logaritmo - · pdf fileelson rodrigues, gabriel carvalho e paulo luiz página 2 aula...
TRANSCRIPT
Hewlett-Packard
Ano 2016
LOGARITMO Aulas 01 a 08
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário LOGARITMO ............................................................................................................................................................ 2
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 2
LOGARITMO ............................................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 2
CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ................................................................................................................................ 3
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ................................................................................................................................ 3
PRODUTO ............................................................................................................................................................ 3
DIVISÃO ............................................................................................................................................................... 3
POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
MUDANÇA DE BASE ................................................................................................................................................ 4
MUDANÇA DE BASE ................................................................................................................................................ 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 4
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ........................................................................................................................................ 4
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ........................................................................................................................................ 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
EXTRA .................................................................................................................................................................. 5
Função Logarítmica ................................................................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ......................................................................................................... 5
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 6
DOMÍNIO ................................................................................................................................................................. 6
DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................................... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 6
GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO.................................................................................................................................. 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 7
INEQUAÇÃO ............................................................................................................................................................ 8
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 8
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 8
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 9
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
GABARITO ......................................................................................................................................................... 11
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................................ 11
CAIU NO VEST ................................................................................................................................................... 11
QUESTÕES EXTRAS ............................................................................................................................................ 11
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
LOGARITMO PRELIMINAR 1 A população de uma bactéria dobra a cada hora. Qual
é o tempo necessário para que a população
octuplique?
2𝑥 = 8 ⇔ 2𝑥 = 23 ⇔ 𝑥 = 3
Observe que no problema estamos em busca do valor
da potência 𝑥. Vamos criar um operador que irá
facilitar esse tipo de conta.
LOGARITMO Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
∗ e 𝑎 ≠ 1.
O logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 é o expoente 𝒙 que deve
se elevar 𝑎 para se obter 𝑏, ou seja
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 ⇔ 𝒂𝒙 = 𝒃
𝒂: base do logaritmo
𝒃: logaritmando
𝒙: logaritmo
Exemplo 1.1: Na expressão log2 8 = 3, temos que:
2 é a base
8 é o logaritmando
3 é o logaritmo.
Exemplo 1.2: Abaixo estão calculados alguns
logaritmos, lembre-se que o logaritmo é a busca pela
potência.
log2 8 = 3
log3 9 = 2
log5
1
25= −2
Note que no exemplo acima foi possível determinar o
valor dos logaritmos sem elaborar a conta. Porém, na
maioria dos casos vamos utilizar a definição e resolver
a equação exponencial.
Exemplo 1.3:
log0,5 0,25 = 𝑥 ⇔ 0,5𝑥 = 0,25 ⇔ (1
2)
𝑥
= (1
2)
2
⇔ 𝑥 = 2
Portanto,
log0,5 0,25 = 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos.
a) log2 16
b) log3 81
c) log 100000
d) log4 128
e) log36 √6
f) log0,2 √253
g) log 0,01
Obs.1: A notação log 𝑎 denota o logaritmo na base
10, ou seja, log 𝑎 = log10 𝑎.
1.2. Sabendo que log 𝑎 = 2 e log 𝑏 = −1, calcule
a) log𝑏 𝑎
b) log𝑎 𝑏2
c) log 𝑎 ∙ 𝑏
AULA 02
CONSEQUÊNCIAS Da definição de logaritmo, seguem algumas
consequências diretas que simplificam a resolução de
alguns logaritmos.
CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
∗ e 𝑎 ≠ 1.
I. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎.
II. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏.
III. 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃
IV. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 ⇔ 𝒃 = 𝒄
Obs.2: As consequências 𝑖) a 𝑖𝑣) são propriedades
que devem ser utilizadas para facilitar e encurtar a
resolução de exercícios.
Tarefa 1: Ler páginas 1 a 4 e fazer proposto 1 a 4.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Demonstre as consequências.
2.2. Calcule:
a) 4log4 2
b) 51−log5 4
c) 8log2 27
d) 𝑒ln 3
e) 5 log25 7
Obs.3: A notação ln 𝑎, denota log𝑒 𝑎, onde 𝑒 é o
número de Euler e este logaritmo é chamado de
logaritmo natural ou neperiano.
AULA 03
PROPRIEDADES
OPERATÓRIAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Vamos agora estudar as propriedades operatórias que
envolvem o logaritmo. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+∗ , 𝑎 ≠ 1 e
𝑟 ∈ ℝ.
PRODUTO
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃 ∙ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄
Exemplo 3.1:
log2(4 ∙ 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5
Obs.4: ATENÇÃO! log𝑎(𝑏 + 𝑐) ≠ log𝑎 𝑏 ∙ log𝑎 𝑐, ou
seja produto “dentro” vira soma “fora”, mas soma
“dentro” não vira produto “fora”.
DIVISÃO
𝐥𝐨𝐠𝒂 (𝒃
𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄
Exemplo 3.2:
log2
4
8 = log2 4 − log2 8 = 2 − 3 = −1
Obs.5: ATENÇÃO! log𝑎 𝑏 − 𝑐 ≠log𝑎 𝑏
log𝑎 𝑐, ou seja divisão
“dentro” vira subtração “fora”, mas subtração
“dentro” não vira divisão “fora”.
POTENCIAÇÃO
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃𝒓) = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃
Exemplo 3.3:
log2 48 = 8 ∙ log2 4 = 8 ∙ 2 = 16
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre as propriedades operatórias.
3.2. Sabendo que log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, calcule em
função de 𝑎 e 𝑏:
a) log 6
b) log 1,5
c) log 5
d) log 72
e) log √1,83
f) log 0,75
3.3. Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcule o
valor de:
a) log 72
b) log1
18
c) log √24
d) log √243
e) log 0,06
f) log 48
g) log 125
Tarefa 2: Exercícios propostos 5, 8, 9, 10, 11, 12.
DESAFIO: 10
Propriedades operatórias
log 6 = log(3 ∙ 2) = log 3 + log 2 = 𝑎 + 𝑏
Em grande parte das questões em que se utilizam as
propriedades operatórias será dado no enunciado
alguns valores de logaritmos. Procure reescrever os
valores solicitados utilizando produto, divisão e
potências dos valores conhecidos. Por exemplo, se o
enunciado dá os valores de log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏 e
solicita log 6, reescreva:
FIXAÇÃO: Exercícios propostos 6, 7
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
AULA 04
MUDANÇA DE BASE MUDANÇA DE BASE Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+
∗ , 𝑎 ≠ 1 e 𝑐 ≠ 1, temos que:
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂
Exemplo 4.1:
log2 3 =log5 3
log5 2.
log2 3 =log 3
log 2.
log2 3 =ln 3
ln 2.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e
log 5 = 0,7, calcule o valor de:
a) log3 2
b) log5 3
c) log2 5
d) log3 100
CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
∗ e 𝑎 ≠ 1.
I. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝟏
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂.
II. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒓 𝒃 =𝟏
𝒓∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃.
4.2. Demonstre as consequências acima.
AULA 05
EQUAÇÃO
LOGARÍTMICA EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Temos dois principais tipos de equações logarítmicas:
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois
logaritmos de uma mesma base.
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈(𝒙) ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) > 0
Exemplo 5.1:
log4(𝑥 − 1) = log4(2𝑥 − 3) ⇔ 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 > 0
𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 ⇔ 𝑥 = 2
Verificando,
𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 − 1 = 1 e 2𝑥 − 3 = 1.
Logo,
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 1 > 0.
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre um
logaritmo e número real.
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓
Exemplo 5.2:
log2(𝑥 − 3) = 4 ⇔ 𝑥 − 3 = 16 ⇔ 𝑥 = 19
Obs.5: Ao resolver equações logarítmicas, devemos
verificar as condições de existências, por isso exigimos
que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0.
Obs.6: Em algumas questões será necessário utilizar
mudança de base e propriedades operatórias.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Resolva em ℝ, as seguintes equações.
a) log5(𝑥 + 4) = log5 7
b) log2(4𝑥 + 5) = log2(2𝑥 − 11)
c) log(5𝑥2 − 6𝑥 + 16) = log(4𝑥2 + 4𝑥 − 5)
Tarefa 3: No capitulo de “Equação e propriedades”
ler páginas 1 a 3 e fazer os exercícios propostos 1 a
11, 13, 14, 16 e 19. DESAFIO: 17
Quando e por que mudar a base?
Como já vimos em propriedades operatórias o
enunciado de algumas questões dão os valores de
certos logaritmos. Uma das principais utilidades da
mudança de base é para ajustar a base do logaritmo
que se deseja calcular com a base dada no enunciado.
A questão 4.1 exemplifica bem está situação.
Tarefa 4: No capitulo de “Equação e propriedades”
ler páginas 1 a 4 e fazer os exercícios propostos 20,
21, 22 e 23
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
d) log2(𝑥 − 2) + log2 𝑥 = 3
e) log4(𝑥 + 3) = 2
f) log49(7𝑥) = log𝑥 7
DESAFIO: (𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙)𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙.
EXTRA 1. Resolva, em ℝ, as equações logarítmicas a seguir.
a) 24 4log 5 log 6x x
b) 4log 4 13 2
xx
c) 2
3 3log 6 log 9 0x x
d) 2 2log 2 log 2 5x x
e) 3 3 3log 1 log 2 1 log 3 3x x x
f) 25
3log 5 log
2x x
GABARITO
EXTRA 1.1. a) 3 e 2 b) ∅ c) 27 d) 6 e) 10 e 4 f) 5 e 25
AULA 06
Função Logarítmica Uma função 𝑓: ℝ+
∗ → ℝ é denominada função
logarítmica de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser
escrita como 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.
Exemplos:
1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = ln 𝑥
2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = log1
3
𝑥
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Dada a função 𝑓: ℝ+
∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = log5 𝑥,
determine:
a) 𝑓(125).
b) 𝑓(−5).
c) 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓); 𝑓(𝑥) = −1.
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Vamos começar o estudo do gráfico de uma função
logarítmica por meio de dois exemplos:
Exemplo 1
Gráfico de 𝒇: ℝ+∗ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙.
Para construir o gráfico de f escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1
4
-2 𝐴 (
1
4 ; −2)
1
2 -1
𝐵 (1
2; −1)
1 0 𝐶(1; 0)
2 1 𝐷(2; 1) 4 2 𝐸(4; 2)
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o
seguinte gráfico:
Obs.1: Repare que 𝑥 > 0. Por isso, o gráfico de f
nunca irá tocar o eixo das ordenadas, por mais que ele
se aproxime deste. Quando isso ocorre com uma
curva, dizemos que ela é assintótica ao eixo das
ordenadas.
Exemplo 2
Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙.
Para construir o gráfico de g escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1
4
2 𝐴 (
1
4 ; 2)
Tarefa 5: No capitulo de “Equação e propriedades”
fazer o exercícios propostos 12 e 18.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
1
2
1 𝐵 (
1
2; 1)
1 0 𝐶(1; 0)
2 -1 𝐷(2; −1) 4 -2 𝐸(4; −2)
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o
seguinte gráfico:
De um modo geral, o gráfico de uma função
logarítmica f, tal que 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e
𝑎 ≠ 1, apresentará algumas características. São elas:
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙
0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente
Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)
Assintótica ao eixo das ordenadas
Assintótica ao eixo das ordenadas
I. Todo o gráfico estará à direita do eixo das
ordenadas, devido à condição de existência
do logaritmo.
II. O gráfico sempre passa pelo ponto (1, 0), pois
log𝑎 1 = 0 para todo 𝑎 ∈ ℝ+∗ , 𝑎 ≠ 1.
III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se
0 < 𝒂 < 1, então o gráfico será decrescente.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.2. Construa em um mesmo sistema de eixos
perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função
exponencial a seguir.
a) 𝑓: ℝ+∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥
b) 𝑔: ℝ+∗ → ℝ; 𝑔(𝑥) = log2 𝑥
Obs.2: Perceba que o gráfico da função logarítmica é
uma reflexão do gráfico da função exponencial de
mesma base através da reta 𝑦 = 𝑥.
AULA 07
DOMÍNIO DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Primeiramente, vamos lembrar que um logaritmo
possui algumas condições de existência:
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 existe se, e somente se, {𝒃 ∈ ℝ+
∗
𝒂 ∈ ℝ+∗ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏
O domínio de uma função logarítmica é determinado
pelas suas condições de existência
Exemplo 7.1:
Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log3(𝑥 − 5), temos
que o maior domínio possível para a função, ou seja, o
maior conjunto 𝐴 é determinado pela condição de
existência:
𝑥 − 5 > 0 ⇒ 𝑥 > 5.
Assim,
𝐴 = { 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 > 5}.
Obs.1: Lembre-se que quando uma questão solicitar o
domínio, ela deseja saber o maior possível.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.1. Estabeleça o domínio de cada uma das funções
cuja a lei é dada por:
a) 𝑔(𝑥) = log5(𝑥 − 1).
b) ℎ(𝑥) = log𝑥−1(3 − 𝑥).
c) 𝑓(𝑥) = log4(𝑥2 − 9) .
GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO Assim como ocorre no estudo de funções
exponenciais, podemos estender a função logarítmica
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7
para uma caso mais geral, cuja lei é uma expressão do
tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log𝑎(𝑥 − 𝑐). Os valores de 𝑏 e 𝑐
fazem movimentos de translação vertical e horizontal,
respectivamente.
Exemplo 7.2:
Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦
o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑔(𝑥) = 2 + log2 𝑥 e
𝑓: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2 𝑥
Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação
vertical em duas unidades do gráfico da função 𝑓.
De um modo geral, o gráfico de uma função
𝑓: ℝ+∗ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+
∗ e 𝑎 ≠ 1,
será a translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥
em:
B unidades para cima, se 𝑩 > 0,
|𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.
Exemplo 7.3:
Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦
o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) e
𝑓: 𝐵 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2 𝑥
Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação
horizontal em duas unidades do gráfico da função 𝑓.
Mais do que isso, a assíntota de 𝑔 é a reta 𝑥 = −2.
De um modo geral, o gráfico de uma função
𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1,
será a translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥
em:
𝒄 unidades para direita, se 𝑪 > 0,
𝒄 unidades par a esquerda, se 𝑪 < 0.
Obs.2: O movimento de translação vertical do caso
log𝑎(𝑥 − 𝑐) ocorre devido ao domínio da função:
𝑥 − 𝑐 > 0 ⇒ 𝑥 > 𝑐
Obs.3: No caso 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), a
assíntota é a reta 𝑥 = 𝑐.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.2. (UNICAMP – 2014) A altura (em metros) de um
arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode
ser expressa pela função ℎ(𝑡) = 0,5 + log3(𝑡 + 1),
onde o tempo 𝑡 ≥ 0 é dado em anos:
a) Qual o tempo necessário para que a altura aumente
de 0,5𝑚 para 1,5m.
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de
desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função
composta 𝑔(𝑡) = ℎ(3𝑡 + 2). Determine 𝑔(𝑡) − ℎ(𝑡).
Tarefa 5: No capitulo de “Função logarítmica” fazer
o exercício proposto 1, 3, 4, 7, 8 e exercícios
complementares 4, 5, 7
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8
AULA 08
INEQUAÇÃO INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Assim como ocorre no estudo de inequações
exponenciais, as inequações logarítmicas são
determinadas de acordo com crescimento das
funções que as representam. Então, lembremos que:
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙
0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente
Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)
Assintótica ao eixo das ordenadas
Assintótica ao eixo das ordenadas
Assim, satisfeita a condição de existência, 𝑥 > 0,
temos os seguintes casos:
Se 𝒂 > 1, então
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐
Se 0 < 𝒂 < 1, então
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 8.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.
a) log2(𝑥 − 1) < log2 3
b) log1
3
𝑥 ≤ log1
3
2
c) log3 𝑥 > 2
d) log2(𝑥 − 1) + log2(𝑥 + 2) ≥ log2(−𝑥 + 13)
e) log0,1 𝑥 + log0,1(𝑥 − 2) < log0,1(𝑥 + 10)
EXTRA CAIU NO VEST 1) (UnB – 2012) De acordo com o jornal The
Guardian, o investimento em energia renovável
vem crescendo maciçamente nos últimos anos.
Em 2011, as cifras chegaram a 𝑈𝑆$ 252 bilhões,
acréscimo significativo em relação ao ano
anterior. Em comparação com 2009, o incremento
foi de mais de 40%. O investimento em energia
renovável, em bilhões de dólares pode ser obtido
para 𝑡 anos após 2009, a partir da expressão
𝐼(𝑡) = 175𝑒𝑘𝑡, em que 𝑘 > 0 é uma constante.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir,
assumindo 0,69; 1,1 e 1,61 como valores
aproximados de ln 2, ln 3 e ln 5, respectivamente.
1. Na expressão que representa o investimento
em energia renovável, a constante 𝑘 é igual a
0,18.
2. Os dados permitem estimar que, 2014, o
investimento em energia renovável será
superior a 𝑈𝑆$ 450 bilhões.
3. Em 2011, o investimento em energia
renovável foi 44% maior que em 2009.
2) (UnB – 2014) A exposição prolongada dos
astronautas a fontes de radiações no espaço pode
ter efeitos no corpo humano e levar à morte.
Considere que uma fonte de radiação emita raios
com intensidade cada vez maior ao longo do
tempo. Considere, ainda que o valor da
intensidade – 𝑆(𝑡) - seja determinado, em 𝑚𝑆𝑣
(milisieverts), pela função 𝑆(𝑡) = 3400 − 3240 ×
Como resolver inequações logarítmicas
O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de
inequações logarítimicas:
1º) Reduza ambos os membros a uma base comum
2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏)
3º) Aplique a respectiva definição feita acima.
Note que para reduzir ambos os membros a uma base
comum, pode ser necessário fazer uso de alguns
artifícios. Por exemplo, 𝑏 = log𝑎 𝑎𝑏.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9
3−𝑡
10, em que 𝑡, em horas, indica o momento em
que as mediações começaram a ser feitas, a partir
do instante 𝑡 = 0.
1. A intensidade de radiação igual a 2000 𝑚𝑆𝑣
é atingida em 𝑡 = 40 − log3 3510.
2. Em algum momento, a intensidade de
radiação irá superar 4000 𝑚𝑆𝑣.
3. Vinte horas após o início da medição, a
intensidade da radiação será inferior a
3000 𝑚𝑆𝑣.
3) (ITA – 2011) Resolva a inequação 16 <
(1
4)
log15
𝑥2−𝑥+19 em ℝ.
4. (PAS – 2013) Em 1798, o economista britânico
Thomas Malthus formulou uma teoria populacional
que conduzia à previsão de um apocalipse de fome e
guerra, caso a população humana não parasse de
crescer. Segundo Malthus, a população cresceria em
progressão geométrica, enquanto nossa capacidade
de produzir alimentos cresceria só em progressão
aritmética. Logo, em um futuro próximo faltaria
comida para alimentar tanta gente.
Hoje, mais de dois séculos depois, a previsão não se
confirmou. A população não parou de crescer e
estamos todos, bem ou mal, vivos.
Considerando o texto e os dados da população
mundial e da produção de grãos no período de 100
anos, entre 1950 e 2050 apresentados na tabela
acima, julgue os itens.
1. Considere que a quantidade de pessoas no
mundo seja obtida, no ano 𝑡, por meio da
expressão 𝑄(𝑡) = 𝑚𝑒𝑘(𝑡−1950), a partir do
ano 𝑡 = 1950. Nessa situação, tendo 0,88 e
1,76 como valores aproximados
respectivamente de ln 2,4 e ln 5,8, infere-se
que a população mundial prevista para 2050
será maior que a estimada que consta na
tabela.
5) (PAS – 2013) Considere que, em 2010, existiam
8,76 milhões de espécies e que, a partir desse
ano, o número de desaparecimento anula de
espécies seja dado pela expressão 𝑄(𝑡) =
54750𝑒𝑘𝑡, em que 𝑡 representa a quantidade de
anos decorridos a partir de 2010. Nesse caso,
usando 3,87 como valor aproximado para ln (48),
verifica-se que o valor de 𝑘 é maior que 0,04.
6) (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi
palco do maior acidente radioativo ocorrido no
Brasil, quando uma amostra de césio-137,
removida de um aparelho de radioterapia
abandonado, foi manipulada inadvertidamente
por parte da população. A meia-vida de um
material radioativo é o tempo necessário para que
a massa desse material se reduza à metade. A
meia-vida do césio 137 é de 30 anos e a
quantidade restante de massa de um material
radioativo, após 𝑡 anos, é calculada pela
expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 ∙ 2,7𝑘𝑡, onde 𝐴 é a massa
inicial e 𝑘 é uma constante negativa. Considere
log 2 = 0,3. Qual o tempo necessário, em anos,
para que uma quantidade de massa do césio-137
se reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100
QUESTÕES EXTRAS 1) O valor da expressão log√2 256 + log3 343 −
5log5 13 é igual a
(A) 0.
(B) 8.
(C) -44.
(D) 4.
(E) -4.
2) Dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, o valor de
log 0,24 é igual a
(A) 1,38.
(B) 0,62.
(C) -0,62.
(D) -1,38.
(E) 1,24.
3) O conjunto-solução da equação log4(𝑥 − 3) −
log16(𝑥 − 3) = 1, em ℝ, é igual a
(A) {15}.
(B) {16}.
(C) {17}.
(D) {18}.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 10
(E) {19}.
4) Numa experiência realiza em um laboratório, Alice
constatou que, decorridas 𝑡 horas, a população
𝑃(𝑡) de determinada bactéria cresce segundo a
sentença 𝑃(𝑡) = 25 ⋅ 2𝑡. Nessa experiência,
considerando log2 5 = 2,3, a população atingirá
625 bactérias em
(A) 283 minutos.
(B) 323 minutos.
(C) 276 minutos.
(D) 304 minutos.
(E) 360 minutos.
5) Quando aumentamos em 60% o valor de um
número real positivo 𝑏, seu logaritmo decimal
aumenta em 20%. Considerando log 2 = 0,3, é
correto afirmar que
(A) 𝑏 = 1.
(B) 𝑏 = 2.
(C) 𝑏 = 4.
(D) 𝑏 = 8.
(E) 𝑏 = 10.
6) O conjunto-solução da equação (log 𝑥)2 −
2 log 𝑥 + 1 = 0,em ℝ, é igual a
(A) {0}.
(B) {0; 1}.
(C) {1}.
(D) {10}.
(E) {100}.
7) Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑏 +
log3(𝑥 − 3), em que 𝑏 é uma constate real,
considere as afirmações a seguir.
I. É possível termos 𝐴 =] − 3; +∞[.
II. Se 𝐴 = [4; 15] e 𝑓(12) = 0, então 𝑏 = −2.
III. Se 𝑏 = −1, então 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ 𝐴 e
𝑥 =10
3.
IV. Aplicando as propriedades de logaritmo, é
correto escrever 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log3(𝑥) − 1.
Das afirmações acima, é(são) verdadeira(s)
A. Todas as afirmações.
B. Apenas I e II.
C. Apenas I.
D. Apenas II.
E. Apenas III e IV.
8) Os psicólogos criaram o que chamam de curva de
esquecimento, um modelo para avaliar a
memória, medindo quanto uma pessoa ainda se
lembra do que aprender de determinada matéria
após certo tempo. Os formandos de psicologia de
uma universidade fizeram uma prova no último
ano de curso, e a média da turma foi de 90
pontos. Passados 𝑘 meses após a aplicação dessa
prova, o desempenho numa segunda prova, da
mesma disciplina, com o mesmo conteúdo e com
o grau de dificuldade equivalente, já não era o
mesmo. A média (𝑀) é dada pela sentença
𝑀(𝑘) = 90 − 60 ⋅ log(𝑘 + 1), 0 ≤ 𝑘 ≤ 30.
Calcule o valor da média desses alunos caso a
segunda prova tenha sido aplicada 4 meses após a
primeira. (Admita log 2 = 0,30).
9) O PIB – Produto Interno Bruto – de um país tem
um crescimento constante de 5% ao ano. Em
2002 o PIB desse país foi igual a 100 milhões de
dólares. Determine em que ano o PIB desse país
será igual a 500 milhões de dólares. (Admita
log 2 = 0,3 e log 1,05 = 0,02.
10) Se log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, então log √72000 é
igual a
(A) 𝑎 − 2𝑏.
(B) 2𝑎 + 𝑏.
(C) 3𝑎−𝑏+2
2.
(D) 3𝑎+𝑏+3
2.
(E) 3⋅(1+𝑎)
2+ 𝑏.
11) Sejam 𝛼 e 𝛽 constantes reais positivas tais que
log 𝛼 = 0,5 e log 𝛽 = 0,7. O valore real de 𝑥 que
satisfaz a equação (𝛼𝛽
10)
𝑥= (𝛼𝛽)2 é igual a
(A) 24.
(B) 12.
(C) 10.
(D) 2,4.
(E) 1,2.
12) A quantidade de elementos de uma espécie
animal diminui 10% a cada ano. Hoje, essa
quantidade é igual a 𝑃 elementos. Sendo 𝑡 o
tempo, em anos, contados a partir de hoje,
determine 𝑡 para que a população dessa espécie
animal se reduza à metade de 𝑃.
(Adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48).
13) Resolva, em ℝ, a equação 1
2⋅ log(𝑥 + 1) +
log100(𝑥 − 2) =1
2 e determine o seu conjunto-
solução.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 11
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.2. a) 4 b) 4 c) 5 d) 7
2 e)
1
4 f) −
2
3 g) −2
1.3. a) −2 b) −1 c) 1
2.1. Demonstração
2.2. a) 12 b) 5
4 c) 39 d) 3 e) √7
3.1. Demonstração
3.2. a) 𝑎 + 𝑏 b) 𝑏 − 𝑎 c) 1 − 𝑎 d) 3𝑎 + 2𝑏 e) 1
3(2𝑏 + 𝑎 − 1) f) 𝑏 − 2𝑎
3.3. a) 1,86 b) −1,26 c) 0,69 d) 0,46 e) −1,22 f) 1,68
g) 2,1
4.1. a) 0,625 b) 24
35 c)
7
3 d)
25
6
4.2. Demonstração
5.1. a) 𝑆 = {3} b )𝑆 = ∅ c) 𝑆 = {3; 7} d)
𝑆 = {4} e) 𝑆 = {13} f) 𝑆 = {7;1
49}
6.1. a) 3 b) não existe c) 1
5
6.2. Gráfico
7.1. a) 𝐷(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1}
b) 𝐷(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≠ 2}
c) 𝐷 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}
7.2. a) 𝑡 = 2
b) 1
8.1. a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 4} b) 𝑆 = {𝑥 ≥ 2}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 9} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 < 13}
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 > 5}
CAIU NO VEST 1. CEC
2. CEE
3. 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 3}
4. C
5. E
QUESTÕES EXTRAS 1. B
2. C
3. E
4. C
5. E
6. D
7. D
8. 48
9. 35
10. E
11. B
12. 7,5
13. 4