logica matem cont 2015- iii

DOCENTE: Mgt. Hermitao Ayala Huillca

Universidad Andina del CuscoMATEMTICA GENERAL

C.P. CONTABILIDAD

Definicin.- La lgica es el conjunto de los mtodos y principios usados para distinguir

el razonamiento correcto del incorrecto.

Es decir que la lgica es la ciencia del pensamiento racional, adems es de aclarar que

la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino la manera o forma de los

pensamientos.

Existen dos tipos importantes del razonamiento: El inductivo y el deductivo.

El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus

experiencias especficas, decide aceptar como vlida un principio general.

El razonamiento deductivo es, en cambio, el medio segn el cual dicha persona utiliza

el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea,

que a su vez habr de determinar el curso de su accin.

Al ser la lgica el punto de partida de las matemticas, en ella se deben introducir

nociones primarias tales como proposicin, valor de verdad, conectivo lgico.

Proposiciones y valor de verdad

Una proposicin es un enunciado u oracin que tiene la propiedad de ser

verdadero (V) o falso (F) sin ambigedades, pero nunca ambas a la vez.

Las proposiciones lgicas sern denotadas con letras minsculas como por

ejemplo p, q, r, ..

Como por ejemplo:

Los enunciados

p: 5+2=7

q: Lima es la capital de Per

r: Vargas Llosa gano el premio nobel de Literatura en el ao 2014

s: El polgono que tiene 3 lados es un triangulo

t: 18+3=25, es una proposicin, pues, es un enunciado falso.

Son proposiciones, ya que cada una de ellas es verdadera o falsa sin ninguna duda.

Por el contrario, los enunciados:

Estudia matemticas

Qu poder

por tanto

No son proposiciones porque no es posible establecer su verdad o su falsedad.

Luego enunciados como:

abre la ventana

Levntese

Haga la tarea

No son proposiciones, ya que no son ni verdaderas ni falsas, en todos los casos se da

una orden.Adems, enunciados como:

El partido entre Cienciano y Universitario estuvo expectante.

New York es la capital ms importante y limpia del mundo

Tampoco son proposiciones, por que el ser verdadero o falso depende del gusto o las circunstancias

La matemtica lgica adopta como reglas fundamentales del pensamiento los

dos siguientes principios:

1) Principio de no contradiccin.- Una proposicin no puede ser verdadera

y falsa al mismo tiempo.

2) Principio del tercio excluido.- Una proposicin o es verdadera o es falsa,

es decir, se verifica siempre uno de estos casos y nunca un tercero.

En la matemtica es de uso frecuente las llamadas proposiciones

fundamentales, estos son:

Axioma o postulado

Teorema

Corolario

Lema

Escolio u observacin

Axioma o postulado.- Un axioma o postulado es una proposicin que es

evidente por s misma y no requiere demostracin. Por ejemplo:

Existen infinitas rectas

Por un punto pasan infinitas rectas

Teorema.-Es una proposicin que para ser vlida requiere demostracin, a

su vez los teoremas tienen hiptesis y tesis.

Para demostrar la valides del teorema se utiliza axiomas o postulados que

vienen hacer la hiptesis.

Corolario.- Son proposiciones que vienen a ser consecuencia de algunos

teoremas.

Lema.- Son proposiciones previas a la demostracin de los teoremas.

Escolio u observacin.- Son proposiciones que

permiten aclarar los resultados ya demostrados.

Valores lgicos de las proposiciones

Se llama valor lgico de una proposicin, y son:

VERDAD si la proposicin es verdadera y FALSEDAD si

la proposicin es falsa.

Los valores lgicos de VERDAD Y FALSEDAD de una

proposicin se designan abreviadamente por las letras

V y F, respectivamente.

Clasificacin de las proposiciones

Las proposiciones se clasifican en:

Proposiciones simples o atmicas.

Proposiciones compuestas o moleculares.

Proposicin simple.- Se llama proposicin simple o proposicin atmica o elemental aquella que

ya no puede descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones, es decir, proposiciones

que no contienen ningn conectivo lgico. Las proposiciones simples son generalmente

designadas por letras minsculas como por ejemplo:

p: La ballena es roja

q: La raz cuadrada de 16 es 4

r : 1+4=5

s: Pepe va a la escuela

Proposicin compuesta.- llamado tambin proposicin molecular, es

aquella proposicin que contiene al menos un conectivo lgico, es decir,

proposicin formada por la combinacin de dos o ms proposiciones.

Las proposiciones compuestas son habitualmente designadas por las letras

maysculas. Por lo general dichas proposiciones estn ligadas por los

trminos gramaticales como: no, o, y, si entonces (implica), si y solo si,

como por ejemplo:

P: 5 es un numero primo y 2 es par

R: Pepe lleg a la escuela o se qued en el parque

S: 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10

T: 1 es el primer nmero primo y es mayor que 0

U: Si Giovana es estudiosa entonces pasar el examen

W: Aprender matemtica si y solo si estudio mucho

X: 9 es mltiplo de 3 y es un nmero par.

Nota: Se les llamar trminos de enlace o conectivos lgicos a los trminos:

no, o, y, si entonces, si y solo si

Observemos que los conectivos se usan para enlazar proposiciones y que

dicho conectivo lgico no acta sobre una sola proposicin.

Cules son los Conectivos lgicos?

Conectivos lgicos

Los conectivos lgicos permiten relacionar dos o ms proposiciones

atmicas y obtener as una proposicin compuesta, as tenemos:

Conjuncin ( )

Disyuncin dbil ( ) ( inclusiva), disyuncin fuerte ( ) (exclusiva)

Condicional ( )

Bicondicional ( )

Negacin ( )

As por ejemplo las siguientes proposiciones:

P: el nmero 6 es par y el nmero 8 es un cubo perfecto

Q: El tringulo ABC es rectngulo o es issceles

R: Si Jorge es ingeniero, entonces sabe matemtica

S: El tringulo ABC es equiltero si y solamente si es equingulo

T: Jorge es profesor o mdico

U: Christian tiene 17 o 18 aos

Son conectivos lgicos en Matemtica las palabras siguientes:

Y, o, no, sientonces, .si y solamente si..

Para proposiciones compuestas, el valor lgico depende nicamente de los

valores de las proposiciones simples componentes.

Entonces para poder determinar la cantidad de valores que toma una

proposicin compuesta est dado por: n de proposiciones simples2 , esto es:

Sean las proposiciones simples "p" y "q " que conforman una proposicin

compuestas, entonces los valores de verdad que se consideraran ser:

p q

V V

V F

F V

F F

q

V

F

F

V

p

q

V

F

Sean las proposiciones simples "p" y "q " que conforman una proposicin

compuestas, entonces los valores de verdad que se consideraran ser:

p q

V V

V F

F V

F F

q

V

F

F

V

p

q

V

F

En forma equivalente si se trata el caso de tres proposiciones compuestas,

esto es:

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

q

V

F

F

V

p

q

V

F

r

V

F

F

V

r

r V

F

r V

F

Notacin

El valor lgico de una proposicin simple "p" denotada por V(p) , es aquel

valor que se determina de la veracidad o falsedad del enunciado, por

ejemplo:

Sean las proposiciones:

p : el sol es verde

q : un hexgono tiene 9 diagonales

r :

2 es una raz de la ecuacin x x 2 3 4 0

Tenemos que V(p) F , V(q) V , V(r) F

EJERCICIOS

Determinar el valor lgico (V o F) de cada una de las siguientes

proposiciones:

a) El nmero 2 es primo

b) ( ) 2 2 25 4 5 4

c) El valor aproximado de es /22 7

d) 1 7

e) Las diagonales de un paralelogramo son iguales

f) El producto de dos nmeros impares es un nmero impar

g) El nmero 125 es un cubo perfecto

Operaciones lgicas sobre proposiciones

Cuando pensamos, efectuamos muchas veces ciertas

operaciones sobre proposiciones, llamadas

operaciones lgicas. Estas obedecen a reglas de un

clculo, denominado calculo proposicional.

A continuacin estudiaremos las operaciones lgicas

fundamentales:

Negacin

Dada una proposicin "p" , llamaremos la Negacin de "p" a otra

proposicin denotada por " p" y cuyo valor lgico es verdadero (V) cuando

"p" es falso (F) y es falso (F) cuando "p" es verdadero (V)

As " p" tiene el valor lgico opuesto a "p"

El valor lgico de la negacin de una proposicin est definido por la

siguiente tabla de verdad:

La forma enunciativa de " p" permite simbolizar un enunciado de la

forma:

No "p"

No es cierto que "p"

Es falso que "p"

Ejemplo

Sea la proposicin:

p : (V) p : (F)1 3 4 1 3 4

V( p) V(p) V F

O sea la proposicin:

q : Roma es capital de Francia (F)

q : Roma no es capital de Francia (V)

V( q) V(q) F V

La forma enunciativa de p q simboliza los enunciados de la forma:

p y q

p pero q

p no obstante q

p sin embargo q

Ejemplo:


p : la nieve es blanca (V)

q : dos es menor que cinco (V)

p q : la nieve es blanca y dos es menor que cinco (V)

O tambin se puede realizar como: V(p q) V(p) V(q) V V V

O como por ejemplo:

p : 4 (F)

q : sen

1

2 (V)

p q : y sen

4 1

2 (F)

Lo cual V(p q) V(p) V(q) F V F

Disyuncin " "

Se llama disyuncin de dos proposiciones p y q a la proposicin denotada

por p q , y se lee p o q en el sentido inclusivo y/o, cuyo valor lgico es

verdadero (V) cuando al menos una de las proposiciones es verdadera y es

falsa (F) cuando ambas proposiciones son falsas.

El valor lgico de la disyuncin de dos proposiciones est definido por la

siguiente tabla:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

V(p q) V(p) V(q)

La forma enunciativa de p q simboliza enunciados de la forma:

p o q

Al menos p o q

Ejemplo:


p: Paris es la capital de Francia (V)

q: 9 4 5 (V)

p q: Pars es la capital de Francia o

Equivalentemente V(p q) V(p) V(q) V V V

O por ejemplo:


p : Roma es la capital de Rusia

q :5

7 es una fraccin propia

p q : Roma es la capital de Rusia o 5/7 es una fraccin

V(p q) V(p) V(q) F V V

Disyuncin Exclusiva " " En el lenguaje comn la palabra o tiene dos sentidos, como por ejemplo:

p: Carlos es mdico o profesor (conector inclusivo disyuncin dbil)

q: El bebe nacer varn o mujer (conector exclusivo)

Como se puede observar en la primera proposicin Carlos puede tener como

profesin ser mdico o profesor o ambas profesiones a la vez, pero en la

segunda proposicin el bebe puede nacer varn o mujer mas no puede tener

ambos sexos.

De modo general llmese disyuncin exclusiva de dos proposiciones p y q

a la proposicin denotada por p q , que se lee o p o q , cuyo valor lgico

es verdadero (V) cuando solo uno de ellos es verdadera, y es falsa (F) cuando

p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

Luego el valor lgico de la disyuncin exclusiva de dos proposiciones es

definido por la siguiente tabla de verdad:

p q pq

V V F

V F V

F V V

F F F

V(pq) V(p)V(q)

Condicional " "

Se llama proposicin condicional o simplemente condicional a una

proposicin representada por p q y se lee

"si p entonces q", cuyo

valor es falso (F) en el caso en que " p " es verdadero (V) y " q " es falsa (F),

y es verdadera en los dems casos.

Cuya tabla de verdad es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

V(p q) V(p) V(q)

La forma enunciativa de "p q" simboliza enunciados de la forma:

Si "p" entonces "q "

Si "p", "q "

"p" implica "q "

"p" suficiente para "q "

"q " si "p"

"q " siempre que "p"

En la condicional "p q" , se dice que "p" es el antecedente y "q " el

consecuente.

Ejemplo:


p: el mes de mayo tiene 31 das (V)

q: la tierra es plana (F)

p q: si el mes de mayo tiene 31 das, entonces la tierra es plana (F)

Equivalentemente se tiene:

V(p q) V(p) V(q) V F F

O por ejemplo, sean las proposiciones

p: es un numero natural (F)

q: Cantor creo la teora de conjuntos (V)

p q: Si es un numero natural, entonces Cantor creo la teora de

conjuntos (V)


V(p q) V(p) V(q) (F V) V

Bicondicional (doble implicancia) "p q"

Se llama proposicin bicondicional o simplemente bicondicional a la

proposicin representada por "p q" y se lee "p si y solamente si q"

cuyo valor lgico es verdadero (V) cuando p y q son verdaderas o ambas

falsas, y es falsa (F) en los dems casos.

Simblicamente la bicondicional de dos proposiciones es definida por la

siguiente tabla:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Equivalentemente V(p q) V(p) V(q)

La proposicin p q denota enunciados de la forma:

"p" si y solo si "q "

"p" necesario y suficiente para "q "

Por lo tanto una bicondicional es verdadera solamente cuando tambin lo

son las condicionales p q y q p .

Ejemplo:


p: Espaa queda en Europa (V)

q: Lisboa es la capital de Portugal (V)

p q: Espaa queda en Europa si y solamente si Lisboa es capital de

Portugal. (V)

Equivalentemente V(p q) V(p) V(q) V V V

O por ejemplo:

Ahora consideremos las proposiciones:

p: Hernn Cortez fundo Lima (F)

q: la Paz es la capital de Bolivia (V)

p q: Hernn Cortes fundo Lima si y solamente si la Paz es la capital de

Bolivia (F)


V(p q) V(p) V(q) F V F

Construccin de tablas de verdad

Tablas de verdad de una proposicin compuesta

Dadas varias proposiciones simples p, q, r, podemos combinarlas por los

conectivos lgicos:

, , , ,

Luego para la construccin prctica de la tabla de verdad de una proposicin

compuesta se comienza por contar el nmero de proposiciones simples que

la integran, de tal manera que la cantidad de valores que se le asigna a la

proposicin compuesta est dado por n(proposiciones simples)2 , luego se analiza

cada uno de estos valores con el conectivo lgico correspondiente.

Ejemplo:

Hallar el valor de verdad de la siguiente proposicin:

P(p,q) (p q)

Solucin

Como la proposicin compuesta est formada por dos proposiciones simples

entonces se tendr 22 4 valores lgicos de verdad esto es:

p q q p q (p q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Cuya representacin grfica mediante un diagrama es de la forma siguiente:

VV P

VF

FV

FF

F

V

2. Construir la tabla de verdad de la proposicin:

P(p,q) (p q) (p q)

Solucin

p q p q q p (p q) (q p) (p q) (p q)

V V V V F F F

V F F F V V V

F V F F V V V

F F F V V F V

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

a) P(p,q,r) (p r) (q r)

b) P(p,q,r) (p q) (q r) (p r)

c) P(p,q,r) p ( q r) q (p r)

Valor lgico de una proposicin compuesta

Dada una proposicin compuesta P(p,q,r,...) se puede determinar siempre

el valor lgico (V o F) cuando son dados o conocidos los valores lgicos

respectivos de las proposiciones componentes p,q,r,...

Ejemplo

1) Sabiendo que los valores lgicos de las proposiciones p y q son

respectivamente V y F, determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

P(p,q) (p q) p q

1) Sabiendo que los valores lgicos de las proposiciones p y q son

respectivamente V y F, determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

P(p,q) (p q) p q Solucin

Tenemos sucesivamente:

V(P) (V F) V F V F V F

2) Sean las proposiciones:

p: 3

q: 02

Determinar el valor lgico (V o F) de la proposicin:

P(p,q) (p q) (p p q)

1) Sean las proposiciones:

p: 3

q: 02

Determinar el valor lgico (V o F) de la proposicin:

P(p,q) (p q) (p p q)

Solucin

Las proposiciones componentes p y q son ambas falsas, esto es:

V(p) F , V(q) F , por tanto:

V(P) (F F) (F F F) V (F F) V V V

1) Sabiendo que V(p) V , V(q) F , V(r) F , determinar el valor

lgico (V o F) de la proposicin:

P(p,q,r) q (r p) ( q p) r

Solucin

1) Sabiendo que V(p) V , V(q) F , V(r) F , determinar el valor

lgico (V o F) de la proposicin:

P(p,q,r) q (r p) ( q p) r

Solucin

V(P) F (F V) ( F V) F

F (F F) (V V) F

(F V) (V F)

F F

F

1) Sabiendo que V(r) V , determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

p q r

1) Sabiendo que V(r) V , determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

p q r

Solucin

Como V(r) V , la disyuncin q r es verdadera (V). Luego, la

condicional dada es verdadera (V), pues, su consecuente es verdadero

(V)

1) Sabiendo que V(q) V , determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

(p q) ( q p)

1) Sabiendo que V(q) V , determinar el valor lgico (V o F) de la

proposicin:

(p q) ( q p)

Solucin

Como V(q) V , entonces q es falsa (F). Luego la condicional

( q p) es verdadera (V), pues su antecedente es falso (F). Por

consiguiente la condicional dada es verdadera (V), pues, su

consecuente es verdadero (V)

1) Sabiendo que las proposiciones "x " "x y" 0 son verdaderas y

que la proposicin "y z" es falsa, determinar el valor lgico (V o F)

de la proposicin:

x x y y z 0

1) Sabiendo que las proposiciones "x " "x y" 0 son verdaderas y

que la proposicin "y z" es falsa, determinar el valor lgico (V o F)

de la proposicin:

x x y y z 0

Solucin

Tenemos sucesivamente:

( V V F) (F F V) (F V) V

Uso de parntesis y jerarqua de los conectivos lgicos

Es importante la necesidad de usar parntesis en la simbolizacin de las

proposiciones, que deben ser colocados para evitar cualquier tipo de

ambigedad. As la expresin p q r da lugar, colocando parntesis a las

siguientes proposiciones:

(p q) r p (q r)

Que no tienen el mismo significado, pues para la primera el conectivo

principal es la disyuncin y para la segunda el conectivo principal es la

conjuncin.

Cuando en una proposicin compuesta se tienen varios conectivos lgicos,

las operaciones se realizan luego de colocar los parntesis adecuadamente

comenzando con las proposiciones que se encuentran dentro de los

parntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego se avanza de

izquierda a derecha.

Ejemplo

Sean p,q,r,s,n cinco proposiciones lgicas. Si el valor de verdad de cada

una de las proposiciones compuestas siguientes es falsa:

a) (p q) r (s r)

b) p q

Cul es el valor de:

c) (n p) r p

d) s (p r)

Solucin

Tautologas, contradicciones y contingencias

Definicin

Se llama tautologa a toda proposicin compuesta cuya ltima columna de

su tabla de verdad encierra solamente el valor de verdadero V.

En otras palabras, tautologa es toda proposicin compuesta P(p,q,r,s....)

cuyo valor lgico es siempre verdadero, para cualesquiera que sean los

valores lgicos de las proposiciones simples compontes p,q,r,s,.....

Es inmediato ver que las proposiciones p p , p p son tautologas.

1. La proposicin (p p) (principio de la no contradiccin) es

tautologa, conforme se ve en la siguiente tabla:

P p p p (p p)

V F F V

F V F V

Por tanto, quiere decir que una proposicin no puede ser

simultneamente verdadera y falsa, por consiguiente es siempre

verdadero.

Contradiccin

Definicin

Se llama contradiccin a toda proposicin compuesta cuya ltima columna

de su tabla de verdad encierra solamente el valor de falso (F).

En otros trminos, contradiccin es toda proposicin compuesta

P(p,q,r,...) cuyo valor lgico es siempre FALSEDAD (F), para cualesquiera

que sean los valores lgicos de las proposiciones simples componentes

p,q,r,s....

Como una tautologa es siempre verdadera (V), la negacin de una tautologa

es siempre falsa (F), o sea es una contradiccin y viceversa.

Contingencia

Definicin

Se llama contingencia a toda proposicin compuesta en cuya ltima

columna de su tabla de verdad figuran tanto los valores de VERDAD Y

FALSEDAD cada una por lo menos una vez.

En otros trminos, contingencia es toda proposicin compuesta que no es

una tautologa ni contradiccin.

1. Verificar que las siguientes proposiciones son una tautologa

a) p (p q)

b) p q (p q)

c) p (q q) p d) p r q r

e) ((p q) r) (p (q r))

f) p p

g) (p q) (p q)

h) p (p q) i) p p

j) p q p

k) x (x y x ) 3 3

Equivalencia Lgica

Definicin

Se dice que una proposicin P(p,q,r,s...)

es lgicamente equivalente a una

proposicin Q(p,q,r,s...)

, si las tablas de verdad de estas dos proposiciones

son idnticas.

Se indica que la proposicin P(p,q,r,s...)

es equivalente a la proposicin

Q(p,q,r,s...) con la siguiente notacin:

P(p,q,r,s...) Q(p,q,r,s...)

Como caso particular, si las proposiciones P(p,q,r,s...)

y Q(p,q,r,s...)

son

ambas TAUTOLOGIA o son ambas CONTRADICCIONES, entonces son

equivalentes.

Propiedades de la equivalencia lgica

Es inmediato que la relacin de equivalencia lgica entre proposiciones

cumple con las siguientes propiedades:

1) P P (propiedad reflexiva)

2) P Q Q P

(propiedad simtrica)

3) P Q Q R P R

(propiedad transitiva)

Como por ejemplo, las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) ( p) p regla de la doble negacin

b) p p p

c) p p q p q

d) p q p q

e) p q (p q) (q p)

f) p q (p q) ( p q)

Algebra de las proposiciones

Se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de la conjuncin

p p p .....Idempotencia

p q q p ....Conmutativa

(p q) r p (q r) .Asociativa

Propiedades de la disyuncin

p p p .. Idempotencia

p q q p .Conmutatividad

(p q) r p (q r) Asociatividad

Propiedades de la conjuncin y de la disyuncin

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

..Ley de la distributividad

p (p q) p

p (p q) p

p ( p q) p q

p ( p q) p q

Leyes de la absorcin

(p q) p q

(p q) p q

Ley de Morgan

p q p q ...Ley de la condicional

p q (p q) (q p)

p q ( p q) ( q p)

Ley de la bicondicional

p T T

p C C

.Ley de dominacin

p T p

p C p

Leyes de identidad

( p) pLey de la doble negacin

p q q p .. Ley de la contra reciproca

Como por ejemplo:

1) Demostrar que (p q) (p q) ( p q) ( p q)

Solucin

1) Establecer las siguientes equivalencias simplificando las proposiciones

del lado izquierdo

A) (p q) p T

B) ( (p q) p) C

C) (q p) ( p q) (q q) p

D) (p p) ( p p) C

2.

Solucin

A) En efecto:

(p q) p (p q) p implicacion

p q p ley de morgan

( p p) q asociatividad y conmutatividad

T q ley de domin acion

T

1) Determinar que las proposiciones siguientes son equivalentes:

a) p (r q)

b) (q p) ( r p)

Solucin

Una primera forma se realiza construyendo sus tablas de verdad

correspondientes, y se observara que ambas proposiciones tienes los

mismos valores en la tabla de verdad.

Otra forma, utilizando las leyes lgicas:

5.

Formalizacin de proposiciones

Formalizar una proposicin significa abstraer su forma lgica, es decir

formalizar una proposicin equivale a representarla simblicamente.

Toda proposicin tiene su forma lgica y su frmula.

La tcnica de formalizacin de proposiciones comprende los siguientes pasos:

1) Se escribe en forma explcita la proposicin, empleando las conectores no ,

y, o, si,entonces, si y solo si, en sustitucin de sus expresiones

equivalentes

2) Se halla su frmula reemplazando cada proposicin simple por una

variable proposicional al igual que las conjunciones gramaticales.

3) Los signos de agrupacin se usan para establecer la jerarqua entre los

operadores de una formula lgica.

Ejemplo

Formalizar las siguientes proposiciones:

1) No iremos al teatro a menos que venga Ral

Cuya forma lgica es:

Si viene Ral, entonces iremos al teatro

Donde

p : Ral viene

q: Iremos al teatro

Luego la forma simblica ser:

p q

2. Euclides no es mdico ni fsico

Su forma lgica es:

Euclides no es mdico y Euclides no es fsico

Dnde:

p: Euclides es medico

q: Euclides es fsico

Luego su forma simblica es:

p q

3. Sin carbono, oxigeno, nitrgeno e hidrogeno, no hay vida.

Cuya forma lgica es:

Si no hay carbono y no hay oxgeno y no hay nitrgeno y no hay

hidrogeno, entonces no hay vida.

Donde:

p:hay carbono

q:hay oxigeno

r :hay hidrogeno

s:hay nitrgeno

t :hay vida

Entonces:

( p q r s) t

(p q r s) t

Inferencia lgica o argumento lgico

Se llama inferencia lgica o argumento lgico a toda condicional de la forma:

k(p p p ... p ) q 1 2 3 ..(*)

Donde las proposiciones kp p p ... p 1 2 3 son llamadas premisas y

originan como consecuencia otra proposicin denotada q y llamada

conclusin.

Una inferencia puede ser una tautologa, una contradiccin o una

contingencia, es decir:

Si la condicional (*) es una Tautologa, es decir es verdadera entonces

recibe el nombre de argumento vlido o inferencia valida.

Si la condicional (*) no es una tautologa entonces se denomina

falacia.

Formalizacin de inferencias

Una inferencia es una operacin lgica que consiste en derivar a partir de la

verdad de ciertas proposiciones conocidas como premisas la verdad de otra

proposicin conocida como conclusin.

Las premisas de una inferencia son proposiciones que ofrecen las razones

para aceptar la conclusin.

Anteceden a las premisas, en inferencias desordenadas las palabras:

Puesto queYa quePuesPorque

Siempre queSi

La conclusin de una inferencia es la proposicin que se afirma sobre la

base de las premisas. Anteceden a la conclusin las palabras:

Luego

Por tantoPREMISAS CONCLUSION

Por consiguiente

En consecuencia

Adems en inferencias desordenadas, la proposicin inmediatamente

anterior a las palabras que preceden a las premisas es la conclusin.

a) Ningn metaloide es metal, puesto que todos los metales son cuerpos

brillantes y ningn metaloide es cuerpo brillante (INFERENCIA

DESORDENADA)

Solucin

Premisa

Todos los metales son cuerpos brillantes

Ningn metaloide es cuerpo brillante

Conclusin

En consecuencia, ningn metaloide es metal

a) Si esta figura tiene cuatro lados, es un cuadriltero. Si esta figura

tiene tres lados, es un triltero. Esta figura tiene cuatro lados o tiene

tres lados. Por tanto, esta figura es un cuadriltero o es un triltero.

Solucin

Premisas

Si esta figura tiene cuatro lados, es un cuadriltero

Si esta figura tiene tres lados, es un triltero

Esta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados

Conclusin

Por tanto, esta figura es un cuadriltero o es un triltero.

Ejemplos:

Formalizar las siguientes inferencias

1) Los congresistas representan a la nacin, pero no estn sujetos a

mandato imperativo. Luego, los congresistas representan a la nacin.

Solucin

Forma lgica:Los congresistas representan a la nacin y los congresistas no estn

sujetos a mandato imperativo.

Luego, los congresistas representan a la nacin

Formula:

p: Los congresistas representan a la nacin

q: Los congresistas estn sujetos a mandato imperativo

p q

o (p q) p

p

1) Felipe no ser expulsado del club a menos que el cometa actos de

traicin e inmoralidad. No ha sido expulsado. En consecuencia, no ha

cometido actos de traicin ni de inmoralidad.

Solucin

Forma lgica Si Felipe comete actos de traicin y actos de inmoralidad, entonces

ser expulsado del club.

Felipe no ha sido expulsado del club

Luego, Felipe no ha cometido actos de traicin y no ha cometido actos

de inmoralidad

Formula

p: Felipe comete actos de traicin

q: Felipe comete actos de inmoralidad

r : Felipe ser expulsado del club

Formula

p: Felipe comete actos de traicin

q: Felipe comete actos de inmoralidad

r : Felipe ser expulsado del club

(p q) r

r

o (p q) r r ( p q)

p q

1) Sin mandato judicial ni autorizacin de la persona que lo habita, no

se puede ingresar en el domicilio, tampoco efectuar investigacin. Pero

se ingres al domicilio y efectu investigacin. En consecuencia, hubo

mandato judicial y autorizacin de la persona que lo habita.

Solucin

Forma lgica

Si no hay mandato judicial y no hay autorizacin de la persona que lo

habita, entonces no se puede ingresar en el domicilio y no se puede

efectuar investigacin.

Se ingres al domicilio y se efectu la investigacin.

Luego, hubo mandato judicial y hubo autorizacin de la persona que

lo habita.

Formula

p:Hay mandato judicial

q:Hay autorizacin de la persona

r :Se puede ingresar en el domicilio

s:Se puede efectuar la investigacin

Formula

p:Hay mandato judicial

q:Hay autorizacin de la persona

r :Se puede ingresar en el domicilio

s:Se puede efectuar la investigacin

( p q) ( r s)

r s

( p q) ( r s) (r s) (p q)

p q

1) Ral viajara a Londres, puesto que obtuvo la beca y habla

correctamente el ingls.

Solucin

En este caso se trata de una inferencia desordenada, ordenando la

inferencia se tiene:

Si Ral obtuvo la beca y habla correctamente el ingls, entonces

viajara a Londres.

Anlisis de inferencias a travs de tablas de verdad

La tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento decisorio porque a travs

de la aplicacin de un conjunto de reglas permite decidir la validez o

invalidez de las inferencias.

En efecto, una inferencia es vlida, mediante la tabla de verdad, si y solo si

al ser formalizada y evaluada su frmula condicional es tautologa, es

invalidad si la formula condicional es consistente o contradictoria.

Procedimiento:

Ejemplos

Analizar la valides de las siguientes inferencias:

1) El tringulo se llama issceles si tiene dos lados iguales. No se llama

issceles. En consecuencia, no tiene dos lados iguales.

Solucin

Forma lgica

Si el tringulo tiene dos lados iguales, entonces el tringulo se llama

issceles.

El tringulo no se llama issceles.

Luego, el tringulo no tiene dos lados iguales

Formula:

Formula:

p: el tringulo tiene dos lados iguales

q : el tringulo se llama issceles

p q

q

p

FORMULA CONDICIONAL (p q) q p

Evaluacin

Evaluacin

p q (p q) q p

V V V F F V F

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V V V V V

La inferencia analizada es vlida porque su frmula condicional es

una tautologa.

1) El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de un gran

hombre o bien los preceptos de la idea absoluta. Sigue los preceptos

de la idea absoluta. Por lo tanto no sigue las ideas de un gran hombre.

Solucin

Forma lgica

Forma lgica

El pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran hombre

o el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea

absoluta.

El pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea

absoluta.

Luego, el pueblo es una masa pasiva que no sigue las ideas de un

gran hombre.

Formula:

Formula:

p : el pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran

hombre.

q : el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea

absoluta. p qq

p

FORMULA CONDICIONAL (p q) q p

Evaluacin

p q (p q) q p

V V V V V F F

V F V F F V F

F V V V V V V

F F F F F V V

La inferencia analizada no es vlida porque su formula condicional es

consistente (contingencia)

1) Sin variables ni operadores no hay lenguaje formalizado. Ocurre que

no hay variables ni operadores. Luego, no hay lenguaje formalizado.

Solucin

Forma lgica

Si no hay variables y no hay operadores, entonces no hay lenguaje

formalizado.

No hay variables y no hay operadores.

Luego, no hay lenguaje formalizado.

Formula

p : hay variables

q : hay operadores

r : hay lenguaje formalizado

( p q) r

p q

r

FORMULA CONDICIONAL ( p q) r ( p q) r

Evaluacin

p q r ( p q) r ( p q) r V V V F F F V F F F V F

V V F F F F V V F F V V

V F V F F V V F F F V F

V F F F F V V V F F V V

F V V V F F V F F F V F

F V F V F F V V F F V V

F F V V V V F F F V V F

F F F V V V V V V V V V

Por consiguiente la inferencia es vlida pues su frmula es

tautolgica.

logica matem cont 2015- iii

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