LOGIC MATHEMATICS  

   Statement or proposition:  ❖ A Declarative statement which is either 

True or False is called a statement in logic  ❖ A Statement is also called as proposition   LOGICAL CONNECTIVES:  ❖ The five terms NOT, OR, AND, if....then, if 

and only if are called logical connectives.  ❖ A statement in which no connective 

appears is called an atomic statements.   ❖ A statement in which one or more 

connectives appears is called compound statements. 

  

LOGIC MATHEMATICS  

   DISJUNCTION(OR)   p  q  p ∨ q 

T  T  T   

T  F  T 

F  T  T 

F  F  F 

 NOTE: If one is true then true else false 

    Negation (NOT)  

p  ~p 

T  F 

F  T 

LOGIC MATHEMATICS  

   Conjunction (AND)  

p  q  p∧q 

T  T  T 

T  F  F 

F  T  F 

F  F  F  NOTE:  If both are true then true else false    

LOGIC MATHEMATICS  

   Conditional/Implication(p⟶q)   

p  q  p⟶q 

T  T  T 

T  F  F 

F  T  T 

F  F  T   NOTE:  If first is true second is false then false else true 

LOGIC MATHEMATICS  

  

Biconditional (p↔q) 

p  q  p↔q 

T  T  T 

T  F  F 

F  T  F 

F  F  T  Note : Both are same then true else false If p then q   p⟶q=(~q⟶~p)  =(~p∨q ) p if and only if q  p↔q=(p⟶q)∧(q⟶p) 

LOGIC MATHEMATICS  

  ❖ Negation(NOT) is an unary connectives  

while others are binary connectives  because they are combined two  statement.  ❖ A statement which is alway true is   

called Tautology ❖ A statement which is always false is   

called Contradiction. ❖ A statement which is not true or false is  

Contingency Two statement p and q are said to be logically equally if and only if their truth value are identical.  If p⟶q is a conditional statement Then q⟶p is called converse  ~p⟶~q is called inverse  ~q⟶~p is called contrapositive 

LOGIC MATHEMATICS  

  Demorgan’s Laws: 1) ~(p ∨q)=~p ∧~q 2) ~(p ∧q)=~p ∨~q   I Ⅱ 

p  q  ~p  ~q  (p∨q)  ~(p∨q)  ~p∧~q 

T  T  F  F  T  F  F 

T  F  F  T  T  F  F 

F  T  T  F  T  F  F 

F  F  T  T  F  T  T 

 From I & Ⅱ   ~(p ∨q)= ~p∧~q           

LOGIC MATHEMATICS  

   I Ⅱ 

p  q  ~p  ~q  p∧q  ~(p∧q)  ~p∨~q 

T  T  F  F  T  F  F 

T  F  F  T  F  T  T 

F  T  T  F  F  T  T 

F  F  T  T  F  T  T 

 From I & Ⅱ  ~(p ∧q)=~p∨~q   Hence proved Demorgan’s laws. (from both truth tables)      

LOGIC MATHEMATICS  

  Prove that: 

1) (p⟶q)=~q⟶~p=~p∨q   I Ⅱ Ⅲ 

p  q  ~p  ~q  p⟶q  ~q⟶~p  ~p ∨q  

T  T  F  F  T  T  T 

T  F  F  T  F  F  F 

F  T  T  F  T  T  T 

F  F  T  T  T  T  T  From I,Ⅱ and Ⅲ   (p⟶q)=~q⟶~p=~p∨q     

LOGIC MATHEMATICS  

  2) (p ↔q)=(p ⟶ q)∧(q⟶ p)   I Ⅱ   

p  q  (p↔q)  (p⟶q)  (q⟶p)  

(p⟶q)∧(q⟶p)  

T  T  T  T  T  T 

T  F  F  F  T  F 

F  T  F  T  F  F 

F  F  T  T  T  T  From I & Ⅱ    (p↔q)=(p⟶ q) ∧(q ⟶ p)      

LOGIC MATHEMATICS  

  Solve this problem and write whether it is tautology,contradiction or contingency.  

1) (p⟶q)↔(~q⟶~p)     A B A↔B 

p  q  ~p  ~q  p⟶q  ~q⟶~p  (p⟶q)↔(~q⟶~p)  

T  T  F  F  T  T  T  T  F  F  T  F  F  T  F  T  T  F  T  T  T  F  F  T  T  T  T  T 

 This is tautology    

LOGIC MATHEMATICS  

  2) (p⟶q) ∧(q⟶r)⟶(p⟶r)   A B C  p  q  r  (p⟶q)  (q⟶r)  (p⟶r) 

T  T  T  T  T  T  T  T  F  T  F  F  T  F  T  F  T  T  T   F  F  F  T  F  F  T  T  T  T  T  F  T  F  T  F  T  F  F  T  T  T  T  F  F  F  T  T  T       

LOGIC MATHEMATICS  

   A∧B (A∧B)⟶C 

(p⟶q)∧(q⟶r)  (p⟶q)∧(q⟶r)⟶(p⟶r)  

T  T  F  T  F  T  F  T  T  T  F  T  T  T  T  T 

 This is tautology     

LOGIC MATHEMATICS  

  If we define p↓q to be a true statement of neither p nor q is true  Note: Both are false then true else false    p  q  p↓q 

T  T  F   T  F  F  F    T  F  F  F  T       

LOGIC MATHEMATICS  

  Prepare true table for the following  1) (p↓q)∨(p↓r)   p  q  r  p↓q  p↓r   

(p↓q)∨(p↓r)  T  T  T  F  F  F  T  T  F  F  F  F  T  F  T  F  F  F  T  F  F  F  F  F  F  T  T  F  F  F  F  T  F  F  T    T  F  F  T  T  F  T  F  F  F  T  T  T   

LOGIC MATHEMATICS  

   2) (p↓q)↓r   p  q  r  (p↓q)  (p↓q)↓r 

   T  T  T  F   F  T  T  F   F  T

T  F  T  F  F  T  F  F  F  T  F  T  T  F  F  F  T  F  F  T    F  F  T  T  F  F  F  F  T  F    

LOGIC MATHEMATICS  

   We define pΔ q to be a true statement if either p nor q is true but not both.  Make true table for the following  Note: Both same then false else true   p  q  pΔ q   T  T  F  T  F  T  F  T  T  F  F  F     

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1) (pΔq)Δp   p  q  pΔq   

(pΔq)Δp  T  T  F  T  T  F  T  F  F  T  T  T  F  F  F  F  2) pΔ~p   p  ~p  pΔ~p  T  F  T  F  T  T  

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    3) (pΔq)Δp   p  q  pΔq  (pΔq)Δp  T  T  F  T  T  F  T  F  F  T  T  T  F  F  F  F         

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    4) (pΔq)Δ(qΔr)   p  q  r  pΔq  T  T  T  F  T  T  F  F  T  F  T  T  T  F  F  T  F  T  T  T  F  T  F  T  F  F  T  F  F  F  F  F    

LOGIC MATHEMATICS  

     qΔr  (pΔq)Δ(qΔr)  F  F  T  T  T  F  F  T  F  T  T  F  T  T  F  F      

LOGIC MATHEMATICS  

   Find the truth values of each statement if p and q are true and r and s,t are false.  

1)~(p⟶q )  ~(T⟶T)  ~(T)  F  2) (~q⟶(r⟶(r⟶(p∨s)))  (~T)⟶(F⟶(F⟶(T∨F)))  F⟶(F⟶(F⟶T))  F⟶(F⟶T)  F⟶T  T    

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   3) (~p)⟶r  (~T)⟶F  (F)⟶F  T  4) (p⟶s)∧ (s⟶t)   (T⟶F)∧(F⟶F)  (F)∧(T)  F  5) t⟶~q    F⟶~(T)    F⟶F  T    

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   6) p⟶(r⟶q)  T⟶(F⟶T)  T⟶T  T  7) (q⟶(r⟶s))∧((p⟶s)⟶(~t))  (T⟶(F⟶F)∧(T⟶F)⟶(~F))  (T⟶T)∧(F⟶(T))  T∧T  T  8) (r∧(s∧t))⟶(p∨q)  (F∧(F∧F))⟶(T∨T)  (F∧F)⟶T  F⟶T  T