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Tablas de verdad, Tautologías y Contradicciones

15/04/23Docente: Wilderd Alejandro Cabanillas Campos2

A toda proposición “A” se le asocia un valor de verdad, siendo este verdadera o falsa, lo cual se representa como:

Valor de verdad de A = V(A) = V = verdaderoValor de verdad de A = V(A) = F = falsotambién se acostumbre representarlo por:V(A) = 1 = verdadero o V(A) = 0 = falso

Es importante considerar que en la proposición condicional A B , la A es el antecedente y B es el consecuente.

Es importante considerar que en la proposición condicional A B , la A es el antecedente y B es el consecuente.

Tabla de verdad de la proposición negativa ⌐A.Tabla de verdad de la proposición negativa ⌐A.


o


Tabla de verdad de la proposición disyuntiva inclusiva A ν B .

o


AA BB A A ∆ B∆ B

VV VV FF

VV FF VV

FF VV VV

FF FF FF

Tabla de verdad de la proposición disyuntiva exclusiva A Δ B .

AA BB A A ∆ B∆ B

11 11 00

11 00 11

00 11 11

00 00 00

o


Tabla de verdad de la proposición conjuntiva A ^ B .

o

En nuestro lenguaje podemos emplear:

Pero Aún cuando No obstante Sin embargo Al igual que Aunque Además Tanto …. como …. Más aún A la vez Siempre ambos…. con….. También Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con Así como A pesar de Así mismo Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que


Tabla de verdad de la proposición condicional A B .

o

La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente ("p → q" Implicación directa), son las siguientes:

Si p, entonces q p por tanto q Siempre que p entonces q p por consiguiente q p es suficiente para q p por ende q p implica q p por conclusión q i Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q En cuanto p por tanto q Porque p por eso q


o

Tabla de verdad de la proposición bicondicional AB .

Observemos que el número de renglones de una tabla de verdad es 2n en donde n es el número de proposiciones simples que aparecen en la proposición compuesta.

Observemos que el número de renglones de una tabla de verdad es 2n en donde n es el número de proposiciones simples que aparecen en la proposición compuesta.

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN


Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad en las formulas.Por ejemplo: p ν q ^ r es ambigua, pero asociando sus términos (p ν q) ^ r deja de ser ambigua y tiene sentido.La otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor jerarquía a los conectivos.


Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al construir su tabla de verdad no resulta tautología ni contradicción.

ESQUEMAS MOLECULARES

Es la combinación de variables y conectivos lógicos asociados con signos de agrupación. Los cuales se verifican con las tablas de verdad.

En cada esquema molecular sólo uno de los conectivos es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho esquema.

EjemplosConstruir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas que se dan e indicar si se trata de una tautología, contradicción o contingencia.

1. ⌐A ν B

AA BB ⌐⌐AA BB ⌐⌐AAννBB

11 11 00 11 11

11 00 00 00 00

00 11 11 11 11

00 00 11 00 11


Es una proposición disyuntiva en la que intervienen 2 proposicionessimples, luego la tabla está formada por cuatro renglones.

Por lo tanto es una contingenciaPor lo tanto es una contingencia


[( A B) ^ ⌐B ] ⌐A

Es una proposición condicional y su tabla es la siguiente.

Por lo tanto es una TautologíaPor lo tanto es una Tautología

AA BB [[(A(ABB))

^̂ ⌐⌐BB]] ⌐⌐AA

11 11 11 00 00 11 00

11 00 00 00 11 11 00

00 11 11 00 00 11 11

00 00 11 11 11 11 11


pqpqp

pqpqp

pp qq

VV VV VV VV FF FF FF FF FF FF VV VV

VV FF VV VV VV FF FF FF FF VV VV VV

FF VV FF FF FF FF VV FF FF FF VV FF

FF FF F F VV VV VV VV FF VV VV FF FF

11 33 22 55 44 RR 99 66 88 77

Por lo tanto es una ContradicciónPor lo tanto es una Contradicción

Es una proposición disyuntiva exclusiva en la que intervienen 2 proposiciones simples, luego la tabla está formada así

EJERCICIOS


Verificar el valor de los siguientes esquemas moleculares usando tablas:

a) ((( p q) ^ r) ν (r ^ p))b) ((p (q ν r)) ^ ((p r) ^ p) q));c) ((⌐(p ^ q) r) ν p)d) (⌐((⌐(p) q) ν r));e) (⌐(p ν q) (⌐(p) ^ ⌐(q)))

Formalizar el siguiente argumento y encuentre el valor de verdad: Me gusta el helado de fresa, pero también el de limón. Si hay sólo helado de chocolate lo comeré, a pesar de que no me guste. Por tanto, no comeré helado de fresa.

Para formalizar el razonamiento dado, definimos las proposiciones atómicas p = me gusta el helado de fresa, q = me gusta el helado de limón, r = hay sólo helado de chocolate, s = comeré helado de chocolate, t = me gusta el helado de chocolate, u = comeré helado de fresa. La formalización se escribe, como: [ p ^ q ^ (r s) ^ ⌐ t ] ⌐ u

Si la proposición:[p ( q r)] (s q) , es falsa. Determine los valores de verdad de “p”, “q”, “r” y “s”

[p (q r)] (s q)

FF

F

F ( V )

F F

F

( V V )

EJEMPLO:

Por lo tanto los valores de las proposiciones son:p = F q = V r = V s = V

V


Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:(p r) r (q p) (p q)

(p r) r (q p) (p q)

V

F F

F

F

F

V

F

FV

F

F

V

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