loglinealizacion de ecuaciones en diferencia

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ciencias Económicas

Matemática IV y Optimización Dinámica

Loglinealización de Ecuaciones en Diferencia

Miguel Ataurima [email protected]@pucp.edu.pe

[email protected]

Marzo 2011

1 Conceptos Preliminares

1.1 Estado Estacionario

El estado estacionario (steady state) de una economía se define como aquel estado al que se llega en ellargo plazo.En muchos modelos económicos, se admite como supuesto que cuando una economía inicia fuera de

su estado estacionario, ésta poco a poco va tendiendo hacia su estado estacionario.Sea xt una variable estríctamente positiva, entonces denotaremos por x al valor que xt debe alcanzar

en el estado estacionario.

1.2 Serie de Taylor

Una función f : Rn → R, puede ser aproximada en torno a un punto fijo x mediante la siguiente Seriede Potencias, denominada Serie de Taylor de la función f en torno al punto fijo x

f (x) = f (x) +∇T f (x) (x− x) + · · ·

desarrollando

f (x) = f (x) +(f1 (x) f2 (x) · · · fn (x)

)

x1 − x1x2 − x2...

xn − xn

+ · · ·

f (x) = f (x) + f1 (x) (x1 − x1) + f2 (x) (x2 − x2) + · · ·+ fn (x) (xn − xn) + · · ·

• Caso n = 1f (x) = f (x) + f ′ (x) (x− x) + · · ·

• Caso n = 2f (x) = f (x) + f1 (x) (x1 − x1) + f2 (x) (x2 − x2) + · · ·

• La aproximaxión de la función f (x) = ln (1 + x) cuando x → 0 la podemos obtener por Serie deTaylor tomando como punto fijo a x = 0

f (x) = f (0) + f ′ (0) (x− 0) + · · ·ln (1 + x) = ln (1)︸︷︷︸

0

+ 1 · x+ · · ·

por lo tanto cuando x→ 0 se tiene la siguiente aproximación

ln (1 + x) ≈ x (1)

1

Matemática IV y Optimización Dinámica Loglinealización de Ecuaciones en Diferencia

1.3 Desviación logarítmica

La desviación logarítmica de una variable xt respecto de su valor en estado estacionario x se define como

xt = log xt − log x (2)

2 Linealización de una Ecuación en Diferencia No Lineal

En diversos modelos económicos se llega a expresiones en ecuación en diferencia de la forma

xt+1 = f (xt) (3)

donde se sabe que f es no lineal y se cuenta con una condición original de partida x0.Para comodidad en la resolución de este tipo de ecuaciones en diferencia dependientes de la variable

xt y xt+1 es común linealizarlas en torno al estado estacionario x, en donde por definición de estadoestacionario se cumple que

xt+1 = xt = x

y por lo tantox = f (x) (4)

Luego, aproximamos la función f a través de una aproximación lineal en Series de Taylor en torno alestado estacionario x (punto fijo)

f (xt) ≈ f (x) + f ′ (x) (xt − x) (5)

reemplazando (3) y (4) en (5) obtenemos el siguiente resultado

xt+1 ≈ x+ f ′ (x) (xt − x) (6)

Si convertimos esta ecuación en una igualdad, obtendremos una ecuación en diferencia no homogénea

xt+1 = (1− f ′ (x))x+ f ′ (x)xt

cuya forma general, haciendo a = (1− f ′ (x))x y b = f ′ (x), es

xt+1 = a+ bxt (7)

Finalmente, la ecuación (7) obtenida es la resultante de linealizar la ecuación original dada por (3)

xt+1 = f (xt)linealizando−−−−−−−−−−−→ xt+1 = a+ bxt

Observe que la ecuación linealizada (7) con condición inicial conocida x0 posee la siguiente solución

xt =(1− at

)x+ atx0

con |a| < 1 se garantiza que en el largo plazo la variable xt alcanza el estado estacionario; puesto quecuando t→∞ se tiene que at → 0 y por lo tanto

limt→∞

xt = x

o sea xt → x.A partir de este resultado, podemos concluir que la ecuación original en diferencia no lineal (3)

es localmente estable (debido a que hemos tomado una aproximación a la función f) pero no podemosutilizar este método para determinar propiedades globales de la solución basándonos en un modelo lineal,pése a que la estabilidad local y global son lo misma, aquí esto no se cumple. Una gran variedad detrabajos en economía trabajan utilizando aproximaciones lineales a modelos no lineales.

Miguel Ataurima Arellano (UNMSM-FCE) 2 http://economiadinamica.blogspot.com


3 Linealización logarítmica (o loglinealización) de una Ecuaciónen Diferencia No Lineal

Una alternativa muy popular para linealizar un modelo es loglinealizarlo.A partir de la definición de desviación logarítimica de una variable xt respecto a su valor de estado

estacionario x dada por (2)xt = log xt − log x

tenemosxt = log

(xtx

)(8)

con esta notación, una variable está en estado estacionario cuando su desviación logarítmica xt es 0.Un resultado importante para cálculos póstumos lo obtendremos considerando los miembros de la

expresión (8) como exponentes en base e

ext =xtx

de dondext = xext (9)

Manipulando la ecuación (8)

xt = log(

1 +xtx− 1)

= log

(1 +

xt − xx

)= log (1 + ∆%xt)

xt = log (1 + ∆%xt)

y considerando que xt → x o sea ∆%xt → 0, tenemos por la ecuación (1) que

log (1 + ∆%xt) ≈ ∆%xt

por lo tantoxt ≈ ∆%xt

concluimos que la desviación logarítmica de xt respecto a su valor de estado estacionario x puede versecomo una aproximación de la variación porcentual de xt respecto a su valor de estado estacionario x.Una ecuación en diferencia no lineal de la forma

xt+1 = f (xt)

es loglinealizada; primero, haciendo el cambio de variable xt = xext dada por la ecuación (9)

xext+1 = f(xext

)y luego, linealizando el lado izquierdo de la ecuación con respecto a xt+1 y el lado derecho con respectoa xt, ambos alrededor del punto fijo 0

xe0 +(xe0)

(xt+1 − 0) ≈ f(xe0)

+ f ′(xe0)· xe0 (xt − 0)

x+ xxt+1 ≈ f (x) + f ′ (x) · xxt

tratando esta aproximación como un igualdad y considerando, por la ecuación (4), que x = f (x) obten-emos

xt+1 = f ′ (x) xt (10)

Finalmente, la ecuación (10) obtenida es la resultante de loglinealizar la ecuación original (3)

xt+1 = f (xt)loglinealizando−−−−−−−−−−−−−→ xt+1 = f ′ (x) xt

Una vez mas, la estabilidad depende del valor absoluto de f ′ (x). Con |f ′ (x)| < 1 obtendremos un estadoestacionario estable localmente.



� EJEMPLO 1: Dada la siguiente ecuación en diferencia no lineal de Solow

kt+1 =s

(1 + g) (1 + n)kαt +

1− δ(1 + g) (1 + n)

kt

obtenga su aproximación loglineal.

Solución: Se observa que

f (kt) =s

(1 + g) (1 + n)kαt +

1− δ(1 + g) (1 + n)

kt

entonces

f ′ (kt) =s

(1 + g) (1 + n)αkα−1t +

1− δ(1 + g) (1 + n)

=1

(1 + g) (1 + n)

[sαkα−1t + 1− δ

]evaluando f ′ (kt) en el estado estacionario, tenemos

f ′ (k) =1

(1 + g) (1 + n)

[sαkα−1 + 1− δ

]Finalmente, la expresión loglinealizada es

kt+1 = f ′ (k) kt

kt+1 =1

(1 + g) (1 + n)

[sαkα−1 + 1− δ

]kt

4 Reglas de Cálculo para loglinealizaciones

Sea la siguiente función diferenciableg (zt) = f (xt, yt)

A partir de una linealización

g (z) + g′ (z) (zt − z) ≈ f (x, y) + f1 (x, y) (xt − x) + f2 (x, y) (yt − y)

como xt ≈ ∆%xt, entonces

xt ≈xt − xx

xt − x ≈ xxt

entoncesg (z) + g′ (z) zzt ≈ f (x, y) + f1 (x, y)xxt + f2 (x, y) yyt

tratando a esta aproximacióm como una igualdad y considerando que en el estado estacionario se cumpleque g (z) = f (x, y)

g′ (z) zzt = f1 (x, y)xxt + f2 (x, y) yyt (11)

siempre que z 6= 0, esta ecuación puede ser reescrita así

zt =f1 (x, y)x

g′ (z) zxt +

f2 (x, y) y

g′ (z) zyt

Considerandog (zt) = zt

tenemos que g′ (zt) = 1 y z = f (x, y), con lo que la ecuación (11) puede reescribirse así

zzt = f1 (x, y)x xt + f2 (x, y) y yt

siempre que z 6= 0, dividimos ambos lados de la ecuación entre z = f (x, y)

zt =f1 (x, y)x

f (x, y)xt +

f2 (x, y) y

f (x, y)yt (12)

Observe que los coeficientes de las desviaciones logarítmicas xt y yt son elasticidades. Un incremento en1% en xt cerca del estado estacionario otorga aproximadamente un incremento de

f1(x,y)xf(x,y) 100% en yt.



1. Multiplicación, seazt = f (xt, yt) = xtyt

entonces f1 (x, y) = y, f2 (x, y) = x; luego, reemplazando en (12)

zt = xt + yt

2. División, seazt = f (xt, yt) =

xtyt

entonces f1 (x, y) =1

y, f2 (x, y) = − x

y2; luego, reemplazando en (12)

zt = xt − yt

3. Constante, seazt = a

con a una constante; entonces f1 (x, y) = 0, f2 (x, y) = 0; luego, reemplazando en (12)

zt = 0

4. Suma, seazt = f (xt, yt) = xt + yt

entonces f1 (x, y) = 1, f2 (x, y) = 1; luego, reemplazando en (12)

zt =x

zxt +

y

zyt

o seazzt = xxt + yyt

5. Resta, seazt = f (xt, yt) = xt − yt

entonces f1 (x, y) = 1, f2 (x, y) = 1; luego, reemplazando en (12)

zt =x

zxt −

y

zyt

o seazzt = xxt − yyt

6. Potenciación, seazt = xαt

entonces f1 (x, y) = αxα−1, f2 (x, y) = 0; luego, reemplazando en (12)

zt = αxt

7. Función Implícita, sea0 = f (xt, yt)

o sea zt = 0, reemplazando en (11) tenemos que

0 = f1 (x, y)xxt + f2 (x, y) yyt

de donde

yt = −f1 (x, y)x

f2 (x, y) yxt

Una demostración alternativa de las reglas 1 - 6, las muestro al final de este documento.



� EJEMPLO 2: Dada la ecuación en diferencia no lineal de Solow del ejemplo anterior

kt+1 =s

(1 + g) (1 + n)kαt +

1− δ(1 + g) (1 + n)

kt

obtenga su aproximación loglineal aplicando las reglas de cálculo para loglinealizaciones

Solución: Sean a = s(1+g)(1+n) y b = 1−δ

(1+g)(1+n) , entonces

kt+1 = akαt + bkt

aplicando la regla de loglinealización de la suma

kkt+1 = (akα) akαt + (bk) bkt

aplicando la regla de loglinealización del producto

kkt+1 = (akα)(a+ kαt

)+ (bk)

(b+ kt

)como la loglinealización de una constante es cero, entonces a = 0 y b = 0; y aplicando la regla deloglinealización de una potencia, tenemos

kkt+1 = (akα)(αkt

)+ (bk)

(kt

)dividiendo entre k 6= 0

kt+1 = aαkα−1kt + bkt

factorizando kt

kt+1 =(aαkα−1 + b

)kt

reemplazando los valores de a y b por sus valores originales

kt+1 =

[s

(1 + g) (1 + n)αkα−1 +

1− δ(1 + g) (1 + n)

]kt

factorizando el factor común 1(1+g)(1+n)

kt+1 =1

(1 + g) (1 + n)

[sαkα−1 + 1− δ

]kt

� EJEMPLO 3: Dada la siguiente función de producción Cobb - Douglas

yt = f (kt, nt) = Akαt nβt

obtenga su aproximación loglineal aplicando las reglas de cálculo para loglinealizaciones. Considere Aconstante.

Solución: Loglinealizando, aplicamos la regla del producto

yt = Akαt nβt = A+ kαt + nβt

aplicando la regla de la potenciación y considerando que la desviación logarítmica de una constante escero, tenemos

yt = αkt + βnt



� EJEMPLO 4: Dada la Condición de Primer Orden del Consumidor (Ecuación de Euler de Consumo)

1 = βU ′ (ct+1)

U ′ (ct)Rt+1

obtenga su aproximación loglineal aplicando las reglas de cálculo para loglinealizaciones y que la función

de utilidad es la de elasticidad constante U (c) =c1−σ

1− σ con coeficiente σ > 0.

Solución: Loglinealizando1 = β + U ′ (ct+1)− U ′ (ct) + Rt+1

como las desviaciones lineales de las constantes son cero, tenemos que

0 = U ′ (ct+1)− U ′ (ct) + Rt+1

como la función de utilidad marginal es U ′ (c) = c−σ y la desviación logarítmica de la utilidad marginales

U ′ (ct) = c−σt = −σctentonces, la Ecuación de Euler de Consumo se convierte en

0 = −σct+1 − σct + Rt+1

ct+1 + ct =1

σRt+1

donde el coeficiente 1σ > 0 mide la sensibilidad del crecimiento de consumo a la tasa de interes real en

exceso de su valor en estado estacionario.Podemos tambien escribir la tasa de interes nominal Rt+1 como uno mas la tasa de interes real

Rt+1 = 1 + rt+1

entonces, loglinealizando la sumaRRt+1 = 1 · 1 + rrt+1

RRt+1 = rrt+1 (13)

En estado estacionario tenemos:

• ct = ct+1 = c, entonces U ′ (ct+1) = U ′ (ct) = U ′ (c); entonces, según la Ecuación de Euler tenemosque

1 = βR

de dondeR = β−1 (14)

• Rt+1 = R y rt+1 = r, entoncesR = 1 + r (15)

Comparando (14) y (15) tenemos que1

1 + r= β

restándole a 1 ambas cantidades tenemos

1− 1

1 + r= 1− β

r

1 + r= 1− β

r

R= 1− β (16)

Despejando Rt+1 de (13) tenemos

Rt+1 =r

Rrt+1 (17)

reemplazando (16) en (17)Rt+1 = (1− β) rt+1



5 Demostración Alternativa

En todos los casos supondremos la siguiente equivalencia dada por la definición de desviación logarítmicade una variable xt respecto de su valor en estado estacionario x

xt = log (xt)− log (x) = log(xtx

)a partir de la cual podemos obtener la variable xt expresada en términos de x y de su desviaciónlogarítmica xt

xt = xext

1. Multiplicación, seazt = f (xt, yt) = xtyt

en estado estacionario se cumplirá que z = xy; expresándo las variables xt, yt y zt en función desus valores en estado estacionario y de sus desviaciones logarítmicas

zezt = xext · yeyt

simplificando

ezt = ext · eyt

= ext+yt

tomando logaritmoszt = xt + yt

2. División, seazt = f (xt, yt) =

xtyt

en estado estacionario se cumplirá que z = xy ; expresándo las variables xt, yt y zt en función de

sus valores en estado estacionario y de sus desviaciones logarítmicas

zezt =xext

yeyt

simplificandoezt = ext−yt

tomando logaritmoszt = xt − yt

3. Constante, seazt = a

en estado estacionario se cumplirá que z = a; expresándo zt en función de su valor en estadoestacionario y de su desviación logarítmica

zezt = a

simplificandoezt = 1

tomando logaritmoszt = 0

4. Suma, seazt = f (xt, yt) = xt + yt

en estado estacionario se cumplirá que z = x + y; expresándo las variables xt, yt y zt en funciónde sus valores en estado estacionario y de sus desviaciones logarítmicas

zezt = xext + yeyt



considerando que las desviaciones logarítmicas son muy pequeñas, y que la siguiente aproximación

ex ≈ 1 + x

es válida cuando x es pequeño; entonces

z (1 + zt) = x (1 + xt) + y (1 + yt)

z + zzt = x+ xxt + y + yyt

simplificandozzt = xxt + yyt

5. Resta, seazt = f (xt, yt) = xt − yt

en estado estacionario se cumplirá que z = x − y; expresándo las variables xt, yt y zt en funciónde sus valores en estado estacionario y de sus desviaciones logarítmicas

zezt = xext − yeyt

utilizandando la aproximación del caso anterior

z (1 + zt) = x (1 + xt)− y (1 + yt)

z + zzt = x+ xxt − y − yyt

simplificandozzt = xxt − yyt

6. Potenciación, seazt = xαt

en estado estacionario se cumplirá que z = xa; expresándo las variables zt e xt en función de susvalores en estado estacionario y de sus desviaciones logarítmicas

zezt =(xext

)a= xaeaxt

simplificandoezt = eaxt

tomando logaritmoszt = axt


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