loq 4083 - fenômenos de transporte isistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/4808662/loq4083/ft...
TRANSCRIPT
LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I
Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.
FT I – 08
Equação da Quantidade de
Movimento para um Volume de
Controle Inercial
Prof. Lucrécio Fábio dos Santos
Departamento de Engenharia Química
LOQ/EEL
2
Uma equação dinâmica que descreve o movimento do fluido pode ser obtida aplicando a Segunda Lei de Newton a uma partícula. Lembre-se de que a segunda lei de Newton, para um sistema movendo-se em relação a um sistema de coordenadas inerciais, é fornecida como:
dt
Pd F
sistema
onde a quantidade de movimento linear do sistema é:
Vρd V dmV P M(sistema) (sistema)V
sistema
( 1 )
( 2 )
Segunda Lei de Newton
3
e a força (F) inclui todas as forças de superfície e de campo atuando sobre o sistema. As formulações para sistema e para volume de controle são relacionadas pela equação: Para deduzir a formulação para VC da segunda lei de Newton, fazemos:
F F F Bs ( 3 )
A.dVρ Vρdt
dt
dN
SCVCs
( 4 )
P N
V
e
Lembrando que N = propriedade geral do sistema
4
A.dVρV VρdVt
dt
Pd
SCVCs
( 5 )
( 6 )
Da equação 1, temos:
F F VC o sobresistema o sobre
Combinando as equações 5 e 6, temos a segunda lei de Newton para um VC não submetido à aceleração.
A.dVρV VρdVt
F F SCVC
Bs
( 7 )
Bssistema o sobre
sistema
F F F dt
Pd
Em t0, sistema e volume de controle coincidem
5
A equação 7 estabelece que a soma de todas as forças (de superfície e de campo) atuando sobre um VC não submetido à aceleração é igual à soma da taxa de variação da quantidade de movimento no interior do VC com a taxa líquida do fluxo de quantidade de movimento saindo da superfície de controle.
A.dVρV VρdVt
F F SCVC
Bs
( 7 )
Obs.: Escolher um VC e sua superfície de controle (SC) de forma que
possamos avaliar a integral de volume e a integral de superfície (ou somatório);
Cada entrada e saída deve ser cuidadosamente rotulada, de modo a indicar as forças externas que agem na SC.
6
Na equação 7, F representa todas as forças atuando sobre o VC. Inclui ambas as forças, de superfície e de campo. Em mecânica dos fluidos a força de campo normalmente é a gravidade, e Onde é a aceleração da gravidade e é o peso instantâneo de todo volume de controle. Em muitas aplicações , a força de superfície deve-se à pressão: O sinal negativo é para assegurar que sempre calculamos as forças de pressão atuando sobre a superfície de controle (dA foi escolhido como um vetor que aponta
para fora do VC).
VC
vcB gM W Vdg F
( 8 )
( 9 )
g vcW
A
s Apd F
7
Todas as velocidades, V, na equação 7, são medidas em relação às coordenadas do VC (xyz), com os sinais apropriados para as componentes vetoriais µ, e .
O fluxo de quantidade de movimento, V(V.dA), através de um elemento de área da superfície de controle, dA, é um vetor.
Conforme discutido anteriormente, o sinal do produto escalar, (V.dA), depende do sentido do vetor velocidade, V, em relação ao vetor dA.
Atenção:
8
SCVC
BSz
SCVC
BSy
SCVC
BSx
A.dVρ Vρdt
F F F
A.dVρ Vρdt
F F F
A.dVρ Vρdt
F F F
zz
yy
xx
( 10 )
A equação da quantidade de movimento (equação 7) é uma equação vetorial, cujas componentes escalares, em relação a um sistema de coordenadas xyz, são:
sc
VC
BSz
sc
VC
BSy
sc
VC
BSx
A.Vρ Vρdt
F F F
A.Vρ Vρdt
F F F
A.Vρ Vρdt
F F F
zz
yy
xx
Ou, para escoamento uniforme em cada seção:
( 11 )
9
Nas equações 7 e 9, devemos ter cuidado com a avaliação dos sinais dos integrandos da superfície de controle:
1- O sinal de (V.dA) é determinado conforme:
escoamentos para fora do VC são positivos;
escoamentos para o interior do VC são negativos.
2- O sinal dos componentes de velocidade µ, e deve ser cuidadosamente avaliado com base no esquema do VC e na escolha do sistema de coordenadas xyz – direções desconhecidas de velocidades são selecionadas arbitrariamente (o resultado matemático indicará a validade da hipótese)
µ : Mi; : Ípsilon; : Omega
10
Exemplo 01: Água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana, conforme mostrado abaixo. A água deixa o bocal a 15 m/s e a área do bocal é 0,01 m2. Admitindo que a água é dirigida normal à placa e que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte.
bocal
placa
11
Dados: Água é dirigida de um bocal estacionário a uma placa plana: o escoamento subsequente é paralelo à placa. Velocidade do jato, V = 15i m/s; Área do bocal, Ab = 0,01 m2.
Solução: A água proveniente do bocal cruza a superfície de controle através da área A1 (considerada igual a área do bocal) e admite-se que ela deixa o VC tangencialmente à superfície da placa no sentido +y ou –y.
Determinar: a força horizontal sobre o suporte.
12
A.dVρV VρdVt
F F SCVC
Bs
Equações básicas:
0 A.dVρ Vρdt
SCVC
Considerações: 1. Escoamento permanente 2. Escoamento incompressível 3. Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras
do VC
= 0 (1)
= 0 (1)
13
A.dVρV F F SC
Bs
0 A.dVρ SC
O volume de controle (VC) foi selecionado de modo que a área da superfície esquerda seja igual à área da superfície direita. Esta área tem a notação A.
14
O volume de controle (VC) atravessa o suporte.
Sejam Rx e Ry as componentes, supostamente positivas, da força de reação do suporte sobre o VC.
Mz é o momento de reação (em relação ao eixo z) do suporte sobre o VC.
A pressão atmosférica age sobre todas as superfícies do VC. Note que a pressão em um jato livre é a ambiente, isto é, a pressão atmosférica.
A força de campo no VC é simbolizado por W.
15
Como estamos à procura da força horizontal, escrevemos a componente x da equação da quantidade de movimento para escoamento permanente. Como não há força de campo na direção x, logo, FBx = 0, e Para avaliar FSx , devemos incluir todas as forças de superfície atuando sobre o VC:
SC
Bs A.dVρ F Fxx
A.dVρ F SC
sx
( 1 )
xxR A P A P F
atmatms
16
Consequentemente, (2) em (1):
R F s xx ( 2 )
kN25,2 R
0,01m x s
m15 x
m
kg999 x
s
m15 R
V ; AρV R
A.dVρ A.dVρ R
x
2
3x
11111x
ASC
x
1
Consequentemente, a força age para a esquerda
17
Exemplo 02: Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90 mostrado na Figura abaixo. Na entrada do cotovelo, a pressão absoluta é 220kPa e a área da seção transversal é 0,01 m2. Na saída, a área da seção transversal é 0,0025 m2 e a velocidade média é 16 m/s. O cotovelo descarrega para a atmosfera. Determine a força necessária para manter o cotovelo estático.
SCVC
Bs A.dvρv ρdVvt
F F
Equações básicas:
0 A.dvρ ρdVt
SCVC
18
Dados: P1 = 220kPa (abs) ; A1 = 0,01 m2 ; V2 = -16j m/s ; A2 = 0,0025 m2 Considerações: 1- Escoamento uniforme em cada seção 2- Pressão atmosférica, Patm = 101 kPa 3- Escoamento incompressível 4- Escoamento permanente (dado) 5- Desprezar o peso do cotovelo e da água no cotovelo Determinar: Força requerida para manter o cotovelo estático
Força de superfície
p manométrica
cotovelo
19
Escrevendo a componente x da equação da quantidade de movimento, obtêm-se:
1
2
11(man)1x
111111(man)1x
A
1(man)1x
A
x1(man)1
2xB
ASC
S
AρV Ap R
V AVρ Ap R
A.dVρ Ap R
A.dVρ R Ap
0 e 0 F A.dVρ A.dVρ F
1
1
x
1
x
Há que se determinar V1
Note que μ1 é a componente x da velocidade, de modo que μ1 = V1.
20
Para determinar V1, usa-se a equação de conservação da massa:
m/s 4 V
m01,0
m0025,0
s
m16
A
AV V
0 AρV AρV
0 A.dVρ A.dVρ 0 A.dVρ
0 A.dVρ Vρdt
1
2
2
1
221
2211
AASC
SCVC
permanenteregime
21
21
2
2
3
2
2
3
x
1
2
11(man)1x
m01,0s
m4,0
m
kg999 0,01mx
m
Nx10101 220 R
AρV AP R
kN35,1 R x
Escrevendo a componente y da equação da quantidade de movimento, tem-se:
2
2
2By
2y2222By
A
By
y1
ASC
ByBS
AVρ F R
)y eixo ao contrário (sentido V AV F R
A.dVρ F R
0 A.dVρ A.dVρ F R F F
y
y
2
y
2
yyy
22
2
2
3yBy0,0025mx
s
m16x
m
kg999 F R
639N F R yBy
Desprezando FBy (consideração 5), resulta: Este problema ilustra como a utilização de pressões manométricas simplifica a avaliação de forças de superfície na equação da quantidade de movimento.
639N R y
23
Exemplo 03: Uma placa plana vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar, se o jato que sai do orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 5 m/s, D = 100 mm e d = 25 mm.
placa
24
Considerações: 1. Escoamento uniforme em cada seção 2. Pressão atmosférica, Patm = 101 kPa 3. Escoamento incompressível 4. Escoamento permanente 5. Desprezar a força de campo FBy
(1)
(3)
(3)
(2)
VC
SC
Rx x
y
SCVC
Bs A.dVρV VρdVt
F F
Equação básica:
SC
s A.dVρV F
25
0 V; V; A.dVρ A.dVρ F 321
ASC
Sx
222
x
22
22
x
2
2
2
12211
222111x
A
2
A
1x
D d4
ρV R
4
dρV
4
DρV R
4
d A ;
4
D A ; V V ; VV
AVρ AVρ R
A.dVρ A.dVρ R
21
Expressão obtida para a força
Assim:
26
26
22222
3xmm10
mmm100 255m/sx
m
kg999
4 R
N184 R x
Deve-se inverter o sentido da força reação
x
y
Rx
222
x D d4
ρV R
Cálculo da força para V = 5 m/s
27
Proposto 01: Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro, conforme mostrado. Um jato d’água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 5 m/s, D = 100 mm e d = 20 mm.
28
Proposto 02: Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180, conforme mostrado. Na entrada do cotovelo, a pressão manométrica é 96 kPa. A água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e de saída; A1 = 2600 mm2, A2 = 650 mm2 e V1 = 3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
Resposta:
V2 = 12,2 m/s
Rx = -370N
29
Proposto 03: Um dispositivo de formação de jato é mostrado no diagrama. A água é fornecida a P = 1,45 psig através da abertura flangeada de área A = 3 in2. A água sai do dispositivo num jato livre, em regime permanente, à pressão atmosférica. A área e a velocidade do jato são a = 1,0 in2 e V = 15 ft/s. O dispositivo tem massa de 0,2 lbm e contém um volume de 12 in3 de água. Determine a força exercida pelo dispositivo sobre o tubo de suprimento de água.
Resposta:
V1 = 5 m/s
Wtanque = 0,2 lbf
Wágua = 0,434 lbf
Ry = 1,70 lbf
30
Proposto 04: Água escoa em regime permanente através do bocal mostrado, descarregando para a atmosfera. Calcule a componente horizontal da força na junta flangeada. Indique se a junta está sob tração ou compressão.
Resposta:
V2 = 17 ft/s
Rx = + 206 lbf
31
Proposto 05: Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro, conforme mostrado. Um jato d’água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V = 7 m/s, D = 110 mm e d = 25 mm.
α = 40o