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Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat)
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie)
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat)
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z Es reichte zusagen: es gibt keine verketteten Paare x ∼ y und y ∼ z so dassx , y , z paarweise verschieden sind.
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z Es reichte zusagen: es gibt keine verketteten Paare x ∼ y und y ∼ z so dassx , y , z paarweise verschieden sind.
Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z Es reichte zusagen: es gibt keine verketteten Paare x ∼ y und y ∼ z so dassx , y , z paarweise verschieden sind.
Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie {a, }
Losungen der Klausur: Aufgabe 1
Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einerAquivalenzrelation und zeigen Sie, dass die RelationR := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)} eine Aquivalenzrelation aufder Menge M := {a, b, c} ist. Geben sie die Aquivalenzklasse an,die das Element a enthalt.(Fur Elementen x , y ∈ M s.d. das Paar (a, b) ∈ R werden wir dieSchreibweise a ∼ b benutzen.)
◮ (Reflexivitat) x ∼ x Da (a, a), (b, b), (c , c) ∈ R, ist ist dieRelation reflexiv.
◮ (Symmetrie) ist x ∼ y , so ist y ∼ x Die einzigen in Fragekommenden Paare sind (a, b) und (b, a). Da die beide in R liegen,ist Symmetrieeigenschaft erfullt.
◮ (Transitivitat) Ist x ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z Es reichte zusagen: es gibt keine verketteten Paare x ∼ y und y ∼ z so dassx , y , z paarweise verschieden sind.
Aquivalenzklasse von a besteht aus der Elemenete, die zu aaquivalent sind. In unserem Fall ist sie {a, b}
Transitivitat Ausfuhrlicher:
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ z
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a:
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)Fur x = c : fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es nur diese Moglichkeiten:
Transitivitat Ausfuhrlicher:
R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c , c)}Eine Relation R ⊆ M × M ist transitiv falls fur jede x , y , z ∈ M gilt: Istx ∼ y und y ∼ z so ist x ∼ zFur x = a: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:a ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ b.)a ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)a ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich a ∼ a.)Fur x = b: fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es die folgende Moglichkeiten:b ∼ a und a ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ a und a ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a.)b ∼ b und b ∼ b (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ b.)b ∼ b und b ∼ a (in dem Fall ist tatsachlich b ∼ a)Fur x = c : fur die x ∼ y und y ∼ z gibt es nur diese Moglichkeiten:c ∼ c und c ∼ c (in dem Fall ist tatsachlich c ∼ c)
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
=
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) +
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
=
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u).
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0,
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0, also |~u||~v | cos(α) = 0,
Aufgabe 2
Fur die Vektoren ~v , ~u ∈ E2 × E2/=, ~u 6= ~0, ~u 6= ~0 gelte|~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden Sie den Cosinus des Winkelszwischen den Vektoren.
|~v + ~u|2 := (~v + ~u, ~v + ~u)Linearitat
= (~v , ~v + ~u) + (~u, ~v + ~u)Linearitat
=
(~v , ~v) + (~v , ~u) + (~u, ~v) + (~u, ~u)Symmetrie
= (~v , ~v) + 2(~u, ~v) + (~u, ~u).Ahnlich, |~v −~u|2 = (~v , ~v)− 2(~u, ~v)+ (~u, ~u). Da |~v +~u|2 = |~v −~u|2,ist (~u, ~v) = 0, also |~u||~v | cos(α) = 0, also cos(α) = 0.
Aufgabe 3
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14?
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1A
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:8<: λ + 3µ = −1
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:8<: λ + 3µ = −1
2λ + 2µ = −1
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:8<: λ + 3µ = −1
2λ + 2µ = −13λ + µ = −1
Aufgabe 3
Liegt der Vektor0� −1−1−1
1A in der linearen Hulle von0� 1
23
1A ,
0� 321
1A?
(Mit Begrundung)
Antwort. Ya!0� −1−1−1
1A = − 14
0� 123
1A− 14
0� 321
1A und deswegen liegt in der
linearen Hulle der Vektoren.Wie findet man die Koeffizienten λ = − 1
4 , µ = − 14? Vektor liegt in der
linearen Hulle (einer Menge), falls er eine Linearkombination derVektoren (der Menge) ist.
λ
0� 123
1A + µ
0� 321
1A =
0� −1−1−1
1ADas ist ein lineares Gleichungssystem:8<: λ + 3µ = −1
2λ + 2µ = −13λ + µ = −1
Man lost es (Gauß-Algorithmus) und bekommt die Antwort.
Aufgabe 4
Man gebe an,
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig;
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”:
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”:
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U,
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U;
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so ist
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch,
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2 span
({(
10
)})
,
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2 span
({(
10
)})
, span
({(
01
)})
,
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2 span
({(
10
)})
, span
({(
01
)})
,
span
({(
11
)})
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2 span
({(
10
)})
, span
({(
01
)})
,
span
({(
11
)})
paarweise verschieden und eindimensional sind.
Aufgabe 4
Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.Falls die Aussage FALSCH ist, bitte eine kurze Begrundunghinzufugen.
(a) Sei (V ,+, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleereTeilmenge. Dann gilt: U ist genau dann ein Untervektorraumvon V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v ,w ∈ U giltλu + µv + νw ∈ U.
(b) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: Venthalt genau n verschiedene eindimensionaleUntervektorraume.
(a) ist richtig; (“=⇒”: u, v ,w ∈ U ⇒ λu, µv , νw ∈ U ⇒ λu + µv ∈ U⇒ λu + µv + νw ∈ U;“⇐=”: Sind u, v ∈ U, so ist 1 u + 1 v + 0 v = u + v ∈ U; ist u ∈ U so istλu + 0u + 0u = λu ∈ U.)
(b) ist falsch, da in R2 span
({(
10
)})
, span
({(
01
)})
,
span
({(
11
)})
paarweise verschieden und eindimensional sind.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung)
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektiv
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind.
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0.
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0;
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2,
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0.
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0.
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus,
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus, also ist bijektiv,
Aufgabe 5
Es sei {e1, e2, e3} die Standard-Basis von R3. Betrachten Sie die
lineare Abbildung, die die Vektoren e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 123
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die Abbildung (a) surjektiv,
(b) injektiv? (Jeweils mit Begrundung) Antwort: Sie ist surjektivund injektiv.
Wir zeigen dass0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A linear unabhangig sind. Seien
λ, µ, ν so dass λ
0� 123
1A + µ
0� 012
1A + ν
0� 101
1A = ~0. Das ist das folgende lineare
Gleichungssystem8<: λ + ν = 0
2λ + µ = 03λ + 2µ + ν = 0
Wir losen es: Gleichung 3 minus
Gleichung 2 minus Gleichung 1 ergibt µ = 0; nach einsetzen von µ = 0im Gleichung 2, bekommen wir λ = 0 und nach einsetzen von λ = 0 inGleichung 1 bekommen wir ν = 0. Also, nur die trivialeLinearkombination der Vektoren ist gleich ~0. Deswegen sind die Vektorenlinear unabhangig.Dann ist die Matrix A der Abbildung nichtausgeartet,und deswegen istdie Abbildung ein Isomorphismus, also ist bijektiv, also ist surjektiv undinjektiv.
Allgemeiner Hinweis:
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten)
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht,
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3.
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3. Also die Abbildung ist surjektiv,
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y .
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y . Das ist auch einlineares Gleichungssystem auf
Allgemeiner Hinweis: fast jede rechnerische Aufgabe (Ausname:Determinanten) kann man als lineares Gleichungssystem umformulieren.Falls uberhaupts nichts geht, probieren Sie dass gezielt zu machen.Bsp: Aufgabe 5. Betrachten Sie die lineare Abbildung, die die Vektoren
e1, e2, e3 jeweils in die Vektoren0� 1
23
1A ,
0� 012
1A ,
0� 101
1A uberfuhrt. Ist die
Abbildung (a) surjektiv, (b) injektiv?Die Matrix der Abbildung ist
1 0 12 1 03 2 1
,
Dann der Vektor x =0�x1
x2x3
1A wird auf Ax abgebildet.
Abbildung ist surjektiv falls Bildf = R3, also falls jedes b ∈ R
3 ist Ax furirgendwelches x ∈ R
3. Also die Abbildung ist surjektiv, falls Ax = b furalle b losbar ist.Abbildung ist injektiv falls Ax = Ay nur fur x = y . Das ist auch einlineares Gleichungssystem auf unbekannten xi .
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab.
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen,
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�.
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
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�=
�10
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�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
=
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
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�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
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�1−1
�=
�10
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12
�11
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�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
= 12f
��11
��+ 1
2f
��1−1
��=
�1/21
�+
�3/20
�=
�21
�;
f
��01
��Linearitat
= 12f
��11
��−
12f
��1−1
��=
�1/21
�−
�3/20
�=
�−11
�;
Also, die Matrix der Abbildung ist
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
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Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
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�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
= 12f
��11
��+ 1
2f
��1−1
��=
�1/21
�+
�3/20
�=
�21
�;
f
��01
��Linearitat
= 12f
��11
��−
12f
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��=
�1/21
�−
�3/20
�=
�−11
�;
Also, die Matrix der Abbildung ist
(
2 −11 1
)
.
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
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�=
�10
�;
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�11
�−
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�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
= 12f
��11
��+ 1
2f
��1−1
��=
�1/21
�+
�3/20
�=
�21
�;
f
��01
��Linearitat
= 12f
��11
��−
12f
��1−1
��=
�1/21
�−
�3/20
�=
�−11
�;
Also, die Matrix der Abbildung ist
(
2 −11 1
)
. Der Vektor
(
xy
)
wird auf(
2 −11 1
)
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
= 12f
��11
��+ 1
2f
��1−1
��=
�1/21
�+
�3/20
�=
�21
�;
f
��01
��Linearitat
= 12f
��11
��−
12f
��1−1
��=
�1/21
�−
�3/20
�=
�−11
�;
Also, die Matrix der Abbildung ist
(
2 −11 1
)
. Der Vektor
(
xy
)
wird auf(
2 −11 1
) (
xy
)
=
(
2x − yx + y
)
Aufgabe 6
Die lineare Abbildung f : R2 → R
2 bildet die Vektoren�
11
�,
�1−1
�jeweils auf die Vektoren
�12
�,
�30
�ab. Man bestimme die Matrix
der Abbildung und das Bild des Vektors�
x
y
�.
Man kann sofort sehen, dass 12
�11
�+ 1
2
�1−1
�=
�10
�;
12
�11
�−
12
�1−1
�=
�01
�. Falls man nicht dies sofort sieht, kann man dies
wie folgt bekommen:λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�10
�⇐⇒
�λ + µ = 1λ− µ = 0
⇐⇒ λ = µ = 12
λ
�11
�+ µ
�1−1
�=
�01
�⇐⇒
�λ + µ = 0λ− µ = 1
⇐⇒
(λ = 1
2µ = − 1
2
Dann ist f
��10
��Linearitat
= 12f
��11
��+ 1
2f
��1−1
��=
�1/21
�+
�3/20
�=
�21
�;
f
��01
��Linearitat
= 12f
��11
��−
12f
��1−1
��=
�1/21
�−
�3/20
�=
�−11
�;
Also, die Matrix der Abbildung ist
(
2 −11 1
)
. Der Vektor
(
xy
)
wird auf(
2 −11 1
) (
xy
)
=
(
2x − yx + y
)
abgebildet.
Terminologie:
Terminologie: Seien X und Y Mengen
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”=
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”= “finde in welche Vektor wirdunser Vektor uberfuhrt”.
Terminologie: Seien X und Y Mengen f : X → Y eine Abbildung.Fur jedes a ∈ A heißt f (a) das Bild von a (unter der Abbildungf ).“Bestimme das Bild des Vektors”= “finde in welche Vektor wirdunser Vektor uberfuhrt”.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume,
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
=
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn)
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0,
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)}
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist,
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2,
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2, f (v) = ~0.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2, f (v) = ~0. Die Menge
{(
10
)}
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2, f (v) = ~0. Die Menge
{(
10
)}
ist linear
unabhangig,
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2, f (v) = ~0. Die Menge
{(
10
)}
ist linear
unabhangig, die Bildmenge {~0} nicht.
Aufgabe 7
Seien V ,W Vektorraume, v1, ..., vn Vektoren aus V und f : V → Weine lineare Abbildung. Man zeige (Beweis) oder widerlege(Gegenbeispiel)
(a) Ist {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig, so ist{v1, v2, ..., vn} auch linear unabhangig.
(b) Ist {v1, v2, ..., vn} linear unabhangig, so ist{f (v1), f (v2), ..., f (vn)} auch linear unabhangig.
(a) ist richtig. Sei λ1v1 + ... + λnvn = ~0. Dann ist
f (λ1v1 + ... + λnvn)Linearitat
= λ1f (v1) + ... + λnf (vn) = ~0, weil f (~0) = ~0.Da {f (v1), f (v2), ..., f (vn)} linear unabhangig ist, sind alle λi gleich 0.(b) ist falsch. Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Betrachte die
Abbildung f : R2 → R
2, f (v) = ~0. Die Menge
{(
10
)}
ist linear
unabhangig, die Bildmenge {~0} nicht.
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − B
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
.
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
�
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
�
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
!
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
! 1 0 1
412
0 1 14−
12
!
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
! 1 0 1
412
0 1 14−
12
!Also, A−1 =
14
12
14−
12
!
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
! 1 0 1
412
0 1 14−
12
!Also, A−1 =
14
12
14−
12
!Dann ist X = A−1(C − B) =
14
12
14−
12
!�−20 4
0 −4
�
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
! 1 0 1
412
0 1 14−
12
!Also, A−1 =
14
12
14−
12
!Dann ist X = A−1(C − B) =
14
12
14−
12
!�−20 4
0 −4
�=
�−5 −1−5 3
�
Aufgabe 8
Finden Sie die Matrix X , so dass AX + B = C , wobei die MatrizenA,B,C wie folgt definiert sind.
A :=
(
2 21 −1
)
, B :=
(
2 3−3 2
)
, C :=
(
−18 7−3 −2
)
AX + B = C ⇐⇒ AX = C − Bfalls A nichtausgeartet
⇐⇒ X = A−1(C − B).
C − B =
(
−20 40 −4
)
. Lass uns A−1 ausrechnen.�2 2 1 01 −1 0 1
� �2 2 1 0
0 −2 −12
1
� 2 0 1
21
0 −2 −12
1
! 1 0 1
412
0 1 14−
12
!Also, A−1 =
14
12
14−
12
!Dann ist X = A−1(C − B) =
14
12
14−
12
!�−20 4
0 −4
�=
�−5 −1−5 3
�
Aufgabe 9
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1A
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung.
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken,
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht.
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht. Also,
det0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A = det0� 1 0 −2
0 1 00 0 4
1A Oberdiagonal= 1 · 1 · 4 = 4
Aufgabe 9
Invertieren Sie die Matrix A :=0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A und berechnen Sie
ihre Determinante0� 1 2 −2 1 0 01 3 −2 0 1 02 −1 0 0 0 1
1A 0� 1 2 −2 1 0 00 1 0 −1 1 00 −5 4 −2 0 1
1A0� 1 0 −2 3 −2 00 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A (∗)0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 00 0 4 −7 5 1
1A 0� 1 0 0 −12
12
12
0 1 0 −1 1 0
0 0 1 −74
54
14
1AAlso, die inverse Matrix ist
0� −12
12
12
−1 1 0
−74
54
14
1ADeterminante ausrechnen kann man mit Hilfe der mnemonischen Regel,der Laplace-Entwicklung. Noch einfache ist zu merken, dass bis zum (∗)wir nur λ-facher einer Zeile zu anderen addiert haben, und dieseelementare Zeilenumformung andert die Determinante nicht. Also,
det0� 1 2 −2
1 3 −22 −1 0
1A = det0� 1 0 −2
0 1 00 0 4
1A Oberdiagonal= 1 · 1 · 4 = 4
Aufgabe 10
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade ist
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�=
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1)
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n)
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA,
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij )
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da aij
ganzzahlig
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da aij
ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V.
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da aij
ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V. ist;
Aufgabe 10
Alle Eintrage einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1oder −1. Beweisen Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.Wir benutzen die Induktion in n um zu zeigen, dass die Determinanteganzzahlig und gerade istI.A. n = 2: det
�a11 a12a21 a22
�= a11a22 − a12a21. Da alle aij = ±1, ist
a11a22 = ±1, a12a21 = ±1, also a11a22 − a12a21 ist gerade.I.V. Die Determinate jeder (n − 1) × (n − 1) Matrix deren Eintrage ±1sind ist ganzzahlig und gerade.I.S. Z.z.: die Determinate jeder (n × n) Matrix deren Eintrage ±1 sind ist
ganzzahlig und gerade. Betrachte A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.an1 ... ann
1CCA, wobei alle
aij = ±1. Wir benutzen die Laplace-Spaltenentwicklung.
det(A) :=n∑
i=1
(−1)i+jaijdet(AStrij )
Jede Summante (−1)i+jaijdet(AStrij ) ist ganzzahlig und gerade, da aij
ganzzahlig ist und det(AStrij ) gerade nach I.V. ist; also ist die Summe
auch ganzzahlig und gerade.
Sie konnen die Klausur ab Montag innerhalb von
Sie konnen die Klausur ab Montag innerhalb von zwei Wochen beimir im Buro (EAP 3531) ansehen. (Nach der zweiten Klausurbekommen Sie auch eine Moglichkeit.)
Sie konnen die Klausur ab Montag innerhalb von zwei Wochen beimir im Buro (EAP 3531) ansehen. (Nach der zweiten Klausurbekommen Sie auch eine Moglichkeit.)
Aufgabe 1 so-so
Aufgabe 2 schlecht
Aufgabe 3 ganz gut
Aufgabe 4 katastrophal
Aufgabe 5 noch schlechter
Aufgabe 6 ganz gut
Aufgabe 7 katastrophal schlecht
Aufgabe 8 ganz gut
Aufgabe 9 ganz gut
Aufgabe 10 katastrophal schlecht
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz)
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]})
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n).
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks)
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp:
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp:
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Tatsachlich,
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Tatsachlich,die Spalten sind
0BBBB�10
.
.
.0
1CCCCA ,
0BBBB�01
.
.
.0
1CCCCA , ...,
0BBBB�00
.
.
.1
1CCCCA und sind die
Standard-Basisvektoren von Rn.
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Tatsachlich,die Spalten sind
0BBBB�10
.
.
.0
1CCCCA ,
0BBBB�01
.
.
.0
1CCCCA , ...,
0BBBB�00
.
.
.1
1CCCCA und sind die
Standard-Basisvektoren von Rn.
Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Tatsachlich,die Spalten sind
0BBBB�10
.
.
.0
1CCCCA ,
0BBBB�01
.
.
.0
1CCCCA , ...,
0BBBB�00
.
.
.1
1CCCCA und sind die
Standard-Basisvektoren von Rn.
Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) und sind dieStandard-Basismatrizen von Mat(1, n).
Sei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA∈ Mat(m, n)
Definition Zeilenrang der Matrix A (Bezeichnung: rkz) ist dieDimension der span({[a1], ..., [an]}) in Mat(1, n). Spaltenrank der Matrix
A (Bezeichnung: rks) ist die Dimension der span
({ 0BB�a11
.
.
.
am1
1CCA , ...,
0BB�a1n
.
.
.
amn
1CCA})in R
m ≡ Mat(m, 1).Bsp: Zeilenrang und Spaltenrang der 0-Matrix sind gleich 0.Bsp: Zeilen und Spaltenrang der (n × n) Id-Matrix sind gleich n.
Tatsachlich,die Spalten sind
0BBBB�10
.
.
.0
1CCCCA ,
0BBBB�01
.
.
.0
1CCCCA , ...,
0BBBB�00
.
.
.1
1CCCCA und sind die
Standard-Basisvektoren von Rn.
Die Zeilen sind (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) und sind dieStandard-Basismatrizen von Mat(1, n).
HauptBsp.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r)
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0;
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich,
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig,
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also
rks(A) = n.
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also
rks(A) = n. Nach Satz 18 ist die transponierte Matrix auch
nichtausgeartet;
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also
rks(A) = n. Nach Satz 18 ist die transponierte Matrix auch
nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A,
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also
rks(A) = n. Nach Satz 18 ist die transponierte Matrix auch
nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A, sind die
Zeilen von A linear unabhangig;
HauptBsp. A :=
(
Idk,k 0k,p
0r ,k 0r ,p
)
, wobei Idk,k ist die
Einheits-(k × k)-Matrix und 0k,p, 0r ,k , 0r ,p sind (k × p) bzw. (r × k)bzw. (r × p) Matrizen deren alle Eintrage gleich 0 sind.
A :=
0BBBBBBBB� 11
. . .
1
1CCCCCCCCA ←− k -te Zeile
Dann ist rks(A) = rkz(A) = k (Weil die erste k Zeilen dieStandard-Basismatrizen des Mat(1, k + r) und die andere sind 0; ebensosind die erste k Zeilen die Standard-Basismatrizen desMat(k + p, 1) ≡ R
k+p und die andere sind ~0;)
Bsp. A ∈ Mat(n, n) sei nichtausgeartet. Dann ist rks(A) = rkz(A) = n.
Tatsachlich, nach Satz 11 sind die Spalten von A linear unabhangig, also
rks(A) = n. Nach Satz 18 ist die transponierte Matrix auch
nichtausgeartet; da die Spalten von At sind die Zeilen von A, sind die
Zeilen von A linear unabhangig; also rkz(A) = n.
Satz 22 – Definition 25
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A).
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.Lemma 17 (AB)t = B tAt
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.Lemma 17 (AB)t = B tAt
Beweis. Hausaufgabe 1, Blatt 7.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Vor dem Beweis.Lemma 17 (AB)t = B tAt
Beweis. Hausaufgabe 1, Blatt 7.
Lemma 18
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis.
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen:
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA .
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA .
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA),
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist,
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es u ∈ R
n mit
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es u ∈ R
n mit Cu = v(Satz 20),
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es u ∈ R
n mit Cu = v(Satz 20), und deswegen BildfA = BildfAC .
Lemma 18 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Dann fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rks(BA)(i)= rks(A)
(ii)= rks(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Spaltenrang.Beweis. Wir zeigen: rks(A) = dim(BildfA).
f (λ1e1 + ... + λnen)Linearitat
= λ1f (e1) + ... + λnf (en).Dann ist BildfA = span({f (e1), ..., f (en)}). Da die i−te Spalten von Agleich f (ei ) ist, ist dim(BildfA) = rks(A).Wir beweisen zuerst (i). Wir zeigen: KernfBA
= KernfA . Tatsachlich, fallsx ∈ KernfA , dann Ax = ~0 =⇒ BAx = ~0, also x ∈ KernfBA
.Ahnlich, falls x ∈ KernfBA
, dann BAx = ~0, dann B−1BAx = B−1~0, alsoAx = ~0, also x ∈ KernfA . Dann ist dim(KernfBA
) = dim(KernfA).Nach Dimensionsformel ist
dim(Rn) = dim(BildfA) +dim(KernfA)dim(Rn) = dim(BildfBA
) +dim(KernfBA)
.
Dann ist dim(BildfA) = dim(BildfBA), und deswegen rks(A) = rks(BA).
Wir beweisen jetzt (ii).BildfA := {Av wobei v ∈ R
n}BildfAC
:= {ACu wobei v ∈ Rn}
Da C nichtausgeartet ist, fur jedes v ∈ Rn gibt es u ∈ R
n mit Cu = v(Satz 20), und deswegen BildfA = BildfAC . Also, rks(A) = rks(AC ).
Lemma 19
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗)
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i):
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)=
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix,
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung.
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6)
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6) Nach Lemma 18 andert dies
Lemma 19 Seien B ∈ Mat(n, n), C ∈ Mat(m,m) nichtausgeartet. Dann
fur jedes A ∈ Mat(m, n) gilt rkz(BA)(i)= rkz(A)
(ii)= rkz(AC ).
In Worten: Multiplizieren von rechts oder links mit nichtausgeartetenMatrizen andert nicht den Zeilenrang.Beweis. Zuerst, fur jedes D giltrks(D) = rkz(D) (∗) (weil transponieren Spalten und Zeilen vertauscht).
(i): rkz(BA)(∗)= rks((BA)t)
Lem.17= rks(A
tB t)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
(ii): rkz(AC )(∗)= rks((AC )t)
Lem.17= rks(C
tAt)Lem.18
= rks(At)
(∗)= rkz(A).
Lemma 20 Elementare Zeilen- und Spaltenumformulgen andernZeilenrang und Spaltenrang nicht.Beweis. Elementare Zeilenumformungen sind dasselbe wie Multiplizierenvon links mit einer Elementarmatrix, nach Lemma 18 andern dies nichtden Spaltenrang. Multiplizieren von rechts mit einer Elementarmatrix isdasselbe wie elementare Spaltenumformung. (Man kann das directnachweisen wie in Hausaufgabe 1, Blatt 6) Nach Lemma 18 andert diesden Spaltenrang nicht.
Satz 22 – Definition 25
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22:
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang,
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).
Beweis des Satzes 22:
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).
Beweis des Satzes 22: Sei A eine m × n Matrix. Wir bringen mit Hilfe von
elementaren Zeilen und Spaltenumformungen die Matrix A in die Form�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).
Beweis des Satzes 22: Sei A eine m × n Matrix. Wir bringen mit Hilfe von
elementaren Zeilen und Spaltenumformungen die Matrix A in die Form�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�. Parallel zum Beweis werden wir alle Schritte auf der Matrix0�0 1 2 3
1 2 3 42 3 4 5
1A anwenden.
Satz 22 – Definition 25 Fur jede Matrix A ist rkz(A) = rks(A). DieseZahl werden wir Rang von A nennen und rk(A) bezeichnen.Idee des Beweises des Satzes 22: wir zeigen dass mit Hilfe vonelementaren Zeilen- und Spaltenumformungen kann man die Matrix in dieForm wie in HauptBsp.
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen. Fur diese Matrix rkz = rks .
Da die elementare Zeilen- und Spaltenumformungen andern weder Zeilen-noch Spaltenrang, ist rkz(A) = rks(A).
Beweis des Satzes 22: Sei A eine m × n Matrix. Wir bringen mit Hilfe von
elementaren Zeilen und Spaltenumformungen die Matrix A in die Form�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�. Parallel zum Beweis werden wir alle Schritte auf der Matrix0�0 1 2 3
1 2 3 42 3 4 5
1A anwenden.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1A
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist,
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c:
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1A
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d:
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11. Wir bekommen0BB� 1
irgendwas
1CCA
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11. Wir bekommen0BB� 1
irgendwas
1CCASchritt k: Wir wiederholen die Schritte 1a, 1b, 1c, 1d fur die
((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix,
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11. Wir bekommen0BB� 1
irgendwas
1CCASchritt k: Wir wiederholen die Schritte 1a, 1b, 1c, 1d fur die
((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix, die im rechten unteren Ecke
steht. Falls wir den Schritt ka nicht tun konnen (also falls alle Eintrage
der Untermatrix gleich Null sind), dann ist unsere Matrix schon in der
gewunchnten Form.
Schritt 1a: Mit Hilfe von Spalten- und Zeilenumtauschen bringen wir ein
von Null verschiedenen Element auf Platz (1, 1):0�1 2 3 4
0 1 2 32 3 4 5
1AFalls es nicht moglich ist, ist die Matrix gleich 0.Schritt 1b: Fur jedes i > 1, i ≤ m addieren wir die erste Zeile mal − ai1
a11
zu der i−te Zeile. Wir bekommen eine Matrix, deren erste Spalte gleich0BBBB�a110
.
.
.0
1CCCCA ist.0�1 2 3 4
0 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1c: Fur jedes j > 1, j ≤ n addieren wir die erste Spalte mal −
a1j
a11
zu der j−te Spalte. Wir bekommen
0BB� a11
irgendwas
1CCA 0�1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
1ASchritt 1d: Wir dividieren die erste Spalte durch a11. Wir bekommen0BB� 1
irgendwas
1CCASchritt k: Wir wiederholen die Schritte 1a, 1b, 1c, 1d fur die
((m − k + 1) × (n − k + 1)) Untermatrix, die im rechten unteren Ecke
steht. Falls wir den Schritt ka nicht tun konnen (also falls alle Eintrage
der Untermatrix gleich Null sind), dann ist unsere Matrix schon in der
gewunchnten Form.
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Die Matrix ist in der Form wir brauchen.
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Die Matrix ist in der Form wir brauchen. Ihr Rang ist 2.
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Die Matrix ist in der Form wir brauchen. Ihr Rang ist 2.
Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen,
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Die Matrix ist in der Form wir brauchen. Ihr Rang ist 2.
Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen, mussen wir Sie in die Form
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�
Fur k=2:
1 0 0 00 1 2 30 −1 −2 −3
Schritt 2a. Der (2, 2)-Element ist schon nicht Null.
Schritt 2b.
1 0 0 00 1 2 30 0 0 0
Schritt 2c:
1 0 0 00 1 0 00 0 0 0
Die Matrix ist in der Form wir brauchen. Ihr Rang ist 2.
Der Satz gibt uns auch eine Methode: um Rang einer Matrix zuberechnen, mussen wir Sie in die Form
�Idk,k 0k,p
0r,k 0r,p
�bringen.
Betrachte ein lineares Gleichungssystem
Betrachte ein lineares Gleichungssystem
8>><>>: a11x1+ ... +a1nxn = b1
.
.
.
.
.
.
.
.
.am1x1+ ... +amnxn = bm
(
In Matrix Form: Ax = b, wobei A =
0BB� a11 ... a1n
.
.
.
.
.
.am1 ... amn
1CCA )Definition 26 Die (m × n) Matrix A heißt die Koeffizientenmatrix des
Systems. Die (m × (n + 1))-Matrix
0BB� a11 ... a1n b1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 ... amn bm
1CCA heißt die
erweiterte Matrix.Satz 23 Betrachte das linearen Gleichungssystem Ax = b. Dann gilt:
(a) Das System ist genau dann losbar, wenn der Rang derKoeffizientenmatrix gleich den Rang der erweiterten Matrix ist.
(b) Sei x eine Losung des System. Dann fur jede Losung x liegt derVektor x − x in KernfA , und fur jedes v ∈ KernfA ist x + v auch eineLosung.