Logica Fuzzy

61528 Intelligenza ArtificialeM106

Ipse Dixit?

Che cosa ha detto Aristotele?Ogni enunciato ben formato o è VERO o è FALSO.“A e non A” (A ^ ¬ A) è una contraddizione logica.

Una contraddizione implica qualsiasi cosa. Consente di dimostrare e confutare qualsiasi enunciato.

Nella scienza non c’è tolleranza per sistemi di pensiero che ammettano contraddizioni, che ammettano

sovrapposizioni fra ciò che le cose sono e ciò che non sono.

Cos’è la Logica Fuzzy?

E’ la critica all’intolleranza dicotomica. E’ un tentativo di formalizzare il fatto che

contraddizioni del tipo “A e non A” possono valere in una certa misura.

“La bellezza non risiede solo nell’occhio dell’osservatore: vi risiede in una certa misura”

Bivalenza Polivalenza

AristoteleA o non A

esattotutto o niente

0 o 1elaboratore digitale

linguaggio di programmazionebits

BhuddaA e non Aparziale

in una certa misuracontinuità fra 0 e 1

Rete neurale (cervello)linguaggio naturale

fits

Bivalenza e Polivalenza

Bits e Fits

Fits – fuzzy unitsUn valore fit è una misura o un numero tra 0 e 1

Consideriamo una sedia da biblioteca che si trasforma integralmente in scaletta ( 3 gradini per raggiungere i

libri più in alto). E’ una scala o è una sedia? O è entrambe le cose?

Bits – binary unitsUn valore bit è una misura o un numero uguale a 0 o ad 1

A M B

M è un paradosso per la logica classica.Per la logica fuzzy è un valore di appartenenza dell’oggetto x alla classe

delle sedie ovvero, in questo caso, a quella delle scale.

x è una sedia x è una scala

“x è una sedia” è vera e il suo valore di verità = 1al contrario

l’affermazione“x è una scala” è falsa e il suo

valore di verità = 0

“x è una sedia” è falsa e il suo valore di

verità = 0e al contrario l’affermazione“x è una scala” è vera e il suo

valore di verità = 1

È “sedia e non sedia” e nello stesso tempo “scala e non scala”.In termini di fit è ½

sedia ed ½ scala

cos’è esattamente x?

Sedia o Scala?

Supponiamo si avere tanti paletti di legno con i quali costruire una recinzione della nostra casa:

Chiediamo al giardiniere di dividerli in due mucchi quello dei paletti alti e quello dei paletti bassi:

Caso A : il nostro giardiniere è aristotelico

mucchio dei paletti bassi

A

mucchio dei paletti alti

NON-A

Caso B : il nostro giardiniere è un tipo problematico

A NON-A

mucchio dei paletti alti

mucchio dei paletti bassi

paletti bassi ?

paletti alti?

mucchio dei paletti alti

Alto o Basso

Supponiamo che i paletti di legno sono soltanto di due misure:

Se chiediamo al giardiniere di dividerli in due mucchi quello dei paletti alti e quello dei paletti bassi, sia che esso sia aristotelico, sia che esso sia

problematico, il risultato non cambia:

Caso A = Caso B

mucchio dei paletti bassi

A

mucchio dei paletti alti

NON-A

Supponiamo che i paletti siano tutti della stessa misura:

Se i nostro giardiniere è una persona educata, replicherà:“Che intende dire?” Ecco una situazione paradossale

A = NON-A

Ritorniamo al caso in cui i paletti erano di tante misure diverse:

Se il nostro giardiniere ci avesse chiesto: “ Quanto deve essere alto un paletto per essere alto?”

Avremmo potuto rispondere: “Se è più basso di te è basso, se è più alto di te è alto.”

In questo modo il giardiniere aristotelico e quello problematico, avrebbero entrambi senza ambiguità divisi i paletti in due mucchi

distinti, il che dipende dal fatto che la precedente risposta è aristotelica.

mis

ura

sfum

ata

cm50 100 150 200 250

0

1/2

1

altezza del giardiniere

non-alti

alti

Nella logica fuzzy:

cm50 100 150 200 250

0

1/2

1

altezza del giardiniere

altim

isur

a sf

umat

a

La logica fuzzy possiede gli stessi operatori della logica classica.

E’ possibile usare connettivi come OR, AND, NOT, IMP fra due proposizioni - i risultati saranno “valori sfumati”.

Ovviamente il valore della congiunzione di due proposizioni che hanno entrambe valore 1 sarà 1; il valore della

congiunzione di due proposizioni che hanno entrambe valore 0 sarà 0; estrapolando si arriva alla conclusione che il

valore della congiunzione di due proposizioni che hanno rispettivamente valore x e valore y sarà uguale al min(x, y).

Tali valori saranno tutti compresi tra 0 ed 1.

Logica Fuzzy

Logica Fuzzy e Probabilità

In che cosa differisce la logica fuzzy dalla probabilità?

Un bicchiere pieno a metà e mezzo pieno o mezzo vuoto:È pieno al 50% e vuoto al 50%.

L’acqua è nel bicchiere al 50%: si tratta di uno stato reale del mondo.

Non intendiamo dire che c’è un 50% di probabilità che il bicchiere sia pieno; diciamo metà bicchiere.

Programmazione fuzzyEsistono sistemi software fuzzy in cui si può

programmare traducendo la conoscenza fuzzy in regole fuzzy (formalizzazione).

Una regola fuzzy correla concetti fuzzy nella forma di un enunciato condizionale : Se X è A, allora Y è B.

ESEMPIO: una moderna lavabiancheria, che integra un programma di lavaggio “intelligente” possiede sensori di carico per misurare la quantità del bucato e fa uso di un

sensore a luce pulsante per misurare il grado di sudiciume nell’acqua del bucato. Ad ogni secondo il programma fuzzy trasforma queste misurazioni in

modelli di agitazione dell’acqua per differenti intervalli di tempo.

Connettivi Fuzzy

A=0,B=0

A=0,B=1 A=1,B=1

A=1,B=0

Connettivi Fuzzy

A=0,B=0

A=0,B=1 A=1,B=1

A=1,B=0

A=1/3,B=2/3

Connettivi Fuzzy Pa

Pf

Connettivi Fuzzy

Pa AND NOT Pa

Pa Pa OR NOT Pa

NOT Pa

Pf

Pf AND NOT Pf

NOT Pf

Pf OR NOT Pf

Connettivi Fuzzy

Nella logica Aristotelica, il contrario di Pa è NON Pa(Se il mio lavoro mi piace, dire il contrario vuol dire

che il mio lavoro NON mi piace: logica binaria)

Nella logica Fuzzy, dire che il mio lavoro non mi piace al 75% vuol dire che mi piace al 25% - La negazione

non elimina completamente il piacere, e Pf e NON Pf convivono in una certa misura.

fin