logica computacional

Lógica Computacional

Diego Silveira Costa Nascimento

Instituto Federal do Rio Grande do [email protected]

28 de maio de 2014

Ementa do Curso

1 Introdução

2 Lógica Proposicional

3 Construção de Tabelas-verdade

4 Tautologia, Contradição e Contingência

5 Implicação Lógica

6 Equivalência Lógica

7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo

8 Inferência Lógica

9 Demonstração Indireta

10 Sentenças Abertas

11 Quantificadores

Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 121

Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Objetivos da Disciplina

Apresentar a disciplina de Lógica;Discutir o cenário no qual a disciplina poderá ser aplicada;Apresentar um pouco da história da lógica;Fazer com que o estudante consiga no futuro relacionar os aspectosabstratos da computação com sua implementação; eIncentivar a escrita dos algoritmos antes de sua implementaçãopropriamente dita.


Motivações em Estudar Lógica

O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocíniológico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em umadeterminada linguagem de programação.

A Lógica é apresentada como uma técnica eficiente para:

a organização de conhecimentos em qualquer área;raciocinar corretamente sem esforço consciente;interpretar e analisar informações rapidamente;aumentar a competência linguística (oral e escrita);adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; edetectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários,etc.)


Lógica

A palavra Lógica deriva do Grego (logos), que significa: palavra,pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico.

DefiniçãoLógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las àpesquisa e à demonstração da verdade.


Origem da Lógica

A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.;Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica,elevando-a à categoria de ciência;Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o correto pensar”),estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje sãoconsiderados válidos.Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir deconhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novosconhecimentos; eA partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica aformulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam àdescoberta de novas verdades.


Argumento Lógico

Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento;As afirmações de um argumento são chamadas de proposições;Um argumento é um conjunto de proposições tal que se afirme queuma delas é derivada das demais;Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e asdemais, de premissas; eEm um argumento válido, as premissas são consideradas provasevidentes da verdade da conclusão.


Exemplo de Argumento


Inferência Lógica

Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelopensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução.

DeduçãoUm argumento dedutivo é válido quando suas premissas, severdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão; eDe forma geral, a dedução sempre preserva a verdade.

InduçãoUm argumento indutivo fornece provas cabais da veracidade daconclusão, ou seja, apenas que forne indicações dessa veracidade; eDe forma geral, a indução nem sempre preserva a verdade.


Exemplos de Inferências Dedutiva e Indutiva

Em outras palavras, na dedução, a conclusão é consequência necessária daspremissas, e na indução, a conclusão é consequência plausível daspremissas.


Princípios Lógicos

A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitemtodo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos dopensamento e do raciocínio. São eles:

Princípio da IdentidadeAfirma A = A e não pode ser B , o que é, é;Princípio da Não ContradiçãoA = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser suanegação, ou seja, o ser é, o não ser não é; ePrincípio do Terceiro ExcluídoAfirma que Ou A é x ou A é y , não existe uma terceira possibilidade.


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Logica Proposicional

DefiniçãoÉ um sistema formal no qual as fórmulas representam proposições quepodem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usandoconectivos lógicos e um sistema de regras de derivação, que permite quecertas fórmulas sejam estabelecidas como “teoremas” do sistema formal.

Em termos gerais, um cálculo proposicional é frequentemente apresentadocomo um sistema formal que consiste em um conjunto de expressõessintáticas (fórmulas bem formadas, ou fbfs), um subconjunto distintodessas expressões, e um conjunto de regras formais que define uma relaçãobinária específica, que se pretende interpretar como a noção de equivalêncialógica, no espaço das expressões.


Proposições

Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo;As proposições transmitem pensamentos; eAfirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito dedeterminados entes.

ExemplosA Lua é um satélite da Terra;Sócrates é um homem;Eu estudo Lógica;Todos os homens são mortais; ouNão existe homem infiel.


A Linguagem da Lógica Proposicional

Considere o conjunto de símbolos:A = {(, ),¬,∧,∨,→,↔, p, q, r , s, . . .}

A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional;As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); eO restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos);


Letras Sentenciais

As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementaresou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejamtambém proposições.

Exemplosp = O céu é azul;Q = Eu estudo lógica;r = 2 + 2 = 4; ous = Sócrates é um homem.

ImportanteAs partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim,componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras.


Conectivos Lógicos

As proposições compostas são obtidas combinando proposiçõessimples através de certos termos chamados conectivos;A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores:

Não (Negação), ¬ ;E (Conjunção), ∧;Ou (Disjunção), ∨;Se – então (Condicional), →;eSe e somente se (Bicondicional), ↔.

ExemplosNão está chovendo;Está chovendo e está ventando;Está chovendo ou está nublado;Se choveu, então está molhado; ouSerá aprovado se e somente se estudar.


Operador de Negação: ¬

A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógicaproposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação denegação resulta na sua contraditória.

Exemplop = Está chovendo.Ler-se ¬p, como: “Não está chovendo.”

ImportanteO fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo esob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessamesma proposição.


Tabela Verdade: ¬

Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; eClaramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão.

Exemplo

p ¬pV FF V


Operador de Conjunção: ∧

A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivasexpressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que ofato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q.

Exemplop = Está chovendo.q = Está ventando.Ler-se p ∧ q, como: “Está chovendo e está ventando.”


Tabela Verdade: ∧

Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de pe q; eAs proposições p e q são chamadas fatores da expressão.

Exemplo

p q p∧qV V VV F FF V FF F F


Operador de Disjunção: ∨

A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposiçõesdisjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula(p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente,pelo menos um deles ocorre.

Exemplop = Está nublado.q = Está chovendo.Ler-se p ∨ q, como: “Está nublado ou está chovendo.”


Tabela Verdade: ∨

Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunçãoinclusiva de p e q; eAs proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.

Exemplo

p q p∨qV V VV F VF V VF F F


Operador Condicional: →

A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional(p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garantenecessariamente a ocorrência do fato expresso por q.

Exemplop = Choveu.q = Está molhado.Ler-se p → q, como: “Se choveu, então está molhado.”


Tabela Verdade: →

Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicionalde p e q;A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequenteda condicional; eA operação de condicionamento indica que o acontecimento de p éuma condição para que q aconteça.

Exemplo

p q p→qV V VV F FF V VF F V


Operador Bicondicional: ↔

A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional(p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes,isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem.

Exemplop = Será aprovado.q = Estudar.Ler-se p ↔ q, como: “ Será aprovado, se e somente se estudar.”


Tabela Verdade: ↔

Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicionalde p e q; eA operação de bicondicionamento indica que p é uma condição paraque q aconteça, e vice-versa.

Exemplo

p q p↔qV V VV F FF V FF F V


Parênteses: (e)

A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deveao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade.

Exemplop = Estudar.q = Fazer a prova.r = Fazer o trabalho.s = Serei aprovado.Ler-se ((p ∧ q) ∨ r)→ s, como:“ Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado.”


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Tabela-verdade de uma Proposição Composta

Dadas várias proposições simples p, q, r , . . ., podemos combiná-las pelosoperadores lógicos ∧,∨,→,↔ e construir proposições compostas:

ExemploP(p, q) = ¬p ∨ (p → q)Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ qR(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r))

Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicasfundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q;É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquerproposição composta; eA tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposiçãocomposta será verdadeira (V ) ou falsa (F ), admitindo-se que o seuvalor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples.


Ordem de Precedência dos Operadores

1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando asoperações de negação, na ordem em que aparecerem;

2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em queaparecerem;

3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executandodesta vez as operações de condicionamento, na ordem em queaparecerem; e

4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita,executando as operações de bicondicionamento, na ordem em queaparecerem.


Construindo a Tabela-verdade

Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos dasproposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência,calcular o valor lógico da expressão dada.

Expressão Proposicional CompostaP(p, q) = ¬(p ∧ ¬q)

Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duasproposições simples p e q.

Exemplo

p qV VV FF VF F


Construindo a Tabela-verdade (cont.)

Em seguida, forma-se a coluna para ¬q.

Exemplo

p q ¬qV V FV F VF V FF F V



Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q.

Exemplo

p q ¬q p∧¬qV V F FV F V VF V F FF F V F



Por fim, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposiçãocomposta ¬(p ∧ ¬q).

Exemplo

p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Tautologia

DefiniçãoTautologia é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .

As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ouproposições logicamente verdadeiras.


Tautologia: Demonstração I

Proposição¬(p ∧ ¬p)

Exemplo

p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p)V F F VF V F V

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamenteverdadeira e falsa é sempre verdadeiro.


Tautologia: Demonstração II

Proposiçãop ∨ ¬p

Exemplo

p ¬p p∨¬pV F VF V V

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempreverdadeiro.


Contradição

DefiniçãoContradição é toda proposição composta P(p, q, r , . . .) cujo valor lógico ésempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposiçõessimples p, q, r , . . .

As contradições são também denominadas proposições contraválidas ouproposições logicamente falsas.


Contradição: Demonstração I

Proposiçãop ∧ ¬p

Exemplo

p ¬p p∧¬pV F FF V F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira efalsa é sempre falso.


Contradição: Demonstração II

Proposiçãop ↔ ¬p

Exemplo

p ¬p p↔ ¬pV F FF V F


Contingência

DefiniçãoContingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nemcontradição.

As contingências são também denominadas proposições contingentes ouproposições indeterminadas.


Contingência: Demonstração I

Proposiçãop → ¬p

Exemplo

p ¬p p→ ¬pV F FF V V


Contingência: Demonstração II

Proposiçãop ∨ q → p

Exemplo

p q p∨q p∨q → pV V V VV F V VF V V FF F F V


Ementa do Curso

1 Introdução










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Implicação Lógica

DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) implica logicamente umaproposição Q(p, q, r , . . .), se Q(p, q, r , . . .) é verdadeiro todas as vezes emque P(p, q, r , . . .) é verdadeiro.

NotaçãoP(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .)

ImportanteEm particular, toda proposição implica uma tautologia e somente umacontradição implica uma contradição.


Propriedades da Implicação Lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva (R) e transitiva (T).

Exemplo(R) P(p, q, r , . . .)⇒ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .) e

Q(p, q, r , . . .)⇒ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .)⇒ R(p, q, r , . . .)


Demonstração de Implicação Lógica I

Proposiçõesp ∧ q, p ∨ q e p ↔ q

Exemplo

p q p∧q p∨q p↔qV V V V VV F F V FF V F V FF F F F V

A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, asproposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q


Demonstração de Implicação Lógica II

Proposiçõesp ↔ q, p → q e q → p

Exemplo

p q p↔q p→q q→pV V V V VV F F F VF V F V FF F V V V

A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas,proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeiraproposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p


Tautologias e Implicação Lógica

TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) implica a proposição Q(p, q, r , . . .) isto é:P(p, q, r , . . .)⇒ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a condicional:P(p, q, r , . . .)→ Q(p, q, r , . . .)é tautológica.

ImportanteOs símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicionalP(p, q, r , . . .)→ Q(p, q, r , . . .) é tautológica).


Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica

Condicional(p → q) ∧ p → q

Exemplo

p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → qV V V V VV F F F VF V F F VF F V F V

Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Equivalência Lógica

DefiniçãoDiz-se que uma proposição P(p, q, r , . . .) é logicamente equivalente a umaproposição Q(p, q, r , . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposiçõessão idênticas.

NotaçãoP(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .)

ImportanteEm particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r , . . .) são ambastautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes.


Propriedades da Equivalência Lógica

É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-sedas propriedades reflexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é,simbolicamente:

Exemplo(R) P(p, q, r , . . .)⇔ P(p, q, r , . . .)(S) Se P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .), então

Q(p, q, r , . . .)⇔ P(p, q, r , . . .)(T) Se P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) e

Q(p, q, r , . . .)⇔ R(p, q, r , . . .), entãoP(p, q, r , . . .)⇔ R(p, q, r , . . .)


Demonstração de Equivalência Lógica I

Proposições¬p → p e p

Exemplo

p ¬p ¬p→pV F VF V F

A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é:

¬p → p ⇔ p


Demonstração de Equivalência Lógica II

Proposiçõesp → p ∧ q e p → q

Exemplo

p q p∧q p→p∧q p→qV V V V VV F F F FF V F V VF F F V V

A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é:

p → p ∧ q ⇔ p → q


Tautologias e Equivalência Lógica

TeoremaA proposição P(p, q, r , . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .), isto é:P(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .)se e somente se a bicondicional:P(p, q, r , . . .)↔ Q(p, q, r , . . .)é tautológica.

ImportanteOs símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica(aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q),enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicionalP(p, q, r , . . .)⇔ Q(p, q, r , . . .) é tautológica).


Demonstração de Equivalência Lógica

Proposições(p ∧ ¬q → c) e (p → q)

Exemplo

p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q)V V F F V V VV F F V F F VF V F F V V VF F F F V V V...

......

......

......


Proposições Associadas a uma Condicional

DefiniçãoDada a condicional p → q, chama-se proposição associada a p → q as trêsproposições condicionais que contêm p e q:

1 Proposição recíproca de p → q é q → p;2 Proposição contrária de p → q é ¬p → ¬q; e3 Proposição contrapositiva de p → q é ¬q → ¬p.

Exemplo

p q p→q q→p ¬p→ ¬q ¬q→ ¬pV V V V V VV F F V V FF V V F F VF F V V V V


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Propriedades da Conjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.

Idempotentep ∧ p ⇔ p

Exemplo

p p∧p p∧p↔pV V VF F V


Propriedades da Conjunção (cont.)

Comutativap ∧ q ⇔ q ∧ p

Exemplo

p q p∧q q∧p p∧q↔q∧pV V V V VV F F F VF V F F VF F F F V



Associativa(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Exemplo

p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)V V V V V V VV V F V F F FV F V F F F FV F F F F F FF V V F F V FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F



Identidadep ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c

Exemplo

p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔cV V F V F V VF V F F F V V


Propriedades da Disjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposiçõestambém simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso,temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa eidentidade.

Idempotentep ∨ p ⇔ p

Exemplo

p p∨p p∨p↔pV V VF F V


Propriedades da Disjunção (cont.)

Comutativap ∨ q ⇔ q ∨ p

Exemplo

p q p∨q q∨p p∨q↔q∨pV V V V VV F V V VF V V V VF F F F V



Associativa(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Exemplo

p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)V V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F V V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V F V V VF F F F F F F



Identidadep ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p

Exemplo

p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔pV V F V V V VF V F V F V V


Propriedades da Conjunção e Disjunção

Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar aspropriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan.

Distributivap ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Exemplo

p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r)V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F FF V V V F F F FF V F V F F F FF F V V F F F FF F F F F F F F


Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)

Absorçãop ∧ (p ∨ q)⇔ p e p ∨ (p ∧ q)⇔ p

Exemplo

p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q)↔pV V V V VV F V V VF V V F VF F F F V


Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.)

Regras De Morgan (1806–1871)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Exemplo

p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V


Negação da Condicional

DemonstraçãoComo p → q ⇔ p ∧ ¬q, temos:¬(p → q)⇔ ¬(¬p ∨ q)⇔ ¬¬p ∧ ¬q

ou seja:¬(p → q)⇔ p ∧ ¬q

Exemplo

p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬pV V V F F FV F F V V VF V V F F FF F V F V F


Negação da Bicondicional

DemonstraçãoComo p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos:

p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)e portanto:¬(p ↔ q)⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p)⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p)

ou seja:¬(p ↔ q)⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

Exemplo

p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q)V V F F F F F V FV F F V V F V F VF V V F F V V F VF F V V F F F V F


Dedução

DefiniçãoDado um argumento P1,P2 e P3 → Q chama-se demonstração oudedução de Q a partir das premissas P1,P2, . . .Pn, a sequência finita deproposições X1,X2, . . .Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorrelogicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que aúltima proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado.

Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimentode dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido.

O método dedutivo é mais eficente para demonstração de implicações eequivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade.


Demonstração da Implicação I

Implicaçãop ∧ q ⇒ p

Exemplop ∧ q → p ⇔¬(p ∧ q) ∨ p ⇔(¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔(¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔Tautologia ∨¬q ⇔Tautologia


Demonstração da Implicação II

Implicação(p → q) ∧ p ⇒ q

Exemplo(p → q) ∧ p ⇔(¬p ∨ q) ∧ p ⇔(p ∧ ¬p) ∨ (p ∨ q)⇔Contradição ∨(p ∨ q)⇔p ∨ q ⇒q (Absorção)


Demonstração da Equivalência I

Equivalênciap → q ⇔ p ∨ q → q

Exemplop ∨ q → q ⇔¬(p ∨ q) ∨ q ⇔(¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)⇔(¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔p → q


Demonstração da Equivalência II

Equivalência(p → q) ∧ (p → ¬q)⇔ ¬p

Exemplo(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)⇔¬p ∨ (q ∧ ¬q)⇔¬p∨ Contradição ⇔¬p


Forma Normal das Proposições

DefiniçãoUma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quandomuito, contém apenas os conectivos: ¬,∧ e ∨.

Exemplo¬p ∧ q, ¬(p ∨ ¬q) ou p ∨ (p ∧ q)

Há duas representações de formas normais para uma proposição:

Forma normal conjuntiva (FNC); eForma normal disjuntiva (FND).


Forma Normal Conjuntiva

DefiniçãoUma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente sesão verificadas as seguintes condições:

Contém, quanto muito, os conectivos: ¬,∧ e ∨;O conectivo de negação ¬ não aparece repetido e não tem alcancesobre os conectivos ∧ e ∨; eO conectivo ∨ não tem alcance sobre o conectivo ∧.

Exemplop ∨ ¬q, p ∧ ¬q ∧ r , e (p ∨ q) ∧ q


Forma Normal Disjuntiva

DefiniçãoUm proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se sãoverificadas as seguintes condições:

Contém, quando muito, os conectivos: ¬,∧ e ∨;O conectivo de negação ¬ não aparece repedito e não tem alcancesobre os conectivos ∧ e ∨; eO conectivo ∧ não tem alcance sobre o conectivo ∨.

Exemplop ∨ ¬q, p ∨ ¬q ∨ r , e (p ∧ q) ∨ q


Ementa do Curso

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Argumento

DefiniçãoChama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência finitaP1,P2, . . . ,Pn(n ≥ 1) de proposições tem como consequência ouacarreta uma proposição final Q.

Um argumento de premissas P1,P2, . . . ,Pn e de conclusão Q indica-sepor:

P1,P2, . . . ,Pn ` Q

ImportanteUm argumento P1,P2, . . . ,Pn ` Q é válido se e somente se a condicional:P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q é tautológica.


Inferência

DefiniçãoÉ o processo pelo qual se chega a uma proposição, firmada na base de umaou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo.

Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar avalidade de um dado argumento P1,P2, . . . ,Pn ` Q consiste em deduzira conclusão Q a partir das premissas P1,P2, . . . ,Pn mediante o uso decertas regras de inferência.


Regras de Inferência

DefiniçãoAs regras de inferência constituem relações específicas entre proposições:

As regras de inferência são:

Regra de Adição (AD);Regra de Simplificação (SIMP);Regra da Conjunção (CONJ);Regra de Absorção (ABS);Regra Modus ponens (MP);Regra Modus tollens (MT);Regra do Silogismo disjuntivo (SD);Regra do Silogismo hipotético (SH);Regra do Dilema construtivo (DC); eRegra do Dilema destrutivo (DD).


Regra da Adição

DefiniçãoDada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção comqualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r , etc.

Exemplo

(i)pp ∨ q

(ii)pq ∨ p


Regra de Simplificação

DefiniçãoDa conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma dasproposições, p ou q.

Exemplo

(i)p ∧ qp

(ii)p ∧ qq


Regra da Conjunção

DefiniçãoPermite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a suaconjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão).

Exemplo

(i)pqp ∧ q

(ii)pqq ∧ p


Regra da Absorção

DefiniçãoEstá regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, deladeduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedentep e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições queintegram a premissa, isto é, p → p ∧ q.

Exemplo

p → qp → (p ∧ q)


Regra Modus Ponens

DefiniçãoTambém é chamada Regra de Separação e permite deduzir q(conclusão) a partir de p → q e p (premissas).

Exemplo

p → qpq


Regra Modus Tollens

DefiniçãoPermite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação doconsequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente).

Exemplo

p → q¬q¬p


Regra do Silogismo Disjuntivo

DefiniçãoPermite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p(ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p).

Exemplo

(i)p ∨ q¬pq

(ii)p ∨ q¬qp


Regra do Silogismo Hipotético

DefiniçãoEsta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas),tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda,deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente econsequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e oconsequente da outra premissa q → r .

Exemplo

p → qq → rp → r


Regra do Dilema Construtivo

DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seusantecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destascondicionais.

Exemplo

p → qr → sp ∨ rq ∨ s


Regra do Dilema Destrutivo

DefiniçãoNesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negaçãodos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dosantecedentes destas condicionais.

Exemplo

p → qr → s¬q ∨ ¬s¬p ∨ ¬r


Validade Mediante Regras de Inferência I

Argumentop → q, p ∧ r ` q

Exemplo

(1) p → q(2) p ∧ r(3) p 2 – SIMP(4) q 1,3 – MP


Validade Mediante Regras de Inferência II

Argumentop ∧ q, p ∨ r → s ` p ∧ s

Exemplo

(1) p ∧ q(2) p ∨ r → s(3) p 1 – SIMP(4) p ∨ r 3 – AD(5) s 2,4 – MP(6) p ∧ s 3,5 – CONJ


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Demonstração Indireta

DefiniçãoUm método frequentemente empregado para demonstrar a validade deum dado argumento:

P1,P2, . . . ,Pn ` Q

chamado também por “Demonstração por Absurdo” consiste em admitir anegação ¬Q da conclusão Q, isto é, supor ¬Q verdadeira, e daí deduzirlogicamente uma contradição qualquer C a partir das premissasP1,P2, . . .Pn e ¬Q, isto é, demonstrar que é válido o argumento:

P1,P2, . . . ,Pn,¬Q ` C


Validade Mediante Demonstração Indireta I

Argumentop → ¬q, r → q ` ¬(p ∧ r)

Exemplo

(1) p → ¬q(2) r → q(3) p ∧ r Negação de Q(4) p 3 – SIMP(5) r 3 – SIMP(6) ¬q 1,4 – MP(7) q 2,5 – MP(8) q ∧ ¬q 6,7 – CONJ (Contradição)


Validade Mediante Demonstração Indireta II

Argumento¬p → q,¬q ∨ r ,¬r ` p ∨ s

Exemplo

(1) ¬p → q(2) ¬q ∨ r(3) ¬r(4) ¬p ∧ ¬s Negação de Q(5) ¬p 4 – SIMP(6) q 1,5 – MP(7) ¬q 2,3 – SD(8) q ∧ ¬q 6,7 – CONJ (Contradição)


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Sentenças Abertas com uma Variável

DefiniçãoChama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A, umaexpressão p(x) tal que p(a) é falsa (F ) ou verdadeiro (V ) para todo a ∈ A.Em outros termos, p(x) é uma sentença aberta em A se e somente se p(x)torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes que sesubstitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a ∈ A).

ExemploSão sentenças abertas em N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} as seguintes expressões:x + 1 > 8x + 5 = 9x é primo


Sentenças Abertas com duas Variáveis

DefiniçãoDados dois conjuntos A e B , chama-se sentença aberta com duas variáreisem A ∧ B , uma expressão p(x , y) tal que verdadeira (V ) ou falsa (F ) paratodo o par ordenado (a, b) ∈ AxB . Em outros termos, p(x , y) é umasentença aberta em AxB se e somente se p(x , y) torna-se uma proposição(verdadeira ou falsa) todas as vezes que as variáveis x e y são substituídasrespectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b)pertencente ao produto cartesiano AxB dos conjuntos A e B((a, b) ∈ AxB).

ExemploSejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. São sentenças abertas emAxB as seguintes expressões:x é menor que yx é o dobro de y


Sentenças Abertas com n-Variáveis

DefiniçãoChama-se sentença aberta com n variáveis em A1xA2x . . . xAn, umaexpressão p(x1, x2, . . . , xn) tal que p(a1, a2, . . . , an) é verdadeira (V ) oufalsa (F ) para toda n-upla (a1, a2, . . . , an ∈ A1xA2x . . . xAn).

ExemploA expressão x + 2y + 3z < 18 é um sentença aberta em NxNxN, na qual, otermo ordenado (1, 2, 3), satisfaz esta sentença aberta, pois,1+ 2 ∗ 2+ 3 ∗ 4 < 18.


Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas

As operações lógicas que definimos para proposições estendem-senaturalmente à sentenças abertas, e como podemos lembrar, são elas:

Não (Negação), ¬ ;E (Conjunção), ∧;Ou (Disjunção), ∨;Se – então (Condicional), →;eSe e somente se (Bicondicional), ↔.


Operação de Negação

ExemploA negação da sentença aberta em R (Conjunto dos números reais):

“x < 2”

Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temossucessivamente:

x x < 2 ¬(x < 2)0 V F-1 V F2 F V5 F Vπ F V

8,57 F V


Operação de Conjunção

ExemploA conjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):

“x > 2” ∧ “x < 8”

Assim, para x = 5, x = π, x = 2, x = −1 e x = 8, 57, temossucessivamente:

x x > 2 x < 8 x > 2 ∧ x < 87 V V Vπ V V V2 F V F-1 F V F8,57 V F F


Operação de Disjunção

ExemploA disjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):

“x < 2” ∨ “x > 8”


x x < 2 x > 8 x < 2 ∨ x > 80 V F V-1 V F V2 F F F5 F F Fπ F F F

8,57 F V V


Operação Condicional

ExemploA condicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):

“x < 2” → “x > 8”


x x < 2 x > 8 x < 2→ x > 80 V F F-1 V F F2 F F V5 F F Vπ F F V

8,57 F V V


Operação Bicondicional

ExemploA bicondicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais):

“x < 2” ↔ “x > 8”


x x < 2 x > 8 x < 2↔ x > 80 V F F-1 V F F2 F F V5 F F Vπ F F V

8,57 F V F


Ementa do Curso

1 Introdução










11 Quantificadores


Quantificador

DefiniçãoO termo quantificação tem vários significados (gerais e específicos). Elecobre toda ação que quantifique observações e experiências, traduzindo-aspara números através da contagem e mensuração. É, portanto, a base paraa matemática e para a ciência. Na linguagem e na lógica, a quantificação éuma construção que especifica a quantidade de indivíduos de um domíniode discurso que se aplicam a (ou satisfazem) uma fórmula aberta.

Os dois tipos fundamentais de quantificação na lógica de predicados são:Universal, ∀x ; eExistencial, ∃x .

ImportanteOs quantificadores são interdefiníveis. Isto significa que uma fórmula comquantificador universal pode ser transformada em uma fórmula que contémapenas quantificadores existencial e vice-versa.


Quantificador Universal: ∀x

DefiniçãoSeja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A 6= ∅) e sejaVp o seu conjunto-verdade:

Vp = {x |x ∈ A ∧ p(x)}

Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem asentença aberta p(x), podemos, então, afirmar:

“Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V )”; ou“Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira”.

ExemploTodo homem é fiel.Todo homem é mortal.Toda criança é verdadeira.


Quantificador Existencial: ∃x

DefiniçãoSeja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A 6= ∅) e sejaVp o seu conjunto-verdade:

Vp = {x |x ∈ A ∧ p(x)}

Quando Vp não é vazio (Vp 6= ∅), então, um elemento, pelo menos, doconjunto A satisfaz a sentença abeta p(x), e podemos afirmar:

“Existe pelo menos um x ∈ A” tal que p(x); ou“Para algum x ∈ A tal que p(x)”.

ExemploExiste vida em outros planetas.Existe mamífero que voa.Existe cidadão honesto.


Negação de Proposições com Quantificador

DefiniçãoA negação da proposição (∀x ∈ A)(p(x)) é equivalente a afirmação de que,para ao menos um x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo,subsiste a equivalência:

¬[(∀x ∈ A)(p(x))]↔ (∃x ∈ A)(¬p(x))

Analogamente, a negação da proposição (∃x ∈ A)(p(x)) é equivalente aafirmar de que, para todo x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo,subsiste a equivalência:

¬[(∃x ∈ A)(p(x))]↔ (∀x ∈ A)(¬p(x))

Essas duas importantes equivalências são conhecidas por segunda regrade negação DE MORGAN.


Quantificação Múltipla

Toda a sentença aberta precedida de quantificadores, um para cadavariável, isto é, com todas as variáveis quantificadas, é uma proposição,pois, assume um dos valores lógicos V ou F .

Exemplo1 (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(p(x , y));2 (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(p(x , y)); ou3 (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(∀z ∈ C )(p(x , y , z)).


Quantificação Múltipla

ExemploConsideramos os conjuntos:

H = {Jorge, Cláudio, Paulo},M = {Suely, Cármen}

e seja p(x,y) a sentença aberta em HxM:“x é irmão de y”. A proposição:

(∀x ∈ H)(∃y ∈ M)(p(x , y))

se pode ler: “Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x éirmão de y .” A proposição:

(∃y ∈ M)(∀x ∈ H)(p(x , y))

se pode ler: “Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos oshomens de H”.


Comutativa dos Quantificadores

Quantificadores do mesmo tipo podem ser comutados:

Exemplo(∀x)(∀y)(p(x , y))↔ (∀y)(∀x)(p(x , y))(∃x)(∃y)(p(x , y))↔ (∃y)(∃x)(p(x , y))

Quantificadores de tipos diferentes não podem em geral sercomutados:

Exemplo(∀x)(∃y)(x é filho de y) 6= (∃x)(∀y)(x é filho de y)


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