logaritma, eksponen, trigonometri invers · 2014. 9. 20. · beberapa terapan fungsi invers fungsi...

FUNGSI-FUNGSI INVERSLogaritma, Eksponen, Trigonometri Invers

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 49

Topik Bahasan

1 Fungsi Satu ke Satu

2 Fungsi Invers

3 Fungsi Logaritma Natural

4 Fungsi Eksponen Natural

5 Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum

6 Fungsi Trigonometri Invers

7 Telaah Konsep


Beberapa Terapan Fungsi Invers

Fungsi logaritma:

Penentuan besaran skala gempa bumi (dalam skala Richter).Penentuan kekerasan suara (dalam desibel, dB).

Fungsi eksponen:

Pertumbuhan populasi bakteri, populasi penduduk yang bergantungpada daya dukung lingkungan.Perhitungan banyaknya tabungan dengan bunga majemuk kontinu.Penentuan kandungan bahan radioaktif.Penentuan kapasisitas penyimpanan muatan listrik pada kapasitor blitzkamera.

Fungsi trigonometri invers:

Posisi tempat duduk terbaik ketika menonton film di bioskop.Masalah-masalah nyata yang terkait pengukuran sudut.


Fungsi Satu ke Satu

Fungsi Satu ke Satu

Definisi

Fungsi f dikatakan fungsi satu ke satu (1-1) pada daerah fungsi Df jika

x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

atauf (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

untuk setiap x1, x2 ∈ Df .

Uji garis datar akan memotong fungsi 1-1 tepat pada satu titik.Jika f naik ataukah turun pada interval I, maka f fungsi 1-1 pada I.


Fungsi Satu ke Satu

( ) 3f x x=( )f x x=

Fungsi 1-1

0

0

Contoh (Fungsi 1-1)

1 f (x) = x3 fungsi 1-1 pada Df = R2 f (x) =

√x fungsi 1-1 pada Df = [0, ∞)


Fungsi Satu ke Satu

( ) 2f x x=( ) sinf x x=

0f Bukan Fungsi 1-1

Contoh (Fungsi 1-1)

1 f (x) = x2 bukan fungsi 1-1 pada (−∞, ∞), tetapi fungsi 1-1 pada[0, ∞)

2 f (x) = sin x bukan fungsi 1-1 pada R, tetapi fungsi 1-1 pada[−π/2, π/2]


Fungsi Satu ke Satu

Soal (Identifikasi Fungsi 1-1)

Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi 1-1?Jelaskan!

1 f (x) = |x|2 f (x) = 3x2 + 5x− 43 f (x) = 3x+ cos x

4x 0 1 2 3 4

f (x) 1 0 1 4 9

5 f (t) adalah tinggi badan seseorang pada saat berumur t tahun.


Fungsi Invers

Fungsi Invers

Definisi

Misalkan f fungsi 1-1 dengan daerah asal Df dan daerah hasil (wilayah)Wf . Fungsi invers f adalah f−1 yang bersifat

y = f (x)⇔ x = f−1 (y) (1)

dengan Df−1 = Wf , Wf−1 = Df .

f

f- -1

( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ =

x• y•

1f fD W −= 1f fW D −=


Fungsi Invers

Grafik fungsi f−1 merupakan pencerminan grafik fungsi f terhadapgaris y = x.

y

y = f(x)

y = f -1(x)

y = x•

•

x

(a, b)

(b, a)


Fungsi Invers

Penentuan Fungsi Invers

Ilustrasi Geometris

fD

fW 1fD −

1fW −

1fD −

1fW −

1fD −

1fW −

(a) (b)

(c) (d)

Langkah Aljabar

Misalkan f fungsi 1-1,dengan y = f (x) .Untuk memperoleh f−1:

1 Tuliskan y = f (x) ,Gambar (a), (b).

2 Nyatakan x dalamy (x = f−1 (y)),Gambar (c).

3 Tukar x dan ysehingga diperolehy = f−1 (x) ,Gambar (d).


Fungsi Invers

( ) 2 2f x x= −

1 1( ) 12

f x x− = +

2( ) , 0f x x x= ≥

1( ) , 0f x x x− = ≥

ContohTentukan fungsi invers bagi fungsi 1-1 berikut.

1 y = f (x) = 2x− 2⇒ x = f−1 (y) = y/2+ 1⇒ f−1 (x) = x/2+ 1.2 y = f (x) = x2, x ≥ 0⇒ x = f−1 (y) = √y⇒ f−1 (x) =

√x.

3 y = f (x) =x

x+ 1


Fungsi Invers

Suatu Fungsi dengan Inversnya Saling Membatalkan

y = f (x)⇔ f−1 (y) = xy = f−1 (x)⇔ f (y) = xKarenanya berlaku sifat pembatalan:

f−1 (f (x)) = x, x ∈ Df

f(f−1 (x)

)= x, x ∈ Wf

(2)

Contoh

1 y = f (x) = 2x⇔ f−1 (x) = x/2⇒ f−1 (f (x)) = f(f−1 (x)

)= x.

2 y = f (x) = x2, x ≥ 0⇔ f−1 (x) = x1/2 ⇒ f−1 (f (x)) =f(f−1 (x)

)= x.


Fungsi Invers

Turunan Fungsi Invers

Misalkan y = f (x)⇔ x = f−1 (y) . Ody/dx = f ′ (x) , dx/dy =

(f−1)′(y) =

(f−1)′(f (x))

Dengan penurunan implisit terhadap y pada f (x) = y:

f ′ (x)dxdy

= 1

dxdy

=1

f ′ (x)=

1dy/dx

, atau(f−1)′(y) =

1f ′ (x)

=1

f ′ (f−1 (y))

dxdy

=1

dy/dx(f−1)′(y) =

1f ′ (x)

=1

f ′ (f−1 (y))

(3)


Fungsi Invers

Ilustrasi Geometris Gradien Fungsi dan Inversnya

(f−1)′(y) =

1f ′ (x)

=1

f ′ (f−1 (y))

y y

y = f(x)

xy = f -1(x)

y = x•

•(a, b)

(b, a)

•

•

•

•(c, d)

(d, c)

(a, b)

(b, a)l1

l2

l1

l2 y = x

21

1c amd b m

−= =−

( ) ( ) ( )1 1'

'f b

f a− =

1dxdydydx

=

x


Fungsi Invers

Gradien Fungsi dan Inversnya

2( ) , 0f x x x= ≥

1 '(2) 2(2) 4m f= = =

( )121

1 1' (4)4

m fm

−= = =

3( ) 2f x x= −

21 '(2) 3(2) 12m f= = =

( )121

1 1' (6)12

m fm

−= = =


Fungsi Invers

Soal (Turunan Fungsi 1-1)

1 Misalkan g adalah fungsi invers dari f dan f (4) = 5, f ′ (4) = 2/3.Hitung g′ (5).

2 Jika f (x) = 3x+ cos x, tentukana f−1 (1)b(f−1)′(1) .

3 Jika f (x) = x+√

x, tentukan(f−1)′(6) .


Fungsi Logaritma Natural


DefinisiFungsi logaritma natural

ln x =∫ x

1

1t

dt , x > 0 (4)



Grafik Fungsi Logaritma Natural

f (x) = ln (x) =∫ x

11t dt, x > 0⇒

1 f ′ (x) = 1/x (berdasarkan TDK1) ⇒ f fungsi naik padaDf = (0, ∞).

2 f ′′ (x) = −1/x2 < 0⇒ fcekung ke bawah padaDf = (0, ∞).

3 ln(x) =∫ x

1

1t

dt =< 0 , 0 < x < 1

0 , x = 1

> 0 , x > 1

Grafik ln x

( ) lnf x x=

10



Turunan Fungsi Logaritma Natural

Dx ln x =1x

Dx ln u =1u

Dxu(5)



SoalTentukan turunan fungsi berikut

1 f (x) = ln |x|2 f (x) = sin

(ln√

x2 + 1)

Solusi

f (x) = ln |x| =

ln x , x > 0ln (−x) , x < 0 (perhatikan x 6= 0)f ′ (x) = Dx ln |x| =

1/x , x > 0

1−x (−1) = 1/x , x < 0

=1x

∴Dx ln |x| =

1x

, x 6= 0 (6)



Sifat-sifat Logaritma Natural

TeoremaJika x, y bilangan positif, dan r bilangan rasional, maka

1. ln 1 = 0

2. ln (x y) = ln x+ ln y

3. ln (x/y) = ln x− ln y

4. ln xr = r ln x

(7)



Contoh (Sifat Logaritma)

Gunakan turunan untuk menunjukkan ln (x a) = ln x+ ln a



Integral Terkait Fungsi Logaritma

Dx ln |x| =1x

, x 6= 0∫ 1x

dx = ln |x|+ C, x 6= 0(8)



SoalTentukan integral berikut

1∫ dx

x ln x, jawab: ln |ln x|+ C

2∫ 1

04x3

1+ x4dx, jawab: ln 2

3∫

tan x dx, jawab: ln |sec x|+ C



Teknik Penurunan Logaritmik

Teknik penurunan logaritmik efisien dalam menentukan turunan fungsibernilai positif yang melibatkan:

pangkat berupa variabel (misal: xx, xln x),perkalian/pembagian/pangkat beberapa suku.

Teknik:Untuk menurunkan y = f (x) dengan teknik penurunan logaritmik,

1 Logaritmakan kedua sisi ⇒ ln y = ln f (x). O

2 Turunkan masing-masing sisi terhadap x⇒ y′

y= Dx [ln f (x)] .

3 y′ = y Dx [ln f (x)] = f (x) Dx [ln f (x)] . �



Soal

Gunakan teknik penurunan logaritmik untuk menentukan y′ darifungsi-fungsi berikut.

1 y = xx, x > 0(y′ 6= x xx−1!!

)2 y =

(x2 + 3

)√2x+ 1

x− 5 , x > 5

3 y = xn, n : bilangan real (dengan definisi turunan dan turunanimplisit, baru diturunkan untuk n bilangan rasional)

4 xy = yx, x, y > 0, y 6= e, jawab: y2 (ln x− 1)

x2 (ln y− 1)


Fungsi Eksponen Natural


Fungsi logaritma natural, ln, merupakan fungsi 1-1. Karenanya lnmempunyai fungsi invers dan disebut fungsi eksponen natural.Untuk setiap bilangan real x, fungsi eksponen natural

ex = exp (x) = ln−1 x (9)

Hubungan ln dengan exp

y = ex ⇔ x = ln y

Bilangan Euler e bersifat ln e = 1 , e = 2.71828... (bilanganirasional, tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan)



Grafik Fungsi Eksponen Natural

Karena ex merupakan invers dari ln x, grafik fungsi ex merupakanpencerminan ln x terhadap garis y = x.f (x) = ln x⇔ f−1 (x) = ex:Df−1 = Wf = (−∞, ∞) , Wf−1 = Df = (0, ∞)

lny x=

1ln xy x e−= =

1

1

ey x=

e



Karena ex merupakan invers dari ln x, maka berdasarkan sifat pembatalanfungsi terhadap inversnya pada pers. (2), berlaku:

eln x = x, x > 0

ln ex = x, x ∈ R(10)



Sifat-sifat Eksponen Natural

TeoremaJika x, y adalah bilangan real, maka

1. ex+y = exey

2. ex−y = ex/ey

3. (ex)y = ex y

(11)



Contoh (Sifat Eksponen)

Gunakan sifat logaritma (7) dan sifat pembatalan (10) untukmenunjukkan ex+y = exey.



Turunan Fungsi Eksponen Natural

y = ex,dydx= · · ·?

Kedua ruas dilogaritmakan: ln y = ln (ex) = xCara I: turunkan langsung terhadap x:

ln y = x1y

dydx= 1⇒ dy

dx= y = ex.

Cara II: turunkan terhadap y, gunakan turunan fungsi invers (3):x = ln ydxdy=

1y

dydx=

1dx/dy

= y = ex.



Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Natural

Dxex = ex

Dxeu = euDxu(12)

∫exdx = ex + C (13)



SoalHitung

1 ddx

(e2x+1 ln x

)2 ddx

[eln(2x+1)/ (2x+ 1)

]3 ddx (x

x) dengan membuat xx = eln xx= ex ln x dan tunjukkan hasilnya

sama dengan menggunakan penurunan logaritmik

4∫

xe−x2+1dx, jawab: − 12 e1−x

2+ C.


Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum


DefinisiFungsi eksponen umum dengan basis a ∈ R

f (x) = ax

Fungsi logaritma umum dengan basis a adalah invers dari ax, a > 0, a 6= 1

f−1 (x) = loga x

Kaitan:

y = ax ⇔ x = loga y



Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Umum

Berdasarkan persamaan ax = eln ax= ex ln a, diperoleh

ddx

ax = ax ln a

ddx

au = au ln adudx

(14)

∫axdx =

ax

ln a+ C (15)



Kaitan Logaritma Umum dan Logaritma Natural

y = loga x⇔ x = ay

x = ay ⇔ ln x = y ln a⇔ y = ln xln a

y = loga x⇔ln xln a

(16)



Turunan dan Integral Fungsi Logaritma Umum

y = loga x =ln xln a⇒ dy

dx=

1x ln a

Dx loga x =1

x ln a

Dx loga u =1

u ln aDxu

(17)



Perlukah Basis Selain e?

Pada uraian sebelumnya, terungkap 2 fakta penting:

1. ax = eln ax= ex ln a, a > 0

2. loga x =ln xln a

, a > 0, a 6= 1

Kedua persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua fungsilogaritma umum dan eksponsial umum dengan basis a dapatdinyatakan dengan basis natural e.Semua perhitungan, termasuk turunan dan integral dengan basisumum a dapat dinyatakan dengan basis natural e.


Fungsi Trigonometri Invers

Fungsi Trigonometri InversLandasan

( ) sinf x x=

1 1( ) sinf x x− −=y = x

•

•

•

•

Fungsi trigonometri tidakbersifat 1-1 pada daerahfungsinya.

Dengan membatasi daerahfungsi, fungsi-fungsitrigonometri dapat dibuat 1-1,sehingga memiliki fungsi invers.

Contoh perhitungan:

sin x = 1⇔ x = sin−1 (1) =12 π.cos x = 12 ⇔ x =cos−1

(12

)= 13 π.

tan x = 1⇔ x = tan−1 (1) =14 π.




Definisi

1 y = sin−1 x⇔ x = sin y, y ∈ [−π/2, π/2]2 y = cos−1 x⇔ x = cos y, y ∈ [0, π]3 y = tan−1 x⇔ x = tan y, y ∈ (−π/2, π/2)



Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers

Contoh

Tentukan turunan y = tan−1 x

Solusi Oy = tan−1 x⇔ tan y = x

sec2 y (dy/dx) = 1

dy/dx =1

sec2 y= cos2 y =

(1√

1+ x2

)2=

11+ x2

�



Turunan Fungsi Trigonometri Invers

Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan

Dx sin−1 x =1√

1− x2, |x| < 1

Dx cos−1 x = −1√

1− x2, |x| < 1

Dx tan−1 x =1

1+ x2

Dx cot−1 x = −1

1+ x2

Dx sec−1 x =1

|x|√

x2 − 1, |x| > 1

Dx csc−1 x = −1

|x|√

x2 − 1, |x| > 1

(18)



Integral Terkait Fungsi Trigonometri Invers

Setiap rumus pada tabel formula (18) menghasilkan sebuah rumusintegral. Dua yang terpenting:

∫ 1√1− x2

dx = sin−1 x+ C∫ 11+ x2

dx = tan−1 x+ C(19)

Formula (19) dapat diperumum menjadi∫ 1√a2 − x2

dx = sin−1(x

a

)+ C, a > 0∫ 1

a2 + x2dx =

1a

tan−1(x

a

)+ C, a 6= 0

(20)

(lihat soal).(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 49


SoalHitung integral berikut:

1∫ π/2

0sin x

1+ cos2 xdx, jawab: 14 π

2

∫ 1√a2 − x2

dx, a > 0, jawab: sin−1(x

a

)+ C

3

∫ 1a2 + x2

dx,

4∫ x+ 4

x2 + 4dx, jawab: 12 ln

(x2 + 4

)+ 2 tan−1

(x2

)+ C


Telaah Konsep

Telaah Konsep IKuis Benar-Salah

1 Fungsi f (x) = sin x, x ∈ [0, π] fungsi 1-1.2 ln x2 = 2 ln x, x 6= 0.3 π

√2 = e

√2 ln π.

4 Jika a < b, maka ea < eb.5 Jika x > 0, maka (ln x)4 = 4 ln x.6 ln

(2ex+1

)− ln (2ex) = 1, x ∈ R.

7 ln(310)> 10.

8 Fungsi invers dari y = 1+ ex adalah y = ln (x− 1) .

9 sin−1 x =1

sin x.

10 ddx (5x) = x 5x−1.

11 ddx (xe) = xe.


Telaah Konsep

Telaah Konsep IIKuis Benar-Salah

12 ddx (ln π) =1π

.

13

∫ 1x

dx = ln 2 |x|+ C.

14

∫ e21

1x

dx = 2.

15 ln 110 = −∫ 10

1

1x

dx = 1.


Telaah Konsep

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Fungsi Satu ke SatuFungsi InversFungsi Logaritma NaturalFungsi Eksponen NaturalFungsi Logaritma dan Eksponen UmumFungsi Trigonometri InversTelaah Konsep

logaritma, eksponen, trigonometri invers · 2014. 9. 20. · beberapa terapan fungsi invers fungsi...

Documents