ ⎟−⎝ ⎠Q

CWiÓ úSodúLôÓLs ùNeÏjÕ G²p m1m2 = –1 A Y¯VôL BC-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u NônÜ m = 8/7. ÏjÕdúLôPô]Õ A(1,2) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNpYRôp ÏjÕdúLôh¥u NUuTôÓ. ⇒ y – 2 = 8/7 (x–1) 7y – 14 = 8x – 8 (ApXÕ) 8x – 7y + 6 = 0 ( y – y1 = m(x – x1)) GÓjÕdLôhÓ 29 : A(1,7), B(–3,3) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

¾oÜ : ûUVl×s° = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

2yy,

2xx 2121

AB-«u ûUVl×s° = 1,5)(2

73,2

13−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++− m =

12

12

xxyy

−−

AB-«u NônÜ = 144

1373

=−−

=−−

−

∴ ùNeÏjÕd úLôh¥u NônÜ = –1

www.kalvisolai.com

183

(–1,5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm–1 NônYôLÜm ùLôiP ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôÓ

y – 5 = –1 (x+1) m = –1 y – 5 = –x – 1 (x1,y1) = (–1,5) x + y – 4 = 0 y – y1 = m(x – x1) GÓjÕdLôhÓ 30 : A(5,1), B(–2,2) B¡V ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôPûPd LôiL. ¾oÜ : A(5,1), B(–2,2) GuT] ùLôÓdLlThP ×s°Ls. ∴ A, B-ûV CûQdÏm úSodúLôh¥u NUuTôÓ

52

5x121y

−−−

=−−

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

75x

11y

−−

=+− (ApXÕ) –7y + 7 = x – 5

∴úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x + 7y – 12 = 0. GÓjÕdLôhÓ 31 : ØdúLôQm ABC-«u Ef£Ls Øû\úV A(–2,8), B(1,2), C(7,–8). Ef£ A Y¯VôL ùNpÛm SÓdúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : A(–2,8), B(1,2), C(7, –8) GuT] ØdúLôQm Ef£Ls G]jRWlThÓs[]. D GuTÕ BC-«u ûUVl×s° G] GÓjÕd ùLôsL.

∴ ûUVl×s° BC = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

282,

271 = (4, –3) ûUVl×s°= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

2yy

,2

xx 2121

SÓdúLôÓ AD B]Õ A (–2,8), D(4,–3) Gu\ ×s°Ls Y¯VôLf ùNp¡\Õ. ∴ AD-Cu NUuTôÓ

242x

838y

++

=−−

− 12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

6

2x11

8y +=

−− (x1, y1) = (− 2, 8)

6y – 48 = –11x – 22 (x2, y2) = (4, –3) 11x + 6y – 26 = 0 GÓjÕdLôhÓ 32 : (4,2), (7,5), (9,7) B¡V ×s°Ls JÚ úLôPûU ×s°Ls G] ¨ì©. ¾oÜ : A(4,2), B(7,5), C(9,7) GuT] ùLôÓdLlThP ×s°Ls.

AB-Cu NUuTôÓ 474x

252y

−−

=−−

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

3

4 -x 3

2y=

−

∴ x – y – 2 = 0 (1)

A(-2,8)

B(1,2) C(7,-8)D

TPm 7.31

www.kalvisolai.com

184

(9,7) Gu\ ×s°ûV NUuTôÓ (1)-p ©W§«P x – y – 2 = 0 (ApXÕ) 9 – 7 – 2 = 0 (ApXÕ) 0 = 0 ∴ (9,7) Gu\ ×s° AB Gu\ úSodúLôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. ∴ (9,7) Gu\ ×s° AB Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ. G]úY ùLôÓdLlThP êuß ×s°LÞm JÚ úLôPûUl×s°Ls BÏm. GÓjÕdLôhÓ 33 : 7x – 5y = k Gu\ úSodúLôPô]Õ (1,1) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ G²p k-u U§l× VôÕ? ¾oÜ : ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NUuTôÓ 7x – 5y = k (1) NUuTôÓ (1)B]Õ (1,1) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNpYRôp 7(1) – 5(1) = k 2 = k ∴ k = 2 GÓjÕdLôhÓ 34 : A(1,7), B(0,–2), C(3,3) B¡VYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u TdLeL°u NUuTôhûPd LôiL.

¾oÜ : AB-u NUuTôÓ101x

727y

−−

=−−

−

ApXÕ 11x

97y

−−

=−− ApXÕ –y + 7 = –9x + 9

ApXÕ 9x – y – 2 = 0

BC-Cu NUuTôÓ 030x

232y

−−

=++ (ApXÕ)

3x

52y

=+

(ApXÕ) 3y + 6 = 5x (ApXÕ) 5x – 3y – 6 = 0

AC-Cu NUuTôÓ 131x

737y

−−

=−− (ApXÕ)

21x

47y −

=−−

2y –14 = –4x + 4 (ApXÕ) 4x + 2y – 18 = 0 (ApXÕ) 2x + y – 9 = 0. GÓjÕdLôhÓ 35 : (5,–3), (–5,3), (6,6) GuT] Øû\úV ØdúLôQj§u TdLeL°u ûUVl×s°Ls G²p ØdúLôQj§u TdLeL°u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : ABC GuTÕ ùLôÓdLlThP ØdúLôQm. D,E , F GuTÕ Øû\úV BC, CA, AB-u ûUVl×s°Ls GuL. D, E, F-Cu BVjùRôûXÜj çWeLs Øû\úV (5,–3), (–5,3), (6,6) G] GÓjÕd ùLôsL. JÚ ØdúLôQj§u CWiÓ TdLeL°u ûUVl×s°Lû[ úNodÏm úSôdúLôÓ êu\ôYÕ TdLj§tÏ CûQVôÏm. ∴ BC || EF

∴ BC-Cu NônÜ = EF-u NônÜ = .113

5636

=+−

D (5,–3) GuTÕ BC-Cu ûUVl×s°. ∴ 3/11-I NônYôLÜm D(5,–3) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNpÛm BC-Cu NUuTôÓ

A(1,7)

B(0,-2) C(3,3)D

A

B CD(5,-3)

F(6,6) E(-5,3)

TPm 7.32

TPm 7.33

www.kalvisolai.com

185

y + 3 = 311

(x – 5) ApXÕ 11y + 33 = 3x – 15 ApXÕ 3x – 11y – 48 = 0

∴ BC-«u NUuTôÓ 3x – 11y – 48 = 0 úUÛm, DF || CA

∴ AC-Cu NônÜ = DF-Cu NônÜ = 919

5636

==−+

E(–5,3) GuTÕ AC-Cu ûUVl×s°. ∴ AC-Cu NUuTôÓ y – 3 = 9 (x + 5) (ApXÕ) y – 3 = 9x + 45. ∴9x –y + 48 = 0 LûP£VôL, DE || AB

AB-Cu NônÜ = DE-Cu NônÜ = 53

106

5533 −

=−

=−−

+

∴ AB-Cu NUuTôÓ y – 6 = 53

− (x – 6) (ApXÕ) 5y – 30 = –3x + 18, ∴ 3x + 5y – 48 = 0

GÓjÕdLôhÓ 36 : x – 2y = 0, 2x + y + 1 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JußdùLôuß ùNeÏjÕ G] ¨ì©.

¾oÜ : x – 2y = 0 Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ, m1 = 1 12 2

−=

− m =

x-Cu ùLÝy-Cu ùLÝ

2x + y + 1 = 0-®u NônÜ m2 = 21

− = –2.

NônÜL°ýu ùTÚdLtTXu = m1 m2 = 12

× (–2) = –1.

G]úY CWiÓ úSodúLôÓLÞm JußdùLôuß ùNeÏjRôÏm. GÓjÕdLôhÓ 37 : x = 2y, 2x – 4y + 7 = 0B¡V úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQVô]ûY G] BWônL.

¾oÜ : x – 2y = 0 Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ = m1 = 1 12 2

−=

−

2x – 4y + 7 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ = m2 = 2 14 2

−=

− ⇒ m1 = m2 = 1

2

NônÜLs NUUôL Es[Rôp úSodúLôÓLs CûQVô]ûYVôÏm. GÓjÕdLôhÓ 38 : BV AfÑL°p Øû\úV 1/3, 2/5 ùYhÓjÕiÓLû[ HtTÓjÕm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : a = x – AfÑ ùYhÓjÕiÓ= 1/3, b = y – AfÑ ùYhÓjÕiÓ= 2/5

∴úSodúLôh¥u NUuTôÓ x y 1 1/3 2/5

+ = xa +

yb = 1

ApXÕ 3x + 5y2 ∴6x + 5y – 2 = 0

www.kalvisolai.com

186

GÓjÕdLôhÓ 39 : 3x –2y – 6 = 0 Gu\ úSodúLôPô]Õ BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiûPd LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NUuTôÓ 3x – 2y = 6

ùLôÓdLlThP NUuTôhûP 6-Bp YÏdL (YXl×\j§p 1 ¡ûPdL), 3x 2y 16 6

− =

CRû] 13

y2x

=−

+ G] GÝRXôm. CfNUuTôhûP 1by

ax

=+ Gu\ NUuTôhÓPu

Jl©P x–AfÑ ùYhÓjÕiÓ = 2, y – AfÑ ùYhÓjÕiÓ = –3 GÓjÕdLôhÓ 40 : BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiÓLs Øû\úV GiQ[®p NUUôLÜm G§odÏ±ûVl ùTtßm (6,5) Gu\ ×s°L°u Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiÓLs Øû\úV a, –a GuL. ùYhÓjÕiÓLs AûUl©p úSodúLôh¥u NUuTôÓ

1a

yax

=−

+ x – y = a ...... (1)

CkR úSodúLôÓ (6,5) Y¯VôL ùNp¡\Õ ⇒ (6,5) NUuTôÓ (1) ¨û\Ü ùNnV úYiÓm. ∴ 6–5 = a, a = 1 ∴ (1)-−ÚkÕ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x – y = 1 ApXÕ x – y – 1 = 0 GÓjÕdLôhÓ 41: BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiÓL°u áÓRp 8 BLÜm (–3,10) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

¾oÜ: ùYhÓjÕiÓLs AûUl©p úSodúLôh¥u NUuTôÓ 1by

ax

=+ (1)

ùYhÓjÕi¥u áÓRp = 8 ⇒ a + b = 8, b = 8 – a

(1)-Cp ©W§«P 1a8

yax

=−

+ (2)

úSodúLôPô]Õ (–3,10) Y¯VôLf ùNp¡\Õ ⇒ (–3,10) GuTÕ NUuTôÓ (2) ¨û\Ü ùNnV úYiÓm.

3 10 3(8 a) 10a1, 1a 8 a a(8 a)

− − − ++ = =

− −

–24 + 3a + 10a = 8a – a2 ApXÕ a2 + 5a – 24 = 0 (a – 3) (a + 8) = 0 ApXÕ a = 3, a = – 8 a = 3 G²p b = 8 – a = 8 – 3 = 5, a = –8 G²p b = 8 – (–8) = 8 + 8 = 16

a = 3 G²p b = 5 G²p úSodúLôh¥u NUuTôÓ 15y

3x

=+

⇒ 5x + 3y = 15 ApXÕ 5x + 3y – 15 = 0

a = –8, b = +16 G²p, úSodúLôh¥u NUuTôÓ 116y

8x

=+−

116

2=

+− yx , –2x + y = 16, 2x – y + 16 = 0

www.kalvisolai.com

187

GÓjÕdLôhÓ 42 : x , y AfÑ ùYhÓjÕiÓLs Øû\úV 3:5 Gu\ ®¡Rj§Ûm (4,–5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ : BV AfÑL°u ùYhÓjÕiPLs Øû\úV a, b GuL. a : b = 3:5 G]jRWlThÓs[Õ. ⇒ a = 3k, b = 5 k

úSodúLôh¥u NUuTôÓ x y 1,

3k 5k+ = 5x + 3y = 15k

(4,–5)-I 5x + 3y = 15k-Cp ©W§«P, 5(4) + 3(–5) = 15k ApXÕ 20 – 15 = 15k ApXÕ 5 = 15k ∴ k = 1/3 úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ 5x + 3y = 15 (1/3); 5x + 3y – 5 = 0 GÓjÕdLôhÓ 43: JÚ úSodúLôh¥u BV AfÑLÞdÏ CûPlThP TÏ§«u ¿[jûR (4,3) Gu\ ×s°Vô]Õ 2:3 Gu\ ®¡Rj§p ©¬jRôp AkR úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : úSodúLôh¥u x, y AfÑdLû[ Øû\úV A(a,0), B(0,b) Gu\ ®¡Rj§p Nk§d¡\Õ.

1by

ax

=+ (1)

(4, 3) Gu\ ×s°Vô]Õ BA Gu\ úSodúLôhûP Eh×\jRôp 3:2 Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ.

⇒ 4 = 3 a 2 0 2020 3a a3 2 3

× + ×⇒ = ∴ =

+

⇒ 3 = 3 0 2 b 1515 2b b3 2 2

× + ×⇒ = ∴ =

+

G]úY (1)-−ÚkÕ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ ,1(15/2)

y(20/3)

x=+

(ApXÕ) 3x 2y 120 15

+ = ApXÕ 9x + 8y = 60.

T«t£ 7.3 1. (i) x-AfÑdÏ CûQVôLÜm (2,–3) Gu\ ×s°Y¯VôLÜm ùNpÛm

úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. (ii) y-AfÑdÏ CûQVôLÜm (–3,5) Gu\ ×s°Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u

NUuTôhûPd LôiL. 2. x-AfÑPu 60o úLôQjûRÙm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ – 3 BLÜm Es[

úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. 3. 3 -I NônYôLÜm, y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ – 2/3 BLÜm Es[ úSodúLôh¥u

NUuTôhûPd LôiL.

TPm 7.34

0

y

y’

x

3

(4,3)

2

(a,0)A

(0,b)B

x’

B(0,b)

3 2

(4.3) A(a, 0)

TPm 7.34

www.kalvisolai.com

188

4. úSodúLôh¥u NUuTôÓ 2x–2 3 y – 3 = 0 G²p . (i) úSodúLôh¥u NônÜ LôiL (ii) úSodúLôPô]Õ x-AfÑPu HtTÓjÕm úLôQm LôiL.

5. ¸rdLôÔm úSodúLôÓLÞdÏ NônÜ, Utßm y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ LôiL. (i) 3x + 2y = 4 (ii) 2x = y 6. ¸rdLôÔm ®YWeLÞdÏ úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. (i) NônÜ –3 BLÜm (–2,3) Gu\ ×s°«u Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ (ii) NônÜ –5/3 BLÜm (–3,5) Gu\ ×s°«u Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ (iii) NônÜ 2/3 BLÜm (3,1) Gu\ ×s°«u Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ 7. ¸rdLôÔm ®YWeLÞdÏ úSodúLôh¥u NUuTôÓLû[ LiÓ©¥. (i) (0,7), (2,1) Gu\ ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm Utßm

(–9,5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. (ii) (2,3), (4,5) Gu\ ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm Utßm

(2,–4) Gu\ ×s° Y¯VôL ùNp¡\Õ. 8. ¸rdLôÔm ®YWeLÞdÏ úSodúLôh¥u NUuTôÓLû[d LôiL. (i) (3,2), (6,–4) Gu\ ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm (–3,4)

Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. (ii) (0,7), (2,1) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏf ùNeÏjRôLÜm (–9,5)

Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. 9. ¸rdLôÔm ®YWeLÞdÏ úSodúLôh¥u NUuTôÓLû[ LiÓ©¥.

(i) 5x – 3y +1 = 0 Gu\ ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm (2,1) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ.

(ii) 3x + 2y – 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm (1,3) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ.

10. ¸rdLôÔm ®YWeLÞdÏ úSodúLôh¥u NUuTôÓLû[ LiÓ©¥. (i) x – 2y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm (2,4) Gu\ ×s°

Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. (ii) 4x – 3y + 2 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm (–2,3) Gu\ ×s°

Y¯VôLÜm ùNp¡\Õ. 11. (i) ØdúLôQm ABC-p A,B,C-Cu AfÑjçWeLs Øû\úV (1,–3) (–2,5), (–3,4)

G²p AD Gu\ ÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. (ii) JÚ ØdúLôQj§p Ef£Ls Øû\úV (1,3), (–2,4), (3,–5) G²p Ef£ (1,3)-

−ÚkÕ G§olTdLj§tÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

12. (i) PQ-u AfÑjçWeLs Øû\úV (5,–6), (5,–4) G²p PQ-Cu ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

(ii) (5,6), (2,–2) B¡V ×s°Lû[ CûQdÏm úSodúLôh¥u ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

13. ¸rdLôÔm ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

(i) A(–1,3), B(4,–2) (ii) (3,6), (–2,1) (iii) (0,0), (3,2) (iv) (0,8), (3,1) 14. (i) ØdúLôQm ABC-Cu Ef£Ls Øû\úV A(3,2), B(0,4), C(6,2). G²p Ef£ A

Y¯VôLf ùNpÛm SÓdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. (ii) ΔPQR-u Ef£Ls Øû\úV P(0,–6), Q(–8,2), R(8,5) G²p Ef£ R Y¯VôLf

ùNpÛm SÓdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. (iii) ΔABC-u Ef£Ls Øû\úV A(5,6), B(–11,2), C(6,–11). G²p Ef£ A

Y¯VôLf ùNpÛm SÓdúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

www.kalvisolai.com

189

15. ¸rdLiP ×s°Ls JÚ úLôPûUl ×s°Ls G] ¨ì©dLÜm. (i) (3,–2), (1,4), (–3,16) (ii) (2,–3), (4,1), (1,–5). 16. (i) 4x – 3y – 8 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕ (2,0) Gu\ ×s° AûUkÕs[Rô G]

BWônL.

(ii) (1,0) Gu\ ×s° x + 3y – 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Rô G] BWônL. (iii) (1,2) Gu\ ×s° 2x – y + 3 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Rô G] BWônL. (iv) ax + by – 2ab = 0 Gu\ úSodúLôPô]Õ (b,a) Gu\ ×s° Y¯VôL ùNp¡\Rô

G] BWônL. 17. ¸rdLôÔm NUuTôh¥p k-u U§l× LôiL. (i) (1,1) Gu\ ×s° 2x + ky + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ. (ii) 3x + 12y + k = 0 Gu\ úSodúLôPô]Õ (1,–2) Gu\ ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ. (iii) (1,2) Gu\ ×s°Vô]Õ x – ky = 5 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ. 18. ØdúLôQm ABC Ef£Ls Øû\úV A(1,2), B(3,5), C(2,–5) G²p ØdúLôQj§u

TdLeL°u NUuTôÓLû[d LôiL. 19. (i) ABC-p BC, CA, AB-Cu ûUVl×s°Ls Øû\úV (2,1), (5,3), (3,–4) G²p

ØdúLôQj§u TdLeL°u NUuTôhûPd LôiL. (ii) ØdúLôQm ABC-Cp BC, CA, AB-Cu ûUVl×s°Ls Øû\úV

(–5,7), (–5,–5), (2,1) G²p BC-u NUuTôhûPd LôiL. 20. BV AfÑL°p ¸rdLôÔm ùYhÓjÕiÓLû[ HtTÓjÕm úSodúLôh¥u

NUuTôhûPd LôiL.

(i) 3,2 (ii) 4,–3 (iii) –2,3/4 21. ¸rdLôÔm úSodúLôÓLs BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiûPd LôiL.

(i) 4x + 3y + 12 = 0 (ii) 5x + y + 3 = 0 22. BV AfÑL°u ùYhÓjÕiÓLs NUUôLÜm (4,5) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm

ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. 23. BV AfÑL°u ùYhÓjÕiÓLs NUUôLÜm (3,–4) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm

ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

24. y-AfÑ ùYhÓjÕiÓ, x-AfÑjÕiûPl úTôp CWiÓ UPeÏm (5,2) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

25. BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiÓLs GiQ[®p NUUôLÜm G§odÏ±ûV ùTtßm (2,–1) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

26. x, y-AfÑL°u ùYhÓjÕiÓLs Øû\úV 2a, 3a BLÜm (14,–9) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

27. BV AfÑL°p HtTÓjÕm ùYhÓjÕiÓL°u áÓRp 14 BLÜm (3,4) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNVpTÓm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

28. x, y-AfÑ ùYhÓjÕiÓLs Øû\úV 3:5 Gu\ ®¡Rj§Ûm (1,4) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNVpTÓm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

www.kalvisolai.com

190

29. 3x + 4y + 7 = 0, 28x – 21y + 50 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JußdùLôuß ùNeÏjRô]ûY G] ¨ì©.

30. x + 2y + 1 = 0, 2x – y + k = 0 B¡V úSodúLôÓLs k-Cu GpXô U§l×LÞdÏm ùNeÏjRô]ûY G] ¨ì©.

31. 3x + 4y+ 7 = 0, 21x + 28y + 50 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQVô]ûY G] ¨ì©.

32. x + 2y +1 = 0, 3x + ky + 5 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JußdùLôuß CûQ G²p k-Cu U§lûTd LôiL.

7.4 úSodúLôÓL°u £X Ti×Ls 7.4.1 CWiÓ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞRp JußdùLôuß CûQVt\ CWiÓ úSodúLôÓLs JÚ ×s°«p Nk§dÏm. CkR ùTôÕYô] ×s°úV CWiÓ úSodúLôÓL°u ùYh¥dùLôsÞm ×s°VôÏm. Juû\ùVôuß ùYh¥dùLôsÞm CWiÓ úSodúLôÓL°u NUuTôÓLs RWlThPôp AYtû\j ¾oÜ LôiTRu êXm ùYh¥dùLôsÞm ×s° ¡ûPdÏm. GÓjÕdLôhÓ 44 : 2x – 2y = 6, x + y = 3 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVd LôiL. ¾oÜ: 2x – 3y = 6 (1) x + y = 3 (2) B¡V NUuTôÓL°u ¾oÜ LôiúTôm. 2x – 3y = 6 (1) (2) × 3 ⇒ 3x + 3y = 9 (3) (1) + (3) ⇒ 5x = 15 ∴ x = 3 NUuTôÓ (2)-p x = 3-I ©W§«hPôp 3 + y = 3 ApXÕ y = 0 G]úY (3,0) GuTÕ CWiÓ úSodúLôÓLÞm ùYh¥dùLôsÞm ×s°VôÏm. GÓjÕdLôhÓ 45: 6x – 3y – 30 = 0 Gu\ úSodúLôÓ (i) x – AfûN Nk§dÏm ×s° (ii) y – AfûN ùYhÓm ×s° B¡VYtû\d LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP úSodúLôh¥u NUuTôÓ 6x – 3y – 30 = 0 (1) i) úSodúLôPô]Õ x-AfûN A-p Nk§d¡\Õ.

G]úY A-u y-BVj ùRôûXÜjçWm y = 0 ∴ y = 0-ûY NUuTôÓ (1)-p ©W§«P 6x – 3(0) – 30 = 0 ApXÕ 6x = 30 ApXÕ x = 30/6 = 5 ⇒ úSodúLôPô]Õ x-AfûN A (5,0) Gu\ ×s°«p Nk§d¡\Õ. ii) úSodúLôPô]Õ y-AfûN B-«p Nk§d¡\Õ. B-u BVjùRôûXÜj çWm x = 0 x = 0-ûY NUuTôÓ (1)-p ©W§«P, 6(0) –3y – 30 = 0, –3y = 30 ApXÕ y = 30/–3 = –10 ⇒ úSodúLôPô]Õ y-AfûN B(0,–10)-p Nk§d¡\Õ.

O

y

x

y’

x’

B

A

6x - 3y - 30 = 0

TPm 7.36

www.kalvisolai.com

191

GÓjÕdLôhÓ 46 : 2x + y = 3, 3x – y = 7 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° Y¯VôLÜm 2x – y + 5 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : ùYh¥dùLôsÞm úSodúLôÓL°u ¾oÜ LôQp, 2x + y = 3 (1) 3x – y = 7 (2) (1) + (2) 5x =10 x = 2 x = 2-I NUuTôÓ (1)-Cp ©W§«P 2(2) + y = 3, y = 3 – 4 ApXÕ y = –1 úSodúLôÓLs (1), (2) ùYh¥dùLôsÞm ×s° (2,–1). úRûYVô] úSodúLôPô]Õ (2,–1) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm 2x – y + 5 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm Es[Õ. 2x – y + 5 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ = –2/–1 = 2 ⇒ G]úY m = 2ûY NônYôLÜm (2, − 1) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôQp. y – (–1) = 2 (x – 2) ApXÕ y + 1 = 2x – 4 ApXÕ 2x – y – 5 = 0 G]úY úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ 2x – y + 5 = 0 GÓjÕdLôhÓ 47 : 5x – 8y + 23 = 0, 7x + 6y – 71 = 0 Gu\ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôLÜm 4x – 2y = 3 Gu\ úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : 5x – 8y + 23 = 0 (1) 7x + 6y – 71 = 0 (2) Gu\ NUuTôÓLs ùYh¥dùLôsÞm (1) x 6 ⇒ 30x – 48y + 138 = 0 (3) ×s°ûVd LôQp (2) x 8 ⇒ 56x + 48y – 568 = 0 (4)

(3) + (4) ⇒ 86x – 430 = 0 (ApXÕ) 86x = 430 (ApXÕ) x = 586430

=

x = 5-u U§l× (1)-p ©W§«P, 5(5) – 8y + 23 = 0, –8y = –48, y = –48/–8 = 6 ⇒ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° (5,6). 4x –2y = 3 Gu\ úSodúLôh¥u NônÜ –4/–2 = 2 ⇒ 4x – 2y = 3 Gu\ úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôL Es[ úSodúLôh¥u NônÜ –1/2 –1/2-ûY NônYôLÜm (5,6) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 6 = –1/2 (x – 5) ApXÕ 2y – 12 = –x + 5 ApXÕ x + 2y = 17 G]úY úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x + 2y – 17 = 0 GÓjÕdLôhÓ 48 : x + y – 5 = 0, 2x + 3y = 13 B¡V úSodúLôÓLs YhPj§u ®hPeLs, úUÛm (2,1) GuTÕ YhPj§u úUÛs[ ×s° G²p YhPj§u BWm LôiL. ¾oÜ : YhPj§u ûUVUô]Õ ùLôÓdLlThP CWiÓ ®hPeLÞm ùYh¥dùLôsÞm ×s°VôÏm. G]úY x + y – 5 = 0 (1) 2x + 3y = 13 (2) B¡V NUuTôÓL°u ¾oÜ LôQp (1) x 2 ⇒ 2x + 2y = 10 (3) (2) – (3) ⇒ y = 3

www.kalvisolai.com

192

y = 3I NUuTôÓ (1)-p ©W§«P x + y – 5 = 0, x + 3 – 5 = 0 ApXÕ x = 2. ⇒ ùYh¥dùLôsÞm ×s° (2,3) (ApXÕ) YhPj§u ûUVm (2,3) BÏm. (2,1) GuTÕ YhPj§u ÁÕs[ ×s°VôÏm. ⇒ BWm = ûUVm (2,3) Gu\ ×s°dÏm (2,1)-dÏm CûPúVÙs[ çWUôÏm.

BWm = 2 2(2 2) (1 3)− + − = 2 20 ( 2)+ − = 4 AXÏLs d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 BWm = 2 AXÏLs GÓjÕdLôhÓ 49 : JÚ ×s°Vô]Õ (3,4), (8,5) B¡V ×s°LÞPu JÚ úLôPûUVôL AûUYÕPu 2x + y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ G²p Al×s°ûVd LôiL. ¾oÜ : úRûYVô] ×s°Vô]Õ (3,4), (8,5) B¡V ×s°LÞPu JÚ úLôPûUVôL Es[Õ. úUÛm 2x + y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ. (3,4), (8,5) B¡V ×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôh¥u NUuTôÓ

⇒ y 4 x 3 y 4 x 3or5 4 8 3 1 5

− − − −= =

− −

12

1

12

1

xxxx

yyyy

−−

=−

−

5y – 20 = x – 3, x – 5y + 17 = 0 úRûYVô] ×s°Vô]Õ x – 5y + 17 = 0, 2x + y + 1 = 0. B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°VôÏm. G]úY CYt±u ¾oÜ LôQ x – 5y + 17 = 0 (1) 2x + y + 1 = 0 (2) NUuTôÓ (1), (2)-I ¾odL (2) × 5 ⇒ 10x + 5y + 5 = 0 (3) (1) ⇒ x – 5y + 17 = 0 (1) + (3) ⇒ 11x + 22 = 0 11x = –22 ApXÕ x = –22/11 = –2 x-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P x = –5y + 17 = 0 ApXÕ –2 –5y + 17 = 0 ApXÕ –5y + 15 = 0 ApXÕ –5y = –15, y = 3. úRûYVô] ×s° (–2,3).

GÓjÕdLôhÓ 50: (3,1) Gu\ ×s°ûVÙm 2x – y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVÙm úNodÏm úSodúLôh¥u ¿[m LôiL. ¾oÜ : 2x – y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° P GuL. 2x – y + 5 = 0 (1) x + y + 1 = 0 (2) (1) + (2) ⇒ 3x + 6 = 0 3x = – 6 (ApXÕ) x = –6/3 ApXÕ x = –2 x-u U§lûT (1)-p ©W§«P 2x – y + 5 = 0 ⇒ 2(–2) – y + 5 = 0, –4 – y + 5 = 0, –y + 1 = 0, –y = –1, y = 1 ⇒ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° (–2,1).

2x + y + 1 = 0

B(8,5)

A(3,4)

x + y + 1 = 0

2x - y

+ 5 = 0

P

A(3,1)

TPm 7.37

TPm 7.38

www.kalvisolai.com

193

A(3,1) GuTÕ ùLôÓdLlThP ×s°. ∴ A(3,1), P(–2,1) B¡V ×s°LÞdÏ CûPlThP

çWm 22 )11()32( −+−−= = 25 = 5 AXÏLs úRûYVô] úSodúLôh¥u ¿[m 5 AXÏLs.

GÓjÕdLôhÓ 51 : 5x – 3y = 8, 2x – 3y = 5 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVÙm (4,5) Gu\ ×s°ûVÙm úNodÏm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

¾oÜ :

5x – 3y = 8 (1) 2x – 3y = 5 (2) B¡V NUuTôÓL°u ¾oÜ LôQp

(1) – (2) ⇒ 3x = 3 (ApXÕ) x = 1 x-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P

5x – 3y = 8, 5(1) – 3y = 8, –3y = 8 – 5 =3, y = 3/–3 = –1 ∴ y = –1 G]úY (1), (2) B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥d ùLôsÞm ×s° (1, –1), (1,–1), (4,5) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôQp.

y + 15 + 1 =

x − 14 − 1 ApXÕ

y + 16 =

x − 13 ApXÕ 3y + 3 = 6x – 6

6x – 3y – 9 = 0 2x – y – 3 = 0 ( 3-Bp YÏdL) G]úY úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ 2x – y – 3 = 0. GÓjÕdLôhÓ 52: x + y = 3, 2x + y = 5 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVÙm (1,5), (–5,1) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥û] CÚNUdá±Óm ×s°ûVÙm úNodÏm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL. ¾oÜ :

x + y = 3 (1) 2x + y = 5 (2) L¯dL –x = –2 (ApXÕ) x = 2 x = 2-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P, x + y = 3 ApXÕ 2 + y = 3 ApXÕ y = 3 – 2 = 1. ⇒ (1), (2) B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° (2,1). (1,5), (–5,1) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u ûUVl×s°

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

=2

15,2

51 = (–2,3)

G]úY (2,1), (–2,3) B¡V ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y − 13 − 1 =

x − 2 − 2 − 2 ApXÕ

y − 12 =

x − 2− 4

–4y + 4 = 2x – 4 (ApXÕ) 2x + 4y – 8 = 0 (ApXÕ) x + 2y – 4 = 0

∴ úRûYVô] úSodúLôh¥u NUuTôÓ x + 2y – 4 = 0.

www.kalvisolai.com

194

T«t£ 7.4.1

1. ¸rdLiP úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVd LôiL. (i) 2x + 3y = 8, 2x – 3y = 4, (ii) 3x + 5y = 6, 5x – y = 10.

2. 4x + 3y – 12 =0 Gu\ úSodúLôPô]Õ BV AfÑLû[j ùRôÓm ×s°ûVd LôiL.

3. 2x –y + 5 = 0, x + y + 1 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôLÜm 3x – y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôLÜm ùNVpTÓm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

4. JÚ ØdúLôQj§u TdLeL°u NUuTôÓLs Øû\úV x + 4y = 9, 9x + 10y + 23 = 0, 7x + 2y = 11 G²p ØdúLôQj§u Ef£Lû[d

LôiL. 5. 2x + y – 1 = 0, x – 3y + 3 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVd

LôiL. úUÛm ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôLÜm x-AfÑdÏ CûQVôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

6. x + y – 5 = 0, 2x + 3y = 13 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôLÜm y-AfÑdÏ CûQVôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

7. ¸rdLôÔm úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVd LôiL. (i) x= –4, y = 0 (ii) y = 0, x = 3. 8. x + y – 5 = 0, 3x – y + 1 = 0 GuT] YhPj§u ®hPeLs, YhPUô]Õ (0,1) Gu\

×s° Y¯VôLf ùNu\ôp YhPj§u BWjûR LQd¡Ó. 9. 4x–y–3=0, x + y – 2 = 0 Gu\ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u

Y¯VôLÜm 2x – 5y + 3 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

10. JÚ ×s°Vô]Õ (7,5), (1,1) B¡V ×s°LÞPu JÚ úLôPûUY]. úUÛm CÕ x – 3y + 2 = 0 Gu\ úSodúLôh¥u ÁÕs[Õ G²p Al×s°ûVd LôiL.

11. 2x + 5y – 25 = 0, 5x + 4y – 20 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVÙm (3,4) Gu\ ×s°ûVÙm CûQdÏm úSodúLôh¥u ¿[m LôiL.

12. x + y – 5 = 0. 3x – y + 1 = 0 Gu\ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° Y¯VôLÜm (2,3) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

13. 2x + y – 5 = 0, x + y – 3 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôLÜm (2,3), (–4,1) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u ûUVl×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

14. 2x + y – 3 = 0, 5x +y – 6 = 0 Gu\ úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVÙm (7,2), (3,2) B¡V ×s°L°u ûUVl×s°ûVÙm CûQdÏm úSodúLôh¥u ¿[m LôiL.

www.kalvisolai.com

195

15. 2x + y – 3 = 0, 5x + y – 6 = 0 B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°«u Y¯VôL (1,2), (2,1) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏf ùNeÏjRôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôiL.

7.4.2 úSodúLôÓL°u Nk§l×

CWiÓ ApXÕ CWi¥tÏm úUtThP úSodúLôÓLs JÚ ×s°«p Nk§jRôp ARtÏ úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° GuTo. úSodúLôÓLs JÚ ×s° Y¯VôLf ùNpYûR A±YRtLô] T¥Ls

i. HúRàm CWiÓ úSodúLôÓLû[ GÓjÕdùLôiÓ AûYLs ùYh¥dùLôsÞm ×s°ûVd LôiL.

ii. CkRl ×s°ûV êu\ôYÕ NUuTôh¥p ©W§«ÓL. iii. CkRl ×s° êu\ôYÕ NUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Rô G] BWônL. iv. Cl×s° êu\ôYÕ NUuTôhûP ¨û\Ü ùNnRôp êuß úSodúLôÓLÞm

JÚ ×s° Y¯VôLf ùNp¡\Õ G] A±VXôm.

GÓjÕdLôhÓ 53: 2x – 3y + 4 = 0, 9x + 5y = 19, 2x – 7y + 12 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JÚ ×s°«p Nk§d¡u\] G] ¨ì©. úUÛm Nk§dÏm ×s°ûVd LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP NUuTôÓLs 2x – 3y + 4 = 0 (1) 9x + 5y = 19 (2) 2x – 7y + 12 = 0 (3) (1), (2)-Cu ¾oÜ LôQp (1) x 5 ⇒ 10x – 15y + 20 = 0 (4) (2) x 3 ⇒ 27x + 15y – 57 = 0 (5) (4) + (5) ⇒ 37x – 37 = 0

x = 13737

=

x = 1-Cu U§lûT (1)-Cu ©W§«P 2x – 3y + 4 = 0 ApXÕ 2(1) – 3y + 4 = 0, ApXÕ 3y = 6

y = 63

= 2

∴ (1), (2) ùYh¥d ùLôsÞm ×s° (1,2). x = 1, y = 2-I NUuTôÓ (3)-Cp ©W§«P 2x –7y + 12 = 0 2(1) – 7(2) + 12 = 0 ApXÕ 2 – 14 + 12 = 0 ApXÕ –12 + 12 = 0, 0 = 0. ⇒ (1,2) Gu\ ×s° (3)-BYÕ NUuTôhûP ¨û\Ü ùNn¡\Õ. G]úY (1,2) Gu\ ×s° (3)BYÕ NUuTôh¥u ÁÕs[Õ. G]úY êuß úSodúLôÓLÞm JÚ ×s° Y¯VôL ùNp¡\Õ. CkR êuß úSodúLôÓLÞm (1, 2) Gu\ ×s°«p Nk§d¡\Õ. GÓjÕdLôhÓ 54 : 2x + y – 1 = 0, 2x + ay – 3 = 0, 3x + 2y – 2 = 0 B¡V úSodúLôÓLs JÚ ×s° Y¯VôLf ùNu\ôp `a’-Cu U§lûTd LôiL. ¾oÜ: 2x + y – 1 = 0 (1) 3x + 2y – 2 = 0 (2) 2x + ay – 3 = 0 (3)

www.kalvisolai.com

196

(1) × 2 ⇒ 4x + 2y – 2 = 0 (4) 3x + 2y – 2 = 0 (2) (4) – (2) ⇒ x = 0 x = 0-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P 2x + y – 1 = 0, 2(0) + y – 1 = 0 ApXÕ y = 1. ⇒ (1), (2) ùYh¥dùLôsÞm ×s° (0,1). êuß úSodúLôÓLÞm JúW ×s°«p Nk§lTRôp (0,1) GuTÕ 2x + ay – 3 = 0 ⇒ 2(0) + a(1) – 3 = 0 ApXÕ a – 3 = 0 ApXÕ a = 3. GÓjÕdLôhÓ 55 : x + y – 5 = 0, 3x –y + 1 = 0 B¡V úSodúLôÓLÞm Utù\ôÚ úRûYVô] úSodúLôÓm JÚ ×s°«p Nk§d¡\Õ. CkR úSodúLôPô]Õ 5x – y + 2 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQ G²p úRûYVô] úSodúLôh¥û]d LôiL. ¾oÜ : x + y – 5 = 0 (1) 3x – y + 1 = 0 (2) B¡V úSodúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm (1) + (2) ⇒ 4x – 4 = 0 ×s°ûVd LôQp x = 1 x = 1-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P x + y – 5 = 0, 1 + y – 5 = 0 ApXÕ y = 4. ⇒ ùYh¥dùLôsÞm ×s° (1,4). úRûYVô] úSodúLôPô]Õ 5x – y + 2 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏ CûQVôL Es[Õ 5x – y + 2 = 0-®u NônÜ–5/–1 = 5. ⇒ úRûYVô] úSodúLôh¥u NônÜ = 5. G]úY NônÜ 5 BLÜm (1,4) Gu\ ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ y – 4 = 5(x – 1) ApXÕ y – 4 = 5x – 5 ApXÕ 5x – y – 1 = 0 GÓjÕdLôhÓ 56 : x – y – 2 = 0, 3x + 4y + 15 = 0 B¡V CWiÓ úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm x – 3y + 3 = 0, 2x + y = 8 B¡V CWiÓ úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. ¾oÜ : x – y – 2 = 0 (1) 3x + 4y + 15 = 0 (2) B¡V CWiÓ úSodúLôÓL°u ¾oÜ LôQp (1) × 4 ⇒ 4x – 4y – 8 = 0 (3) 3x + 4y + 15 = 0 (2) (3) + (2) ⇒ 7x + 7 = 0 x = –1 x = –1-Cu U§lûT x – y – 2 = 0-Cp ©W§«P, –1 –y – 2 = 0 ApXÕ –y = 3 ApXÕ y = –3. ⇒ ùYh¥dùLôsÞm ×s° (–1, –3). x – 3y + 3 = 0 (4)

2x + y – 8 = 0 (5) (4) (5) B¡V NUuTôÓLs ùYh¥dùLôsÞm x – 3y + 3 = 0 (4) ×s°ûVd LôQp

(5) × 3 ⇒ 6x + 3y – 24 = 0 (6) (4) + (6) ⇒ 7x – 21 = 0 x = 3 x-u U§lûT x – 3y + 3 = 0 Gu\ NUuTôh¥p ©W§«P 3 – 3y + 3 = 0 ApXÕ –3y + 6 = 0 ApXÕ y = 2.

www.kalvisolai.com

197

⇒ ùYh¥dùLôsÞm ×s° (3,2). (–1, –3), (3,2) B¡V ×s°Ls Y¯VôLf ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôÓ LôQp

y 3 x 1 y 3 x 1,2 3 3 1 5 4

+ + + += =

+ +

4y + 12 = 5x + 5 ApXÕ 5x – 4y – 12 + 5 = 0 5x – 4y – 7 = 0 ∴ úRûYVô] úSodúLôÓ 5x – 4y – 7 = 0 T«t£ 7.4.2 1. ¸rdLiP úSodúLôÓLs JÚ ×s°«p Nk§d¡u\] G] ¨ì©. úUÛm AûY

Nk§dÏm ×s°ûVd LôiL. (i) x + y = 7; 2x + y = 16; 3x + 8y = 11 (ii) x + y – 3 = 0; x + 2y – 5 = 0 , x + 3y – 7 = 0 2. ¸rdLiP úSodúLôÓLs JÚ ×s° Y¯VôLf ùNu\ôp m-u U§lûTd LôiL. (i) 3x + y + 2 = 0; 2x – y + 3 = 0; x + my – 3 = 0 (ii) 3x – 4y + 5 = 0; 7x – 8y + 5 = 0 , 4x + my – 45 = 0 3. B§Y¯VôLÜm, x – y – 4 = 0, 7x + y + 20 = 0 B¡V úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s°

Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL. 4. x + y – 3 = 0, 3x + 2y + 1 = 0 B¡V CWiÓ úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s°

Y¯VôLÜm y – x = 1, 2x + y + 2 = 0 B¡V CWiÓ úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

5. x+ y – 2 = 0, 2x + y – 3 = 0 B¡V úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm (4,2) , (–6,4) B¡V ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥u ûUVl×s° Y¯VôLÜm ùNpÛm úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

6. 9x + 4y = 1, 2x – y = 4 B¡V úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm 3x – y + 7 = 0 Gu\ úSodúLôh¥tÏf ùNeÏjRôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

7. x – y – 2 = 0, 3x + 4y + 15 = 0 B¡V úSodúLôÓLs Nk§dÏm ×s° Y¯VôLÜm (2,3), (1,1) Gu\ ×s°Lû[f úNodÏm úSodúLôh¥tÏ ùNeÏjRôLÜm Es[ úSodúLôh¥u NUuTôhûPd LôiL.

7.4.3 JÚ ØdúLôQj§u EsYhP ûUVm, ÑtßYhP ûUVm Utßm ùNeÏjÕ YhPûUVm EsYhPûUVm: JÚ ØdúLôQj§u Ef£d úLôQeLû[ CÚNUUôL ©¬dÏm úSodúLôÓLs JÚ ×s°«p Nk§dÏm. CkRl ×s°ûV ØdúLôQj§u EsYhP ûUVm GuTo. EsYhP ûUVjûR I Guß Ï±lTo. (x1,y1), (x2,y2), (x3, y3) B¡VYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u EsYhPûUVm LôQp. ABC Gu\ ØdúLôQj§u Ef£Ls Øû\úV (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). AD, BE, CF GuT] ΔABC-u Ef£dúLôQj§u CÚNUùYh¥Ls. AD, BE, CF ùYh¥d ùLôsÞm ×s° I GuL. I GuTÕ EsYhPûUVUôÏm.

A(x ,y )1 1

B(x ,y )2 2 C(x ,y )1 1D

F E

x x

yy z

z

TPm 7.39

www.kalvisolai.com

198

AB = c, BC = a, CA = b G²p úLôQ CÚNUùYh¥ úRt\lT¥ ⇒ D B]Õ BC-ûV Eh×\j§p c : b Gu\ ®¡RRj§p ©¬d¡\Õ.

D-«u BVjùRôûXj çWm 3 2 3 2cx bx cy by,

c b c b+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ (1)-−ÚkÕ

cb

BDDC

=

c

bcBD

DC BDBDBC +

=+

= ⇒ BD = cb

cacb

cBC+

=+

úUÛm ØdúLôQm ABD-−ÚkÕ, a

cb

c bcac

BDAB

IDAI +

=

+

==

⇒ I B]Õ AD-ûV b + c : a Gu\ ®¡Rj§p ©¬d¡\Õ.

⇒ I-Cu x- BVjùRôûXÜjçWm = cbacxbxax

acb

axcbbxcx

c)(b321

123

++++

=++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

+

CúRúTôp I-Cu y-BVj ùRôûXÜj çWm = cbacybyay 321

++++

∴ EsYhPûUVm I-Cu BVjùRôûXÜjçWm = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++

++++

cbacybyay

,cbacxbxax 321321

GÓjÕdLôhÓ 57 : A(1,1), B(2,1), C(2,2) B¡VYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u EsYhPûUVm LôiL. ¾oÜ : A(1,1), B(2,1), C(2,2) B¡V] ØdúLôQj§u Ef£Ls.

a = BC = 22 )12()22( −+− = 210 + = 1

b = CA = 22 )21()21( −+− = 22 )1()1( −+− = 11+ = 2

c = AB = 22 )11()12( −+− = 012 + = 1 = 1

ØdúLôQj§u EsYhP ûUVm I = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++++

++++

cbacybyay

,cbacxbxax 321321

I = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

++++

121)2(1)1(2)1(1,

121)2(1)2(2)1(1

∴ I-Cu BVjùRôûXÜj çWm = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

2223,

22223

ÑtßYhP ûUVm : ØdúLôQj§u JqùYôÚ TdLj§−ÚkÕm YûWVlTÓm ûUVdÏjÕdúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° ÑtßYhP ûUVUôÏm. ÑtßYhP ûUVjûR S Guß Ï±lTo. ΔABC-Cp D, E, F GuT] Øû\úV BC, CA, AB-u ûUVl×s°Ls BÏm. ØR−p BC, CA, AB-Cu ûUVdÏjÕdúLôÓL°u NônÜ LôiL. ©\Ï ûUVdÏjÕdúLôÓL°u NUuTôhûPd LôiL. HúRàm CWiÓ ûUVdÏjÕdúLôÓLÞdÏ ¾oÜ LiÓ©¥jRôp ¡ûPlTÕ Ñtß YhPûUVUôÏm.

www.kalvisolai.com

199

GÓjÕdLôhÓ 58 : JÚ ØdúLôQj§u Ef£Ls Øû\úV (2,–3), (8,–2), (8,6) G²p ØdúLôQj§u ÑtßYhP ûUVj§û]d LôiL. ¾oÜ : A(2,–3), B(8,–2), C(8,6) GuT] ΔABC-u Ef£Ls AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLs ùYh¥dùLôsÞm ×s° ÑtßYhP ûUVm S GuL. D, E GuT] Øû\úV AB, BC-Cu ûUVl×s°Ls.

D-Cu BVjùRôûXÜ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+

223,

282 = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

25,5

AB-Cu NônÜ- = 61

2832

=−+−

AB-Cu ûUVdÏjÕdúLôh¥u NônÜ = DS-u NônÜ = –6 D Y¯VôLf ùNpÛm ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôÓ y + 5/2 = –6 (x–5) ApXÕ y + 5/2 = –6x + 30 ApXÕ 6x + y – 55/2 = 0 ApXÕ 12x + 2y – 55 = 0 (1) E-u BVjùRôûXÜjçWm =

)2,8(24,

216

262,

288

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+

BC-Cu NônÜ = ∞==−+

08

8826

E Y¯VôL ùNpÛm ûUVdÏjÕdúLôh¥u NônÜ = 1−∞

= 0

SE Gu\ ûUVdÏjÕdúLôh¥u NUuTôÓ y – 2 = 0 (x – 8), y – 2 = 0, y = 2 (2) NUuTôÓ (1), (2)-ûV ¾oÜ LôiL. 12x + 2y – 55 = 0, y = 2 G]úY 12x + 4 – 55 = 0, ApXÕ 12x – 51 = 0 ApXÕ 12x = 51 x = 51/12 = 17/4

G]úY Ñtß YhP ûUVm S-u AfÑjçWm ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2,

417

ùNeúLôhÓ ûUVm: JÚ ØdúLôQj§u JqùYôÚ Ef£«−ÚkÕm ARu G§oTdLj§tÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôÓLs Nk§dÏm ×s° ùNeúLôhÓ ûUVUôÏm. CûR ‘O’ Guß Ï±lTo. ABC GuTÕ ùLôÓdLlThP ØdúLôQm A, B, C-−ÚkÕ Øû\úV BC, CA, AB-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôÓLs AD, BE, CF GuTûY. AD, BE, CF NônÜLs LôiL. NônÜ ×s° AûUlûTl TVuTÓj§ AD, BE, CF Gu\ ÏjÕdúLôÓL°u NUuTôÓLû[d LôiL. HúRàm CWiÓ ÏjÕdúLôÓL°u ¾oÜ, ùNeúLôhÓ ûUVUôÏm. GÓjÕdLôhÓ 59 : (3,1), (0,4), (–3,1) B¡VYtû\ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u ùNeúLôhÓ ûUVm LôiL. ¾oÜ : A(3, 1), B(0, 4), C(− 3, 1) GuT] ØdúLôQm ABC-Cu Ef£Ls G] GÓjÕdùLôs.

A(2,-3)

B(8,-2) C(8,6)E

D

S

TPm 7.40

www.kalvisolai.com

200

BC-Cu NônÜ = 133

0341

=−−

=−−

−

⇒ AD-«u NônÜ = –1 ÏjÕdúLôÓ AD-u NUuTôÓ y – 1 = –1 (x – 3) ApXÕ y – 1 = –x + 3 x + y – 4 = 0 (1)

AC-Cu NônÜ = 06

033

11=

−=

−−−

⇒ ÏjÕdúLôÓ BE-u NônÜ = –1/0 = ∞ ⇒ BE-Cu NUuTôÓ y – 4 = –1/0 (x – 0) ApXÕ 0 = –x + 0 ApXÕ x = 0 (2)

(1), (2)−Cu ¾oÜ LôQp x + y – 4 = 0, x = 0, y – 4 = 0 ApXÕ y = 4 ùNeúLôhÓ ûUVm (0,4) GÓjÕdLôhÓ 60: (1,–2), (3,1), (–2,3)-ûV Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u ùNeúLôhÓ ûUVm LôiL.

¾oÜ : A(1, −2), B(3, 1), C(− 2, 3) GuT] ØdúLôQj§u Ef£Ls (3,1), (–2,3) B¡V

×s°Lû[ úNodÏm úSodúLôÓ BC-Cu NônÜ = 52

52

3213

−=−+

=−−

−

AD-Cu NônÜ 5/2. ⇒ AD-Cu NUuTôÓ y + 2 = 5/2 (x – 1) ApXÕ 5x – 2y = 9 (1) (–2,3), (1,–2) B¡V ×s°Lû[ úNodÏm

úSodúLôÓ AC-Cu NônÜ = 35

2132

−=+

−−

BE B]Õ AC-dÏ ùNeÏjÕ. G]úY BE-Cu NônÜ = 3/5 ⇒ BE-Cu NUuTôÓ is y – 1 = 3/5 (x – 3) 3x – 5y = 4 (2) AD, BE ùYh¥d ùLôsÞm ×s° ùNeúLôhÓ ûUVUôÏm. TPm 7.42 (1) x 3 ⇒ 15x – 6y = 27 (3) (2) x 5 ⇒ 15x –25y = 20 (4) 19y = 7 y = 7/19 y = 7/19-Cu U§lûT (1)-Cp ©W§«P 5x – 2 (7/19) = 9, x = 37/19.

∴ ùNeúLôhÓ ûUVm ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

197,

1937 .

A(1,-2)

B(3,1) C(-2,3)D

E

TPm 7.41

A(3,1)

B(0,4) C(-3,1)D

O

E

www.kalvisolai.com

201

T«t£ 7.4.3 1. ¸rdLôÔm ×s°Lû[ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u EsYhPûUVm

LôiL. (i) (3,1), (0,4), (–3,1) (ii) (–36,7), (20,7), (0,–8) 2. ¸rdLôÔm ×s°Lû[ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u ÑtßYhPûUVm

LôiL. (i) (3,1), (2,2), (2,0) (ii) (0,0), (–4,0), (0,4) 3. ¸rdLôÔm ×s°Lû[ Ef£L[ôLd ùLôiP ØdúLôQj§u ùNeúLôhÓûUVm

LôiL. (i) (1,2), (2,3), (4,3) (ii) (0,1), (1,–2), (2,–3)

®ûPLs T«t£ 7.1

(1) (i) (1,6) (ii) (15/2, 5) (iii) (–13/3, 13) (iv) (11,8) (v) (13,–24) (vi) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

5b5a,

5b5a

(2) (i) 1:2 Eh×\UôL (ii) 2:3 Eh×\UôL (iii) 2:3 ùY°l×\UôL (3) (i) 2:5 ùY°l×\UôL (ii) 1:2 Eh×\UôL (iii) 2:1 ùY°l×\UôL (iv)4:1 Eh×\UôL (4) (i) 1:1 Eh×\UôL (ii) 2:3 Eh×\UôL (iii) 1:2 Eh×\UôL (iv) 1:5 Eh×\UôL

(5) (i) (–3,–5) (ii) (11/2, –3) (6) 1323 (7) (2,–2) (8) (–1,–9)

(9) (i) CûQLWm (ii) CûQLWm (iii) CûQLWm (iv) CûQLWm (10) (i) (–3,0) (ii) (1,2) (iii) (9,–6) (iv) (–2,7) (11) (i) (–3,19/3) (ii) (1,–2) (iii) (1/3,2) (iv) (5,–2) (12) (i) (1,–8) (ii) (7,–19) (iii) (6,2) (iv) (18,–2) T«t£ 7.2 (1) (i) 1 NÕW AXÏ (ii) 7.5 NÕW AXÏLs (iii) 9.5 NÕW AXÏLs (iv) 10 NÕW AXÏLs (v) 9 NÕW AXÏLs (3) a – 2b + 8 = 0 (4) 9 (6) (i) 96 NÕW AXÏLs (ii) 43 NÕW AXÏLs (iii) 17 NÕW AXÏLs (iv) 41/2 NÕW AXÏLs

T«t£ 7.3

(1) (i) y + 3 = 0 (ii) x + 3 = 0 (2) y = 3 x – 3 (3) 3 3 x – 3y – 2 = 0

(4) m = 1/ 3 , θ = 30o (5) (i) m = –3/2, c = 2 (ii) m = 2, c = 0 (6) (i) y + 3x + 3 = 0 (ii) 3y + 5x = 0 (iii) 2x – 3y – 3 = 0 (7) (i) 3x + y + 22 = 0 (ii) x + 3y + 10 = 0 (8) (i) x – 2y + 11 = 0 (ii) x – 3y + 24 = 0 (9) (i) 5x – 3y – 7 = 0 (ii) 3x + 2y – 9 = 0 (10) (i) 2x + y – 8 = 0 (ii) 3x + 4y – 6 = 0 (11) (i) x + y + 2 = 0 (ii) 5x – 9y + 22 = 0 (12) (i) y = –5 (ii) 6x + 16y – 53 = 0 (13) (i) x + y – 2 = 0 (ii) x – y + 3 = 0 (iii) 2x – 3y = 0 (iv) 7x + 3y – 24 = 0 (14) (i) x = 3 (ii) 7x – 12y + 4 = 0 (iii) 7x – 5y – 5 = 0

www.kalvisolai.com

202

(16) (i) Es[Õ (ii) Es[Õ (iii) CpûX (iv) Es[Õ (17) (i) k = –3 (ii) k = 21 (iii) k = –2 (18) 7x + y – 9 = 0; 10x –y – 25 = 0; 3x –2y + 1 = 0 (19) (i) 2x – 3y – 18 = 0, 7x – 2y – 12 = 0, 5x + y – 28 = 0 (ii) 6x – 7y + 79 = 0 (20) (i) 2x + 3y – 6 = 0 (ii) 3x – 4y – 12 = 0 (iii) 3x – 8y + 6 = 0 (21) (i) (–3,–4) (ii) (–3/5, –3) (22) x + y – 9 = 0 (23) x + y + 1 = 0 (24) 2x + y – 12 = 0 (25) x – y – 3 = 0 (26) 3x + 2y – 24 = 0 (27) 4x + 3y = 24 , x + y – 7 = 0 (28) 5x + 3y – 17 = 0 (32) k = 6 T«t£ 7.4.1 (1) (i) (3,2/3) (ii) (2,0) (2) x-AfûN (3,0) Utßm y- AfûN (0,4) (3) 3x – y + 7 = 0

(4) (–7,4), (3,–5), (1,2) (5) (0,1), y = 1 (6) x = 2 (7) (i) (–4,0) (ii) (3,0), (8) 10

(9) 5x + 2y – 7 = 0 (10) (1,1) (11) 10 (12) x + y – 5 = 0

(13) x + 3y – 5 = 0 (14) 17 (15) x – y = 0 T«t£ 7.4.2 (1) (i) (9,–2) (ii) (1,2) (2) (i) 4(ii) 5 (3) 3x – y = 0 (4) 5x + 3y + 5 = 0 (5) x + y – 2 = 0 (6) x + 3y + 5 = 0 (7) x + 2y + 7 = 0 T«t£ 7.4.3

(1) (i) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

1242,0 (ii) (–1,0) (2) (i) (2,1) (ii) (–2,2) (3) (i) (1,6) (ii) (–7,–6)

www.kalvisolai.com

203

8. ØdúLôQ®Vp

8.0 A±ØLm Ck§V L¦R YpÛSoLs ØdúLôQ®V−p ªLÜm BoYm ùLôi¥ÚkR]o. ×LrYônkR L¦R YpÛSÚm, Yô]®VXÚUô] B¬VThP¬u TûPlTô] BoVTh¥Vô®p (499 ¡.©.) Es[ L¦RTôLô Guß ùTV¬PlThP JÚ TÏ§ L¦Rj§tLôL AolT¦dLlThPRôÏm. CkR TÏ§ ØdúLôQ®Vp ®¡RUô] ûNu (jya) Tt±V A±ûYd ùLôiPRôÏm.

ØdúLôQ®V−u RkûRÙm, ¡úWdL L¦R YpÛSÚUô] Pôpª (Ptolmey) GuTYo Y¥®V−p YhP SôiLÞdÏ CûPúV AûUkR ùRôPoûTl TVuTÓj§ sin2A+cos2A=1 Gu\ NUuTôh¥û] ¨ì©jRôo. B]ôp TiûPV Ck§VoLs G°ûUVôL CVtL¦RjûRl TVuTÓj§ sin A, cos A B¡V ®¡ReLû[ LQd¡hÓ CfNUuTôhûP ¨ì©jR]o. ØRuØR−p ØdúLôQ®V−p CVtL¦RjûRl TVuTÓj§VYo ©WmUÏlRô (Brahmagupta) BYôo. ùN±kR A±Yô°Vô] TôvLWôfNôoVô (Bhaskaracharya II (1114 A.D)) ªLÜm ×LrùTt\ L¦R YpÛSo BYôo. AYÚûPV TûPlTô] £jRôkR £úWôuU¦ (Siddhantasironmani) SôuÏ TôLeLû[d ùLôiPRôÏm AYt±p JußRôu úLô[§VôVô (Goladhyaya) ARôYÕ úLô[ØdúLôQ®VXôÏm (spherical trigonometry). CÚTRôm èt\ôi¥u £\kR úUûRVô] º²YôN CWôUôà_u (Srinivasa Ramanujan) RuàûPV 12-Bm YV§p ÏmTúLôQj§p Es[ AW£]o LûXdLpí¬«p T«uß YkR R]Õ SiT¬PªÚkÕ úXô² (Loney) AYoL[ôp GÝRlThP ØdúLôQ®Vp TÏ§ II (Trigonometry (Part II)) Gu\ ×jRLjûRl ùTtß T¥jRôo. JÚØû\ T¥jR ùTôÝúR Al×jRLjûR ØÝûUVôL BnkÕ A±kÕ ùLôiPÕ UhÓUppXôUp, Al×jRLj§Ûs[ JqùYôÚ LQdûLÙm GqYôß U]dLQdLôL úTôÓYùRuß Rô]ôLúY Lt\±kRôo. ØdúLôQ®Vp Tt±V CkR ×jRLm EVo L¦Rj§Ûs[ £X L¥]Uô]l ©¬ÜLû[ ùLôi¥ÚkRÕ GuTÕ Ï±l©PjRdLÕ. Cl×jRLúU CWôUôà_u T¥jR ØRp EVo L¦R ×jRLm. CÕúY §¼o EQoÜj§\u, A§úYL ùNVt§\u Utßm TûPl×j§\u ùLôiP êû[ÙPu EVoL¦Rl ©¬ÜLû[ G°RôLd LtßjúR\ AYûW Y¯SPj§VÕ. B]ôp Lôoo (Carr) GÝ§V L¦Rm Utßm TVuTôhÓd L¦Rj§u A¥lTûP ®û[ÜL°u ÑÚdLm Gu\ ×jRLúU CWôUôà_j§u L¦R BoYjûR §¼ùW] ùTÚ®ûNÙPu çi¥V ØRp ×jRUôÏm.

úLôQeLs, ØdúLôQ®Vp ®¡ReLs, ØdúLôQ®Vp Øtù\ôÚûULs B¡V ØdúLôQ®Vp A¥lTûPLû[ JuTRôm YÏl©p Lt\±kúRôm. úUÛm 0°, 30°, 45°, 60°, 90° B¡V úLôQeLÞdLô] ØdúLôQ®Vp ®¡ReLû[d LiP±kúRôm. CkR U§l×LÞdLô] AhPYûQûV ¨û]ÜáoúYôm.

www.kalvisolai.com

204

θ 0° 30° 45° 60° 90°

sin θ 0 21

21

23 1

cos θ 1 23

21

21 0

tan θ 0 3

1 1 3 ∞

cot θ ∞ 3 1 3

1 0

sec θ 1 3

2 2 2 ∞

cosec θ ∞ 2 2 3

2 1

úUtLôÔm AhPYûQ«−ÚkÕ θ-®u U§l× A§LUôÏm ùTôÝÕ sin θ, tan θ, sec θ B¡VYt±u U§l×Ls A§LUôYûRÙm cos θ, cot θ, cosec θ B¡VYt±u U§l×Ls Ïû\YûRÙm Lôi¡ú\ôm. CkRl TôPlTÏ§«p ©¬Ü 8.1-Cp ØdúLôQ®Vp AhPYûQûVl TVuTÓj§ LQdÏL°u ¾oÜ LôÔm Øû\«û]Ùm ©¬Ü 8.2-Cp ®¡ReL°u U§l×Lû[l TVuTÓj§ £X LQdÏL°p úLhLlTÓm EVWm, çWm B¡VYtû\ LiP±Ùm Øû\«û]Ùm LtúTôm. 8.1 ØdúLôQ®Vp AhPYûQûVl TVuTÓjÕRp Y¥®Vp ER® ùLôiÓ £X úLôQeL°u ØdúLôQ®Vp ®¡ReLû[

LQd¡Óm Øû\«û] LiP±kúRôm. 30°, 45°, 60°, 90° B¡V úLôQeL°u

ØdúLôQ®Vp ®¡ReLû[ LQd¸Ó ùNnúRôm. L¦R YpÛSoLs 0-®−ÚkÕ° 90° YûW«p AûUÙm Aû]jÕ úLôQ A[ÜLÞdÏm U§l×Lû[ LiP±kÕ ARû] JÚ AhPYûQVôL Y¥YûUjÕs[]o. CkR AhPYûQûV TVuTÓjR A±ÙØu £X ùNôtáßLû[ YûWVû\ ùNnúYôm. JÚ TôûL (degree) B]Õ 60 NUTôLeL[ôL ©¬dLlThÓs[Õ. JqùYôÚ TôLØm

JÚ ¨ªPm (minute) G]lTÓm. CÕ Ï±Âh¥p 1′ G]d Ï±dLlTÓm. úUÛm JÚ

¨ªPm 60 NUTôLeL[ôL ©¬dLlThÓs[Õ. JqùYôÚ TôLØm JÚ ®]ô¥ (second) G]lTÓm. CÕ Ï±Âh¥p 1″ G] Ï±dLlTÓm. G]úY Sôm A±YÕ

60 ®]ô¥Ls = 1 ¨ªPm; 60 ¨ªPeLs = 1 TôûL ®]ô¥Ls, ¨ªPeLs, TôûLLs B¡VYtû\ Ï±ÂhûPl TVuTÓj§ GÝR ¡ûPlTÕ

60'' = 1' ; 60' = 1° θ-®−ÚkÕ 90° YûW«p AûUÙm HRôYÕ JÚ úLôQ A[Ü θ-®u ØdúLôQ®Vp ®¡R U§l×Lû[ A±Ùm Øû\ ¸úZ ®YWUôL ùLôÓdLlThÓs[Õ.

sin θ, cos θ, tan θ B¡VYt±u U§l×Lû[ AhPYûQ«−ÚkÕ G°RôL A±kÕ

www.kalvisolai.com

205

ùLôs[ Ø¥Ùm. 0.1°=6' GuTRôp AhPYûQ«p A[ÜLs 6'-u UPeÏL[ôL

A§L¬jÕ ùLôÓdLlTh¥ÚdÏm. ùLôÓdLlThP úLôQj§u A[Ü 6'-u UPeLôL ùLôÓdLlTPôUp CÚkRôp AdúLôQ A[ûY ¸rdLiP Øû\«p ©¬jÕ LôÔRp úYiÓm. GÓjÕdLôhPôL 38° 15' GuTRû] 38°+12'+3' G]l©¬jÕ U§l©û] LiP±Rp úYiÓm. GÓjÕdLôhÓ 1: AhPYûQ«−ÚkÕ sin 40° 38′ U§l× LôiL. ¾oÜ: úLôQ A[Ü 0°-®−ÚkÕ 90°-dÏ A§L¬dÏmùTôÝÕ sine-Cu A[Ü A§LUôÏm GuTRôp ùTôÕ ®j§VôNjûRd áhP úYiÓm. 40° 38′ = 40° 36′ + 2′ sin 40° 36′ = 0.6508 ®j§VôNm 2′ = 0.0004 G]úY sin 40° 38′ = 0.6508 + 0.0004 = 0.6512 GÓjÕdLôhÓ 2: AhPYûQ«−ÚkÕ cos 63° 29′-u U§l× LôiL. ¾oÜ: úLôQ A[Ü 0°-−ÚkÕ 90°-dÏ A§L¬dÏmùTôÝÕ cosine-Cu A[Ü Ïû\Ùm GuTRôp ùTôÕ ®j§VôNjûRd L¯dL úYiÓm. 63° 29′ = 63° 24′ + 5′ cos 63° 24′ = 0.4478 ®j§VôNm 5′ = 0.0013 G]úY cos 63° 29′ = 0.4478 – 0.0013 = 0.4465 GÓjÕdLôhÓ 3: AhPYûQ«−ÚkÕ tan 25° 15′-u U§l× LôiL. ¾oÜ: 25° 15′ = 25° 12′ + 3′ tan 25° 12′ = 0.4706 ®j§VôNm 3′ = 0.0011 G]úY tan 25° 15′ = 0.4706 + 0.0011 = 0.4717 GÓjÕdLôhÓ 4: θ-®u U§l× LôiL. i) sin θ = 0.9409 ii) cos θ = 0.8131 iii) tan θ = 2.9714 iv) sin θ = 0.0987 v) tan θ = 1.091 ¾oÜ: i) sine AhPYûQ«p 0.9409-dÏ G§Wô] U§l× 70°12′ ∴ sin 70° 12′ = 0.9409, θ = 70° 12′ ii) cosines AhPYûQ«p 0.8131-dÏ G§Wô] U§l× 35°36′ ∴ cos 35° 36′ = 0.8131, θ = 35° 36′ iii) tangent AhPYûQ«p 2.9714-dÏ G§Wô] U§l× 71°24′ ∴ tan 71° 24′ = 2.9714, θ = 71° 24′ iv) sine AhPYûQ«p 0.0993-dÏ G§Wô] U§l× 5° 42′ úUÛm 0.0006-dÏ

G§Wô] U§l× 2′ 0.0987 = 0.0993 – 0.0006 = 0.0987 ARôYÕ 0.0987-dÏ G§Wô] U§l× 5° 40′ ∴ sin 5° 40′ = 0.0987, θ = 5° 40′

www.kalvisolai.com

206

v) tangent AhPYûQ«p 1.091-dÏ NUUô] ªL ùSÚe¡V U§l× 1.0913 Es[Õ.

ARôYÕ 1.0913-dÏ G§Wô] U§l× 47° 30′ ∴ tan 47° 30′ = 1.091, θ = 47° 30′ GÓjÕdLôhÓ 5: AhPYûQûVl TVuTÓj§ ¸rdLiPYtû\ LôiL.

i) sin 64° 42′ + cos 42° 20′ ii) tan 36° 40' + cot 63° 20' ¾oÜ: AhPYûQ«−ÚkÕ ¸rdLiPYt±u U§lûTd LiP±VXôm. i) sin 64° 42′ + cos 42° 20′ = 0.9041 + 0.7392 = 1.6433 ii) tan 36° 40′ + cot 63° 20′ = tan 36° 40′ + cot (90–26° 40′) = tan 36° 40′ + tan 26° 40′ = 0.7445 + 0.5022 = 1.2467 GÓjÕdLôhÓ 6: 5 ùN.Á. BWØs[ YhPj§u ûUVj§p 144° úLôQ A[ûY AûUdÏm Sô¦u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: O-ûY ûVUôLÜm 5 ùN.Á. BWUôLÜm ùLôiP YhPj§às AB Gu\ JÚ Sôi G]d ùLôsL. OC⊥AB YûWVÜm. G]úY C B]Õ AB-u ûUVl×s° BÏm. úUÛm ∠AOB = 144° ⇒ ∠COB = 72° ùNeúLôQ ØdúLôQm OCB-Cp

OBBC

= sin 72°

BC = 5 sin 72° óùN.Á. TPm 8.1 = 5 × 0.9511 = 4.7555 ùN.Á. ∴ Sôi AB-«u ¿[m = 2 × BC = 2 × 4.7555 ùN.Á. = 9.5110 ùN.Á. GÓjÕdLôhÓ 7: 8 ùN.Á. BWm ùLôiP JÚ YhPj§às AûUkÕs[ 25 TdLeLs ùLôiP JÚ JÝeÏ TX úLôQj§u TdLj§u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: O-ûY ûUVUôLd ùLôiP JÚ YhPj§às AûUkR 25 TdLeLs ùLôiP JÚ JÝeÏ TXúLôQj§u TdLm AB G]dùLôsL. OC ⊥AB YûWVÜm. G]úY C B]Õ AB-«u ûUVl×s°VôÏm

∠AOB = 25

360°

∴∠COB = 12

∠AOB = 50

360° =

536°

= 7° 12′

ùNeúLôQ ØdúLôQm OCB-Cp

sin 7° 12′ = OBBC

BC = 8 × sin 7° 12′ ùN.Á. = 8 × 0.1253 ùN.Á. = 1.0024 ùN.Á. TdLm AB-Cu ¿[m = 2 × BC = 2 ×1.0024 ùN.Á. = 2.0048 ùN.Á.

A C

O

72o5 cm

5 cm

B

A C

O

8 cm

8 cm

B

TPm 8.2

www.kalvisolai.com

207

8 cm

b = 16 cm

28 30'o

8 cm

h

B D C

A

GÓjÕdLôhÓ 8: 6 ùN.Á. TdL A[Ü ùLôiP JÚ JÝeÏ AßúLôQj§às AûUkR EsYhPj§u BWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: JÝeÏ AßúLôQj§u TdLm AB G]d ùLôs[Üm. EsYhP ûUVm O-®−ÚkÕ OM⊥AB G] YûWVÜm. G]úY M B]Õ AB-«u ûUVl×s°VôÏm.

∠MOB = 12

∠AOB = 12

× 60° = 30°.

YhPj§u BWm r G]d ùLôiPôp OM = r

úUÛm MB = 12

AB = 12

× 6 ùN.Á. = 3 ùN.Á.

ùNeúLôQ ØdúLôQm OMB-p

r3

OMMB

30tan ==°

r3

31

=

r = 3 3 ùN.Á. = 3 × 1.732 ùN.Á. = 5.196 ùN.Á. GÓjÕdLôhÓ 9: A¥lTdLm 16 ùN.Á., Ef£ úLôQm 57° A[Ü ùLôiP CÚNUTdL ØdúLôQj§u TWlT[ûYd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: ABC JÚ CÚNUTdL ØdúLôQm GuL. C§p AB = AC. BC = 16 ùN.Á., ∠A = 57o AD ⊥ BC G] YûWVÜm. G]úY AD B]Õ BCûV CÚNUdá±Óm. BLúY BD = DC = 8 ùN.Á. úUÛm AD, ∠AûY CÚNUdá±Óm.

∴∠BAD = ∠DAC = 12

× 57o = 28o30'

ùNeúLôQ ØdúLôQm ADC-Cp

DCAD'3028cot o =

AD = 8 × cot 28o30' ùN.Á. = 8 tan 61o30′ h = 8 × 1.842 ùN.Á. = 14.736 ùN.Á.

ØdúLôQm ABC-Cu TWlT[Ü = 12

bh

= 12

× 16 × 14.736 ùN.Á.2

= 8 × 14.736 ùN.Á.2 = 117.888 ùN.Á.2 GÓjÕdLôhÓ 10 : JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§u LoQm 10 ùN.Á. JÚ ÏßeúLôQj§u A[Ü 66o48' G²p ARu TWlT[ûYd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: ABC Gu\ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p ∠B = 90o, G]d ùLôs[Üm. ∠C = 66o48' and AC = 10 ùN.Á.

48'cos66ACBC o=

BC = 10 × 0.3939 ùN.Á. = 3.939 ùN.Á.

48'sin66ACAB o=

A B

O

n 30o

10 cm

66 48'o

B C

A

r M

TPm 8.3

TPm 8.4

TPm 8.4

www.kalvisolai.com

208

AB = 10 × 0.9191 ùN.Á. = 9.191 ùN.Á.

ùNeúLôQ ØdúLôQj§u TWlT[× = 12

× BC × AB

= 12

× 3.939 × 9.191 ùN.Á.2 = 1.9695 × 9.191 ùN.Á.2

= 18.1016745 ùN.Á.2 ØdúLôQj§u TWlT[Ü = 18.10 ùN.Á.2 (úRôWôVUôL)

T«t£ 8.1 1. AhPYûQ«−ÚkÕ U§l× LiÓ©¥dLÜm. (a) sin 22o (b) cos 35o (c) tan 56o (d) sin 36o24' (e) cos 24o48' (f) tan 62o12' (g) sin 48o56' (h) sin 52o17' (i) cos 46o34' (j) tan 37o45' 2. θ-®u U§lûTd LiÓ©¥dLÜm. (a) sin θ = 0.1736 (b) cos θ = 0.9063 (c) tan θ = 6.3188 (d) sin θ = 0.8221 (e) cos θ = 0.4115 (f) tan θ = 1.5697 3. ØdúLôQ®Vp AhPYûQûVl TVuTÓj§ LiÓ©¥dLÜm. (a) sin 29o20' + cos 57o40' (b) sin 44°36' + tan 49o40' (c) cot 48o42' + tan 70o20' 4. 6 ùN.Á. BWm ùLôiP JÚ YhPj§às 24 TdLeLû[d ùLôiP JÚ JÝeÏ

TXúLôQm AûUkÕs[Õ G²p TX úLôQj§u TdLj§u ¿[jûRd LiÓ©¥dLÜm.

5. A¥lTdL A[Ü 20 ùN.Á. Ef£úLôQm 48o40' ùLôiP JÚ CÚNUTdL ØdúLôQj§u TWlT[ûYd LiÓ©¥dLÜm.

6. TdL A[Ü 10 ùN.Á. ùLôiP 36 TdLeLÞûPV JÚ JÝeÏ TXúLôQj§u EsYhP BWjûR LiÓ©¥dLÜm.

7. JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§u LoQm 10 ùN.Á. JÚ ÏßeúLôQj§u A[Ü 66o33' G²p ARu TWlT[ûYd LiÓ©¥dLÜm.

8. 12 TdLeLs ùLôiP JÚ JÝeÏ TXúLôQj§u TdL A[Ü 20 ùN.Á. G²p AlTXúLôQj§u Ñtß YhPj§u BWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

9. sin θ = cos θ G²p, úUÛm θ JÚ ÏßeúLôQùU²p 2tan2θ – sin2θ – 1-u U§lûTd LiÓ©¥dLÜm.

8.2 EVWeLÞm çWeLÞm EVWeLs, çWeLs ùRôPoTô] LQdÏLû[ ¾oÜ ùNnYRtÏ ØdúLôQ®Vp ®¡ReLs ªLÜm TVàs[RôÏm. TpúYß NUVeL°p Sôm CWiÓ ùTôÚhLÞdÏ CûPúV Es[ çWm, Lh¥Pm, UWm, úLô×Wm B¡VûYL°u EVWm, LXeLûW ®[dLj§−ÚkÕ LlTp Es[ çWm, Bt±u ALXm B¡VYtû\ LiP±V úS¬Óm. úUtá±VYtû\ G°RôL A[kÕ LiÓ©¥dL CVXôÕ. G²àm ØdúLôQ®Vp ®¡ReLû[d ùLôiÓ LiÓ©¥dL Ø¥Ùm. EVWeLs, çWeLs B¡VYtû\ LiÓ©¥lTRtLô] LQdÏL°u ¾oÜ LôQ, JÚ ùTôÚû[ Etß úSôdÏTY¬u Li AlùTôÚú[ôÓ AûUdÏm úLôQ A[ûYd ùLôiÓ LiÓ©¥dL Ø¥Ùm.

www.kalvisolai.com

209

QP 8 m

R

60o

JÚ úLô×Wj§u EVWjûR A[kÕ TôodLôUp ¨oQ«dL úYiÓùU²p Sôm úLô×Wj§u A¥ Q-®−ÚkÕ 8Á ùRôûX®p P Gu\ ¨ûX«p CÚlTRôLd ùLôsúYôm. CR²p úLô×Wj§u EVWjûR Jl©Óm ùTôÝÕ SUÕ EVWm ×\dL¦dLlTÓRp úYiÓm. (TPm 8.6-I LY²dL) ∠QPR Gu\ úLôQj§u A[Ü 60o G²p, ØdúLôQ®Vp ®¡RjûRl TVuTÓj§ úLô×Wj§u EVWm QR-I LôQ CVÛm.

o QR QRtan 60 3PQ PR

= ⇒ =

PQ3QR = = 8 3 Á Cq®RUôL Sôm ØdúLôQ®Vp ®¡RjûRl TVuTÓj§ úLô×Wj§u EVWjûRd LôQ®VÛm. G]úY JÚ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p JÚ TdL A[Üm, JÚ úLôQ A[Üm ùLôÓdLlTh¥ÚkRôp Ut\ TdL A[ÜLû[d LiÓ©¥dL Ø¥Ùm. CjRûLV LQdÏL°u ¾oÜ LôÔm Øû\«û] A±ÙmØu £X ùNôtáßLû[ YûWVû\ ùNnúYôm. Sôm JÚ ùTôÚû[ TôodÏmùTôÝÕ SUÕ LiTôoûYd úLôPô]Õ Sôm TôodÏm ùTôÚ°u ÁÕ AûUk§ÚjRp úYiÓm. ARôYÕ JÚ ùTôÚs SUÕ TôoûY«u ¡ûPUhPj§tÏ EVWj§p CÚkRôp Sôm RûXûV Ntß EVoj§ AlùTôÚû[d LôiúTôm. CmØû\«p Sm LiTôoûYd úLôÓ ¡ûPdúLôhúPôÓ JÚ úLôQjûR EÚYôdÏm. CkR úLôQm Ht\dúLôQm G]lTÓm. JÚ ùTôÚs SUÕ TôoûY«u ¡ûPUhPj§tÏ ¸úZ AûUkÕ CÚkRôp Sôm RûXûV Ntß Rôrj§ AlùTôÚû[d LôiúTôm. CmØû\«p SUÕ LiTôoûYd úLôÓ ¡ûUhPd úLôhúPôÓ JÚ úLôQjûR EÚYôdÏm CkR úLôQm C\dLdúLôQm G]lTÓm (TPm 8.8 LY²dL). úUÛm JÚ ¨ûX«−ÚkÕ AÓjRûRl TôodÏm Ht\d úLôQUô]Õ AkR ¨ûX«−ÚkÕ ØRp ¨ûXûV úSôdÏm C\dLd úLôQj§tÏ NUm GuTRû]Ùm A±k§ÚjRp úYiÓm. θ1 = Ht\d úLôQm; θ2 = C\dLd úLôQm; ∴ θ1 = θ2

A

B C

D

θ1

θ2

TPm 8.6

TPm 8.7

TPm 8.8

www.kalvisolai.com

210

GÓjÕdLôhÓ 11 : JÚ úLô×Wj§u A¥«−ÚkÕ ARu ¡ûPUhP R[j§p 60 Á ùRôûX®−ÚkÕ úLô×Wj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 30o G²p úLô×Wj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: úLô×Wm CA-®u EVWm h Á G]Üm, ARu A¥«−ÚkÕ 60Á ùRôûX®p B Gu\ ×s° Es[Õ G]Üm ùLôsL. ∠ABC = 30o G]d ùLôÓdLlThÓs[Õ. ABC Gu\ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p

tan30° = ACBC =

h60Á

13 =

h60Á ApXÕ 3h = 60Á

h = 60Á

3 =

60 3Á3 . 3

= 60 3Á

3 = 20 3Á TPm 8.9

= 20 × 1.732 = 34.64 Á úLô×Wj§u EVWm = 34.64 m (úRôWôVUôL).

GÓjÕdLôhÓ 12 : JÚ Lh¥Pj§u A¥«−ÚkÕ 50Á. ùRôûX®Ûs[ JÚ Lp−u C\dLd úLôQm Lh¥Pj§u Ef£«−ÚkÕ 60o G²p Lh¥Pj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: PQ = Lh¥Pj§u EVWm h Á. G]d ùLôs[Üm RQ = Lh¥Pj§tÏm LpÛdÏm CûPÙs[ ùRôûXÜ = 50Á PSB]Õ TôoûYdúLôÓ (¡ûPUhP §ûN«p) C\dLd úLôQm ∠SPR = 60o Ht\d úLôQm ∠QRP = C\dLd úLôQm ∠SPR = 60o ùNeúLôQ ØdúLôQm PQR-Cp

tan60° = PQRQ =

h50Á ApXÕ 3 =

h50Á

h = 50 3 Á = 50 × 1.732 Á = 86.6 Á GÓjÕdLôhÓ 13: JÚ Lôt\ô¥dÏm RûW«p Es[ JÚ ×s°dÏm CûPúV

LhPlThP L«t±u ¿[m 90 Á. AkRd L«ß RûWUhPjÕPu 8

15tanθ = G]

AûUÙUôß θ Gu\ úLôQ A[ûY HtTÓjÕ¡\Õ G²p Lôt\ô¥ RûW«−ÚkÕ GqY[Ü EVWj§p Es[Õ Guß LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: 8, 15, 17 B¡V AXÏLs ùNeúLôQ ØdúLôQj§u TdL A[ÜL[ôL AûU¡\Õ G²p

⇒=8

15tanθ

sin θ = h

90Á = 1517 TPm 8.11

h = 90 × 1517 Á = 79.41 Á

C60 mB

A

30o

15 17

8θ

90 m

C B

A

hθ

R Q50 m

PS

60o

60o

h

TPm 8.10

www.kalvisolai.com

211

GÓjÕdLôhÓ 14: JÚ Lh¥Pj§−ÚkÕ 40 Á. ùRôûX®p Es[ JÚYu Lh¥Pj§u úUÛs[ JÚ ùLô¥dLmTj§u Ef£ûVÙm, A¥ûVÙm Øû\úV 60°, 45° Ht\dúLôQeL°p Tôod¡\ôu G²p Lh¥Pj§u EVWjûRÙm, ùLô¥dLmTj§u EVWjûRÙm LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: BC = Lh¥Pj§u EVWm = hÁ. CD = ùLô¥dLmTj§u EVWm = h1 Á A U²Rû]d Ï±dÏùU²p ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp

Sôm A±YÕ 45o = BCAB =

h40Á

l = h

40Á ApXÕ h = 40 Á

G]úY Lh¥Pj§u EVWm = 40 Á

ùLô¥dLmT EVWm CD-ûVd LiÓ©¥dL ØR−p BD-«u ¿[jûRd LiÓ©¥dL úYiÓm. ùNeúLôQ ØdúLôQm ABD-«p

tan 60o = ABBD

ApXÕ 3 = BD40Á

BD = 40 3 Á = 40 × 1.732 Á = 69.28 Á ùLô¥dLmTj§u EVWm h1 = CD = BD – BC = 69.28 Á – 40 Á = 29.28 Á GÓjÕdLôhÓ 15: 200 Á EVWØs[ JÚ LXeLûW ®[dLj§u Ef£«−ÚkÕ ARu CÚ×\eL°p Es[ LlTpL°u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 30°, 45° G²p, CWiÓ LlTpLÞdÏ CûPúVÙs[ çWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

¾oÜ: AB LXeLûW ®[dLj§u EVWm = 200 Á. EF B]Õ A-u Y¯úV AûUkR ¡ûPUhPUôÏm. C, D GuT] CÚ LlTpLû[Ùm Ï±dÏm.

CWiÓ LlTpL°u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 30°, 45° GuTRôp ∠EAC = 30° ∴∠ACB = 30° ∠FAD = 45° ∴∠ADB = 45° ùNeúLôQ ØdúLôQm ACB-Cp

BCAB

30tan =° ApXÕ 13 =

200ÁBC

BC = 200 √3 Á

= 200 × 1.732 Á = 346.4 Á ùNeúLôQ ØdúLôQm ADB-Cp

BDAB

45tan =° ApXÕ 1 = 200ÁBD

B40 mA

D

Ch1

h

45o60o

BC45o

45o

30o

30o

200m

D

A FE

TPm 8.12

TPm 8.13

www.kalvisolai.com

212

BD = 200 Á LlTpLÞdÏ CûPúVÙs[ çWm = CD = BC + BD = 346.4 Á + 200 Á = 546.4 Á GÓjÕdLôhÓ 16: Bt±u JÚ LûW«p ùNeÏjRô] UWm Juß Es[Õ. AmUWj§tÏ úSo G§úW AÓjR LûW«Ûs[ JÚ ×s°«−ÚkÕ UWj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 60°. AúR LûW«p Al×s°dÏl ©u×\m 40 Á ùRôûX®Ûs[ Utù\ôÚ ×s°«−ÚkÕ UWj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 30° G²p UWj§u EVWjûRÙm, Bt±u ALXjûRÙm LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AB = UWj§u EVWm = hÁ, C, D B¡V ×s°Ls UWj§tÏ G§úW Bt±u AÓjR LûW«p AûUkR ×s°Ls. G]úY BC = Bt±u ALXm = d D-Cp UW Ef£«u Ht\d úLôQm 30° ARôYÕ ∠BDA = 30° C-Cp UWEf£«u Ht\d úLôQm 60° ARôYÕ ∠BCA = 60° ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp

BCAB

60tan =° ApXÕdh

3 =

h = d 3 (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm ABD-Cp

BDAB

30tan =° ApXÕ 13 =

hd + 40Á ApXÕ 3h = d + 40 Á

h = d + 40Á

3 (2)

(1), (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ d 3 = d + 40Á

3

d 3 × 3 = d + 40 Á; 3d = d + 40 Á 2d = 40 Á; d = 20 Á G]úY Bt±u ALXm = 20 Á

UWj§u EVWm h = d 3 = 20 3Á = 20 × 1.732 Á = 34.64 Á GÓjÕdLôhÓ 17: 100 Á EVWØs[ JÚ UûX«u Ef£«−ÚkÕ, JÚ úLô×Wj§u Ef£, A¥ B¡VYt±u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 30°, 60° G²p úLô×Wj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ AB UûX«u EVWm = 100 Á CD úLô×Wj§u EVWm A-Cp CÚkÕ D -u C\dLd úLôQm 30° ARôYÕ ∠EAD = 30°

B40 mD C

A

h

d30o 60o

C B

D

E A

F

100 m

30o

30o

60o

60o

TPm 8.14

TPm 8.15

www.kalvisolai.com

213

A-Cp CÚkÕ C-u C\dLd úLôQm 60° ARôYÕ ∠EAC = 60° DFB]Õ D-−ÚkÕ AB-dÏ YûWVlThP ùNeÏjÕ. G]úY ∠ADF = 30°, ∠ACB = 60° ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp

BCAB

60tan =° or 3 = 100ÁBC ApXÕ BC 3 = 100 Á

BC = 100

3 Á

ùNqYLm CBFD-p CB = DF ∴ DF = 100

3 Á

ADF Gu\ ùNeúLôQ ØdúLôQj§p,

DFAF

30tan =° ApXÕ 13 =

AF100 ApXÕ AF 3 =

1003

Á

AF = 100

3 × 3 Á =

1003

Á = 33.33 Á (CÚ RNUj §ÚjRUôL)

BF = AB – AF = 100 Á – 33.33 Á = 66.67 Á úLô×Wj§u EVWm CD = BF [CBFD JÚ ùNqYLm] = 66.67 Á GÓjÕdLôhÓ 18: 20 Á EVWØs[ JÚ LP¥Pj§u Ef£«−ÚkÕm, A¥«−ÚkÕm JÚ úLô×Wj§u Ef£«u Ht\dúLôQeLs Øû\úV 45°, 60° G²p úLô×Wj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

¾oÜ : AB úLô×Wm CD B]Õ 20 Á EVWØs[ Lh¥Pm. DE B]Õ D-−ÚkÕ ABdÏ YûWkR ùNeÏjÕ. C-−ÚkÕ, A-u Ht\dúLôQm 60°. ARôYÕ ∠BCA = 60° D-−ÚkÕ A-u Ht\dúLôQm 45°. ARôYÕ ∠EDA = 45° BE = CD = 20 m ( BEDC JÚ ùNqYLm) AE= x Á G]d ùLôiPôp AB = x +20 Á ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp

BCAB60tan =° ApXÕ 3 =

x + 20ÁBC

BC 3 = x + 20Á ApXÕ BC = x + 20Á

3

ED = BC = x + 20Á

3

C B

D

A

E

20 m20 m

x

45o

60o

TPm 8.16

www.kalvisolai.com

214

ùNeúLôQ ØdúLôQm AED-Cp

EDAE45tan =° ApXÕ 1 =

xx + 20Á

3

ApXÕ x + 20Á

3 = x

3 x = x + 20 Á ApXÕ 3 x–x = 20 Á ApXÕ x( 3 –1) = 20 Á

13

20x

−=

x = 20 ( )3 + 1 Á

( )3 − 1 ( )3 + 1 (TÏ§ûV ®¡RØß GiQôL Uôt\)

= 20 ( )3 + 1( )3 2 − 12 Á

= 20 ( )3 + 1

3 − 1 Á = 20 ( )3 + 1

2 Á

= 10(1.732+1) Á = 10(2.732) Á = 27.32 Á ∴ úLô×Wj§u EVWm AB = x + 20 Á = 27.32 m + 20 Á = 47.32 Á GÓjÕdLôhÓ 19: JÚ LXeLûW ®[dLj§u CÚ×\Øm AûUkR ×s°L°−ÚkÕ ARu Ef£«u Ht\d úLôQeLs Øû\úV 30°, 45°. AkR CWiÓ ×s°LÞdÏm CûPúV Es[ çWm 120 Á. G²p LXeLûW ®[dLj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: AB = h LXeLûW ®[dLj§u EVWm CD LXeLûW ®[dLj§u CÚ×\Øm G§oTdLeL°p AûUkR ×s°Ls ×s° C-−ÚkÕ A-«u Ht\dúLôQm 45° ARôYÕ ∠BCA = 45° ×s° D-−ÚkÕ A-«u Ht\dúLôQm 30° ARôYÕ ∠BDA = 30° CWiÓ ×s°LÞdÏm CûPúV Es[ çWm 120 Á G] ùLôÓdLlThÓs[Õ. ARôYÕ CD = 120 Á BC = x G]d ùLôiPôp BD= (120–x) Á BÏm. ùNeúLôQ ØdúLôQm ABC-Cp

BCAB

45tan =° ApXÕ xh

1 =

h = x (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm ABD-Cp

BDAB

30tan =° ApXÕ 13 =

h120 Á − x ApXÕ h 3 = 120 Á − x

h = 120 Á − x

3 (2)

B

A

C30o

45o

h

xm (120-x)m D

TPm 8.17

www.kalvisolai.com

215

(1), (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ

x = 120 Á − x

3 ; 3 x = 120 Á –x;

3x + x = 120 Á ; x( )3 + 1 = 120 Á

x = 120Á3 + 1

= 120 ( )3 − 1

( )3 + 1 ( )3 − 1 Á

= 120 ( )3 − 1

( )3 2 − 12 Á

= 120 ( )3 − 1

3 − 1 Á = 120 ( )3 − 1

2 Á

= 60 (1.732–1) Á = 60 x 0.732 Á = 43.92 Á ∴ LXeLûW ®[dLj§u EVWm = 43.92 Á GÓjÕdLôhÓ 20: 2500 Á EVWj§p T\dÏm BLôV ®Uô]j§−ÚkÚ JÚ Bt±u CÚ LûWL°p AûUkR ×s°L°u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 41° 20′, 52°10′ G²p Bt±u ALXjûR LiÓ©¥dLÜm. ¾oÜ: A BLôV ®Uô]j§u JÚ Ï±l©hP ¨ûX«p D B]Õ A-«−ÚkÕ ùNeÏjRôL RûW«p AûUkR ×s° G²p DA = 2500 Á. B-Ùm, C-Ùm Bt±u G§o G§úW CWiÓ LûWL°p AûUkR ×s°Ls úUÛm B, C, D JÚ úSodúLôh¥p AûUkR ×s°Ls ∠DBA = 41°20′ ∠DCA = 52°10′. CD = x. Let BC = y = Bt±u ALXm G]d ùLôs[Xôm. ùNeúLôQ ØdúLôQm CDA-«p

Cot 52°10′ = ADCD

= x

2500Á

x = 2500 cot 52°10′ Á (1) ùNeúLôQ ØdúLôQm BDA-«p

cot 41° 20° = BDAD =

x + y2500Á

∴ x + y = 2500 cot 41°20′ Á (2) (2) – (1) ⇒ x+y–x = 2500 cot 41°20′–2500 cot 52°10′ Á y = 2500 (cot 41°20′–cot 52°10′)Á = 2500 (tan 48o 40′ – tan 37°50′) Á = 2500 (1.1370 – 0.7766) = 2500 x 0.3604 Á y = 901 Á GÓjÕdLôhÓ 21: JÚ úLô×Wj§u A¥«−ÚkÕ Øû\úV a, b AXÏLs çWj§p JúW úSodúLôh¥p AûUkR CÚ ×s°L°−ÚkÕ úLô×Wj§u Ef£«u Ht\dúLôQeLs

¨Wl× úLôQeLs G²p úLô×Wj§u EVWm ab G] ¨ì©dLÜm.

CB D

A

y x

2500 m

TPm 8.18

www.kalvisolai.com

216

¾oÜ: CD = h úLô×Wj§u EVWm CA = a; CB = b G] AûUkR A, B CWiÓ ×s°Ls. ∠CAD = θ G²p ∠CBD = 90° – θ (úLôQeLs ¨Wl× úLôQeLs) ùNeúLôQ ØdúLôQm ACD-Cp

CD htanAC a

θ = =

∴ tanθ = ha

(1)

ùNeúLôQ ØdúLôQm BCD-Cp

BCCD

)90tan( =θ−° ApXÕ bh

cot =θ

hb

tan =θ (2)

(1), (2)-−ÚkÕ ⇒ hb

ah

= ApXÕ h2 = ab ApXÕ h = ab

T«t£ 8.2

1. JÚ úLô×Wj§u Ef£«u Ht\dúLôQm ARu A¥«−ÚkÕ ¡ûPUhP R[j§p 50 Á çWj§Ûs[ JÚ CPj§−ÚkÕ 60° G²p, úLô×Wj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

2. JÚ H± ÑYtû\ 6 Á EVWj§p ùRôÓUôß NôojRlThÓs[Õ. AÕ RûW«p 60°-ûV AûUdÏm G²p H¦ ÑYt±u A¥«−ÚkÕ GqY[Ü çWj§Ûs[Õ G] LiÓ©¥dLÜm.

3. 30 Á EVWØs[ úLô×Wj§u Ef£«−ÚkÕ JÚYu JÚ UWj§u A¥ûV 30° C\dLd úLôQj§p Lôi¡\ôu G²p UWj§tÏm, úLô×Wj§tÏm CûPúVÙs[ çWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

4. JÚ ¨X A[ûYVô[o LXeLûW ®[dLm Ju±u EVWjûRd LôQ ARu A¥«−ÚkÕ 40Á çWj§Ûs[ A Gu\ ×s°«−ÚkÕ Ef£«u Ht\d úLôQjûR A[dÏmùTôÝÕ tan A = ¾ AûUYûR LiP±kRôo G²p LXeLûW ®[dLj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

5. JÚ LmTj§u ¨Z−u ¿[m ARu ¿[jûRlúTôp 3 UPeÏ G²p ã¬V²u Ht\dúLôûQ A[ûYd LiÓ©¥dLÜm.

6. 45 Á EVWØs[ TX Uô¥ Lh¥Pj§u Ef£«−ÚkÕ JÚYu Lh¥Pj§u JúW TdLj§p AûUkR CWiÓ ®[mTW TXûLLû[ 30°, 45° C\dL úLôQj§p Tôod¡\ôu G²p ®[mTW TXûLLÞdÏ CûPúVÙs[ çWjûR LiÓ©¥dLÜm.

7. 150Á EVWØs[ JÚ úLô×Wj§u Ef£ûV úLô×Wj§u G§ùW§o TdLeL°p Es[ CÚYo 30°, 45° Ht\d úLôQj§p Tôod¡\ôoLs G²p CÚYÚdÏm CûPúV Es[ çWjûR LiÓ©¥dLÜm.

AB C

D

a

h

b

TPm 8.19

www.kalvisolai.com

217

8. JÚ TôûR«p JÚYo TXUô¥ Lh¥PjûR úSôd¡ 120Á SPkÕ ùNu\ùTôÝÕ Lh¥Pj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 30° B]Õ 60°BL Uôß¡\Õ G²p Lh¥Pj§u EVWjûR LiÓ©¥dLÜm.

9. JÚ ùLô¥dLmTm 6 Á EVWØs[ JÚ úLô×Wj§u ÁÕ Es[Õ. RûW«p Es[ JÚ ×s°«−ÚkÕ ùLô¥dLmTj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 60°. AúR ×s°«−ÚkÕ úLô×Wj§u Ef£«u Ht\dúLôQm 45° G²p ùLô¥dLmTj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

10. JÚ úLô×Wj§u Ef£«−ÚkÕ 12Á EVWØs[ Lh¥Pj§u Ef£, A¥ B¡VûYL°u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 45°, 60° G²p úLô×Wj§u EVWjûR LiÓ©¥dLÜm.

11. ¿o UhPj§−ÚkÕ 20 Á EVWj§Ûs[ LlTp R[j§p CÚkÕ JÚYu Ïu±u Ef£ûV 60° Ht\dúLôQj§Ûm A¥ûV 30° C\dLd úLôQj§Ûm Lôi¡\ôu G²p ÏußdÏm LlTÛdÏm CûPúVÙs[ çWjûRÙm, Ïu±u EVWjûRÙm LiÓ©¥dLÜm.

12. 240 Á EVWØs[ Ïu±u Ef£«−ÚkÕ JÚ úLô×Wj§u Ef£, A¥ B¡VYt±u C\dLd úLôQeLs Øû\úV 30°, 45° G²p úLô×Wj§u EVWjûR LiÓ©¥dLÜm.

13. 20 Á CûPùY°«p ¨tÏm CÚYo ReLÞdÏ CûPúVÙs[ UWj§u Ef£ûV 30°, 45° Ht\d úLôQj§p Tôod¡\ôoL°p G²p UWj§u EVWjûRd LiÓ©¥dLÜm.

14. JÚ TôûR«u CWiÓ TdLØm JúW EVWm ùLôiP CWiÓ Lm×Ls Es[]. CWi¥tÏm CûPúVÙs[ çWm 100 Á. Lm×LÞdÏ CûPúVÙs[ JÚ ×s°«−ÚkÕ Lm×L°u Ef£«u Ht\d úLôQeLs Øû\úV 30°, 45° G²p Lm×L°u EVWjûR LiÓ©¥dLÜm.

®ûPLs T«t£ 8.1 1) a) 0.3746 b) 0.8192 c) 1.4826 d) 0.4446 e) 0.9078 f) 1.8967 g) 0.7540 h) 0.7911 i) 0.6876 j) 0.7743 2) a) 10° b) 25° c) 81° d) 55°24′ e) 65° 42′ f) 57° 37′ 3) a) 1.0247 b) 1.8802 c) 3.6765 4) 1.566 ùN.Á. 5) 221.1 ùN.Á.2 6) 57.15 ùN.Á. 7) 18.10 ùN.Á.2 8) 38.637 ùN.Á. 9) 1/2 T«t£ 8.2 1) 86.6 Á 2) 3.464 3) 51.96 Á 4) 30 Á 5) 18°25′ 6) 32.94 Á 7) 409.8 Á 8) 103.92 Á 9) 4.392 10) 28.392 Á 11) 34.64 Á 12) 101.44 Á 13) 7.32 Á

www.kalvisolai.com

218

9. ùNnØû\ Y¥®Vp

9.0 A±ØLm

ùNnØû\ Y¥®Vp AúSLjÕû\L°Ûm ùNVpØû\ TVuTôÓLs EûPVRôn CÚd¡\Õ. ERôWQUôL, ¨ûXVô], LiûQd LYÚm Lh¥PeLû[ Lh¥ GÝl×YRtÏ, Lh¥P YpÛSoLÞdÏm, RfÑj ùRô¯Xô[oLÞdÏm ùNnØû\ Y¥Y L¦Rl ùTôÚhL°u CVp×Lû[l Tt±V A±Ü Aj§VôY£VUô¡\Õ. ®Uô]eLs, LlTpLs, ®iùY°d úLôsLs CYtû\ CVdÏTYoLs RôeLs ùNpX úYi¥V TôûRL°u TûWTPm YûWVÜm, AYtû\ N¬YWl ©uTt\Üm ùNnØû\ Y¥Y L¦Rj§u A±ûYúV Sm©«ÚdL úYi¥«Úd¡\Õ. Y¥YûUlTô[oLs, ùTô±Vô[oLs, EÚYûUlTô[oLs, ×ûLlTP YpÛSoLs úTôu\YoLÞm ReL[Õ ùRô¯−p Y¥Y L¦R ùLôsûLLû[úV TVuTÓjÕ¡\ôoLs. JqùYôÚ BiÓm ûSp S§«u ùYs[l ùTÚdLp HtTÓm A¯ûY UßT¥Ùm ¨oQ«dL TiûPdLôXj§p G¡l§VoLs ùNnØû\ Y¥YL¦R ®§Øû\Lû[ EÚYôd¡]o. ©WªÓLû[ LhÓYRtÏm YûWL¦RjûRúV TVuTÓj§]o. Tô©úXô²VoLs Lh¥PeLû[ LhÓYRtÏm, éª«u GpûX TWl× ØR−VYtû\ A[kÕ ¨oQ«dL Y¥®VûXúV TVuTÓj§]o.

Ck§V Y¥®V−p ©WmUÏlRo (¡.© 598 - ¡.©. 665) ªL Ød¡V TeÏ Y¡jRYo. CYo ®¡RØß GiLû[ TdLeL[ôLd ùLôiúP ØdúLôQm, SôtLWm Utßm YhP SôtLWjûRl Tt± BWônY§p BoYm Lôh¥]ôo. AYÚûPV úRt\eL°p Juß YhP SôtLWj§u TdLeLÞdÏm, êûX®hPeLÞdÏm CûPúVÙs[ ùRôPoûT GÓjÕûWd¡\Õ. YhPSôtLWj§u TWlT[ûYl ùT\ ©uYÚm ãj§WjûR

A°jRôo: ))()()(( dscsbsas −−−− CeÏ 2s = a + b + c + d = TdLeL°u áÓRp,

Y¥®V−p RÚdL Ã§Vô] ¨ìTQeLû[ ¨ì©dL N¬Vô] YûWL¦R TPeLû[ YûWVôUp Uô§¬l TPeLs UhÓúU YûWVlTÓ¡u\]. CeÏ GkR®RUôL ùNnØû\ Y¥®Vp ETLWQeLÞm TVuTÓjRlTÓY§pûX.

YûWL¦R ETLWQeLû[ ûYjÕ YûWVlTÓm YûWL¦Rj§tÏ ùNnØû\ Y¥YL¦Rm Guß ùTVo. ùNnØû\ Y¥®V−p A§LUô] §\ûU úRûYlTÓ¡\Õ. ERôWQUôL YhPj§tÏ úUÛs[ JÚ ×s°«−ÚkÕ TôûLUô²ûV ûYjÕ ÑXTUôL JÚ ùRôÓúLôÓ YûWkÕ®PXôm. B]ôp AúR YûWTPjûR LYWôVm ûYjÕ YûWV A§L §\ûU úRûYlTÓ¡\Õ. Øu YÏl×L°p Sôm ¸úZ á\lThÓs[Ytû\l Tt± Ltßsú[ôm. (i) NUTdL ØdúLôQm YûWRp, (ii) ùTôÕûUV YhPeLs YûWRp, (iii) ùTôÕûUV

YhPeLs YûWRp, (iv) ØdúLôQj§tÏ ÑtßYhPm, EsYhPm YûWRp,

(v) ØdúLôQj§u ùNeúLôhÓ ûUVm LôQp.

www.kalvisolai.com

219

CkR TôPlTÏ§«p ©uYÚY]Ytû\ GlT¥ YûWVXôm GuTûRl Tt±

LtúTôm. (i) YhP SôtLWeLs YûWRp, (ii) SÓúLôhûPl TVuTÓj§ ØdúLôQm

YûWRp, (iii) ÏjÕdúLôhûP TVuTÓj§ ØdúLôQm YûWRp, (iv) YhPj§u

úUÛs[ JÚ ×s°«p YhPj§tÏ ùRôÓúLôÓ YûWRp, (v) YhPj§tÏ ùY°«p Es[ JÚ ×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWRp. Ï±l×: CkRl TôPlTÏ§«p YûWVlThÓs[ TPeLs Aû]jÕm ùLôÓdLlThP A[®tÏ YûWVlThPRpX. 9.1 YhP SôtLWm YûWRp YhPj§u ÁÕs[ HúRàm SôuÏ ×s°Lû[ CûQdÏmúTôÕ ¡ûPdÏm SôtLWm YhP SôtLWm GuTo ApXÕ JÚ SôtLWj§u SôuÏ Ef£LÞm JÚ YhPj§u ÁÕ CÚkRôp AûY YhP SôtLWm GuTo.

JÚ YhP SôtLWj§u G§o úLôQeLs ªûL ¨Wl× úLôQeL[ôÏm.

TPm 9.1-p YhPSôtLWj§u Ef£Ls P, Q, R, S GuT] YhPj§u ÁÕs[ ×s°L[ôÏm. m∠P + m ∠R = 180°, m∠Q + m∠S = 180°. YûL I: êuß TdLeLÞm JÚ êûX ®hPØm ùLôÓdLlThÓs[] AB, BC, AD B¡V TdLeLÞm AC Gu\ êûX®hPØm RWlThPôp YhP SôtLWm

ABCD-I YûWRp. YûWØû\ :

• AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL.

S

R

QP

O

BA

D

C

D

C

BA

Rough diagram

TPm 9.1

TPm 9.3

TPm 9.2

www.kalvisolai.com

220

• A-ûY ûUVUôLÜm AC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP ®p YûWL. • B-ûV ûUVUôLÜm BC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP ®p YûWL.

CÕ ØRp YhP®pûX ùYhÓm×s° C GuL. BC, AC-ûV CûQdL. • AB, BC-Cu ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs ùYh¥dùLôsÞm

×s° ‘O’ GuL. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLd ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL. • A-ûY ûUVUôLÜm AD-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

CÕ YhPjûR ùYhÓm ×s° D GuL. • CD, DA-ûY CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWUôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 1 : AB=6 ùN.Á, BC = 8 ùN.Á, AC = 8.5 ùN.Á., AD = 5 ùN.Á. A[ÜLÞs[ ABCD Gu\ YhP SôtLWm YûWVÜm. YûWØû\:

• AB = 6 ùN.Á. ¿[Øs[ JÚ úLôhÓjÕiÓ YûWL. • A-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 8.5 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhP ®p YûWL. • B-ûV ûUVUôLd ùLôiÓ 8 ùN.Á. BWj§tÏ Utù\ôÚ YhP ®p YûWL.

CÕ ØRp YhP®pûX C Gu\ ×s°«p ùYhÓ¡\Õ. • BC, AC B¡VYtû\ CûQ. • AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûY `O' Gu\ ×s°«p

ùYhÓ¡u\]. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-I BWUôLd ùLôiÓ JÚ

YhPm YûWL. • A-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 5 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhP®p YûWL. AÕ

YhPj§û] D Gu\ ×s°«p Nk§d¡\Õ. • CD, DA-ûY CûQ. • ABCD GuTÕ úRûYVô] SôtLWm

DC

BA

8 cm

6 cm8.5

cm

5 cm

O

8 cm

6 cm

5 cm

8.5

cm

BA

D

C

Fig. 9.5

TPm 9.5

TPm 9.4

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

221

YûL II: CWiÓ TdLeLÞm CWiÓ êûX ®hPeLÞm ùLôÓdLlThÓs[] ABCD Gu\ YhP SôtLWj§p AB, BC Gu\ CWiÓ TdLeLÞm AC, BD Gu\ CWiÓ êûX®hPeLÞm RWlThPôp YhP SôtLWjûR YûWRp. YûWØû\:

• AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL. • A-ûY ûUVUôLÜm AC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP ®p YûWL. • B-ûV ûUVUôLÜm BC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

CÕ ØRp YhP®pûX ùYhÓm ×s° C GuL. • BC, AC-ûV CûQdL. • AB, BC-Cu ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs ùYh¥dùLôsÞm

×s° `O' GuL. • `O'-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm

ùLôiÓ JÚ YhPm YûWL. • B-ûV ûUVUôLÜm BD-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

AÕ YhPjûR ùYhÓm ×s°dÏ D G] GÓjÕdùLôsL. • AD, CD, BD CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWUôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 2 : AB = 4 ùN.Á., BC = 2.6 ùN.Á, AC = 5.5 ùN.Á., BD = 5.8 ùN.Á. A[Üs[ ABCD Gu\ JÚ YhP SôtLWm YûWVÜm.

DC

BA

Fig. 9.7

O

A B

C

D

D

C

B4 cm

5.5 cm

5.8 cm

2.6

cm

A

g g

Fig. 9.9

O

A B

C

D

4 cm

5.5 cm

5.8 cm

2.6

cm

Uô§¬l TPm

TPm 9.6 TPm 9.7

Uô§¬l TPm

TPm 9.8

TPm 9.9

www.kalvisolai.com

222

YûWØû\: • AB = 4 ùN.Á. ¿[Øs[ JÚ úLôhÓjÕiÓ YûWL. • A-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 5.5 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhP®pûX YûWL. • B-I ûUVUôLd ùLôiÓ 2.6 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhP®pûX YûWL.

CÕ ØRp YhP®pûX C-p ùYhÓ¡\Õ. • BC, AC-I CûQdL. • AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs 'O'-p ùYhÓ¡u\]. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL. • B-I ûUVUôLd ùLôiÓ 5.8 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhP®pûX YhPj§u

ÁÕ YûWL. AÕ YhPjûR D-p ùYhPhÓm. • AD, BD B¡VYtû\ CûQdL • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWm.

YûL III: CWiÓ TdLeLÞm CWiÓ úLôQeLÞm ùLôÓdLlThÓs[]

ABCD Gu\ YhP SôtLWj§p AB, BC Gu\ CWiÓ TdLeLÞm ∠BAC, ∠ACD Gu\ CWiÓ úLôQeLÞm RWlThPôp YhP SôtLWjûR YûWRp YûWØû\:

• AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL. • ∠BAX = θ G] CÚdÏmT¥ A-u Y¯VôL AX-I YûWL. • B-ûV ûUVUôLÜm BC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP ®p YûWL.

AÕ AX-I C-p ùYhÓ¡\Õ. • AC, BC-ûV CûQdL. • AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs 'O' Gu\ ×s°«p

ùYh¥d ùLôs¡\Õ. • 'O'-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLd ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL.

D Cφ

θBA

Fig. 9.11

O

A B

C

D

x

y

φ

θ

Uô§¬l TPm

TPm 9.10

TPm 9.11

www.kalvisolai.com

223

• ∠ACY = ∠ACD = φ G] CÚdÏmT¥ C-u Y¯VôL CY-ûV YûWL. • CY-B]Õ YhPjûR D-p Nk§d¡\Õ. • AD-ûV CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWm.

GÓjÕdLôhÓ 3: AB = 5 ùN.Á., BC = 4 ùN.Á., ∠BAC = 35° , ∠ACD = 70° A[ÜLÞdÏ

ABCD Gu\ YhP SôtLWm YûWL. YûWØû\:

• AB = 5 ùN.Á. ¿[Øs[ JÚ úLôhÓjÕiÓ YûWL. • A-u Y¯VôL ∠BAX = 35° G] CÚdÏmT¥ AX YûWL. • B-ûV ûUVUôL ùLôiÓ 4 ùN.Á. BWj§p JÚ YhP®p YûWL. AÕ

AX-I C-p ùYhÓ¡\Õ. • AC, BC-ûV CûQdL • AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs ùYh¥dùLôsÞm

TÏ§ ‘O’ GuL. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL. • ∠ACY = 70° G] CÚdÏmT¥ C Y¯VôL CY-ûV YûWL. • CY YhPjûR D-p ùYhÓ¡\Õ. • AD-ûV CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWm.

YûL IV: CWiÓ TdLeLÞm JÚ êûX®hPm Utßm JÚ úLôQm ùLôÓdLlThÓs[]

AB, AD B¡V CWiÓ TdLeLÞm AC Gu\ êûX®hPØm ∠BAC-Ùm RWlThPôp YhP SôtLWm ABCD-ûV YûWRp.

70o

5 cm35o 4

c m

Fig. 9.13

O

A B

C

D

x

y

D C70o

35o

5 cm BA

4 cm

TPm 9.12

TPm 9.13

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

224

YûWØû\: • AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL. • ∠BAX = ∠BAC = θ G] CÚdÏmT¥ A-Y¯VôL AX-I YûWL. • A-ûY ûUVUôLÜm AC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

AÕ AX-I C-Cp ùYhÓ¡\Õ. • BC-ûV CûQdL • AB, BC-Cu ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs 'O' Gu\ ×s°«p

ùYhÓ¡\Õ. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLd ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL. • A-ûY ûUVUôLÜm AD-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

AÕ YhPjûR D-Cp ùYhPhÓm. • CD, AD-ûV CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWm.

GÓjÕdLôhÓ 4 : AB = 7.5 ùN.Á., AC = 10 ùN.Á., ∠BAC = 30°, AD = 6.5 ùN.Á. G]

CÚdÏmT¥ ABCD Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

θ

D C

BAθ

Fig. 9.15

O

A B

DC x

30o

7.5 cm

6.5

cm 10 cm

D C

BA30ο

Fig. 9.17

O

7.5 cm

6.5

cm

A B

10 cm

DC X

TPm 9.14

TPm 9.15

Uô§¬l TPm

TPm 9.16

TPm 9.17

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

225

YûWØû\: • AB=7.5 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ úLôhÓjÕiûP YûWL. • ∠BAX = 30°G] CÚdÏmT¥ A Y¯VôL AX YûWL. • A-ûV ûUVUôLÜm 10 ùN.Á. BWØm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL. AÕ

AX-I C-p ùYhÓ¡\Õ. • BC, AC-ûV CûQdL. • AB, BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓLû[ YûWL. AûYLs ùYh¥dùLôsÞm

×s° 'O' G] GÓjÕdùLôsL. • O-ûY ûUVUôLÜm OA ApXÕ OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ

JÚ YhPm YûWL. • A-ûY ûUVUôLÜm 6.5 ùN.Á. BWØm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL. CÕ

YhPjûR ùYhÓm ×s° DBL CÚdLhÓm. • CD, AD-ûV CûQdL. • ABCD GuTÕ úRûYVô] YhP SôtLWm.

T«t£ 9.1

1. AB = 8 ùN.Á., BC = 7 ùN.Á., AC = 6 ùN.Á., AD = 4 ùN.Á. A[ÜLÞPu á¥V ABCD Gu\ YhP SôtLWm YûWL.

2. EF = 7 ùN.Á., EH = 6 ùN.Á., FH = 10 ùN.Á., FG = 6.4 ùN.Á. B¡V A[ÜLÞPu á¥V EFGH Gu\ YhP SôtLWm YûWL.

3. ¸rdLôÔm A[ÜLÞdÏ PQRS Gu\ YhPSôtLWm YûWL. PQ = 4.5 ùN.Á., QR = 5.5 ùN.Á., PR = 6.5 ùN.Á., PS = 4 ùN.Á.

4. EF = 7 ùN.Á., EG = 7.5 ùN.Á., EH = 6 ùN.Á., GH = 5.5 ùN.Á. A[ÜLÞs[ EFGH Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

5. AB = 7 ùN.Á., BC = 5 ùN.Á., AC = 6 ùN.Á., BD = 6.5 ùN.Á. B¡V A[ÜLÞdÏ ABCD Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

6. EF = 6 ùN.Á., FG = 5.3 ùN.Á., EG = 8.2 ùN.Á., FH = 7.8 ùN.Á.EFGH Gu\ YhP SôtLWm YûWL.

7. PQ = 8 ùN.Á., QR = 5.9 ùN.Á., PR = 8.6 ùN.Á., RS = 7.9 ùN.Á. PQRS Gu\ YhP SôtLWm YûWL.

8. AB = 5.8 ùN.Á., AD = 2.6 ùN.Á., AC = 6.7 ùN.Á., BD = 6.8 ùN.Á. ABCD Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

9. AB = 7.2 ùN.Á., ∠ABD = 45°, ∠BAD = 100°, BC = 4 ùN.Á. A[ÜLÞdÏ ABCD Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

10. PQ = 8 ùN.Á., QR = 7 ùN.Á., ∠QPR = 40°, ∠PRS = 60° A[ÜLÞdÏ PQRS Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

11. EF = 5 ùN.Á., FG = 4.8 ùN.Á., ∠EFG = 85°, ∠FEH = 72° Gu\ A[ÜLÞdÏ EFGH Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

12. PQ = 7 ùN.Á., QR = 8.4 ùN.Á., ∠PQR = 90°, ∠SRP = 56°. A[ÜLÞdÏ PQRS Gu\ YhPSôtLWm YûWL.

13. ¸rdLôÔmA[ÜLÞdÏ ABCD Gu\ YhPSôtLWm YûWL. a) AB = 7 ùN.Á., m∠A = 100°, BD = 10 ùN.Á., CD = 5 ùN.Á.. b) AB = 8.5 ùN.Á., BC = 7.5 ùN.Á., AC = 10 ùN.Á., m∠ACD = 35°.

www.kalvisolai.com

226

9.2 ØdúLôQeLs YûWRp ùLôÓdLlThP úLôhÓjÕi¥u ÁÕ ùLôÓdLlThP úLôQm AûUÙmT¥ YhPlTÏ§ûV AûUjRp. RWÜ : AB Gu\ úLôhÓjÕi¥u ¿[Øm, úLôQm θ-Üm RWlThÓs[]. úRûYVô]ûY : AB Gu\ úLôhÓjÕi¥u ÁÕ

YhPlT¬§«p θ úLôQm AûUÙmT¥ YhPlTÏ§ûV

AûUjRp. YûWØû\:

• A-«p ∠BAC = θ Gu\ úLôQjûR AûUdL. • AD ⊥ AC-ûV YûWL. • AB-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ AD-ûV 'O'-p Nk§d¡\Õ. • O-ûY ûUVUôLÜm OA-ûY BWUôLÜm ùLôiÓ ABE Gu\ YhPm

YûWL. AEB Gu\ YhPlTÏ§ θ úLôQjûR Es[Pd¡ Es[Õ.

GÓjÕdLôhÓ 5: AB = 5 ùN.Á. Gu\ úLôhÓjÕi¥u ÁÕ úLôQm 30° Es[Yôß JÚ YhPlTÏ§ûV AûUdL. YûWØû\:

• AB = 5 ùN.Á. A[Üs[ JÚ úLôhÓjÕiûP YûWL.

• ∠BAC = 30° G] CÚdÏmT¥ AC-ûV YûWL. • AD ⊥ AC YûWL. • AB-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ AD-ûV

'O'-p Nk§d¡\Õ. • ‘O’-ûY ûUVUôLÜm OA-ûY BWUôLÜm ùLôiÓ ABE Gu\ YhPm

YûWL. • AEB Gu\ YhPlTÏ§ úRûYVô] úLôQm 30°-ûV ùLôi¥ÚdÏm.

YûL I: JÚ ØdúLôQj§u A¥lTdLm, Ef£dúLôQm Ef£«−ÚkÕ ÏjÕdúLôh¥u ¿[m ùLôÓdLlThÓs[]

RWÜ : A¥lTdLm AB, Ef£dúLôQm θ , ‘θ’ Utßm

ÏjÕdúLôh¥u ¿[m l RWlThÓs[Õ. úRûYVô]ûY : A¥lTdLm AB, Ef£dúLôQm C-«−ÚkÕ A¥lTdLm AB-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u

¿[m l G] CÚdÏmT¥ ΔABC-ûV AûUjRp. YûWØû\:

• A¥lTdLm AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL. • A-Cp ∠BAE = θ Gu\ úLôQjûR AûUdL. • AF⊥AE YûWL. • AB-«u ûUVdÏjÕdúLôÓ GO-ûY YûWL. AÕ

AF-I ‘O’-Cp Nk§d¡\Õ. • O-ûY ûUVUôLÜm OA-ûY BWUôLÜm ùLôiÓ YhPm ABK-ûY

YûWL.

Fig. 9.19

O

B

C

5 cm

D

E

A 30o

TPm 9.19

TPm 9.20

Fig. 9.18

O

B

D

E

A θ

TPm 9.18

Fig. 9.18

O

B

D

E

A θ

www.kalvisolai.com

227

Fig. 9.22

O

G7 cm

4.5

cm

C

E

A'

KF

H60o

60o

A

F

B

• AKB Gu\ YhPlTÏ§«p θ úLôQm AûUÙm. • GO Gu\ ûUVdÏjÕdúLôh¥u ÁÕ GH= l G] CÚdÏmT¥. H-ûV

Ï±dLÜm. • H Y¯VôL AB-dÏ CûQVôL JÚ úSodúLôÓ YûWL. AÕ YhPlTÏ§

AKB-ûV C, J-p Nk§d¡\Õ. • AC, BC-ûV CûQdL. • ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm.

¨ìTQm : ΔABC-p, AB GuTÕ A¥lTdLm. ∠ACB GuTÕ YhPlTÏ§«u Juß®hP úLôQm GuTRôp CÕ θ BÏm. (A.Õ.) ∠ACB = θ. C-−ÚkÕ AB-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u ¿[m AB, CJ B¡V CûQVô] úSodúLôÓLÞdÏ CûPúVÙs[

çWØm NUm. G]úY GH = l. ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm. GÓjÕdLôhÓ 6 : BC = 7 ùN.Á., m∠A = 60° Ef£ A-−ÚkÕ BC-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u ¿[m 4.5 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ ABC Gu\ ØdúLôQm YûWL.

YûWØû\: • BC = 7 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ JÚ úLôhÓjÕiÓ YûWL. • B-Cp ∠CBE = 60° úLôQjûR AûUdL. • BF ⊥ BE YûWL. • BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ BF-I 'O'-p Nk§d¡\Õ. • O-ûY ûUVUôLÜm OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ YhPm

BCK-ûV YûWL. • YhPm BKC GuTÕ úLôQm 60° ùLôi¥ÚdÏm. • GH = 4.5 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ GO-u ÁÕ 'H' Gu\ ×s°ûVd Ï±dL. • H Y¯VôL BC-dÏ CûQVôL AHA′ Gu\ úSodúLôhûP YûWL. • BA, CA-ûY CûQ. • ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm.

60o

B C

A

7 cm4.

5 cm

TPm 9.21 TPm 9.22

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

228

YûL II: JÚ ØdúLôQj§u A¥lTdLm, Ef£dúLôQm Utßm SÓdúLôh¥u ¿[m ùLôÓdLlThÓs[]

RWÜ : A¥lTdLm AB, Ef£dúLôQm θ, C-−ÚkÕ AB-dÏ YûWVlTÓm SÓdúLôh¥u

¿[m = l RWlThÓs[]. úRûYVô]Õ : AB-ûV A¥lTdLUôLÜm, Ef£dúLôQm ∠C = θ G]Üm, C-−ÚkÕ A¥lTdLm AB-dÏ YûWVlTÓm SÓdúLôh¥u ¿[m l G]Üm CÚdÏmT¥ ΔABC-ûV AûUjRp. YûWØû\:

• A¥lTdLm AB Gu\ úLôhÓjÕiûP YûWL. • ∠BAR = θ G] CÚdÏmT¥ AR-I YûWL. • AE ⊥ AR YûWL. • AB-u ûUVdÏjÕdúLôÓ DO-ûY YûWL.

AÕ AE-ûV 'O'-p Nk§d¡\Õ. • ‘O’-ûY ûUVUôLÜm OA-ûY BWUôLÜm

ùLôiÓ YhPm ABK YûWL. • YhPlTÏ§ AKB GuTÕ θ úLôQjûR ùLôi¥ÚdÏm.

• D-ûV ûUVUôLÜm SÓdúLôh¥u ¿[m l-I BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL.

• AC, BC-ûV CûQdL. • ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm.

¨ìTQm : • ΔABC-Cu A¥lTdLm AB • ∠ACB = θ, Hù]²p ∠ACB GuTÕ YhPlTÏ§«u Juß®hP

úLôQUôÏm. • D GuTÕ AB-u ûUVl×s°. ∴CD GuTÕ C-−ÚkÕ YûWVlTÓm

SÓdúLôÓ. ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm. GÓjÕdLôhÓ 7 : A¥lTdLm BC = 5 ùN.Á., m∠BAC = 45°, SÓdúLôÓ AD = 4 ùN.Á. A[ÜLÞs[ ØdúLôQm ΔABC YûWL.

45o

B CD

A

5 cm

4 cm

Fig. 9.25

O

5 cm

4 cm D45o

45o

C

E

K

A1F

B

A

Fig. 9.23

O

D

C

R

K

J

l

θ

θ

E

BA

TPm 9.23

TPm 9.24 TPm 9.25

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

229

YûWØû\: • BC = 5 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ úLôhÓjÕiûP YûWL. • B-Cp ∠CBE = 45° Gu\ úLôQjûR AûUdLÜm. • BF ⊥ BE YûWL. • BC-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ BC-ûV D-p Nk§d¡\Õ. • ûUVdÏjÕdúLôÓ BF-ûV 'O'-p Nk§d¡\Õ. • 'O'-ûY ûUVUôLÜm OB ApXÕ OC-ûV BWUôLÜm ùLôiÓ YhPm

BCK-ûY YûWL. • YhPlTÏ§ BKC GuTÕ úLôQm 45° ùLôi¥ÚdÏm. • D-ûV ûUVUôLÜm BWm 4 ùN.Á. A[Ü ùLôiÓ YhPlTÏ§ BKC-u

ÁÕ YhP®tLs YûWL. AÕ YhPjûR A, A′ Gu\ ×s°L°p ùYhÓ¡\Õ. • BA, CA CûQdL. • ABC GuTÕ úRûYVô] ØdúLôQm.

T«t£ 9.2 1. ¸rdLôÔm A[ÜLÞdÏ YhPlTÏ§ûV AûUdLÜm.

a) CD = 6 ùN.Á. úLôhÓjÕi¥u ÁÕ 60° úLôQjûR AûUdLÜm. b) EF = 4 ùN.Á. úLôhÓjÕi¥u ÁÕ 100° úLôQjûR AûUdLÜm. c) PQ = 6.5 ùN.Á. úLôhÓjÕi¥u ÁÕ 135° úLôQjûR AûUdLÜm.

2. BC = 4 ùN.Á., ∠A = 60 ° Ef£ A-−ÚkÕ BC-dÏ YûWVlTÓm ÏjÕdúLôh¥u ¿[m 3 ùN.Á. G] CÚdÏmT¥ ΔABC-ûV YûWL.

3. AB = 6 ùN.Á., m∠C = 40° Ef£ C-−ÚkÕ AB-dÏ Es[ ÏjÕdúLôh¥u ¿[m 4 ùN.Á. A[ÜLÞPu ΔABC-ûV AûUdLÜm.

4. ΔPQR-p QR = 5.1 ùN.Á., m∠P=60°, P-−ÚkÕ QR-dÏ Es[ ùNeÏjÕ çWm 3.2 ùN.Á. G²p ΔPQR-ûV YûWL.

5. A¥lTdLm BC = 4.5 ùN.Á., m∠A = 60°, SÓdúLôÓ AD-u ¿[m 3.2 ùN.Á. A[ÜLÞPu ΔABC-ûV YûWL.

6. A¥lTdLm AB = 4.4 ùN.Á., Ef£dúLôQm ∠C = 60° SÓdúLôh¥u ¿[m 2.7 ùN.Á. ΔABC-ûV YûWL.

9.3 YhPeLÞdÏ ùRôÓúLôÓLs YûWRp YhPj§u úUÛs[ JÚ ×s°«p ùRôÓúLôÓ YûWRp. YûWØû\:

• ‘O’ûY ûUVUôLd ùLôiÓ HúRàm JÚ BWj§tÏ YhPm YûWL.

• P GuTÕ YhPj§u úUÛs[ HúRàm JÚ ×s°. OP-ûV CûQ.

• P-ûV ûUVUôLd ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL. AÕ OP-ûV M-p ùYhÓ¡\Õ.

• M-I ûUVUôLd ùLôiÓ AúR A[Ü BWjÕPu JÚ YhP®p YûWL. AÕ ØkûRV YhP®pûX N-p ùYhÓ¡\Õ. ÁiÓm N-I ûUVUôLd ùLôiÓ

Fig. 9.26

T

NL

PO M90o

TPm 9.26

www.kalvisolai.com

230

AúR A[Ü BWjÕPu JÚ YhP®p YûWL. CÕ ØRp YhP®pûX L-p ùYhÓ¡u\Õ.

• ∠NPL-u CÚNUùYh¥ PT-ûV YûWL. • ∠OPT = 90° G]úY PT GuTÕ P-p ùRôÓúLôPôÏm.

GÓjÕdLôhÓ 8 : 'O'-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 3 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhPm YûWL. YhPj§u ÁR P Gu\ ×s°ûV GÓjÕdùLôiÓ P-p ùRôÓúLôÓ YûWL.

YûWØû\: • 'O'-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 3 ùN.Á. BWj§tÏ YhPm YûWL. • P GuTÕ YhPj§u ÁÕs[ HúRàm JÚ ×s° OP-ûV CûQ. • P-ûV ûUVUôLd ùLôiÓ JÚ YhP®p YûWL. AÕ OP-ûV M-p

ùYhÓ¡\Õ. • M-I ûUVUôLd ùLôiÓ AúR A[Ü BWjÕPu JÚ YhP®p YûWL.

AÕ ØkûRV YhP®pûX N-p ùYhÓ¡\Õ. ÁiÓm N-I ûUVUôLd ùLôiÓ AúR A[Ü BWjÕPu JÚ YhP®p YûWL. CÕ ØRp YhP®pûX L-p ùYhÓ¡u\Õ.

• ∠NPL-u CÚNUùYh¥ PT-ûV YûWL. • ∠OPT = 90° G]úY PT GuTÕ P-p ùRôÓúLôPôÏm.

YhPj§tÏ ùY°«Ûs[ JÚ ×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûRRp

RWÜ : O GuTÕ ùLôÓdLlThP ×s°, r GuTÕ ùLôÓdLlThP BWm GuL. YhPj§tÏ ùY°«p P GuTÕ RWlThÓs[ ×s° GuL.

P

T

O 3 cm

Fig. 9.28

T

N

PO M3 cm

L

Fig. 9.29

O G P

A

B

r

r

TPm 9.27

TPm 9.28

Uô§¬l TPm

TPm 9.29

www.kalvisolai.com

231

úRûYVô]ûY : P Gu\ ùY°«Ûs[ ×s°«−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWRp. YûWØû\:

• ‘O’--ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 'r'-AXÏ BWj§tÏ JÚ YhPm YûWL. • YhPj§tÏ ùY°«p P Gu\ ×s°ûV Ï±dL. OP-ûV CûQ. • OP-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ OP-ûV G-p Nk§d¡u\Õ. • G-ûV ûUVUôLÜm, GO-ûY BWUôLÜm ùLôiÓ JÚ YhPm YûWL. AÕ

ØRp YhPjûR A, B Gu\ ×s°L°p Nk§d¡u\Õ. • PA, PB-ûV CûQ. • PA, PB GuT] P-−ÚkÕ ùLôÓdLlThP YhPj§tÏ YûWVlTÓm CWiÓ

ùRôÓúLôÓLs BÏm. ¨ìTQm : OA, OB-ûV CûQ. OP GuTÕ ®hPm. AûWYhPj§p Es[ úLôQm 90° GuTRôp ∠OAP = ∠OBP = 90°.

1) OA = OB GuT] ùLôÓdLlThP YhPj§u BWm. úUÛm ∠OBP = ∠OAP = 90°. 2) G]úY AP, BP GuT] P-−ÚkÕ ùLôÓdLlThP YhPj§tÏ YûWVlTÓm

CWiÓ ùRôÓúLôÓLs BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 9 : 10 ùN.Á. ®hPØs[ YhPj§tÏ YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ 13 ùN.Á. çWj§p P Gu\ ×s°ûV GÓjÕdùLôs. P-−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWkÕ ùRôÓúLôh¥u ¿[eLû[ A[dL.

YûWØû\:

• 'O'-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 5 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhPm YûWL. • 'O'-−ÚkÕ 13 ùN.Á. çWj§p P Gu\ ×s°ûVd Ï±dLÜm. • OP-u ûUVdÏjÕdúLôÓ YûWL. AÕ OP-ûV G-Cp Nk§d¡u\Õ. • G-ûV ûUVUôLd ùLôiÓ OG ApXÕ GP-ûV BWUôLd ùLôiÓ JÚ

YhPm YûWL. AÕ ùLôÓdLlThP YhPjûR A, B-p ùYhÓ¡\Õ. • PA, PB-ûV CûQdL. • PA, PB GuT] úRûYVô] ùRôÓúLôÓLs BÏm. A[kÕ TôojRôp

PA = PB = 12 ùN.Á. G] ¡ûPdÏm. N¬TôojRp: OP = 13 ùN.Á., OA = 5 ùN.Á., ΔOPA GuTÕ ùNeúLôQ ØdúLôQUôÏm. ∴ PA2 = OP2 - OA2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 ∴ PA = 12 ùN.Á.

Fig. 9.31

O G P

B

A

13 cm

12 cm

5 cm

5 cm

12 cm O 13 cm

5 cm

5 cm

P

A

B

TPm 9.30 TPm 9.31

Uô§¬l TPm

www.kalvisolai.com

232

T«t£ 9.3 1. O-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 2 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhPm YûWkÕ, YhPj§u

ÁÕ P Gu\ ×s°ûV GÓjÕd ùLôs. Al×s° P-p ùRôÓúLôÓ YûWL. 2. 3.4 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhPm YûWL. YhPj§u ÁÕ P Gu\ ×s°ûV GÓjÕd

ùLôiÓ P-p YhPj§tÏ ùRôÓúLôÓ YûWL. 3. O-ûY ûUVUôLd ùLôiÓ 2.5 ùN.Á. BWj§tÏ JÚ YhPm YûWL. YhPj§u

ûUVj§−ÚkÕ 5.8 ùN.Á. çWj§p P Gu\ ×s°ûVd Ï±. P-−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWkÕ, ùRôÓúLôh¥u ¿[eLû[ A[kÕ CVtL¦R Øû\«p N¬TôodLÜm.

4. 3 ùN.Á. BWØs[ YhPm YûWkÕ YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ 7 ùN.Á. ùRôûX®p P Gu\ ×s°ûVd Ï±dL. P-−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWL. ùRôÓúLô°u ¿[eLû[ A[dLÜm.

5. 6 ùN.Á. ®hPj§tÏ JÚ YhPm YûWkÕ YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ 5 ùN.Á. çWj§p P Gu\ ×s°ûVd Ï±dLÜm. P-−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLs YûWkÕ ùRôÓúLôh¥u ¿[eLû[ A[dLÜm.

6. A[ÜúLôûXÙm, LYWôVjûRÙm TVuTÓj§ 6 ùN.Á. ®hPj§tÏ JÚ YhPm YûWL. YhPj§u ûUVj§−ÚkÕ 9 ùN.Á. ùRôûX®p P Gu\ ×s°ûVd Ï±dLÜm. P-−ÚkÕ YhPj§tÏ CWiÓ ùRôÓúLôÓLû[ YûWL.

®ûPLs T«t£ 9.3 (4) 6.3 ùN.Á. (5) 4 ùN.Á.

www.kalvisolai.com

233

10. ×s°«Vp

10.0 A±ØLm ×s°«Vp GuTûRd Ï±dÏm Be¡Xf ùNôpXô] ‘Statistics’ GuTÕ Xj¾u ùUô¯f ùNôpXô] ‘Status’ ApXÕ CjRô−V ùUô¯f ùNôpXô] ‘Statista’ ApXÕ ù_oUô²V ùUô¯f ùNôpXô] ‘Statistik’ ApXÕ ©ùWgf ùUô¯f ùNôpXô] ‘Statistique’-Cp CÚkÕ EÚYô]Õ BÏm. CûY JqùYôußm AW£Vp AûUl× AWÑ (political state) G]lùTôÚsTÓm. ×s°«Vp Gàm ùNôpXôp Sôm GiUô]d átßLû[Ùm ×s°Vp Øû\Lû[Ùm Ï±l©Ó¡ú\ôm. RtLôXj§p JÚ Sôh¥u ©WfNû]Lû[j ¾odLúYô ApXÕ BnÜ ùNnYRtúLô ×s°Vp TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. CÕ Aû]jÕj Õû\L°Ûm Øuú]t\SPY¥dûLLÞdÏ úRûYVô] RLYpLû[ A°d¡\Õ. ×s°«p Aû]jÕl ©¬ÜL°Ûm ªL ®¬YôLl TVuTÓjRlTÓ¡\Õ. ×s°V−u RkûR Gu\ûZdLlTÓm No úWô]ôpÓ . A. ©`o (Sir. Ronald A. Fisher) (1890–1962) Gàm YpÛSo ×s° ®YWeL°p CÚkÕ TX TVàs[ LQd¸ÓLû[ YZe¡ CÚd¡\ôo. AYo E[®Vp, UW©Vp, Lp® úTôu\ TX Õû\L°p ×s°Vp LÚjÕdLû[ TVuTÓj§ CÚd¡\ôo. 10.1 TWÜRp Sôm ØkûRV YÏl×L°p ×s° ®YWeLû[ úNL¬lTÕ Tt±Ùm AYtû\ ùYqúYß Y¥YeL°p ùY°lTÓjÕYÕ Tt±Ùm T¥j§Úd¡ú\ôm. AkR ×s°®YWeL°p CÚkÕ ûUVúSôdÏ A[ûYL[ô] NWôN¬, CûP¨ûX A[Ü, ØLÓ B¡VYtû\ LQd¡ÓYÕ Tt±Ùm Lt±Úd¡ú\ôm. CkR ûUVúSôdÏ A[ûYLs, TWYûXl Tt±V GpXô ®YWeLû[Ùm RÚY§pûX. G]úY SUdÏ úUÛm ×s° ®YWeLû[l Tt±V ®[dLeLs úRûYlTÓ¡u\]. AYt±p Ju\ô] TWÜRp A[ûYLs (measures of dispersion) Tt± Sôm ClTÏ§«úX A±kÕ ùLôsúYôm. A.L. ùT[úX (A.L. Bowley) Gàm L¦R A±Oo “TWÜRp GuTÕ R² U§l©tLô] úYßTôhÓ A[ûYVôÏm” G]d á±Ùs[ôo. ARôYÕ TWÜRp GuTÕ ×s° ®YWeLs GkR A[®tÏ TW® CÚd¡\Õ GuTûRd LôhÓ¡\Õ. TWÜR−u A[ûYLs TX BÏm. CkR YÏl©p £X A[ûYLû[ ARôYÕ R² U§l×LÞdLô] ÅfÑ, §hP®XdLm Utßm úYßTôhÓdùLÝ Tt± T¥dL CÚd¡ú\ôm. ÅfÑ ÅfÑ JÚ ªL G°Rô] TWÜR−u A[ûY BÏm. JÚ ùRôP¬p EVokR Utßm Ïû\kR U§l×L°u ®j§VôNm ÅfÑ G] YûWVßdLlTÓ¡\Õ. ÅfÑ = L – S, L = ÁlùTÚ U§l×, S = Áf£ß U§l×

ÅfÑdùLÝ = SLSL

+−

www.kalvisolai.com

234

GÓjÕdLôhÓ 1 : 27,28,34,36,39,59 Gu¡\ ×s° ®YWeLÞdÏ ÅfÑ Utßm ÅfÑdùLÝ LôiL. ¾oÜ : EVokR U§l× L = 59; Ïû\kR U§l× S = 27

ÅfÑ = L – S = 59–27 = 32 ; ÅfÑdùLÝ = SLSL

+− =

8632

27592759

=+− = 0.372

GÓjÕdLôhÓ 2: HÝ SToL°u GûPLs (¡.¡ªp) YÚUôß 46, 49.5, 52.5, 38, 45, 79.5, 84.5. CYt±u ÅfÑ Utßm ÅfÑdùLÝ LôiL. ¾oÜ : EVokR U§l× L = 84.5; Ïû\kR U§l× S = 38

ÅfÑ = L – S = 84.5 – 38 = 46.5 ¡.¡. ; ÅfÑdùLÝ = SLSL

+− =

5.1225.46

385.84385.84

=+− = 0.379

GÓjÕdLôhÓ 3: ×s° ®YWeL°p ÁlùTÚ U§l× 98. ARu ÅfÑ 73 G²p Áf£ß U§lûT LôiL. ¾oÜ : ÁlùTÚ U§l× L = 98; ÅfÑ= 73 ÅfÑ = L – S ApXÕ 73 = 98 – S ApXÕ S = 98 – 73 = 25 ∴Áf£ß U§l× = 25.

GÓjÕdLôhÓ 4: Ts° ¡¬dùLh ÏÝ ÅWo JÚYo 10 ùRôPo úTôh¥L°p ùTt\ ªLdÏû\kR KhPeLs 5. AYÚûPV KhPeL°u ÅfÑ 87BL CÚkRôp, AYo ùTt\ ªL A§L KhPeLs GqY[Ü? ¾oÜ : ªLdÏû\kR KhPeLs S = 5 ; ÅfÑ = 87 ÅfÑ = L – S ApXÕ 87 = L – 5 ApXÕ L = 87 + 5 = 92 ∴ªL A§L KhPeLs = 92. §hP®XdLm NWôN¬«−ÚkÕ U§l×L°u ®j§VôNm ®XdLm G]lTÓm. §hP®XdLm GuTÕ ®XdL YodLeL°u NWôN¬dÏ YodLêXm GÓdLd ¡ûPdÏm ªûLùVi BÏm. §hP®XdLm σ (Sigma) Gu\ ¡úWdL GÝjRôp Ï±dLlTÓ¡\Õ.

§hP®XdLm

n2

ii 1

(x x)

n=

−σ =

∑ (ApXÕ) ∑

i=1

n d1

2/n di = xi − x−

®XdL YodLf NWôN¬ : §hP®XdLj§u YodLm, ®pdL YodLf NWôN¬ G]lTÓm. CÕ σ2 G] Ï±dLlTÓ¡\Õ.

®XdL YodNf NWôN¬

n2

i2 i 1

(x x)

n=

−σ =

∑ = ∑

i=1

n di

2 / n di = xi − x−

§hP®XdLjûRd LQd¡ÓYRtLô] Øû\Ls ©uYÚUôß:

• úSW¥ Øû\ FLf NWôN¬ Øû\ • NWôN¬ Øû\ T¥®XdL Øû\

úSW¥ Øû\: YûWVû\«uT¥, §hP®XdLm LôÔm ãj§WUô]Õ 2(x x)

nΣ −

σ =

BÏm.

www.kalvisolai.com

235

CeÏ 2(x x)

nΣ − =

22(x 2xx x )n

Σ − + = 22x x x2x

n n nΣ Σ Σ

− +

= 22x nx2x x

n nΣ

− × + = 222

xx2nx

+−Σ

= 2222

nx

nxx

nx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ−

Σ=−

Σ

BûLVôp 22

nx

nx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ−

Σ=σ

CkR ãj§Wm §hP ®XdLjûR úSW¥ Øû\«p LQd¡Pl TVuTÓjRlTÓ¡\Õ.

• Σx, Σx2 B¡VYtû\ LôiL. • Σx, Σx2 Utßm U§l×L°u Gi¦dûL n B¡VYtû\ ãj§Wj§p

©W§«hÓ LQd¡Ó.

22

nx

nx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ−

Σ=σ

GÓjÕdLôhÓ 5: 14, 22, 9, 15, 20, 17, 12, 11 Gu\ ×s° ®YWeLÞdÏ §hP®XdLjûRd LQd¡ÓL. ¾oÜ

x x2 14 22 9

15 20 17 12 11

196 484 81

225 400 289 144 121

22

nx

nx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ−

Σ=σ

21940 120

8 8⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

242.5 225= −

17.5= Σx = 120 Σx2 = 1940 σ = 4.18

NWôN¬ Øû\: CkR Øû\«p TVuTÓjRlTÓm ãj§WUô]Õ n

)xx( 2−Σ=σ

(ApXÕ) σ = Σd2

n d = x − x−

4.18 4 17.5000 16 81 150 81 828 6900 6624 276

www.kalvisolai.com

236

• NWôN¬ nxx Σ

= -Id LQd¡ÓL.

• ùLôÓdLlThP JqùYôÚ U§l×dÏm NWôN¬«−ÚkÕ ®XdLm xxd −= -Id LQd¡ÓL. Utßm Σd2-Id LôiL.

• Σd2, n B¡VYtû\ ãj§Wj§p, nd2Σ

=σ ©W§«hÓd LôiL.

GÓjÕdLôhÓ 6: 100 U§lùTiLÞdÏ SPjRlThP úRo®p 10 UôQYoLs ùTt\ U§lùTiLs YÚUôß : 62, 49, 71, 75, 33, 41, 100, 88, 50, 31. U§lùTiL°u §hP®XdLm LôiL.

¾oÜ: nxx Σ

= 62 49 71 75 33 41 100 88 50 3110

+ + + + + + + + += 60

10600

==

x d x x x 60= − = − d2 62 49 71 75 33 41 100 88 50 31

2 –11 11 15 –27 –19 40 28 –10 –29

4121 121 225 729 361

1600 784 100 841

Σd = 0 Σd2 = 4886

∴ §hP®XdLm 22.10

FLf NWôN¬ Øû\: ùLôÓdLlThP ×s° ®YWeLs ªLlùT¬VûYVôLúYô ApXÕ AYt±u NWôN¬, ØÝdLs ApXôR GiQôLúYô CÚkRôp §hP®XdLm LôQ Sôm FLf NWôN¬ Øû\ûVl TVuTÓjÕ¡ú\ôm.

• ùLôÓdLlThP ×s°®YWeL°p ûUV¨ûX U§l×dÏ, AiûU U§lûT (middle value) úRokùRÓdL AûR FLfNWôN¬ A GuL.

• JqùYôÚ U§l©tÏm A-«−ÚkÕ ®XdLm d = x–A-Id LQd¡ÓL. úUÛm Σd, Σd2 LôiL.

• Σd, Σd2 Utßm n U§l×Lû[ ãj§Wj§p ©W§«hÓ §hP®XdLjûR LQd¡ÓL.

§hP®XdLj§tLô] ãj§Wm ( )22d dn n

Σ Σσ = − CeÏ d = x–A

GÓjÕdLôhÓ 7: JÚ ¡¬dùLh ®û[VôhÓ ÅW¬u 12 úTôh¥LÞdLô] TkÕ ÅfÑ ®¡Rm ©uYÚUôß:

6.5, 5.0, 5.2, 5.3, 5.5, 5.0, 4.7, 4.5, 6.3, 3.0, 4.0, 9.0. §hP®XdLm LôiL. FLfNWôN¬ A=5 GuL.

nd2Σ

=σ

488610

=

488.6= = 22.10

www.kalvisolai.com

237

TkÕ ÅfÑ ®¡Rm d = x–A = x–5 d2

6.5 5.0 5.2 5.3 5.5 5.0 4.7 4.5 6.3 3.0 4.0 9.0

1.5 0

0.2 0.3 0.5

0 –0.3 –0.5

1.3 –2.0 –1.0

4.0

2.25 0

0.04 0.09 0.25

0 0.09 0.25 1.69 4.00 1.00

16.00 Σd = 4.0 Σd2 = 25.66

T¥®XdL Øû\: • ùLôÓdLlThP ×s°®YWj ùRôP¬p ûUV¨ûX U§l×dÏ AiûU U§lûT

FLfNWôN¬ A-BLj úRokùRÓdLÜm. • JqùYôÚ U§l©tÏm A-«−ÚkÕ ®XdLm d=x–A-Id LQd¡PÜm. • ‘d’ U§l×L°u ùTôÕdLôW¦ûVd LiP±kÕ AûR c G]d ùLôsL.

úUÛm x Ad 'c−

= GuTûR JqùYôÚ ×s°dÏm LQd¡PÜm.

• Σd′, Σd′2 B¡VYtû\d LôiL. • Σd′, Σd′2, c Utßm n U§l×Lû[ ãj§Wj§p ©W§«hÓ §hP®XdLjûRd

LQd¡PÜm.

§hP®XdLj§tLô] ãj§Wm σ = Σd′2

n − ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Σd′

n

2 × c CeÏ d′ =

x − Ac

GÓjÕdLôhÓ 8 : JÚ ¨ßY]j§u 10 T¦Vô[oL°u F§Vm (ìTônL°p) ©uYÚUôß ùLôÓdLlThÓs[Õ. 600, 620, 640, 620, 680, 670, 680, 640, 700, 650. YÚUô]j§tLô] §hP®XdLjûRd LQd¡ÓL. ¾oÜ: FLf NWôN¬ A = 640; ùTôÕdLôW¦ c = 10 YÚUô]m (ìTô«p)

x d = x–640

10640x'd −

= d2

600 620 640 620 680 670 680 640 700 650

–40 –20 0

–20 40 30 40 0 60 10

–4 –2 0 –2 4 3 4 0 6 1

16 4 0 4 16 9 16 0 36 1

Σd′ = 10 Σd′2 = 102

n = 10, Σd′ = 10, Σd′2 = 102 22d ' d ' c

n nΣ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

2102 10 10

10 10⎛ ⎞= − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

10.2 1 10= − × 9.2 10= × = 3.033 × 10 σ = Rs.30.33

Σd = 4, Σd2 = 25.66, n = 12

22d dn nΣ Σ⎛ ⎞σ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

225.66 4

12 12⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

1089.01383.2 −=

0294.2= = 1.42

www.kalvisolai.com

238

GÓjÕdLôhÓ 9: 30,80, 60, 70, 20, 40, 50 Gàm U§l×LÞdÏ §hP®XdLjûR LQd¡ÓL. ¾oÜ:

i) úSW¥ Øû\ x x2

30 900 80 6400 60 3600 70 4900 20 400 40 1600 50 2500

Σx = 350 Σx2 =20300 ii) NWôN¬ Øû\

507

3507

50402070608030nx

x ==++++++

=Σ

=

x d = x – 50 d2 30 –20 40080 30 900 60 10 100 70 20 400 20 –30 900 40 –10 100 50 0 0

Σd = 0 Σd2 = 2800

iii) FLfNWôN¬ Øû\: FLfNWôN¬ A = 40 GuL. x d = x – 40 d2 30 –10 100 80 40 1600 60 20 400 70 30 900 20 –20 400 40 0 0 50 10 100

Σd = 70 Σd2 = 3500 iv) T¥®XdL Øû\ : A = 60, c = 10 GuL.

x d = x – 60 x -60d' =10

d2

30 –30 –3 9 80 20 2 4 60 0 0 0 70 10 1 1 20 –40 –4 16 40 –20 –2 4 50 –10 –1 1

Σd′ = –7 Σd′2 = 35

20400

2

7350

720300

2

nx

n

2x

=σ=

−=

Σ−

Σ=σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

20400

72800

n

2d

=σ=

=

Σ=σ

20400

210500

2

770

73500

2

nd

n

2d

=σ=

−=

−=

Σ−

Σ=σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

22

2

d ' d ' cn n

35 7 107 7

5 1 10

4 1020

Σ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ×

= ×σ =

www.kalvisolai.com

239

®XdL YodLf NWôN¬ = 70.9 – 2.89 = 68.01 §hP®XdLm σ = 01.68 = 8.24

úUtLiP SôuÏ Øû\L°Ûm §hP®XdLm JúW U§lTôL σ = 20 G] YkÕs[ûRd LôQXôm.

GÓjÕdLôhÓ 10: JÚ Ts°«u ùUôjR UôQYoL°u Gi¦dûL 1600. AYoL°p 10 ùYqúYß SôhL°p Ts°dÏ YWôRYoL°u Gi¦dûL YÚUôß: 26,34,22,36,26,41,48,22,36,26. CYt±u ®XdLYodLf NWôN¬ Utßm §hP®XdLjûRd LQd¡ÓL. ¾oÜ: FLfNWôN¬ A = 30

Marks x d = x–A = x – 30 d2 26 –4 16 34 4 16 22 –8 64 36 6 36 26 –4 16 41 11 121 48 18 324 22 –8 64 36 6 36 26 –4 16

Σd = 17 Σd2 = 709GÓjÕdLôhÓ 11: 5,10, 15, 20, 25 Gàm ×s°®YWeLÞdÏ §hP®XdLm LôiL. JqùYôÚ U§l×Pu 3-Id áhP ¡ûPdÏm ×§V U§l×LÞdÏ §hP®XdLm LôiL. ¾oÜ: FLfNWôN¬ A = 15 ùTôÕdLôW¦ c = 5 G]d ùLôsL.

x x-15d' =

5 d′2

5 –2 4 10 –1 1 15 0 020 1 1 25 2 4

Σd′ = 0 Σd′2 = 10 JqùYôÚ U§l×Pàm 3-Id áhP 8, 13, 18, 23, 28 Guß ×§V U§l×Lû[l ùTß¡ú\ôm.

x x -18d' =

5 d′2

8 –2 4 13 –1 1 18 0 023 1 1 28 2 4

Σd′ = 0 Σd′2 = 10

2

1017

10709

2

nd

n

2d2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

Σ−

Σ=σ

22d ' d ' cn n

10 0 55

2 5

5 2

Σ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ×

= ×

=

22d ' d ' cn n

10 0 55

2 5

5 2

Σ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ×

= ×

=

www.kalvisolai.com

240

úUtLiP GÓjÕdLôh¥−ÚkÕ ©uYÚUôß Ø¥Ü ùNn¡ú\ôm. JqùYôÚ U§l×Pàm JúW GiûQd áhÓmúTôúRô ApXÕ L¯dÏmúTôúRô ×s° ®YWeL°u §hP®XdLm Uô\ôUp CÚd¡\Õ. GÓjÕdLôhÓ 12: 50 U§lùTiLÞdÏ SPkR úRo®p 5 UôQYoLs ùTt\ U§lùTiLs YÚUôß : 20, 25, 30, 35, 40. U§lùTiL°u §hP®XdLm LôiL. U§lùTiLs 100-dÏ Uôt\m ùNnÙmúTôÕ ¡ûPdÏm ×§V U§l×L°u §hP®XdLm LôiL. ¾oÜ : FLfNWôN¬ A = 30 GuL. c = 5

x x - 30d' =

5 d′2

20 –2 4 25 –1 1 30 0 0 35 1 1 40 2 4

Σd′ = 0 Σd′2 = 10 U§lùTiLû[ 100-dÏ Uôt\m ùNnV, AYtû\ 2-Bp ùTÚdLÜm. G]úY ×§V U§lùTiLs 40, 50, 60, 70, 80 BÏm. CeÏ c = 10, A = 60 G]dùLôsL.

x x - 60d' =

10 d′2

40 –2 4 50 –1 1 60 0 0 75 1 1 80 2 4

Σd′ = 0 Σd′2 = 10 úUtLiP GÓjÕdLôh¥−ÚkÕ ©uYÚUôß Ø¥Ü ùNn¡ú\ôm. ×s°®YWj§u JqùYôÚ U§l×m k Gu\ GiQôp ùTÚdLlTÓmúTôúRô ApXÕ YÏdLlTÓmúTôúRô ×s° ®YWj§u §hP®XdLØm k-Bp ùTÚdLlTÓ¡\Õ ApXÕ YÏdLlTÓ¡\Õ.

GÓjÕdLôhÓ 13: 10 U§l×L°u §hP®XdLm 4 BÏm. JqùYôÚ U§l×Pàm 3-Id áhPd ¡ûPdÏm ×§V U§l×L°u §hP®XdLØm ®XdLYodLf NWôN¬Ùm LôiL.

¾oÜ: 10 U§l×L°u §hP ®XdLm = 4; JqùYôÚ U§l×Pàm áh¥V Gi = 3 U§l×Ls JúW GiQôp A§L¬dLlTÓYRôp §hP ®XdLm UôßY§pûX. G]úY ×§V U§l×L°u §hP®XdLm σ = 4; ®XdL YodLf NWôN¬ σ2 = 42 = 16 GÓjÕdLôhÓ 14: 5 U§l×L°u ®XdL YodLf NWôN¬ 9 BÏm. JqùYôÚ U§lûTÙm 2-Bp ùTÚdLd ¡ûPdÏm U§l×L°u §hP®XdLm LôiL.

22d ' d ' cn n

10 0 55

2 5

5 2

Σ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ×

= ×

=

22d ' d ' cn n

10 0 105

2 10

10 2

Σ Σ⎛ ⎞σ = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ×

= ×

=

www.kalvisolai.com

241

¾oÜ: 5 U§l×L°u ®XdL YodLf NWôN¬ = 9 AYt±u §hP®XdLm = 3 JqùYôÚ U§lûTÙm 2-Bp ùTÚdL §hP®XdLØm 2 UPeLô¡\Õ.

∴ 5 ×§V U§l×L°u §hP®XdLm = 3 x 2 = 6 GÓjÕdLôhÓ 15: ØRp n CVp GiL°u §hP®XdLjûRd LôiL.

¾oÜ: NWôN¬ 1 2 3 ... nxn

+ + + += n(n 1) n 1

2n 2+ +

= = ; 6

)1n2)(1n(n2x++

=Σ

2

nx

n

2x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Σ−

Σ=σ

2(n 1)(2n 1) n 1

6 2+ + +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ =

(n − 1)2 ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤2n + 1

3 − n + 1

2

= (n + 1)

2 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤4n + 2 − 3n − 3

6 = (n + 1) (n − 1)

12 = (n2 − 1)/12

GÓjÕdLôhÓ 16: 100 ×s° ®YWeL°u NWôN¬ 48. AYt±u §hP ®XdLm 10. GpXô ×s° ®YWeL°u áhÓj ùRôûLûVÙm AYt±u YodLeL°u áhÓj ùRôûLûVÙm LôiL.

¾oÜ: x⎯

= ∑xn , ∑x = nx

⎯ = 100 × 48 = 4800

σ2 = ∑x2

n − ( )x⎯

2

⇒ 102 = ∑x2

100 − 482

∑x2 = 100(482 + 102) = 100(2304 + 100) = (240400)

∴ ∑x = 4800, ∑x2 = 240400

GÓjÕdLôhÓ 17: ∑x = 99, n = 9 ∑(x – 10)2 = 79. Guàm ®YWeLû[d ùLôiÓ

∑x2 Utßm ∑( )x − x⎯ 2

-Id LQd¡ÓL.

¾oÜ: n = 9, ∑x = 99 ; x⎯

= ∑xn =

999 = 11

Σ(x – 10)2 = 79 ; Σ(x2 – 20x + 100) = 79 ApXÕ Σx2 – 20 Σx + (100 × 9) = 79

ApXÕ Σx2 – (20 × 99) + 900 = 79 ApXÕ Σx2 = 79 + 1980 – 900 = 1159

Σ(x – x )2 = Σ(x – 11)2 = Σ(x2 – 22x + 121) = Σx2 – 22Σx + (121 × 9)

Σ(x – x )2 = 1159 – (22 × 99) + 1089 = 70

∴ Σx2 = 1159; Σ(x – x )2 = 70

www.kalvisolai.com

242

Ï±l×: Sôm NWôN¬ Utßm §hP®XdLm LQd¡ÓmùTôÝÕ, £X úSWeL°X £X U§l×Ls RYßRXôL GÓjÕd ùLôs[lThÓ LQd¸Ó ùNnVlTh¥ÚdLXôm. LQd¸ÓLÞdÏl ©\Ï RYßRûX LiP±ÙmùTôÝÕ ØÝ LQd¡Óm Øû\ûVÙm §ÚmT ùNnVôUp N¬Vô] NWôN¬ Utßm N¬Vô] §hP®XdLjûR SmUôp LQd¡P Ø¥Ùm.

GÓjÕdLôhÓ 18: 100 ×s° ®YWeLÞdLô] NWôN¬ Utßm §hP®XdLm Øû\úV 40 Utßm 5 G] LQd¡PlThPÕ. ©\Ï 40 Gu\ JÚ U§l× RYßRXôL 50 G] GÓdLlThPRôL ùR¬V YkRÕ. N¬Vô] NWôN¬ Utßm §hP®XdLm LôiL.

¾oÜ: NWôN¬ x⎯

= ∑xn , ∑x = nx

⎯

N¬Vô] Σx = 100 × 40 = 4000. N¬Vô] Σx = 4000 – 50 + 40 = 3990

∴ N¬Vô] x⎯

= = 3990100 = 39.90

®XdL YodLfNWôN¬ σ2 = ∑x2

n − ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∑x

n

2

; N¬Vt\ σ = 5, x = 40

25 = ∑x2

100 − 1600 ; N¬Vt\ Σx2 = 2500 + 160000 = 162500

N¬Vt\ Σx2 = 162500 – 502 + 402 = 162500 – 2500 + 1600 = 161600

N¬Vô] ®XdL YodLf NWôN¬ = N¬Vô] Σx2

n − (N¬Vô] NWôN¬)2

= 161600

100 − (39.9)2 = 1616 − 1592.01

N¬Vô] ®XdL YodLf NWôN¬ σ2 = 23.99; N¬Vô] §hP®XdLm σ = 23.99 4.89=

GÓjÕdLôhÓ 19: 100 .×s° ®YWeLÞdLô] NWôN¬ Utßm §hP®XdLm Øû\úV 40 Utßm 10 BÏm. LQd¸ÓL°u úTôÕ CÚ U§l×L[ô] 3, 27 GuTûY Øû\úV 30 Utßm 70 G] RY\ôL GÓdLlThPÕ ùR¬V YkRÕ. N¬Vô] NWôN¬ Utßm §hP®XdLm LôiL.

¾oÜ: NWôN¬ x⎯

= ∑xn , ∑x = nx

⎯ ; N¬Vt\ Σx = 100 × 40 = 4000

N¬Vô] Σx = 4000 – 70 – 30 + 3 + 27 = 3930 ; N¬Vô] NWôN¬ 3930x 39.3100

= =

N¬Vt\ σ2 = ∑x2

n − ( )x⎯ 2

ApXÕ 102 = ∑x2

100 − 402 ⇒ ∑x2 = 10000 + 160000

N¬Vt\ Σx2 = 170000 N¬Vô] Σx2 = 170000 – 302 – 702 + 32 + 272 = 170000 – 900 – 4900 + 9 + 729 N¬Vô] Σx2 = 164938

www.kalvisolai.com

243

N¬Vô] σ2 = N¬Vô] Σx2

n − (N¬Vô] x⎯

)2

= 164938

100 − (39.3)2 = 1649.38 − 1544.49 = 104.89

⇒ σ = 104.89 10.24= ∴ N¬Vô] NWôN¬ = 39.3 ; N¬Vô] §hP®XdLm = 10.24.

UôßTôhÓdùLÝ (Coefficient of Variation) Lôop ©VoNu Gàm YpÛSo, “§hP®XdLjûR NWôN¬«u ùUôjR UôßTôPôL GÓjÕdùLôiÓ LQd¡PlTÓm NWôN¬«u NRÅR UôßTôÓ, UôßTôhÓdùLÝ BÏm” Gu¡\ôo. UôßTôhÓdùLÝ ¸rdLôÔUôß YûWVßdLlTÓ¡\Õ.

UôßTôhÓdùLÝ C.V. = σx⎯ × 100% CeÏ σ, x GuTûY RWlThP ×s°

®YWeL°u §hP®XdLm Utßm NWôN¬ BÏm. CÕ úUÛm Nôo×j §hP®XdLm G] AûZdLlTÓ¡\Õ.

CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP ×s°®YWj ùRôPoL°u UôßTôÓLû[ JlÀÓ ùNnV Sôm UôßTôhÓdùLÝûYl TVuTÓjÕ¡ú\ôm. JÚ ×s° ®YWj ùRôP¬u UôßTôhÓdùLÝ EVokRRôL CÚlTÕ AkRdÏÝ ªÏkR UôßTôÓ (Ïû\kR ¨ûXl×/ Ïû\kR JÚûU / Ïû\kR ºoûU) ùLôiÓs[ûRd LôhÓ¡\Õ. UôßTôhÓdùLÝ Ïû\YôL CÚlTÕ AkRdÏÝ Ïû\kR UôßTôÓ (ªÏkR ¨ûXl× / ªÏkR JÚûU / ªÏkR ºoûU) ùLôiÓs[ûRd LôhÓ¡\Õ. GÓjÕdLôhÓ 20: 16, 13, 17, 21, 18 Gu\ ®YWeLÞdÏ UôßTôhÓd ùLÝûYd LôiL.

¾oÜ: NWôN¬ 16 13 17 21 18 85x 17

5 5+ + + += = =

Ï±l×: NWôN¬ x , §hP®XdLm σ, UôßTôhÓdùLÝ C.V. B¡VYt±p HúRàm CÚ U§l×Ls RWlThPôp êu\ôYûR úUtLiP ãj§Wm êXm LQd¡PXôm. GÓjÕdLôhÓ 21: JÚ ùRôP¬u UôßTôhÓdùLÝ 69% Utßm ARu §hP®XdLm 15.6 BÏm. ùRôP¬u NWôN¬ûVd LôiL.

x d = x – 17 d2 16 –1 1 13 –4 16 17 0 0 21 4 16 18 1 1 Σd = 0 Σd2 = 34

§hP®XdLm

σ = ∑d

2

n = 345 = 6.8

σ = 2.61

UôßTôhÓdùLÝ = σx⎯ × 100 %

C.V. = 2.6117 × 100 = 15.35%

www.kalvisolai.com

244

¾oÜ: UôßTôhÓdùLÝ C.V. = σx− × 100 ⇒ x

⎯ =

σC.V × 100

ùRôP¬u NWôN¬ x⎯

= σ

C.V × 100 = 15.669 × 100 = 22.6

GÓjÕdLôhÓ 22: 20 U§l×L°u §hP®XdLm Utßm NWôN¬ Øû\úV 21.2 Utßm 36.6 AYt±u UôßTôhÓdùLÝûYd LôiL.

¾oÜ: σ = 21.2, x = 36.6; C.V. = σx− × 100 =

21.235.5 × 100 = 57.92%

GÓjÕdLôhÓ 23: 100 úTo ùLôiP ÏÝ®u NWôN¬ EVWm 163.8 ùN.Á. Utßm UôßTôhÓdùLÝ 3.2 %. AYoLs EVWj§u §hP®XdLm Gu]?

¾oÜ: C.V. = σx− × 100% ; σ =

x−

100 × C.V = 163.8100 × 3.2 = 5.24

GÓjÕdLôhÓ 24: JÚ ùRô¯tNôûX«p 50 Utßm 60 T¦Vô[oLû[d ùLôiP CÚ©¬ÜLs Es[]. AYoL°u NWôN¬ YôWdá−Ls Øû\úV ì. 386 Utßm ì. 475 BÏm. AYt±u §hP ®XdLeLs 9 Utßm 10 BÏm. (i). GkRl ©¬®u á−jùRôûL A§Lm? (ii) GkRl ©¬®u á−Ls A§L UôßTôÓ EûPVÕ? ¾oÜ : i) ©¬Ü A-Cu á−jùRôûL = 50 x 386 = ì.19,300. ©¬Ü B-Cu á−jùRôûL = 60 x 475 = ì. 28,500 ⇒ ©¬Ü B A§L á−jùRôûL EûPVÕ.

ii) ©¬Ü A-u C.V. = 9

386 × 100 − 2.33% ; ©¬Ü B-Cu C.V. = 10475 × 100 = 2.11%

©¬Ü B-A§L JÚûU ùLôiPÕ ⇒ ©¬Ü A-Cu á−Ls A§L UôßTôÓ EûPVÕ. GÓjÕdLôhÓ 25 : A, B, C Gu\ êuß ¡¬dùLh ®û[VôhÓ ÅWoLs, JÚ ùRôP¬u 10 BhPeL°p GÓjR KhPeL°u NWôN¬ Øû\úV 58,48 Utßm 14 BÏm. AYoL[Õ KhPeL°u §hP®XdLeLs Øû\úV 15, 12 Utßm 2 BÏm. GkR ®û[VôhÓ ÅWo ªÏkR ºoûU EûPVYo? ¾oÜ: ÅWo NWôN¬ §hP®XdLm A 58 15 B 48 12 C 14 2

A-Cu C.V. = 1558 × 100 = 25.86% ; B-Cu C.V. =

1248 × 100 = 25.0% ;

C-Cu C.V. = 2

14 × 100 = 14.29%

C-Cu UôßTôhÓdùLÝ C.V. Ïû\kÕ LôQlTÓYRôp UhûPÅWo C ªÏkR ºoûU EûPVYo BYôo.

www.kalvisolai.com

245

T«t£ 10.1 1. JÚ ¡¬dùLh ÅWo 38, 70, 48, 34, 42, 56 Gu\ KhPeLû[ GÓj§Úd¡\ôo.

CYt±u §hP®XdLm LôiL.

2. JÚ TjRôm YÏl× UôQYu Cß§júRo®p ùTt\ U§lùTiLs YÚUôß: 87, 79, 65, 63 80. U§lùTiL°u §hP®XdLjûRd LQd¡ÓL.

3. IkÕ RTôp ûTL°u GûPLs Øû\úV 11,14, 15, 17, 18 (¡.¡.) BÏm. CYt±u §hP®XdLjûRÙm ®XdL YodLf NWôN¬ûVÙm LQd¡ÓL.

4. 5 SToL°u EVWm (ª.ÁhP¬p) YÚUôß : 1593, 1640, 1614, 1633, 1586 CYt±u §hP®XdLjûRÙm, ®XdL YodLf NWôN¬ûVÙm LQd¡ÓL.

5. ©uYÚm U§l×LÞdÏ §hP®XdLm LôiL : a+5, a+3, a+10, a+2, a+10 (Ï±l×: ØR−p U§l×Lû[ 5, 3, 10, 2 10 G]dùLôsL).

6. 5 U§l×L°u ®XdLYodLf NWôN¬ 16 GuL. AYt±p JqùYôußm 2-Bp YÏdLlThPôp ×§V U§l×LÞdÏ §hP®XdLØm ®XdL YodLfNWôN¬Ùm LôiL.

7. 200 ×s° ®YWeL°u NWôN¬ 80 G]Üm §hP®XdLm 10 G]Üm CÚd¡\Õ. GpXô ×s° ®YWeL°u áÓRp Utßm AYt±u YodLeL°u áÓRp LôiL.

8. 10 U§l×L°u áÓRp 60; Σ (x – x )2 = 36 G²p Σx2, Σ(x – 5)2 B¡VYtû\d LôiL.

9. 18 U§l×s[ NWôN¬ Utßm §hP®XdLm Øû\úV 7, 4BL CÚd¡u\]. B]ôp êX (original) U§l×LÞPu Jl©ÓûL«p 12 Gu\ U§l× RYßRXôL 21 G] GÓj§ÚkRÕ LiÓ©¥dLlThPÕ. N¬Vô] NWôN¬ûVÙm N¬Vô] §hP®XdLjûRÙm LQd¡ÓL.

10. 200 U§l×L°u NWôN¬, §hP®XdLm B¡V] Øû\úV 60, 20 G] CÚd¡\Õ. LQd¸ÓL°u úTôÕ CÚ U§l×Ls 13, 17 GuTRtÏl T§XôL RY\ôL 3, 67 G] GÓdLlTh¥ÚkR] Gu\ôp N¬Vô] NWôN¬ûVÙm §hP®XdLjûRÙm LôiL.

11. 10 UôQYoLs ùNXÜ ùNnÙm ùRôûLLs (ìTô«p) YÚUôß : 30,50, 60, 50, 80, 50, 40, 80, 90, 70. CYt±u UôßTôhÓdùLÝûYd LQd¡ÓL.

12. CWiÓ ×s°®YWj ùRôPoL°u UôßTôhÓdùLÝdLs 75% Utßm 90% Gu±Úd¡\Õ. AYt±u §hP®XdLeLs Øû\úV 15 Utßm 18 BÏm. ùRôPoL°u áhÓfNWôN¬Lû[d LôiL.

13. CÚ®YWj ùRôPoL°u UôßTôhÓd ùLÝdLs 60% Utßm 80% BLÜs[Õ. AYt±u áhÓfNWôN¬Ls Øû\úV 33.3 Utßm 20 BÏm. ùRôPoL°u §hP®XdLeLû[d LôiL.

14. JÚ ¨ßY]j§u CWiÓ ¡û[L°u T¦Vô[oLÞdÏ YZeLlTÓm

YôWdá−«u ®YWeLs ©uYÚUôß RWlThÓs[Õ. A B

T¦Vô[oL°u Gi¦dûL 160 150 NWôN¬d á− ì. 369 ì. 427 ®XdL YodLf NWôN¬ 100 121 á−j ùRôûL«p A§L UôßTôÓ ùLôiP ¡û[ûVd LôiL.

www.kalvisolai.com

246

15. êuß ¨ßY]eL°u TeÏ ®ûX Uôt\eLs Tt±V ®YWeLs ¸úZ RWlThÓs[]. ¨ßY]m NWôN¬ ®ûX (ìTô«p) §hP ®XdLm (ìTô«p) A 18.00 5.40 B 22.50 4.50 C 24.00 6.00 GkR ¨ßY]l TeÏL°u ®ûX ªÏkR ¨ûXl×ûPVÕ?

10.2 ¨LrRLÜ

¨LrRLÜd LÚj§V−u úRôt\m ãRôhPjÕPu NmTkRlThP FLj§u A¥lTûP«Xô] ®û[VôhÓL°p CÚk§Úd¡\Õ. ù_úWôm LôoPu Gàm CjRô−V L¦R YpÛSo GÝ§V ‘Yônl×L°u ®û[VôhÓLs’ (Games of chance) Gu\ èp 1663-p ùY°«PlThPÕ. ©ùWgÑd L¦R A±OoL[ô] ©û[v TôvLp Utßm ©V¬ ¥ ùToUôh uTYoLs ¨LrRLÜd LÚj§VÛdÏ Øû\Vô] Y¯Øû\Lû[ EÚYôd¡]ôoLs. Ñ®v L¦R A±OWô] ú_mv ùToú]ô− ¨LrRL®u ÁÕ ®¬Yô] BnûY úUtùLôiPôo. A©Waôm ¥ UônYo (1667 – 1754) Utßm RôUv úT«v (1702 – 1761) Gu¡\ YpÛSoLs ¨LrRLÜd LÚj§VÛdÏ Ï±l©PjRdL TeL°l× ùNnÕs[]o. TjùRôuTRôm èt\ôi¥p, ©V¬ ûNUu ¥ XôlXôv Gàm YpÛSo ®¬YôL BnÜ úUtùLôiÓ ‘TÏØû\ ¨LrRLÜd LÚj§Vp’ Gu\ AYWÕ èûX 1812-p ùY°«hPôo. CÕúY ¨LrRLÜd LÚj§V−u ØRp èXôÏm. ¸rdLôÔm Yôd¡VeLû[ LÚj§p ùLôsúYôm: 1. SUÕ ¡¬dùLh A¦ EXL úLôlûTûV ùYpÛm. 2. YÚm UûZdLôXj§p UûZV[Ü CVpTôL CÚdÏm G] Yô²ûX YpÛSoLs

L¦jÕ CÚd¡\ôoLs. 3. Aj§VôY£Vl TiPeL°u ®ûXLs JúW ºWôL CÚdÏm.

CkR GpXô ¨ûXL°Ûm JÚ Ø¥ÜdÏ YÚmúTôÕ Sôm ¨ûXVt\ RuûUûV G§oùLôs[ úYi¥«Úd¡\Õ. ¨Lrf£Ls SPlTRtLô] Yônl× ¨LrRLÜ (probability) G]lTÓm. ¸rdLôÔm ùNôtLs ¨LrRLÜd LÚj§VûX ®Yô§lT§p TVuTÓjRlTÓ¡u\]. NUYônl×f úNôRû]: ®û[ÜLû[ EÚYôdÏm JÚ ùNVp úNôRû] G]lTÓm. JúW Uô§¬Vô] ãr¨ûX«u ¸r §ÚmTj §ÚmT JÚ úNôRû]ûV SPjÕmúTôÕ Ø¥ÜLs JúW ®RUôL CÚdL CVXôÕ. B]ôp AmØ¥Ü TpúYß Nôj§VUô] ®û[ÜL°p Ju\ôL CÚdÏm. AjRûLV úNôRû] NUYônl×f úNôRû] (random experiment) G]lTÓm. NUYônl×f úNôRû]«p, ®û[ÜLû[ Sôm F¡dL CVXôÕ. SôQVm ÑiÓRp JÚ NUYônl×f úNôRû] BÏm. Sôm JÚ SôQVjûR ÑiÓm úTôÕ RûXúVô ApXÕ éúYô ®ZXôm. úUÛm JÚ £X ERôWQeL[ôY]:

1. JÚ TLûP EÚhPp 2. ºhÓd Lh¥−ÚkÕ Ko ºhûP EÚÜRp 3. TX YiQl TkÕLû[d ùLôiP ûT«−ÚkÕ JÚ TkûR GÓlTÕ

ØVt£: NUYônl×f úNôRû]ûV úUtùLôsYÕ SPjÕYÕ ØVt£ (trial) Gu\ûZdLlTÓ¡\Õ.

www.kalvisolai.com

247

áßùY°: NUYônl×f úNôRû]«u GpXô ®û[ÜLÞm úNokÕ EÚYô] LQm áßùY° (sample space) BÏm. AÕ S Gu\ GÝjRôp Ï±dLlTÓ¡\Õ. JÚ TLûPûV EÚhÓmúTôÕ ¡ûPdÏm Nôj§VUô] ®û[ÜLs Øû\úV 1, 2, 3, 4, 5, 6 BÏm. G]úY áßùY° S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ¨Lrf£: HúRàm JÚ Nôj§VUô] ®û[Ü ApXÕ ®û[ÜL°u úNodûL ¨Lrf£ (event) G] AûZdLlTÓ¡\Õ. ARôYÕ áßùY°«u GkR JÚ EhLQØm ¨Lrf£ G]lTÓm. ¨Lrf£Ls A, B, C, D, E, F... Gu\ GÝjÕdL[ôp Ï±dLlTÓm. JÚ SôQVm ÑiPlTÓmúTôÕ RûX ®ÝYÕ ApXÕ é ®ÝYÕ JÚ ¨Lrf£VôÏm.

áßùY° S = { H, T}, A = {H}, B = {T}. CeÏ A Utßm B Gu\ ¨Lrf£Ls áßùY° S-Cu EhLQeL[ôÏm. NUYônl× ¨Lrf£Ls: CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP ¨Lrf£L°p JqùYôußm ¨LrYRtÏ Yônl×Ls NUUôL CÚdÏUô]ôp, Ak¨Lrf£Ls NUYônl× ¨Lrf£Ls G]lTÓm.

JÚ SôQVjûR ÑiÓY§p RûX ®ÝYÕm é ®ÝYÕm NUYônl× ¨Lrf£Ls BÏm.

Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£Ls: CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP ¨Lrf£L°p HúRàm Juß ¨LrYRôp Ut\ûY ¨LZôUp ®XdLlThPôp Ak¨Lrf£Ls Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£Ls G]lTÓm. AjRûLV ¨Lrf£Ls JúW úSWj§p ¨LZôÕ. JÚ TLûPûV ÅÑY§p Jtû\ Gi ¡ûPdLlùTßm ¨Lrf£ûV E Gußm CWhûP Gi ùTßm ¨Lrf£ûV F Gußm GÓjÕd ùLôsúYôm. E = {1, 3, 5} F = {2, 4, 6} TLûP Åf£p YÚ¡u\ Gi JúW NUVj§p Jtû\ GiQôLÜm CWhûP GiQôLÜm CÚdL CVXÕ. G]úY E, F GuT] TPm 10.1 Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£Ls BÏm. ¨û\ÜùNn ¨Lrf£Ls: CWiÓ ApXÕ ARtÏ úUtThP ¨Lrf£Ls JußúNokÕ áßùY°ûV EÚYôd¡]ôp, AjRûLV ¨Lrf£Ls ¨û\ÜùNn ¨Lrf£Ls G]lTÓm.

TLûP ÅÑY§p Jtû\ Gi ùTßm ¨Lrf£Ùm CWhûP Gi ùTßm ¨Lrf£Ùm úNÚmúTôÕ áßùY° ¡ûPd¡\Õ. G]úY AûY ¨û\ÜùNn ¨Lrf£L[ôÏm.

êuß SôQVeLû[f ÑiÓm úNôRû]«p ¸rdLôÔm ¨Lrf£Lû[ LÚj§p ùLôsúYôm.

A : N¬VôL JÚ RûX UhÓm ¡ûPlTÕ B : N¬VôL CÚRûXLs UhÓm ¡ûPlTÕ C : N¬VôL êuß RûXLs UhÓm ¡ûPlTÕ D : Ïû\kRÕ CÚ édLs ¡ûPlTÕ

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} A = {HTT, THT, TTH} B = {HHT, HTH, THH} C = {HHH} D = { TTH, THT, HTT, TTT}

E F

1

3

5

2

4

6

www.kalvisolai.com

248

A, B, C, D Gu\ ¨Lrf£Ls úNÚmúTôÕ áßùY° S ¡ûPd¡\Õ. ARôYÕ S = A∪B∪C∪D. G]úY A, B, C Utßm D GuT] ¨û\ÜùNn ¨Lrf£Ls BÏm. Ï±l× : B, C, D Gu¡\ ¨Lrf£Ls Juû\ùVôuß ®XdÏm Utßm ¨û\ÜùNn ¨Lrf£L[ôÏm. CûR TPm 20.2-−ÚkÕ ùR°YôL A±VXôm. ¨Wl× ¨Lrf£: S GuTÕ NUYônl×f úNôRû]«p áßùY° Utßm E-GuTÕ A§p JÚ ¨Lrf£ G]d ùLôsL. ¨Lrf£ E-p CpXôR Ut\ ®û[ÜLs S–E Gàm EhLQj§u Eßl×L[ôÏm. ¨Lrf£ S – E,–E -u ¨Wl× ¨Lrf£ G]lTÓm. CÕ E Guß Ï±dLlTÓ¡\Õ. E Utßm E B¡V] Juû\ùVôuß ®XdÏm Utßm ¨û\Ü ùNn ¨Lrf£L[ôÏm. TLûP EÚhÓY§p E GuTÕ 3-u UPeûL LôhÓm ¨Lrf£ GuL.

E = { 3, 6} E = { 1, 2, 4, 5} Eß§ ¨Lrf£: S ⊆ SBL CÚlTûR SôU±úYôm. úUÛm áßùY° S-m JÚ ¨Lrf£úV. S JÚ Eß§ ¨Lrf£ (sure event) G]lTÓm. TPm 10.3 CÚ SôQVeLû[ JúW úSWj§p ÑiÓY§p E GuTÕ êuß édLÞdÏd Ïû\YôLd ¡ûPdÏm ¨Lrf£ûV Ï±dÏm GuL. E = { HH, HT, TH, TT} = S BûLVôp E JÚ Eß§Vô] ¨Lrf£ BÏm.

CVXô ¨Lrf£: JÚ úTôÕm SûPùT\ Ø¥VôR ¨Lrf£ CVXô ¨Lrf£ G]lTÓm. F GuTÕ CÚ SôQVeLû[ JúW úSWj§p ÑiÓm úTôÕ CWiÓdÏ úUtThP RûXLs ¡ûPlTRtLô] ¨Lrf£ GuL. CeÏ F = { } = ϕ. G]úY F GuTÕ SPdL CVXô ¨Lrf£VôÏm. áßùY° S GuTÕ Eß§ ¨Lrf£. ùYtßdLQm ϕ GuTÕ SPdL CVXô ¨Lrf£ BÏm.

NôRLUô] ®û[ÜLs: ®ÚlT ¨Lrf£dÏ ùRôPoTô] ®û[ÜLs NôRLUô] ®û[ÜLs G]lTÓm. JÚ TLûPûV EÚhÓY§p 6 ®û[ÜLs Es[]. CWhûP Gi ¡ûPdLl ùTßYûR ¨Lrf£ E GuL. G]úY 2, 4, 6 Gu\ ®û[ÜLs ¨Lrf£ E-Cu NôRLUô] ®û[ÜLs BÏm. JÚ ¨Lrf£«u ¨LrRLÜ: áßùY°«p Es[ ®û[ÜL°u Gi¦dûL n GuL. AYt±p m ®û[ÜLs ¨Lrf£ E-Cu NôRLUô] ®û[ÜLs G²p ¨Lrf£ E-Cu ¨LrRLÜ m-−ÚkÕ n-dÏ ®¡Rm G] YûWVßdLlTÓ¡\Õ. CÕ P (E) G]d Ï±dLlTÓ¡\Õ.

BC

S

A D

3

6

1

4

2

5

S

TPm 10.2

www.kalvisolai.com

249

P(E) ¨Lrf£ E-Cu NôRLUô] ®û[ÜL°u Gi¦dûL

ùUôjR ®û[ÜL°u Gi¦dûL = mn

ApXÕ n(E) mP(E)n(S) n

= =

JÚ SôQVjûR ÑiÓY§p, E GuTÕ RûX ®Ým ¨Lrf£ Gußm F GuTÕ é ®Ým ¨Lrf£ Gußm ùLôsL.

S = { H, T}, E = {H}, F = { T } E Utßm F Gu\ ¨Lrf£L°u ¨LrRLÜLs ©uYÚUôß :

n(E) 1P(E)n(S) 2

= = ; n(F) 1P(F)n(S) 2

= =

Ï±l×: (1) Eß§Vô] ¨Lrf£«u ¨LrRLÜ 1 BÏm. ARôYÕ P(S) = 1. (2) CVXô ¨Lrf£«u ¨LrRLÜ 0 BÏm. ARôYÕ P(ϕ) = 0. (3) GkRùYôÚ ¨Lrf£«u ¨LrRLÜm 0-ÜdÏm 1-dÏm CûP«Xô]

U§lûTl ùTßm. ARôYÕ 0 ≤ P(E) ≤ 1 (4) ¨Lrf£ E SûPùT\ôU−ÚlTRtLô] (E ) ¨LrRLYô]Õ.

P( )E−

= ¨Lrf£ E-Cu NôRLªpXô ®û[ÜL°u Gi¦dûL

ùUôjR ®û[ÜL°u Gi¦dûL = n − m

n = 1 − mn

P( )E−

= 1 − P(E) Ï±l×: ¨LrRLÜd LÚj§Vp A¥lTûP«p A ∪ B Utßm A ∩ B GuTYt±u ùTôÚû[ ×¬kÕ ùLôs[ ØVpúYôm. A ∪ B GuTÕ ¨Lrf£ A ApXÕ ¨Lrf£ B ApXÕ CWiÓm BÏm. A ∩ B GuTÕ ¨Lrf£ A Utßm ¨Lrf£ B BÏm.

G]úY P (A ∪ B) Guß GÝÕYRôp, ¨Lrf£ A ApXÕ ¨Lrf£ B ApXÕ

CWiÓ ¨Lrf£LÞm SPlTRtLô] ¨LrRLÜ G] Sôm ùTôÚs ùLôs¡ú\ôm. úUÛm P(A ∩ B) GuTûRd ùLôiÓ, A, B B¡V CÚ ¨Lrf£LÞm SPlTRtLô] ¨LrRLÜ G] Sôm ùTôÚs ùLôs¡ú\ôm.

GÓjÕdLôhÓ 26 : ºWô] TLûP Juß EÚhPlTÓ¡\Õ. ¸rdLôÔm ¨Lrf£LÞdLô] ¨LrRLÜ LôiL.

i) TLûP«u ØLm 3-Id LôhÓRp ii) Jtû\ Gi TLûP«u ØLj§p úRôußRp iii) 1-I ®Pl ùT¬V Gi ¡ûPjRp. iv) TLûP«u ØLj§p 6-Cu TLô LôW¦Ls YÚRp.

¾oÜ: TLûP Åf£u áßùY° S ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} : n (S) = 6. (i) TLûP 3-Id LôhÓm ¨Lrf£ûV A GuL.

A = { 3 }, n (A) = 1 ∴ n(A) 1P(A)n(S) 6

= =

(ii) B GuTÕ Jtû\ Gi ùTßm ¨Lrf£ GuL.

B = { 1, 3, 5}, n (B) = 3 ∴ n(B) 3 1P(B)n(S) 6 2

= = =

(iii) C GuTÕ Juû\ ®Pl ùT¬V Gi ¡ûPdÏm ¨Lrf£ GuL.

www.kalvisolai.com

250

C = { 2, 3, 4, 5, 6}, n (C) = 5 ∴ n(C) 5P(C)n(S) 6

= =

(iv) D GuTÕ 6-Cu TLô LôW¦Ls ¡ûPdÏm ¨Lrf£ GuL.

D = { 2, 3}, n (D) = 2 ∴ n(D) 2 1P(D)n(S) 6 3

= = =

GÓjÕdLôhÓ 27: SuÏ ÏÛdLlThP 52 ºhÓLû[d ùLôiP Lh¥−ÚkÕ NUYônl×f úNôRû] Øû\«p JÚ ºhÓ GÓdLlTÓ¡\Õ. AkR ºhÓ ©uYÚUôß CÚdÏm ¨Lrf£L°u ¨LrRLÜLû[d LôiL. (i) vúTÓ (ii) LÚl×f ºhÓ (iii) CWô_ô (iv) CWô¦ûVj R®ojÕ HRôYÕ JÚ ºhÓ. ¾oÜ : ùUôjR ºhÓL°u Gi¦dûL n (S)= 52.

(i) A GuTûR vúTÓ ºhÓ GÓdÏm ¨Lrf£ G]dùLôsL. ºhÓdLh¥p 13 vúTÓ ºhÓLs Es[]. n(A) = 13.

n(A) 13 1P(A)n(S) 52 4

= = =

(ii) B GuTûR LÚl×f ºhÓ GÓdÏm ¨Lrf£ GuL. ºhÓdLh¥p 26 ºhÓLs LÚlTôÏm. n (B) = 26.

n(B) 26 1P(B)n(S) 52 2

= = =

(iii) C GuTÕ CWô_ô ºhÓ GÓdÏm ¨Lrf£ GuL. ºhÓdLh¥p 4 CWô_ô ºhÓLs CÚd¡u\]. n(C) = 4

n(C) 4 1P(C)n(S) 52 13

= = =

(iv) ºhÓdLh¥p 4 CWô¦ ºhÓLs CÚd¡u\]. D GuTÕ CWô¦ ApXôR ºhÓ GÓdÏm ¨Lrf£ GuL. G]úY n(D) = 52–4 = 48.

n(D) 48 12P(D)n(S) 52 13

= = =

GÓjÕdLôhÓ 28: CWiÓ SôQVeLs JúW úSWj§p ÑiPlTÓmùTôÝÕ CWiÓ RûXLs ¡ûPlTRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ: CÚ SôQVeLû[f ÑiÓY§p áßùY° S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4. A GuTÕ CÚRûXLs ¡ûPdÏm ¨Lrf£ GuL. A = {HH}, n(A) = 1.

n(A) 1P(A)n(S) 4

= =

GÓjÕdLôhÓ 29: 1-−ÚkÕ 50 YûW«Xô] ØÝdL°−ÚkÕ JÚ Gi úRokùRÓdLlTÓ¡\Õ. AkR Gi 5-Bp YÏTÓYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ : áßùY° S = { 1, 2, 3, …. 50}, n(S) = 50. 5Bp YÏTÓm Gi ¡ûPdÏm ¨Lrf£ûV A GuL. G]úY, A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}, n(A) = 10.

n(A) 10 1P(A)n(S) 50 5

= = =

www.kalvisolai.com

251

GÓjÕdLôhÓ 30: ùTôÚhLû[d ùLôiP Uô§¬«p 5 ùTôÚhLs Ïû\Ùs[RôL CÚd¡\Õ. NUYônl×f úNôRû]«p GÓdLlTÓm JÚ ùTôÚs Ïû\ CpXôRûYVôL CÚlTRtLô] ¨LrRLÜ LôiL. ¾oÜ : ùTôÚhL°u ùUôjR Gi¦dûL n(S) = 25. Ïû\Ùs[ ùTôÚhL°u Gi¦dûL = 5. Ïû\Vt\ ùTôÚhL°u Gi¦dûL = 25 – 5 = 20.

Ïû\Vt\ ùTôÚs GÓdL ¨LrRLÜ n(A) 20 4P(A)n(S) 25 5

= = =

GÓjÕdLôhÓ 31 : êuß SôQVeLs ÑiPlTÓmùTôÝÕ JúW JÚ RûX ¡ûPlTRtLô] ¨LrRLÜ Gu]?

¾oÜ : áßùY° S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. A GuTÕ JúW JÚ RûX ¡ûPdÏm ¨Lrf£ GuL. A = { HTT, THT, TTH}, n(A) =3.

∴ n(A) 3P(A)n(S) 8

= =

GÓjÕdLôhÓ 32: SôuÏ SôQVeLs JúW úSWj§p ÑiPlTÓmùTôÝÕ JúW JÚ é ®ÝYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]?

¾oÜ: JúW úSWj§p SôuÏ SôQVeLû[f ÑiÓY§p áßùY° S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, TTHH,

THHT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT} A GuTÕ JúW JÚ é ®ÝYRtLô] ¨Lrf£ GuL. A = { THHH, HTHH, HHTH, HHHT}, n(A) = 4, n(S) = 16.

BûLVôpn(A) 4 1P(A)n(S) 16 4

= = =

GÓjÕdLôhÓ 33: ©uYÚY]YtßdÏ ¨LrRLÜ LôiL. (a) NUYônl× Øû\«p úRokùRÓdLlTÓm Äl YÚPm 53 Oô«tßd¡ZûULû[

ùLôiÓ CÚjRp. (b) NUYônl× Øû\«p úRokùRÓdLlTÓm NôRôWQ YÚPm 53

Oô«tßd¡ZûULû[ ùLôiÓ CÚjRp. ¾oÜ: (a) Äl YÚPj§p SôhL°u Gi¦dûL = 366 SôhLs = 52 YôWeLs + 2 SôhLs. 52 YôWeL°p 52 Oô«tßd¡ZûULs Es[].

53YÕ Oô«tßd¡ZûU, ÁRØs[ 2 SôhL°p, YôWSôhLs H¯p Ju\ôL

YÚYRtLô] Yônl× = 27

.

G]úY Äl YÚPj§p 53 Oô«tßd¡ZûULÞdLô] ¨LrRLÜ = 27

.

(b) NôRôWQ YÚPj§p SôhL°u Gi¦dûL = 365 SôhLs = 52 YôWeLs + 1 Sôs.

C§p 52 Oô«tßd¡ZûULs Utßm ÁRØs[ 1 Sôs, YôW SôhLs H¯p

Ju\ôL AûUÙm. G]úY 53 Oô«tßd¡ZûULÞdLô] ¨LrRLÜ = 17

.

www.kalvisolai.com

252

GÓjÕdLôhÓ 34: CÚ TLûPLs EÚhPlTÓmúTôÕ ©uYÚm ¨Lrf£Ls SûPùT\ ¨LrRLÜ LôiL.

(i) CÚ TLûPL°Ûm JúW Gi ¡ûPjRp (ii) ØL GiL°u áÓRp 12 G] YÚRp

¾oÜ : CÚ TLûPLû[ EÚhPd ¡ûPdÏm áßùY° S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. i) A GuTÕ CÚ TLûPL°Ûm JúW Gi ¡ûPlTRtLô] ¨Lrf£ GuL. A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }; n(A) = 6, n(S) = 36

G]úYn(A) 6 1P(A)n(S) 36 6

= = =

ii) B GuTÕ ØL GiL°u áÓRp 12-BL YÚYRtLô] ¨Lrf£ GuL.

B = {(6,6)}, n(B) = 1. G]úYn(B) 1P(B)n(S) 36

= =

GÓjÕdLôhÓ 35: êuß TLûPLs JÚØû\ EÚhPlTÓY§p ØL GiL°u áÓRp 15 ®P A§LUôL CÚlTRtLô] Yônl× Gu]? ¾oÜ: êuß TLûPLû[ EÚhPd ¡ûPdÏm áßùY° S = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3) ...(6,6,6)}. S-Cu ùUôjR ®û[ÜLs 6 × 6 × 6 = 216 A GuTÕ ØLGiL°u áÓRp 15-dÏ A§LUôL CÚlTRtLô] ¨Lrf£ GuL. A = { (4,6,6), (6,4,6), (6,6,4), (5,5,6), (5,6,5), (6,5,5), (5,6,6), (6,5,6), (6,6,5), (6,6,6)}. n(S) = 216, n(A) = 10.

G]úY n(A) 10 5P(A)n(S) 216 108

= = = .

GÓjÕdLôhÓ 36: 2 AXÏ BWØs[ YhPj§u Esú[ JÚ ×s° NUYônl× Øû\«p úRokùRÓdLlTÓ¡\Õ. AkRl ×s° YhPjûR ®P YhP ûUVj§tÏ AÚ¡p CÚlTRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ: YhPj§u BWm 2 AXÏ. BWm 1 AXÏ ùLôiP ùTôÕ ûUV YhPjûR GÓjÕd ùLôsúYôm. úRokùRÓdÏm ×s° £±V YhPj§tÏ Esú[ CÚkRôp AÕ YhPjûR ®P YhPûUVj§tÏ AÚ¡p CÚdÏm. ×s° YhPjûR ®P YhP ûUVj§tÏ AÚ¡p CÚlTRtLô] ¨LrRLÜ

= 1 AXÏ BWØûPV YhPj§u TWlT[Ü2 AXL BWØûPV YhPj§u TWlT[Ü =

π× 12

π×22 =

14

¨LrRL®u áhPp úRt\m A Utßm B GuT], áßùY° S-If NôokR CÚ ¨Lrf£Ls G²p, P (A∪B) = P (A) + P(B) – P(A∩B) ApXÕ P (A or B) = P(A) + P(B) – P(A Utßm B) ¨ìTQm: áßùY° S-u A Utßm B Gu\ ¨Lrf£Ls, TPj§p LQeL[ôLd Ï±dLlTÓ¡\Õ. LQdÏ±ÂhÓd ùLôsûL«uT¥ n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) G] Sôm A±úYôm. CÚ×\Øm n(S)-Bp YÏdL,

O 1

P2

A B

S

A B

TPm 10.4

TPm 10.5

www.kalvisolai.com

253

n(A ∪ B)

n(S) = n(A)n(S) +

n(B)n(S) −

n(A ∩ B)n(S) ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

¡û[júRt\m: A-Ùm B-Ùm Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£Ls G²p, A ∩ B = ϕ. G]úY P(A∩B) = 0. Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£LÞdLô] ¨LrRL®u áhPp úRt\m ©uYÚUôß P(A∪B) = P(A) + P(B) êuß ¨Lrf£LÞdLô] ¨LrRLÜ áhPp úRt\j§u ®¬Ü A, B Utßm C GuT], áßùY° S-If NôokR êuß ¨Lrf£Ls G²p, P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C) + P (A∩B∩C) A, B Utßm C GuT] Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£Ls G²p, P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C). GÓjÕdLôhÓ 37: CÚ TLûPLs ÅNlTÓ¡u\]. 3-Cu UPeÏ ØRp TLûP«u ØLj§p YÚYRtLô] ApXÕ ØL GiL°u áÓRp 7 G] ¡ûPlTRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ : CÚ TLûPLû[ ÅÑY§p áßùY° S = { (1,1) , (1,2), (1,3), …….(6,6)} A GuTÕ ØRp TLûP«u ØLGi 3-Cu UPeLôL ¡ûPdÏm ¨Lrf£ GuL. A = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} B GuTÕ ØL GiL°u áÓRp 7 G] YÚm ¨Lrf£ GuL. B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} A∩B = {(3,4), (6,1)}. n(S) = 36, n(A) = 12, n(B) =6, n(A∩B) = 2

n(A) 12 1P(A)n(S) 36 3

= = =

n(B) 6 1P(B)n(S) 36 6

= = =

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)

n(S) = 2

36 = 118

úRûYVô] ¨LrRLÜ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= 13 +

16 −

118 =

818 =

49

GÓjÕdLôhÓ 38: 52 ºhÓLs ùLôiP Lh¥−ÚkÕ JÚ ºhÓ GÓdLlTÓ¡\Õ. AÕ vúTÓ ºhPôLúYô ApXÕ aôo¥u ºhPôLúYô ¡ûPlTRtLô] ¨LrRLûYd LôiL. ¾oÜ : ùUôjR ºhÓL°u Gi¦dûL n(S) =52. A GuTÕ vúTÓ GÓlTRtLô] ¨Lrf£ GuL.

B GuTÕ aôo¥u GÓlTRtLô] ¨Lrf£ GuL. G]úY, n(A) = 13, n(B) = 13.

13 1 13 1P(A) , P(B)52 4 52 4

= = = =

A∩B GuTÕ GÓdLlTÓm ºhÓ vúTÓ Utßm aôoh¥u BL CÚlTûRd Ï±d¡\Õ. AlT¥ JÚ ºhÓ CÚlT§pûX. G]úY A∩B = ϕ, n(A∩B) = 0. A, B B¡V] Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£L[ôÏm.

⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 14 +

14 =

12

www.kalvisolai.com

254

GÓjÕdLôhÓ 39: CÚ TLûPLs EÚhPlTÓ¡u\]. A§p A GuTÕ ØLGiL°u áhÓj ùRôûL Jtû\ GiL[ôL Es[ ®û[ÜL°u LQm, B GuTÕ áhÓjùRôûL CWhûPVôLÜs[ ®û[ÜL°u LQm, C GuTÕ áhÓjùRôûL 11-BL YWdá¥V ®û[ÜL°u LQm. D GuTÕ áhÓjùRôûL 4-Id ùLôiP ®û[ÜL°u LQm Gu\ôp ©uYÚY]Ytû\d LôiL. i) P(A), P(B) Utßm P(A∪B); ii) P(C), P(D) Utßm P(C∪D); iii) P(A∩C) Utßm P(B∩D) ¾oÜ : CÚ TLûPLû[ EÚhÓmúTôÕ ¡ûPdL Yônl×s[ GpXô ®û[ÜLû[Ùm ©uYÚm AhPYûQ LôhÓ¡\Õ. ØL GiL°u áÓRpLs AhPYûQ«p ¨WlTlThÓs[].

+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

A = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2),

(5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} B = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1),

(5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} C = { (5,6), (6,5)}; D {(1,3), (2,2), (3,1)} n(S) = 36, n(A) = 18, n(B) = 18, n(C) = 2 , n(D) = 3

i) 18 1 18 1P(A) , P(B)36 2 36 2

= = = =

A Utßm B GuT] Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£L[ôÏm.

⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 12 +

12 = 1

ii) 2 1 3 1P(C) , P(D)36 18 36 12

= = = =

C Utßm D GuT] Juû\ùVôuß ®XdÏm ¨Lrf£L[ôÏm.

⇒ P(C ∪ D) + P(C) + P(D) , 118 ,

112 =

2 + 336 =

536

iii) A ∩C = {(5,6), (6,5)}, n(A ∩ C) = 2 B∩D = {(1,3), (2,2), (3,1)}, n(B∩D) = 3

P(A ∩ C) = 2

36 = 1

18 ; P(B ∩ D) = 336 =

112

GÓjÕdLôhÓ 40: JÚ TûP CWiÓ Øû\ EÚhPlTÓ¡\Õ. AYt±p Ïû\kRÕ Ju±XôYÕ 4 Gu\ Gi YÚYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ: JÚ TLûPûV CÚØû\ EÚhÓY§p áßùY°

www.kalvisolai.com

255

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ... , (6, 6)} BûLVôp n(S) = 36. A GuTÕ ØRp Øû\ EÚhÓY§p 4 ¡ûPdÏm ¨Lrf£ Utßm B GuTÕ CWiPôm Øû\ EÚhÓY§p 4 ¡ûPdÏm ¨Lrf£ G]dùLôsúYôm. A = { (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) }; B = {(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4)} A∩B = {(4,4)}

P(A) = 636 ; P(B) =

636 ; P(A ∩ B) =

136

¨LrRLÜ áhPp úRt\j§uT¥, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 636 +

636 −

1136 =

1136

GÓjÕdLôhÓ 41: JÚ UôQYu L¦Rj úRo®p úRof£ AûPYRtLô] ¨LrRLÜ 2/3, L¦Rm Utßm A±®Vp úRoÜL°p úRof£ ùTßYRtLô] ¨LrRLÜ 14/45. Ïû\kRÕ JÚ úRo®XôYÕ úRof£ AûPV ¨LrRLÜ 4/5. AkR UôQYu A±®Vp úRo®p úRof£ AûPYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]?

¾oÜ: ùLôÓdLlThP U§l×L[ôY], P(M) = 23 , P(M ∩ S) =

1445 Utßm P(M ∪ S) =

45

P(M∪S) = P(M) + P(S) – P(M∩S) ApXÕ 45 =

23 + P(S) −

1445

4P(S)9

= .

BûLVôp, A±®Vp úRo®p UôQYu úRof£ AûPYRtLô] ¨LrRLÜ = 49

NôoTt\ ¨Lrf£Ls: JÚ NUYônl× úNôRû]«u CÚ ¨Lrf£L°p JÚ ¨Lrf£ SûPùTßYúRô SûPùT\ôU−ÚlTúRô Utù\ôÚ ¨Lrf£ SûPùTßYûRúVô ApXÕ SûPùT\ô§ÚlTûRúVô Tô§dL®pûX G²p AûY NôoTt\ ¨Lrf£Ls G]lTÓm. A Utßm B Gu\ CÚ ¨Lrf£Ls NôoTt\ ¨Lrf£Ls G²u, P(A∩B) = P(A) × P(B). ARôYÕ P(A Utßm B) = P(A) P(B) ©uYÚm NUYônl×f úNôRû]ûVd LY]j§p ùLôsúYôm. ØR−p JÚ SôQVm ÑiPlTÓ¡\Õ. ©\Ï JÚ TLûP EÚhPlTÓ¡\Õ. ¨Lrf£ A GuTÕ SôQVj§p RûX ®ÝYûRÙm ¨Lrf£ B GuTÕ TLûP«p CWhûP Gi ¡ûPlTûRÙm Ï±lTRôLd ùLôsúYôm. CeÏ A-Ùm B-Ùm NôoTt\ ¨Lrf£L[ôÏm.

áßùY° S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6} A = { H1, H2, H3, H4, H5, H6} B = [H2, H4, H6, T2, T4, T6}; A ∩ B = { H2, H4, H6} 6 1P(A)

12 2= = ; 6 1P(B)

12 2= = ; P(A ∩ B) =

312 =

14 ; P(A) P(B) =

12 ×

12 =

14

BûLVôp P(A∩B) = P(A) P(B)

GÓjÕdLôhÓ 42: A Utßm B Gu¡\ CÚ SiToLs, CWiÓ Lô−«PeLÞdLô]

úSoØLj úRoÜdÏf ùNuß CÚkRôoLs. A úRokùRÓdLlTP ¨LrRLÜ 13

Utßm B

úRokùRÓdLlTP ¨LrRLÜ 12 BL CÚd¡\Õ. ¸rdLôÔm ¨Lrf£LÞdÏ ¨LrRLÜ

LôiL.

www.kalvisolai.com

256

i) CÚYÚm úRokùRÓdLlTÓYÕ (ii) CÚY¬p JÚYo UhÓm úRokùRÓdLlTÓYÕ ii) CÚYÚúU úRokùRÓdLlTPôUp úTôYÕ

¾oÜ: P(A) = A úRokùRÓdLlTÓYRtLô] ¨LrRLÜ = 13

P(B) = B úRokùRÓdLlTÓYRtLô] ¨LrRLÜ = 12

P(A) = A úRokùRÓdLlTPô§ÚlTRtLô] ¨LrRLÜ = 1 − 13 =

23

P(B) = B úRokùRÓdLlTPô§ÚlTRtLô] ¨LrRLÜ = 1 − 12 =

12

CÚY¬p JÚYo úRokùRÓdLlTÓYúRô ApXÕ úRokùRÓdLlTPôRúRô Ut\Y¬u úRoûY Tô§lT§pûX. G]úY A-Ùm B-Ùm NôoTt\ ¨Lrf£Ls BÏm.

i) CÚYÚm úRokùRÓdLlTÓYRtLô] ¨LrRLÜ = P(A∩B) = P(A) P(B) = 13 ×

12 =

16

ii) CÚY¬p VôúWàm JÚYo UhÓm úRokùRÓdLlTÓYRtLô] ¨LrRLÜ = P(A úRokùRÓdLlThÓ B úRokùRÓdLlTPôU−ÚlTÕ) + P(A úRokùRÓdLlTPôUp B úRokùRÓdLlTÓYÕ)

= P( )A ∩ B−

+ P( )A−

∩ B = P(A) P(B) P(A) P(B)+

= 13 ×

12 +

23 ×

12 =

16 +

26 = 3 1

6 2=

iii) CÚYÚm úRokùRÓdLlTPôU−ÚlTRtLô] ¨LrRLÜ

= P( )A−

∩ B−

= P( )A−

P( )B−

= 23 ×

12 =

13

GÓjÕdLôhÓ 43: JÚ ûT«p 5 TfûN, 7 £Yl×¨\l TkÕLs CÚd¡u\]. AYt±−ÚkÕ NUYônl× Øû\«p ûT«−ÚkÕ CWiÓ TkÕLû[ JqùYôu\ôL GÓdL, Juß TfûNVôLÜm Ut\Õ £YlTôLÜm CÚdL ¨LrRLÜ Gu]? ¾oÜ : 5 TfûN, 7 £Yl× ¨\l TkÕLs G] ùUôjRm 12 TkÕLs CÚd¡u\]. 1 TfûN, 1 £Yl× G] CÚ TkÕLû[ GÓdL ¨LrRLÜ = 1 TfûN ¨\lTkûR ØR−Ûm 1 £Yl× ¨\lTkûR ©u]Úm GÓdL ¨LrRLÜ

+ 1 £Yl× ¨\lTkûR ØR−Ûm 1 TfûN ¨\lTkûR ©u]Úm GÓdL ¨LrRLÜ ARôYÕ P(1 TfûN, 1 £Yl× TkÕLs) = P (G ∩R) + P (R∩G)

P(ØR−p 1 TfûN ¨\jûR GÓlTÕ) = 512

;

P (CWiPôYRôL 1 £Yl× ¨\lTkûR GÓlTÕ) = 711

∴ P (G ∩R) = P (G) P(R) = 512

× 711 =

35132

P(ØR−p 1 £Yl× ¨\lTkûR GÓlTÕ) = 712

;

www.kalvisolai.com

257

P (CWiPôYRôL 1 TfûN ¨\lTkûR GÓlTÕ) = 511

∴ P (R ∩G) = P(R) P(G) = 7

12 × 511 =

35132

P(1 TfûN, 1 £Yl× ¨\lTkÕLs GÓlTRtÏ) = P (G ∩R) + P (R ∩G)

= 35 35 70132 132 132

+ = = 3566

T«t£ 10.2

1. JÚ TLûP EÚhPlTÓmúTôÕ ¸rdLôÔm ¨Lrf£Ls SûPùT\ ¨LrRLÜLû[d LôiL.

i) CWhûP Gi ¡ûPdLlùTßRp ii) ¡ûPdÏm Gi 5 ®Pd Ïû\YôL CÚlTÕ iii) 3-u UPeLô] Gi ¡ûPjRp. 2. CÚ SôQVeLû[ JúW úSWj§p ÑiÓm úNôRû]«p ©uYÚm

¨Lrf£LÞdÏ ¨LrRLÜ LôiL. i) CWiÓ RûXLs ®Ým ¨Lrf£ ii) JÚ RûX ®Ým ¨Lrf£ 3. 52 ºhÓLû[d ùLôiP Lh¥−ÚkÕ JÚ ºhÓ GÓdûL«p, i) AfºhÓ £Yl× ¨\f ºhPôL CÚdL ¨LrRLÜ Gu]? ii) AÕ Hv ºhPôL CÚdL ¨LrRLÜ Gu]? 4. 1-−ÚkÕ 50 YûW«Xô] ØÝdL°p JÚ Gi GÓdL AÕ 7-u UPeLôL

CÚdL ¨LrRLÜ Gu]? 5. 10-−ÚkÕ 30 YûW«Xô] ØÝdL°p CÚkÕ úRokùRÓdLlTÓm JÚ Gi TLô

GiQôL CÚlTRtLô] ¨LrRLÜ LôiL 6. 1-−ÚkÕ 300 YûW«Xô] ØÝdL°p CÚkÕ úRokùRÓdLlTÓm JÚ Gi ØÝ

L]UôL (Perfect cube) CÚlTRtLô] ¨LrRLÜ LôiL. (Ï±l× : 1, 8, 27 . . . GuT] L]eL[ôÏm)

7. 5 PNu BWgÑlTZl ùTh¥«p 4 BWgÑLs AÝ¡lúTôn CÚkR]. JÚ SpX BWgÑl TZjûR GÓlTRtLô] ¨LrRLÜ Gu]?

8. JÚ SôQVm êuß Øû\ ÑiPlTÓ¡\Õ. ¸rdLôÔm ¨Lrf£LÞdÏ ¨LrRLÜ LôiL.

i) RûXÙm, éÜm AÓjRÓjÕ ¡ûPlTÕ iii) Ïû\kÕ CÚ RûXLs ¡ûPlTÕ ii) N¬VôL CÚ RûXLs ¡ûPlTÕ iv) RûX ®ZôU−ÚlTÕ 9. JúW úSWj§p 4 SôQVeLs ÑiPlTÓmúTôÕ ©uYÚm ¨Lrf£LÞdLô]

¨LrRLÜ LôiL. i) N¬VôL 2 RûXLs ¡ûPlTÕ ii) CWiÓdÏ Ïû\kR RûXLs ¡ûPlTÕ iii) CWiÓdÏ úUtThP RûXLs ¡ûPlTÕ iv) Ïû\kRÕ JÚ RûX ¡ûPlTÕ 10. êuß TLûPLs EÚhPlTÓ¡u\]. êuß TLûPLÞm JúW GiûQd

LôhÓYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? 11. 17 ºhÓLs Øû\úV 1,2,3 … 17 G] Gi¦PlTÓ¡u\]. NUYônl× Øû\«p

JÚ ºhÓ GÓdLlTÓmúTôÕ AkR Gi 3 UPeLôLúYô ApXÕ 7-u UPeLôLúYô CÚdL ¨LrRLÜ Gu]?

12. 52 ºhÓLs ùLôiP Lh¥−ÚkÕ JÚ ºhÓ GÓdÏmúTôÕ AÕ £Yl× ºhPôLúYô ApXÕ CWô_ô ºhPôLúYô CÚdL ¨LrRLÜ LôiL.

www.kalvisolai.com

258

13. CÚ TLûPLs JÚ Øû\ EÚhPlTÓ¡u\]. CWhûP Gi CWiPôYÕ TLûP«p YÚYRtúLô ApXÕ ØL GiL°u áÓRp 10 G]l ùTßYRtúLô ¨LrRLÜ Gu]?

14. A, B Utßm C Gu\ êuß SToLs JÚ úLs®dÏ ¾oÜ LôiTRtÏ ¨LrRLÜLs

Øû\úV 4 2,5 3

Utßm 37

BÏm. A Utßm B B¡úVôo ¾oÜ LôQ ¨LrRLÜ 8

15,

B Utßm C B¡úVôo ¾oÜ LôQ ¨LrRLÜ 27

, A Utßm C B¡úVôo ¾oÜ LôQ

¨LrRLÜ 1235

BÏm. êußúTÚm ¾oÜ LôQ ¨LrRLÜ 835

G²p úLs®

¾odLlTÓYRtLô] ¨LrRLÜ Gu]? 15. X Utßm Y Guàm CÚYo JÚ AÛYXLj§p Es[ CWiÓ

Lô−«PeLÞdLô] úSoØLj úRoÜdÏf ùNu\ôoLs. X úRokùRÓdLlTP Yônl× 15

. Y úRokùRÓdLlTP Yônl× 17

. ©uYÚY]YtßdLô] YônlûTd LôiL.

(i) CÚYÚm úRoÜ ùNnVlTÓYÕ (ii) JÚYo UhÓm úRoÜ ùNnVlTÓYÕ (iii) JÚYo áP úRoYôLôUp úTôYÕ.

®ûPLs

T«t£ 10.1 1) 12 .11 2) 9.26 3) 2.45 ¡.¡., 6 ¡.¡. 4) 21.25 ª.Á., 451.76 ª.Á. 5) 3.4 6) 2, 4 7) 16000, 1300000, 8) 396, 46 9) 6.5, 2.5 10) 59.8, 20.09 11) 30.67 % 12) 20, 20 13) 19.98, 16 14) ©¬Ü A 15) ¨ßY]m B T«t£ 10.2

1. (i) 12

(ii) 23

(iii) 13

2. (i) 14

(ii) 12

3. (i) 12

(ii) 113

4. 750

5. 27

6. 150

7. 1415

8. (i) 14

(ii) 38

(iii) 12

(iv) 18

9.(i) 38

(ii) 516

(iii) 516

(iv) 1516

10. 136

11. 717

12. 713

13. 1936

14. 101105

15. (i) 135

(ii) 27

(iii) 2435

www.kalvisolai.com

259

11. YûWTPeLs

11.0 A±ØLm TpúYß Õû\L°p Uô±Ls ùUnùViLû[ U§l×L[ôL ùTßYûR Sôm A±kÕ YkÕsú[ôm. JÚ Ï±l©hP ãr¨ûXûV BÞûL ùNnÙm TpúYß Uô±Lû[ JÚ NUuTôÓ êXm ùôRôPo×TÓjRXôm. x Utßm y Uô±L[ôp CûQdLlThP NUuTôhûPl TVuTÓj§ ùLôÓdLlThP JqùYôÚ x-Cu U§l©tÏm y-Cu U§lûTl ùTtß CYtû\d ùLôiÓ ùUnùViL[ôXô] Y¬ûN úNô¥Ls (x, y)-Cu LQjûRl ùTß¡ú\ôm. ¡ûPdúLôhûP x-AfNôLÜm ÏjÕdúLôhûP y-AfNôLÜm ùLôiP Lôo¼£Vu R[j§p úUtá±V Aû]jÕ (x,y) Y¬ûN úNô¥Lû[Ùm ×s°L[ôL Ï±dL Ø¥Ùm. Cl×s°Ls RtùTôÝÕ NUuTôh¥u YûWTPjûR YûWVßd¡\Õ. YûWTPUô]Õ x Utßm y Uô±L°u E\ÜØû\«u RuûUûVd LôhÓ¡\Õ. Sôm LPkR YÏl©p £X úSodúLôhÓ YûWTPeLs YûWkÕ TôojÕsú[ôm. CqYÏl©p Sôm CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPeLs (TWYû[VeLs) Utßm £X £\l× YûWTPeLû[Ùm YûWVlúTô¡ú\ôm. CYtû\l TVuTÓj§ Sôm CÚT¥f NUuTôÓLû[ ¾odL Esú[ôm. AZÏ\ YûWVlTÓm YûWTPeLs LiLû[ DolT]YôL AûU¡u\]. YûWTPeLs JÚ SpX Lôh£ ETLWQUôÏm. B]ôp LQd¸h¥uT¥ ùT\lTÓm Uô±L°u ªLfN¬Vô] ¾oûYl úTôp YûWTPeLs ¾oÜ RWôÕ. G²àm A§Ll ×s°Lû[d ùLôiÓ Yû[YûWLs YûWYRu êXm YûWTPm ºWô]RôLÜm, ¾oÜ A§Lj Õp−VUô]RôLÜm ¡ûPdÏm. 11.1 CÚT¥ Yû[YûWL°u YûWTPeLs x Utßm y Uô±Ls y = ax2 + bx + c Gu\ NUuTôhPôp ùRôPo×TÓjRlThPôp AÕ CÚT¥ TpÛßl×dúLôûY G]lTÓm. CVtL¦Rj§p ax2 + bx + c = 0 GuTûR CÚT¥fNUuTôÓ Gu¡ú\ôm. y = ax2 + bx + c-Cu YûWTPjûR CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPm Gu¡ú\ôm. y = ax2 + b x + c Gu\ NUuTôh¥p x-Cu JqùYôÚ U§l©tÏm y-dÏ JÚ U§l× ¡ûPdÏm (x, y) Gu\ ùUnùViLs Y¬ûNúNô¥ G]lTÓm. CqY¬ûN úNô¥L°u LQm y = ax2 + bx + c Gu\ CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPjûR YûWVßd¡\Õ. y = ax2 + bx + c Gu\ CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPm YûWRp ùYqúYß YûLlThP CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPeLs YûWYRtÏ ¸rdLiP Øû\Ls ©uTt\lTÓ¡\Õ.

• y = ax2 + bx + c Gu\ NUuTôh¥p x-Cu ùYqúYß U§l×LÞdÏ ¡ûPdÏm y-Cu U§l×Lû[ AhPYûQlTÓjÕL.

www.kalvisolai.com

260

2018161412108642

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 xx’

y’

y

(-4,16)

(-3,9)

(-2,4)

(-1,1) (1,1)

(2,4)

(3,9)

(4,16)

3.9

15

o-6-7 7-2-4-6-8

y = x2

x-axis : 1 cm = 1 unit y-axis : 1 cm = 2 units

• YûWTPjRô°p x Utßm y-AfÑdLû[ YûWL. BV AfÑdL°u ÁÕ YûWTPm YûWYRtLô] N¬Vô] A[Ü §hPjûR úRokùRÓdL úYiÓm. ùT\lTÓm BVjùRôûXÜL°u U§lûT ùTôßjÕ CÚ AfÑdL°u A[Üj§hPm ùT\lTÓ¡\Õ.

• YûWTPjRô°p Es[ Lôoh¼£Vu R[j§p ×s°Lû[d Ï±dLÜm. • Lôoh¼£Vu R[j§p Es[ ×s°Lû[ JÚ Yû[YûW«u êXm CûQjRôp

y = ax2 + bx + c Gu\ CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPm ¡ûPdÏm. Ï±l×: ClTôPj§p YÚm TPeLs Aû]jÕm ùLôÓdLlThP A[Ü §hPj§tÏ YûWVlThPRpX. GÓjÕdLôhÓ 1: y = x2-Cu YûWTPm YûWkÕ AûRl TVuTÓj§ 15-Cu YodLêXm LôiL. ¾oÜ: YûWPTjRô°p x Utßm y-AÑdLû[d Ï±jÕ x-Af£p 1 ùN.Á. = 1 AXÏ G]Üm y-Af£p 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs G]Üm GÓjÕd ùLôs[Üm. x-dÏ –4-−ÚkÕ 4 YûW U§l×Lû[ ùLôÓjÕ ARtúLt\ y-Cu U§l×Lû[d LiÓ ¸rdLiPYôß AhPYûQlTÓjÕL.:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y = x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

(–4,16), (–3,9), (–2,4), (–1, 1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) B¡V ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±dLÜm. Ï±jR ×s°Lû[ JÚ Yû[YûWVôp CûQjRôp ¡ûPdÏm Yû[YûW y = x2 Gu\ TWYû[VUôÏm. CkR Yû[YûW y-AfûNl ùTôßjÕ NUfºoRuûUûV ùTt±ÚlTûR YûWTPm êXm A±VXôm. (TPm 11.1). YûWPTj§p y = 15 Gu\ x-AfÑdÏ CûQVô] úSodúLôÓ YûWL. AÕ Yû[YûWûV ùYhÓm ×s°«−ÚkÕ x-AfÑdÏ ùNeÏjRôL JÚ úSodúLôÓ YûWL. AÕ x-AfûN x = ± 3.9 Gu\ ×s°L°p Nk§d¡\Õ. TPm 11.1 G]úY 15-Cu YodLêXm úRôWôVUôL ±3.9 BÏm.

GÓjÕdLôhÓ 2: y = –x2-Cu YûWTPm YûWL. ¾oÜ: YûWTPjRô°p x Utßm y-AfÑdLû[ YûWL. x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏm, y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLÞm GÓjÕd ùLôsL. x-Cu U§lûT –4-−ÚkÕ 4 YûW ©W§«hÓ ARtúLt\ y-Cu U§l×Lû[ LiÓ©¥jÕ ¸rdLiPYôß AhPYûQlTÓjÕL

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y = –x2 –16 –9 –4 –1 0 –1 –4 –9 –16

www.kalvisolai.com

261

16141210

8642

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 xx’

y’

y

(-4,12)

(-3,5)

o-2-4-6

(-2,0)

(-1,-3)(0,-4)

(1,-3)

(2,0)

(3,5)

(4,12)

y = x - 4

2

-6-7 7


-2-4-6-8-10-12-14-16-18

2 3 4 5 6-2-3-4-5 xx’

y’

(2,-4)

(3,-9)

(4,-16)

o 7

y

246

(-2,-4)

(-3,-9)

(-4,-16)

(0,0)-6-7

y =

- x2


(–4, –16), (–3, –9), (–2, –4), (–1, –1), (0,0), (1, –1), (2,–4), (3,–9), (4, –16) B¡V ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±dLÜm. Cl×s°Lû[ Yû[YûWVôp CûQjRôp úRûYVô] TWYû[Vm y = –x2-Cu YûWTPm ¡ûPdÏm. (TPm 11.2). GÓjÕdLôhÓ: y = x2 – 4-Cu YûWTPm YûWL. TPm 11.2 ¾oÜ: YûWTPjRô°p x Utßm y-AfÑdLû[ YûWkÕ x-Af£p 1 ùN.Á. = 1 AXÏm, y-Af£p 1 ùN.Á. = 2 AXÏLÞm Es[Yôß A[Üj§hPm GÓjÕd ùLôsL. x-dÏ –4-−ÚkÕ 4 YûW ©W§«hÓ ARu JjR y-Cu U§l×Lû[ LiÓ©¥jÕ ¸rdLiPYôß AhPYûQlTÓjÕL:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4

y = x2 – 4 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 (–4,12), (–3,5), (–2,0) (–1,–3), (0, –4), (1, –3), (2,0), (3,5), (4,12) B¡V ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±jÕ Al×s°Lû[ Yû[YûWVôp CûQjRôp úRûYVô] TWYû[Vm y = x2 – 4 (TPm 11.3).

GÓjÕdLôhÓ 4: y = x2 – 2x – 3-Cu YûWTPm YûWL. TPm 11.3 ¾oÜ: YûWTPjRô°p x Utßm y-AfÑdLû[ Ï±jÕ x-Af£p 1 ùN.Á. = 1 AXÏ G]Üm y-Af£p 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs G]Üm A[Üj§hPm GÓdLÜm. x-dÏ –4-−ÚkÕ 5 YûW ©W§«hÓ ARtúLt\ y-Cu CûQVô] U§l×Lû[ LiÓ©¥jÕ AhPYûQlTÓjÕL:

www.kalvisolai.com

262

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

(1,-4)

o

24222018161412108642

-6-7 7-2-4-6

(-1,0)

(-2,5)

(-3,12)

(-4,21)

(2,-3)

(3,0)

(4,5)

(5,12)

(0,-3)

y = x - 2x - 3

2


1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

555045403530

2015105

-6-7 7-5

-10-15

(-4,54)

(-3,35)

(-2,20)

(-1,9)(0,2) (3,5)

(4,14)

(2,0)

y =2x - 5x + 2

2

(1,-1)


x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

–2x 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8 –10 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3

y = x2 – 2x – 3 21 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12

(–4,21), (–3,12), (–2,5), (–1,0), (0, –3), (1, –4), (2, –3), (3,0), (4,5) Utßm (5,12) B¡V ×s°Lû[ YûWTPjRôù°p Ï±jÕ Al×s°Lû[ Yû[YûWVôp CûQjRôp úRûYVô] TWYû[Vm y = x2 – 2x – 3-Cu YûWTPm ¡ûPdÏm (TPm 11.4). GÓjÕdLôhÓ 5: y = 2x2 – 5x + 2-Cu YûWTPm YûWL. TPm 11.4 ¾oÜ: YûWTPjRô°p x Utßm y-AfÑdLû[ YûWkÕ x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ G]Üm, y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 5 AXÏLs G]Üm A[Üj§hPm GÓjÕdùLôsL. x-dÏ –4-−ÚkÕ 4 YûW ©W§«hÓ ARtÏ JjR y-Cu U§l×Lû[ LiÓ©¥jÕ ¸rdLiPYôß AhPYûQlTÓjÕL:

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 –5x 20 15 10 5 0 –5 –10 –15 –20 +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y = 2x2 – 5x + 2 54 35 20 9 2 –1 0 5 14 (–4,54), (–3,35), (–2,20), (–1,9), (0,2), (1, –1), (2,0), (3,5), (4,14) B¡V ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±jÕ Al×s°Lû[ Yû[YûWVôp CûQjRôp úRûYVô] TWYû[Vm y = 2x2 – 5x + 2 ¡ûPdÏm. (TPm 11.5). ax2 + bx + c = 0 Gu\ CÚT¥f NUuTôh¥u ¾oûYYûWTPm êXm LôQp, CVtL¦Rm T«u\ùTôÝÕ ax2 + bx + c = 0 Gu\ CÚT¥fNUuTôh¥u ¾oÜLû[ CVtL¦R Øû\lT¥ LôÔm Øû\ûV HtL]úY LiúPôm. RtùTôÝÕ YûWTPj§u êXm CÚT¥fNUuTôh¥u ¾oÜLû[ LôiúTôm. CÚT¥fNUuTôÓLs CÚ ùYqúY\ô] ùUnùVi êXeLs ApXÕ CÚ NUUô] TPm 11.5 ùUnùVi êXeLs ApXÕ ùUnùViQpXôR êXeLû[l ùTt±ÚdÏm.

www.kalvisolai.com

263

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o

24222018161412108642

-6-7 7-2-4-6

(-1,-6)(-2,-6)

(-3,-4)

(-4,0)

(-5,6)

(0,-4)

(1,0)

(2,6)

(3,14)

(4,24)

y = x + 3x - 4

2

Cl©¬®p Sôm CÚT¥f NUuTôÓL°u ¾oÜ LôÔmùTôÝÕ CÚØû\Lû[d ûLVôsúYôm. ØRXôYÕ ùLôÓdLlThP CÚT¥ Yû[YûW«u YûWTPm YûWkÕ Yû[YûWVô]Õ x-AfûN ùYhÓm ×s°ûVd ùLôiÓ CÚT¥f NUuTôh¥u ¾oÜ Lôi¡ú\ôm. CWiPôYRôL ùLôÓdLlThP CÚT¥f NUuTôhûP JÚ TWYû[V Utßm JÚ úSodúLôh¥u NUuTôÓL[ôLl ©¬jÕ AûYLs ùYh¥d ùLôsÞm ×s°L°u x BVj ùRôûXÜLs ùLôÓdLlThP CÚT¥f NUuTôh¥u ¾oÜL[ôL SUdÏ ¡ûPd¡\Õ. GÓjÕdLôhÓ 6: x2 + 3x – 4 = 0 Gu\ NUuTôhûP YûWTPm êXm ¾odL. ¾oÜ: y = x2 + 3x – 4 Gu\ Yû[YûW«u YûWTPjûR úUtLiP Øû\lT¥ YûWL. CRtLô] AhPYûQûV ¸rdLiPYôß RVôo ùNnL.

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16

+3x –15 –12 –9 –6 –3 0 3 6 9 12 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4

y = x2 + 3x – 4 6 0 –4 –6 –6 –4 0 6 14 24 YûWTPj§p x Utßm y-AfÑdLû[ YûWkÕ x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLÞm Es[Yôß A[Üj§hPm GÓjÕdùLôsL. úUtÏ±l©hP ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±jÕ Yû[YûWûV YûWV SUdÏj úRûYVô] y = x2 + 3x – 4-u YûWTPm ¡ûPdÏm. (TPm 11.6). ClùTôÝÕ NUuTôÓLû[j ¾odÏmùTôÝÕ Sôm ùTßYÕ

y = x2 + 3x – 4 0 = x2 + 3x – 4 – – – + y = 0 y = 0, x-Af£u NUuTôPôÏm. TWYû[VØm x-AfÑm (–4,0) Utßm (1,0) Gu\ ×s°L°p ùYhÓ¡u\]. G]úY {–4,1} GuTÕ ¾oÜ LQUôÏm. ∴ x2 + 3x – 4 = 0 Gu\ NUuTôh¥u êXeLs –4 Utßm 1.

TPm 11.6

GÓjÕdLôhÓ 7: YûWTPm êXm ¾odL: 2x2 – x – 3 = 0 ¾oÜ: y = 2x2 – x – 3 Gu\ TWYû[Vm YûWYRtLô] AhPYûQûV RVô¬dLÜm.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 42x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32–x 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4–3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3 –3

y = 2x2 – x – 3 33 18 7 0 –3 –2 3 12 25

x axis : 1 cm = 1 unit y axis : 1 cm = 2 units

www.kalvisolai.com

264

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7-2-4-6

24222018161412108642

(1,-2)

26283032

(4,25)

(3,12)

(2,3)

(0,-3)

(-1,0)

(-2,7)

(-3,18)

(-4,33)

y = 2x - x - 3

2

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7-2-4-6-8

-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28-30-32

108642

(1,6)(2,5)

(3,0)(0,3)

(4,-9)

(5,-22)

(-1,-4)

(-2,-15)

(-3,-30)

y = -2x + 5x + 3

2

x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs Es[Yôß A[Ü §hPjûR úRokùRÓdLÜm. úUtLiP ×s°Lû[ Ï±jÕ AYtû\ ºWô] ®tL[ôp CûQdL SUdÏ y = 2x2 – x – 3 Gu\ TWYû[Vj§u YûWTPm ¡ûPd¡\Õ. (TPm 11.7). TWYû[Vj§u NUuTôhûPÙm ùLôÓdLlThP NUuTôhûPÙm ¾odL Sôm ùTßYÕ y = 2x2 – x – 3 0 = 2x2 – x – 3 – – + + y = 0 TPm 11.7 CÕ x-Af£u NUuTôPôÏm. Yû[YûWÙm x-AfÑm ùYh¥dùLôsÞm ×s°Ls (–1,0) Utßm (3/2, 0) ApXÕ (1.5, 0) . Cl×s°L°u x-BVj ùRôûXÜLs ùLôÓdLlThP NUuTôh¥u êXeL[ôÏm. ∴¾oÜdLQm {–1,1.5} GÓjÕdLôhÓ 8: (2x + 1) (3 – x) = 0-I YûWTPm êXm ¾o. ¾oÜ: y = (2x + 1) (3 – x) = 6x – 2x2 + 3 – x = –2x2 + 5x + 3 ØR−p CkR TWYû[Vm YûWYRtLô] AhPYûQûV AûUlúTôm.

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –2x2 –18 –8 –2 0 –2 –8 –18 –32 –50+5x –15 –10 –5 0 5 10 15 20 25+3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

y = –2x2 + 5x + 3 –30 –15 –4 3 6 5 0 –9 –22x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs Es[Yôß A[Ü §hPjûR úRoÜ ùNn. úUtLiP ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±jÕ AYtû\ CûQdLÜm. Sôm ùTßYÕ y = –2x2 + 5x + 3 (TPm 11.8). y = –2x2 + 5x + 3 Utßm 0 = –2x2 + 5x + 3 CYtû\ ¾odL SUdÏd ¡ûPlTÕ y = 0, CÕ x-AfNôÏm. CkR TWYû[VØm x-AfÑm ùYh¥d ùLôsÞm ×s°L°u x-BVjùRôûXÜLs ùLôÓdLlThP NUuTôh¥u ¾oYôÏm. ∴ ¾oÜdLQm {–0.5, 3}

TPm 11.8



www.kalvisolai.com

265

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7

-4-6

24222018161412108642

262830

(4,28)

(3,18)

(2,10)

(1,4)

(-1,-2)(-2,-2)

(-3,0)

(-4,4)

(-5,10)

-2

y =

x +

3x

2

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7

-2-3

121110987654321

13

-1

-4-5-6-7

(5,12)

(2,9)(1,8)

(0,7)

(4,4)

(3,-2)

(2,-6)

-8 (1,-8)(0,-8)

(-1,-6)

(-2,-2)

(-3,4)

(-4,12)

(-2,5)

y = x + 7

(-1,6)

y = x - x - 8

2

x axis : 1 cm = 1 unit y axis : 1 cm = 1 unit

GÓjÕdLôhÓ 9: y = x2 + 3x Gu\ YûWTPjûR YûWkÕ x2 + 3x = 0 Gu\ NUuTôhûPj ¾odLÜm. ¾oÜ: ØR−p Sôm y = x2 + 3x Gu\ TWYû[Vj§tLô] AhPYûQûV ¸rdLiPYôß AûUlúTôm.

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 163x –15 –12 –9 –6 –3 0 3 6 9 12

y = x2 + 3x 10 4 0 –2 –2 0 4 10 18 28x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs Es[Yôß A[Ü §hPjûR úRokùRÓjÕ Utßm úUtLiP ×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±dLÜm. Cl×s°Lû[ CûQdL Sôm ùTßYÕ y = x2 + 3x Gu\ TWYû[VUôÏm. (TPm 11.9). y = x2 + 3x Gu\ TWYû[V NUuTôhûPÙm x2 + 3x = 0 Gu\ NUuTôhûPÙm ¾odL SUdÏd ¡ûPlTÕ y = 0. CÕ x-AfNôÏm. úRûYVô] NUuTôh¥u êXeLs TWYû[VØm x-AfÑm ùYh¥dùLôsÞm ×s°L°u x-BVjùRôûXÜL[ôÏm. ∴ ¾oÜdLQm {–3, 0}. TPm 11.9 GÓjÕdLôhÓ 10: y = x2 – x – 8-Cu YûWTPm YûWkÕ ARu êXm ©u× x2 – 2x – 15 = 0 Gu\ NUuTôhûPj ¾o. ¾oÜ: ØR−p y = x2 – x – 8-dÏ AhPYûQûV RVôo ùNnúYôm.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25–x 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5–8 –8 –8 –8 –8 –8 –8 –8 –8 –8 –8

y = x2 – x – 8 12 4 –2 –6 –8 –8 –6 –2 4 12 x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Es[Yôß A[Üj§hPm úRokùRÓdLÜm. Al×s°Lû[ YûWTPjRô°p Ï±jÕ AYtû\ úNodL SUdÏ ¡ûPlTÕ y = x2 – x – 8-Cu YûWTPUôÏm. ùLôÓdLlThP NUuTôÓLû[j ¾odL Sôm ùTßYÕ y = x2 – x – 8 0 = x2 – 2x – 15 – – + + y = x + 7


TPm 11.10

www.kalvisolai.com

266

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7

-4-6

32302826242220

16141210

34

-2

36

8642

(1,8)(2,9)

(3,12)

(4,17)

(0,9)(-1,12)

(-2,17)

(-3,24)

(-4,33) y = x - 2x + 9

2

y = 8

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5xx’

y’

y

o-6-7 7

-4-6

32302826242220

16141210

34

-2

36

8642

(1,8)(2,9)

(3,12)

(4,17)

(0,9)(-1,12)

(-2,17)

(-3,24)

(-4,33) y = x - 2x + 9

2

y = 8

CÕ JÚ úSodúLôPôÏm. UßT¥Ùm CkúSodúLôÓ y = x + 7-dÏ ¸rdLiPYôß AhPYûQ RVôo ùNnÕ YûWTPm YûWVÜm.

x –2 –1 0 1 2y = x + 7 5 6 7 8 9

y = x2 – x – 8 Utßm y = x + 7 B¡VûY ùYh¥dùLôsÞm ×s°L°u x-BVj ùRôûXÜLs ¾oÜ LQjûRj RÚ¡\Õ. ∴ ¾oÜ LQm {–3, 5}. CeÏ CÚ êXeLÞm ùYqúY\ô] ùUnùViL[ôLd ¡ûPlTûRd LY²dLÜm. GÓjÕdLôhÓ 11: y = x2 – 2x + 9-Cu YûWTPm YûWL Utßm AûRl TVuTÓj§ x2 – 2x + 1 = 0 Gu\ NUuTôhûPj ¾odLÜm. ¾oÜ: ØR−p y = x2 – 2x + 9-Cu AhPYûQûV RVôo ùNnúYôm.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

–2x 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8+9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

y = x2 – 2x +9 33 24 17 12 9 8 9 12 17 x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 2 AXÏLs Es[Yôß A[Üj§hPm úRoÜ ùNnVÜm. AYtû\ CûQdLd ¡ûPlTÕ TWYû[Vm y = x2 – 2x + 9-Cu YûWTPUôÏm. RWlThP NUuTôÓLû[j ¾odL SUdÏ ¡ûPlTÕ, y = x2 – 2x + 9 0 = x2 – 2x + 1 – – + –

y = 8 CÕ JÚ x-AfÑdÏ CûQVô] úSodúLôhÓf NUuTôPôÏm. CkúSodúLôÓ Yû[YûWûV Ju±ûQkR (1,8), (1,8) ×s°«p ùYhÓ¡\Õ. CÕ Yû[YûWûV (1,8) Gu\ ×s°«p ùRôÓ¡\Õ. Cl×s°L°u x BVjùRôûXÜ 1 Utßm 1 ùLôÓdLlThP x2 – 2x + 1 = 0 Gu\ NUuTôh¥u ¾oÜL[ôÏm. G]úY ¾oÜL]m {1,1} BÏm. CÚ êXeLÞm NUUô] ùUnùViL[ôL CÚlTûR LôQXôm. GÓjÕdLôhÓ 11: y = x2 + x – 12-Cu YûWTPm YûWkÕ ©u× x2 + 2x + 2 = 0 Gu\ NUuTôhûPj ¾odLÜm. ¾oÜ: ØR−p y = x2 + x – 12-dÏ AhPYûQ RVôo ùNnúYôm.



TPm 11.11

TPm 11.12

www.kalvisolai.com

267

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5x’

y

o-6-7 7-1-2-3

12345678

-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14

(-4,0)

(-5,8) (4,8)

(3,0)

(2,-6)

(1,-10)

(0,-12)

y’

-15-16

(-2,-10)

(-3,-6)

y =

x +

x -

122

(-2,-12)(-1,-13)

(0,-14)

y = - x - 14

x

(1,-15)

(2,-16)

x axis: 1 cm = 1 unity axis: 1 cm = 1 unit

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16

+x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

–12 –12 –12 –12 –12 –12 –12 –12 –12 –12 –12

y = x2 + x – 12 8 0 –6 –10 –12 –12 –10 –6 0 8

x-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Utßm y-Af£u ÁÕ 1 ùN.Á. = 1 AXÏ Es[Yôß A[Üj§hPm AûUjÕ úUtLiP ×s°Lû[ Ï±jÕ AYtû\ CûQdLÜm. ©\Ï Sôm ùTßYÕ y = x2 + x – 12-Cu YûWTPUôÏm. y = x2 + x – 12 Utßm x2 + 2x + 2 = 0 CYtû\ ¾odL Sôm ùTßYÕ JÚ úSodúLôh¥u NUuTôÓ y = – x – 14.

y = x2 + x – 12 0 = x2 + 2x + 2 – – – – y = – x – 14 y = – x – 14-dÏ AhPYûQ AûUjÕ ARu YûWTPjûR YûWVÜm.

x –2 –1 0 1 2 y –12 –13 –14 –15 –16

úSodúLôÓ TWYû[VjûR ùYhPôRRôp, ùYhÓm ×s°L°u x–BVjùRôûXÜLû[d LôQ CVX®pûX. G]úY ùLôÓdLlThPf NUuTôÓ x2 + 2x + 2 = 0-Cu ¾oÜLs ùUnùViLs ApX.

TPm 11.13 T«t£ 11.1

1. ©uYÚm NUuTôÓL°u YûWTPm YûWL.

(a) 21y x2

= (b) y =2x2+ x (c) y = x2–x–12 (d) y = (2 + x) (x – 4) (e) y = 2x2 – x + 3

www.kalvisolai.com

268

2. YûWTPm êXm NUuTôÓLû[j ¾odLÜm. (a) x2 – 9 = 0 (b) x2 – 4x = 0 (c) x2 + 4x – 12 = 0 (d) x2 – 5x + 6 = 0 (e) 2x2 – x – 3 = 0 (f) (2x – 1) (3–x) = 0 (g) 2x2 – x – 6 = 0 (h) (2x + 1) (x – 3) = 0 3. y = x2 – 4x + 3-Cu YûWTPm YûWkÕ ARu êXm x2 – 4x + 3 = 0 Gu\

NUuTôhûPj ¾odL. 4. y = x2 – 2x – 8-Cu YûWTPm YûWkÕ AûRl TVuTÓj§ x2 – 2x – 8 = 0-I ¾o. 5. y = x2 – 3x-Cu YûWTPm YûWkÕ AûWl TVuTÓj§ x2 – 3x – 4 = 0-ûYj

¾odLÜm. 6. y = 2x2 + x – 6-Cu YûWTPm YûWkÕ ARu êXm 2x2 + x – 10 = 0-Cu

êXeLû[d LôiL. 7. y = x2 – 4x + 6-Cu YûWTPm YûWkÕ AûRl TVuTÓj§ x2 + 3x + 5 = 0 Gu\

NUuTôh¥tÏ ùUnùVi êXeLs CpûX G]dLôhÓL. 11.2 £X £\l× YûWTPeLs Cl©¬®p CWiÓ YûLVô] YûWTPeLs YûWkÕ LôhPl úTô¡ú\ôm. Juß úSoUôß YûWTPUôÏm. Utù\ôuß G§oUôß YûWTPUôÏm. ØRp YûL úSoUôß YûWTPm Sôm HtùL]úY YûWkR úSodúLôPôÏm. CWiPôm YûL G§oUôß YûWTPm ùNqYL A§TWYû[VUôÏm. GÓjÕdLôhÓ 13: ¸úZÙs[ AhPYûQ«p úT]ôdL°u Gi¦dûL Utßm ®ûX RWlThÓs[Õ.

úT]ôdL°u Gi¦dûL (x) 2 4 5 6 8 10 ®ûX ìTô«p (y) 20 40 50 60 80 100

úUtLiP AhPYûQ GjRûLV UôßRûX EûPVÕ G]d LiÓ©¥jÕ ARtÏ¬V YûWTPjûR YûWL. ¾oÜ: úUtLiP AhPYûQ«p x-Cu U§l× ùTÚÏmúTôÕ y-Cu U§l×l ùTÚÏ¡\Õ. G]úY, CÕ úSoUôß TiûT ùTt±Úd¡\Õ. ∴ y α x, ∴ y = Kx CeÏ K GuTÕ JÚ ®¡R Uô±− (constant of proportionality) BÏm.

CeÏ y Kx= GuTRôp

AhPYûQ«−ÚkÕ 20 40 50 602 4 5 6

= = =80 100 10 K8 10

= = = =

TPm 11.13 ∴ K = 10 G] Sôm Lôi¡ú\ôm. y = 10 x GuTÕ JÚ úSodúLôÓ CÕ YûWTPj§u êXm ®[dLlThÓs[Õ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

102030405060708090

100

x

y

O

y = 10

x

(2,20)

(4,40)

(6,60)

(8,80)

(10,100)

(5,50)

x-axis : 1 cm = 1 unit y axis : 1 cm = 10 units

www.kalvisolai.com

269

GÓjÕdLôhÓ 14: ¸rdLôÔm AYhPYûQdÏLkR YûWTPm YûWL.

BiÓL°u Gi¦dûL(x) 1 2 4 8 10 CVk§Wj§u U§l× ìTô«p (y) 1000 500 250 125 100

5YÕ Bi¥p CVk§Wj§u EfúRN U§lûTd LôiL. ¾oÜ : ùLôÓdLlThP AhPYûQ«−ÚkÕ x-Cu U§l×l ùTÚÏm úTôÕ y-Cu U§l× Ïû\¡\Õ GuTûR A±VXôm. G]úY, CÕ G§oUôßRûX EûPVRôÏm. y α 1/x ApXÕ xy = K CeÏ K GuTÕ ®¡RNU Uô±−VôÏm. úUÛm AhPYûQ«−ÚkÕ, K = 1 × 1000 = 2 × 500 = 4 × 250 = 8 × 125 = 10 × 100 = 1000 GuTûRd LôQXôm. G]úY úUtLiP ùRôPoûT xy = 1000 G]d Ï±dLXôm. YûWTPj§−ÚkÕ 5BYÕ Bi¥p CVk§Wj§u EjúRN U§l× ìTôn 200 BÏm GuTûR Sôm LôQXôm.

TPm 11.14

GÓjÕdLôhÓ 15:

SôuÏ Tm×Lû[d ùLôiÓ JÚ Ri½o ùRôh¥«p ¿o ¨WlT 72 U¦ úSWUôÏm G] EjúR£dLlTÓ¡\Õ. 48 U¦ úSWj§p ùRôh¥«p ¿ûW ØÝûUVôL ¨WlT GjRû] Tm×Ls úRûYlTÓm G] YûWTPm êXm LôiL.

¾oÜ:

x GuTÕ Tm×L°u Gi¦dûLûVÙm y GuTÕ úSWjûRÙm Ï±d¡\Õ. Tm×L°u Gi¦dûL (x) A§L¬dÏmúTôÕ úSWj§u A[Ü (y) Ïû\¡\Õ. G]úY, CÕ G§oUôßRûX EûPVRôÏm.

∴ CRu ùRôPo× y α 1/x. ∴ xy = k

CeÏ k GuTÕ ®¡RNU Uô±−VôÏm.

x = 4 GàmúTôÕ y = 72 G] ùLôÓdLlThÓs[Õ.

∴ k = 72 × 4 = 288.

∴ xy = 288.

Sôm RtùTôÝÕ y = 288x

Gu\ Yû[YûW«u AhPYûQ AûUlúTôm.

x axis: 1 cm = 1 unit y axis: 1 cm = 100 units

www.kalvisolai.com

270

YûWTPj§−ÚkÕ (y = ) 48 U¦úSWj§p Ri½o ùRôh¥ûV ¨Wl×YRtÏ (x = ) 6 Tm×Ls úRûYlTÓm.

TPm 11.15 T«t£ 11.2

1. ¸rdLiP AhPYûQLÞdÏ YûWTPm YûWkÕ AûY GqYûL UôßRûX EûPVÕ Utßm AYt±u ®¡RNU Uô±−Lû[d LôiL.

(a) 2. JÚ úTÚkÕ U¦dÏ 30 ¡.Á. úYLj§p ùNp¡\Õ. CRtÏ çW-LôX

YônlTôhûP ùLôÓjÕ YûWTPm YûWL. CûRl TVuTÓj§ úTÚkÕ 3½ U¦úSW TVQj§p LPkR çWjûRd LiÓ©¥.

3. xy = 12, x, y > 0-Cu YûWTPm YûWL. AûRl TVuTÓj§ x = 5 GàmúTôÕ y-Cu U§lûTÙm Utßm y = 8 Gàm úTôÕ x-Cu U§lûTÙm LôiL.

4. úRôWôVUôL 100 ¡.Á. çWØs[ ùNuû]«−ÚkÕ JÚ ×ûL Yi¥ AWdúLôQj§tÏ ùNp¡\Õ. CRtÏ úYL-LôX YônlTôhûP ùLôÓjÕ YûWTPm YûWL. CûRl TVuTÓj§ ×ûLYi¥ 10 ¡.Á. úYLj§p ùNu\ûPkRôp GjRû] U¦ úSWUôÏm Guß LiÓ©¥.

®ûPLs T«t£ 11.1 (2) (a) –3, 3 (b) 0, 4 (c) –6, 2 (d) 2, 3 (e) –1, 1.5 (f) 0.5, 3 (g) –1.5, 2 (h) –0.5, 3. (3) 1,3 (4) –2, 4, (5) –1, 4 (6) –2.5, 2 (8) ùUnùVi êXeLs CpûX T«t£ 11.2 (1) (a) k = 4 (b) k = 100 (2) 105 ¡.Á. (3) y = 2.4, x = 1.5 (4) 6 U¦ 15 ¨ªPeLs

x 3 4 6 8 9 12y 96 72 48 36 32 24

x 2 3 5 8 15y 8 12 20 32 60

(b) x 2 4 5 8 10 y 50 25 20 12.5 10

x axis: 1 cm = 1 unit y axis: 1 cm = 10 units

www.kalvisolai.com

271

©túNodûL

Gi AûUl×f ºo

Gi AûUl×f ºoL°u LP−p êr¡ TôolúTôUô? JÚ Gi¦tÏm Utù\ôÚ Gi¦tÏm Es[ ùRôPo×, AûY AûUl× ºoLû[ EÚYôdÏm ®Rm CYtû\ A±kÕ ùLôsYÕ SUdÏ ªÏkR U¡rf£ûV A°dÏm. ¸úZ ùLôÓdLlThÓs[ GÓjÕdLôhÓL°p £X CÚTRôm èt\ôi¥u L¦R úUûRVô] CWôUôà_¬u úSôhÓl ×jRLeL°−ÚkÕ GÓdLlThPûY. UôV NÕWm

ØRp JuTÕ CVp GiLû[d ùLôiP 3 × 3 UôV NÕWm GkR TdLj§−ÚkÕ áh¥]ôÛm 15 YWdá¥V UôVdLhP AûUl×. C§−ÚkÕ GpXô GiL°u áÓRp = 1 + 2 + … + 9 = 1 + 2 + … 32 = 45 a) ØRp n CVpLû[d ùLôiP n × n Y¬ûN ùLôiP

UôVNÕWj§u ùTôÕ áhPp = 2n(n 1)2+

b) ØRp n CVp GiLû[d ùLôiÓ AûUdLlThP UôVNÕWj§Ûs[ Aû]jÕ

GiL°u áÓRp = 1 + 2 + 3 … + n2 = 2 2n (n 1)

2+

2) ùTôÕ ãj§Wm : A + B + C + P + Q + R Gu\ AûUl×ûPV

3×3 UôV NÕWm. CmUôV NÕWj§p A, B, C JÚ áhÓjùRôP¬p AûUV úYiÓm. úUÛm P, Q, R. JÚ áhÓjùRôP¬p AûUV úYiÓm.

GÓjÕdLôhÓ: A, B, C, P, Q, R = 39BL CÚdÏUôß A + B + C + P + Q + RdÏ Ru²fûNVô] U§l×Lû[ GÓjÕdùLôsL. A = 2, B = 4, C = 6, P = 5, Q = 9, R = 13. i) A, B, C are in AP ii) P, Q, R are in AP 3) ùTôÕ ãj§Wm: A + B + C + D+ P + Q + R + S Gu\ AûUl©p

UôVNÕWm

4 9 2

3 5 7

8 1 6

C + Q A + P B + R

A + R B + Q C + P

B + P C + R A + Q

15 7 17

15 13 11

9 19 11

www.kalvisolai.com

272

A + P D + S C + Q B + R

C + R B + Q A + S D + P

B + S C + P D + R A + Q

D + Q A + R B + P C + S

GÓjÕdLôhÓ: GkR TdLj§−ÚkÕ áh¥]ôÛm 80 YÚUôß UôVNÕWjûR AûUdL. . A, B, C, D, P, Q, R, S-dÏ HúRàm U§l×Lû[ GÓjÕdùLôsL. A + B + C + D + P + Q + R + S = 80. A = 10, B = 14, C = 3, D = 16, P = 6, P = 6, Q = 5, R = 20, S = 6.

16 22 8 34

23 19 16 22

20 9 36 15

21 30 20 9

n × n UôVNÕWm AûUdL ØVt£ ùNn. TX ÑYôWvVUô] Gi AûUl×f ºoLs 1) (1 + 29 + 50 + 29)3 = 1295029 = 1093 (2 + 92 + 42 + 07)3 = 2924207 = 1433 (3 + 65 + 232 + 64)3 = 3652264 = 1543 (3 + 58 + 15 + 77)3 = 3581577 = 1533 (7 + 64 + 53 + 73)3 = 7645373 = 1973 (7 + 76 + 23 + 92)3 = 7762392 = 1983 (7 + 88 + 05 + 99)3 = 7880599 = 1993 2) 153 = 13 + 53 + 33 370, 371, 407 B¡VYtû\ CkR AûUl×fº¬p LQd¡ÓL. 3) 1634 = 14 + 64 + 34 + 44 8208, 9474 B¡VYtû\ CkR AûUl×fº¬p CÚd¡\Rô G]d LQd¡ÓL.

4) 54748 = 55 + 45 + 75 + 45 + 85 92727, 93084 B¡V GiLs ùLôiP AûUl×f ºûWd LQd¡ÓL.

5) 548834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46 CkR AûUl×f ºo ùLôiP £X GiLû[d Lôi.

www.kalvisolai.com

273

6) 8 × 123456789 + 9 = 987654321

8 × 12345678 + 8 = 98765432

8 × 1234567 + 7 = 9876543

8 × 123456 + 6 = 987654

8 × 12345 + 5 = 98765

8 × 1234 + 4 = 9876

8 × 123 + 3 = 987

8 × 12 + 2 = 98

8 × 1 + 1 = 9

AÓdÏL°u ùTÚdLtTX²p AûUl×f ºo

26 × 66 = 33 × 33 × 44 ⇒ 11 × 11 × 22 × 66 = 33 × 33 × 44

i) CPÕTdL A¥Uô]eL°u áÓRp = YXÕTdL A¥Uô]eL°u áÓRp

ii) CPÕTdL AÓdÏL°u áÓRp = YXÕTdL A¥Uô]eL°u áÓRp

CqYûL AûUl×fº¬p úUÛm £X ERôWQeLs

i) 11 × 88 × 99 = 33 × 33 × 1212

ii) 11 × 33 × 1212 × 2020 = 55 × 1515 × 1616

iii) 11 × 44 × 2020 × 3030 = 66 × 2424 × 2525

AÓjRÓjR TLô GiL°u ùTÚdLtTXu LXl× GiL°u YodLUôÏm AûUl×

(i) 21 12 1

4 2⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(ii) 21 12 3 2

4 2⎛ ⎞+ × = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(iii) 21 12 3 5 5

4 2⎛ ⎞+ × × = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(iv) 21 12 3 5 7 14

4 2⎛ ⎞+ × × × = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(v) 21 12 3 5 7 11 13 17 714

4 2⎛ ⎞+ × × × × × × = ⎜ ⎟⎝ ⎠

www.kalvisolai.com

274

©u]lThP YodLêXeL°u AûUl×

i) 3 9 1 8 1 2 4 1 2 16 1 2 1 15= = + = + × = + × = + +

= 1 2 1 3 25 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ...+ + = + + + + +

ii) 4 16 6 10 6 2 25 6 2 7 18= = + = + = + +

= 6 2 7 3 6 6 2 7 3 8 4 9 ...+ + × = + + + +

Gi AûUl×fºÚdÏ £X NôußLs CûY. úUÛm £X Gi AûUl×fºoLû[

EÚYôd¡ §\ûUûV úNô§jÕd ùLôsÞeLs.

©u]lThP YodLêXeL°u AûUl× LôQ ùTôÕYô] ãj§Wm

i) n(n + 2) = n 1 (n 1) 1 (n 2) 1 (n 3) ...+ + + + + + +

¨ìTQm : (n + 2)2 = (n + 1) (n + 3) + 1

ApXÕ (n + 2) = 1 (n 1) (n 3) n(n 2) n 1 (n 1) (n 3)+ + + ⇒ + = + + +

ApXÕ n(n + 2) = n 1 (n 1) 1 (n 2) 1 (n 3) ...+ + + + + + + (1)

ii) n(n+3) = n (n 5) (n 1) (n 6) (n 2) (n 7) ...+ + + + + + + +

¨ìTQm:

(n + 3)2 = (n + 1) (n + 4) + n + 5

www.kalvisolai.com

275

ApXÕ (n + 3) = (n 5) (n 1) (n 4) n(n 3) n (n 5) (n 1) (n 4)+ + + + ⇒ + = + + + +

ApXÕ n(n + 3) = n (n 5) (n 1) (n 6) (n 2) (n 7) ...+ + + + + + + + (2)

n = 1 G] (1)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ 3 1 1 2 1 3 1 4 ...= + + +

n = 1 G] (2)-−ÚkÕ Sôm A±YÕ 4 1 6 2 7 3 8 4 9 ...= + + + +

www.kalvisolai.com

lqdï · pdf file . tdlels 7. tïøû\ y¥®vp 159-202 7.0...

Documents