logica nuantata si logici mv_hnt_uaic

8/18/2019 Logica Nuantata Si Logici MV_HNT_UAIC

1/32

Sisteme Nuan ţate (Fuzzy) şi Soft-computing – Compendium Horia-Nicolai L. Teodorescu

7

Logical consequences are the scarecr ows of fools and the beacons of wise men.Thomas Huxley

CAPITOLUL 1.

L OGICA NUAN ŢAT Ă (F UZZY ) ŞI L OGICI MV

No ţiuni generale privind limbajele naturale şi logica

În acest Compendiu, ne ocupăm aproape exclusiv de logica propoziţională. Suntreamintite elementele principale privind logica propoziţională binară şi sunt discutatelimitările acestei logici. Abordarea aplicării logicilor la limbajele naturale este lăsată deschisă, în sensul că, după ce se aplică diverse logici cunoscute, unele probleme suntlăsate deschise, cel puţin atunci când nu au o soluţie încă bine definită în logicilecunoscute. Spre deosebire de disciplina de “Limbaje formale”, prin propoziţie înţelegemorice propoziţie a limbajului natural care este logic valuabil ă . Clarificăm acest conceptprin următoarea:

Defini ţie. Fie o mulţime finită, numită vocabular şi notată V , de simboluri numitecuvinte . O mulţime ordonată de N cuvinte o vom numi pre-propozi ţ ie de dimensiune N .

Notăm N V P * mulţimea tuturor pre-propoziţilor de dimeniune N , pesteV . Numim mulţime

de valori logice o mulţimeT ordonată izomorf ă cu o submulţime a intervalului1 R⊂]1,0[ .

Numimaplica ţ ie de valuare logic ă pe N

V P*

o aplicaţie, nu peste tot definită, de la N

V P*

laT ; o notăm T P N V →θ *: . O pre-propoziţie N V P p *∈ pentru care este definită )( pθ o numim

propozi ţ ie valuabil ă logic , sau, pe scurt, propozi ţ ie logic ă.În particular,V poate fi vocabularul unui limbaj natural. Nu toate înşiruirile de cel

mult N cuvinte reprezintă propoziţii efective ale limbii respective2; celor inacceptabile, nu

1 Într-o generalizare cunoscută, intervalul numeric închis este înlocuit cu o latice. Nu vom merge pe această cale de generalizare, pentru a nu complica materialul prezent.2

Afirmaţie discutabilă în poezieşi în literatură în general, după cum ne-au învăţat suprarealiştii, dadaiştii -şi nu numai.


2/32

Capitolul 18

li se vor atribui valori de adevăr (deci vor fi pre-propoziţii, nu propoziţii logice). Dar, seştie că şi multe propoziţii (în sensul de mai sus), acceptabile în limbă, nu sunt valuabile.De exemplu, “vino mâine” nu are o valoare de adevăr (cel puţin în cadrul logicilor

actuale); pragmatic, unei propoziţii “acum 31542340 secunde, un străbun al meu mâncafriptură” nu i se poate ataşa o valoare de adevăr – cel puţin în logica binară – deoarece nuam nici o posibilitate practică de a afla ce se întâmplă exact atunci.

Aplicaţia T P N V →θ *: nu este neapărat unică. Fiecare aplicaţie diferită va constitui

baza unei alte logici sau familii de logici.

În cele ce urmează, ne vom ocupa numai de mulţimea propoziţiilor N V N V PP *⊆ care au

o valoare de adevăr pesteT .

Valorile )( pθ le vom numi convenţionalgrade de adev ă r (alte denumiri sunt folosite în contextul unor logici particulare, de exemplu, grad de încredere, grad de posibilitate,probabilitate etc.).

Limbaje descriptive precise şi imprecise

Exemplu . Considerând că vocabularul are doar patru cuvinte, cu verbele la un singurtimp, { Ion, pas ă rea, zboar ă , merge }, propoziţiile elementare posibile sunt {Ion merge,Ion zboară, pasărea merge, pasărea zboară}. Toate aceste propoziţii au sensşi, mai mult, lise poate atribui un grad de adevăr. Asemenea limbaje sunt pur descriptive. Gradul deadevăr este binar (0 sau 1, fals sau adevărat) şi se stabileşte prin compararea realităţiidescrise cu propoziţia de descriere. Adaugând la vocabular cuvântulnu , putem forma încă opt propoziţii, fiecăreia putându-le asocia câte un grad de adevăr.

Nu toate limbajele descriptive elementare sunt însă şi binare. Să luăm ca exemplu

limbajul descriptiv bazat pe vocabularul {Ion, contemplă, pasărea, raţionează}. Limbajulacesta este descriptiv-imprecis, deoarece sensurile pentru “contemplă”, “raţionează” nusunt clare, ferme. Este disputabil (cel puţin la stadiul actual alştiinţelor cognitiveşilingvisticii) dacă putem spune clar când cineva contemplă ceva, sau dacă o pasăre poateraţiona. Ca urmare, unele dintre propoziţiile formate, precum “Ion contemplă”, suntdescriptive, dar imprecise. Deci,şi limbajul generat va fi descriptiv-imprecis.

Sunt frecvente limbaje imprecise, ambigui, chiar dacă ele sunt descriptive. De

exemplu, cu vocabularul { Ion, student, bun, este }, avem un limbaj descriptiv subiectiv-


3/32

Logica nuan ţ at ă şi logici MV 9

ambiguu, deoarece în timp ce propoziţia “Ion este student” este valuabilă într-o logică binară, propoziţia “Ion este student bun” (caşi propoziţia “Ion este bun”) deşi descriptivă,nu este sigur ce înseamnă.

Limbaje subjonctive

(Sub-)limbajele subjonctive conţin propoziţii neverificabile, cărora nu li se poateatribui un grad de adevăr, cel puţin nu în sensul propoziţiilor descriptive. Propoziţia “să fiavut el mai multe cunoştinţe, ar fi rezolvat problema”, exprimă o posibilitateneverificabilă, de altă natură decât propoziţia “Ori de câte ori a avut cunoştinţele necesare,el a rezolvat problema” – ultima fiind (eventual) verificabilă.

Limbaje ale presupozi ţieiS-a remarcat în ultimele decade ale sec. XX că unele propoziţii, care sunt perfect

formate gramaticalşi care au sens, nu pot fi valuate ca grad de adevăr, deşi par a fi de tipdescriptiv precisşi, deci, par să aparţină logicii binare. Un exemplu tipic (în literatură)este propoziţia “Regele Canadei s-a născut la Viena”. Imposibilitatea valuării provine dela faptul că propoziţia este numai aparent descriptivă, dar nu descrie nimic, căci “regeleCanadei” nu există (Canada nu are rege). Ca urmare, propoziţia se referă la ceva

inexistent, deci nu poate fi nici adevărată nici falsă – ea face o presupozi ţ ie, anume că arexista un rege al Canadei (aceasta este numită o presupozi ţ ie existen ţ ial ă). S-a remarcat –şi problema nu este încă rezolvată – că nici măcar negaţia unei asemenea propoziţii nupoate fi bine construită astfel încât să fie mai uşor valuabilă. Acesta este doar un caz depropoziţie nevaluabilă şi justifică abordarea (propusă aici) din prima definiţie din acestcapitol.

Nega ţiaDefinirea valorilor de adevăr nu echivalează cu definirea unei logici. O logică

necesită definireanega ţ iei , a unor operaţii elementare cu propoziţii, precumşi a unuimecanism deductiv (implicaţia).

În toate limbajele naturale, există cel pu ţ in un mecanism astfel încât, cel puţin pentruunele dintre propoziţiile valuabile, este adevărat că aplicând unei propoziţii valuabile p mecanismul (procedura) respectiv(ă) de transformare, se obţine o altă propoziţie


4/32

Capitolul 110

valuabilă, notată p¬ , construită într-o formă bine determinată gramatical, care satisface

două proprietăţi:

• )( pθ şi )( p¬θ sunt într-o relaţie bine determinată, unică, indiferent de p ;

• procedura respectivă se poate aplica ori de câte ori, recursiv.Se poate ridica obiecţia că, de obicei, această procedură necesită un nou cuvânt

adăugat la propoziţia p, ceea ce poate conduce ca p să aibă dimensiune mai mare decât

cea aleasă iniţial, N . Desigur, această problemă se poate depăşi, admiţând că 1+∈¬ N V P p ,

sau 1+∈¬ N V N V PP p U , eventual U M

k

k N V P p

0=

+∈¬ , M dependent de limbă. De altfel, pentru

eliminarea ambiguităţii existente în prezent privind infinitatea posibilă a cuvintelor într-o

propoziţie, vom reveni ulterior asupra definiţiei unei limbi naturale dotată cu logică şivom defini recursiv limba.

În general3, se impune ca )())(( p p θ=¬¬θ , dar nu există o justificare fundamentală

pentru aceasta.Un limbaj dotat cu negaţie (limbaj cu nega ţ ie) este o primă treaptă de evoluţie a

limbajului logic, dincolo de limbajul pur descriptiv. De exemplu, la animale, limbajeleverbale (semnele sonore) sunt, în general, doar afirmative: un sunet este folosit pentru a

semnala că “prădător(ul este) aproape/se apropie”, alt sunet (semnal sonor) pentru“prădător(ul este) aici”, alt sunet pentru “prădătorul (a) plecat”, dar nu există semnalsonor pentru “prădătorul nu (este) aici”. Negaţia s-a dezvoltat probabil în legătură cuinterogaţia (propoziţii ne- valuabile logic!). Probabil că negaţia negaţiei a apărut târziu. Cadovadă, diferenţele mari chiar în limbile europene, între cele care nu admit dubla negaţie(decât ca afirmaţie) şi cele care admit dubla negaţie într-o propoziţie negativă.

Problema nega ţieiO condiţie intuitivă pentru negaţie într-o logică oarecare este: dacă )()( q p θ>θ

atunci )()( q p ¬θ≤¬θ . Aceasta este o condiţie de monotonie. Condiţia: dacă )()( q p θ=θ ,

atunci )()( q p ¬θ=¬θ rezultă din unicitatea impusă definiţiei formulei negaţiei.

Cea mai simplă formă de monotonie se obţine când )(1)( p p θ−=¬θ , condiţie

definitorie în logica binară şi în logica fuzzy. Alte relaţii, care păstrează monotonia, sunt

3

Logica propoziţională consideră această condiţie definitorie pentru negaţie;ş dar condiţia se poate relaxacu consecinţe interesante.


5/32


însă acceptabile intuitiv. Trei asemenea relaţii sunt ilustrate grafic în Fig. 1; a douadiagonală corespunde definiţiei ( ) ( ) p p θ−¬θ 1 .

Fig. 1. Trei definiţii valide ale negatei. Toate trei definiţiile respectă condiţia demonotonie

Exerci ţiu . Să se definească două negaţii pentru o mulţime finită de grade de adevăr,

anume {0; ½; 1}, astfel încât să fie păstrată condiţia de monotonie, dar să nu fie folosită negaţia uzuală definită prin “1-“.

Soluţia este imediată: dacă 2 / 1)( =θ p , atunci impunem sau 0)( =¬θ p , sau

1)( =¬θ p .

Observa ţie. În cazul logicilor infinit-valente, se pot defini o infinitate de negaţii caresatisfac toate condiţiile de mai sus. Dificultatea este de a verifica dacă modelul de negaţiepropus este potrivit (dă rezultate bune) în domeniul de aplicaţii avut în vedere. Nu toate

aceste definiţii vor satisface însă şi condiţia )())(( p p θ=¬¬θ .

Propozi ţii ne-negabileEste discutabil dacă, fie şi în logica bivalentă, toate propoziţiile valuabile au negată

valuabilă. De exemplu propoziţia “astăzi (eu) sunt” este adevărată sau nevaluabilă – căcidacă nu sunt, nu pot vorbi despre mine, iar propoziţia “astăzi eu sunt” nu are atuncivaloare de adevăr (decât, cel mult, în sens metaforic). La fel, propoziţia “Amazonulcurge” este adevărată, în timp ce propoziţia negată “Amazonul nu curge”, deşi evident opropoziţie gramatical corectă, nu este valuabilă, căci existenţa Amazonului presupunecurgere. Această propoziţie scapă chiar şi cazului propoziţiilor care includ presupoziţii,discutate anterior în acest capitol.

O prim ă defini ţie recursiv ă a limbii

Considerăm o limbă cu un vocabularV . Fie 0 N cel mai mic număr pentru care există

o aplicaţie T P N V

→θ 0*: . Considerăm că există o regulă sau un set de regulişi de cuvinte

θ(p)

θ(¬ p) ( ) ( ) p p θ−=¬θ 1

( ) ( ) ( ) ( )q pq p ¬θθ 1

1


6/32

Capitolul 112

suplimentare din vocabular prin care, din orice propoziţie 0 N V P p∈ (deci, p este propoziţie

logică) se poate dezvolta o propoziţie sau un set de propoziţii logică(e), notată(e) p¬ ,

valuabilă(e) logic într-o mulţime N V P p∈ , astfel încât există o formulă unică satisf ăcută de

)( pθ şi )( p¬θ , de forma implicită ( ) 1)(),( =¬θθ p p f .

În general, regula de derivare de propoziţii negate necesită cel puţin un cuvânt (sauparticulă) suplimentară, de exemplu “nu”. (Sunt limbi care necesită două cuvinte, de ex.limba franceză utilizează “ne … pas”, limba engleză utilizează după caz “not”şi “no” etc.Corespunzător, sunt mai multe scheme de formare a negatei unei propoziţii, iar două scheme pot duce la două negate diferite, chiar dacă ambele au sensul identic, de p¬ ).

Fiind dată mulţimea 0 N V P , mulţimea obţinută recursiv prin aplicarea negaţiei va fi, în

general, o muţime infinită, cu propoziţii de forma p¬¬¬ LL .

Negaţia recursivă se poate folosişi pentru a construi predicate infinite ca număr decuvinte. De exemplu, propoziţia “X este aici” foloseşte predicatul "" aicieste=π ;

predicatul negat )( xπ¬ este "" aiciestenu=π¬ . Cu acest predicat putem construi prin

negare multiplă: )(⋅π¬¬ L .

Conective logice

O altă cale de extindere recursivă a unui limbaj natural elementar este prin utilizareaunor conective între propoziţii. Vom înţelege aici prin conective operatorii logicibinari

care aplică orice element al produsului k M N V N

V M

V PPP ++→× *

** , unde k este numărul de

cuvinte utilizat de conectiv, precumşi care satisfac unele condiţii precizate mai jos. Altfelspus, conectivele logice ne permit să concatenăm propoziţii simple în altele mai complexe(mai lungi). Spre deosebire de alţi autori, care includ negaţia printre conectivele logice,noi preferăm să excludem negaţia, deoarece ea nuconecteaz ă propoziţii.

Conectivele logice în limba română sunt “şi”, “sau”, notate logic∧ şi ∨ . Indiferentde logică, acestea permit cuplarea a două propoziţii pentru a forma o nouă propoziţie, cuproprietăţile esenţiale următoare:

i) Dacă există )( pθ şi )(qθ , atunci există )( q p∴θ , unde, prin∴ s-a notat oricare

dintre cele două conective. (Altfel spus, dacă p şi q sunt valuabile, atuncişi q p ∴ este

valuabilă).


7/32


ii) Dacă nu există )( pθ , sau nu există )(qθ , atunci nu există )( q p∴θ . Altfel spus,

dacă sau p sau q nu sunt propoziţii logic valuabile, nu este valuabilă nici o combinaţie alor.

iii) Există (câte) o formulă de calcul pentru )( q p∴θ , independentă de q p, şi

dependentă doar de valorile )( pθ şi )(qθ şi de conectiv.

iv) Conectivele sunt comutative, în sensul că pqq p ∴=∴ .

Asupra ultimei proprietăţi şi a valabilităţii ei, revenim ulterior.

Propriet ăţi suplimentare

Următoarea proprietate este acceptată în toate logicile uzual folosite:v) p p p =∴ (deci şi )()( p p p θ=∴θ ), sau, altă formă (diferită): nu este permisă

construcţia p p∴ .

Această condiţie, în unele limbaje naturale, este legată de ne-permiterea uneiconstrucţii de tip p p∴ ; de exemplu, propoziţia compusă “mărul este roşu şi mărul este

roşu” este, în general, considerată inacceptabilă în limba română.Existenţa conectivelornu este condiţionată de existenţa negaţiei. Conectivele ne

permit ca, pornind de la un sub-limbaj bazat pe propoziţii de lungime dată să seconstruiască un limbaj cu propoziţii oricât de lungi. Dacă proprietăţile (iv)şi (v) sunt însă acceptate, lungimea propoziţiilor generate cu conective, dintr-un limbaj cu număr maxim

de cuvinte într-o propoziţie fixat, 0 N , rămâne mărginită. Într-adevăr, după un număr de

combinaţii de propoziţii din 0 N V P , se ajunge la propoziţii sau nepermise, (aceasta, datorită

proprietăţii de comutativitate (iv)), sau identice cu cele anterioare.Un limbaj valuat logic, dotat cu cel puţin un conectiv, va fi numitlimbaj conectivat .

Defini ţie. Un limbaj se spune că este logic dacă i) există cel puţin un set de propoziţii* N

V P , care include o mulţime nevidă 0 N V P , iar ii) peste 0 N V P este definită o negaţie şi iii)

este definit cel puţin un conectiv logic.Un limbaj se numeşte logic complet dacă este un limbaj logicşi este dotat cu două

conective logice care satisfac condiţia: pentru orice două propoziţii logice,)()( q pq p ∨θ≤∧θ .


8/32

Capitolul 114

Prin urmare, putem definilogica propozi ţ ional ă drept disciplina care se ocupă cuvaluarea propoziţiilor limbajului naturalşi cu dezvoltarea recursivă de propoziţiivaluabile, în cadrul acelui limbaj. În particular, disciplina se ocupă cu valuarea

propoziţiilor dezvoltate recursiv.Reamintim că, în logica fuzzy, ( ) [ ]1,0∈θ p , iar negaţia şi conectivele sunt definite

prin:( ) ( ) p p θ−=¬θ 1 ,

( ) ( ) ( )( )q pq p θθ=∧θ ,min ,

( ) ( ) ( )( )q pq p θθ=∨θ ,max .

Implicaţia este definită prin:

( ) ( ) ( )( )q pq p θθ=⇒θ ,min .

Observa ţie. În logica fuzzy, caşi în logica binară, conectivele pot fi definiţi unul prinaltul, căci ),max(),min( y x y x y x =−+ . Deci, un singur conectiv este esenţial, al doilea

putând fi introdus prin primul,( ) ( ) ( ) ( )q pq pq p ∨θ−θ+θ=∧θ .

Aceasta se lasă ca exerciţiu:Exerci ţiu . Să se arate că atât în logica binară, cât şi în logica fuzzy, conectivulŞI se

poate defini prin conectivul SAU, prin dubla implicaţie (egalitatea logică), astfel:( ))()( q pq p ¬∨¬¬θ=∧θ q p ,∀ .

Aceasta rezultă din tabelul de adevăr, pentru logica binară:

p q q p ∧ p¬ q¬ q p ¬∨¬ ( )q p ¬∨¬¬ 0011

0101

0001

1100

1010

1110

0001

Pentru a determina dacă definiţia este corectă si pentru logica fuzzy, procedăm lainvestigarea cazurilor posibile. Întâi, notăm ( ) ( ) yq x p =θ=θ , . Atunci, pe cazuri:

Caz y x ≤

( ) xq p =∧θ

( )( ) ( ) ( ) x x y xq p =−−=−−−=¬∨¬¬θ 111,1max1

Similar pentru cazul x y ≤ (relaţia este simetrică în x şi y).


9/32


Exerci ţiuSă se evalueze, în logica binară şi în logica fuzzy, expresia logică )()( q pq p ¬∨¬∧∧ .

Solu ţ ie. În logica binară: p q p¬ q¬ q p ∧ q p ¬∨¬ ( ) ( )q pq p ¬∨¬∧∧ 00

01

11

10

00

11

00

11

01

00

10

01

10

00

Deci, în cazul logicii binare, expresia este întotdeauna falsă. În cazul logicii fuzzy, cunotaţiile ( ) ( )q y p x θ=θ= , , obţinem

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) y x y xq pq pv −−=¬∨¬∧∧θ= 1,1max,,minmin .

În cazul y x ≤ , obţinem ( ) 5,01,min ≤−= x xv . Similar, în cazul 5,0, ≤> v y x .

Deci, expresia are întodeauna o valoare de adevăr sub 0,5.

Observa ţ ie. Să observăm că regula de deducţie din logica binară: p, deci q p ∨

devine, în logica fuzzy,)()( pq p θ≥∨θ .

t-norme şi s-norme

t -normele sunt o clasă de operatori abstracţi, algebrici, ]1,0[]1,0[]1,0[: →×t , cu

proprietăţi convenabile pentru formalizarea (algebrizarea) logicilor. Aceşti operatori suntfolosiţi pentru a defini conectivul logicŞI, căruia i se conferă proprietăţile operatorului,prin definiţia )()()( qt pq p θθ=∧θ . Proprietăţile t -normei şi aplicarea la logică sunt

sumarizate mai jos, folosind notaţia operatorială:

( ) ( ) ]1,0[,, ∈∀= z y x zt yt x zt ty x (asociativitate)

( ) ( ) r q pr q pr q p ,,)()( ∀∧∧θ=∧∧θ propoziţii

xt y yt x = (comutativitate)

q p pqq p ,)()( ∀∧θ=∧θ

x xt t x == 11 (element unitate)

( ) ( ) ( ) 1: =θ∀θ=∧θ qq pq p


10/32

Capitolul 116

z ytz xtz y x ∀≤⇒< (monotonie)

( ) ( ) ( ) ( )qr r pr q p ∧θ≤∧θ∀⇒θ≤θ :

Reamintim că se folosesc frecvent mai multe notaţii pentru a desemna operatoriilogici: notaţia ca funcţie, notaţia ca operator algebric (cum sunt +,÷×, ), notaţia poloneză

etc. De exemplu, prima relaţie de mai sus,( ) ( ) zt yt x zt ty x = foloseşte notaţia operatorială,

de tipul ( ) ( ) z y x z y x ⊗⊗=⊗⊗ . (Simbolul⊗ chiar este folosit uneori în acest contex).

Notaţia funcţională echivalentă este:( ) ( )),(,),,(( z yt xt z y xt t = .

În fine, notaţia poloneză (tip prefix) este:

yzt tx z yttx = .Ne aşteptăm ca cititorul să exerseze aceste notaţii diverse, pentru a le stăpâni în mod

rezonabil.Conectivul SAU este definit printr-un alt operator, numit co-normă, cu proprietăţi

similare:( ) ( ) ]1,0[,, ∈∀= z y x zs ys x zs ys x (asociativitate)

( ) ( ) r q pr q pr q p ,,)()( ∀∨∨θ=∨∨θ propoziţii

xs y ys x = (comutativitate)q p pqq p ,)()( ∀∨θ=∨θ

x xss x == 00 (element unitate)

( ) ( ) ( ) 0: =θ∀θ=∨θ qq pq p

z ysz xsz y x ∀≤⇒< (monotonie)

( ) ( ) ( ) ( )r qr pr q p ∨θ≤∨θ∀⇒θ≤θ :

Pentru detalii, a se vedea de exemplu volumul amintit înPreliminariile la acestCompendiu.

Logic ă, semantic ă şi conativitate 4

Limbajul are funcţii multipleşi, cel puţin în prezent, logica nu are nici scopulşi nicideschidereaşi instrumentele necesare să abordeze toate aceste funcţii. Prin dezvoltările

4

Folosim aici cuvântulconativ cu sensul de “încercare de a conduce pe cititor la o idee”, intenţionalitateapresupusă în mesajul lingvistic respectiv.


11/32


începute de Aristotel în direcţia logicii modale, trecând prin acele ale logicienilor EvuluiMediu (care, pentru logică cel puţin, nu a fost deloc o epocă a întunericului)şi până ladezvoltările din secolul al XX-lea, logica a trecut de la analizaadev ărului la analizaposibilităţii şi necesităţii, a gradelor de încredere, a diverselor valuări asociate unoractivităţi specifice (logica deontică, a acţiunii, logica dinamicii, logica specificaţiilor –requirements etc.). Dar logica nu se ocupă încă de diferenţele subtile semanticşi conativ între propoziţii de forma q p ∧ şi pq ∧ , de exemplu. Pentru orice vorbitor, este evidentă

diferenţa de sens între „eu sunt de acordşi el este de aceeaşi părere”şi respectiv „el estede aceeaşi părere şi eu sunt de acord”. A face confuzie între asemenea propoziţii nu esterecomandabil. Propoziţii ca cele de mai sus sugerează că, cel puţin în afara logicii clasice,conectivele pot s ă nu ac ţ ioneze comutativ . Chiar dacă se păstrează comutativitatea

conectivelor, la nivel logic, ele pot fi ne-comutative la nivel conativ. De aceea, estenecesar să se distingă între asemenea propoziţii, chiar dacă valoarea lor de adevăr esteaceeaşi şi ele sunt bazate pe aceleaşi propoziţii simpleşi pe aceleaşi conective. Estefrecventă în literatură – inclusiv în bine-cunoscuta enciclopedie de filosofie Stanford (peInternet) – confuzia între propoziţii şi gradul/gradele de adevăr ale lor.

Forme ale conectivelor şi indicatori (marcheri) ai logicii de interpretare

Într-o limbă sunt folosite adesea cuvinte multiple cu rol de conective, cu acelaşi sens(logic). De exemplu, în limba română, în afară de cuvântul „şi”, semne de punctuaţie(virgula, punctul-şi-virgula), cuvintele „iar”, „în plus” etc. au sens de „şi” în multecontexte.

ŞI = {şi, „ , ”, „ ; ”, iar, în plus}SAU = {SAU} poate fi A sau B SAU exclusiv = {exlusiv sau ... sau, ori ... ori – dar nu amândouă}

În toate limbile, sunt folosiţi ceea ce numim „indicatori” sau „marcheri de(interpretare) logică”. Aceştia sunt cuvinte sau sintagme care indică modul în carevorbitorul a gândit fraza, sau în care doreşte să fie receptată fraza, sub raportul logic,deductiv. Dăm mai jos câteva asemenea cuvinte-marcher de logică.

Indicatori ai logicii probabiliste sunt:uneori, adesea, frecvent, mai rar, de obicei, îngeneral, uzual, aproape niciodat ă , aproape întotdeauna, câteodat ă , mai des, probabil etc.


12/32

Capitolul 118

În general, marcherii probabilişti indică existenţa unui număr mare de cazuri, dintre careunele se pot realiza în situaţia descrisă de vorbitor.

Indicatori ai logicii posibilului sunt: posibil , se poate , poate c ă, neap ărat (= necesar).

Indicatori ai logicilor imprecisului, vagului (tratate adesea în logici MV finite), saufuzzy sunt:mult , pu ţ in, frumos , înalt , bun , cald etc.

Implica ţia, condi ţii logice, condi ţii cauzale

În această secţiune atragem atenţia asupra unor confuzii care apar frecvent la cei care învaţă elementele logicii, confuziile fiind datorate în mare măsură tratării superficiale înunele manuale a distincţiilor dintre logica clasică şi logica deducţiei ştiintifice bazată pecauzalitate. Atragem atenţia că, în logica clasică şi în cele mai multe dezvoltări ale salesub forma unor logici matematice, conceptul de cauzalitate nu apareşi este total irelevant.În contrast, înştiintele naturale, cauzalitateaşi, implicit, timpul sunt concepte centrale.Confuziile sunt accentuateşi de faptul că termenii denecesitate şi de suficien ţă suntfolosiţi cu sensuri diferite în logica clasică şi în matematică, pe de o parte,şi în ştiintelenaturale, pe de altă parte.

Implicaţia este considerată adesea drept cheia raţionamentului, operaţia logică prin

care se deduc propoziţii valide din premise valide. Rolul central al implicaţiei înraţionamentul logic este înţeles adesea la nivel semantic prin cauzalitate. De fapt,cauzalitatea are mai multe accepţiuni: cauzalitatea cu factor suficient, caz în careproducerea lui A (cauza) conduce cu necesitate la producerea lui B, A fiind o cauză suficientă, respectiv cauzalitatea necesară, caz în care B se produce numai dacă există A,dar nu necesar apare B ca urmare a lui A, deoarece pot fi necesare mai multe condiţii. Deexemplu,

Orice for ţă (A) produce o reac ţ ie [egal ă de sens contrar ] (B).Aici avem o cauzalitate suficientă: A produce necesar B, este suficient să apară A ca

să apară B.În schimb,Orice for ţă (A) produce o accelera ţ ie (B).

exprimă o cauzalitate, dar numai necesară, căci nu poate apare acceleraţie în lipsa niciunei forţe, dar nu suficientă, căci o forţă contrară se poate opune. Într-un exempluparticular, legea


13/32


Gravita ţ ia face ca toate corpurile s ă cad ă

este falsă, căci un corp aşezat nu cade.În fine, există cauze conjugate. “Lichidul fierbe la temperatură mare” este o

propoziţie eronată în fizică, deoarece elimină o cauză; trebuie spus “lichidul fierbe latemperatură mareşi presiune mică”. Avem aici două premise, “cauze”, ambele necesare.Putem uşor găsi numeroase exemple: “morcovul face supa bună” este adevărat (în sensulcă morcovul este o cauză pentru supa bună), dar e discutabil ca punând numai morcov înapa fiartă obţinem o supă bună.

Importanţa caracterului necesar sau suficient în implicaţie este bine ilustrată pentrueroarea de raţionament f ăcută în exemplul următor (preluat în traducere de la:http://www.philosophypages.com/dy/i.htm#impn). În sursa amintită, se face o egalitate

logică între q p ⇒ şi q p ∨¬ , conform tabelului de adevăr al implicaţiei în logica binară.(Acest tabel nuţine însă seama de caracterul necesar sau suficient al implicaţiei.)Exemplificarea se face, în sursa citată prin:

Dac ă plou ă , contramandez mersul la picnic . (În original: "If it rains, then we cancelthe picnic.")

Se trage concluzia că:Fie nu plou ă , fie contramandez picnicul .

ultima propoziţie fiind dată ca echivalenţa primeia5.

Desigur, într-o zi obişnuită, când mă scol să mă duc la serviciu, mă uit să văd dacă plouă, dar este rizibil să mă gândesc să contramandez un picnic, când în nici un caz nu îmieste gândul la aşa ceva. Ambele propoziţii sunt absurde în viaţa de zi cu zi. Eroareaprovine din considerarea cauzei „plouă” ca fiind o cauză suficientă pentru a„contramandez picnicul”. De fapt, în raţionament lipseşte o premisă esenţială înţelegerii:

Dac ă plou ă Ş I dac ă am fixat un picnic contramandez . Din nefericire, destule manuale delogică includ asemenea exemple absurde. Într-o variantă de rezolvare a deficienţei, putemaccepta că se foloseşte implicit presupoziţia celei de a doua premise, anume că picnicul afost deja angajat.

De notat că folosirea unei propoziţii la prezentul condiţional (subjonctival, atemporal,general) rezolvă problema: „Dacă plouă, nu merg la picnic”, cu sensul „ori de câte oriplouă, nu merg la picnic”.

5 Există o diferenţă de nuanţă între cele două propoziţii. Prima este dubitativă şi face mai uşor de apelat în

minte condiţia suplimentară presupusă tacit aici. A doua propoziţie “sună” imperativ-necesarşi alungă dinminte orice condiţii suplimentare.


14/32

Capitolul 120

Exempleleşi discuţia de mai sus sunt destinate să atragă atenţia asupra grijii cu caretrebuie tratată o frază în limbaj natural, pentru a nu produce erori grosolane întranspunerea în forma logică riguroasă. Abia după o asemenea transpunere se poate trece

la realizarea unui program care să folosească raţionamentşi cunoştinţe pentru rezolvareaunor probleme.Dată fiind importanţa cauzalităţii în legileştiinţelor naturaleşi în activităţile curente,

precumşi, mai general, importanţa implicaţiei în raţionament, definirea implicaţiei estepercepută ca esenţială în cadrul oricărei logici.

În general, implicaţia este o relaţie parţială între propoziţii, în sensul ca este o

submulţime a N V N V PP ** × , notată prin q p ⇒ şi stabilită printr-o relaţie între gradele de

adevăr ale celor două propoziţii. În logica binară, implicaţia este definită printr-o relaţiesimplă între gradele de adevăr ale propoziţiilor şi ale negatelor lor, conform tabeluluibinecunoscut:

qp⇒ q 0 1

p 01

1 10 1

Această definiţie porneşte de la principiul că o propoziţie falsă poate implica orice.

Aceasta este o convenţie, care nu neapărat este cea mai fericită în cazul utilizării logicii ladeducţii în ştiinţele naturale, unde aparşi cauzalităţi suficiente. În acest caz, falsitateapremisei duce cu necesitate la falsitatea concluziei. Folosind exemplul legii lui Newton,lipsa forţei duce la lipsa reacţiei (“Dacă asupra corpului acţionăm cu o forţă, corpulreacţionează cu o forţă opusă asupra noastră”).

Ca urmare a neadecvanţei unei definiţii la diversele înţelesuri pentru implicaţie, înţelesuri folosite în raţionamente în diverse discipline, în logicile nebinare sunt folosite

multe definiţii paralele ale implicaţiei. Definiţia folosită preponderent (aproape exclusiv) în acest volum, în cazul logicii fuzzy, corespunde aşa-numitei implicaţii Zadeh, uneorinumită şi implicaţie Mamdani [Juntzen].

Diferenţele dintre logica clasică şi logica (logicile) folosită(e) înştiintele naturale aufost clarificate în mare măsură în ultimii 30 de ani ai secolului 20, prin lucrări precum celeale lui David H. Sanford (Causal necessity and logical necessity, înPhilosophicalStudies , Springer, Vol. 28, Nr. 2, August, 1975, pp. 103-112)şi Jonathan Moffett, JonHall, Andrew Coombes, John McDermid, A model for a causal logic for requirements


15/32


engineering, Requirements Engineering (Springer), Vol. 1, Number 1 / March, 1996, pp.27-46.

Rezolvarea unor paradoxuri în logicile MV şi în logicile de tip fuzzy

O clasă de paradoxuri, cunoscute casorite (de la sorite – grămadă, movilă), includeurmătoarele două paradoxuri bine cunoscute:

Paradoxul movilei de nisip . Un grăunte de nisip nu face o movilă; nici două grăunţe,nici trei; dacă adăugăm un grăunte de nisip la cea ce nu este o movilă, nu transformămacel ceva în movilă. Ca urmare, prin adăugarea de grăunţe de nisip la o mulţime degrăunţe de nisip nu putem construi o movilă. Atunci nu există movilă de nisip. (Varianta

numerizată: Câte grăunţe de nisip fac o movilă?)Paradoxul chelului . Dacă un om care nu este chel pierde un fir de păr, el nu devine

chel. Prin urmare, dacă, după ce a pierdut un fir de păr, mai pierde încă unul, nu devinechel. Deci, oricâte fire de păr pierde, un om care nu este chel nu devine chel.

Paradoxurilesorite sunt relativ uşor eliminate într-o logică infinit valentă, graduândconceptul imprecis dechel şi valorile de adevăr ale propoziţiei X este chel , în funcţie denumărul de fire de păr (sau, de densitatea medie de fire de păr etc.).

Exerci ţiu . Să se interpreteze în logica fuzzy propoziţia definitorie: Un om are cheliedacă, pe o suprafaţă suficient de mare a pielii capului lui (suprafaţa fiind situată într-ozonă predefinită “cu păr”) are o densitate (medie) a firelor de păr mică [sub o valoare dată (de ex., 30 fire/cm2)].

Indica ţ ie. Aici avem de a face cu două premise: “pe o suprafaţă suficient de mare”şi“are densitate mică (de fire de păr, pe acea suprafaţă)”. Formal, putem scrie “schema”implicaţiei:

“are densitate mică” ŞI “pe o suprafaţă suficient de mare” are chelie

sau ( ) )()();( 11 C S f θ=θρθ∧ , unde =ρ ”are densitate mică”, =S ”suprafaţa pe careρ estevalabilă este mare”, =C ”are chelie”, iar

∧ f este funcţia de definire a conectivuluiŞI.


16/32

Capitolul 122

O dificultate care apare imediat este că “are chelie” este (pare) o propoziţie binară.Dacă dorim să păstrăm această propoziţie binară, în timp ce premisele le vom consideravaluate în [0,1], iar conectivulŞI îl interpretăm într-o logică MV, precum logica fuzzy, va

trebui să folosim o funcţie f de “rotunjire” la valorile 0 sau 1. Deci, vom ieşi din cadrulstrict al logicii fuzzy, cel puţin în ce priveşte implicaţia. Putem, convenţional, obţinerezultatul implicaţiei ca fiind fuzzy, iar apoi valoarea de adevăr obţinută o convertim în 0dacă este mai mică decât 0.5, respectiv în 1, în caz contrar.

Amănuntele discuţiei, precum precizarea unor funcţii de apartenenţă pentru“suprafaţă mare”şi “densitate mică”, le lăsăm cititorului, caşi interpretarea – binarizarea– în logica binară a primei premise, prin < 30 fire/cm2.

Fraze comparative – compara ţ ii binare şi incerte

Se consideră propoziţiile: “Ion este înalt, dar Gică este mai înalt decât Ion”,“Pepenele acesta este copt, dar celălalt esteşi mai copt”, “Ion este student bun, dar Nelu eşi mai bun”, “Dacă Ion este la fel de bun caşi Gică în meserie, nu e nici el bun pentruacest post”. Să explicităm logic aceste propoziţii. Facem urnătoarele precizări preliminare:

1. “Este înalt” este un predicat vag (fuzzy)

2. Comparaţia este binară sau fuzzy, funcţie de context.( ) y x,π = “este mai înalt decât y” este binar (comparaţie crisp), respectiv este fuzzy,

atunci cănd nu se poate face precis comparaţia.De notat că:“Ion şi Nelu sunt înalţi, dar Ion este mai înalt decât Nelu” are mai multe interpretări

posibile, funcţie de context. Ca exemplu, considerăm situaţia în careşi Ion şi Nelu sunt întâlniţi şi evaluaţi “din ochi” ca înălţime, separat, amândoi fiind estimaţi ca “înalţi”.

Comparaţia, în acest caz, este bazată pe o estimare vizuală. Ca urmare,şi estimareaşicomparaţia vor fi aproximative, incerte, ca în Fig. 2.

Fig. 2. Situaţia comparaţiei a două marimi care sunt imprecis evaluateşi care nu pot ficomparate direct între ele, precis

Ion

înalt

Nelu

h

µ (h)


17/32


În altă situaţie, Ionşi Nelu sunt văzuţi împreună, stând unul lângă altul. Estimareaeste tot vizuală, dar compararea se face suficient de precis, în sensul că aproape oricediferenţă de înălţime este vizibilă (presupunem că amândoi stau în picioare, în poziţieverticală, pe o suprafaţă oritontală şi au tocuri la fel de mari la pantofi). Atunci,comparaţia devine crisp, deşi estimarea înălţimii este vagă (Fig. 3).

Fig. 3. Situaţia comparaţiei a două marimi care sunt imprecis evaluate, dar care pot ficomparate direct, precis

Complexitate logic ă a unui limbaj

Considerăm un vocabularV , ca la începutul acestui capitol. Notăm prin N V P <

mulţimea tuturor pre-propoziţiilor de dimensiune cel mult N , care sunt valuabile logic; fieele valuate într-o logică oarecare (deci, care auşi sens). Numimtext de dimensiunen unşir de asemenea propoziţii, la care se pot eventual adăuga oricâte propoziţii nevaluabilelogic, în nici o logică (de exemplu, propoziţii interogative). Vom nota un asemenea textprin nτ .

Numărul de logici necesare pentru a putea valua un maxim de propoziţii în textulrespectiv va fi numitcomplexitatea (dimensiunea ) logic ă a textului. Vom notadimensiunea logică a textului prin )( nl D τ , unde N→τ }{: nl D .

De exemplu, un text de matematică necesită în general numai logica binară pentru a fiintrepretat. Acel text are dimensiunea logică unu. Un text deştiinţe naturale – să spunem,fizică – poate necesita în interpretare folosirea atât a logicii binare, câtşi a unei alte logici,care să reflecte specificul cauzalităţii fizice. Un asemenea text are dimensiunea doi. Înfine, un text literar poate necesita un număr mare de logici. (Presupunem aici că toatelogicile necesare sunt cunoscute, astfel încât să se poată valua un număr maxim depropoziţii valuabile; deci nuţinem cont de dezvoltarea momentană a logicii). Un exemplude text uzual, care necesită două logici este: “Dacă plouă des în mai, vom avea destulmălai”; cuvântuldes poate fi interpretat probabilist, iar cuvântuldestul necesită o logică aimprecisului, a vagului.

Ion

înalt

Nelu

h

µ (h)


18/32

Capitolul 124

Fiecare domeniu (consideratbine definit), de exemplu matematica, fizica,ştiinţelemedicale etc., foloseşte texte care au caracteristic un număr de logici utilizate inerent îninterpretare. Mulţimea tuturor textelor specifice unui domeniu va fi numitlimbaj al acelui

domeniu şi va fi notat prin domeniu L . Numărul de logici necesare pentru a putea valua unmaxim de propoziţii în limbajul respectiv va fi numitcomplexitatea (dimensiunea ) logic ă a limbajului. Vom nota dimensiunea logică prin )( domeniu L D . De exemplu, putem considera

1)( =matematica L D , corespunzător logicii binare.

Într-un limbaj de dimensiune mai mare decât unu, pot exista cazuri de propoziţiicompuse, în care unele propoziţii sunt valuate într-o logică, altele în a doua, iar implicaţia(concluzia) se determină conform unei a treia logici. Exerciţiile şi comentariile la acestea,

din finalul acestui capitol, exemplifică această situaţie.

Logica propozi ţional ă şi logica predicatelor

Logica propoziţională, discutată până aici, tratează despre mulţimi de propoziţii.Propoziţiile, ca elemente ale limbajului, au un grad redus de generalitate.

Pe de o parte, mai multe propoziţii pot fi purtătoare ale aceluiaşi conţinut. Deexemplu, “Ion merge repede către uşă”, “Ion merge iute către uşă”, “Repede, Ion mergecătre uşă”, “Ion se îndreaptă repede către uşă” etc., au acelaşi grad de adevăr şi acelaşiconţinut semanticşi, în afara modului linvistic de exprimare, spun acelaşi lucru. Deci, estenatural să selectăm toate propoziţiile logicşi semantic identice (echivalente)şi să formămo clasă. Formând toate clasele posibile obţinem o altă structură, una de clase de propoziţii.

Pe mulţimea claselor de propoziţii putem defini un operator de negareşi conectivelogice. De exemplu, negata clasei1ε , care cuprinde propoziţiile din exemplul anteriorşi

toate celelaltelogic echivalente cu ele, va fi clasa 1ε¬ a propoziţiilor echivalente cu “Ion

nu merge repede către uşă”. Similar, se extind conectivele logice la clase de propoziţii.Această generalizare se numeşte structură (algebră) Lindenbaum-Tarski.O a doua modalitate de generalizare este bazată pe observaţia că propoziţiile: “Ion

cântă frumos”, “Maria cântă frumos”, “Nelu cântă frumos”... au aceeaşi schemă, “X cântă frumos”.


19/32


Dacă folosim conceptul de predicat logic pentru partea de propoziţie care se afirmă despre subiect - în cazul nostru, “cântă frumos”,π - atunci propoziţiile de mai sus suntparticulare ale expresiei logice( ) X π , unde { }K,,, Nelu Maria Ion X ∈ .

Ca şi pentru propoziţii, putem defini negatul unui predicat. În exemplul connsiderat,

=π¬ “nu cântă frumos”. Similar, se introduc conectivele. De exemplu, X cântă frumos

( 1π ) şi dansează bine ( 2π ), se poate scrie:( )( ) X 21 π∧π .

Gradul de adevăr se atribuie însă numai propoziţiilor, nuşi predicatelor; de exemplu:( )( ) ( )( ) 0, 21 ==πθ=πθ p Nelu p Ion .

Generalizarea astfel obţinută constituielogica predicatelor , sau logica de ordunulunu .

Comentarii istorice Primele elemente de logică algebrică au fost introduse de Leibniz (Gottfried Wilhelm

Leibnitz, 1646 - 1716), care a scris primele formule algebrice pentru a reprezenta logica[Kneale, vol. 1, p. 361-366]. Prima dezvoltare algebrică unitară îi aparţine lui GeorgeBoole (1815 - 1864). O primă reprezentare geometrică în logică este folosită de LeonhardEuler (1707 –1783); tipul de reprezentare geometrică introdus de Euler (v. [Kneale, vol 1,p. 371) este acum cunoscut cadiagramele Venn ; acesta din urmă probabil le-a reinventatşi le-a folosit extensiv (John Venn, 1834 –1923). Jan Łukasiewicz (1878 – 1956) aintrodus logicile multivalenteşi infinit-valente; a introdus logicile trivalente în 1917.Dezvoltări majore în logică au adus Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 –1925),Bertrand Arthur William Russell, (1872 –1970), Kurt Gödel (1906 – 1978); Tarski a f ăcuto analiză detaliată a sensului adevărului (în lucrarea The Semantic Conception of Truthand The Foundations of Semantics. Alfred Tarski.Philosophy and Phenomenological

Research 4 (1944), existentă pe Internet la http://www.ditext.com/tarski/tarski.html.).

Prima logică în care valorile de valuare nu sunt “adevăr” şi “fals” a fost logica modală, aposibilităţilor, dezvoltată de Aristotel. Dintre primele logici valuate prin alte valori decâtcele de “adevăr” şi dedicate unui anume domeniu de gândireşi activitate a fost logicadeontică, dezvoltată în anii 1950 de Georg Henrik von Wright; o lucrare de sinteză aacestuia a fost tradusă şi în limba română: G.H. von Wright, Norm ă şi ac ţ iune , Ed.Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982.

Logica fuzzy a fost introdusă de Lotfi Zadeh între 1964-1970. Analize de profunzime

asupra sensului unor propoziţii vagi a f ăcut Grigore Moisil, începând cu anii 1940; Moisil


20/32

Capitolul 126

a propus termenul de “logică nuanţată” şi a fost printre primii care au promovat logicafuzzyşi lucrările lui Zadeh.

Primul volum de logică fuzzy în lume este datorat lui Arnold Kaufmannşi a apărut în

Franţa, în 1974. Este notabil că al doilea volum a apărut în România, în 1975, sub titlul Logica vag ă , autori Virgil C. Negoiţă şi Dan Ralescu. Aceşti autori au f ăcut apoi oremarcabilă carieră internaţională.

Cititorul interesat de diversele curente în logică şi de evoluţia logicii poate consultatraducerea în limba română a unei cărţi remarcabile de istorie a logicii, anume W. Knealeşi M. Kneale, Dezvoltarea Logicii , 2 vol., Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1974. Un volum deinteres pentru logica cercetării, apărut în traducere, este: Karl R. Popper, LogicaCercet ă rii , Ed.Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981.

Exerci ţiiLogica binar ă şi logica fuzzy

1. Să se compare operatorii logici binari cu cei ai logicii fuzzy( )¬∨∧ ,, .

R. Reamintim că un operator logic binar este un operator logic care acţionează asupraa două valori logice, de exemplu x şi y, ca în formula z y x =⊗ . Un operator al logicii

binare este sau un operator definitoriu (fundamental) pentru logica binară, sau un operatordedus din operatori fundamentali ai logicii binare. Operatorii binari tipici pentru logicabinară sunt ∨∧, ; unul singur este fundamental, al doilea putând fi definit prin primul.

Modificarea definiţiei unui operator modifică şi logica.Operatorii logicii binare sunt cazuri particulare ale operatorilor logicii fuzzy (min-

max), pentru cazul restrângerii mulţimii valorilor de adevăr [0,1], din logica fuzzy, lamulţimea {0,1}.

Operatorii ∧∨¬ ,, , aplicaţi pentru două mulţimi fuzzy oarecare A~ şi B~, sunt:

( ) ( ) x x A A A ~~ 1:~

µ−=µ¬ ¬

( ) ( ) ( )( ) x x x B A B A B A ~~~~ ,max:~~

µµ=µ UU

( ) ( ) ( )( ) x x x B A B A B A ~~~~ ,min:~~

µµ=µ II

În logica binară, pentru x şi y oarecare (unde x şi y sunt notaţii generice atât pentru

propoziţii, câtşi pentru valorile lor de adevăr), definiţiile sunt:


21/32


x x −=¬ 1 , y x y x ⋅=∧ , ( )1),(min y x y x +=∨ .

Se verifică imediat că logica binară este un caz particular al logicii fuzzy; anume

particularizările constau în aceea că ( ) x A~µ şi ( ) x B~µ iau valori în mulţimea { }1,0 . De

exemplu, dacă ( ) 0~ =µ x A şi ( ) 1~ =µ x B (cazul ( ) 0~ =µ x B şi ( ) 1~ =µ x A , este identic), se obţine în cele două logici:

Logica fuzzy Logica binară

( ) ( )( ) 1,max~~ ~~~~ =µµ=µ↔∨ x x B A B A B A U 1)1,min( =+=⊕=∨ B A B A B A

( ) ( ) 0,min ~~~~ =µµ=µ x x B A B A I 0=⋅=∧ B A B A

01 ~~ =µ−=µ ¬ A A , 11 ~~ =µ−=µ ¬ B B 01 =−=¬ A A

Cazurile ( ) ( ) 0~~ =µ=µ x x B A şi ( ) ( ) 1~~ =µ=µ x x B A se tratează la fel.

În general, pentru o expresie oarecare, se calculează pentru expresie funcţia deapartenenţă )( xµ cu operatorii fuzzy clasicişi se compară cu rezultatele obţinute folosind

logica binară. În concluzie, logica binară este un caz particular al logicii fuzzy.

2. În logica binară,( ) ( ) ( ) ( ) pqqq pqq p pq p p ∧∨=∨∧≠∨∧=∧∨

Să se arate că aceeaşi proprietate este valabilă şi în logica fuzzymax-min . Not ă: Acest exerciţiu este inspirat de o problemă din E. Georgescu-Buzău, N. Matei,

Exerci ţ ii de teoria mul ţ imilor , Ed. Didactică şi Pedagogică, 1969, p. 59, exerciţiul 66.

Solu ţ ie. Vom demonstra numai prima egalitate. A doua egalitate rezultă din primaprin înlocuirea reciprocă a lui p cu q. Notăm valorile de adevăr ale propoziţiilor cu x ,respectiv y. Relaţia devine:

( )( ) ( )( ) y x x y x x ,max,min,min,max =

Verificarea se face pe cazuri, în funcţie de relaţia dintre x şi y:Dacă y x ≤ , atunci )),max(,min()),min(,max( y x x x y x x == .

Dacă , y x > atunci:

( )( ) ( ) x y x y x x == ,max,min,max ; ( )( ) ( ) x x x y x x == ,min,max,min .

Deci, în ambele cazuri, se obţine egalitatea:


22/32

Capitolul 128

( )( ) ( )( ) y x x y x x ,max,min,min,max = .

3. Aici notăm cu aceeaşi literă şi propoziţia şi valoarea ei de adevăr. (a) În logica binară,

este adevărată egalitatea între propoziţiile compuse:( ) ( ) ( ) ( ) z x y x z x y x ∨∧∨=∧∨∧ ?

(b) Să se arate că relaţia este adevărată în logica binară dacă şi numai dacă gradele deadevăr respective (pentru care se folosesc aceleaşi litere) satisfac una dintre condiţiile

≥≤

≤≥

z xsi y x

sau z xsi y x .

(c) Să se arate că, în logica fuzzy max-min, relaţia este adevărată dacă şi numai dacă

( )( ) 0≤−− z x y x .

Not ă: Acest exerciţiu este inspiratşi reprezintă o re-interpretare a exerciţiului 67, dinE. Georgescu-Buzău, N. Matei,ibidem .

Solu ţ ie.

a) Dacă y x ≤ , atunci ( ) x y x =,min , iar ( )[ ] ( ) x x x y x x == ,max,min,max .

Dacă y x > , atunci ( ) y y x =,min , deci ( )[ ] ( ) x y x y x x == ,max,min,max .

Deci, R∈∀ y x, , ( )[ ] x y x x =,min,max .Similar, ( )[ ] y y x y =,max,min R∈∀ y x, .

Acestea sunt echivalente cu: pq p p =∨∧ )( si pq p p =∧∨ )( .

Pe baza acestor rezultate parţiale, rezultă că prima echivalenţă din enunţ esteadevărată.

b) Verificarea că această echivalenţă este adevărată se face pe baza tabelului deadevăr pentru toate celeşase cazuri posibile de inegalităţi de forma *** ≤≤ (de exemplu

z y x ≤≤ ).Notăm ( ) ( )[ ] z x y x A ,min,,minmax= ; ( ) ( )[ ] z x y x B ,max,,maxmin= .

În cazul( ) z y x ≤≤ , avem y B x A == , şi deci y x B A =⇔= .

Să arătăm că avemşi:

( )( ) 0≤−−⇒= z x y x y x .

Într-adevăr,

( )( ) ( )( ) 00 ≤−−⇒=−−⇒= z x y x z x y x y x .


23/32


Reciproc, avem:

z y x ≤≤ şi ( )( ) 0,00 ≤−≤−⇒≤−− z x y x z x y x ,

( )( ) ( )( ) 00 ≥−−⇒≤−− y x y x z x y x ,

( )( ) ( )( ) 000 =−⇒=−−⇒≤−− y x z x y x z x y x (dacă 0=− z x , atunci,ţinând seama că z y x ≤≤ , avemşi 0=− y x ).

Am arătat astfel că

( )( ) 0≤−−⇔= z x y x y x .

Ţinând seama de această echivalenţă şi de y x B A =⇔= , rezultă echivalenţa din

enunţ.

Similar, în cazul( ) y z x ≤≤ , se determină că echivalenţa din enunţ este adevărată. În

cazul 3,( ) z x y ≤≤ , obţinem 0,0, ≤−≥−== z x y x x B A şi deci ( )( ) 0≤−− z x y x .Reciproc, avem evident( )( ) 0≤−− z x y x şi B A z x y z x y =⇒≤≤⇒≤≤ .

Cazurile 4, 5, 6 se tratează similar. Propoziţia din enunţ este adevărată oricare ar finumerele reale z y x ,, , fapt verificat prin epuizarea tuturor cazurilor posibile în tabelul de

mai jos.

min(x, y) min(x, z) A max(x, y) max(x, z) B1 x ≤ y ≤ z x x x y z y2 x ≤ z ≤ y x x x y z z3 y ≤ x ≤ z y x x x z x4 y ≤ z ≤x y z z x x x5 z ≤ x ≤ y x z x y x x6 z ≤ y ≤ x y z y x x x

(Soluţia este preluată aproape identic din lucrarea citată).

4. Explicaţi, cu rigoare, ce este un sistem expertşi cum se tratează în cadrul unui sistemexpert incertitudineaşi imprecizia, precumşi modul de utilizare în sistemele expert a

logicilor nebinare.

5. Să se interpreteze proverbul“Dac ă plou ă mult în mai, vom avea destul m ă lai” , încazul unei logici la alegerea d-voastră (logica binară, logica fuzzy, logicaprobabilistă). Se va răspunde la întrebările:

a) Care este premisa ? Care este concluzia ?b) Cum sunt numite cuvintele mult, destul ? (Ce rol au ?)

c) Aceste cuvinte se vor interpreta cantitativ, în cadrul logicii fuzzy.


24/32

Capitolul 130

d) Se va completa regula cu alte reguli plauzibile, folosind expresiile “plouă puţin”, “plouă foarte mult” etc., în cadrul logicii fuzzy. Indica ţ ie. Se vor da explicit exemple de funcţii de apartenenţă pentru “mult”, în [mm

apă /m2

], respectiv pentru “destul”, în [tone porumb/ha recoltă]ş.

Logici MV

6. Să se definească, în trei variante distincte de logici penta-valente, valorile de adevăr şiconectivele logiceŞI şi SAU, pentru un limbaj în care gradele lingvistice de adevărlogic sunt:{absolut fals ; oarecum adev ă rat ; destul de adev ărat ; preponderent adev ărat ; absolut

adev ă rat }.Este posibil să se definească în trei moduri distincteşi negaţia?

7. Să se dea un exemplu de logică tri-valentă, precizând gradele de adevăr lingvistice,valorile de adevăr numerice asociate, definiţia negaţiei şi definiţiile conectivelorlogiceŞI şi SAU.

8. În cadrul logicii binare, este necesară atribuirea valorii 0 pentru “fals”şi valorii 1pentru adevărat?

9. În cadrul logicilor multivalente, este necesară atribuirea de valori numerice pentrugradele lingvistice de adevăr? Răspuns . Nu. Asocierea cu un număr este circumstanţială.

10. În limbajul comun, cuvintele “da”şi “nu” joacă un rol important în dialog. Folosireaacestor cuvinte presupune o logică binară? Pot toate răspunsurile fi date pe scurt,folosind doar cuvintele “da”şi “nu”, dacă logica dialogului este nebinară? Daţiexemple în sprijinul răspunsurilor Dvs. Aplicaţie: Acest exerciţiu este scrispresupunând o logică binară, sau rezolvarea exerciţiului poate acceptaşi o logică multivalentă?


25/32


11. “ Ion este un bun sportiv ” este o propoziţie tipică. Alegeţi o logică în care ointerpretare rezonabilă a propoziţiei să fie posibilă. Este acea logică unică? Justificaţirăspunsul. Discu ţ ie. Existenţa predicatului compus, vag, “a fi bun sportiv” indică o interpretare

în cadrul unei logici nebinare. Cuantificarea (în sensul atribuirii unei funcţii deapartenenţă) atributului “bun sportiv” este dificilă. Atributul se poate referi la un sportivneprofesionist, bun la acest nivel, sau la un sportiv valoros pe plan local, sau, pe plannaţional. Nu se indică în ce sporturi activează sportivul, ceea ce face imposibilă ocuantificare concretă. Un săritor în înalţime este sau nu bun sportiv în funcţie de înălţimeala care sare; un fotbalist – in funcţie de numărul de goluri date etc. În aceste condiţii deimprecizie, se recomandă folosirea unei logici MV, precumşi a unei rafinări sub formagradelor lingvistice: slab / mediu / bun / excelent sportiv, cu o logică cu câteva valori deadevăr, care să poată fi asignate în mod rezonabil, de exemplu: Ion este bun sportiv cugrad de adevăr ¾ şi ( Ion este ) foarte bun sportiv cu grad de adevăr ¼. Desigur, nu există oalegere unică, necesară, a unei anume logici.

12. “ Deoarece Ionic ă este ahtiat dup ă sport, iar M ă riuc ă i îi place s ă se plimbe prinmagazine, ei trebuie adesea s ă ajung ă la un compromis privind programul comun.

Uneori compromisul este stabilit de comun acord, alteori este nevoie ca feti ţ a lor,

Ioana, s ă intervin ă - şi de obicei ea decide ca ei s ă se joace împreun ă , dac ă e frumos

afar ă , sau s ă mearg ă la cofet ă rie, dac ă afar ă e vreme mohorat ă . Numai dac ă afar ă e

frig şi urât, toat ă lumea e bucuroas ă să stea în cas ă , eventual s ă invite musafiri, dac ă

sunt preg ă ti ţ i, sau s ă mearg ă în vizit ă la prieteni, dac ă prietenii îi invit ă . Azi Ionic ă şi

M ă riuca iar( ăş i) nu se în ţ eleg ce s ă fac ă , iar afar ă e destul de frumos şi, oricum,

nimeni nu i-a invitat în vizit ă .” Din textul de mai sus, deduceţi lanţul de inferenţă al comportamentului familiei

respectiveşi determinaţi ce urmează să se întâmple. Pentru aceasta, alegeţi şi o logică adecvată textului. Presupunând că sunt trei familii de prietenişi toate cele trei familii auun comportament identic, trageţi concluzii valide asupra comportamentului social al

acestei mici reţele sociale. Indica ţ ii de rezolvare . Întâi se va remarca existenţa unei reţele, fiecare element (nod)

din reţea fiind constituit dintr-o familie. Se va identifica tipul de conexiuni (influenţe) între nodurile reţelei: reţeaua are un graf total interconectat. Fiecare nod include mai mulţiindivizi, care se influenţează reciproc. Comportarea nodului este unitară: decizia comună este respectată în familie de toţi membrii.

Interpretarea logic ă. Caracterul de descriere al textului este numai aparent; de fapt,

textul este predictiv în intenţia povestitorului. Când se spune: “ Ionic ă este ahtiat dup ă


26/32

Capitolul 132

sport ”, se subânţelege că lui Ionică îi place să facă fie sport fie altă activitate legată desport, precum să se uite la televizor la meciuri. Aici, consecinţele nu sunt date explicit, cipresupuse implicit – iar cititorul este dator să le deducă.

Fraza de început are ca prim cuvânt “ Deoarece ( Ionic ă…), deci o invitaţie la raţionament, la atrage o concluzie, aceasta fiind “ei trebuie adesea s ă ajung ă la un compromis ”. Logica activităţiieste:

Ionică şi Măriuca de acord?Da (opusul luiadesea se realizează acest compromis) activitate comună = magazine

SAU Tv. Logica probabilistă. (Probabilitatea pentru “non-adesea ” rămâne de stabilit).Nu (adesea) decide fetiţa activitate comună

(fetiţa decide) activitate comună = joacă. Realizarea deciziei “joacă”: “de obicei”condi ţionat de “afar ă este frumos” concluzie probabilistă (probabilitatea pentru“de obicei” rămâne de stabilit), în condiţia vagă “afară este frumos (caracter fuzzy

cu lege de apartenenţă dependentă, de exemplu, de temperatura de afară şi degradul de acoperire al cerului cu nori). Se va remarca utilizarea necesară aici adouă logici: logica fuzzyşi cea probabilistă.

Restul analizei de text se lasă cititorului.

13. Principiul terţului exclus este valabil în logicile MV (M >2)? (aici s-a folositconvenţia înlocuirii literei M din prescurtare cu numărul de valori de adevăr din logicarespectivă; logica 2V este bivalentă, logica 3V este trivalentă etc.).

14. Se consideră o logică MV cu un număr finit de valori numerice de adevăr, înintervalul ]1,0[ . Se notează negata unei propoziţii p prin p¬ , iar gradul de adevăr al

propoziţei p prin )( pθ . Logica se consideră a avea mulţimea valorilor de adevăr

++1,

122,,

121,0

nn

nL , iar negata se defineşte prin “1-“. Să se înlocuiască semnele de

întrebare din relaţiile ?)( ≤¬∩θ p p , ?)( ≥¬∪θ p p prin valorile corecte.

15. Să se dea câte un exemplu concret de propoziţii în logica binară şi în logica fuzzypentru următoarele inferenţe:i) q p p ∨⇒ ; ii) pq p ⇒∧ ; iii) ( ) )()()( r pr qq p ⇒⇒⇒∧⇒

16. În multe situaţii practice, este preferabil să vorbim degrad de conformitate (acurate ţ e,acord ) (cu realitatea, cu faptele, cu starea lucrurilor)şi nu degrad de adev ă r . Folosind


27/32


această interpretare, precumşi o scară de valuare subiectivă a gradului deconformitate, să se interpreteze propoziţiile:i) “aceste mere sunt delicioase”; ii) “suntem de acord asupra acestui lucru”; iii) “dacă

merg prin ploaie, mă udă”; iv) “ploaia face bine pentru recoltă”; v) “orbitele planetelorsunt eliptice”.

Indica ţ ii. Scara se va alege, convenţional [0,1]. Se va observa că i) Primele două propoziţii sunt subiective;ii) “Mă udă” este o expresie vagă; de obicei nu înţelegem prin aceasta ceva foarte

concret. Faptul că un strop de apă cade pe noi nu este ceea ce cu adevărat înţelegem prin expresie. Nu există un prag ferm al cantităţii de apă peste care să considerăm, în logica binară, că “sunt ud”. Problema este similară cu cea a

paradoxului chelulului.iii) “Ploaia face bine” poate fi inţeleasă fie la modul general, caz în care poate fi

interpretată probabilist (în cele mai multe cazuri, face bine, dar în unele cazurinu; de exemplu, nu, dacă deja a plouat foarte multşi s-au produs inundaţii).

iv) Orbitele planetelor nu sunt riguros eliptice, mişcarea planetelor suferind perturbaţiidin partea celorlalte planete. Aici, gradul de conformitate se poate definiobiectiv, de exemplu folosind raportul dintre aria celei mai apropiate elipse (cea

mai bună aproximare prin elipsă) şi aria închisă efectiv de orbită – presupunândcă planetele s-ar mişca totuşi într-un singur plan.

O analiză de detaliu asupra sensului propoziţiilor bazate pe conformitate în păreri (ca în propoziţia “aceste mere sunt delicioase”), este f ăcută în John MacFarlane, Relativismand disagreement, Philosophical Studies, Vol. 132, Number 1 (January, 2007), pp. 17–31,de unde amşi preluat prima propoziţie.

Referin ţe

[1]. Jan Jantzen, Tutorial On Fuzzy Logic. Technical University of Denmark, Oersted-DTU, Automation, Bldg 326, 2800. Kongens Lyngby, DENMARK. Tech. report no98-E 868 (logic), revised 22 March 2006. http://fuzzy.iau.dtu.dk/download/logic.pdf

[2]. Siegfried Gottwald, Many-Valued Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Firstpublished Tue Apr 25, 2000; substantive revision Wed Nov 17, 2004.http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued/

[3]. Geork Henrik von Wright, Normă şi acţiune, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1982


28/32

Capitolul 134

[4]. William Kneale, Martha Kneale, Dezvoltarea logicii. Vol. 1şi 2. Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1974

Anexa: Logici cu conective centrate (simetrizate)

În această anexă (care apare f ără corecturi) luăm ca exerciţiu un mod unitar (şi nou)de definire a negaţiei şi conectivelor, pe baza noţiunii devaloare median ă a unei logici.

Fie o latice ),( < L care este fie izomorf ă cu laticea uzuală definită pe [0,1], fie este

izomorf ă cu o latice de forma

<

−R,1,

1,,1,0n

nn

L , unde R< este relaţia de ordine peR .

Notăm că multe dintre logicile uzual folosite au ca valori de adevăr astfel de latici; estecazul logicii binare, a logicilorn-valente, a logicii fuzzy, printre altele. Vom numi (dinmotive evidente) valoarea 0,5 valoare mediană a acestor laticişi o vom nota d M .

Mai general, fie dată o latice ),( < L , mulţimea L fiind dotată cu o distanţă, +→ R Ld : ,

cu condiţiile ca i) distanţa este strict monotonă în raport cu ordinea, adică L z y x z xd y xd z y x ∈∀


29/32


Propriet ăţ i

1. Singura definiţie a negatei, care satisface această definiţie pentru laticea {0,1},este: 0)( =¬θ p dacă 1)( =θ p , respectiv 1)( =¬θ p dacă 0)( =θ p , datorită condiţiei (i), care

nu permite valori egale.

2. Singura definiţie a negatei care satisface această definiţie pentru laticea [0,1], este)(1)( p p θ−=¬θ . Într-adevăr, din (ii) obţinem

• Dacă 0)(,0)( ≥−¬θ≥−θ d d M p M p , sau dacă 0)(,0)( ≤−¬θ≤−θ d d M p M p ,

atunci d d M p M p −¬θ=−θ )()( , caz admisibil numai dacă d M p =θ )( .

• Dacă 0)(,0)( −θ d d M p M p , atunci d d M p M p +¬θ−=−θ )()( , deci

)(2)( p M p d θ−=¬θ . Pentru laticea [0,1], 12 =d M .• Dacă 0)(,0)( >−¬θθ )( , atunci d M p −¬θθ )( . Atunci:

d M p >θ )( d M p ¬¬θ⇒ ))(( , conform proprietăţii 3.

Înlocuim în relaţia de definiţie, |)(||)(| d d M p M p −¬θ=−θ , p cu p¬ şi obţinem:

d d d M p M p M p −¬¬θ=−¬¬θ=−¬θ ))((|))((||)(| .

Egalând cu relaţia de definiţie, obţinem:

d d d d d M p M p M p M p M p −¬¬θ=−¬¬θ=−¬θ=−θ=−θ ))((|))((||)(|)()(| ,


30/32

Capitolul 136

de unde )())(( p p θ=¬¬θ .

6. Fie o latice cu element medianşi negaţia definită ca mai sus. Atunci, negaţia are

proprietatea de monotonie, anume:)()()()( q pq p ¬θ>¬θ⇒θ


31/32


2. d M p p ≥¬∨θ )(

Într-adevăr, )()( p p p θ≥¬∨θ şi )()( p p p ¬θ≥¬∨θ şi cum cel puţin una dintre valorile

din membrul drept este mai mare ca mediana, rezultă proprietatea.

3. )()( p p p θ≥∨θ se obţine înlocuindq cu p.4. Dacă 0)( =θ q , sau 0)( =θ p , unde 0 este cel mai mic element din L (inf L), se

obţine )()0( p p q θ≥∨θ , )()0( p pq θ≥∨θ . Să notăm că 0)0()00( =θ≥∨θ p p p . Deci, nu

rezultă necesar că două propoziţii cu valoare de adevăr 0, conectate prin∨ , au valoareade adevăr tot 0.

5. Dacă 1)( =θ q , sau 1)( =θ p , unde 1 este cel mai mare element din L (sup L ), se

obţine 1)1( ≥∨θ q p , 1)1( ≥∨θ pq , deci 1)1()1( =∨θ=∨θ qq p p .

6. Condiţia de monotonie, în sensul că sau )()()()( r qr pq p ∨θ≤∨θ⇒θ


32/32

Capitolul 138

logica nuantata si logici mv_hnt_uaic

Documents