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LOGICA
El estudio de la lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el
razonamiento correcto del incorrecto.
PROPOSICIONES
Una proposición es una oración o una sucesión de palabras de la cual tiene sentido afirmar
que sea verdadera o que sea falsa.
Ejemplos
(a) El sol es cuadrado
(b) Un triángulo tiene tres lados.
(c) Napoleón bebió 128gs de agua el 15 de julio de 1799.
Estas son proposiciones; (a) es falsa; (b) es verdadera y (c) no sabemos si es verdadera o
falsa (es algo desconocido) pero tiene sentido poder afirmar que es verdadera o falsa.
En cambio
(d) ¿Qué hora es?
(e) Avance
(f) ¡Adiós amigo!
(g) La cuchara sirve para
No son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas
El carácter fundamental de una proposición es que o bien es verdadera, o bien es falsa, en
esto difieren de las preguntas, las ordenes y las exclamaciones. Solo es posible afirmar o
negar proposiciones.
La verdad o falsedad de una proposición se llama valor de verdad.
Si la proposición en cuestión es verdadera, diremos que su valor de verdad es V, si es falsa
diremos que su valor de verdad es F
Las proposiciones, se denotaran por las letras etc. y estas son proposiciones simples a
partir de las cuales es posible generar proposiciones compuestas
Así, por ejemplo, son proposiciones compuestas
(h) El sol es verde y 3 es un número primo
(i) El agua es incolora o es azul
(j) Si estudio entonces apruebo
Las proposiciones simples que las conforman son:
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(h) p: El sol es verde q: 3 es un número primo
(i) p: El agua es incolora q: : El agua es azul
(j) p: Si estudio q: apruebo
es decir, las proposiciones compuestas están formadas de proposiciones simples conectadas
lógicamente por “y”, “o”, “entonces”, etc.
La propiedad fundamental de las proposiciones compuestas es que su valor de verdad está
determinado por completo por el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples y
por el modo como se reúnen para formar la proposición compuesta.
Una manera de analizar este valor de verdad es a través de una tabla que muestre todas las
posibilidades de las proposiciones simples y deducir así el valor de verdad de la proposición
compuesta.
OPERACIONES ENTRE PROPOSICIONES
CONJUNCION
Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la letra “y” para formar una
proposición compuesta, que se llama conjunción. Simbólicamente se denota la conjunción de
dos proposiciones y por
El valor de verdad de la proposición compuesta satisface la condición:
“Si p es verdadera y q es verdadera, entonces es verdadera; en otro caso es
falsa”.
Es decir la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada una de ellas
es verdadera
Ejemplo Sean las cuatro proposiciones siguientes:
1. París está en Francia y
2. París está en Italia y
3. París está en Italia y
4. Paris está en Francia y
De acuerdo a lo anterior solamente (4) es verdadera. Todas las demás son falsas porque al
menos una de las componentes es falsa.
La tabla de verdad es
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V V V
V F F
F V F
F F F
DISYUNCION
Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la letra “o” (en el sentido
de y/o) para formar una nueva proposición que se llama disyunción. Simbólicamente se
denota la disyunción de dos proposiciones y por
y se lee p o q.
Ejemplo Sea : él estudió francés en la universidad y sea ·: él vivió en Francia, entonces
es la proposición compuesta “El estudió francés en la universidad o él vivió en Francia”
El valor de verdad de la proposición compuesta satisface la condición:
Si p es verdadera o q es verdadera o si ambas p y q son verdaderas, entonces es
veradera; en otro caso es falsa.
Por tanto la disyunción de dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son
falsas, es decir, la disyunción de dos proposiciones es verdadera si al menos una de las
proposiciones es verdadera.
Ejemplo Sean las cuatro proposiciones siguientes:
1. París está en Francia o
2. París está en Italia o
3. París está en Italia o
4. París está en Francia o
Solo (3) es falsa, ya que ambas proposiciones simples son falsas. Todas las demás son
verdaderas.
La tabla de verdad es:
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V V V
V F V
F V V
F F F
NEGACION
Dada una proposición , se puede formar otra proposición, que se llama negación de ,
escribiendo “Es falso que …” o “no es cierto que ...” insertando cuando es posible antes de
la palabra “no”. Simbólicamente se denota la negación por y se lee no
Ejemplos
1. Consideremos los cuatro enunciados siguientes
(a) París está en Francia
(b) Es falso que París está en Francia
(c) París no está en Francia
(d) En Francia no está Paris
(b) (c) y (d) son negación de (a)
2. Sea la proposición : “Todo hombre es honesto”
La negación de es
: No todo hombre es honesto
: No es cierto que todo hombre es honesto
: Hay hombres que no son honestos
: Existen hombres deshonestos
Ejercicio: Negar la proposición : “Existen números enteros impares”
El valor de verdad de la negación de una proposición depende de la siguiente condición
Si es verdadera, entonces es falsa, si es falsa, entonces es verdadera.
Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición es siempre opuesto al valor
de verdad de la proposición.
V F
F V
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Equivalencia Lógica
Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son
idénticas. Se denota la equivalencia lógica de y por
Proposición
(a) ( )
(b) ( ) (leyes de De Morgan)
(c) ( ) (leyes de De Morgan)
Demostración
(a) El valor de verdad de y de ( ) es el mismo, por tanto son lógicamente
equivalentes
(b)
( )
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
(c) Demostración ejercicio.
IMPLICACION O CONDICIONAL
Muchos enunciados, principalmente en matemática, son de la forma “Si ”. Tales
enunciados se llaman condicionales y se les denota por ⇒
El condicional ⇒ se puede también leer:
( ) ( )
( ) ( )
( )
El valor de verdad de la proposición condicional resulta de:
( )
V F V
F V F
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El condicional ⇒ es falso solo si, es verdadero y es falso.
Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.
A la proposición se la denomina antecedente y a consecuente.
⇒
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplos
1. ⇒ ( )
Esta implicación es verdadera por ser el antecedente falso
2. Intentar deducir la verdad o falsedad de la implicación siguiente en términos de la verdad o
falsedad de las proposiciones componentes
“Si apruebo el examen, entonces, te presto el apunte”
Sea : “apruebo el examen” y : “te presto el apunte”
Si es F, es decir, si no apruebo el examen entonces quedo liberado del compromiso de
prestar el apunte. Entonces preste o no preste el apunte la implicación es V. Es decir si el
antecedente es falso, la implicación es verdadera
Si es V, es decir, si apruebo el examen, y no presto el apunte, el compromiso asumido no se
cumple, y la implicación es F.
Si y son V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple.
Proposición ⇒ .
Las tablas de verdad de ⇒ y muestran que son lógicamente equivalentes
⇒
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
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ENUNCIADOS CONDICIONALES
Sea la proposición condicional ⇒ y otras proposiciones condicionales simples que
contienen a , esto es ⇒ , ⇒ y ⇒ , que se llaman respectivamente,
recíproca, contraria y contrarrecíproca.
Las tablas de verdad de estas cuatro proposiciones son
Observamos que un enunciado condicional y su recíproco o su contrario no son, lógicamente
equivalentes. Sin embargo de acuerdo a la tabla podemos afirmar que
Teorema Un enunciado condicional ⇒ y su contrarrecíproco ⇒ son lógicamente
equivalentes, esto es ⇒ ⇒
Corolario ⇒ ⇒
Ejemplos
1. Sea A un triángulo, consideremos los siguientes enunciados
⇒ : Si A es equilátero, A es isósceles
⇒ : Si A es isósceles, A es equilátero
Notemos que es verdadero, pero es falso.
2. Demostrar que “Si es impar entonces es impar”
Sea : impar y sea impar
Lo demostraremos por la contrarrecíproca ⇒ , es decir “Si es par entonces es
par”.
Sea par, entonces , por tanto ( ) es también un número
par.
⇒ ⇒
Recíproca
⇒
Contraria
⇒
Contrarrecíproca
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
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Luego la contrarrecíproca ⇒ es verdadera, por tanto el condicional es
verdadero.
CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE
Si ⇒ es siempre V (verdadero), diremos que ⇒ es una implicación y que
es condición suficiente para y es condición necesaria para
Ejemplo Sea la proposición “si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3”
Si queremos inducir la verdad o falsedad de la implicación en términos del valor de verdad de
las proposiciones
: Si un número es múltiplo de 6
: Si un número es múltiplo de 3
Observamos que nunca se puede dar el caso en que sea V y sea F, por tanto la implicación
o condicional ⇒ es siempre V y se lee:
Si un número es múltiplo de 6 implica que es múltiplo de 3
Que un número sea múltiplo de 6 es condición suficiente para ser múltiplo de 3
Que un número sea múltiplo de 3 es condición necesaria para ser múltiplo de 6
Un número es múltiplo de 6 solo sí es múltiplo de 3
DOBLE IMPLICACION O BICONDICIONAL
Otro enunciado corriente es de la forma “ ” o más brevemente “ ”, tales
enunciados se llaman bicondicionales y se les denota ⇔
El valor de verdad de las proposiciones bicondicionales ⇔ obedece a la condición:
Si y tienen el mismo valor de verdad, entonces ⇔ es verdadera.
Es decir si y tienen valores de verdad opuestos, entonces ⇔ es falsa.
La tabla es
⇔
V V V
V F F
F V F
F F V
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Cuando la doble implicación es V, podemos leer ⇔ como: “ es condición necesaria y
suficiente para ”
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca,
debido a que ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇔
TAUTOLOGIAS y CONTRADICCIONES
Definición Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera cualquiera sea el
valor de verdad de las proposiciones simples que la forman
Definición Una proposición compuesta es una contradicción si es falsa cualquiera sea el valor
de verdad de las proposiciones simples que la forman.
Ejemplos
(a)
Podemos comprobar realizando la tabla de verdad que la proposición compuesta es una
tautología, es decir el valor de verdad de es siempre V cualquiera sea el valor de
verdad de y de .
V F V
F V V
(b)
Podemos comprobar realizando la tabla de verdad que la proposición compuesta es una
contradicción, es decir el valor de verdad de es siempre F cualquiera sea el valor de
verdad de y de .
V F F
F V F
⇒ ⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇔
V V V V V V
V F F V F F
F V V F F F
F F V V V V
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(c) ⇒ Comprobar que es una tautología
(d) Un principio fundamental del razonamiento lógico, la ley del silogismo, dice que: “Si p
implica q y q implica r, entonces p implica r”.
*( ⇒ ) ( ⇒ )+ ⇒ ( ⇒ )
Es una tautología como podemos observar a través de la tabla
q r ⇒ ⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ ) ⇒ *( ⇒ ) ( ⇒ )+ ⇒ ( ⇒ )
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Se necesitan 8 filas para abarcar todas las combinaciones de V y F para las tres proposiciones
simples
(e) *( ⇒ ) + ⇒ Modus Ponens
La tabla de verdad es
⇒ ( ⇒ ) *( ⇒ ) + ⇒
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Es una tautología.
Estos dos últimos ejemplos de tautologías, también llamadas leyes lógicas se usaran
habitualmente a la hora de realizar razonamientos.
Como una tautología es siempre verdadera, la negación de una tautología será siempre falsa,
es decir será una contradicción; y viceversa. En otras palabras
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Observación: Si es una tautología, entonces es una contradicción.
Observemos que si dos proposiciones son lógicamente equivalentes tienen los mismos
valores de verdad, luego teniendo en cuenta la doble implicación podemos afirmar
son lógicamente equivalentes si y solo si ⇔ es una tautologia
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes
Teorema
Prop. lógicamente equivalentes Tautología Propiedad
( ) ⇔
⇔
Idempotencia
( ) ( )
( ) ( )
( )⇔( )
( ) ⇔ ( )
Conmutativa
( ) ( )
( ) ( )
( ) ⇔ ( )
( ) ⇔ ( )
Asociativa
( ) ( )⇔ Involución
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ⇔( ) ( )
( ) ⇔( ) ( )
Distributiva
( )
( )
( )⇔
( )⇔
Leyes de De
Morgan
⇒ ( ⇒ )⇔ ( ) Implicación
⇒ ⇒ ( ⇒ )⇔( ⇒ ) Contrarrecíproco
[( ) ]
[( ) ]
[( ) ] ⇔
[( ) ] ⇔
Ley de Absorción
⇔
⇔
⇔
⇔
Leyes de
Identidad
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Este teorema se puede demostrar construyendo las tablas de verdad correspondiente.
Demostración ejercicio.
Estas propiedades nos permiten demostrar que dos proposiciones son lógicamente
equivalentes sin necesidad de realizar las tablas de verdad.
Ejemplos
1 Mediante los resultados del teorema anterior, simplificar las siguientes expresiones
(a) ( )
( ) ( )
1 Ley de De Morgan 2 Involución
(b) ( ⇒ )
( ⇒ ) ( ) ( )
1 Implicación 2 Ley de De Morgan 3 Involución
(c) ⇒( )
⇒( ) ( ) ( ) ( ⇒ )
1 Implicación 2 Asociativa 3 Implicación
2 Simplificar los siguientes enunciados escribiéndolos en forma simbólica y expresándolos
verbalmente.
(a) No es verdad que las rosas son rojas implica que las violetas son azules
(b) No es verdad que él es bajo o pelado
Solución
(a) Sea “las rosas son rojas” y sea “las violetas son azules”. El enunciado dado se puede
simbolizar como ( ⇒ ).
Por el ejercicio anterior 1 (b) sabemos que ( ⇒ ) .
Luego el enunciado es lógicamente equivalente a “las rosas son rojas y las violetas no son
azules”
(b) Sea “él es bajo” y sea “él es pelado”. El enunciado dado se puede simbolizar como
( ) y ( ) . Luego el enunciado es lógicamente equivalente a ´él
no es bajo y no es pelado”
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3 Demostrar sin hacer uso de tablas las siguientes equivalencias lógicas
(a) ⇒ ⇒
⇒ ⇒
(b) ( )⇒ ( ⇒ ) ( ⇒ )
( )⇒ ( ) ( ) ( ) ( ⇒ ) ( ⇒ )
CUANTIFICADORES
FUNCIONES LOGICAS
Sea un conjunto dado, una función lógica sobre es una expresión que se denota por ( )
que tiene la propiedad que ( ) es verdadera o falsa para todo .
Ejemplos
1. En los números naturales , sea ( )
( ) es una función lógica sobre el conjunto de los números naturales
2. En los números naturales ( ) .
( ) es una función lógica sobre
3. En los números naturales , sea ( )
( ) es una función lógica sobre todo los números naturales
Podemos observar a través de los ejemplos que si ( ) es una función lógica definida sobre
un conjunto A, entonces ( ) puede ser verdad para todos los , para algunos o
para ningún .
Para cada asignación de dicho enunciado se convierte en una proposición
Ejemplo Sea ( ) entonces
( ) es una proposición verdadera
( ) es una proposición falsa
( ) es una proposición verdadera
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones mediante un proceso
llamado de cuantificación.
Los cuantificadores asociados a la indeterminada son el cuantificador universal que lo
indicaremos (para todo ) y el cuantificador existencial (existe )
Una función proposicional ( ) sobre un conjunto cuantificada universalmente
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( ) ( ) o ( )
Es verdadera si y solo si todas las proposiciones asociadas a ( ) son verdaderas
Una función proposicional ( ) sobre un conjunto cuantificada existencialmente
( ) ( ) o ( )
Es verdadera solo si es verdadera para al menos una de las proposiciones asociadas a ( ) .
Ejemplos
(a) La proposición es verdadera porque se verifica para todo número
natural.
(b) La proposición ( ) es falsa, pues no se cumple para
(c) La proposición ( ) es verdadera porque se cumple para
(d) La proposición ( ) es falsa, pues no se cumple para ningún numero natural
NEGACION DE PROPOSICIONES QUE CONTIENEN CUANTIFICADORES
La negación de la proposición “Todo hombre es mortal” es “No todo hombre es mortal”
o bien “No es verdad que todo hombre es mortal”; o “existe al menos un hombre que no es
mortal”.
Sea M el conjunto de los hombres, simbólicamente la proposición se puede escribir
( )
La negación seria
( ) ( )
Si ( ) significa “ ” se puede escribir
( ( )) ( )
En general se cumple el siguiente
Teorema Sea un conjunto
1. ( ( )) ( ( ))
2. ( ( )) ( ( ))
Es decir que el enunciado 1. “No es verdad que, para todo de , ( ) es verdadero” es
equivalente al enunciado “existe un de tal que ( ) es falso”
De igual modo el enunciado 2. “No es verdad que existe un de tal que ( ), es
verdadero” es equivalente al enunciado “para todo de , ( )es falso”
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Ejemplos
(a) La negación de “Para todo número natural , es equivalente a existe un tal
que ”, es decir
( )
(b) La negación “existe un planeta habitable” es “Todo los planetas son inhabitables”
Sea P el conjunto de los planetas, entonces en símbolos
( )
(c) Sea ( ) , consideremos las proposiciones
( )
Es falsa porque no existe ningún número real
( )
Es verdadera porque existe el complejo tal que ( ) (también existe
el complejo tal que ( ) ).