logistinė kapitalo valdymo teorija. determinuotieji metodai

Stasys Girdzijauskas

LOGISTINË KAPITALOVALDYMO TEORIJA

Determinuotieji metodai

M o n o g r a f i j a

2006


LOGISTIC THEORYOF THE CAPITALMANAGEMENT

Deterministic methods

M o n o g r a p h

2006

Tu matai esamus daiktus ir klausi: „Kodël?“O að sapnuoju daiktus, kuriø niekada nebuvo,

ir sakau: „Kodël gi ne?“B. Ðo

Tu piktiniesi,kad pasaulyje esama nedëkingø þmoniø.

Paklausk savo sàþinës,ar buvai dëkingas visiems savo geradariams.

Seneka

Skiriubroliui Gediminui ir savo ðeimai;

paraðyti ðià knygà buvo ámanoma tik jø dëka

4 LOGISTINË KAPITALO VALDYMO TEORIJA

© Stasys Girdzijauskas, 2006© Vilniaus universitetas, 2006

ISBN 9986–19–825–9

UDK 658Gi 317

Apsvarstyta Vilniaus universiteto Kauno humanitarinio fakulteto tarybosposëdyje 2005 m. balandþio 27 d. (protokolas Nr. 5)

Recenzentai:prof. dr. Bronius Neverauskasprof. habil. dr. Rimvydas Simutisprof. habil. dr. Algis Þvirblis

Knygos rengimà rëmë Lietuvos valstybinis mokslo ir studijø fondas

5

TURINYS

Áþanga ........................................................................................................................ 8

1. ÁPRASTOSIOS PALÛKANOS ......................................................................... 101.1. Procentai; bendroji dalis ........................................................................ 101.2. Paprastieji procentai .............................................................................. 111.3. Laiko veiksnys. Sudëtiniai, arba kaupiamieji, procentai .................... 121.4. Nuolatinis eksponentinis kitimas .......................................................... 151.5. Ekvivalenèioji palûkanø norma ............................................................ 201.6. Diskontavimas pagal sudëtinius procentus .......................................... 281.7. Ekvivalentumo lygtis .............................................................................. 30

2. PINIGØ SRAUTAI ........................................................................................... 342.1. Sàvokos ir apibrëþimai ........................................................................... 342.2. Ilgalaikiø paskolø padengimas pastoviaisiais anuitetais ..................... 352.3. Keli padengimai pastoviaisiais anuitetais per laiko vienetà ............... 382.4. Kintamieji anuitetai ............................................................................... 402.5. Anuitetø apvalinimas ............................................................................. 442.6. Rentos apskaièiavimas ........................................................................... 47

2.6.1. Metinë renta ............................................................................... 482.6.2. Kelios ámokos per vienà laiko vienetà. Sudëtiniø palûkanø

metodas ...................................................................................... 512.6.3. Kelios ámokos per vienà laiko vienetà. Miðrusis metodas .............. 542.6.4. Rentos skaièiavimo rezultatø nesutaptis .................................. 60

3. KAPITALO KAUPIMO MODELIØ APÞVALGA .......................................... 643.1. Ekonominiai modeliai ........................................................................... 64

3.1.1. Modelio samprata ....................................................................... 643.2. Eksponentinis modelis ........................................................................... 653.3. Logistinis augimas .................................................................................. 67

3.3.1. Brazilijos ekonominio augimo modelis ..................................... 683.4. Endogeniniai modeliai ........................................................................... 69

3.4.1. Endogeninio augimo teorijos pirmtakai .................................... 703.4.2. Trumpa atliktø darbø analizë ..................................................... 71

3.5. Ekonominis augimas esant ribotiems iðtekliams ................................. 743.6. Populiacijos dinamikos modeliai .......................................................... 76


4. LOGISTINËS PALÛKANOS ........................................................................... 774.1. Tiesinis ir eksponentinis kapitalo kaupimas ........................................ 77

4.1.1. Sudëtiniai procentai .................................................................... 794.2. Logistinis (ribinis) kapitalo augimas .................................................... 80

4.2.1. Logistinë funkcija ........................................................................ 804.2.2. Logistinë kapitalo kaupimo funkcija ......................................... 824.2.3. Logistinë bûsimoji vertë .............................................................. 844.2.4. Logistinës palûkanos ................................................................... 904.2.5. Kapitalo augimo greitis ............................................................... 914.2.6. Sukauptoji kapitalo suma ........................................................... 93

4.3. Logistinë dabartinë vertë ...................................................................... 944.4. Ekvivalenèioji palûkanø norma ............................................................ 994.5. Ribiniø kaupimo modeliø taikymas ................................................... 1004.6. Regresijos koeficientø nustatymas ..................................................... 1014.7. Logistiniai rekurentiniai ryðiai ............................................................ 1084.8. Kapitalo kaupimas esant keliems perskaièiavimams

per vienà laiko vienetà ....................................................................... 1134.9. Logistinis diskontavimas esant keliems perskaièiavimams

per vienà laiko vienetà ....................................................................... 116

5. LOGISTINIAI DETERMINUOTIEJI PINIGØ SRAUTAI. LOGISTINËS PALÛKANOS ........................................................................ 118

5.1. Logistinë vertës lygtis .......................................................................... 1185.1.1. Kaupianèioji logistinë vertës lygtis ........................................... 1185.1.2. Diskontuojanti vertës lygtis ...................................................... 119

5.2. Logistiniai anuitetai ............................................................................. 1225.3. Anuitetinis paskolø padengimas ......................................................... 1245.4. Logistinë renta ..................................................................................... 129

5.4.1. Metinë renta .............................................................................. 1305.4.2. Trumpesnio periodo ir tolydþioji logistinës rentos ................. 132

5.5. Investicijø vertinimas ........................................................................... 1335.5.1. Grynosios dabartinës vertës metodas ...................................... 1345.5.2. Vidinës pelno normos metodas ................................................ 1375.5.3. Projekto priimtinumas .............................................................. 138

5.6. Logistinis investicijø vertinimas .......................................................... 1395.7. Apibendrintasis populiacijos bûsenø modelis;auganti ir nykstanti bûsena ........................................................................ 146

5.7.1. Tolydusis metodas ...................................................................... 1485.7.2. Kompanijos X kapitalo srautø tyrimas .................................... 149

5.8. Logistinis modifikuotosios vidinës pelno normos metodas ............. 1525.8.1. Gamybos funkcija ...................................................................... 1555.8.2. Kainø burbulai. Projekto efektyvumas ir

rezultatø nestabilumas ............................................................. 157

7

6. LOGISTINIAI DRAUDIMO ANUITETAI ................................................... 1606.1. Gyvenimo trukmës funkcija ................................................................ 1616.2. Gyvybës draudimas. Tam tikro amþiaus sulaukimo draudimas ....... 1646.3. Pensijø draudimas. Pensijø tarifø skaièiavimas ................................. 166

6.3.1. Renta (pensija) iki gyvos galvos. Vienkartiniøpremijø skaièiavimas .................................................................. 167

6.3.2. Atidëtieji anuitetai .................................................................... 1706.3.3. Vienkartiniø premijø skaièiavimas .......................................... 1706.3.4. Metiniø premijø skaièiavimas .................................................. 1736.3.5. Terminuota pensija (renta) ....................................................... 1776.3.6. Terminuota atidëtoji pensija ..................................................... 179

6.4. Draudimas mirties atveju .................................................................... 1836.4.1. Besàlyginis draudimas iki gyvos galvos .................................... 1836.4.2. Atidëtasis mirties draudimas .................................................... 1866.4.3. Atidëtojo draudimo metinës premijos ..................................... 1886.4.4. Terminuotas mirties draudimas. Vienkartinës ir metinës

premijos ....................................................................................... 1896.5. Miðrusis gyvybës draudimas ................................................................ 191

6.5.1. Miðriojo draudimo metinës premijos ...................................... 1946.5.2. Logistiniø draudimo anuitetø specifika ................................... 195

7. DETERMINUOTOJI INVESTAVIMO RIZIKA .......................................... 1997.1. Finansiniø piramidþiø modeliai .......................................................... 1997.2. Sukauptøjø pinigø vertës priklausomybë nuo laiko ir iðmokamø

procentø normos. Pinigø srauto nariai pastovaus dydþio ............... 2027.3. Finansinës piramidës su kintamaisiais pinigø srauto nariais ........... 204

7.3.1. Sukauptojo kapitalo bûsimosios vertës analizë ...................... 2087.3.2. Finansinës piramidës sukauptojo kapitalo esamoji vertë ...... 2117.3.3. Logistinis finansinës piramidës sukauptojo kapitalo

diskontavimas .............................................................................. 212

Svarbiausi teiginiai ir iðvados ................................................................ 215

Summary ................................................................................................. 218

Literatûra ................................................................................................ 222

Turinys


Áþanga

Iðtekliø ribotumas, pagal savo prigimtá bûdamas vienas ið svarbiausiø dau-gelio sistemø raidos veiksniø, daþnai yra nepakankamai ávertinamas. Taiyra ne tik dël to, kad dauguma iðtekliø yra sunkiai iðmatuojami, bet irtodël, kad, trûkstant patikimø ir patogiø analizavimo priemoniø, daþnaineámanoma net apytikriai numatyti iðtekliø átakà ir numatomus rezulta-tus. Visa tai lemia situacijà, kai iðtekliai apskritai yra nevertinami.

Monografijoje nagrinëjama populiacijø dinamika esant ribotiems iðtek-liams. Patys iðtekliai gali bûti gan ávairûs: natûralieji, darbo jëgos, kapitalo irkt. Darbe jie daþnai vadinami populiacijomis. Be to, darbe sutelktas dëme-sys á specifines populiacijas, t. y. populiacijas, gebanèias didëti natûraliai, átokias, kurios augdamos paèios duoda pagal tà patá principà didëjantá prie-augá. Prie tokiø populiacijø gali bûti priskiriamas kapitalas, pinigø srautai arkitas panaðias savybes turintis produktas. Parodoma, kad produkto kitimasgali bûti ávertinamas pagal riboto augimo (logistiná) modelá.

Tiriant auganèiø populiacijø iðtekliø maþëjimà, nustatyta, kad kai senkaiðtekliai, didëja populiacijos grynoji dabartinë vertë, kartu ir vidinë grà-þa. Situacija ið pirmo þvilgsnio atrodytø paradoksali: senkant iðtekliamssistemos produktyvumas akivaizdþiai didëja. Ásigilinus aiðkëja, kad gausutokiø praktikos pavyzdþiø: kainø burbulai, pasireiðkiantys kai kuriø pro-duktø neiðpasakytai didelëmis kainomis (ypaè retø meno kûriniø ar kitølabai retø produktø), kai kuriø investicijø ar investiciniø bendroviø ne-proporcingai dideliu rentabilumu ir pan. Matyt, prie to paties reiðkiniogalima priskirti ir staigø kai kuriø uþdarai besivystanèiø biologiniø popu-liacijø pagausëjimà: pavyzdþiui, sàlygiðkai netikëtà skëriø, tarakonø arvirusø iðplitimà. Maþa to, dël iðsekimo atsiradæs gyvøjø organizmø antra-sis kvëpavimas (daþnai pasibaigiantis staigia mirtimi), sàmonës prieðmir-tinis praskaidrëjimas ar vizijos esant klinikiniai mirèiai rodytø tam tikrøorganizmo funkcijø veiklos suaktyvëjimà artëjant prie ribos, reiðkianèiosdaliná ar visiðkà organizmo iðtekliø iðsekimà.

Pagrindiniais populiacijos efektyvumo matais darbe pasirinkta gryno-ji dabartinë vertë ir vidinës gràþos norma. Iðtyrus auganèiøjø populiacijømodelá ir apibendrinus stebëjimo rezultatus suformuluotas populiacijosvidinës gràþos paradoksas, atsirandantis kaip jos iðsekimo padarinys: „jeiizoliuotoje sistemoje populiacijos elementai sudaro srautà ir kiekvienasjø vystosi pagal riboto augimo (logistiná) dësná, tai, maþëjant iðtekliø nor-mai, populiacija adekvaèiai didina savo efektyvumà, pasireiðkiantá vidi-

9Áþanga

nës gràþos normos didëjimu.“ Vidinës gràþos normos didëjimas savo ruoþ-tu dël galimo atsitiktinio ribos nepastovumo ar kt. pokyèiø) populiacijàpaverèia nestabilia sistema.

Tiriant nykstanèiø populiacijø iðtekliø maþëjimà nustatyta, kad tikesant maþai ribotiems ar visiðkai neribotiems iðtekliams galima labai sëk-minga veikla. Teorija akivaizdþiai parodo, kad veiklos sëkmingumà eko-nominio nuosmukio metu lemia gebëjimas laisvai ar maþai varþomai dis-ponuoti tam tikrais iðtekliais. Kita vertus, nuosmuká ir lemia paprastai tøpaèiø iðtekliø iðsekimas.

Monografijà sudaro ávadas ir septyni skyriai. Pirmuose dviejuose sky-riuose nagrinëjami klasikiniai kiekybinio finansø valdymo teorijos klausimaiir pagrindþiamas jø galimybiø ribotumas. Detaliai iðnagrinëjus palûkanø mo-delius, normø ekvivalentumà, vertës lygties sprendimà, pinigø srautus, anui-tetø ir rentø skaièiavimo principus, ámanoma ávertinti logistinës finansø val-dymo teorijos pranaðumus ir skirtumus nuo klasikinës teorijos, suprasti nau-josios teorijos pranaðumus ir trûkumus. Treèiajame skyriuje aptariamos mo-derniøjø kapitalo valdymo teorijø galimybës ir jø ribotumas.

Pagrindiniai skyriai yra ketvirtasis ir penktasis. Ketvirtajame skyriujepateikiamas patobulintas (modifikuotas) logistinis augimo modelis. Lo-gistinë (ribinë) kapitalo augimo funkcija leidþia nustatyti kapitalo bûsi-màsias vertes, logistines palûkanas, kapitalo augimo greitá ir sukauptàjàkapitalo sumà.

Penktajame ir ðeðtajame skyriuose atliekama determinuotøjø pinigøsrautø logistinë analizë. Svarbiausia penktojo skyriaus (ið dalies visos kny-gos) dalis yra investicijø vertinimas. Aptarus bendruosius investicijø ver-tinimo metodus, nagrinëjami logistiniai grynosios dabartinës vertës, vidi-nës gràþos normos ir modifikuotos vidinës gràþos normos metodai. Atli-kus jø analizæ, pateikiamas apibendrintasis populiacijos bûsenø modelis,kurio auganèios ir nykstanèios bûsenos pasiþymi specifinëmis savybëmis.

Septintasis skyrius skiriamas determinuotajai investavimo rizikai. Èianagrinëjama specifinë tema – finansiniø piramidþiø, kaip atskiro kainøburbulø atvejo, modeliai.

Monografija skiriama mokslo darbuotojams, nagrinëjantiems popu-liacijø dinamikà (pirmiausia investicijø valdymà), taip pat universitetøstudentams: magistrantams ir doktorantams, studijuojantiems finansus,ekonomikà ar verslo vadybà arba apskritai populiacijø dinamikà. Ji galibûti naudinga ir verslo praktikams, besidomintiems racionaliu investici-jø naudojimu ar finansinës rizikos vertinimu.


1. ÁPRASTOSIOS PALÛKANOS

1.1. Procentai; bendroji dalis

Daþnai procentai naudojami tik tada, kai kurie nors dydþiai yra pastovûs,t. y. nesikeièia laikui bëgant. Tada sakoma, kad procentai tiesiog bûdasuþraðyti trupmenas, kuriø vardiklis yra ðimtas.

Taèiau daugelis praktiniø uþdaviniø vienaip ar kitaip susijæ su laiku:demografijoje skaièiuojamas gyventojø prieaugio per vienerius metus pro-centas, komercijoje – apyvartos padidëjimo per mënesá procentas,branduolinëje fizikoje – radioaktyviosios medþiagos sumaþëjimo per die-nà, mënesá ar metus procentas ir t. t.

Ðiuose uþdaviniuose nagrinëjamas tam tikros visumos (kartais vadina-mos populiacija) kitimas priklausomai nuo laiko. Ðis kitimas gali bûtidiskretusis ir tolydusis. Diskretusis kitimas suprantamas kaip procesas,kurio metu vyksta staigus perëjimas nuo vienos populiacijos reikðmësprie kitos. Laikotarpis tarp gretimø pokyèiø vadinamas perëjimu,perskaièiavimu, kartais konversijos periodu arba tiesiog periodu. Knygojedaþniausiai vartojamas pastarasis terminas.

Populiacijos kitimo greitá tiek diskreèiojo, tiek tolydþiojo kitimoatvejais parodo kitimo greièio koeficientas, vadinamas procentø norma.Kadangi procentø norma parodo kitimo greitá, tai ji ir yra iðreiðkiamaprocentais per laiko vienetà, t. y. procentø skaièiumi, tenkanèiu vienamlaiko vienetui. Daugeliu atvejø ðis laiko vienetas ir bus perskaièiavimo(konversijos) periodas. Taèiau per tà laiko vienetà gali bûti ne vienas, okeli perskaièiavimai. Tada procentø norma, tenkanti vienam periodui,bus proporcingai maþesnë ir vadinama faktine, o procentø norma, tenkanti

111. Áprastosios palûkanos

visam laiko vienetui, nominaliàja. Taigi nominalioji procentø norma paro-do populiacijos kitimo greitá ir yra susijusi su tam tikru laiko vienetu.

Tolydþiojo kitimo metu populiacija didëja (arba nyksta)nenutrûkstamai, t. y. nuolatos. Dël to konversijos periodas yra artimasnuliui. Taèiau ir ðiuo atveju kitimo greitis iðreiðkiamas nominaliàjaprocentø norma. Daugelyje praktiniø, ypaè finansiniø, uþdaviniønominaliosios procentø normos periodas yra vieneri metai. Jeigu nebusnurodyta kitaip, ðiame darbe nominaliosios procentø normos periodastaip pat vieneri metai.

Toliau nagrinëjami procentiniai uþdaviniai, kuriuose, kai procentønorma pastovi, populiacija yra laiko funkcija. Tam iðvedamos paprastøjøir sudëtiniø (kaupiamøjø) procentø formulës. Nesunku ásitikinti, kad pap-rastieji procentai yra tiesinë laiko funkcija, o sudëtiniai – rodiklinë.

1.2. Paprastieji procentai

Paprastøjø procentø esmë ta, jog jie skaièiuojami tik nuo pradinës popu-liacijos, kai procentai uþ kiekvienà laiko vienetà yra pastovûs. Paprastøjøprocentø augimo greitis yra pastovus – vienodus laiko tarpus atitinkavienodas procentø prieaugis.

Uþraðome lygtá, iðreiðkianèià pradinës populiacijos priklausomybæ nuoperëjimø skaièiaus (laiko) ir procentø normos. Jei S0 – pradinis skaièius,Sn – galutinis (sukauptasis) skaièius, p – procentø norma, t. y. laiko vienetui

skaièiuojami procentai, 100

pi = – procentø norma, iðreikðta trupmena

(deðimtaine), ir n – laikas, matuojamas periodais, tada pradinio skaièiaus(pradinës sumos) padidëjimas per n periodø (palûkanos) bus S0⋅

i⋅ n.Padidëjimà pridëjus prie pradinës sumos gaunama

niSSSn

⋅⋅+=00

.

Ið èia uþraðoma paprastøjø procentø (palûkanø) formulë:

( )niSSn

⋅+= 10

.

Ði formulë uþraðyta laikà matuojant periodais. Èia laikas iðreiðkiamasnatûraliaisiais skaièiais. Dël to sukauptoji suma S

n kinta diskreèiai. Taèiau


nesunku suvokti, kad laikas gali bûti matuojamas ir nenutrûkstamai, t. y.iðreiðkiamas realiaisiais skaièiais. Tokiu atveju galutinis skaièius(sukauptoji suma) þymima ne S

n, o S, o paprastøjø procentø formulë tampa

áprasta tiesine laiko funkcija

( )niSS ⋅+= 10

. (1.1)

Pagal gautàjà formulæ apskaièiuojamas pradinio skaièiaus didëjimas.Kartais reikia apskaièiuoti ne didëjimà, o maþëjimà (nykimà). Tokiu atveju:

niSSSn ⋅⋅−=00

.

Ávertinus anksèiau aptartas sàlygas, gaunama:

( )niSS ⋅−= 10 . (1.2)

1.3. Laiko veiksnys. Sudëtiniai, arba kaupiamieji,procentai

Sudëtiniais, kaip ir paprastaisiais procentais, galima apskaièiuoti kai kuriøilgainiui besikeièianèiø procesø, vykstanèiø gamtoje ar visuomenëje,kiekybinius parametrus. Sudëtiniø procentø esmë yra ta, jog kiekvienanauja populiacija, t. y. naujojo periodo turinys: gyventojø ar gyvûnøskaièius, biologinis produktas, radioaktyviosios medþiagos masë, kapitalasar kt., apskaièiuojamas ávertinant ankstesniojo laikotarpio pasikeitimà(daþniausiai prieaugá: gyventojø ar gyvûnø skaièiaus padidëjimà, biomasësprieaugá, palûkanas ir kt.). Kitaip tariant, vyksta prieaugio kaupimas –prieaugis pridedamas prie ankstesnës populiacijos. Naujojo periodoprieaugis apskaièiuojamas ne tik nuo skaièiuojamojo pradinio turinio,bet ir nuo ankstesniojo periodo prieaugio.

Procentai, kai kiekvieno periodo pradþioje per praëjusá periodàpriaugusi populiacijos dalis automatiðkai pridedama prie pagrindinëspopuliacijos ir toliau didëja kartu su ja, vadinami sudëtiniais procentais.

13

Nustatyta, kad tokios populiacijos augimo greitis yra proporcingasjos dydþiui – kuo populiacija kiekvienu laiko momentu yra didesnë, tuo jituo momentu greièiau didëja, ir atvirkðèiai.

Matematiðkai kaupiamieji procentai gaunami kiekvieno periodo pa-baigoje pakartotinai dauginant ankstesniàjà reikðmæ ið kitimo greièiokoeficiento.

Kai n = 1, 2, 3, ... , gaunama:

( )iSiSSS +=+= 10001

,

( ) ( )( ) ( )2001

1111 iSiiSiSiSSS +=++=+=+=112

,..................................................................................................

.)1(011

n

nnniSiSSS +=+=

−−

Taigi galutinis skaièius (sukauptoji suma) praëjus n periodø yra toks:

.)1(0

n

niSS +=

Iðvedant ðià formulæ turëta galvoje, kad gautasis skaièiaus prieaugisbus pridedamas prie pradinio skaièiaus kiekvieno periodo pabaigoje, neslaikas, kaip ir paprastøjø procentø atveju, kinta diskreèiai. Suprantama,laikas ir ðiuo atveju gali keistis tolygiai. Tada sudëtiniø procentø formulëyra áprasta rodiklinë (eksponentinë) laiko funkcija ( )0≥n .

.)1(0

niSS += (1.3)

Jei i > 0, gautoji iðraiðka yra monotoniðkai didëjanti, jei – 1 < i < 0, –monotoniðkai maþëjanti funkcija. Antruoju atveju bûtø patogesnë tokialygtis:

niSS )1(0

−= , (1.4)

èia i – nykimo koeficientas (i > 0).

1.1 pavyzdys. X miesto gyventojø skaièius kasmet vidutiniðkai padidëja0,7%. Kiek padidës miesto gyventojø skaièius per 12 metø, jei ðiuo metujame gyvena 7 500 000 gyventojø?



Sprendimas. Duomenys: S0 = 7 500 000; i = 0,007; n =12.

Remiantis sudëtiniø procentø formule (1.4) gaunama:

8301548)007,01(0005007 12=+=S ;

830654000500783015480 =−=− SS .

Atsakymas: miesto gyventojø skaièius per 12 metø padidës 654 830gyventojø.

1.2 pavyzdys. Planuojama, kad per penkerius metus ámonës gamybosapimtis padidës 75%. Koks turi bûti kasmetinis gamybos prieaugis?

Sprendimas. Duomenys: n =5. Gamybos apimties padidëjimas 75%

reiðkia, kad S = S0⋅175%, arba 75,10

=

S

S.

Ið sudëtiniø procentø formulës niSS )1(

0+= iðreiðkiama i:

( )

.1

;1

0

0

-n

n

S

Si

S

Si

=

=+

1184,011184,1175,15 =−≈−=i .

Kadangi ip ⋅=100 , tai kasmetis gamybos prieaugis turi bûti 11,84%.Verta ásidëmëti, kad gautasis skaièius yra maþesnis uþ proporcingàjàprocentø dalá (75:5 = 15).

Atsakymas: 11,84%.

1.3 pavyzdys. Radioaktyviojo radþio vieno ið izotopø skilimo pusamþisT (laikas, per kurá pradinis radioaktyviosios medþiagos kiekis sumaþëjaperpus) 5 paros. Kam yra lygus ðios medþiagos skilimo greièio koeficientasλ, jei skilimo dësnis iðreiðkiamas lygtimi n

SS )1(0

λ−=1?

1 Radioaktyviojo skilimo dësnis n

SS )1(0

λ−= daþniau yra iðreiðkiamas lygtimit

eSS⋅−

⋅=λ

0. Apskritai, taikant ekvivalenèius skilimo greièio koeficientus λ,

rezultatai gaunami vienodi.

–

15

Sprendimas. Duota, kad per skaièiuojamà laikà (pusamþá) radþiokiekis sumaþëja perpus. Tai reiðkia, kad 0

5,0 SS ⋅= . Ðià iðraiðkà áraðius áduotàjà lygtá gaunama 5

00)1(5,0 λ−=⋅ SS . Ið èia randama

129,05,01 5=−=λ .

Atsakymas: skilimo greièio (matuojamo paromis) koeficientasλ = 0,129.

1.4. Nuolatinis eksponentinis kitimas

Gráþkime prie pradinës (diskreèiosios) sudëtiniø procentø formulës, ku-rioje kiekvieno periodo prieaugis pridedamas prie ankstesnës populiacijosto periodo pabaigoje.

Nesunku suvokti, kad periodo prieaugis gali bûti pridëtas priepagrindinës populiacijos ne tik vienà kartà periodo pabaigoje, bet irdaþniau.

Kaip jau buvo minëta, laikas tarp dviejø gretimø procentø perskai-èiavimo momentø vadinamas perskaièiavimo, arba konversijos, periodu.Procentø norma daþniausiai nustatoma laiko vienetui. Taèiau laikovienetas gali turëti ne vienà, o kelis konversijos periodus.

Procentø norma, skaièiuojama laiko vienetui, turinèiam kelis kon-versijos periodus, vadinama nominaliàja procentø norma.

Mûsø skaièiavimuose ði procentø norma bus daþniausiai vartojama.Èia reikia pabrëþti, kad kai papildomi perskaièiavimai neatliekami, t. y.kai per laiko vienetà yra tik vienas perskaièiavimas, procentø norma taippat gali bûti laikoma nominaliàja.

Paþymëtina, kad daugumos praktiniø uþdaviniø laiko vienetas yravieneri metai, nors apskritai jis gali bûti ir kitoks. Tada laiko vienetas galiturëti ne tik vienà, bet ir kelis perskaièiavimo (konversijos) periodus.Vieno periodo procentø norma bus lygi nominaliajai procentø normai,padalytai ið perskaièiavimo periodø skaièiaus. Periodo procentø normayra faktinë to periodo procentø norma.

Taigi, jei per laiko vienetà (tarkime, metus) atliekama ne vienas, o kperskaièiavimø, t. y. prieaugis pridedamas prie ankstesnës populiacijos



pasibaigus kiekvienai k1 laiko vieneto daliai (tarkime, kas mënesá), oprocentø norma, kaip ir anksèiau, liktø nominali, tai populiacijos augimasbûtø toks:

+=k

SSi

k 101

,

2

1111100002

+=++=+++=k

iS

k

i

k

iS

k

i

k

iS

k

iSS k

,

…………………………………………………………………k

k

iSS

kk

+= 1

0.

Todël praëjus pirmajam laiko vienetui (metams) populiacijos dydisbus toks:

k

k

iSS

+= 1

01 .

Analogiðkai samprotaujant nesunku ásitikinti, kad praëjus dviem laikovienetams (dvejiems metams) populiacijos dydis bus toks:

k

k

iSS

2

021

+= .

Pagaliau po n analogiðkø laiko vienetø (po n metø) turima:

nk

nk

iSS

+= 10 .

Tarus, kad n gali ágyti ne tik sveikàsias reikðmes, turima:

nk

k

iSS

+= 10 . (1.5)

Tai sudëtiniø procentø formulë, kai per vienà laiko vienetà yra keliprocentø perskaièiavimai.

17

1.4 pavyzdys. Apskaièiuokite vieno lito, investuoto esant 8% nomina-liai (metinei) palûkanø normai, vertæ, praëjus vieneriems, penkeriems irdeðimèiai metø, jei perskaièiavimo periodas yra: 1) metai; 2) pusmetis;3) ketvirtis; 4) mënuo; 5) diena.

Sprendimas.Duomenys: S0 = 1, i = 0,08, a) n = 1; b) n = 5; c) n = 10; 1) k = 1;

2) k = 2; 3) k = 4; 4) k = 12; 5) k = 365.Kai n = k = 1, yra áprastas procentø atvejis:

08,1)08,01(1 =+⋅=S .

Kai n = 1; k = 2, turima:

0816,12

08,011

2

=

+⋅=S .

Kai n = 1; k = 4, turima:

082432,14

08,011

41

=

+⋅=

⋅

S .

Panaðiai atliekami skaièiavimai ir esant kitoms n ir k reikðmëms.Pagaliau, kai n = 10; k = 365, turima:

253462,2365

08,011

36510

=

+⋅=

⋅

S .

Sudaroma visø skaièiavimo rezultatø lentelë:

Investicijos vertė (Lt) pasibaigus

Nr. Perskaičiavimo

periodas

Perskaičiavimo

dažnumas k 1 m 5 m 10 m

1 Metai 1 1,0800 1,4693 2,1589

2 Pusmetis 2 1,0816 1,4802 2,1911

3 Ketvirtis 4 1,0824 1,4859 2,2080

4 Mėnuo 12 1,0830 1,4898 2,2196

5 Diena 365 1,0833 1,4918 2,2253


1 m 5 m 10 m


Rezultatai rodo, kad nors nominalioji procentø norma yra pastovi,keièiant perskaièiavimø daþnumà investicijos vertë (sukauptoji suma)atitinkamo laikotarpio pabaigoje kinta. Èia iðkyla procentø normøekvivalentumo problema. Detaliau ekvivalentumo problemos nagrinë-jamos kitame skyriuje.

Analizuojant pavyzdþio rezultatus matoma, kad, didinant perskaièia-vimø daþnumà k, sukauptoji suma atitinkamo laikotarpio pabaigoje di-dëja. Pastebima, kad augimo tempai didinant k maþëja, o vertës reikðmiøseka artëja prie tam tikros ribos (1 pav.). Be to, matoma, kad sukauptosiossumos priklausomybë nuo perskaièiavimø daþnumo nëra labai didelë: netðiek tiek padidinus perskaièiavimø skaièiø, kai kaupimo norma lygi 8 proc.,sukauptosios sumos padidëjimas nevirðija 3 procentø. Be to, ið pavyzdþiomatoma, kad tik pradinis perskaièiavimø didinimas turi kiek didesnápoveiká sukauptajai sumai didëti – esant metinei kaupimo normai perskai-èiuoti daþniau nei vienà kartà per mënesá yra maþai efektyvu.

2,16

2,18

2,2

2,22

2,24

0 10 20 30 40 50

1 pav. Per 10 m. sukauptosios sumos priklausomybë nuoperskaièiavimø skaièiaus per vienà periodà (Ko = 1; i = 0,08)

Su

kau

pto

ji s

um

a

Perskaièiavimø skaièius

19

Prisimintina sudëtiniø procentø formulë (1.5), kai per vienà laikovienetà yra keli procentø perskaièiavimai k. Tarus, kad prieaugis yra

nenutrûkstamas, t. y. jei ∞→n , o periodo dalies trukmë artëja prie nulio

→ 0

1

k, gaunama, kad

nkk

i

nki

k

kk k

iS

k

iSS

⋅⋅

⋅

+=

+=

∞→∞→

1lim1lim00

.

Kadangi 718,21lim ≈=

+

∞→

ek

i i

k

k..., be to, nikn

k

i⋅= , tai

.0

nieSS ⋅= (1.6)

Gauta nuolatinio (natûraliojo) eksponentinio kitimo lygtis, kartaisvadinama nuolatiniø sudëtiniø procentø lygtimi. Pagal jà galimaapskaièiuoti ávairiø procesø kiekybinius parametrus: gyventojø skaièiausdidëjimà, medienos augimà miðko masyve, radioaktyvøjá skilimà, bakterijødauginimàsi biocheminio proceso metu ir kt. Jei i > 0, gaunamaseksponentinis augimas, jei i < 0, – eksponentinis nykimas.

1.5 pavyzdys (1.4 pavyzdþio tæsinys). Remiantis nuolatinio kitimolygtimi apskaièiuokite vieno lito, investuoto esant 8% nominaliai (metinei)palûkanø normai, vertæ praëjus vieneriems, penkeriems ir deðimèiai metø,

Sprendimas

Duomenys: S0 = 1, i = 0,8, a) n = 1; b) n = 5; c) n = 10.

0832,108,0 == eS ,

4918,15·08,0 == eS ,

2255,210·08,0== eS .

Atsakymas: a) 1,0832; b) 1,4918; c) 2,2255.



Palyginus pastarøjø dviejø pavyzdþiø rezultatus matoma, kad kasdienisperskaièiavimo ir nuolatinio kitimo rezultatai labai panaðûs.

1.6 pavyzdys. Radioaktyviojo radþio izotopo E skilimo pusamþis T

yra 5 paros. Kam yra lygus ðios medþiagos skilimo koeficientas λ, jei

skilimo dësnis iðreiðkiamas lygtimi n

eSS⋅−

=

λ

0?

Sprendimas

Duota, kad per skaièiuojamà laikà (pusamþá) radþio kiekis sumaþëjaperpus. Tai reiðkia, kad

0S5,0 ⋅=S . Taip pat tariama, kad n = 5. Ðias

iðraiðkas áraðius á lygtá (1.6) gaunama

5

0

0

2

·= λeS

S ; 139,05

5,0ln==λ .

Atsakymas: skilimo koeficientas λ = 0,139.Gautà rezultatà palyginus su 1. 3 pavyzdþio atsakymu, kur λ = 0,129,

matoma tam tikras nesutaptis. Ði nesutaptis atsiranda dël skirtingo per-skaièiavimo daþnumo. Atkreiptinas dëmesys á tai, kad skilimo pusamþiaiabiem atvejais yra vienodi. Tai reiðkia, kad vienodi rezultatai gaunami tiktada, kai skilimo koeficientai yra ekvivalentûs.

Reikia pabrëþti, kad natûraliojo kitimo formulë ekonominiuoseskaièiavimuose nëra plaèiai naudojama, taèiau vertinant kitas populiacijasji patogi ir dël to paplitusi.

1.5. Ekvivalenèioji palûkanø norma

Dar pirmajame skyriuje, kalbant apie tai, kad per vienà laiko vienetà galibûti keli perskaièiavimai, susidurta su procentø normø ekvivalentumoproblema.

Finansiniams skaièiavimams atlikti sprendþiant investicijø palyginimouþdavinius reikia nustatyti tokias palûkanø normos reikðmes, kuriosskirtingomis palûkanø kapitalizavimo sàlygomis duoda ekvivalenèiusrezultatus. Pavyzdys gali bûti toks kaupiamøjø palûkanø uþdavinys: jei

21

turint palûkanø normà i per vienerius metus vienas litas duoda P palûkanø,kokia turi bûti palûkanø norma i

12 = i (k)/12, kad, kapitalizuojant

palûkanas kas mënesá, pasibaigus metams bûtø gautos tos paèiospalûkanos P?

Palûkanø normai i ekvivalenti yra tokia palûkanø norma ik (ik = i (k)/k),

kuri, kapitalizuojant palûkanas k kartø per metus, per tà patá laikà duodatokias paèias palûkanas.

Ekvivalentumo problemai geriau suvokti toliau nagrinëjamas uþda-vinys, panaðus á spræstà pirmame skyriuje 1.4 pavyzdá. Tik èia vietojþymëjimo S (skaièius) formulëse ir kitur naudojamas þymëjimas K(kapitalas).

1.7 pavyzdys. Vieno lito vertës indëlis padëtas á banko depozitinæsàskaità vieneriems metams esant 12% nominaliøjø metiniø sudëtiniøpalûkanø normai. Apskaièiuokite indëlio vertæ po vieneriø metø, jei permetus kapitalizuojama buvo vienà, du, keturis ir dvylika kartø.

Sprendimas.

Duomenys: K0 =1; i (k) =0,12; k =1; k =2; k =4; k =12.Indëlio vertë po vieneriø metø, jei per metus kapitalizuojama vienà

kartà, bus:

( ) 12,112,011 =+⋅=K Lt.

Aiðku, kad per metus indëlis padidëjo 12%.Indëlio vertë po vieneriø metø, kai per metus kapitalizuojama du

kartus:

1236,12

12,011

2

=

+⋅=K Lt.

Pastebima, kad per metus indëlis padidëjo 12,36%. Be to, matoma,kad ðis padidëjimas yra didesnis uþ ankstesnájá. Padidëjimø skirtumas0,36%.

Indëlio vertë po vieneriø metø, kai per metus kapitalizuojama keturiskartus:



1255,14

12,011

4

=

+⋅=K Lt.

Per metus indëlis padidëjo 12,55%.Indëlio vertë po vieneriø metø, kai kapitalizuojama kiekvienà mënesá:

1268,112

12,011

12

=

+⋅=K Lt.

Ðiuo atveju per metus indëlis padidëjo 12,68%.Sudaroma visø skaièiavimo rezultatø lentelë:

Paþymëtina, kad esant nominaliajai metinei palûkanø normai 12%,taèiau perskaièiuojant 2, 4 ar 12 kartø per metus, prieaugis per metusvirðija 12% ir yra lygus atitinkamai 12,36%, 12,55% ar 12,68%. Dël togalima sakyti, kad 6% pusmetiniø palûkanø ekvivalentûs 12,36% metiniø,3% ketvirtiniø palûkanø ekvivalentûs 12,55% metiniø, o 1% mënesiopalûkanø ekvivalentus 12,68% metiniø palûkanø.

1.8 pavyzdys. 5000 Lt indëlis padëtas á banko depozitinæ sàskaità viene-riems metams esant 12% metiniø sudëtiniø palûkanø normai. Kokiosbus jai ekvivalenèios pusmeèio, ketvirèio ir mënesio sudëtiniø palûkanønormos?

Sprendimas:

Metinë palûkanø norma i (k)= 0,12. Pusmeèio (i2 =i (2)/2), ketvirèio

(i4 =i (4)/4) ir mënesio (i12 =i (12)/12) palûkanø normos yra atitinkama

Nr. Perskaičia-

vimo

periodas

Perskai-

čiavimo

dažnumas

k

Nominalioji

palūkanų

norma i (k)

(%)

Faktinė

(periodo)

palūkanų

norma

i (k)

/k; (%)

Investicijos

vertė

pasibaigus

metams (Lt)

Prieaugio

per metus

procentas

1 Metai 1 12 12 1,12 12

2 Pusmetis 2 12 6 1,1236 12,36

3 Ketvirtis 4 12 3 1,1255 12,55

4 Mėnuo 12 12 1 1,1268 12,68

23

nominaliosios palûkanø normos dalis. Be to, ðiø palûkanø kapitalizavimoperiodas atitinkamai yra pusmetis, ketvirtis arba mënuo.

Jei palûkanos bus priskaièiuojamos vienà kartà per metus, pasibaigusmetams, pradinio indëlio dydis K bus toks:

( ) 560012,1500015000 =⋅=+= iK Lt.

Indëlio dydis po vieneriø metø bus toks pat ir tuo atveju, kai palûkanøkapitalizavimo periodas lygus pusei metø:

( )5600

215000

22

=

+i ;

( )12,1

21

22

=

+i ;

( ) ( ) 1166,0112,122 ≈−=i .

Gauta, kad kapitalizuojant palûkanas du kartus per metus, nominaliojipalûkanø norma lygi 11,66%, o tai yra maþiau uþ metinæ palûkanø normà(12%).

Analogiðkai randama ketvirtinë palûkanø norma, tenkinanti pradinessàlygas:

( )12,1

41

44

=

+i ;

( ) ( ) 1148,0112,14 44 ≈−=i ,

taip pat mënesinë palûkanø norma:

( )12,1

121

1212

=

+i ;



( ) ( ) 1138,0112,112 1212 ≈−=i .

Akivaizdu, kad skaièiavimo rezultatai nepriklauso nuo indëlio dydþio.Gauti rezultatai áraðomi á lentelæ

Svarbu aiðkiai suvokti, kurios palûkanø normos èia yra tarpusavyjeekvivalenèios. Ðiame pavyzdyje 12% nominalioji metinë palûkanø normayra ekvivalenti 11,66%, 11,48% ir 11,40% nominaliosioms palûkanø nor-moms, kai jø perskaièiavimo periodai atitinkamai yra ðeði, trys mënesiaiir vienas mënuo. Galima vertinti ekvivalentumà ir taip: 12% metinë palû-kanø norma yra ekvivalenti 5,83% pusmeèio, 2,87% ketvirèio ir 0,95%mënesio palûkanø normoms. Pagaliau bus ekvivalenèios, pavyzdþiui, irtokios palûkanø normos: 0,95% mënesio palûkanø norma bus ekvivalenti11,66% metiniø palûkanø, perskaièiuojant jas kas pusæ metø, arba 11,48%metiniø palûkanø, perskaièiuojant kas trys mënesius, ir t. t.

Sprendþiant uþdaviná, dalis veiksmø kartota. Dabar skaièiavimus reikiaapibendrinti. Jei i, ( ) ( ) ( ) ( )kiiii ...,,,, 1242 – ekvivalenèios nominaliosiosmetinës palûkanø normos, kuriø perskaièiavimo periodai atitinkamai yrametai, pusmetis, ketvirtis, mënuo ir t. t.,

( ) ( ) ( ) ( ) kk

k

iiiii

+==

+=

+=

+=+ 1...

121

41

211

1212

44

22

.

Ið to plaukia, kad

( ) kk

k

ii

+=+ 11 ;

( )k

k

ik

i+=+ 11 ;

( )11 −+=

kk

ik

i .

Periodas Periodų k skaičius

per metus

Nominalioji

palūkanų norma

i (k)

(%)

Faktinė (periodo)

palūkanų norma

(i (k)

/k; %)

Metai 1 12 12

Pusmetis 2 11,66 5,83

Ketvirtis 4 11,49 2,87

Mėnuo 12 11,39 0,95

25

Ið èia gaunama nominaliøjø palûkanø normø ekvivalentumo lygtis:

( ) ( )kiikk

11 −+= ; (1.7)

èia: k – perskaièiavimø per metus skaièius, i (k) – nominalioji palûkanønorma, turinti k perskaièiavimø per metus, i – nominalioji metinëpalûkanø norma (k =1).

Gautàjà lygtá iðsprendus palûkanø normos i atþvilgiu, gaunama:

( )11 −

+=

kk

k

ii . (1.8)

1.9 pavyzdys. Indëlá galima padëti á vienà ið dviejø bankø. Pirmasisbankas siûlo 14% metiniø palûkanø, antrasis – 1,1% mënesio palûkanø(procentai – sudëtiniai). Kuriame banke palûkanos yra didesnës?

Sprendimas

Duomenys: i =14; ( )

011,012

12

=i

; k = 12. (1.8)

Ástaèius á formulæ (1.8) faktinæ (periodo) palûkanø normà( )

011,012

12

=i

, gaunama metinë palûkanø norma:

( ) 1403,01011,0112

=−+=i .

Gautoji palûkanø norma 14,03% yra didesnë uþ pirmojo banko siûlo-mà 14% palûkanø normà, todël daroma iðvada, kad antrojo bankosiûlomos palûkanos yra didesnës.

Uþdaviná galima spræsti ir pasitelkus (1.7) formulæ. Imant i = 0,14,surandama jai ekvivalenti nominalioji palûkanø norma, turinti 12 perskai-èiavimø:

( ) ( )12114,011212−+=i =0,1317.



Ið èia randama mënesio palûkanø norma. Ji yra ( )

01098,012

12

=i

.

Gautoji mënesio palûkanø norma 1,098% yra maþesnë uþ antrojo banko

siûlomas palûkanas (1,1%). Ir vël prieinama prie tos paèios iðvados:antrojo banko siûlomos palûkanos yra didesnës.

Atsakymas: antrojo banko palûkanos yra didesnës.Formulës (1.7) ir (1.8) yra patogios, kai norima nustatyti dviejø

nominaliøjø palûkanø normø ekvivalentumà. Norint nustatyti

nominaliosios ir faktinës palûkanø normø ekvivalentumà, patogiau

periodo palûkanø normà iðsireikðti atskirai. Paþymëjus ( )

k

k

ik

i= , ið minëtø

formuliø gaunama:

11 −+=k

k ii (1.9)

arba

( ) 11 −+=k

kii . (1.10)

Iðspræskime 1.9 pavyzdá remdamiesi (1.9) formule:

01098,0114,011212 ≈−+=i .

Ðá uþdaviná galima iðspræsti ir remiantis (1.10) formule. Tada

( ) 1403,01011,0112

≈−+=i .

Iðvada: kadangi 1,098 < 1,1 (arba kadangi 14,03 > 14), antrojo bankopalûkanos, nors ir ðiek tiek, yra didesnës.

1.10 pavyzdys. Bankas moka 5% metiniø palûkanø (palûkanos –komercinës2: „30/360“), taèiau palûkanas iðmoka kas mënesá. Kokiaekvivalenèioji metinë palûkanø norma, jei laikytume, kad sumokëtospalûkanos tuoj pat reinvestuojamos?

2 Komercinës palûkanos „30/360“ reiðkia, kad skaièiavimai atliekami sàlyginiomënesio (30 d.) ir sàlyginiø metø (360 d.).

27

Sprendimas

Èia taip pat galima pritaikyti sudëtines palûkanas. Remiantis (1.8)formule gaunama:

0512,0112

05,01

12

=−

+=i .

Gauta, kad i = 5,12%.Iðvada: ekvivalenèioji palûkanø norma yra didesnë uþ bazinæ normà

0,12%.Dabar reikia palyginti sudëtiniø procentø ir natûraliojo augimo dësnio

palûkanø normas. Remiamasi prielaida, kad skaièiuojant tiek vienu, tiek

kitu bûdu turi bûti gauti identiðki rezultatai. Sulyginamos lygèiø

( )( )kin

n

n

n eKKiKK⋅

=+= 00 ir 1 deðiniosios puses:

( )( )kinn

eKiK ⋅

+00

= 1 .

Suprastinus ir iðtraukus n-tojo laipsnio ðakná, gaunama:( )kiei =+1 ;

( ) ( )iik

+= 1ln . (1.11)

1.11 pavyzdys. Sudëtiniø palûkanø norma 10%. Kam lygi nuolatiniøsudëtiniø palûkanø ekvivalenèioji norma?

Sprendimas

Ið (1.11) formulës randama:

( )0953,01,1ln ==

ki .

Gauta, kad 10% sudëtiniø palûkanø ir 9,53% natûraliojo dësnio pertà patá laikotarpá duoda tokius paèius rezultatus.

Atsakymas: 9,53%.



1.6. Diskontavimas pagal sudëtinius procentus

Diskontavimas – kiekvienos ið anksto nustatytos vertinës reikðmës perskai-èiavimas ankstesniam laikotarpiui.

Atliekant paprastøjø palûkanø bankiná diskontavimà, reikëdavogalutinæ reikðmæ perskaièiuoti á ankstesnæ, tarpinæ. Sudëtiniø palûkanøávairios tarpinës reikðmës paprastai perskaièiuojamos pradiniam (dabar-tiniam) laikotarpiui, t. y. randama dabartinë kapitalo vertë. Ðiuo atvejusprendþiama sudëtiniø palûkanø lygtis pradinio kapitalo K0 atþvilgiu:

( )ni

KK

+=

10

.

Paþymëjus vr

ri ==+1

o ,1 , gaunama:

nvKK ⋅=0

.

Tai – kaupiamøjø palûkanø diskontavimo formulë. Èia v – diskontokoeficientas. Ið formulës matoma, kad dabartinë lëðø vertë K0 yra lygidiskontuojamø lëðø K ir diskonto koeficiento v, pakelto metø skaièiauslaipsniu n, sandaugai.

1.12 pavyzdys. Kokià pinigø sumà reikia ámokëti á taupomàjá bankà,kad esant 6% metiniø kaupiamøjø palûkanø normai po penkeriø metøbûtø gauta 9000 Lt?

Diskontuojama turima pinigø suma:

32,672574726,0000906,01

10009

5

0=⋅≈

+=K .

Atsakymas: 6725,32 Lt.

1.13 pavyzdys. Yra galimi du kompiuterinio prietaiso ásigijimo va-riantai: pirmasis – pirkti vienà prietaisà, kurio eksploatavimo laikas ðeðerimetai, uþ 10 000 Lt; antrasis – pirkti du prietaisus, kuriø kiekvieno eks-ploatavimo laikas treji metai ir kiekvieno kaina 5200 Lt, tik vienà – dabar,

29

o kità – jam susidëvëjus po trejø metø. Reikia nustatyti, kuris projektasyra ekonomiðkesnis, jei þinoma, kad metinë palûkanø norma 8%, o visoskitos sàlygos abiem atvejais yra vienodos.

Neásigilinus gali pasirodyti, kad efektyvesnis yra pirmasis bûdas. Taèiaunustaèius antrojo varianto iðlaidø dabartinæ vertæ, t. y. diskontavusantrajam bûdui ágyvendinti skirtas lëðas, gaunama:

( )9393279341275200

0801

52005200

3,,

,

=+≈

+

+ .

Matoma, kad antrasis bûdas yra efektyvesnis, nes jo dabartinë vertëmaþesnë 672,07 Lt (10 000–9327,93), o tai yra apytikriai 6,7% pirmojoprojekto dabartinës vertës.

1.14 pavyzdys. Galimi du stakliø ásigijimo ir eksploatavimo variantai(du projektai), duodantys identiðkas pajamas. Kuris ið ðiø investiciniøvariantø yra efektyvesnis, jei metinë palûkanø norma 8% ir yra þinomostokios kiekvienø metø pradþioje ásigijimo ir eksploatavimo iðlaidos:

Kiekvieno projekto dabartinë vertë nustatoma diskontuojant kiek-vienø metø iðlaidas pradiniu momentu. Diskontavus iðlaidas, reikalingasstaklëms ásigyti ir eksploatuoti, gaunama:

I variantas

2 000400

1 08

600

1 08

2 000

1 08

400

1 08

600

1 08

2000 370 37 514 40 1587 66 294 01 408 35 5174 8

2 3 4 5+ + + + + ≈

≈ + + + + + =

, , , , ,

, , , , , , .


Metai I variantas II variantas

1 2000 4400

2 400 100

3 600 200

4 2000 300

5 400 400

6 600 500

Iš viso: 6000 5900


II variantas

4 400100

108

200

108

300

108

400

108

500

108

4400 92 59 17147 23815 294 01 340 29 5536 51

2 3 4 5+ + + + + ≈

≈ + + + + + =

, , , , ,

, , , , , , .

Dabartinës vertës skaièiavimai rodo, kad antrasis projektas yrabrangesnis 361,71 Lt (5536,51–5174,8).

Atliekant investicijø skaièiavimus kompiuteriniu skaièiuokliu MicrosoftExcel, gali bûti panaudota finansinë NPV funkcija. Panaudojant ðiàfunkcijà 1.14 pavyzdþiui spræsti gali bûti uþraðytos tokios komandos:

“=NPV(8%;400;600;2000;400;600)+2000 lygu 5 174,80”“=NPV(8%;100;200;300;400;500)+4400 lygu 5 536,51”.Plaèiau diskontavimo klausimai nagrinëjami tolesniuose skyriuose.

1.7. Ekvivalentumo lygtis

Ankstesniame skyriuje (1.6) kalbëta apie palûkanø normø ekvivalentumà.Dabar bus aptariamas finansiniø ásipareigojimø ekvivalentumas. Finan-siniuose sandoriuose paprastai dalyvauja dvi suinteresuotos ðalys, todëlpats sandoris ámanomas tiktai tada, kai abiejø jo ðaliø interesai yra su-derinti. Kadangi finansiniai ásipareigojimai paprastai susijæ su tam tikraisterminais, bûtina ávertinti pinigø vertës priklausomybæ nuo laiko. Jau ne kartàteigta, kad pinigø vertë laikui bëgant keièiasi: 1000 Lt dabar ir 1000 Lt pometø nëra tie patys pinigai – dabar turima 1000 Lt suma, jà padëjus ábankà, po metø duos papildomai dar ir palûkanas.

Norint sulyginti skirtingu laiku gautas ar iðmokëtas pinigø sumas, reikiajas perskaièiuoti iki to paties laiko momento, vadinamo palyginimomomentu arba taðku. Perskaièiuojant naudojamos bûsimosios ardabartinës pinigø vertës.

Pagal finansiniø ásipareigojimø ekvivalentumo principà reikalaujama,kad, pavyzdþiui, kreditas, paimtas dabar, o iðmokëtas po tam tikro termino,

4400

4400

31

bûtø padengtas ekvivalenèia suma. Pastaroji priklauso nuo laiko trukmës,praëjusios nuo kredito paëmimo iki padengimo, ir nuo susitartos palûkanønormos dydþio. Ásipareigojimø ekvivalentumas matematiðkai iðreiðkiamasekvivalentumo, arba vertës, lygtimi. Èia svarbu pabrëþti, kad vertës lygtisgali bûti uþraðyta ne tik pradiniam laikui, bet ir bet kuriam kitampalyginimo momentui. Taip uþraðytos lygtys yra ekvivalenèios, t. y. josturi tuos paèius sprendinius.

Vertës lygtis yra labai paprasta, jei kreditas padengiamas vienos ámokosmetu. Diskontuojant padengimo ámokà gaunama:

( )ni

xK

+=

1

,

èia: K – kreditas, suteiktas n metø, kai palûkanø norma i, x – kreditàpadengsianti ámoka.

Ið ðios lygties nesunkiai randama padengimo suma:

( )niKx += 1 .

Akivaizdu, kad gautoji lygtis yra sudëtiniø procentø formulë.Dabar tariama, kad kreditas padengiamas ne ið karto, o dalimis.

Tarpinës sumos K1, K2, …, mokamos praëjus terminams ni (i =1, 2, …).

Reikia nustatyti, kam lygi galutinë ámoka X, mokama praëjus n metø.Diskontuojant padengimo ámokas iki pradinio, t. y. kredito paëmimomomento, gaunama vertës lygtis:

( ) ( ) ( )nnn

i

X

i

K

i

KK

+++

++

+=

1...

1121

21 . (1.12)

Aptariamas klausimas toliau iliustruojamas pavyzdþiais.

0 n1

n2 n

K1

K2 X Padengimo suma

metai



1.15 pavyzdys. 10 000 Lt paskola paimta trejiems metams esant 8%metiniø (sudëtiniø) palûkanø normai. Paskola gràþinama pagal toká planà:8 000 Lt gràþinama po dvejø metø, o likusi dalis – pasibaigus paskolosterminui po trejø metø. Reikia nustatyti paskutiniojo atsiskaitymo dydá.

Sudaroma lygtis, tariant, kad paimtos paskolos dydis ir gràþinamapinigø suma yra ekvivalenèios. Tam gràþinama pinigø suma diskontuojamaiki skolos paëmimo momento. Gaunama lygtis:

32081081

800000010

,,

X+= .

Ðios lygties abi puses padauginus ið 1,083 ir iðreiðkus x, gaunamaekvivalenti lygtis:

0818000081000103

,, ⋅−⋅=X .

Galima pastebëti, kad naujoji lygtis taip pat yra vertës lygtis, tik uþ-raðyta iki kito palyginimo momento – pasibaigus padengimo terminui.Taip pertvarkant galima gauti vertës lygtá iki bet kurio palyginimo mo-mento.

Ið bet kurios lygties randama, kad X = 3957,12 Lt.Atsakymas: 3957,12 Lt.Analogiðka vertës lygtis gali bûti sudaryta ir tada, kai yra ne viena, o

kelios tarpinës ámokos.

1.16 pavyzdys. 10 000 Lt paskola paimta penkeriems metams esant6% metiniø palûkanø normai. Paskola gràþinama pagal toká planà:4000 Lt gràþinama po dvejø metø, 5000 Lt po ketveriø metø, o likusidalis – pasibaigus paskolos terminui – po penkeriø metø. Reikia nustatytipaskutiniojo atsiskaitymo sumos dydá.

Sudaroma vertës lygtis, diskontuojant gràþinamas sumas prieð paskolosiðdavimo momentà:

542061061

5000

061

400000010

,.,

X++= .

33

Atlikus analogiðkus kaip ir 1.15 pavyzdyje pertvarkymus, turima:

.,,, 061500006140000610001035

⋅−⋅−⋅=X

Ði lygtis yra iki padengimo termino pabaigos momento uþraðyta vertëslygtis, taigi toliau randamas paskutinës ámokos dydis: X = 3318,19 Lt.

Atsakymas: paskutinë ámoka 3318,19 Lt.



2. PINIGØ SRAUTAI

2.1. Sàvokos ir apibrëþimai

Pinigø srautai – tai skirtingu laiku gauti ir iðleisti pinigai. Jie gali turëtipaèià ávairiausià formà – tai darbo uþmokestis, nuomos, komunaliniai arhipotekos mokesèiai, draudimo ámokos, áplaukos realizavus produkcijà,pajamos ið vertybiniø popieriø ar valiutiniø operacijø ir panaðiai.

Per laikà pasiskirsèiusiø mokëjimø – iðmokø ir ámokø aibë yra pinigøsrautas. Pinigø srautai mokëjimø pasikartojimo poþiûriu taip pat gali bûtiávairûs. Daugiausia dëmesio ðioje knygoje skiriama periodiniams mo-këjimams. Vienodais laiko tarpais atliktø mokëjimø seka vadinamaperiodiniais mokëjimais.

Be to, nagrinëjant pinigø srautus bus vertinama mokëjimo kryptis:tariama, kad áplaukos yra teigiami nariai, o iðmokos – neigiami.

Ðiame skyriuje nagrinëjamos paskolos, jø padengimas, kaupiamiejiánaðai ir kt. Nagrinëjami klasikiniai pinigø srautai, kuriems skaièiuotinaudojama sudëtiniø palûkanø taisyklë, tam, kad vëliau bûtø galimapereiti prie srautø, turinèiø ribotus iðteklius, analizës.

Ilgalaikës ir vidutinës trukmës paskolos paprastai padengiamos (grà-þinamos) ne ið karto, o dalimis. Kreditas daþniausiai (nors taip pat nevisada) suteikiamas visas ið karto, o padengiamas laipsniðkai. Bankinin-kystëje kredito padengimas dar vadinamas paskolos amortizavimu.Naudojami ávairûs kredito amortizavimo bûdai: skirtingo dydþio dalimis,ámokamomis neperiodiðkai pasikartojanèiomis datomis, anuitetais1 ir kt.

1 Anuitetas (vok. Annuität) – metinë ámoka skolai ir palûkanoms dengti;kasmetinës pajamos (renta).

352. Pinigø srautai

Vienas ið finansø valdymo uþdaviniø yra rasti tinkamiausià abiemsuinteresuotoms ðalims (kreditoriui ir skolininkui) kredito padengimobûdà.

Vienas ið paskolø padengimo bûdø – periodinis ánaðø mokëjimas. Ðieánaðai mokami ávairiai: periodo pradþioje, pabaigoje, viduryje ir t. t. Ánaðai,mokami periodo pradþioje, vadinami prenumerando ánaðais, o pabaigoje– postnumerando ánaðais. Ðios sàvokos vartojamos visø tipø periodiniamsmokëjimams: tiek ámokoms, tiek iðmokoms. Postnumerando ánaðai darvadinami paprastaisiais. Jei uþdavinio sàlygoje nenurodytas pinigø srautotipas, tariama, kad tai paprastasis, tai yra postnumerando srautas.

Periodas yra pastovus laikotarpis tarp gretimø ámokø. Ámokos vadi-namos anuiteto nariais. Anuiteto kilmë – tai pirmojo mokëjimo periodopradþia.

Kiekvienai paskolai gràþinti sudaromas planas, kuriame numatoma,kada ir kokia bus padengta pagrindinës paskolos dalis bei palûkanos.Patogus yra anuitetinis padengimo bûdas. Padengti galima pastoviaisiaisir kintamaisiais dydþiais, suapvalintais ir kitokiais anuitetais.

Padengiant pastoviaisiais anuitetais, paskolos dydis tolygiai iðdëstomasvisam padengimo laikui. Tai patogu. Kita vertus, pirmieji mokëjimaiskolininkui gali bûti per daug sunki finansinë naðta, nes pirmieji metai poinvesticijø daþnai neduoda pakankamø finansiniø áplaukø, kuriosgarantuotø, kad skola bus greitai padengta.

Kintamøjø anuitetø dydis gali kisti laisvai, bet gali turëti aritmetinësar geometrinës progresijø ar kito dësnio pobûdá.

2.2. Ilgalaikiø paskolø padengimas pastoviaisiaisanuitetais

Plaèiausiai paplitæs anuiteto (lot. annus „metai“) apibrëþimas yra susijæssu kasmetiniais mokëjimais, skirtais padengti paskolà. Taèiau tokieperiodiniai mokëjimai bûna ir daþnesni.


Periodiniai mokëjimai, turintys pastovaus þenklo narius, vadinamianuitetais. Panaðiai yra apibrëþiama ir renta.

Gana daþnai taikomas anuitetinis paskolø padengimo bûdas. Toliauvisø pirma bus nagrinëjamas paskolos padengimas pastoviaisiaisanuitetais. Imamas postnumerando atvejis (skola iðmokama periodopabaigoje), kai skolos padengimo periodas lygus palûkanø laiko vienetui.Daþniausiai ðis periodas – vieneri metai, taèiau gali bûti ir kitoks.

Tariama, kad Kn – kreditas, suteiktas n metø, A – kasmetë ámoka, skirta

kreditui padengti, sumokama kiekvieno periodo (metø) pabaigoje.

Taigi pirmasis ánaðas bus mokamas pirmøjø metø pabaigoje ir dël toðio ánaðo diskontuotas dydis bus A·v (èia v – diskonto koeficientas).Antrasis ánaðas bus po dvejø metø, tad jo diskontuotas dydis A· v2 ir t. t.Pagaliau n-tasis ánaðas bus po n metø ir jo diskontuotas dydis bus nvA ⋅ .

Visas kreditas bus padengtas, jei visø daliniø ámokø dabartinë vertëlygi kredito sumos dydþiui, t. y.

n

nvAvAvAK ⋅++⋅+⋅= ...2 .

Gautoji lygtis iðsprendþiama ámokos A atþvilgiu:

( )nn

vvvAK +++= ...2 ;

nn

vvv

KA

+++=

...2.

Gauta anuitetiniø ámokø iðraiðkos lygtis, kurios vardiklio nariai sudarogeometrinæ progresijà. Pritaikius progresijos nariø sumos formulæ2, gaunama:

0 n-11 n2 3

AA AA A

2 Geometrinës progresijos n pirmøjø nariø suma Sn yra uþraðoma formule

( ) ( )111

−−= qqbS n

n , èia: b1 – pirmasis progresijos narys, q – progresijos vardiklis.

37

( )

)1(

1

−

−=

n

n

vv

vKA .

Kadangi

rv

1= , tai

( )n

n

n

n

n

r

rrK

rr

rK

A−

−⋅=

−

−

=1

1

111

11

.

Paskutinës trupmenos skaitiklá ir vardiklá padauginus ið –1 ir tarus,kad r = 1+ i, gaunama:

( )( ) 11

1

−+

⋅+=

n

n

n

i

iiKA . (2.1)

Èia trupmena ( )

( ) 11

1

−+

⋅+=

n

n

i

iik vadinama padengimo koeficientu.

2.1 pavyzdys. Sudarykite 70 000 Lt paskolos padengimo pastoviaisiaisanuitetais planà, kai ji paimta penkeriems metams, esant 6,5% sudëtiniømetiniø palûkanø normai. Nustatykite skolos likutá penktaisiais metais.

Sprendimas

Pirmiausia apskaièiuojamas anuitetinis padengimo koeficientas, poto – anuitetas:

( )

( )2406345,0

1065,01

065,0065,015

5

=−+

⋅+=k ;

2406345,000070 =⋅=⋅= kKAn 16 844,42 (Lt).

Sudaromas paskolos padengimo planas:

2. Pinigø srautai


Anuitetas yra 16 844,42 Lt. Skolos likutis paskutiniais metais lygus15 816,35 Lt. Atkreiptinas dëmesys, kad, skaièiuojant rankiniu bûdu,skolos padengimas paskutiniaisiais metais dël apvalinimo paklaidos galinesutapti. Siekiant iðvengti nesutapimo skaièiavimams reikia naudotipakankamo tikslumo anuitetiná padengimo koeficientà.

Lentelës pirmos skilties áraðai parodo skolos likutá atitinkamo periodo(metø) pradþioje arba prieð tai ëjusio periodo pabaigoje. Antroje skiltyjeapskaièiuotos tik faktinio skolos likuèio palûkanos.

Taip pat aiðku, kad treèios skilties áraðai yra ketvirtos ir antros skilèiøatitinkamø áraðø skirtumai.

2.3. Keli padengimai pastoviaisiais anuitetais per laikovienetà

Dabar tariama, kad per vienà palûkanø laiko vienetà yra keletas pastovausdydþio anuiteto nariø. Pavyzdþiui, kreditas, paimtas n metø esant p%metiniø palûkanø, padengiamas kas mënesá.

Tariama, kad Kn – kreditas, suteiktas n periodø (metø);

i – nominalioji palûkanø norma;a – pastovaus dydþio ámoka (pastovusis anuiteto narys);k – anuiteto nariø skaièius per laiko vienetà.

Metai Skolos likutis

metų pradžioje

Įmokos metų pabaigoje (Lt)

Palūkanos (6,5%) Pagrindinės

skolos

padengimas (4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 4550 12 294,42 16 844,42

2 57 705,58 3750,86 13 093,55 16 844,42

3 44 612,03 2899,78 13 944,64 16 844,42

4 30 667,39 1993,38 14 851,04 16 844,42

5 15 816,35 1028,06 15 816,35 16 844,42

Iš viso: 14 222,09 70 000,00 84 222,09

39

Imokos a mokamos postnumerando, t. y. kiekvieno periodo pabaigoje.Tada per n periodø bus nk anuiteto nariø. Reikia rasti visø jø dabartinæ(diskontuotà) vertæ. Ði vertë bus lygi gautojo kredito sumai.

nkk

nk

ia

k

ia

k

ia

k

iaK

−−−−

+⋅++

+⋅++

+⋅+

+⋅= 1...1...11

21

.

Reiðkinys

1

1

−

+k

ipaþymimas koeficientu kv . Tai bus dalinio

periodo diskonto koeficientas:

k

ivk

+

=

1

1 . Tada

( )nkk

kkkkn vvvvaK +++++= ......2 .

Skliaustuose áraðytai sumai pritaikoma geometrinës progresijos nariøsumos formulë, kai pirmasis narys ir progresijos vardiklis lygûs vk, o nariøskaièius nk :

1

1

−

−⋅=

k

nkk

knv

vvaK .

Ið èia iðreiðkiamas anuiteto narys ir daromi tolesni pertvarkymai, gráþ-tama prie ankstesnës vk reikðmës:

( )

−

++

−+

=−⋅

−=

11

1

1

1

11

1

)1(

1

nk

nnkkk

kn

kiki

kiK

vv

vKa .

Suprastinus ir sutraukus panaðius narius, gaunamas dalinio periodopostnumerando anuitetas:

11

1

−

+

+=

nk

nk

n

k

i

k

i

k

i

Ka .(2.2)

2. Pinigø srautai


Nesunku pastebëti, kad kai k = 1, iðvestoji formulë pavirsta formule (2.1).

2.2 pavyzdys. Sudarykite 30 000 Lt paskolos padegimo lygiaisiaisanuitetais planà, kai ji iðduota trejiems metams esant 7% metiniø palûkanønormai ir padengiama postnumerando kas ðeði mënesiai.

Sprendimas

Pritaikius (2.2), formulæ gaunamas pusmetinis anuitetas:

( )

( )95,6913

103,01

03,003,0100020

32

32

=−+

+=

⋅

⋅

a (Lt).

Sudaromas paskolos padengimo pusmetiniais periodais planas:

Anuitetas yra 5 630, 05 Lt. Skolos likutis paskutiniais metais ir pagrin-dinës skolos padengimo suma sutampa ir yra 5 439, 66 Lt.

2.4. Kintamieji anuitetai

Minëta, kad kintamieji anuitetai gali kisti laisvai, gali keistis pagalaritmetinæ ar geometrinæ progresijà (didëti ar maþëti) ar ágyti kito dësniopobûdá.


Metai Pusmečiai

Skolos

likutis

pusmečio

pradžioje

Palūkanos

= %53,

k

p

Pagrindinės

skolos

padengimas

(4–2)

Anuitetas

(2+3)

A B 1 2 3 4

1 30 000 1050 4580,05 5630,05 1

2 25 419,95 889,70 4740,35 5630,05

3 20 679,61 723,79 4906,26 5630,05 2

4 15 773,35 552,07 5077,98 5630,05

5 10 695,37 374,34 5255,71 5630,05 3

6 5439,66 190,39 5439,66 5630,05

Iš viso: 3780,28 30 000,00 33 780,28

(1 + 0,035)2·3 0,035(1 + 0,035)2·3 – 1

30 000

41

Tolia nagrinëjamas atvejis, kai kasmetës postnumerando ámokos kei-èiasi pagal aritmetinæ progresijà. Tada ámokø sekà galima uþraðyti taip:

( ) ( ) ( )( )44444444 344444444 21

narių

11111...2

n

dnadadaa −+++++++

;èia: a1 – pirmoji ámoka;

d – dviejø gretimø ámokø dydþio skirtumas;n – nariø (ámokø) skaièius.Paskola K

n uþraðoma kaip sekos nariø suma:

( ) ( )dadaaKn

2111 +++++= ... ( )( )dna 11 −++ .

Deðiniojoje lygybës pusëje uþraðytà progresijà galima apibrëþti þino-momis aritmetinës progresijos formulëmis. Pritaikius nariø sumos for-mulæ, gaunama:

( )( )dnan

Kn

122

1 −+= .

Ið èia randamas pirmasis narys a1:

( )2

1

1

dn

n

Ka

n−

−= .

Pirmasis ir kiti progresijos nariai rodo tik padengiamà pagrindinësskolos sumà. Èia yra neávertinta pinigø vertës priklausomybë nuo laiko(pinigø laiko vertë). Dël to palûkanos turi bûti apskaièiuotos atskirai irpridëtos prie pagrindinës skolos ámokø.

Jeigu progresija bûtø maþëjanti, tada formulëse d bûtø neigiamas (d < 0).

2.3 pavyzdys. 63 000 Lt paskola paimta ðeðeriems metams esant 4,5%metiniø palûkanø normai. Ji padengiama kasmetëmis postnumerandoámokomis, be to, kiekvienà kartà ámokos dalis, tenkanti pagrindinei skolaipadengti, padidinama 1000 Lt. Sudaromas paskolos padengimo planas.

Sprendimas

Apskaièiuojamas pirmasis progresijos narys, atitinkantis pirmàjàpagrindinës skolos padengiamà sumà

2. Pinigø srautai


( )0008

2

00015

6

00063

2

11 =

⋅−=

−−=

dn

n

Ka

n Lt.

Kadangi ámokos, padengianèios pagrindinës skolos dalá, tarpusavyjeskiriasi 1000 Lt, nesunkiai randami ir kiti nariai. Jie suraðomi á lentelëstreèià skiltá. Po to apskaièiuojamos palûkanos ir anuitetai. Sudaromaspaskolos padengimo planas:

Analogiðkai elgiamasi ir kai kasmetës postnumerando ámokos keièiasipagal geometrinæ progresijà. Tada ámokø sekos sumà Kn galima uþraðytitaip:

1

11

−

−=

q

qaK

n

n ;

èia: a1 – pirmoji ámokos dalis, padengianti pagrindinæ skolà;q – dviejø gretimø ámokø daliø, tenkanèiø pagrindinei skolai, santykis

(q = a2/a1);

n – nariø (ámokø) skaièius.Ið ðios lygties iðreiðkiama pirmoji ámoka a1:

1

11

−

−=

nn

q

qKa .

8000 Lt.1000



metų pradžioje

Palūkanos

(4,5%)

Pagrindinės

skolos

padengimas (4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 63 000 2835 8000 10 835

2 55 000 2475 9000 11 475

3 46 000 2070 10 000 12 070

4 36 000 1620 11 000 12 620

5 25 000 1125 12 000 13 125

6 13 000 585 13 000 13 585

Iš viso: 10 710 63 000 73 710

43

Þinant pirmàjá nará a1 ir q nesunkiai galima rasti ir kitus narius. Be to,

jei q > 1 – ámokø seka yra didëjanti, jei 0 < q < 1 – maþëjanti.

2.4 pavyzdys. 63 000 Lt paskola paimta ðeðeriems metams esant 4,5%metiniø palûkanø normai. Ji padengiama kasmetëmis postnumerandoámokomis, be to, kiekvienà kartà pagrindinæ skolos dalá dengianti ámokapadidinama 10%. Reikia sudaryti paskolos padengimo planà.

Sprendimas

Remiantis uþdavinio sàlyga galima uþraðyti:

Kn = 63 000, n = 6, p = 4,5%, q = 1,1.

Apskaièiuojama pirmosios ámokos pagrindinë dalis:

26,165811,1

11,100063

1

1

61 =

−

−=

−

−

=nn

q

qKa Lt.

Kadangi gretimø ámokø santykis þinomas ir lygus 1,1, tai nesunkiaisurandamos ir kitos ámokos. Jos suraðomos á lentelës treèià skiltá. Po toskaièiuojama palûkanos ir anuitetai. Sudaromas paskolos padengimo planas:

Ið lentelës matoma, kad paskutinë ámoka lygi skolos likuèio ir palûkanøuþ paskutiniuosius metus sumai.

2. Pinigø srautai



metų pradžioje

Palūkanos

(4,5%)

Pagrindinės

skolos

padengimas

(4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 63 000 2835,00 8165,26 11 000,26

2 54 834,74 2467,56 8981,79 11 449,35

3 45 852,94 2063,38 9879,97 11 943,35

4 35 972,97 1618,78 10 867,97 12 486,75

5 25 105,01 1129,73 11 954,76 13 084,49

6 13 150,24 591,76 13 150,24 13 742,00

Iš viso: 10 706,22 63 000,00 73 706,22


2.5. Anuitetø apvalinimas

Gautos anuitetø reikðmës nëra patogios naudoti praktiðkai, nes paprastaibûna iðreikðtos ne sveikaisiais, o trupmeniniais skaièiais. Todël daþniausiaijos apvalinamos, o susidaræs skirtumas dengiamas paskutinës ámokosmetu.

Tariama, kad paskola Kn padengiama per n metø esant p% metinei

palûkanø normai. Pirmuosius n–1 metø mokama postnumerando po apiniginiø vienetø, o paskutinysis, n–tasis, anuitetas lygus a

n. Reikia rasti

paskutinájá anuiteto nará an.

Paskola Kn gali bûti iðreikðta kaip visø daliniø mokëjimø, diskontuotø

iki jø kilmës momento, suma:

n

n

n

nvavavavavaK +++++=

−132...

;

èia v – diskonto koeficientas.Iðkëlus a ir pritaikius geometrinës progresijos nariø sumos formulæ,

gaunama:

nn

n

n vav

vvaK +

−

−=

−

1

11

.

Ið èia, tarus, kad i

v+

=1

1, èia

100

pi = , randama a

n:

( ) ( )( ) ( )iii

aiKa

nn

nn ++−++= −1111

1 . (2.3)

Tai paskutiniojo anuiteto nario apskaièiavimo formulë. Pastoviojiámoka a gali bûti nustatyta bet kuriuo priimtinu bûdu. Vienas ið tokiøbûdø gali bûti anuiteto apskaièiavimas pagal (2.1) formulæ ir gautosiosreikðmës suapvalinimas jà padidinant ar sumaþinant. Kitas bûdas:pastovioji ámoka gali bûti imama kaip tam tikras kredito sumos procentas.Galimi ir kitokie bûdai. Kad ir kaip bûtø, reikia ávertinti tai, kad pastoviojiámoka a negali bûti bet kokia: jei ji bus per didelë, padengimo trukmënebus visiðkai iðnaudota ir paskola bus padengta pirma laiko; o jei busper maþa, tada paskutinë ámoka bus neproporcingai didelë.

45

2.5 pavyzdys. Remiantis 2.1 pavyzdþiu reikia apskaièiuoti paskutináanuiteto nará ir sudaryti 70 000 Lt paskolos, paimtos penkeriems metamsir esant 6,5% sudëtiniø metiniø palûkanø normai, suapvalintø iki lygiøtûkstanèiø, mokëjimø anuitetiná padengimo planà.

Sprendimas

Ið (2.1) pavyzdþio anuitetas lygus 16 844,42 Lt. Didinant suapvalinamaiki 17 000 Lt. Tada K

n = 70 000, a = 17 000, n = 5, i = 0,065. Ið (2.3)

formulës randamas paskutinis anuiteto narys:

( ) 17,11416065,1065,11065,0

00017065,100070

45 =−+⋅=na Lt.


Matoma, kad skolos likutá paskutiniø metø pradþioje visiðkai padengiapagrindinë ámoka tø metø pabaigoje. Anksèiau apskaièiuotas paskutinysisanuiteto narys pakartotinai gaunamas prie pagrindinës paskutiniø metøámokos pridëjus tø metø palûkanas. Sutaptis rodo pakankamà apskai-èiavimo tikslumà.

Toliau nagrinëjamas kitas atvejis, kai suapvalinus ámokas susidaræsskirtumas dengiamas ne paskutinës, o kitos, pavyzdþiui, pirmosios ámokosmetu.

2. Pinigø srautai



metų pradžioje

Palūkanos

(6,5%)

Pagrindinės

skolos

padengimas

(4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 4550 12 450,00 17 000

2 57 550,00 3740,75 13 259,25 17 000

3 44 290,75 2878,90 14 121,10 17 000

4 30 169,65 1961,03 15 038,97 17 000

5 15 130,68 983,49 15 130,68 16 114,17

Iš viso 14 114,17 70 000,00 84 114,17


Kaip ir anksèiau, tariama, kad paskola Kn padengiama per n metø

esant p% metiniø palûkanø normai. Ðiuo atveju pirmoji ámoka paþymimaa1, o likusios n–1 postnumerando mokamos ámokos, kaip ir anksèiau, apiniginiø vienetø. Reikia rasti pirmosios ámokos a1 reikðmæ.

Paskola Kn gali bûti iðreikðta kaip visø daliniø mokëjimø, diskontuotø

iki jø kilmës momento, suma:

nn

nvavavavavaK +++++=

−132

1 ....

Iðkëlus a, pritaikius geometrinës progresijos nariø sumos formulæ iratlikus kitus pertvarkymus gaunama a1:

( )( )

( )( )111

111

1−

−

+−+⋅

++= n

nn iii

aiKa . (2.4)

2.6 pavyzdys. Reikia apskaièiuoti pirmàjá anuiteto nará ir sudaryti70 000 Lt paskolos, paimtos penkeriems metams ir esant 6,5% sudëtiniømetiniø palûkanø normai, suapvalintø iki lygiø tûkstanèiø, mokëjimøanuitetiná padengimo planà. Skaièiuojant remiamasi 2.1 pavyzdþiu, orezultatai palyginami su 2.5 pavyzdþiu.

Sprendimas

Anuitetas, kaip ir 2.5 pavyzdyje, lygus 17 000 Lt. Tada: Kn = 70 000,

a = 17 000, n = 5, i = 0,065. Ið (2.4) formulës randamas pirmasis anuitetonarys:

( ) 42,31116065,11065,1065,0

00017065,100070

4

41=−

⋅

+⋅=a Lt.


47

Ið lentelës matoma, kad paskutinë ámoka lygi skolos likuèio ir palûkanøuþ paskutiniuosius metus sumai. Be to, pirmoji ámoka lygi 16 311,42 Lt.O 2.5 pavyzdþio paskutinë ámoka yra 16 114,17 Lt. Taigi abi ámokos yragana panaðios, o skirtumà lemia pinigø laiko vertë.

2.6. Rentos apskaièiavimas

Kaip aptarta skyriaus pradþioje, finansø matematikoje yra svarbios ávairiosmokëjimø sekos. Ðios sekos gali bûti periodinës ir neperiodinës, jas galisudaryti tiek áplaukos, tiek iðmokos. Tokios sekos gali bûti gyventojø ánaðaiá banko depozitines sàskaitas, pajamos ið investicijø, kredito padengimoámokos, pensijø mokëjimai ir t. t. Kai kurios tokios sekos vadinamosrentomis.

Mokëjimø seka, tarp kurios nariø yra pastovaus dydþio intervalai,vadinama finansine renta arba tiesiog renta.

Taigi ir rentos, ir anuitetai apibrëþiami labai panaðiai. Tradiciðkairentomis daþniau laikomos tokios sekos, kuriose palûkanos pabrëþtinaisiejamos su kapitalo kaupimu, skaièiuojant ðiø sekø bûsimàjà vertæ, oanuitetais laikomos sekos, kurios yra siejamos su paskolø amortizavimu,skaièiuojant jø esamàja verte. Kitaip tariant, pinigø srauto esamoji vertë

2. Pinigø srautai


Metai

Skolos

likutis metų

pradžioje

Palūkanos

(6,5%)

Pagrindinės

skolos

padengimas

(4–2)

Anuitetas

(2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 4550 11 761,42 16 311,42

2 58 238,58 3785,51 13 214,49 17 000

3 45 024,08 2926,57 14 073,43 17 000

4 30 950,65 2011,79 14 988,21 17 000

5 15 962,44 1037,56 15 962,44 17 000

Iš viso 14 311,42 70 000,00 84 311,42


siejama su anuiteto sàvoka, o tokio paties pinigø srauto bûsimoji vertë –su renta.

Ðiame skyriuje nagrinëjamos sekø bûsimosios vertës ir, pabrëþiantpalûkanø svarbà, paèios sekos vadinamos rentomis.

Kaip ir anuitetai, rentos apibûdinamos analogiðkais parametrais:rentos nariu – ámokos dydþiu, rentos periodu – laikotarpiu tarp dviejøgretimø mokëjimø, rentos kilme – pirmojo mokëjimo periodo pradþiosmomentu, rentos trukme – laikotarpiu nuo pirmojo periodo pradþios ikipaskutinio pabaigos, ir palûkanø norma.

2.6.1. Metinë renta

Paprasèiausias rentos atvejis, kai rentos nariai yra pastovaus dydþio,mokëjimai periodo pabaigoje (postnumerando), o rentos periodassutampa su palûkanø skaièiavimo laiko vienetu ir kalendoriniais metais.

Tariama, kad rentos nariai yra pastovaus dydþio, n metø postnume-rando mokamos ámokos R, o jø metinë palûkanø norma i.

Tada per n metø sukaupta rentos vertë Rn gali bûti nustatyta taip:

pirmoji ámoka dalyvaus kaupiant n–1 periodø, todël rentos trukmëspabaigoje ji bus Rrn–1; antroji ámoka dalyvaus kaupiant n–2 periodø ir buslygi Rrn–2 ir t. t. Paskutinë ámoka bus ámokëta paskutinio periodo pabaigojeir dël to palûkanø neturës. Taigi gaunama:

( )1...... 21021 ++++=++++= −−−− rrrRRrRrRrRrR nnnn

n.

Skliaustuose áraðytos sumos dëmenys sudaro geometrinæ progresijà,kurios pirmasis narys (skaièiuojant ið deðinës) lygus 1, vardiklis q = r, onariø skaièius n. Skliaustuose esama suma apskaièiuojama remiantisþinoma geometrinës progresijos nariø sumos formule. Tada per n metøsukaupta metinë postnumerando renta bus tokia:

0 n-1n-21 n2 3

RRR RR R

49

1

1

−

−⋅=r

rRR

n

n.

Ðioje formulëje imant r = 1+i, gaunama

( )

i

iRR

n

n

11 −+⋅= . (2.5)

Dydis ( )

i

ik

n

r

11 −+= vadinamas metinës rentos koeficientu.

Diskontuojant sukauptàjà (bûsimàjà) rentos vertæ Rn, nesudëtinga

apskaièiuoti dabartinæ vertæ R0:n

nvRR ⋅=

0 (èia r

v

1= – diskonto koeficientas);

( ) ir

rR

rr

rR

rRR

n

n

n

n

nn

1

1

110

−=

−

−== .

Taigi dabartinë postnumerando rentos vertë R0 yra tokia:

n

n

ri

rRR

⋅

−= ⋅

10

.

Ðioje formulëje imant r = 1+i, gaunama

( )

( )n

n

ii

iRR

+⋅

−+= ⋅

1

110

Sulyginus gautàjà rentos iðraiðkà su analogiðka anuiteto formule (2.1)matoma, kad tai yra ta pati formulë, tik iðreikðta per kità rentos elementà.

Dabar tariama, kad analogiðkos rentos ámokos R mokamos ne metøpabaigoje, o pradþioje, t. y. kad rentos ámokos yra pastovaus dydþio,mokamos n metø prenumerando, o jø metinë palûkanø norma lygi i.

0 n-1n-21 n2 3

RRRR R R

2. Pinigø srautai


Ðiuo atveju sukauptoji prenumerando rentos vertë yra tokia:

1

1

−

−⋅=

r

rrRR

n

n

,

arba

( )( )

i

iiRR

n

n

111

−++⋅= . (2.6)

2.7 pavyzdys. Lygiai 18 metø, kiekvienø jø pradþioje, ámokama po900 Lt. Metiniø palûkanø norma 3,5%. Kokia suma susidarys jo 18 metø?

Sprendimas

Pagal (2.6) formulæ apskaièiuojama per 18 metø sukaupta prenume-rando rentos vertë:

249969,24035,19001035,1

1035,19

18

18 035,100 =⋅⋅=−

−= ⋅R 22 821,46 Lt.

Pakeitus sàlygoje prenumerando mokëjimus á postnumerando irpritaikius (2.5) formulæ, gaunama:

49969,249001035,1

1035,19

18

18 00 =⋅=

−

−= ⋅R 22 049,72 Lt.

Ðá uþdaviná sprendþiant kompiuteriu skaièiuoklës Microsoft Excelkomandos uþraðomos taip:

„ = FV(3,5%;18;-900;0;1)“ lygu 22 821,46Lt;„ = FV(3,5%;18;-900;0;0)“ lygu 22 049,72 Lt.Uþraðytø komandø struktûra yra tokia:FV(norma;periodø skaièius;ámoka;esamoji vertë;tipas),èia: norma (rate) – periodo palûkanø norma;periodø skaièius (nper) – investicijos periodø skaièius;ámoka (pmt) – vienodø periodiniø mokëjimø dydis (turi minuso þenklà,

nes yra iðlaidos);esamoji vertë (pv) – pradinë ámoka (mûsø atveju ji lygi nuliui);tipas (type): 0 – postnumerando mokëjimai, 1 – prenumerando

mokëjimai.

51

2.8 pavyzdys. Per ðeðerius metus reikia sukaupti 12 000 Lt esant 4,5%metiniø palûkanø normai. Kokius metinius ánaðus reikia mokëti kiekvienømetø pabaigoje?

Sprendimas

Ið (2.5) formulës iðreiðkiamas rentos narys R:

1

1

−

−= ⋅

nn

r

rRR .

Á gautàjà formulæ áraðius sàlygos duomenis, gaunama:

R = 12 000 54,1786148878,0000121045,1

1045,16

=⋅=

−

−

⋅ Lt.

Ðá uþdaviná sprendþiant kompiuteriu, su funkcijos PMT pagalba, ko-manda uþraðoma taip:

„ = PMT(4,5%;6;0;12000;0)“ lygu –1786,54 Lt.Uþraðytosios komandos struktûra yra analogiðka funkcijai FV:PMT (norma;periodø skaièius; esamoji vertë;bûsimoji vertë;tipas),Prisimintina, kad rezultato neigiamas þenklas reiðkia iðlaidas.Kaip ir postnumerando atveju, diskontuojant prenumerando sukaup-

tàjà (bûsimàjà) rentos vertæ Rn , nesudëtinga apskaièiuoti dabartinæ vertæ

R0:n

n vRR ⋅=0.

Atlikus pertvarkymus, randama dabartinë rentos vertë R0

( )

( ) 101

11−+⋅

−+=

n

n

ii

iRR .

2.6.2. Kelios ámokos per vienà laiko vienetà. Sudëtiniø palûkanø metodas

Gana daþni atvejai, kai per vienà laiko vienetà yra keli rentos periodai.Tariama, kad per laiko vienetà ámokama k vienodo dydþio ámokø R. Jeimokama kiekvieno dalinio periodo pabaigoje (postnumerando), mokëji-mø grandinæ galima pavaizduoti tokia seka:

2. Pinigø srautai


Tariama, kad renta trunka n laiko vienetø. Tada pirmoji ámoka kaupiant

dalyvaus k

kn

kn

11 −

=− periodø, antroji ámoka k

kn

kn

22 −=− ir t. t.

Pagal sudëtiniø palûkanø taisyklæ, turint galvoje, kad yra n·k daliniø

periodø, sukauptoji rentos vertë Rn yra tokia:

RrRrRrRrRrRR kkk

nk

k

nk

k

nk

n +⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=−−− 12321

... ;

èia r – sudëtiniø palûkanø koeficientas (r = 1+i).

Iðkëlus rentos nará R uþ skliaustø, gaunama:

++++++⋅=

−−−

1...

12321

kkk

nk

k

nk

k

nk

n rrrrrRR .

Skliaustuose yra geometrinës progresijos nariø suma. Jei vienetas yrapirmasis narys, tai progresijos vardiklis krq 1= . Atsiþvelgæ á tai, kad pro-gresijos nariø (periodø) yra n⋅k, gaunama:

1

11 −

−=

k

knk

nr

rRR .

Galutinai sutvarkius reiðkiná, gaunama sukauptoji rentos vertë postnu-merando:

1

1

−

−=

k

n

nr

rRR . (2.7)

0 2k-11 22 3 k-1 1 k+1k+2

RR RR R R R R R

k k k k k k k

2k –1

53

Jei mokama kiekvieno periodo pradþioje (prenumerando), rentosmokëjimø grandinæ galima pavaizduoti tokia seka:

Ðiuo atveju sukauptoji rentos vertë Rn yra tokia:

k

nk

k

nk

k

nk

n rRrRrRR

21

+⋅+⋅+⋅=

−−

... kk rRrR

12

⋅+⋅+ .

Sutvarkius reiðkiná, gaunama sukauptoji rentos vertë Rn prenume-

rando:

1

1

−

−=

k

n

k

nr

rrRR . (2.8)

2.9 pavyzdys. Uþuot 18 metø kiekvienø jø pradþioje mokëjus po 900 Lt,kaip duota 2.7 pavyzdyje, dabar kiekvieno mënesio pradþioje mokamapo 75 Lt (900:12 = 75). Metiniø palûkanø norma ta pati – 3,5%. Kokiasuma susidarys po 18 metø?

Sprendimas

Remiantis (2.8) formule apskaièiuojama per 18 metø sukauptojiprenumerando rentos vertë:

55,224651035,1

1035,175

12

18

1812 035,1 =

−

−= ⋅R Lt.

Pakeitus sàlygoje prenumerando mokëjimus á postnumerando ir pri-taikius (2.7) formulæ, gaunama:

1035,1

1035,17

12

18

185 =

−

−= ⋅R 22 401,24 Lt.

0 2k-11 22 3 k-1 1 k+1k+2

RR RR R R R R RR

k k k k k k k

2. Pinigø srautai

2k –1k –1


2.6.3. Kelios ámokos per vienà laiko vienetà. Miðrusis metodas

Rentos formulëse visi daliniai mokëjimai apskaièiuoti remiantis sudëtiniøprocentø taisykle. Kai kada sudëtiniai procentai apskaièiuojami pagalmiðriàjà formulæ: ( ) ( )ifiKK h

n⋅+⋅+= 11

0;

èia: h – sveikøjø periodø skaièius, f – trupmeninë periodo dalis.Kaip jau anksèiau iðsiaiðkinta, ði formulë naudojama, kai palûkanø

mokëjimo laikotarpis yra didesnis uþ vienetà trupmeninis skaièius(netaisyklingoji trupmena). Tada sveikøjø periodø kapitalizacija ap-skaièiuojama pagal sudëtinius procentus, o likusios periodo dalieskapitalizacija – pagal paprastuosius. Dabar ðià formulæ pritaikysime rentaiapskaièiuoti, kai yra kelios rentos ámokos per vienà laiko vienetà. Imamasdaþniausiai pasitaikantis laiko vienetas – metai. Pirmiausia iðnagrinësimepostnumerando atvejá.

Tariama, kad per vienerius metus (vienà laiko vienetà) ámokama kvienodo dydþio ámokø R. Tada sukauptoji renta bus sudaryta ið tokiø toliauiðvardytø nariø:

Per pirmuosius metus ámokø Rij ( ni ,1= ; kj ,1= ) sukauptoji vertëbus tokia:

( )

−++= −

ik

iRRn 1

1111

11 ,

( )

−++= − ik

iRR n 2111 1

12 ,

………………………………

( ) ( )

++= −

−

ik

iRR n

k

211

1

21 ,

( ) ( )

++= −

−

ik

iRR n

k

111

1

11 ,

( ) 11 1

1⋅+=

−n

k iRR .

55

Per antruosius metus:

( )

−++= − ik

iRR n 1111

2

21 ,

( )

−++= − ik

iRR n 2111 2

22 ,

………………………………

( ) ( )

++= −

−i

kiRR n

k

211 2

22 ,

( ) ( )

++= −

−i

kiRR n

k

111 2

12 ,

( ) 11 2

2⋅+= −n

k iRR .

Kitø periodø ámokø sukauptoji vertë apskaièiuojama taip kaip irpirmøjø dviejø. Todël per n-1-àjá (prieðpaskutiná) periodà kiekvienos ámo-kos sukauptoji vertë skaièiuojama taip:

( ) ( )

−++=

−i

kiRR n

1111

11 ,

( ) ( )

−++=

−i

kiRR n

2111

21 ,

………………………………

( )( ) ( )

++=

−−

ik

iRR kn

211

21 ,

( )( ) ( )

++=

−−

ik

iRR kn

111

11 ,

( ) ( ) 111⋅+=

−

iRR kn .

Pagaliau per n-tàjá (paskutiná) periodà sukauptoji vertë nustatomaðitaip:

2. Pinigø srautai


−+= ik

RRn

111

1 ,

−+= ik

RRn

2112

………………………………

( )

+=

−

ik

RR kn

21

2 ,

( )

+=

−

ik

RR kn

11

1 ,

1⋅= RRnk .Per n periodø (metø) sukauptoji rentos vertë lygi visø ámokø

sukauptøjø verèiø sumai, t. y.

∑==

=kn

ji

ijn RR,

1,1

.

Atkreiptinas dëmesys á tai, kad kiekvienø metø (kiekvieno periodo)ámokø sukauptøjø verèiø iðraiðkose yra pastovus daugiklis, sudarytas iðámokos R ir tø metø (to periodo) sudëtiniø palûkanø (jis þymimas

( ) jj iRK += 1 ; kj ,1= ). O paskutiniai, t. y. paprastøjø palûkanø, daugikliaikiekvienais metais kartojasi. Be to, jie sudaro aritmetinæ progresijà ir dëlto gali bûti rasta jø suma S.

11

12

1...2

111

11 +++++

−++

−+= ik

ik

ik

ik

S .

Èia sudëta k nariø, todël suma turi k vienetø. Kitus sumos nariussuraðius atvirkðtine tvarka, gaunama:

ik

ki

k

ki

ki

kkS

12...

21 −+

−++++= ;

( ) ( )( )12...21 −+−++++= kkk

ikS .

57

Skliaustuose sudëti natûralieji skaièiai nuo 1 iki k–1. Pasinaudojusaritmetinës progresijos nariø sumos formule, gaunama:

( )

2

1−+=

kikS .

Taigi per n metø (periodø) bus sukaupta tokia renta:

SRrSRrSRrSRrRnn

n

0121... ++++=

−− ,

( ) SrrrRRnn

n⋅++++=

−−

1...21

Skliaustuose áraðytoji suma yra metinës postnumerando rentoskoeficientas (þr. 2.5 formulæ), todël sukauptoji renta yra

( ) ( )i

ikikRR

n

n11

2

1 −+⋅

−+⋅= . (2.9)

Dabar iðnagrinëkime analogiðkà atvejá, kai mokama kiekvieno periodopradþioje, t. y. prenumerando. Kaip ir anksèiau, tariama, kad per metus(vienà laiko vienetà) ámokama k vienodo dydþio ámokø R, o palûkanølaikotarpis trunka n metø. Tada pirmøjø metø rentos dalis bus sudaryta iðtokiø nariø:

( ) ( )iiRR n ++= − 11 110

,

( )

−++= − ik

iiRR n 111 1

11 ,

( )

−++= − ik

iiRR n 211 1

12 ,

……………………………….

( ) ( )

++= −

−i

kiRRn

k

211

1

21 ,

( ) ( )

++= −

−i

kiRRn

k

111

1

11 .

2. Pinigø srautai


Kitais periodais (metais) gaunamas toks pats vaizdas kaip ir postnu-merando atveju: formulëse keisis tik sudëtinius procentus atitinkanti dalis.Be to, ji keisis taip pat kaip ir pirmuoju atveju: sudarys metinës postnu-merando rentos koeficientà. Dabar apskaièiuojama suma S ′ , kurià sudaropaprastøjø procentø daugikliai:

ik

ik

ik

iik

iiS1

12

1...2

11

11 +++++−++−+++=′ ,

( ) ( )( )kkkk

ikS +−+−++++=′ 12...21 ,

( )

2

1++=′

kikS .

Galime uþraðyti per n periodø sukauptà rentà, kai vieno kapitalizacijosperiodo metu yra k pastovaus dydþio prenumerando ámokø:

( ) ( )i

ikikRR

n

n

11

2

1 −+⋅

++⋅= . (2.10)

2.10 pavyzdys. 18 metø ið eilës, kiekvienà mënesá mokama po 75 Lt(uþuot mokëjus po 900 Lt, kaip duota 2.7 pavyzdyje; 900:12 = 75). Metiniøpalûkanø norma 3,5%. Kokia suma susidarys po 18 metø?

Sàlygoje nenurodytas mokëjimø tipas: mokama mënesio pradþioje arpabaigoje, todël pavyzdá iðspræskime taikydami tiek (2.9), tiek (2.10)formules. Sàlygoje duota: R = 75; n = 18; k = 12; i = 0,035. Reikia rasti R

n.

Sprendimas

Pagal (2.9) formulæ apskaièiuojama per 18 metø postnumerandosukaupta rentos vertë:

035,0

1035,1

2

11035,01275

18

18 =−

⋅+=R 22 403,44 Lt.

Pagal (2.10) formulæ apskaièiuojama per 18 metø prenumerandosukaupta rentos vertë:

59

035,0

1035,1

2

13035,01275

18

18 =−

⋅+=R 22 467,75 Lt.

2.11 pavyzdys. Studentas visus ðeðerius studijø universitete metus savo150 Lt stipendijà kiekvieno mënesio pabaigoje padeda á bankà, duodantá1,5% ketvirtiniø sudëtiniø palûkanø (1,5% uþ kiekvienà metø ketvirtá –ketvirtinë kapitalizacija). Kokia suma susidarys po ðeðeriø metø?

Sprendimas

Pagal sàlygà R = 150, n = 24, k = 3, i = 0,015, r = 1,015. Ámokosmënesio pabaigoje rodo esant postnumerando atvejá, todël naudojamasi(2.8) formule:

51,94912015,0

1015,1

2

015,023150

24

24 =−

⋅+=R Lt.

Atsakymas: 12 949,51Lt.

2.11a pavyzdys. Studentas visus ðeðerius studijø universitete metussavo 150 Lt stipendijà kiekvieno mënesio pabaigoje padeda á bankà,duodantá 6,5% metiniø sudëtiniø palûkanø. Kokia suma susidarys po ðeðe-riø metø? Skaièiuojama dviem bûdais: sudëtiniø palûkanø ir miðriuoju;nustatomas rezultatø skirtumas.

Sprendimas

Pagal sàlygà R = 150, n = 6, k = 12, i = 0,065, r = 1,065. Ámokosmënesio pabaigoje, todël imama postnumerando atvejis.

11065,1

1065,1150

12

6

6 =−

−=R 13 089,19 (Lt);

1065,0

1065,1

2

11065,012150

6

6 =−

⋅+⋅=R 13 093,50(Lt).

Skaièiuojant sudëtiniø palûkanø bûdu gaunama, kad per ðeðeriusstudijø metus studentas sukaups 13 089,19 Lt, o skaièiuojant miðriuojubûdu – 13 093,50 Lt. Ðiø sumø skirtumas 4,31 Lt.

2. Pinigø srautai


Rentos apskaièiavimo metodai leidþia ávertinti ávairias kaupimo artaupymo galimybes.

2.6.4. Rentos skaièiavimo rezultatø nesutaptis

Tai paèiai rentai skaièiuoti gavome dvi skirtingas formuliø poras − (2.7),(2.8) ir (2.9), (2.10). Natûraliai kyla klausimas, kurios ið jø uþtikrinapakankamà rentos sandorio ekvivalentumà, t. y. kurios formulës turi bûtinaudojamos praktiniuose skaièiavimuose? Remiantis ðiø formuliøiðvedimo metodika galima tikëtis, kad, nors bûdamos iðoriðkai skirtingos,ðios formulës duoda analogiðkus ar bent panaðius rezultatus. Norint tuoásitikinti, reikia iðtirti postnumerando atvejá, uþraðant formuliø (2.9) ir(2.7) deðiniøjø pusiø skirtumà. Kadangi miðrusis rentos skaièiavimo bûdaspaprastai duoda didesnes reikðmes, tai skirtumas uþraðomas ið formulës(2.9) atimant formulæ (2.7). Ðis skirtumas bus nesutapimo funkcija N :

( )

−

−−

−

−⋅

−+⋅=

1

1

1

1

2

1

k

nn

r

r

r

rkikRN .

Jei ámokos dydis laikomas vienetu, o vietoj r áraðoma 1+i, nesutapimofunkcija bus tokia:

( ) ( ) ( )11

1111

2

1

−+

−+−

−+⋅

−⋅+=

k

nn

i

i

i

ikikN . (2.10)

Uþraðytoji iðraiðka yra palûkanø normos, mokëjimø daþnumo ir laikofunkcija. Bendruoju atveju ði funkcija yra pakankamai sudëtinga, todëlreikia iðtirti atskirus jos atvejus. Analizuojant funkcijà, argumentu bustik vienas ið trijø kintamø dydþiø, o kiti dydþiai pastovûs.

Palûkanø norma yra viena svarbiausiø charakteristikø rentø skai-èiavimo uþdaviniuose, todël pirmiausia nustatoma nesutapimø funkcijospriklausomybë nuo palûkanø normos, imant absoliuèius nesutapimodydþius. 2.1 pav. pateikiami nesutapimø, tenkanèiø vienam rentos litui,priklausomybës nuo palûkanø normos grafikai, esant skirtingoms rentostrukmëms ir pastoviam mokëjimø daþnumui (k = 2). Ið grafikø matyti,

61

kad nesutapimas didëja didëjant palûkanø normai. Ðis didëjimas yraartimas eksponentiniam. Visais atvejais nesutapimas yra nedidelis, jeipalûkanø norma nevirðija 5–7%. Esant didesnëms palûkanø normoms irdidesnëms rentos trukmëms nesutapimas yra gana þenklus.

Norint visa tai ávertinti kiekybiðkai, tai yra susidaryti patikimesnánesutapimo priklausomybës nuo palûkanø normos vaizdà, reikia nustatytisantykiná nesutapimà. Já galima laikyti santykine paklaida, daroma vienàskaièiavimo bûdà keièiant kitu. Santykinës paklaidos priklausomybë nuopalûkanø normos pateikiama 2.2 paveiksle. Ji yra vienoda esant skirtingairentos trukmei.

Matoma, kad didëjant palûkanø normai paklaida taip pat didëja, taèiau0,1% ji pasiekia tik esant palûkanø normai, didesnei nei 13%. Kaipalûkanø norma pasiekia 30%, santykinë paklaida dar nevirðija 0,5%.Tai rodo, kad daugumos praktiniø uþdaviniø sprendimui tinka abu rentosskaièiavimo bûdai, o tai suteikia didesniø galimybiø nagrinëjant irvertinant pinigø srautus. Be to, èia paþymëtina, kad, nors absoliutinë

2. Pinigø srautai

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 5 10 15 20 25 30

2.1 pav. Nesutapimo santykinës paklaidos priklausomybënuo palûkanø normos

Palûkanø norma (%)

Nes

uta

pim

o p

akla

ida

(%)


paklaida augant metams sparèiai didëja, santykinë paklaida nuo rentostrukmës visiðkai nepriklauso. Kitaip tariant, santykinë paklaida yra tapati,kai renta trunka tiek vienerius metus, tiek 10 metø ar daugiau. Ði aplinkybëiðnagrinëtiems rentos skaièiavimo metodams suteikia papildomàuniversalumà: pasirenkant skaièiavimo metodà galima neatsiþvelgti árentos trukmæ.

Nesutapimø priklausomybë nuo mokëjimo daþnio yra specifinë. Kaimokama vienà kartà per metus, pasirinkus tiek sudëtiniø procentø, tiekmiðrø rentos skaièiavimo bûdà gaunami identiðki rezultatai. Taèiaudidëjant mokëjimø daþniui, absoliutaus nesutapimo reikðmës didëja.Esant palyginti nedideliam daþnio kitimo intervalui, nesutapimas kintapagal priklausomybæ, kuri yra artima tiesinei. Èia taip pat pastebimasakivaizdus nesutapimo didëjimas didëjant palûkanø normai. Bûdinga, kadesant mokëjimø daþniui maþesniam uþ vienetà (tai atitinka periodiniuspinigø srautus, mokamus reèiau kaip kas vieneri metai), nesutapimaskeièia þenklà. Tai reiðkia, kad rentos reikðmës, nustatytos remiantissudëtiniø procentø metodu, yra didesnës, nei atitinkamos reikðmës,apskaièiuotos pagal miðriøjø procentø formulæ. Apskritai nesutapimo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 5 10 15 20

10%

15%

20%

2.2 pav. Nesutapimo priklausomybë nuo periodø skaièiaus

Trukmë (periodais)

Nes

uta

pim

as

10%

15%

20%

63

priklausomybës nuo mokëjimo daþnio grafikai primena logaritminësfunkcijos grafikus.

Apibendrinant rentos skaièiavimo metodus galima teigti, kad santykinëpaklaida, daroma pakeitus vienà skaièiavimo metodà kitu, nesiekia 0,5%,jei palûkanø norma nevirðija 30%. Santykinë paklaida visiðkai nepriklausonuo rentos trukmës.

Praktikà tenkinanèiu tikslumu pinigø srautø ekvivalentumas finan-sinëse rentose gali bûti nustatytas remiantis tiek sudëtiniø, tiek miðriøjøprocentø taisyklëmis.

Visi pinigø srautai èia buvo nagrinëjami nevertinant finansiniø iðtekliøribotumo. Kitaip tariant, visiems skaièiavimams buvo laikoma, kad iðtekliaiyra neriboti, o kiekvienas srauto narys, augdamas pagal eksponentinádësná, gali ágyti kiek norima dideles reikðmes. Ði aplinkybë ypaè svarbivertinant investicinius projektus – jei investavimo pradþioje kapitalodidëjimas daþnai yra nevarþomas, tai vëliau gali tekti ávertinti iðtekliøribotumà. Be to, reikia pabrëþti, kad ribojantis veiksnys gali bûti ne tikfinansinis kapitalas, bet ir þmogiðkieji iðtekliai, intelektinis potencialas ir kt.

2. Pinigø srautai

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

0 3 6 9 12Mok jim da nis (kartais per metus)

10%

20%

2.3 pav. Nesutapimo priklausomybë nuo mokëjimo daþnio

Nes

uta

pim

as 10%

20%

Mokëjimø daþnis (kartais per metus)


3. KAPITALO KAUPIMO MODELIØ APÞVALGA

3.1. Ekonominiai modeliai

Ðiame skyriuje aptariami ekonominiø procesø matematiniai modeliai, jøsavybës ir galimi tyrimo bûdai. Daugiausia dëmesio skiriama kapitalovaldymo modeliams. Ðiuolaikinës ekonomikos matematiniuose mode-liuose yra taikomos idëjos bei analizuojami makroekonominiai principai,kurie susiformavo dar XIX amþiuje ar XX amþiaus pirmojoje pusëje.

3.1.1. Modelio samprata

Terminas „modelis“ apibrëþiamas nevienodai. „Modelis – originalo atvaiz-das, tapatus su pasirinktu struktûros lygmeniu arba pasirinktomis funkci-jomis“ (A. Raèkauskas, 2003) „Tai tam tikro objekto, proceso arba reiðki-nio analogas, atspindintis mus dominanèias originalo savybes ir charakte-ristikas, galintis tam tikromis sàlygoms pakeisti originalà“. (S. Baka-nauskaitë, J. Bliznecova, L. Lapinskas, 2003). Ið pateiktø skirtingø autoriøapibûdinimø galima teigti, kad modelis tai – dirbtinis darinys, vaizduojantisrealiai egzistuojantá objektà ar reiðkiná. Ekonominis modelis gali bûtisuprantamas kaip tam tikros tikrovës dalies specifinë iðraiðka, naudojamanumatyti galimus pokyèius ir jø padarinius.

Ekonominá augimà aiðkinanèiø teorijø yra ne viena: Solow-Swan au-gimo modelis, endogeninis ekonominio augimo modelis, evoliucinis eko-nominio augimo modelis, sàveikaujanèias sistemas imituojantys modeliaiir kt. (E. Vilkas, 2002) Kiekvienas ið ðiø modeliø patobulina ankstesnákuriuo nors aspektu, iðryðkinant ekonominiam augimui turinèius átakosveiksnius, prieþastis, jø svarbà augimo tempams, kitimo tendencijoms irpan.

653. Kapitalo kaupimo modeliø apþvalga

Augimo teorijos tikslas paprastai yra sukurti toká modelá, kurio pagalbabûtø galima iðaiðkinti pagrindinius augimo veiksnius. Daþniausiai tokiemodeliai skirti augimo tempams visos ðalies mastu nagrinëti. Taèiau kaipnustatyti augimui turinèius átakos veiksnius, o kartu ir augimo tempà?Atsakymà á ðá klausimà bando pateikti ekonominá augimà aiðkinanèiosteorijos. Taèiau prieð tai reikia apþvelkti pavieniø sistemos elementø(populiacijø) augimo modelius.

3.2. Eksponentinis modelis

Eksponentinis kitimas buvo nagrinëjamas aiðkinantis sudëtines palûkanas.Dabar aptarkime já kitu aspektu. Reikia paþymëti, kad eksponentiniskitimas yra daugelio modeliø skiriamasis bruoþas, todël prie ðio kitimodar gráðime.

Eksponentinis kitimas pasiþymi tuo, kad jo augimo greitis yra pro-porcingas jo paties dydþiui. Todël produktas didëja natûraliai ir augdamasduoda didëjantá prieaugá. Toks augimas akivaizdus biologinëse ir kitosepopuliacijose.

Eksponentinio kitimo principà patogu iðreikðti diferencialine lygtimi:

rNdt

dN= ;

èia: N – tam tikro produkto (nagrinëjami atveju – kapitalo) dydis laikomomentu t, o r – to produkto augimo greitis (pastovus dydis).

Atliekami pertvarkymai

∫∫ ⋅=tN

N

dtrN

dN

00

,

rtN

N=

0

ln ,

èia ( )00

== tNN .


Tada gaunamarteNtN ⋅=

0)( . (3.1)

Tai eksponentinio augimo dësnis. Èia koeficientas r dar vadinamasMalthuso parametru (Weisstein, 2004). Eksponentinis augimo dësnisduoda neapibrëþtà ir gana spartø augimà. Tokia situacija praktikoje nevisada ágyvendinama.

Apriboti (sulëtinti) augimà galima panaudojus papildomà daugiklá.

Vienas ið galimø daugikliø gali bûti t

tr 1−⋅. Èia r – didesnis uþ vienetà

pastovus dydis. Tada diferencialinë lygtis tokia:

Nt

tr

dt

dN⋅

−⋅=

1.

Atlikus pertvarkymus ir paskui suintegravus, gaunama

dtt

rN

dN

−=1

, CtrtN +−= lnln .

Ið èia randama, kad

t

CetN

rt

=)( .

Ði iðraiðka neturi prasmës, kai t = 0. Taèiau kai reNtN1

)1( == , tai

1NC = . Tada

t

eNtN

tr

1)( = ;

èia t – laikas (argumentas, taip pat lygties daliklis, kuris maþina augimà

palyginti su paprastuoju eksponentiniu augimo dësniu). Be to, ði lygtis

tinka modeliuojant augimà tik kai r

t1

≥ .

67

3.3. Logistinis augimas

Realiomis sàlygomis produktas negali gana ilgà laikà didëti vienodutempu. Didëjantis produktas yra ribojamas iðorës ir vidaus veiksniø. Taiypaè akivaizdu stebint uþdaras biologines populiacijas: kol populiacijayra santykiðkai maþa ir turi daug iðtekliø, tol jos augimo greitis didelis(nominalus), o kai populiacija padidëja, o jos iðtekliai neiðvengiamaisumaþëja, jos augimo greitis sparèiai maþëja.

Ribotas augimas paprastai yra iðreiðkiamas logistine lygtimi. Logistiniømodeliø yra ávairiø, taèiau labiausiai domina populiacijos augimo modelis,kurá pirmasis paskelbë Pierre Verhülst (1847). Tai tolydusis modelis, kurisbuvo taikomas nagrinëti biologiniø populiacijø raidà. Ðiek tiek pertvarkiusðá modelá gaunama diskreti rekurentinë lygtis, dar vadinama logistiniuþemëlapiu.

Logistinis tolydusis modelis apraðomas diferencialine lygtimi (Weiss-tein, 2004).

K

NKrN

dt

dN )( −= ;

èia: r – Malthuso parametras (populiacijos augimo norma), o K – priso-tinimas (didþiausia galima populiacijos reikðmë).

Iðsprendus diferencialinæ lygtá (Weisstein, 2004), gaunama

rteN

K

KtN

−⋅

−+

=

11

)(

0

(3.2)

Galima pastebëti, kad, naudodamasis ðia lygtimi, P. Verhülstas1845 m. apskaièiavo 1330 m. JAV gyventojø skaièiø 1% tikslumu (EdvardsC.H., 1985).


.


3.3.1. Brazilijos ekonominio augimo modelis

Carlos Feu Alvim detaliai analizavo Brazilijos ekonomikos raidà nuo 1947iki 1997 metø ir panaudojo fenomenologinæ metodologijà. Nacionalinëmspajamoms ávertinti áprasta taikyti Cobbe-Douglas funkcija, kurios áëjimokintamieji yra kapitalas, darbo (þmogiðkieji) iðtekliai, o kai kada ir gamtosiðtekliai. Bendriausias Cobbe-Douglas bendrosios visuminës gamybosfunkcijos atvejis yra:

( ) ( ) ( ) ( )γβαtRtNtAKtY = ,

0,0>, αA 0,1<<0, β 1<<0 γ ;

èia: ( )tY – iðeiga (nacionalinës pajamos; kapitalas), ( )tK – kapitaloiðtekliai, ( )tN – darbo indëlis, ( )tR – ribiniai iðtekliai.

Trijø ar net ir dviejø kintamøjø funkcija yra pernelyg sudëtinga, todëlbandyta jà supaprastinti. Pagrindinë Carlos Feu Alvim darbo hipotezëbuvo ta, kad Brazilijos ekonomikos augimà ribojantis veiksnys yra kapi-talas. Ðalyje yra pakankamai gamtos iðtekliø, o darbo jëga iðnaudojamanepakankamai. Uþimtumo lygis Brazilijos teritorijoje nedidelis. Kiekvie-noje srityje kapitalo augimo ciklas pasikartojo. Lyginant Brazilijosekonominæ padëtá su industriniø ðaliø, iðskyrus kai kurias Brazilijos sritis,pietø ir pietryèiø regionus, visa valstybës teritorija vis dar yra kolonizacijosfazëje.

Robertas U. Ayresas („Resources, Environment and Economics“ –John Wiley, 1978) nustatë dinaminio atsinaujinanèiø iðtekliø ir kapitalokaupimo modeliø panaðumus. Natûralus kapitalo susikaupimas, kaip antai:laukiniø gyvûnø, medþiø ir t. t., iðreiðkiamas lygtimi, pasiûlyta RaymondoPearlo („The Biology of Population Growth“ – Alfred Knopf, 1925):

( )KKiKdt

dKm -= ; (3.3)

èia: Km – maksimali kapitalo reikðmë, o i – augimo tempo parametras.

Kapitalo kaupimas Brazilijos ekonomikoje apraðomas logistiniu dësniu,

69

kurá galima gauti iðsprendus (3.3) diferencialinæ lygtá. Taigi kapitalo dydálaiko momentu t galima uþraðyti tokia lygtimi:

tiK

m

meA

KK

-

1 ⋅+

= ,

èia 10

−=K

KA m ,

0K – kapitalo dydis pradiniu laiko momentu.

Diskretus tokio modelio analogas iðreiðkiamas tokia formule:

( )( )tmtt

KKiKK −=+

exp1

.

Iki 1970 metø Brazilijoje buvo naudojamas eksponentinis modelis,kuris tiksliai atitiko realius duomenis, t. y. tikràjá kapitalo kaupimà. Taèiaupo 1970 metø eksponentinis modelis jau neatitiko realiø duomenø. Buvopastebëta, kad ankstesnis (eksponentinis) modelis amþiaus pabaigojesukaups didesná kapitalo kieká, palyginti su logistiniu modeliu.

Ávertinant Brazilijos ekonomikos uþdarumà, net ir laikotarpiu poaðtuntojo deðimtmeèio pasaulinës energetinës krizës, kapitalo kaupimànetiko apraðyti eksponentiniu modeliu, nes kapitalo augimo tempassulëtëjo. Todël kapitalo kaupimui apraðyti buvo panaudotas logistinismodelis. Tai atitinka procesà, kai buvo pastebimos vidinës ir iðorinësekonominio augimo ribos (Ferreira, 1998).

3.4. Endogeniniai modeliai

Endogeninio augimo teorija yra viena ið pagrindiniø ekonominio augimo

modeliavimo poþiûriu. Pradinis endogeninio augimo teorijos (EGT –

endogenous growth theory) taðkas – neoklasikinis augimo modelis. EGT

savo ruoþtu á ðá modelá átraukia inovacijø procesà. Inovacijø proceso

modeliavimas nëra paprastas, pavyzdþiui, tiesinis, o taip gali pasirodyti,



ir paprastai reikia sudaryti sudëtingus techniniø metodø modelius. Taigidaugiausia dëmesio èia skiriama inovacijoms.

Ið esmës ðie modeliai rodo, kad „kaþkas“ gali augti be ribø, taèiautokiu atveju negaunama staigaus augimo, kuris pabrëþiamas rinkosekonomikoje.

3.4.1. Endogeninio augimo teorijos pirmtakai

Ilgà laikà pagrindinis ekonomistø rûpestis buvo suvokti ekonominioaugimo principus ir teisingai juos pritaikyti prognozuojant patá ekonomináaugimà. Èia dëmesys buvo telkiamas á tris pagrindinius dalykus (Mare,2004):

• produkto kaupimà,• maþëjantá pajamø didëjimo greitá;• inovacijas.Adamas Smithas veikale „Tautø gerovë“ (1776) teigë, kad valstybës

gerovë yra susijusi su ekonominiu augimu arba su „turto progresu“.Smithas, raðæs pramonës revoliucijos metu, daugiausia dëmesio skyrëdidëjanèiam kapitalo elementui – darbui, pagrindiniam ekonominioaugimo komponentui. Áeigos, pavyzdþiui, kapitalo, augimas turëjo didelæátakà iðeigai didëti, todël apie XVIII a. augimà Smithas daugiausia supratoið kapitalo kaupimo procesø. Apskritai didëjantis áeigos kiekis (pro-dukcijos veiksnys) didina iðeigos kieká, todël buvo manoma, kad ðioveiksnio kaupimas yra raktas, padësiantis paaiðkinti ekonominá augimà.

Antroji ekonominio augimo sudedamoji dalis yra maþëjantis pajamødidëjimo greitis. Ði sudedamoji dalis susieja veiksnio kaupimà su iðeigosaugimo greièiu. Maþëjanèio pajamø didëjimo greièio principas gali bûtiiðreikðtas tuo, kad kapitalo padvigubinimas duoda maþesnæ nei dvigubàiðeigà. Ði idëja buvo detaliai aptarta D. Ricardo (1821) ir A. R. Turgotdarbuose. Ricardo savo dëmesá sutelkë á þemës ûkio produkcijà. Jispastebëjo, kad, auginant grûdus tam tikro (riboto) dydþio sklype, didesniskapitalas ar darbas darë ðià veiklà sàlygiðkai maþiau pelningà, t. y. didëjantáeigai iðeiga buvo santykiðkai maþesnë.

71

Treèiasis elementas vadinamas inovacijomis. Jis apima naujø rinkø,procesø, produktø, idëjø, technikos paþangos, technologiniø pokyèiø artyrimø plëtros ávertinimà.

3.4.2. Trumpa atliktø darbø analizë

1973–1974 m. naftos krizë turëjo átakos intelektualiesiems tyrimams, odël jø atsiradæs ekonominis efektas skatino pramonës plëtrà. Visa taipaskatino ekonomistus domëtis, ar ámanoma iðgyventi turint ribotø iðtekliøir kartu didinti pasauliná ekonominá augimà. To laiko technologijos siûlënaudoti akmens anglies energijà kaip pagrindinæ bendrosios produkcijosáeigà. OPEC (Organization of the Petroleum Exporting Countries) nutarimasdël þymaus naftos produkcijos sumaþinimo padarë átakà ekonomikosplëtrai, nes skatino technikos paþangà, bûtinà ekonomikos augimui, esantnatûraliøjø iðtekliø stokai.

Natûraliøjø iðtekliø stokos átakà ekonominiam augimui nagrinëjoJ. Stiglitz (1974), R. Solow (1974), P. S. Dasgupta (1974) ir G. M. Heal(1974, 1979). Jie svarstë natûraliøjø iðtekliø panaudojimo rodiklá kaipneoklasikinio augimo modelio produkcijos veiksná. Gauti rezultatai buvooptimistiniai, palyginti su Methuso poþiûriu, kurá pristatë J. Forrester(1971). Jie tikino, kad pasaulio ekonomika gali iðvengti neigiamøpadariniø, siejamø su naudojamø iðtekliø ribotumu. Toks produkcijoskitimas ámanomas, jei technikos paþanga tolydi, arba jei bendrosiosprodukcijos fizinio kapitalo dalis yra didesnë nei natûraliøjø iðtekliø dalis.Taigi, remiantis jø poþiûriu, pasaulis gali iðlikti, o technikos paþanga galikompensuoti natûraliøjø iðtekliø stokà.

Nuo 1980 m. buvo atlikta daug tyrimø, kuriø tikslas nustatyti natû-raliøjø iðtekliø stokos átakà ekonomikos raidai. 1990 m. paskelbtameJ. Stiglitzo modelyje pagrindinis natûraliøjø iðtekliø stokos iðvengimobûdas buvo iðorinis (egzogeninis), t. y. pagrástas technikos paþanga.

Vienas ið pirmøjø endogeninio augimo modelio, ávertinanèio technikospaþangà, taikymo pavyzdþiø yra K. Suzuki (1976) ir M. J. Kamien beiN. L. Schwartz (1978) atlikti darbai. Ðios studijos rodo, kad augimas yraámanomas net naudojant senkanèius iðteklius.



Endogeninio augimo teorijø antplûdis prasidëjo nuo Ch. Romer (1986,1990), R. E. Lucas (1988), Ph. Aghion ir P. Howitt (1992) bei E. Helpmanir G. M. Grossman (1991). Jiems turëjo átakos J. Stiglitzo modelis.

Tam, kad galëtø tirti inovacijø átakà natûraliøjø iðtekliø stokai, E. Bar-bier (1999) palygino J. Stiglitzo riboto augimo ir Ch. Romero endogenináaugimo modelius. Jis taip pat apsvarstë galimybæ, kad esant nedidelëmspajamoms inovacijø pasiûla turi neigiamà átakà naudojimo rodikliui.

Apibendrinant galima teigti, kad endogeninio augimo teorija atsiradodël matematinio modeliavimo poveikio. Vienas ið ðio tipo modeliø yraFarhad Nili modelis (Nili, 2002). Jame ribos, nulemtos natûraliøjø iðtekliøstokos, turi átakos ekonominiam augimui ir tausojimui. Modelio stabi-lumas tiriamas analizuojant netiesinæ diferencialiniø lygèiø sistemà.Sistema sprendþiama skaitmeniniais metodais.

Èia yra iðpleèiamas eikvojanèio kitimo modelis. Siekiant já sujungti sunatûraliøjø iðtekliø naudojimu, áterpiamas senkanèiø iðtekliø iðgavimokoeficientas R ir galutinio produkto gamybos pridëtinë áeiga S.

Pagal senkanèiø iðtekliø teorijà, R ir S ryðys iðreiðkiamas taip

∫−=

t

tdRSS

0

0τ

τ;

èia: Rτ – senkanèiø iðtekliø koeficientas,

tS ( 0t ≥ ) – iðtekliø kiekis laikomomentu t. Tariama, kad

0S yra duotas ir þinomas.

Ðalies ekonomika sukuria galutiná produktà Y, o jo tarpinis produktas(kapitalas) þymimas

ix ( 10 ≤≤ i ). Kiekvienas tarpinis produktas yragaunamas ið fizinio kapitalo ir gali bûti naudojamas galutiniam produktuisukurti.

Galutinio produkto srautas, kuris gaunamas naudojant tarpiniusproduktus i, remiantis produkcijos funkcija, priklauso nuo tarpiniøproduktø i srauto

ix

Y = Bi x

i α Lβ Rννννν;

èia: L – suminis galutiniam produktui gaminti naudojamas darbas,R – natûraliøjø iðtekliø iðgavimo koeficientas;

iB – aukðèiausias

73

i sektoriaus technologijos lygis, kuris parodo tarpiniø produktø ipaskutinës gamybos naðumà. Bendra galutinio produkto iðeiga iðreiðkiamasuma

diRY xBL ii

ανβ

∫=1

0

,

èia α, β, ν – technologiniai koeficientai, ávertinantys atitinkamai tarpiniøproduktø arba fizinio kapitalo, darbo ir natûraliøjø iðtekliø svarbàbendram produktui.

Augimo veiksnys modelyje yra tarpinio sektoriaus technikos paþanga,pasireiðkianti per inovacijas. Kadangi tarpiniø produktø ávairovë yrapastovi, inovacijos gerina esamø produktø kokybæ, o pastarasis reiðkinystraktuojamas kaip vertikali inovacija. Inovacijos kaupiant þinias sukeliapertekliaus efektà. Tarpiniø produktø kokybës gerinimas senesniusproduktus paverèia ne tokiais patraukliais, o kraðtutiniu atveju –kiekviename sektoriuje senesnius produktus paverèia nevartojamais. Toksneigiamas inovacijø pasireiðkimas aiðkinamas monopolistinës konku-rencijos egzistavimu.

Atlikus uþraðytosios lygties pertvarkymus gaunama funkcija, panaði áCobbe-Douglasso bendrosios gamybos funkcijà

vRLKBRLBxY

βαανβα −

==1 .

Ði funkcinë forma atitinka eikvojamøjø iðtekliø teorijà, kur natûraluteigti, kad iðtekliø panaudojimo srautas yra bendrosios augimo funkcijosgamybos veiksnys. Toje srityje, kur natûraliøjø iðtekliø pakeitimo irbendrojo kapitalo elastingumas yra pastovus, tik Cobbe-Douglas modelisduoda tokià charakteristikà, kuri atitinka iðtekliø stokos tinkamumosàlygas.

Gautoji formulë apraðo trijø sektoriø augimo modelá, kur iðeigoslygmenys yra apibrëþiami trimis kintamaisiais: kapitalu K, þiniø lygiu, kurisyra proporcingas B, ir iðtekliø panaudojimo rodikliu R, kuris priklausonuo S. Taigi èia remiamasi trimis kapitalo tipais: fiziniu (materialiuoju),



intelektiniu ir natûraliuoju kapitalu. Be to, ðiuo atveju νβα ++ yra lyguvienetui.

3.5. Ekonominis augimas esant ribotiems iðtekliams

Pagal endogeninio augimo teorijà kritinei ribai pasiekti reikalinga didelëprodukcijos gràþa, kuri skatina ribiná augimà, iðskyrus atvejus, kai norsvienas egzogeninis1 veiksnys, pavyzdþiui, þmogiðkieji iðtekliai, didëja. Taèiaupagal Solow (1994), net ir nedaug didëjantis pelnas sukelia staigø gamybosaugimà (Ch. Groth, 2004)

Staigus augimas vyksta labai greitai. Kai ribiniai iðtekliai pradedaendogeniðkai didëti (esant maþam darbo iðtekliø augimui), kapitalo gràþadidëja (Ch. Groth, 2004)

Solow modelis papildytas Stiglitzo modeliu (1974) – iðplëstas agre-gavimo lygiu didinant gràþà, atsiþvelgiant á kapitalà, darbà ir iðteklius.Gràþos savaiminio didëjimo átaka kapitalui neiðskiriama. Pagrindas yraribiniai iðtekliai. Daugelis mokslininkø patvirtina ribiniø iðtekliø svarbàir bûtinumà endogeniniam augimui (Ch. Groth, 2004).

Minëtø mokslininkø sukurtuose modeliuose parodoma ribiniø iðtekliøsvarba, be to, juose koncentruojamasi tik á augimo greitá ir analizuojamasjo dydis.

Vienas ið svarbiausiø tikslø yra iðtirti ribotø iðtekliø átakà gamybosapimèiai, bei tolygiam jos augimui. Danø ekonomistas Christian Groth,remdamasis Stiglitzu, pasinaudoja Cobbe-Douglaso bendrosios visuminësgamybos funkcija:

( ) ( ) ( ) ( )γβαtRtNtAKtY = ,

,0>, αA ,1<<0 β 1<<0, γ ;

èia: ( )tY – iðeiga (nacionalinës pajamos; kapitalas), ( )tK – kapitaloiðtekliai, ( )tN – darbo indëlis, ( )tR – ribiniai iðtekliai.

1 Egzogeninis – sukeliamas iðoriniø prieþasèiø, kilæs ið iðorës.

75

Stiglitzas ir kiti koncentruojasi ties lygtimi 1=++ γβα . Kai K yrakapitalas, átraukiant technines þinias ir þmogiðkàjá kapitalà, ðios lygtieskintamøjø suma gali bûti didesnë nei 1 (Ch. Groth, 2004).

Pagal Christianà Grothà, darbas didëja pastoviu endogeniniu greièiun ≥ 0

( ) ( ) ( ) .0>=0,0=0

NNeNtNnt

Nacionalinës pajamos naudojamos kapitalo investavimui, todël:

KCYK σ−−= , 0≥σ , ( ) 000>= KK ,

èia C – kapitalo sunaudojimas.Kiekvienu laiko momentu t kapitalas negali bûti visiðkai sunaudotas

( YC ≤ ).Iðtekliø kiekis S maþëja. Didëjant iðtekliø S naudojimu, jø kiekismaþëja:

RS −= ( ) 000>= SS .

Spræsdamas ðá uþdaviná Christianas Grothas (2004) prieina prieiðvados, kad pastovià kapitalo didëjimo bûsenà (be egzogeninës technikospaþangos) nulemia tokios sàlygos: didëjanèios darbo kapitalo gràþosderinys su populiacijos augimo greièiu arba didëjanti kapitalo gràþa. Norsviena ið ðiø sàlygø reikalinga, kad kapitalo kaupimas kompensuotø ribiniøiðtekliø suvartojimà (Ch. Groth, 2004). Be to, nevykstant egzogenineitechnikos paþangai, populiacijos augimui reikia stabilaus teigiamo kapitalokaupimo.

Solow (1994) nagrinëta teorija neatsiþvelgia á ribotus iðteklius. Taèiaupagal ðià teorijà net maþiausiai didëjanti kapitalo gràþa sukelia staigøaugimà: „begalinis augimas begaliniu greièiu“. Ribotø iðtekliø ávertinimasleidþia nustatyti tokio „sprogimo“ parametrus.

Christianas Grothas nagrinëja ir modelá, kai augimas pusiau endo-geninis, kuris gali bûti patraukli grieþto endogeninio augimo alternatyva.Silpnai endogeninis ar pusiau endogeninis augimas (apibûdintas Groth1992 ir Jones 1995), panaðus á tolygø kapitalo augimà, lemiamas tam tikrøvidiniø mechanizmø, reikalauja egzogeninio augimo, panaðaus á darbojëgà, palaikymo.



3.6. Populiacijos dinamikos modeliai

Apibendrinant iðnagrinëtus modelius, prieinama prie iðvados, kad moder-niosios teorijos ið esmës remiasi klasikiniu ar modifikuotu Cobbe-Dou-glaso gamybos augimo modeliu. Kapitalo augimui modeliuoti taikomieksponentiniai modeliai ir tik iðimtiniais atvejais – logistiniai.

1 lenteleje pateikiama tokiø modeliø suvestinë.

1 lentelë

Modelio Matematinis kapitalo kaupimo modelispavadinimas

Paprastøjøpalûkanø modelis

trKKKr

dt

dK0

;ln =⋅=

tieKKKi

dt

dK⋅

=⋅=0

;

( )KKKrlndt

dKm−⋅= ;

−+

=− tKm

m

mrK

K

KK

11

0

( )KKiKdt

dKm

−= ;

( )

−

−+

=

tiKexpK

K

KK

m

m

m

11

0

itm

m

me

K

K

KK;Ki

K

K

dt

dK

−

−+

=⋅

−=

11

1

0

tm

m

m rK

K

KKKr

K

K

dt

dK

−

−+

=⋅

−=

11

;ln1

0

( )itKKidt

dK+== 1;

0

Sudëtiniøprocentø(eksponentinis)modelis

Eksponentinismodelis

Logistinis modelis(panaðus áO. C. Ferreira)

Logistiniseksponentinismodelis (pagalO. C. Ferreira)

Logistinistolydusis modelis(P. F. Verhülsto)

Logistinis modelis

77

4. LOGISTINËS PALÛKANOS

4.1. Tiesinis ir eksponentinis kapitalo kaupimas

Kapitalo kaupimo modeliø sudarymo metodika gali bûti ávairi. Pirmameskyriuje buvo aptarta sudëtiniø procentø taisyklë. Dabar tà paèià taisyklæiðveskime kitu bûdu.

Nagrinëjant diferencialines lygtis pastebima, kad funkcija ir josiðvestinë gali bûti susietos ávairiais ryðiais. Daþnai ðis ryðys yra tiesinis.Kai kuriø finansiniø funkcijø ir jø pirmos eilës iðvestiniø ryðys taip patgali bûti tiesinis.

Tariama, kad K(t) – tam tikro kapitalo dydis laiko momentu t. Tariant,kad koeficientas k yra pastovus kapitalo kitimo greièio matas, galimauþraðyti

kdt

dK= . (4.1)

Iðsprendus diferencialinæ lygtá (4.1) kapitalo K atþvilgiu ir tarus, kadpradiniu laiko momentu kapitalas lygus K0, t. y.

00

KKtt=

=

, turima

tkKK ⋅+=0

. (4.2)

Gautoji iðraiðka yra tiesinë funkcija, siejanti kintamuosius t ir K. Kitavertus, þinoma, kad paprastøjø procentø (paprastøjø palûkanø) taisyklëtaip pat yra tiesinë funkcija. Jeigu gautosios tiesinës funkcijos (4.2) kryptieskoeficientas k laikomas palûkanø norma, o laikas t bus matuojamas taispaèiais vienetais kaip ir laikas, ávertintas nurodytoje palûkanø normoje,tai iðraiðkà (4.2) galima laikyti paprastøjø procentø (paprastøjø palûkanø)formule.


Kaip þinoma ið ankstesniøjø skyriø, paprastøjø palûkanø formulë turiribotà pritaikymà, nes neávertina kapitalo prieaugio dalyvavimo toles-niame kaupimo procese.

Dabar tariama, kad kapitalo augimo greitis yra kintamuosius t ir Ksiejanèios funkcijos kitimo greitis. Be to, jis nëra pastovus, kaip ankstesniuatveju, o priklauso nuo paties kapitalo dydþio. Kitaip tariant, momentiniskapitalo augimo greitis yra proporcingas jo dydþiui: kuo didesnis kapitalaskonkreèiu laiko momentu, tuo jis tuo momentu greièiau didëja. Be to,tariama, kad kapitalas ir jo didëjimo greitis susieti proporcingumo koefi-cientu k. Taip pat tariama, kad ðis koeficientas yra pastovus ir þymimasraide k. Tada

Kkdt

dK⋅= . (4.3)

Tai paprasta (pirmos eilës) diferencialinë lygtis su atskiriamaisiaiskintamaisiais. Iðspræskime ðià lygtá.

∫ ∫⋅= dtkK

dK;

1ln CtkK +⋅= ;

1Ctk

eK+⋅±= ,

Galiausiai turima:tkeCK ⋅⋅= . (4.4)

Tai bendrasis lygties sprendinys. Jei yra þinomos pradinës sàlygos, t. y.þinoma, kad laiko momentu t = t0 kapitalo dydis K lygus K0, arba

00

KKtt=

=, galima rasti integravimo konstantà C.

0

0

tkeCK

⋅⋅=

arba

794. Logistinës palûkanos

0

0

tkeKC

⋅−⋅= .

Ástaèius C á bendràjá sprendiná (4.2), gaunama

( )0

0

ttkeKK

−⋅⋅= . (4.5)

Jei k laikoma palûkanø norma, o t bus matuojamas tais paèiais laikovienetais kaip ir laikas, ávertintas palûkanø normoje, tai lygtis (4.5) ir buseksponentinis kapitalo augimo dësnis. Lygtyje (4.5) imant t0 = 0, gaunamaspaþástamas ðio dësnio atskirasis atvejis

tkeKK ⋅⋅=0

. (4.6)

Kita vertus, jei þinomas ne tik pradinis kapitalo dydis, bet ir jo dydislaiko momentu t1, t. y. jei dar þinoma, kad

11

KKtt=

=, tai ið lygties (4.6)

galima rasti palûkanø normos k reikðmæ

( )01

01

ttkeKK

−⋅⋅= , ið èia ( )0

1

01ln

K

Kttk =−⋅ , arba

( )

01

01ln

tt

KKk

−= .

Þinant koeficiento k reikðmæ galima ávertinti kapitalo didëjimà betkuriuo laiko momentu. Kadangi koeficientas k yra palûkanø norma, taitoliau ji bus þymima kitu, labiau áprastu simboliu.

4.1.1. Sudëtiniai procentai

Dabar, tarus, kad kapitalo augimo greitis yra proporcingas jo dydþiui,imamas proporcingumo koeficientas, lygus natûraliajam logaritmuikaþkurio skaièiaus r ( )1,0 ≠> rr , t. y.

rk ln= .Ástaèius k reikðmæ á lygtá (4.6), gaunama


rteKK ln

0

⋅⋅= , arba trKK ⋅=0

.

Tarus, kad ir += 1 , èia i – palûkanø norma, gaunama áprasta sudëtiniøprocentø (sudëtiniø palûkanø) formulë

( )tiKK += 10

(4.7)

Lygtyje (4.7) laikas kinta tolydþiai. Taèiau laikas gali keistis ir diskreèiai.Tuo atveju paprastai imama t = n. Tada galima uþraðyti daþnesná lygties(4.7) variantà

( )niKK += 10

(4.8)

Tas pats rezultatas gaunamas augimo greièio proporcingumokoeficientà rk ln= ástaèius á pradinæ diferencialinæ lygtá (4.3) ir jàiðsprendus.

Gautoji lygtis (4.8) yra rodiklinë (eksponentinë) funkcija, todël irmodeliuojant kapitalo augimà su ðios funkcijos pagalba gaunama, kad joaugimas yra begalinis. Aiðku, kad realiai pagal ðià formulæ negalimaprognozuoti kapitalo augimo toli á prieká.

4.2. Logistinis (ribinis) kapitalo augimas

4.2.1. Logistinë funkcija

Produkto augimas daþnai ágauna sunkiai identifikuojamas kitimo formas.Dël to jo kitimui modeliuoti gali bûti panaudotos ávairios funkcijos. Vienaið tokiø funkcijø yra logistinë.

Klasikinë logistinës funkcijos iðraiðka yra 1

)(+

⋅=

⋅

⋅

x

x

e

eKxK

λ

λ

arba

xe

KxK

⋅−

+

=λ1

)( .

81

Ði funkcija apibrëþta visoje realiøjø skaièiø aibëje yra didëjanti ir kintaintervalu ( )K;0 . Kitaip tariant, visos funkcijos reikðmës yra pasiskirsèiusiostarp dviejø horizontaliø tiesiø K(x) = 0 ir K(x) = K. Iðoriðkai logistinësfunkcijos grafiko centrinë dalis primena deformuotà lotynø abëcëlës raidæS. Paþymëtina, kad argumentui (laikui) didëjant funkcija (produktas,kapitalas ar kt.) artëja prie pastovios reikðmës, lygios koeficiento K dydþiui.

Pav. 4.1 pateikiami ðios funkcijos grafikai, kai koeficientas K pastovusir skirtingi λ; koeficientui λ didëjant funkcijos augimo greitis, argumentuiesant nulio aplinkoje, yra vis didesnis.

Logistinës funkcijos kitimas, kai argumentas x artimas nuliui, yra ðiektiek panaðus á eksponentinës funkcijos x

eKxK⋅⋅= λ)( .


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-30 -20 -10 0 10 20 30

K=1; �=0,1

K=1; �=0,2

K=1; �=0,5

K = 1; λ = 0,1

Pro

du

kta

s K

(x)

4.1 pav. Logistinës funkcijos grafikasKaupimo trukmë x

K = 1; λ = 0,2

K = 1; λ = 0,5


Pav. 4.2 pateikti logistinës ir eksponentinës funkcijø grafikai esant tamtikroms koeficientø reikðmëms. Grafikai rodo, kad kai argumentas artimasnuliui, yra galimas tam tikras abiejø grafikø reikðmiø artumas: jei argumentoreikðmë nevirðija vieneto, tai funkcijø reikðmiø skirtumas nevirðija 2%.Taèiau argumentui kiek padidëjus ðis skirtumas tampa akivaizdus.

Paþymëtina, kad ðiuo atveju eksponentinës ir logistinës funkcijø ryðysyra dirbtinis ir nëra tiesioginio perëjimo ið vienos priklausomybës á kità.

Panaðiai gali kisti ir kai kurios kitos funkcijos. Kadangi jø kitimopobûdis yra panaðus á ankstesniosios logistinës funkcijos, tai jos taip patvadinamos logistinëmis. Toliau aptariamos tokios logistines funkcijos,kurios labiau tinkamos finansiniams reiðkiniams modeliuoti, taip pat reikianustatyti eksponentinës ir logistinës funkcijø ryðá.

4.2.2. Logistinë kapitalo kaupimo funkcija

Terminas logistika èia sietinas su aprûpinimu, t. y. su tam tikrø iðtekliønaudojimo galimybe, jø ribotumu. Daugelis gamtoje vykstanèiø procesøyra saistomi ne tik vidiniø galimybiø, bet ir skatinami arba ribojami iðoriniøveiksniø. Ne iðimtis yra ir kapitalo kaupimas.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-10 -5 0 5 10

logistin :K=1; =0,4

eksponentin : K=0,5; =0,2

4.2 pav. Eksponentinë ir logistinë funkcijos

Argumentas x

Kap

ital

as K

(x)

Logistinë: K = 1; λ = 0,4

Eksponentinë: K = 0,5; λ = 0,2

83

Realiomis sàlygomis, ypaè uþdaroje aplinkoje, kapitalas paprastainegali gana ilgà laikà didëti vienodu tempu. Didëjantis kapitalas ne tiksutinka stiprëjantá iðorës pasiprieðinimà, bet ir pats sau sudaro kon-kurencijà. Ypaè tai pastebima uþdaroje sistemoje, turinèioje kapitaluididëti reikiamus ribotus iðteklius. Pradinis kapitalo didëjimo tempastokioje sistemoje laipsniðkai vis maþëja, kol pagaliau smarkiai sulëtëja irvisai sustoja.

Ðá faktà ekonomistai pastebëjo jau prieð kelis ðimtmeèius. Kaip buvopastebëta ankstesniame skyriuje, D. Ricardo (1821) ir J. Turgot darbuosebuvo nagrinëtas maþëjantis pajamø didëjimo greièio efektas. Bendruojuatveju maþëjanèio pajamø didëjimo greièio principas buvo iðreikðtas tuofaktu, kad kapitalo padvigubinimas duoda maþesnæ nei dvigubà iðeigà.Vëliau buvo suformuluotas vadinamasis ribinio produkto maþëjimo dësnis.Jis pagrástas tuo, kad tam tikromis sàlygomis, didëjant bendrosiomssànaudoms, ribinis produktas (produkto augimo greitis) maþëja.Ekonomikos literatûroje ði savybë kartais vadinama ribiniu kapitaloefektyvumu. „Ribinis efektyvumas – tai pelno norma, kurios tikimasi iðpapildomo investavimo. Didëjant investicijø kiekiui ribinis investavimoefektyvumas maþëja. Tai yra todël, kad pradinës investicijos realizuotosesant palankiausioms sàlygoms ir dël to duoda didelæ pajamø normà, ovëlesnës investicijos yra ne tokios efektyvios ir teikia tolygiai maþesnespajamas“ (Christopher Pass ir kt., 1997).

Literatûroje nurodoma, kad ðio dësnio veikimas yra ypaè akivaizdusþemës ûkyje. Jei pastovaus dydþio sklypui (sakykime, tûkstanèiui hektarø)ádirbti ið pradþiø bus samdomi tik keli darbininkai, o vëliau vis daugiau irdaugiau, tai po kiek laiko ribinis darbo produktas (darbo produkto augimotempas) pradës maþëti. Taip pat pabrëþiama, kad jei ðitaip neávyktø, bûtøámanoma visà pasaulá pamaitinti ið to vieno sklypo (Wonnacott P.,Wonnacott R., 1998). Suprantama, jei visà laikà veiktø eksponentinisaugimo dësnis, tai produkto augimas bûtø neribotas ir to produkto bûtøgalima pagaminti kiek norima daug.

Reikia pabrëþti, kad literatûroje nurodomas ribinio kapitalo efektyvumodësnio pasireiðkimo mechanizmas nëra tikslus. Mûsø tyrimai rodo, kad



ribinio produkto maþëjimas yra sietinas ne su pelno normos pasikeitimu,o su produkto (kapitalo) augimà ribojanèiø iðtekliø sumaþëjimu ariðsekimu. Kitaip tariant, jei produkto (kapitalo) augimà lemiantys iðtekliaiyra neriboti, tai augimas gali bûti modeliuojamas pagal sudëtiniø procentøtaisyklæ. Tada padvigubinus kapitalà bus gauta ir dviguba iðeiga. Taèiaujei iðtekliai yra riboti, sudëtiniø procentø modelis negali bûti pritaikytasaugimui prognozuoti ir dël to iðtekliø dvigubinimas duoda maþesná neidvigubà iðeigos efektà.

4.2.3. Logistinë bûsimoji vertë

Dar XIX ðimtmetyje, tiriant biologiniø sistemø kitimà, P. F. Ferülstas(P. F. Verhülst) pasiûlë populiacijos augimo diferencialinæ lygtá papildytidaugikliu, turinèiu tiesiðkai maþëjanèios funkcijos pavidalà. Pritaikykimepanaðø augimà ribojantá daugiklá kapitalo kitimo diferencialinei lygèiai(4.3)

KrK

K

dt

dK

m

⋅⋅

−= ln1 , (4.9)

èia Km – maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë (ribojantis veiksnys),ávertinanti didþiausias kapitalo augimo galimybes arba kapitalo iðteklius.Be to, lygtyje (4.3) proporcingumo koeficientas k imamas lygus natû-raliajam logaritmui kaþkurio skaièiaus r ( )1,0 ≠> rr , t. y. rk ln= .

Lygtis (4.9) pertvarkoma ( ) KKKK

r

dt

dKm

m

⋅−=ln ir integruojama

( ) ∫∫ =⋅−

dtK

r

KKK

dK

mm

ln.

Kadangi ( )

−+=

⋅− KKKKKKK mmm

1111, tai lygties kairëje pusëje

esantá integralà galima perraðyti taip

85

∫∫ =

−+ dt

K

rdK

KKKK mmm

ln111,

( ) CtK

rKKK

K mm

m

+=−−ln

lnln1

,

Lygties abi puses padauginus ið ribinës kapitalo Km

reikðmës irpertvarkius lygtá turima

CrtKK

K

m

+⋅=−

lnln .

Ávertinus pradines sàlygas, kai t=0, tai K=K0 , t. y. 00KK

t=

=,

gaunama integravimo konstanta

0

0lnKK

KC

m −=

.

Ástaèius konstantos C iðraiðkà, gaunama

0

0lnlnlnKK

Krt

KK

K

mm −+⋅=

−.

Ið èia randama

tm

m

rK

KK

KK

Klnln

0

0 =−

⋅−

.

Kadangi Km

>K>0 ir K>K0, tai ir 00

0 >−

⋅− K

KK

KK

K m

m

. Todëlgalima uþraðyti

0

0

K

KK

KK

Kr

m

m

t −⋅

−= . (4.10)

Pertvarkius ir suprastinus lygtá, iðreiðkiamas K

( ) tm

m

rKKKK

KK ⋅−

−=

0

0 , t

m

mt

m

rKK

KKr

KK

KK ⋅

−=

⋅

−+

0

0

0

01 ,



0

000

KK

rKK

KK

rKKKK

m

tm

mm

tm

−=

−

⋅+−⋅ ,

( )10

0

−+

⋅⋅=

tm

tm

rKK

rKKK .

Ir èia, kaip ir anksèiau, tarus, kad ir += 1 , gaunama

( )

( )( )11

1

0

0

−++

+⋅⋅=

tm

tm

iKK

iKKK . (4.11)

Tai logistinio augimo bûsimoji kapitalo vertë.

Lygties (4.11) deðinës pusës skaitiklá ir vardiklá padalijus ið Km ir santyká

mK

K0 paþymëjus raide S0

≤≤= 10,

00

0 SSK

K

m

, jis pavadinamas pradinio

prisotinimo koeficientu. Norint pabrëþti, kad laikas bus matuojamas tais

paèiais vienetais kaip ir laikas, ávertintas palûkanø normoje, jis þymimasraide n, daþniausiai reiðkianèia sveikuosius palûkanø perskaièiavimoperiodus. Taip pertvarkyta ribinio kitimo bûsimoji kapitalo vertë bus

( )( )( )111

1

0

0

−+⋅+

+⋅=

n

n

iS

iKK . (4.12)

Gauta logistinio (ribinio) kaupimo bûsimosios kapitalo vertës san-tykinë iðraiðka.

Reikia paþymëti, kad, kai maksimali kapitalo reikðmë Km didëja ir

artëja á begalybæ ( ∞→m

K ; kapitalo iðtekliai neriboti), pradinio prisoti-nimo koeficientas nyksta ir kartu jo reikðmë artëja prie nulio ( )0

0→S .

Tada, kaip ir buvo galima tikëtis, formulë (4.12) virsta áprasta sudëtiniøprocentø formule (4.8). Tas pats gaunama ir lygèiai (4.11) apskaièiavusribà, kai ∞→mK . Ið èia padaroma labai svarbi iðvada: sudëtiniø procentø

formulë yra ribinio kapitalo kaupimo funkcijos atskiras atvejis, kai

maksimali kapitalo reikðmë Km yra be galo didelë.

87

Kita vertus, jei (4.11) lygtyje mKK =0 , t. y. tariama, kad pradinis

kapitalas lygus maksimaliai jo reikðmei, tada pradinio prisotinimokoeficientas S0 bus lygus 1. Ástaèius á lygtá (4.12) S0 = 1, gaunama pradinæsàlygà patvirtinanti iðvada, t. y. mKK =

0.

Ávertinus tai, kad sudëtiniø procentø formulë yra ribinio kapitalokaupimo funkcijos atskiras atvejis, nesunku paaiðkinti, ið kur kyla anksèiauaptartas maþëjantis pajamø didëjimo greièio efektas: kai maksimalikapitalo reikðmë K

m yra santykiðkai didelë (taip bûna paprastai kaupimo

pradþioje), galima remtis sudëtiniø palûkanø taisykle ir tada padvigu-bintas kapitalas padvigubina iðeigà. Vëliau tenka ávertinti iðtekliømaþëjimà ir kapitalo augimà skaièiuoti remiantis logistinio didëjimobûsimosios kapitalo vertë formule (4.11). Kaip vëliau bus galima ásitikinti,èia ir gaunamas augimo greièio maþëjimo efektas.

Toliau nagrinëjami logistinio augimo bûsimosios vertës funkcijosgrafikai. Lyginami paprastojo (4.8) ir ribinio (logistinio) (4.12) kaupimo(bûsimøjø verèiø) grafikai.


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30

Sud tini proc. 30%

Sud tini proc. 10%

Logistinis 30%

Logistinis 10%

4.3 pav. Bûsimosios vertës priklausomybë nuo laiko

Bû

sim

oji

ver

të

Laikas

Sudëtiniø proc. 30%

Sudëtiniø proc. 10%

Logistinis 30%

Logistinis 10%


Pateikiamos (4.3 pav.) dvi grafikø poros, iliustruojanèios kapitalobûsimosios vertës priklausomybæ nuo laiko. Be to, kiekvienoje porojeyra po vienà sudëtiniø palûkanø grafikà ir po vienà ribinës funkcijosgrafikà. Vienos grafikø poros palûkanø norma yra 30%, kitos – 10%.Ribiniø funkcijø pradinio prisotinimo koeficientas S

0 = 0,1 (pradinisprisotinimas lygus 10%), be to, abiejose funkcijose K0 = 1. Ið brëþiniomatoma, kad ið pradþiø abiejø porø funkcijos (ribinë ir paprastoji) darpakankamai gerai sutampa. Galima pastebëti, kad kai palûkanø normamaþesnë, pakankamai nedidelis reikðmiø skirtumas (apie 5%) iðliekailgiau. Vëliau ribiniø funkcijø grafikø kilimas lëtëja. Pratæsus pastarøjøfunkcijø grafikus pastebima, kad jie nevirðija 10 kapitalo vienetø reikðmës.

Ðià grafiko savybæ galima nesunkiai pastebëti ir analitiðkai iðtyrus paèià

ribinæ (logistinæ) funkcijà. Ieðkant ribos Kn ∞→

lim gaunamas neapibrëþtumas

∞∞ . Pritaikius Lopitalio (G. F. A. de L’Hospital) taisyklæ randama

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) mn

n

nn

n

nK

S

K

iiS

iiK

iS

iK==

−+++

++=

−++

+

∞→∞→0

0

0

0

0

0

01ln10

1ln1lim

111

1lim

.

Kadangi 4.3 pav. grafike K0 = 1, o S0 = 0,1, tai skaièiuojama riba lygi10 kapitalo vienetø.

Reikia pabrëþti, kad pradinis prisotinimo koeficientas S0 esmingaiveikia ribinës funkcijos kitimà. Bûsimosios vertës priklausomybë nuolaiko, kai palûkanø norma lygi 20% ir esant ávairioms pradinio prisotinimoreikðmëms, vaizduojamas 4.4 paveiksle.

Matoma, kad, maþëjant pradinio prisotinimo koeficientui ir esantpastoviam pradiniam kapitalui K

0, ðios funkcijos riba didëja. Jei koefi-cientas S0 laipsniðkai nyksta (tai atitinka grafiko kreivæ, kai S0 = 0), ðiriba tampa begalinë, o ribinë funkcija pavirsta sudëtiniø procentø formule.Akivaizdu, kad, didëjant pradinio prisotinimo koeficientui, bûsimojikapitalo vertë maþëja, nors kiti logistinës (ribinës) funkcijos parametraiiðlieka pastovûs.

Tiek 4.3 pav., tiek 4.4 pav. matoma, kad pradiniu laiko momentukapitalo vertë lygi vienetui. Tai reiðkia, kad pradinis kapitalas lygus vienam

89

piniginiam vienetui, o kitos kapitalo reikðmës iðreiðkiamos pradiniukapitalu.

Bûsimosios vertës priklausomybë nuo pradinio prisotinimo dydþio,kai kaupimo terminai skirtingi, pateikiama 4.5 paveiksle. Matoma, kad,


0

5

10

15

20

0 10 20 30 40

0 %

1%

5%

10%

20%

4.4 pav. Logistinës bûsimosios vertës priklausomybë nuo laiko esantávairioms pradinio prisotinimo reikðmëms

Laikas

Bû

sim

oji

ver

të

0%

1%

5%

10%

20%

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

n = 1

n = 2

n = 5

n = 10

n = 20

4.5 pav. Bûsimosios vertës priklausomybë nuo pradinio prisotinimoesant skirtingiems kaupimo terminams

Pradinis prisotinimas

Pro

du

kta

s

n = 1

n = 2

n = 5

n = 10

n = 20


prisotinimo koeficientui artëjant prie vieneto, visos kaupimo kreivës,nesvarbu, kokia kaupimo trukmë, artëja prie pradinio kapitalo reikðmës,kuri ðiuo atveju taip pat lygi vienetui. Maþëjant prisotinimui bûsimojikapitalo vertë didëja. Ilgëjant kaupimo laikui ðis didëjimas tampa ypaèryðkus.

4.2.4. Logistinës palûkanos

Ir sudëtiniø procentø, ir ribinës palûkanos yra sukauptojo K ir pradiniokapitalo K0 skirtumas.

0KKP −= ,

èia P – palûkanos, sukauptos per tam tikrà laikotarpá.Pasinaudojus ribinio kitimo bûsimosios kapitalo vertës iðraiðka (4.12)

galima uþraðyti

( )

( )( ) 0

0

0

11

1K

iKK

iKKP

tm

tm −

−++

+⋅⋅= .

Ið èia gaunama

( ) ( )( )( )( )11

11

0

0

0

−+−

−+−=

nm

nm

iKK

iKKKP .

Padalijus skaitiklá ir vardiklá ið Km, gaunama

( ) ( )( )( )( )111

111

0

0

0

−++

−+−=

n

n

iS

iSKP .

Dar kartà padalijus ið ( )( )11 −+ ni ir paþymëjus

( )nn

u

i

=−+ 11

1,

gaunama ribiniø palûkanø iðraiðka

0

00

1

Su

SKP

n+

−= .

91

Esant pastoviam prisotinimui S0 palûkanø dydis priklauso nuo kaupimo

veiksnio un, kuris savo ruoþtu yra palûkanø normos ir kaupimo trukmës

funkcija. Jis maþëja tiek didëjant palûkanø normai, tiek kaupimo laikui.

4.2.5. Kapitalo augimo greitis

Ekonomikos teorijoje ribiniam kapitalo augimui (kapitalo augimogreièiui) skiriamas iðskirtinis dëmesys. Tai yra dël to, kad reikia rastitinkamà ribinio produkto maþëjimo dësnio veikimo mechanizmopaaiðkinimà. Suprantama, kad remiantis vien sudëtiniø procentø taisykleto padaryti neámanoma, o naudojantis logistine kapitalo bûsimosios vertësfunkcija tai padaryti nesudëtinga.

Pirmiausia nustatomas kapitalo augimo greitis, kai kapitalo iðtekliaiyra be galo dideli, t. y. iðtiriamas kapitalo augimo greitis naudojantsudëtiniø procentø modelá. Diferencijuojant sudëtiniø procentø funkcijà(4.7) gaunama kapitalo augimo greièio iðraiðka:

trrK

dt

dK⋅= ln

0.

Kapitalo augimo greitis, kaip ir kapitalo bûsimoji vertë, yra ekspo-nentiðkai didëjanti funkcija. Tai reiðkia, kad kol kapitalas didëja nevar-þomas iðtekliø, t. y. kol augimà nulemia sudëtiniø palûkanø taisyklë, tolkapitalo augimo greitis didëja. Tai matoma 4.6 paveiksle.

Diferencijuojant kapitalo kaupimo logistinæ funkcijà (4.11) gaunamakita kapitalo augimo greièio dtdK iðraiðka

( ) ( )

−+−

−+=

0

2

00

01111

ln SrS

r

rS

rrK

dt

dKt

t

t

t

. (4.13)

Funkcijos (4.13) analizë rodo, kad kapitalo augimo greitis yranevienodas. Ið pradþiø greitis didëja, bet pasiekæs maksimumà ima maþëtiir laikui bëgant priartëja prie nulio.



4.7 pav. pateikti kapitalo augimo greièio grafikai, kai yra skirtingospalûkanø normos; be to, èia S

0 = 0,1 ir К0

= 1. Imant domën, kad 1+i = r,pastebima, jog augimo greitis pradinëmis stadijomis, kai yra didesnëspalûkanø normos i reikðmës, spartesnis ir pasiekia didesniø reikðmiø neikitais atvejais.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20k

Eksponentin funkcija

Logistin funkcija

4.6 pav. Kapitalo augimo greitis, apskaièiuotas pagal skirtingasfunkcijas, kai palûkanø norma 30%

Au

gim

o g

reit

is

Laikas

Eksponentinë fukcija

Logistinë fukcija

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20

i = 0,3

i = 0,4

i = 0,5

4.7 pav. Kapitalo augimo greitis esant skirtingai palûkanø normai

Laikas

Au

gim

o g

reit

is i = 0,3

i = 0,4

i = 0,5

93

Gautas kapitalo augimo greièio maþëjimas yra svarbus ne tik teoriniu,bet ir praktiniu poþiûriu. Spartus kapitalo augimas investavimo pradþiojedar negarantuoja, kad investicijos efektyvumas ir esant ribotiemsiðtekliams iðliks pastovus visà laikà. Su ðiuo efektu susidûrë ir nemaþaiverslo praktikø, dirbusiø naujos susiformavusios rinkos sàlygomis. Iðpradþiø, kol rinka nebuvo veikiama ribotø iðtekliø, investicijø kapitaloaugimo greitis buvo spartesnis. Vëliau, atsiradus konkurencijai, kartu irprisotinimo efektui, didëjimo greitis ëmë aiðkiai lëtëti. Ðis lëtëjimas buvotuo spartesnis, kuo investicija ið pradþiø buvo efektyvesnë. Daugelisverslininkø nepajëgë teisingai ávertinti besikeièianèios situacijos ir manë,kad lëtëjimo prieþastys yra politinës (valdþia nesudaro sàlygø verslui), one ekonominës.

4.2.6. Sukauptoji kapitalo suma

Integruojant logistinæ bûsimosios vertës funkcijà randama sukauptosioskapitalo vertës funkcija.

( )( )( )

( )( )( )

Ci

KKiKKdx

iKK

iKKm

x

mx

m

x

m ++

−++⋅=

−+⋅+

+⋅⋅∫ 1ln

1ln

11

100

0

0 .

Jei reikia nustatyti per tam tikrà laikotarpá, tarkime, nuo laikomomento a iki momento b, sukauptojo kapitalo sumà, surandamasatitinkamas apibrëþtinis integralas

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

00

00

0

0

1

1ln

1ln11

1

KKiK

KKiK

i

Kdx

iKK

iKK

m

a

m

b

m

b

a

x

m

x

m

−++⋅

−++⋅

+=

−+⋅+

+⋅⋅∫ .

Gautasis integralas parodo sukauptojo kapitalo sumà kiekvienu laikomomentu ir, nusistovëjus kaupimui, yra tiesinë laiko funkcija.

Paveiksle 4.8 matoma sukauptosios sumos priklausomybë nuokaupimo periodø skaièiaus, kai palûkanø norma 20%, o pradinis kapitalasK0 = 1. Galima pastebëti, kad logistinio kaupimo atveju nusistovëjus



kaupimo procesui, ði priklausomybë virsta artima tiesinei. Kaupimas,grástas sudëtiniø palûkanø taisykle, visada lieka eksponentinis.

4.3. Logistinë dabartinë vertë

Finansams valdyti svarbûs dabartinës kapitalo vertës skaièiavimai. Tokieskaièiavimai leidþia palyginti skirtingo dydþio ir skirtingu laiku mokamaspinigø sumas, uþtikrinti pinigø srautø ekvivalentumà. Norint skirtingulaiku mokamas pinigø sumas perskaièiuoti ankstesniam laikotarpiui, reikiatas sumas diskontuoti. Pirmame skyriuje kalbëta apie diskontavimà pap-rastaisiais ir sudëtiniais procentais. Dabar nagrinësime logistiná dis-kontavimà. Ðiuo atveju, kaip ir anksèiau, diskontavimo apibrëþimas iðliekanepasikeitæs.

Diskontavimas – tai bet kurios ið anksto nustatytos ir nuo laikopriklausanèios vertinës reikðmës perskaièiavimas ankstesniam laiko-tarpiui.

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

Sud�tini� pal�kan�

Logistinis Km = 5

Logistinis Km = 2

Logistinis Km = 1,01

4.8 pav. Sukauptosios sumos priklausomybë nuo kaupimo periodøskaièiaus esant skirtingoms ribinio kapitalo reikðmëms

Periodø skaièius

Su

kau

pto

ji s

um

a

Sudëtiniø palûkanø

Logistinis Km = 5

Logistinis Km = 2


95

Ðiuo atveju diskontavimui atlikti naudojama logistinë funkcija. Reikiaapskaièiuoti esamosios (dabartinës) kapitalo vertës logistinæ (ribinæ)iðraiðkà. Ið lygties (4.11) randama

( ) t

m

t

mrKKrKKKK ⋅⋅=−⋅+⋅

001

( ) KKrKKrKK mtt

m ⋅=−⋅⋅−⋅⋅ 100

.

Iðreiðkus pradiná kapitalà K0 ir tariant, kad ir += 1 , o t = n gaunama

( ) ( )nm

m

iKKK

KKK

+⋅−+

⋅=

10 . (4.14)

Tai ribinë dabartinës (esamosios) kapitalo vertës skaièiavimo formulë.Gautos lygties deðinës pusës skaitiklá ir vardiklá padalijus ið K

m, kaip tai

daryta ir anksèiau, ir gautà santyká paþymëjus raide S bei pavadinus

momentinio prisotinimo koeficientu,

= S

K

K

m

gaunama dabartinës

kapitalo vertës santykinë momentinë iðraiðka.

( ) ( )niSS

KK

+⋅−+=

110

. (4.15)

Ði formulë gali bûti panaudota kapitalui diskontuoti, o toks kapitalasvadinamas logistiniu (ribiniu) diskontu. Palyginti áprasta diskonto formulë,t. y. dabartinë kapitalo vertë, iðreikðta ið sudëtiniø palûkanø formulës,yra

( )ni

KK

+

=

10

. (4.16)

Nesunku pastebëti, kad jei maksimalus kapitalo dydis Km

yra

neaprëþtai didelis (tada momentinis prisotinimo koeficientas tampa nyks-

tamai maþas), t. y. jei 0limlim ==

→∞→∞

SK

K

mmK

mK

, logistinës (4.14) arba

(4.15) priklausomybës virsta paprastàja diskonto formule (4.16).



Dabartinës vertës priklausomybë nuo laiko esant ávairioms palûkanønormos reikðmëms, apskaièiuota remiantis formule (4.15), pateikiama4.9 paveiksle. Be to, èia kapitalo reikðmë lygi vienetui, o prisotinimokoeficientas 0,2. Kai i = 0,01 (palûkanø norma 1%), dabartinës vertëspriklausomybë nuo laiko (arba nuo kaupimo periodø skaièiaus) n yrabeveik tiesinë. Visiðkai tiesinë ji taptø tada, jei palûkanø norma bûtø lyginuliui (i = 0). Didëjant palûkanø normai netiesiðkumas tampa visryðkesnis.

Formulæ (4.15) galima pertvarkyti taip, kad ji turëtø iðtekliø (priso-

tinimo) normos iðraiðkà m

K

KL −= 1 . Tada kapitalo diskontavimo formulë bus

( )( )1110

−+⋅+

=n

iL

KK . (4.17)

Analizuojant formulæ (4.17) (lygiai taip, kaip ir formules (4.14) ar(4.15)) stebimas labai svarbus faktas (þr. 4.10 pav.): maþëjant kapitaloiðtekliø normai, t. y. K artëjant prie K

m ( )

mKK → , didëja kapitalo

dabartinë vertë. Tai reiðkia, kad kapitalo iðtekliams artëjant prie ribinësreikðmës, t. y. kai 1→S arba kai 0→L , sistemos efektyvumas didëja.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

i = 0,01

i = 0,05

i = 0,10

i = 0,20

4.9 pav. Dabartinës vertës priklausomybë nuo laiko esant ávairiomspalûkanø normos reikðmëms

Laikas

Dab

arti

në

vert

ë

i = 0,01

i = 0,05

i = 0,10

i = 0,20

97

Be to, iðtekliø normai artëjant prie nulio, dabartinë kapitalo reikðmë,neatsiþvelgiant á sistemos struktûrà (palûkanø normos dydá ir diskon-tavimo trukmæ), konverguoja á skaièiuojamàjà (ateities) kapitalo reikðmæK (brëþinyje K=1).

Dar vienas svarbus momentas, stebimas analizuojant logistiniusdiskonto modelius, yra tas, kad ámanoma perþengti ribà (maksimaliàreikðmæ). Sudarant logistiná kaupimo modelá buvo laikomasi nuostatos,kad kaupiamas kapitalas artëja prie maksimalios reikðmës, bûdamas visàlaikà uþ jà maþesnis ( )

mmKKKK <→ ; Dël to skaièiuojant kapitalo

bûsimàjà vertæ pagal (4.11) ar (4.12) formules minëtos sàlygos ir negalëjobûti paþeidþiamos. O diskonto modeliai leidþia tam tikru dydþiu perþengtinustatytà ribà ir kartu iðlaikyti tolydø dabartinës vertës didëjimà. Iðtekliønormos maþëjimas neigiamø reikðmiø srityje yra apibrëþtas tam tikra riba,ties kuria dabartinës vertës funkcija turi trûká.

Ðis trûkis bus, kai formulës (4.14) vardiklis virs nuliu, t. y. kai kapitalo

K reikðmë bus apskaièiuojama pagal formulæ ( )

( ) 11

1

−+

+=

n

n

mi

iKK arba

kai iðtekliø norma ρ bus: ( )ni+−

=

11

1ρ . Matome, kad jei i > 0, tai ρ < 0.

Taigi iðtekliø norma gali bûti ir neigiama. Ji priklauso tik nuo diskonto

normos ir diskontavimo trukmës.Analizuojant (4.17) modelá matoma, kad artëdama prie ribos (trûkio

taðko) dabartinë vertë gali pasiekti kiek norima dideles reikðmes.

Pasiekus ar perþengus ðià ribà, sistema tampa nestabili.

Paveiksle 4.10 pateikta dabartinës vertës priklausomybë nuo iðtekliø

normos ρ esant skirtingoms kaupimo trukmëms (nuo 1 iki 20). Be to, èia

kapitalo dydis imamas lygus vienetui, o palûkanø norma lygi 0,1.

Apibendrinant galima pasakyti, kad, maþëjant iðtekliø normai

(maþëjant nepanaudotø iðtekliø daliai), kapitalo dabartinë vertë didëja,

o perëjus á neigiamø reikðmiø sritá (dirbant su kapitalo pervirðiu) ir artëjant

prie trûkio taðko, kapitalo dabartinë vertë gali pasiekti kiek norima dideles



reikðmes. Kapitalo iðtekliø normai pasiekus trûkio taðkà, kapitalo kitimastampa nestabilus.

Kapitalo dabartinës vertës didëjanti dinamika yra labai svarbusinvesticijø valdymo veiksnys. Dël baziniø kapitalo iðtekliø prisotinimoatsirandantis ryðkus kapitalo dabartinës vertës didëjimas sukeliafinansinëje sistemoje kainø burbulø susiformavimà. Matëme, kad tamlemiamà átakà turi iðtekliø ribotumas: maþëjant iðtekliams – didëjakapitalo dabartinë vertë. Galima ásitikinti, kad nuosekliai artëjant prieiðtekliø ribos, kapitalo kaupimas tampa neribotas. Jei tokie iðtekliaineatsinaujina, tai ir kainos iðlieka stabiliai didelës (pvz., retø menokûriniø). Taèiau jei iðtekliai atsinaujina arba randami jiems alternatyvûs,kainos staigiai krenta, nes, kaip rodo logistinis modelis, nedideli nykstanèiøiðtekliø pasikeitimai sukelia didelius kainø ðuolius.

Panaðø á kainø burbulø efektà („antràjá kvëpavimà“) galima matyti irkitø populiacijø vystymosi metu.

Kap

ital

o d

abar

tin

ë vr

etë

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

n = 1

n = 5

n = 10

n = 20

4.10 pav. Dabartinës vertës priklausomybë nuo iðtekliø normos esantskirtingoms kaupimo trukmëms ir K = 1; i = 0,1

n = 1

n = 5

n = 10

n = 20

Kapitalo iðtekliø norma ρ

99

4.4. Ekvivalenèioji palûkanø norma

Finansinëje analizëje, ypaè nagrinëjant finansinius sandorius, iðkylaekvivalentumo problema. Tai vienas ið svarbiausiø finansinës analizësklausimø. Aptarkime atskirà ðios srities problemà – palûkanø normøekvivalentumà.

Sulyginus bûsimosios vertës sudëtiniø palûkanø (4.8) ir logistiná (4.11)modelius galima iðreikðti ekvivalenèiàjà eksponentinæ palûkanø normàlogistinës palûkanø normos pagalba. Paþymëjus sudëtiniø procentø(eksponentinio kitimo) formulëje palûkanø normà raide j, turima

( )njKK += 10 .

Sulyginus bûsimosios vertës eksponentiná ir ribiná modelius, gaunama

( )( )( )( )111

11

0

0

0

−+⋅+

+⋅

=+n

nn

iS

iKjK .

Ið èia galima iðreikðti eksponentinio kitimo ekvivalenèiàjà palûkanønormà

( )

( )( )1

111

1

0

−

−+⋅+

+=

nn

iS

ij , (4.18)

arba tas pat iðreiðkiant per K0 ir Km:

( )( )( )

111

1

0

−−+⋅+

⋅+= nn

m

m

iKK

Kij .

Ekvivalenèioji palûkanø norma gali bûti panaudota analizuojantinvesticiniø bendroviø veiklà, investavimo galimybes, o kartais ir finansiniønesëkmiø prieþastis.

Ekvivalenèiosios palûkanø normos priklausomybës nuo laiko grafikai,kai S0 = 0,1, pateikti 4.11 paveiksle. Laikas èia turi bûti matuojamas taispaèiais laiko vienetais kaip ir laikas, ávertintas palûkanø normoje. Paveikslematyti, kad jei palûkanø normos nëra didelës (pvz., nevirðija 10%), tai ir



palûkanø pasikeitimas (maþëjimas), nors ir gerai pastebimas (per visà laikointervalà yra apie 25%), bet nëra ypaè ryðkus. Esant didelëms palûkanønormoms (30% ir daugiau), jos maþëjimas yra labai ryðkus. Mûsø grafikeekvivalenèioji palûkanø norma per 50 periodø sumaþëjo nuo daugiau nei26 procentiniø punktø iki maþiau nei 5. Toks palûkanø normos maþëjimasesmingai keièia pradines investavimo sàlygas ir dël to turi bûti atitinkamaiávertintas. Suprantama, kad, neávertinusi ðitaip besikeièianèiø palûkanø,investicinë bendrovë gali patirti kapitalo valdymo problemø.

4.5. Ribiniø kaupimo modeliø taikymas

Praktiniu poþiûriu kapitalo logistinio kaupimo problema yra beveiknetyrinëta. Tai lëmë kelios svarbios prieþastys. Pirmiausia – ilgà laikànebuvo sukurta tam tinkamø modeliø. Be to, logistiniai modeliai yra daugsudëtingesni uþ eksponentinius ir dël to jø tyrimas ámanomas tik pasitelkusinformacines technologijas. Pagaliau logistiniai modeliai labiausiaitaikytini uþdaroms ekonominëms sistemoms, o ta sàlyga visiðkai ágyven-dinama taip pat gana retai.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

i=0,05

i=0,1

i=0,3

4.11 pav. Ekvivalenèiosios palûkanø normos priklausomybë nuo laiko

Pal

ûk

anø

no

rma

Laikas

i = 0,05

i = 0,1

i = 0,3

101

Statistiðkai nagrinëjant kai kuriø sistemø ilgalaiká ekonominá vystymàsi,galima pastebëti, kad tam tikrais periodais yra artëjimo prie tam tikrosribos poþymiø. Tokiø faktø aptinkama ir negausioje literatûroje ðiatematika (Ferreira, Eidelman, 1998).

Þinoma, kad Brazilijos ekonomika ilgà laikà buvo izoliuota nuoiðoriniø iðtekliø. Ávertinæs tà faktà Karlas Alvimas (Carlos Feu Alvim)atlikto Brazilijos BVP augimo 1947–1992 metais tyrimus. Naudodamasfenomenologinæ metodologijà ir remdamasis nacionaliniø rodikliø analizeautorius prieina prie iðvados, kad laikotarpio pabaigoje sukauptasiskapitalas siekia vos 7 proc. tos reikðmës, kuri buvo prognozuojamaremiantis rodikliniu modeliu. 1998 metais buvo atliktas kitas tyrimas, kurispagilino anksèiau atliktàjá. Naudota panaði metodologija, taèiau duomenyspapildyti naujais (iki 1997 metø).

Tyrimo metu Omaras Fereira (Omar Compos Ferreira) ir KarlasAlvimas (Carlos Feu Alvim) ieðkojo struktûriniø „Brazilijos ekonominiostebuklo“ pabaigos prieþasèiø. Pagrindinë hipotezë buvo ta, kad Brazilijosekonomikos augimà ribojantis veiksnys yra kapitalas (darbo jëgaBrazilijoje buvo iðnaudojama ir taip nepakankamai). Taigi èia prieinamaprie iðvados, kad iki septintojo deðimtmeèio Brazilijos ekonomika galibûti apraðoma logistiniu modeliu, kur augimo tempà stabdantis veiksnysyra ribinis kapitalas. Kapitalo augimui modeliuoti tyrimo autoriai siûlëmaþai modifikuotà klasikinës logistinës funkcijos variantà. Reikiapaþymëti, kad logistinës funkcijos (4.11) naudojimas leidþia gautitikslesnius prognozës rezultatus.

4.6. Regresijos koeficientø nustatymas

Taikant logistinius kaupimo modelius viena ið svarbiausiø ir proble-miðkiausiø uþduoèiø yra regresijos koeficientø nustatymas.

Apibrëþkime sàlygas, kurioms esant galima vienà kapitalo kaupimomodelá (KKM) pakeisti kitu – paprastesniu. Kai maksimali kapitaloreikðmë maþai riboja kapitalo augimà, galima naudoti ne logistiná, opaprastesná – eksponentiná modelá. Pirmiau pastebëta, kad augimo



pradþioje eksponentiniu ir logistiniu modeliais apskaièiuotos reikðmësyra artimos. Be to, teigta, kad eksponentinis modelis yra atskiras logistiniomodelio atvejis. Vadinasi, turint kapitalo reikðmiø laiko eilutæ ir þinant,kad kintamieji atitinka ribiná augimo dësná, pirmàsias laiko eilutësreikðmes galima apraðyti eksponentiniu modeliu. Vëliau pastarojomodelio koeficientus galima panaudoti sudarant logistiná modelá.

Remiantis anksèiau padarytomis iðvadomis, logistinio modeliokoeficientai K0 ir i bus apskaièiuojami maþiausiøjø kvadratø metodu pagaleksponentiná modelá (Boguslauskas , 2004). Regresijos lygtimi imamaeksponentinio KKM iðraiðka y = a(1+i)x. Tada argumentus

nxxx ...,,,

21

atitinkanèios funkcijos reikðmës bus:1)1(ˆ

1

xiay +=

,

2)1(ˆ2

x

iay += ,........................

nx

n iay )1(ˆ += .Remiantis maþiausiøjø kvadratø metodu uþraðomi teoriniø ir

eksperimentiniø reikðmiø skirtumai ir sudaroma nuokrypø kvadratø suma:

22

22

2

11)ˆ(...)ˆ()ˆ(

nnyyyyyyu −++−+−=

Ásistaèius á ðià formulæ sumodeliuotas nuokrypø y reikðmes ir pakeitus(1+i) á r (1+i = r), funkcijà galima perraðyti taip:

22

2

2

1)(...)()( 21

n

xxxyrayrayrau n −⋅++−⋅+−⋅= . (4.19)

Funkcija (4.19) turi du kintamuosius: a ir r.Gautàjà funkcijà pritaikykime konkretaus uþdavinio regresijos

koeficientams skaièiuoti. Pateikta 4.1 lentelëje Lietuvos BVP dinamika(milijonais litø;) 1992–2003 metais (Statistikos departamentas, 2004).Eksponentinës funkcijos koeficientams nustatyti imkime 1992–1995 metøduomenis.

103

4.1 lentelë. Lietuvos BVP 1992–2003 metais

Remiantis minëtais pirmøjø ketveriø metø duomenimis, 4.11 pav.parodyta nuokrypiø kvadratø sumos priklausomybë nuo augimo greièiokoeficiento r esant skirtingoms a reikðmëms. Ásigilinus á 4.11 pav. matoma,kad ði funkcija turi minimumà, kai r yra tarp 1,5 ir 2, o a yra artimas 6 000.

Norint rasti tikslø ðios funkcijos minimumà ir ieðkomus koeficientus,reikia apskaièiuoti funkcijos iðvestines atskirø kintamøjø atþvilgiu irprilyginti jas nuliui. Apskaièiavus iðvestines, gaunama:


0

3

6

9

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5

a =2000

a =4000

a =6000

a = 8000

a = 10000

a = 12000

4.11 pav. Nuokrypiø kvadratø sumos priklausomybë nuo augimogreièio koeficiento r esant skirtingoms a reikðmëms

Nu

ok

ryp

is

a = 2000

a = 4000

a = 6000

a = 8000

a = 10 000

a = 12 000

Koeficientas r

Metai 1992 1993 1994 1995 1996 1997

BVP 3406 11 590 16 904 25 568 32 290 39 378

Metai 1998 1999 2000 2001 2002 2003

BVP 44 377 43 359 45 526 48 379 51 633 55 737


⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅=∂

∂

⋅−⋅⋅+

+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂

∂

−

−

−

.)(2...

...)(2

)(2

;)(2...

...)(2)(2

1

1

12

1

11

21

22

11

2211

nn

nn

x

nn

x

xx

xx

x

n

x

xxxx

rxayra

rxayra

rxayrar

u

ryra

ryraryraa

u

Þinoma, kad maþiausiø reikðmiø reikia ieðkoti tarp sistemos

=∂

∂

=∂

∂

,0

;0

r

u

a

u

sprendiniø. Atlikus pertvarkymus ir kiekvienà sistemos lygtá

iðsprendus neþinomojo a atþvilgiu, gaunama

⋅

⋅⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

.

)(

)(

;

)(

1

2

1

1

2

1

n

j

x

j

n

j

x

jj

n

j

x

n

j

j

x

j

j

j

j

rx

ryx

a

r

yr

a

Sulyginus deðiniàsias lygèiø puses ir atlikus nedideliø pertvarkymus,gaunama

0)()()(1 1 11

22

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∑ ∑ ∑∑= = ==

n

j

n

j

n

j

x

jj

n

j

xx

jj

x jjjj ryxrrxyr (4.20)

105

Analitinis lygties (4.20) sprendimas yra gana keblus, ypaè kai n ðiektiek didesnis nei 2. Patogiausia jà spræsti pasinaudojant informacinëmistechnologijomis. Vienas ið galimø sprendimo bûdø – sudaryti iteracináciklà, kurio metu kiekvienoje iteracijoje keièiama regresijos koeficientor reikðmë tol, kol ji reikiamu tikslumu tenkina sudarytà lygtá.

Iðsprendus gautàjà lygtá ir suradus koeficientà r, galima apskaièiuotiir antràjá regresijos koeficientà a. Koeficiento a reikðmë nustatoma pagalvienà ið sistemos lygèiø. Mûsø nagrinëjamame pavyzdyje ðios reikðmësyra: r = 1,628714, o a = 6049,49.

Vertinant gautàsias koeficientø reikðmes reikia pabrëþti uþdaviniospecifikà: statistikos duomenys rodo pereinamojo ekonominio laikotarpiosituacijà. Kita vertus, regresijos koeficientø r ir a reikðmës priklauso netik nuo statistikos duomenø, gautø atskirø stebëjimø metu, bet ir nuostebiniø skaièiaus, panaudotø atliekant konkretø skaièiavimà.

Turint reikalingus r ir a koeficientus, reikia nustatyti paskutiná logistiniomodelio koeficientà Km. Paþymëkime K = Y, o Km = z. Kaip ir anksèiautariama, kad 1 + i = r, o K0 = a. Tada logistinæ kaupimo funkcijà galimauþraðyti taip:

)1( −⋅+

⋅⋅=

x

x

raz

rzaY .

Ið èia argumentus nxxx ...,,,

21 atitinkanèios funkcijos Y reikðmës bus:

)1(ˆ

1

1

1

−⋅+

⋅⋅=

x

x

raz

rzaY ,

)1(ˆ

2

2

2

−⋅+

⋅⋅=

x

x

raz

rzaY ,

.....................................

)1(ˆ

−⋅+

⋅⋅=

n

n

x

x

nraz

rzaY

Neþinomas regresijos koeficientas z apskaièiuojamas remiantismaþiausiøjø kvadratø metodu:



2222

211

)ˆ(...)ˆ()ˆ( nn YYYYYYv −++−+−= .

Ásistaèius sumodeliuotas kintamøjø reikðmes, gaunama funkcija:

.))1(

(

...))1(

(

))1(

(

2

22

21

2

2

1

1

nx

x

x

x

x

x

Yraz

rza

Yraz

rza

Yraz

rzav

n

n

−−⋅+

⋅⋅+

++−−⋅+

⋅⋅+

+−−⋅+

⋅⋅=

Norint rasti ðitos funkcijos minimumà, reikia apskaièiuoti funkcijosiðvestinæ pagal z ir jà prilyginti nuliui:

+−⋅+

−⋅⋅⋅−

−⋅+

⋅⋅⋅=

2

2

1

))1((

)1()

)1((2

1

11

1

1

x

xx

x

x

raz

rraY

raz

rza

dz

dv

++

−⋅+

−⋅⋅⋅−

−⋅+

⋅⋅⋅+ ...

))1((

)1()

)1((2

2

2

22

22

2

2

x

xx

x

x

raz

rraY

raz

rza

.0))1((

)1()

)1((2

2

2

=

−⋅+

−⋅⋅⋅−

−⋅+

⋅⋅⋅+

n

nn

n

n

x

xx

nx

x

raz

rraY

raz

rza

Atlikus nesudëtingus pertvarkymus, gaunama sutrumpinta lygtiesiðraiðka

∑=

=−⋅+

−⋅⋅⋅−

−⋅+

⋅⋅n

jx

xx

jx

x

j

jj

j

j

raz

rraY

raz

rza

12

2

0))))1((

)1(()

)1((( .

Norint rasti regresijos koeficientà z, reikia iðspræsti ðià lygtá, surasti tàz reikðmæ, su kuria tenkinama lygybë. Tokià lygtá patogu spræstiskaitmeniniu bûdu. Pasirinkus kintamojo z tikslumà ir reikiamà cikloiteracijø skaièiø, randama ieðkoma reikðmë.

107

Laiko eilutës duomenys, naudojami koeficientui z nustatyti, apima irtuos duomenis, kurie naudojami koeficientams a ir r nustatyti. Kitaiptariant, antrieji duomenys perdengia pirmuosius. Surasti koeficientaiLietuvos BVP statistikai áraðomi á logistinæ regresijos lygtá

( )1629,15,568775,56877

629,149,60495,56877

−⋅+

⋅⋅=

t

t

K .

Statistiniai BVP duomenys ir logistinë regresijos kreivë pavaizduoti4.12 pav. Taip pat parodyta eksponentinë funkcija, gauta remiantispradiniais duomenimis

t,K 629,14896049 ⋅= .

Pastaroji akivaizdþiai rodo, kad prognozavimas toli á prieká duodadidelius nuokrypius (intervalo viduryje paklaida virðija 100%).


0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 12

Lietuvos BVP

Logistin kreiv

Eksponentin kreiv

BV

P (

mil

ijo

nai

Lt)

Metai

4.12 pav. Lietuvos BVP regresijos kreivës

Lietuvos BVP

Logistinë kreivë

Eksponentinë kreivë


4.7. Logistiniai rekurentiniai ryðiai

Uþraðytosios kapitalo dabartiniø ir bûsimøjø verèiø skaièiavimo formulësiðreiðkia tolydøjá kitimà. Kitaip tariant, tariama, kad kapitalas kinta (didëjaar maþëja) nuolatos, t. y. tolydþiai, nenutrûkstamai. Taèiau natûraliailabiau paplitæs yra diskretusis kitimas. Já galima apibûdinti kaip kitimàðuoliais (pauzë – ðuolis – pauzë…), t. y. kurá laikà niekas nevyksta, po toávyksta staigus pokytis ir vël nieko nevyksta iki kito ðuolio ir t. t. Þinoma,pauzës diskreèiojo kitimo metu gali bûti ir labai trumpos, ir pakankamaiilgos, o ðuoliai taip pat – ir nedideli, ir labai dideli.

Kapitalo kaupimas taip pat gali bûti suprantamas kaip diskretusisprocesas. Kapitalas duoda palûkanas, taèiau prie pagrindinio kapitalojos gali bûti pridedamos ne nuolatos, o tik po tam tikro laiko. Taigi, kolpalûkanos nepridëtos, kapitalas nedidëja (pauzë – nieko nevyksta).Pridëjus palûkanas, kapitalas pakinta ðuoliu, ir vël pauzë iki kito palûkanøpridëjimo. Natûraliai kapitalo ðuoliai gali bûti susieti su ávairiais ciklaisar sezoniðkumu (pav., derliaus nuëmimu), akcijø ar obligacijø emisija,vertybiniø popieriø ásigijimu ar realizavimu, gaminiø partijos pagaminimu(realizavimu), periodiniais ir kitais mokëjimais ir pan.

Diskretøjá kaupimà patogu iðreikðti rekurentinio ryðio formulëmis.Sudëtiniø palûkanø formulë (4.8), iðreikðta rekurentinio ryðio pagalba,yra

( )jKKnn

+⋅=+

11

, (4.21)

èia: j – sudëtiniø procentø (eksponentinio kitimo) palûkanø norma, n –kapitalo kaupimo laikas, iðreikðtas sveikaisiais palûkanø kaupimoperiodais.

Norint apskaièiuoti kurá nors sekos nará, reikia þinioti prieð tai einantájá.Kai kuriems rekurentiniams ryðiams reikia, kad bûtø þinomi ne vienas, okeli prieð tai einantys nariai.

Rekurentinio ryðio pagalba iðreikðkime kapitalo logistinio kaupimomodelá. Ávertinæ, kad eksponentinio kitimo ekvivalenèioji palûkanø norma

109

kaupimo metu tolydþiai maþëja, pritaikykime tà patá augimà apribojantádaugiklá ir logistinio kitimo palûkanø normai, kaip tai darëme uþraðydamilygtá (4.9)

−⋅=

m

n

K

Kij 1 , (4.22)

èia: i – logistinio kaupimo palûkanø norma, j – sudëtiniø procentøpalûkanø norma, K

m – didþiausias kapitalo augimo galimybes ávertinanti

maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë , Kn – per n periodø sukauptas

kapitalas (Kn < K

m).

Jei po n periodø kapitalo Kn reikðmë, palyginti jà su ribine kapitalo

reikðme Km , yra labai maþa (K

n<

< K

m), santykis

mnKK yra artimas

nuliui. Tada logistinio kitimo palûkanø norma yra maksimali ir lygisudëtiniø procentø palûkanø normai (j = i). Ðiuo atveju sakoma, kadkapitalas kinta eksponentiðkai.

Ástaèius palûkanø normos iðraiðkà (4.22) á sudëtiniø palûkanørekurentinæ formulæ (4.21), turima logistinio kaupimo (bûsimosios vertës)rekurentinë formulë

−⋅+=

+

m

nnn

K

KiKK 11

1(4.23)

Ekvivalenèiàjà palûkanø normà (4.18) ástaèius á sudëtiniø palûkanørekurentinæ formulæ (4.21), gaunama rekurentinio ryðio nauja ekspo-nentinë forma

( )n nnn

rS

rKK

110

1

−+=+ ,

arba tas pat iðreiðkiant per K0 ir Km:

( )n

nm

mnn

rKK

KrKK

10

1−⋅+

⋅⋅=+ .



Palyginus su standartine iðraiðka, ði funkcija pateikia sulëtintà begalinákapitalo augimà.

Kapitalo reikðmës, apskaièiuotos remiantis formule (4.23), yra artimosreikðmëms, apskaièiuotoms pagal logistinio augimo formulæ (4.12).Paklaida, daroma skaièiuojant pagal formulæ (4.23), nesiekia 4%, o esantmaþoms kaupimo trukmëms – nesiekia ir 1% (4.13 pav. 1 paklaida).

Esant didelëms kaupimo trukmëms didesná skaièiavimo tikslumàgalima pasiekti naudojant kità rekurentinæ logistinio kaupimo formulæ:

( )

+−=+

nn

m

nn rr

K

KKK 1

01. (4.24)

Èia galima pridurti, kad (4.24) ryðys yra artimas lygèiai

( )( )nnrrSKK +−⋅= 1

0, gautai pertvarkius iðraiðkà (4.11).

4.13 pav. pavaizduoti grafikai paklaidø, kurios gaunamos paprastàlogistinio kaupimo lygtá (4.11) pakeitus diskreèiojo kaupimo lygtimis(4.23) – 1 paklaida ir (4.24) – 2 paklaida. Pastebima, kad 2 paklaida,apskaièiuota (4.24) lygèiai, esant didelëms kaupimo trukmëms yra

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 10 20 30 40 50

1 paklaida

2 paklaida

Pak

laid

a

Kaupimo trukmë

4.13 pav. Diskreèiojo kaupimo paklaidø grafikai

2 paklaida

1 paklaida

111

nykstamai maþa. Logistinëms funkcijoms tai ypaè aktualu. Ðiuosegrafikuose abiem atvejais yra imama K

0 = 1, S0 = 0,1 ir r = 1,1.

Priklausomybës (4.24) kitimo pobûdis yra analogiðkas kaip irtolydþiosios funkcijos (4.11), iðskyrus artimà prisotinimui atvejá, kai

mKK → . Kadangi ðioje srityje funkcija daro staigius ðuolius, su jospagalba galima modeliuoti kapitalo kitimo kritines situacijas.

Priklausomybës (4.24) kitimas, esant ávairioms pradinio kapitalo K0

reikðmëms: 1; 1,5 ir 2 piniginiams vienetams, pavaizduotas 4.14 paveiksle.Èia visø ribiniø rekurentiniø priklausomybiø palûkanø norma 10%, opradinio prisotinimo koeficientas S0 = 0,1 (pradinis prisotinimas 10%).

Maksimali kapitalo reikðmë Km kiekvienoje priklausomybëje yra

skirtinga ir lygi atitinkamai 10, 15 ir 20 piniginiø vienetø. Ið grafikomatoma, kad visos trys ribinës priklausomybës turi visiðkai vienodà pobûdá,o skiriasi tik savo dydþiu. Ásidëmëtina, kad pasiekusios apytikriai 93%maksimalios reikðmës, ðios priklausomybës staiga praranda savo monoto-niðkumà – kitimas tampa „nestabilus“. Palyginti grafike pateikta ir tolydi,


0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50L ik

Sud�t. pal�kan�

Ko = 2

Ko = 1,5

Ko = 1Bû

sim

oji

ver

të

Laikas

4.14 pav. Rekurentinis ribinis kaupimas esantávairiems pradinio kapitalo dydþiams

Sudët. palûkanø

Ko = 2

Ko = 1,5

Ko = 1


monotoniðkai didëjanti sudëtiniø procentø funkcija (virðutinë linija),kurios 2

0=K ir palûkanø norma 10%.

Modeliuojant bûsimàjà kapitalo vertæ, vienas ið sudëtingiausiø yra

pradinio prisotinimo koeficiento S0 nustatymas. Kadangi m

K

KS

00 = , tai

jo reikðmë yra tarp nulio ir vieneto, nes m

KK ≤≤0

0 . Pradinio kapitalo

K0 dydis paprastai yra pastovus ir ið anksto þinomas. Taigi S0 ir Km yra

atvirkðtine priklausomybe susieti dydþiai. Kartu matoma, kad pradinioprisotinimo koeficiento S0 reikðmë priklauso tik nuo maksimalios (ribinës)kapitalo K

m reikðmës. Kita vertus, ribinë kapitalo K

m reikðmë taip pat

gali bûti ne pastovi, o kintanti, paprastai didëjanti. Didëti minëtoji ribinëreikðmë taip pat gali ávairiai – laipsniðkai ar ðuoliais.

Rekurentinio ribinio kaupimo grafikas ir kartu palyginti skirtassudëtiniø palûkanø grafikas pateikti 4.15 paveiksle. Nors bûsimàsiaskapitalo vertës reikðmes apibrëþia grieþta priklausomybë, stebëtojuiatrodo, kad ðios reikðmës kinta chaotiðkai.

Pateiktame ribiniame grafike pradinis prisotinimas lygus 10%(S0 = 0,1). Kai kapitalo vertë pasiekia 80% ribinës reikðmës, pradinisprisotinimas pakinta iki 2% (S0 = 0,02). Pradinis kapitalas abiem atvejais

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30

Sud�tin�s pal�kanos

Ribinis kaupimas

Bû

sim

oji

ver

të

Laikas

4.15 pav. Rekurentinis ribinis kaupimas

Sudëtinës palûkanos

Ribinis kaupimas

113

iðlieka vienodas ir yra lygus vienetui. Tai reiðkia, kad pirmu atveju ribiniskapitalas lygus 10, o antruoju – 50 piniginiø vienetø.

4.8. Kapitalo kaupimas esant keliems perskaièiavimamsper vienà laiko vienetà

Tiek skaièiuojant sudëtinius procentus, tiek atliekant ribiná kaupimàpalûkanos yra pridedamos kiekvieno palûkanø skaièiavimo periodo (laikovieneto) pabaigoje. Taèiau kiekvienas laiko vienetas gali turëti ne vienà,o kelis perskaièiavimo (konversijos) periodus, t. y. palûkanos per laikovienetà prie pagrindinio kapitalo gali bûti pridedamos ne vienà, o daugkartø. Tariama, kad nominalioji palûkanø norma lygi i, o kiekvienas laiko

vienetas, jø yra n, turi k perskaièiavimø. Tada dalinio periodo palûkanø

norma k kartø maþesnë uþ nominaliàjà, t. y. ji bus lygi k

i , o paèiø daliniø

periodø bus k kartø daugiau, t. y. kn.Gráþkime prie sudëtiniø procentø formulës iðvedimo. Kaip ir anksèiau

tariama, kad kapitalo augimo greitis yra funkcijos, siejanèios kintamuosiuslaikà t ir kapitalà K, kitimo greitis. Taigi galima tarti, kad kapitalo augimogreitis yra proporcingas jo dydþiui, o proporcingumo koeficientas lygus

natûraliajam logaritmui kaþkurio skaièiaus r. Ðiuo atveju imama, kad

1,01 ≠>+= rk

ir . Be to, tariama, kad laikas t, apibrëþiantis kapitalo

augimo greitá, matuojamas naujais, trumpesniais periodais, ir dël to jø

bus k kartø daugiau, t. y. nkt ⋅= . Tada kapitalo augimo diferencialinëlygtis tokia

Krdt

dK⋅= ln .

Atskyrus kintamuosius, turima ∫ ∫⋅= dtrK

dKln . Lygtis integruojama

ir gaunama:



1lnlnln CtrK +⋅= ,

èia – lnC1 – integravimo pastovioji. Ið èia t

rCK ⋅±=1

. PaþymëjusCC =±

1, gaunamas bendrasis sprendinys

trCK ⋅= .

Ávertinus pradines sàlygas, t. y. 00KK

t=

=, gaunama, kad 0

0

trCK ⋅= ,

arba 0

0

trKC−⋅= . Ástaèius C iðraiðkà á bendràjá lygties sprendiná, gaunama

0

0

ttrKK

−⋅= (4.25)

Dabar tariama, kad yra þinomas kapitalo dydis K1 laiko momentu t1.Tada gaunama

01

01

ttrKK

−⋅= .

Ið èia randama r

01

0

1tt

K

Kr −= .

Èia r galima laikyti kapitalo augimo greièio koeficientu.

Imdami lygtyje (4.25) 00=t , nkt ⋅= ir

k

ir += 1 , èia i – viso periodo

palûkanø norma, turësime sudëtiniø procentø (sudëtiniø palûkanø)

formulæ, kai per vienà periodà yra k perskaièiavimø

nk

k

iKK

⋅

+= 1

0. (4.26)

Ðios lygties rekurentinë iðraiðka bûtø

+⋅=

+

k

iKK

nknk1

1 , (4.27)

èia Knk

– kapitalo K reikðmë nk periodo pabaigoje.

115

Analogiðkai samprotaujant galima gauti ir ribinio kitimo bûsimosiosvertës iðraiðkà, kai yra keli perskaièiavimai per vienà laiko vienetà

−

+⋅+

+⋅⋅

=⋅

⋅

11

1

0

0

nk

m

nk

m

k

iKK

k

iKK

K(4.28)

arba

−

+⋅+

+⋅

=⋅

⋅

111

1

0

0

nk

nk

k

iS

k

iK

K . (4.29)

Apskaièiavus logistinës funkcijos ribà, kai perskaièiavimø skaièius begalo didëja ( )∞→k , t. y. kai palûkanos prie pagrindinio kapitalo pride-damos nuolatos, bûtø gauta tolydþiojo (nuolatinio) ribinio kitimobûsimosios vertës iðraiðka

( )10

0

−⋅+

⋅⋅=

⋅

⋅

ni

m

ni

m

eKK

eKKK (4.30)

arba

( )110

0

−⋅+

⋅=

⋅

⋅

ni

ni

eS

eKK . (4.31)

Analogiðkai samprotaujant gaunama ribinio kitimo lygties rekurentinëiðraiðka

++

+−=

⋅⋅

+

nknk

m

nk

nkk

i

k

i

K

KKK 111

01 . (4.32)



Kaupimo formulës, kai yra keli perskaièiavimai per vienà laiko vienetà,esmingai iðpleèia kapitalo dinamikos modeliavimo galimybes.

4.9. Logistinis diskontavimas esant keliemsperskaièiavimams per vienà laiko vienetà

Kaip þinoma, norint skirtingu laiku mokamas pinigø sumas perskaièiuotiankstesniam laikotarpiui, reikia tas sumas diskontuoti. Anksèiau kalbëtaapie paprastøjø ir sudëtiniø procentø diskontavimà, taip pat logistinësfunkcijos pagalba. Dabar aptarkime logistiná diskontavimà, kai per vienàlaiko vienetà yra keli perskaièiavimai. Diskontavimo apibrëþimas, kaip iranksèiau, lieka tas pats.

Ðiuo atveju diskontuoti naudojama logistinë funkcija (4.28), turinti kperskaièiavimø per vienà laiko vienetà. Ið jos iðreiðkiama

( )kn

m

m

k

iKKK

KKK

⋅

+⋅−+

⋅=

1

0

(4.33)

Ið logistinës funkcijos (4.29) iðreiðkiama

( )kn

k

iSS

KK

⋅

+⋅−+

=

11

0.

Ið tolydþiojo (nuolatinio) logistinio kitimo bûsimosios vertës iðraiðkos(4.30), kai palûkanos prie pagrindinio kapitalo pridedamos nuolatos(skaièiuojant ribà, kai ∞→k ), gaunama nuolatinio augimo logistiniodiskonto formulë

( ) tim

m

eKKK

KKK

⋅⋅−+

⋅=

0 (4.34)

arba padalijus skaitiklá ir vardiklá ið Km, gaunama

( ) tieSS

KK

⋅

⋅−+

=

10

. (4.35)

117

Pastebima, kad kai ∞→m

K , t. y. kai ribinis kapitalas neaprëþtai didëjair 0→S , formulë (4.35) virsta nuolatinio augimo diskonto formule

K0 tie

K

⋅

= .

4.16 pav. parodyta kapitalo dabartinës priklausomybë nuo ribiniokapitalo dydþio dviem skirtingais (ribiniais) atvejais: kai perskaièiavimaineatliekami (4.14 formulë) ir kai perskaièiuojama nuolatos (4.34 formulë).Paþymëtina, kad perskaièiavimø daþnumas dabartinës vertës dydþiui turisantykiðkai nedidelæ átakà, o ribinio kapitalo artëjimas prie kritinësreikðmës gali padidinti kapitalo dabartinæ vertæ kiek norima daug.Brëþinyje diskontuojama kapitalo reikðmë lygi vienetui, diskontokoeficientas 20%, o diskonto trukmë – 5 periodai.


0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

perskai�iavimai neatliekami

perskai�iuojama nuolatos

Dab

arti

në

vert

ë

Ribinis kapitalas

4.16 pav. Kapitalo dabartinës vertës priklausomybë nuo ribiniokapitalo dydþio, kai K = 1, i = 0,2, n = 5

perskaièiavimai neatliekami

perskaièiuojama nuolatos


5. LOGISTINIAI DETERMINUOTIEJIPINIGØ SRAUTAI

5.1. Logistinë vertës lygtis

5.1.1. Kaupianèioji logistinë vertës lygtis

Daþniausiai vertës lygtis sudaroma remiantis sudëtiniø palûkanø taisykle.Taèiau dabar ðià lygtá sudarykime remdamiesi logistiniu (ribiniu) kapitaloaugimo dësniu. Tam papildomai turi bûti þinoma kiekvieno mokëjimøsekos nario ribinë kapitalo reikðmë K

m arba pradinis prisotinimas S0.

Skaièiavimams naudosime bûsimàsias pinigø vertes.

( )

( )( )11

1

0

0

−++

+⋅⋅=

n

m

n

m

iKK

iKKK .

Norint nustatyti per laikà pasiskirsèiusiø mokëjimø dydþius reikiapasirinkti palyginimo taðkà. Mûsø nagrinëjamos logistinës vertës lygtieslyginamuoju taðku imkime paskutiniojo mokëjimo momentà.

Tariama, kad suma Kn kaupiama n metø esant palûkanø norma i. Dël

to tarpinës sumos K1, K2, K3, ... sumokamos praëjus nuo kaupimo pradþiosterminams atitinkamai n1, n2, n3

,... Ðios mokëjimø sekos ribinës kapitaloreikðmës atitinkamai bus K

m1, Km2, Km3, ... Tarus, kad tarpinës ámokos yraþinomos, reikia nustatyti galutinës ámokos X dydá. Ji yra mokama praëjusn metø nuo kaupimo pradþios momento. Paskutiniojo mokëjimo ribinekapitalo reikðme laikysime sumà K

mn. Tarpinës taip pat mokamos ámokos

kiekvieno termino pabaigoje. Ámoka X yra subalansuojanti, todël ji turiuþtikrinti, kad bus sukaupta reikalinga suma. Tokiu atveju, ávertinusnurodytas pradines sàlygas, galima uþraðyti logistinæ vertës lygtá

1195. Logistiniai determinuotieji pinigø srautai

( )

( )( )( )

( )( )11

1

11

1

1

1

11

11

−−++

+⋅⋅−

−++

+⋅⋅=

−

−

nn

m

nn

m

n

nnm

n

nnm

iKK

iKK

iKK

iKKX

( )

( )( )...

11

1

2

2

22

22

−−++

+⋅⋅−

−

−

nn

m

nn

m

iKK

iKK (5.1)

Jeigu ámokos yra periodinës ir mokamos periodo pabaigoje, omokamos sumos K ir ribinës kapitalo reikðmës K

m – vienodo dydþio,

logistinë vertës lygtis bus:

( )

( )( )( )

( )( )∑−

=

−

−

−+⋅+

+⋅⋅−

−++

+⋅⋅=

1

1 11

1

11

1 n

jjn

m

jn

mn

nm

n

nm

iKK

iKK

iKK

iKKX (5.2)

5.1.2. Diskontuojanti vertës lygtis

Sudarykime vertës lygtá diskontuodami ámokas. Ðiuo atveju lyginamasistaðkas – kredito iðdavimo momentas. Tam naudosime ribinæ dabartinës(esamosios) kapitalo vertës skaièiavimo formulæ (4.14):

( ) ( )nm

m

iKKK

KKK

+⋅−+

⋅=

10

.

Kreditas Kn suteiktas n metø, palûkanø norma i ir kreditas paden-

giamas dalimis. Tariant, kad tarpinës ámokos yra þinomos, reikia nustatytigalutinës ámokos X dydá.

Imant pradines sàlygas, analogiðkas kaupianèiosios lygties atvejui,galima uþraðyti tokià logistinæ vertës lygtá

( ) ( ) ( ) ( )++

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅= ...

11 21

222

22

111

11

n

m

m

n

m

m

iKKK

KK

iKKK

KKK

( ) ( )nnm

nm

iXKX

KX

+⋅−+

⋅+

1

(5.3).


Reikia pabrëþti, kad (5.1) lygtis nëra ekvivalenti (5.3) lygèiai, kaipkad bûdavo, kai vertës lygties pagrindà sudarydavo sudëtiniø procentøtaisyklë. Dël tos prieþasties negalima tikëtis tø paèiø rezultatø sprendþiantvertës lygtis, sudarytas bûsimosios ir esamosios logistiniø verèiø pagrindu.Iðimtis èia atvejis, kai ribinis kapitalas bus begalinis. Taèiau tai ir bus vertëslygtis, sudaryta remiantis sudëtiniais procentais.

Vertës lygtyje (5.3) neþinomasis yra paskutinë ámoka X, o visus kitusdydþius apibrëþia pradinës sàlygos. Lygties (5.2) nariai grupuojami taip

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

111 21

222

22

111

11−

+⋅−+

⋅−

+⋅−+

⋅−=

+⋅−+

⋅

n

m

m

n

m

m

nn

nm

nm

iKKK

KK

iKKK

KKK

iXKX

KX

Lygties deðinioji pusë neturi kintamøjø, todël ji laikoma pastoviudydþiu C.

( ) ( ) ( ) ( ) 1

111

11

111

11

1...

1 1 −

−−−

−−

+⋅−+

⋅−−

+⋅−+

⋅−=

n

nmnn

mnn

n

m

m

n

iKKK

KK

iKKK

KKKC

Jeigu, kaip ir anksèiau, tariama, kad ámokos K yra periodinës, visosvienodo dydþio ir mokamos periodo pabaigoje, ribinës kapitalo reikðmësK

m – taip pat vienodo dydþio, tai ðis koeficientas bus:

( ) ( )∑−

=+⋅−+

⋅−=

1

1 1

n

jj

m

mn

iKKK

KKKC .

Turint koeficiento C reikðmæ, lygtá (5.3) galima uþraðyti

( ) ( )C

iXKX

KXn

m

m =+⋅−+

⋅

1

.

Ið èia, iðreiðkus kintamàjá X, gaunama

( )

( )( )11

1

−++

+⋅

=n

m

n

m

iCK

iKCX

(5.4)

121

Ði formulë ið esmës yra ribinio kitimo bûsimosios vertës formulë (4.11),kai pradinis kapitalas K

0 lygus pastoviam dydþiui C.5.1 pavyzdys. Paskola, lygi vienam sàlyginiam piniginiam vienetui

(SPV), paimta penkeriems metams, esant 10% metiniø palûkanø normai.Paskola gràþinama pagal toká planà: kasmet, ketverius metus ið eilës, metøpabaigoje gràþinama po 0,25 piniginio vieneto, o likusi dalis – pasibaiguspaskolos terminui, t. y. po penkeriø metø. Pagal logistinio kapitalo augimodësná reikia nustatyti paskutiniojo atsiskaitymo dydá, tariant, kad ribiniskapitalas nuolat lygus 10 SPV. Nubraiþoma subalansuojanèios iðmokospriklausomybë nuo ribinio kapitalo dydþio.

Iðsprendþiamas 5.1 pavyzdys, remiantis kaupianèiàja ir diskontuo-janèiàja vertës lygtimis. Ið sàlygos turima: K

n= 1, K=0,25; i = 0,1; n = 5,

Km = 10.Tada, remiantis (5.4) lygtimi,

( )11,110

1,1105

5

−⋅+

⋅⋅=

C

CX ,

èia

1,11025,0

1025,0

1,11025,0

1025,0

1,11025,0

1025,0

1,11025,0

1025,01

234 ⋅+

⋅−

⋅+

⋅−

⋅+

⋅−

⋅+

⋅−=C

,

C =0,2035765, X =0,323837 SPV.Sprendþiant ðá uþdaviná bûsimosios vertës metodu gaunama, kad

paskutinë ámoka lygi 0,2507637 SPV. Paþymëtina, kad skirtingais metodaisapskaièiuotos reikðmës nesutampa. Be to, didëjant kapitalo prisotinimuisubalansuojanèios iðmokos dydis maþëja, o skirtumas tarp skirtingu bûduapskaièiuotø reikðmiø didëja.

Norint tuo ásitikinti remiantis ðiuo uþdaviniu sudaroma (5.1 pav.)subalansuojanèios iðmokos dydþio priklausomybë nuo ribinio kapitalodydþio. Nesudëtinga pastebëti, kad, kai ribinis kapitalas be galo didelis(prisotinimas artimas nuliui), abiejø tipø subalansuojanèios iðmokossutampa ir yra lygios 0,334235 SPV. Didëjant prisotinimui (maþëjantribiniam kapitalui), grafikai pradeda iðsiskirti. Be to, prisotinimas greièiaupaveikia bûsimosios vertës metodu apskaièiuotas iðmokas. Bûtinapaþymëti, kad, didëjant prisotinimui, naðta, tenkanti paskutinës ámokosdaliai, skaièiuojant abiem bûdais, maþëja.



Ðios subalansuojanèios iðmokos savybës svarbios vertinant investicijøefektyvumà. Bûsimosios vertës metodas gali bûti taikomas skaièiuojantrentas, o diskontuojantis metodas – anuitetus. Kita vertus, reikia nepa-mirðti, kad èia pateikiamos skaitinës reikðmës yra susietos su 5.1 pavyzdþiopradiniais duomenimis ir gali skirtis nagrinëjant kitokias situacijas.

5.2. Logistiniai anuitetai

Ðiame skyriuje pinigø srautai nagrinëjami remiantis logistine pinigø laikoverte. Logistiniai pinigø srautai ið pirmo þvilgsnio niekuo nesiskiria nuopaprastøjø srautø (þr. 2 skyriø), tik èia skaièiuojamas kaupimas arbadiskontuojama ne sudëtiniais procentais, o logistinëmis funkcijomis.Naujos skaièiavimo priemonës ir leidþia pasiekti esmingai naujus re-zultatus.

Sàvokos ir apibrëþimai, vartoti nagrinëjant áprastuosius pinigø srautus,(yra nedideliø iðimèiø) tinka ir logistiniams srautams. Svarbesniuosius iðjø dar kartà priminsime.

Pinigø srautai – tai gautø ir iðleistø pinigø aibë. Be to, ði aibë (ámokosir iðmokos) yra pasiskirsèiusi per laikà ir dël to sudaro sekà. Pinigø srautaimokëjimø pasikartojimo poþiûriu taip pat gali bûti ávairûs. Daugiausia

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40

Diskontuojantis metodas

B�simosios vert�s metodas

5.1 pav. Subalansuojanèiosios iðmokos priklausomybë nuo ribiniokapitalo dydþio, kai Kn = 1; K = 0,25; r = 1,1; n = 5

Ribinis kapitalas

Diskontuojantis metodas

Bûsimosios vertës metodas

Iðm

ok

a

123

dëmesio toliau skiriama periodiniams mokëjimams. Periodiniai mokëjimai– tai vienodais laiko tarpais atliktø mokëjimø seka. Nagrinëjant pinigøsrautus ávertinama mokëjimo kryptis: áplaukos – teigiami nariai, o iðmokos– neigiami.

Ðiame skyriuje plaèiau nagrinëjamas atskiras pinigø srautø atvejis –paskolos ir jø padengimas. Ilgalaikës ir vidutinës trukmës paskolospaprastai padengiamos (gràþinamos) ne ið karto, o dalimis. Kreditasdaþniausiai (nors taip pat ne visada) suteikiamas visas ið karto, opadengiamas laipsniðkai.

Praktikuojami ávairûs kredito padengimo bûdai: skirtingo dydþiodalimis, ámokamomis neperiodiðkai pasikartojanèiomis datomis,anuitetais, susidedanèiais ið ámokø, kartu padengianèiø tiek skolà, tiekpalûkanas, ir kt. Vienas ið finansø valdymo uþdaviniø yra rasti tinkamiausiàabiem suinteresuotoms ðalims (kreditoriui ir skolininkui) kreditopadengimo bûdà.

Taigi vienas ið paskolø padengimo bûdø gali bûti periodinis ánaðømokëjimas. Ðie ánaðai gali bûti mokami ávairiai: periodo pradþioje,pabaigoje, viduryje ir t. t. Ánaðo pobûdþiui apibûdinti kartais vartojamispecifiniai terminai. Jei ánaðai ámokami periodo pradþioje, jie vadinamiprenumerando ánaðais, jei pabaigoje – postnumerando. Ðios sàvokosvartojamos visø tipø periodiniams mokëjimams: tiek ámokoms, tiekiðmokoms. Postnumerando ánaðai dar vadinami paprastaisiais. Jeiuþdavinio sàlygoje nenurodytas pinigø srauto tipas, tariama, kad taipaprastasis, tai yra postnumerando, srautas.

Periodas – pastovus laikotarpis tarp gretimø ámokø. Ámokos vadinamosanuiteto nariais. Anuiteto kilme vadinama pirmojo mokëjimo periodopradþia.

Kiekvienai paskolai gràþinti sudaromas planas, kuriame numatoma,kada ir kokia pagrindinës paskolos dalis bei palûkanos bus padengti.Padengimo planø ávairovë yra gana didelë. Jie ið esmës priklauso nuopasirinkto padengimo bûdo.

Patogus yra anuitetinis padengimo bûdas. Padengti galima pastovausir kintamo dydþio anuitetais. Padengiant pastoviaisiais anuitetais, paskolos



dydis tolygiai iðdëstomas visam padengimo laikui. Kita vertus, pirmiejimokëjimai skolininkui gali bûti per daug sunki finansinë naðta, nes pirmiejiinvestavimo metai daþnai neduoda pakankamø finansiniø áplaukø, kuriosgarantuotø, jog skola bus greitai padengta. Tokiais atvejais pirmosiosámokos planuojamos maþesnës ir mokëjimø seka sudaro didëjanèiàprogresijà. Jei tikëtinos didþiausios pajamos investavimo pradþioje, tadatikslinga mokëjimø sekà sudaryti kaip maþëjanèià progresijà.

5.3. Anuitetinis paskolø padengimas

Tiek anuitetai, tiek renta yra apibrëþiami panaðiai. Skirtumas tarp anuitetoir rentos sàvokø iðplaukia ið jø apskaièiavimo metodo: anuitetai pagrástidabartinës, renta – bûsimosios vertës skaièiavimais. Apskritai, jeiskaièiavimai pagrásti sudëtiniø palûkanø principu, gautieji rezultatai yraekvivalentûs. Skirtumai iðryðkëja taikant logistiná palûkanø skaièiavimometodà.

Kaip jau buvo kalbëta 2 skyriuje, gana daþnai taikomas anuitetinispaskolø padengimo bûdas. Siekiant geriau suvokti naujà ir sudëtingesnálogistiná padengimo bûdà, prieð tai dar kartà nagrinëjamas paskolospadengimas, pagrástas sudëtinëmis palûkanomis. Imamas postnumerandoatvejis (skola iðmokama periodo pabaigoje), kai skolos padengimoperiodas lygus palûkanø laiko vienetui. Daþniausiai ðis periodas – vienerimetai, nors apskritai jis gali bûti ir kitoks.

Tariama, kad Kn – kreditas, suteiktas n metø, A – kasmetë ámoka, skirta

kreditui padengti, sumokama kiekvieno periodo (metø) pabaigoje.

Taigi, þinant anuitetiniø ámokø iðraiðkà (2.1),

0 n-11 n2 3

AA AA A

125

( )

( ) 11

1

−+

⋅+=

n

n

ni

iiKA ,

kurioje trupmena ( )( ) 11

1

−+

⋅+=

n

n

i

iik – padengimo koeficientas, galima

apskaièiuoti anuitetinës ámokos dydá ir sudaryti paskolos padengimo

planà. Iðspræskime pavyzdá:

5.2 pavyzdys. Reikia sudaryti 70 000 Lt paskolos padengimopastoviaisiais anuitetais planà, kai ji paimta penkeriems metams esant9% sudëtiniø metiniø palûkanø normai. Koks skolos likutis penktaisiaismetais?

Sprendimas

Pirmiausia apskaièiuojamas anuitetinis padengimo koeficientas, poto – anuitetas:

( )( )

25709246,0109,01

09,009,015

5

=−+

⋅+=k ;

25709246,000070 =⋅=⋅= kKAn

17 996,47(Lt).Sudaromas paskolos padengimo planas:

5.1 lentelë



Metai

Skolos likutis

metų

pradžioje Palūkanos

(9%)

Pagrindinės

skolos padengimas

(4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 6300,00 11 696,47 17 996,47

2 58 303,53 5247,32 12 749,15 17 996,47

3 45 554,37 4099,89 13 896,58 17 996,47

4 31 657,80 2849,20 15 147,27 17 996,47

5 16 510,52 1485,95 16 510,52 17 996,47

Iš viso: 19 982,36 70 000,00 89 982,36


Anuitetas yra 17 996,47 Lt. Skolos likutis paskutiniais metais 16 510,52 Lt.Atkreiptinas dëmesys, kad, skaièiuojant rankiniu bûdu, padengimo

koeficiento tikslumas turi bûti toks, kad ið jo padauginus paskolos sumà,rezultatas bûtø gautas deðimtøjø ar net ðimtøjø cento tikslumu. Jei tiks-lumas bus nepakankamas, skolos padengimas paskutiniaisiais metais galinesutapti su skolos likuèiu.

Sudaryto paskolos padengimo plano lentelës pirmos skilties áraðaiparodo skolos likutá atitinkamo periodo (metø) pradþioje arba prieð taiëjusio periodo pabaigoje. Antroje skiltyje palûkanos skaièiuojamos tikuþ faktiná skolos likutá.

Taip pat pastebima, kad treèios skilties áraðai yra ketvirtos ir antrosskilèiø atitinkamø áraðø skirtumas.

Anuitetas iðnagrinëtame pavyzdyje lygus 17 996,47 Lt, esant sudëtiniømetiniø palûkanø normai 9%. Tokia anuiteto reikðmë nëra patogi, todëlgali bûti pasiûlyta pasiraðyti paskolos sutartá, kurioje anuiteto reikðmësuapvalinta, o palûkanø norma – trupmeninë. Anksèiau iðnagrinëtamepavyzdyje imant sudëtiniø palûkanø normà 9,00756 procento gaunama,kad anuiteto reikðmë 18 000 Lt. Tokios paskolos padengimo planas bûtø:

5.2 lentelë



metų pradžioje Palūkanos

(9,00756%)

Pagrindinės

skolos

padengimas

(4–2)

Anuitetas

(2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 6305,29 11 694,71 18 000

2 58 305,29 5251,88 12 748,12 18 000

3 45 557,17 4103,59 13 896,41 18 000

4 31 660,76 2851,86 15 148,14 18 000

5 16 512,62 1487,38 16 512,62 18 000

Iš viso: 20 000,00 70 000,00 90 000

127

Kadangi ðio plano paskola ir anuitetas yra suapvalinti skaièiai, taisuprantama, kad ir palûkanø suma uþ visà laikotarpá taip pat bussuapvalintas skaièius.

Ðie padengimo planai buvo sudaryti tariant, kad 9% arba 9,00756%palûkanos yra skaièiuojamos pagal sudëtiniø procentø taisyklæ. Jeiguatsirastø bûtinybë ávertinti kreditiniø iðtekliø ribotumà, tada tikslingapalûkanas skaièiuoti pagal logistiniø procentø formulæ. Taigi to patieskredito (70 000 Lt) padengimas bûtø ámanomas tiktai esant 21,084%palûkanø normai.

Bûtina pabrëþti, kad èia palûkanos P kiekvienà kartà skaièiuojamosnuo skolos likuèio pagal formulæ

( )

( )( ) 0

0

0

11

1K

iKK

iKKP

n

m

n

m−

−+⋅+

+⋅⋅

= ,

èia: K0 – pradinis kapitalas, Km – maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë,

ávertinanti didþiausias kapitalo augimo galimybes, n – paskolos trukmë,i – rinkos palûkanø norma arba kapitalo kaina.

Kadangi palûkanos skaièiuojamos kiekvienà kartà tik vienam periodui(n = 1), tai to periodo palûkanø formulë bus

( )K

iKK

iKKP

m

m −⋅+

+⋅⋅=

1,

èia – K – skolos likutis.Palûkanø skaièiavimà kaskart pradedant nuo pradþiø gaunami skirtingi

rezultatai, palyginti su tuo atveju, jei palûkanos skaièiuojamos visiemsanuiteto nariams ið karto.



5.3 lentelë

Ðiame pavyzdyje, kai paskola 70 000 Lt, ribinë kapitalo reikðmë buvo100 000 Lt. Kadangi logistinës palûkanos ávertina ribinio kapitalo dydá, taisumaþinus pastaràjá iki artimos kredito dydþiui sumos (pvz., 70 001 Lt),bûtø gauta ta palûkanø norma, kuri uþtikrina tas paèias kredito sàlygas(tà patá anuitetà) kaip ir ankstesniais atvejais (5.4 lentelë).

5.4 lentelë


Metai

Skolos likutis

metų


(21,084%)

Pagrindinės

skolos padengimas

(4–2)

Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 3858,19 14 141,81 18 000

2 55 858,19 4650,88 13 349,12 18 000

3 42 509,07 4728,84 13 271,16 18 000

4 29 237,91 4108,83 13 891,17 18 000

5 15 346,74 2653,26 15 346,74 18 000

Iš viso: 20 000 70 000,00 90 000


Metai

Skolos likutis

metų


(40,91224%)

Pagrindinės skolos

padengimas (4–2) Anuitetas (2+3)

A 1 2 3 4

1 70 000 0,29 17 999,71 18 000

2 52 000,29 4195,60 13 804,40 18 000

3 38 195,89 5804,33 12 195,67 18 000

4 26 000,22 5804,29 12 195,71 18 000

5 13 804,52 4195,48 13 804,52 18 000

Iš viso: 20 000 70 000,00 90 000

129

Reikia pabrëþti, kad 5.2 lentelëje pateiktas sudëtiniø palûkanøpadengimo planas atitinka logistiniø palûkanø atvejá, kai kapitalo iðtekliaiyra neriboti. Taigi 5.2, 5.3 ir 5.4 lentelës rodo, kad ribinis kapitalas (iðtekliønorma) ir palûkanø norma viena kitai turi stiprià átakà.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

5.2 pav. Kredito palûkanø normos priklausomybënuo iðtekliø normos dydþio

Iðtekliø norma

Pal

ûk

anø

no

rma

Ið 5.2 paveikslo grafiko matoma, kad, atsiþvelgiant á iðtekliø normosdydá, palûkanø norma gali keistis daugiau nei keturis kartus. Kita vertus,kai ribinis kapitalas (iðtekliø norma) pastovus, anuitetø dydis esmingaipriklausys nuo nustatytos palûkanø normos. Be to, jei palûkanø normayra ið anksto nustatyta, tai, sudarant padengimo planà, anuitetai paprastaigaunami kintamo dydþio.

5.4. Logistinë renta

Kaip aptarta anksèiau, finansø praktikai yra svarbios ávairios mokëjimøsekos. Minëta, kad ðios sekos gali bûti periodinës ir neperiodinës, jas galisudaryti ir áplaukos, ir iðmokos. Tokios sekos gali bûti gyventojø ánaðai átaupomojo banko sàskaitas, pajamos ið investicijø, kredito padengimo



ámokos, pensijø mokëjimai ir t. t. Kai kurios tokios sekos vadinamosrentomis.

Periodiniai mokëjimai vadinami rentomis, kai jiems vertinti taikomibûsimosios vertës skaièiavimo principai.

Panaðiai yra apibrëþiami ir anuitetai. Matëme, kad skirtumas tarpanuiteto ir rentos sàvokø iðplaukia ið jø apskaièiavimo metodikos: anuitetaipagrásti dabartinës vertës skaièiavimais.

Kaip ir anuitetai, rentos apibûdinamos analogiðkais parametrais:rentos nariu – ámokos dydþiu, rentos periodu – laikotarpiu tarp dviejøgretimø mokëjimø, rentos kilme – pirmojo mokëjimo periodo pradþiosmomentu, rentos trukme – laikotarpiu nuo pirmojo mokëjimo periodopradþios iki paskutinio pabaigos, ir palûkanø norma.

5.4.1. Metinë renta

Iðnagrinëkime paprasèiausià rentos atvejá, kai rentos nariai yra pastovausdydþio, mokëjimai periodo pabaigoje (postnumerando), o rentos periodassutampa su palûkanø skaièiavimo laiko vienetu ir kalendoriniais metais.

Tariama, kad rentos nariai yra pastovaus dydþio, n metø postnu-

merando mokamos ámokos R, o jø metinë palûkanø norma lygi i.

Tada, jei maksimalus rentos dydis Rm, tai per n metø sukaupta rentosvertë Rn gali bûti nustatyta taip: pirmoji ámoka dalyvaus kaupiant n–1periodø, todël rentos trukmës pabaigoje ji bus

( )( )( )11

1

1

1

1

−+⋅+

+⋅=

−

−

n

m

n

m

iRR

iRRR .

Antroji ámoka dalyvaus kaupiant n–2 periodø ir bus lygi

0 n-1n-21 n2 3

RRR RR R

131

( )( )( )11

12

2

2

−+⋅+

+⋅=

−

−

n

m

n

m

iRR

iRRR ir t. t.

Paskutinë ámoka bus ámokëta paskutinio periodo pabaigoje ir dël topalûkanø neturës. Taigi gaunama:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

;11

1

...11

1

11

12

2

1

1

RiRR

iRR

iRR

iRR

iRR

iRRR

m

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

+

−+⋅+

+⋅+

+

−+⋅+

+⋅+

−+⋅+

+⋅=

−

−

−

−

arba sutrumpintai postnumerando atveju

( )( )( )∑

=

−

−

−+⋅+

+⋅⋅=

n

jjn

m

jn

mn

iRR

iRRR

1 11

1 .

Ta pati suma, kai ámokos bus mokamos periodo pradþioje (prenu-merando), bûtø:

( )( )( )∑

−

=

−

−

−+⋅+

+⋅⋅=

1

0 11

1n

jjn

m

jn

mn

iRR

iRRR .

Diskontuojant sukauptàjà (bûsimàjà) rentos vertæ Rn, nesudëtinga

apskaièiuoti dabartinæ vertæ R0:

5.3 pavyzdys. Lygiai 18 metø, kiekvienø jø pradþioje, ámokama po900 Lt. Metiniø palûkanø norma 3,5%. Kokia suma susidarys praëjus18 metø?

Pasinaudojus uþraðytomis formulëmis apskaièiuojami rentø dydþiaiesant tokioms ribinio kapitalo reikmëms (litais): 901; 950; 1000; 2000;10 000; 1 000 000; 10 000 000 000. Atliekant skaièiavimus naudojamasistandartinëmis kompiuterinëmis priemonëmis, ádiegtomis matema-tiniame pakete Mathcad.



5.5 lentelë

Rezultatai grafiðkai vaizduojami 5.3 pav. Paþymëtina, kad, sumaþëjusiðtekliø normai nuo 1 iki 0, rentos sumaþëja daugiau nei ketvirtadaliu.

Išteklių norma 0,00 0,05 0,10 0,31 0,55 0,91 0,99 1,00

Rn (postn.) 16 204 16 409 16 604 17 536 18 819 21 285 21 970 22 050

Rn (pren.) 16 205 16 432 16 648 17 685 19 125 21 937 22 729 22 821

16

18

20

22

24

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Postnumerando

Prenumerando

5.3 pav. Rentos dydþio priklausomybënuo iðtekliø normos

Iðtekliø norma

Ren

tos

sum

a (t

ûk

stan

èiai

)

Postnumerando

Prenumerando

5.4.2. Trumpesnio periodo ir tolydþioji logistinës rentos

Iki ðiol kalbëta apie metinæ rentà, t. y. apie tokià rentà, kai rentos ir palû-kanø periodai sutampa. Taèiau daþnai patogu rentos periodà imti trum-pesná (sumaþintà). Tariama, kad per vienà palûkanø periodà atliekama kdydþio R rentos mokëjimø. Jei mokama kiekvieno dalinio periodo pabaigoje(postnumerando), mokëjimø grandinæ galima pavaizduoti tokia seka:

0 2k-11 22 3 k-1 1 k+1k+2

RR RR R R R R R

k k k k k k k

133

Tada per n periodø (metø) sukaupta suma

∑⋅

=

−⋅

−⋅

−

+⋅+

+⋅⋅

=nk

jjnk

m

jnk

m

n

k

iRR

k

iRR

R1

11

1

.

Analogiðkai prenumerando atveju

∑−⋅

=

−⋅

−⋅

−

+⋅+

+⋅⋅

=1

0

11

1nk

jjnk

m

jnk

m

n

k

iRR

k

iRR

R .

Jei rentos áplaukø srautas yra tolydus, tai per pirmøjø n periodøsukauptoji rentos vertë:

( )∫ −⋅+

⋅⋅=

⋅

⋅n

ti

m

ti

m

ndt

eRR

eRRR

01

.

Èia reikia atkreipti dëmesá, kad paprastosios (diskreèiosios) ir toly-dþiosios rentø skaièiavimø esant tai paèiai palûkanø normai rezultataikiek skiriasi. Norint gauti identiðkus rezultatus, reikëtø naudoti ekviva-lenèià palûkanø normà.

5.5. Investicijø vertinimas

Investiciniø projektø vertinimas yra labai svarbi ir atsakinga finansiniodarbo sritis, daþnai nulemianti net strateginio sprendimo priëmimo eigàir galutinius rezultatus. Vertinant investicijas reikia surinkti reikiamàinformacijà, jà iðanalizuoti, apdoroti ir nuspræsti, projektas gali bûtipriimtas ar atmestas. Kai du ir daugiau mokëjimø (iðmokø ar ámokø)atliekami ne tuo pat metu, sakoma, kad tai per laikà pasiskirstæ mokëjimai(mokëjimø seka arba pinigø srautas). Investicijas, o ir kitus finansinius



sandorius, daþniausiai ir lydi tokie mokëjimai. Norint nustatyti per laikàpasiskirsèiusiø mokëjimø tikslià vertæ, reikia atlikti specifiniusskaièiavimus, kurie daþniausiai yra pagrásti ekvivalentumo principonaudojimu. Vertinant investicijas bûtina pasiekti, kad visi piniginiaimokëjimai bûtø pakankamai grieþtai determinuoti – nustatytos tiksliosjø vertës, mokëjimo pobûdis, terminai ir t. t.

Ðiame skyriuje nagrinëjamos logistinio kaupimo modelio taikymovertinant investicijas galimybës. Reikia pabrëþti, kad logistinës vertëslygties, kitaip nei vertës lygties, sudarytos sudëtiniø procentø pagrindu,sprendimas neduoda vienodø rezultatø iðreiðkiant jà tiesioginiu iratvirkðtiniu bûdais. Tai gerokai apsunkina investicijø vertinimà ar kitokiouþdavinio sprendimà logistiniu bûdu.

Problemos esmei geriau suvokti ið pradþiø aptariami svarbiausi,detaliai ekonominei analizei skirti klasikiniai investiciniø projektøvertinimo metodai (Bodie Z. ir kt., 2000). Prie tokiø metodø paprastaipriskiriami grynosios dabartinës (esamosios) vertës (Net Present Value− NPV) ir vidinës pelno normos (Internal Rate of Return – IRR) metodai.Taikant ðiuos metodus dabartinës vertës skaièiuojamos pagal diskontoformulæ (4.16):

( )ni

KK

+

=

10

.

Nagrinëjant pinigø srautus tariama, kad numatomi srautø nariai busrealizuojami kiekvienø metø (kiekvieno periodo) pabaigoje.

5.5.1. Grynosios dabartinës vertës metodas

Projekto grynoji dabartinë vertë nustatoma remiantis ne tik pinigøabsoliuèiàja verte, bet ir tos vertës priklausomybe nuo laiko. Taigidiskontuojant pinigø srautus galima eliminuoti laiko átakà tø srautønariams.

135

Grynosios dabartinës vertës metodas – tai ilgalaikiø investiciniøprojektø efektyvumo ávertinimo metodas, naudojantis pinigø srautødiskontavimà pasirinktàja palûkanø norma. Grynoji dabartinë vertë –tai pinigø áplaukø ir pinigø iðmokø dabartiniø verèiø skirtumas.

Naudojant ðá metodà visi pinigø srauto nariai diskontuojami esamajammomentui naudojant bûtinàjà pelno normà. Investicinio projekto grynojidabartinë vertë (NPV) randama ið lygties:

( ) ( )nn

i

K

i

K

i

KKNPV

+++

++

++=

1...

11 2

21

0, (5.5)

èia: i – bûtinoji pelno norma, K0, K1, K2, …, K

n – pinigø srauto nariai,

apskaièiuoti laiko momentais j ( )nj ,0= . Kai Kj < 0 ( )nj ,0= , tai K

j yra

investavimo iðlaidos, Kj > 0 – investavimo pajamos. Be to, intervalai tarp

laiko momentø j ir j + 1 yra vienodi ir daþniausiai lygûs vieneriemsmetams.

Ðiuose skaièiavimuose naudojama (pasirinktoji) pelno norma yrareikalingo projektui ágyvendinti finansavimo ðaltinio pelno norma. Jeiguprojekto NPV yra lygi nuliui arba teigiama, projektas priimamas, jeigune – atmetamas.

Nagrinëjama tokia situacija: laiko tarpai tarp pinigø srauto nariø yravienodi, taèiau patys nariai yra ne tik skirtingo dydþio, bet ir skirtingøþenklø, t. y. investavimo iðlaidos turi minuso þenklà, o investavimo pajamos– pliuso. Jei tuo paèiu metu yra ir investuojama, ir gaunama pajamø, taiinvestavimo nariu laikoma atitinkamø investavimo pajamø ir iðlaidøalgebrinë suma.

5.4 pavyzdys. Investicinis projektas ágyvendinamas per ðeðerius metus.Pirmøjø metø pradþioje investuojama vienas sàlyginis piniginis vienetas.Vëliau, ketverius metus ið eilës, kasmet investuojama po 0,5 piniginiovieneto. Projekto pajamos gaunamos pradedant treèiaisiais metais ir yralygios vienam sàlyginiam piniginiam vienetui. Reikia apskaièiuoti projektogrynàjà dabartinæ vertæ esant pelno normai: a) 8%; b) 12%. Pinigø srautaipateikiami 5.6 lentelëje.



5.6 lentelë

Sprendimas

Pagal sàlygà: 6,0=j ; K0 = –1; K1 = –0,5; K2 = –0,5; K3 = 0,5;K4 = 0,5; K5 = 1; K6 =1, i = 8% ir i = 12%.

Duomenys áraðomi á (5.5) formulæ:a)

( ) ;

08,1

1

08,1

1

08,1

5,0

08,1

5,0

08,1

5,0

08,1

5,0108,0

65432++++−−−=NPV

( ) 1836,008,0 =NPV (SPV).

b)( ) ;

12,1

1

12,1

1

12,1

5,0

12,1

5,0

12,1

5,0

12,1

5,0112,0

65432++++−−−=NPV

( ) 0973,012,0 −=NPV (SPV).

Atsakymas: NPV(0,8) = 0,136 (SPV); NPV(0,12) = –0,0973 (SPV).Ðis projektas, remiantis dabartinës grynosios vertës metodu, turi bûti

priimtas, kai pelno norma 8% (NPV > 0), ir atmestas, kai pelno norma12% (NPV < 0).

Pinigų srautai metų pabaigoje

(sąlyginiais piniginiais vienetais) Metai

Išlaidos Įplaukos Bendras srautas

0 –1 0 −1

1 –0,5 0 −0,5

2 –0,5 0 −0,5

3 –0,5 1 0,5

4 –0,5 1 0,5

5 0 1 1

6 0 1 1

Iš viso: –3 4 1

137

5.5.2. Vidinës pelno normos metodas

Kaip þinoma, vidinë pelno norma apibûdina investicijø pelningumà irnëra susijusi su rinkos pelno norma. Vidinio pelningumo metodas, kaipir grynosios dabartinës vertës metodas, yra pagrástas numatomø pinigøsrauto nariø dydþio ir padëties laiko aðyje ávertinimu. Vidinës pelnonormos metodas yra vienas ið svarbiausiø investiciniø projektø ávertinimobûdø.

Projekto vidinë pelno (gràþos) norma yra tokia diskonto koeficientoreikðmë, kuriai esant numatomø iðmokø ir áplaukø dabartinës vertëstampa lygios (Obi C.P., 1998).

Tegul K0, K1, K2, …, Kn – pinigø srauto nariai, apskaièiuoti laiko

momentais j ( )nj ,0= . Kaip ir anksèiau tariama, kad jei Kj < 0 ( )nj ,0= ,

Kj yra investavimo iðlaidos, jei K

j > 0 – investavimo pajamos. Vidinë pelno

norma (diskonto koeficientas) þymima raide i. Ji randama ið lygties, gautosdiskontuojant sudëtiniais procentais pinigø srauto narius pradiniam laiko(kilmës) momentui:

( ) ( )0

1...

112

21

0=

+

++

+

+

+

+n

n

i

K

i

K

i

KK . (5.6)

Norint geriau suvokti vidinës pelno normos specifikà, nagrinëtinakonkreti situacijà: uþ vienà sàlyginá piniginá vienetà (SPV) perkamasárengimas. Po to penkerius metus ið eilës, kiekvienø metø pabaigoje, jisduoda po 0,3 piniginio vieneto pajamø. Reikia apskaièiuoti ðio projektovidinæ pelno normà.

Remiantis (5.6) lygtimi galima uþraðyti:

( ) ( ) ( ) ( )0

1

3,0

1

3,0

1

3,0

1

3,0

1

3,01

5432=

++

++

++

++

++−

iiiii. (5.7)

Vidinë pelno norma i randama ið lygties (5.6). Teoriðkai ðio tipo lygèiøsprendimas yra palyginti sudëtingas, nes lygtis (5.6) yra 5-tojo laipsnio,todël bendruoju atveju ji gali turëti 5 ðaknis. Tam tikrais atvejais lygtiessprendimà bûtø galima supaprastinti, taèiau praktiðkai sprendþiant tokio



pobûdþio uþdavinius yra patogu naudoti specialiàsias kompiuterinesprogramas. Vidinæ pelno normà nesunku apskaièiuoti naudojant,pavyzdþiui, kompiuterinës skaièiuotës Microsoft Excel finansinæ funkcijàIRR. Jos pagalba randama, kad mûsø projekto IRR ≈15,24%.

Iðnagrinëtas pinigø srautas sudarytas ið vienodo dydþio áplaukø serijos.Taèiau daþniausiai jos bûna nevienodos. Tai skaièiavimus (jei nesinau-dojama kompiuterinëmis priemonëmis) daro sudëtingesnius.

Dabar reikia rasti vidinæ pelno normà investiciniam projektui5.4 pavyzdyje.

5.4 pavyzdys (tæsinys). Kaip buvo duota 5.4 pavyzdyje, investicinisprojektas ágyvendinamas per ðeðerius metus. Pirmøjø metø pradþiojeinvestuojama vienas sàlyginis piniginis vienetas. Vëliau, ketverius metusið eilës, kasmet investuojama po 0,5 piniginio vieneto. Projekto pajamosgaunamos pradedant treèiaisiais metais ir kasmet yra lygios vienamsàlyginiam piniginiam vienetui. Reikia apskaièiuoti projekto vidinápelningumà.

Sudaroma vertës lygtis, prilyginant pinigø srauto grynàjà dabartinævertæ nuliui:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1

1

1

1

1

5,0

1

5,0

1

5,0

1

5,01

65432=

++

++

++

++

+−

+−−

iiiiii.

Kompiuterinës skaièiuoklës Microsoft Excel pagalba randama, kad ðioprojekto IRR = 10,50%. Apskaièiavus ðiam projektui grynàjà dabartinævertæ esant palûkanø normai i = 10,50%, randama, kad ji lygi nuliui.

5.5.3. Projekto priimtinumas

Jei projekto vidinë pelno norma virðija minimalià bûtinàjà pelno normà,projektas priimamas, jei ne – atmetamas. Minimali bûtinoji pelno normapaprastai grindþiama rinkoje vyraujanèiomis palûkanø normomis.

1 Áraðius langelyje A1 reikðmæ –1, o langeliuose A2:A6 reikðmes 0,3, uþraðomakomanda “=IRR (A1:A6)” lygu 15,24%.

139

Apskritai, jei bûtinoji pelno norma yra ta norma, kurios tikisi investuotojairealizuodami projektà, tai, priimant projektà su vidine pelno norma,virðijanèia bûtinàjà, padidëja firmos akcijø rinkos vertë, nes yra priimamasdidesnio rentabilumo projektas, nei reikia palaikyti esamàjà akcijø rinkosvertæ (Buðkevièiûtë E., Maèerinskienë I.,1998).

Jei minimali bûtinoji pelno norma bûtø nustatyta, pavyzdþiui, 8%, tai5.4 pavyzdþio projektas, kurio IRR=10,5%, bûtø priimamas, bet jeiminimali bûtinoji pelno norma bûtø, pavyzdþiui, 12%, ðis projektas bûtøatmestas.

5.6. Logistinis investicijø vertinimas

Pirmiau iðnagrinëtuose pavyzdþiuose, sprendþiant vertës lygtá (ir jospagrindu ieðkant IRR ir NPV reikðmiø), remtasi (4.16) diskonto formule

( )ni

KK

+

=

10

.

Dabar ði lygtis tam paèiam uþdaviniui sudaroma remiantis logistiniu(ribiniu) kapitalo augimo dësniu. Tam naudojamasi ribine dabartinës(esamosios) kapitalo vertës skaièiavimo formule (4.14).

( ) ( )nm

m

iKKK

KKK

+⋅−+

⋅=

10

.

Naudojant formulæ (4.14) vietoj áprastos diskonto formulës (4.16)papildomai dar turi bûti þinoma kiekvieno mokëjimø sekos nario ribinëkapitalo reikðmë K

m. Suprantama, kad reikðmë K

m kiekvienam mokëjimo

nariui gali bûti vienoda.Norint nustatyti per laikà pasiskirsèiusiø mokëjimø dydþius reikia

pasirinkti lyginamàjá taðkà. Anksèiau matëme, kad, vertinant investicijas,lyginamuoju taðku imamas mokëjimø sekos kilmës (sutarties sudarymo)momentas. Uþraðoma logistinë grynosios dabartinës vertës (LNPV) lygtis,kai pinigø srauto nariai yra vienodo dydþio.



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nm

m

m

m

m

m

iKKK

KK

iKKK

KK

iKKK

KKKLNPV

+⋅−+

⋅++

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅+=

1...

1120 .

arba sutrauktai:

( ) ( )∑=

+⋅−++=

n

jt

m

m

jiKKK

KKKLNPV

1

0

1. (5.8)

Reikia apskaièiuoti pirmiau nagrinëto projekto logistinæ grynàjàdabartinæ vertæ. Sàlygoje buvo duota, kad uþ vienà sàlyginá piniginá vienetà(SPV) perkamas árengimas. Po to, penkerius metus ið eilës kiekvienø metøpabaigoje jis duoda po 0,3 piniginio vieneto pajamø. Kokia ðio projektologistinë grynoji dabartinë vertë, kai ribinis kapitalas lygus vienam SPV, opelno norma 10%.

Lygtyje (5.8) imant K0 = –1, Km =1, o K = 0,3 SPV, galima uþraðyti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

13,013,0

3,01

13,013,0

3,01

13,013,0

3,01

13,013,0

3,01

13,013,0

3,011

54

32

ii

iiiLNPV

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅+

+

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅+−=

Atlikus skaièiavimus randamaLNPV = 0,2221075 (SPV).Analogiðkai lygtyje (5.8), kai K

m = 0,8, K

m = 0,5 ir K

m = 0,4, visas

kitas reikðmes, kaip nurodyta sàlygoje, galima uþraðyti ir kitomis LNPViðraiðkomis. Jos bus atitinkamai LNPV(0,8) = 0,245814; LNPV(0,5) =0,324284; LNPV(0,4) = 0,383877.

Norint susidaryti iðsamesná LNPV kitimo vaizdà, nubraiþomasgrynosios dabartinës vertës priklausomybës nuo diskonto normos grafikas,esant áprastai (eksponentinei) dabartinei vertei (DV) ir logistineidabartinei vertei, kai maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë yra 0,8; 0,5 ir0,4 piniginiø vienetø (5.4 pav.).

141

Kaip þinoma, vidinë pelno norma yra ðio grafiko sankirtos su abscisiø(diskonto normos) aðimi taðko reikðmë. Matoma, kad áprastos grynosiosdabartinës vertës grafikas diskonto normos aðá kerta taðke, kurio reikðmëapytiksliai lygi 0,15 (analitiðkai nustatyta, kad ta reikðmë 15,24%). Èiastebimas svarbus faktas, kad logistiniø priklausomybiø vidinës pelnonormos yra didesnës uþ áprastø DV ir didëjant prisotinimui didëja. Josatitinkamai yra 22,48%, kai ribinis kapitalas 0,8; 31,70 %, kai ribiniskapitalas 0,5, ir 44,22 %, kai ribinis kapitalas 0,4 piniginiø vienetø. Èiatoliau stebimas ið pirmo þvilgsnio atrodytø neáprastas ir ádomus faktas:logistinë vidinë pelno (gràþos) norma didëja maþëjant ribiniam kapitalui.Ribinio kapitalo maþëjimas reiðkia sistemos prisotinimo didëjimà. Ið èiadarytina labai svarbi iðvada: didëjant prisotinimui didëja sistemos vidinë

gràþos norma.

Sistemos vidinës gràþos normos didëjimas su tam tikromis iðlygomissietinas su tos sistemos efektyvumo didëjimu. Viena ið sàlygø, leidþianti

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

prastin dab. vert

Logistin ; Km = 0,8

Logistin ; Km = 0,5

Logistin ; Km = 0,4

5.4 pav. Logistinës grynosios dabartinës vertës priklausomybënuo diskonto normos

Diskonto norma

LIR

R

Áprasta dabartinë vertë

Logistinë; Km = 0,8





didinti sistemos efektyvumà esant prisotinimo situacijai, turëtø bûtireinvestavimo uþtikrinimas pagal tà paèià vidinæ gràþos normà.Suprantama, kad toks efektyvumo didëjimas turi bûti pagrástas stabiliuribiniu kapitalu. Logistinës vidinës pelno (gràþos) normos (LIRR)didëjimas yra ypaè ryðkus, kai prisotinimas pasiekia didesnæ nei 50%reikðmæ (kai maksimalus kapitalas dukart didesnis uþ pradiná kapitalà).Tada nedidelis prisotinimo sumaþëjimas sukelia ryðkø vidinës gràþosnormos kritimà, o tai sistemà paverèia nestabilia.

Aptartas atvejis, kai pinigø srauto nariai yra vienodo dydþio, t. y. kaipadengiama lygiomis dalimis. Dabar aptarkime kità atvejá, kai pinigøsrauto nariai yra ne tik skirtingo dydþio, bet ir skirtingo þenklo.

Tariama, kad investicinis kreditas K suteiktas n metø, palûkanø normai. Be to, ðis kreditas padengiamas ne ið karto, o dalimis: tarpinës sumosK1, K2, K3, ... mokamos praëjus nuo kredito iðdavimo momento terminamsatitinkamai n1, n2, n3, ... Ðios mokëjimø sekos ribinës kapitalo reikðmësatitinkamai bus K

m1, Km2, Km3, ... Tarus, kad ámokos yra þinomos, reikianustatyti grynosios dabartinës vertës dydá. Paskutiniojo mokëjimo ribinekapitalo reikðme laikoma suma K

mn. Tarpinës ámokos taip pat mokamos

kiekvieno termino pabaigoje.Tokiu atveju, ávertinus nurodytas pradines sàlygas, galima uþraðyti

logistinæ grynosios dabartinës vertës lygtá

( ) ( ) ( ) ( )++

+⋅−+

⋅

+

+⋅−+

⋅

+= ...

iKKK

KK

iKKK

KK

KLNPVn

m

m

n

m

m

2

222

22

1

111

11

0

11

( ) ( )nnnmnn

nnm

iKKK

KK

+⋅−+

⋅

+

1 (5.9)

Sutrumpinta iðraiðka:

( ) ( )∑= +⋅−+

⋅+=

n

jt

jjmj

jjm

jiKKK

KKKLNPV

1

0

1

.

.

143

Formulæ (5.9) panaudotina 5.4 pavyzdþiui (5.6 lentelë) spræsti. Ðiouþdavinio specifika yra ta, kad pinigø srauto nariai yra skirtingo dydþio,be to, pirmieji nariai turi neigiamà þenklà. Lygtyje (5.9) imant K0 = –1,K

m = 2, o kitas reikðmes ið 5.6 lentelës, uþraðoma logistinë grynosiosdabartinës vertës skaièiavimo lygtis

( ) ( ) ( ) ( )+

+⋅++−

⋅−

+⋅++−

⋅−−=

2150250

502

150250

5021

i,,

,

i,,

,LNPV

( ) ( )+

+⋅−+

⋅+

3150250

502

i,,

,

( ) ( )i,,

.

4150250

502+

+⋅−+

⋅+

( ) ( ) ( ) ( ).

ii65

1121

12

1121

12

+⋅−+

⋅+

+⋅−+

⋅+

Panaðiai sudaromos ir kitos lygtys, kai Km = 1,3 ir K

m = 1,1 piniginio

vieneto.Skaièiuojant LNPV pritaikytas matematinis diskontavimas, kai diskon-

tuojant yra ávertinamas diskontuojamo nario þenklas. Toks diskontavimasduoda ðiek tiek maþesnes absoliuèias reikðmes, palyginti su tuo atveju,kai þenklas ávertinamas jau diskontuotos sumos.

Lygèiø sprendimo rezultatai pateikiami 5.5 paveiksle. Rezultatai yrapanaðûs á pirmojo pavyzdþio ir ið esmës patvirtina logistinio diskontavimometodo universalumà. Be to, ðiame paveiksle matomi ryðkesni atskirøvidinës pelno normos reikðmiø skirtumai. Taèiau reikia pabrëþti, kad èialemiamà reikðmæ turi iðtekliø iðsekimo (panaudojimo) laipsnis.

Nagrinëjant diskontuotus skirtingo dydþio ir þenklo pinigø srautusstebima analogiðka situacija kaip ir tuo atveju, kai pinigø srautai buvopastovaus dydþio ir þenklo. Ir ðiuo atveju rezultatai patvirtina ankstesnæiðvadà: didëjant prisotinimui, sistemos vidinë gràþos norma didëja.

Vidinës pelno normos priklausomybë nuo ribinio kapitalo dydþio(kapitalo iðtekliø normos) parodyta 5.6 paveiksle. Teikiamuose pavyzdþiuo-se ribinio kapitalo maþëjimas atitinka sistemos prisotinimo didëjimà.



-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Di k t

prastin dab. vert

Logistin ; Km = 2

Logistin ; Km = 1,3

Logistin ; Km = 1,1


Logistinë; Km = 2



5.5 pav. Logistinës grynosios dabartinës vertës priklausomybënuo diskonto normos

Diskonto norma

LIR

R

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Logistin vidin pelno norma

prastoji vidin pelno norma

5.6 pav. Vidinës pelno normos priklausomybënuo iðtekliø normos

Iðtekliø norma

Vid

inë

pel

no

no

rma

Logistinë vidinë pelno norma

Áprasta vidinë pelno norma

145

Brëþinyje matoma, kad kol prisotinimas maþas (ribojantis kapitalasapytikriai 10 kartø didesnis uþ didþiausià srauto nará), logistinë vidinëpelno norma tik apie 10% virðija áprastà vidinæ pelno normà. Didëjantprisotinimui LIRR didëja ir ypaè intensyvus augimas, kai prisotinimaspasiekia 50% ribà (didþiausià nará virðija du kartus). Virðijus ðià ribàlogistinë vidinë pelno norma padidëja kelis kartus.

Atskirai iðtirtas atvejis, kai diskontuojamas yra tik vienas srauto narys.Logistinës vidinës gràþos normos (LIRR) priklausomybë nuo ribiniokapitalo dydþio esant skirtingoms diskonto trukmëms: vieniems; dvejiemsir trejiems metams parodyta 5.7 paveiksle. Kai diskonto trukmë didþiausia,LIRR reikðmë yra maþiausia. Kaip ir kitais atvejais, èia taip pat akivaizdusvidinës gràþos (pelno) normos didëjimas, kai prisotinimas stiprëja.

Ðiuo atveju buvo diskontuojamas 1,2 sàlyginiø piniginiø vienetø dydþionarys iki 1.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Diskonto periodų skaičius n = 1



5.7 pav. Logistinës vidinës pelno normos priklausomybënuo iðtekliø normos esant skirtingai diskonto trukmei

Iðtekliø norma

Vid

inë

pel

no

no

rma

Diskontø periodø skaièius n = 1



Ðis grafikas dar kartà iliustruoja teiginá, kad, didëjant prisotinimui,didëja ir vidinë gràþa. Suprantama, kad ir ðiuo atveju reinvestavimas turivykti esant tai paèiai vidinei gràþos normai. Vidinës gràþos normos



didëjimà galima iðnaudoti investicijø efektyvumui didinti. Taèiau ðiuoatveju kyla sistemos stabilumo problema, visø pirma sietina su ribospastovumu.

5.7. Apibendrintasis populiacijos bûsenø modelis;auganti ir nykstanti bûsena

Iki ðiol nagrinëtas populiacijos elgesys, kai pati populiacija buvo auganti,t. y. kai jos augimo koeficientas r > 1 ( )0,1 >+= iir . Norint turëti visàpopuliacijos raidos vaizdà, reikia iðtirti populiacijos kitimà ir tada, kai jipatiria depresijà (0< r < 1). Daþniausiai tokia situacija susidaroekonominio nuosmukio metu.

Iðtirkime konkreèià populiacijà, kurios elementus sudaro tokie nariai:–1; –0,5; –0,5; 0,5; 0,5; 1; 1 (þr. 5.6 lentelæ). Reikia sudaryti grynosiosdabartinës vertës priklausomybæ nuo palûkanø normos i (5.8 pav.).Palûkanø normos kitimas vyksta plaèiu intervalu (–0,4 < i < 2). Pastebima,

-2

-1

0

1

2

3

-0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

A i

prastin dabartin vert

Logistin ; Km = 3

Logistin ; Km = 2

Logistin ; Km = 1,4

Logistin ; Km = 1,05

5.8 pav. Apibendrintasis populiacijos bûsenø modelis; grynosiosdabartinës vertës priklausomybë nuo augimo normos, kai populiacijos

srautas yra –1; –0,5; –0,5; 0,5; 0,5; 1; 1

Augimo norma

Gry

no

ji d

abar

tin

ë ve

rtë


Logistinë; Km = 3

Logistinë; Km = 2

Logistinë; Km =1,4

Logistinë; Km =1,05

147

kad palûkanø normos maþinimas turi ribas. Maþinant palûkanø normàpasiekiama riba, kada populiacijos kitimas apskritai tampa nestabilus.

Èia bûtina atkreipti dëmesá á tai, kaip elgiasi populiacija, kurios iðtekliaiyra nevarþomi (áprastas atvejis). Esant teigiamoms palûkanø normosreikðmëms tokios populiacijos dabartinë vertë buvo visada maþiausia, oesant neigiamoms reikmëms – atvirkðèiai: dabartinë vertë visada yradidþiausia ir maþëjant palûkanø normai eksponentiðkai didëja. Turinèiosribotø iðtekliø populiacijos kitimas yra kitoks: maþëjant palûkanø normaijos dabartinë vertë didëja; be to, ðis didëjimas yra intensyvesnis esantpalûkanø normoms, artimesnëms nuliui. Paþymëtina, kad kai palûkanosneigiamos, logistinës populiacijos augimas anksèiau ar vëliau sustoja.

Apibendrintasis populiacijos bûsenø modelis, be viso kito, parodo,kaip pasiekiami ypaè geri rezultatai depresijos metu – bûtina disponuotikuo didesniais (idealiu atveju – neribotais) iðtekliais. Taèiau depresijosmetu bûtent iðtekliø ir stokojama.

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

- 0,2 0,4 0,6 0,8

Logistin auganti populiacija

prastoji vidin gr os norma

Logistin nykstanti populiacija

5.9 pav. Vidinës gràþos normos priklausomybë nuo iðtekliø normos

Iðtekliø koeficientas

Vid

inë

gràþ

os

no

rma

Logistinë auganti populiacija

Áprasta vidinë gràþos norma

Logistinë nykstanti populiacija

Taigi iðtekliø reikðmë tiek progresyvios ekonominës raidos, tiek depre-sijos metu tam tikroms aplinkybës gali bûti lemianti.



Paveiksle 5.9 parodyta tos paèios populiacijos vidinës gràþos normospriklausomybë nuo iðtekliø koeficiento. Iðtekliø koeficientas, kaip iranksèiau, yra santykis ( )

mmKKK − , èia K

m – ribinis kapitalas (iðtekliai),

K – populiacijos srauto narys, nulemiantis tuo momentu iðtekliøpanaudojimo laipsná ( )

mKK ≤≤0 .

Horizontali linija (5.9 pav.) parodo tipinæ vidinæ gràþos normà. Ji yrapastovi (lygi 10,5%) ir nuo iðtekliø panaudojimo laipsnio nepriklauso.Virð jos esanti kreivë rodo vidinës gràþos normos didëjimà, maþëjantiðtekliø normai. Apaèioje esanti linija rodo, kaip keièiasi vidinë gràþosnorma sistemos depresijos metu: palûkanø norma, maþëjant iðtekliams,laipsniðkai didëja.

5.7.1. Tolydusis metodas

Iðnagrinëtieji pinigø srautai buvo diskretûs. Taèiau pinigø srautai gali bûtiir tolydûs. Tai ypaè pasakytina apie vykdomo projekto pajamas. Tokiuatveju vykdomo projekto logistinë grynoji dabartinë vertë LNPV gali bûtinustatoma iðsprendus formulæ

( )

( ) ( )( ) ( )∫ +⋅−+

⋅+=

n

t

m

m dtitKKtK

tKKKLNPV

0

0

1, (5.10)

èia: K0 – vienkartinë ámoka arba vienkartiniø ámokø dabartinë vertë, K(t)– grynøjø pinigø srauto intensyvumas, iðreikðtas piniginiais vienetais perlaiko vienetà, K

m – maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë, ávertinanti

didþiausias kapitalo augimo galimybes, n – investicinio projekto trukmë,t – laikas, i – rinkos palûkanø norma arba kapitalo kaina.

Panaðûs rezultatai gaunami, kai atliekant skaièiavimus remiamasinuolatinio augimo logistinio diskonto formule

( )( ) ( )( )∫ ⋅⋅−+

⋅+=

n

ti

m

m dtetKKtK

tKKKLNPV

0

0.

Paveiksle 5.10 pateikiamas pavyzdys, kai projekto pajamos yratolydþios ir vienodai iðsidësèiusios per ketverius metus. Pajamø

149

intensyvumas yra vienas sàlyginis piniginis vienetas per metus. Paveikslepateikta grynosios dabartinës vertës priklausomybë nuo palûkanø normosdydþio esant nuolatinëms pajamoms 1 spv/m. Grafike paimtas didelispalûkanø normø intervalas: nuo –5 iki 20. Jis patvirtina anksèiau gautusrezultatus augimo srityje. Nuosmukio (depresijos) dalyje grafikai panaðûstik ið dalies: èia nëra grynosios dabartinës vertës maþëjimo.

5.7.2. Kompanijos X kapitalo srautø tyrimas

Geriau ásigilinti á tiriamus modelius padëtø konkretus praktinës situacijospavyzdys. Kompanijos X kapitalo statistiniai 1996...2004 metø duomenysteikiami 5.7 lentelëje.

0

2

4

6

-5 0 5 10 15 20


Logistinis Km = 1,1

Logistinis Km = 1,5

Įprastasis diskontas

5.10 pav. Grynosios dabartinës vertës priklausomybë nuo palûkanønormos dydþio esant nuolatinëms pajamoms

(intensyvumas 1 spv/laiko vien.)

Palûkanø norma

Gry

no

ji d

abar

tin

ë ve

rtë

Áprastasis diskontas


Logistinis Km = 1,1

Logistinis Km = 1,5



Ðie statistikos duomenys pasirinkti todël, kad kompanija per ðálaikotarpá patyrë tiek pakilimà, tiek nuosmuká (5.11 pav.).

Iðtirkime kapitalo srautus iki ekonominio pakilimo pradþios (2000 m.),sudarydami kapitalo grynosios dabartinës vertës priklausomybæ nuopelningumo normos (5.12 pav.) Ið grafiko matyti, kad, maþëjant kapitaloiðtekliams, kompanijos nagrinëjamo laikotarpio kapitalo grynoji dabartinëvertë didëja. Ðis didëjimas pasidaro ypaè akivaizdus sudarius kompanijossàlyginiø (su 35 sàlyginiais iðlaidø vienetais) vidinës gràþos normøpriklausomybæ nuo iðtekliø normos (5.13 pav.). Matoma, kad iðtekliønormai maþëjant (artëjant prie nulio), vidinë gràþos norma, palyginti sustandartine, padidëja daugiau nei tris kartus. Tai ir galëjo sukelti staigøkompanijos ekonominiø rodikliø pagerëjimà.

Kita vertus, iðtekliø normà lemia ribinio kapitalo dydis, kuris dau-giausia priklauso nuo konkurencinës aplinkos, kurioje veikia kompanija.Taigi ribinis kapitalas kompanijos atþvilgiu nëra grieþtai fiksuotas, dël to,pasikeitus ribiniam kapitalui, iki tol buvusi pinigø srautø pusiausvyrasugriûva ir sistema patiria nuosmuká.

5.7 lentelë

Metai Kapitalas Metai Kapitalas Metai Kapitalas

1996 I 1934 1999 I 5269 2002 I 28 047

1996 II 1852 1999 II 5927 2002 II 25 191

1996 III 3122 1999 III 6414 2002 III 25 147

1996 IV 4187 1999 IV 6525 2002 IV 20 030

1997 I 3623 2000 I 13 042 2003 I 17 366

1997 II 4670 2000 II 15 724 2003 II 15 255

1997 III 4782 2000 III 16 777 2003 III 13 841

1997 IV 4517 2000 IV 21 406 2003 IV 13 293

1998 I 4483 2001 I 21 695 2004 I 13 231

1998 II 5026 2001 II 22 824 2004 II 13 689

1998 III 5177 2001 III 23 856 2004 III 10 731

1998 IV 5264 2001 IV 25 191

151

Kompanijos X kapitalo srautø logistinë analizë patvirtina, kad kapitaloiðtekliø ribotumas esmingai veikia galimus rezultatus. Prie tokiø rezultatøbuvo prieita ir modeliuojant teorinius pinigø srautus.

0

10

20

30

0 8 16 24 32

5.11 pav. Kompanijos X kapitalo kitimas nuo1995 m. IV ketv. iki 2004 m. III ketv.

Laikas (metø ketirèiai)

Kap

ital

as (

tûk

stan

èiai

)

0

20

40

60

80

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Neriboti ištekliai

Išteklių Km = 10000



5.12 pav. Kompanijos X 1996 ... 1999 m. kapitalo grynosios dabartinësvertës priklausomybë nuo pelningumo normos esant skirtingoms

ribinio kapitalo rekðmëms

Pelningumo norma

Iðtekliø Km = 10 000

NP

V



Neriboti iðtekliai



5.8. Logistinis modifikuotosios vidinës pelnonormos metodas

Prieð pradedant nagrinëti logistiná modifikuotosios vidinës pelno normosmetodà, reikia apþvelkti naudojamà áprastà metodà bei jo taikymospecifikà.

Þinoma, kad vertinant investicinius projektus IRR pagalba, apskai-èiuotoji pelno norma nëra susijusi su rinkos norma. Kadangi remiantistiek NPV, tiek IRR metodais besàlygiðkai tariama, jog gaunami pinigøsrautai yra reinvestuojami, todël svarbu, kokia yra reinvestavimo pelnonorma. Skaièiuojant grynosios dabartinës vertës metodu laikoma, kadreinvestuojama remiantis bûtinàja pelno norma, o skaièiuojant vidiniopelningumo metodu – remiantis vertinimo metu nustatytàja IRR.

Galima situacija, kai projekto IRR yra palyginti aukðta, kad ið projektogautas lëðas teks reinvestuoti pinigø ar kapitalo rinkoje pagal tennusistovëjusià maþesnæ pelno normà. Vadinasi, vertinant projektà vidinëspelno normos metodu bus gauti iðkreipti rezultatai.

Tokiais atvejais tinkamesnis yra modifikuotos vidinës pelno normos(Modifed Internal Rate of Return – MIRR) metodas.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

5.13 pav. Kompanijos X 1995 ... 1999 m. vidinës gràþos normospriklausomybë nuo iðtekliø dydþio koeficiento


LIR

R

153

Modifikuotoji vidinë pelno norma – tai tokia diskonto norma, kuriprojekto iðlaidø esamàjà vertæ sulygina su jo pajamø galutinës vertësdabartine verte.

Galutinë vertë apskaièiuojama remiantis rinkos pelno norma. Èia yraapskaièiuojama pinigø srauto kiekvieno nario bûsimoji vertë ir gautidydþiai susumuojami. Po to apskaièiuojama ðios sumos grynoji dabartinëvertë ir ji sulyginama su projekto iðlaidø esamàja verte. Diskonto norma,kuri leidþia pasiekti nustatytàjà lygybæ, ir yra modifikuotoji vidinë pelnonorma.

Paprastai bûsimoji ir dabartinë vertës skaièiuojamos remiantis sudë-tiniø palûkanø taisykle. Tà paèià procedûrà galima atlikti su logistinëmisfunkcijomis. Tokiu atveju visø projekto pajamø bûsimoji vertë:

( )( )( )∑

=−+⋅+

+⋅⋅=

n

jn

m

n

mb

iKK

iKKK

0 0

0

11

1 .

Visø pajamø bûsimosios vertës Kb dabartinæ vertæ prilyginus iðlaidø

dabartinei (esamajai) vertei Ke, gaunama lygtis, kurioje neþinoma yra

diskonto norma i:

( ) ( ) en

bmb

bmK

iKKK

KK=

+⋅−+

⋅

1. (5.11)

Ið èia, iðreiðkus diskonto normà i ir jà paþymëjus MLIRR, galima uþra-ðyti logistinës modifikuotosios vidinës pelno normos skaièiavimo formulæ:

1−−

−⋅= n

bm

em

e

b

KK

KK

K

KMLIRR . (5.12)

Pasitelkus priklausomybës (5.11) ir (5.12) galima ávertinti investicinioprojekto pelningumà ir ypaè iðtekliø átakà ágyvendinamam projektui.

5.5 pavyzdys. Logistinës modifikuotosios vidinës pelno normos metoduiðtirkime pinigø srautà



Metai 0 1 2 3 4Grynasis pinigø srautas –1 0,3 0,3 0,3 0,3

Atliekant skaièiavimus tariama, kad reinvesticijos norma lygi 10%.Nubraiþykite logistinës modifikuotosios vidinës pelno normospriklausomybës nuo iðtekliø koeficiento grafikus.

Pirmiausia apskaièiuojama pinigø srauto bûsimoji vertë Kb, kai

skirtingos ribinio kapitalo reikðmës: 2; 1,6; 1,45; 1,37. Jos pagrindurandama modifikuotoji grynoji dabartinë (esamoji) vertë kaip pelnonormos funkcija (5.14 pav.). Brëþinyje matoma gan ryðki modifikuotøjødabartiniø verèiø sklaida ribinio kapitalo atþvilgiu.

Remiantis (5.12) lygtimi apskaièiuojamas modifikuotosios logistinësdabartinës vertës MLIRR. Ði priklausomybë nuo iðtekliø normosvaizduojama 5.15 pav. Grafike matoma, kad, senkant iðtekliams, vidinëpelno norma ryðkiai padidëja.

Palyginti kompiuteriu reikia rasti ir IRR reikðmæ. Ji lygi 7,7%.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Neribotas

Km = 2

Km = 1,6

Km = 1,45

Km =1,37

5.14 pav. Modifikuotosios dabartinës vertës priklausomybënuo pelno normos

Pelno norma

Km = 2

Mo

dif

iku

oto

ji d

abar

tin

ë ve

rtë

Km = 1,6

Km = 1,45

Km = 1,37

Neribotas

155

Atkreiptinas dëmesys, kad skirtumas tarp abiejø variantø MIRR nëratoks ryðkus kaip tarp analogiðkø IRR reikðmiø. Be to, modifikuotosiosvidinës pelno normos reikðmës yra korektiðkesnës, palyginti jas su IRRreikðmëmis, nes jos geriau parodo tikràjá projekto pelningumà.

5.8.1. Gamybos funkcija

Gamybos funkcija parodo gamybos apimties ir jos naudojamø iðtekliøpriklausomybæ. Kitaip tariant, ði funkcija tam tikru technologiniøpasiekimø lygiu parodo produkcijos apimties ir átrauktø á gamybà iðtekliøryðá. Formaliai produkcijos apimtis ir panaudotø iðtekliø kiekisvaizduojamas funkcija:

( )nxxxfQ ,...,,21

= ,

èia: Q – gamybos apimtis (produkcijos iðeiga), ( )nixi ,1= – gamybojenaudojami iðtekliai. Daþniausiai naudojami iðtekliai yra kapitalas K irdarbas L. Gamybos iðtekliai, naudojami toje paèioje gamyboje, gali bûtipaskirstyti ávairiai, gali bûti naudojama maþai kapitalo, bet daug darbo

0

0,4

0,8

1,2

1,6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

MLIRR

IRR (7,7%)

5.15 pav. Logistinës modifikuotosios vidinës pelno normospriklausomybë nuo iðtekliø koeficiento


MLIRR

ML

IRR

IRR (7,7%)



iðtekliø arba, atvirkðèiai, – maþai darbo, bet daug kapitalo. Suprantama,kad galimi ir ávairûs tarpiniai variantai.

Turint gamybos funkcijà reikia parinkti toká iðtekliø kieká, kad bûtøuþtikrinta maksimali gamybos apimtis ir sunaudota maþiausiai iðtekliøarba bûtø gautas maksimalus pelnas. Ekonomistus labiausiai dominapastarasis veiksnys.

Specifinis gamybos apimties ir gamybos iðtekliø (kapitalo K ir darboL) ryðys yra Kobo-Duglaso (Cobb-Duglas production function) gamybosfunkcija:

bb LKaQ −

⋅⋅=1 ,

èia a ir b – gamybos koeficientai. Panaudoto kapitalo K ir darbo L kiekiaigali bûti apskaièiuojami naudojant logistines funkcijas:

( )

( )( )11

1

0

0

−+⋅+

+⋅⋅=

n

m

n

m

iKK

iKKK

ir

( )( )( )11

1

0

0

−+⋅+

+⋅⋅=

n

m

n

m

jLL

jLLL .

Èia: K0 ir L0 – pradiniai kapitalo ir darbo kiekiai, Km ir L

m – ribiniai kapi-

talo ir darbo kiekiai, i ir j – kapitalo ir darbo augimo normos, n – skai-èiuojamasis periodø skaièius.

Paþymëtina, kad darbo apimèiai skaièiuoti galima taikyti logistinæfunkcijà, nes darbo (kaip ir kapitalo) augimo greitá kiekvienu laikomomentu galima laikyti proporcingu jo paties dydþiui.

Ástaèius kapitalo ir darbo iðraiðkas, gamybos funkcija bûtø

( )

( )( )( )( )( )

b

n

m

n

m

b

n

m

n

m

jLL

jLL

iKK

iKKaQ

−

−+⋅+

+⋅⋅⋅

−+⋅+

+⋅⋅⋅=

1

0

0

0

0

11

1

11

1. (5.13)

157

Ðis Kobo-Duglaso gamybos funkcijos variantas, turint pradiniusduomenis, leidþia prognozuoti bûsimàsias gamybos apimtis. Kai a = b = 1,lygtis (5.13) virsta áprasta logistine kapitalo bûsimosios vertës skaièiavimoformule.

5.8.2. Kainø burbulai. Projekto efektyvumas ir rezultatø nestabilumas

2004 m. geguþës 4 d. P. Pikaso paveikslas „Berniukas su pypke“ Sothebysaukcione buvo parduotas uþ 104 mln. doleriø. Paveikslui panaudotossàlygiðkai nebrangios medþiagos, tapybai naudotas palyginti nebrangusdarbas. Kaip susiformuoja tokios kainos?

Kodël kai kurie deimantai, nors praktiðkai yra sunkiai pritaikomi, yratokie brangûs? Kaip susidaro kainø burbulai? Kodël kai kurie archeologiniairadiniai „neturi kainos“?

Kodël ekonomiðkai skurdesni Þemës regionai pasiþymi didesniu gyventojøtankiu?

Kodël ir kada kai kurie sportininkai ágauna antràjá kvëpavimà?Koks epidemijø formavimosi mechanizmas? Kodël virusø plitimo greitis

toks nevienodas?Daugumà ðiø ir kitø analogiðkø reiðkiniø jungia vienas bendras

bruoþas: jie vyksta esant ribotiems iðtekliams ir, be to, tø iðtekliø iðsekimostadijoje. Tikëtina, kad bent á kaþkuriuos iðkeltus klausimus gali bent iðdalies atsakyti logistinë populiacijø vystymosi teorija. Logistinë kapitalovaldymo teorija yra ðios teorijos atmaina.

Izoliuotai ar uþdaroje aplinkoje veikiantys rinkos subjektai anksèiauar vëliau patiria stipresná ar silpnesná kapitalo prisotinimà, t. y. priartëjaprie kapitalo iðtekliø panaudojimo ribos. Tada sakoma, kad iðtekliai yrareti ir dël to iðsenkantys. Tada, didëjant vidinei gràþos normai, sistematampa neadekvaèiai efektyvi. Praktikoje toks reiðkinys vadinamas burbulosusiformavimu. Jis pasireiðkia tam tikrø produktø (prekiø ar paslaugø)kainø ypaè dideliu augimu.



Gyvenimiðka tokio reiðkinio iðraiðka galëtø bûti kad ir tai, jog daþnaiþymiø menininkø darbai parduodami, atrodytø, nepagrástai didelëmiskainomis. Iðimtinai tokie darbai yra mirusiø autoriø, o tai reiðkia, kadsistema (darbø visuma) yra uþdara ir dël to turi stabilià ribà. Visa taisudaro prielaidas didëti vidinei gràþos normai, o kartu ir atskiro kûriniokainai.

Priartëjus prie tam tikrø iðtekliø iðsekimo ribos, staigiu veiklos pa-gerëjimu pasiþymi ir biologiniai organizmai. Ðis reiðkinys populiariaiávardijamas antruoju kvëpavimas (sportininkø ar kitø turinèiø didelá fizinákrûvá individø).

Ekonomikos teorijoje daugumos kainø kitimas (augimas) ið esmësyra apibûdinamas pasiûlos ir paklausos pusiausvyra. Taèiau kai kuriøprekiø kainos yra grindþiamos iðtekliø retumu. Nepaisant to dalies prekiøkainos, kaip atrodo paðaliniam stebëtojui, vis dëlto yra nepamatuotaididelës. Staigus kainø didëjimas dël prekiø retumo ið esmës yra glaudauspriartëjimo prie ribos padarinys. Ið tai, kas pasakyta, aiðkëja, kodël kaikurie vienetiniai egzemplioriai (archeologiniai radiniai, unikalûs kûriniai)apskritai neturi kainos. Kainø augimas senkant prekiø iðtekliams busnestabilus, jei, glaudþiai priartëjus prie ribos, ta riba staigiai (ðuoliu)padidës (nutols). Tokiu atveju kaina staigiai sumaþës – sprogs burbulas.Suprantama, kad toks pasikeitimas gali turëti prekës valdytojui nepagei-dautinø padariniø.

Apibendrinus iðdëstytà medþiagà prieinama prie iðvados, kad egzis-tuoja fenomenologinis dësnis, kurá galima suformuluoti taip:

Jei izoliuotoje sistemoje populiacijos elementai vystosi pagal riboto

augimo (logistiná) dësná ( )1

)(0

0

−⋅

⋅⋅=

⋅

t

m

t

m

rKK

rKKtK (èia: t – laikas, K0 – pradinë

populiacija, r – augimo greièio koeficientas), turintá stabilià ribà Km, tai,

artëjant prie ribos, populiacija didina savo efektyvumà, pasireiðkiantávidinës gràþos normos didëjimu.

159

Prisotinimas daþniausiai reiðkiasi uþdaroje sistemoje. Vidinës gràþosnormos didëjimas savo ruoþtu (dël atsitiktinio ribos nepastovumo) po-puliacijà paverèia nestabilia sistema.

Logistinis investicijø valdymo metodas leidþia naujai paþvelgti áinvesticijø vertinimà ir galimas nesëkmingo investicijø realizavimoprieþastis. Rinkos iðtekliø ribotumo laipsnio ávertinimas leidþia tiksliauapskaièiuoti investuoti bûtinà pelno normà ir taip sumaþinti investavimorizikà.



6. LOGISTINIAI DRAUDIMO ANUITETAI

Aptarsime logistiniø draudimo anuitetø skaièiavimo principus, daugiausiadëmesio skirdami gyvybës draudimui. Gyvybës draudimo anuitetai yranulemiami tam tikrø atsitiktiniø ávykiø, todël negali bûti tiksliai apibrëþti,ir dël to jie nëra determinuoti. Anuiteto nario dydis èia priklauso nuoatsitiktinio ávykio: draudëjo mirties ar, atvirkðèiai, iðgyvenimo iki tam tikroamþiaus, nelaimingo atsitikimo ir pan.

Atliekant logistinius draudimo anuitetø (kaip, beje, ir kitø logistiniøanuitetø) skaièiavimus susiduriama su rezultatø nevienareikðmiðkumoproblema (histerezës reiðkiniu): apskaièiavus tam tikros reikðmës bûsi-màjà, o vëliau gautos reikðmës dabartinæ vertæ, rezultatai nesutampa.Tiesa, ðis nesutapimas kiek labiau pastebimas tik esant gana maþomsiðtekliø normoms.

Skaièiavimai skiriami draudimo premijai (draudimo ámokai,apdraudai) nustatyti. Visas tarifinis draudëjo mokestis yra kiek suapvalintabruto premija, kuri savo ruoþtu susideda ið neto premijos ir priedo. Priedasreikalingas iðlaidoms, susijusioms su draudimo operacijø vykdymu(draudimo proceso organizavimu, profilaktiniø priemoniø finansavimu,reklama, rezerviniø fondø sukûrimu ir kt.), padengti. Kartu ðis priedassudaro ir draudimo bendrovës pelnà.

Skaièiuojant premijas, pirmiausia ágyvendinamas draudëjo ir draudikoásipareigojimø ekvivalentumo principas. Tarkime, tikimybë ávyktidraudimo ávykiui yra q. Tada premijos dydis bus sumos S ir tikimybës qsandauga, t. y. P = S q. Taèiau jei premija P ir suma S bus nevienkartinës,tai tiek sukauptas premijas, tiek iðmokëtas sumas galima iðreikðti jømatematiniu vidurkiu. Sakykime, visø premijø matematinis vidurkis yraMP, o visø iðmokamø sumø matematinis vidurkis – MS. Remiantis

1616. Logistiniai draudimo anuitetai

draudiko (draudimo ámonës) ir draudëjo (draudimo liudijimo savininko)ásipareigojimø ekvivalentumu, uþraðoma:

MP = MS.Prisimintina, kad premijos ámokamos, o draudimo sumos iðmokamos

ne vienu metu, o per tam tikrà laikotarpá, todël mokëjimø srautai busekvivalentûs tik tada, kai jie subalansuoti, t. y. kai bus ávertinta pinigølaiko vertë. Tai ágyvendinama apskaièiavus dabartines pinigø srautø vertes.

Ðie skaièiavimai nagrinëjami kiek vëliau, o dabar aptarsime iðgyvenimàiki tam tikro amþiaus ir mirtingumo rodikliø naudojimà apskaièiuojantdraudimo tarifus.

6.1. Gyvenimo trukmës funkcija

Þmogaus gyvenimo trukmë priklauso nuo daugybës ávairiausiø veiksniø,todël pavienio þmogaus amþius yra atsitiktinis dydis. Demografijos mokslonustatyta, kad kartø kaita, iðreikðta skirtingo amþiaus þmoniø mirtingumolygio kitimu, vyksta pagal tikimybiø teorijoje gerai þinomà didþiøjø skaièiødësná.

Gyvybës draudimo praktikoje bûtina þinoti þmoniø gyvenimo trukmæarba mirtingumo priklausomybæ nuo jø amþiaus. Paprastai, remiantisspecialia metodika, sudaromos vadinamosios gyvenimo trukmës lentelës,kuriose pateikiamas abstrakèios þmoniø visumos idealizuotas skaitmeninisiðmirimo modelis.

Mirtingumo lenteliø pagrindà sudaro ið 100 000 (kartais 1 000 000)pradinës gyventojø visumos kiekvienais metais likusiø gyvø asmenø kiekáatitinkanti skaièiø seka. Lentelëse áprasta þymëti:

x – gyventojø amþiø metais ;lx – x metø turinèiø gyventojø skaièiø;

dx – per metus (tarp x ir x+1 metø) mirusiø gyventojø skaièiø;

qx – tikimybæ, sulaukus x metø, numirti per ateinanèius x+1 metus.

Ðie dydþiai susijæ tokiomis priklausomybëmis:


xxx dll +=+1

; arba xxx

dll −=+1

, x

xx

l

dq = .

Pateikiama mokomoji vyrø gyvenimo trukmës lentelë ir ji trumpaiaptariama1.

6.1 lentelë

1 Mokomosios lentelës sudarytos remiantis Lietuvos gyventojø suraðymoduomenimis.

X lx x lx x lx x lx x lx

0

100000

1

99 519 21

98 516 41

91 847 61

64 742 81

17 899

2

99 310 22

98 438 42

91 087 62

62 698 82

15 837

3

99 239 23

98 345 43

90 272 63

60 594 83

13 881

4

99 177 24

98 236 44

89 400 64

58 433 84

12 039

5

99 119 25

98 108 45

88 470 65

56 217 85

10 319

6

99 067 26

97 959 46

87 479 66

53 950 86

8727

7

99 028 27

97 788 47

86 427 67

51 636 87

7270

8

98 996 28

97 592 48

85 312 68

49 279 88

5951

9

98 960 29

97 369 49

84 132 69

46 883 89

4774

10

98 930 30

97 117 50

82 887 70

44 453 90

3740

11

98 901 31

96 834 51

81 575 71

41 995 91

2849

12

98 870 32

96 518 52

80 196 72

39 514 92

2097

13

98 840 33

96 167 53

78 750 73

37 017 93

1479

14

98 812 34

95 779 54

77 235 74

34 516 94

987

15

98 784 35

95 352 55

75 652 75

32 006 95

621

16

98 754 36

94 883 56

74 001 76

29 504 96

369

17

98 721 37

94 371 57

72 282 77

27 027 97

189

18

98 682 38

93 813 58

70 495 78

24 631 98

85

19

98 636 39

93 208 59

68 642 79

22 305 99

36

20

98 581 40

92 553 60

66 724 80

20 058 100

9

Tarkime, laikotarpio pradþioje (kai x = 0) gimë 100 000 naujagimiø.Ið lentelës galima nustatyti, kiek jø iðgyveno iki tam tikro amþiaus.Pavyzdþiui, iki 20 metø iðgyveno 98 581 (t. y. l20

= 98 581), iki 40 metø –92 553 (l40

= 92 553), iki 75 metø – 32 006 (l75 = 32 006) þmonës.

163

Turint tokius duomenis, nesunku apskaièiuoti ir tikimybæ iðgyventi ikitam tikro amþiaus arba to amþiaus nesulaukti. Tikimybë iðgyventi darbent vienerius metus yra:

x

x

x

l

lp 1+= .

Jeigu n – numatomø iðgyventi metø skaièius, tai tikimybæ iðgyventinuo x iki x + n metø þymësime

n p

x . Ði tikimybë yra:

x

nxxn

l

lp += .

Primename, kad lx ir l

x+n – x ir x+n metø amþiaus asmenø skaièius.

Pavyzdþiui, tikimybë, kad keturiasdeðimtmetis iðgyvens bent vieneriusmetus, yra

992372,092553

91847

40

41

40===

l

lp ,

o tikimybë, kad keturiasdeðimtmetis iðgyvens dar bent 20 metø yra

720927,092553

66724

40

60

4020===

l

lp .

Tikimybæ numirti nesulaukus tam tikro amþiaus galima apskaièiuotikaip ávykiui iðgyventi iki to amþiaus prieðingo ávykio tikimybæ:

x

x

x

xx

x

x

xx

l

d

l

ll

l

lpq =

−=−=−= ++ 1111 .

Gavome þinomà priklausomybæ. Ið lenteliø randama:

007628,092553

706

92553

9184792553

40

40

40

4140

40==

−==

−=

l

d

l

llq .

Kita vertus, galima rasti

007628,0992372,0114040

=−=−= pq .



Tikimybë, kad x metø amþiaus þmogus mirs nesulaukæs x+ n metø,yra

x

nxx

x

nxxnxn

l

ll

l

lpq ++

−=−=−= 11 .

Vadinasi, tikimybë keturiasdeðimtmeèiam vyrui mirti iki jam sueisðeðiasdeðimt metø yra tokia:

20q40 = 1– 20p40 = 1– 0,720927 = 0,279073,

arba

0,27907392553

6672492553

40

60404020 ≈

−

=

−

=

l

llq .

Ðios tikimybës bus reikalingos skaièiuojant draudimo tarifus.

6.2. Gyvybës draudimas. Tam tikro amþiaus sulaukimodraudimas

Nagrinëjamas gyvybës draudimo atvejis, kai draudëjas gauna sutartyjenumatytà sumà tik sulaukæs nustatyto amþiaus. Jeigu jis mirðta anksèiau,draudikas atleidþiamas nuo bet kokiø ásipareigojimø. Kaip apskaièiuotivienkartinæ premijà draudþiantis tam tikro amþiaus sulaukimo draudimoatveju? Samprotaujama taip: visi asmenys, sulaukæ x metø, vienu metusudaro draudimo sutartá, kad, jei jie iðgyvens dar n metø, tai gaus S Ltiðmokà. Tariama, kad draudimo sutartá n metø terminui sudaro visi x metøturintys vyrai. Jø yra l

x. Planuojamo termino sulauks ne visi apsidraudæ

asmenys. Jø bus lx+n

. Kiekvienam ið jø teks iðmokëti po S Lt, todël susidaryslx+n

⋅ S pinigø suma. Taèiau ðià sumà reikës iðmokëti tik po n metø, todëljos logistinë dabartinë vertë, esant p% palûkanø normai (i=p/100), ribineikapitalo reikðmei (kapitalo iðtekliams) S

m ir iðmokai S, yra tokia:

( ) ( )nnxmnx

mnx

iSlSSl

SSl

+⋅⋅−+⋅

⋅⋅

++

+

1.

165

Konkretumo dëlei tariama, kad draudimo sutartá deðimèiai metø(n = 10) sudaro visi keturiasdeðimtmeèiai vyrai (x = 40). Jø, remiantismûsø pateikta lentele, yra 92 553 (l40 = 92 553). Ið tos pat lentelës randama,kiek asmenø sulauks 50 metø (l40+10 = 82 887). Be to, tariame, kad kapitaloiðtekliai S

m=1010 Lt, iðmoka S=1 Lt, o palûkanø norma

i = 0,035. Tada dabartinë vertë:

( ) 035,118878210188782

101887821010

10

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅ 58 760 (Lt).

Kad bûtø sukaupta apskaièiuotoji 58 760 Lt suma, ið kiekvieno

besidraudþianèio kliento dabar reikia paimti po ≈=55392

7605876058

40l

634883,0≈ Lt. Vadinasi, kad keturiasdeðimtmetis draudëjas po 10 metø

gautø 1 Lt, dabar jis turi sumokëti beveik 64 ct, o kad gautø, pavyzdþiui,1000 Lt, – 634,88 Lt. Pastaroji suma bus gauta tik tuo atveju, jei ir ribiniskapitalas bus padidintas tiek pat (t. y. tûkstantá) kartø, kiek ir iðmoka S.

Èia matoma, kaip veikia draudëjø solidarios atsakomybës principas.Klientas, sulaukæs sutartyje numatyto amþiaus, tam tikrà dalá iðmokamosdraudimo sumos gauna kitø, jau mirusiø, draudëjø sàskaita. Jei pavyzdyje1000 Lt apsidraudæs asmuo draudimo iðlaidas turëtø padengti pats vienas,jam bûtø tekæ ámokëti ne 634,88 Lt, bet 708,92 Lt, t. y. tiek, kiek bûtøverta 10 metø tomis paèiomis sàlygomis diskontuota 1000 Lt suma.

Apibendrinus ankstesnius samprotavimus ir tarus, kad x

nx

xn

l

lp += ,

galima teigti, kad vienkartinë neto premijanx

A+

tam tikro amþiaus sulau-

kimo (iðgyvenimo) draudimo atveju yra draudimo laikui diskontuotasdraudimo sumos S matematinis vidurkis:

( ) ( )nxnmxn

mxn

nx

iSpSSp

SSpA

+⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=+

1. (6.1)



èia nx

A+

– neto premijos dydis, draudþiantis x metø asmeniui, kad jissulauks x+n metø;

S – sumos, iðmokamos iðgyvenus iki nustatyto laiko, dydis;i – diskonto norma;n – skaièius metø, kuriems praëjus iðmokama draudimo suma

(iðgyvenimo trukmë).Ðiuo atveju keturiasdeðimtmeèio vyro vienkartinë ámoka, draudþiantis

1000 Lt sumai iðgyventi 10 metø, bus:

( ) ( )=

+⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

10

40104010

4010

50

03501 ,SpSSp

SpSA

m

m

881634

0351100092553828871010009255382887

1000925538288710

1013

13

,,)(

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅= Lt.

Kaip matoma vienkartiniø premijø skaièiavimo iðraiðkos yra ðiek tiekskirtingos, taèiau joms gauti rezultatai yra artimi. Draudimo anuitetamsskaièiuoti toliau taikomas pastarasis atvejis, t. y. kai pinigø srauto narius sudarodraudimo laikui diskontuoti draudimo sumos matematiniai vidurkiai.

6.3. Pensijø draudimas. Pensijø tarifø skaièiavimas

Su draudimo bendrove ar pensijø fondu galima susitarti (sudaryti sutartá),kad draudëjas laipsniðkai ar ið karto sumokës bendrovei tam tikrà sumàpinigø, o bendrovë draudëjui vëliau kasmet mokës pastovø atlyginimà,vadinamà pensija. Kartais vadinama ir renta. Pensija (renta) gali bûti iki

gyvos galvos, kai ji sustabdoma draudëjui mirus, ir terminuota, kaimokama, kol draudëjas pasiekia nustatytà amþiø.

Draudimo ámokos (premijos) yra vienkartinës ir periodinës. Perio-dinës ámokos – metinës arba daþnesnës. Paprastumo sumetimais èianagrinëjamos tik metinës periodinës ámokos.

167

Vienkartiniai draudimo ánaðai sumokami draudimo termino pradþioje.Kitaip tariant, vienkartinio ánaðo atveju draudëjas, sudarydamas sutartá,iðkart ávykdo visus ásipareigojimus draudikui. Dël to sutartis toliau galiojanemokant jokiø ámokø.

Mokëdamas periodines (metines) ámokas, draudëjas laipsniðkaipadengia ásipareigojimus draudikui. Ánaðai mokami vienà kartà per metus.Daþnos ir mënesio premijos.

Be ðiø ámokø, galimos ir miðrios ámokos – nevienkartinës, bet irneperiodinës.

6.3.1. Renta (pensija) iki gyvos galvos. Vienkartiniø premijø skaièiavimas

Iðnagrinëkime prenumerando iðmokamà rentà. Tarkime, draudëjas dabarsumoka tam tikrà pinigø sumà, t. y. premijà A

x, kad ið draudiko kiekvienø

metø pradþioje iki gyvos galvos gautø po S litø. Reikia nustatyti tokiosrentos tarifiná mokestá arba tos rentos dabartinæ vertæ.

Ágyvendinant tokià sutartá, draudikas pirmøjø metø pradþioje turisumokëti draudëjui S Lt. Jei draudëjas iðgyvens pirmuosius metus, taiantrøjø metø pradþioje draudikas iðmokës dar S Lt ir t. t.

Taigi pirmoji S Lt ámoka turëtø bûti sumokëta tuoj po sutartiespasiraðymo, t. y. pradëjus galioti sutarèiai. Tikimybë, kad ði ámoka bussumokëta, lygi 1. Ðià ámokà paþymëkime S0.

Jei asmuo apsidraudë turëdamas x metø, tai tikimybë, kad jis iðgyvenspirmuosius po apsidraudimo metus (sulauks antrøjø metø pradþios), yra:

x

x

x

l

lp 1

1

+= .

Ið èia matoma, kad matematinë viltis, jog draudëjas antrøjø metøpradþioje gaus S Lt, yra

Lt.1

1 SpSl

lx

x

x⋅=⋅

+



Ðià sumà draudikas iðmokës po metø, o draudëjas savo premijà turimokëti dabar, todël gautàjà sumà dar reikia diskontuoti. Tokiu atvejugaunama:

rSpSSp

SSpS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

)(11

1

1 ;

èia: x – þmogaus amþius metais; S – kiekvienais metais draudëjuisumokama pinigø suma; S

m – ribinis kapitalas (kapitalo iðtekliai); r – dis-

konto norma (r = 1+i).Analogiðkai tikimybë, kad x metø turintis draudëjas sulauks treèiøjø

metø pradþios (iðgyvens dvejus metus po apsidraudimo), yra

x

x

xl

lp 2

2

+= .

Todël ið kliento ðiuo momentu paimtina suma yra

2

22

2

2)( rSpSSp

SSpS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅= .

Ðitaip samprotaujama tol, kol mirtingumo lentelëje baigiasi lx skiltis,

t. y. tol, kol pasiekiamas ribinis kliento amþius w. Sudëjus visas gautassumas, gaunama skaièiuojamoji premija A

x, t. y. suma, kurià draudëjas

turi sumokëti dabar, kad kasmet, kol gyvas, gautø po S Lt pensijos.

...)()( 2

22

2

11

1

0+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅+=

rSpSSp

SSp

rSpSSp

SSpSA

xmx

mx

xmx

mxx

xwxxwmxxw

mxxw

rSpSSp

SSp−

−−

−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅+

)(... .

Arba

∑∑−

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

xw

jj

xjmxj

mxjxw

jjx

rSpSSp

SSpSA

00)(

. (6.2)

Tas pat postnumerando atveju

169

∑∑−

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

xw

jj

xjmxj

mxjxw

j

jxrSpSSp

SSpSA

11)(

, (6.3)

èia: x – draudëjo amþius sutarties sudarymo (ámokos ámokëjimo) metu;A

x – kliento sumokama vienkartinë neto premija, draudþiantis pensijai

iki gyvos galvos; np

x – tikimybë x metø turinèiam asmeniui iðgyventi dar n

metø (iðgyventi nuo x iki x + n metø); w – skaièiavimais ávertinamas ribiniskliento amþius; S – kiekvienais metais draudëjui sumokama pinigø suma;S

m – kapitalo iðtekliai; r – diskonto norma (r = 1+i).Iðnagrinëkime konkretø atvejá. Tarkime, kad 60 metø vyras nori iki

gyvos galvos gauti metinæ prenumerando mokamà 2500 Lt rentà. Kokiodydþio vienkartinæ neto premijà jis turi sumokëti, jei kapitalo iðtekliaiyra 1010 Lt, o diskonto norma – 3,5%?

Pagal uþdavinio sàlygà x = 60; Sm = 1010; S = 2500; r = 1,035. Remiantis

pateiktais duomenimis, galima uþraðyti

∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

40

1 60

10

60

10

60

60035,1)250010(2500

105002

jj

jj

j

pp

pA .

Èia j kinta nuo 1 iki 40 ( )40;1=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomàdydá A60, reikia sudaryti dvi sekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaromaseka

jp60, t. y. seka tikimybiø ðeðiasdeðimtmeèiam vyrui iðgyventi vienerius,

dvejus ir t. t. metus iki pat ribinio amþiaus. Po to remiantis uþraðytàjaformulæ sudaroma sekà diskontuotø sumø S

j, kurios turi bûti áskaièiuotos

á kliento vienkartinæ ámokà A60

.Ðios sekos suraðomos á lentelæ. Ðios lentelës fragmentas:


X lx j npx Sx

60 66 724 0 1 2500

61 64 742 1 0,970296 2343,7

62 62 698 2 0,939662 2193

6.2 lentelë


Sudëjus sumø Sx skilties narius, gaunama 28 522 litai. Prieinama prie

iðvados, kad ðeðiasdeðimtmetis vyras, norintis iki gyvos galvos gauti metinæ2500 Lt rentà, dabar turi sumokëti 28 522 litus. Be to, èia neáskaitytaspriedas, reikalingas draudimo bendrovës veiklai uþtikrinti. Jei ðis priedasbûtø, tarkime, 12%, tai mokëtina suma – 34 227 litai.

Visi sekø skaièiavimai atliekami kompiuteriu. Skaièiavimamspalengvinti gali bûti kuriamos specialios kompiuterinës programos.Nesant jø, galima pasinaudoti ir standartinëmis priemonëmis.

6.3.2. Atidëtieji anuitetai

Iki ðiol nagrinëtø anuitetø kilme buvo vienkartinës premijos sumokëjimo(sutarties sudarymo) data, o patys anuitetai buvo pradedami mokëti iðkarto. Dabar panagrinëkime anuitetà, kuris pradedamas mokëti ne iðkarto, o praëjus n metø po draudimo sutarties sudarymo. Toká anuitetàvadinsime atidëtuoju.

6.3.3. Vienkartiniø premijø skaièiavimas

Tarkime, x metø turintis asmuo sumoka vienkartinæ premijà ir sudarosutartá, jog praëjus n metø po premijos sumokëjimo, jis pradës gauti irtoliau kasmet iki gyvos galvos gaus S Lt pensijà. Reikia apskaièiuoti tokiosprenumerando mokamos neto premijos dydá.

63 60 594 3 0,908129 2047,7

… … … … …

97 189 37 0,002833 1,983

98 85 38 0,001274 0,8617

99 36 39 0,00054 0,3526

100 9 40 0,000135 0,0852

Iš viso: 28 522

X lx j npx Sx

6.2 lentelës tæsinys

171

Èia samprotaukime taip: pirmaisiais metais po n metø sumos Sdabartinë vertë bus

( ) nxnmxn

xnmn

rSpSSp

SpSS

⋅⋅−+⋅

⋅⋅= ,

antraisiais metais –

( ) 1

11

1

1 +

++

+

+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

nxnmxn

xnmn

rSpSSp

SpSS ,

pagaliau, klientui sulaukus w metø (w – mirtingumo lentelëse numatytasribinis kliento amþius) S Lt dabartinë vertë bus

( ) xwxxwmxxw

xxwmxw

rSpSSp

SpSS

−

−−

−

−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅= .

Susumavus visø rentos nariø dabartines vertes gaunama n metø atidë-tos rentos vienkartinës premijos dydis

xnA :

∑∑−

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

xw

njj

xjmxj

xjmxw

nj

jxnrSpSSp

SpSSA

)(, (6.4)

èia: x – draudëjo amþius sutarties sudarymo (ámokos mokëjimo) metu;

nA

x – kliento sumokama n metø atidëtos pensijos iki gyvos galvos

vienkartinë neto premija; j p

x – tikimybë x metø turinèiam asmeniui

iðgyventi dar j ( )xwnj −= , metø (iðgyventi nuo x iki x + j metø); w – skai-èiavimais ávertinamas ribinis draudëjo amþius; S – kiekvienais metaisdraudëjui sumokama pinigø suma; S

m – kapitalo iðtekliai; r – diskonto

norma (r = 1+i).Iðnagrinëkime pavyzdá. Apskaièiuokime vienkartinës premijos dydá

keturiasdeðimtmeèiam asmeniui, norinèiam nuo ðeðiasdeðimties metø ikigyvos galvos gauti metinæ prenumerando mokamà 5000 Lt rentà, jeidraudimo bendrovës pridëtinës iðlaidos sudaro 20% neto premijos.Skaièiavimus atliksime laikydami, kad kapitalo iðtekliai yra 1010 Lt, odiskonto norma – 3,5%.



Pagal uþdavinio sàlygà x = 40; n = 20; Sm = 1010; S =5000; r = 1,035.

Remiantis pateiktais duomenimis galima uþraðyti

∑= ⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

60

20 40

10

40

10

40

4020

035,1)500010(5000

105000

jj

jj

j

pp

pA .

Èia j kinta nuo 20 iki 60 ( )60;20=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomàdydá 20A40, reikia sudaryti dvi sekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaromaseka

j p40, t. y. seka tikimybiø keturiasdeðimtmeèiam vyrui sulaukus

ðeðiasdeðimties metø iðgyventi dar vienerius, dvejus ir t. t. metus iki patribinio amþiaus. Po to pagal uþraðytàja formulæ, sudaroma sekadiskontuotø sumø S

j, kurios turi bûti áskaièiuotos á kliento vienkartinæ

ámokà 20A40.Tikimybiø ir diskontuotø sumø sekos suraðomas á 6.3 lentelæ. Ðios

lentelës fragmentas:

6.3 lentelë

X lx j npx Sx

60 66 724 20 0,720927 1811,57

61 64 742 21 0,699513 1698,32

62 62 698 22 0,677428 1589,08

63 60 594 23 0,654695 1483,82

… … … … …

97 189 57 0,002042 1,43695

98 85 58 0,000918 0,62439

99 36 59 0,000389 0,25551

100 9 60 9,72E–05 0,06172

Iš viso: 20 667,98

Bruto premija bus 20%, t. y. 1,2 karto didesnë:

20 667,98·1,2 = 24 801,58.

173

Vienkartinë premija keturiasdeðimties metø asmeniui, norinèiam nuoðeðiasdeðimties metø amþiaus iki gyvos galvos gauti metinæ 5000 Lt pensijà,yra 24 801,58 lito.

Ðiame ir pirmiau pateiktuose pavyzdþiuose kapitalo iðtekliai buvoimami pakankami dideli. Dël to rezultatai yra panaðûs á gautuosius ápras-tais aktuariniais skaièiavimais.

Atidëtà n metø postnumerando mokamà vienkartinæ neto premijàgalima nustatyti lygiai taip, kaip tai buvo daroma prenumerando atveju.Ji bus tokia:

∑∑−

+=

−

+=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

xw

njj

xjmxj

xjmxw

njjxn

rSpSSp

SpSSA

11 )(. (6.5)

Ðios formulës taikymas praktinëms situacijoms spræsti niekuo nesiski-ria nuo pirmiau iðnagrinëto atvejo.

6.3.4. Metiniø premijø skaièiavimas

Atidëtoji renta gali bûti ágyvendinama mokant ne tik vienkartines premijas,bet ir metines ámokas. Jos gali bûti mokamos per visà atidëtàjá laikotarpáarba tik per kurià nors jo dalá.

Gráþkime prie atidëtøjø anuitetø prenumerando atvejo (6.4 formulë).Þinoma, kad iki gyvos galvos mokamo, n metø atidëto anuiteto, vienkar-tinë premija

nA

x yra:

∑−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

xw

njj

xjmxj

xjmxn

rSpSSp

SpSA

)(.

Sakykime, kad sumà nA

x klientas pageidauja sumokëti per tuos pat n

atidëtøjø metø, kad po to iki gyvos galvos galëtø gauti S Lt pensijà.Diskontuojant visas metines ámokas apskaièiuojama tokios pensijosmetinë premija P.



Pirmoji ámoka P bus sumokëta pirmøjø metø pradþioje, todël dabartinëjos vertë ir liks tokia pati (P=P

0). Antroji ámoka bus sumokëta praëjuspirmiesiems metams (t. y. antrøjø metø pradþioje), todël dabartinë josvertë

rPpSPp

PpSP

xmx

xm

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

)(11

1

1.

Treèiàjà ámokà klientas sumokës treèiøjø metø pradþioje, todëldabartinë jos vertë

2

22

2

2)( rPpSPp

PpSP

xmx

xm

⋅⋅−+⋅

⋅⋅= .

Paskutinæ ámokà klientas sumokës n-tøjø metø pradþioje, todëldabartinë jos vertë

1

11

1

1)( −

−−

−

−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

nxnmxn

xnmn

rPpSPp

PpSP .

Vadinasi, per n metø sumokëtø premijø dabartiniø verèiø suma:

∑−

=

+ ⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

1

0)(

n

jj

xjmxj

xjmnx

rPpSPp

PpSP . (6.6)

Ji turi bûti lygi prenumerando mokamai atidëtajai rentai xnA , t. y.

xnnxAP =

+. Arba

∑∑−

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ xw

njj

xjmxj

xjmn

jj

xjmxj

xjm

rSpSSp

SpS

rPpSPp

PpS

)()(

1

0

. (6.7)

Kitaip tariant, tiek ámokos (premijos), tiek renta (pensija) sudaroatskirà periodiná pinigø srautà, o visi kiekvieno srauto nariai yra sumuo-jami ir sulyginami. Gautojoje lygtyje neþinomasis yra ámoka P. Jà rastipatogu panaudojus kompiuterines programines priemones.

Iðspræskime pavyzdá, kuriame apskaièiuokime pensijos, mokamos nuo60 metø iki gyvos galvos, dydá. Tarkime, kad pensijos mokëjimo pagrindas

175

yra 4467 Lt kasmetinës premijos, mokamos keturiasdeðimtmeèio vyro,kol jam sueis 60 metø. Atlikdami skaièiavimus remsimës kapitalo iðtekliais,lygiais 1010 Lt, ir 3,5% diskonto norma.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 40; n = 20; Sm = 1010; P = 4467 Lt;

r = 1,035. Remiantis pateiktais duomenimis galima uþraðyti

∑∑==

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅60

20 40

10

40

10

4019

0 40

10

40

40

10

035,1)10(

10

035,1)467410(4674

467410

jj

jj

j

jj

jj

j

SpSp

Sp

pp

p

Èia vienu atveju j kinta nuo 0 iki 19 ( )19;0=j , o kitu – nuo 20 iki 60( )60;20=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomà dydá S, reikia sudarytitris sekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaroma seka

j p40, kai j kinta nuo

0 iki 60, t. y. seka tikimybiø keturiasdeðimtmeèiam vyrui iðgyventivienerius, dvejus ir t. t. metus iki pat ribinio amþiaus (100 metø). Po to,pagal uþraðytàjà formulæ, apskaièiuojamos dar dvi sekos. Viena sekadiskontuotø premijø, apimanèiø laikotarpá nuo 40 iki 60 metø, seka. Kitaseka – diskontuotø iðmokø (pensijø), prasidedanèiø nuo 60 metø ir trunkanèiøiki skaièiavimais ávertinamo ribinio draudëjo amþiaus. Diskontuotø pensijøseka sudaroma tariant, kad metinë pensija yra 12 000 Lt (skaièiuojamojireikðmë randama pagal ciklinæ programà). Sudarykime tikimybiø irdiskontuotø sumø skaièiavimo lentelæ. Ðios lentelës fragmentas:

6.4 lentelë

x lx j npx Sx

Px

40 92 553 0 1 – 4467

41 91 847 1 0,992372 – 4283,02

42 91 087 2 0,98416 – 4103,942

… … … … …

57 72 282 17 0,78098 – 1943,881

58 70 495 18 0,761672 – 1831,713

59 68 642 19 0,741651 – 1723,252

60 66 724 20 0,720927 4347,76 –



Ið lentelës matoma, kad neto premija yra 49 603,17 Lt. Bruto premijabus 20%, t. y. 1,2 karto, didesnë:

49 603,17·1,2= 59 523,81.

Gautoji suma, apskaièiuota diskontuojant 12 000 Lt metines pensijas,tik keliolika centø skiriasi nuo diskontuotø premijø sumos, apskaièiuotosesant 4467 Lt kasmetinei ámokai (tikslus sutapimas bûtø gautas, jei premi-jos bûtø maþesnës apytikriai vienu centu, t. y. premija bûtø 4466,9899 Lt).Galima daryti iðvadà, kad pensijos, mokamos nuo 60 metø iki gyvos galvos,dydis yra 12 000 Lt.

Analogiðkai tos paèios prenumerando rentos metinës postnumerando

premijos P dydis bus randamas ið lygybës:

∑∑−

==⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ xw

njj

xjmxj

xjmn

jj

xjmxj

xjm

rSpSSp

SpS

rPpSPp

PpS

)()(1

. (6.8)

Terminuotas premijø mokëjimas. Draudëjo pageidavimu ámokos(premijos) gali bûti mokamos ne visà atidëtàjá rentos laikotarpá, o tik mmetø (m < n). Tada toje lygties pusëje, kurioje ávertintas diskontuotasprenumerando mokamos premijos dydis, n pakeitus á m, gaunama n metøatidëtos rentos, kai ámokos mokamos pirmuosius m metø, metinëspremijos (prenumerando) skaièiavimo formulë:

6.4 lentelës tæsinys

x lx j npx Sx

Px

61 64 742 21 0,699513 4075,96 –

62 62 698 22 0,677428 3813,79 –

… … … … …

98 85 58 0,000918 1,49854 –

99 36 59 0,000389 0,61321 –

100 9 60 9,72E–05 0,14812 –

Iš viso: 49 603,17 59 523,94

177

∑∑−

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ xw

njj

xjmxj

xjmm

jj

xjmxj

xjm

rSpSSp

SpS

rPpSPp

PpS

)()(

1

0

; (6.9)

èia: x – draudëjo amþius sutarties sudarymo (pirmosios ámokos sumo-këjimo) metu; n – terminas (metai), kuriam praëjus pradedama mokëtipensija; P – kliento m metø ið eilës mokama neto premija draudþiantispensijai iki gyvos galvos;

j p

x – tikimybë x metø turinèiam asmeniui iðgyventi

dar j ( )xwnj −= , metø (iðgyventi nuo x iki x + j metø); w – skaièiavimaisávertinamas ribinis kliento amþius; S – kiekvienais metais draudëjui sumo-kama pinigø suma (pensija); S

m – kapitalo iðtekliai; r – diskonto norma

(r = 1+i).

6.3.5. Terminuota pensija (renta)

Pensija iki gyvos galvos mokama iki pat kliento mirties, o terminuotapensija (renta) – tik nustatytà laikà, t. y. tol, kol draudëjas sulaukia tamtikro amþiaus (arba mirðta jo nesulaukæs). Pastarosios pensijos mokëjimopagrindas gali bûti vienkartinë premija arba metiniø premijø seka.

Iðnagrinëkime atvejá, kai x metø amþiaus klientui per t metø prenu-

merando mokama metinë terminuota pensija, kai ji padengiamavienkartine premija.

Tarkime, pirmøjø metø pradþioje draudimo bendrovë sumoka S Lt.Dabartinë tos sumos vertë taip pat S Lt. Antrøjø metø pradþioje sumokëtøS Lt dabartinë vertë yra

rSpSSp

SSpS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

)(11

1

1 .

Treèiøjø metø pradþioje sumokëtos pensijos dabartinë vertë yra

2

22

2

2)( rSpSSp

SSpS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

ir t. t. Pagaliau t-tøjø metø pradþioje sumokëtos sumos dabartinë vertëyra



1

11

1

1)( −

−−

−

−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

txtmxt

mxtt

rSpSSp

SSpS .

Susumavus visus narius, gaunamas vienkartinës neto premijos dydis:

∑∑−

=

−

=

+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

1

0

1

0)(

t

jj

xjmxj

mxjt

jjtx

rSpSSp

SSpSA . (6.10)

Analogiðkai per t metø postnumerando iðmokamos terminuotospensijos neto premijos skaièiavimo formulë yra tokia:

∑∑==

+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

t

jj

xjmxj

mxjt

jjtx

rSpSSp

SSpSA

11)(

. (6.11)

Iðspræskime pavyzdá, kuriame apskaièiuosime dydá metinës pensijos,postnumerando mokamos 50 metø vyrui, iki jam sueis 75-eri. Pensijosmokëjimo pagrindas – 50 000 Lt vienkartinë premija, sumokëta terminopradþioje. Draudimo bendrovës pridëtinës iðlaidos – 10%. Atlikdamiskaièiavimus remsimës kapitalo iðtekliais – 1010 Lt ir diskonto norma,kuri yra 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 50; t = 25; Sm = 1010; A

50+25 = 50 000 Lt;

r = 1,035; pridëtinës iðlaidos α = 10%. Remiantis pateiktais duomenimis,galima uþraðyti

∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

25

1 50

10

50

10

50

035,1)10(

1000050

jj

jj

j

SpSp

Sp.

Èia j kinta nuo 1 iki 25 ( )25;1=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomàdydá S, reikia sudaryti dvi sekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaromaseka

j p50, kai j kinta nuo 1 iki 25, t. y. seka tikimybiø penkiasdeðimtmeèiam

vyrui iðgyventi vienerius, dvejus ir t. t. metus iki 75 metø, taip pat sekadiskontuotø sumø, kurios turi bûti áskaièiuotos á kliento vienkartinæ ámokà.Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumø skaièiavimo lentelë. Ðios lentelësfragmentas:

179

Imama, kad metinë pensija yra 3 637,82 Lt, tada vienkartinë premijayra 45 454,5 · 1,1= 50 000 Lt. Ðitokio dydþio vienkartinë premija gaunama,kai 3 637,82 Lt metinë pensija mokama asmeniui nuo 50 metø iki 75 metø.

6.3.6. Terminuota atidëtoji pensija

Terminuota atidëtoji pensija yra tada, kai ji iðmokama po n metø perkitus t metø. Tokios prenumerando iðmokamos pensijos vienkartinë netopremija skaièiuojama taip:

∑∑−+

=

−+

=

+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

11

)(

tn

njj

xjmxj

mxjtn

njjtxn

rSpSSp

SSpSA . (6.12)

Iðspræskime toká pavyzdá. Penkiasdeðimties metø vyras sudaro sutartá:jis draudimo bendrovei sumoka 50 000 Lt, o ði kasmet nuo 60 iki 85 metøamþiaus prenumerando iðmoka jam rentà. Kokio dydþio turëtø bûti renta,jei draudimo bendrovës pridëtinës iðlaidos 10%? Skaièiavimus atliekanttariama, kad kapitalo iðtekliai yra 1010, o diskonto norma – 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 50; t = 15; n =10; Sm = 1010; r = 1,035;

10A50+15 = 50 000 Lt; pridëtinës iðlaidos α = 10%. Remiantis pateiktaisduomenimis, galima uþraðyti

6.5 lentelë

X lx j npx Sx

50 82 887 0 1 0

51 81 575 1 0,984171 3459,176

52 80 196 2 0,967534 3285,701

… … … … …

73 37 017 23 0,446596 736,4261

74 34 516 24 0,416422 663,4498

75 32 006 25 0,38614 594,3998

Iš viso: 45 454,616



∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

34

10 50

10

50

10

50

035,1)10(

1000050

jj

jj

j

SpSp

Sp.

Èia j kinta nuo 10 iki 34 ( )34;10=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomàdydá S, reikia sudaryti dvi sekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaromaseka

j p50, kai j kinta nuo 10 iki 34, t. y. seka tikimybiø penkiasdeðimtmeèiam

vyrui iðgyventi nuo 60 metø iki 84 metø imtinai. Remiantis gauta sekaapskaièiuojama seka diskontuotø sumø, kurios turi bûti áskaièiuotos ákliento vienkartinæ ámokà. Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumøskaièiavimo lentelë. Ðios lentelës fragmentas:

6.6 lentelë

Tarus, kad metinë pensija yra 7 160,20 Lt, randama, jog vienkartinëpremija 45 454,55⋅1,1= 50 000 Lt. Vadinasi, 50 000 Lt vienkartinæ premijàsumokëjæs 50 metø vyras gaus 7 160,20 Lt metinæ pensijà. Tokià pensijàapsidraudæs asmuo gaus ne ið karto, o tik sulaukæs 60 metø, ir tol, kol jisbus gyvas, bet ne ilgiau kaip iki 85 metø.

Metinës ámokos. Terminuota atidëtoji renta taip pat gali bûti ágyven-dinama mokant ne tik vienkartines premijas, bet ir metines ámokas.

X lx j npx Sx

50 82 887 0 1

51 81 575 1 0,98417

52 80 196 2 0,96753

... ... ... ...

60 66 724 10 0,805 4086,179

61 64 742 11 0,78109 3830,7259

62 62 698 12 0,75643 3584,3327

... ... ... ... ...

82 15 837 32 0,19107 455,00954

83 13 881 33 0,16747 385,32571

84 12 039 34 0,14525 322,89201

Iš viso: 45 454,55

181

Tarkime, kad metinës premijos P mokamos per visà atidëtàjá n metølaikotarpá. Sulyginus termininës atidëtosios rentos vienkartinæ netopremijà su anksèiau apskaièiuota metiniø premijø sumos iðraiðka (6.6),gaunama:

∑∑−+

=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ 11

0)()(

tn

njj

xjmxj

xjmn

jj

xjmxj

xjm

rSpSSp

SpS

rPpSPp

PpS. (6.13)

Ir ðiuo atveju, tiek premijos, tiek pensija sudaro atskirus periodiniuspinigø srautus, o visi kiekvieno srauto nariai yra sumuojami ir sulyginami.Gautojoje lygtyje neþinomasis yra ámoka P. Jos dydis turi bûti toks, kadsubalansuotø abi lygybës puses. Jei premija P yra þinoma, tada paprastaireikia ieðkoti neþinomos pensijos S reikðmës.

Iðnagrinëkime tokià situacijà: 50 metø vyras nori kasmet nuo 60 iki 85 metøamþiaus gauti 6000 Lt prenumerando iðmokamà pensijà. Kokio dydþioturi bûti metinës ámokos, mokamos nuo 50 iki 60 metø, jei draudimobendrovës pridëtinës iðlaidos 10%? Atliekant skaièiavimus tariama, kadkapitalo iðtekliai yra 1010 Lt ir diskonto norma 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 50; t = 25; n =10; S = 6000; Sm = 1010;

r = 1,035; pridëtinës iðlaidos α = 10%. Remiantis pateiktais duomenimis,galima uþraðyti

∑∑==

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅24

10 50

10

50

10

50

9

0 50

10

50

50

10

035,1)000610(0006

100006

035,1)10(

10

jj

jj

j

jj

jj

j

pp

p

PpPp

Pp .

Èia vienu atveju j kinta nuo 0 iki 9 ( )9;0=j , o kitu – nuo 10 iki 34( )34;10=j , todël, norint apskaièiuoti neþinomà dydá P, reikia sudaryti trissekas. Pirmiausia pagal 6.1 lentelæ sudaroma seka

j p50, kai j kinta nuo 0

iki 34, t. y. seka tikimybiø penkiasdeðimtmeèiam vyrui iðgyventi vienerius,dvejus ir t. t. metus iki 84 metø. Po to pagal uþraðytàjà formulæ,apskaièiuojamos dar dvi sekos. Viena seka – diskontuotø premijø,apimanèiø laikotarpá nuo 50 iki 59 metø, seka. Kita seka – diskontuotøiðmokø (pensijø), prasidedanèiø nuo 60 metø ir trunkanèiø iki 84 metø.Apskaièiuotos sekos susumuojamos. Diskontuotø premijø seka sudaroma



tariant, kad metinë pensija yra 6000 Lt (skaièiuojamoji reikðmë randamapagal ciklinæ programà).

Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumø skaièiavimo lentelë. Ðioslentelës fragmentas:

6.7 lentelë

Bruto premija bus 10%, t. y. 1,1 karto didesnë, todël:

38 089,34·1,1= 41 898,27.

Gautoji suma apskaièiuota diskontuojant 15 metø ið eilës 6000 Ltdydþio pensijas. Ði suma sutampa su diskontuota 10 metø ið eilës 5265,76 Ltpremijø suma. Galima daryti iðvadà, kad nuo 50 iki 60 metø mokant5265,76 Lt metines premijas bus galima gauti kasmetinæ 6000 Lt pensijà.Tokià pensijà apsidraudæs asmuo pradës gauti nuo 60 metø ir gaus tol,kol bus gyvas, bet ne ilgiau kaip iki 85 metø.

x lx j npx Sx

Px

50 82 887 0 1 5265,76

51 81 575 1 0,98417 5007,16

52 80 196 2 0,96753 4756,05

... ... ... ... ...

57 72 282 7 0,87205 3609,29

58 70 495 8 0,8505 3401,03

59 68 642 9 0,82814 3199,64

60 66 724 10 0,805 3424,0766

61 64 742 11 0,78109 3210,0157

62 62 698 12 0,75643 3003,5467

... ... ... ... ...

82 15 837 32 0,19107 381,28225

83 13 881 33 0,16747 322,88961

84 12 039 34 0,14525 270,57233

Iš viso: 38 089,34 41 898,27

183

6.4. Draudimas mirties atveju

Draudimas mirties atveju priskiriamas prie grynojo gyvybës rizikos drau-dimo. Jis nëra daþnas – sudaro tik nedidelæ visø gyvybës draudimo sutarèiødalá. Paþymëtina, kad ilgëjant þmogaus amþiui didëja ir tikimybë perartimiausius metus ávykti draudimo ávykiui. Dël to didëja ir draudimopremija. Ilgainiui premija tiek padidëja, kad draustis tampa netikslinga.Ði riba paprastai yra artima 85 metams (Èepinskis J. ir kt., 1999).

Ðio skyriaus pradþioje nagrinëtas gyvybës draudimas, kai draudëjasgauna draudimo atlyginimà tik iðgyvenæs iki (sulaukæs) sutartyje numatytoamþiaus. Tokio draudimo atveju, klientui mirus anksèiau, draudikas buvoatleidþiamas nuo bet kokiø ásipareigojimø vykdymo. Draudimas klientomirties atveju apima:

• besàlyginá draudimà (po draudëjo mirties draudimo atlyginimasiðmokamas bet kuriuo atveju);

• atidëtàjá draudimà (draudimo atlyginimas iðmokamas, kaidraudëjas mirðta praëjus tam tikram laikotarpiui po sutartiessudarymo);

• terminuotàjá draudimà (draudimo atlyginimas iðmokamas, kaidraudëjas mirðta per artimiausius n metø);

• terminuotà atidëtàjá draudimà (draudimo atlyginimas iðmokamas,kai draudëjas mirðta praëjus t metø po sutarties sudarymo per kitusn metø).

6.4.1. Besàlyginis draudimas iki gyvos galvos

Draudþiant mirties atveju apdraustojo mirtis yra ta sàlyga, kuriai esantturi bûti iðmokama draudimo suma. Dël to iðmokos dydis priklauso nuomirèiø skaièiaus per atitinkamà laikotarpá (metus).

Ið gyvenimo trukmës lenteliø galima rasti, kad praëjus x metø (nuolentelës sudarymo pradþios), per ateinanèius (x+1)-sius metus mirðta d

x

asmenø (dx = l

x – l

x+1), o dar praëjus n metø per ateinanèius ( )1+n -siusmetus mirðta d

x+n asmenø (d

x+n = l

x+n – l

x+n+1). Kita vertus, þinoma, kad



tikimybë asmeniui, turinèiam x metø, mirti per ateinanèius(x+1)-sius metus yra

x

x

xl

dq = , o tikimybë tam paèiam asmeniui, iðgyvenus

dar n metø, mirti per ateinanèius ( )1+n -sius jo gyvenimo metus yra

x

nx

xn l

dq +

= .

Panagrinëkime draudimà mirties atveju. Ðá uþdaviná galima spræsti

ávairiai. Vienas bûdas – ávertinti, sulaukusiø x metø ir mirusiø tarp x irx + 1 metø, skaièiø. Kitas – ávertinti tam tikro amþiaus asmenø tikimybæmirti.

Aptarkime pirmàjá bûdà. Tarkime, kad draudimo sutartis sudaro visix metø turintys gyventojai. Dalis jø mirs pirmaisiais metais, todël metøpabaigoje ið viso jiems bus sumokëta d

x·S litø suma. Taèiau premija turi

bûti sumokëta dabar, todël suma dx·S turi bûti diskontuota vienerius

metus. Tada pirmøjø metø visø premijø diskontuotoji suma S1 bus:

rSdSSd

SSdS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

)(1

.

Analogiðkai antraisiais metais mirs dar tam tikra dalis apsidraudusiøjø,todël jiems bus iðmokëta suma d

x+1·S. Ði suma diskontuota dvejus metus:

2

11

1

2)( rSdSSd

SSdS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

++

+ .

Toká skaièiavimà reikia tæsti iki mirtingumo lentelës pabaigos. Visasdiskontuotas iðmokø reikðmes susumavus ir padalijus ið x metø turinèiøgyventojø skaièiaus l

x, gaunamas dydis premijos, kurià dabar privalo

sumokëti kiekvienas apsidraudæs asmuo:

∑∑−

= −+−+

−+

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅=⋅=

xw

jj

jxmjx

mjx

x

xw

jj

xx

rSdSSd

SSd

lS

lB

1 11

1

1)(

11. (6.14)

Panaðius (nors ir neidentiðki) rezultatai gaunami ðá klausimà nagrinë-jant taip. Jei draudëjas apsidraudæs mirs pirmaisiais metais, o draudimo

185

suma S Lt bus iðmokëta tø metø pabaigoje, tai, ávertinus draudimo ávykiotikimybæ xq1

, draudimo iðmokos dabartinë vertë bus

rqSSqS

SqSS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

)(11

1

1.

Jei draudimo ávykis atsitiks antraisiais metais, ávertinus draudimoávykio tikimybæ xq2 , iðmokos dabartinë vertë bus

2

22

2

2)( rqSSqS

SqSS

xmx

mx

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

= .

Tokius samprotavimus tæsime tol, kol draudëjai pasieks ribiná amþiø,t. y. w metø (paskutinë draudimo iðmoka bus iðmokëta praëjus metamspo paskutinio draudëjo mirties, t. y. w+1 metais). Tada iðmokos dabartinëvertë bus:

xwxxwmxxw

mxxwxw

rqSSqS

SqSS

−

+−+−

+−

+−

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

)(11

1

1 .

Taigi besàlyginio draudimo iki gyvos galvos, kai draudþiamasi S Lt,premijos B

x dydis

∑∑−

=

+−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

xw

jj

xjmxj

mxjxw

j

jxrqSSqS

SqSSB

1

1

1)(

; (6.15)

èia: Bx – premija, mokama draudþiantis besàlyginiu draudimu kliento

mirties atvejui; Sj – j-tosios draudimo iðmokos dabartinë vertë

( )1,1 +−= xwj ; xj

q – tikimybë x metø turinèiam asmeniui, iðgyvenusdar j metø, mirti per ateinanèius ( )1+j -sius jo gyvenimo metus; x – drau-dëjo amþius sutarties sudarymo (ámokos mokëjimo) metu; w – skai-èiavimais ávertinamas ribinis kliento amþius; S – kiekvienais metais drau-dëjui sumokama pinigø suma; S

m – kapitalo iðtekliai; r – diskonto norma

(r = 1+i).



Toliau skaièiuojant draudimo anuitetus naudojamas pastarasis bûdas,t. y. skaièiuojant premijas kliento mirties atvejui nustatoma kiekvienømetø draudimo sumos S iðmokëjimo tikimybë xj

q .Pirmiau skaièiuotos neto premijos. Norint rasti bruto premijà, reikia

prie neto premijos Bx pridëti atitinkamà priedà.

6.4.2. Atidëtasis mirties draudimas

Draudimo ámonës nesuinteresuotos, kad silpnos sveikatos asmenys gyvybædraustøsi bendrais pagrindais. Siekdamos iðvengti padidëjusio mirtingumopirmaisiais metais apsidraudus, jos tam tikram laikui (po sutartiessudarymo) gali atidëti draudimo iðmokëjimà. Dël to sumavimo intervalopradþia perstumiama nustatytu dydþiu. Jei x metø amþiaus asmeniui drau-dimas atidedamas n metø, tai draudimo iðmokø dabartinës vertëspradedamos sumuoti nuo argumento ( )nx + .

Taigi vienkartinës premijos nB

x dydis n metø atidëtos rentos postnu-

merando atveju bus

∑∑+−

+=

+−

+=⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

1

1

1

1)(

xw

njj

xjmxj

mxjxw

nj

jxnrqSSqS

SqSSB . (6.16)

Iðnagrinëkime pavyzdá. Apskaièiuokime, kokio dydþio vienkartinæpremijà turës sumokëti 50 metø asmuo, drausdamasis gyvybæ 10 000 Lt,kai draudimo atlyginimas iðmokamas: a) pirmaisiais metais po draudëjomirties (be papildomø sàlygø); b) su sàlyga, kad jis mirs ne anksèiau kaippo penkeriø metø nuo sutarties pasiraðymo datos. Skaièiavimus atliekanttariama, kad kapitalo iðtekliai yra 1010 Lt, o diskonto norma – 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x=50; n =5; w=100; r=1,035; S=10 000 Lt;S

m = 1010 Lt. Remiantis pateiktais duomenimis, pirmuoju atveju turima:

∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

51

1 50

10

50

10

50

50035,1)0001010(00010

1000010

jj

jj

j

qq

qB ;

187

Antruoju atveju:

∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

51

6 50

10

50

10

50

505035,1)0001010(00010

1000010

jj

jj

j

qq

qB .

Èia j kinta nuo 1 iki 51 ( )51;1=j , todël, norint apskaièiuoti premijø B50

ir 5B50 dydþius, reikia sudaryti dvi sekas. Pirmiausia remiantis 6.1 lentelesudaroma seka 50

qj

, t. y. seka tikimybiø 50 metø asmeniui, iðgyvenusdar n metø, mirti per ateinanèius ( )1++ nx -sius jo gyvenimo metus. Pagalgautà sekà apskaièiuojama seka diskontuotø iðmokø matematiniøvidurkiø, kurie turi bûti áskaièiuoti á kliento vienkartinæ ámokà.

Sekos suraðomos á lentelæ ir apskaièiuojamos ieðkomos sumos. Ðioslentelës fragmentas (6.8 lentelë):

6.8 lentelë

Gauta, kad a atveju reikia mokëti 5107,59 Lt, o b atveju – 4321,91 Ltpremijas.

Taigi a atveju, kai draudëjas sumoka 5107,59 Lt neto premijà, jo pa-veldëtojai (naudos gavëjai) gaus 10 000 Lt iðmokà bet kuriuo metu mirusdraudëjui; b atvejis rodo, kad 10 000 Lt draudimo suma bus iðmokamatik tada, kai draudëjas mirs ne anksèiau kaip po penkeriø metø nuo

X lx

dx

j nqx

Sx 5Sx

50 82 887 1312 1 0,01583 152,9351

51 81 575 1379 2 0,01664 155,3092

… … … … … …

55 75 652 1651 6 0,01992 162,0386 162,0386

56 74 001 1719 7 0,02074 163,0073 163,0073

… … … … … … …

98 85 49 49 0,00059 1,095551 1,095551

99 36 27 50 0,00033 0,583257 0,583257

100 9 9 51 0,00011 0,187844 0,187844

Iš viso: 1 5107,59 4321,91



sutarties pasiraðymo. Ðiuo atveju neto premija yra ðiek tiek maþesnë –4321,91 Lt.

6.4.3. Atidëtojo draudimo metinës premijos

Vienkartinë atidëtojo draudimo mirties atvejui ámoka nB

x gali bûti pakeista

periodinëmis (metinëmis) ámokomis. Taip jau daryta skaièiuojant pensijà(rentà) iki gyvos galvos (6.8 formulë). Tokios postnumerando rentosmetinës prenumerando premijos bus susietos lygybe

∑∑−

+=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ xw

njj

xjmxj

mxjn

jj

xjmxj

xjm

rqSSqS

SqS

rPpSPp

PpS

1

1

0)()(

. (6.17)

Aptarkime pavyzdá. Keturiasdeðimtmetis asmuo draudþiasi gyvybæ10 000 Lt sumai su sàlyga, kad draudimo atlyginimas bus iðmokëtas tuoatveju, jei jis mirs ne anksèiau kaip po penkeriø metø nuo sutartiespasiraðymo datos. Apskaièiuokime, kokio dydþio metinës premijos turibûti mokamos penkerius metus ið eilës. Atliekant skaièiavimus tariama,kad kapitalo iðtekliai yra 1010 Lt ir diskonto norma 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x=40; n =5; w=100; r=1,035; S=10 000 Lt;S

m = 1010 Lt. Remiantis pateiktais duomenimis turima:

∑=

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅4

0 40

10

40

40

10

035110

10

jj

jj

j

,)Pp(Pp

Pp

= ∑= ⋅⋅−+⋅

⋅⋅61

6 40

10

40

10

40

0351000101000010

1000010

jj

jj

j

,)q(q

q

Spræsdami ðá uþdaviná, be tikimybiø keturiasdeðimtmeèiam vyrui pa-meèiui iðgyventi dar penkerius metus, apskaièiuokime tikimybes jamiðgyvenus dar j metø, mirti per ateinanèius ( )1+j -sius gyvenimo metus.Be ðitø sekø, apskaièiuokime dar dvi. Viena seka – tai diskontuotø premijø,apimanèiø laikotarpá nuo 40 iki 44 metø, seka. Kita seka – diskontuotø

189

iðmokø, prasidedanèiø nuo 45 metø ir trunkanèiø iki ribinio amþiaus.Kiekvienà apskaièiuotà sekà susumuojame. Diskontuotø premijø sekasudaroma laikant, kad metinë ámoka yra 804,42 Lt (skaièiuojamoji reikðmërandama pagal ciklinæ programà).

Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumø skaièiavimo lentelë. Ðioslentelës fragmentas (6.9 lentelë):

6.9 lentelë

Gavome dvi vienodas sumas – 3699,55 Lt. Kadangi diskontuotømetiniø premijø suma lygi draudimo iðmokø sumai, daroma iðvada, kadieðkomas premijos dydis yra 804,42 Lt.

6.4.4. Terminuotas mirties draudimas. Vienkartinës ir metinës premijos

Terminuotas mirties draudimas numato draudimo atlyginimo iðmokëjimàklientui mirus per artimiausià nustatytà laikotarpá, t. y. per artimiausiusk metø. Terminuoto draudimo mirties atvejui vienkartinës premija

xkB

lygi visø galimø diskontuotø iðmokø sumai, tenkanèiai nustatytamlaikotarpiui:

x lx

dx

n

npx n

qx

Sx P

x

40 92 553 706 1 1 804,423

41 91 847 760 2 0,99237 771,292

42 91 087 815 3 0,98416 739,043

43 90 272 872 4 0,97535 707,662

44 89 400 930 5 0,96593 677,127

45 88 470 991 6 0,01071 87,10459

46 87 479 1052 7 0,01137 89,33935

… … …. … … …

98 85 49 59 0,00053 0,695545

99 36 27 60 0,00029 0,370299

100 9 9 61 0,000097 0,119259

Iš viso: 3699,55 3699,55



∑∑==

⋅⋅−+⋅

⋅⋅==

k

jj

xjmxj

mxjk

j

jxkrqSSqS

SqSSB

11)(

. (6.18)

Vienkartinës draudimo mirties atvejui ámokos gali bûti pakeistosperiodinëmis (metinëmis) remiantis (6.6) lygybe. Lygtyje (6.18) kairiàjàpusæ pakeitus formulës (6.6) deðiniàja puse, gaunama lygtis, pagal kuriàapskaièiuojamos terminuoto draudimo mirties atvejui metinës premijos P:

∑∑=

−

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅ k

jj

xjmxj

mxjk

jj

xjmxj

xjm

rqSSqS

SqS

rPpSPp

PpS

1

1

0)()(

. (6.19)

Iðnagrinëkime pavyzdá. Keturiasdeðimtmetis asmuo sudaro sudraudimo bendrove sutartá, kad jo paveldëtojai gaus 10 000 Lt draudimosumà, jei jis mirs per ateinanèius penkerius metus. Reikia apskaièiuoti:a) vienkartinës neto premijos dydá; b) metinës neto premijos dydá, kai jimokama prenumerando pirmuosius penkerius metus. Atliekantskaièiavimus tariama, kad kapitalo iðtekliai 1010 Lt ir diskonto norma 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 40; k = 5; w = 100; r = 1,035; S = 10 000 Lt;S

m = 1010 Lt. Remiantis pateiktais duomenimis turima:

∑=

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅4

0 40

10

40

40

10

035110

10

jj

jj

j

,)Pp(Pp

Pp

∑= ⋅⋅−+⋅

⋅⋅

=

5

1 40

10

40

10

40

0351000101000010

1000010

jj

jj

j

qq

q

,)(.

Sprandþiant ðá uþdaviná, be tikimybiø keturiasdeðimtmeèiam vyruipameèiui iðgyventi dar penkerius metus, reikia apskaièiuoti tikimybes jamiðgyvenus dar j metø mirti per ateinanèius ( )1+j -sius gyvenimo metus,iki jam sueis 45 metai. Be ðitø sekø, reikia apskaièiuoti dar dvi. Taidiskontuotø draudimo sumø S

x (lygties (6.19) deðinioji pusë) ir diskon-

tuotø draudimo premijø Px (lygties (6.19) kairioji pusë).

191

Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumø skaièiavimo lentelë:

Susumavus diskontuotas draudimo ámokas, gaunamas ieðkomosvienkartinës neto premijos dydis. Taigi draudëjas, sumokëjæs 396,49 Ltvienkartinæ neto premijà, uþsitikrina, kad, jam mirus per ateinanèiuspenkerius metus, jo paveldëtojai (naudos gavëjas) gaus 10 000 Ltdraudimo sumà.

Diskontuotø premijø seka sudaroma tariant, kad metinë ámoka yra86,21 Lt (skaièiuojamoji reikðmë randama pagal ciklinæ programà).

Ði suma ir yra ieðkoma metinë premija. Draudëjas ðià 86,21 Lt sumà turi mokëti kasmet, iki sueis penkeri

metai. Jei per tuos penkerius metus draudëjas mirtø, jo paveldëtojamsbûtø iðmokëta 10 000 Lt, o jei jis tuos metus iðgyventø, tai pats (ar naudosgavëjas) negautø nieko.

6.5. Miðrusis gyvybës draudimas

Miðrusis gyvybës draudimas yra daþniausiai pasirenkama gyvybës drau-dimo rûðis.

Tipinis miðriojo gyvybës draudimo atvejis, kai draudëjas moka vien-kartinæ premijà ar periodines premijas, o draudimo ámonë moka draudimosumà tiek mirties atveju, tiek iðgyvenus. Reikia þinoti premijø dydásulaukus tam tikro amþiaus ir mirties atveju ir ðias premijas sudëti. Minëta,

6.10 lentelë

x lx dx j npx nqx Sx Px

39 93 208 655 0

40 92 553 706 1 1 0,007628 73,70 86,21

41 91 847 760 2 0,9924 0,008212 76,66 82,66

42 91 087 815 3 0,9842 0,008806 79,42 79,20

43 90 272 872 4 0,9754 0,009422 82,10 75,84

44 89 400 930 5 0,9659 0,01005 84,60 72,57

Iš viso: 396,49 396,49



kad draudikas iðmoka draudimo sumà, jeigu x metø turintis draudëjasiðgyvena dar k metø, t. y. sulaukia x + k metø, arba mirðta neiðgyvenæsnumatytø k metø, mirðta nesulaukæs x + k metø.

Pirmiausia apskaièiuojamas vienkartinës premijos dydis. Þinoma, kadvienkartinë premija sulaukus (iðgyvenus) tam tikro amþiaus, kai drau-dþiamasi S Lt suma, apskaièiuojama pagal (6.1) formulæ.

Terminuoto mirties draudimo vienkartinë premija apskaièiuojamaremiantis (6.18) formule.

Sudëjus ðias abi premijas gaunama formulë, pagal kurià galimanustatyti vienkartinës premijos dydá x metø turinèiam asmeniui, drau-dþiantis miðriuoju draudimu, t. y. draudimu, pagal kurá draudëjas gaunadraudimo iðmokà tiek sulaukæs nustatyto amþiaus, tiek jam mirus, iki ðisamþius sukaks.

( ) ∑=

+ ⋅⋅−+⋅

⋅⋅+

⋅⋅−+⋅⋅⋅

=k

jj

xjmxj

mxj

kxkmxk

mxkkxk

rqSSqS

SqS

rSpSSp

SSpA

1)(

; (6.20)

èia: x – draudëjo amþius sutarties sudarymo (ámokos sumokëjimo) metu;

kA

x+k – x metø turinèio asmens miðriojo draudimo ámoka (kai draudimo

suma iðmokama tiek sulaukus nustatyto amþiaus (x + k) metø, tiek jammirus, iki ðis amþius sukaks);

jp

x – tikimybë x metø turinèiam asmeniui

iðgyventi dar j ( )xwnj −= , metø (iðgyventi nuo x iki x + j metø); xj

q –tikimybë x metø turinèiam asmeniui, iðgyvenus dar j metø, mirti perateinanèius ( )1+j -sius jo gyvenimo metus; w – skaièiavimais ávertinamasribinis kliento amþius; S – draudëjui sumokama pinigø suma; S

m – kapitalo

iðtekliai; r – diskonto norma (r = 1+i); k – iðgyvenimo terminas (metai),(terminas, kuriam praëjus (iðgyvenus) iðmokama draudimo suma).

Iðnagrinëkime pavyzdá. Reikia apskaièiuoti, kokio dydþio vienkartinæneto premijà turi sumokëti 40 metø asmuo, drausdamas gyvybæ miðriaipenkeriems metams 10 000 Lt suma. Atliekant skaièiavimus tariama, kadkapitalo iðtekliai 1010 Lt ir diskonto norma 3,5%.

193

Pagal uþdavinio sàlygà x = 40; k = 5; 5p

40=0,9559; S = 10 000, todël

( )

∑=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅+

+⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

5

1 40

10

40

10

40

510

10

455

035,1)0001010(00010

1000010

035,1000109559,010000109559,0

10000109559,0

jj

jj

j

qq

q

A

.

Sprendþiant ðá uþdaviná, be tikimybës keturiasdeðimtmeèiam vyruiiðgyventi dar penkerius metus (5p40=0,9559), apskaièiuojama tikimybëjam iðgyvenus dar j metø ( )5,1=j mirti per ateinanèius (j+1)-sius gyvenimometus. Be ðitø, reikia apskaièiuoti dar dviejø tipø duomenis. Vieni jø –tai seka diskontuotø iðmokø matematiniø vidurkiø, apimanèiø laikotarpánuo 40 iki 44 metø. Kita seka – tai penkerius metus diskontuotas sutartyjenumatytos draudimo iðmokos (10 000 Lt) matematinis vidurkis. Abiejøtipø duomenys susumuojami.

Sudaroma tikimybiø ir diskontuotø sumø lentelë:

6.11 lentelë

Ið èia randama, kad vienkartinë neto premija yra 396,49 + 8048,29 =8 444,78 Lt.

Taigi 40 metø asmuo, drausdamasis miðriai penkeriems metams10 000 Lt, turi sumokëti 8444,78 Lt vienkartinæ neto premijà. Jei

x lx dx n npx nqx Sx Px

40 92 553 706 1 0,00763 73,701

41 91 847 760 2 0,00821 76,655

42 91 087 815 3 0,00881 79,423

43 90 272 872 4 0,00942 82,104

44 89 400 930 5 0,9559 0,01005 84,604 8048,294

Iš viso: 396,49 8048,294


.


apdraustasis asmuo mirs nesibaigus numatytam penkeriø metølaikotarpiui, draudimo bendrovë iðmokës 10 000 Lt, bet jei jis mirs vëliau,– draudimo iðmoka nebus mokama. Kita vertus, 10 000 Lt draudimoiðmoka bus iðmokëta ir tuo atveju, jei apdraustasis asmuo iðgyvens tuospaèius penkerius metus.

6.5.1. Miðriojo draudimo metinës premijos

Gyvybës miðriojo draudimo metiniø premijø, mokamø m pirmøjø metø,dydis P randamas þinomu bûdu: formulëje (6.20) kairiàjà pusæ pakeièiantformulës (6.6), skirtos apskaièiuoti metines premijas, deðiniàja puse.Gaunama lygtis, pagal kurià apskaièiuojamos m pirmøjø metø mokamosmiðriojo draudimo metinës premijos P:

( ) ∑

∑

=

−

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

=⋅⋅−+⋅

⋅⋅

k

jj

xjmxj

mxj

kxkmxk

mxk

m

jj

xjmxj

xjm

rqSSqS

SqS

rSpSSp

SSp

rPpSPp

PpS

1

1

0

)(

)(

(6.21)

Reikia apskaièiuoti metiniø neto premijø, iðmokamø per ketveriusmetus, dydá 40 metø asmeniui draudþiantis miðriuoju gyvybës draudimupenkeriems metams 10 000 Lt. Atliekant skaièiavimus kapitalo iðtekliailygûs 1010 Lt ir diskonto norma yra 3,5%.

Pagal uþdavinio sàlygà x = 40; k = 5; m = 4; S = 10 000 Lt, Sm=1010 Lt,

i=0, 035. Ið lenteliø randama 5p40=0,9559.

Sàlygos duomenys áraðomi á (6.21) lygtá.

( ) ∑

∑

=

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

+

⋅⋅−+⋅

⋅⋅=

=

⋅⋅−+⋅

⋅⋅

5

1 40

310

40

3

10

40

3

53103

103

3

0 40

10

40

40

10

035,1)1010(10

1010

035,11096,0101096,0

1096,010

035,1)10(

10

jj

jj

j

jj

jj

j

qq

q

PpPp

Pp

.

.

195

Ið gautosios lygties apskaièiuojama neþinoma metinë ámoka P.Diskontuotø premijø seka sudaroma tariant, kad metinë ámoka yra2247,59 Lt (skaièiuojamoji reikðmë randama pagal ciklinæ programà). Ðisuma ir yra ieðkoma metinë premija. Skaièiavimo rezultatai suraðomi álentelæ:

6.12 lentelë

Apibendrinus prieinama prie iðvados, kad metinë neto premija yra2247,59 Lt.

Ði suma turi bûti mokama ketverius metus. Praëjus nustatytampenkeriø metø terminui, draudimo iðmokà gaus arba pats draudëjas (jeiiðgyvens iki to laiko), arba jo paveldëtojai ar naudos gavëjai (jei draudëjasmirs iki to laiko).

Visi skaièiavimai atlikti remiantis gyvenimo trukmës funkcija (6.1 len-telë). Skaièiuojant logistinius draudimo anuitetus visais atvejais buvolaikoma, kad kapitalo iðtekliai yra praktiðkai neriboti. Tuo buvo siekiamapalyginti gautus rezultatus su áprastais draudimo anuitetais. Atliktiskaièiavimai rodo pakankamai gerà rezultatø sutapimà.

6.5.2. Logistiniø draudimo anuitetø specifika

Anksèiau iðnagrinëtø logistiniø draudimo anuitetø ir jø pagalba iðspræstøpavyzdþiø rezultatai tokie patys, kaip ir pagal áprastus draudimo anuitetus.Tai buvo todël, kad visuose pavyzdþiuose kapitalo iðtekliai buvo praktiðkai

x lx d

x k

npx

nqx S

x P

x P

40 92 553 706 0 1 2247,59

41 91 847 760 1 0,9924 0,00763 73,701 2155,02

42 91 087 815 2 0,9842 0,00821 76,655 2064,92

43 90 272 872 3 0,9754 0,00881 79,423 1977,24

44 89 400 930 4 0,9659 0,00942 82,104

45 88 470 991 5 0,9559 0,01005 84,604 8048

Iš viso: 396,49 8048 8444,78



neriboti (begaliniai). Tuo buvo siekiama palyginti skaièiavimo rezultatus,gautus pagal naujà (logistinæ) skaièiavimo metodikà. Palyginus aiðkëja,kad rezultatai ið esmës sutampa.

Gráþkime prie skyriaus pradþioje nagrinëto pavyzdþio, kuriameskaièiuota vienkartinës premijos dydis 40 metø asmeniui, norinèiam nuo60 metø iki gyvos galvos gauti metinæ 5000 Lt rentà. Skaièiuojant buvolaikoma, kad kapitalo iðtekliai yra 10 000 000 000 (1010) Lt. Pasirinkus,kad apatinë iðtekliø riba yra 2000 Lt, reikia sudaryti premijos dydþio

(tûkstanèiais litø) priklausomybæ nuo iðtekliø normos. Iðtekliø normos ρ

iðraiðka ðiuo atveju yra m

K

00021−=ρ , èia K

m – kapitalo maksimalûs

iðtekliai.

Remiantis minëtu pavyzdþiu, reikia iðtirti, kaip keièiasi vienkartinëámoka, kintant kapitalo iðtekliams (iðtekliø normai). Rentos (pensijos)vienkartinës premijos dydþio priklausomybë nuo iðtekliø normospateikiama 6.1 paveiksle. Matoma akivaizdi premijø dydþio priklausomybënuo iðtekliø normos reikðmës: maþëjant iðtekliams premija didëja.

Rentos (pensijos) vienkartinës premijos dydis esmingai priklauso nuoskaièiavimams naudojamos diskonto normos reikðmës. Áprastuosedraudimo skaièiavimuose diskonto norma yra vos keli (paprastai 2–4%)procentai. Èia prisieina ávertinti tai, kad, didëjant palûkanø normai, drau-dëjo mokama premija maþëja, ir atvirkðèiai, maþëjant ðiai normai – premijadidëja.

Parenkant diskonto normà, kai yra naudojami logistiniai draudimoanuitetai, bûtina ávertinti iðtekliø normos ρ dydá. Jei paaiðkëja, kadnumatomi iðtekliai yra riboti, o premija lieka tokia pati, bûtina padidintipalûkanø normà.

Rentos ekvivalenèiosios palûkanø normos, uþtikrinanèios vienodàpremijos dydá, priklausomybë nuo iðtekliø normos pateikta 6.2 pav. Beto, pateiktos trys skirtingos baziniø palûkanø normø reikðmës – 2; 3,5 ir5 procentai. Visø jø kitimo pobûdis yra panaðus: maþëjant iðtekliø normai,ekvivalenèioji diskonto norma didëja. Priminsime, kad èia visais atvejais

197

20

60

100

140

180

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

6.1 pav. Rentos vienkartinës premijos dydþio priklausomybënuo iðtekliø normos

Iðtekliø norma ρ

Pre

mij

os

dyd

is (

tûk

stan

èiai

as L

t)

premijos dydis yra pastovus ir lygus premijos dydþiui su bazine palûkanønorma.

Èia buvo atlikta iðtekliø normos átakos premijos dydþiui ir diskontonormai analizë remiantis tik vienu pavyzdþiu. Analogiðkà nagrinëjimà

0

2

4

6

8

10

12

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

5 %

3,5%

2 %

6.2 pav. Rentos ekvivalenèiosios palûkanø normos priklausomybënuo iðtekliø normos, esant skirtingoms bazinës palûkanø normos

reikðmëms

Iðtekliø norma ρ

Dis

ko

nto

no

rma

%

3,5%

2%

5%



bûtø galima pratæsti ir kitais draudimo atvejais. Dauguma rezultatø turëtøpanaðø pobûdá.

Apibendrinant ðeðtajame skyriuje iðdëstytà medþiagà galima darytiiðvadà, kad logistiniai draudimo anuitetai gali bûti praktiðkai taikomi. Jieturëtø bûti naudojami tais atvejais, kai reikia atsiþvelgti á kapitalo iðtekliøribotumà, o tai reiðkia, kad logistiniai draudimo anuitetai esmingai iðpleèiaáprastø aktuariniø skaièiavimø sritá.

199

7. DETERMINUOTOJI INVESTAVIMO RIZIKA

7.1. Finansiniø piramidþiø modeliai

„Kapitalas bijo pelno stokos ar per maþo pelno, kaip gamta bijo tuðtumos.Bet esant pakankamam pelnui kapitalas darosi dràsesnis. Garantuokite10 procentø, ir kapitalas sutinka imtis bet kurio darbo; esant 20 procentø –jis pagyvëja; esant 50 procentø – tiesiog pasirengæs verstis per galvà; esant100 procentø – jis trypia visus þmogiðkus ástatymus; esant 300 procentø –nëra tokio nusikaltimo, kuriam jis nesiryþtø, kad ir þinodamas, kad gresiakartuvës“ Diuningas (cituojamas K. Markso veikale „Kapitalas“).

Finansinës schemos, naudojanèios pinigø srautus pasipelnyti ar tiesiogsukèiauti, yra vadinamos finansinëmis piramidëmis (FP). Atsiþvelgiant ásrautø pobûdá ir sumanytø tikslø ágyvendinimo strategijà, FP darvadinamos sniego kamuolio, grandininiø laiðkø ar þaidimø, daugiapakopësarba tinklinës prekybos ir panaðiomis sistemomis. Pastaruoju metu josintensyviai skverbiasi ir á informaciniø technologijø (IT) sritá. Tokiøsistemø pinigø srautø modeliavimas, jø veiklos analizë padeda atpaþintiFP ir nuo jø apsisaugoti.

Yra þinoma ávairiø finansiniø piramidþiø veiklos modeliø. Klasikinëfinansinë piramidë pagrásta tuo, kad þemesnës pakopos „investuotojai“ –FP dalyviai savo pinigus „perduoda“ aukðtesnës pakopos dalyviams.Pastarøjø yra gerokai maþiau ir dël to jie gauna dideles sumas. Þemesnëspakopos dalyviai tikisi ilgainiui tapti aukðtesnës pakopos dalyviais ir geraiuþdirbti. Be to, jie á FP turi átraukti naujus dalyvius ir taip uþtikrinti pinigøtekëjimà á piramidës virðø. Kadangi norinèiø dalyvauti piramidës veikloje


skaièius yra ribotas, naujø nariø átraukimas anksèiau ar vëliau baigiasi.Nustojus tekëti pinigø srautui, piramidë þlunga, todël þemiausiøjø pakopø„investuotojai“ praranda savo pinigus. Dalyvaujant FP daugumai josdalyviø beveik nëra vilties laimëti, nes ji sudaryta pagal principà: didelispraloðusiøjø bûrys iðmoka nedidelio skaièiaus aukðtesnio rango dalyviøsolidþius laimikius (Robert Tod, 2000). Bûtina pabrëþti, kad FP neturinieko bendra su legaliomis nuolatinëmis loterijomis.

Suprantama, kad FP veiklos organizavimas yra ne kas kita kaip atvirasar kiek paslëptas ir dël to ástatymais nepakankamai apibrëþtas sukèiavimobûdas. FP yra gana ávairios, todël kartais atpaþinti jas nëra paprasta, juolabiau kad legaliai ir pelningai veikianèios kompanijos ilgainiui dëlvienokiø ar kitokiø prieþasèiø (kartais net objektyviø) gali virsti FP.

Kai kurie grieþti FP kritikai mano, kad pirmàjà finansinæ piramidæ pastatëvalstybë. Èia turima galvoje ðkotø ekonomisto Dþono Lou XVIII a. pradþiojesukurta ir Prancûzijoje ádiegta centrinio banko, turinèio teisæ leisti akcijasir popierinius pinigus, sistema. Ði sistema dël ðalies politinës virðûnëlësintrigø ir iðlaidavimo 1720 m. virto didþiulë finansine afera. Ir vis dëlto,nepaisant tragiðkos Prancûzijos patirties, po keliø deðimtmeèiø daugumaEuropos valstybiø perëjo nuo iþdo prie centrinio banko sistemos ir auksi-nes, sidabrines ar kitokias monetas pakeitë popieriniais pinigais. TaèiauLou sistema liko sukompromituota iki pat mûsø laikø taip, kad ir dabarne vienas popieriniø pinigø savininkas stengiasi juos kuo greièiau pakeistipatikimesniais aktyvais.

FP yra didelë ávairovë. Jos prisidengia bankø, draudimo, komercineir kitokia veikla, organizuoja pakopinæ laiðkø sistemà, tinklinæ prekybàdaþnai neegzistuojanèiomis ar neturinèiomis paklausos prekëmis, imituojaelektroniná verslà ir t. t. Ypaè palankios sàlygos plisti FP susiklostëiðtobulëjus informacinëms ir kitoms paþangioms technologijoms, kaitiesioginius ar paprastojo paðto ryðius su klientais pakeitë elektroninëskomunikacijos priemonës: mobilusis ryðys, internetas.

Plaèiau apsistosime tik ties investiciniø bendroviø FP. Be to,nagrinësime tokias investicines bendroves, kurios dël iðtekliø ribotumogali virsti FP arba atvirkðèiai.

2017. Determinuotoji investavimo rizika

Mûsø nagrinëjamos investiciniø bendroviø tipo FP su áprastuinvestavimu daþniausiai neturi nieko bendro. Tokios bendrovës,prisidengdamos investavimu, organizuoja tik pinigø surinkimà, þadëdamosnepaprastai dideles palûkanas. Ið pradþiø tas palûkanas bendrovë moka,bet daþniausiai ne ið investicijø uþdirbto pelno, o ið naujø „investuotojø“ánaðø. Taèiau ateina laikas, kai procentams mokëti nebeuþtenka naujøatneðtø pinigø ir bendrovë þlunga: piramidë sugriûva.

Iðnagrinëkime FP pinigø srautus (Buchvalov ir kt., 2001). Imkimepaprasèiausià atvejá, kai FP organizatoriai surenka pinigus, þadëdami,pavyzdþiui, 20% palûkanø per mënesá (tai maþdaug 792% metiniøpalûkanø!). Tarkime, kad egzistuoja reikalavimas, jog ánaðo neleidþiamaatsiimti bent pirmuosius penkis mënesius (per ðá laikà pradinë suma bûtøiðmokëta palûkanomis). Visø pirma tarkime, kad FP klientai kiekvienàmënesá ámoka vienodà pinigø sumà. Nustatykime, per kiek mënesiø bussurinkta didþiausia suma pinigø ir po kiek laiko surenkamø pinigønebeuþteks procentams mokëti. Imkime, kad S

n – pinigø suma, kurià

sukaups organizatoriai po n mënesiø. Sudarykime tokios veiklos teorinámodelá. Uþraðykime S

n reikðmes po vieno, dviejø, trijø ir t. t. mënesiø,

t. y. tol, kol surenkamø pinigø bent teoriðkai uþteks vien procentams mokëti:

aS =1

aaaS 8,18,02

=+=

aaaaS 4,26,08,03

=++=

aaaaaS 8,24,06,08,04

=+++=

aaaaaaS 32,04,06,08,05

=++++=

aaaaaaS 302,04,06,08,06

=+++++=

aaaaaaaS 8,22,002,04,06,08,07

=−+++++=

aaaaaaaaS 4,24,02,002,04,06,08,08

=−−+++++=

aaaaaaaaaS 8,16,04,02,002,04,06,08,09

=−−−+++++=

aaaaaaaaaaS 0,18,06,04,02,002,04,06,08,010

=−−−−+++++=.

.S

11 = a + 0,8a + 0,6a + 0,4a + 0,2a + 0 – 0,2a – 0,4a – 0,6a – 0,8a – a = 0.


Skaièiavimø rezultatai rodo, kad jei bus mokama 20% palûkanø permënesá, pradiniai ánaðai nebus investuojami, bet ir nebus atsiimami, o irnaujø nariø kas mënesá ateis apytikriai tas pat skaièius, tai maksimalisuma bus sukaupta po penkiø mënesiø ir tokia ji iðliks dar vienà mënesá.Vëliau sukauptoji suma ima maþëti ir 11-tà mënesá (jei FP iki to iðgyvens)visi pinigai bus iðdalyti palûkanoms padengti.

7.2. Sukauptøjø pinigø vertës priklausomybë nuo laikoir iðmokamø procentø normos. Pinigø srauto nariaipastovaus dydþio

Dabar tarkime, kad kiekvienà mënesá indëlininkams yra iðmokama po β % (skaièiuojant ðimtosiomis dalimis) nuo pradinës indëlio sumos. Taiper n mënesiø sukaupta suma:

( ) ( ) ( )( ) anaaaSn

⋅−−++⋅−+⋅−+= βββ 11...211 .

Deðinëje lygybës pusëje esantys dëmenys yra aritmetinës progresijosnariai. Pirmasis progresijos narys yra aa =

1, skirtumas ad ⋅−= β , o

n-tasis narys ( )ββ naan

−+= 1 . Suradæ progresijos pirmøjø n nariøsumà1, gausime S

n reikðmæ

( )( )nna

Sn

−+= 122

β ; (7.1)

èia: Sn – per n periodø (mënesiø) organizatoriø sukaupta pinigø suma,

a – kiekvieno periodo (mënesio) pradþioje ámokamos pinigø sumos,−β palûkanø procentas (iðreikðtas deðimtaine trupmena), skaièiuojamas

nuo pradinës sumos.Remiantis formule (7.1) sudaroma sukaupto kapitalo priklausomybës

nuo kaupimo trukmës (mënesiais), esant skirtingoms iðmokamø klientamsminëtø procentø β normoms (7.1 pav.).

1 Aritmetinës progresijos pirmøjø n nariø suma yra naa

S n

n

2

1+

= .

203

Akivaizdu, kad, didëjant iðmokamø procentø normai, kaupimoperiodo trukmë maþëja.

Teoriðkai FP galëtø egzistuoti tol, kol ji turi sukaupusi pinigø, t. y. kol

Sn > 0. Todël iðsprendæ nelygybæ ( )( ) 012

2>−+= n

naS

nβ , kai n > 0,

randame kiek mënesiø galëtø veikti FP

12+≤

βn .

Gavome, jei β = 0,2, kaip ëmëme ankstesniame pavyzdyje, tai 11≤n .Tai patvirtina mûsø ankstesnius skaièiavimus ir grafiko rezultatus.

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25

2%

5%

10%

20%

7.1 pav. Sukaupto kapitalo FP priklausomybë nuo kapitalo trukmësmën., esant skirtingoms procentø normoms

Trukmë, mën.

Ver

të

2%

5%

10%

20%

Pinigø kaupimas atliekant skaièiavimus buvo laikomas diskreèiuojuprocesu, taèiau natûralesnis ir labiau atitinkantis realias sàlygas yranuolatinis kaupimas. Kintamàjá n laikykime tolydþiu. Nesunku pastebëti,kad (7.1) formulë yra parabolës lygtis. Pertvarkæ ðià lygtá gauname



( ) 2

22

2n

an

aSn

ββ−

+= .

Ðios parabolës ðakos eina þemyn, todël parabolë turi maksimumà, kurissutampa su jos virðûne. Remdamiesi þinoma parabolës virðûnës abscisësskaièiavimo formule2 randame funkcijos (7.1) didþiausià reikðmæ atitin-kantá dydá n.

2

11+=

βn .

Tai laikas, po kurio FP turës sukaupusi daugiausia lëðø. Iðnagrinëtamepavyzdyje, kai β = 0,2, daugiausia lëðø bus sukaupta po 5,5 periodo(mënesio).

Toká patá rezultatà gautume iðtyræ funkcijos (7.1) ekstremumus iðves-tinës pagalba.

7.3. Finansinës piramidës su kintamaisiais pinigø srautonariais

Dabar iðnagrinëkime atvejá, kai ámokamos pinigø sumos nëra pastovios.Realiø FP veiklos analizë rodo, kad naujø nariø pritekëjimo srautas nërapastovus: po keliø pirmøjø palûkanø iðmokø, ánaðø dydis ima keistis: didëtiarba maþëti.

Kai ánaðø (klientø) skaièius Qn kinta pagal geometrinæ progresijà

( )11

−−

= n

nq

q

bQ ,

èia: b – pradinis ánaðø skaièius, q – kitimo koeficientas, n – periodø skaièius.Klientø skaièiaus kitimo atvejai parodyti 7.2 pav. Kai q >1, klientø

skaièius didëja eksponentiðkai, kai q = 1, – tiesiðkai, o kai q < 1, klientøskaièius didëdamas artëja prie tam tikros ribos.

2 Parabolës cbxaxy ++=2 virðûnës abscisë

a

bx

2−=

205

Didëjantis kaupimas. Detaliau aptarkime augimo atvejá, kai ánaðøskaièius didëja pagal geometrinæ progresijà, kurios vardiklis q (ið pradþiølaikykime, kad q > 1). Tada pirmàjá mënesá bus ámokëta suma a, t. y.

S1 = a,

antràjá – suma

( )qaaS β−+= 12

,

treèiàjá –

( ) ( ) 2

3211 qaqaaS ββ −+−+=

ir t. t. Pagaliau n-tàjá mënesá bus sukaupta

( ) ( ) ( )( ) 12 11...211 −−−++−+−+= n

n qnaqaqaaS βββ .

Atskliaudæ skliaustus, sugrupavæ narius ir atlikæ kitus pertvarkymus,gauname

∑−

=

⋅⋅−−

−=

1

11

1 n

i

in

n qiaq

qaS β . (7.2)

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30

q = 1,1

q = 1,02

q = 0,9

7.2 pav. FP klientø skaièiaus kitimas

Laikas

Kli

entø

sk

aièi

us

q = 1,1

q = 1,02

q = 0,9



Jei q=1, gausime anksèiau turëtà, taèiau kitaip iðreikðtà formulæ (7.1)

−= ∑

−

=

1

1

n

i

n inaS β .

Iðtyrus lygtá (7.2) (analogiðkai, kaip tai buvo daroma su lygtimi (7.1)),galima pakartotinai ásitikinti finansinës piramidës nepastovumu.

Èia bazine reikðme imamas ankstesnysis atvejis, kai palûkanø kiekvienàperiodà (mënesá) iðmokama 20% nuo pradinës sumos, o ánaðø sumos yrapastovaus dydþio (q = 1). Didëjant ánaðams, maksimali suma sukaupiamaper tà patá laikà, taèiau jos reikðmë taip pat didëja. Nepaisant to, FPgyvavimo trukmë maþëja, nes labai paspartëja sukauptø sumø eikvojimasvykdant ásipareigojimà dengti pakankamai dideles palûkanas.

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12

q=1

q=1,05

q=1,10

q=1,20

7.3 pav. Sukaupto kapitalo priklausomybë nuo kaupimo trukmës,iðmokant 20% palûkanø per metus (didëjantis kaupimas)

Laikas (mën.)

Kap

itaa

s

q = 1

q = 1,05

q = 1,10

q = 1,20

Vertinant FP egzistavimo trukmæ bûtina skirti dvi fazes: pirmoje fazëjesukauptasis kapitalas didëja, antrojoje – maþëja. Jei q = 1, tai didëjimasir maþëjimas vyksta simetriðkai: abi fazës yra vienodos trukmës. Taèiaujei q > 1, tai antroji fazë tampa trumpesne uþ pirmàjà.

Èia prieiname prie ið pirmo þvilgsnio kiek netikëtos iðvados: kuosukaupiama didesnë suma, tuo ji greièiau iðeikvojama palûkanoms dengti.Apskritai pradinëje stadijoje greièiau didëjanèios FP egzistuoja trumpiau,nei tos, kuriø pradinis augimas yra lëtesnis. Didëjant progresijos vardikliui,

207

didëja ir grafiko, kartu faziø asimetriðkumas: didëjant progresijosvardikliui antroji fazë trumpëja, ir atvirkðèiai. Tuo dar ne kartà ásitikinsime.

Maþëjantis kaupimas. Remiantis iðnagrinëtais kaupimo atvejaisgalima daryti prielaidà, kad progresijos vardiklio maþinimas pailgina FPegzistavimo periodà (antrosios fazës sàskaita). Norëdami tuo galutinaiásitikinti, imkime progresijos vardiklá, maþesná uþ vienetà (q < 1).Sukauptojo kapitalo priklausomybë nuo kaupimo trukmës, kai progresijosvardiklis maþëja nuo 1 iki 0,7, pateikiama 7.4 paveiksle. Èia, kaip irankstesniais atvejais, bazine reikðme vël imame palûkanø normà β, lygià20% per mënesá, o visus ánaðus – pastovaus dydþio (q = 1). Matome, kadFP, turinti bazinius parametrus, egzistuoja trumpiausiai (palyginus7.3 pav., tai buvo ilgiausiai egzistuojanti FP).

Gana panaðiai elgiasi FP, kuriø progresijos vardiklis nors ir yramaþesnis uþ vienetà, bet ne daug maþesnis uþ 0,9. Toliau maþëjantprogresijos vardikliui matomas staigus FP egzistavimo antrosios fazësilgëjimas, o tai reiðkia, kad apskritai tokia FP gali egzistuoti gana ilgai, ojos egzistavimo trukmë tam tikrais atvejais gali bûti prilyginta investicinësbendrovës funkcionavimo trukmei.

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

q=1

q=0,9

q=0,8

q=0,7

7.4 pav. Sukaupto kapitalo priklausomybë nuo kaupimo trukmës,iðmokant 20% (maþëjantis kaupimas)

Laikas (mënesiais)

Kap

itaa

s

q = 1

q = 0,9

q = 0,8

q = 0,7



7.3.1. Sukauptojo kapitalo bûsimosios vertës analizë

Visais ðiais atvejais nagrinëjant pinigø srautà nebuvo vertinama pinigølaiko vertë. Tai buvo daroma todël, kad FP paprastai neuþsiima investicineveikla. Toliau skaièiuodami FP pinigø srautus ávertinkime ir laiko veiksná.

Dabar tarkime, kad FP kartu veikia kaip investicinë bendrovë ir turimàkapitalà investuoja esant mënesio palûkanø normai i. Imkime kapitaloaugimo koeficientà r = 1+i. Ámokamas pinigø sumas skaièiuokime ikikiekvieno periodo pradþios. Tada FP sukaupto kapitalo bûsimàjà vertæ

galima uþraðyti taip:

( ) ( ) ( )( ) rqnarqarqaraS nnnn

n⋅−−++⋅−+⋅−+⋅=

−−− 122111...211 βββ (7.3)

èia: Sn – sukauptosios pinigø sumos bûsimoji vertë, n – numatomø kaupti

periodø (mënesiø) skaièius (kaupimo trukmë), a – kiekvieno periodo(mënesio) pradþioje ámokamos pinigø sumos, −β nuo pradinës sumosskaièiuojamas palûkanø procentas, q – ánaðø dydþio (ánaðø skaièiaus)kitimo (didëjimo ar maþëjimo) koeficientas, r – investicinis ánaðø dydþioaugimo koeficientas, kai palûkanø norma i (r = 1 + i).

Ðioje iðraiðkoje lemiamà reikðmæ turës koeficientø q ir r santykis.Nesunku pastebëti, kad jei q = r, tai lygtis (7.3) virsta lygtimi (7.1), turinèiapapildoma daugiklá rn.

Tada bûsimoji vertë m-tajam pinigø srauto nariui, apskaièiuota ikin-tojo periodo pabaigos, gali bûti uþraðyta taip

( ) mnm

mrqmaK

−−= β1 ;

èia Km – m-tojo pinigø srauto nario bûsimoji vertë, praëjus n periodø,

m – pinigø srauto nario (periodo) eilës numeris.Nesunku pastebëti, kad kai m = 0, nraK ⋅=

0. Analogiðkai, kai

m = 1, ( ) 1

11

−

−⋅=n

rqaK β ir t. t.Taigi sukauptosios pinigø sumos bûsimoji vertë S

n sutrumpintai gali

bûti uþraðyta:

209

( )∑∑=

−

=

⋅−==n

m

mnm

n

m

mnrqmaKS

00

1 β . (7.4)

Iðtirkime kaupimo modelá (7.4), t. y. nustatykime sukaupto kapitalobûsimosios vertës priklausomybæ nuo kaupimo trukmës esant ávairiemsFP parametrams. Imkime pastovià kaupimo trukmæ 50 periodø (n = 50),vienodà palûkanø normà, 10% (β = 0,1) ir pastovø ámokamo kapitalodydá, lygø vienam piniginiam vienetui (a = 1).

0

100

200

300

400

500

600

700

0 10 20 30 40 50

q = 1,1

q = 1

q = 0,9

7.5 pav. Sukaupto kapitalo bûsimosios vertës priklausomybë nuokaupimo trukmës, kai a = 1; r = 1,1; n = 50; β = 10%

Trukmë

Kap

itaa

s

q = 1,1

q = 1

q = 0,9

Sukaupto kapitalo bûsimosios vertës priklausomybë nuo kaupimotrukmës esant skirtingam ánaðø skaièiui parodyta 7.5 paveiksle. Pastebime,kad trumpiausiai egzistuoja FP, esant didþiausiam ánaðø skaièiui q, t. y.kai jis lygus investiciniam ánaðø dydþio augimo koeficientui r (q = r = 1,1).Kai ánaðø skaièius pastovus (q = 1), dël pakankamai didelës β reikðmës(β = 0,1), sukauptojo kapitalo dydþio maþëjimas yra akivaizdus, nors dauglëtesnis nei pirmu atveju (kai q = 1,1). Finansinë piramidë tampapakankamai stabili, kai ánaðø skaièius nuolat maþëja (q = 0,9). Èia galimateikti, kad finansinë piramidë virsta áprasta investicine bendrove, turinèiapakankamai stabilius pinigø srautus.

Sukaupto kapitalo bûsimosios vertës priklausomybës nuo kaupimotrukmës esant skirtingam ánaðø skaièiui pateikta 7.6 paveiksle. Ðiuo atveju



imamas didesnis pelningumo koeficientas: vietoj 10% imama 20%.Akivaizdu, kad pelningumo didinimas didina ir FP stabilumà: dabar tikesant koeficientui q, lygiam 1,1, FP dar yra nestabili, nors jos egzistavimotrukmë jau ðiek tiek pailgëjo.

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

q = 1,1

q = 1

q = 0,9


Trukmë

Kap

itaa

s (t

ûk

stan

èiai

)

q = 1,1

q = 1

q = 0,9

Dar labiau padidinus pelningumà, FP tampa visiðkai stabili. Taimatoma 7.7 paveiksle. Èia jau visais atvejais FP funkcionavimas stabilus.

400

800

1200

1600

2000

0 10 20 30 40 50

q = 1,1

q = 1

q = 0,9


Trukmë

Kap

itaa

s (t

ûk

stan

èiai

)

q = 1

q = 1,1

q = 0,9

211

Bûtø teisingiau tokios struktûros nevadinti finansine piramide, nes ji dëlstabilaus elgesio praranda FP bûdingus poþymius ir gali bûti laikomaáprasta investicine bendrove. Reikia paþymëti, kad laipsniðkai maþëjantánaðø skaièiui sistemos stabilumas vis labiau didëja.

7.3.2. Finansinës piramidës sukauptojo kapitalo esamoji vertë

Skaièiuojant bûsimøjø verèiø sukauptàsias sumas reikia ið anksto þinotiskaièiavimais ávertintø periodø skaièiø. Tai ne visada patogu. Daþnai daugpatogiau neprisiriðti prie stabilios pinigø srauto trukmës, o nustatinëtipinigø srauto dabartinæ (esamàjà) vertæ, esant bet kuriai trukmei.

Dabar raskime FP sukauptojo kapitalo esamàjà vertæ, kai ámokosmokamos periodo pradþioje. Tokiu atveju per n periodø sukauptàjà sumàgalësime uþraðyti taip:

( ) ( ) ( )( )1210

11...211

−

⋅−−++

⋅−+

−+

⋅=

n

n

r

qna

r

qa

r

qa

r

qaS βββ . (7.5)

Jei m – tasis srauto narys yra ( )( )1

11−

⋅−−=

m

m

r

qmaK β , tai

( )( )∑∑=

−

=

⋅−−⋅==n

m

mn

m

mnr

qmaKS

1

1

1

11 β .

Tirdami ðá atvejá periodø skaièiumi varijuojame laisvai. Ðiuo atvejunagrinësime intervalà, kai n kinta nuo 1 iki 100 ( )nm ,1= . Kitus koeficientuspalikime tokius paèius kaip 7.5 paveiksle: iðmokamø palûkanø normaβ = 0,1, ámokamo kapitalo dydis a = 1, ánaðø skaièiaus kitimo (didëjimoar maþëjimo) koeficientas q, sukaupto kapitalo investavimo mënesiopalûkanø norma 10% (i = 0,1; r = 1 + i),

Gavome kiekybiniu poþiûriu labai panaðius rezultatus kaip ir7.7 paveiksle. Tik ðiuo atveju kapitalo dydis kiekybinë iðraiðka yramaþesnis, nes skaièiuojama dabartinë, o ne bûsimoji kapitalo vertë. Èiaakivaizdþiai pasireiðkia laiko veiksnio átaka kapitalo dydþiui.



7.3.3. Logistinis finansinës piramidës sukauptojo kapitalo diskontavimas

Iðnagrinëkime FP pinigø srautus, ávertindami galimus kapitalo augimoribojimus. Pritaikæ aptartajam pinigø srautui logistinio diskontavimoformulæ (4.14), gausime

( ) ( )2

21

21

11

1

1

+

⋅

−

β⋅−⋅⋅+

+

⋅

−

β−⋅⋅+

+=m

m

m

m

n...

rqa

K

K

rqa

K

KaS

( )( )1

11

11

1−

−

⋅

−

β⋅−−⋅⋅+

+n

n

m

m

rnqa

K

K...

Uþraðæ sutrumpintai, turësime

( )( )

∑=

−

−

⋅

−

⋅−−⋅⋅+

=n

m m

m

n

rmqa

K

KS

1 1

1

max

max

111

1β

(7.6)

Gautoji iðraiðka nëra patogi tais atvejais, kai reiðkinys ( )β⋅− n1 tampalygus nuliui. Tokiu atveju vardiklis virsta nuliu ir visas reiðkinys pasidaroneapibrëþtas. Tada patogesnë, nors ir labiau griozdiðka, yra kita iðraiðka

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( ).

1111

11...

...2121

21

11

1

111

1

222

2

1

−−−

−

⋅⋅−−⋅⋅−+⋅−−⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅+

+⋅−⋅⋅−+−⋅⋅

⋅−⋅⋅+=

nnm

n

mn

m

m

m

mn

rnqaKnqa

Knqa

rqaKqa

Kqa

rqaKqa

KqaaS

ββ

β

ββ

β

ββ

β

213

Uþraðæ sutrumpintai, turësime

( )( )

( )( ) ( )( )( )∑∑=

−−−

−

=⋅⋅−−⋅⋅−+⋅−−⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅==

n

m

mmm

mn

m

mn

rmqaKmqa

KmqaKS

1

11

max

1

max

1

1 1111

11

ββ

β.

7.8 paveiksle parodytas (7.6) funkcijos grafikas. Pastebime, kad betkuris ið anksèiau nagrinëtø srautø yra pakankamai stabilus, nes duodateigiamà sukauptàjá kapitalà.

Nagrinëjant modelá (7.6) galima pastebëti, kad FP stabilumas priklausonuo ánaðø kaupimo greièio koeficiento q, rinkos kapitalo kainoskoeficiento r, iðmokø procento β ir ribinio kapitalo Km. Koeficiento βmaþinimas ir koeficientø q ir r didinimas gerina FP stabilumà. Ypaè didelëyra ribinio kapitalo átaka, kai jo reikðmë artëja prie prisotinimo taðko.Tuo atveju sukauptojo kapitalo reikðmës gali padidëti kiek norima daug( )∞→

nS .

Apibendrinant sukauptojo kapitalo bûsimøjø ir esamøjø verèiø skaièia-vimus galima daryti iðvadà, kad finansinës piramidës stabilumas

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30Trukm�

p

q=1,2

q=1

q=0,9

q=0,75

7.8 pav. Sukauptojo kapitalo dabartinës vertës priklausomybë nuokaupimo trukmës, kai a = 1; r = 1,1; β = 0,2; K

m = 0,2

Kap

ital

as

q = 1,2

Trukmë

q = 1

q = 0,9

q = 0,75



pasiekiamas tik esant maþesniems uþ vienetà ánaðø skaièiaus kitimokoeficientams. Ávertinus kapitalo prisotinimà, matoma, kad FP galisëkmingai egzistuoti ir esant nepalankiems β,q ir r parametrams, jeikapitalo aplinka bus pakankamai prisotinta.

Sukaupto kapitalo investavimo mënesio palûkanø norma, FP

maksimalios sumos sukaupimo laikotarpis (trukmë τ) priklauso nuo β

koeficiento ir yra jam atvirkðèiai proporcinga, t. y. β

τ1

= .

Jei áplaukø srautà laikytume nenutrûkstamu, tai sukauptoji pinigøsuma galëtø bûti apskaièiuota apibrëþtiniu integralu

( )( )

( )( ) ( )( )( )dt

rtqtaKtqta

KtqtaS

n

ttt

t

n ∫ −−−

−

⋅⋅−−⋅⋅−+⋅−−⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅=

1

11

max

1

max

1

11)(11)(

11)(

ββ

β;

èia: Sn – per n periodø (mënesiø) sukaupta pinigø suma, a(t) – grynøjø

pinigø srauto intensyvumas, iðreikðtas piniginiais vienetais per laikovienetà, Km – maksimali (ribinë) kapitalo reikðmë, ávertinanti didþiausiaskapitalo augimo galimybes, n – investicinio projekto trukmë, t – laikas,i – rinkos palûkanø norma arba kapitalo kaina, −β palûkanø procentas,skaièiuojamas nuo pradinës sumos.

Finansiniø piramidþiø modeliø analizë leidþia giliau paþvelgti ne tik ápavojus, kurie atsiranda ið ðio pobûdþio veiklos, bet ir á rizikà, kylanèiàáprastoms investicinëms bendrovëms, neávertinusioms kapitalo iðtekliøribotumo.

215

SVARBIAUSI TEIGINIAI IR IÐVADOS

Monografijoje dëstomi pagrindiniai autoriaus sukurtos originalios teorijosprincipai. Parodoma, kad sprendimø, pagrástø logistiniu (ribiniu) po-puliacijø vystymosi modeliu, sistema yra vieninga ir sudaro savarankiðkàteorijà.

Logistinë kapitalo valdymo teorija pagrásta pagrindiniais principais,iðplëtotais klasikinëje finansø teorijoje. Pastaroji, nagrinëdama kapitalodinamikà, remiasi eksponentiniu vystymusi – sudëtiniø palûkanø taisykle.Logistinëje teorijoje remiamasi riboto augimo (logistine) funkcija. Tyrimaiparodë, kad naujoje sukurtoje logistinëje teorijoje yra iðlaikoma vieningamoksliniø teiginiø, skaièiavimø ir vertinimø sistema: galima apskaièiuotipalûkanas, diskontuoti vertines iðraiðkas, nustatyti dabartines ir bûsimàsiaspinigø vertes, valdyti pinigø srautus, apskaièiuoti anuitetus ir rentas,vertinti investicinius projektus, nustatyti draudimo tarifus ir pan. Norsskaièiavimai yra sudëtingesni ir visiðkai ámanomi tik panaudojus infor-macines technologijas, rezultatai, gauti remiantis logistine teorija, tamtikrais atvejais yra tikslesni ir patikimesni. Maþa to, logistinës teorijostaikymas duoda kokybiðkai naujus rezultatus. Panaudojus logistiná pinigøsrautø diskontavimà galima paaiðkinti kainø burbulø formavimosi me-chanizmà. Nustatyta, kad tam lemiamà átakà turi iðtekliø ribotumas:maþëjant iðtekliams – didëja kapitalo dabartinë vertë (vidinë gràþosnorma). Nuosekliai artëjant prie iðtekliø ribos, kapitalo augimas tampaneribotas. Jei tokie iðtekliai neatsinaujina, tai ir kainos iðlieka stabiliaididelës (pvz., retø meno kûriniø). Taèiau jei iðtekliai atsinaujina arbarandami jiems alternatyvûs, kainos staigiai krenta, nes, kaip rodo logistinismodelis, nedideli nykstanèiø iðtekliø pasikeitimai lemia didelius kainøðuolius.


Knygoje atskleidþiami logistinës teorijos pranaðumai (ir trûkumai),teorijos taikymo galimybës. Pagrindinis logistinës teorijos trûkumas yrajos sudëtingumas (palyginti su klasikine), taèiau informaciniø technologijønaudojimo galimybës ið esmës ðá trûkumà paverèia nereikðmingu.

Vienas ið svarbiausiø knygos akcentø yra tas, kad èia, mûsø þiniomis,pirmà kartà pateikiamas modifikuotas logistinis augimo modelis. Jis turi

pertvarkytus koeficientus ir yra bendriausias tokio tipo populiacijø augimo

modeliø atvejis: ( )

( )( )11

1

0

0

−++

+⋅⋅=

t

m

t

m

iKK

iKKK

(èia K0 – pradinë populiacija, iðreikðta jos kieká ávertinanèiais vienetais,K

m – maksimali (ribinë) populiacijos reikðmë, i – augimo norma, t – augimo

trukmë, iðreikðta tais paèiais laiko vienetais kaip ir augimo laikas). Plaèiaiiki ðiol modeliuoti kapitalo augimà taikyta sudëtiniø procentø taisyklë

( ) tiKK +⋅= 10

yra atskirasis ðio logistinio modelio atvejis.Svarbi knygos dalis yra kapitalo kaupimas esant keliems perskai-

èiavimams per vienà laiko vienetà, ið kurio iðvedama nuolatinio (toly-dþiojo) kaupimo funkcija. Be viso kito, nagrinëjami ir logistiniai rekuren-tiniai ryðiai, kurie akivaizdþiai parodo sistemos nestabilumà iðtekliamsartëjant prie ribos.

Atlikta logistinë determinuotøjø pinigø srautø analizë iðryðkino svarbiàproblemà: tiesioginio ir atvirkðtinio logistinës vertës lygties sprendimorezultatai skirtingi. Nustatyta, kad ði savybë ir yra skiriamoji logistinëssistemos ypatybë. Iðnagrinëta ir logistiniø anuitetø specifika, paskoløpadengimas. Nagrinëjant logistines rentas, skiriama metinë, trumpesnioperiodo ir tolydþioji rentos.

Viena ið svarbiø knygos temø – investicijø vertinimas. Èia nagrinëjamilogistiniai grynosios dabartinës vertës, vidinës gràþos normos ir modifi-kuotos vidinës gràþos normos metodai. Atlikus jø analizæ, pateikiamasapibendrintasis populiacijos bûsenø modelis, kurio auganèios ir nykstanèiosbûsenos pasiþymi specifinëmis savybëmis. Nykstantis populiacijos vys-tymasis iðryðkina ypaè didelá neribotø bûsenø efektyvumà. Nagrinëjant

217

augantá vystymàsi, iðaiðkëja efektyvumo didëjimas, artëjant prie iðtekliøribos. Knygoje pateikiama áþvalga dël kainø burbulø susiformavimo. Pinigøsrautø logistinës grynosios dabartinës vertës ir vidinës gràþos normosanalizë rodo, kad ðio reiðkinio prieþastis yra sistemos pasikeitimai, atsiran-dantys dël iðtekliø ribotumo. Paþymima, kad specifinis kainø elgesysgamtoje yra ne vienintelis. Atsirandantis gyvøjø organizmø antrasiskvëpavimas ir panaðûs reiðkiniai sudaro prielaidas naujai áþvalgai, pagalkurià augimo spartëjimas senkant iðtekliams yra objektyvus dësnis.

Labai svarbus yra ir logistiniø draudimo anuitetø klausimas. Knygojekonkreèiais pavyzdþiais parodoma, kad galima naujo principo aktuariniøskaièiavimø sistema, pagrásta logistiniu diskontavimu. Iðtekliø ávertinimas,skaièiuojant draudimo tarifus, daro paèià draudimo sistemà patikimesnæ(maþiau rizikingà).

Knygoje nagrinëjama specifinë ir reta tema – finansiniø piramidþiø,kaip atskiro kainø burbulø atvejo, modeliai. Pasitelkus modelá spren-dþiama, ar gali investicinë bendrovë, senkant iðtekliams, virsti finansinepiramide. Modelio analizë rodo, kad á ðá klausimà reikia atsakyti teigiamai– senkant iðtekliams, tam tikromis sàlygomis investicinës bendrovësrodikliai gali pagerëti tiek, kad vëlesnë jos plëtra taps neprognozuojama(nestabili).

Apibendrinant galima pasakyti, kad daugeliu atvejø iðtekliø vertinimasyra vienas ið svarbiausiø uþdaviniø sprendþiant racionalaus kapitalovaldymo klausimus.

Svarbiausi teiginiai ir iðvados


SUMMARY

The monograph extends the main principles of the original theoryinvented by the author. It reveals that, by the solutions based on the logisticlimit model of the population evolution, the system is consistent and formsa self-contained theory.

The logistic theory of the capital management is based on the chiefprinciples developed in the classical theory of finance. Actually, theexponential development, i. e. the rule of compound interest, serves as afoundation in the classical theory of finance. However, in the logistictheory, there operates the logistic function of the limited growth (i. e.logistic function). The investigation has demonstrated that, in a newlyinvented logistic theory, the unanimous system of scientific statements,calculations and estimations is retained thus allowing for the calculationof interest, the discounting of value expressions, the determination ofthe present and future monetary values, the management of moneycurrents, the calculation of annuities and other rents, the estimation ofinvestment projects, etc. Although in it the calculations are more compli-cated and completely possible solely with the use of informationtechnologies, yet the results achieved on the basis of the logistic theoryare more accurate and more reliable. To say more, the application of thelogistic theory offers qualitatively new results. The employment of thelogistic discount of money currents has resulted in the discovery of a newphenomenon that explains a sequence of existing yet unstudied mani-festations both in economics and in the other spheres of human activity.For instance, one of such manifestations, i.e. the formation of the so-called price bubbles, may be explained by the logistic theory as the resultof the increase of the system’s efficiency when approaching the limit ofthe adequate supplies.

219

The monograph consists of an introduction, six sections, andbibliography. Section 1 and Section 2 are devoted to the analysis of theclassical issues of the theory of the quantitative finance management aswell as to the substantiation of the scantiness of their possibilities. Theexhaustive analysis of the interest models, rate equivalence, the solutionof the value equation, money currents, the calculation principles ofannuities and others rents allows for the fruitful evaluation of thesimilarities and differences between the logistic and the classical theoriesand understanding of the advantages and drawbacks of the new theory.Section 3 offers a discussion of the possibilities of the modern capitalmanagement theories and their limits.

Section 4 and Section 5 should be regarded as the kernel ones. Theyfocus on the disclosure of the advantages (as well as drawbacks) of thelogistic theory and the possibilities of its application. Actually, its chiefdrawback is its complexity when compared with the classical theory.

However, practically speaking, the employment of informationtechnologies makes it rather insignificant.

Section 4 extends an improved (i. e. modified) logistic model ofincrease. It includes the modified coefficients and turns out to be themost general model among the population increase models of such atype. Consider:

( )

( )( )11

1

0

0

−++

+⋅⋅=

t

m

t

m

iKK

iKKK ,

(here K0 points to the initial population expressed by the units estimatingits amount; K

m is a maximum (i.e. limit) value of the population; i points

to the rate of increase; t is the length of growth expressed by the sameunits of time as it is in the case of the time of growth). The rule ofcompound interest ( ) tiKK +⋅= 1

0 that has been recently widely used for

the modelling of the capital increase makes a particular case of thementioned logistic model. The logistic, i.e. limit, function of the capitalincrease allows for determining the future capital values’ logistic interest,the rate of the capital increase, and the accumulated sum of the capital.

Summary


The peculiarity of the logistic function’s returnability allows either forthe mathematical discount of the sums or for the calculation of theirpresent or other intermediate values. The determination of the equivalentinterest rate is an important part in this section. Due to the equivalenceof the interest rates it is possible to carry out the comparison of thecalculation done by the employment of different methods. Moreover,the fitness of the logistic models has been demonstrated in the solutionof such practical tasks as, for instance, in the determination of theregression equation coefficients of the GDP increase model in theRepublic of Lithuania. Not less important is the discussion of the capitalaccumulation within the presence of several re-calculations in a singleunit of time, from which the function of uninterrupted accumulation isderived.

Furthermore, the section focuses on the analysis of the logisticrecurrent relations that undoubtedly reveal the system’s instability whenthe supplies approach the limit.

Section 5 presents the logistic analysis of the determined moneycurrents. The solution of the logistic value equation evokes theconfrontation with the following problem: direct and reverse solutionsoffer different results. However, it comes to light that the mentionedquality turns out to be a distinctive feature of the logistic function. Herethe author discusses the specificity of the logistic annuities and the defrayof expenses. The focus is on the regular annuities. The investigation ofthe logistic rents embraces the annual, terminable, and uninterruptedrents. In fact, the estimation of investments makes the kernel both of thesection and to some extent of the whole book. The analysis of the generalinvestment estimation methods leads to the discussion of the logisticmethods of clear present value, internal rate of return, and of modifiedinternal rate of return. The analysis allows for the extension of thegeneralized model of the population conditions, which demonstrates thespecific qualities of the growing as well as declining conditions. Thedeclining evolution of the population reveals enormous efficiency

221

operating under the unlimited conditions. The investigation of the growingevolution has disclosed the increase of efficiency when approaching thesupply limit. The monograph also offers the insight into the formation ofthe so-called price bubbles. The reason of the mentioned phenomenon isfound in the alterations of the system that take place due to the scantinessof the suplies. This conclusion has been arrived at on the basis of theanalysis of the money currents’ logistic clear present value and of theinternal rate of return. The author claims that, obviously, the specificbehaviour of the prices is not a sole and single phenomenon in the naturalworld. Therefore the so-called second breath discovered in the evolutionof the living organisms as well as other similar phenomena may offerassumptions for a new insight, according to which, the rapidity of increaseat the exhaustion of supplies turns out to be an objective natural law.

Section 6 is devoted to the exploration of the investment risk. It focuseson the discussion of the specific topic, i.e. the models of the financialpyramids as a particular case of the price bubbles. The models allow forthe solution of the problem whether an investment company may growinto a financial pyramid within the fading of supplies.

The monograph is supplemented with an exhaustive bibliography.

Summary


LITERATÛRA

1. ALVIM, Carlos Feu. Brazilian Economical Growth – 1997 to 2010.Economy and energy, Year II-Nr9, July/August/1998 [þiûrëta 2003 m.spalio 5 d], Prieiga per internetà: <http://ecen.com/eee9/grow9710.htm>

2. AUÐKALNYTË, L.; BELAZARIENË, G. Informacinës tech-nologijos – darbo priemonë ar ekonomikos augimà skatinantisveiksnys? Ið Lietuvos regioniniø tyrimø instituto [þiûrëta 2003 m.vasario 5 d.]. Prieiga per internetà: < http://www.lrti.lt/veikla/aus_inform.doc>

3. BALZAREVIÈIÛTË, Lina; GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Logistinisdiskretus kapitalo kaupimo modelis. Informacinë visuomenë iruniversitetinës studijos. 9-oji tarpuniversitetinë magistrantø irdoktorantø konferencija: praneðimø medþiaga. Kaunas: VDU, 2004.P. 168–171.

4. BARBIER, B. Edward. Endogenous growth and natural resourcescarcity [interaktyvus]. [þiûrëta: 2005 m. sausio 18 d.]. Prieiga perinternetà: <http://www.kluweronline.com/article.asp?PIPS=181882>.

5. BECKER, Robert A.; BOYD III; John H. Recursive utility andoptimal capital accumulation II: sensivity and duality theory[interaktyvus]. Economic Theory 2, Springer-Verlag 1992 p. 547–563[þiûrëta 2002 m. lapkrièio 12 d.]. Prieiga per EBSCO Businnes SourcePremier Database duomenø bazæ: <http://support.epnet.com/CustSupport/Customer/search.aspx>

6. BERCK P. and M. ROBERTS. “Natural Resource Prices: Will TheyEver Turn Up?“, Journal of Environmental Economics and Mana-gement, vol. 31, 65–78, 1996.

223

7. BOGUSLAUSKAS, Vytautas. Ekonometrikos pagrindai. Kaunas:Technologija, 2004. 272 p. ISBN 9955-09-747-7.

8. BOLTE, John. BRE 471/571 – Biosystems Modeling Techniques.Biosystems Analysis Group, Department of Bioresource Engineering,Gilmore Hall Oregon State University. 1996. [þiûrëta 2002 m.spalio 7 d], Prieiga per internetà: < http://biosys.bre.orst.edu/BRE571/mech/pop_mod.htm>

9. BOOTH, Ginger. Lab PlotCompare Population Growth Models.September 14, 1998. [þiûrëta 2002 m. lapkrièio 7 d], Prieiga perinternetà: <http://gingerbooth.com/courseware/eco/plotcompare/readers/underhood.html>

10. BUDRYTË, Algë; KVEDARAS, Virmantas. Lietuvos makroeko-nometrinio modelio vizija. Pinigø studijos, Vilnius, 2000, Nr. 1, p. 5–17.

11. CAMERON, Don. Financial Mathematics based on annuities[interaktyvus]. The University of Queensland, [Australia], Scool ofNatural & Rural Systems management, September 2002. Paskaitømedþiaga [þiûrëta 2004 m. sausio 10 d.]. Prieiga per internetà<www.nrsm.uq.edu.au/Staff/dcameron/ABUS2002%20for%202003/Lectures/>

12. CORDEN, W. “Booming Sector and Dutch Disease Economics: Surveyand Cosolidation”, Oxford Economic papers, 1984, vol. 36 (3), 359–380.

13. CORDEN, W. M. The Two Sector Growth Model with FixedCoefficients [interaktyvus]. Review or Economic Studies, Jul66,Vol. 33 Issue 95, p.253–263. [þiûrëta 2002 m. lapkrièio 12 d.]. Prieigaper EBSCO Businnes Source Premier Database duomenø bazæ<http://support.epnet.com/CustSupport/Customer/search.aspx>

14. DASGUPTA, P.; EASTWOOD, R.; G. Heal. “Resource Mana-gement in a Trading Economy”, Quarterly Journal of Economics,1978, vol. 92, 297–306.

15. DASGUPTA, P. S. and G. H. HEAL. “Economic Theory andExhaustible Resources”, Cambridge University Press, 1993.

16. DAVULIS, Gediminas. Ekonomikos teorija. Vilnius: Lietuvos teisësuniversiteto Leidybos centras, 2003. 359 p. ISBN 9955-563-29-X.

Literatûra


17. DYNEGY INC. Quaterly SEC fillings. [interaktyvus]. 2004 [þiûrëta2004 m. lapkrièio 30 d.]. Prieiga per internetà: http://www.dynegy.com/News&Financials/SEC_Filings.shtml

18. ECON 8050 Economic Growth [interaktyvus]. [þiûrëta: 2005 m.sausio 18 d.]. Prieiga per internetà: < ecocomm.anu.edu.au/courses/outline/ECON8050.pdf >.

19. Economics of growth and innovation [interaktyvus]. [þiûrëta: 2005 m.sausio 18 d.]. Prieiga per internetà: <http://in3.dem.ist.utl.pt/master/02econ/lecture3.pdf>.

20. Ekonominio augimo ir ekonomikos struktûrinës plëtros strategija.Lietuvos Respublikos ûkio ministerija, 2003. http://www.ekm.lt/catalogs/33/strategijos/bendra.doc

21. ESHEL, Gidon. Single Age Models. Department of GeophysicalSciences, University of Chicago. [þiûrëta 2002 m. spalio 24 d]. Prieigaper internetà: < http://geosci.uchicago.edu/~gidon/geos31415/singleAge/singleAge.pdf>

22. FERREIRA, Omar Campos. Capital accumulation in the Brazilianeconomy. Economy and energy, Year II-Nr9, July/August/1998.[þiûrëta 2003 m. spalio 5 d], Prieiga per internetà: < http://ecen.com/eee9/capacume.htm>

23. FERREIRA, Omar Campos. Economical Forecasting. Economy andEnergy, Nr.39, August-September 2003. [þiûrëta 2003 m. spalio 5 d].Prieiga per internetà: < http://ecen.com/eee39/economical_forecasting.htm>

24. FERREIRA, Omar Compos; EIDELMAN, Frida. Capital Accu-mulation in the Brazilian Economy [interaktyvus]. Economy & Energy,No 9, 1998 liepa/rugpjûtis. Revised: 13 December,1998 [þiûrëta 2004 m.sausio 7 d.]. Prieiga per internetà: <http://ece.com/eee9/capatume.htm>

25. GANTER, Phil. Modeling Density-Dependent PopulationGrowth.Tennessee State University, USA. 1999. [þiûrëta 2003 m. lapkrièio12 d]. Prieiga per internetà: <http://www.tnstate.edu/ganter/B412%20Extra%20LogisticGrowth.html>

225

26. GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Draudimas: kiekybinë finansinë analizë.Kaunas: Naujasis lankas, 2002. 102 p. ISBN 9955-03-114-X.

27. GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Kapitalo kaupimo logistiniai modeliai.Informacinës technologijos verslui – 2002. Konferencijos praneðimømedþiaga. Kaunas, 2002, p. 40–43.

28. GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Kapitalo kaupimo modeliavimo ypa-tumai dëstant finansø valdymà: logistinis metodas. Mokslinës--praktinës konferencijos „Smulkaus ir vidutinio verslo plëtros pers-pektyvos integracijos á Europos Sàjungà kontekste“ praneðimø me-dþiaga. Kaunas: Technologija, 2002. P. 40–43.

29. GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Logistiniai (ribiniai) kaupimo modeliai.Informacijos mokslai Nr. 23. Vilnius: Vilniaus universiteto leidykla,2002. P. 95–102.

30. GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Evaluierung der Zinsnorm in Grenz-modellen; The materials scientific international conference “Integra-tion of market economy countries: Problems and Prospects”. Riga,May 27–28/2003, /Higher School of Economics and Culture,p. 19–26, 2003

31. GIRDZIJAUSKAS, Stasys; MOSKALIOVA, Vera. Virtualiø finan-siniø piramidþiø nestabilumo modeliavimas. Informacijos mokslaiNr. 27. Vilnius: Vilniaus universiteto leidykla, 2003, p. 105–114.

32. GROOT, F., C. WITHAGEN and A. de ZEEUW, “Note on the OpenLoop von Stackelberg Equilibrium in the Cartel Versus FringeModel”, The Economic Journal, 1992, vol. 102, 1478–1484.

33. HARTWICK, J. “Intergenerational Equity and the Investing of Rentsfrom Exhaustible Resources”, American Economic Review, 1977,vol. 67, 972–991.

34. HARTWICK, J. “Natural Resources, National Accounting andEconomic Depreciation”, Journal of Public Economics, 1990,vol. 43, 291–304.

35. Interesting Facts about Population Growth Mathematical Models.Improving Education through Technology. 13-Nov-2000. [þiûrëta2002 m. spalio 5 d]. Prieiga per internetà: <http://www.arcytech.org/java/population/facts_math.html>

Literatûra


36. JAKUTIS, Algirdas; PETRAÐKEVIÈIUS, Vladislovas; STE-PANOVAS, Artûras; ÐEÈKUTË, Laima; ZAICEV, Stepon.Ekonomikos teorijos pagrindai. Kaunas: Smaltija, 1999. 390 p.ISBN 9986-708-39-7.

37. JANILIONIS, Vytautas. Statistika ir duomenø analizës programinëáranga. 2001. Kauno technologijos universitetas. Prieiga per internetà:<http://fmf.ktu.lt/janil/stat1.htm>

38. KAMINSKIENË, Bronislava; AVDEJENKOVA, Vitalija. Bendrojovidaus produkto iðankstinis vertinimas. Pinigø studijos, Vilnius, 2003,Nr. 3, p. 64–71.

39. KAMINSKIENË, Bronislava; MISIÛNAS, Algimantas. Neokla-sikinis augimo modelis. Lietuvos statistikos darbai, Vilnius, 1998,Nr. 4, p. 16–23.

40. Lietuvos BVP statistiniai duomenys [interaktyvus]. Statistikos depar-tamentas prie Lietuvos Respublikos Vyriausybës. Dokumentasatnaujintas 2004 m. balandþio 6 d. [þiûrëta 2004 m. geguþës 27 d.].Prieiga per internetà: <http://www.std.lt/web/main.php?parent=367>

41. Lietuvos ekonominë ir socialinë raida 2003/12. Statistikosdepartamentas prie Lietuvos Respublikos Vyriausybës, 2004, p. 122.

42. MAELER, K.-G. “National Accounts and Environmental Resour-ces”, Environmental and Resource Economics, 1991, vol. 1, No 1.

43. MARE, C., David. What do endogenous growth models contribute?[interaktyvus]. [Þiûrëta: 2005 m. sausio 17 d.]. Prieiga per internetà:<http://econwpa.wustl.edu:8089/eps/dev/papers/0412/0412002.pdf>.

44. MARTINKUS, Bronius; ÞILINSKAS, Vytautas. Ekonomikospagrindai. Kaunas: Technologija, 2001. 787 p. ISBN 9986-13-575-3.

45. McGAHAGAN, Thomas. Growth in Multifactor Productivity.University of Pittsburgh,1997. [þiûrëta 2003 m. kovo 16 d], Prieigaper internetà: <http://www.pitt.edu/~mgahagan/MFP.htm>

46. MEADOWS, D. H., et. al. “The Limits to Growth”, New York:Universe Books, 1972.

227

47. MISIÛNAS, Algimantas. Pirmieji makroekonominiai modeliai:Keyneso modelis. Lietuvos statistikos departamento darbai, Vilnius,1998, Nr. 1, p. 8–13.

48. MISIÛNAS, Algimantas. Pirmieji makroekonominiai modeliai:Wicksellio modelis. Lietuvos statistikos departamento darbai,Vilnius,1997, Nr. 4, p. 7–12.

49. NEWBERY D. “Oil Prices, Cartels, and the Problem of DynamicInconsistensy”, The Economic Journal, 1981, vol. 91, 617–646.

50. NILI, Farhad. Growth Constrained by Exhaustible Resources: ACreative Destruction Approach [interaktyvus]. [þiûrëta: 2005 m.sausio 15 d.]. Prieiga per internetà: <http://www.york.ac.uk/depts/econ/dp/0022.pdf>.

51. OTTO, Sally. Logistic Growth in Discrete Time. Biology 301biomathematics. Sarah Otto and Troy Day 2003. [þiûrëta 2002 m.spalio 5 d.], Prieiga per internetà: < http://www.zoology.ubc.ca/~bio301/Bio301/Lectures/Lecture5/Overheads.html>

52. OTTO, Sally. Methods of Analysis. II. Equilibria. Sarah Otto andTroy Day (2003). [þiûrëta 2003 m. lapkrièio 11 d.], Prieiga perinternetà: <http://www.zoology.ubc.ca/~bio301/Bio301/Lectures/Lecture8/Overheads.html>

53. PARWANI, Rajesh. A Discrete Model of Population Growth.NATIONAL University of Singapore. 2002-01-03 [þiûrëta 2002 m.gruodþio 17 d.]. Prieiga per internetà: <http://staff.science.nus.edu.sg/ ~parwani/c1/node31.html>

54. POLLOCK, D. S. G. Exponential and logistic growth. Queen Mary,University of London. 2002. [þiûrëta 2002 m. gruodþio 10 d.], Prieigaper internetà: <http://www.qmw.ac.uk/~ugte133/courses/elomath/lectures/09xport.pdf>

55. RAWLS, J. “A Theory of Justice”, Harvard University Press,Cambridge, MA, 1971.

56. RUTKAUSKAS, Aleksandras Vytautas. Finansø ir komercijoskiekybiniai modeliai. Vilnius: Technika, 2000. 504 p. ISBN 9986-05-423-0.

Literatûra


57. SAKALAUSKAS, Virgilijus. Duomenø analizë su Statistica. Vilnius:Margi raðtai, 2003. 233 p. ISBN 9986-09.

58. SHAROV, Alexei. Discrete-time analogs of the exponential andlogistic models. Department of Entomology at Virginija Tech. 2/03/97.[þiûrëta 2003 m. vasario 9 d.], Prieiga per internetà: <http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec5/discrete.html>

59. SHAROV, Alexei. Exponential model. Department of Entomologyat Virinia Tech. 2/03/97. [þiûrëta 2003 m. spalio 5 d.], Prieiga perinternetà:<http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec5/exp.html>

60. SHAROV, Alexei. Logistic Model. Department of Entomology atVirginija Tech. 2/03/97. [þiûrëta 2002 m. lapkrièio10 d.]. Prieiga perinternetà: < http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/lec5/logist.html>

61. SHEEBA, V.; JOSHI, Amitabh. A test of simple models ofpopulation growth using data from very small populations ofDrosophila melanogaster. Evolutionary Biology Laboratory,Evolutionary and Organismal Biology Unit, Jawaharlal Nehru Centrefor Advanced Scientific Research, Jakkur, P. O., Bangalore 560 064,India. 1998. [þiûrëta 2002 m. spalio 7 d.], Prieiga per internetà: <http://www.iisc.ernet.in/currsci/dec25/articles32.htm>

62. SIMANAUSKAS, Leonas; PLIKYNAS, Darius. Finansinio kapitalorinkø dinamikos analizë naudojant ðiuolaikinius dirbtinio intelektosistemø metodus. Ekonomika, Vilnius: Technika, 2003, Nr. 61.p. 139–153.

63. SIMS, C. A. Macroeconomics and Reality. Econometrica, 1980, No 48.

64. SOLOW, R. “On the Intergenerational Allocation of Natural Resources”,Scandinavian Journal of Economics, 1986, vol. 88, 143–154.

65. SOLOW, R. M. “Intergenerational Equity and Exhaustible Resour-ces”, Review of Economic Studies, Symposium on the Economics ofExhaustible Resources, 1974.

66. STIGLITZ, Joseph E. “Comments: Some Retrospective Views onGrowth Theory,” in Peter Diamond, ed., Growth/ Productivity/

229

Unemployment: Essays to Celebrate Robert Solow’s Birthday,Cambridge, MA: MIT Press, 1990, p. 50–69.

67. SWAN, T. W., “Economic Growth and Capital Accumulation,” TheEconomic Record, November 1956, 32, 334–361.

68. Symposium on the Economics of Exhaustible Resources, The Reviewof Economic Studies, 1974.

69. TANNENBAUMAS, Peteris; ARNOLDAS, Robertas. Kelionës áðiuolaikinæ matematikà. Vilnius: TEV, 1995. 512 p. ISBN 9986-546-01-X.

70. TRIPPI, R. R.; LEE, J. K. Artificial intelligence in finance & investing:state-of-the-art technologies for securities selection and portfoliomanagement. Chicago: Irwin, 1996.

71. VALAKEVIÈIUS, Eimutis. Investicijø mokslas. Kaunas: Techno-logija, 2002. 324 p. ISBN 9986-13-940-6.

72. VELLINGA, N., and C. Withagen. “On the Concept of GreenNational Income”, Oxford Economic Papers, 1996, vol. 48, 499–514.

73. WATTENBERG, Frank. Discrete Logistic Models. PWS PublishingCompany, 1995. [þiûrëta 2002 m. spalio 7 d.], Prieiga per internetà:<http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/calculus/discdynm/logistic/learn.htm>

74. WEISSTEIN, Eric W. Logistic Equation [interaktyvus]. [þiûrëta2004 m. geguþës 19 d.]. Prieiga per internetà: <http://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html>.

75. WEISSTEIN, Eric W. Malthusian Parameter [interaktyvus]. [þiûrëta2004 m. geguþës 19 d.]. Prieiga per internetà: <http://mathworld.wolfram.com/MalthusianParameter.html>.

76. WEISSTEIN, Eric W. Population Growth [interaktyvus]. [þiûrëta2004 m. geguþës 19 d.]. Prieiga per internetà: < http://mathworld.wolfram.com/PopulationGrowth.html>.

77. WEITZMAN, M. “Pricing the Limits to Growth from MineralsDepletion”, Quarterly Journal of Economics, 1999, May, 691–706.

Literatûra


78. ZIBERKIENË, Rûta; GIRDZIJAUSKAS, Stasys. Kapitalo kaupimomodelio pritaikymo galimybës. Informacinë visuomenë ir univer-sitetinës studijos. 9-oji magistrantø ir doktorantø konferencija,praneðimø medþiaga. Kaunas: VDU, 2004. P. 267–273.

79. ÂÀÍ Õîðí, Äæ. Îñíîâû óïðàâëåíèÿ ôèíàíñàìè. Ìîñêâà:

Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1996.

80. ÂÀÙÅÍÊÎ, Ò. Â. Ìàòåìàòèêà ôèíàíñîâîãî ìåíåäæìåíòà.

Ìîñêâà: Ïåðñïåêòèâà, 1996.

81. ÊÎÂÀËÅÂ, Â. Â.; Óëàíîâ, Â. À. Êóðñ ôèíàíñîâûõ âû÷èñëåíèé.

Ìîñêâà: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1999.

82. ÊÎ×ÎÂÈ×, Å. Ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà

ôèíàíñîâî-áàíêîâñêèõ ðàñ÷åòîâ. Ìîñêâà: Ôèíàíñû è ñòà-

òèñòèêà, 1994.

83. ÌÀËÛÕÈÍ, Â. È. Ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà. Ìîñêâà:

ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2000.

84. ÌÅËÊÓÌÎÂ, ß. Ñ., Ðóìÿíöåâ, Â. Í. Ôèíàíñîâûå âû÷èñëåíèÿ

â êîìåð÷åñêèõ ñäåëêàõ. Ìîñêâà, 1994.

85. ÌÅÐÒÅÍÑ, À. Èíâåñòèöèè. Êèåâ: Êèåâñêîå èíâåñòèöèîííîå

àãåíñòâî, 1997.

86. ×ÅÒÛÐÊÈÍ, Å. Ì. Ìåòîäû ôèíàíñîâûõ è êîìåð÷åñêèõ

ðàñ÷åòîâ. Ìîñêâà: ÄÅËÎ Ëòä, 1995.


LOGISTINË KAPITALO VALDYMO TEORIJA

Determinuotieji metodai

M o n o g r a f i j a

Kalbos redaktorë Danutë Petrauskienë

Virðelio dailininkas Gediminas Markauskas

Iðleido Vilniaus universiteto leidykla

Universiteto g. 1, LT-01122 Vilnius

El. paðtas: [email protected] Standartø spaustuvë,

S. Dariaus ir S. Girëno g. 39, Vilnius

Girdzijauskas, StasysGi 317 Logistinë kapitalo valdymo teorija; determinuotieji metodai / Stasys

Girdzijauskas. – Vilnius: Vilniaus universiteto leidykla, 2006. – 232 p.:lent. Bibliogr.: p. 222–230.

ISBN 9986–19–825–9

UDK 658

Monografijoje dëstomi pagrindiniai originalios logistinës kapitalovaldymo teorijos principai. Kapitalo valdymas esant ribotiems jo iðtekliamsleidþia tiksliau ir teisingiau apskaièiuoti kai kurias finansines operacijas,sumaþinti neteisingø sprendimø galimybæ.

Knygoje parodoma, kad logistinë teorija leidþia atlikti visas áprastasfinansines operacijas: apskaièiuoti palûkanas, diskontuoti vertines iðraiðkas,nustatyti dabartines ir bûsimàsias pinigø vertes, apskaièiuoti anuitetus, rentasir kt.

Iðskirtinis dëmesys knygoje sutelkiamas á logistiná pinigø srautø valdymà,investiciniø projektø vertinimà, draudimo tarifø skaièiavimà, finansiniøpiramidþiø stabilumo modeliavimà. Pateikiamas matematinis modelis,paaiðkinantis kainø burbulø formavimosi mechanizmà.

Skiriama mokslo darbuotojams, besidomintiems kiekybiniais finansiniøoperacijø metodais, taip pat universitetø studentams: magistrantams irdoktorantams, studijuojantiems finansus, ekonomikà ar verslo vadybà, infor-maciniø technologijø taikymà. Ji pravarti ir verslo praktikams, besido-mintiems racionaliu investicijø naudojimu ar determinuotos finansinësrizikos vertinimu.

logistinė kapitalo valdymo teorija. determinuotieji metodai

Documents